几何证明题(添加辅助线试题)

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全等三角形证明题辅助线专题--截长补短和倍长中线

全等三角形证明题辅助线专题--截长补短和倍长中线一、截长补短1.如图所示，AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，点E在线段CD上，求证：AB＝AC＋BD．2.如图,在四边形ABCD中,AD=CD,BD平分∠ABC,DE⊥AB于点E,求证:AE+BC=BE.3.如图,△ABC中,∠CAB=∠CBA=45∘,点E为BC的中点,CN⊥AE交AB于点N,连接EN.求证AE=CN+EN.4.如图，△ABC的∠B和∠C的平分线BD，CE相交于点F，∠A=60°，（1）求∠BFC的度数．（2）求证：BC=BE+CD．5.如图，在△ABC中，∠A=100°，∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE=AD．求证：第2页，共28页BC=AB+CE．6.(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E,F分别是边BC,CD上的点，且∠EAF=1∠BAD，求证：EF=BE+DF；2(2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E,F分别是边BC,CD上的点，且∠EAF=1∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立?2(3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E,F分别是边BC,CD延长线上的点，且∠EAF=1∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立?若成立，请证明；2若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.7.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF = 60°.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系.8.如图，在△ABC中，∠B＝60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，（1）求∠AOC的度数；（2）求证：OE＝OD；（3）猜测AE，CD，AC三者的数量关系，并证明．第4页，共28页9.如图在△ABC中，∠ABC＝60°，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于点D，延长DB点F，使BF＝BD，连接AF．（1）求证：AF＝CD；（2）若CE平分∠ACB交AB于点E，试猜想AC、AF、AE三条线段之间的数量关系，并证明你猜想的结论．二、倍长中线10.如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，AM和DN分别是中线，且AM＝DN．求证：△ABC≌△DEF．11.（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，△ABC中，若AB=13，AC=9，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE=AD，连接BE．请根据小明的方法思考：Ⅰ．由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是______．A．SSS B．SAS C．AAS D．HLⅡ．由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是______．解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．（2）【初步运用】如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且∠FAE=∠AFE．若AE=4，EC=3，求线段BF的长．12.已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BC交AC于F，求证：AF＝EF．第6页，共28页13.如图,在△ABC中,AD是中线,∠BAC=∠BCA,点E在BC的延长线上,CE=AB,连接AE.求证:AE=2AD.14.如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°(1)如图1，若BD为高线，AB＝4，BC＝3，AC＝5，求BD的长(2)如图2，若BD为中线，求证：BD＝1AC215.如图，在五边形ABCDE中，∠E=90O,BC=DE,，连接AC,AD,且AB=AD，AC⊥BC.（1）求证：AC=AE（2）如图，若∠ABC=∠CAD,AF为BE边上的中线，求证：AF⊥CD;（3）如图，在(2)的条件下，AE=8,DE=5，则五边形ABCDE的面积为_______。

全等三角形常见五种辅助线添法专训(学生版)

全等三角形常见五种辅助线添法专训【目录】辅助线添法一倍长中线法辅助线添法二截长补短法辅助线添法三旋转法辅助线添法四作平行线法辅助线添法五作垂线法【经典例题一倍长中线法】【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．【常见模型】1(2023春·吉林·八年级校考阶段练习)【阅读理解】数学兴趣小组活动时，老师提出如下问题：如图1，在△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明提出了如下解决方法，延长线段AD至点E，使DE=AD，连接BE．请根据小明的方法回答下列问题．(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A.SSSB.SASC.AASD.HL(2)探究得出AD的取值范围．A.6<AD<8B.6≤AD≤8C.1<AD<7D.1≤AD≤7【问题解决】(3)如图2，在△ABC中，CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE．【变式训练】1(2022秋·甘肃庆阳·八年级校考期末)小明遇到这样一个问题，如图1，△ABC中，AB=7，AC=5，点D为BC的中点，求AD的取值范围．小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长AD到E，使DE=AD，连接BE，构造△BED≅△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：(1)小明证明△BED≅△CAD用到的判定定理是：(用字母表示)；(2)AD的取值范围是；(3)小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在△ABC中，AD为BC边上的中线，且AD平分∠BAC，求证：AB= AC．2(2023·江苏·八年级假期作业)(1)如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接CE．①证明△ABD≌△ECD；②若AB=5，AC=3，设AD=x，可得x的取值范围是；(2)如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF>EF．3(2023·江苏·八年级假期作业)【观察发现】如图①，△ABC 中，AB =7，AC =5，点D 为BC 的中点，求AD 的取值范围．小明的解法如下：延长AD 到点E ，使DE =AD ，连接CE ．在△ABD 与△ECD 中BD =DC∠ADB =∠EDCAD =DE∴△ABD ≅△ECD (SAS )∴AB =．又∵在△AEC 中EC -AC <AE <EC +AC ，而AB =EC =7，AC =5，∴<AE <．又∵AE =2AD ．∴<AD <．【探索应用】如图②，AB ∥CD ，AB =25，CD =8，点E 为BC 的中点，∠DFE =∠BAE ，求DF 的长为．(直接写答案)【应用拓展】如图③，∠BAC =60°，∠CDE =120°，AB =AC ，DC =DE ，连接BE ，P 为BE 的中点，求证：AP ⊥DP ．【经典例题二截长补短法】【模型分析】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系．截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段．该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法(往往需证2次全等)．【模型图示】(1)截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段．例：如图，求证BE+DC=AD方法：①在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC；②在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE (2)补短：将短线段延长，证与长线段相等例：如图，求证BE+DC=AD方法：①延长DC至点M处，使CM=BE，证DM=AD；②延长DC至点M处，使DM=AD，证CM=BE1(2023·江苏·八年级假期作业)把两个全等的直角三角形的斜边重合，组成一个四边形ACBD以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N．(1)若∠ACD=30°，∠MDN=60°，∠MDN两边分别交AC、BC于点M、N，AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；(2)当∠ACD+∠MDN=90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；(3)如图③，在(2)的条件下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系(直接写出结论，不必证明)【变式训练】1(2023·江苏·八年级假期作业)已知：如图，在△ABC中，∠B=60°，D、E分别为AB、BC上的点，且AE、CD交于点F．若AE、CD为△ABC的角平分线．(1)求∠AFC的度数；(2)若AD=6，CE=4，求AC的长．2(2023·江苏·八年级假期作业)在△ABC中，∠ACB=2∠B，如图①，当∠C=90°，AD为∠BAC的平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD．(1)如图②，当∠C≠90°，AD为△ABC的角平分线时，线段AB，AC，CD之间又有怎样的数量关系？不需要说明理由，请直接写出你的猜想.(2)如图③，当∠ACB≠90°，AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想进行说明.3(2023·江苏·八年级假期作业)如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，点E、F分别在直线BC、CD上，且∠EAF=12∠BAD．(1)当点E、F分别在边BC、CD上时(如图1)，请说明EF=BE+FD的理由．(2)当点E、F分别在边BC、CD延长线上时(如图2)，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出EF、BE、FD之间的数量关系，并说明理由．【经典例题三旋转法】【模型分析】旋转：将包含一条短边的图形旋转，使两短边构成一条边，证与长边相等．注：旋转需要特定条件(两个图形的短边共线)，该方法常在半角模型中使用．【模型图示】例：如图，已知AB=AC，∠ABM=∠CAN=90°，求证BM+CN=MN方法：旋转△ABM至△ACF处，证NE=MN1(2022秋·湖北孝感·八年级统考期中)已知：△ABC≌△DEC，∠ACB=90°，∠B=32°．(1)如图1当点D在AB上，∠ACD．(2)如图2猜想△BDC与△ACE的面积有何关系？请说明理由．(温馨提示：两三角形可以看成是等底的)【变式训练】1(2023春·全国·八年级专题练习)(1)如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF=45°，连接EF，探究BE、DF、EF之间的数量关系，并说明理由；(2)如图②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF= 1∠BAD，此时(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由．22(2021秋·天津和平·八年级校考期中)在△BAC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于E，(1)如图(1)所示，若B，C在AE的异侧，易得BD与DE，CE的关系是DE=；(2)若直线AE绕点A旋转到图(2)位置时，(BD<CE)，其余条件不变，问BD与DE，CE的关系如何？请予以证明；(3)若直AE绕点A旋转到图(3)的位置，(BD>CE)，问BD与DE，CE的关系如何？请直接写出结果，不需证明．3(2021秋·河南周口·八年级统考期末)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB．(1)操作发现如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为；线段BD、AB、EB的数量关系为；(2)猜想论证当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明；(3)拓展延伸若AB=5，BD=7，请你直接写出△ADE的面积．【经典例题四作平行线法】2(2022秋·江苏·八年级专题练习)如图所示：△ABC是等边三角形，D、E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交BC于点M．求让：MD=ME【变式训练】4(2022秋·江苏·八年级专题练习)P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA =CQ，连PQ交AC边于D．(1)证明：PD=DQ．(2)如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB=6，求DE的长．5(2022秋·八年级课时练习)读下面的题目及分析过程,并按要求进行证明．已知:如图,E是BC的中点,点A在DB上,且∠BAE=∠CDE,求证:AB=CD分析:证明两条线段相等,常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质,观察本题中要证明的两条线段,它们不在同一个三角形中,且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此,要证明AB =CD,必须添加适当的辅助线,构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法,请任意选择其中两种对原题进行证明．图(1):延长DE到F使得EF=DE图(2):作CG⊥DE于G,BF⊥DE于F交DE的延长线于F图(3):过C点作CF∥AB交DE的延长线于F.6(2023春·全国·七年级专题练习)已知在等腰△ABC中，AB=AC，在射线CA上截取线段CE，在射线AB上截取线段BD，连接DE，DE所在直线交直线BC与点M．请探究：(1)如图(1)，当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD=CE，请判断线段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论．(2)如图(2)，当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD=CE，则(1)中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由；(3)如图(3)，当点E在CA的延长线上，点D在线段AB上(点D不与A，B重合)，DE所在直线与直线BC交于点M，若CE=2BD，请直接写出线段MD与线段ME的数量关系．【经典例题五作垂直法】1(2022秋·湖北武汉·八年级统考期中)我们定义：三角形一个内角的平分线所在的直线与另一个内角相邻的外角的平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．(1)如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角．①直接写出∠E与∠A的数量关系；②连接AE，猜想∠BAE与∠CAE的数量关系，并说明理由．(2)如图2，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点E在BD的延长线上，连CE，若已知DE=DC =AD，求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．【变式训练】1(2022秋·八年级课时练习)如图1，已知四边形ABCD，连接AC，其中AD⊥AC，BC⊥AC，AC =BC，延长CA到点E，使得AE=AD，点F为AB上一点，连接FE、FD，FD交AC于点G．(1)求证：△EAF≌△DAF；(2)如图2，连接CF，若EF=FC，求∠DCF的度数．已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE．求证：AB=CD．分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．(1)现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．①如图1，延长DE到点F，使EF=DE，连接BF；②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G．(2)请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE．求证：AB=CD．分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形请用二种不同的方法证明．【重难点训练】4(2023·江苏·八年级假期作业)如图，AD为△ABC中BC边上的中线(AB>AC)．(1)求证：AB-AC<2AD<AB+AC；(2)若AB=8cm，AC=5cm，求AD的取值范围．5(2023·江苏·八年级假期作业)如图1，在△ABC中，若AB=10，BC=8，求AC边上的中线BD的取值范围．(1)小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE=BD，连接CE，可证得△CED≌△ABD．①请证明△CED≌△ABD；②中线BD的取值范围是．(2)问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB=BM，BC=BN，∠ABM=∠NBC=∠90°，连接MN．请写出BD与MN的数量关系，并说明理由．6(2023春·全国·七年级专题练习)【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE．请根据小明的方法思考：(1)如图2，由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A.SSSB.SASC.AASD.ASA(2)如图2，AD长的取值范围是．A.6<AD<8B.6≤AD≤8C.1<AD<7D.1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．【问题解决】(3)如图3，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE=EF．求证：AC=BF．7(2023·江苏·八年级假期作业)(1)如图1，已知△ABC中，AD是中线，求证：AB+AC>2AD；(2)如图2，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，求证：AB+AC>AD+AE；(3)如图3，在△ABC中，D，E在边BC上，且BD=CE．求证：AB+AC>AD+AE．8(2023·江苏·八年级假期作业)课堂上，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且AB+BD=AC，求证：∠ABC=2∠ACB，小明的方法是：如图2，在AC上截取AE，使AE=AB，连接DE，构造全等三角形来证明．(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段AB构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长AB至F，使BF=，连接DF请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；(2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：如图3，点D在△ABC的内部，AD，BD，CD分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，且AB+BD=AC．求证：∠ABC=2∠ACB．请你解答小芸提出的这个问题(书写证明过程)；(3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：如果在△ABC中，∠ABC=2∠ACB，点D在边BC上，AB+BD=AC，那么AD平分∠BAC小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．9(2023春·江苏·八年级专题练习)如图，在锐角ΔABC中，∠A=60°，点D，E分别是边AB,AC上一动点，连接BE交直线CD于点F．(1)如图1，若AB>AC，且BD=CE,∠BCD=∠CBE，求∠CFE的度数；(2)如图2，若AB=AC，且BD=AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF,CF,CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想．10(2023·江苏·八年级假期作业)问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB=AD．∠BAD=120°．∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC．CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．(1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；(直接写结论，不需证明)探索延伸：(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADF=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，(1)中结论是否仍然成立，并说明理由；(3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=12∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请直接写出它们之间的数量关系．11(2023·全国·九年级专题练习)(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，线段EF、BE、FD之间的关系是；(不需要证明)(2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．(3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=12∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．12(2023春·全国·七年级期末)(1)问题引入：如图1，点F是正方形ABCD边CD上一点，连接AF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°与△ABG重合(D与B重合，F与G重合，此时点G，B，C在一条直线上)，∠GAF的平分线交BC于点E，连接EF，判断线段EF与GE之间有怎样的数量关系，并说明理由．(2)知识迁移：如图2，在四边形ABCD中，∠ADC+∠B=180°，AB=AD，E，F分别是边BC，CD延长线上的点，连接AE，AF，且∠BAD=2∠EAF，试写出线段BE，EF，DF之间的数量关系，并说明理由．(3)实践创新：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC平分∠DAB，点E在AB上，连接DE，CE，且∠DAB=∠DCE=60°，若DE=a，AD=b，AE=c，求BE的长．(用含a，b，c的式子表示)13(2022秋·八年级课时练习)如图，点P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，AP=CQ，PQ交AC于D，(1)求证：DP=DQ；(2)过P作PE⊥AC于E，若BC=4，求DE的长．14(2022秋·全国·八年级专题练习)如图，在△ABC中，AC=BC，AD平分∠CAB．(1)如图1，若ACB=90°，求证：AB=AC+CD；(2)如图2，若AB=AC+BD，求∠ACB的度数；(3)如图3，若∠ACB=100°，求证：AB=AD+CD．15(2023·全国·九年级专题练习)通过类比联想、引申拓展典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．【解决问题】如图，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，∠EAF =45°，连接EF ，则EF =BE +DF ，试说明理由．证明：延长CD 到G ，使DG =BE ，在△ABE 与△ADG 中，AB =AD∠B =∠ADG =90°BE =DG∴△ABE ≌△ADG 理由：(SAS )进而证出：△AFE ≌___________，理由：(__________)进而得EF =BE +DF ．【变式探究】如图，四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =90°点E 、F 分别在边BC 、CD 上，∠EAF =45°．若∠B 、∠D 都不是直角，则当∠B 与∠D 满足等量关系________________时，仍有EF =BE +DF ．请证明你的猜想．【拓展延伸】如图，若AB =AD ，∠BAD ≠90°，∠EAF ≠45°，但∠EAF =12∠BAD ，∠B =∠D =90°，连接EF ，请直接写出EF 、BE 、DF 之间的数量关系．。

沪教版八年级(上)数学秋季课程第16讲添加辅助线

当几何题难以证明或者比较繁时，可以考虑添加辅助线，帮助解题，添加辅助线的目的是把分散的条件集中到一个三角形或者两个三角形中，构造出全等三角形或者等腰三角形，运用它们的判定或者性质解决问题，本节主要是对几何证明做一总结和拓展．1、常用的辅助线有：（1）联结两个点得到线段；（2）过某一点做平行线或者垂线；（3）延长某一条线段，构造特殊的三角形．辅助线的添加知识结构模块一：根据图形补形添线知识精讲内容分析【例1】如图，已知AD ∥BC ，∠B =∠C ，求证：AB =CD ．下列添加辅助线不正确的是（）．A ．延长BA 、CD 交于点E ；B ．过点A 、D 作AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ； C ．联结AC 、BD ；D ．过点B 、C 作BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，垂足分别为E 、F ．【例2】如图，AB =AD ，BC =CD ，求证：∠ABC =∠ADC ．【例3】如图，五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC =DE ，∠ABC =∠AED ，求证：∠BCD =∠EDC ．【例4】如图，AB ∥EF ，∠B +∠C +∠D +∠E =____________．例题解析ABCDB CDAABCDEA BC D EF【例5】如图，△ABC 中，点D 是BC 的中点，过点D 的直线交AB 于点E ，交AC 的延长线于点F ，且BE =CF ．求证：AE=AF ．【例6】如图，已知△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，CE ⊥BD 交BD 的延长线于点E ，求证：BD=2CE ．【例7】如图，在△ABC 中，CE 是∠ACB 的平分线，AF ⊥CE 于点F ，求证：∠CAF =∠EAF +∠ABC ．【例8】如图，△ABC 中，点D 、E 分别在BC 、AC 的延长线上，且C 是AE 的中点，∠B +∠D =180°，求证：AB =DE ．ABCD EFAB CDE ABCDEABCEF【例9】两个全等的含30°、60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME、MC，试判断△EMC 的形状，并求证．BM【例10】如图，△ABC中，BD、CE相交于点O，∠1=∠2=12∠A，求证：BE=CD．【例11】如图，在直角△ABC和直角△ADE中，∠C=∠E =90°，BC=DE，∠BAE=∠DAC，BC与DE交于点F，求证：BF=DF．【例12】如图，已知在△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AB=a，在线段AC上有动点M，在射线CB上有动点N，且AM=BN，连接MN交AB于点P．（1）当点M在边AC（与点A、C不重合）上，线段PM与线段PN之间有怎样的大小关系?试证明你的结论．（2）过点M作边AB的垂线，垂足为点Q，随着M、N两点的移动，线段PQ的长能确定吗?若能确定，请求出PQ的长；若不能确定，请简要说明理由．【例13】已知：如图，△ABC是等边三角形，BD=DC，∠BDC=120°，∠MDN=60°，求证：23AMN ABCC C∆∆=．ABCPNMABCDEFAB CDMNAB CDEQ12【例14】如图，正方形ABCD中，E、F分别是AD、DC上的点，且∠EBF = 45°，（1）求证：AE +CF = EF；（2）若BF=103，BC=1，求BE的长．AB CDEF常做辅助线：遇到中点，通过倍长中线构造全等的三角形．【例15】已知，如图△ABC 中，AB =5，AC =3，则中线AD 的取值范围是_______．【例16】如图，△ABC 中，BD =DC =AC ， E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE ．例题解析知识精讲模块二：倍长中线AB CD AB CD E【例17】已知：如图，AD 是△ABC 的BC 边上的中线，且BE =AC ，延长BE 交AC 于点F ．求证：AF =EF ．【例18】已知：如图，AD 是△ABC 的中线，AB = BD ，点E 在BD 上且BE =ED ．求证：AC =2AE ．【例19】已知，如图，在△ABC 外作正方形ABDE 和ACGF ，M 是BC 的中点．求证：12AM EF ．【例20】已知：如图，在△ABC 中，BD=DC ，ED ⊥DF ．求证：BE +CF >EF ．ABCDE ABCDEMGFABCDEFABCDEF【例21】已知：如图，点M 是△ABC 的边BC 的中点，射线ME 、MF 互相垂直，且分别交AB 、AC 于E 、F 两点，连接EF ．（1）求证：线段BE 、CF 、EF 能够成一个三角形；（2）若∠A =120°，且BE =CF ，试判断BE 、CF 、EF 所构成三角形的形状，并证明．ABCM EF遇到与角平分线相关的题目，以角平分线为对称轴进行翻折，构造全等的三角形．【例22】如图，在三角形ABC 中，O 是AC 边上的一点，过点O 作MN ∥BC ，交∠ACB的平分线于点E ，交∠ACB 的邻补角的平分线于点F ，求证：OE =OF ．【例23】如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA ，AD =CD ，BD 平分ABC ∠，求证：︒=∠+∠180C A ．【例24】如图，已知AD 是△ABC 的角平分线，∠B =2∠C ．求证：AB +BD =AC ．例题解析模块三：角平分线翻折知识精讲ABCDEOFACBNMABCD【例25】如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，并且1+2AE AB AD （），求∠ABC +∠ADC 等于多少度?【例26】如图，已知在△ABC 中，∠B =60°，△ABC 的角平分线AD 、CE 相交于点O ，求证：OE =OD ．【例27】如图所示，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，M 是BC 的中点，MF //DA交BA 的延长线于点E ，交AC 于点F ，求证：BE =CF ．【例28】已知：Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ，AE 平分∠CAB 交CD 于F ，ABCDEABCD EOABCDE FMCEFH过F作FH∥AB，交BC于H．求证：CE=BH．（提示：平行四边形的对边相等，对角相等）【习题1】如图，在△ABC 中，∠A =120°∠ABC =∠C ，BD 是∠ABC 的角平分线，如果将△ABD 沿BD 翻折过来，点A 与BC 边上的点E 重合，那么△CDE 是___________三角形．【习题2】如图，已知AC =BD ，∠D =∠C ，求证：∠A =∠B ．【习题3】如图，在三角形ABC 中，∠ABC =2∠C ，AD ⊥BC ，求证：AB +BD =DC ．【习题4】如图，AD 是△ABC 的角平分线，AC =AB +BD ，∠C =30°．求∠BAC 的度数．随堂检测ABCDEAB CD A BC DA B C D【习题5】以△ABC 的边AB 、AC 为边分别向外作正方形ABDE 、ACGF ，DP ⊥BC 于点P ，GQ ⊥BC 于点Q ，求证：DP +GQ =BC ．【习题6】已知：如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、DC 上的点，且AE +CF =EF ，求证：∠EBF =45°．【习题7】已知，如图，D 为等边△ABC 内一点，DA =DC ，P 为等边△ABC 外一点，PC =AC ，且CD 平分∠BCP ，求∠P 的度数．【习题8】如图，在△ABC 中，AC BC =，∠C =90°，AD ⊥BD 交于点D ，BD 与AC相交于点E ，当BE =2AD 时，求证：BD 平分ABC ∠．ACBDEFGQPABCDEFABCDPABCD E【习题9】如图，已知在正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，BF =CD +DF ，若∠ABE 为，求∠CBF 的度数．【习题10】在△ABC 中，AB =AC ，D 是△ABC 外一点，且∠ABD =60°，∠ACD =60°．求证：BD +DC=AB ．【习题11】如图，在△ABC 中，E 是BC 边上一点，点D 在BC 的延长线上且CD =AB ，∠BAE =∠D ，AC 平分∠EAD ．求证：AD =2AE ．A BCDABCDEFABC DE【作业1】如图，将△ABC 的中线AD 加倍到点E ，联结CE 后，以下结论错误的是（）．A ．ABD ECD △△；B ．AD =DC ； C ．CE =AB ；D ．AB ∥CE ．【作业2】已知：AD 是△ABC 的角平分线，∠C =2∠B ，将△ACD 沿AD 翻折，点C 落在AB 边上的E 处，△EBD 是____________；AB 、AC 、CD 之间的数量关系是_____________．【作业3】已知：在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ．求证：AB =AC +CD ．【作业4】已知△ABC 和△BDE 均为等边三角形，求证：BD +DC =AD ．课后作业AB CDA BCDABC DACBD E【作业5】已知直角△ABC 中，∠CAB=90°点D 、E 在边BC 上，∠CAE =∠B ，E 是CD的中点，且AD 平分∠BAE ；求证：BD =AC ．【作业6】如图，已知点C 是AB 的中点，点E 在CD 上，AE =BD ，求证：∠AEC =∠CDB ．【作业7】已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 是AB 上一点，E 是AC 延长线上一点，联结DE 交BC 于点M ，DM =ME ，求证：BD=CE ．【作业8】已知，如图，△ABC 的角平分线AD 、BE 相交于点F ，∠C =60°，求证：AB =AE +BD ．A B CD E ABCDMEABCDE FA BCDE【作业9】如图，已知在△ABC 中，BD 、CE 相交于点Q ，BE =CD ，∠1=∠2．求证：∠A =2∠1．【作业10】如图所示，正方形ABCD 中，∠EAF =45°，AP ⊥EF 于点P ，求证：AP =AB ．【作业11】以△ABC 的边AB 、AC 为边分别向外作正方形ABEF 、ACGH ，联结FH ，AD ⊥BC 于点D ，延长DA 交FH 于点M ．求证：（1）FM =MH ；（2）BC =2AM ．ABCDEQ12 ABC DEFGHMA B C DE F P。

初二数学上册三角形全等辅助线添加6道真题

初二数学上册三角形全等辅助线添加6道真题三角形全等性质，怎么证明三角形全等？是初中数学里的一个基础常用知识点，重点，也是一个难点。

在后面的几何学习中，经常需要用到三角形全等的知识来解决问题。

所以，熟练掌握三角形全等的性质和判定定理，显得尤为重要。

直接根据条件和图形，可以证明两个三角形全等的题型，估计大多数同学都能做出来。

但是有些题目和图形，需要添加辅助线，很多同学就显得有些艰难。

证明三角形全等，怎么添加辅助线？这6道真题解析抓紧掌握！这6道题，题目不难，但是包括了几种常用的添加辅助线的类型和方法，同学们举一反三，多思考多总结。

第1题，连接AC和AD，构造两个全等三角形，对应边相等得到一个等腰三角形。

根据等腰三角形的三线合一的性质，证明出结论。

第2题，等腰直角三角形，斜边上的中点，一般连接斜边的中线，得到三条边相等，得几个45°角相等。

这是这一类题型的辅助线添加的方法。

第3题，这个辅助线的作法和倍长法有点类似，但若只是倍长，就找不到角相等。

那么做平行线，就有内错角相等，再根据题意的其他条件，得出两个三角形全等。

第4题，要求证明BD平分∠ABC，第一想到的是角平分线的性质的逆定理。

过点D做角两边的垂线，构造两个三角形全等，得到点到角两边的距离相等。

如果这道题，要求大家换一个思路添加辅助线，同学们认真思考一下，看要怎么证明？比如在NC上截取NE=BM。

第5题，这类证明一条线段等于几条线段之和的题型，就是想办法添加辅助线，进行相等的线段进行代换，把几条线段放到一条线段上。

那么线段相等，一般就是需要构造三角形全等。

第6题，就是我们最常见的倍长中线法，构造三角形全等。

这个倍长中线的辅助线添加方法，在很多的题型中，都用得到。

对于很多学生来说，数学成绩一直是困扰他们的最大难题。

其中，几何、代数的出现，更是难上加难。

尤其是几何这块，可以说是很多学生永远都迈不过去的槛。

事实上，初中数学知识点虽然很多，但都比较简单。

巧添辅助线解证几何题

龙源期刊网
巧添辅助线解证几何题
作者：倪小芳
来源：《数理化学习·初中版》2013年第06期
在几何证明或计算问题中，经常需要添加必要的辅助线，它的目的可以归纳为以下三点：一是通过添加辅助线，使图形的性质由隐蔽得以显现，从而利用有关性质去解题；二是通过添加辅助线，使分散的条件得以集中，从而利用它们的相互关系解题；三是把新问题转化为已经解决过的问题加以解决.值得注意的是辅助线的添加目的与已知条件和所求结论有关.下面我们分别举例加以说明.
一、倍角问题
二、中点问题
三、线段的和差问题
四、垂线段问题
五、梯形问题
[江苏省金坛市第五中学（213200）]。

辅助线证明题三角形全等

做辅助线证明三角形全等1、如图，等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AD 为腰CB 上的中线，CE ⊥AD 交AB 于E ．求证∠CDA ＝∠EDB ．2、在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，CE 是角平分线，和高AD 相交于F ，作FG ∥BC 交AB 于G ，求证：AF ＝BG ．3、如图，已知△ABC 是等边三角形，∠BDC ＝120º，说明AD=BD+CD 的理由4、如图，在△ABC 中，AD 是中线，BE 交AD 于F,且AE=EF,说明AC=BF 的理由5、如图，在△ABC 中，∠ABC=100º，AM=AN,CN=CP,求∠MNP 的度数C 1 2 A B CD E6、用两个全等的等边三角形△ABC 和△ACD 拼成菱形ABCD.把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A 重合，两边分别与AB 、AC 重合.将三角尺绕点A 按逆时针方向旋转.（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC 、CD 相交于点E 、F 时（如图所示），通过观察或测量BE 、CF 的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；B（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC 、CD 的延长线相交于点E 、F 时（如图所示），你在（1）中得到的结论还成立吗？说明理由。

B7、.在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．（1）当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE =AD ＋BE ；（2）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE =AD －BE ；（3）当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE ，AD ，BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．C B A ED 图1 N M A B C DE M N 图2 A C B E D N M 图3。

第13章轴对称含辅助线证明题专题训练1 人教版数学八年级上册

人教版数学八年级上册第十三章轴对称含辅助线证明题专题训练11.如图所示，等边△ABC中，AD⊥BC于D，点P是AB边上的任意一点（点P可以与点A重合，但不与点B重合），过点P作PE⊥BC，垂足为点E，过点E作EF⊥AC，垂足为点F．（1）求证：2BD＝2CF+BE；（2）若AB＝4，过F作FQ⊥AB，垂足为Q，PQ＝1，求BP的长．2.如图，等腰直角△ABC中，CA=CB，点E为△ABC外一点，CE=CA，且CD平分∠ACB交AE于D，且∠CDE=60°．（1）求证：△CBE为等边三角形；（2）若AD=5，DE=7，求CD的长．3.已知等边△ABC的边长为4cm,点P,Q分别是直线AB,BC上的动点.(1)如图,当点P从顶点A沿AB向B点运动,点Q同时从顶点B沿BC向C点运动时,它们的速度都为1cm/s,到达终点时停止运动.设它们的运动时间为t秒,连接AQ,PQ.(i)当t=2时,求∠AQP的度数;(ii)当t为何值时,△PBQ是直角三角形?(2)如图,当点P在BA的延长线上,Q在BC上时,若PQ=PC,请探究AP,CQ和AC之间的数量关系,并说明理由.4.如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在坐标轴上，A，B两点关于y轴对称，点C是y轴正半轴上一个动点，AD是角平分线．(1)如图1，若∠ACB=90°，直接写出线段AB，CD，AC之间数量关系；(2)如图2，若AB=AC+BD，求∠ACB的度数；(3)如图2，若∠ACB=100°，求证：AB=AD+CD．5.如图,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BD,BD平分∠ABC,AE⊥BD于E,P为线段AD上一动点．（1）求∠DAE；（2）当P到BD的距离为1,到AB的距离为2时,求AE的长；（3）当P运动至CE延长线上时,连结BP,求证：BP⊥AD．6.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在△ABC内，BD＝BC，∠DBC＝60°，点E在△ABC外，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°．（1）求∠ADB的度数；（2）判断△ABE的形状并加以证明；（3）连接DE，若DE⊥BD，DE＝8，求AD的长．7.如图，△ABC中，AB=AC，点D为△ABC外一点，DC与AB交于点O，且∠BDC=∠BAC．（1）求证：∠ABD=∠ACD；（2）作AM⊥CD于M，求证：BD+DM=CM．8.如图，△ABC是等边三角形，D、E为AC上两点，且AE=CD，延长BC至点F，使CF=CD，连接BD．（1）如图1，当D、E两点重合时，求证：BD=DF；（2）延长BD与EF交于点G．①如图2，求证：∠BGE=60°；②如图3，连接BE，CG．若∠EBD=30°，BG=4，则△BCG的面积为______．9.已知：如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BP与AC边的垂直平分线PQ交于点P，过点P分别作PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，若BE=10cm，AB=6cm，求CE的长．10.（12分）在ΔABC中，∠B=60∘，D是BC上一点，且AD=AC．（1）如图1，延长BC至E，使CE=BD，连接AE．求证：AB=AE；（2）如图2，在AB边上取一点F，使DF=DB，求证：AF=BC；（3）如图3，在（2）的条件下，P为BC延长线上一点，连接PA，PF，若PA=PF，猜想PC与BD的数量关系并证明．11.（1）老师在课上给出了这样一道题目：如图1，等边△ABC边长为2，过AB边上一点P作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，且AP＝CQ，连接PQ交AC于D，求DE的长．小明同学经过认真思考后认为，可以通过过点P作平行线构造等边三角形的方法来解决这个问题．请根据小明同学的思路直接写出DE的长．（2）【类比探究】老师引导同学继续研究：1)等边△ABC边长为2，当P为BA的延长线上一点时，作PE⊥CA的延长线于点E，Q为边BC上一点，且AP＝CQ，连接PQ交AC于D．请你在图2中补全图形并求DE的长．2)已知等边△ABC，当P为AB的延长线上一点时，作PE⊥射线AC于点E，Q为___（①BC边上；②BC的延长线上；③CB的延长线上）一点，且AP＝CQ，连接PQ 交直线AC于点D，能使得DE的长度保持不变．（将答案的编号填在横线上）12.如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连结OB，OC，若△ADE的周长为6cm，△OBC的周长为16cm．(1)求线段BC的长；(2)连结OA，求线段OA的长；(3)若∠BAC=120°，求∠DAE的度数．13.已知，在等边△ABC中，E为BC上一点，连接AE并延长，在AE的延长线取一点D，连接BD、CD，使得∠BDC=120°．（1）如图1，求证：DA平分∠BDC；（2）如图2，在AC上取点F，使得CE=AF，连接BF交AD于点G，点M为GD 的中点，当ME=FG时，BD=8，求AD的长．14.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=α，∠BCD=180∘−α，BD平分∠ABC．（1）如图，若α=90∘，根据教材中一个重要性质直接可得DA=CD，这个性质是_______（2）问题解决：如图，求证AD=CD；（3）问题拓展：如图，在等腰ΔABC中，∠BAC=100∘，BD平分∠ABC，求证：BD+AD=BC．15.如图,在等腰三角形△ABC中,AC=BC,D、E分别为AB、BC上一点,∠CDE=∠A.(1)如图,若BC=BD,求证:CD=DE;(2)如图,过点C作CH⊥DE,垂足为H,若CD=BD,EH=1,求DE-BE的值.16.已知，如图AD为△ABC的中线，分别以AB和AC为一边在△ABC的外部作等腰三角形ABE和等腰三角形ACF，且AE=AB，AF=AC，连接EF，∠EAF+∠BAC=180°（1）如图1，若∠ABE=63°，∠BAC=45°，求∠FAC的度数；（2）如图1请探究线段EF和线段AD有何数量关系？并证明你的结论；（3）如图2，设EF交AB于点G，交AC于点R，延长FC，EB交于点M，若点G 为线段EF的中点，且∠BAE=70°，请探究∠ACB和∠CAF的数量关系，并证明你的结论．第10页，共1页。

初中数学几何辅助线经典100题

初中数学几何辅助线经典100题摘要：初中数学几何辅助线经典100题一、几何辅助线的概念和作用1.几何辅助线的定义2.几何辅助线在解题中的作用二、几何辅助线的常见类型及应用1.角平分线2.线段和差3.中点定理4.倍长中线5.相似三角形6.判定条件7.证明定理三、初中数学几何辅助线经典100题1.题目1-102.题目11-203.题目21-304.题目31-405.题目41-506.题目51-607.题目61-708.题目71-809.题目81-9010.题目91-100正文：初中数学几何辅助线经典100题一、几何辅助线的概念和作用几何辅助线是在解决几何问题时，通过在图形上添加一些特殊的线段，来帮助我们更好地理解和解题的一种工具。

它可以将复杂的几何问题简化为更简单的形式，使问题更容易解决。

几何辅助线在解题中的作用主要体现在以下几个方面：1.揭示图形中隐含的性质：通过添加辅助线，将条件中隐含的有关图形的性质充分揭示出来，以便取得过渡性的推论，达到推导出结论的目的。

2.聚拢集中原则：通过添置适当的辅助线，将图形中分散、远离的元素相对集中、聚拢到有关图形上来，使题设条件与结论建立逻辑关系，从而推导出要求的结论。

3.化繁为简原则：对一类几何命题，其题设条件与结论之间在已知条件所给的图形中，通过添加辅助线，将复杂图形转化为简单图形，从而简化问题，使解题更加顺利。

二、几何辅助线的常见类型及应用几何辅助线有很多种，这里我们列举几种常见的类型及其应用：1.角平分线：角平分线是将一个角平分成两个相等的角的线段。

在解题中，我们常常利用角平分线的性质来证明两个角相等或求解某个角的度数。

2.线段和差：线段和差是指通过两个线段的和与差来求解几何问题。

在解题过程中，我们通常利用线段和差的性质来证明线段相等或求解线段的长度。

3.中点定理：中点定理是指在一个线段上，如果有一个点是线段中点，那么这个点到线段两端的距离相等。

在解题中，我们常常利用中点定理来证明线段相等或求解线段的长度。

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几何证明题（添加辅助线）1.已知AB=AE,∠B=∠E,BC=ED,点F是CD的中点，求证AF⊥CD
2.已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2
3.已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC
4.如图所示，在△ABC中，AB=AC，在AB边上取点D，在AC的延长线上取点E，使得BD=CE，连接DE交BC于点G，求证：DG=GE．
5.已知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC D
E
B
2
1
D E
B
A
F A D
C
6.如图所示，P 为∠AOB 的平分线上一点，PC ⊥OA 于C ，•∠OAP+∠OBP=180°，若OC=4cm ，求AO+BO 的值．
7.如图：四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD+BC ，E 是CD 的中点，求证：AE ⊥BE 。

8.已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C
9.已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE
10.如图，AB=AC,∠BAC=900
，∠1=∠2，CE ⊥BE,求证BD=2CE
D
B
C
A
E
A
B
C
D
2
1D
E C A C
O
P
A B
F
E
D C
B
A
11.正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点，BE+DF=EF ，求∠EAF 的度数.
12.已知：如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，点F 在CD 上，∠FAE=∠BAE ．求证：AF=BC+FC ．
13.如图，已知F 是正方形ABCD 的边CD 的中点，点E 在BC 上，且∠DAF=∠EAF 求证：AE=CD+CE
14.△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，D 为BC 中点，E 、F 分别在AC 、AB 上，且DE ⊥DF ，试判断DE 、DF 的数量关系，并说明理由．
15.△ABC 是等腰直角三角形，，∠A=900
，点P 、Q 分别是AB 、AC 上的动点，且满足BP=AQ ，D 是BC 的中点.（1）求证：△PDQ 是等腰直角三角形。

（2）当点p 运动到什么位置时，四边形APDQ 是正方形？说明理由。

D
A
B
E Q
D
C
A
B
P
16.如图，正方形ABCD ，E 是AB 上的一个一点,BE=2,AE=3BE,P 是AC 上的一动点，则PB+PE 的最小值是多少？
17.①（20XX 年崇左）如图13，△ABC 中，D 、F 分别是边BC,AB 的中点，AD 、CF 相交于E ．求证 AD AE =CF CE =31
．
②如图14，△ABC 中，D 是边BC 的中点，F 是AB 上一点，连AD 、CF 相交于E ．求证 ED AE =
FB 2AF
③．如图15，已知△ABC 的高AD 、CF 相交于点E ，求证：AE ·ED=CE ·EF ．
18.①如图16，已知AB=AC ，（1）若CE=BD ，求证：GE=GD ；
（2）若CE=m ·BD （m 为正数），试猜想GE 与GD 有何关系（只写结论，不证明）．
D
B
C
D
C
图16
A
B
D。