2021学年高二数学人教A版(2019)选择性必修第二册4.等差数列的概念(2)-课件
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分析：该设备使用n年后的价值构成数列{an}， 由题意可知，an＝an－1－d (n≥2). 即：
解法1：方程思想； 解法2：构造新数列.
例2 等差数列{an}的通项公式为an＝3n－2，分别求a1＋a7， a2＋a6和a3＋a5的值.
分析：根据通项公式分别求出指定项的值，再求和 即可.
例2 等差数列{an}的通项公式为an＝3n－2，分别求a1＋a7， a2＋a6和a3＋a5的值.
解：由通项公式知， a1＝3×1－2＝1，a7＝3×7－2＝19； a2＝3×2－2＝4，a6＝3×6－2＝16； a3＝3×3－2＝7，a5＝3×5－2＝13； 所以a1＋a7＝a2＋a6＝a3＋a5＝20.
追问4：能否用函数的观点，结合函数的图像，来解释此性质呢？
ap＋aq＝as＋at 数形结合
pq st 22
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an－an－1＝－d. 所以{an}为公差为－d的等差数列. 10年之内（含10年），该设备的价值不 小于9万元；10年后，该设备的价值需小于9 万元．利用{an}的通项公式列不等式求解．
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构成一个新的等差数列{bn}. (1) 求数列{bn}的通项公式． b1＝a1＝2; d′＝? (2) b29是不是数列{an}的项？若是，它是{an}的第几项？ 若不是，说明理由．
b1
＋d
b5
a1
b2
b3
b4
a2
＋d
a1
b2
b3
b4
a2
b1
3个数
b5
＋d
a1
b2
… bk＋1 a2
b1
k个数
b1
b5
b9
b13
数列 {an}的各项，依次是数列 {bn}的第1，5，9， 13，…项.
追问3：还有其他方法判断此结论吗？
解法2：数列{an}的各项，依次是数列{bn}的第1，5， 9，13，…项.这些下标构成一个首项为1，公差为4的 等差数列{cn}.
则cn＝1＋(n－1)×4＝4n－3.
令4n－3＝29，解得n＝8. 所以b29是数列{an}中的第8项.
所以ap＋aq＝2 a1＋(p＋q－2)d， as＋at＝2 a1＋(s＋t－2)d. 因为p＋q＝s＋t，所以 ap＋aq＝as＋at .
追问2：你能写出这个结论的一般形式并证明它吗？
若数列{an}是等差数列，p，q，s，t∈N*，且 p＋q＝s＋t，则有ap＋aq＝as＋at .
等差数列中，下标和相等的两项的和相等.
追问3：等差数列{an}中，能否有a2＋a4＝a6？
不一定！
证明：设数列{an}的公差是d，则 ap＝a1＋(p－1)d，aq＝a1＋(q－1)d， as＝a1＋(s－1)d，at＝a1＋(t－1)d，
所以ap＋aq＝2 a1＋(p＋q－2)d， as ＋at ＝2 a1＋(s＋t－2)d. 因为p＋q＝s＋t，所以 ap＋aq＝as＋at .
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追问3：等差数列{an}中，能否有a2＋a4＝a6？X
2a4＝a2＋a6. ✔
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追问1：三组和相等的项，有什么共同的特点？
a1＋a7＝a2＋a6＝a3＋a5＝20.
和相等的两项，它们的下标和也相等.
追问2：你能写出这个结论的一般形式并证明它吗？
若数列{an}是等差数列，p，q，s，t∈N*，且 p＋q＝s＋t，则有ap＋aq＝as＋at .
证明：设数列{an}的公差是d，则 ap＝a1＋(p－1)d，aq＝a1＋(q－1)d， as＝a1＋(s－1)d，at＝a1＋(t－1)d，
解：(2) 由(1)知， bn ＝2n. 于是有 b29＝2×29＝58. 由已知，an＝2＋(n－1)×8＝8n－6. 令8n－6＝58，得n＝8. 所以b29是数列{an}中的第8项.
追问3：还有其他方法判断此结论吗？
a1 b2 b3 b4 a2 b6 b7 b8 a3 b10 b11 b12 a4
bk＋2
d k 1
例1 已知等差数列{an}的首项a1＝2，公差d＝8，在{an}中 每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起 构成一个新的等差数列{bn}. (1) 求数列{bn}的通项公式． (2) b29是不是数列{an}的项？若是，它是{an}的第几项？ 若不是，说明理由．
an＝b29是否有整数解
例3 某公司购置了一台价值为180 万元的设备，随着设备在使用过程 中老化，其价值会逐年减少．经验 表明，每经过一年其价值就会减少d(d为正常数) 万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过 10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将 报废．请确定d的取值范围(精确到0.1)．
180×5%＝9 (万元) an＝an－1－d
4.2.1 等差数列的概念（2）
复习回顾
(1) 等差数列及等差中项的定义；
an＋1－an＝d，n∈N* ；A
a
b. 2
(2) 等差数列的通项公式；
an＝a1＋(n－1)d，n∈N*；累加法.
(3) 通项公式的应用.
函数与方程
通项公式
应用
的思想
例1 已知等差数列{an}的首项a1＝2，公差d＝8，在{an}中 每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起
等差数列的概念讲义-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
4.2.1等差数列的概念知识点1 等差数列的定义一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于，那么这个数列就叫做，这个叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示知识点2 等差中项在由三个数a，A，b组成的等差数列中，A叫做a与b的．这三个数满足关系式.知识点3 等差数列的通项公式如果等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，那么知识点4 等差数列通项公式的推广等差数列{a n}中，若公差为d，则a n＝a m＋(n－m)d，当n≠m时，d＝___________知识点5 等差数列的性质在等差数列{a n}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m＋＝a p＋a q.特别地，若m＋n＝2p，则a n＋a m＝2a p.考法一等差数列的概念【例1】判断下列数列是不是等差数列？(1)9,7,5,3，…，－2n＋11，…；(2)－1,11,23,35，…，12n－13，…；(3)1,2,1,2，…；(4)1,2,4,6,8,10，…；(5)a，a，a，a，a，….【变式】数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋5，则此数列( )A ．是公差为2的等差数列B ．是公差为5的等差数列C ．是首项为5的等差数列D ．是公差为n 的等差数列考法二: 等差数列及其通项公式【例1】2000是等差数列4，6，8，…的（ ） A ．第998项 B ．第999项 C ．第1001项 D ．第1000项【例2】若数列{}n a 满足1331n n a a +=+，则数列{}n a （ ） A ．是公差为1的等差数列B ．是公差为13的等差数列C ．是公差为13-的等差数列D ．不是等差数列【例3】已知数列{}n a 中，12a =，12n n a a +=-，则8a 等于（ ） A ．-12 B ．12 C ．-16 D ．16【例4】在数列{}n a 中，12a =，1221n n a a +-=，则101a 的值为（ ） A ．52 B ．51 C ．50 D ．49【变式1】已知等差数列{n a }，43n a n =-，则公差d 的值是（ ） A ．4 B ．-6 C ．8 D ．-10【变式2】数列{n a }的前4项依次是20，11，2，-7，{n a }的一个通项公式是（ ） A ．911n a n =+ B ．929n a n =-+ C ．115.5(1) 4.5n n a +=+- D ．916n a n =-【变式3】若数列{}n a 满足119a =，()*13n n a a n +=-∈N ，则当2021m a =-时，m 的值是（ ）A ．679B ．680C ．681D ．690【变式4】已知数列{}n a 中，11a =且()*11113n n n a a +=+∈N ，则10a =（ ） A ．14B ．12C ．1D ．2考法三 等差中项【例1】已知m 和2n 的等差中项是4，2m 和n 的等差中项是5，则m 和n 的等差中项是（ ） A ．8 B ．6C ．4.5D ．3【例2】2与8的等差中项是（ ） A ．5- B ．5 C ．4 D ．4±【例3】在等差数列{}n a 中，已知35715a a a ++=，则19a a +=（ ） A ．4 B ．6C ．8D ．10【变式1】在等差数列{}n a 的中，若131,5a a ==，则5a 等于（ ） A ．25 B ．11C ．10D ．9【变式2】在数列{}n a 中，()1122n n n a a a n -+=+≥，且210a =，55a =-， （1）求{}n a 的通项公式考法四 等差数列的判定【例】已知数列{a n }的通项公式为a n ＝4－2n ，求证：数列{a n }是等差数列；总结：判断数列{a n }是否为等差数列，主要是利用等差数列的定义，即验证其通项是否满足a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *)．具体步骤为 (1)确定数列{a n }的通项公式；(2)由a n 表示a n ＋1，即将a n 中的n 替换为n ＋1得a n ＋1； (3)作差：a n ＋1－a n ，并判断其结果是否为常数；(4)总结：若a n ＋1－a n 是常数(即一个与n 无关的数)，则数列{a n }是等差数列，否则数列{a n }不是等差数列．【变式】在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝1－14a n ，b n ＝22a n －1，其中n ∈N *.求证：数列{b n }是等差数列．考法五: 等差数列的性质【例1】在等差数列{a n }中，a 3＋a 5＝10，则a 1＋a 7等于（ ） A ．5 B ．8 C ．10 D ．14【例2】在等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝58，a 2＋a 5＋a 8＝44，则a 3＋a 6＋a 9的值为（ ） A ．30 B ．27 C ．24 D ．21【变式1】在ABC 中，角A ，B ，C 成等差数列，则sin B 等于（ ）A ．12B C D【变式2】已知等差数列{∈∈}，若1231221a a a a ++++=，则25811a a a a +++=__________________.【变式3】在等差数列{a n }中，若a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，且a 2·a 5＝52．求数列{a n }的通项公式a n ．考法六 等差数列的实际应用【例】某市出租车的计价标准为1.2元/km ，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14 km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？【变式】在通常情况下，从地面到10 km 高空，高度每增加1 km ，气温就下降某一个固定数值．如果1 km 高度的气温是8.5∈，5 km 高度的气温是－17.5∈，求2 km ，4 km,8 km 高度的气温．【课后作业】1．已知等差数列{}n a 的公差为d (0d ≠)，且36101332a a a a +++=，若8m a =，则m 为（ ） A ．12 B ．8 C ．6 D ．42．已知{}n a 为等差数列，453a a a +=，72a =-，则9a =（ ） A ．8- B ．6- C ．4- D ．2-3．《周髀算经》中有这样一个问题：冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为9.5尺，立夏当日日影长为2.5尺，则春分当日日影长为（ ） A ．4.5尺 B ．5尺 C ．5.5尺 D ．6尺4．等差数列{}n a 中，18153120a a a ++=，则9102a a -的值是（ ） A ．20 B ．22 C ．24 D ．85．等差数列{}n a 中，若43a =，则237a a a ++=（ ） A ．3 B ．9 C ．6 D ．126．在等差数列{}n a 中，17133120a a a ++=，则9133a a -的值为（ ） A ．6 B ．12 C ．24 D ．487．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，全书收集了246个数学问题，其中一个问题为“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升.问中间二节欲均容各多少？”其中“欲均容”的意思是：使容量变化均匀，即由下往上均匀变细.该问题中由上往下数的第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为（ ） A ．176升 B ．72升C ．11366升 D ．10933升8．已知等差数列{}n a 满足1231010a a a a +++⋅⋅⋅+=，则（ ） A ．11010a a +> B ．11010a a +< C ．3990a a += D ．5151a =9．下列选项中，为“数列{}n a 是等差数列”的一个充分不必要条件的是（ ） A ．()1122n n n a a a n +-=+≥B ．()2112n n n a a a n +-=⋅≥C ．数列{}n a 的通项公式为23n a n =-D ．()2112n n n n a a a a n ++--=-≥10．已知数列{}n a 满足115a =，且1332n n a a +=-.若10k k a a +⋅<，则正整数k =（ ）A ．24B ．23C ．22D ．2111．已知正项等差数列{}n a 满足123a a =，2315a a =，则5a =___________.12．已知数列{}n a 满足：11a =，()11112,n n n n N a a +--=≥∈，则2021a =__________．13．数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？"现将1到1000共1000个整数中同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则数列{}n a 中共有__________项．14.已知数列{}n a 的公差是正数，且3712a a =-，464a a +=-.求它的通项公式；15．数列{a n }的通项公式为a n ＝﹣2n +5.证明：{a n }是等差数列.16．正项数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1－a n ＋1＝a n ＋a n . (1)数列{a n }是否为等差数列？说明理由； (2)求a n .4.2.1等差数列的概念参考答案考法一 等差数列的概念【例1】解 由等差数列的定义得(1)，(2)，(5)为等差数列，(3)，(4)不是等差数列．【变式】答案 A 解析 ∈a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)＋5－(2n ＋5)＝2，∈{a n }是公差为2的等差数列．考法二: 等差数列及其通项公式【例1】【答案】B 数列4，6，8，…的通项公式为22n a n =+，.则2n ＋2＝2 000.解得n ＝999. 【例2】【答案】B 由1331n n a a +=+，得1331n n a a +-=，即113n n a a +-=，所以数列{}n a 是公差为13的等差数列．【例3】【答案】A 解：数列{}n a 中，12a =，12n n a a +=-，即12n n a a +-=-，所以数列{}n a 为等差数列，公差为2-，所以24n a n =-+，所以828412a =-⨯+=-．【例4】【答案】A 由题意，数列{}n a 满足1221n n a a +-=，即112n n a a +-=， 又由12a =，所以数列{}n a 为 首项为2，公差为12的等差数列，所以101111002100522a a d =+=+⨯=.【变式1】【答案】A 在等差数列{n a }中，124131,4235a a =⨯-==⨯-=公差21514d a a =-=-= 【变式2】【答案】B 由已知可看出数列{n a }为等差数列，首项为20，公差为-9， 由等差数列的通项公式可得1(1)20(1)(9)9+29n a a n d n n =+-=+-⋅-=-. 【变式3】【答案】C∵119a =，()*13n n a a n +-=-∈N ，∴{}n a 是以19为首项，3-为公差的等差数列，则()()1913223n a n n =+-⨯-=-．则2232021m a m =-=-，解得681m =． 【变式4】【答案】A 由11113n n a a +=+，得11113n n a a +-=，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a 为首项，13为公差的等差数列，则()1121133n n n a +=+-=，所以32n a n =+，则1031124a ==．故选：A.考法三 等差中项【例1】【答案】D ∵28m n +=，210m n +=，∴3318m n +=，∴6m n +=，∴m 和n 的等差中项是32m n+=． 【例2】【答案】B 解：设2与8的等差中项是x ，则22810x =+=，解得5x =． 【例3】【答案】D 由35715a a a ++=得5315a =，所以55a =，所以195210a a a +==. 【变式1】【答案】D 因为131,5a a ==，315529a a a a =+∴=， 【变式2】【答案】（1）520n a n =-+；（1）因为()1122n n n a a a n -+=+≥，所以()112n n n n a a a a n +--=-≥，所以数列{}n a 为等差数列，设首项为1a ，公差为d ，则21511045a a d a a d =+=⎧⎨=+=-⎩，解得1155a d =⎧⎨=-⎩，所以()()111551520n a a n d n n =+-=--=-+； 考法四 等差数列的判定【例】(1)∈a n ＝4－2n ，∈a n ＋1＝4－2(n ＋1)＝2－2n .∈a n ＋1－a n ＝(2－2n )－(4－2n )＝－2.∈{a n }是等差数列． 【变式】[证明] ∈b n ＋1－b n ＝22a n ＋1－1－22a n －1＝22⎝⎛⎭⎫1－14a n－1－22a n －1＝4a n 2a n －1－22a n －1＝2(n ∈N *)，且b 1＝22×1－1＝2，∴数列{b n }是以2为首项，2为公差的等差数列．考法五: 等差数列的性质【例1】【答案】C a 1＋a 7＝a 3＋a 5＝10.【例2】【答案】A 设b 1＝a 1＋a 4＋a 7＝58，b 2＝a 2＋a 5＋a 8＝44，b 3＝a 3＋a 6＋a 9. 因为{a n }是等差数列，所以b 1，b 2，b 3也是等差数列，得b 1＋b 3＝2b 2， 所以b 3＝2b 2－b 1＝2×44－58＝30，即a 3＋a 6＋a 9＝30.【变式1】【答案】C 因为角A ，B ，C 成等差数列，所以2B A C =+，所以3180A B C B ++==︒，60B =︒，所以sin sin 60B =︒= 【变式2】【答案】7 ∈1231221a a a a ++++=，∈11221131049586721762a a a a a a a a a a a a +=+=+=+=+=+==， 258117a a a a ∴+++=.【变式3】【答案】a n ＝3n －2或a n ＝－3n ＋19．详解：∈数列{a n }是等差数列，∈a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝2(a 2＋a 5)＝34， ∈或，∈a n ＝3n －2或a n ＝－3n ＋19．考法六 等差数列的实际应用【例】解 根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km 时，每增加1 km ，乘客需要支付1.2元． 所以，可以建立一个等差数列{a n }来计算车费．令a 1＝11.2，表示4 km 处的车费，公差d ＝1.2，那么当出租车行至14 km 处时，n ＝11， 此时需要支付车费a 11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)． 即需要支付车费23.2元．【变式】解 用{a n }表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a 1＝8.5，a 5＝－17.5， 由a 5＝a 1＋4d ＝8.5＋4d ＝－17.5，解得d ＝－6.5，∈a n ＝15－6.5n .∈a 2＝2，a 4＝－11，a 8＝－37，即2 km,4 km,8 km 高度的气温分别为2∈，－11∈，－37∈.【课后作业】1．【答案】B 由等差数列性质a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10)＝2a 8＋2a 8＝4a 8＝32，∴a 8＝8，又d ≠0，∴m ＝8. 2．【答案】B依题意11111134250,6262a d a d a d a d a d a d +++=++=⎧⎧⎨⎨+=-+=-⎩⎩，解得110,2a d ==-，所以91810166a a d =+=-=-.3．【答案】D设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为{}n a ，则立春当日日影长为49.5a =，立夏当日日影长为10 2.5a =，所以春分当日日影长为()7410162a a a =+=. 4．【答案】C 因为a 1＋3a 8＋a 15＝5a 8＝120，所以a 8＝24，所以2a 9－a 10＝a 10＋a 8－a 10＝a 8＝24. 5．【答案】B 解：因为43a =，所以()237147417439a a a a a a a a a a ++=++=++==. 6．【答案】D 在等差数列{}n a 中，1713735120a a a a ++==，所以724a =，所以()()91311173381226222448a a a d a d a d a -=+--=+==⨯=， 7．【答案】A解：设自上而下依次设各节竹子的容积分别为1a 升，2a 升，…，9a 升，则数列1a ，2a ，…，9a 为等差数列.依题意有123478934a a a a a a a +++=⎧⎨++=⎩，又因为2314a a a a +=+，7982a a a +=，故2383417236a a a ++=+=. 8．【答案】C 根据等差数列的性质，得110121005052512a a a a a a a +=+=⋅⋅⋅=+=， 因为1231010a a a a +++⋅⋅⋅+=，所以510a =，所以11013995120a a a a a +=+==， 9．【答案】C对于A ：数列{}n a 是等差数列()1122n n n a n a a +-⇔=+≥，∴A 选项为“数列{}n a 是等差数列”的一个充要条件，故A 错误；对于B ：易知B 选项为“数列{}n a 是等差数列”的一个既不充分也不必要条件，故B 错误； 对于C ：∵23n a n =-，∴()121321n a n n +=+-=-，∴12n n a a +-=，∴数列{}n a 是等差数列，反之若{}n a 为等差数列，则1n n a a d +-=，此时d 不一定为2，所以必要性不成立， ∴C 选项为“数列{}n a 是等差数列”的一个充分不必要条件，故C 正确；对于D ：若数列{}n a 是等差数列，则211n n n n a a a a ++--=-，∴211n n n n a a a a ++--=-成立， 反之当11a =，22a =，34a =，45a =时，满足211n n n n a a a a ++--=-，但{}n a 不是等差数列，∴D 选项为“数列{}n a 是等差数列”的一个必要不充分条件，故D 错误．10．【答案】B 解：由1332n n a a +=-，得123n n a a +-=-，所以数列{}n a 为首项115a =，公差23d =-的等差数列，所以()2247151333n a n n =--=-+. 由10k k a a +⋅<，得0k a >，10k a +<.令247033n a n =-+=得472n =，所以230a >，240a <，所以23k =，11．【答案】9设等差数列{}n a 的公差为d ，而{}n a 是正项数列，则10a >，因1223315a a a a =⎧⎨=⎩，则()()()11113215a a d a d a d ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，整理得12d a =，而()113a a d +=，解得11a =，2d =，则有51(51)29a =+-⋅=，所以59a =. 12．【答案】12021∵11a =，∴111,a = 又∵()11112,n n n n N a a +--=≥∈，∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项为1，公差为1的等差数列， ∴1nn a ，即1n a n =,∴202112021a =,13．答案】67被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，记为{}n a ，则157n a n =-，令n a =1571000n -，解得2:6715n ，所以该数列的项数共有67项． 14.【答案】212n a n =-设等差数列{}n a 的首项1a ，公差为(0)d d >.则()()()()11112612,35 4.a d a d a d a d ⎧++=-⎪⎨+++=-⎪⎩解得1102a d =-⎧⎨=⎩或162a d =⎧⎨=-⎩（舍去），212n a n ∴=-.15．【答案】证明见解析.证明：由a n ＝﹣2n +5，得a n +1＝﹣2（n +1）+5， 则a n +1﹣a n ＝﹣2（n +1）+5﹣（﹣2n +5）＝﹣2，为常数. ∴数列{a n }是公差为﹣2的等差数列.即证.16．解 (1)∵a n ＋1－a n ＋1＝a n ＋a n ，∴a n ＋1－a n ＝a n ＋1＋a n ， ∴(a n ＋1＋a n )·(a n ＋1－a n )＝a n ＋1＋a n ，∵{a n }是正项数列，∴a n ＋1＋a n ≠0，∴a n ＋1－a n ＝1， ∴{a n }是等差数列，公差为1. (2)由(1)知{a n }是等差数列，且d ＝1， ∴a n ＝a 1＋(n －1)×d ＝1＋(n －1)×1＝n ， ∴a n ＝n 2.。
人教A版高中数学选择性必修第二册4.2等差数列 经典例题及配套练习题
4.2 等差数列4.2.1等差数列的概念例1（1）已知等差数列*a n+的通项公式为a n=5−2n，求*a n+的公差和首项；（2）求等差数列8，5，2，…的第20项.分析：（1）已知等差数列的通项公式，只要根据等差数列的定义，由a n−a n;1=d即可求出公差d；（2）可以先根据数列的两个已知项求出通项公式，再利用通项公式求数列的第20项.解：（1）当n⩾2时，由*a n+的通项公式a n=5−2n，可得a n;1=5−2(n−1)=7−2n.于是d=a n−a n;1=(5−2n)−(7−2n)=−2.把n=1代入通项公式a n=5−2n，得a1=5−2×1=3.所以，*a n+的公差为−2，首项为3.（2）由已知条件，得d=5−8=−3.把a1=8，d=−3代入a n=a1+(n−1)d，得a n=8−3(n−1)=11−3n.把n=20代入上式，得a20=11−3×20=−49.所以，这个数列的第20项是−49.例2 −401是不是等差数列−5，−9，−13，……的项？如果是，是第几项？分析：先求出数列的通项公式，它是一个关于n的方程，再看−401是否能使这个方程有正整数解.解：由a1=−5，d=−9−(−5)=−4，得这个数列的通项公式为a n=−5−4(n−1)=−4n−1.令−4n−1=−401，解这个关于n的方程，得n=100.所以，−401是这个数列的项，是第100项.练习1．判断下列数列是否是等差数列．如果是，写出它的公差．（1）95，82，69，56，43，30；（2）1，1.1，1.11，1.111，1．1111，1.11111；（3）1，－2，3，－4，5，－6；（4）1，1112，56，34，23，712，12．【答案】（1）是等差数列，公差为−13；（2）不是等差数列；（3）不是等差数列；（4）是等差数列，公差为−112.【分析】根据等差数列的定义对（1）、（2）、（3）、（4）逐个分析即可求解.【详解】解：（1）由82−95=69−82=56−69=43−56=30−43=−13，即该数列从第二项起，每一项与前一项之差为同一个常数−13，所以由等差数列的定义知该数列为等差数列，公差为−13；（2）通过观察可知，1.1−1=0.1，1.11−1.1=0.01，⋯该数列从第二项起，每一项与前一项之差不是同一个常数，所以由等差数列的定义知该数列不是等差数列；（3）通过观察可知，−2−1=−3，3−(−2)=5，⋯该数列从第二项起，每一项与前一项之差不是同一个常数，所以由等差数列的定义知该数列不是等差数列；（4）由1112−1=56−1112=34−56=23−34=712−23=12−712=−112，即该数列从第二项起，每一项与前一项之差为同一个常数−112，所以由等差数列的定义知该数列为等差数列，公差为−112.2．求下列各组数的等差中项：（1）647和895；（2）−1213和2435.【答案】（1）771；（2）9215.【分析】由等差中项的定义直接求解即可.【详解】（1）设647和895的等差中项为a，则a=647:8952=771，故647和895的等差中项为771；（2）设−1213和2435的等差中项为b，则b=;1213:24352=9215，故−1213和2435的等差中项为9215.3．已知在等差数列*a n+中，a4+a8=20，a7=12．求a4．【答案】a4=6【分析】设等差数列的公差为d，由等差数列通项公式性质知a4+a8=2a6，求得a6=10，进而求得公差d，即可得解.【详解】设等差数列的公差为d，则在等差数列*a n+中，a 4+a 8=2a 6=20，∴a 6=10∴d =a 7−a 6=12−10=2 ∴a 4=a 7−3d =12−6=64．在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列． 【答案】10.5，14，17.5【分析】利用等差数列通项公式能求出插入的这3个数．【详解】解：∵在7和21之间插入3个数，使这5个数成等差数列， ∴ {a 1=7a 5=a 1+4d =21 ，解得d =3.5， ∴a 2=7+3.5=10.5， a 3=7+2×3.5=14， a 4=7+3×3.5=17.5，∴插入的这3个数为10.5，14，17.5．例3 某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值就会减少d （d 为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请确定d 的取值范围.分析：这台设备使用n 年后的价值构成一个数列*a n +.由题意可知，10年之内（含10年），这台设备的价值应不小于(220×5%=)11万元；而10年后，这台设备的价值应小于11万元.可以利用*a n +的通项公式列不等式求解.解：设使用n 年后，这台设备的价值为a n 万元，则可得数列*a n +.由已知条件，得 a n =a n;1−d(n ⩾2).由于d 是与n 无关的常数，所以数列*a n +是一个公差为−d 的等差数列.因为购进设备的价值为220万元，所以a 1=220−d ，于是 a n =a 1+(n −1)(−d)=220−nd . 根据题意，得{a 10⩾11,a 11<11,即{220−10d ⩾11,220−11d <11,解这个不等式组，得19<d⩽20.9.所以，d的取值范围为19<d⩽20.9.例4已知等差数列*a n+的首项a1=2，公差d=8，在*a n+中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列*b n+.（1）求数列*b n+的通项公式.（2）b29是不是数列*a n+的项？若是，它是*a n+的第几项？若不是，说明理由.分析：（1）*a n+是一个确定的数列，只要把a1，a2表示为*b n+中的项，就可以利用等差数列的定义得出*b n+的通项公式；（2）设*a n+中的第n项是*b n+中的第c n项，根据条件可以求出n 与c n的关系式，由此即可判断b29是否为*a n+的项.解：（1）设数列*b n+的公差为d′.由题意可知，b1=a1，b5=a2，于是b5−b1=a2−a1=8.因为b5−b1=4d′，所以4d′=8，所以d′=2.所以b n=2+(n−1)×2=2n.所以，数列*b n+的通项公式是b n=2n.（2）数列*a n+的各项依次是数列*b n+的第1，5，9，13，…项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列*c n+，则c n=4n−3.令4n−3=29，解得n=8.所以，b29是数列*a n+的第8项.例5 已知数列*a n+是等差数列，p，q，s，t∈N∗，且p+q=s+t.求证a p+a q=a s+a t. 分析：只要根据等差数列的定义写出a p，a q，a s，a t，再利用已知条件即可得证.证明：设数列*a n+的公差为d，则a p=a1+(p−1)d，a q=a1+(q−1)d，a s=a1+(s−1)d，a t=a1+(t−1)d.所以a p+a q=2a1+(p+q−2)d，a s+a t=2a1+(s+t−2)d.因为p+q=s+t，所以a p+a q=a s+a t.练习5．某体育场一角看台的座位是这样排列的：第1排有15个座位，从第2排起每一排都比前一排多2个座位．你能用a n表示第n排的座位数吗？第10排有多少个座位？【答案】a n=2n+13；a10=33【分析】可将每排座位数看成等差数列，列出通项公式.【详解】由条件可知，每排的座位数，看成等差数列，首项a1=15，d=2，则a n=15+(n−1)×2=2n+13，a10=2×10+13=33.综上可知，a n=2n+13，第10排的座位数a10=33个.6．画出数列a n={18,n=1a n;1−3,1<n≤6的图象，并求通过图象上所有点的直线的斜率. 【答案】图象见解析，−3【分析】由递推关系a n={18,n=1a n;1−3,1<n≤6，求出a n(1≤n≤6)值，然后再作出图象，在根据斜率公式即可求出通过图象上所有点的直线的斜率.【详解】根据递推关系a n={18,n=1a n;1−3,1<n≤6，可知a1=18,a2=15,a3=12,a4= 9,a5=6,a6=3，作出数列a n={18,n=1a n;1−3,1<n≤6的图象，如下图所示：通过图象上所有点的直线的斜率a6;a16;1=3;185=−3.7．在等差数列*a n+中，a n=m，a m=n，且n≠m，求a m;n．【答案】2n【分析】利用等差数列的通项公式，解出a1、d，代入a m;n即可. 【详解】设等差数列*a n+的公差为d则{a n=a1+(n−1)d=ma m=a1+(m−1)d=n ⇒{a1=m+n−1d=−1所以a m;n=a1+(m−n−1)d=m+n−1−m+n+1=2n8．已知数列*a n+，*b n+都是等差数列，公差分别为d1，d2，数列*c n+满足c n=a n+2b n．（1）数列*c n+是否是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由．（2）若*a n+，*b n+的公差都等于2，a1=b1=1，求数列*c n+的通项公式．【答案】（1）数列*c n+是等差数列，证明见解析；（2）c n=6n−3.【分析】（1）根据等差数列的定义即可证得结论；（2）由等差数列的通项公式运算即可得解.【详解】（1）数列*c n+是等差数列，证明：因为数列*a n+，*b n+都是等差数列，公差分别为d1，d2，所以a n=a1+(n−1)d1,b n=b1+(n−1)d2，又因为c n=a n+2b n=(a1+2b1)+(n−1)(d1+2d2)，故c n:1−c n=,(a1+2b1)+n(d1+2d2)-−,(a1+2b1)+(n−1)(d1+2d2)-=d1+2d2，而c1=a1+2b1，所以数列*c n+是以a1+2b1为首项，d1+2d2为公差的等差数列.（2）由（1）知：数列*c n+是以a1+2b1为首项，d1+2d2为公差的等差数列，而c1=a1+2b1=3，d1+2d2=6，所以c n=3+6(n−1)=6n−3.9．已知一个无穷等差数列*a n+的首项为a1，公差为d．（1）将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？（3）取出数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列，它是等差数列吗？你能根据得到的结论作出一个猜想吗？【答案】（1）是等差数列，首项为a1+md，公差为d；（2）是等差数列，首项为首项为a1，公差为2d；（3）是等差数列，首项为a1+6d，公差为7d；猜想：等差数列每隔一定距离抽取一项后所组成的新数列仍是等差数列.【分析】（1）由题意可知，新的数列为：a m:1, a m:2, a m:3,⋯，可知新等差数列的首项及公差；（2）由题意可知，新的数列为：a1, a3, a5,⋯,a2n:1,⋯，可知新等差数列的首项及公差；（3）由题意可知，新的数列为：a7, a14, a21,⋯,a7n,⋯，可知新等差数列的首项及公差，进而得到猜想.【详解】（1）由题意可知，将无穷等差数列*a n+的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列为：a m:1, a m:2, a m:3,⋯，这个新数列是等差数列，首项为a m:1=a1+md，公差为d.（2）由题意可知，取出无穷等差数列*a n+中的所有奇数项，组成一个新的数列为：a1, a3, a5,⋯,a2n:1,⋯，这个新数列是等差数列，首项为a1，公差为2d.（3）由题意可知，取出无穷等差数列*a n+中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列为：a7, a14, a21,⋯,a7n,⋯，这个新数列是等差数列，首项为a7=a1+6d，公差为a14−a7=7d. 猜想：等差数列每隔一定距离抽取一项后所组成的新数列仍是等差数列.4.2.2等差数列的前n项和公式例6 已知数列*a n+是等差数列.（1）若a1=7，a50=101，求S50；（2）若a1=2，a2=52，求S10；（3）若a1=12，d=−16，S n=−5，求n.分析：对于（1），可以直接利用公式S n=n(a1:a n)2求和；在（2）中，可以先利用a1和a2的值求出d，再利用公式S n=na1+n(n;1)2d求和；（3）已知公式S n=na1+n(n;1)2d中的a1，d和S n，解方程即可求得n.解：（1）因为a1=7，a50=101，根据公式S n=n(a1:a n)2，可得S50=50×(7:101)2=2700.（2）因为a1=2，a2=52，所以d=12.根据公式S n=na1+n(n;1)2d，可得S10=10×2+10×(10;1)2×12=852.（3）把a1=12，d=−16，S n=−5代入S n=na1+n(n;1)2d，得−5=12n+n(n;1)2×.−16/.整理，得n2−7n−60=0.解得n=12，或n=−5（舍去）.所以n=12.例7已知一个等差数列*a n+前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？分析：把已知条件代入等差数列前n项和的公式（2）后，可得到两个关于a1与d的二元一次方程.解这两个二元一次方程所组成的方程组，就可以求得a1和d.解：由题意，知S10=310，S20=1240.。
2020-2021学年高二数学人教A版(2019) 选择性必修第二册 4.2.1等差数列的概念(2)
2020-2021学年高二数学人教A版(2019 ) 选择性必修第二册 4.2.1等差数列的概念（2）-课件【精品 】
课后作业
3. 已知数列{an}，{bn}都是等差数列，公差分别为d1，d2，数 列{cn}满足cn＝an ＋2bn． (1) 数列{cn}是否是等差数列?若是，证明你的结论；若不是， 请说明理由． (2) 若{an}，{bn}的公差都等于2，a1 ＝b1＝1，求数列{cn}的通 项公式．
所以ap＋aq＝2 a1＋(p＋q－2)d， as＋at＝2 a1＋(s＋t－2)d. 因为p＋q＝s＋t，所以 ap＋aq＝as＋at .
追问2：你能写出这个结论的一般形式并证明它吗？
若数列{an}是等差数列，p，q，s，t∈N*，且 p＋q＝s＋t，则有ap＋aq＝as＋at .
等差数列中，下标和相等的两项的和相等.
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分析：该设备使用n年后的价值构成数列{an}， 由题意可知，an＝an－1－d (n≥2). 即：
证明：设数列{an}的公差是d，则 ap＝a1＋(p－1)d，aq＝a1＋(q－1)d， as＝a1＋(s－1)d，at＝a1＋(t－1)d，
所以ap＋aq＝2 a1＋(p＋q－2)d， as ＋at ＝2 a1＋(s＋t－2)d. 因为p＋q＝s＋t，所以 ap＋aq＝as＋at .
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2020-2021学年高中数学人教A版(2019)选择性必修第二册课件：4.2等差数列
(√)
(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数． ( × )
(4)已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差为－2. (√ )
二、选填题
1．在等差数列an中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝
A．－1
B．0
C．1
D．6
解析：∵an为等差数列，
∴2a4＝a2＋a6，∴a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0.
关于d的一次函数．
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d❷.
(2)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(3)前n项和公式：Sn＝na1＋nn2－1d＝na12＋an❸.
当d≠0时，等差数列{an}的前n项和Sn ＝d2n2＋a1－d2n是关于n的二次函数．
[熟记常用结论]
1．若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则 ak＋al＝am＋an.
6．若{an}是等差数列，Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m 项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列．
7．关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质． (1)若项数为2n，则S偶－S奇＝nd，SS奇 偶＝aan＋n 1. (2)若项数为2n－1，则S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，
a6＝6，Sn是数列{an}的前n项和，则
(B )
A．S4＜S3
B．S4＝S3
C．S4＞S1
D．S4＝S1
解析：设{an}的公差为 d，由 a2＝－6，a6＝6，得aa11＋＝3－. 9， 于是，S1＝－9，S3＝3×(－9)＋3×2 2×3＝－
18，S4＝4×(－9)＋4×2 3×3＝－18，所以 S4＝S3，S4＜S1，故 选 B.
高中数学选择性必修修二第4章 4.2.1 等差数列的概念(第2课时)
4.2.1等差数列的概念(第2课时)素养目标学科素养1.能够根据等差数列的定义和通项公式推出等差数列的重要性质．2．能够运用等差数列的性质解决有关问题．(重点、难点)3．能够运用等差数列的知识解决简单的实际问题.1.数学运算；2．逻辑推理情境导学某展会期间，人流如织，总参观人数超过7 000万．根据有关部门统计，某展馆7月上旬平均每天参观人数为20万，在后面70天内，前40天每天增加0.5万人，后30天每天减少1万人，在这段时间内，有多少天参观人数能达到30万人？这是与等差数列单调性有关的问题，让我们进一步认识等差数列的有关性质吧！1．(1)若{a n}，{b n}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pa n＋qb n}(p，q∈R)是公差为pd1＋qd2的等差数列．(2)若{a n}是公差为d的等差数列，则a k，a k＋m，a k＋2m，…(k，m∈N*) 成公差为md的等差数列．(1)等差数列去掉前面若干项后，剩下的项是否还构成等差数列？提示：是．改变了首项，公差不变．(2)等差数列中的奇数项、偶数项是否分别构成等差数列？提示：是．公差为原来的2倍．2．(1)等差数列的项的对称性：在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即a1＋a n＝a2＋a n－1＝a3＋a n－2＝….(2)在等差数列{a n}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m＋a n＝a p＋a q.特别地，若m＋n＝2t(m，n，t∈N*)，则a m＋a n＝2a t.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)在等差数列{a n}中，若a m＋a n＝a p＋a q，则m＋n＝p＋q.(×)(2)若数列{a n}为等差数列，则数列a m，a m＋k，a m＋2k，a m＋3k，…也成等差数列．(√)(3)在等差数列{a n}中，若m＋n＋p＝3t，则a m＋a n＋a p＝3a t.(×)1．已知{a n}是等差数列，则下列数列中的{b n}也为等差数列的是()A．b n＝a2n B．b n＝1anC．b n＝a3n D．b n＝|a n|C解析：{a3n}为等差数列，公差为原来的3倍．2．已知等差数列{a n}，a7＋a19＝19，a9＝1，则a17的值为()A．20 B．18C．15 D．17B解析：∵a7＋a19＝a9＋a17＝19，∴a17＝18.3．已知数列{a n}，{b n}为等差数列，且公差分别为d1＝2，d2＝1，则数列{2a n－3b n}的公差为() A．7 B．5C．3 D．1D解析：{2a n－3b n}的公差为2d1－3d2＝4－3＝1.4．在等差数列{a n}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________.10解析：∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，∴a5＝5.∴a2＋a8＝2a5＝10.【例1】(1)已知等差数列{a n }，a 5＝10，a 15＝25，求a 25的值； (2)已知等差数列{a n }，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝70，求a 1＋a 9的值；(3)已知数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝2，b 1＝－3，a 7－b 7＝17，求a 19－b 19的值．解：(1)(方法一)设{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a1＋4d ＝10，a1＋14d ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝4，d ＝32，故a 25＝a 1＋24d ＝4＋24×32＝40.(方法二)因为5＋25＝2×15，所以在等差数列{a n }中有a 5＋a 25＝2a 15，从而a 25＝2a 15－a 5＝2×25－10＝40.(方法三)因为5,15,25成等差数列，所以a 5，a 15，a 25也成等差数列，因此a 25－a 15＝a 15－a 5，即a 25－25＝25－10，解得a 25＝40.(2)由等差数列的性质，得a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝2a 5＝a 1＋a 9，所以a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝70，于是a 5＝14，故a 1＋a 9＝2a 5＝28.(3)令c n ＝a n －b n ，因为{a n }，{b n }都是等差数列，所以{c n }也是等差数列．设数列{c n }的公差为d ，由已知，得c 1＝a 1－b 1＝5，c 7＝17，则5＋6d ＝17，解得d ＝2，故a 19－b 19＝c 19＝5＋18×2＝41.若数列{a n }是等差数列，公差是d ，则等差数列{a n }有如下性质：(1)当d >0时，{a n }是递增数列；当d <0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列． (2)a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *，n ≠m )． (3)am －an m －n＝d (m ，n ∈N *且n ≠m )．(4)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .特别地，若m ＋n ＝2p (m ，n ，p ∈N *)，则a m ＋a n ＝2a p .1．若{a n }为等差数列，a 15＝8，a 60＝20，求a 75. 解：∵a 15＝8，a 60＝20，∴d ＝a60－a1560－15＝1245＝415.∴a 75＝a 60＋15d ＝20＋15×415＝24.2．已知{a n}是等差数列，且a1－a3＋a9－a15＋a17＝117，求a3＋a15的值．解：∵{a n}是等差数列，∴a1＋a17＝a3＋a15＝2a9，∴a9＝117，∴a3＋a15＝2a9＝234.3．在等差数列{a n}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，求a3＋a6＋a9的值．解：设b1＝a1＋a4＋a7＝39，b2＝a2＋a5＋a8＝33，b3＝a3＋a6＋a9，则b1，b2，b3成等差数列，∴39＋b3＝2b2＝66，∴b3＝66－39＝27，即a3＋a6＋a9＝27.【例2】某公司经销一种产品，第1年可获利200万元．从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元．按照这一规律，如果公司不引进新产品，也不调整经营策略，那么从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？解：设第n年的利润为a n万元，则a1＝200，a n－a n－1＝－20(n≥2，n∈N*)，∴每年的利润可构成一个等差数列{a n}，且公差d＝－20，∴a n＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)(－20)＝220－20n.若a n<0，则该公司经销这一产品将亏损．由a n＝220－20n<0，得n>11.故从第12年起，该公司经销此产品将亏损．1．解答数列实际应用问题的基本步骤：①审题，即仔细阅读材料，认真理解题意；②建模，即将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题；③判型，即判断该数列是否为等差数列；④求解，即求出该问题的数学解；⑤还原，即将所求结果还原到实际问题中．2．在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题．梯子的最高一级宽33 cm ，最低一级宽110 cm ，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度．解：用数列{a n }表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列， 由已知，得a 1＝33，a 12＝110，n ＝12. 由通项公式，得a 12＝a 1＋(12－1)d ， 即110＝33＋11d ，解得d ＝7.因此，a 2＝33＋7＝40，a 3＝40＋7＝47，a 4＝54，a 5＝61，a 6＝68，a 7＝75，a 8＝82，a 9＝89，a 10＝96，a 11＝103.梯子中间各级的宽度从上而下依次是40 cm ,47 cm ，54 cm ，61 cm ,68 cm ,75 cm ,82 cm ,89 cm ,96 cm ,103 cm .【例3】已知递减等差数列{a n }的前三项和为18，前三项的乘积为66，求数列{a n }的通项公式．解：(方法一)依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a1＋a2＋a3＝18，a1a2a3＝66，∴错误!解得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝11，d ＝－5或⎩⎪⎨⎪⎧a1＝1，d ＝5.∵数列{a n }是递减等差数列，∴d <0. 故取a 1＝11，d ＝－5.∴a n ＝11＋(n －1)(－5)＝－5n ＋16.即等差数列{a n }的通项公式为a n ＝－5n ＋16.(方法二)设等差数列{a n }的前三项依次为a －d ，a ，a ＋d ， 则错误! 解得错误! 又∵{a n }是递减等差数列， ∴d <0， ∴a ＝6，d ＝－5.∴等差数列{a n }的首项a 1＝11，公差d ＝－5. ∴a n ＝11＋(n －1)(－5)＝－5n ＋16.【例4】在两个等差数列2,5,8，…，197与2,7,12，…，197中，求它们的相同项构成数列的通项公式及相同项的个数．解：记数列2,5,8，…，197为{a n }，由已知，数列{a n }的首项为2，公差为3， ∴通项公式为a n ＝3n －1.记数列2,7,12，…，197为{b m }，则b m ＝5m －3， 若数列{a n }的第n 项与数列{b m }的第m 项相同， 即a n ＝b m ，∴3n －1＝5m －3， ∴n ＝5m －23＝m ＋错误!.又n ∈N *，∴必须有m －1＝3k ， 即m ＝3k ＋1(k 为非负整数)． 又2≤5m －3≤197，∴1≤m ≤40，∴m ＝1,4,7，...，40. ∴两数列的相同项为2,17,32， (197)记两数列的相同项构成的数列为{c n }，则{c n }的通项公式为c n ＝15n －13，共有40－13＋1＝14个相同项．(1)等差数列的设项技巧：已知三个数成等差数列时，设为a －d ，a ，a ＋d ；已知四个数成等差数列时，设为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d .(2)两个等差数列的相同的项按原来的前后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数．1．已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数． 解：设这四个数分别为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，根据题意，得 错误!化简，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝26，a2－d2＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝132，d ＝±32.所以这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.2．已知两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，它们有多少个共同项？ 解：设两数列的共同项组成新数列{a n }，则{a n }是首项为11的等差数列．∵数列5,8,11，…与3,7,11，…的公差分别为3与4， ∴{a n }的公差d ＝3×4＝12， ∴a n ＝11＋12(n －1)＝12n －1.∵数列5,8,11，…与3,7,11，…的第100项分别为302与399，∴a n ＝12n －1≤302，∴n ≤25.25. ∵n ∈N *，∴所给两数列有25个共同项．1．已知{a n }是等差数列，且a 2＋a 3＋a 10＋a 11＝48，则a 6＋a 7＝( ) A ．12 B ．24 C ．20D ．16B 解析：由等差数列的性质可得2(a 3＋a 10)＝48，所以a 3＋a 10＝24，故a 6＋a 7＝a 3＋a 10＝24，故选B ．2．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 6＋a 9＋a 12＋a 15＝120，则3a 12－a 18的值为( ) A ．24 B ．36 C ．48D ．60C 解析：设等差数列的公差为d ，因为a 3＋a 6＋a 9＋a 12＋a 15＝120，由等差数列的性质得a 9＝24，所以3a 12－a 18＝3(a 1＋11d )－(a 1＋17d )＝2a 1＋16d ＝2(a 1＋8d )＝2a 9＝48.故选C ． 3．在等差数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝24，则a 7＝( ) A ．32 B ．45 C ．64D ．96B 解析：根据等差数列的性质有a 1＋a 7＝2a 4，a 7＝2a 4－a 1＝48－3＝45.故选B ． 4．已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11＝0，则有( ) A ．a 1＋a 11>0 B ．a 2＋a 10<0C ．a 3＋a 9＝0D ．a 6＝6C 解析：因为a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11＝0，所以由等差数列的性质得到5(a 3＋a 9)＋a 6＝0，所以5(a 3＋a 9)＋12(a 3＋a 9)＝0，所以a 3＋a 9＝0.故选C ．5．在等差数列{a n }中，a 12＝23，a 42＝143，a n ＝239，求n 及公差d . 解：由题意可得，d ＝a42－a1242－12＝143－2330＝4，∴a 1＝－21.∵a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－21＋4(n －1)＝239，解得n ＝66.综上，n ＝66，d ＝4.在等差数列{a n}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题．如果条件与结论间无明显联系，则均可以化成关于a1，d的方程组求解；如果条件与结论存在明显的特点，一般运用性质解决较为简捷．课时分层作业(四)等差数列的概念(第2课时)(60分钟100分)基础对点练基础考点分组训练知识点1等差数列的性质1．(5分)已知等差数列{a n}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若a m＝8，则m等于() A．8 B．4C．6 D．12A解析：∵a3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32，∴a8＝8.∴m＝8.2．(5分)已知等差数列{a n}中，a4＋a6＝8，则a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝()A．10 B．16C．20 D．24C解析：∵a4＋a6＝2a5＝8，∴a5＝4，∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝20.3．(5分)设数列{a n}，{b n}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则由a n＋b n所组成的数列的第37项为()A．0 B．37C．100 D．－37C解析：∵{a n}，{b n}是等差数列，∴{a n＋b n}是等差数列．∵a1＋b1＝100，a2＋b2＝100，∴数列{a n＋b n}的公差d＝0，∴a37＋b37＝100.得分4.(5分)已知等差数列{a n}，且a3＋a5＝10，a2a6＝21，则a n＝____________.n＋1或－n＋9解析：∵a3＋a5＝2a4＝10，∴a4＝5.∵a 2a 6＝(a 4－2d )·(a 4＋2d )＝25－4d 2＝21， ∴d 2＝1.∴a n ＝n ＋1或a n ＝－n ＋9. 知识点2 等差数列的实际应用5．(5分)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，最上面4节的容积共3升，最下面3节的容积共4升，则从上往下数，第5节的容积为( ) A ．1升 B ．6766升C ．4744升D ．3733升B 解析：设所构成的等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a1＋a2＋a3＋a4＝3，a7＋a8＋a9＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧4a1＋6d ＝3，3a1＋21d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝1322，d ＝766，则a 5＝a 1＋4d ＝6766，故第5节的容积为6766升．6．(5分)过圆x 2＋y 2＝10x 内一点(5,3)有k 条弦的长度组成等差数列，且最小弦长为数列的首项a 1，最大弦长为数列的末项a k ，若公差d ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12，则k 的取值不可能是( )A ．4B ．5C ．6D ．7A 解析：将x 2＋y 2＝10x 化为(x －5)2＋y 2＝52， 表示圆心为C(5,0)，半径r ＝5的圆． 设A(5,3)，则AC ＝3，故a 1＝8，a k ＝10. ∴10＝8＋(k －1)d ，∴k ＝2d＋1.∵13≤d ≤12，∴5≤2d ＋1≤7，即5≤k ≤7. 知识点3 等差数列的综合问题7.(5分)已知等差数列{a n }满足a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝10，a 28－a 2＝36，则a 11的值为________．11 解析：∵a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝5a 5＝10， ∴a 5＝2.∵a 28－a 2＝(a 8＋a 2)(a 8－a 2)＝2a 5×6d ＝36， ∴d ＝32.∴a 11＝a 5＋6d ＝2＋9＝11.8.(5分)正项数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2,2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N *，n ≥2)，则a 7＝________.19 解析：∵2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1，∴{a 2n }成等差数列，首项a 21＝1， 公差为a 2－a 21＝3，∴a 2n ＝3n －2，∴a n ＝3n －2. ∴a 7＝21－2＝19.9.(5分)在等差数列－5，－312，－2，－12，…的每相邻两项间插入一个数，使之成为一个新的等差数列{a n }，则新数列的通项公式为a n ＝________. 34n －234 解析：新数列的公差d ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－312＋5＝34， ∴a n ＝－5＋(n －1)·34＝34n －234.能力提升练能力考点 拓展提升10.(5分)(多选)等差数列{a n }中，a 1＝3，a 1＋a 2＋a 3＝21，则( )A ．公差d ＝－4B ．a 2＝7C ．数列{a n }为递增数列D ．a 3＋a 4＋a 5＝84BC 解析：∵a 1＋a 2＋a 3＝21，∴3a 2＝21，∴a 2＝7. ∵a 1＝3，∴d ＝4.∴数列{a n }为递增数列，a 4＝a 2＋2d ＝15. ∴a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝45.11．(5分)已知数列{a n }为等差数列，若a 2＋a 8＝2π3，则tan (a 3＋a 7)的值为( )A ．33B ．－33C ．3D ．－3D 解析：∵数列{a n }为等差数列，∴a 3＋a 7＝a 2＋a 8＝2π3. ∴tan (a 3＋a 7)＝tan 2π3＝－3. 12．(5分)如果点(n ，a n )(n ∈N *)都在直线3x －y －24＝0上，那么在数列{a n }中有( )A ．a 7＋a 9>0B ．a 7＋a 9<0C ．a 7＋a 9＝0D ．a 7a 9＝0C 解析：∵3n －a n －24＝0，∴a n ＝3n －24.∴a 7＋a 9＝2a 8＝0.13．(5分)设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{2a 1a n }为递减数列，则( )A ．d <0B ．d >0C ．a 1d <0D ．a 1d >0C 解析：∵等差数列{a n }的公差为d ，∴a n ＋1－a n ＝d .又∵数列{2a 1a n }为递减数列，∴2a1an ＋12a1an＝2a 1d <1，∴a 1d <0. 14.(5分)在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11的值是________．16 解析：∵a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝5a 8＝120，∴a 8＝24.∴a 9－13a 11＝(a 1＋8d )－13(a 1＋10d )＝23a 1＋14d 3＝23(a 1＋7d )＝23a 8＝16. 15.(5分)已知数列{a n }与⎩⎨⎧⎭⎬⎫a2n n 均为等差数列(n ∈N *)，且a 1＝2，则a 10＝________. 20 解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a2＝2＋a3，2×a222＝4＋a233，∴3a 2＝12＋a 23＝12＋(2a 2－2)2，∴a 2－8a 2＋16＝0，∴a 2＝4，∴d ＝a 2－a 1＝2，∴a 10＝a 1＋9d ＝20.16.(12分)已知三个数成等差数列，且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．解：设这三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ，由已知可得错误!由①得a＝6，代入②得d＝±2.∵该数列是递增的，∴d＝－2舍去，∴d＝2，∴这三个数分别为4,6,8.17.(13分)已知{a n}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若从数列{a n}中，依次取出第2项、第4项、第6项……第2n项，按原来的顺序组成一个新数列{b n}，试求出{b n}的通项公式．解：(1)∵a1＋a2＋a3＝12，∴a2＝4.∵a8＝a2＋(8－2)d，∴16＝4＋6d，∴d＝2，∴a n＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×2＝2n.(2)a2＝4，a4＝8，a6＝12，a8＝16，…，a2n＝4n.当n>1时，a2n－a2(n－1)＝4n－4(n－1)＝4，∴{b n}是以4为首项，4为公差的等差数列．∴b n＝b1＋(n－1)d＝4＋4(n－1)＝4n.。
新教材选择性必修第二册4.2.1 等差数列的概念
4.2.1 《等差数列的概念》教学设计一、教材分析本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，即《等差数列》第一课时。
研究等差数列的定义和通项公式的推导，借助生活中丰富的典型实例，让学生通过分析、推理、归纳等活动过程，从中了解和体验等差数列的定义和通项公式。
等差数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。
等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。
是学生探究特殊数列的开始，它对后续内容的学习，无论在知识上，还是在方法上都具有积极的意义。
二、学情分析已经有了一年的高中学习经历，学生有一定的理性分析能力和概括能力，并且计算能力严重欠缺。
针对以上问题，我将调整上课的节奏，上课时由浅入深，尽量让学生自己发现问题，提出问题，然后解决问题。
经过第一节学习，学生已经对数列的知识有了初步的接触和认识，对数学公式的运用已具备一定的技能，已经经历过由观察到抽象的数学活动过程。
他们的思维正从经验性的逻辑思维向抽象思维发展。
但学生的基础弱，所以我授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发和探究以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。
三、教学目标1、通过本节课的学习使学生能理解并掌握等差数列的概念，能用定义判断一个数列是否为等差数列，引导学生了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，会求等差数列的公差及通项公式。
初步引入“数学建模”的思想方法并能运用。
并在此过程中培养学生理解等差数列是一种函数模型。
2、等差数列概念的理解及由此得到的“性质”的方法。
培养学生“逻辑推理”的能力，通过练习，提高学生的“数学运算”能力及分析问题和解决问题的能力。
3、在解决问题的过程中培养学生主动探索、勇于发现的求知精神。
使学生认识事物的变化形态，养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。
并通过一定的实例激发同学们的民族自豪感和爱国热情。
数学人教A版选择性必修第二册第四章(数列)4.2.1(等差数列的概念) 第2课时等差数列的判定与性质
知识梳理
注意点： (1)推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，则am＋an＋ap＝ax＋ay＋az. (2)该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同. (3)在有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，即a1＋an＝ a2＋an－1＝….
例2 (1)已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.
跟踪训练2 (1)已知{bn}为等差数列，若b3＝－2，b10＝12，则b8＝__8___.
方法一 ∵{bn}为等差数列，∴可设其公差为d， 则 d＝b1100－－b33＝12－7－2＝2， ∴bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8. ∴b8＝2×8－8＝8. 方法二 由b88－－b33＝b1100－－b33＝d， 得 b8＝b1100－－b33×5＋b3＝2×5＋(－2)＝8.
方法一 (利用an＝am＋(n－m)d) 设数列 {an}的公差为d， 则a60＝a15＋(60－15)d＝8＋45d＝20， 所以 d＝204－5 8＝1425＝145， 所以 a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×145＝24.
方法二 (利用隔项成等差数列) 因为{an}为等差数列， 所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列， 设其公差为d，a15为首项，则a60为第四项， 所以a60＝a15＋3d，解得d＝4， 所以a75＝a60＋d＝24.
(1)灵活利用等差数列的性质，可以减少运算.令m＝1，an＝am＋(n－m)d 即变为an＝a1＋(n－1)d，可以减少记忆负担. (2)等差数列运算的两种常用思路 ①基本量法：根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然 后求其他量. ②巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m， n，p，q，r∈N*)， 则am＋an＝ap＋aq＝2ar.
4.2.1等差数列的概念(第一课时)-高二数学教材教学课件(人教A版2019选择性)
新知探究
思考 2：已知等差数列{an}的首项 a1 和公差 d，能表示出通项公式 an＝a1＋(n－1)d，如果已知第 m 项 am 和公差 d，又如何表示通项公式？
解：an＝a1＋(n－1)d，① am＝a1＋(m－1)d，② ①－②，得 an－am＝(n－m)d⇒an＝am＋(n－m)d.
新知探究 等差数列的通项公式
25.0, 24.4, 23.8, 23.2, 22.6. ③
新知探究
① 9，18，27，36，45，54，63，72，81. ②38，40，42，44，46，48 ③ 25.0, 24.4, 23.8, 23.2, 22.6. ④ar, ar-br, ar-2br, ar-3br……
思考：观察以上四个数列能发现什么规律？ 对于① ，我们发现： 18-9=9，27-18=9....81-72=9.
新知探究 等差中项
由三个数a, A, b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列. 这时，A叫做 a与b的等差中项. 根据等差数列的定义可以知道，
2A=a+b .
2A a b a,A,b为等差数列
新知探究 探究5：根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？
不完全归纳法
新知探究
思考 1：等差数列的通项公式 an＝a1＋(n－1)d 是由等差数列的前几项归纳得出 的，公式只是一个猜想，不算是证明，那么，如何证明？
方法一(累加法)：∵{an}是等差数列， ∴ an－an－1＝d，
an－1－an－2＝d， an－2－an－3＝d， …， a2－a1＝d， 上述式子等号两边分别相加得 an－a1＝(n－1)d，所以 an＝a1＋(n－1)d.
新知探究
方法二(迭代法)： 因为{an}是等差数列，所以 an＝an－1＋d＝an－2＋d＋d＝an－2＋2d＝an－3＋d＋2d＝an－3＋3d＝…＝a1＋(n－1)d. 方法三(逐差法)： 因为{an}是等差数列，所以 an＝an－an－1＋an－1＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋an－2＝…＝(an－an－1)＋(an－1－an－2) ＋…＋(a2－a1)＋a1＝a1＋(n－1)d.
高二上学期数学人教A版选择性必修第二册4.2.1等差数列的概念(第一课时)课件
a1=3，公差 d=0 常数列
（3） 3x，6x，9x，12x，15x
a1=3x 公差 d= 3x
（4）95，82，69，56，43，30
a1=95 公差 d=－13
（5） 1，1.1，1.11，1.111，1.1111 ×
（6） 1，－2，3，－4，5，－6
11 5 3 2 7 1
（7）1， ， ， ， ， ，
思考：我们常通过运算来发
现规律。你能通过运算发现
数列①—③的取值规律吗？
对于①，我们发现
18=9+9，27=18+9....81=72+9，
换一种写法，就是
18-9=9，27-18=9....81-72=9.
如果用{an}表示数列①，
那么有a2-a1=9，a3- a2 =9，...a9-a8=9.
这表明，数列①有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它的前一
项的差都等于同一个常数。数列②—③也有这样的取值规律。
1. 等差数列的定义
• 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同
一个常数，这个数列就叫做等差数列。
• 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
• 符号表示：an+1 - an=d（d为常数，n∈N*）
【注意】
①判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断：
思考 我们知道数列是自变量为n的函数，你认为等差数列与我
们熟悉的哪一类函数有关？
an＝a1＋（n－1）d=dn＋（a1－d）
4. 等差数列与一次函数的关系
①公差d≠0的等差数列{an}的图象是点（n，an）组成的集
合，这些点均匀分布在直线f(x)＝dx＋(a1－d)上.
人教A版高中数学选择性必修第二册【整合课件】4.2.1_等差数列的概念1
（2）如何判断一个数是否为某等差数列中的项？
答：（1）至少要知道其中的三项才能确定等差数列；
（2）把该数代入数列的通项公式，然后解方程，若求出的项
数是正整数，则该数就是数列中的项，否则就不是.
新知探究
（三）判断数列中的项与项数的关系
（2）若 =
+
（或2A＝a＋b）．
2
+
（或2A＝a＋b），则A是a与b的等差中项.
2
新知探究
（二）数列的通项公式
变式2. 在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等
差数列，求a，b，c的值．
【解析】∵ －1，a，b，c,7成等差数列
∴ b是－1与7的等差中项
∴
又 a是－1与3的等差中项
1)或 − −1 ≥ 2 是不是一个与n无关的常数．
变式1. 已知数列：
① 48，53，58，63；
② 18，15.5，13，10.5，8.5，5；
③ 1，2，4，6，8，10，…；④ 2，2，2，2，2，….
①②④
其中是等差数列的是___________.
新知探究
（二）等差中项
例2. 在 ∆ 中，若 是 与 的等差中项，则 =________.
得a20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49；
(2) 由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式
为an＝－5＋(n－1)×(－4)＝－4n－1.
由题意，令－401＝－4n－1，解得n＝100，
∴ －401是这个数列的第100项．
新知探究
（三）判断数列中的项与项数的关系