2016年全国2卷数学答案及解析

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共24题,共150分,共4页。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项:1．答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。

3．按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）(31)-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--，【答案】A 【解析】 试题分析：要使复数z 对应的点在第四象限,应满足3010m m +>⎧⎨-<⎩，解得31m -<<，故选A.【考点】 复数的几何意义【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． 复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )平面向量OZ .（2）已知集合{1,23}A =,，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =（A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D）{10123}-，，，，【答案】C 【解析】试题分析：集合{|12,}{0,1}B x x x =-<<∈=Z ，而{1,2,3}A =，所以{0,1,2,3}A B =，故选C.【考点】 集合的运算【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.（3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m =（A ）−8（B ）−6（C ）6（D ）8【答案】D 【解析】试题分析： (4,2)m +=-a b ，由()⊥a +b b 得43(2)(2)0m ⨯+-⨯-=，解得8m =，故选D.【考点】平面向量的坐标运算、数量积【名师点睛】已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)： 几何表示 坐标表示 模 |a |＝⋅a a |a |＝2211x y + 夹角cos θ＝⋅⋅a ba bcos θ＝121222221122x x y y x y x y ++⋅+a ⊥b 的充要条件a·b ＝0x 1x 2＋y 1y 2＝0（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=（A）43-（B）34-（C）3（D）2【答案】A【考点】圆的方程、点到直线的距离公式【名师点睛】直线与圆的位置关系的判断方法：(1)几何法：利用圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断．若d>r，则直线与圆相离；若d＝r，则直线与圆相切；若d<r，则直线与圆相交．(2)代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断．如果Δ<0，方程无实数解，从而方程组也无实数解，那么直线与圆相离；如果Δ＝0，方程有唯一实数解，从而方程组也有唯一一组实数解，那么直线与圆相切；如果Δ>0，方程有两个不同的实数解，从而方程组也有两组不同的实数解，那么直线与圆相交．提醒：直线与圆的位置关系的判断多用几何法．（5）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A）24 （B）18 （C）12 （D）9【答案】B【解析】试题分析：由题意，小明从街道的E 处出发到F 处最短路径的条数为6，再从F 处到G 处最短路径的条数为3，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6318⨯=，故选B.【考点】计数原理、组合【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是相互独立的；分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相互关联的． （6）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π【答案】C 【解析】试题分析：由题意可知，圆柱的侧面积为12π2416πS =⋅⋅=，圆锥的侧面积为2π248πS =⋅⋅=，圆柱的底面面积为23π24πS =⋅=，故该几何体的表面积为12328πS S S S =++=，故选C.【考点】三视图，空间几何体的表面积 【名师点睛】由三视图还原几何体的方法:（7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图像的对称轴为 （A ）x =26k ππ-(k ∈Z ) （B ）x =26k ππ+(k ∈Z )（C ）x =212k ππ-(k ∈Z )（D ）x =212k ππ+(k ∈Z )【答案】B【考点】三角函数图像的变换与对称性【名师点睛】平移变换和伸缩变换都是针对x 而言，即x 本身加或减多少值，而不是依赖于ωx 加或减多少值．（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x =2，n =2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s =（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 【答案】C 【解析】试题分析：由题意，当2,2,0,0x n k s ====时，输入2a =，则0222,1s k =⋅+==，循环；输入2a =，则2226,2s k =⋅+==，循环；输入5a =，则62517,32s k =⋅+==>，结束.故输出的17s =，选C.【考点】程序框图，直到型循环结构【名师点睛】直到型循环结构：在执行了一次循环体后，对条件进行判断，如果条件不满足，就继续执行循环体，直到条件满足时终止循环．当型循环结构：在每次执行循环体前，对条件进行判断，当条件满足时，执行循环体，否则终止循环． （9）若cos(4π−α)=53，则sin 2α= （A ）725（B ）15（C ）−15（D ）−725【答案】D 【解析】试题分析：2237cos 22cos 12144525αα⎡π⎤π⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，且cos 2cos 2sin 242ααα⎡π⎤π⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.【考点】三角恒等变换【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示： (1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系． （10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 （A ）4n m （B ）2nm（C ）4mn（D ）2mn【答案】C 【解析】试题分析：利用几何概型，圆形的面积和正方形的面积比为22π4S R m S R n==圆正方形，所以4πmn=.选C. 【考点】几何概型【名师点睛】求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．（11）已知F 1，F 2是双曲线E ：22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F 1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠= ,则E 的离心率为 （A ）2（B ）32（C ）3（D ）2【答案】A【考点】双曲线的几何性质、离心率【名师点睛】区分双曲线中a ，b ，c 的关系与椭圆中a ，b ，c 的关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.双曲线的离心率e ∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e ∈(0，1)．（12）已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅ 则1()miii x y =+=∑（A ）0（B ）m（C ）2m （D ）4m【答案】B 【解析】试题分析：由于()()2f x f x -+=，不妨设()1f x x =+，其图像与函数111x y x x+==+的图像的交点为()()1,2,1,0-，故12122x x y y +++=，故选B. 【考点】函数的图像与性质【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图像有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数的图像有对称中心.第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22~24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分。

（13）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A =45，cos C =513，a =1，则b = .【答案】2113【考点】三角函数的和差角公式，正弦定理【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． （14）α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题：①如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. ②如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n . ③如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β.④如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号） 【答案】②③④ 【解析】试题分析：对于①，,,//m n m n αβ⊥⊥，则,αβ的位置关系无法确定，故错误；对于②,因为//n α，所以过直线n 作平面γ与平面α相交于直线c ，则//n c ，因为,,m m c m n α⊥⊥⊥所以所以，故②正确；对于③，由两个平面平行的性质可知正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的命题有②③④. 【考点】空间中的线面关系【名师点睛】求解本题时应注意在空间中考虑线、面位置关系.（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 . 【答案】1和3 【解析】试题分析：由题意分析可知甲的卡片上的数字为1和3，乙的卡片上的数字为2和3，丙的卡片上的数字为1和2. 【考点】推理【名师点睛】逻辑推理即演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导即“演绎”，得出具体陈述或个别结论的过程.（16）若直线y=kx +b 是曲线y =ln x +2的切线，也是曲线y =ln(x +1)的切线，则b = .【答案】1ln 2-【考点】导数的几何意义【名师点睛】函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y −y 0＝f ′(x 0)(x −x 0)．注意：求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过点P 的切线的不同．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。