圆与二次函数中考压轴题
圆和二次函数综合题
如图，在平面直角坐标系中，以点C（0，4）为圆心，半径为4的圆交y轴正半轴于点A，AB是⊙C的
切线．动点P从点A开始沿AB方向以每秒1个单位长度的速度运动，点Q从O点开始沿x轴正方向
以每秒4个单位长度的速度运动，且动点P、Q从点A和点O同时出发，设运动时间为t（秒）
（1）当t=1时，得P1、Q1两点，求过A、P1、Q1三点的抛物线解析式及对称轴l；
（2）当t为何值时，PC⊥QC；此时直线PQ与⊙C是什么位置关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，（1）中的抛物线对称轴l上存在一点N，使得NP+NQ最小，求出点N的坐标。
如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的圆的圆心O在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点，抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点D，与直线y=x交于点M、N，且MA、NC分别与圆O相切于点A和点C。
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴交x轴于点E，连接DE，并延长DE交圆O于F，求EF的长；
（3）过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P，判断点P是否在抛物线上，说明理由。
如图所示，已知点A的坐标是（-1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半
轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线。
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，连结BD，求直线BD的解析式；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB=∠CBD？如果存在，请求出点P的坐标；如
果不存在，请说明理由。
如图所示，抛物线与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-3），以AB为直径作⊙过抛物在线一点P作⊙M的切线PD切点为D，并与⊙M的切线AE相交于点E，连结DM并延长交⊙M于点连结AN、AD。
（1）求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标；
（2）若四边形EAMD的面积为，求直线PD的函数关系式；
（3）抛物在线是否存在点P，使得四边形EAMD的面积等于△DAN的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存
说明理由。
如图①、②，在平面直角坐标系中，一边长为2的等边三角形CDE恰好与坐标系中的△OAB重合，现奖三角板绕边AB的中点G（G点也是DE的中点），按顺时针方向旋转180°到△C′ED的位置。
（1）求C′点的坐标；
（2）求经过三点O、A、C′的抛物线的解析式；
（3）如图③，⊙G是以AB为直径的圆，过B点作⊙G的切线与x轴相交于点F，求切线BF的解析式；（4）抛物线上是否存在一点M，使得S△AMF：S△OAB=16：3，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理
图1 图2 图3
如图，抛物线m ：y=（x+h ）2+k 与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为C ，顶点为M （3，
将抛物线m 绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为D。
（1）求抛物线n的解析式；
（2）设抛物线n与x 轴的另一个交点为E，点P是线段ED上一个动点（P 不与E 、D 重合），过点P 作y 垂线，垂足为F ，连接EF ．如果P 点的坐标为（x ，y ），△PEF的面积为S，求S 与x的函数关系式，写变量x 的取值范围，并求出S 的最大值；
（3）设抛物线m 的对称轴与x 轴的交点为G ，以G为圆心，A、B两点间的距离为直径作⊙G ，试判断直线与⊙G 的位置关系，并说明理由。
如图1，连接△ABC的各边中点得到一个新的△A1B1C1，又连接△A1B1C1的各边中点得到△A2B2C2，如此无
限继续下去，得到一系列三角形：△ABC，△A1B1C1，△A2B2C2，…。
已知A（0，0），B（3，0），C（2，2）。
（1）求这一系列三角形趋向于一个点M的坐标；
（2）如图2，分别求出经过A，B，C三点的抛物线解析式和经过A1，B1，C1三点的抛物线解析式；
（3）设两抛物线的交点分别为E、F，连接EF、EC1、FC1、EC2、FC2、C1C2，问：C2与△EC1F的关系是什么？（4）如图3，问：A，A2，C，C2四点可不可能在同一条抛物线上，试说明理由。
已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），顶点C（1，-4），与x轴交于A、B两点，A（-1，0）。
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线的对称轴交于E，依次连接A、D、B、E，
点Q为AB上一个动点（Q与A、B两点不重合），过点Q作QF⊥AE于F，QG⊥DB于G，请判断
是否为定值，若是，请求出此定值，若不是，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若点H是线段EQ上一点，过点H作MN⊥EQ，MN分别与边AE、BE相交于
M、N（M与A、E不重合，N与E、B不重合），请判断是否成立，若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由。
如图甲，在平面直角坐标系中，Rt△AOB≌Rt△CDA，且A（-1，0）、B（0，2），抛物线y=ax2+ax-2经过点C。
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线（对称轴的右侧）上是否存在两点P、Q，使四边形ABPQ是正方形？若存在，求点P、Q 的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图乙，E为BC延长线上一动点，过A、B、E三点作⊙O′，连接AE，在⊙O′上另有一点F，且AF=AE，
AF交BC于点G，连接BF，下列结论：①BE+BF的值不变；②，其中有且只有一个成立，请你判断哪一个结论成立，并证明成立的结论。
已知，如图，在平面直角坐标系中，以BC为直径的⊙M交x轴正半轴于点A、B，交y轴正半轴于点E、F，过点C作CD垂直y轴，垂足为点D，连接AM并延长交⊙M于点P，连接PE。
（1）求证：∠FAO=∠EAM；
（2）若二次函数y=﹣x2+px+q的图象经过点B、C、E，且以C为顶点，当点B的横坐标等于2时，四边形OECB的面积是，求这个二次函数的解析式。
如图半径分别为m，n（0＜m＜n）的两圆⊙O1和⊙O2相交于P，Q两点，且点P（4，1），两圆同时与两坐标轴相切，⊙O1与x轴，y轴分别切于点M，点N，⊙O2与x轴，y轴分别切于点R，点H．（1）求两圆的圆心O1，O2所在直线的解析式；
（2）求两圆的圆心O1，O2之间的距离d；
（3）令四边形PO1QO2的面积为S1，四边形RMO1O2的面积为S2．
试探究：是否存在一条经过P，Q两点、开口向下，且在x轴上截得的线段长为
的抛物线？若存在，请求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
已知圆P的圆心在反比例函数图象上，并与x轴相交于A、B两点，且始终与y轴相切于定点C（0，1）。
（1）求经过A、B、C三点的二次函数图象的解析式；
（2）若二次函数图象的顶点为D，问当k为何值时，四边形ADBP为菱形。
圆与二次函数难度题(含答案)
水尾中学中考专项训练（压轴题）谜底之阿布丰王创作1．（四川模拟）如图,Rt △ABC 内接于⊙O ,∠ACB ＝90°,AC ＝23,BC ＝1．以AC 为一边,在AC 的右侧作等边△ACD ,连接BD ,交⊙O 于点E ,连接AE ,求BD 和AE 的长．解：过D 作DF ⊥BC ,交BC 的延长线于F ∵△ACD 是等边三角形∴AD ＝CD ＝AC ＝23,∠ACD ＝60° ∵∠ACB ＝90°,∴∠ACF ＝90°∴∠DCF ＝30°,∴DF ＝12CD ＝3,CF ＝3DF ＝3∴BF ＝BC ＋CF ＝1＋3＝4∴BD ＝BF2＋DF2＝16＋3＝19∵AC ＝23,BC ＝1,∴AB ＝AC2＋BC2＝13 ∵BE ＋DE ＝BD ,∴AB2－AE2＋AD2－AE2＝BD 即13－AE2＋12－AE2＝19 ∴13－AE2＝19－12－AE2两边平方得：13－AE 2＝19＋12－AE 2－219(12－AE2) 整理得：19(12－AE2)＝9,解得AE ＝719572．（四川模拟）已知Rt △ABC 中,∠ACB ＝90°,∠B ＝60°,D 为△ABC 外接圆⊙O 上AC ︵的中点．（1）如图1,P 为ABC ︵的中点,求证：PA ＋PC ＝3PD ；（2）如图2,P 为ABC ︵上任意一点,（1）中的结论还成立吗？请说明理由．D（1）证明：连接AD∵D 为AC ︵的中点,P 为ABC ︵的中点 ∴PD 为⊙O 的直径,∴∠PAD ＝90° ∵∠B ＝60°,∴∠APC ＝60°∵D 为AC ︵的中点,∴∠APD ＝∠CPD ＝30° ∴PA ＝PD ·cos30°＝32PD ∵P 为ABC ︵的中点,∴PA ＝PC ∴PA ＋PC ＝3PD （2）成立 理由如下：延长PA 到E ,使EA ＝PC ,连接DE 、AD 、DC 则∠EAD ＋∠PAD ＝180° ∵∠PCD ＋∠PAD ＝180° ∴∠EAD ＝∠PCD∵D 为AC ︵的中点,∴AD ︵＝CD ︵ ∴AD ＝CD∴△EAD ≌△PCD ,∴ED ＝PD 过D 作DH ⊥PE 于H 由（1）知,∠APD ＝30°∴PH ＝PD ·cos30°＝32PD ,PE ＝2PH ＝3PD∵PA ＋EA ＝PE ,∴PA ＋PC ＝3PD3．（湖北模拟）如图,AB 是⊙O 的直径,PA 、PC 分别切⊙O 于A 、C ,CD ⊥AB 于D ,PB 交CD 于E ．P（1）求证：CE ＝DE ；（2）若AB ＝6,∠APC ＝120（1）证明：连接OP 、OC 、BC ∵PA 、PC 是⊙O 的切线∴PA ＝PC ,∠PAO ＝∠PCO ＝90°又PO ＝PO ,∴Rt △PAO ≌Rt △PCO∴∠POA ＝∠POC ,∴∠AOC ＝2∠POA 又∠AOC ＝2∠ABC ,∴∠POA ＝∠ABC 又∠PAO ＝∠CDB ＝90°,∴△PAO ≌△CDB ∴PA CD ＝OA BD∵∠PAB ＝∠EDB ＝90°,∠PBA ＝∠EBD ∴△PAB ≌△EDB ,∴PA ED ＝BABD∵AB ＝2OA ,∴PA ED ＝2OA BD ＝2PACD∴CD ＝2ED ,∴CE ＝DE（2）解：∵∠APC ＝120°,∠PAO ＝∠PCO ＝90° ∴∠AOC ＝60°,∴∠DCO ＝30° ∵AB ＝6,∴OA ＝OC ＝3∴OD ＝OC ·sin30°＝32,CD ＝OC ·cos30°＝332∴S 阴影＝S 扇形AOC －S △DOCBB＝60×π×32360－12×32×332＝3π2－9384．（上海模拟）如图,⊙O 的半径为6,线段AB 与⊙O 相交于点C 、D ,AC ＝4,∠BOD ＝∠A ,OB 与⊙O 相交于点E ,设OA ＝x ,CD ＝y ．（1）求BD 的长；（2）求y 关于x 的函数关系式,并写出界说域； （3）当CE ⊥OD 时,求AO 的长．解：（1）∵OC ＝OD ,∴∠OCD ＝∠ODC ,∴∠OCA ＝∠ODB ∵∠BOD ＝∠A ,∴△OBD ∽△AOC ,∴BD OC ＝ODAC∵OC ＝OD ＝6,AC ＝4,∴BD 6＝64,∴BD ＝9（2）∵△OBD ∽△AOC ,∴∠AOC ＝∠B 又∵∠A ＝∠A ,∴△ACO ∽△AOB ,∴AB AO ＝AOAC∵AB ＝AC ＋CD ＋BD ＝y ＋13,∴y ＋13x ＝x4∴y ＝14x 2－13∵0＜y ＜8,∴0＜14x 2－13＜12,解得213＜x ＜10∴界说域为213＜x ＜10（3）∵OC ＝OE ,CE ⊥OD ．∴∠COD ＝∠BOD ＝∠A∴∠AOD ＝180º－∠A －∠ODC ＝180º－∠COD －∠OCD ＝∠ADOABDCEOABDCE O∴AD ＝AO ,∴y ＋4＝x ,∴14x 2－13＋4＝x∴x ＝2±210（舍去负值） ∴AO ＝2±2105．（北京模拟）如图,抛物线y ＝2m x 2－2x 与x 轴负半轴交于点A ,极点为B ,且对称轴与x 轴交于点C ．（1）求点B 的坐标（用含m 的代数式暗示）；（2）D 为BO 中点,直线AD 交y 轴于E ,若点E 的坐标为（0,2）,求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下,点M 在直线BO 上,且使得△AMC 的周长最小,P 在抛物线上,Q 在直线 BC 上,若以A 、M 、P 、Q 为极点的四边形是平行四边形,求点P 的坐标．解：（1）∵y ＝2m x 2－2x ＝2m (x －12m )2－12m∴抛物线的极点B 的坐标为（12m ,－12m ） （2）令2m x 2－2x ＝0,解得x 1＝0,x 2＝m∵抛物线y ＝2m x 2－2x 与x 轴负半轴交于点A ∴A （m ,0）且m ＜0. 过点D 作DFx 轴于F由D 为BO 中点,DF ∥BC ,可得CF ＝FO ＝12COA B C DOy x EA BC O yx 备用图 AB C DOyxEF∴D ＝12BC由抛物线的对称性得AC ＝OC ,∴AF AO ＝34∵DF ∥EO ,∴△ADF ∽△AEO ,∴DF EO ＝AFAO由E （0,2）,B （12m ,－12m ）,得OE ＝2,DF ＝－14m∴－14m 2＝34,∴m ＝－6∴抛物线的解析式为y ＝－13x 2－2x（3）依题意,得A （－6,0）,B （－3,3）,C （－3,0） 可得直线OB 的解析式为y ＝－x ,直线BC 为x ＝－3作点C 关于直线BO 的对称点C 1（0,3）,连接AC 1交BO 于M ,则M 即为所求由A （－6,0）,C 1（0,3）,可得直线AC 1的解析式为y ＝12x ＋3由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋3y ＝－x解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝2∴点M 的坐标为（－2,2）由点P 在抛物线y ＝－13x 2－2x 上,设P （t ,－13t 2－2①当AM 为平行四边形的一边时如右图,过M 作MG ⊥x 轴于G ,过P 作PH ⊥BC 于H 则x G ＝x M ＝－2,x H ＝x B ＝－3可证△AMG ≌△PQH ,得PH ＝AG ＝4 ∴t －(－3)＝4,∴t ＝1 ∴P 1（1,－73）如右图,同理可得PH ＝AG ＝4 ∴－3－t ＝4,∴t ＝－7 ∴P 2（－7,－73）②当AM 为平行四边形的对角线时如右图,过M 作MH ⊥BC 于H ,过P 作PG ⊥x 轴于G 则x H ＝x B ＝－3,x G ＝x P ＝t可证△APG ≌△MQH ,得AG ＝MH ＝1 ∴t －(－6)＝1,∴t ＝－5 ∴P 3（－5,53）综上,点P 的坐标为P 1（1,－73）,P 2（－7,－73）,P 36．（上海模拟）已知：如图,直线y ＝x －15与x 轴、y 轴分别相交于点A 和点B ,抛物线y ＝－13x 2＋bx ＋c 经过A 、B 两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）若该抛物线的极点为点D ,与x 轴的另一个交点为点C ,对称轴与x 轴交于点H ,求△DAC 的面积；（3）若点E 是线段AD 的中点,CE 与DH 交于点G ,点P 在y 轴的正半轴上,△POH 是否能够与△CGH 相似？如果能,请求出点P 的坐标；如果不能,请说明理由．解：（1）由题意,得A （15,0）,B （0,－15） ∵抛物线y ＝－13x 2＋bx ＋c 经过A 、B 两点∴⎩⎪⎨⎪⎧－13×152＋15b ＋c ＝0c ＝－15解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝6c ＝－15∴抛物线的解析式为y ＝－13x 2＋6x －15（2）∵y ＝－13x 2＋6x －15＝－13(x －9)2＋12∴极点D 的坐标为（9,12） 设y ＝0,则－13(x －9)2＋12＝0∴(x －9)2＝36,∴x 1＝3,x 2＝15 ∴C （3,0）,∴AC ＝15－3＝12 ∴S △DAC ＝12AC ·DH ＝12×12×12＝72（3）∵点E 是线段AD 的中点,点H 是线段AC 的中点 ∴点G 是△DAC 的重心.,∴GH ＝13DH ＝4①若PO GH ＝OHCH ,则△HPO ∽△CGH∴PO 4＝96,∴PO ＝6∴P 1（0,6）②若PO CH ＝OHGH ,则△PHO ∽△CGH∴PO 6＝94,∴PO ＝272∴P 2（0,272）∴△POH 能够与△CGH 相似,此时点P 的坐标为P 1（0,6）或P 2（0,272）7．（四川成都）如图,在平面直角坐标系xOy 中,一次函数y ＝54x＋m （m 为常数）的图象与x 轴交于点A （－3,0）,与y 轴交于点C ．以直线x ＝1为对称轴的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ,b ,c 为常数,且a ≠0）经过A ,C 两点,并与x 轴的正半轴交于点B ． （1）求m 的值及抛物线的函数表达式；（2）设E 是y 轴右侧抛物线上一点,过点E 作直线AC 的平行线交x 轴于点F ．是否存在这样的点E ,使得以A ,C ,E ,F 为极点的四边形是平行四边形？若存在,求出点E 的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在,请说明理由；（3）若P 是抛物线对称轴上使△ACP 的周长取得最小值的点,过点P 任意作一条与y 轴不服行的直线交抛物线于M 1（x 1,y 1）,M 2（x 2,y 2）两点,试探究M1P ·M2PM1M2是否为定值,并写出探究过程．解：（1）∵一次函数y ＝54x ＋m 的图象与x 轴交于点A （－3,0）∴54×(－3)＋m ＝0,解得m ＝154 ∴点C 的坐标是（0,154）∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A ,C 两点,且对称轴为直线x ＝1∴⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋c ＝0c ＝154－b 2a＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－14b ＝12c ＝154∴抛物线的函数表达式为y ＝－14x 2＋12x ＋154（2）假设存在点E ,使得以A ,C ,E ,F 为极点的四边形是平行四边形（ⅰ）当CE ∥AF 时,点E 在x 轴上方,y E ＝y C ＝154由－14x 2＋12x ＋154＝154,解得x 1＝0（舍去）,x 2＝2∴E 1（2,154）,此时S □ACE 1F 1＝2×154＝152（ⅱ）当AE ∥CF 时,点E 在x 轴下方,y E ＝－y C由－14x 2＋12x ＋154＝－154,解得x 1＝1＋31,x 2∴E 2（1＋31,－154）过E 2作E 2H ⊥x 轴于H ,则△E 2HF 2≌△COA ∴HF 2＝AO ＝3,AF 2＝7＋31∴S □ACF 2E 2＝2S □ACF 2＝AF 2·CO ＝15(7＋31)4综上所述,存在符合条件的点E 1（2,154）,E 2（1＋31,－154）,使得以A ,C ,E ,F 为极点的四边形是平行四边形,相应的面积分别是152,15(7＋31)4（3）方法一：∵A ,B 两点关于抛物线的对称轴x ＝1对称 ∴AP ＋CP ＝BP ＋CP ≥BC∴当C 、P 、B 三点在一条直线上时,△ACP此时点P 的坐标为（1,3）分别过点M 1,M 2作直线x ＝1的垂线,垂足为N 1在Rt △M 1PN 1中,由勾股定理得M 1P 2＝M 1N 12＋PN 12＝(x 1－1)2＋(y 1－3)2①∵y 1＝－14x 12＋12x 1＋154＝－14(x 1－1)2＋4即(x 1－1)2＝4(4－y 1),将其代入①,得M 1P 2＝(5－y 1)2∴M 1P ＝5－y 1（y 1＜5） 同理M 2P ＝5－y 2由M 1N 1∥M 2N 2,得△M 1PN 1∽△M 2PN 2 ∴M1P M2P ＝N1P N2P ,即5－y15－y2＝3－y1y2－3 整理得y 1y 2＝4(y 1＋y 2)－15∴M1P ·M2P M1M2＝(5－y1)(5－y2)(5－y1)＋(5－y2)＝y1y2－5(y1＋y2)＋2510－(y1＋y2)＝1故M1P ·M2P M1M2是定值,其值为1方法二：同方法一得点P 的坐标为（1,3） 设过点P 的直线表达式为y ＝kx ＋3－k联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3－k y ＝－14x 2＋12x ＋154 消去y ,整理得x 2＋(4k －2)x －(4k ＋3)＝0∴x 1＋x 2＝2－4k ,x 1x 2＝－(4k ＋3)由y 1＝kx 1＋3－k ,y 2＝kx 2＋3－k ,得y 1－y 2＝k (x 1－x 2) ∴M 1P 2·M 2P 2＝[(x 1－1)2＋(y 1－3)2][(x 2－1)2＋(y 2－3)2]＝[(x 1－1)2＋k 2(x 1－1)2][(x 2－1)2＋k 2(x 2－1)2] ＝(k 2＋1)2(x 1－1)2(x 2－1)2＝(k 2＋1)2(x 1x 2－x 1－x 2＋1)2＝16(k 2＋1)2M 1M 22＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(k 2＋1)(x 1－x 2)2＝(k 2＋1)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝16(k 2＋1)2∴M 1P 2·M 2P 2＝M 1M 22,即M 1P ·M 2P ＝M 1M 2 故M1P ·M2P M1M2是定值,其值为18（四川雅安）在直角坐标系中,已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A （1,0）和点B ,极点为P ．（1）若点P 的坐标为（－1,4）,求此时抛物线的解析式；（2）若点P 的坐标为（－1,k ）,k ＜0,点Q 是y 轴上一个动点,当k 为何值时,QB ＋QP 取得最小值5；（3）试求满足（2）时动点Q 的坐标．解：（1）由题意,设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋1)2＋4 将A （1,0）代入上式,得a ＝－1 ∴抛物线的解析式为y ＝－(x ＋1)2＋4（2）作点P （－1,k ）关于y 轴的对称点P ′∴QP ＝QP ′∵抛物线极点为P （－1,k ）,∵抛物线与x 轴交于点A （1,0）和点B ,∴B 若QB ＋QP 最小,即QB ＋QP ′最小 则B 、Q 、P ′三点共线,即P ′B ＝5 又AB ＝1＋3＝4,连接P ′A ,则P ′A ⊥AB∴△P ′AB 是直角三角形,∴P ′A ＝52－42＝3 ∴k ＝3（3）由（2）知,△BOQ ∽△BAP ′ ∴BO BA ＝OQ AP ′,即34＝OQ 3,∴OQ ＝94 ∴动点Q 的坐标为（0,－94）10．（四川乐山）如图,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为（m ,m ）,点B 的坐标为（n ,－n ）,抛物线经过A 、O 、B 三点,连接OA 、OB 、AB ,线段AB 交y 轴于点C ．已知实数m 、n （m ＜n ）分别是方程x 2－2x －3＝0的两根． （1）求抛物线的解析式；（2）若点P 为线段OB 上的一个动点（不与点O 、B 重合）,直线PC 与抛物线交于D 、E 两点（点D 在y①当△OPC 为等腰三角形时,求点P ②求△BOD 面积的最年夜值,解：（1）解方程x 2－2x －3＝0,得x 1＝－1,x ∵m ＜n ,∴m ＝－1,n ＝3 ∴A （－1,－1）,B （3,－3）∵抛物线过原点,设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＝a －b －3＝9a ＋3b解得a ＝－12,b ＝12∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋12x（2）①设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－k ＋b－3＝3k ＋b 解得k ＝－12,b ＝－32∴直线AB 的解析式为y ＝－12x －32∴C 点坐标为（0,－32）∵直线OB 过点O （0,0）,B （3,－3）∴直线OB 的解析式为y ＝－x∵△OPC 为等腰三角形,∴OC ＝OP 或OP ＝PC 或OC ＝PC 设P （x ,－x ）（i ）当OC ＝OP 时,x 2＋(－x )2＝94解得x 1＝324,x 2＝－324（舍去）,∴P 1（324,（ii ）当OP ＝PC 时,点P 在线段OC （iii ）当OC ＝PC 时,x 2＋(－x ＋32)2＝94解得x 1＝32,x 2＝0（舍去）,∴P 3（32,－32）∴P 点坐标为P 1（324,－324）或P 2（34,－34）或P 3（32,－32）②过点D 作DG ⊥x 轴,垂足为G ,交OB 于Q ,过B 作BH ⊥x 轴,垂足为H设Q （x ,－x ）,则D （x ,－12x 2＋12x ）∴DQ ＝－12x 2＋12x ＋x ＝－12x 2＋32x∴S △BOD ＝S △ODQ ＋S △BDQ ＝12DQ ·OG ＋12DQ ·GH ＝12DQ (OG ＋GH )＝12(－12x 2＋32x )×3＝－34(x －32)2＋2716 ∵0＜x ＜3∴当x ＝32时,S 取得最年夜值为2716,此时D （32,－38）11．（四川模拟）如图,抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A 、B ,与y 轴正半轴交于点C ,抛物线的对称轴与x 轴交于点D ．已知A （－2,0）,tan ∠ABC ＝34,S △ABC ＝9．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 是线段BC 上一点,且以B 、D 、P 为极点的三角形与△ABC 相似,求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下,请你选择一个P 点求出△BDP 外接圆圆心的坐标．解：（19去负值）∴B （4,0）,C （0,3）∴设抛物线为y ＝a (x ＋2)(x －4),把C （0,3）代入,得 3＝a (0＋2)(0－4),解得：a ＝－38∴抛物线的解析式为y ＝－38(x ＋2)(x －4)即y ＝－38x 2＋34x ＋3（2）存在∵y ＝－38x 2＋34x ＋3＝－38(x －1)2＋278备用图∴抛物线的对称轴是直线x ＝1 ∴D （1,0）,∴OD ＝1∵OA ＝2,OB ＝4,OC ＝3,∴AB ＝6,BC ＝5,BD ＝3 当△BDP ∽△BAC 时,则∠BDP ＝∠BAC ∴DP ∥AC∵D 为AB 中点,∴P 为CB 中点 ∵B （4,0）,C （0,3）,∴P 1（2,32）当△BPD ∽△BAC 时,则BP BA ＝BDBC∴BP 6＝35,∴BP ＝185过点P 作PH ⊥OB 于H ,则△BPH ∽△BCO ∴BH BO ＝PH CO ＝BP BC ,∴BH 4＝PH 3＝1855 ∴BH ＝7225,PH ＝5425,∴P 2（2825,5425）∴满足条件的P 点有两个,P 1（2,32）,P 2（2825,5425）（3）选择P （2,32）,设E 为△BDP则点E 是线段BD 的中垂线和线段BP 易知线段BD 的中垂线为x ＝52,设点E 由ED ＝EP ,得(52－1)2＋m 2＝(52－2)2＋(m －32)2解得m ＝112,即E （52,112）∴当点P 坐标为（2,32）时,△BDP 外接圆圆心的坐标为（52,112）12．（四川模拟）已知圆⊙A 的半径为2,圆心A （t ,0）是抛物线y ＝－12x 2＋bx 与x 轴的交点,点P 是x 轴上方抛物线上任意一点,点Q 是线段OP 的中点．（1）如图1,当t ＝4时,点P 在抛物线上运动,点Q 跟随点P 运动,其运动路径也是一段抛物线,直接写出点Q 运动路径的函数解析式,并指出自变量的取值范围；（2）如图2,当∠POA ＝45°且t ＞0时,过点Q 作OP 的垂线l ,证明直线l 与⊙A 相切；（3）当∠POA ＝45°时,使得直线l 与⊙A 相切于点M ,且四边形PAMQ 点构成以AP 请说明理由．解：（1）y 提示：当t ＝4时,A （4,0）,代入y ＝－2x 2＋bx ,得b ＝2∴抛物线为y ＝－12x 2＋2x设P （m ,－12m 2＋2m ）,则Q （12m ,－14m 2＋m ）设Q （x ,y ）,则x ＝12m ,y ＝－14m 2＋m∴m ＝2x ,∴y ＝－14(2x )2＋2x ＝－x 2＋2x∵0＜m ＜4,∴0＜x ＜2∴点Q 运动路径的函数解析式为y ＝－x 2＋2x （0＜x ＜2） （2）∵y ＝－12x 2＋bx ,∴A （2b ,0）∵∠POA ＝45°,∴直线OP 的解析式为y ＝x联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x y ＝－12x 2＋bx 解得⎩⎪⎨⎪⎧x1＝0y1＝0（舍去）⎩⎪⎨⎪⎧x2y2∴P （2b －2,2b －2）设l 与x 轴交于点D ,连接PD 由题意,l 是线段OP 的垂直平分线 ∴OD ＝PD ,∴∠OPD ＝∠POD ＝45°∴∠ODP ＝90°,∴△OPD 是等腰直角三角形 ∴∠ODQ ＝45°,OD ＝2b －2 ∴AD ＝2b －(2b －2)＝2过点A 作AM ⊥l 于M ,则∠ADM ＝45° ∴△ADM 是等腰直角三角形 ∴AM ＝22AD ＝2＝⊙A 的半径∴直线l 与⊙A 相切（3）∵四边形PAMQ 为矩形,∴PQ ＝AM ＝2 ∴OP ＝22,∴P （2,2）,∴Q （1,1） ∴2b －2＝2,∴b ＝2∴A （4,0）,抛物线为y ＝－12x 2＋2x易得直线AQ 的解析式为y ＝－13x ＋43∵四边形ABPQ 是以AP 为对角线的梯形∴BP ∥AQ ,∴设直线BP 的解析式为y ＝－13x ＋n把P （2,2）代入,得n ＝83,∴y ＝－13x ＋83联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－13x ＋83y ＝－12x 2＋2x 解得⎩⎪⎨⎪⎧x1＝2y1＝2（舍去）⎩⎪⎨⎪⎧x2＝83y 2＝169∴B （83,169）∴存在点B （83,169）,使由A 、B 、P 、Q 四点构成以AP 为对角线的梯形13．（四川模拟）如图,抛物线y ＝12x 2＋bx ＋c 与直线l ：y ＝34x －1交于点A （4,2）、B （0,－1）． （1）求抛物线的解析式；（2）点D 在直线l 下方的抛物线上,过点D 作DE ∥y 轴交l 于E 、作DF ⊥l 于F ,设点D 的横坐标为t ,△DEF 的周长为p ,求p 与t 的函数关系式,并求p 的最年夜值及此时点D 的坐标；（3）点M 在抛物线上,点N 在x 轴上,若△BMN 是以M 为直角极点的等腰直角三角形,求点M 的坐标．解：（1）由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧12×42＋4b ＋c ＝2c ＝－1∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－54c ＝－1 ∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－54x －1（2）∵点D 在抛物线y ＝12x 2－54x －∴设D （t ,12t 2－54t －1）,则E （t ,34t ∴DE ＝34t －1－(12t 2－54t －1)＝－12t 2在y ＝34x －1中,令y ＝0,得x ＝43∴直线AB 与x 轴交于点C （43,0）∴BC ＝12＋(43)2＝53∴△OBC 的周长为为1＋43＋53＝∵DE ∥y 轴,DF ⊥l ,∴△DEF ∴p4＝－12t 2＋2t 53∴p ＝－65t 2＋245t ＝－65(t －2)2＋245∴当t ＝2时,p 有最年夜值为245此时D （2,－32）（3）过点M 作MG ⊥x 轴于G ,过点B 作BH ⊥MG易证△MGN ≌△BHM ,∴MG ＝BH∴12x 2－54x －1＝x 或12x 2－54x －1＝－x 解得x 1＝9＋1134,x 2＝9－1134,x 3＝1＋334,x 4＝1－334∴M 1（9＋1134,9＋1134）,M 2（9－1134,9－1134）M 3（1＋334,－1＋334）,M 4（1－334,－1－334）。
中考复习2023年中考数学压轴大题专题二次函数与圆压轴问题
中考复习2023年中考数学压轴大题专题二次函数与圆压轴问题【例1】（2022年江苏省常州市北郊初级中学中考二模数学试题）已知二次函数图象的顶点坐标为A(2,0)，且与y轴交于点(0,1)，B点坐标为(2,2)，点C为抛物线上一动点，以C为圆心，CB为半径的圆交x轴于M，N两点（M在N的左侧）．(1)求此二次函数的表达式；(2)当点C在抛物线上运动时，弦MN的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不发生变化，求出弦MN 的长；(3)当△ABM与△ABN相似时，求出M点的坐标．【例2】．（必刷卷05-2022年中考数学考前信息必刷卷（湖南岳阳专用））已知：二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中点A为（﹣1，0），与y轴负半轴交于点C（0，﹣2），其对称轴是直线x＝32．(1)求二次函数y＝ax2+bx+c的解析式；(2)圆O′经过点△ABC的外接圆，点E是AC延长线上一点，△BCE的平分线CD交圆O′于点D，连接AD、BD，求△ACD的面积；(3)在（2）的条件下，二次函数y＝ax2+bx+c的图象上是否存在点P，使得△PDB＝△CAD？如果存在，请求经典例题出所有符合条件的P点坐标；如果不存在，请说明理由．【例3】．（2022年江苏省徐州市九年级下学期第二次模拟数学试题）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c 的图像与x轴交于A(−1,0)，B(2,0)两点，与y轴交于点(0,2)．(1)求此二次函数的表达式；(2)点Q在以BC为直径的圆上（点Q与点O，点B，点C均不重合），试探究QO，QB、QC的数量关系，并说明理由．(3)E点为该图像在第一象限内的一动点，过点E作直线BC的平行线，交x轴于点F．若点E从点C出发，沿着抛物线运动到点B，则点F经过的路程为______．x2+bx+c的图象经【例4】（2022年云南省德宏州初中学业水平考试模拟监测数学试题）二次函数y=34过点A（－1，0）和点C（0，－3）与x轴的另一交点为点B．(1)求b，c的值；(2)定义：在平面直角坐标系xOy中，经过该二次函数图象与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆．问：√10为半径作△Q，使△Q是二次函数y=在该二次函数图象的对称轴上是否存在一点Q，以点Q为圆心，5634x2+bx+c的坐标圆？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图所示，点M是线段BC上一点，过点M作MP//y轴，交二次函数的图象于点P，以M为圆心，MP为半径作△M，当△M与坐标轴相切时，求出CMMB的值．专题31二次函数与圆压轴问题1．（湖北省武汉市华中科技大学附属中学2022-2023学年九年级上学期1月考数学试题）如图，已知抛物线经过点A(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)三点，点D是直线BC绕点B逆时针旋转90°后与y轴的交点，点M是线段AB 上的一个动点，设点M的坐标为(m,0)，过点M作x轴的垂线交抛物线于点E，交直线BD于点F．(1)求该抛物线所表示的二次函数的解析式；(2)在点M运动过程中，若存在以EF为直径的圆恰好与y轴相切，求m的值；(3)连接AC，将△AOC绕平面内某点G旋转180°后，得到△A1O1C1，点A、O、C的对应点分别是点A1、O1、C1，是否存在点G使得△AOC旋转后得到的△A1O1C1的两个顶点恰好落在抛物线上，若存在，直接写出G 点的坐标；若不存在，请说明理由．2．（专题16二次函数中的相似三角形-【微专题】2022-2023学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（人教版））如图，一次函数y=−2x的图象与二次函数y=−x2+3x图象的对称轴交于点B．培优训练(1)写出点B的坐标；(2)将直线y=−2x沿y轴向上平移，分别交x轴于点C、交y轴于点D，点A是该抛物线与该动直线的一个公共点，试求当△AOB的面积取最大值时，点C的坐标；(3)已知点P是二次函数y=−x2+3x图象在y轴右侧部分上的一个动点，若△PCD的外接圆直径为PC，试问：以P、C、D为顶点的三角形与△COD能否相似？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．3．（福建省泉州市鲤城区第七中学2022-2023学年九年级下学期数学期末质量检测）如图(1)所示，y关于x的(x+m)(x−3m)(m>0)图象的顶点为M，图象交x轴于A、B两点，交y轴正半轴于D二次函数y=−√33m点．以AB为直径作圆，圆心为C．定点E的坐标为(−3,0)，连接ED．(1)写出A、B、D三点的坐标；(2)当m为何值时M点在直线ED上?判定此时直线与圆的位置关系；(3)当m变化时，用m表示△AED的面积S，并在给出的直角坐标系中画出S关于m的函数图象的示意图．4．（第5章二次函数（基础、典型、易错、压轴）分类专项训练-2022-2023学年九年级数学考试满分全攻略（苏科版））如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A(−1,0)，B(2,0)两点，与y轴交于点(0,2)．(1)求此二次函数的表达式；(2)点Q在以BC为直径的圆上(点Q与点O，点B，点C均不重合)，试探究QO，QB，QC的数量关系，并说明理由．(3)E点为该图象在第一象限内的一动点，过点E作直线BC的平行线，交x轴于点F．若点E从点C出发，沿着抛物线运动到点B，则点F经过的路程为．5．（湖南省长沙麓山外国语实验中学2022-2023学年九年级上学期第三次月考数学试卷）已知二次函数y= ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中点A为(−1，0)，与y轴负半轴交于点C(0，−2)，其对称．轴是直线x=32(1)求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；(2)圆O′为△ABC的外接圆，点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交圆O′于点D，连接AD、BD，求△ACD的面积；(3)在（2）的条件下，y轴上是否存在点P，使得以P，C，B为顶点的三角形与△BCD相似？如果存在，请求出所有符合条件的P点坐标；如果不存在，请说明理由．6．（湖南省长沙市湖南师大附中博才实验中学2022-2023学年九年级上学期第三次随堂测数学试卷）如图，x2+bx+c与x轴的一个交点A的坐标为(−3,0)，以点A为圆心作圆A，与该二次函数的二次函数y=−56图象相交于点B，C，点B，C的横坐标分别为−2，−5，连接AB，AC，并且满足AB⊥AC．过点B作BM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N．(1)求该二次函数的关系式；(2)经过点B作直线BD，在A点右侧与x轴交于点D，与二次函数的图象交于点E，使得∠ADB=∠ABM，连接AE，求证：AE=AD；(3)若直线y=kx+1与圆A相切，请求出k的值．7．（专题30圆与二次函数结合-【微专题】2022-2023学年九年级数学上册常考点微专题提分精练（人教版））如图，二次函数y=ax2+4的图象与x轴交于点A和点B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，且OA=OC(1)求二次函数的解析式；(2)若以点O为圆心的圆与直线AC相切于点D，求点D的坐标；(3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P使得以P、A、D、O为顶点的四边形是直角梯形？若存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．8．（北京市朝阳区汇文中学朝阳垂杨柳分校2020-2021学年九年级上学期期中数学试卷）定义：在平面直角坐标系中，图形G 上点P（x，y）的纵坐标y 与其横坐标x 的差y﹣x 称为P 点的“坐标差”，而图形G 上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G 的“特征值”．(1)△点A（1，3）的“坐标差”为；△抛物线y=−x2+3x+3的“特征值”为；(2)某二次函数y=−x2+bx+c(c≠0)的“特征值”为﹣1，点B（m，0）与点C 分别是此二次函数的图象与x 轴和y 轴的交点，且点 B 与点C 的“坐标差”相等．△直接写出m＝；（用含c的式子表示）△求此二次函数的表达式．(3)如图，在平面直角坐标系xOy 中，以M（2，3）为圆心，2 为半径的圆与直线y＝x 相交于点D、E，请直接写出△M 的“特征值”为．9．（湖南省长沙市中雅培粹学校2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试题）如图，已知抛物线经过点A(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)三点，点D是直线BC绕点B逆时针旋转90°后与y轴的交点，点M是线段AB上的一个动点，设点M的坐标为(m,0)，过点M作x轴的垂线交抛物线于点E，交直线BD于点F．(1)求该抛物线所表示的二次函数的解析式；(2)在点M运动过程中，若存在以EF为直径的圆恰好与y轴相切，求m的值；(3)连接AC，将ΔAOC绕平面内某点G旋转180°后，得到ΔA1O1C1，点A、O、C的对应点分别是点A1、O1、C1，是否存在点G使得ΔAOC旋转后得到的ΔA1O1C1的两个顶点恰好落在抛物线上，若存在，求出G点的坐标；若不存在，请说明理由．10．（湖南省长沙市一中双语实验学校2021-2022学年九年级上学期期末数学试题）如图，已知二次函数y= ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（1，0）、B（−3，0），与y轴的正半轴交于点C．(1)求二次函数y=ax2+bx+3的表达式；(2)点D是线段OB上一动点，过点D作y轴的平行线，与BC交于点E，与抛物线交于点F，连接CF，探究是否存在点D使得△CEF为直角三角形？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由；(3)若点P在二次函数图象上，是否存在以P为圆心，√2为半径的圆与直线BC相切，若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．11．（广东省深圳市龙华区龙华区高峰学校2021-2022学年九年级下学期第三次月考数学试题）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0，c＞0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且以AB为直径的圆经过点C．(1)若点A（﹣4，0），点B（16，0），求C点坐标和函数关系式．(2)若点D是圆与抛物线的交点（D与A、B、C不重合），在（1）的条件下，坐标轴上是否存在一点P，使得以P、B、C为顶点的三角形与△CBD相似？若存在，请求点P坐标；若不存在，请说明理由．12．（2022年山东省济宁市任城区济宁学院附属中学九年级第二次模拟考试试题）如图，已知二次函数y= ax2+bx+3的图象与x轴交于点A(1,0)、B(−3,0)，与y轴的正半轴交于点C(1)求二次函数y=ax2+bx+3的表达式(2)点D是线段OB上一动点，过点D作y轴的平行线，与BC交于点E，与抛物线交于点F，连接CF，BF，探究是否存在点D使得四边形ACFB的面积最大？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由(3)若点P在二次函数图象上，是否存在以P为圆心，√2为半径的圆与直线BC相切，若存在，直接写点P 的坐标；若不存在，说明理由13．（2022年山东省济宁市金乡县中考二模数学试题）已知二次函数的图象交x轴于点A（3，0），B（－1，0），交y轴于点C（0，－3），P这抛物线上一动点，设点P的横坐标为m．(1)求抛物线的解析式：(2)当△P AC是以AC为直角边的直角三角形时，求点P的坐标：(3)抛物线上是否存在点P，使得以点P为圆心，2为半径的圆既与x轴相切，又与抛物线的对称轴相交？若存在，求出点P的坐标，并求出抛物线的对称轴所截的弦MN的长度；若不存在，请说明理由．（写出过程）14．（江苏省盐城市大丰区新丰初级中学2021-2022学年九年级下学期新课程结束考试数学试题（一模））如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B为抛物线y＝x2上的两个动点，且OA△OB．(1)若点B的坐标是（2，m），则点A的坐标是；(2)过点B作BC△x轴，垂足为C，若△AOB与△OBC相似，求cos△OBA．(3)在（1）问的条件下，若点E为二次函数第一象限内抛物线上一动点，EH垂直于X轴于点H，交线段AB 于点F，以EF为直径的圆M与AB交于点R，求当△EFR周长取最大值时E点的坐标；(4)在（3）问的条件下，以BH为直径作圆N，点P为圆N上一动点，连接AP，Q为AP上一点且AQ=12AP，连接HQ，求OQ的最小值；15．（2022年广西河池市凤山县中考模拟（二）数学试题）如图，二次函数y=ax2+4的图象与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且tan△OAC＝1．(1)求二次函数的解析式；(2)若以点O为圆心的圆与直线AC相切于点D，求点D的坐标；(3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P使得以P、A、D、O为顶点的四边形是直角梯形？若存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．16．（湖北省鄂州市吴都中学2021-2022学年九年级下学期第一次月考数学试题）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB＝OC，tan△ACO＝13．(1)求这个二次函数的表达式；(2)经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．17．（2022年新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市天山区一模数学试题）如图，已知二次函数y=−14x2+32x+4的图像与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，顶点为D，连接BC；(1)求顶点D的坐标；(2)求直线BC的解析式；(3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE，CE，求△BCE面积的最大值；(4)以AB为直径，M为圆心作圆M，试判断直线CD与圆M的位置关系，并说明理由18．（专题09二次函数与圆综合问题-挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘）定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图像与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆．(1)已知点P（2，2），以P为圆心，√5为半径作圆．请判断△P是不是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆，并说明理由；(2)已知二次函数y＝x2﹣4x+4图像的顶点为A，坐标圆的圆心为P，如图1，求△POA周长的最小值；(3)已知二次函数y＝ax2﹣4x+4（0＜a＜1）图像交x轴于点A，B，交y轴于点C，与坐标圆的第四个交点为D，连接PC，PD，如图2．若△CPD＝120°，求a的值．19．（湖南省长沙市青竹湖湘一外国语学校2020-2021学年九年级下学期第二次模拟考试数学试题）已知二次函数的图象经过点A（2，0），B（−4，0），C（0，4），点F为二次函数第二象限内抛物线上一动点，FH⊥x 轴于点H，交直线BC于点D，以FD为直径的圆△M与BC交于点E．（1）求这个二次函数的关系式；（2）当三角形EFD周长最大时．求此时点F点坐标及三角形EFD的周长；（3）在（2）的条件下，点N为△M上一动点，连接BN，点Q为BN的中点，连接HQ，求HQ的取值范围．20．（江苏省宿迁市沭阳县怀文中学2021-2022学年九年级上学期期末数学试题）如图，已知二次函数y= ax2+bx+c的图象与x轴交于A和B(3,0)两点，与y轴交于C(0,−2)，对称轴为直线x=5，连接BC，在直4线BC上有一动点P，过点P作y轴的平行线交二次函数的图像于点N，交x轴于点M，(1)求抛物线与直线BC的函数解析式；(2)设点M的坐标为(m,0)，求当以PN为直径的圆与y轴相切时m的值：(3)若点P在线段BC上运动，则是否存在这样的点P，使得△CPN与△BPM相似，若存在请直接写出点P 的坐标，若不存在，请写出理由．。
二次函数与圆的综合题(中考数学必考压轴题)
二次函数与圆的综合题（中考数学压轴题必考）例1.如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（A在左边），抛物线经过点D以AB为直径画⊙P，试判定点D与⊙P的位置关系，并证明．练习1.如图，二次函数y＝ax2﹣（a+1）x（a为常数，且0＜a＜1）的图象过原点O并与x轴交于点P；过点A（1，﹣1）的直线l垂直y轴于点B，并与二次函数的图象交于点Q，以OA为直径的⊙C交x轴于点D，连接DQ．（1）点B与⊙C的位置关系是；（2）点A是否在二次函数的图象上；（填“是”或“否”）（3）若DQ恰好为⊙C的切线，①猜想：四边形OAQD的形状是，证明你的猜想；②求二次函数的表达式．例2.如图示已知点M的坐标为（4，0），以M为圆心，以2为半径的圆交x轴于A、B，抛物线过A、B两点且与y轴交于点C．过C点作⊙M 的切线CE，求直线OE的解析式．练习2.平面直角坐标系中，已知A（﹣4，0），B（1，0），且以AB为直径的圆交y轴的正半轴，设平行于x轴的直线交抛物线y＝﹣x2﹣x+2于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径；若不存在，请说明理由．练习3.如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+2与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y 轴交于点C（0，2）．以AB为直径作⊙M，直线经过点E（﹣1，﹣5），并且与⊙M相切，求该直线的解析式．练习4.如图，抛物线y＝﹣x2+x+2．经过A、B、C三点，A点坐标为（4，0），B点坐标为（﹣1，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P的正半轴交于点C，M为抛物线的顶点，试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．练习5.如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．以AB为直径作⊙M．（1）求出M的坐标并证明点C在⊙M上；（2）若P为抛物线上一动点，求出当CP与⊙M相切时P的坐标；练习6.在平面直角坐标系中，已知A（﹣4，0），B（1，0），且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C，过点C作圆的切线交x轴于点D．（1）求点C的坐标和过A，B，C三点的抛物线的析式；（2）求点D的坐标：（3）设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由．练习7.如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝n，OC＝m，⊙M与y轴相切于点C，与x轴交于A，B两点，∠ACD＝90°，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，B，C三点．（1）求证：∠OCA＝∠OBC；（2）若A（x1，0），B（x2，0），且x1，x2满足x1+x2＝5，x1•x2＝4，求点C 的坐标和抛物线的解析式；（3）若△ACD≌△ABD，在四边形ABDC内有一点P，且点P到四边形四个顶点的距离之和P A+PB+PC+PD最小，求此时距离之和的最小值及P点的坐标（用含n的式子表示）．练习8.已知二次函数y＝mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）（1）求证：它的图象与x轴必有两个交点；（2）这条抛物线与x轴交于两点A、B（A在B左），与y轴交于点C，顶点为D，sin∠ABD＝，⊙M过A、B、C三点，求⊙M的面积；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使P A是⊙M的切线？若存在，求出P点的坐标，若不存在，说明理由．例3.如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（，）两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A（0，2）．（1）求a，b，c的值；（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；（3）设⊙P与x轴相交于M（x1，0），N（x2，0）（x1＜x2）两点，当△AMN 为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．练习9.已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+1的图象关于y轴对称，且抛物线过点（2，2），点P为抛物线上的动点，以点P为圆心的⊙P与x轴相切，当点P运动对，⊙P始终经过y轴上的一个定点E．（1）求抛物线的解析式；（2）当⊙P的半径为时，⊙P与y轴交于M、N两点，求MN的长；（3）求定点E到直线y＝kx﹣8k的距离的最大值．练习10.已知：直线y＝﹣x﹣4分别交x、y轴于A、C两点，抛物线y＝ax2+bx （a＞0）经过A、O两点，且顶点B的纵坐标为﹣2（1）判断点B是否在直线AC上，并求该抛物线的函数关系式；（2）以点B关于x轴的对称点D为圆心，以OD为半径作⊙D，试判断直线AC与⊙D的位置关系，并说明理由；（3）若E为⊙D的优弧AO上一动点（不与A、O重合），连接AE、OE，问在抛物线上是否存在点P，使∠POA：∠AEO＝2：3？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．练习11.已知A是x轴正半轴上一个动点，以线段OA为直径作⊙B，圆心为点B，直径OA＝m，线段EF是⊙B的一条弦，EF∥x轴，点C为劣弧EF的中点，过点E作DE垂直于EF，交抛物线C1：y＝ax2+bx（a＞0）于点G，抛物线经过点O和点A．（1）求证：DG＝m；（2）拖动点A，如果抛物线C1与⊙B除点O和点A外有且只有一个交点，求b的值；（3）拖动点A，抛物线C1交⊙B于点O、E、F、A，①求证：DE＝m﹣；②直接写出FC2的值（用a，m的代数式表示）练习13.如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A．B两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点P在⊙C上．（1）求∠ACB的大小；（2）写出A，B两点的坐标；（3）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为（1，3），求出抛物线的解析式；（4）在该抛物线上是否存在一点D点，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．例4.如图1，抛物线y＝ax2+3ax（a为常数，a＜0）与x轴交于O，A两点，点B 为抛物线的顶点，点D是线段OA上的一个动点，连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C，过点C作⊙P的切线交x轴于点E．（1）①求点A的坐标；②求证：CE＝DE；（2）如图2，连接AB，AC，BE，BO，当，∠CAE＝∠OBE时，①求证：AB2＝AC•BE；②求的值．练习14.如图1，已知圆O的圆心为原点，半径为2，与坐标轴交于A，C，D，E 四点，B为OD中点．（1）求过A，B，C三点的抛物线解析式；（2）如图2，连接BC，AC．点P在第一象限且为圆O上一动点，连接BP，交AC于点M，交OC于点N，当MC2＝MN•MB时，求M点的坐标；（3）如图3，若抛物线与圆O的另外两个交点分别为H，F，请判断四边形CFEH的形状，并说明理由．练习15.如图，二次函数与x轴的一个交点A的坐标为（﹣3，0），以点A为圆心作圆A，与该二次函数的图象相交于点B，C，点B，C的横坐标分别为﹣2，﹣5，连接AB，AC，并且满足AB⊥AC．过点B作BM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N．（1）求该二次函数的关系式；（2）经过点B作直线BD，在A点右侧与x轴交于点D，与二次函数的图象交于点E，使得∠ADB＝∠ABM，连接AE，求证：AE＝AD；（3）若直线y＝kx+1与圆A相切，请求出k的值．例5.已知抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）经过A（5，0），B（6，1）两点，且与y 轴交于点C．（1）求抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）的函数关系式；（2）如图1，连接AC，E为线段AC上一点且横坐标为1，⊙P是△OAE外接圆，求圆心P点的坐标；（3）如图2，连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F；①点E在运动过程中四边形OEAF的面积是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由；②求出当△AEF的面积取得最大值时，点E的坐标．练习16.如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（1，0），B（﹣5，0）两点，且与y轴交于点C．（1）求b，c的值．（2）在第二象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？求出点P的坐标及△PBC的面积最大值．若不存在，请说明理由．（3）如图2，点E为线段BC上一个动点（不与B，C重合），经过B、E、O 三点的圆与过点B且垂直于BC的直线交于点F，当△OEF面积取得最小值时，求点E坐标．练习17.如图1，抛物线y＝+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，以AB为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为G，P为半圆上一动点，连接DP，点Q为PD的中点．①判断点C、D与⊙G的位置关系，并说明原因；②当点P沿半圆从点B运动到点A时，求线段AQ的最小值．练习18.如图1，二次函数y＝ax2﹣3ax+b（a、b为参数，其中a＜0）的图象与x 轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D．（1）若b＝﹣10a，求tan∠CBA的值（结果用含a的式子表示）；（2）若△ABC是等腰三角形，直线AD与y轴交于点P，且AP：DP＝2：3．求抛物线的解析式；（3）如图2，已知b＝﹣4a，E、F分别是CA和CB上的动点，且EF＝AB，若以EF为直径的圆经过点C，并交x轴于M、N两点，求MN的最大值．课后练习1.抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于A（﹣2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是介于B、C之间的抛物线上的动点（包括B、C两点），点E是△ABP 的外接圆圆心．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当P为抛物线的顶点时，求圆心E的坐标；（3）如图2，作PH⊥x轴于点H，延长PH交⊙E于点Q，当P从C点出发，沿该抛物线运动到B点，求点Q在这个运动过程中的路径长．2.如图，在正方形OABC中，AB＝4，点E是线段OA（不含端点）边上一动点，作△ABE的外接圆交AC于点D．抛物线y＝ax2﹣x+c过点O，E．（1）求证：∠BDE＝90°；（2）如图1，若抛物线恰好经过点B，求此时点D的坐标；（3）如图2，AC与BE交于点F．①请问点E在运动的过程中，CF•AD是定值吗？如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由；②若，求点E坐标及a的值．。
初中数学中考复习 第13关 以二次函数与圆的问题为背景的解答题(原卷版)
第十三关：以二次函数与圆的问题为背景的解答题【总体点评】二次函数在全国中考数学中常常作为压轴题，同时在省级，国家级数学竞赛中也有二次函数大题，很多学生在有限的时间内都不能很好完成。
由于在高中和大学中很多数学知识都与函数知识或函数的思想有关，学生在初中阶段函数知识和函数思维方法学得好否，直接关系到未来数学的学习。
“圆”在初中阶段学习占有重要位置,“垂径定理”、“点与圆的位置关系”的判定与性质、“直线与圆的位置关系”的判定与性质、“正多边形的判定与性质”通常是命题频率高的知识点.由于这部分知识的综合性较强,多作为单独的解答题出现.如果把圆放到直角坐标系中,同二次函数结合,则多作为区分度较高的压轴题中出现.此类题目由于解题方法灵活,考查的知识点全面,体现了方程、建模、转化、数形结合、分类讨论等多种数学思想,得到命题者的青睐【解题思路】二次函数与圆都是初中数学的重点内容，历来是中考数学命题的热点，其本身涉及的知识点就较多，综合性和解题技巧较强，给解题带来一定的困难，而将函数与圆相结合，并作为中考的压轴题，就更显得复杂了．只要我们掌握解决这类问题的思路和方法，采取分而治之，各个击破的思想，问题是会迎刃而解的．解决二次函数与圆的问题，用到的数学思想方法有化归思想、分类思想、数学结合思想，以及代入法、消元法、配方法、代定系数法等。
解题时要注意各知识点之间的联系和数学思想方法、解题技巧的灵活应用，要抓住题意，化整为零，层层深入，各个击破，从而达到解决问题的目的。
【典型例题】经过点A（1，0）和点B（5，0），与y轴【例1】（2019·黑龙江中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx−53交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）以点A为圆心，作与直线BC相切的⊙A，请判断⊙A与y轴有怎样的位置关系，并说明理由；（3）在直线BC上方的抛物线上任取一点P，连接PB、PC，请问：△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个值和此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．【例2】（2019·广西中考真题）如图，直线3y x =-交x 轴于点A ，交y 轴于点C ，点B 的坐标为(1,0)，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过,,A B C 三点，抛物线的顶点为点D ，对称轴与x 轴的交点为点E ，点E关于原点的对称点为F ，连接CE ，以点F 为圆心，12CE 的长为半径作圆，点P 为直线3y x =-上的一个动点．（1）求抛物线的解析式； （2）求BDP ∆周长的最小值；（3）若动点P 与点C 不重合，点Q 为⊙F 上的任意一点，当PQ 的最大值等于32CE 时，过,P Q 两点的直线与抛物线交于,M N 两点（点M 在点N 的左侧），求四边形ABMN 的面积．【例3】（2018·青海中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是以AB 为直径的⊙M 的内接四边形，点A ，B 在x 轴上，⊙MBC 是边长为2的等边三角形，过点M 作直线l 与x 轴垂直，交⊙M 于点E ，垂足为点M ，且点D 平分．（1）求过A，B，E三点的抛物线的解析式；（2）求证：四边形AMCD是菱形；（3）请问在抛物线上是否存在一点P，使得△ABP的面积等于定值5？若存在，请求出所有的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【方法归纳】函数知识要理解好数形结合的思想，知识点的掌握中要理解文字解释和图像之间的关系，至于与圆、三角形、方程的综合题，往往最后一问难度大，要建立模型、框架，完善步骤，循序渐进. 【针对练习】1．我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有；②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，则该四边形“十字形”．（填“是”或“不是”）（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD，当6≤AC2+BD2≤7时，求OE的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c＜0）与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，﹣ac），记“十字形”ABCD 的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；①√S=√S1+√S2；②√S=√S3+√S4；③“十字形”ABCD的周长为12√10．2．（2019·湖南中考真题）如图，抛物线26y ax ax =+(a 为常数，a ＞0)与x 轴交于O ，A 两点，点B 为抛物线的顶点，点D 的坐标为(t ，0)(﹣3＜t ＜0)，连接BD 并延长与过O ，A ，B 三点的⊙P 相交于点C ． （1）求点A 的坐标；（2）过点C 作⊙P 的切线CE 交x 轴于点E ．①如图1，求证：CE ＝DE ；②如图2，连接AC ，BE ，BO ，当3a =∠CAE ＝∠OBE 时，求11OD OE -的值3．（2019·浙江中考真题）已知在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 分别交x 轴和y 轴于点()()3,0,0,3A B -. (1)如图1，已知P 经过点O ，且与直线1l 相切于点B ，求P 的直径长；(2)如图2，已知直线2: 33l y x =-分别交x 轴和y 轴于点C 和点D ，点Q 是直线2l 上的一个动点，以Q 为圆心，.①当点Q 与点C 重合时，求证: 直线1l 与Q 相切；②设Q 与直线1l 相交于,M N 两点， 连结,QM QN . 问:是否存在这样的点Q ，使得QMN ∆是等腰直角三角形，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.4．（2018·山东中考真题）如图①，在平面直角坐标系中，圆心为P （x ，y ）的动圆经过点A （1，2）且与x轴相切于点B．（1）当x=2时，求⊙P的半径；（2）求y关于x的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象；（3）请类比圆的定义（图可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合），给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到的距离等于到的距离的所有点的集合．（4）当⊙P的半径为1时，若⊙P与以上（2）中所得函数图象相交于点C、D，其中交点D（m，n）在点C的右侧，请利用图②，求cos∠APD的大小．5．（2018·江苏中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x-a）（x-3）（0<a<3）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CP⊥x轴，垂足为点P，连接AD、BC．（1）求点A、B、D的坐标；（2）若△AOD与△BPC相似，求a的值；（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上，若能，求出a的值，若不能，请说明理由.6．（2017·江苏中考真题）如图，以原点O为圆心，3为半径的圆与x轴分别交于A，B两点（点B在点A 的右边），P是半径OB上一点，过P且垂直于AB的直线与⊙O分别交于C，D两点（点C在点D的上方），直线AC，DB交于点E．若AC：CE=1：2．（1）求点P的坐标；（2）求过点A和点E，且顶点在直线CD上的抛物线的函数表达式．7．（2019·山东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与⊙M相交于A、B、C、D四点．其中AB两点的坐标分别为（-1，0），（0，-2），点D在x轴上且AD为⊙M的直径．点E是⊙M 与y轴的另一个交点，过劣弧DE上的点F作FH⊥AD于点H，且FH=1．5．（1）求点D的坐标及该抛物线的表达式；（2）若点P是x轴上的一个动点，试求出⊿PEF的周长最小时点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使⊿QCM是等腰三角形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．8．（2019·山东中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的圆的圆心O在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点．抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点D，与直线y=x交于点M、N，且MA、NC分别与圆O相切于点A和点C．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴交x轴于点E，连结DE，并延长DE交圆O于F，求EF的长．（3）过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P，判断点P是否在抛物线上，说明理由．9．（2018·山东中考真题）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；（3）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2018·湖南中考真题）我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有；②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，则该四边形“十字形”．（填“是”或“不是”）（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ADB ﹣∠CDB=∠ABD ﹣∠CBD ，当6≤AC 2+BD 2≤7时，求OE 的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ＞0，c ＜0）与x 轴交于A ，C 两点（点A 在点C 的左侧），B 是抛物线与y 轴的交点，点D 的坐标为（0，﹣ac ），记“十字形”ABCD 的面积为S ，记△AOB ，△COD ，△AOD ，△BOC 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式； ①S =1S 2S +；②S=3S 4S +；③“十字形”ABCD 的周长为1210．11．（2017·广西中考真题）已知抛物线y 1=ax 2+bx -4（a≠0）与x 轴交于点A （-1，0）和点B （4，0）． （1）求抛物线y 1的函数解析式；（2）如图①，将抛物线y 1沿x 轴翻折得到抛物线y 2，抛物线y 2与y 轴交于点C ，点D 是线段BC 上的一个动点，过点D 作DE ∥y 轴交抛物线y 1于点E ，求线段DE 的长度的最大值；（2）在（2）的条件下，当线段DE 处于长度最大值位置时，作线段BC 的垂直平分线交DE 于点F ，垂足为H ，点P 是抛物线y 2上一动点，⊙P 与直线BC 相切，且S ⊙P ：S △DFH =2π，求满足条件的所有点P 的坐标．12．（2018·山东中考真题）抛物线y =ax 2+bx +4（a ≠0）过点A （1，﹣1），B （5，﹣1），与y 轴交于点C ． （1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，连接CB ，以CB 为边作▱CBPQ ，若点P 在直线BC 上方的抛物线上，Q 为坐标平面内的一点，且▱CBPQ 的面积为30，求点P 的坐标；（3）如图2，⊙O 1过点A 、B 、C 三点，AE 为直径，点M 为 上的一动点（不与点A ，E 重合），∠MBN 为直角，边BN 与ME 的延长线交于N ，求线段BN 长度的最大值．13．（2019·四川中考真题）如图，已知抛物线（a≠0）的图象的顶点坐标是（2，1），并且经过点（4，2），直线与抛物线交于B，D两点，以BD为直径作圆，圆心为点C，圆C与直线m交于对称轴右侧的点M（t，1），直线m上每一点的纵坐标都等于1．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：圆C与x轴相切；（3）过点B作BE⊥m，垂足为E，再过点D作DF⊥m，垂足为F，求MF的值．14．（2019·江苏中考真题）如图，已知二次函数的图象与轴交于两点与轴交于点，⊙的半径为为⊙上一动点.（1）点的坐标分别为（），（）；（2）是否存在点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)连接，若为的中点，连接，则的最大值= .15．（2017·黑龙江中考真题）在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，与直线交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，横坐标为的点在直线上方的抛物线上，过点作轴交直线于点，以为直径的圆交直线于另一点．当点在轴上时，求的周长；（3）将绕坐标平面内的某一点按顺时针方向旋转，得到，点的对应点分别是．若的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点的坐标．16．（2017·甘肃中考真题）如图，抛物线与直线交于，两点，直线交轴与点，点是直线上的动点，过点作轴交于点，交抛物线于点.(1)求抛物线的表达式；(2)连接，，当四边形是平行四边形时，求点的坐标；(3)①在轴上存在一点，连接，，当点运动到什么位置时，以为顶点的四边形是矩形？求出此时点的坐标；②在①的前提下，以点为圆心，长为半径作圆，点为上一动点，求的最小值.17．（2017·湖南中考真题）已知二次函数y=﹣x2+bx+c+1，①当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程；②若c=b2﹣2b，问：b为何值时，二次函数的图象与x轴相切？③若二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，与y轴的正半轴交于点M，以AB 为直径的半圆恰好过点M，二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F，且满足，求二次函数的表达式．18．（2017·江苏中考真题）如图，已知二次函数的图象经过点，，且与轴交于点，连接、、.(1)求此二次函数的关系式；(2)判断的形状；若的外接圆记为，请直接写出圆心的坐标；(3)若将抛物线沿射线方向平移，平移后点、、的对应点分别记为点、、，的外接圆记为，是否存在某个位置，使经过原点？若存在，求出此时抛物线的关系式；若不存在，请说明理由.。
备战2024年中考数学压轴题之二次函数篇(全国通用)专题12 二次函数-阿氏圆求最小值(学生版)
第十二讲二次函数--阿氏圆求最值必备知识点点P 在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足PA=k·PB（k≠1）的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
如图1所示，⊙O 的半径为r，点A、B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上一动点，已知r=k·OB，连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？如图2，在线段OB 上截取OC 使OC=k·r，则可说明△BPO 与△PCO 相似，即k·PB=PC。
故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A 与C 为定点,P 为动点，故当A、P、C 三点共线时，“PA+PC”值最小。
如图3所示：知识导航【破解策略详细步骤解析】例题演练1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y＝﹣x ﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值．2．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣4，﹣4），B（0，4），直线AC的解析式为y＝﹣x﹣6，且与y轴相交于点C，若点E是直线AB上的一个动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F．（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的解析式；（2）点H是y轴上一动点，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，四边形EAFH是矩形？求出此时点E，H的坐标；（3）在（2）的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上以动点，求AM+CM 的最小值．3．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴正半轴交于点A，点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．若线段AB绕点A逆时针旋转120°，点B刚好与点C重合，点B的坐标为（3，0）．（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△ACP为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如图2，以点B为圆心，以1为半径画圆，若点Q为⊙B上的一个动点，连接AQ，CQ，求AQ+CQ的最小值．4．如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．（1）如图①，若点D为抛物线的顶点，以点B为圆心，3为半径作⊙B．点E为⊙B上的动点，连接A，DE，求DE+AE的最小值．（2）如图②，若点H是直线AC与抛物线对称轴的交点，以点H为圆心，1为半径作⊙H，点Q 是⊙H上一动点，连接OQ，AQ，求OQ+AQ的最小值；（3）如图③，点D是抛物线上横坐标为2的点，过点D作DE⊥x轴于点E，点P是以O为圆心，1为半径的⊙O上的动点，连接CD，DP，PE，求PD﹣PE的最大值．5．如图，直线y＝x+2与抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，抛物线的对称轴与直线AB交于点M．（1）当四边形CODM是菱形时，求点D的坐标；（2）若点P为直线OD上一动点，求△APB的面积；′（3）作点B关于直线MD的对称点B'，以点M为圆心，MD为半径作⊙M，点Q是⊙M上一动点，求QB'+QB的最小值．6．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m的顶点为C，（1）求点C的坐标（用含m的代数式表示）；（2）如图，当m＝0时，直线y＝x+2与抛物线交于A、B两点，点A，点B分别在抛物线的对称轴左右两侧；①抛物线的对称轴与直线AB交于点M，点G（1，3），在直线AB上，作B点关于直线MC的对称点B′，以M为圆心，MC为半径作圆，动点Q在圆周上运动时，的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律；②直接写出B′Q+QB的最小值．7．如图，已知点A（﹣4，0），点B（﹣2，﹣1），直线y＝2x+b过点B，交y轴于点C，抛物线y＝ax2+x+c经过点A，C．（1）求抛物线的解析式；（2）D为直线AC上方的抛物线上一点，且tan∠ACD＝，求点D的坐标；（3）平面内任意一点P，与点O距离始终为2，连接PA，PC．直接写出PA+PC的最小值．8．如图，直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过A、B两点．（1）求二次函数解析式；（2）如图1，点E在线段AB上方的抛物线上运动（不与A、B重合），过点E作ED⊥AB，交AB于点D，作EF⊥AC，交AC于点F，交AB于点M，求△DEM的周长的最大值；（3）在（2）的结论下，连接CM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、C、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．（4）如图2，点N的坐标是（1，0），将线段ON绕点O逆时针旋转得到ON′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接N′A、N′B，求N′A+N′B的最小值．9．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴是直线x＝．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是直线BC下方的抛物线上一个动点，是否存在点P使四边形ABPC的面积为16，若存在，求出点P的坐标若不存在，请说明理由；（3）如图2，过点B作BF⊥BC交抛物线的对称轴于点F，以点C为圆心，2为半径作⊙C，点Q为⊙C上的一个动点，求BQ+FQ的最小值．10．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B（8，0），点A为抛物线的顶点．（1）求二次函数的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是等腰三角形？如果存在，请求出点M的坐标．如果不存在，请说明理由；（3）若点P为⊙O上的动点，且⊙O的半径为，求的最小值．。
中考二次函数压轴题(共23道题目)
中考二次函数压轴题（共23道题目）一．选择题（共10小题）1．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：4a+2b+c＜0，2a+b＜0，b2+8a＞4ac，a＜﹣1，其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图是某二次函数的图象，将其向左平移2个单位后的图象的函数解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），则下列结论中正确的有（）（1）a＞0；（2）c＜0；（3）2a﹣b=0；（4）a+b+c＞0．A．1个B．2个C．3个D．4个3．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，在下列代数式中（1）a+b+c ＞0；（2）﹣4a＜b＜﹣2a（3）abc＞0；（4）5a﹣b+2c＜0；其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．已知点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）都在抛物线y=x2+bx上，x1、x2、x3为△ABC的三边，且x1＜x2＜x3，若对所有的正整数x1、x2、x3都满足y1＜y2＜y3，则b的取值范围是（）A．b＞﹣2 B．b＞﹣3 C．b＞﹣4 D．b＞﹣55．如图，点A（m，n）是一次函数y=2x的图象上的任意一点，AB垂直于x轴，垂足为B，那么三角形ABO的面积S关于m的函数关系的图象大致为（）A．B．CD．6．抛物线y=ax2+bx+c的图象经过原点和第一、二、三象限，那么下列结论成立的是（）A．a＞0，b＞0，c=0 B．a＞0，b＜0，c=0 C．a＜0，b＞0，c=0 D．a＜0，b＜0，c=07．已知抛物线y=x2﹣（4m+1）x+2m﹣1与x轴交于两点，如果有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，并且抛物线与y轴的交点在点（0，）的下方，那么m的取值范围是（）A．B．C．D．全体实数8．函数y=与y=﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．9．已知抛物线y=x2+bx+c（c＜0）经过点（c，0），以该抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S，则S可表示为（）A．|2+b||b+1| B．c（1﹣c）C．（b+1）2 D．10．下列关于函数y=（m2﹣1）x2﹣（3m﹣1）x+2的图象与坐标轴的公共点情况：①当m≠3时，有三个公共点；②m=3时，只有两个公共点；③若只有两个公共点，则m=3；④若有三个公共点，则m≠3．其中描述正确的有（）个．A．一个B．两个C．三个D．四个二．填空题（共10小题）11．已知：如图，过原点的抛物线的顶点为M（﹣2，4），与x轴负半轴交于点A，对称轴与x轴交于点B，点P是抛物线上一个动点，过点P作PQ⊥MA于点Q．（1）抛物线解析式为．（2）若△MPQ与△MAB相似，则满足条件的点P的坐标为．12．将抛物线y=x2﹣2向左平移3个单位，所得抛物线的函数表达式为．13．如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M，使CM=|CE﹣EO|，再以CM、CO为边作矩形CMNO．令m=，则m= ；又若CO=1，CE=，Q为AE上一点且QF=，抛物线y=mx2+bx+c经过C、Q两点，则抛物线与边AB的交点坐标是．15．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，1）、（4，2）、（2，6）．如果P（x，y）是△ABC围成的区域（含边界）上的点，那么当w=xy取得最大值时，点P的坐标是．16．如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，在下列结论中：①ac＞0；②方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1，x2=5；③a+b+c＜0；④当x＜2时，y随着x的增大而增大．正确的结论有（请写出所有正确结论的序号）．17．已知当x1=a，x2=b，x3=c时，二次函数y=x2+mx对应的函数值分别为y1，y 2，y3，若正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且当a＜b＜c时，都有y 1＜y2＜y3，则实数m的取值范围是．18．如图，已知一动圆的圆心P在抛物线y=x2﹣3x+3上运动．若⊙P半径为1，点P的坐标为（m，n），当⊙P与x轴相交时，点P的横坐标m的取值范围是．19．如图，四边形ABCD是矩形，A、B两点在x轴的正半轴上，C、D两点在抛物线y=﹣x2+6x上．设OA=m（0＜m＜3），矩形ABCD的周长为l，则l与m的函数解析式为．20．若二次函数y=ax2+bx+c的顶点在第一象限，且经过点（0，1），（﹣1，0），则y=a+b+c的取值范围是．三．解答题（共4小题）21．已知抛物线y=ax2﹣2x+c与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C，对称轴为x=1，顶点为E，直线y=﹣x+1交y轴于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：△BCE∽△BOD；（3）点P是抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，△BDP的面积等于△BOE的面积？22．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．23．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴的交点是A（3，0）、B（6，0），与y轴的交点是C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设P（x，y）（0＜x＜6）是抛物线上的动点，过点P作PQ∥y轴交直线BC 于点Q．①当x取何值时，线段PQ的长度取得最大值，其最大值是多少？②是否存在这样的点P，使△OAQ为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．24．如图，直角梯形ABCO的两边OA，OC在坐标轴的正半轴上，BC∥x轴，OA=OC=4，以直线x=1为对称轴的抛物线过A，B，C三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）已知直线l的解析式为y=x+m，它与x轴交于点G，在梯形ABCO的一边上取点P．①当m=0时，如图1，点P是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH⊥直线l 于点H，连结OP，试求△OPH的面积；②当m=﹣3时，过点P分别作x轴、直线l的垂线，垂足为点E，F．是否存在这样的点P，使以P，E，F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．二次函数压轴题（共24道题目）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：4a+2b+c＜0，2a+b＜0，b2+8a＞4ac，a＜﹣1，其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上，得c＞0，对称轴为x=＜1，∵a＜0，∴2a+b＜0，而抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，当x=2时，y=4a+2b+c＜0，当x=1时，a+b+c=2．∵＞2，∴4ac﹣b2＜8a，∴b2+8a＞4ac，∵①a+b+c=2，则2a+2b+2c=4，②4a+2b+c＜0，③a﹣b+c＜0．由①，③得到2a+2c＜2，由①，②得到2a﹣c＜﹣4，4a﹣2c＜﹣8，上面两个相加得到6a＜﹣6，∴a＜﹣1．故选：D．2．如图是某二次函数的图象，将其向左平移2个单位后的图象的函数解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），则下列结论中正确的有（）（1）a＞0；（2）c＜0；（3）2a﹣b=0；（4）a+b+c＞0．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】如图是y=ax2+bx+c的图象，根据开口方向向上知道a＞0，又由与y轴的交点为在y轴的负半轴上得到c＜0，由对称轴x==﹣1，可以得到2a﹣b=0，又当x=1时，可以判断a+b+c的值．由此可以判定所有结论正确与否．【解答】解：（1）∵将其向左平移2个单位后的图象的函数解析式为y=ax2+bx+c （a≠0）（如虚线部分），∴y=ax2+bx+c的对称轴为：直线x=﹣1；∵开口方向向上，∴a＞0，故①正确；（2）∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上∴c＜0，故②正确；（3）∵对称轴x==﹣1，∴2a﹣b=0，故③正确；（4）当x=1时，y=a+b+c＞0，故④正确．故选：D．3．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，在下列代数式中（1）a+b+c ＞0；（2）﹣4a＜b＜﹣2a（3）abc＞0；（4）5a﹣b+2c＜0；其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由抛物线开口向上得到a大于0，再由对称轴在y轴右侧得到a与b异号，即b小于0，由抛物线与y轴交于正半轴，得到c大于0，可得出abc的符合，对于（3）作出判断；由x=1时对应的函数值小于0，将x=1代入二次函数解析式得到a+b+c小于0，（1）错误；根据对称轴在1和2之间，利用对称轴公式列出不等式，由a大于0，得到﹣2a小于0，在不等式两边同时乘以﹣2a，不等号方向改变，可得出不等式，对（2）作出判断；由x=﹣1时对应的函数值大于0，将x=﹣1代入二次函数解析式得到a﹣b+c大于0，又4a大于0，c大于0，可得出a﹣b+c+4a+c大于0，合并后得到（4）正确，综上，即可得到正确的个数．【解答】解：由图形可知：抛物线开口向上，与y轴交点在正半轴，∴a＞0，b＜0，c＞0，即abc＜0，故（3）错误；又x=1时，对应的函数值小于0，故将x=1代入得：a+b+c＜0，故（1）错误；∵对称轴在1和2之间，∴1＜﹣＜2，又a＞0，∴在不等式左右两边都乘以﹣2a得：﹣2a＞b＞﹣4a，故（2）正确；又x=﹣1时，对应的函数值大于0，故将x=﹣1代入得：a﹣b+c＞0，又a＞0，即4a＞0，c＞0，∴5a﹣b+2c=（a﹣b+c）+4a+c＞0，故（4）错误，综上，正确的有1个，为选项（2）．故选：A．4．已知点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）都在抛物线y=x2+bx上，x1、x2、x3为△ABC的三边，且x1＜x2＜x3，若对所有的正整数x1、x2、x3都满足y1＜y2＜y3，则b的取值范围是（）A．b＞﹣2 B．b＞﹣3 C．b＞﹣4 D．b＞﹣5【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，结合已知条件，可知x1、x2、x3的最小一组值是2、3、4；根据抛物线，知它与x轴的交点是（0，0）和（﹣b，0），对称轴是x=﹣．因此要满足已知条件，则其对称轴应小于2.5．【解答】解：∵x1、x2、x3为△ABC的三边，且x1＜x2＜x3，∴x1、x2、x3的最小一组值是2、3、4．∵抛物线y=x2+bx与x轴的交点是（0，0）和（﹣b，0），对称轴是x=﹣，∴若对所有的正整数x1、x2、x3都满足y1＜y2＜y3，则﹣＜2.5解，得b＞﹣5．故选：D．5．如图，点A（m，n）是一次函数y=2x的图象上的任意一点，AB垂直于x轴，垂足为B，那么三角形ABO的面积S关于m的函数关系的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】因为A（m，n）是一次函数y=2x的图象上的任意一点，所以n=2m．根据三角形面积公式即可得出S与m之间的函数关系，根据关系式即可解答．【解答】解：由题意可列该函数关系式：S=|m|•2|m|=m2，因为点A（m，n）是一次函数y=2x的图象上的任意一点，所以点A（m，n）在第一或三象限，又因为S＞0，所以取第一、二象限内的部分．故选：D．6．抛物线y=ax2+bx+c的图象经过原点和第一、二、三象限，那么下列结论成立的是（）A．a＞0，b＞0，c=0 B．a＞0，b＜0，c=0 C．a＜0，b＞0，c=0 D．a＜0，b＜0，c=0【分析】先根据图象经过象限的情况判断出a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理．【解答】解：∵抛物线经过原点，∴c=0，∵抛物线经过第一，二，三象限，可推测出抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧∴a＞0，∵对称轴在y轴左侧，∴对称轴为x=＜0，又因为a＞0，∴b＞0．故选：A．7．已知抛物线y=x2﹣（4m+1）x+2m﹣1与x轴交于两点，如果有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，并且抛物线与y轴的交点在点（0，）的下方，那么m的取值范围是（）A．B．C．D．全体实数【分析】因为抛物线y=x2﹣（4m+1）x+2m﹣1与x轴有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，且抛物线开口向上，所以令f（x）=x2﹣（4m+1）x+2m﹣1，则f（2）＜0，解不等式可得m＞，又因为抛物线与y轴的交点在点（0，）的下方，所以f（0）＜﹣，解得m＜，即可得解．【解答】解：根据题意，令f（x）=x2﹣（4m+1）x+2m﹣1，∵抛物线y=x2﹣（4m+1）x+2m﹣1与x轴有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，且抛物线开口向上，∴f（2）＜0，即4﹣2（4m+1）+2m﹣1＜0，解得：m＞，又∵抛物线与y轴的交点在点（0，）的下方，∴f（0）＜﹣，解得：m＜，综上可得：＜m＜，故选：A．8．函数y=与y=﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．【分析】本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．【解答】解：由解析式y=﹣kx2+k可得：抛物线对称轴x=0；A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则﹣k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，故A错误；B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故B正确；C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故C错误；D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故D错误．故选：B．9．已知抛物线y=x2+bx+c（c＜0）经过点（c，0），以该抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S，则S可表示为（）A．|2+b||b+1| B．c（1﹣c）C．（b+1）2 D．【分析】把点（c，0）代入抛物线中，可得b、c的关系式，再设抛物线与x轴的交点分别为x1、x2，则x1、x2满足x2+bx+c=0，根据根的判别式结合两点间的距离公式可求|x1﹣x2|，那么就可得到以该抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积．【解答】解：∵抛物线y=x2+bx+c（c＜0）经过点（c，0），∴c2+bc+c=0；∴c（c+b+1）=0；∵c＜0，∴c=﹣b﹣1；设x1，x2是一元二次方程x2+bx+c=0的两根，∴x1+x2=﹣b，x1•x2=c=﹣b﹣1，∴抛物线与x轴的交点间的距离为|x1﹣x2|=====|2+b|，∴S可表示为|2+b||b+1|．故选：A．10．下列关于函数y=（m2﹣1）x2﹣（3m﹣1）x+2的图象与坐标轴的公共点情况：①当m≠3时，有三个公共点；②m=3时，只有两个公共点；③若只有两个公共点，则m=3；④若有三个公共点，则m≠3．其中描述正确的有（）个．A．一个B．两个C．三个D．四个【分析】令y=0，可得出（m2﹣1）x2﹣（3m﹣1）x+2=0，得出判别式的表达式，然后根据m的取值进行判断，另外要注意m的取值决定函数是一次函数还是二次函数，不要忘了考虑一次函数的情况．【解答】解：令y=0，可得出（m2﹣1）x2﹣（3m﹣1）x+2=0，△=（3m﹣1）2﹣8（m2﹣1）=（m﹣3）2，①当m≠3，m=±1时，函数是一次函数，与坐标轴有两个交点，故错误；②当m=3时，△=0，与x轴有一个公共点，与y轴有一个公共点，总共两个，故正确；③若只有两个公共点，m=3或m=±1，故错误；④若有三个公共点，则m≠3且m≠±1，故错误；综上可得只有②正确，共个．故选：A．二．填空题（共10小题）11．已知：如图，过原点的抛物线的顶点为M（﹣2，4），与x轴负半轴交于点A，对称轴与x轴交于点B，点P是抛物线上一个动点，过点P作PQ⊥MA于点Q．（1）抛物线解析式为y=﹣x2﹣4x ．（2）若△MPQ与△MAB相似，则满足条件的点P的坐标为（﹣，）、（﹣，）．【分析】（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+2）2+4，因为抛物线过原点，把（0，0）代入，求出a即可．（2）由于PQ⊥MA，即∠MQP=∠MBA=90°；所以只要满足∠PMQ=∠MAB或∠PMQ=∠AMB．①∠PMQ=∠AMB时，先找出点B关于直线MA的对称点（设为点C），显然有AC=AB=2、MC=MB=4，可根据该条件得到点C的坐标，进而求出直线MC（即直线MP）的解析式，联立抛物线的解析式即可得到点P的坐标；②∠PMQ=∠MAB时，若设直线MP与x轴的交点为D，那么△MAD必为等腰三角形，即MD=AD，根据此条件先求出点D的坐标，进而得出直线MP的解析式，联立抛物线的解析式即可得解．【解答】解：（1）∵过原点的抛物线的顶点为M（﹣2，4），∴设抛物线的解析式为：y=a（x+2）2+4，将x=0，y=0代入可得：4a+4=0，解得：a=﹣1，∴抛物线解析式为：y=﹣（x+2）2+4，即y=﹣x2﹣4x；（2）∵PQ⊥MA∴∠MQP=∠MBA=90°；若△MPQ、△MAB相似，那么需满足下面的其中一种情况：①∠PMQ=∠AMB，此时MA为∠PMB的角平分线，如图①；取点B关于直线MA的对称点C，则AC=AB=2，MC=MB=4，设点C（x，y），有：，解得（舍），∴点C的坐标为（﹣，）；设直线MP的解析式：y=kx+b，代入M（﹣2，4）、（﹣，）得：，解得∴直线MP：y=x+联立抛物线的解析式，有：，解得，∴点P的坐标（﹣，）；②∠PMQ=∠MAB，如右图②，此时△MAD为等腰三角形，且MD=AD，若设点D（x，0），则有：（x+4）2=（x+2）2+（0﹣4）2，解得：x=1∴点D（1，0）；设直线MP的解析式：y=kx+b，代入M（﹣2，4）、D（1，0）后，有：，解得：∴直线MP：y=﹣x+联立抛物线的解析式有：，解得：，∴点P的坐标（﹣，）综上，符合条件的P点有两个，且坐标为（﹣，）、（﹣，）．故答案：（1）y=﹣x2﹣4x；（2）（﹣，）、（﹣，）．12．将抛物线y=x2﹣2向左平移3个单位，所得抛物线的函数表达式为y=x2+6x+7 ．【分析】根据二次函数图象的平移规律：左右平移，x改变：左加右减，y不变；上下平移，x不变，y改变，上加下减进行计算即可．【解答】解：根据平移规律：将抛物线y=x2﹣2向左平移3个单位得到：y=（x+3）2﹣2，y=x2+6x+7．故答案为：y=x2+6x+7．13．如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M，使CM=|CE﹣EO|，再以CM、CO为边作矩形CMNO．令m=，则m= 1 ；又若CO=1，CE=，Q为AE上一点且QF=，抛物线y=mx2+bx+c经过C、Q两点，则抛物线与边AB的交点坐标是（，）．【分析】求出CM=OE﹣CE，求出四边形CFGH的面积是CO×（OE﹣CE），求出四边形CMNO的面积是（OE﹣CE）×CO，即可求出m值；求出EF值，得出EF=QF，得出等边三角形EFQ，求出EQ，求出∠CEF、∠OEA，过Q作QD⊥OE于D，求出Q 坐标，代入抛物线求出抛物线的解析式，把x=代入抛物线即可求出y，即得出答案．【解答】解：∵沿AE折叠，O和F重合，∴OE=EF，∵在Rt△CEF中，EF＞CE，即OE＞CE，∴CM=|CE﹣EO|=OE﹣CE，∵S=CF2=EF2﹣EC2=EO2﹣EC2=（EO+EC）（EO﹣EC）=CO×（EO﹣EC），四边形CFGH=CM×CO=（OE﹣CE）×OC，S四边形CMNO∴m==1；∵CO=1，CE=，QF=，∴EF=EO==QF，C（0，1），∴sin∠EFC==，∴∠EFC=30°，∠CEF=60°，∴∠FEA=×（180°﹣60°）=60°，∵EF=QF，∴△EFQ是等边三角形，∴EQ=，过Q作QD⊥OE于D，ED=EQ=．∵由勾股定理得：DQ=，∴OD=﹣=，即Q的坐标是（，），∵抛物线过C、Q，m=1代入得：，解得：b=﹣，c=1，∴抛物线的解析式是：y=x2﹣x+1，AO=EO=，∵把x=代入抛物线得：y=，∴抛物线与AB的交点坐标是（，），故答案为：1，．14．该试题已被管理员删除15．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，1）、（4，2）、（2，6）．如果P（x，y）是△ABC围成的区域（含边界）上的点，那么当w=xy取得最大值时，点P的坐标是（，5）．【分析】分别求得线段AB、线段AC、线段BC的解析式，分析每一条线段上横、纵坐标的乘积的最大值，再进一步比较．【解答】解：线段AB的解析式是y=x+1（0≤x≤4），此时w=x（x+1）=+x，则x=4时，w最大=8；线段AC的解析式是y=x+1（0≤x≤2），此时w=x（x+1）=+x，此时x=2时，w最大=12；线段BC的解析式是y=﹣2x+10（2≤x≤4），此时w=x（﹣2x+10）=﹣2x2+10x，此时x=时，w最大=12.5．综上所述，当w=xy取得最大值时，点P的坐标是（，5）．16．如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，在下列结论中：①ac＞0；②方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1，x2=5；③a+b+c＜0；④当x＜2时，y随着x的增大而增大．正确的结论有②④（请写出所有正确结论的序号）．【分析】根据抛物线的开口向下判断出a＜0，再根据与y轴的交点判断出c＞0，然后判断出①错误；根据与x轴的交点坐标判断出②正确；取x=1的函数值判断出③错误；先求出抛物线对称轴为直线x=2，然后根据二次函数的增减性判断出④正确．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵与y轴的正半轴相交，∴c＞0，∴ac＜0，故①错误；∵抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（5，0），∴方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1，x2=5，故②正确；由图可知，当x=1时，函数值y＞0，即a+b+c＞0，故③错误；抛物线对称轴为直线x==2；当x＜2时，y随着x的增大而增大，故④正确；综上所述，正确的结论是②④．故答案为：②④．17．已知当x1=a，x2=b，x3=c时，二次函数y=x2+mx对应的函数值分别为y1，y 2，y3，若正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且当a＜b＜c时，都有y 1＜y2＜y3，则实数m的取值范围是m＞﹣．【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出a最小为2，再根据二次函数的增减性和对称性判断出对称轴在2、3之间偏向2，即小于2.5，然后列出不等式求解即可．【解答】方法一：解：∵正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且a＜b＜c，∴a最小是2，∵y1＜y2＜y3，∴﹣＜2.5，解得m＞﹣2.5．方法二：解：当a＜b＜c时，都有y1＜y2＜y3，即，∴，∴，∵a，b，c恰好是一个三角形的三边长，a＜b＜c，∴a+b＜b+c，∴m＞﹣（a+b），∵a，b，c为正整数，∴a，b，c的最小值分别为2、3、4，∴m＞﹣（a+b）≥﹣（2+3）=﹣，∴m＞﹣，故答案为：m＞﹣．18．如图，已知一动圆的圆心P在抛物线y=x2﹣3x+3上运动．若⊙P半径为1，点P的坐标为（m，n），当⊙P与x轴相交时，点P的横坐标m的取值范围是3﹣＜m＜2或4＜m＜3+．【分析】由圆心P在抛物线y=x2﹣3x+3上运动，点P的坐标为（m，n），可得n=m2﹣3m+3，又由⊙P半径为1，⊙P与x轴相交，可得|m2﹣3m+3|＜1，继而可求得答案．【解答】解：∵圆心P在抛物线y=x2﹣3x+3上运动，点P的坐标为（m，n），∴n=m2﹣3m+3，∵⊙P半径为1，⊙P与x轴相交，∴|n|＜1，∴|m2﹣3m+3|＜1，∴﹣1＜m2﹣3m+3＜1，解m2﹣3m+3＜1，得：3﹣＜m＜3+，解m2﹣3m+3＞﹣1，得：m＜2或m＞4，∴点P的横坐标m的取值范围是：3﹣＜m＜2或4＜m＜3+．故答案为：3﹣＜m＜2或4＜m＜3+．19．如图，四边形ABCD是矩形，A、B两点在x轴的正半轴上，C、D两点在抛物线y=﹣x2+6x上．设OA=m（0＜m＜3），矩形ABCD的周长为l，则l与m的函数解析式为l=﹣2m2+8m+12 ．【分析】求l与m的函数解析式就是把m当作已知量，求l，先求AD，它的长就是D点的纵坐标，再把D点纵坐标代入函数解析式求C点横坐标，C点横坐标与D点横坐标的差就是线段CD的长，用l=2（AD+CD），建立函数关系式．【解答】解：把x=m代入抛物线y=﹣x2+6x中，得AD=﹣m2+6m把y=﹣m2+6m代入抛物线y=﹣x2+6x中，得﹣m2+6m=﹣x2+6x解得x1=m，x2=6﹣m∴C的横坐标是6﹣m，故AB=6﹣m﹣m=6﹣2m∴矩形的周长是l=2（﹣m2+6m）+2（6﹣2m）即l=﹣2m2+8m+12．20．若二次函数y=ax2+bx+c的顶点在第一象限，且经过点（0，1），（﹣1，0），则y=a+b+c的取值范围是0＜y＜2 ．【分析】由二次函数的解析式可知，当x=1时，所对应的函数值y=s=a+b+c．把点（0，1），（﹣1，0）代入y=ax2+bx+c，得出c=1，a﹣b+c=0，然后根据顶点在第一象限，可以画出草图并判断出a与b的符号，进而求出y=a+b+c的变化范围．【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点在第一象限，且经过点（0，1），（﹣1，0），∴易得：c=1，a﹣b+c=0，a＜0，b＞0，由a=b﹣1＜0得到b＜1，结合上面b＞0，所以0＜b＜1①，由b=a+1＞0得到a＞﹣1，结合上面a＜0，所以﹣1＜a＜0②，∴由①②得：﹣1＜a+b＜1，且c=1，得到：0＜a+b+c＜2，则y=a+b+c的取值范围是0＜y＜2．故答案为：0＜y＜2三．解答题（共4小题）21．已知抛物线y=ax2﹣2x+c与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C，对称轴为x=1，顶点为E，直线y=﹣x+1交y轴于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：△BCE∽△BOD；（3）点P是抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，△BDP的面积等于△BOE的面积？【分析】（1）在抛物线y=ax2﹣2x+c中，已知对称轴x=﹣=1，可求出a的值；再将点A的坐标代入抛物线的解析式中，可确定c的值，由此得解．（2）首先由抛物线的解析式，确定点B、C、E的坐标，由直线BD的解析式能得到点D的坐标；在求出△BCE、△BOD的三边长后，由SSS来判定这两个三角形相似．（3）△BOE的面积易得，而在（2）中求出了BD的长，由△BDP、△BOE的面积相等先求出点P到直线BD的距离，如何由这个距离求出点P的坐标？这里需要进行适当的转化；首先在y轴上取一点（可设为点M），使得点M到直线BD的距离等于点P到直线BD的距离，通过解直角三角形先求出DM的长，由此确定点M 的坐标，然后过M作平行于直线BD的直线，再联立抛物线的解析式即可确定点P的坐标．【解答】解：（1）抛物线y=ax2﹣2x+c中，对称轴x=﹣=﹣=1，∴a=1；将点A（﹣1，0）代入y=ax2﹣2x+c中，得：1+2+c=0，c=﹣3；∴抛物线的解析式：y=x2﹣2x﹣3．（2）∵抛物线的解析式：y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4=（x+1）（x﹣3），∴点C（0，﹣3）、B（3，0）、E（1，﹣4）；易知点D（0，1），则有：OD=1、OB=3、BD=；CE=、BC=3、BE=2；∴==，∴△BCE∽△BOD．（3）S△BOE =×BO×|yE|=×3×4=6；∴S△BDP =×BD×h=S△BOE=6，即 h=．在y轴上取点M，过点M作MN1⊥BD于N1，使得MN1=h=；在Rt△MN1D中，sin∠MDN1=，且 MN1=；则 MD==4；∴点M（0，﹣3）或（0，5）．过点M作直线l∥MN2，如右图，则直线l：y=﹣x﹣3或y=﹣x+5，联立抛物线的解析式有：或解得：、、、∴当点P的坐标为（0，﹣3）、（，﹣）、（，）、（，）时，△BDP的面积等于△BOE的面积．22．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．【分析】（1）已知B（4，m）在直线y=x+2上，可求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值．（2）要弄清PC的长，实际是直线AB与抛物线函数值的差．可设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC的最大值．（3）当△PAC为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解．【解答】解：（1）∵B（4，m）在直线y=x+2上，∴m=4+2=6，∴B（4，6），∵A（，）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx+6上，∴，解得，∴抛物线的解析式为y=2x2﹣8x+6．（2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n2﹣8n+6），∴PC=（n+2）﹣（2n2﹣8n+6），=﹣2n2+9n﹣4，=﹣2（n﹣）2+，∵PC＞0，∴当n=时，线段PC最大且为．（3）∵△PAC为直角三角形，i）若点P为直角顶点，则∠APC=90°．由题意易知，PC∥y轴，∠APC=45°，因此这种情形不存在；ii）若点A为直角顶点，则∠PAC=90°．如答图3﹣1，过点A（，）作AN⊥x轴于点N，则ON=，AN=．过点A作AM⊥直线AB，交x轴于点M，则由题意易知，△AMN为等腰直角三角形，∴MN=AN=，∴OM=ON+MN=+=3，∴M（3，0）．设直线AM的解析式为：y=kx+b，则：，解得，∴直线AM的解析式为：y=﹣x+3 ①又抛物线的解析式为：y=2x2﹣8x+6 ②联立①②式，解得：x=3或x=（与点A重合，舍去）∴C（3，0），即点C、M点重合．当x=3时，y=x+2=5，∴P1（3，5）；iii）若点C为直角顶点，则∠ACP=90°．∵y=2x2﹣8x+6=2（x﹣2）2﹣2，∴抛物线的对称轴为直线x=2．如答图3﹣2，作点A（，）关于对称轴x=2的对称点C，则点C在抛物线上，且C（，）．当x=时，y=x+2=．∴P2（，）．∵点P1（3，5）、P2（，）均在线段AB上，∴综上所述，△PAC为直角三角形时，点P的坐标为（3，5）或（，）．23．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴的交点是A（3，0）、B（6，0），与y轴的交点是C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设P（x，y）（0＜x＜6）是抛物线上的动点，过点P作PQ∥y轴交直线BC 于点Q．①当x取何值时，线段PQ的长度取得最大值，其最大值是多少？②是否存在这样的点P，使△OAQ为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）已知了A，B的坐标，可用待定系数法求出函数的解析式．（2）①QP其实就是一次函数与二次函数的差，二次函数的解析式在（1）中已经求出，而一次函数可根据B，C的坐标，用待定系数法求出．那么让一次函数的解析式减去二次函数的解析式，得出的新的函数就是关于PQ，x的函数关系式，那么可根据函数的性质求出PQ的最大值以及相对应的x的取值．（3）分三种情况进行讨论：当∠QOA=90°时，Q与C重合，显然不合题意．因此这种情况不成立；当∠OAQ=90°时，P与A重合，因此P的坐标就是A的坐标；当∠OQA=90°时，如果设QP与x轴的交点为D，那么根据射影定理可得出DQ2=OD•DA．由此可得出关于x的方程即可求出x的值，然后将x代入二次函数式中即可得出P的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线过A（3，0），B（6，0），∴，解得：，∴所求抛物线的函数表达式是y=x2﹣x+2．（2）①∵当x=0时，y=2，∴点C的坐标为（0，2）．设直线BC的函数表达式是y=kx+h．则有，解得：．∴直线BC的函数表达式是y=﹣x+2．∵0＜x＜6，点P、Q的横坐标相同，∴PQ=yQ ﹣yP=（﹣x+2）﹣（x2﹣x+2）=﹣x2+x=﹣（x﹣3）2+1∴当x=3时，线段PQ的长度取得最大值．最大值是1．②解：当∠OAQ′=90°时，点P与点A重合，∴P（3，0）当∠Q′OA=90°时，点P与点C重合，∴x=0（不合题意）当∠OQ′A=90°时，设PQ′与x轴交于点D．∵∠OQ′D+∠AOQ′=90°，∠Q′AD+∠AQ′D=90°，∴∠OQ′D=∠Q′AD．又∵∠ODQ′=∠Q′DA=90°，∴△ODQ′∽△Q′DA．∴，即DQ′2=OD•DA．∴（﹣x+2）2=x（3﹣x），10x2﹣39x+36=0，∴x1=，x2=，∴y=×（）2﹣+2=；1y=×（）2﹣+2=；2∴P（，）或P（，）．∴所求的点P的坐标是P（3，0）或P（，）或P（，）．24．如图，直角梯形ABCO的两边OA，OC在坐标轴的正半轴上，BC∥x轴，OA=OC=4，以直线x=1为对称轴的抛物线过A，B，C三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）已知直线l的解析式为y=x+m，它与x轴交于点G，在梯形ABCO的一边上取点P．①当m=0时，如图1，点P是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH⊥直线l 于点H，连结OP，试求△OPH的面积；②当m=﹣3时，过点P分别作x轴、直线l的垂线，垂足为点E，F．是否存在这样的点P，使以P，E，F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）①如答图1，作辅助线，利用关系式S △OPH =S △OMH ﹣S △OMP 求解；②本问涉及复杂的分类讨论，如答图2所示．由于点P 可能在OC 、BC 、BK 、AK 、OA 上，而等腰三角形本身又有三种情形，故讨论与计算的过程比较复杂，需要耐心细致、考虑全面．【解答】解：（1）由题意得：A （4，0），C （0，4），对称轴为x=1． 设抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c ，则有：，解得．∴抛物线的函数解析式为：y=﹣x 2+x+4．（2）①当m=0时，直线l ：y=x ． ∵抛物线对称轴为x=1， ∴CP=1．如答图1，延长HP 交y 轴于点M ，则△OMH 、△CMP 均为等腰直角三角形．∴CM=CP=1， ∴OM=OC+CM=5．S △OPH =S △OMH ﹣S △OMP =（OM ）2﹣OM •CP=×（×5）2﹣×5×1=﹣=，∴S △OPH =．②当m=﹣3时，直线l：y=x﹣3．设直线l与x轴、y轴交于点G、点D，则G（3，0），D（0，﹣3）．假设存在满足条件的点P．a）当点P在OC边上时，如答图2﹣1所示，此时点E与点O重合．设PE=a（0＜a≤4），则PD=3+a，PF=PD=（3+a）．过点F作FN⊥y轴于点N，则FN=PN=PF，∴EN=|PN﹣PE|=|PF﹣PE|．在Rt△EFN中，由勾股定理得：EF==．若PE=PF，则：a=（3+a），解得a=3（+1）＞4，故此种情形不存在；若PF=EF，则：PF=，整理得PE=PF，即a=3+a，不成立，故此种情形不存在；若PE=EF，则：PE=，整理得PF=PE，即（3+a）=a，解得a=3．（0，3）．∴P1b）当点P在BC边上时，如答图2﹣2所示，此时PE=4．若PE=PF，则点P为∠OGD的角平分线与BC的交点，有GE=GF，过点F分别作FH ⊥PE于点H，FK⊥x轴于点K，∵∠OGD=135°，∴∠EPF=45°，即△PHF为等腰直角三角形，设GE=GF=t，则GK=FK=EH=t，∴PH=HF=EK=EG+GK=t+t，∴PE=PH+EH=t+t+t=4，解得t=4﹣4，则OE=3﹣t=7﹣4，（7﹣4，4）∴P2c）∵A（4，0），B（2，4），∴可求得直线AB解析式为：y=﹣2x+8；联立y=﹣2x+8与y=x﹣3，解得x=，y=．设直线BA与直线l交于点K，则K（，）．当点P在线段BK上时，如答图2﹣3所示．设P（a，8﹣2a）（2≤a≤），则Q（a，a﹣3），∴PE=8﹣2a，PQ=11﹣3a，∴PF=（11﹣3a）．与a）同理，可求得：EF=．若PE=PF，则8﹣2a=（11﹣3a），解得a=1﹣2＜0，故此种情形不存在；若PF=EF，则PF=，整理得PE=PF，即8﹣2a=•（11﹣3a），解得a=3，符合条件，此时P（3，2）；3若PE=EF，则PE=，整理得PF=PE，即（11﹣3a）=（8﹣2a），解得a=5＞，故此种情形不存在．。
2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题(面积问题)(含简单答案)
2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题（面积问题）1．如图，二次函数25y ax bx =++的图象经过点(1,8)，且与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点(1,0)A -，M 为抛物线的顶点．(1)求二次函数的解析式； (2)求MCB △的面积；(3)在坐标轴上是否存在点N ，使得BCN △为直角三角形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线212y x bx c =-++（b 、c 为常数）经过()4,0A 和()0,4B 两点，其顶点为C ．(1)求该抛物线的表达式及其顶点坐标；(2)若点M 是拋物线上第一象限的一个动点．设ABM 的面积为S ，试求S 的最大值； (3)若抛物线222y mx mx m =-++与线段AB 有两个交点，直接写出m 的取值范围． 3．如图，抛物线22(0)y ax ax c a =-+>与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 左侧．点A 的坐标为(1,0),3OC OA -=．(1)求抛物线的解析式；(2)在直线BC 下方的抛物线上是否存在一点P ，使得PBC 的面积等于ABC 面积的三分之二？若存在，求出此时OP 的长；若不存在，请说明理由．(3)将直线AC 绕着点C 旋转45︒得到直线l ，直线l 与抛物线的交点为M （异于点C ），求M 点坐标．4．如图1，抛物线24y ax bx a =+-经过()10A -，，()04C ，两点，与x 轴交于另一点B ．(1)求抛物线和直线BC 的解析式；(2)如图2，点P 为第一象限抛物线上一点，是否存在使四边形PBOC 面积最大的点P ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图3，若抛物线的对称轴EF （E 为抛物线顶点）与直线BC 相交于点F ，M 为直线BC 上的任意一点，过点M 作MN EF ∥交抛物线于点N ，以E ，F ，M ，N 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出点N 的坐标；若不能，请说明理由． 5．如图，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于点()2,0A -，()4,0B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ．(1)求抛物线的解析式和顶点D 的坐标；(2)动点P ，Q 以相同的速度从点O 同时出发，分别在线段,OB OC 上向点B ，C 方向运动，过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点E ． ①当四边形OQEP 为矩形时，求点E 的坐标；①过点E 作EM BC ⊥于点M ，连接,PM QM ，设BPM △的面积为1S ，CQM 的面积为2S ，当PE 将BCE 的面积分成1:3两部分时，请直接写出12S S 的值． 6．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴相交于A ，B 两点，抛物线的对称轴为直线=1x -，其中点A 的坐标为(3,0)-．(1)求点B 的坐标；(2)已知1a =，C 为抛物线与y 轴的交点，求抛物线的解析式； (3)若点P 在抛物线上，且4POCBOCSS=，求点P 的坐标；(4)设点Q 是线段AC 上的动点，过点Q 作QD y 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数22y ax bx =++的图象与x 轴交于()30A -,，()10B ,两点，与y 轴交于点C ．(1)求二次函数的解析式；(2)点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，当ACP △的面积最大时，求点P 的坐标；(3)Q 是x 轴上一动点，M 是第二象限内抛物线上一点，若以A ，C ，M ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点Q 的坐标．8．如图，直线132y x =-+交y 轴于点A ，交x 轴于点C ，抛物线214y x bx c =-++经过点A ，点C ，且交x 轴于另一点B ．(1)直接写出点A ，点B ，点C 的坐标及抛物线的解析式；(2)在直线AC 上方的抛物线上有一点M ，求四边形ABCM 面积的最大值及此时点M 的坐标；(3)将线段OA 绕x 轴上的动点(),0P m 顺时针旋转90°得到线段O A ''，若线段O A ''与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m 的取值范围．9．如图，已知抛物线与x 轴交于()1,0A - 、()4,0B 两点，与y 轴交于点()0,3C ．(1)求抛物线的解析式； (2)求直线BC 的函数解析式；(3)在抛物线上，是否存在一点P ，使PAB 的面积等于ABC 的面积？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线26y ax bx =++与x 轴交于点()6,0B ，()2,0C -，与y 轴交于点A ，点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 运动到什么位置时，PAB 的面积最大？(3)过点P 作x 轴的垂线，交线段AB 于点D ，再过点P 作PE x ∥轴交抛物线于点E ，连接DE ．是否存在点P ，使PDE △为等腰直角三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，直线l ：112y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点B ，C ，经过B ，C 两点的抛物线2y x bx c =++与x 轴的另一个交点为A ．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P 在直线l 下方的抛物线上，过点P 作PD ①x 轴交l 于点D ，PE ①y 轴交l 于点E ，求PD PE +的最大值；(3)若点P 在直线l 下方的抛物线上，F 为直线l 上的点，以A ，B ，P ，F 为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，直接写出点F 的坐标；若不能，请说明理由． 12．已知顶点为()1,5A 的抛物线2y ax bx c =++经过点()5,1B ，(1)求抛物线的解析式；(2)设C ，D 分别是x 轴、y 轴上的两个动点．①当四边形ABCD 的周长最小时，在图1中作直线CD ，保留作图痕迹并直接写出直线CD 的解析式；①点()(),>0P m n m 是直线y x =上的一个动点，Q 是OP 的中点，以PQ 为斜边按图2所示构造等腰Rt PQR △．在①的条件下，记PQR 与COD △的公共部分的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求S 的最大值．13．抛物线24y x x =-与直线y x =交于原点O 和点B ， 与x 轴交于另一点A ， 顶点为D ．(1)填空： 点B 的坐标为___________， 点D 的坐标为___________．(2)如图1 ， 连结OD P ，为x 轴上的动点， 当以O D P ，，为顶点的三角形是等腰三角形时， 请直接写出点P 的坐标；(3)如图2， M 是点B 关于拋物线对称轴的对称点， Q 是拋物线上的动点， 它的横坐标为 (05)m m <<， 连结MQ BQ MQ ，，与直线OB 交于点E ． 设BEQ 和BEM △的面积分别为1S 和2S ， 设12S t s =， 试求t 关于m 的函数解析式并求出t 的最值． 14．如图，二次函数的图象经过点()10A -，，()30B ，，()03C -，，直线22y x =-与x 轴、y 轴交于点D ，E ．(1)求该二次函数的解析式(2)点M 为该二次函数图象上一动点．①若点M 在图象上的B ，C 两点之间，求DME 的面积的最大值． ①若MED EDB ∠∠=，求点M 的坐标．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于()2,0A -，B 两点，其对称轴直线2x =与x 轴交于点D ．(1)求该抛物线的函数表达式为______；(2)如图1，点P 为抛物线上第四象限内的一动点，连接CD ，PB ，PC ，求四边形BDCP 面积最大值和点P 此时的坐标；(3)如图2，将该抛物线向左平移得到抛物线y '，当抛物线y '经过原点时，与原抛物线的对称轴相交于点E ，点F 为抛物线y '对称轴上的一点，点M 是平面内一点，若以点A ，E ，F ，M 为顶点的四边形是以AE 为边的菱形，请直接写出满足条件的点M 的坐标______．16．如图，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点()21,0A m -和点()2,0B m +，与y 轴交于点C ，对称轴轴为直线=1x -．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是直线AC 上一动点，过点P 作PQ y ∥轴，交抛物线于点Q ，以P 为圆心，PQ 为半径作P ，当P 与坐标轴相切时，求P 的半径；(3)直线()340y kx k k =++≠与抛物线交于M ，N 两点，求AMN 面积的最小值．17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于两点()1,0A -和()3,0B ，与y 轴交于点C ，抛物线上有一动点P ，抛物线的对称轴交x 轴于点E ，连接EC ，作直线BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 为直线BC 上方抛物线上一动点时，连接,PB PC ，当23EBC PBC S S =△△时，求点P 坐标；(3)如果抛物线的对称轴上有一动点Q ，x 轴上有一动点N ，是否存在四边形PQCN 是矩形？若存在，在横线上直接写出点N 的坐标，若不存在，请说明理由． 18．如图，直线122y x =-+交y 轴于点A ，交x 轴于点C ，抛物线214y x bx c=-++经过点A ，点C ，且交x 轴于另一点B ．(1)直接写出点A ，点B ，点C 的坐标及抛物线的解析式；(2)在直线AC 上方的抛物线上有一点M ，求三角形ACM 面积的最大值及此时点M 的坐标；(3)将线段OA 绕x 轴上的动点(),0P m 顺时针旋转90︒得到线段O A ''，若线段O A ''与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m 的取值范围（直接写出结果即可）．参考答案：1．(1)245y x x =-++； (2)15(3)存在，点N 的坐标为(5,0)-或(0,5)-或(0,0)．2．(1)2142y x x =-++，91,2⎛⎫⎪⎝⎭(2)S 的最大值为4 (3)2m ≥或1249m -<≤-3．(1)抛物线的解析式为2=23y x x -- (2)不存在这样的点P ， (3)M 点坐标是(45)，或315()24-，4．(1)抛物线的解析式：234y x x =-++；直线BC 的解析式为4y x =-+；(2)当()26P ，时，四边形PBOC 面积最大； (3)能，点N 的坐标为52124⎛⎫ ⎪⎝⎭，或724⎛- ⎝或724⎛- ⎝．5．(1)2142y x x =--，91,2D ⎛⎫- ⎪⎝⎭．(2)①(-；①1215S S =或1279S S =6．(1)(1,0) (2)223y x x =+- (3)(4,21)或()4,5- (4)947．(1)224233y x x =--+(2)3(2P -，5)2(3)(5,0)-或(1,0)-8．(1)03A （，），20B -（，），60C （，），抛物线解析式为：2134y x x =-++； (2)3a =时，四边形ABCM 面积最大，其最大值为754，此时M 的坐标为153,4⎛⎫⎪⎝⎭；(3)当3m -≤≤-33m ≤≤时，线段O A ''与抛物线只有一个公共点．9．(1)239344y x x =-++(2)334y x =-+(3)存在，点P 的坐标为：()13,3P ，23P ⎫-⎪⎪⎝⎭，33P ⎫-⎪⎪⎝⎭10．(1)21262y x x =-++(2)153,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)点P 坐标为()46，或()55．11．(1)2512y x x =-+ (2)3(3)13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或1(1,)212．(1)21119424y x x =-++(2)①4y x =-+；①当02m <≤时，218PQRSm =；当823m <≤时，27448S m m =-+-；当843m ≤≤时，21244S m m =-+；S 的最大值为：47答案第3页，共3页 13．(1)()5,5；()2,4-；(2)点P的坐标为()或()-或()4,0或()5,0； (3)()2150566t m m m =-+<<，当52m =时，t 的最大值为2524．14．(1)该二次函数的解析式是()()21323y x x x x =+-=--；(2)①DME 的面积的最大值为52；①点M的坐标为⎝⎭或()12--．15．(1)214433y x x =-- (2)PBDC S 四边形的最大值为17，此时点P 的坐标为()3,5-(3)⎛ ⎝⎭或⎛ ⎝⎭或⎛- ⎝⎭或8,⎛- ⎝⎭16．(1)223y x x =+-(2)2或4(3)817．(1)2=23y x x --(2)⎝⎭或⎝⎭ (3)存在，⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭18．(1)()0,2A ，()2,0B -，()4,0C ，211242y x x =-++ (2)2，()2,2(3)34m -≤≤-或32m -+≤。
湖南省各地市中考《二次函数》压轴题精编（含答案解析）
湖南省各地市中考《二次函数》压轴题精编（解析版）（地市排序不分先后）一．解答题（共13小题）1．（长沙市）我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有 ； ②在凸四边形ABCD 中，AB=AD 且CB ≠CD ，则该四边形 “十字形”．（填“是”或“不是”）（2）如图1，A ，B ，C ，D 是半径为1的⊙O 上按逆时针方向排列的四个动点，AC 与BD 交于点E ，∠ADB ﹣∠CDB=∠ABD ﹣∠CBD ，当6≤AC 2+BD 2≤7时，求OE 的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ＞0，c ＜0）与x 轴交于A ，C 两点（点A 在点C 的左侧），B 是抛物线与y 轴的交点，点D 的坐标为（0，﹣ac ），记“十字形”ABCD 的面积为S ，记△AOB ，△COD ，△AOD ，△BOC 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式； 12S S S =34S S S =“十字形”ABCD 的周长为102．（常德市）如图，已知二次函数的图象过点O （0，0）．A （8，4），与x 轴交于另一点B ，且对称轴是直线x=3．（1）求该二次函数的解析式；（2）若M 是OB 上的一点，作MN ∥AB 交OA 于N ，当△ANM 面积最大时，求M 的坐标；（3）P 是x 轴上的点，过P 作PQ ⊥x 轴与抛物线交于Q ．过A 作AC ⊥x 轴于C ，当以O ，P ，Q 为顶点的三角形与以O ，A ，C 为顶点的三角形相似时，求P 点的坐标．3．（株洲市）如图，已知二次函数y=ax2﹣53x+c（a＞0）的图象抛物线与x轴相交于不同的两点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，（1）若抛物线的对称轴为x=3求的a值；（2）若a=15，求c的取值范围；（3）若该抛物线与y轴相交于点D，连接BD，且∠OBD=60°，抛物线的对称轴l与x轴相交点E，点F是直线l上的一点，点F的纵坐标为3+12a，连接AF，满足∠ADB=∠AFE，求该二次函数的解析式．4．（永州市）如图1，抛物线的顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴交于点E（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）已知点F（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG+FG最小，如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）如图2，连接AB，若点P是线段OE上的一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段AB、抛物线相交于点M、N（点M、N都在抛物线对称轴的右侧），当MN最大时，求△PON的面积．5．（岳阳市）已知抛物线F：y=x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴另一交点为（﹣，0）．（1）求抛物线F的解析式；（2）如图1，直线l：y=x+m（m＞0）与抛物线F相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2）（点A在第二象限），求y2﹣y1的值（用含m的式子表示）；（3）在（2）中，若m=43，设点A′是点A关于原点O的对称点，如图2．①判断△AA′B的形状，并说明理由；②平面内是否存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．（郴州市）如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．7．（湘潭市）如图，点P为抛物线y=14x2上一动点．（1）若抛物线y=14x2是由抛物线y=14（x+2）2﹣1通过图象平移得到的，请写出平移的过程；（2）若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为（0，﹣1），过点P作PM⊥l于M．①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM=PF恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由．②问题解决：如图二，若点Q的坐标为（1，5），求QP+PF的最小值．8．（张家界市）如图，已知二次函数y=ax2+1（a≠0，a为实数）的图象过点A （﹣2，2），一次函数y=kx+b（k≠0，k，b为实数）的图象l经过点B（0，2）．（1）求a值并写出二次函数表达式；（2）求b值；（3）设直线l与二次函数图象交于M，N两点，过M作MC垂直x轴于点C，试证明：MB=MC；（4）在（3）的条件下，请判断以线段MN为直径的圆与x轴的位置关系，并说明理由．9．（邵阳市）如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象．函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A．函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点B，和x轴的交点为点C，D（点D位于点C的左侧）．（1）求函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；（3）若点M是线段BC上的动点，点N是△ABC三边上的动点，是否存在以AM为斜边的Rt△AMN，使△AMN的面积为△ABC面积的13？若存在，求tan∠MAN的值；若不存在，请说明理由．10．（怀化市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．11．（湘西州）如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a、b为常数，a≠0）与x轴相交于另一点A（3，0）．直线l：y=x在第一象限内和此抛物线相交于点B （5，t），与抛物线的对称轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点P，使以点P、O、C为顶点的三角形与以点A、O、B为顶点的三角形相似，求满足条件的点P的坐标；（3）直线l沿着x轴向右平移得到直线l′，l′与线段OA相交于点M，与x轴下方的抛物线相交于点N，过点N作NE⊥x轴于点E．把△MEN沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上时（图2），求直线l′的解析式；（4）在（3）问的条件下（图3），直线l′与y轴相交于点K，把△MOK绕点O 顺时针旋转90°得到△M′OK′，点F为直线l′上的动点．当△M'FK′为等腰三角形时，求满足条件的点F的坐标．12．（衡阳市）如图，已知直线y=﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．（1）若抛物线的解析式为y=﹣2x2+2x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．①求点M、N的坐标；②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．13．（娄底市）如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）F（x，y）是抛物线上的动点：①当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值；②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．湖南省各地市中考《二次函数》压轴题精析一．解答题（共13小题）1．（长沙市）我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有 菱形，正方形 ； ②在凸四边形ABCD 中，AB=AD 且CB ≠CD ，则该四边形 不是 “十字形”．（填“是”或“不是”）（2）如图1，A ，B ，C ，D 是半径为1的⊙O 上按逆时针方向排列的四个动点，AC 与BD 交于点E ，∠ADB ﹣∠CDB=∠ABD ﹣∠CBD ，当6≤AC 2+BD 2≤7时，求OE 的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ＞0，c ＜0）与x 轴交于A ，C 两点（点A 在点C 的左侧），B 是抛物线与y 轴的交点，点D 的坐标为（0，﹣ac ），记“十字形”ABCD 的面积为S ，记△AOB ，△COD ，△AOD ，△BOC 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；①12S S S =+；②34S S S =+；③“十字形”ABCD 的周长为1210．【学会思考】（1）利用“十字形”的定义判断即可；（2）先判断出∠ADB +∠CAD=∠ABD +∠CAB ，进而判断出∠AED=∠AEB=90°，即：AC ⊥BD ，再判断出四边形OMEN 是矩形，进而得出OE 2=2﹣14（AC 2+BD 2），即可得出结论；（3）由题意得，A （，0），B （0，c ），C （，0），D （0，﹣ac ），求出S=12AC•BD=﹣12（ac +c ）×，S 1=12OA•OB=﹣，S 2=12OC•OD=﹣，S3=12OA×OD=﹣，S4=12OB×OC=﹣，进而建立方程+=+，求出a=1，再求出b=0，进而判断出四边形ABCD是菱形，求出AD=310，进而求出c=﹣9，即可得出结论．【解】：（1）①∵菱形，正方形的对角线互相垂直，∴菱形，正方形是：“十字形”，∵平行四边形，矩形的对角线不一定垂直，∴平行四边形，矩形不是“十字形”，故答案为：菱形，正方形；②如图，当CB=CD时，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC=∠DAC，∵AB=AD，∴AC⊥BD，∴当CB≠CD时，四边形ABCD不是“十字形”，故答案为：不是；（2）∵∠ADB+∠CBD=∠ABD+∠CDB，∠CBD=∠CDB=∠CAB，∴∠ADB+∠CAD=∠ABD+∠CAB，∴180°﹣∠AED=180°﹣∠AEB，∴∠AED=∠AEB=90°，∴AC⊥BD，过点O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连接OA，OD，∴OA=OD=1，OM2=OA2﹣AM2，ON2=OD2﹣DN2，AM=12AC，DN=12BD，四边形OMEN是矩形，∴ON=ME ，OE 2=OM 2+ME 2，∴OE 2=OM 2+ON 2=2﹣14（AC 2+BD 2）， ∵6≤AC 2+BD 2≤7， ∴2﹣74≤OE 2≤2﹣32， ∴14≤OE 2≤12， ∴12（OE ＞0）；（3）由题意得，A （，0），B （0，c ），C （，0），D （0，﹣ac ）， ∵a ＞0，c ＜0，∴OA=，OB=﹣c ，OC=，OD=﹣ac ，AC=，BD=﹣ac ﹣c ， ∴S=12AC•BD=﹣12（ac +c ）×，S 1=12OA•OB=﹣，S 2=12OC•OD=﹣， S 3=12OA ×OD=﹣，S 4=12OB ×OC=﹣，∵12S S S =+，34S S S =+，∴+=+， ∴4a =2，∴a=1，∴S=﹣c ∆，S 1=﹣，S 4=﹣， ∵12S S S =+，∴S=S 1+S 2+212S S ，∴﹣c ∆=﹣+2， ∴﹣=﹣c•c -， ∴=4c -∴b=0，∴A（﹣c，0），B（0，c），C（c ，0），d（0，﹣c），∴四边形ABCD是菱形，∴4AD=1210，∴AD=310，即：AD2=90，∵AD2=c2﹣c，∴c2﹣c=90，∴c=﹣9或c=10（舍），即：y=x2﹣9．2．（常德市）如图，已知二次函数的图象过点O（0，0）．A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x=3．（1）求该二次函数的解析式；（2）若M是OB上的一点，作MN∥AB交OA于N，当△ANM面积最大时，求M的坐标；（3）P是x轴上的点，过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q．过A作AC⊥x轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标．【学会思考】（1）先利用抛物线的对称性确定B（6，0），然后设交点式求抛物线解析式；（2）设M（t，0），先其求出直线OA的解析式为y=12x，直线AB的解析式为y=2x﹣12，直线MN的解析式为y=2x﹣2t，再通过解方程组得N（43t，2 3t），接着利用三角形面积公式，利用S△AMN=S△AOM﹣S△NOM得到S△AMN=12•4•t﹣12•t•23t，然后根据二次函数的性质解决问题；（3）设Q（m，14m2﹣32m），根据相似三角形的判定方法，当=时，△PQO∽△COA，则|14m2﹣32m|=2|m|；当=时，△PQO∽△CAO，则|14m2﹣3 2m|=12|m|，然后分别解关于m的绝对值方程可得到对应的P点坐标．【解】：（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线x=3，∴B点坐标为（6，0），设抛物线解析式为y=ax（x﹣6），把A（8，4）代入得a•8•2=4，解得a=14，∴抛物线解析式为y=14x（x﹣6），即y=14x2﹣32x；（2）设M（t，0），易得直线OA的解析式为y=12 x，设直线AB的解析式为y=kx+b，把B（6，0），A（8，4）代入得，解得，∴直线AB 的解析式为y=2x ﹣12，∵MN ∥AB ，∴设直线MN 的解析式为y=2x +n ，把M （t ，0）代入得2t +n=0，解得n=﹣2t ，∴直线MN 的解析式为y=2x ﹣2t ， 解方程组得，则N （43t ，23t ）， ∴S △AMN =S △AOM ﹣S △NOM =12•4•t ﹣12•t•23t =﹣13t 2+2t =﹣13（t ﹣3）2+3， 当t=3时，S △AMN 有最大值3，此时M 点坐标为（3，0）；（3）设Q （m ，14m 2﹣32m ）， ∵∠OPQ=∠ACO ，∴当=时，△PQO ∽△COA ，即=，∴PQ=2PO ，即|14m 2﹣32m |=2|m |， 解方程14m 2﹣32m=2m 得m 1=0（舍去），m 2=14，此时P 点坐标为（14，0）； 解方程14m 2﹣32m=﹣2m 得m 1=0（舍去），m 2=﹣2，此时P 点坐标为（﹣2，0）； ∴当=时，△PQO ∽△CAO ，即=， ∴PQ=12PO ，即|14m 2﹣32m |=12|m |， 解方程14m 2﹣32m=12m 得m 1=0（舍去），m 2=8（舍去）， 解方程14m 2﹣32m=﹣12m 得m 1=0（舍去），m 2=4，此时P 点坐标为（4，0）； 综上所述，P 点坐标为（14，0）或（﹣2，0）或（4，0）．3．（株洲市）如图，已知二次函数y=ax 2﹣3+c （a ＞0）的图象抛物线与x 轴相交于不同的两点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，（1）若抛物线的对称轴为x=3求的a值；（2）若a=15，求c的取值范围；（3）若该抛物线与y轴相交于点D，连接BD，且∠OBD=60°，抛物线的对称轴l与x轴相交点E，点F是直线l上的一点，点F的纵坐标为3+12a，连接AF，满足∠ADB=∠AFE，求该二次函数的解析式．【学会思考】（1）根据抛物线的对称轴公式代入可得a的值；（2）根据已知得：抛物线与x轴有两个交点，则△＞0，列不等式可得c的取值范围；（3）根据60°的正切表示点B的坐标，把点B的坐标代入抛物线的解析式中得：ac=12，则c=，从而得A和B的坐标，表示F的坐标，作辅助线，构建直角△ADG，根据已知的角相等可得△ADG∽△AFE，列比例式得方程可得a和c的值．【解】：（1）抛物线的对称轴是：x=﹣=﹣=3，解得：a=52；（2）由题意得二次函数解析式为：y=15x2﹣53x+c，∵二次函数与x轴有两个交点，∴△＞0，∴△=b2﹣4ac=﹣4×15c，∴c＜54；（3）∵∠BOD=90°，∠DBO=60°，∴tan60°===3， ∴OB=33c ， ∴B （33c ，0）， 把B （33c ，0）代入y=ax 2﹣53x +c 中得：23ac -5333c +c=0， 23ac ﹣5c +c=0， ∵c ≠0，∴ac=12，∴c=， 把c=代入y=ax 2﹣53x +c 中得：y=a （x 2﹣+）=a （x ﹣）（x ﹣）， ∴x 1=，x 2=，∴A （，0），B （，0），D （0，）， ∴AB=﹣=，AE=， ∵F 的纵坐标为3+， ∴F （，），过点A 作AG ⊥DB 于G ，∴BG=12AB=AE=，AG=92a ， DG=DB ﹣BG=﹣=， ∵∠ADB=∠AFE ，∠AGD=∠FEA=90°，∴△ADG ∽△AFE ，∴，∴=，∴a=2，c=6，∴y=2x2﹣53x+6．4．（永州市）如图1，抛物线的顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴交于点E（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）已知点F（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG+FG最小，如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）如图2，连接AB，若点P是线段OE上的一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段AB、抛物线相交于点M、N（点M、N都在抛物线对称轴的右侧），当MN最大时，求△PON的面积．【学会思考】（1）根据顶点式可求得抛物线的表达式；（2）根据轴对称的最短路径问题，作E关于对称轴的对称点E'，连接E'F交对称轴于G，此时EG+FG的值最小，先求E'F的解析式，它与对称轴的交点就是所求的点G；（3）如图2，先利用待定系数法求AB的解析式为：y=﹣2x+6，设N（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣2m+6），（0≤m≤3），表示NQ=﹣m2+4m﹣3，证明△QMN∽△ADB，列比例式可得MN的表达式，根据配方法可得当m=2时，MN有最大值，证明△NGP∽△ADB，同理得PG的长，从而得OP的长，根据三角形的面积公式可得结论，并将m=2代入计算即可．【解】：（1）设抛物线的表达式为：y=a（x﹣1）2+4，把（0，3）代入得：3=a（0﹣1）2+4，a=﹣1，∴抛物线的表达式为：y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3；（2）存在，如图1，作E关于对称轴的对称点E'，连接E'F交对称轴于G，此时EG+FG的值最小，∵E（0，3），∴E'（2，3），易得E'F的解析式为：y=3x﹣3，当x=1时，y=3×1﹣3=0，∴G（1，0）（3）如图2，∵A（1，4），B（3，0），易得AB的解析式为：y=﹣2x+6，过N 作NH ⊥x 轴于H ，交AB 于Q ，设N （m ，﹣m 2+2m +3），则Q （m ，﹣2m +6），（1＜m ＜3），∴NQ=（﹣m 2+2m +3）﹣（﹣2m +6）=﹣m 2+4m ﹣3，∵AD ∥NH ，∴∠DAB=∠NQM ，∵∠ADB=∠QMN=90°，∴△QMN ∽△ADB ， ∴， ∴， ∴MN=﹣（m ﹣2）2+， ∵﹣＜0，∴当m=2时，MN 有最大值；过N 作NG ⊥y 轴于G ，∵∠GPN=∠ABD ，∠NGP=∠ADB=90°，∴△NGP ∽△ADB ， ∴=24=12， ∴PG=12NG=12m ， ∴OP=OG ﹣PG=﹣m 2+2m +3﹣12m=﹣m 2+32m +3， ∴S △PON =12OP•GN=12（﹣m 2+32m +3）•m ， 当m=2时，S △PON =12×2（﹣4+3+3）=2． （方法2：根据m 的值计算N 的坐标为（2，3），与E 是对称点，连接EN ，同理得：EP=12EN=1，则OP=2，根据面积公式可得结论）．5．（岳阳市）已知抛物线F：y=x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴另一交点为（﹣，0）．（1）求抛物线F的解析式；（2）如图1，直线l：y=x+m（m＞0）与抛物线F相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2）（点A在第二象限），求y2﹣y1的值（用含m的式子表示）；（3）在（2）中，若m=43，设点A′是点A关于原点O的对称点，如图2．①判断△AA′B的形状，并说明理由；②平面内是否存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【学会思考】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线F的解析式；（2）将直线l的解析式代入抛物线F的解析式中，可求出x1、x2的值，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出y1、y2的值，做差后即可得出y2﹣y1的值；（3）根据m的值可得出点A、B的坐标，利用对称性求出点A′的坐标．①利用两点间的距离公式（勾股定理）可求出AB、AA′、A′B的值，由三者相等即可得出△AA′B为等边三角形；②根据等边三角形的性质结合菱形的性质，可得出存在符合题意得点P，设点P 的坐标为（x，y），分三种情况考虑：（i）当A′B为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P的坐标；（ii）当AB为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P的坐标；（iii）当AA′为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P的坐标．综上即可得出结论．【解】：（1）∵抛物线y=x2+bx+c的图象经过点（0，0）和（﹣33，0），∴，解得：，∴抛物线F的解析式为y=x23．（2）将3+m代入y=x23x，得：x2=m，解得：x1=m x2m∴y1=133m m，y2133m m，∴y2﹣y1=133m m133m m）233m m＞0）．（3）∵m=43，∴点A的坐标为（﹣33，23），点B的坐标为（233，2）．∵点A′是点A关于原点O的对称点，∴点A′的坐标为（233，﹣23）．①△AA′B为等边三角形，理由如下：∵A（﹣233，23），B（233，2），A′（233，﹣23），∴AA′=83，AB=83，A′B=83，∴AA′=AB=A′B，∴△AA′B为等边三角形．②∵△AA′B为等边三角形，∴存在符合题意的点P，且以点A、B、A′、P为顶点的菱形分三种情况，设点P 的坐标为（x，y）．（i）当A′B为对角线时，有，解得：，∴点P的坐标为（23，23）；（ii）当AB为对角线时，有，解得：，∴点P的坐标为（﹣233，103）；（iii）当AA′为对角线时，有，解得：，∴点P的坐标为（﹣33，﹣2）．综上所述：平面内存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形，点P的坐标为（23，23）、（﹣233，103）和（﹣233，﹣2）．6．（郴州市）如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．【学会思考】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）连接PC，交抛物线对称轴l于点E，由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1，分t=2和t≠2两种情况考虑：当t=2时，由抛物线的对称性可得出此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t≠2时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意的点M；（3）①过点P作PF∥y轴，交BC于点F，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，根据点P的坐标可得出点F的坐标，进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求出线段BC的长度，利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论．【解】：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，，解得：，∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3．（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x=1．当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形．∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3），∴点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由如下：若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2．又∵t≠2，∴不存在．（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，，解得：，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），∴点F的坐标为（t，﹣t+3），∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，∴S=12PF•OB=﹣32t2+92t=﹣32（t﹣32）2+278．②∵﹣32＜0，∴当t=32时，S取最大值，最大值为278．∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），∴线段BC==32，∴P点到直线BC的距离的最大值为=，此时点P的坐标为（32，154）．7．（湘潭市）如图，点P为抛物线y=14x2上一动点．（1）若抛物线y=14x2是由抛物线y=14（x+2）2﹣1通过图象平移得到的，请写出平移的过程；（2）若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为（0，﹣1），过点P作PM⊥l于M．①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM=PF恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由．②问题解决：如图二，若点Q的坐标为（1，5），求QP+PF的最小值．【学会思考】（1）找到抛物线顶点坐标即可找到平移方式．（2）①设出点P坐标，利用PM=PF计算BF，求得F坐标；②利用PM=PF，将QP+PF转化为QP+QM，利用垂线段最短解决问题．【解】：（1）∵抛物线y=14（x+2）2﹣1的顶点为（﹣2，﹣1）∴抛物线y=14（x+2）2﹣1的图象向上平移1个单位，再向右2个单位得到抛物线y=14x2的图象．（2）①存在一定点F，使得PM=PF恒成立．如图一，过点P作PB⊥y轴于点B设点P坐标为（a，14a2）∴PM=PF=14a2+1∵PB=a∴Rt△PBF中BF=∴OF=1∴点F坐标为（0，1）②由①，PM=PFQP+PF的最小值为QP+PM的最小值当Q、P、M三点共线时，QP+PM有最小值，最小值为点Q纵坐标加M纵坐标的绝对值．∴QP+PF的最小值为6．8．（张家界市）如图，已知二次函数y=ax2+1（a≠0，a为实数）的图象过点A （﹣2，2），一次函数y=kx+b（k≠0，k，b为实数）的图象l经过点B（0，2）．（1）求a值并写出二次函数表达式；（2）求b值；（3）设直线l与二次函数图象交于M，N两点，过M作MC垂直x轴于点C，试证明：MB=MC；（4）在（3）的条件下，请判断以线段MN为直径的圆与x轴的位置关系，并说明理由．【学会思考】（1）将点A的坐标代入二次函数表达式中可求出a值，进而可得出二次函数表达式；（2）将点B的坐标代入一次函数表达式中可求出b值；（3）过点M作ME⊥y轴于点E，设点M的坐标为（x，14x2+1），则MC=14x2+1，由勾股定理可求出MB的长度，进而可证出MB=MC；（4）过点N作ND⊥x轴于D，取MN的中点为P，过点P作PF⊥x轴于点F，过点N作NH⊥MC于点H，交PF于点Q，由（3）的结论可得出MN=NB+MB=ND+MC，利用中位线定理可得出PQ=12MH，进而可得出PF=12MN，由此即可得出以MN为直径的圆与x轴相切．【解】：（1）∵二次函数y=ax2+1（a≠0，a为实数）的图象过点A（﹣2，2），∴2=4a+1，解得：a=14，∴二次函数表达式为y=14x2+1．（2）∵一次函数y=kx+b（k≠0，k，b为实数）的图象l经过点B（0，2），∴2=k×0+b，∴b=2．（3）证明：过点M作ME⊥y轴于点E，如图1所示．设点M的坐标为（x，14x2+1），则MC=14x2+1，∴ME=|x|，EB=|14x2+1﹣2|=|14x2﹣1|，∴MB=，=，=，=，=14x2+1．∴MB=MC．（4）相切，理由如下：过点N作ND⊥x轴于D，取MN的中点为P，过点P作PF⊥x轴于点F，过点N 作NH⊥MC于点H，交PF于点Q，如图2所示．由（3）知NB=ND，∴MN=NB+MB=ND+MC．∵点P为MN的中点，PQ∥MH，∴PQ=12 MH．∵ND∥HC，NH∥DC，且四个角均为直角，∴四边形NDCH为矩形，∴QF=ND，∴PF=PQ+QF=12MH+ND=12（ND+MH+HC）=12（ND+MC）=12MN．∴以MN为直径的圆与x轴相切．9．（邵阳市）如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象．函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A．函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点B，和x轴的交点为点C，D（点D位于点C的左侧）．（1）求函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；（3）若点M是线段BC上的动点，点N是△ABC三边上的动点，是否存在以AM为斜边的Rt△AMN，使△AMN的面积为△ABC面积的13？若存在，求tan∠MAN的值；若不存在，请说明理由．【学会思考】（1）利用配方法得到y=x2+2x+1=（x+1）2，然后根据抛物线的变换规律求解；（2）利用顶点式y=（x+1）2得到A（﹣1，0），解方程﹣x2+4=0得D（﹣2，0），C（2，0）易得B（0，4），列举出所有的三角形，再计算出AC=3，AD=1，CD=4，17，55然后根据等腰三角形的判定方法和概率公式求解；（3）易得BC的解析是为y=﹣2x+4，S△ABC=6，M点的坐标为（m，﹣2m+4）（0≤m≤2），讨论：①当N点在AC上，如图1，利用面积公式得到12（m+1）（﹣2m+4）=2，解得m1=0，m2=1，当m=0时，求出AN=1，MN=4，再利用正切定义计算tan∠MAC的值；当m=1时，计算出AN=2，MN=2，再利用正切定义计算tan∠MAC的值；②当N点在BC上，如图2，先利用面积法计算出AN=655，再根据三角形面积公式计算出MN=253，然后利用正切定义计算tan∠MAC的值；③当N点在AB上，如图3，作AH⊥BC于H，设AN=t，则BN=17﹣t，由②得AH=655，利用勾股定理可计算出BH=755，证明△BNM∽△BHA，利用相似比可得到MN=，利用三角形面积公式得到12•（17﹣t）•=2，根据此方程没有实数解可判断点N在AB上不符合条件，从而得到tan∠MAN的值为1或4或59．【解】：（1）y=x2+2x+1=（x+1）2的图象沿x轴翻折，得y=﹣（x+1）2．把y=﹣（x+1）2向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得y=﹣x2+4，∴所求的函数y=ax2+bx+c的解析式为y=﹣x2+4；（2）∵y=x2+2x+1=（x+1）2，∴A（﹣1，0），当y=0时，﹣x2+4=0，解得x=±2，则D（﹣2，0），C（2，0）；当x=0时，y=﹣x2+4=4，则B（0，4），从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形的有：△ACB，△ADB，△CDB，∵AC=3，AD=1，CD=4，17，55，∴△BCD为等腰三角形，∴构造的三角形是等腰三角形的概率=13；（3）存在．易得BC 的解析是为y=﹣2x +4，S △ABC =12AC•OB=12×3×4=6， M 点的坐标为（m ，﹣2m +4）（0≤m ≤2），①当N 点在AC 上，如图1，∴△AMN 的面积为△ABC 面积的13， ∴12（m +1）（﹣2m +4）=2，解得m 1=0，m 2=1， 当m=0时，M 点的坐标为（0，4），N （0，0），则AN=1，MN=4，∴tan ∠MAC==4；当m=1时，M 点的坐标为（1，2），N （1，0），则AN=2，MN=2，∴tan ∠MAC==1；②当N 点在BC 上，如图2，BC==25，∵12BC•AN=12AC•BC ，解得AN==655， ∵S △AMN =12AN•MN=2， ∴MN==253， ∴∠MAC===59； ③当N 点在AB 上，如图3，作AH ⊥BC 于H ，设AN=t ，则BN=17﹣t ， 由②得AH=655，则BH==755， ∵∠NBG=∠HBA ，∴△BNM ∽△BHA ，∴=，即=，∴MN=，∵12AN•MN=2，即12•（17﹣t）•=2，整理得3t2﹣317t+14=0，△=（﹣317）2﹣4×3×14=﹣15＜0，方程没有实数解，∴点N在AB上不符合条件，综上所述，tan∠MAN的值为1或4或59．10．（怀化市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【学会思考】（1）设交点式y=a（x+1）（x﹣3），展开得到﹣2a=2，然后求出a 即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=﹣13x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=﹣13x+3，再解方程组得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．【解】：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得，解得，∴直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），∵MB=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∴点M的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b，把C（0，3）代入得b=3，∴直线PC的解析式为y=﹣13x+3，解方程组，解得或，则此时P点坐标为（73，209）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b，把A（﹣1，0）代入得13+b=0，解得b=﹣13，∴直线PC的解析式为y=﹣13x﹣13，解方程组，解得或，则此时P点坐标为（103，﹣139），综上所述，符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139），11．（湘西州）如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a、b为常数，a≠0）与x轴相交于另一点A（3，0）．直线l：y=x在第一象限内和此抛物线相交于点B （5，t），与抛物线的对称轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点P，使以点P、O、C为顶点的三角形与以点A、O、B为顶点的三角形相似，求满足条件的点P的坐标；（3）直线l沿着x轴向右平移得到直线l′，l′与线段OA相交于点M，与x轴下方的抛物线相交于点N，过点N作NE⊥x轴于点E．把△MEN沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上时（图2），求直线l′的解析式；（4）在（3）问的条件下（图3），直线l′与y轴相交于点K，把△MOK绕点O 顺时针旋转90°得到△M′OK′，点F为直线l′上的动点．当△M'FK′为等腰三角形时，求满足条件的点F的坐标．【学会思考】（1）应用待定系数法；（2）利用相似三角形性质分类讨论求解；（3）由已知直线l′与x轴所夹锐角为45°，△EMN为等腰直角三角形，当沿直线l′折叠时，四边形ENE′M为正方形，表示点N、E′坐标带入抛物线解析式，可解；（4）由（3）图形旋转可知，M′K′⊥直线l′，△M'FK′只能为等腰直角三角形，则分类讨论可求解．【解】：（1）由已知点B坐标为（5，5）把点B（5，5），A（3，0）代入y=ax2+bx，得解得∴抛物线的解析式为：y=（2）由（1）抛物线对称轴为直线x=32，则点C坐标为（32，32）∴OC=，OB=52当△OBA∽△OCP时，∴∴OP=9 10当△OBA∽△OPC时，∴∴OP=5∴点P坐标为（5，0）或（910，0）（3）设点N坐标为（a，b），直线l′解析式为：y=x+c ∵直线l′y=x+c与x轴夹角为45°。
圆与二次函数结合型压轴题专题(解析版)--2024年中考数学重难点
圆与二次函数结合型压轴题专题通用的解题思路：一、点在圆上的使用技巧：①没告诉半径，利用圆上的点到圆心的距离等于半径可以表示出半径的长度；②告诉半径，圆上的点到圆心的距离等于半径这个等量关系可以求出一个参数。
二、判断直线与圆的位置关系的标准流程：第一步，利用圆上的点到圆心的距离等于半径表示出半径r ，第二步，表示出圆心到直线的距离d ，第三步，比较半径r 和距离d 的大小：若半径r >距离d ，则直线与圆相交，若半径r =距离d ，则直线与圆相切，若半径r <距离d ，则直线与圆相离。
三、记直线l 被圆C 截得的弦长为|AB |的常用方法弦长公式：AB =2r 2-d 21(长沙中考)如图，抛物线y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)的对称轴为y 轴，且经过(0，0)和(a ，116)两点，点P 在该抛物线上运动，以点P 为圆心的⊙P 总经过定点A (0，2)．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求证：在点P 运动的过程中，⊙P 始终与x 轴相交；(3)设⊙P 与x 轴相交于M (x 1，0)，N (x 2，0)(x 1<x 2)两点，当△AMN 为等腰三角形时，求圆心P 的纵坐标．【解答】解：(1)∵抛物线y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)的对称轴为y 轴，且经过(0，0)和(a ，116)两点，∴抛物线的一般式为：y =ax 2，∴116=a (a )2，解得：a =±14，∵图象开口向上，∴a =14，∴抛物线解析式为：y =14x 2，故a =14，b =c =0；(2)设P (x ，y )，⊙P 的半径r =x 2+y -2 2，又∵y =14x 2，则r =x 2+14x 2-2 2，化简得：r =116x 4+4>14x 2，∴点P 在运动过程中，⊙P 始终与x 轴相交；(3)设P (t ，14t 2)，∵r 2-y 2=4，∴MH =NH =2，∴M (t -2，0)，N (t +2，0)，A (0，2)，∵△AMN 为等腰三角形，∴AM =AN ，AM =MN ，AN =MN ，(t -2)2+(2-0)2=(t +2)2+(2-0)2，∴t =0，(t -2)2+(2-0)2=42，∴t =2±23，(t +2)2+(2-0)2=42，∴t =-2±23，①当t =0时，P 的纵坐标为0，②当t =2±23时，P Y =14(2±23)2=4±23，∴P 的纵坐标为4±23，③当t =-2±23时，P Y =14(2±23)2=4±23，∴P 的纵坐标为4±23，综上所述，P 的纵坐标为：0或4+23或4-23．2(岳麓区校级月考)如图，已知直线l ：y =-1和抛物线L ：y =ax 2+bx +c (a ≠0)，抛物线L 的顶点为原点，且经过点A 2a ,14，直线y =kx +1与y 轴交于点F ，与抛物线L 交于点B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，且x 1<x 2．(1)求抛物线L 的解析式；(2)点P 是抛物线L 上一动点．①以点P 为圆心，PF 为半径作⊙P ，试判断⊙P 与直线l 的位置关系，并说明理由；②若点Q (2，3)，当|PQ -PF |的值最大时，求点P 的坐标；(3)求证：无论k 为何值，直线l 总是与以BC 为直径的圆相切．【解答】解：(1)抛物线的表达式为：y =ax 2，将点A 坐标代入上式得：14=a (2a )2，解得：a =14，故抛物线的表达式为：y =14x 2⋯①；(2)①点F (0，1)，设：点P (m ，14m 2)，则PF =m 2+14m 2-1 2=14m 2+1，而点P 到直线l 的距离为：14m 2+1，则⊙P 与直线l 的位置关系为相切；②当点P 、Q 、F 三点共线时，|PQ -PF |最大，将点FQ 的坐标代入一次函数表达式：y =kx +b 并解得：直线FQ 的函数表达式为：y =x +1⋯②，联立①②并解得：x =2±22，故点P 的坐标为：(2+22，3+22)或(2-22，3-22)；(3)将抛物线的表达式与直线y =kx +1联立并整理得：x 2-4kx -4=0，则x 1+x 2=4k ，x 1x 2=-4，则y 1+y 2=k (x 1+x 2)+2=4k 2+2，则x 2-x 1=x 1+x 2 2-4x 1x 2=4，设直线BC 的倾斜角为α，则tan α=k ，则cosα=1k 2+1，则BC =x 2-x 1k 2+1=4(k 2+1)，则12BC =2k 2+2，设BC 的中点为M (2k ，2k 2+1)，则点M 到直线l 的距离为：2k 2+2，故直线l 总是与以BC 为直径的圆相切．3在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数y =14x 2+mx +n 的图象经过点A (2，0)和点B (1，-34)，直线l 经过抛物线的顶点且与y 轴垂直，垂足为Q ．(1)求该二次函数的表达式；(2)设抛物线上有一动点P 从点B 处出发沿抛物线向上运动，其纵坐标y 1随时间t (t ≥0)的变化规律为y 1=-34+2t ．现以线段OP 为直径作⊙C ．①当点P 在起始位置点B 处时，试判断直线l 与⊙C 的位置关系，并说明理由；在点P 运动的过程中，直线l 与⊙C 是否始终保持这种位置关系？请说明你的理由．②若在点P 开始运动的同时，直线l 也向上平行移动，且垂足Q 的纵坐标y 2随时间t 的变化规律为y 2=-1+3t ，则当t 在什么范围内变化时，直线l 与⊙C 相交？此时，若直线l 被⊙C 所截得的弦长为a ，试求a 2的最大值．【解答】解：(1)将点A (2，0)和点B (1，-34)分别代入y =14x 2+mx +n 中，得：14×4+2m +n =014+m +n =-34 ，解得：m =0n =-1 ，∴抛物线的解析式：y =14x 2-1；(2)①将P 点纵坐标代入(1)的解析式，得：14x 2-1=-34+2t ，x =8t +1，∴P (8t +1，-34+2t )，∴圆心C (8t +12，-38+t )，∴点C 到直线l 的距离：-38+t -(-1)=t +58；而OP 2=8t +1+(-34+2t )2，得OP =2t +54，半径OC =t +58；∴直线l 与⊙C 始终保持相切．②Ⅰ、由①可知，若直线l 与⊙C 相切，则：2t -58=t +58，t =54；∴当0<t <54时，直线l 与⊙C 相交；Ⅱ、∵0<t <54时，圆心C 到直线l 的距离为d =|2t -58|，又半径为r =t +58，∴a 2=4(r 2-d 2)=4[(t +58)2-|2t -58|2]=-12t 2+15t ，∴t =58时，a 的平方取得最大值为7516．4(长沙中考)如图半径分别为m ，n (0<m <n )的两圆⊙O 1和⊙O 2相交于P ，Q 两点，且点P (4，1)，两圆同时与两坐标轴相切，⊙O 1与x 轴，y 轴分别切于点M ，点N ，⊙O 2与x 轴，y 轴分别切于点R ，点H ．(1)求两圆的圆心O 1，O 2所在直线的解析式；(2)求两圆的圆心O 1，O 2之间的距离d ；(3)令四边形PO 1QO 2的面积为S 1，四边形RMO 1O 2的面积为S 2．试探究：是否存在一条经过P ，Q 两点、开口向下，且在x 轴上截得的线段长为s 1-s 2 2d 的抛物线？若存在，请求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．【解答】解：(1)由题意可知O 1(m ，m )，O 2(n ，n )，设过点O 1，O 2的直线解析式为y =kx +b ，则有：mk +b =m nk +b =n (0<m <n )，解得k =1b =0 ，∴所求直线的解析式为：y =x ．(2)由相交两圆的性质，可知P 、Q 点关于O 1O 2对称．∵P (4，1)，直线O 1O 2解析式为y =x ，∴Q (1，4)．如解答图1，连接O 1Q ．∵Q (1，4)，O 1(m ，m )，根据两点间距离公式得到：O 1Q =m -1 2+m -4 2=2m 2-10m +17，又O 1Q 为小圆半径，即QO 1=m ，∴2m 2-10m +17=m ，化简得：m 2-10m +17=0①如解答图1，连接O 2Q ，同理可得：n 2-10n +17=0②由①，②式可知，m 、n 是一元二次方程x 2-10x +17=0③的两个根，解③得：x =5±22，∵0<m <n ，∴m =5-22，n =5+22．∵O 1(m ，m )，O 2(n ，n )，∴d =O 1O 2=m -n 2+m -n 2=8．(3)假设存在这样的抛物线，其解析式为y =ax 2+bx +c ，因为开口向下，所以a <0．如解答图2，连接PQ ．由相交两圆性质可知，PQ ⊥O 1O 2．∵P (4，1)，Q (1，4)，∴PQ =4-1 2+1-4 2=32，又O 1O 2=8，∴S 1=12PQ •O 1O 2=12×32×8=122；又S 2=12(O 2R +O 1M )•MR =12(n +m )(n -m )=202；∴s 1-s 2 2d =122-202 2×8=1，即抛物线在x 轴上截得的线段长为1．∵抛物线过点P (4，1)，Q (1，4)，∴16a +4b +c =1a +b +c =4 ，解得b =-5a +1 c =5+4a，∴抛物线解析式为：y =ax 2-(5a +1)x +5+4a ，令y =0，则有：ax 2-(5a +1)x +5+4a =0，设两根为x 1，x 2，则有：x 1+x 2=5a +1a ，x 1x 2=5+4a a，∵在x 轴上截得的线段长为1，即|x 1-x 2|=1，∴(x 1-x 2)2=1，∴(x 1+x 2)2-4x 1x 2=1，即(5a +1a )2-4(5+4a a )=1，化简得：8a 2-10a +1=0，解得a =5±178，可见a 的两个根均大于0，这与抛物线开口向下(即a <0)矛盾，∴不存在这样的抛物线．5(广益)如图1，已知一次函数y =-x +4与反比例函数y =3x相交于P ，Q 两点(P 在Q 的右侧)．(1)求P ，Q 的坐标并写出△OPQ 的面积；(2)如图2，已知M (m ，m )，N (n ，n )，其中(0<m <n )，若分别以M ，N 为圆心的圆均与x 轴相切，切点分别为A ，B ，并且点P 既在⊙M 上又在⊙N 上．①求直线MN 的解析式；②求出线段MN 的长度d ；(3)在(2)的前提上，记四边形PMQN 的面积为S 1，四边形AMNB 的面积为S 2，已知抛物线y =ax 2+bx +c 满足两个条件：①经过点P 和点Q ，②该抛物线截x 轴得到的线段长度为s 1-s 2 d，请求出抛物线二次项系数a 的值．【解答】解：(1)由题意得：y =-x +4y =3x．解这个方程组得：x 1=1y 1=3 ，x 2=3y 2=1 ．∵P 在Q的右侧，∴P (3，1)，Q (1，3)．设直线PQ 交x 轴于点C ，如图，则C (4，0)．∴OC =4．过点Q 作QE ⊥OC 于E ，过点P 作PF ⊥OC 于F ，则QE =3，PF =1．∴S △OPQ =S △OQC -S △OPC =12×OC ×QE -12OC ×PF =6-2=4．(2)①∵M (m ，m )，N (n ，n )，∴直线MN 的解析式为：y =x ．②∵以M ，N 为圆心的圆均与x 轴相切，切点分别为A ，B ，∴MA ⊥AB ，NB ⊥AB ．过点P 作PE ⊥MA 于E ，PF ⊥NB 与，过点M 作MG ⊥NB 于G ，如图，则∠NMG =45°．∴MN =2MG ．∵M (m ，m )，N (n ，n )，P (3，1)，∴MA =m ，NB =n ，PE =3-m ，PM =3-m 2+m -1 2，ME =m -1，PF =n -3，NF =n -1．∵点P 既在⊙M 上又在⊙N 上，∴PM =MA ，PN =NB ．∴PM 2=MA 2，PN 2=NB 2．∴(3-m )2+(m -1)2=m 2，(n -3)2+(n -1)2=n 2．整理得：m 2-8m +10=0，n 2-8n +10=0．∴m ，n (0<m <n )是方程x 2-8x +10=0的两个根．∴m +n =8，mn =10．∴(n -m )2=(m +n )2-4mn =24．∴n -m =26．∵MG =AB =n -m ，∴MG =26．∴MN =2MG =43，∴d =43．(3)抛物线y =ax 2+bx +c 满足经过点P 和点Q ，∴a +b +c =39a +3b +c =1．∴b =-1-4a c =3a +4 ．∵S 1=12PQ ×MN =12×22×43=46，S 2=12MA +MB ⋅AB =12m +n ×n -m =12×8×26=86，∴s 1-s 2 d =4643=2．设抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴的交点为(x 1，0)，(x 2，0)，∴|x 1-x 2|=2．∴x 1-x 2 2=2．∴x 1+x 2 2-4x 1⋅x 2=2．∵x 1，x 2是方程ax 2+bx +c =0的两个根，∴x 1+x 2=-b a ，x 1⋅x 2=c a ．∴-b a 2-4×c a =2．∴-1-4a a 2-4×3a +4a=2．整理得：2a 2-8a +1=0．解得：a =4±14．∴抛物线二次项系数a 的值为：4+14或4-14．6已知：如图，抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠O )经过X 轴上的两点A (x 1，0)、B (x 2，0)和y 轴上的点C (0，-32)，⊙P 的圆心P 在y 轴上，且经过B 、C 两点，若b =3a ，AB =23，(1)求抛物线的解析式；(2)设D 在抛物线上，且C ，D 两点关于抛物线的对称轴对称，问直线BD 是否经过圆心P ，并说明理由；(3)设直线BD 交⊙P 于另一点E ，求经过E 点的⊙P 的切线的解析式．【解答】解：(1)∵轴上的点C (0，-32)，∴c =-32，又∵b =3a ，AB =23，令ax 2+3ax -32=0，|x 1-x 2|=23，解得：a =23，b =233；∴抛物线的解析式是：y =23x 2+233x -32．(4分)(2)D (-3，-32)，直线B D 为：y =33x -12，连接BP ，设⊙P 的半径为R ，R 2=32 2+32-R 2，R =1，P (0，-12)，点P 的坐标满足直线BD 的解析式y =33x -12．∴直线B D 经过圆心P ．(3)过点E 作EF ⊥y 轴于F ，得△OPB ≌△FPE ，E (-32,-1)，设经过E 点⊙P 的切线L 交y 轴于点Q ．则∠P EQ =90°，EF ⊥PQ ，∴P E 2=P F •PQ ，∴PQ =2，Q (0，-2.5)，∴切线L 为：y =-3x -2.5．7(青竹湖)定义：如果一条直线与一条曲线有且只有一个交点，且曲线位于直线的同旁，称之为直线与曲线相切，这条直线叫做曲线的切线，直线与曲线的唯一交点叫做切点．(1)如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，以点A (0，-3)为圆心，5为半径作圆A ，交x 轴的负半轴于点B ，求过点B 的圆A 的切线的解析式；(2)若抛物线y =ax 2(a ≠0)与直线y =kx +b (k ≠0)相切于点(2，2)，求直线的解析式；(3)若函数y =14x 2+(n -k -1)x +m +k -2的图象与直线y =-x 相切，且当-1≤n ≤2时，m 的最小值为k ，求k 的值．【解答】解：(1)如图1，连接AB ，记过点B 的⊙A 切线交y 轴于点E ，∴AB =5，∠ABE =90°，∵A (0，-3)，∠AOB =90°，∴OA =3，∴OB =AB 2-OA 2=52-32=4，∴B (-4，0)，∵∠OAB =∠BAE ，∠AOB =∠ABE =90°，∴△OAB ∽△BAE ，∴AB AE =OA BA ，∴AE =AB ⋅BA OA =253，∴OE =AE -OA =253-3=163，∴E (0，163)，设直线BE 解析式为：y =kx +163，∴-4k +163=0，解得：k =43，∴过点B 的⊙A 的切线的解析式为y =43x +163，方法二：设直线BE 的解析式为y =k (x +4)，∴E (0，4k )，∴AB =5，AE =4k +3，BE =42+4k 2，由勾股定理可得，AB 2+BE 2=AE 2，∴25+16+16k 2=16k 2+9+24k ，∴k =43，∴过点B 的⊙A 的切线的解析式为y =43x +163；(2)∵抛物线y =ax 2经过点(2，2)，∴4a =2，解得：a =12，∴抛物线解析式：y =12x 2，∵直线y =kx +b 经过点(2，2)，∴2k +b =2，可得：b =2-2k ，∴直线解析式为：y =kx +2-2k ，∵直线与抛物线相切，∴关于x 的方程12x 2=kx +2-2k 有两个相等的实数根，方程整理得：x 2-2kx +4k -4=0，∴△=(-2k )2-4(4k -4)=0，解得：k 1=k 2=2，∴直线解析式为y =2x -2，(3)∵函数y =14x 2+(n -k -1)x +m +k -2的图象与直线y =-x 相切，∴关于x 的方程14x 2+(n -k -1)x +m +k -2=-x 有两个相等的实数根，方程整理得：14x 2+(n -k )x +m +k -2=0，∴△=(n -k )2-4×14(m +k -2)=0，整理得：m =(n -k )2-k +2，可看作m 关于n 的二次函数，对应抛物线开口向上，对称轴为直线x =k ，∵当-1≤n ≤2时，m 的最小值为k ，①如图2，当k <-1时，在-1≤n ≤2时m 随n 的增大而增大，∴n =-1时，m 取得最小值k ，∴(-1-k )2-k +2=k ，方程无解，②如图3，当-1≤k ≤2时，n =k 时，m 取得最小值k ，∴-k +2=k ，解得：k =1，③如图4，当k >2时，在-1≤n ≤2时m 随n 的增大而减小，∴n =2时，m 取得最小值k ，∴(2-k )2-k +2=k ，解得：k 1=3+3，k 2=3-3(舍去)，综上所述，k 的值为1或3+3．8(麓山国际)如图，经过定点A 的直线y =k (x -2)+1(k <0)交抛物线y =-x 2+4x 于B ，C 两点(点C 在点B 的右侧)，D 为抛物线的顶点．(1)直接写出点A 的坐标；(2)如图(1)，若△ACD 的面积是△ABD 面积的两倍，求k 的值；(3)如图(2)，以AC 为直径作⊙E ，若⊙E 与直线y =t 所截的弦长恒为定值，求t 的值．【解答】解：(1)∵A 为直线y =k (x -2)+1上的定点，∴A 的坐标与k 无关，∴x -2=0，∴x =2，此时y =1，∴点A 的坐标为(2，1)；(2)∵y =-x 2+4x =-(x -2)2+4，∴顶点D 的坐标为(2，4)，∵点A 的坐标为(2，1)，∴AD ⊥x 轴．如图(1)，分别过点B ，C 作直线AD 的垂线，垂足分别为M ，N ，设B ，C 的横坐标分别为x 1，x 2，∵△ACD 的面积是△ABD 面积的两倍，∴CN =2BM ，∴x 2-2=2(2-x 1)，∴2x 1+x 2=6．联立y =x 2+4x y =kx -2k +1 ，得x 2+(k -4)x -2k +1=0，①解得x 1=4-k -k 2+122，x 2=4-k +k 2+122，∴2×4-k -k 2+122+4-k +k 2+122=6，化简得：k 2+12=-3k ，解得k =-62．另解：接上解，由①得x 1+x 2=4-k ，又由2x 1+x 2=6，得x 1=2+k ．∴(2+k )2+(k -4)(2+k )-2k +1=0，解得k =±62．∵k <0，∴k =-62；(3)如图(2)，设⊙E 与直线y =t 交于点G ，H ，点C 的坐标为(a ，-a 2+4a )．∵E 是AC 的中点，∴将线段AE 沿AC 方向平移与EC 重合，∴x E -x A =x C -x E ，y E -y A =y C -y E ，∴x E =12(x A +x C )，y E =12(y A +y C )．∴E (1+a 2，-a 2+4a +12)．分别过点E ，A 作x 轴，y 轴的平行线交于点F ，在Rt △AEF 中，由勾股定理得：EA 2=1+a 2-2 2+-a 2+4a +12-1 2=a 2-1 2+-a 2+4a +12-1 2，过点E作PE⊥GH，垂足为P，连接EH，∴GH=2PH，EP2=-a2+4a+12-t 2，又∵AE=EH，∴GH2=4PH2=4(EH2-EP2)=4(EA2-EP2)=4[a2-12+-a2+4a+12-12--a2+4a+12-t2]=4[a24-a+1+-a2+4a+12-12-(-a2+4a+1)+1--a2+4a+122+t(-a2+4a+1)-t2]=4[(54-t)a2+(4t-5)a+1+t-t2]．∵GH的长为定值，∴5 4-t=0，且4t-5=0，∴t=54．9(长郡)如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是(5，4)，⊙M与y轴相切于点C，与x轴相交于A、B两点．(1)分别求A、B、C三点的坐标；(2)如图1，设经过A、B两点的抛物线解析式为y=14x-52+k，它的顶点为E，求证：直线EA与⊙M相切；(3)如图2，过点M作直线FG∥y轴，与圆分别交于F、G两点，点P为弧FB上任意一点(不与B、F重合)，连接FP、AP，FN⊥BP的延长线于点N．请问AP-BPPN是否为定值，若为定值，请求出这个值，若不为定值，请说明理由．【解答】解：(1)如图1，连接CM、AM，连接ME交x轴于点D，则ME⊥x轴，∵⊙M与y轴相切于点C，点M的坐标是(5，4)，∴CM⊥y轴，即C(0，4)，⊙M的半径为5，∴AM=5，DM=4，∴AD=DB=AM2-DM2=52-42=3，∴OA=5-3=2，∴A(2，0)，B(8，0)；(2)证明：将A(2，0)代入y=14x-52+k中，可得k=-94，∴E(5，-94)，∴DE=94，∴ME=DE+MD=94+4=254，则AE2=32+942=22516，MA2+AE2=52+22516=62516，ME2=254 2=62516，∴MA2+AE2=ME2，∴MA⊥AE，又∵MA为半径，∴直线EA与⊙M相切；(3)AP-BPPN为定值，理由如下：连接AF、BF，作FQ⊥AP于点Q，∵∠FPN为圆内接四边形ABPF的外角，∴∠FPN=∠FAB，又∵MF⊥AB，∴AF=BF，∴∠FAB=∠FBA=∠FPA，∴∠FPN=∠FPA，∵FQ⊥AP，FN⊥PN，∴FQ=FN，又∵FP=FP，∴Rt△FPQ≌Rt△FPN(HL)，∴PQ=PN，又∵AF=BF，FQ=FN，∴Rt△AFQ≌Rt△BFN(HL)，∴AQ=BN，∴AP-BPPN =AQ+PQ-BPPN=BP+PN+PQ-BPPN=2PNPN=2．10(长郡)如图1，抛物线y=14x2-2x与x轴交于O、A两点，点B为抛物线的顶点，连接OB．(1)求∠AOB的度数；(2)如图2，以点A为圆心，4为半径作⊙A，点M在⊙A上．连接OM、BM，①当△OBM是以OB为底的等腰三角形时，求点M的坐标；②如图3，取OM的中点N，连接BN，当点M在⊙A上运动时，求线段BN长度的取值范围．【解答】解：(1)令y=0，则14x2-2x=0，解得：x=0或8．∴A(8，0)．∴OA=8．∵y=14x2-2x=14x-42-4，∴B(4，-4)．过点B作BD⊥OA于点D，如图，则OD =4，BD =4，∴OD =BD ，∴∠AOB =∠OBD =45°；(2)①设⊙A 与x 轴交于点C ，则C (4，0)．连接BC ，如图，∵B (4，-4)，∴BC ⊥OA ．∵CO =CB =4，∴△CBO 是以OB 为底的等腰三角形．∴点M 与点C 重合时，△MBO 是以OB 为底的等腰三角形．此时点M (4，0)；过点A 作AM ⊥x 轴，交⊙A 于点M ，延长MA 交⊙A 于点E ，连接BE ，过点M 作MF ⊥y 轴于点F ，如图，则M (8，4)，E (8，-4)，F (0，4)．∴MF =ME =8．∵B (4，-4)，∴BE ∥x 轴．∴BE ⊥ME ，BE =4．∴∠BEM =∠MFO =90°，BE =OF =4．在△MOF 和△MBE 中，MF =ME∠MFO =∠BEM =90°OF =BE，∴△MOF ≌△MBE (SAS )．∴MO =MB ．∴△MBO 是以OB 为底的等腰三角形．此时点M (8，4)；综上，当△OBM 是以OB 为底的等腰三角形时，点M 的坐标为(4，0)或(8，4)；②设⊙A 与x 轴交于点C ，则C (4，0)．连接BC ，CN ，AM ，如图，AM=2．∵A(8，0)，∴点C是OA的中点．∵N为OM的中点，∴CN是△OMA的中位线．∴CN=12当点M在⊙A上运动时，由三角形的三边的关系定理可知：BC-CN≤BN≤BC+CN．∵BC=4，∴4-2≤BN≤4+2．∴线段BN长度的取值范围为：2≤BN≤6．。
专题9二次函数与圆综合问题-挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(解析版)
专题9二次函数与圆综合问题解决函数与圆的综合问题的关键是找准函数与圆的结合点，弄清题目的本质，利用圆的基本性质和函数的性质、数形结合、方程思想、全等与相似，以便找到对应的解题途径.常见的考法有：1.直线与圆的位置关系：平面直角坐标系中的直线与圆的位置关系问题关键是圆心到直线的距离等于半径的大小，常用的方法有：（1）利用圆心到直线的距离等于半径的大小这一数量关系列出关系式解决问题（2）利用勾股定理解决问题（3）利用相似列出比例式解决问题2.函数与圆的新定义题目：利用已掌握的知识和方法理解新定义，化生为熟3.函数与圆的性质综合类问题：利用几何性质，结合图形，找到问题中的“不变”关键因素和“临界位置”.【例1】【例1】（2021•花都区三模）如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）在y轴上是否存在点P使得∠OBP+∠OBC＝45°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点M是BC为直径的圆上的动点，将点M绕原点O顺时针旋转90°得点N，连接NA，求NA的取值范围．【分析】（1）将点A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2即可求解析式；（2）过点P作PH⊥BC交于点H，设P（0，t），CH＝x，由已知分别可求BC＝2，BH＝2﹣x，HP＝BH＝2﹣x，在Rt△CPH中，sin∠PCH＝＝＝，cos∠PCH＝＝＝，求出t＝﹣，则P（0，﹣），与x轴对称点为（0，），此点也满足所求；（3）当M点在B点处时，N点在F（0，﹣4）处，当M点在O点处时，N点在E（2，0）处，∠EOF＝90°，EF＝BC＝2，可以判断N点在以EF为直径的圆上运动，连接OO'，O'（1，﹣2），NA有最大值和最小值，O'A＝2，则可求NA最大值为2+，NA最小值为2﹣，进而求得2﹣≤NA≤2+．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2，得，解得，∴y＝﹣x2+x+2；（2）过点P作PH⊥BC交于点H，设P（0，t），CH＝x，∵C（0，2），B（4，0），∴BC＝2，∴BH＝2﹣x，∵∠OBP+∠OBC＝45°，∴∠CBP＝45°，∴HP＝BH＝2﹣x，在Rt△CPH中，sin∠PCH＝＝，cos∠PCH＝＝，在Rt△BOC中，sin∠PCH＝，cos∠PCH＝，∴＝，＝，∴x＝，t＝﹣，∴P（0，﹣），P点关于x轴对称点为（0，），此点也满足∠OBP+∠OBC＝45°，∴满足条件的P点坐标为（0，﹣）或（0，）；（3）当M点在B点处时，N点在F（0，﹣4）处，当M点在C点处时，N点在E（2，0）处，∵∠EOF＝90°，EF＝BC＝2，可以判断N点在以EF为直径的圆上运动，连接OO'，当NA经过圆心O'时，NA有最大值和最小值，∴O'（1，﹣2），∵A（﹣1，0），∴O'A＝2，∴NA最大值为2+，NA最小值为2﹣，∴2﹣≤NA≤2+．【例2】（2020•遵义）如图，抛物线y＝ax2+94x+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，3）与x轴的另一交点为点B，点M是直线BC上一动点，过点M作MP∥y轴，交抛物线于点P．（1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在一点Q，使得△QCO是等边三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）以M为圆心，MP为半径作⊙M，当⊙M与坐标轴相切时，求出⊙M的半径．【分析】（1）把点A（﹣1，0）和点C（0，3）代入y＝ax2+94x+c求出a与c的值即可得出抛物线的解析式；（2）①当点Q在y轴右边时，假设△QCO为等边三角形，过点Q作QH⊥OC于H，OC＝3，则OH=32，tan60°=QHOH，求出Q（3√32，32），把x=3√32代入y=−34x2+94x+3，得y=27√38−3316≠32，则假设不成立；②当点Q在y轴的左边时，假设△QCO为等边三角形，过点Q作QT⊥OC于T，OC＝3，则OT=32，tan60°=QTOT，求出Q（−3√32，32），把x=−3√32代入y=−34x2+94x+3，得y=−27√38−3316≠32，则假设不成立；（3）求出B（4，0），待定系数法得出BC直线的解析式y=−34x+3，当M在线段BC上，⊙M与x轴相切时，延长PM交AB于点D，则点D为⊙M与x轴的切点，即PM＝MD，设P（x，−34x2+94x+3），M（x，−34x+3），则PD=−34x2+94x+3，MD=−34x+3，由PD﹣MD＝MD，求出x＝1，即可得出结果；当M在线段BC上，⊙M与y轴相切时，延长PM交AB于点D，过点M作ME⊥y轴于E，则点E为⊙M与y轴的切点，即PM＝ME，PD﹣MD＝EM＝x，设P（x，−34x2+94x+3），M（x，−34x+3），则PD=−34x2+94x+3，MD=−34x+3，代入即可得出结果；当M在BC延长线，⊙M与x轴相切时，点P与A重合，M的纵坐标的值即为所求；当M在CB延长线，⊙M与y轴相切时，延长PD交x轴于D，过点M作ME⊥y轴于E，则点E为⊙M与y轴的切点，即PM＝ME，PD﹣MD＝EM＝x，设P（x，−34x2+94x+3），M（x，−34x+3），则PD=34x2−94x﹣3，MD=34x﹣3，代入即可得出结果．【解答】解：（1）把点A（﹣1，0）和点C（0，3）代入y＝ax2+94x+c得：{0=a−94+c3=c，解得：{a =−34c =3，∴抛物线的解析式为：y =−34x 2+94x +3； （2）不存在，理由如下：①当点Q 在y 轴右边时，如图1所示： 假设△QCO 为等边三角形， 过点Q 作QH ⊥OC 于H ， ∵点C （0，3）， ∴OC ＝3，则OH =12OC =32，tan60°=QH OH ， ∴QH ＝OH •tan60°=32×√3=3√32， ∴Q （3√32，32）， 把x =3√32代入y =−34x 2+94x +3， 得：y =27√38−3316≠32， ∴假设不成立，∴当点Q 在y 轴右边时，不存在△QCO 为等边三角形； ②当点Q 在y 轴的左边时，如图2所示： 假设△QCO 为等边三角形， 过点Q 作QT ⊥OC 于T ， ∵点C （0，3）， ∴OC ＝3，则OT =12OC =32，tan60°=QT OT ， ∴QT ＝OT •tan60°=32×√3=3√32， ∴Q （−3√32，32）， 把x =−3√32代入y =−34x 2+94x +3， 得：y =−27√38−3316≠32，∴假设不成立，∴当点Q 在y 轴左边时，不存在△QCO 为等边三角形；综上所述，在抛物线上不存在一点Q ，使得△QCO 是等边三角形；（3）令−34x 2+94x +3＝0， 解得：x 1＝﹣1，x 2＝4， ∴B （4，0），设BC 直线的解析式为：y ＝kx +b ， 把B 、C 的坐标代入则{0=4k +b 3=b ，解得：{k =−34b =3，∴BC 直线的解析式为：y =−34x +3，当M 在线段BC 上，⊙M 与x 轴相切时，如图3所示： 延长PM 交AB 于点D ，则点D 为⊙M 与x 轴的切点，即PM ＝MD ， 设P （x ，−34x 2+94x +3），M （x ，−34x +3）， 则PD =−34x 2+94x +3，MD =−34x +3， ∴（−34x 2+94x +3）﹣（−34x +3）=−34x +3， 解得：x 1＝1，x 2＝4（不合题意舍去）， ∴⊙M 的半径为：MD =−34+3=94；当M 在线段BC 上，⊙M 与y 轴相切时，如图4所示： 延长PM 交AB 于点D ，过点M 作ME ⊥y 轴于E ，则点E 为⊙M 与y 轴的切点，即PM ＝ME ，PD ﹣MD ＝EM ＝x ， 设P （x ，−34x 2+94x +3），M （x ，−34x +3）， 则PD =−34x 2+94x +3，MD =−34x +3， ∴（−34x 2+94x +3）﹣（−34x +3）＝x ， 解得：x 1=83，x 2＝0（不合题意舍去）， ∴⊙M 的半径为：EM =83；当M 在BC 延长线，⊙M 与x 轴相切时，如图5所示：点P 与A 重合， ∴M 的横坐标为﹣1，∴⊙M 的半径为：M 的纵坐标的值， 即：−34×（﹣1）+3=154； 当M 在CB 延长线，⊙M 与y 轴相切时，如图6所示：延长PM 交x 轴于D ，过点M 作ME ⊥y 轴于E ，则点E 为⊙M 与y 轴的切点，即PM ＝ME ，PD ﹣MD ＝EM ＝x ， 设P （x ，−34x 2+94x +3），M （x ，−34x +3）， 则PD =34x 2−94x ﹣3，MD =34x ﹣3， ∴（34x 2−94x ﹣3）﹣（34x ﹣3）＝x ，解得：x 1=163，x 2＝0（不合题意舍去）， ∴⊙M 的半径为：EM =163； 综上所述，⊙M 的半径为94或83或154或163．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式、等边三角形的性质、圆的性质、三角函数等知识；熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．【例3】（2020•济宁）我们把方程（x﹣m）2+（y﹣n）2＝r2称为圆心为（m，n）、半径长为r的圆的标准方程．例如，圆心为（1，﹣2）、半径长为3的圆的标准方程是（x﹣1）2+（y+2）2＝9．在平面直角坐标系中，⊙C与x轴交于点A，B，且点B的坐标为（8，0），与y轴相切于点D（0，4），过点A，B，D的抛物线的顶点为E．（1）求⊙C的标准方程；（2）试判断直线AE与⊙C的位置关系，并说明理由．【分析】（1）如图，连接CD，CB，过点C作CM⊥AB于M．设⊙C的半径为r．在Rt △BCM中，利用勾股定理求出半径以及点C的坐标即可解决问题．（2）结论：AE是⊙C的切线．连接AC，CE．求出抛物线的解析式，推出点E的坐标，求出AC，AE，CE，利用勾股定理的逆定理证明∠CAE＝90°即可解决问题．【解答】解：（1）如图，连接CD，CB，过点C作CM⊥AB于M．设⊙C的半径为r．∵与y轴相切于点D（0，4），∴CD⊥OD，∵∠CDO＝∠CMO＝∠DOM＝90°，∴四边形ODCM是矩形，∴CM＝OD＝4，CD＝OM＝r，∵B（8，0），∴OB＝8，∴BM＝8﹣r，在Rt△CMB中，∵BC2＝CM2+BM2，∴r2＝42+（8﹣r）2，解得r＝5，∴C（5，4），∴⊙C的标准方程为（x﹣5）2+（y﹣4）2＝25．（2）结论：AE是⊙C的切线．理由：连接AC，CE．∵CM⊥AB，∴AM＝BM＝3，∴A（2，0），B（8，0）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）（x﹣8），把D（0，4）代入y＝a（x﹣2）（x﹣8），可得a=1 4，∴抛物线的解析式为y=14（x﹣2）（x﹣8）=14x2−52x+4=14（x﹣5）2−94，∴抛物线的顶点E（5，−9 4），∵AE=√32+(94)2=154，CE＝4+94=254，AC＝5，∴EC2＝AC2+AE2，∴∠CAE＝90°，∴CA⊥AE，∴AE是⊙C的切线．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了矩形的判定和性质，解直角三角形，圆的方程，切线的判定等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．【例4】（2020•西藏）在平面直角坐标系中，二次函数y =12x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A （﹣2，0），B （4，0）两点，交y 轴于点C ，点P 是第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求二次函数的解析式；（2）如图甲，连接AC ，P A ，PC ，若S △P AC =152，求点P 的坐标； （3）如图乙，过A ，B ，P 三点作⊙M ，过点P 作PE ⊥x 轴，垂足为D ，交⊙M 于点E ．点P 在运动过程中线段DE 的长是否变化，若有变化，求出DE 的取值范围；若不变，求DE 的长．【分析】（1）由二次函数y =12x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A （﹣2，0），B （4，0）两点，可得二次函数的解析式为y =12（x +2）（x ﹣4），由此即可解决问题．（2）根据S △P AC ＝S △AOC +S △OPC ﹣S △AOP ，构建方程即可解决问题．（3）结论：点P 在运动过程中线段DE 的长是定值，DE ＝2．根据AM ＝MP ，根据方程求出t ，再利用中点坐标公式，求出点E 的纵坐标即可解决问题．【解答】解：（1）∵二次函数y =12x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A （﹣2，0），B （4，0）两点，∴二次函数的解析式为y =12（x +2）（x ﹣4），即y =12x 2﹣x ﹣4．（2）如图甲中，连接OP ．设P （m ，12m 2﹣m ﹣4）．由题意，A （﹣2，0），C （0，﹣4），∵S △P AC ＝S △AOC +S △OPC ﹣S △AOP ，∴152=12×2×4+12×4×m −12×2×（−12m 2+m +4）， 整理得，m 2+2m ﹣15＝0，解得m ＝3或﹣5（舍弃），∴P （3，−52）．（3）结论：点P 在运动过程中线段DE 的长是定值，DE ＝2．理由：如图乙中，连接AM ，PM ，EM ，设M （1，t ），P [m ，12（m +2）（m ﹣4）]，E （m ，n ）．由题意A （﹣2，0），AM ＝PM ，∴32+t 2＝（m ﹣1）2+[12（m +2）（m ﹣4）﹣t ]2， 解得t ＝1+14（m +2）（m ﹣4），∵ME ＝PM ，PE ⊥AB ，∴t =n+12(m+2)(m−4)2，∴n＝2t−12（m+2）（m﹣4）＝2[1+14（m+2）（m﹣4）]−12（m+2）（m﹣4）＝2，∴DE＝2，另解：∵PD•DE＝AD•DB，∴DE=AD⋅DBPD=(m+2)(4−m)4+m−m2=2，为定值．∴点P在运动过程中线段DE的长是定值，DE＝2．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了三角形的面积，三角形的外接圆，三角形的外心等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．【例5】（2020•宜宾）如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点（2，1）在二次函数的图象上，过点F（0，1）作x轴的平行线交二次函数的图象于M、N两点．（1）求二次函数的表达式；（2）P为平面内一点，当△PMN是等边三角形时，求点P的坐标；（3）在二次函数的图象上是否存在一点E，使得以点E为圆心的圆过点F和点N，且与直线y＝﹣1相切．若存在，求出点E的坐标，并求⊙E的半径；若不存在，说明理由．【分析】（1）设二次函数表达式为：y＝ax2，将（2，1）代入上式，即可求解；（2）△PMN是等边三角形，则点P在y轴上且PM＝4，故PF＝2√3，即可求解；（3）在Rt△FQE中，EN=√(2−1)2+(1−14)2=54，EF=√(1−0)2+(1−14)2=54，即可求解．【解答】解：（1）∵二次函数的图象顶点在原点，故设二次函数表达式为：y＝ax2，将（2，1）代入上式并解得：a=1 4，故二次函数表达式为：y=14x 2；（2）将y＝1代入y=14x2并解得：x＝±2，故点M、N的坐标分别为（﹣2，1）、（2，1），则MN＝4，∵△PMN是等边三角形，∴点P在y轴上且PM＝4，∴PF＝2√3；∵点F （0，1），∴点P 的坐标为（0，1+2√3）或（0，1﹣2√3）；（3）假设二次函数的图象上存在一点E 满足条件，设点Q 是FN 的中点，则点Q （1，1），故点E 在FN 的中垂线上．∴点E 是FN 的中垂线与y =14x 2图象的交点，∴y =14×12=14，则点E （1，14）， EN =√(2−1)2+(1−14)2=54，同理EF =√(1−0)2+(1−14)2=54，点E 到直线y ＝﹣1的距离为|14−（﹣1）|=54， 故存在点E ，使得以点E 为圆心半径为54的圆过点F ，N 且与直线y ＝﹣1相切． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、圆的基本的性质、等边三角形的性质等，综合性强，难度适中．【例6】（2021•嘉兴二模）定义：平面直角坐标系xOy 中，过二次函数图象与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆．（1）已知点P （2，2），以P 为圆心，为半径作圆．请判断⊙P 是不是二次函数y ＝x 2﹣4x +3的坐标圆，并说明理由；（2）已知二次函数y ＝x 2﹣4x +4图象的顶点为A ，坐标圆的圆心为P ，如图1，求△POA 周长的最小值；（3）已知二次函数y ＝ax 2﹣4x +4（0＜a ＜1）图象交x 轴于点A ，B ，交y 轴于点C ，与坐标圆的第四个交点为D ，连结PC ，PD ，如图2．若∠CPD ＝120°，求a 的值．【分析】（1）先求出二次函数y＝x2﹣4x+3图象与x轴、y轴的交点，再计算这三个交点是否在以P（2，2）为圆心，为半径的圆上，即可作出判断．（2）由题意可得，二次函数y＝x2﹣4x+4图象的顶点A（2，0），与y轴的交点H（0，4），所以△POA周长＝PO+P A+OA＝PO+PH+2≥OH+2，即可得出最小值．（3）连接CD，P A，设二次函数y＝ax2﹣4x+4图象的对称轴l与CD交于点E，与x轴交于点F，由对称性知，对称轴l经过点P，且l⊥CD，设PE＝m，由∠CPD＝120°，可得P A＝PC＝2m，CE＝m，PF＝4﹣m，因为二次函数y＝ax2﹣4x+4图象的对称轴l 为，AB＝，所以AF＝BF＝，，在Rt△P AF中，利用勾股定理建立方程，求得m的值，进而得出a的值．【解答】解：（1）对于二次函数y＝x2﹣4x+3，当x＝0时，y＝3；当y＝0时，解得x＝1或x＝3，∴二次函数图象与x轴交点为A（1，0），B（3，0），与y轴交点为C（0，3），∵点P（2，2），∴P A＝PB＝PC＝，∴⊙P是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆．（2）如图1，连接PH，∵二次函数y＝x2﹣4x+4图象的顶点为A，坐标圆的圆心为P，∴A（2，0），与y轴的交点H（0，4），∴△POA周长＝PO+P A+OA＝PO+PH+2≥OH+2＝6，∴△POA周长的最小值为6．（3）如图2，连接CD，P A，设二次函数y＝ax2﹣4x+4图象的对称轴l与CD交于点E，与x轴交于点F，由对称性知，对称轴l经过点P，且l⊥CD，∵AB＝，∴AF＝BF＝，∵∠CPD＝120°，PC＝PD，C（0，4），∴∠PCD＝∠PDC＝30°，设PE＝m，则P A＝PC＝2m，CE＝m，PF＝4﹣m，∵二次函数y＝ax2﹣4x+4图象的对称轴l为，∴，即，在Rt△P AF中，P A2＝PF2+AF2，∴，即，化简，得，解得，∴．【题组一】1．（2020•雨花区校级一模）如图1，已知抛物线y＝ax2﹣12ax+32a（a＞0）与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．（1）连接BC，若∠ABC＝30°，求a的值．（2）如图2，已知M为△ABC的外心，试判断弦AB的弦心距d是否有最小值，若有，求出此时a的值，若没有，请说明理由；（3）如图3，已知动点P（t，t）在第一象限，t为常数．问：是否存在一点P，使得∠APB达到最大，若存在，求出此时∠APB的正弦值，若不存在，也请说明理由．【分析】（1）令y＝0，求得抛物线与x轴的交点A、B的坐标，令x＝0，用a表示C点的坐标，再由三角函数列出a的方程，便可求得a的值；（2）过M点作MH⊥AB于点H，连接MA、MC，用d表示出M的坐标，根据MA＝MC，列出a、d的关系式，再通过关系式求得结果；（3）取AB的中点T，过T作MT⊥AB，以M为圆心，MA为半径作⊙M，MT与直线y ＝x交于点S，P′为直线y＝x上异于P的任意一点，连接AP′，交⊙M于点K，连接BK，MP，AP，BP，MB，MA，当P为直线y＝x与⊙M的切点时，∠APB达到最大，利用圆圆周角性质和解直角三角形的知识求得结果便可．【解答】解：（1）连接BC，令y＝0，得y＝ax2﹣12ax+32a＝0，解得，x＝4或8，∴A（4，0），B（8，0），令x＝0，得y＝ax2﹣12ax+32a＝32a，∴C（0，32a），又∠ABC＝30°，∴tan∠ABC=OCOB=32a8=√33，解得，a=√3 12；（2）过M点作MH⊥AB于点H，连接MA、MC，如图2，∴AH＝BH=12AB=2，∴OH＝6，设M（6，d），∵MA＝MC，∴4+d2＝36+（d﹣32a）2，得2ad＝32a2+1，∴d＝16a+12a=(4√a√2a)2+4√2，∴当4√a=1√2a时，有d最小=4√2，即当a=√28时，有d最小=4√2；（3）∵P（t，t），∴点P在直线y＝x上，如图3，取AB的中点T，过T作MT⊥AB，以M为圆心，MA为半径作⊙M，MT与直线y＝x交于点S，P′为直线y＝x上异于P的任意一点，连接AP′，交⊙M于点K，连接BK，MP，AP，BP，MB，MA，当⊙M与直线y＝x相切时，有∠APB＝∠AKB＞∠AP′B，∴∠APB最大，此时相切点为P，设M（6，d），而T（6，0），∴S（6，6），∴∠PSM＝90°﹣∠SOT＝45°，又MP＝MB=√4+d2，∴MS=√2MP=√2d2+8，∵MS+MT＝ST＝6，∴√2d2+8+d=6，解得，d＝2（负根舍去），经检验，d＝2是原方程的解，也符合题意，∴M（6，2），∴MB＝2√2，∵∠AMB＝2∠APB，MT⊥AB，MA＝MB，∴∠AMT＝∠BMT=12∠AMB＝∠APB，∴sin∠APB＝sin∠BMT=BTMB=√22．【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，解直角三角形，圆周角定理和圆与直线切线性质，难度较大，第（3）题的关键是构造辅助圆确定当∠APB 达到最大时的P点位置．2．（2020•汇川区三模）如图，在平面直角坐标系上，一条抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，连接BC并延长．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是直线BC在第一象限部分上的一个动点，过M作MN∥y轴交抛物线于点N．1°求线段MN的最大值；2°当MN取最大值时，在线段MN右侧的抛物线上有一个动点P，连接PM、PN，当△PMN的外接圆圆心Q在△PMN的边上时，求点P的坐标．【分析】（1）将三个已知点坐标代入抛物线的解析式中列出方程组求得a 、b 、c ，便可得抛物线的解析式；（2）1°用待定系数法求出直线BC 的解析式，再设M 的横坐标为t ，用t 表示MN 的距离，再根据二次函数的性质求得MN 的最大值；2°分三种情况：当∠PMN ＝90°时；当∠PNM ＝90°时；当∠MPN ＝90°时．分别求出符合条件的P 点坐标便可．【解答】解：（1）把A 、B 、C 三点的坐标代入抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）中，得 {a +b +c =09a +3b +c =0c =3， 解得，{a =1b =−4c =3，∴抛物线的解析式为：y ＝x 2﹣4x +3；（2）1°设直线BC 的解析式为y ＝mx +n （m ≠0），则 {3m +n =0n =3， 解得，{m =−1n =3，∴直线BC 的解析式为：y ＝﹣x +3，设M （t ，﹣t +3）（0＜t ＜3），则N （t ，t 2﹣4t +3）， ∴MN ＝﹣t 2+3t =−(t −32)2+94，∴当t =32时，MN 的值最大，其最大值为94；2°∵△PMN 的外接圆圆心Q 在△PMN 的边上， ∴△PMN 为直角三角形，由1°知，当MN 取最大值时，M （32，32），N （32，−34），①当∠PMN ＝90°时，PM ∥x 轴，则P 点与M 点的纵坐标相等， ∴P 点的纵坐标为32，当y =32时，y ＝x 2﹣4x +3=32， 解得，x =4+√102，或x =4−√102＜32（舍去）， ∴P （4+√102，32）；②当∠PNM ＝90°时，PN ∥x 轴，则P 点与N 点的纵坐标相等， ∴P 点的纵坐标为−34，当y =−34时，y ＝x 2﹣4x +3=−34， 解得，x =52，或x =32（舍去）， ∴P （52，−34）；③当∠MPN ＝90°时，则MN 为△PMN 的外接圆的直径， ∴△PMN 的外接圆的圆心Q 为MN 的中点， ∴Q （32，38），半径为12MN =98，过Q 作QK ∥x 轴，与在MN 右边的抛物线图象交于点K ，如图②，令y =38，得y ＝x 2﹣4x +3=38， 解得，x =8−√224＜32（舍），或x =8+√224， ∴K （8+√224，38），∴QK =2+√224＞98，即K 点在以MN 为直径的⊙Q 外， 设抛物线y ＝x 2﹣4x +3的顶点为点L ，则l （2，﹣1）， 连接LK ，如图②，则L 到QK 的距离为38+1=118，LK =(8+√224−2)2+(38+1)2=√2098， 设Q 点到LK 的距离为h ，则12QK ⋅118=12LK ⋅ℎ，∴ℎ=118QKLK =118×2+√224√2098=22√209+11√209×224×209≈1.27＞98， ∴直线LK 下方的抛物线与⊙Q 没有公共点，∵抛物线中NL 部分（除N 点外）在过N 点与x 轴平行的直线下方，∴抛物线中NL 部分（除N 点外）与⊙Q 没有公共点， ∵抛物线K 点右边部分，在过K 点与y 轴平行的直线的右边，∴抛物线K 点右边部分与⊙Q 没有公共点，综上，⊙Q 与MN 右边的抛物线没有交点， ∴在线段MN 右侧的抛物线上不存在点P ，使△PMN 的外接圆圆心Q 在MN 边上； 综上，点P 的坐标为（4+√102，32）或（52，−34）． 【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法，二次函数的最值的应用，直角三角形的存在性质的探究，圆的性质，第（2）题的1°题关键是把MN 表示成t 二次函数，用二次函数求最值的方法解决问题；第（2）2°小题关键是分情况讨论．难度较大．3．（2020•望城区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =12x 2﹣bx +c 交x 轴于点A ，B ，点B 的坐标为（4，0），与y 轴于交于点C （0，﹣2）．（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线上取点D ，若点D 的横坐标为5，求点D 的坐标及∠ADB 的度数； （3）在（2）的条件下，设抛物线对称轴l 交x 轴于点H ，△ABD 的外接圆圆心为M （如图1），①求点M 的坐标及⊙M 的半径；②过点B 作⊙M 的切线交于点P （如图2），设Q 为⊙M 上一动点，则在点运动过程中QH QP的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．【分析】（1）c ＝﹣2，将点B 的坐标代入抛物线表达式得：0=12×16−4b ﹣2，解得：b =−32，即可求解； （2）S △ABD =5×32=3√5×BN 2，则BN =√5，sin ∠BDH =BH BD=√22，即可求解； （3）①∠ADB ＝45°，则∠AMB ＝2∠ADB ＝90°，MA ＝MB ，MH ⊥AB ，AH ＝BH ＝HM =52，点M 的坐标为（32，52）⊙M 的半径为√5； ②PH ＝HB ＝5，则MH MQ=525√22=√22，MQ MP=5√2252=√22，故△HMQ ∽△QMP ，则QH QP=MH MQ=√22，即可求解． 【解答】解：（1）c ＝﹣2，将点B 的坐标代入抛物线表达式得：0=12×16−4b ﹣2，解得：b =−32，∴抛物线的解析式为y =12x 2−32x ﹣2；（2）当x ＝5时，y =12x 2−32x ﹣2＝3，故D 的坐标为（5，3）， 令y ＝0，则x ＝4（舍去）或﹣1，故点A （﹣1，0）， 如图①，连结BD ，作BN ⊥AD 于N ，∵A （﹣1，0），B （4，0），C （0，﹣2）， ∴AD ＝3√5，BD =√10， ∵S △ABD =5×32=3√5×BN2， ∴BN =√5，∴sin ∠BDH =BHBD =√22， ∴∠BDH ＝45°；（3）①如图②，连接MA ，MB ，∵∠ADB ＝45°，∴∠AMB ＝2∠ADB ＝90°， ∵MA ＝MB ，MH ⊥AB ， ∴AH ＝BH ＝HM =52，∴点M 的坐标为（32，52）⊙M 的半径为5√22； ②如图③，连接MQ ，MB ，∵过点B 作⊙M 的切线交1于点P ， ∴∠MBP ＝90°， ∵∠MBO ＝45°， ∴∠PBH ＝45°， ∴PH ＝HB ＝5， ∵MH MQ=525√22=√22，MQ MP=5√2252=√22， ∵∠HMQ ＝∠QMP ， ∴△HMQ ∽△QMP ， ∴QH QP=MH MQ=√22， ∴在点Q 运动过程中QH QP的值不变，其值为√22．【点评】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定与性质．圆的基本性质．解决（3）问的关键是构造相似三角形实现比的转换．4．（2020•天桥区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），与x轴交于A（4，0）、O两点，点D（2，﹣2）为抛物线的顶点．（1）求该抛物线的解析式；（2）点E为AO的中点，以点E为圆心、以1为半径作⊙E，交x轴于B、C两点，点M为⊙E上一点．①射线BM交抛物线于点P，设点P的横坐标为m，当tan∠MBC＝2时，求m的值；②如图2，连接OM，取OM的中点N，连接DN，则线段DN的长度是否存在最大值或最小值？若存在，请求出DN的最值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）用抛物线顶点式表达式得：y＝a（x﹣2）2﹣2，将点A的坐标代入上式，即可求解；（2）分点P在x轴下方、点P在x轴上方两种情况，分别求解即可；（3）证明BN是△OEM的中位线，故BN=12EM=12，而BD=√(2−1)2+(0+2)2=√5，而BD﹣BN≤ND≤BD+BN，即可求解．【解答】解：（1）由抛物线顶点式表达式得：y＝a（x﹣2）2﹣2，将点A的坐标代入上式并解得：a=1 2，故抛物线的表达式为：y=12（x﹣2）2﹣2=12x2﹣2x①；（2）点E是OA的中点，则点E（2，0），圆的半径为1，则点B（1，0），当点P在x轴下方时，如图1，∵tan∠MBC＝2，故设直线BP的表达式为：y＝﹣2x+s，将点B（1，0）的坐标代入上式并解得：s＝2，故直线BP的表达式为：y＝﹣2x+2②，联立①②并解得：x＝±2（舍去﹣2），故m＝2；当点P在x轴上方时，同理可得：m＝4±2√3（舍去4﹣2√3）；故m＝2或4+2√3；（3）存在，理由：连接BN、BD、EM，则BN是△OEM的中位线，故BN=12EM=12，而BD=√(2−1)2+(0+2)2=√5，在△BND中，BD﹣BN≤ND≤BD+BN，即√5−0.5≤ND≤√5+0.5，故线段DN的长度最小值和最大值分别为√5−0.5和√5+0.5．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、圆的基本知识、中位线的性质等，综合性强，难度适中．【题组二】5．（2021•乐山模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与直线AB相交于A（﹣1，0），B（3，2），与x轴交于另一点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在y上是否存在一点E，使四边形ABCE为矩形，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）以C为圆心，1为半径作⊙O，D为⊙O上一动点，求DA+DB的最小值【分析】（1）把A（﹣1，0）、B（3，2）代入y＝ax2+bx+2，列方程组求a、b的值；（2）作AE⊥AB交y轴于点E，连结CE，作BF⊥x轴于点F，证明∠ABC＝90°及△BCF≌△EAO，从而证明四边形ABCE是矩形且求出点E的坐标；（3）在（2）的基础上，作FL⊥BC于点L，证明△FCL∽△BCF及△DCL∽△BCD，得到LD＝DB，再根据DA+LD≥AL，求出AL的长即为所求的最小值．【解答】解：（1）把A（﹣1，0）、B（3，2）代入y＝ax2+bx+2，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+x+2．（2）存在．如图1，作AE⊥AB交y轴于点E，连结CE；作BF⊥x轴于点F，则F（3，0）．当y＝0时，由x2+x+2＝0，得x1＝1，x2＝4，∴C（4，0），∴CF＝AO＝1，AF＝3﹣（﹣1）＝4；又∵BF＝2，∴，∵∠BFC＝∠AFB＝90°，∴△BFC∽△AFB，∴∠CBF＝∠BAF，∴∠ABC＝∠CBF+∠ABF＝∠BAF+∠ABF＝90°，∴BC∥AE，∵∠BCF＝90°﹣∠BAC＝∠EAO，∠BFC＝∠EOA＝90°，∴△BCF≌△EAO（ASA），∴BC＝EA，∴四边形ABCE是矩形；∵OE＝FB＝2，∴E（0，﹣2）．（3）如图2，作FL⊥BC于点L，连结AL、CD.由（2）得∠BFC＝90°，BF＝2，CF＝1，∴CF＝CD，CB＝＝．∵∠FLC＝∠BFC＝90°，∠FCL＝∠BCF（公共角），∴△FCL∽△BCF，∴＝，∴＝，∵∠DCL＝∠BCD（公共角），∴△DCL∽△BCD，∴＝，∴LD＝DB；∵DA+LD≥AL，∴当DA+LD＝AL，即点D落在线段AL上时，DA+DB＝DA+LD＝AL最小．∵CL＝CF＝，∴BL＝＝，∴BL2＝（）2＝，又∵AB2＝22+42＝20，∴AL＝＝＝，DA+DB的最小值为．6．（2021•河北区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴是直线x＝2，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（Ⅰ）求抛物线的解析式及顶点坐标；（Ⅱ）M为第一象限内抛物线上的一个点，过点M作MN⊥x轴于点N，交BC于点D，连接CM，当线段CM＝CD时，求点M的坐标；（Ⅲ）以原点O为圆心，AO长为半径作⊙O，点P为⊙O上的一点，连接BP，CP，求2PC+3PB的最小值．【分析】（Ⅰ）由x＝2＝﹣＝﹣，解得b＝1，即可求解；（Ⅱ）当线段CM＝CD时，则点C在MD的中垂线上，即y C＝（y M+y D），即可求解；（Ⅲ）在OC上取点G，使＝，即，则△POG∽△COP，故2PC+3PB ＝2（PB+PC）＝2（BP+PG），故当B、P、G三点共线时，2PC+3PB最小，最小值为3BG，进而求解．【解答】解：（Ⅰ）∵对称轴是直线x＝2，故x＝2＝﹣＝﹣，解得b＝1，故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣2）2+4，∴抛物线的顶点为（2，4）；（Ⅱ）对于y＝﹣x2+x+3，令y＝﹣x2+x+3＝0，解得x＝6或﹣2，令x＝0，则y＝3，故点A、B、C的坐标分别为（﹣2，0）、（6，0）、（0，3），设直线BC的表达式为y＝mx+n，则，解得，故直线BC的表达式为y＝﹣x+3，设点M的坐标为（x，﹣x2+x+3），则点D的坐标为（x，﹣x+3），当线段CM＝CD时，则点C在MD的中垂线上，即y C＝（y M+y D），即3＝（﹣x2+x+3﹣x+3），解得x＝0（舍去）或2，故点M的坐标为（2，4）；（Ⅲ）在OC上取点G，使＝，即，则OG＝，则点G（0，），∵，∠GOP＝∠COP，∴△POG∽△COP，∴，故PG＝PC，则2PC+3PB＝3（PB+PC）＝3（BP+PG），故当B、P、G三点共线时，2PC+3PB最小，最小值为3BG，则2PC+3PB的最小值3BG＝3＝2．7．（2021•长沙模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，经过C（1，1），且与x轴正半轴交于A，B两点．（1）如图1，连接OC，将线段OC绕点O顺时针旋转，使得C落在y轴的负半轴上，求点C的路径长；（2）如图2，延长线段OC至N，使得ON＝，若∠OBN＝∠ONA，且，求抛物线的解析式；（3）如图3，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线，与y轴交于（0，5），经过点C 的直线l：y＝kx+m（k＞0）与抛物线交于点C、D，若在x轴上存在P1、P2，使∠CP1D ＝∠CP2D＝90°，求k的取值范围．【分析】（1）由点C的路径长＝，即可求解；（2）证明△ONA∽△OBN，则OA•OB＝ON2＝3，即，得到c＝3a，而a+b+c＝1，tan∠ABM＝，得到（1﹣4a）2﹣4a•3a＝13，即可求解；（3）由点D、C的坐标得到k＝＝t﹣4，若在x轴上有且仅有一点P，使∠CPD＝90°，则过CD中点的圆R与x轴相切，设切点为P，得到（﹣1）2+（﹣1）2＝（）2，求出t＝3+，进而求解．【解答】解：（1）点C的路径长＝＝；（2）∵∠ONA＝∠OBN，∠AON＝∠NOB，∴△ONA∽△OBN，∴，即OA•OB＝ON2＝3，即，故c＝3a，∵a+b+c＝1，在△ABM中，tan∠ABM＝＝＝，∴b2﹣4ac＝13，即（1﹣4a）2﹣4a•3a＝13，解得a＝﹣1（舍去）或3，∴抛物线的表达式为y＝3x2﹣11x+9；（3）由题意得：，解得，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣5x+5；设点D（t，n），n＝t2﹣5t+5，而点C（1，1），将点D、C的坐标代入函数表达式得，则k＝＝t﹣4，若在x轴上有且仅有一点P，使∠CPD＝90°，则过CD中点的圆R与x轴相切，设切点为P，则点H（，），则HP＝HC，即（﹣1）2+（﹣1）2＝（）2，化简得：3t2﹣18t+19＝0，解得：t＝3+（不合题意的值已舍去），k＝t﹣4＝．若在x轴上存在P1、P2，使∠CP1D＝∠CP2D＝90°，则以DC为直径的圆H和x轴相交，∴0＜k＜．8．（2020•东海县二模）如图，△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线C1：y＝x2+ x上，点A的坐标为（﹣4，m），点B的坐标为（n，﹣2）．（点A在点B的左侧）（1）则m＝﹣4，n＝﹣1．（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，抛物线C2：y＝ax2+bx+4经过A'、B'两点，延长OB'交抛物线C2于点C，连接A'C．设△OA'C的外接圆为⊙M．①求圆心M的坐标；②试直接写出△OA'C的外接圆⊙M与抛物线C2的交点坐标（A'、C除外）．【分析】（1）把x＝﹣4代入抛物线C1解析式求得y即得到点A坐标；把y＝﹣2代入抛物线C1解析式，解方程并判断大于﹣4的解为点B横坐标．（2）①根据旋转90°的性质特点可求点A'、B'坐标（过点作x轴垂线，构造全等得到对应边相等）及OA'的长，用待定系数法求抛物线F2的解析式，求出直线OC的解析式，构建方程组确定点C的坐标，求出线段OA′，线段A′C的垂直平分线的解析式，构建方程组解决问题即可．②设⊙M与抛物线C2的交点为P（m，m2﹣3m+4）．根据PM＝OM，构建方程求解即可．【解答】解：（1）当x＝﹣4时，y＝×（﹣4）2+×（﹣4）＝﹣4，∴点A坐标为（﹣4，﹣4），当y＝﹣2时，x2+x＝﹣2，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣6，∵点A在点B的左侧，∴点B坐标为（﹣1，﹣2），∴m＝﹣4，n＝﹣1．故答案为﹣4，﹣1．（2）①如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，过点B'作B'G⊥x轴于点G．∴∠BEO＝∠OGB'＝90°，OE＝1，BE＝2，∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB′，∴OB＝OB'，∠BOB'＝90°，∴∠BOE+∠B'OG＝∠BOE+∠OBE＝90°，∴∠B'OG＝∠OBE，在△B'OG与△OBE中，，∴△B'OG≌△OBE（AAS），∴OG＝BE＝2，B'G＝OE＝1，∵点B'在第四象限，∴B'（2，﹣1），同理可求得：A'（4，﹣4），∴OA＝OA'＝＝4，∵抛物线F2：y＝ax2+bx+4经过点A'、B'，∴，解得：，∴抛物线F2解析式为：y＝x2﹣3x+4，∵直线OB′的解析式为y＝﹣x，由，解得或，∴点C（8，﹣4），∵A′（4，﹣4），∴A′C∥x轴，∵线段OA′的垂直平分线的解析式为y＝x﹣4，线段A′C的垂直平分线为x＝6，∴直线y＝x﹣4与x＝6的交点为（6，2），∴△OA′C的外接圆的圆心M的坐标为（6，2）．②设⊙M与抛物线C2的交点为P（m，m2﹣3m+4）．则有（m﹣6）2+（m2﹣3m+2）2＝62+22，解得m＝0或12或4或8，∵A'、C除外，∴P （0，4），或（12，4）．9．（2019•鄂尔多斯）如图，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣2（a ≠0）与x 轴交于A （﹣3，0），B （1，0）两点，与y 轴交于点C ，直线y ＝﹣x 与该抛物线交于E ，F 两点．（1）求抛物线的解析式．（2）P 是直线EF 下方抛物线上的一个动点，作PH ⊥EF 于点H ，求PH 的最大值．（3）以点C 为圆心，1为半径作圆，⊙C 上是否存在点M ，使得△BCM 是以CM 为直角边的直角三角形？若存在，直接写出M 点坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）直接利用待定系数法即可得出结论；（2）先判断出过点P 平行于直线EF 的直线与抛物线只有一个交点时，PH 最大，再求出此直线l 的解析式，即可得出结论；（3）分两种情况：①当∠BMC ＝90°时，先求出BM 的长，进而求出BD ，DM 1的长，再构造出相似三角形即可得出结论；②当∠BCM ＝90°时，利用锐角三角函数求出点M 3的坐标，最后用对称的性质得出点M 4的坐标，即可得出结论．【解答】解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx ﹣2（a ≠0）与x 轴交于A （﹣3，0），B （1，0）两点，∴{9a −3b −2=0a +b −2=0，∴{a =23b =43， ∴抛物线的解析式为y =23x 2+43x ﹣2；（2）如图1，过点P 作直线l ，使l ∥EF ，过点O 作OP '⊥l ， 当直线l 与抛物线只有一个交点时，PH 最大，等于OP '， ∵直线EF 的解析式为y ＝﹣x ，设直线l 的解析式为y ＝﹣x +m ①，∵抛物线的解析式为y =23x 2+43x ﹣2②，联立①②化简得，23x 2+73x ﹣2﹣m ＝0， ∴△=499−4×23×（﹣2﹣m ）＝0， ∴m =−9724， ∴直线l 的解析式为y ＝﹣x −9724，令y ＝0，则x =−9724， ∴M （−9724，0），∴OM =9724，在Rt △OP 'M 中，OP '=OM √2=97√248， ∴PH 最大=97√248．（3）①当∠CMB ＝90°时，如图2，∴BM 是⊙O 的切线，∵⊙C 半径为1，B （1，0），∴BM 2∥y 轴，∴∠CBM 2＝∠BCO ，M 2（1，﹣2），∴BM 2＝2，∵BM 1与BM 2是⊙C 的切线，∴BM 1＝BM 2＝2，∠CBM 1＝∠CBM 2，∴∠CBM 1＝∠BCO ，∴BD ＝CD ，在Rt △BOD 中，OD 2+OB 2＝BD 2，∴OD2+1＝（2﹣OD）2，∴OD=3 4，∴BD=5 4，∴DM1=3 4过点M1作M1Q⊥y轴，∴M1Q∥x轴，∴△BOD∽△M1QD，∴OBM1Q =ODDQ=BDDM1，∴1M1Q =34DQ=5434，∴M1Q=35，DQ=920，∴OQ=34+920=65，∴M1（−35，−65），②当∠BCM＝90°时，如图3，∴∠OCM3+∠OCB＝90°，∵∠OCB+∠OBC＝90°，∴∠OCM3＝∠OBC，在Rt△BOC中，OB＝1，OC＝2，∴tan∠OBC=OCOB=2，∴tan∠OCM3＝2，过点M3作M3H⊥y轴于H，在Rt△CHM3中，CM3＝1，设CH＝m，则M3H＝2m，根据勾股定理得，m2+（2m）2＝1，∴m=√5 5，∴M3H＝2m=2√55，OH＝OC﹣CH＝2−√55，∴M3（−2√55，√55−2），而点M4与M3关于点C对称，∴M 4（2√55，−√55−2）， 即：满足条件的点M 的坐标为（−35，−65）或（1，﹣2）或（−2√55，√55−2）或（2√55，−√55−2）．【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平行线的性质，勾股定理，切线的性质，相似三角形的判定和性质，构造出相似三角形是解本题的关键． 10．（2019•日照）如图1，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣5x +5与x 轴，y 轴分别交于A ，C 两点，抛物线y ＝x 2+bx +c 经过A ，C 两点，与x 轴的另一交点为B ． （1）求抛物线解析式及B 点坐标；（2）若点M 为x 轴下方抛物线上一动点，连接MA 、MB 、BC ，当点M 运动到某一位置时，四边形AMBC 面积最大，求此时点M 的坐标及四边形AMBC 的面积；（3）如图2，若P 点是半径为2的⊙B 上一动点，连接PC 、P A ，当点P 运动到某一位置时，PC +12P A 的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．【分析】（1）由直线y ＝﹣5x +5求点A 、C 坐标，用待定系数法求抛物线解析式，进而求得点B 坐标．（2）从x 轴把四边形AMBC 分成△ABC 与△ABM ；由点A 、B 、C 坐标求△ABC 面积；设点M 横坐标为m ，过点M 作x 轴的垂线段MH ，则能用m 表示MH 的长，进而求△ABM 的面积，得到△ABM 面积与m 的二次函数关系式，且对应的a 值小于0，配方即求得m 为何值时取得最大值，进而求点M 坐标和四边形AMBC 的面积最大值． （3）作点D 坐标为（4，0），可得BD ＝1，进而有BD BP=BP AB=12，再加上公共角∠PBD＝∠ABP ，根据两边对应成比例且夹角相等可证△PBD ∽△ABP ，得PD PA等于相似比12，进而得PD =12AP ，所以当C 、P 、D 在同一直线上时，PC +12P A ＝PC +PD ＝CD 最小．用两点间距离公式即求得CD 的长．【解答】解：（1）直线y ＝﹣5x +5，x ＝0时，y ＝5 ∴C （0，5）y ＝﹣5x +5＝0时，解得：x ＝1 ∴A （1，0）∵抛物线y ＝x 2+bx +c 经过A ，C 两点 ∴{1+b +c =00+0+c =5 解得：{b =−6c =5 ∴抛物线解析式为y ＝x 2﹣6x +5。