【精准解析】广东省广州市越秀区2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题
2
2
确；
将 x 换为 y，y 换为 x，可得方程 5x2 6xy 5 y2 8 不变，则圆锥曲线 C 关于直线 y x 对称；
同样将 x 换为 y ，y 换为 x ，可得方程 5x2 6xy 5 y2 8 不变，则圆锥曲线 C 关于直线
y x 对称，
故 B 正确；
-8-
由旋转变换公式可得
(6,
4)
，
(6, 5)
，
(6, 6)
． P2
21 36
7 12
．
由于骰子的点数奇偶数相同，故点数之和为偶数的概率故选：B．
【点睛】本题考查了古典概型的概率计算，属于基础题． 10.为了研究某班学生的脚长 x（单位：厘米）和身高 y（单位：厘米）的关系，从该班随机 抽取 10 名学生，根据测量数据的散点图可以看出 y 与 x 之间有线性相关关系，设其回归直线
10
2 2
B. 曲线 C 关于直线 y x 对称
C. 曲线 C 上的点到曲线 C 的对称中心的最远距离为 2 D. 曲线 C 的离心率是 1
2 【答案】D
【解析】
【分析】
由关于 y 的二次方程 5 y2 6xy 5x2 8 0 有实数解，运用判别式非负，解得 x 的范围，可
判断
A
；将
D.
p3 p1 p2
【答案】B 【解析】
-5-
【分析】 使用列举法求出三个概率，再比较大小． 【详解】解：随机掷两枚质地均匀的骰子共有 36 个基本事件，它们发生的可能性相等． 其中向上的点数和不大于 6 的基本事件共有 15 个，
分别是 (1,1) ， (1, 2) ， (1,3) ， (1, 4) ， (1,5) ， (2,1) ， (2, 2) ， (2,3) ， (2, 4) ， (3,1) ， (3, 2) ，
【详解】解：
x
1 10
10 i 1
xi
220
22 ，
y
1 10
10 i 1
yi
1610
161，
又 $y $bx $a ， b 4 ，
-6-
∴ a y b x 161 4 22 73 ． ∴y 关于 x 的线性回归方程为 y 4x 73 ． 取 x 25 ，得 y 4 25 73 173 （厘米）．
据标准，产品长度在区间[20,25) 上为一等品，在区间[10,15) 和[25,30) 为二等品，在区间 [10,15) 和[30,35) 为三等品．用频率估计概率，现从这批产品中随机抽取 1 件，则其为三等
品的概率是（ ）
A. 0.03 【答案】D 【解析】 【分析】
B. 0.05
C. 0.15
10
10
方程为 yˆ bˆx aˆ ，已知 xi 220 ， yi 1610 ， bˆ 4 ，该班某学生的脚长为 25，据
i 1
i 1
此估计其身高为（ ）厘米.
A. 165
B. 168
C. 173
D. 178
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知求得 x ， y 的值，结合 b 4 求得 a ，可得线性回归方程，取 x 25 求得 y 值即可．
(3,
3)
，
(4,1)
，
(4,
2)
，
(5,1)
，
P1
15 36
5 12
．
点数之和大于 6 的基本事件共有 21 个，分别是 (1, 6) ，(2,5) ，(2, 6) ，(3, 4) ，(3, 5) ，(3, 6) ，
(4,3) ，(4, 4) ，(4,5) ，(4, 6) ，(5, 2) ，(5,3) ，(5, 4) ，(5,5) ，(5, 6) ，(6,1) ，(6, 2) ，(6,3) ，
D. 0.25
由频率分布直方图得在区间[10,15) 和[30,35) 的频率为 (0.02 0.03) 5 0.25 ，由此能求出
从这批产品中随机抽取 1 件，其为三等品的概率．
【详解】解：在区间[10,15) 和[30,35) 为三等品，
由频率分布直方图得：
在区间[10,15) 和[30,35) 的频率为 (0.02 0.03) 5 0.25 ，
【答案】C 【解析】 【分析】 根据命题的否定和命题之间的关系确定结论即可．
-1-
【详解】解：否命题就是对原命题的条件和结论同时进行否定，
则命题“若 a ，b 都是偶数，则 a b 是偶数”的否命题为：若 a ， b 不全是偶数，则 a b 不
是偶数 ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查四种命题之间的关系，属于基础题．
x
y
x y 2
x y 2
，代入曲线
C
的方程可得
5
x y 2
2
6
x
y 2
x
y 2
5
x y 2
2
8，
化为 x2 y2 1 ，即为椭圆方程，且长轴长为 4，即曲线 C 上的点到曲线 C 的对称中心 O 的 4
最远距离为 2，离心率为 e 4 1 3 ，故 C 正确，D 错误． 42
故选：C． 【点睛】本题考查线性回归方程的求法，属于基础题． 11.将某选手的 9 个得分去掉 1 个最高分，去掉 1 个最低分，7 个剩余分数的平均分为 92，现 场做的 9 个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以 x 表示：则 7 个剩余分 数的标准差为（ ）
A. 4
B. 2
C. 5
a4
故选：A． 【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题．
3.命题“若 a ， b 都是偶数，则 a b是偶数”的否命题是 ( ) A. 若 a ， b 都是偶数，则 a b不是偶数 B. 若 a ， b 都是偶数，则 a b不是偶数 C. 若 a ， b 不全是偶数，则 a b 不是偶数 D. 若 a b不是偶数，则 a ， b 不全是偶数
余弦值为（ ）
A. 30 10
【答案】A
【解析】
【分析】
B. 10 10
C. 70 10
D. 3 10 10
-4-
以 D 为坐标原点，分别以 DA ， DC ， DD1 所在直线为 x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系，
然后利用空间向量求解．
【详解】解：以 D 为坐标原点，分别以 DA，DC， DD1 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐
4.设 a 0 ， b
0
，则“
b
a
”是“椭圆
x2 a2
y2 b2
1的焦点在 y 轴上”的（
）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
利用椭圆的焦点在 y 轴上的充要条件即可得出．
【详解】解：“ b
a ”⇔“椭圆
x2 a2
y2 b2
∴从这批产品中随机抽取 1 件，其为三等品的概率是 0.25 ．
故选：D．
【点睛】本题考查概率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，
属于基础题．
7.如图， 在四面体
OABC
中，
OM
2 MA
，
BN
NC
，则
MN
（
）
-3-
A.
1
OA
1
OB
1
OC
222
C.
1
OA
2
OB
1
OC
232
【答案】D
A. 0.8
B. 0.7
C. 0.3
D. 0.2
【答案】A
【解析】
【分析】
利用互斥事件概率加法公式直接求解．
【详解】解：甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 0.5 ，甲获胜的概率是 0.2 ，
∴乙不输的概率是： p 1 0.2 0.8 ．
故选：A．
-2-
【点睛】本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力， 属于基础题． 6.对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图．根
7 所以 x 8 ， 计算剩余 7 个数的平均值为 90 1 (1 0 1 2 4 5 x) 92 ，
7 解得 x 3 ；
所以 7 个剩余分数的方差为：
s2 1 [(89 92)2 (90 92)2 (91 92)2 7
(92 92)2 (93 92)2 (94 92)2 (95 92)2 ] 4 ．
【详解】解：∵命题“存在 x0 R ，使 x02 1 0 ”是一个特称命题 ∴命题“存在 x0 R ，使 x02 1 0 ”的否定是“对任意 x0 R ，使 x02 1 0 ”
-9-
故答案为：对任意 x0 R ，使 x02 1 0
1的焦点在
y
轴上”，
∴“ b a ”是“椭圆
x2 a2
y2 b2
1的焦点在 y 轴上”的充要条件．
故选：C．
【点睛】本题考查了椭圆的焦点在 y 轴上的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基
础题．
5.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 0.5，甲获胜的概率是 0.2，则乙不输的概率是（ ）
标系，
则 D(0, 0, 0) ， B(1,1, 0) ， B1(1,1, 2) ， C1(0,1, 2) ，
∴ DB1 (1,1, 2) ， BC1 (1, 0, 2) ，
由 cos DB1, BC1
DB1 BC1
| DB1 | | BC1 |
3 30 ． 6 5 10
得直线 DB1 与直线 BC1 所成角的余弦值为
【解析】
2019-2020学年广东省广州市越秀区八年级下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年广东省广州市越秀区八年级第二学期期末数学试卷一、选择题1．的计算结果是（）A．2B．9C．6D．32．在下列计算中，正确的是（）A．B．C．D．3．在体育中考跳绳项目中，某小组的8位成员跳绳次数如下：175、176、175、180、179、176、180、176，这组数据的众数为（）A．175B．176C．179D．1804．若菱形的两条对角线长分别为8和6，则这个菱形的面积是（）A．96B．48C．24D．125．在竞选班干部时，某同学表达能力、组织能力、责任心的得分分别是90分，80分，85分．若依次按20%，40%，40%的比例确定最终得分，则这个人的最终得分是（）A．82分B．84分C．85分D．86分6．在下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（）A．，，B．30，40，50C．1，，2D．5，12，137．如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（）A．2.5B．2C．D．8．如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，若平行四边形ABCD的周长是36，OE＝3，则四边形ABFE的周长为（）A．21B．24C．27D．189．下列有关一次函数y＝﹣2x+1的说法中，错误的是（）A．y的值随着x增大而减小B．当x＞0时，y＞1C．函数图象与y轴的交点坐标为（0，1）D．函数图象经过第一、二、四象限10．如图1，四边形ABCD为一块矩形草坪，小明从点B出发，沿BC→CD→DA运动至点A停止．设小明运动路程为x，△ABP的面积为y，y关于x的函数图象如图2所示．矩形草坪ABCD的边CD的长度是（）A．6B．8C．10D．14二．填空题11．二次根式有意义，则x的取值范围是．12．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若a＝4，b＝3，则大正方形的面积是．13．将直线y＝2x向上平移1个单位长度后得到的直线是．14．数据﹣2、﹣1、0、1、2的方差是．15．如图，一次函数y＝mx+n与一次函数y＝kx+b的图象交于点A（1，2），则关于x的不等式mx+n＞kx+b的解集是．16．如图，四边形ABCD是正方形，BC＝，点G为边CD上一点，CG＝1，以CG为边作正方形CEFG，对于下列结论：①正方形ABCD的面积是3；②BG＝2；③∠FED＝45°；④BG⊥DE．其中正确的结论是（请写出所有正确结论的序号）．三、解答题17．计算：．18．如图，在△ABC中，AB＝15，AC＝20，BC＝25．（1）求证：∠BAC＝90°；（2）作AH⊥BC，H为垂足，求AH的长．19．如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点F，∠E＝90°，ED＝EC．求证：四边形DFCE是正方形．20．为了解某小区使用共享单车的情况，某研究小组随机采访该小区10位居民，得到这10位居民一周内使用共享单车的次数分别是：16，12，15，22，16，0，7，27，16，9．（1）计算这10位居民一周内使用共享单车的平均次数；（2）这组数据的中位数是；（3）某位居民一周内使用共享单车15次，能不能说该居民一周内使用共享单车的次数处于所有被采访居民的中上水平？试说明理由．21．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+10与y轴交于点A，与x轴交于点B，另一条直线经过点A和点C（﹣2，8），且与x轴交于点D．（1）求直线AD的解析式；（2）求△ABD的面积．22．如图，△ABC中，AH⊥BC于点H，点D，E分别是AB，AC的中点，连接DH，EH，DE．（1）求证：AD＝DH；（2）若四边形ADHE的周长是30，△ADE的周长是21，求BC的长．23．某公司计划组织员工到某地旅游，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人2000元．经过协商：甲旅行社表示可给予每位游客七五折（按报价75%）优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，其余游客八折（按报价80%）优惠．设该公司参加旅游的人数是x人，选择甲旅行社所需费用为y1元，选择乙旅行社所需费用为y2元．请解答下列问题：（1）请分别写出y1，y2与x之间的关系式．（2）在甲、乙两家旅行社中，你认为选择哪家旅行社更划算？24．如图，已知直线y＝﹣2x+8与坐标轴跟别交于A，B两点，与直线y＝2x交于点C．（1）求点C的坐标；（2）若点P在y轴上，且，求点P的坐标；（3）若点M在直线y＝2x上，点M横坐标为m，且m＞2，过点M作直线平行于y轴，该直线与直线y＝﹣2x+8交于点N，且MN＝1，求点M的坐标．25．如图1，四边形ABCD是矩形，点O位于对角线BD上，将△ADE，△CBF分别沿DE、BF翻折，点A，点C都恰好落在点O处．（1）求证：∠EDO＝∠FBO；（2）求证：四边形DEBF是菱形：（3）如图2，若AD＝2，点P是线段ED上的动点，求2AP+DP的最小值．参考答案一、选择题1．的计算结果是（）A．2B．9C．6D．3【分析】求出的结果，即可选出答案．解：＝3，故选：D．2．在下列计算中，正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．解：＝3﹣＝2，故选项A正确；＝1，故选项B错误；，故选项C错误；＝＝，故选项D错误；故选：A．3．在体育中考跳绳项目中，某小组的8位成员跳绳次数如下：175、176、175、180、179、176、180、176，这组数据的众数为（）A．175B．176C．179D．180【分析】根据众数的概念求解可得．解：这组数据中176出现3次，次数最多，所以众数为176，故选：B．4．若菱形的两条对角线长分别为8和6，则这个菱形的面积是（）A．96B．48C．24D．12【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可．解：∵四边形ABCD是菱形，∴S＝×6×8＝24．故选：C．5．在竞选班干部时，某同学表达能力、组织能力、责任心的得分分别是90分，80分，85分．若依次按20%，40%，40%的比例确定最终得分，则这个人的最终得分是（）A．82分B．84分C．85分D．86分【分析】根据题意和加权平均数的计算方法，可以计算出这个人的最终得分．解：90×20%+80×40%+85×40%＝84（分），即这个人的最终得分是84分，故选：B．6．在下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（）A．，，B．30，40，50C．1，，2D．5，12，13【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．解：A、（）2+（）2≠（）2，不符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意；B、302+402＝502，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；C、12+（）2＝22，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；D、52+122＝132，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；故选：A．7．如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（）A．2.5B．2C．D．【分析】本题利用实数与数轴的关系及直角三角形三边的关系（勾股定理）解答即可．解：由勾股定理可知，∵OB＝，∴这个点表示的实数是．故选：D．8．如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，若平行四边形ABCD的周长是36，OE＝3，则四边形ABFE的周长为（）A．21B．24C．27D．18【分析】先由ASA证明△AOE≌△COF，得OE＝OF，AE＝CF，再求得AB+BC＝18，由平行四边形ABFE的周长＝AB+AE+BF+EF＝AB+BF+CF+2OE，即可求得答案．解：∵四边形ABCD为平行四边形，对角线的交点为O，∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC，AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，AE＝CF，∵平行四边形ABCD的周长为36，∴AB+BC＝×36＝18，∴四边形ABFE的周长＝AB+AE+BF+EF＝AB+BF+CF+2OE＝AB+BC+2×3＝18+6＝24故选：B．9．下列有关一次函数y＝﹣2x+1的说法中，错误的是（）A．y的值随着x增大而减小B．当x＞0时，y＞1C．函数图象与y轴的交点坐标为（0，1）D．函数图象经过第一、二、四象限【分析】根据一次函数的性质分别判断后即可确定正确的选项．解：A、∵k＝﹣2＜0，∴y的值随着x增大而减小，正确，不符合题意；B、∵k＝﹣2＜0，∴y的值随着x增大而减小，∴当x＞0时，y＜1，错误，符合题意；C、∵当x＝0时，y＝1，∴函数图象与y轴的交点坐标为（0，1），正确，不符合题意；D、∵k＝﹣2＜0，b＝1＞0，∴函数图象经过第一、二、四象限，正确，不符合题意，故选：B．10．如图1，四边形ABCD为一块矩形草坪，小明从点B出发，沿BC→CD→DA运动至点A停止．设小明运动路程为x，△ABP的面积为y，y关于x的函数图象如图2所示．矩形草坪ABCD的边CD的长度是（）A．6B．8C．10D．14【分析】点P从点B运动到点C的过程中，y与x的关系是一个一次函数，运动路程为6时，面积发生了变化，说明BC的长为6，当点P在CD上运动时，三角形ABP的面积保持不变，就是矩形ABCD面积的一半，并且动路程由6到14，说明CD的长为8．解：结合图形可以知道，P点在BC上，△ABP的面积为y增大，当x在6﹣﹣14之间得出，△ABP的面积不变，得出BC＝6，CD＝14﹣6＝8，故选：B．二．填空题11．二次根式有意义，则x的取值范围是x≥5．【分析】根据二次根式的意义，被开方数是非负数列出方程，解方程即可．解：根据题意得：x﹣5≥0，解得x≥5．故答案为：x≥5．12．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若a＝4，b＝3，则大正方形的面积是25．【分析】求出大正方形的边长即可．解：由勾股定理可知大正方形的边长＝＝＝5，∴大正方形的面积为25，故答案为25．13．将直线y＝2x向上平移1个单位长度后得到的直线是y＝2x+1．【分析】先判断出直线经过坐标原点，然后根据向上平移，横坐标不变，纵坐标加求出平移后与坐标原点对应的点，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答．解：直线y＝2x经过点（0，0），向上平移1个单位后对应点的坐标为（0，1），∵平移前后直线解析式的k值不变，∴设平移后的直线为y＝2x+b，则2×0+b＝1，解得b＝1，∴所得到的直线是y＝2x+1．故答案为：y＝2x+1．14．数据﹣2、﹣1、0、1、2的方差是2．【分析】根据题目中的数据可以求得这组数据的平均数，然后根据方差的计算方法可以求得这组数据的方差．解：由题意可得，这组数据的平均数是：，∴这组数据的方差是：＝2，故答案为：2．15．如图，一次函数y＝mx+n与一次函数y＝kx+b的图象交于点A（1，2），则关于x的不等式mx+n＞kx+b的解集是x＞1．【分析】观察函数图象得到当x＞1时，直线y＝mx+n在直线y＝kx+b的上方，于是得到不等式mx+n＞kx+b的解集．解：根据图象可知，不等式mx+n＞kx+b的解集为x＞1．故答案为：x＞1．16．如图，四边形ABCD是正方形，BC＝，点G为边CD上一点，CG＝1，以CG为边作正方形CEFG，对于下列结论：①正方形ABCD的面积是3；②BG＝2；③∠FED＝45°；④BG⊥DE．其中正确的结论是①②④（请写出所有正确结论的序号）．【分析】由正方形的性质可得BC＝CD，∠BCD＝90°，正方形ABCD的面积＝BC2＝3，可判断①；由勾股定理可求BG的长，可判断②；由正方形的性质可得∠GEF＝45°，可判断③；由“SAS”可证△BCG≌△DCE，可得BH⊥DE，可判断④，即可求解．解：∵四边形ABCD是正方形，BC＝，∴BC＝CD，∠BCD＝90°，正方形ABCD的面积＝BC2＝3，故①正确；∵BC＝，CG＝1，∴BG＝＝＝2，故②正确，如图，连接GE，延长BG交DE于H，∵四边形CEFG是正方形，∴CG＝CE，∠GCE＝∠BCG＝90°，∠GEF＝45°，∵∠FED＜∠GEF，∴∠FED＜45°，故③错误，∵CG＝CE，∠GCE＝∠BCG＝90°，BC＝CD，∴△BCG≌△DCE（SAS），∴∠GBC＝∠CDE，∵∠CDE+∠DEC＝90°，∴∠GBC+∠DEC＝90°，∴∠BHE＝90°，∴BH⊥DE，故④正确，故答案为：①②④．三、解答题17．计算：．【分析】根据二次根式的乘除法和减法可以解答本题解：＝﹣+2＝2+．18．如图，在△ABC中，AB＝15，AC＝20，BC＝25．（1）求证：∠BAC＝90°；（2）作AH⊥BC，H为垂足，求AH的长．【分析】（1）根据勾股定理的逆定理求出即可；（2）设BH＝x，则HC＝25﹣x，由勾股定理得出方程152﹣x2＝202﹣（25﹣x）2，求出x，再根据勾股定理求出AH即可．【解答】（1）证明：∵AB2+AC2＝152+202＝625，BC2＝252＝625，∴AB2+AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°；（2）解：设BH＝x，则HC＝25﹣x，∵AH⊥BC，∴∠AHB＝∠AHC＝90°，在Rt△AHB和Rt△AHC中，由勾股定理得：AH2＝AB2﹣BH2＝AC2﹣CH2，即152﹣x2＝202﹣（25﹣x）2，解得：x＝10，即BH＝10，由勾股定理得：AH＝＝＝5．19．如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点F，∠E＝90°，ED＝EC．求证：四边形DFCE是正方形．【分析】根据正方形的判定和性质定理即可得到结论．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠FDC＝∠DCF＝45°，∵∠E＝90°，ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD＝45°，∴∠FCE＝∠FDE＝∠E＝90°，∴四边形DFCE是矩形，∵DE＝CE，∴四边形DFCE是正方形．20．为了解某小区使用共享单车的情况，某研究小组随机采访该小区10位居民，得到这10位居民一周内使用共享单车的次数分别是：16，12，15，22，16，0，7，27，16，9．（1）计算这10位居民一周内使用共享单车的平均次数；（2）这组数据的中位数是15.5；（3）某位居民一周内使用共享单车15次，能不能说该居民一周内使用共享单车的次数处于所有被采访居民的中上水平？试说明理由．【分析】（1）根据平均数的概念，将所有数的和除以10即可；（2）将数据按照大小顺序重新排列，计算出中间两个数的平均数即是中位数；（3）用样本平均数估算总体的平均数．解：（1）根据题意得：×（0+7+9+12+15+16×3+22+27）＝14（次），答：这10位居民一周内使用共享单车的平均次数是14次；（2）按照从小到大的顺序新排列后，第5、第6个数分别是15和16，所以中位数是（15+16）÷2＝15.5，故答案为：15.5；（3）不能；∵15次小于中位数15.5次，∴某位居民一周内使用共享单车15次，不能说该居民一周内使用共享单车的次数处于所有被采访居民的中上水平．21．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+10与y轴交于点A，与x轴交于点B，另一条直线经过点A和点C（﹣2，8），且与x轴交于点D．（1）求直线AD的解析式；（2）求△ABD的面积．【分析】（1）先直线AB的解析式求出A点坐标，再根据点A与点C的坐标即可求得直线AD的解析式；（2）根据直线AB的解析式求得点B的坐标，根据直线AD的解析式求得点D的坐标，再根据点A的坐标即可求得△ABD的面积．解：（1）∵直线y＝﹣2x+10与y轴交于点A，∴A（0，10）．设直线AD的解析式为y＝kx+b，∵直线AD过A（0，10），C（﹣2，8），∴，解得，∴直线AD的解析式为y＝x+10；（2）∵直线y＝﹣2x+10与x轴交于点B，∴B（5，0），∵直线AD与x轴交于点D，∴D（﹣10，0），∴BD＝15，∵A（0，10），∴△ABD的面积＝BD•OA＝×15×10＝75．22．如图，△ABC中，AH⊥BC于点H，点D，E分别是AB，AC的中点，连接DH，EH，DE．（1）求证：AD＝DH；（2）若四边形ADHE的周长是30，△ADE的周长是21，求BC的长．【分析】（1）根据直角三角形的性质即可得到即可；（2）根据直角三角形的性质得到AD＝DH＝AB，AE＝HE＝AC，求得AD+AE＝×30＝15，得到DE＝21﹣15＝6，根据三角形中位线定理即可得到结论．解：（1）∵AH⊥BC，∴∠AHB＝90°，∵点D是AB的中点，∴AD＝DH＝AB；（2）∵AH⊥BC，∴∠AHB＝∠AHC＝90°，∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴AD＝DH＝AB，AE＝HE＝AC，∵四边形ADHE的周长是30，∴AD+AE＝×30＝15，∵△ADE的周长是21，∴DE＝21﹣15＝6，∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴BC＝2DE＝12．23．某公司计划组织员工到某地旅游，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人2000元．经过协商：甲旅行社表示可给予每位游客七五折（按报价75%）优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，其余游客八折（按报价80%）优惠．设该公司参加旅游的人数是x人，选择甲旅行社所需费用为y1元，选择乙旅行社所需费用为y2元．请解答下列问题：（1）请分别写出y1，y2与x之间的关系式．（2）在甲、乙两家旅行社中，你认为选择哪家旅行社更划算？【分析】（1）根据甲、乙旅行社的不同的优惠方案，可求出函数关系式，（2）根据（1）的结论列方程或不等式解答即可．解：（1）由题意，得y1＝2000×75%×x＝1500x，y2＝2000×80%（x﹣1）＝1600x﹣1600；（2）①当y1＝y2时，即：1500x＝1600x﹣1600，解得，x＝160，②当y1＞y2时，即：1500x＞1600x﹣1600，解得，x＜160，③当y1＜y2时，即：1500x＜1600x﹣1600，解得，x＞160，答：当x＜160时，乙旅行社费用较少，当x＝160，时，两个旅行社费用相同，当x＞160时，甲旅行社费用较少．24．如图，已知直线y＝﹣2x+8与坐标轴跟别交于A，B两点，与直线y＝2x交于点C．（1）求点C的坐标；（2）若点P在y轴上，且，求点P的坐标；（3）若点M在直线y＝2x上，点M横坐标为m，且m＞2，过点M作直线平行于y轴，该直线与直线y＝﹣2x+8交于点N，且MN＝1，求点M的坐标．【分析】（1）解析式联立，解方程组即可求得；（2）根据题意求得OP的长，从而求得P的坐标；（3）根据题意得到2m﹣（﹣2m+8）＝1，求得m的值，即可求得M的坐标．解：（1）由，解得，∴点C的坐标为（2，4）；（2）∵直线y＝﹣2x+8与坐标轴跟别交于A，B两点，∴A（0，8），B（4，0），∴OA＝8，∵点P在y轴上，且，∴OP＝OA＝4，∴P的坐标为（0，4）或（0，﹣4）；（3）∵点M在直线y＝2x上，点M横坐标为m，且m＞2，∴M（m，2m），N（m，﹣2m+8），∵MN＝1，∴2m﹣（﹣2m+8）＝1，∴m＝，∴点M的坐标为（，）．25．如图1，四边形ABCD是矩形，点O位于对角线BD上，将△ADE，△CBF分别沿DE、BF翻折，点A，点C都恰好落在点O处．（1）求证：∠EDO＝∠FBO；（2）求证：四边形DEBF是菱形：（3）如图2，若AD＝2，点P是线段ED上的动点，求2AP+DP的最小值．【分析】（1）由折叠的性质得出△ADE≌△ODE，△CFB≌△OFB，则∠ADE＝∠ODE ＝ADB，∠CBF＝∠OBF＝∠CBD，则可得出结论；（2）证得四边形DEBF是平行四边形，由全等三角形的性质得出∠A＝∠DOE＝90°，则可得出结论；（3）过点P作PH⊥AD于点H，得出∠ADE＝∠ODE＝∠ODF＝30°，得出2AP+PD ＝2PA+2PH＝2（AP+PH），过点O作OM⊥AD，与DE的交点即是2AP+PD的值最小的点P的位置．而此时（2AP+PD）的最小值＝2OM，求出OM的长，则可得出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵将△ADE，△CBF分别沿DE、BF翻折，点A，点C都恰好落在点O处．∴△ADE≌△ODE，∴△CFB≌△OFB，∴∠ADE＝∠ODE＝∠ADB，∠CBF＝∠OBF＝∠CBD，∴∠EDO＝∠FBO；（2）证明：∵∠EDO＝∠FBO，∴DE∥BF，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD＝BC，∠A＝90°，∵DE∥BF，AB∥CD，∴四边形DEBF是平行四边形，又∵△ADE△≌△ODE，∴∠A＝∠DOE＝90°，∴EF⊥BD，∴四边形DEBF是菱形；（3）解：过点P作PH⊥AD于点H，∵四边形DEBF是菱形，△ADE≌△ODE，∴∠ADE＝∠ODE＝∠ODF＝30°，∴在Rt△DPH中，2PH＝PD，∴2AP+PD＝2PA+2PH＝2（AP+PH），过点O作OM⊥AD，与DE的交点即是2AP+PD的值最小的点P的位置．而此时（2AP+PD）的最小值＝2OM，∵△ADE≌△ODE，AD＝2，∴AD＝DO＝2，在Rt△OMD中，∵∠ODA＝2∠ADE＝60°，∴∠DOM＝30°，∴DM＝DO＝1，∵DM2+OM2＝DO2，∴12+OM2＝22，∴OM＝，∴（2PA+PD）的最小值为2OM＝2．。
2022-2023学年广东省珠海市高二上学期期末数学质量检测试题(含解析)
2022-2023学年广东省珠海市高二上册期末数学质量检测试题一、单选题1．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23a =，525S =，则7a =（）A ．16B ．15C ．14D ．13【正确答案】D【分析】先求得等差数列{}n a 的公差，从而求得7a .【详解】15353325552225,5a S a aa a +=⨯=⨯===，设等差数列{}n a 的公差为d ，则322d a a =-=，所以72535213a a d =+=+⨯=.故选：D2．已知空间向量()()1,2,,,2,3n a m a == ，且n m ⊥，则n m -= （）A ．B C ．20D ．【正确答案】D【分析】根据向量垂直列方程，求得a ，进而求得n m -.【详解】由于n m ⊥，所以43440,1n m a a a a ⋅=++=+==- ，所以()()()1,2,11,2,32,0,4n m -=---=-== 故选：D3．古代《九章算术》记载：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何”其意思为：“今有5人分5钱，各人所得钱数依次成等差数列，其中前2人所得之和与后3人所得之和相等，问各得多少钱”.由此可知第一人分得的钱数是（）A ．43B ．1C ．23D ．13【正确答案】A【分析】设第()15,N n n n *≤≤∈分到n a 钱，由题意可得出关于1a 、d 的方程组，解出1a 的值即可.【详解】设第()15,N n n n *≤≤∈分到n a 钱，设数列{}()15,N n a n n *≤≤∈的公差为d ，由题意可得1234512345++++=5+=++a a a a a a a a a a ⎧⎨⎩，所以，121315+=2+=2=+2=1a a a d a a d ⎧⎪⎨⎪⎩，解得143a =.故选：A.4．已知圆1C ：22(5)(3)9x y -+-=，圆2C ：224290x y x y +-+-=，则两圆的位置关系为（）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切【正确答案】C【分析】求出两圆的圆心和半径，根据圆心距与半径和与差的关系，判断圆与圆的位置关系．【详解】圆1C ：22(5)(3)9x y -+-=的圆心为1(5,3)C ，半径13r =，圆2C ：224290x y x y +-+-=，即22(2)(1)14x y -++=，圆心1(2,1)C -，半径2r =，两圆的圆心距125C C =，353-<<+，即211221r r C C r r -<<+，所以圆1C 与圆2C 相交.故选：C5．设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（）A ．12B ．24C ．30D ．32【正确答案】D【分析】根据已知条件求得q 的值，再由()5678123a a a q a a a ++=++可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q ++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==.故选：D.本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．6．过点()21P ，作圆221：+=O x y 的切线l ，则切线l 的方程为（）A ．3450x y --=B ．4350x y --=C ．1y =或4350x y --=D ．1y =或3450x y --=【正确答案】C【分析】设切线l 为1(2)y k x -=-，即120kx y k -+-=，由l 与圆221：+=O x y 相切，得1d =，即可解决.【详解】由题知，圆221：+=O x y ，圆心为(0,0)，半径为1，因为()21P ，在圆外，所以设切线l 为1(2)y k x -=-，即120kx y k -+-=，因为l 与圆221：+=O x y 相切，所以1d ==，解得0k =或43k =，所以切线l 的方程为1y =，或4350x y --=，故选：C7．已知直线1l ：20x ay -+=与直线2l ：()()240a x a y a ++-+=平行，则a 的值是（）A ．4-B ．1C ．4-或1D ．4或1-【正确答案】B【分析】根据给定条件列出关于a 的等式，求解并验证即可作答.【详解】因直线1l ：20x ay -+=与直线2l ：()()240a x a y a ++-+=平行，则有(2)40a a a ++-=，解得1a =或4a =-，当1a =时，直线1l ：20x y -+=与直线2l ：3310x y -+=平行，当4a =-时，直线1l ：420x y ++=与直线2l ：2840x y ---=，即420x y ++=重合，所以a 的值是1.故选：B8．已知2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点，点P 在椭圆上，()220OP OF PF +⋅= ，且22OP OF b +=，则椭圆的离心率为（）A B C D ．5【正确答案】A【分析】设2PF 的中点为Q ，根据向量的线性运算法则及数量积的定义可得2OQ PF ⊥，从而得到12PF PF ⊥，根据22OP OF b +=得到1||2PF b =，再根据椭圆的定义得到2||PF ，在直角三角形中利用勾股定理得到23b a =，最后根据离心率公式计算可得；【详解】解：设2PF 的中点为Q ，则22OP OF OQ +=由22()0OP OF PF +⋅= ，即220OQ PF ⋅= 所以2OQ PF ⊥，连接1PF 可得1//OQ PF ，所以12PF PF ⊥，因为22OP OF b += ，即22OQ b = ，即1||2PF b =所以21||2||22PF a PF a b =-=-，在12R t PF F 中，2221212||||||PF PF F F +=，即()()2222224c b a b -+=，又222c a b =-，所以222222b a b ab a b +=+--，所以232b ab =，即23b a =解得c e a =故选：A 二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．过点()1,2P 且在x ､y 轴截距相等的直线方程为30x y +-=B ．直线32y x =-在y 轴上的截距为2-C 10y ++=的倾斜角为60︒D ．过点()1,2-且垂直于直线230x y -+=的直线方程为20x y +=【正确答案】BD【分析】A 选项忽略了过原点的情况，错误，B 选项计算截距得到正确，直线斜率为k =倾斜角为120︒，C 错误，根据垂直关系计算直线方程得到D 正确，得到答案.【详解】过点()1,2P 且在x ､y 轴截距相等的直线方程为30x y +-=和2y x =，A 错误；取0x =，=2y -，则直线32y x =-在y 轴上的截距为2-，B 正确；10y ++=的斜率为k =120︒，C 错误；垂直于直线230x y -+=的直线方程斜率为2k =-，过点()1,2-的直线方程为()2122y x x =-++=-，即20x y +=，D 正确.故选：BD.10．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，20182019S S <且20192020S S >，则（）A ．在数列{}n a 中，1a 最大；B ．在数列{}n a 中，2019a 最大C ．20200a >D ．当2020n ≥时，0n a <【正确答案】AD【分析】由题得201920200,0a a ><，即可解决.【详解】由题知，无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，20182019S S <且20192020S S >，所以201920200,0a a ><，所以等差数列{}n a 为递减数列，所以在数列{}n a 中，1a 最大；当2020n ≥时，0n a <；故选：AD11．已知空间中三点()0,1,0A ，()2,2,0B ，()1,3,1C -，则下列命题正确的是（）A ．AB方向的单位向量是55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ．AB 与BC 夹角的余弦值是C ．ABC的面积为2D ．若3AP AB AC =+ ，则点P 到直线AC【正确答案】BCD【分析】根据单位向量、向量夹角、三角形面积、点线距等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，()2,1,0AB = ，所以AB方向的单位向量是2,1,0,055AB AB ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，A 选项错误.B 选项，()3,1,1BC =- ，设AB与BC 夹角为θ，则cos AB BC AB BCθ⋅==-⋅，B选项正确.C 选项，由于cos 11θ=-，所以cos 11B =，则B 是锐角，所以sin B =所以12ABC S =C 选项正确.D 选项，()1,2,1AC =-，()111,3,1,,31,33AP AB AC AP ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭，所以点P 到直线ACD 选项正确.故选：BCD12．如图，P 是椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与双曲线22222:1(0,0)x y C m n m n -=>>在第一象限的交点，且12,C C 共焦点121212,,,,F F F PF C C ∠θ=的离心率分别为12,e e ，则下列结论正确的是（）A ．12,PF a m PF a m=+=-B ．若60θ=︒，则2221314e e +=C ．若90θ=︒，则2212e e +的最小值为2D ．tan2n bθ=【正确答案】ABD【分析】根据给定条件结合椭圆、双曲线定义计算判断A ；借助余弦定理、离心率公式、均值不等式计算判断B ，C ，D 作答.【详解】由椭圆和双曲线的定义得：121222PF PF aPF PF m ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得1PF a m =+，2PF a m =-，A 正确；在12F PF △中，由余弦定理得：()()()()()2222cos 2a m a m a m a m c θ-++--+=，整理得()()2221cos 1cos 2a m c θθ-++=，()()22221cos 1cos 2a m c c θθ-++=，即22121cos 1cos 2e e θθ-++=，当60θ=︒时，222132122e e +=，即2221314e e +=，B 正确；当90θ=︒时，2212112e e +=，2222222112122222121211)11()()1(22e e e e e e e e e e ++++==+2221221212e e e e ≥+⋅，当且仅当121e e ==时取“=”，而1201,1e e <<>，C 不正确；在椭圆中，22222121212122||||cos ||||||442||||PF PF PF PF F F a c PF PF θ=+-=--，即2122||||1cos b PF PF θ=+，在双曲线中，22222121212122||||cos ||||||442||||PF PF PF PF F F m c PF PF θ=+-=-+，即2122||||1cos n PF PF θ=-，于是得22222222sin 221cos 2tan 1cos 1cos 1cos 22cos 2n b n b θθθθθθθ-=⇔===-++，而022θπ<<，则tan 2n b θ=，D 正确.故选：ABD方法点睛：双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、双曲线定义，得到a ，c 的关系.三、填空题13．双曲线221916x y -=的渐近线方程是___________.【正确答案】43y x=±【分析】直接由双曲线的方程求解即可【详解】因为双曲线方程为221916x y -=，所以双曲线的渐近线方程为220916x y -=，即43y x =±，故43y x=±14．以点(1,1),(3,3)A B -为直径的圆的一般式方程为______________．【正确答案】22240x y x y +--=【分析】根据AB 为直径，得到直径和圆心坐标，然后写方程即可.【详解】因为()1,1A -，()3,3，所以AB =AB 中点坐标为()1,2，所以以AB 为直径的圆的标准方程为()()22125x y -+-=，展开得一般式方程为22240x y x y +--=.故答案为.22240x y x y +--=15C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．【正确答案】163【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y 并整理得到关于x 的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.【详解】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ，又∵直线AB 过焦点F AB 的方程为：1)y x -代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=，解法一：解得121,33x x ==所以212116||1||13|3|33AB k x x =+-=+⋅-=解法二：10036640∆=-=>设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=,过,A B 分别作准线=1x -的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故163本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.16．如图，二面角AB αβ--的大小为60 ，线段PM 与NQ 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB .若2,3,4PM MN NQ ===，则PQ =__________.21【分析】利用空间向量的线性运算可得PQ PM MN NQ =++，再根据向量所成角，结合数量积公式平方即可得解.【详解】根据题意，PQ PM MN NQ =++，由二面角l αβ--大小为120︒，可得,120PM NQ =，22()PQ PM MN NQ =++ 222222PM MN NQ PM MN NQ MN PM NQ=+++⋅+⋅+⋅ 14916224212⎛⎫=+++⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以PQ =四、解答题17．已知公差不为0的等差数列{an }满足a 3＝9，a 2是a 1，a 7的等比中项．（1）求{an }的通项公式；（2）设数列{bn }满足()17n n b n a =+，求{bn }的前n 项和Sn ．【正确答案】（1）an ＝4n ﹣3．（2）Sn 44nn =+．（1）设等差数列{an }的公差为d （d ≠0），根据a 3＝9，a 2是a 1，a 7的等比中项．利用“1,a q ”法求解.（2）由（1）知()1111741n n b n a n n ⎛⎫==⎪++⎝⎭，再用裂项相消法求解.【详解】（1）设等差数列{an }的公差为d （d ≠0），则()()12111296a d a d a a d +=⎧⎪⎨+=⋅+⎪⎩解得d ＝4或d ＝0（舍去），a 1＝1，∴an ＝1+4（n ﹣1）＝4n ﹣3．（2）∵()1111741n n b n a n n ⎛⎫==⎪++⎝⎭，∴1231111111412231n n S b b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-++- ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1114144nn n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭．本题主要考查等差数列的基本运算和裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18．已知圆22:240C x y y +--=，直线:10l mx y m -+-=.(1)判断直线l 与圆C 的位置关系；(2)若直线l 与圆C 交于不同的两点,A B，且AB =.【正确答案】(1)直线l 与圆C 相交；(2)直线的方程为0x y -=或20x y +-=【分析】（1）先求出直线l 过的定点坐标，判断定点在圆内，则直线l 必与圆相交；（2）由圆的半径和弦长求得圆心到直线l 的距离，以此列方程求解m 的值，即可求出直线l 的方程.【详解】（1）直线:10l mx y m -+-=，整理得(1)1m x y -=-，令1010x y -=⎧⎨-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩即直线l 过定点(1,1)P .将P 点坐标代入圆C 方程得112440+--=-<，故P 点在圆C 内，直线l 与圆C 相交.（2）圆22:240C x y y +--=，整理得22(1)5x y +-=即(0,1)C ，r =.因为AB =，所以圆心C 到直线l 的距离为2d ==.又2d =，所以1m =±故直线的方程为0x y -=或20x y +-=.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，M 是PA 的中点，PD ⊥平面ABCD ，且4PD CD ==，2AD =．（1）求证：PA CD ⊥；（2）求AP 与平面CMB 所成角的正弦值；（3）求二面角M CB P --的余弦值．【正确答案】（1）证明见解析；（2）45；（331010（1）根据线面垂直的判定定理证明CD ⊥平面PAD ，即证PA CD ⊥；（2）以D 为原点，分别以,,DA DC DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，求平面CMB的法向量，用向量的方法求直线AP 与平面CMB 所成角的正弦值；（3）求平面CBP 的法向量，用向量的方法求二面角M CB P --的余弦值．【详解】（1）PD ⊥ 平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，PD CD ∴⊥.底面ABCD 是矩形，AD CD ∴⊥，又AD PD D =I ，CD \^平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，CD PA ∴⊥.（2）以D 为原点，分别以,,DA DC DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示则()()()()()()0,0,0,2,0,0,0,4,0,0,0,4,1,0,2,2,4,0D A C P M B ，()()()2,0,4,2,0,0,1,4,2,25AP CB BM AP ∴=-==--= 设平面CMB 的法向量(),,n x y z = ，则·0·0n CB n BM ⎧=⎨=⎩，即0420x x y z =⎧⎨--+=⎩，令1y =，则2z =，()0,1,2,5n n ∴== .设直线AP 与平面CMB 所成的角为θ，则4sin cos ,5255AP n AP n AP n θ=〈〉==⨯ .所以AP 与平面CMB 所成角的正弦值为45.（3）()()2,0,0,2,4,4CB BP ==-- .设平面CBP 的法向量(),,m x y z = ，则·0·0m CB m BP ⎧=⎨=⎩，即02440x x y z =⎧⎨--+=⎩，令1y =，则1z =.()0,1,1,2m m == 又平面CMB 的法向量()0,1,2,5n n == 设二面角M CB P --的大小为α，则α为锐角，310cos cos ,1025m n m n m nα∴=〈〉===⨯ ，所以二面角M CB P --的余弦值为31010．本题考查线线垂直，考查用向量的方法求线面角和面面角，考查学生的运算能力，属于较难的题目.20．如图，焦点为F 的抛物线2y 2px(p 0)=>过点()Q 1,m (m 0)>，且QF 2=．(Ⅰ)求p 的值；(Ⅱ)过点Q 作两条直线1l ，2l 分别交抛物线于()11A x ,y ，()22B x ,y 两点，直线1l ，2l 分别交x 轴于C ，D 两点，若QCD QDC ∠∠=，证明：12y y +为定值．【正确答案】（Ⅰ）p 2=；（Ⅱ）见解析.【分析】（Ⅰ）由抛物线的定义可得出p 的值；（Ⅱ）先写出抛物线的方程，由条件∠QCD ＝∠QDC ，得出直线AQ 和直线BQ 的斜率之和为零，利用两点的斜率公式以及等式2114y x =，2224y x =可计算出y 1+y 2＝-4，进而证明结论成立．【详解】(Ⅰ)抛物线的准线方程为p x 2=-，由抛物线的定义得p QF 122=+=，得p 2=；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，抛物线的方程为2y 4x =，将点Q 的坐标代入抛物线的方程得2m 414=⨯=，m 0> ，得m 2=，所以，点Q 的坐标为()1,2．QCD QDC ∠∠= ，所以，直线AQ 和BQ 的斜率互为相反数．则()()121212AQ BQ 2222121212124y 24y 2y 2y 2y 2y 244k k 0y y x 1x 1y 4y 4y 2y 21144------+=+=+=+=+=----++--．所以，12y 2y 20+++=，因此，12y y 4(+=-定值)．本题考查直线与抛物线的综合，考查抛物线的定义，同时考查抛物线性质的应用，考查计算能力，属于中等题．21．已知数列{}n a 中，12a =且*122(2,)n n a a n n n N -=-+≥∈.（1）求2a ，3a ，并证明{}n a n -是等比数列；（2）设12n n n a b -=，求数列{}n b 的前n 项和n S .【正确答案】（1）24a =，37a =，证明见解析；（2）1242n n n S n -+=+-.（1）在已知的数列递推公式中分别取2,3n =，结合已知的首项即可求得23,a a 的值，再把递推式两边同时减n 即可证明{}n a n -是等比数列；（2）由{}n a n -是等比数列求出数列{}n a 的通项公式，代入12n n n a b -=，分组后利用错位相减法求数列{}n b 的前n 项和n S .【详解】（1）由已知()*1222,n n a a n n n N -=-+≥∈+24a =，37a =，1222n n a n a n --=-+，即()121n n a n a n -⎡⎤-=--⎣⎦，因为()()*122,1n n a n n n N a n --=≥∈--，所以{}n a n -是以2为公比的等比数列.（2）由（1）得()1112n n a n a --=-⋅，即12n n a n -=+，所以11122n n n n a n b --==+，设12n n n C -=，且前n 项和为n T ，所以01231123422222n n n T -=+++++ ，①123112322222n n n T =++++ ，②①－②得231111111222222-⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭ n n n n T ，11112212122212--+=+-=--n n nn n ，所以1242n n n T -+=-，1242n n n S n -+=+-.该题主要考查的是等比数列的定义，数列的递推公式，错位相减法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22．已知定点()1,0M -，圆N ：()22116x y -+=，点Q 为圆N 上动点，线段MQ 的垂直平分线交NQ 于点P ，记P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)过点M 与N 作平行直线1l 和2l ，分别交曲线C 于点A ，B 和点D ，E ，求四边形ABDE 面积的最大值．【正确答案】(1)22143x y +=(2)6【分析】（1）由椭圆的定义求解（2）设直线方程后与椭圆方程联立，由韦达定理表示弦长，将面积转化为函数后求求解【详解】（1）由题意可得42MP NP PQ NP MN +=+=>=，所以动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点，长轴长为4的椭圆，即曲线C 的方程为：22143x y +=；（2）由题意可设2l 的方程为1x ty =+，联立方程得()2222134690431x y t y ty x ty ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩，设()11,D x y ，()22,E x y ，则由根与系数关系有122122634934t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=-⎪+⎩，所以DE =()2212134t t +=+，根据椭圆的对称性可得()2212134t DE AB t +==+，1l 与2l 的距离即为点M 到直线2l的距离，为d所以四边形ABDE 面积为24S =()1u u =≥得224241313u S u u u==++，由对勾函数性质可知：当且仅当1u =，即0=t 时，四边形ABDE 面积取得最大值为6．。
2019-2020学年广东省广州市越秀区八年级(上)期末数学试卷
2019-2020学年广东省广州市越秀区八年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共有10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的. 1．（3分）已知一个三角形两边的长分别是2和5，那么第三边的边长可能是下列各数中的（）A．1B．2C．3D．52．（3分）如图，已知∠ABC＝∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（）A．AC＝BD B．BC＝AD C．∠C＝∠D D．∠CAB＝∠DBA3．（3分）下列运算正确的是（）A．a2+a2＝a4B．a3÷a＝a3C．a2•a3＝a5D．（a2）4＝a64．（3分）要使分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠﹣3B．x≠3C．x≠0D．x≠±35．（3分）下列变形从左到右一定正确的是（）A．B．C．D．＝6．（3分）如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上（）根木条．A．1B．2C．3D．47．（3分）如图，用尺规作出∠AOB的角平分线OE，在作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（）A．ASA B．SSS C．SAS D．AAS8．（3分）若等腰三角形中的一个外角等于130°，则它的顶角的度数是（）A．50°B．80°C．65°D．50°或80°9．（3分）如图，AD∥BC，BG，AG分别平分∠ABC与∠BAD，GH⊥AB，GH＝5，则AD与BC之间的距离是（）A．5B．8C．10D．1510．（3分）若a，b，c是△ABC的三边长，且a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝0，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．等边三角形D．不能确定二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分.11．（3分）如果一个多边形的内角和是1800度，它是边形．12．（3分）若关于x的多项式x2+10x+k（k为常数是完全平方式，则k＝．13．（3分）分式与的最简公分母是．14．（3分）若3m＝5，3n＝8，则32m+n＝．15．（3分）点（﹣3，4）与点（a2，b2）关于y轴对称，则（a+b）（a﹣b）＝．16．（3分）如图，△ABC是等边三角形，AD＝AB，点E、F分别为边AC、BC上的动点，当△DEF的周长最小时，∠FDE的度数是．三、解答题：本题共9小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（6分）解方程：．18．（8分）计算：（1）（﹣2x）3﹣3x（x﹣2x2）（2）[（x+2y）2﹣（x﹣2y）（x+2y）]÷4y19．（8分）分解因式：（1）a﹣6ab+9ab2（2）x2（x﹣y）+y2（y﹣x）20．（6分）如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝69°，求∠DAC的度数．21．（10分）（1）先化简再求值：，其中x＝﹣3；（2）如果a2+2a﹣1＝0，求代数式的值．22．（8分）如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E．F、G分别是OA、OB上的点，且PF＝PG，DF ＝EG．（1）求证：OC是∠AOB的平分线．（2）若PF∥OB，且PF＝8，∠AOB＝30°，求PE的长．23．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点P是直线AC上的动点（不和A、C重合），CD⊥BP 于点D，交直线AB于点Q．（1）当点P在边AC上时，求证：AP＝AQ（2）若点P在AC的延长线上时，（1）的结论是否成立？若成立，请画出图形（不写画法，画出示意图）；若不成立，请直接写出正确结论．24．（8分）春节前夕，某超市用6000元购进了一批箱装饮料，上市后很快售完，接着又用8800元购进第二批这种箱装饮料．已知第二批所购箱装饮料的进价比第一批每箱多20元，且数量是第一批箱数的倍．（1）求第一批箱装饮料每箱的进价是多少元；（2）若两批箱装饮料按相同的标价出售，为加快销售，商家决定最后的10箱饮料按八折出售，如果两批箱装饮料全部售完利润率不低于36%（不考虑其他因素），那么每箱饮料的标价至少多少元？25．（10分）如图所示，点O是线段AC的中点，OB⊥AC，OA＝9．（1）如图1，若∠ABO＝30°，求证△ABC是等边三角形；（2）如图1，在（1）的条件下，若点D在射线AC上，点D在点C右侧，且△BDQ是等边三角形，QC的延长线交直线OB于点P，求PC的长度；（3）如图2，在（1）的条件下，若点M在线段BC上，△OMN是等边三角形，且点M沿着线段BC从点B运动到点C，点N随之运动，求点N的运动路径的长度．2019-2020学年广东省广州市越秀区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共有10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的. 1．【解答】解：设第三边的长度为x，由题意得：5﹣2＜x＜5+2，即：3＜x＜7，只有D选项在范围内．故选：D．2．【解答】解：A、当添加AC＝BD时，且∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，由“SSA”不能证得△ABC≌△BAD，故本选项符合题意；B、当添加BC＝AD时，且∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，由“SAS”能证得△ABC≌△BAD，故本选项不符合题意；C、当添加∠C＝∠D时，且∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，由“AAS”能证得△ABC≌△BAD，故本选项不符合题意；D、当添加∠CAB＝∠DBA时，且∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，由“ASA”能证得△ABC≌△BAD，故本选项不符合题意；故选：A．3．【解答】解：A、a2+a2＝2a2，故A错误；B、a3÷a＝a2，故B错误；C、a2•a3＝a5，故C正确；D、（a2）3＝a8，故D错误．故选：C．4．【解答】解：由题意得：x+3≠0，解得：x≠﹣3，故选：A．5．【解答】解：A、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，故A错误；B、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，错误；C、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，故C错误；D、分子分母都除以x，分式的值不变，故D正确；故选：D．6．【解答】解：根据三角形的稳定性，要使六边形木架不变形，至少再钉上3根木条；故选：C．7．【解答】解：在△OCE和△ODE中，，∴△OCE≌△ODE（SSS）．故选：B．8．【解答】解：①当130°外角是底角的外角时，底角为：180°﹣130°＝50°，∴顶角度数是180°﹣50°﹣50°＝80°，②当130°外角是顶角的外角时，顶角为：180°﹣130°＝50°，∴顶角为50°或80°．故选：D．9．【解答】解：作GE⊥AD于E，EG的延长线交BC于F，如图，∵AD∥BC，GE⊥AD，∴EF⊥BC，∵BG，AG分别平分∠ABC与∠BAD，∴GE＝GH＝5，GF＝GH＝5，∴EF＝5+5＝10，即AD与BC之间的距离为10．故选：C．10．【解答】解：已知等式整理得：2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝0，即（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）+（b2﹣2bc+c2）＝0，变形得：（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝0，∴a＝b＝c，则△ABC为等边三角形，故选：C．二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分.11．【解答】解：这个正多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°＝1800°，解得：n＝12，则这个正多边形是12．故答案为：12．12．【解答】解：∵关于x的多项式x2+10x+k是完全平方式，∴x2+10x+k＝x2+2•x•5+52，∴k＝52＝25，故答案为：25．13．【解答】解：分式与的最简公分母是6a3b4c，故答案为：6a3b4c．14．【解答】解：∵3m＝5，3n＝8，∴32m+n＝（3m）2×3n＝52×8＝200．故答案为：200．15．【解答】解：∵点（﹣3，4）与点（a2，b2）关于y轴对称，∴a2＝3，b2＝4，解得a＝±，b＝±2．∴（a+b）（a﹣b）＝（+2）（﹣2）＝3﹣4＝﹣1；或（a+b）（a﹣b）＝（﹣2）（+2）＝3﹣4＝﹣1；或（a+b）（a﹣b）＝（﹣+2）（﹣﹣2）＝3﹣4＝﹣1；或（a+b）（a﹣b）＝（﹣﹣2）（﹣+2）＝3﹣4＝﹣1．故答案为：﹣1．16．【解答】解：作D关于AC的对称点G，D关于BC的对称点H，连接GH交AC于E交BC于F，则此时，△DEF的周长最小，∵∠A＝∠B＝60°，DG⊥AC，DH⊥BC，∴∠ADG＝∠BDH＝30°，∴∠GDH＝120°，∴∠H+∠G＝60°，∵EG＝ED，DF＝HF，∴∠G＝∠GDE，∠H＝∠HDF，∴∠HDF+∠GDE＝60°，∴∠FDE＝60°，故答案为：60°．三、解答题：本题共9小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．【解答】解：去分母得：3（x﹣1）＝x（x+1）﹣（x+1）（x﹣1），解得：x＝2，检验：当x＝2时，（x+1）（x﹣1）≠0，∴原分式方程的解是x＝2．18．【解答】解：（1）（﹣2x）3﹣3x（x﹣2x2）＝﹣8x3﹣3x2+6x3＝﹣2x3﹣3x2；（2）[（x+2y）2﹣（x﹣2y）（x+2y）]÷4y＝（x2+4y2+4xy﹣x2+4y2）÷4y＝（8y2+4xy）÷4y＝x+2y．19．【解答】解：（1）原式＝a（1﹣6b+9b2）＝a（1﹣3b）2；（2）原式＝x2（x﹣y）﹣y2（x﹣y）＝（x﹣y）2（x+y）．20．【解答】解：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，而∠3＝∠1+∠2，∴∠3＝∠4＝∠1+∠2＝2∠1，在△ADC中，∠DAC+∠3+∠4＝180°，∴∠DAC+4∠1＝180°，∵∠BAC＝∠1+∠DAC＝69°，∴∠1+180°﹣4∠1＝69°，解得∠1＝37°，∴∠DAC＝69°﹣37°＝32°．21．【解答】解：（1）原式＝•＝•＝，当x＝﹣3时，原式＝﹣2；（2）∵a2+2a﹣1＝0，∴a2+2a＝1，则原式＝•＝•＝a2+2a＝1．22．【解答】解：（1）证明：在Rt△PFD和Rt△PGE中，，∴Rt△PFD≌Rt△PGE（HL），∴PD＝PE，∵P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，∴OC是∠AOB的平分线．（2）∵PF∥OB，∠AOB＝30°，∴∠PFD＝∠AOB＝30°，在Rt△PDF中，．23．【解答】解：（1）∵CD⊥BP∴∠BAC＝∠BDQ＝90°∴∠Q+∠QBD＝90°，∠Q+∠ACQ＝90°，∴∠QBD＝∠ACQ，且AB＝AC，∠BAC＝∠QAC＝90°，∴△ABP≌△ACQ（ASA）∴AP＝AQ；（2）成立理由如下：如图，∵CD⊥BP∴∠BAC＝∠BDQ＝90°∴∠Q+∠QBD＝90°，∠Q+∠ACQ＝90°，∴∠QBD＝∠ACQ，且AB＝AC，∠BAC＝∠QAC＝90°，∴△ABP≌△ACQ（ASA）∴AP＝AQ；24．【解答】解：（1）该第一批箱装饮料每箱的进价是x元，则第二批购进（x+20）元，根据题意，得解得：x＝200（2）设每箱饮料的标价为y元，根据题意，得（30+40﹣10）y+0.8×10y≥（1+36%）（6000+8800）解得：y≥296答：至少标价296元．25．【解答】解：（1）∵∠ABO＝30°，OB⊥AC，∴∠BAO＝60°，∵O是线段AC中点，OB⊥AC，∴BA＝BC，又∠BAO＝60°，∴△ABC是等边三角形；（2）∵△ABC和△BDQ为等边三角形，∴BA＝BC，BD＝BQ，∠BAC＝60°，∠DBQ＝60°，∴∠ABD＝∠CBQ，在△BAD和△BCQ中，，∴△BAD≌△BCQ（SAS）∴∠BCQ＝∠BAD＝60°，∵∠BCA＝60°，∴∠OCP＝60°，∵∠POC＝90°，∴∠OPC＝30°，∴PC＝2OC＝18；（3）取BC的中点H，连接OH，连接CN，则OH＝BC＝BH＝CH，∴△HOC为等边三角形，∴∠HOC＝∠OHC＝60°，OH＝OC，当M在BH上时，∠MON＝60°，∠HOC＝60°，∴∠MOH＝∠NOC，在△OMH和△ONC中，，∴△OMH≌△ONC（SAS），∴∠OCN＝∠OHM＝120°，当点M与点B重合时，在△OBC和△N′BC中，，∴△OBC≌△N′BC（SAS）∴∠BCN′＝∠BCO＝60°，∴∠OCN′＝120°，即C、N、N′在同一条直线上，∴CN′＝OC＝9，∴点N从起点到C作直线运动路径为9，当M在HC上时，△OCN为等边三角形，∴CN＝OC＝9，∴点N从C到终点作直线运动路径长为9综上所述，N的路径长度为：9+9＝18．。
广东省华南师范大学附属中学2022-2023学年高二上学期1月期末考试数学试题(含答案)
华南师大附中2022-2023学年第一学期期末考试高二数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号等填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂.2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3．回答第Ⅱ卷时，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答卷各题目指定区域内，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.第Ⅰ卷一、 单选题：本大题共8小题，每小题3分，满分24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．过点()1,2-和点()0,3的直线在x 轴上的截距为（ ）A ．3B ．1C ．3-D ．1-2．设数列{}n a 的前n 项和21n S n =+，则6a 的值为（ ）A ．11B ．10C ．9D ．83．若直线l 的方向向量是()3,2,1a =，平面α的法向量是()1,2,1u =--，则l 与α的位置关系是（ ）A ．l α⊥B ．//l αC ．l 与α相交但不垂直D ．//l α或l α⊂4．若直线220x y +-=为圆22()1x a y -+=的一条对称轴，则=a （ ）A ．12B ．12-C ．1D ．1-5．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若232a a +=-，344a a +=，则8S =（ ）A ．80B ．85C ．90D ．956．已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若28793a a a --=，则158S a -的值为（ ） A ．3 B ．14 C ．28 D ．427．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在抛物线C 的准线l 上，线段MF 与y 轴交于点A ，与抛物线C 交于点B ，若||1||3AB MA ==，，则p =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．已知O 为坐标原点，P 是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>上位于x 轴上方的点，F 为右焦点. 延长PO ，PF 交椭圆E 于Q ，R 两点，QF FR ⊥，3QF FR =，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．3B ．2C ．3D ．4A 1二、多选题：本大题共4小题，每小题3分，满分12分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得3分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9．已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-+，则下列结论正确的是（ ）A ．{}n a 是等差数列B ．460a a +=C ．910a a <D ．n S 有最大值81410．已知曲线22:1C mx ny +=，则( )A ．若4m n ==，则曲线C 是圆,其半径为2B ．若0m n >>，则曲线C 是椭圆，其焦点在y轴上 C ．若曲线C过点(，(，则C 是双曲线 D ．若0mn =，则曲线C 不表示任何图形11．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，…．即从第三项开始，每一项都是它前两项的和．后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列．下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是（ ） A ．12144a = B ．2022a 是偶数C ．20221232020a a a a a =++++ D ．2020202420223a a a +=12．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经拋物线反射后，沿平行于拋物线对称轴的方向射出.反之，平行于拋物线对称轴的入射光线经拋物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线2:,C y x O =为坐标原点.一束平行于x 轴的光线1l 从点()(),11P m m >射入，经过C 上的点()11,A x y 反射后，再经C 上另一点()22,B x y 反射后，沿直线2l 射出，经过点Q ，则（ ）A ．121y y =-B ．延长AO 交直线14x =-于点D ，则,,D B Q 三点共线 C ．2516AB =D ．若PB 平分ABQ ∠，则4116m =第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题3分，满分12分．13．若双曲线221y x m-=的一条渐近线方程为3y x =，则实数m =___________．14．如图，直三棱柱111ABC A B C 中，90BCA ∠=︒，M N ，分别是11A B ，11A C 的中点，1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成角的余弦值为______.全科试题免费下载公众号高中僧课堂15．已知正项数列{}n a 前n 项和n S 满足()()12n n n a a S m m +=+∈R ，，且3510a a +=，则m =__________. 16．如图，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右顶点和上顶点分别为,A B ，左焦点为F ，以原点O 为圆心的圆与直线BF 相切，且该圆与y 轴的正半轴交于点C ，过点C 的直线交椭圆于,M N 两点.若四边形FAMN 是平行四边形，且平行四边形面积为96，则椭圆的长轴长为___________.四、解答题：本大题共6小题，满分52分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算过程. 17．（本题满分8分）在ABC 中，7cos 8A =，3c =，sin 2sinB A =且b c ≠. （1）求b 的值； （2）求ABC 的面积．18．（本题满分8分）已知数列{}n a 满足194a =-且134n n a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足30n n b na +=，求{}n b 的前n 项和为n T .19．（本题满分8分）如图，正三棱柱111ABC A B C 的所有棱长都为2，D 为1CC 中点. （1）求证：1AB ⊥平面1A BD ；（2）求二面角1A A D B --的正弦值.C 1120．（本题满分8分）如图，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，且经过点(2A p ，)(0)m m >，||5AF =． （1）求p 和m 的值；（2）若点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，证明：直线MN 过定点．21．（本题满分10分）某高科技企业研制出一种型号为A 的精密数控车床，A 型车床为企业创造的价值逐年减少（以投产一年的年初到下一年的年初为A 型车床所创造价值的第一年）.若第1年A 型车床创造的价值是250万元，且第1年至第6年，每年A 型车床创造的价值减少30万元；从第7年开始，每年A 型车床创造的价值是上一年价值的50%.现用n a （*N n ∈）表示A 型车床在第n 年创造的价值.（1）求数列{}(N )n a n *∈的通项公式n a ；（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项的和，n T =nS n，企业经过成本核算，若100n T >万元，则继续使用A 型车床，否则更换A 型车床，试问该企业须在第几年年初更换A 型车床？22．（本题满分10分）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，右顶点A 在圆22:3O x y +=上，且121AF AF ⋅=-.（1）求双曲线C 的标准方程；（2）动直线l 与双曲线C 恰有1个公共点，且与双曲线C 的两条渐近线分别交于点M 、N ，设O 为坐标原点. ①求证：点M 与点N 的横坐标之积为定值； ②求MON ∆周长的最小值.，则2021122019a a a a =+++，同理2020122018a a a a =+++，2019122017a a a a =+++，依次类推，可得为原点，1,,CA CB CC 的方向为()1,0,2AN =-，()1,1,2BM =-，因为1430 cos,1056AN BMAN BMAN BM⋅-+<===⨯>，所成角的余弦值为30直线四边形FAMNS=椭圆长轴长故ABC 的面积34n ⎛⎫++⋅ ⎪⎝⎭()41n ⎫++-⎪434n ⎛⎫++- ⎪⎝⎭ABC 为正三角形正三棱柱, 又AO ⊂平面，1BB BC ⊥，1OO ⊂平面1(1,2,3),(2,1,0)AB BD ∴=-=-，1(1,2,3)BA =-. 1110,0AB BD AB BA ⋅=⋅=,1BD BA B ⋂=，且的一个法向量为(,,)n x y z =，(1,1,3)AD =--，1(0,2,0)AA =，则10n AD n AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即，得(3,0,1)n =-.）得1(1,2,3)AB =-为平面易得2364|c |o ,28s ||n AB n AB n AB ⋅-===-⋅.B 的平面角为θ所以11(4,4)AM x y =--，22(4,4)AN x y =--，又）由题意知126,,,a a a 构成首项故()*280306,N n a n n n =-∈（万元）由题意知()*78,,,7,N n a a a n n ∈构成首顶(7*17,N 2n n n -⎫∈⎪⎭730,1n n n -≤≤⎫所以，当*12,N n n ∈时，恒有则()13,0AF c =--，()23,0AF c =-，因为121AF AF ⋅=-，所以的渐近线方程为33y x , 当直线的斜率不存在时，直线的方程为=3x ，所以3,2OD MN,所以132OM ON .此时OMN 的周长为6OM ON MN，此时3M Nx x . 当直线的斜率存在时，设其方程为(0)y kx m k ，则(,0)mD k，联立2213ykx m x y，得222(13)6330k xkmx m ，由于直线l 与双曲线所以2130k 且0m ，所以22222364(13)(33)130k m k m k，22310k m --=.则22310m k ,得33k或33k . ，由33ykx m yx ，解得3333(,),(,)33333333m mm m M N k k k k ，则222333()()333333m m mOM k k k ，222333()()333333m m m ON kk k ，22222331333()()1333333333m k m m m mMN k k k k k . 又22221331133M Nm k x x k k ，为定值，所以OMN 的周长为2221111333333k OM ON MNm k k k ，当33k时，周长为22222221112212123113333313333k k k kk m mkk k k k .当33k时，周长为 22222221112212123113333313333k k k k k m m kk kk k ,因为222222212122113113121111442kk k k kkkk k k，所以当33k 时，周长大于2336.当33k时，周长大于2336.综上所述，OMN 周长的最小值为。
2019-2020学年人教A版广东省东莞市高三第一学期期末文科数学试卷(解析版)
2019-2020学年高三第一学期期末（文科）数学试卷一、选择题1．若z（1﹣i）＝2i，则z＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i2．已知集合A＝{x|x2﹣3x＜0}，B＝{0，1，2，3}，则A∩B等于（）A．{0，1，2，3} B．{1，2，3} C．{1，2} D．{0，3}3．已知向量满足，且与的夹角为60°，则＝（）A．B．C．D．4．已知数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，a6+a3﹣a5＝3，则S7＝（）A．42 B．21 C．7 D．35．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图（90后指1990年及以后出生，80后指1980﹣1989年之间出生，80前指1979年及以前出生），则下列结论中不一定正确的是（）A．互联网行业从业人员中90后占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多C．互联网行业中从事设计岗位的人数90后比80前多D．互联网行业中从事市场岗位的90后人数不足总人数的10%6．已知P（1，）在双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线上，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．7．函数f（x）＝（其中e为自然对数的底数）的图象大致为（）A．B．C．D．8．为了纪念中华人民共和国成立70周年，某单位计划印制纪念图案．为了测算纪念图案的面积，如图，作一个面积约为12cm2的正六边形将其包含在内，并向正六边形内随机投掷300个点，已知有124个点落在纪念图案部分，据此可以估计纪念图案的面积约为（）A．3cm2B．4cm2C．5cm2D．6cm29．已知函数，把函数f（x）的图象上每个点向右平移个单位得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一条对称轴方程为（）A．B．x＝πC．x＝2πD．10．设α是给定的平面，A，B是不在α内的任意两点．有下列四个命题：①在α内存在直线与直线AB异面；②在α内存在直线与直线AB相交；③存在过直线AB的平面与α垂直；④存在过直线AB的平面与α平行．其中，一定正确的是（）A．①②③B．①③C．①④D．③④11．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，直线y＝与C相交于A，B两点，且AF⊥BF，则C的离心率为（）A．B．﹣1 C．D．﹣112．已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）＝﹣f（2﹣x），函数g（x）＝a（e x﹣1﹣e1﹣x），若方程f（x）＝g（x）有2019个解，记为x i（i＝1，2，…，2019），则＝（）A．2019 B．4038 C．2020 D．4040二、填空题13．已知函数f（x）＝，满足f（﹣1）+f（a）＝0，则a的值为．14．已知，则＝．15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足b cos A+a cos B＝2c cos B，，则△ABC外接圆的面积为．16．如图，六氟化硫（SF6）的分子是一个正八面体结构，其中6个氟原子（F）恰好在正八面体的顶点上，而硫原子（S）恰好是正八面体的中心．若把该分子放入一个球内，则这个球的体积与六氟化硫分子体积之比的最小值为．三、解答题（一）必考题：本大题共5小题，每小题12分，共60分.17．已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a1＝1，a2+a3＝12，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设{b n﹣a n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{b n}的前n项和T n．18．某农科所对冬季昼夜温差（最高温度与最低温度的差）大小与某反季节大豆新品种一天内发芽数之间的关系进行了分析研究，他们分别记录了12月1日至12月6日每天昼夜最高、最低的温度（如图1），以及实验室每天每100颗种子中的发芽数情况（如图2），得到如下资料：（1）请画出发芽数y与温差x的散点图；（2）若建立发芽数y与温差x之间的线性回归模型，请用相关系数说明建立模型的合理性；（3）①求出发芽数y与温差x之间的回归方程（系数精确到0.01）；②若12月7日的昼夜温差为8℃，通过建立的y关于x的回归方程，估计该实验室12月7日当天100颗种子的发芽数．参考数据：＝2051，≈4.2，≈6.5．参考公式：相关系数：r＝（当|r|＞0.75时，具有较强的相关关系）．回归方程中斜率和截距计算公式：＝，＝．19．如图1，AD，BC是等腰梯形CDEF的两条高，AD＝AE＝CD＝2，点M是线段AE的中点，将该等腰梯形沿着两条高AD，BC折叠成如图2所示的四棱锥P﹣ABCD（E，F重合，记为点P）．（1）求证：BM⊥DP；（2）求点M到平面BDP距离h．20．已知函数f（x）＝e x﹣2ax（a∈R）．（1）若f（x）的极值为0，求实数a的值；（2）若f（x）≥2xlnx﹣2x对于x∈（2，4）恒成立，求实数a的取值范围．21．已知抛物线C：y2＝4x，在x轴正半轴上任意选定一点M（m，0）（m＞0），过点M作与x轴垂直的直线交C于P，Q两点．（1）设m＝1，证明：抛物线C：y2＝4x在点P，Q处的切线方程的交点N与点M关于原点O对称；（2）通过解答（1），猜想求过抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点G（x0，y0）（不为原点）的切线方程的一种做法，并加以证明．（二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，圆C的普通方程为x2+y2﹣4x﹣6y+5＝0．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）写出圆C的参数方程和直线l的直角坐标方程；（2）设点P在C上，点Q在l上，求|PQ|的最小值及此时点P的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|．（1）解不等式f（x）≤1；（2）记函数f（x）的最大值为s，若＝s（a，b，c＞0），证明：≥3．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．1．若z（1﹣i）＝2i，则z＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由z（1﹣i）＝2i，得z＝．故选：B．2．已知集合A＝{x|x2﹣3x＜0}，B＝{0，1，2，3}，则A∩B等于（）A．{0，1，2，3} B．{1，2，3} C．{1，2} D．{0，3}【分析】可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|0＜x＜3}，B＝{0，1，2，3}，∴A∩B＝{1，2}．故选：C．3．已知向量满足，且与的夹角为60°，则＝（）A．B．C．D．【分析】根据条件进行数量积的运算即可求出的值，进而得出的值．解：∵，∴，∴．故选：A．4．已知数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，a6+a3﹣a5＝3，则S7＝（）A．42 B．21 C．7 D．3【分析】利用等差数列通项公式求出a1+3d＝3，再由S7＝＝7（a1+3d），能求出结果．解：∵数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，a6+a3﹣a5＝3，∴a1+5d+a1+2d﹣a1﹣4d＝a1+3d＝3，∴S7＝＝7（a1+3d）＝21．故选：B．5．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图（90后指1990年及以后出生，80后指1980﹣1989年之间出生，80前指1979年及以前出生），则下列结论中不一定正确的是（）A．互联网行业从业人员中90后占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多C．互联网行业中从事设计岗位的人数90后比80前多D．互联网行业中从事市场岗位的90后人数不足总人数的10%【分析】利用整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图直接求解．解：由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图，知：在A中，互联网行业从业人员中90后占56%，故A正确；在B中，互联网行业中从事技术岗位的人数90后不一定比80后多，故B错误；在C中，互联网行业中从事设计岗位的人数90后比80前多，故C正确；在D中，互联网行业中从事市场岗位的90后人数不足总人数的10%，故D正确．故选：B．6．已知P（1，）在双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线上，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【分析】求出双曲线的渐近线方程，由题意可得＝，由双曲线的离心率公式，计算可得所求值．解：P（1，）在双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线y＝x上，可得＝，则双曲线的离心率为e＝＝＝＝，故选：D．7．函数f（x）＝（其中e为自然对数的底数）的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】由函数为偶函数，排除AC；由x→+∞时，f（x）→0，排除B，由此得到答案．解：，故函数f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除A，C；当x→+∞时，x3（e x﹣1）＞＞e x+1，f（x）→0，故排除B．故选：D．8．为了纪念中华人民共和国成立70周年，某单位计划印制纪念图案．为了测算纪念图案的面积，如图，作一个面积约为12cm2的正六边形将其包含在内，并向正六边形内随机投掷300个点，已知有124个点落在纪念图案部分，据此可以估计纪念图案的面积约为（）A．3cm2B．4cm2C．5cm2D．6cm2【分析】设纪念图案的面积为S，由题意可得：≈，解得S．解：设纪念图案的面积为S，由题意可得：≈，解得S≈5cm2．故选：C．9．已知函数，把函数f（x）的图象上每个点向右平移个单位得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一条对称轴方程为（）A．B．x＝πC．x＝2πD．【分析】根据三角函数的图象平移得出函数g（x）的解析式，再求函数g（x）的对称轴方程即可．解：函数，把函数f（x）的图象上每个点向右平移个单位，得y＝f（x﹣）＝sin[（x﹣）﹣]＝sin（x﹣）＝﹣cos x的图象，则函数y＝g（x）＝﹣cos x；所以函数g（x）的对称轴方程为x＝kπ，k∈Z；即x＝2kπ，k∈Z；令k＝1，得x＝2π，所以x＝2π是g（x）的一条对称轴方程．故选：C．10．设α是给定的平面，A，B是不在α内的任意两点．有下列四个命题：①在α内存在直线与直线AB异面；②在α内存在直线与直线AB相交；③存在过直线AB的平面与α垂直；④存在过直线AB的平面与α平行．其中，一定正确的是（）A．①②③B．①③C．①④D．③④【分析】根据空间中的直线与平面、以及平面与平面的位置关系，判断题目中的命题真假性即可．解：对于①，无论直线AB与α平行，还是直线AB与α相交，都在α内存在直线与直线AB异面，所以①正确；对于②，当直线AB与α平行时，平面α内不存在直线与直线AB相交，所以②错误；对于③，无论直线AB与α平行，还是直线AB与α相交，都存在过直线AB的平面与α垂直，所以③正确；对于④，若直线AB与α相交，则不存在过直线AB的平面与α平行，所以④错误；综上知，正确的命题序号是①③．故选：B．11．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，直线y＝与C相交于A，B两点，且AF⊥BF，则C的离心率为（）A．B．﹣1 C．D．﹣1【分析】可解得点A、B坐标，由AF⊥BF，得•＝0，把b2＝a2﹣c2代入该式整理后两边同除以a4，得e的方程，解出即可，注意e的取值范围解：由，消y可得得（3a2+b2）x2＝a2b2，解得x＝±，分别代入y＝±，∴A（，），B（﹣，﹣），∴＝（+c，），＝（c﹣，﹣），∴•＝c2﹣﹣＝0，∴c2＝，（*）把b2＝a2﹣c2代入（*）式并整理得4a2c2﹣c4＝4a2（a2﹣c2），两边同除以a4并整理得e4﹣8e2+4＝0，解得e2＝4﹣2∴e＝﹣1，故选：D．12．已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）＝﹣f（2﹣x），函数g（x）＝a（e x﹣1﹣e1﹣x），若方程f（x）＝g（x）有2019个解，记为x i（i＝1，2，…，2019），则＝（）A．2019 B．4038 C．2020 D．4040【分析】分析可知，函数f（x）与g（x）均关于（1，0）对称，根据对称性即可得解．解：∵f（x）＝﹣f（2﹣x），∴f（x）关于（1，0）对称，∵g（x）＝a（e x﹣1﹣e1﹣x），∴g（2﹣x）＝a（e1﹣x﹣e x﹣1）＝﹣a（e x﹣1﹣e1﹣x）＝﹣g（x），∴g（x）关于（1，0）对称，∵方程f（x）＝g（x）有2019个解，即y＝f（x）与y＝g（x）有2019个交点，∴必有一个交点的横坐标为1，且其余2018个交点关于关于（1，0）对称，共1009对，而且每对横坐标之和为2，∴．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上．13．已知函数f（x）＝，满足f（﹣1）+f（a）＝0，则a的值为2018 ．【分析】推导出f（a）＝﹣f（﹣1）＝﹣e0＝﹣1．当a＜0时，f（a）＝e a+1＝﹣1，当a ≥0时，f（a）＝a﹣2019＝﹣1，由此能求出a的值．解：∵函数f（x）＝，满足f（﹣1）+f（a）＝0，∴f（a）＝﹣f（﹣1）＝﹣e0＝﹣1．当a＜0时，f（a）＝e a+1＝﹣1，无解，当a≥0时，f（a）＝a﹣2019＝﹣1，解得a＝2018．故答案为：2018．14．已知，则＝．【分析】利用换元法结合三角函数的诱导公式进行化简即可．解：设θ＝α+，则sinθ＝，α＝θ﹣，则＝cos（θ﹣﹣）＝cos（θ﹣）＝cos（﹣θ）＝sinθ＝，故答案为：15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足b cos A+a cos B＝2c cos B，，则△ABC外接圆的面积为4π．【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin C＝2sin C cos B，由sin C≠0，可得cos B＝，结合范围B∈（0，π），可得B＝，设△ABC外接圆的半径为R，则由正弦定理可求R的值，进而即可得解△ABC外接圆的面积．解：∵b cos A+a cos B＝2c cos B，∴由正弦定理可得sin B cos A+sin A cos B＝2sin C cos B，∴sin（A+B）＝sin C＝2sin C cos B，∵sin C≠0，∴可得cos B＝，∵B∈（0，π），∴可得B＝，∵，∴设△ABC外接圆的半径为R，则由正弦定理可得2R＝＝＝4，可得R＝2，∴△ABC外接圆的面积为S＝πR2＝4π．故答案为：4π．16．如图，六氟化硫（SF6）的分子是一个正八面体结构，其中6个氟原子（F）恰好在正八面体的顶点上，而硫原子（S）恰好是正八面体的中心．若把该分子放入一个球内，则这个球的体积与六氟化硫分子体积之比的最小值为π．【分析】连结EF，SF，则S在线段EF上，当球半径R＝SF＝EF时，这个球的体积与六氟化硫分子体积之比取最小值，由此能求出结果．解：连结EF，SF，则S在线段EF上，当球半径R＝SF＝EF时，这个球的体积与六氟化硫分子体积之比取最小值，六氟化硫（SF6）的分子是一个正八面体结构，这个正八面体结构是两个正四棱锥组合而成，设正四棱锥的底面正方形的边长为x，则2x2＝4R2，解得x＝，∴这个球的体积与六氟化硫分子体积之比的最小值为：＝π．故答案为：π．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17至21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：本大题共5小题，每小题12分，共60分.17．已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a1＝1，a2+a3＝12，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设{b n﹣a n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）直接利用已知条件和定义求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用分组法求出数列的和．解：（1）因为{a n}是正数等比数列，且a1＝1，a2+a3＝12，所以，即q2+q﹣12＝0，分解得（q+4）（q﹣3）＝0，又因为a n＞0，所以q＝3，所以数列{a n}的通项公式为；（2）因为{b n﹣a n}是首项为1，公差为2的等差数列，所以b n﹣a n＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1，所以，所以T n＝b1+b2+…+b n＝（30+1）+（31+3）+…+（3n﹣1+2n﹣1），＝（30+31+…+3n﹣1）+（1+3+…+2n﹣1），＝，＝．18．某农科所对冬季昼夜温差（最高温度与最低温度的差）大小与某反季节大豆新品种一天内发芽数之间的关系进行了分析研究，他们分别记录了12月1日至12月6日每天昼夜最高、最低的温度（如图1），以及实验室每天每100颗种子中的发芽数情况（如图2），得到如下资料：（1）请画出发芽数y与温差x的散点图；（2）若建立发芽数y与温差x之间的线性回归模型，请用相关系数说明建立模型的合理性；（3）①求出发芽数y与温差x之间的回归方程（系数精确到0.01）；②若12月7日的昼夜温差为8℃，通过建立的y关于x的回归方程，估计该实验室12月7日当天100颗种子的发芽数．参考数据：＝2051，≈4.2，≈6.5．参考公式：相关系数：r＝（当|r|＞0.75时，具有较强的相关关系）．回归方程中斜率和截距计算公式：＝，＝．【分析】（1）直接根据资料画出发芽数y与温差x的散点图即可；（2）先求出相关系数r，判断r是否大于0.75，再说明建立模型的合理性；（3）直接根据条件求出线性回归方程，再将x＝8代入回归方程中计算出发芽数．解：（1）散点图如图所示（2）≈＝，∵y与x的相关系数近似为0.952＞0.75，说明y与x的线性相关程度较强，从而建立发芽数y与温差x之间的线性回归模型是合理的．（3）①由最小二乘估计公式，得≈＝，，∴，②当x＝8时，（颗），∴估计该实验室12月7日当天种子的发芽数为20颗，19．如图1，AD，BC是等腰梯形CDEF的两条高，AD＝AE＝CD＝2，点M是线段AE的中点，将该等腰梯形沿着两条高AD，BC折叠成如图2所示的四棱锥P﹣ABCD（E，F重合，记为点P）．（1）求证：BM⊥DP；（2）求点M到平面BDP距离h．【分析】（1）由已知可得AD⊥AP，AD⊥AB，得到AD⊥平面ABP，则AD⊥BM；再证明BM ⊥AP；由线面垂直的判定可得BM⊥平面ADP，从而得到BM⊥DP；（2）取BP中点N，连结DN，由题意AD⊥平面ABP，由V M﹣BDP＝V D﹣BMP，即可求得点M到平面BDP的距离h．【解答】（1）证明：∵AD⊥EF，∴AD⊥AP，AD⊥AB，又AP∩AB＝A，AP，AB⊂平面ABP，∴AD⊥平面ABP．∵BM⊂平面ABP，∴AD⊥BM；由已知得，AB＝AP＝BP＝2，∴△ABP是等边三角形，又∵点M是AP的中点，∴BM⊥AP；∵AD⊥BM，AP⊥BM，AD∩AP＝A，AD，AP⊂平面ADP，∴BM⊥平面ADP，∵DP⊂平面ADP，∴BM⊥DP；（2）解：取BP中点N，连结DN，∵AD⊥平面ABP，AB＝AP＝AD＝2，∴，∴DN⊥BP，在Rt△DPN中，，∴，∵AD⊥平面ABP，∴，∵V M﹣BDP＝V D﹣BMP，∴，又，∴，即点M到平面BDP的距离为．20．已知函数f（x）＝e x﹣2ax（a∈R）．（1）若f（x）的极值为0，求实数a的值；（2）若f（x）≥2xlnx﹣2x对于x∈（2，4）恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性，极值的关系可求，（2）分离系数可得，对于x∈（2，4）恒成立，构造函数，原问题转化为2a≤H（x）min，x∈（2，4），结合导数与函数的性质可求．解：（1）由题得f'（x）＝e x﹣2a，①当a≤0时，f'（x）＞0恒成立∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，没有极值．②当a＞0时，由f'（x）＝0，得x＝ln2a，当x∈（﹣∞，ln2a）时，f'（x）＜0，f（x）在（﹣∞，ln2a）上单调递减当x∈（ln2a，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）在（ln2a，+∞）上单调递增，∴f（x）在x＝ln2a时取到极小值，∵f（x）的极值为0，∴f（ln2a）＝0，∴e ln2a﹣2aln2a＝0即 2a（1﹣ln2a）＝0，∴，（2）由题得e x﹣2ax≥2xlnx﹣2x对于x∈（2，4）恒成立，∴对于x∈（2，4）恒成立，令，原问题转化为2a≤H（x）min，x∈（2，4），又，令G（x）＝e x x﹣e x﹣2x，则G'（x）＝e x x﹣2＞0在x∈（2，4）上恒成立，∴G（x）在（2，4）上单调递增，∴G（x）＞G（2）＝2e2﹣e2﹣4＝e2﹣4＞0，∴H'（x）＞0∴，在（2，4）上单调递增，∴，∴，21．已知抛物线C：y2＝4x，在x轴正半轴上任意选定一点M（m，0）（m＞0），过点M作与x轴垂直的直线交C于P，Q两点．（1）设m＝1，证明：抛物线C：y2＝4x在点P，Q处的切线方程的交点N与点M关于原点O对称；（2）通过解答（1），猜想求过抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点G（x0，y0）（不为原点）的切线方程的一种做法，并加以证明．【分析】（1）m＝1时可求得x＝1与抛物线的交点P，Q的坐标，设在P处的切线方程，与抛物线联立用判别式为零求出斜率，进而求出在P处的切线方程，同理求出在Q处的切线方程，两式联立求出交点即N的坐标，证出N与点M关于原点O对称；（2）故G做GM⊥x轴交于M，求得M关于原点的对称点M'，则GM'为抛物线的切线，将直线GM'与抛物线联立可得判别式为零，证得直线GM'与抛物线相切．解：（1）解法一：证明：当m＝1时，点M（1，0），P（1，2），Q（1，﹣2），设在点P处的切线的斜率为k（k≠0），联立得，由，得k＝1，故在点P处的切线方程为y＝x+1，同理，求得在点Q的切线方程为y＝﹣x﹣1，由得交点N（﹣1，0），所以交点N与点M关于原点O对称；解法二：m＝1时，点M（1，0），P（1，2），Q（1，﹣2，由y2＝4x得，故或，所以在点P处的切线方程为y﹣2＝x﹣1即y＝x+1，在点Q处的切线方程为y+2＝﹣（x﹣1）即y＝﹣x﹣1，由得交点N（﹣1，0），所以交点N与M关于原点O对称；（2）解法一：过点G（x0，y0），（x0≠0）作与x轴垂直的直线交x轴于点M（x0，0），作点M关于原点对称的点M'（﹣x0，0），猜想切线方程为直线GM'：，即y0y＝p（x+x0），其中，联立得，∵，所以y0y＝p（x+x0）与抛物线y2＝2px相切．解法二：过点G（x0，y0），（x0≠0）作与x轴垂直的直线交x轴于点M（x0，0），作点M关于原点对称的点M'（﹣x0，0），猜想切线方程为直线GM'：，即y0y＝p（x+x0），其中，由y2＝2px得，∴或，所以在点G（x0，y0）处的切线斜率为或故点G（x0，y0）处的切线方程为或，由得或所以在点G（x0，y0）处切线方程为，整理得，即y0y＝p（x+x0）．（二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，圆C的普通方程为x2+y2﹣4x﹣6y+5＝0．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）写出圆C的参数方程和直线l的直角坐标方程；（2）设点P在C上，点Q在l上，求|PQ|的最小值及此时点P的直角坐标．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用点到直线的距离公式的应用和方程组的解法的应用求出结果．解：（1）圆C的方程可化为（x﹣2）2+（y﹣3）2＝8，圆心为C（2，3），半径为，∴圆C的参数方程为（α为参数）直线l的极坐标方程可化为ρsinθ+ρcosθ＝﹣3，∵，∴直线l的直角坐标方程为x+y+3＝0．（2）：曲线C是以C（2，3）为圆心，半径为的圆，圆心C（2，3）到直线l：x+y+3＝0的距离，所以，此时直线PQ经过圆心C（2，3），且与直线l：x+y+3＝0垂直，k PQ•k l＝﹣1，所以k PQ＝1，PQ所在直线方程为y﹣3＝x﹣2，即y＝x+1．联立直线和圆的方程，解得或当|PQ|取得最小值时，点P的坐标为（0，1）所以，此时点P的坐标为（0，1）．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|．（1）解不等式f（x）≤1；（2）记函数f（x）的最大值为s，若＝s（a，b，c＞0），证明：≥3．【分析】（1）先将f（x）写为分段函数的形式，然后根据f（x）≤1分别解不等式即可；（2）先由（1）得到f（x）的最大值s，然后利用基本不等式即可证明≥3成立．解：（1），①当x≤﹣1时，﹣3≤1恒成立，所以x≤﹣1；②当﹣1＜x＜2时，2x﹣1≤1，即x≤1，所以﹣1＜x≤1；③当x≥2时，3≤1显然不成立，所以不合题意；综上，不等式的解集为（﹣∞，1]．（2）证明：由（1）知f（x）max＝3＝s，于是，所以≥＝6，当且仅当a＝b＝c＝1时取等号，所以．。
广东省广州市越秀区2019-2020学年八年级(上)期中数学试卷(含答案解析)
广东省广州市越秀区2019-2020学年八年级（上）期中试卷数学一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列图形分别是桂林、湖南、甘肃、佛山电视台的台徽，其中为轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．一个三角形的两边长为3和8，第三边长为奇数，则第三边长为（）A．5或7 B．7或9 C．7 D．93．到三角形三边的距离相等的点是（）A．三角形三条高的交点B．三角形三条中线的交点C．三角形三条角平分线的交点D．不存在这个点4．如图所示，已知∠1＝∠2，若添加一个条件使△ABC≌△ADC，则添加错误的是（）A．AB＝AD B．∠B＝∠D C．∠BCA＝∠DCA D．BC＝DC5．如图，把一个含30°角的直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1＝20°，那么∠2的度数为（）A．20°B．50°C．60°D．70°6．点（5，﹣2）关于x轴的对称点是（）A．（5，﹣2）B．（5，2）C．（﹣5，2）D．（﹣5．﹣2）7．如图，在△ABC中，∠BDC＝110°，点D是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，则∠A＝（）A．40°B．50°C．60°D．70°8．点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于6，点Q是OB边上的任意一点，则下列选项正确的是（）A．PQ＞6 B．PQ≥6 C．PQ＜6 D．PQ≤69．如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别AB、AC是上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分的周长为（）cmA．1 B．2 C．3 D．410．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有（）A．5个B．6个C．7个D．8个二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．如图，已知△OAB≌△OCD，∠A＝30°，∠AOB＝105°，则∠D＝°．12．一个正多边形的每个内角都等于140°，那么它是正边形．13．等腰三角形中，已知两边的长分别是9和6，则周长为．14．如图：∠EAF＝15°，AB＝BC＝CD，则∠ECD等于°．15．如图所示，点P为∠AOB内一点，分别作出点P关于OA、OB的对称点P1、P2．连接P1P2交OA于M，交OB于N，若P1P2＝6，则△PMN的周长为．16．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC于D，如果AB＝25cm，BC＝20cm，AC＝15cm，且S△ABC＝150cm2，那么OD＝cm．三、解答题（本大题共有8小题，满分72分，解答要写出文字说明，证明过程或计算步骤）17．（6分）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．18．（6分）如图，M，N分别是正五边形ABCDE的边BC，CD上的点，且BM＝CN，AM交BN于点P．求证：△ABM≌△BCN．19．（8分）如图：（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）在y轴上画出点P，使PA+PC最小；（3）求△ABC的面积．20．（8分）如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝CD，AD＝DB，求∠BAC的度数．21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．求证：AF平分∠BAC．22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．（1）作线段AC的垂直平分线，分别交BC、AC于点D、E．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）连接AD，若DE＝2cm，求BC的长．23．（12分）如图，在△ABC中，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．（1）求证：∠EFA＝90°﹣∠B；（2）若∠B＝60°，求证：EF＝DF．24．（14分）已知：在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，以AC为边作等边三角形ACE，直线BE交直线AD于点F，连接FC．（1）如图1，120°＜∠BAC＜180°，△ACE与△ABC在直线AC的异侧，且FC交AE于点M．①求证：∠FEA＝∠FCA；②猜想线段FE，AD，FD之间的数量关系，并证明你的结论；（2）当60°＜∠BAC＜120°，且△ACE与△ABC在直线AC的异侧时，利用图2画出图形探究线段FE，AD，FD之间的数量关系，并直接写出你的结论．广东省广州市越秀区八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列图形分别是桂林、湖南、甘肃、佛山电视台的台徽，其中为轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故错误；B、不是轴对称图形，故错误；C、不是轴对称图形，故错误；D、是轴对称图形，故正确．故选：D．【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．2．一个三角形的两边长为3和8，第三边长为奇数，则第三边长为（）A．5或7 B．7或9 C．7 D．9【分析】首先根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围，再根据第三边又是奇数得到答案．【解答】解：根据三角形的三边关系，得第三边大于8﹣3＝5，而小于两边之和8+3＝11．又第三边应是奇数，则第三边等于7或9．故选：B．【点评】此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．3．到三角形三边的距离相等的点是（）A．三角形三条高的交点B．三角形三条中线的交点C．三角形三条角平分线的交点D．不存在这个点【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答．【解答】解：到三角形三边的距离相等的点是：三角形三条角平分线的交点．故选：C．【点评】本题考查了角平分线的性质，熟记角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．4．如图所示，已知∠1＝∠2，若添加一个条件使△ABC≌△ADC，则添加错误的是（）A．AB＝AD B．∠B＝∠D C．∠BCA＝∠DCA D．BC＝DC【分析】本题是开放题，要使△ABC≌△ADC，已知∠1＝∠2，AC是公共边，具备了一组边和一组角对应相等，再结合选项一一论证即可．【解答】解：A、添加AB＝AD，能根据SAS判定△ABC≌△ADC，故选项正确；B、添加∠B＝∠D，能根据ASA判定△ABC≌△ADC，故选项正确；C、添加∠BCA＝∠DCA，能根据ASA判定△ABC≌△ADC，故选项正确；D、添加BC＝DC，SSA不能判定△ABC≌△ADC，故选项错误．故选：D．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．5．如图，把一个含30°角的直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1＝20°，那么∠2的度数为（）A．20°B．50°C．60°D．70°【分析】根据三角形的外角性质得出∠2＝∠A+∠1，代入求出即可．【解答】解：∠2＝∠A+∠1＝30°+20°＝50°，故选：B．【点评】本题考查了三角形的外角性质，能根据三角形的外角性质得出∠2＝∠A+∠1是解此题的关键．6．点（5，﹣2）关于x轴的对称点是（）A．（5，﹣2）B．（5，2）C．（﹣5，2）D．（﹣5．﹣2）【分析】关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．【解答】解：（5，﹣2）关于x轴的对称点为（5，2），故选：B．【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．7．如图，在△ABC中，∠BDC＝110°，点D是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，则∠A＝（）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】根据三角形内角和定理得到∠DBC+∠DCB＝70°，根据角平分线的定义和三角形内角和定理计算即可．【解答】解：∵∠BDC＝110°，∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣110°＝70°，∵点D是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，∴∠ABC＝2∠DBC，∠ACB＝2∠DCB，∴∠ABC+∠ACB＝2×（∠DBC+2∠DCB）＝140°，∴∠A＝180°﹣140°＝40°，故选：A．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．8．点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于6，点Q是OB边上的任意一点，则下列选项正确的是（）A．PQ＞6 B．PQ≥6 C．PQ＜6 D．PQ≤6【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到OB的距离为6，再根据垂线段最短解答．【解答】解：∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于6，∴点P到OB的距离为6，∵点Q是OB边上的任意一点，∴PQ≥6．故选：B．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．9．如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别AB、AC是上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分的周长为（）cmA．1 B．2 C．3 D．4【分析】由题意得AE＝A′E，AD＝A′D，故阴影部分的周长可以转化为三角形ABC的周长．【解答】解：将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，所以AD＝A′D，AE＝A′E．则阴影部分图形的周长等于BC+BD+CE+A′D+A′E，＝BC+BD+CE+AD+AE，＝BC+AB+AC，＝3cm．故选：C．【点评】此题考查翻折问题，折叠问题的实质是“轴对称”，解题关键是找出经轴对称变换所得的等量关系．10．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有（）A．5个B．6个C．7个D．8个【分析】根据等腰三角形的判定定理，结合图形即可得到结论．【解答】解：如图，第1个点在CA延长线上，取一点P，使BA＝AP；第2个点在CB延长线上，取一点P，使AB＝PB；第3个点在AC延长线上，取一点P，使AB＝PB；第4个点在BC延长线上，取一点P，使AB＝PA；第5个点在AC延长线上，取一点P，使AB＝AP；第6个点在AC上，取一点P，使∠PBA＝∠PAB；∴符合条件的点P有6个点．故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题，其关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．如图，已知△OAB≌△OCD，∠A＝30°，∠AOB＝105°，则∠D＝45 °．【分析】根据三角形内角和定理求出∠B，根据全等三角形的对应角相等解答．【解答】解：∠B＝180°﹣∠A﹣∠AOB＝45°，∵△OAB≌△OCD，∴∠D＝∠B＝45°，故答案为：45．【点评】本题考查的是全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．12．一个正多边形的每个内角都等于140°，那么它是正九边形．【分析】首先根据多边形的内角与相邻的外角互补可得外角为180°﹣140°＝40°，再利用外角和360°除以外角的度数可得边数．【解答】解：∵正多边形的每个内角都等于140°，∴多边形的外角为180°﹣140°＝40°，∴多边形的边数为360°÷40°＝9，故答案为：九．【点评】此题主要考查了多边形的内角与外角，关键是掌握外角和360°除以外角的度数可得边数．13．等腰三角形中，已知两边的长分别是9和6，则周长为21或24 ．【分析】分9是底和腰两种情况进行讨论，利用三角形的三边关系来判断，再计算其周长即可．【解答】解：当边长为9的边为底时，三角形的三边长为：9、6、6，满足三角形的三边关系，此时其周长为21；当边长为9的边为腰时，三角形的三边长为：9、9、6，满足三角形的三边关系，此时其周长为24．故答案为：21或24．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系，注意分两种情况进行讨论是解题的关键．14．如图：∠EAF＝15°，AB＝BC＝CD，则∠ECD等于45 °．【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质即可解决问题；【解答】解：∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝15°，∴∠CBD＝∠A+∠BCA＝30°，∵CB＝CD，∴∠CBD＝∠CDB＝30°，∴∠ECD＝∠A+∠CDB＝15°+30°＝45°，故答案为45．【点评】本题考查等腰三角形的性质、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．15．如图所示，点P为∠AOB内一点，分别作出点P关于OA、OB的对称点P1、P2．连接P1P2交OA于M，交OB于N，若P1P2＝6，则△PMN的周长为 6 ．【分析】根据轴对称的性质可得P1M＝PM，PN＝P2N，然后求出△PMN的周长＝P1P2．【解答】解：∵点P关于OA的对称点P1，∴OA是PP1的中垂线，∴P1M＝PM，同理可得：P2N＝PN，∵△PMN的周长＝PM+PN+MN，∴△PMN的周长＝P1M+MN+P2N＝P1P2＝6，故答案为：6．【点评】本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．16．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC于D，如果AB＝25cm，BC＝20cm，AC＝15cm，且S△ABC＝150cm2，那么OD＝ 5 cm．【分析】先连接OA ，过点O 分别作AC ，AB 的垂线，垂足分别为E 、F ，由角平分线的性质可知OD ＝OE ＝OF ，再根据S △ABC ＝S △AOB +S △BOC +S △AOC 进行解答即可．【解答】解：连接OA ，过点O 分别作AC ，AB 的垂线，垂足分别为E 、F ，∵∠ABC ，∠ACB 的平分线交于点O ，OD ⊥BC 于D ，∴OD ＝OE ＝OF ，∴S △ABC ＝S △AOB +S △BOC +S △AOC ＝AB •OF +BC •OD +AC •OE ＝OD （AB +BC +AC ）＝×OD ×（25+20+15）＝150，解得OD ＝5cm ．故答案为：5．【点评】本题考查的是三角形的面积及角平分线的性质，根据题意作出辅助线，把△ABC 的面积分为S △AOB +S △BOC +S △AOC 是解答此题的关键．三、解答题（本大题共有8小题，满分72分，解答要写出文字说明，证明过程或计算步骤）17．（6分）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．【分析】多边形的外角和是360度，根据多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，即可得到多边形的内角和的度数．根据多边形的内角和定理即可求得多边形的边数．【解答】解：设这个多边形的边数是n ，依题意得（n ﹣2）×180°＝3×360°﹣180°，n ﹣2＝6﹣1，n ＝7．∴这个多边形的边数是7．【点评】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是360°，与边数无关．18．（6分）如图，M ，N 分别是正五边形ABCDE 的边BC ，CD 上的点，且BM ＝CN ，AM 交BN 于点P ．求证：△ABM ≌△BCN ．【分析】利用正五边形的性质得出AB ＝BC ，∠ABM ＝∠C ，再利用全等三角形的判定即可证明△ABM ≌△BCN ．【解答】证明：∵五边形ABCDE 是正五边形，∴AB ＝BC ，∠ABM ＝∠C ，∴在△ABM 和△BCN 中，∴△ABM ≌△BCN （SAS ）．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定以及正五边形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．19．（8分）如图：（1）画出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1；（2）在y 轴上画出点P ，使PA +PC 最小；（3）求△ABC 的面积．【分析】（1）分别作出点A 、B 、C 关于y 轴对称的点A 1，B 1，C 1，然后顺次连接，并写出坐标．（2）连接AC 1交y 轴于点P ，则PA +PC 最小，点P 即为所求．（3）利用△ABC 所在梯形面积减去周围三角形面积，进而得出答案．【解答】解：（1）如图所示，△A 1B 1C 1即为所求；（2）如图所示，点P 即为所求；（3）如图所示，S △ABC ＝S 梯形BCDE ﹣S △ACD ﹣S △ABE＝﹣﹣＝12﹣2.5﹣3＝6.5．【点评】本题考查轴对称变换、三角形的面积、两点之间线段最短等知识，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，然后顺次连接．20．（8分）如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝CD，AD＝DB，求∠BAC的度数．【分析】AB＝AC＝CD，AD＝BD可得∠B＝∠C＝∠BAD，∠CDA＝∠CAD，且利用外角可得∠CDA＝2∠B ＝2∠C，在△ACD中利用三角形内角和可求得∠C，进一步可求得∠CAC，再利用角的和差求得∠BAC．【解答】解：∵AB＝AC，DA＝DB，∴∠B＝∠C＝∠BAD，∵CA＝CD，∴∠CDA＝∠CAD，又∠CDA＝∠B+∠BAD＝2∠B＝2∠C，∴∠CAD＝2∠C，在△ACD中，∠C+∠CDA+∠CAD＝180°，∴2∠C+2∠C+∠C＝180°，∴∠C＝36°，∴∠BAD＝36°，∠CAD＝2∠C＝72°，∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝36°+72°＝108°．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质及外角性质、三角形内角和定理，由条件得到2∠C+2∠C+∠C＝180°求出∠C是解题的关键，注意外角性质及三角形内角和定理的应用．21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．求证：AF平分∠BAC．【分析】先根据AB＝AC，可得∠ABC＝∠ACB，再由垂直，可得90°的角，在△BCE和△BCD中，利用内角和为180°，可分别求∠BCE和∠DBC，利用等量减等量差相等，可得FB＝FC，再易证△ABF ≌△ACF，从而证出AF平分∠BAC．【解答】证明：∵AB＝AC（已知），∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角）．∵BD、CE分别是高，∴BD⊥AC，CE⊥AB（高的定义）．∴∠CEB＝∠BDC＝90°．∴∠ECB＝90°﹣∠ABC，∠DBC＝90°﹣∠ACB．∴∠ECB＝∠DBC（等量代换）．∴FB＝FC（等角对等边），在△ABF和△ACF中，，∴△ABF≌△ACF（SSS），∴∠BAF＝∠CAF（全等三角形对应角相等），∴AF平分∠BAC．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；等量减等量差相等的利用是解答本题的关键．22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．（1）作线段AC的垂直平分线，分别交BC、AC于点D、E．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）连接AD，若DE＝2cm，求BC的长．【分析】（1）利用尺规作出线段AC的垂直平分线即可；（2）先求出AD＝CD，得出∠DAC＝∠C＝30°，求出AD＝CD＝2DE＝10，再证∠BAD＝90°，得出BD ＝2AD＝20，即可求出BC的长．【解答】解：（1）线段AC的垂直平分线如图所示：（2）∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠C＝∠B＝30°，∵DE是AC的垂直平分线，∴AD＝CD，∴∠DAC＝∠C＝30°，∴AD＝CD＝2DE＝2×2＝4cm，∠BAD＝120°﹣30°＝90°，∴BD＝2AD＝8cm，∴BC＝BD+CD＝8+4＝12（cm）．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质以及含30°的直角三角形的性质；利用线段垂直平分线得出线段相等、角相等是解题的关键．23．（12分）如图，在△ABC中，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．（1）求证：∠EFA＝90°﹣∠B；（2）若∠B＝60°，求证：EF＝DF．【分析】（1）由∠FAC＝∠BAC，∠FCA＝∠BCA，推出∠FAC+∠FCA＝×（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠B）＝90°﹣∠B；（2）过点F作FG⊥BC于G，作FH⊥AB于H，作FM⊥AC于，构造全等三角形解决问题即可；【解答】证明：（1）∵∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠B，又∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∴∠FAC＝∠BAC，∠FCA＝∠BCA，∴∠FAC+∠FCA＝×（180°﹣∠B）＝90°﹣∠B，∵∠EFA＝∠FAC+∠FCA，∴∠EFA＝90°﹣∠B．（2）如图，过点F作FG⊥BC于G，作FH⊥AB于H，作FM⊥AC于M．∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∴FG＝FH＝FM，∵∠EFH+∠DFH＝120°，∠DFG+∠DFH＝360°﹣90°×2﹣60°＝120°，∴∠EFH＝∠DFG，在△EFH和△DFG中，，∴△EFH≌△DFG（AAS），∴EF＝DF．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．24．（14分）已知：在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，以AC为边作等边三角形ACE，直线BE交直线AD于点F，连接FC．（1）如图1，120°＜∠BAC＜180°，△ACE与△ABC在直线AC的异侧，且FC交AE于点M．①求证：∠FEA＝∠FCA；②猜想线段FE，AD，FD之间的数量关系，并证明你的结论；（2）当60°＜∠BAC＜120°，且△ACE与△ABC在直线AC的异侧时，利用图2画出图形探究线段FE，AD，FD之间的数量关系，并直接写出你的结论．【分析】（1）①由题意可得AB＝AC＝AE，即可求∠ABF＝∠AEF，由AD是BC的中垂线可得BF＝CF，可证△ABF≌△ACF，可得∠ABF＝∠ACF，则结论可得；②延长AD使DP＝AD，连接CP，由题意可得AC＝CP＝CE，∠ACD＝∠PCD，即可证∠ECF＝∠FCP，则可证△ECF≌△FCP，可得EF＝FP＝FD+AD；（2）连接CF，延长AD使FD＝DP，连接CP，由题意可得∠ABF＝∠ACF＝∠AEF，△FCP是等边三角形，可证△ACP≌△ECF，即可得EF＝AD+DP＝AD+DF．【解答】证明：（1）①∵△AEC是等边三角形∴∠EAC＝∠ACE＝60°，CE＝AC＝AE，且AB＝AC∴AB＝AE∴∠ABF＝∠AEF∵AB＝AC，AD⊥BC∴AD是BC的垂直平分线∴BF＝FC，且AF＝AF，AB＝AC∴△ABF≌△ACF（SSS）∴∠ABF＝∠ACF∴∠ACF＝∠AEF②EF＝FD+AD延长AD使DP＝AD，连接CP∵AD＝DP，∠ADC＝∠PDC，CD＝CD∴△ADC≌△PDC（SAS）∴AC＝CP＝CE，∠ACD＝∠PCD∵∠ACF＝∠AEF，且∠AMC＝∠FME∴∠EFC＝∠EAC＝60°∵BF＝CF，且∠EFC＝60°∴∠FCD＝30°∵∠FCA＝∠FCD﹣∠ACD∴∠FCA＝30°﹣∠ACD∵∠ECF＝∠ECA﹣∠FCA∴∠ECF＝30°+∠ACD∵∠FCP＝∠FCD+∠DCP∴∠FCP＝30°+∠ACD∴∠ECF＝∠FCP，且FC＝FC，CP＝CE∴△ECF≌△FCP（SAS）∴EF＝FP∴EF＝FD+AD（2）连接CF，延长AD使FD＝DP，连接CP．∵△AEC是等边三角形∴∠EAC＝∠ACE＝60°，CE＝AC＝AE，且AB＝AC∴AB＝AE∴∠ABF＝∠AEF∵AB＝AC，AD⊥BC∴AD是BC的垂直平分线∴BF＝FC，且AF＝AF，AB＝AC∴△ABF≌△ACF（SSS）∴∠ABF＝∠ACF∴∠ACF＝∠AEF且∠AME＝∠CMF∴∠EAC＝∠EFC＝60°∵BF＝CF，∠EFC＝60°∴∠FCB＝30°∵FD＝DP，∠FDC＝∠PDC，CD＝CD∴△FDC≌△PDC（SAS）∴FC＝CP，∠FCD＝∠PCD＝30°∴∠FCP＝60°＝∠ACE∴∠ACP＝∠FCE且CF＝CP，AC＝CE∴△ACP≌△ECF（SAS）∴EF＝AP∴EF＝AD+DP＝AD+DF【点评】本题考查了三角形综合题，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．。
广东省广州市越秀区2022-2023学年九年级数学上学期期末考试试卷
广东省广州市越秀区2022-2023学年九年级数学上学期期末考试试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列国产新能源汽车图标中，是中心对称图形的是（ ） A ． B ．C ．D ． 2．用配方法解一元二次方程2650x x ++=，下列变形正确的是（ ） A ．()234x += B ．()234-=x C ．()2314x += D ．()2314x += 3．下列说法正确的是（ ）A ．“相等的圆周角所对的弧相等”是必然事件B ．“相等的圆心角所对的弧相等”是必然事件C ．“等弦（不是直径）所对的弧相等”是必然事件D ．“等弧所对的弦相等”是必然事件4．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()3,0A ，点()0,4B ，以点A 为圆心，AB 长为半径作A e ，则原点O 与A e 的位置关系是（ ）A ．点O 在A e 上B ．点O 在A e 外C ．点O 在A e 内D ．以上皆有可能 5．ABC V 的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形DEF ，其最长边为12，则DEF V 的周长是（ ）A ．54B ．36C ．27D ．21 6．如图，将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转至△DEC ，使点D 落在BC 的延长线上．已知∠A =33°，∠B =30°，则∠ACE 的大小是（ ）A ．63°B ．58°C ．54°D ．52°二、填空题11．在平面直角坐标系xOy 中，点()1,2A -关于原点对称的点的坐标是_________． 12．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线22y x x m =-++与x 轴有两个不同交点，则m 的取值范围是_________．13．设a ，b 是方程220230x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为___________．三、解答题17．解方程：x （x-2）=3.18．如图，利用标杆DE 测量楼高，点A ，D ，B 在同一直线上，DE AC ⊥，BC AC ⊥，垂足分别为E ，C ．若测得1m AE =， 1.5m DE =，5m CE =，楼高BC 是多少？19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点均在格点（网格线的交点）上．(1)将△ABC 绕点A 顺时针旋转90°得到△AB 1C 1，画出△AB 1C 1；(2)在给定的网格中，以点O 为位似中心，将△ABC 放大为原来的2倍，得到△A 2B 2C 2，画出△A 2B 2C 2．20．某学校举办“永远跟党走，奋进新征程”党史知识竞赛活动． 初三（1）班经过第一轮班内选拔，A ，B ，C ，D 四名同学胜出，现需要从这四名同学中挑选人员参加校级决赛．(1)如果只挑选一人参赛，则恰好选到A 同学的概率是_______；(2)如果挑选二人参赛，请用画树状图或列表法求恰好选到A 同学的概率．21．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点()03C ，，对称轴为直线1x =．(1)求抛物线的解析式及点A ，B 的坐标；(2)点P 为第一象限内抛物线上一点，从条件①与条件②这两个条件中选择一个作为已知，求点P 的坐标．条件①：使得PAB V 的面积等于6；条件②：使得PCO △的面积等于3注：如果选择条件①与条件②分别作答，按第一个解答计分．22．为了打造“清洁能源示范城市”，某地2020年投入资金2560万元用于充电桩的安装，(1)若60EBC ∠=︒，求ECB ∠的度数；(2)若DE 为O e 的切线，连接DO DO ，交CE 于点F ，求证：DF CE =；(3)若2AB =，过点A 作DE 的垂线交射线CE 于点M ，求AM 的最小值．。
2024届广东省广州市越秀区知用中学中考二模数学试题含解析
2024届广东省广州市越秀区知用中学中考二模数学试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，一次函数y1＝x＋b与一次函数y2＝kx＋4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x＋b＞kx＋4的解集是（）A．x＞﹣2 B．x＞0 C．x＞1 D．x＜12．如图，已知A、B两点的坐标分别为（－2，0）、（0，1），⊙C 的圆心坐标为（0，－1），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是A．3 B．113C．103D．43．在平面直角坐标系内，点P（a，a+3）的位置一定不在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1是以点P为位似中心的位似图形，且顶点都在格点上，则点P的坐标为（）A．（﹣4，﹣3）B．（﹣3，﹣4）C．（﹣3，﹣3）D．（﹣4，﹣4）5．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m，n，则二次函数的图象与x轴有两个不同交点的概率是（）．A．B．C．D．6．如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上，若PM＝2.5cm，PN＝3cm，MN＝4cm，则线段QR的长为（）A．4.5cm B．5.5cm C．6.5cm D．7cm7．关于x的不等式组312(1)x mx x-<⎧⎨->-⎩无解，那么m的取值范围为( )A．m≤－1 B．m<－1 C．－1<m≤0D．－1≤m<0 8．关于2、6、1、10、6的这组数据，下列说法正确的是（）A．这组数据的众数是6 B．这组数据的中位数是1C．这组数据的平均数是6 D．这组数据的方差是109．点A（a，3）与点B（4，b）关于y轴对称，则（a+b）2017的值为（）A．0 B．﹣1 C．1 D．72017 10．3--的倒数是（）A．13-B．-3 C．3 D．1311．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°，点D是CB延长线上的一点，且BD=BA，则tan∠DAC的值为（）A．2+3B．23C．3+3D．3312．2017年北京市在经济发展、社会进步、城市建设、民生改善等方面取得新成绩、新面貌．综合实力稳步提升．全市地区生产总值达到280000亿元，将280000用科学记数法表示为（）A．280×103B．28×104C．2.8×105D．0.28×106二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．16的算术平方根是．14．如图，将一对直角三角形卡片的斜边AC重合摆放，直角顶点B，D在AC的两侧，连接BD，交AC于点O，取AC，BD的中点E，F，连接EF．若AB＝12，BC＝5，且AD＝CD，则EF的长为_____．15．每一层三角形的个数与层数的关系如图所示，则第2019层的三角形个数为_____．16．已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC＝6cm，AC＝8cm，∠ABD＝45º．则图中阴影部分的面积是____________.17．如果点A（－1，4）、B（m，4）在抛物线y＝a（x－1）2+h上，那么m的值为_____．18．如图，等边三角形的顶点A（1，1）、B（3，1），规定把等边△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如果这样连续经过2018次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，AB∥CD，△EFG的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，GE平分∠FGD．若∠EFG=90°，∠E=35°，求∠EFB的度数．20．（6分）某高中进行“选科走班”教学改革，语文、数学、英语三门为必修学科，另外还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理（分别记为A、B、C、D、E、F）六门选修学科中任选三门，现对该校某班选科情况进行调查，对调查结果进行了分析统计，并制作了两幅不完整的统计图．请根据以上信息，完成下列问题：该班共有学生人；请将条形统计图补充完整；该班某同学物理成绩特别优异，已经从选修学科中选定物理，还需从余下选修学科中任意选择两门，请用列表或画树状图的方法，求出该同学恰好选中化学、历史两科的概率．21．（6分）把0，1，2三个数字分别写在三张完全相同的不透明卡片的正面上，把这三张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记录下数字．放回后洗匀，再从中抽取一张卡片，记录下数字．请用列表法或树状图法求两次抽取的卡片上的数字都是偶数的概率．22．（8分）如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=mx的图象交于A（2，3），B（6，n）两点．分别求出一次函数与反比例函数的解析式；求△OAB的面积．23．（8分）某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少元？(3)若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y1=2x﹣2与双曲线y2=kx交于A、C两点，AB⊥OA交x轴于点B，且OA=AB．求双曲线的解析式；求点C的坐标，并直接写出y1＜y2时x的取值范围．25．（10分）列方程解应用题：某景区一景点要限期完成，甲工程队单独做可提前一天完成，乙工程队独做要误期6天，现由两工程队合做4天后，余下的由乙工程队独做，正好如期完成，则工程期限为多少天？26．（12分）如图，正六边形ABCDEF在正三角形网格内，点O为正六边形的中心，仅用无刻度的直尺完成以下作图．（1）在图1中，过点O作AC的平行线；（2）在图2中，过点E作AC的平行线．27．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1），B（4，0），C（4，4）．按下列要求作图：①将△ABC向左平移4个单位，得到△A1B1C1；②将△A1B1C1绕点B1逆时针旋转90°，得到△A1B1C1．求点C1在旋转过程中所经过的路径长．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、C【解题分析】试题分析：当x＞1时，x+b＞kx+4，即不等式x+b＞kx+4的解集为x＞1．故选C．考点：一次函数与一元一次不等式．2、B【解题分析】试题分析：解：当射线AD与⊙C相切时，△ABE面积的最大．连接AC，∵∠AOC=∠ADC=90°，AC=AC，OC=CD，∴Rt△AOC≌Rt△ADC，∴AD=AO=2，连接CD，设EF=x，∴DE2=EF•OE，∵CF=1，∴DE=，∴△CDE∽△AOE，∴=，即=，解得x=，S△ABE===．故选B．考点：1．切线的性质；2．三角形的面积．3、D【解题分析】判断出P的横纵坐标的符号,即可判断出点P所在的相应象限.【题目详解】当a为正数的时候,a+3一定为正数,所以点P可能在第一象限,一定不在第四象限, 当a为负数的时候,a+3可能为正数,也可能为负数,所以点P可能在第二象限,也可能在第三象限,故选D.【题目点拨】本题考查了点的坐标的知识点，解题的关键是由a的取值判断出相应的象限.4、A【解题分析】延长A1A、B1B和C1C，从而得到P点位置，从而可得到P点坐标．【题目详解】如图，点P的坐标为（-4，-3）．故选A．【题目点拨】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．5、C【解题分析】分析：本题可先列出出现的点数的情况，因为二次图象开口向上，要使图象与x轴有两个不同的交点，则最低点要小于0，即4n-m2＜0，再把m、n的值一一代入检验，看是否满足．最后把满足的个数除以掷骰子可能出现的点数的总个数即可．解答：解：掷骰子有6×6=36种情况．根据题意有：4n-m 2＜0，因此满足的点有：n=1，m=3，4，5，6，n=2，m=3，4，5，6，n=3，m=4，5，6，n=4，m=5，6，n=5，m=5，6，n=6，m=5，6，共有17种，故概率为：17÷36=．故选C ．点评：本题考查的是概率的公式和二次函数的图象问题．要注意画出图形再进行判断，找出满足条件的点． 6、A【解题分析】试题分析：利用轴对称图形的性质得出PM=MQ ，PN=NR ，进而利用PM=2．5cm ，PN=3cm ，MN=3cm ，得出NQ=MN-MQ=3-2．5=2．5（cm ），即可得出QR 的长RN+NQ=3+2．5=3．5（cm ）．故选A ．考点：轴对称图形的性质7、A【解题分析】【分析】先求出每一个不等式的解集，然后再根据不等式组无解得到有关m 的不等式，就可以求出m 的取值范围了.【题目详解】()03121x m x x -<⎧⎪⎨->-⎪⎩①②， 解不等式①得：x<m ，解不等式②得：x>-1，由于原不等式组无解，所以m≤-1，故选A.【题目点拨】本题考查了一元一次不等式组无解问题，熟知一元一次不等式组解集的确定方法“大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”是解题的关键.8、A【解题分析】根据方差、算术平均数、中位数、众数的概念进行分析.【题目详解】数据由小到大排列为1，2，6，6，10， 它的平均数为15（1+2+6+6+10）=5， 数据的中位数为6，众数为6，数据的方差=15 [（1﹣5）2+（2﹣5）2+（6﹣5）2+（6﹣5）2+（10﹣5）2]=10.1． 故选A ．考点：方差；算术平均数；中位数；众数．9、B【解题分析】根据关于y 轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，可得答案．【题目详解】解：由题意，得a=-4，b=1．（a+b ）2017=（-1）2017=-1，故选B ．【题目点拨】本题考查了关于y 轴对称的点的坐标，利用关于y 轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数得出a ，b 是解题关键． 10、A【解题分析】 先求出33--=-，再求倒数.【题目详解】 因为33--=- 所以3--的倒数是13-故选A【题目点拨】考核知识点：绝对值，相反数，倒数.11、A【解题分析】设AC =a ，由特殊角的三角函数值分别表示出BC 、AB 的长度，进而得出BD 、CD 的长度，由公式求出tan ∠DAC 的值即可. 【题目详解】设AC =a ，则BC =30AC tan ︒，AB =30ACsin ︒=2a ，∴BD =BA =2a ，∴CD =（a ，∴tan ∠DAC . 故选A. 【题目点拨】本题主要考查特殊角的三角函数值. 12、C 【解题分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数． 【题目详解】将280000用科学记数法表示为2.8×1．故选C ． 【题目点拨】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13、4 【解题分析】正数的正的平方根叫算术平方根，0的算术平方根还是0；负数没有平方根也没有算术平方根 ∵2(4)16±= ∴16的平方根为4和-4 ∴16的算术平方根为414． 【解题分析】先求出BE 的值，作DM ⊥AB ，DN ⊥BC 延长线，先证明△ADM ≌△CDN （AAS ），得出AM=CN ，DM=DN ，再根据正方形的性质得BM=BN ，设AM=CN=x ，BM=AB-AM=12-x=BN=5+x ，求出x=72，BN=172，根据BD 为正方形的对角线可得出BD=1722， BF=12BD=1742， EF=22BE BF -=742.【题目详解】∵∠ABC=∠ADC ， ∴A,B,C,D 四点共圆， ∴AC 为直径， ∵E 为AC 的中点， ∴E 为此圆圆心， ∵F 为弦BD 中点， ∴EF ⊥BD ， 连接BE ，∴BE=12AC=1222AB BC +=1222512+=132； 作DM ⊥AB ，DN ⊥BC 延长线，∠BAD=∠BCN, 在△ADM 和△CDN 中，AD DN BAD NCD AMD CND =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ADM ≌△CDN （AAS ）， ∴AM=CN ，DM=DN ， ∵∠DMB=∠DNC=∠ABC=90°, ∴四边形BNDM 为矩形， 又∵DM=DN,∴矩形BNDM 为正方形， ∴BM=BN ，设AM=CN=x ，BM=AB-AM=12-x=BN=5+x ， ∴12-x=5+x ，x=72,BN=172， ∵BD 为正方形BNDM 的对角线，∴BN=172，BF=12BD=174，∴74.故答案为74.【题目点拨】本题考查了正方形的性质与全等三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握正方形与全等三角形的性质与应用. 15、2． 【解题分析】设第n 层有a n 个三角形（n 为正整数），根据前几层三角形个数的变化，即可得出变化规律“a n ＝2n ﹣2”，再代入n ＝2029即可求出结论． 【题目详解】设第n 层有a n 个三角形（n 为正整数），∵a 2＝2，a 2＝2+2＝3，a 3＝2×2+2＝5，a 4＝2×3+2＝7，…， ∴a n ＝2（n ﹣2）+2＝2n ﹣2．∴当n ＝2029时，a 2029＝2×2029﹣2＝2． 故答案为2． 【题目点拨】本题考查了规律型：图形的变化类，根据图形中三角形个数的变化找出变化规律“a n ＝2n ﹣2”是解题的关键． 16、（254π－252）cm 2 【解题分析】S阴影=S扇形-S △OBD =90360π 52-12×5×5=225504cm π-. 故答案是:225504cm π-. 17、1【解题分析】根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得答案．【题目详解】由点A（﹣1，4）、B（m，4）在抛物线y=a（x﹣1）2+h上，得：（﹣1，4）与（m，4）关于对称轴x=1对称，m﹣1=1﹣（﹣1），解得：m=1．故答案为：1．【题目点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用函数值相等两点关于对称轴对称得出m﹣1=1﹣（﹣1）是解题的关键．18、（﹣2016+1）【解题分析】据轴对称判断出点C变换后在x轴上方，然后求出点C纵坐标，再根据平移的距离求出点A变换后的横坐标，最后写出即可．【题目详解】解：∵△ABC是等边三角形AB＝3﹣1＝2，∴点C到x轴的距离为，横坐标为2，∴C（2+1），第2018次变换后的三角形在x轴上方，点C，横坐标为2﹣2018×1＝﹣2016，所以，点C的对应点C′的坐标是（﹣2016）故答案为：（﹣2016）【题目点拨】本题考查坐标与图形变化，平移和轴对称变换，等边三角形的性质，读懂题目信息，确定出连续2018次这样的变换得到三角形在x轴上方是解题的关键．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、20°【解题分析】依据三角形内角和定理可得∠FGH=55°，再根据GE平分∠FGD，AB∥CD，即可得到∠FHG=∠HGD=∠FGH=55°，再根据∠FHG是△EFH的外角，即可得出∠EFB=55°-35°=20°．【题目详解】∵∠EFG=90°，∠E=35°，∴∠FGH=55°，∵GE平分∠FGD，AB∥CD，∴∠FHG=∠HGD=∠FGH=55°，∵∠FHG是△EFH的外角，∴∠EFB=55°﹣35°=20°．【题目点拨】本题考查了平行线的性质，两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．20、（1）50人；（2）补图见解析；（3）1 10.【解题分析】分析：（1）根据化学学科人数及其所占百分比可得总人数；（2）根据各学科人数之和等于总人数求得历史的人数即可；（3）列表得出所有等可能结果，从中找到恰好选中化学、历史两科的结果数，再利用概率公式计算可得．详解：（1）该班学生总数为10÷20%=50人；（2）历史学科的人数为50﹣（5+10+15+6+6）=8人，补全图形如下：（3）列表如下：化学生物政治历史地理化学生物、化学政治、化学历史、化学地理、化学生物化学、生物政治、生物历史、生物地理、生物政治化学、政治生物、政治历史、政治地理、政治历史化学、历史生物、历史政治、历史地理、历史地理化学、地理生物、地理政治、地理历史、地理由表可知，共有20种等可能结果，其中该同学恰好选中化学、历史两科的有2种结果，所以该同学恰好选中化学、历史两科的概率为21= 2010．点睛：本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B 的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．21、见解析，4 9 .【解题分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两次抽取的卡片上的数字都是偶数的结果数，然后根据概率公式求解．【题目详解】解：画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中两次抽取的卡片上的数字都是偶数的结果数为4，所以两次抽取的卡片上的数字都是偶数的概率＝49．【题目点拨】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．22、(1) 反比例函数的解析式为y=6x，一次函数的解析式为y=﹣12x+1．(2)2.【解题分析】（1）根据反比例函数y2=mx的图象过点A（2，3），利用待定系数法求出m，进而得出B点坐标，然后利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）设直线y1=kx+b与x轴交于C，求出C点坐标，根据S△AOB=S△AOC﹣S△BOC，列式计算即可．【题目详解】（1）∵反比例函数y2=mx的图象过A（2，3），B（6，n）两点，∴m=2×3=6n，∴m=6，n=1，∴反比例函数的解析式为y=6x，B的坐标是（6，1）．把A（2，3）、B（6，1）代入y1=kx+b，得：2361k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：124kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴一次函数的解析式为y=﹣12x+1．（2）如图，设直线y=﹣12x+1与x轴交于C，则C（2，0）．S△AOB=S△AOC﹣S△BOC=12×2×3﹣12×2×1=12﹣1=2．【题目点拨】本题考查了待定系数法求反比例函数、一次函数解析式以及求三角形面积等知识，根据已知得出B点坐标以及得出S△AOB=S△AOC﹣S△BOC是解题的关键．23、（1）y=﹣30x+1；（2）每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润2元；（3）该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装360件．【解题分析】(1) 每星期的销售量等于原来的销售量加上因降价而多销售的销售量, 代入即可求解函数关系式;(2) 根据利润=销售量⨯(销售单价-成本) , 建立二次函数, 用配方法求得最大值.(3) 根据题意可列不等式, 再取等将其转化为一元二次方程并求解, 根据每星期的销售利润所在抛物线开口向下求出满足条件的x的取值范围, 再根据(1) 中一元一次方程求得满足条件的x的取值范围内y的最小值即可.【题目详解】（1）y＝300+30（60﹣x）＝﹣30x+1．（2）设每星期利润为W元，W＝（x﹣40）（﹣30x+1）＝﹣30（x﹣55）2+2．∴x＝55时，W最大值＝2．∴每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润2元．（3）由题意（x﹣40）（﹣30x+1）≥6480，解得52≤x≤58，当x＝52时，销售300+30×8＝540，当x＝58时，销售300+30×2＝360，∴该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装360件．【题目点拨】本题主要考查一次函数的应用和二次函数的应用,注意综合运用所学知识解题.24、（1）24yx=；（1）C（﹣1，﹣4），x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜1．【解题分析】【分析】（1）作高线AC，根据等腰直角三角形的性质和点A的坐标的特点得：x=1x﹣1，可得A的坐标，从而得双曲线的解析式；（1）联立一次函数和反比例函数解析式得方程组，解方程组可得点C的坐标，根据图象可得结论．【题目详解】（1）∵点A在直线y1=1x﹣1上，∴设A（x，1x﹣1），过A作AC⊥OB于C，∵AB⊥OA，且OA=AB，∴OC=BC，∴AC=12OB=OC，∴x=1x﹣1，x=1，∴A（1，1），∴k=1×1=4，∴24yx=；（1）∵224y xyx=-⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：1122xy=⎧⎨=⎩，2214xy=-⎧⎨=-⎩，∴C（﹣1，﹣4），由图象得：y1＜y1时x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜1．【题目点拨】本题考查了反比例函数和一次函数的综合；熟练掌握通过求点的坐标进一步求函数解析式的方法；通过观察图象，从交点看起，函数图象在上方的函数值大．25、15天【解题分析】试题分析：首先设规定的工期是x天，则甲工程队单独做需（x-1）天，乙工程队单独做需（x+6）天，根据题意可得等量关系：乙工程队干x天的工作量+甲工程队干4天的工作量=1，根据等量关系列出方程，解方程即可．试题解析：设工程期限为x天．根据题意得，x41 x6x-1+= +解得：x=15.经检验x=15是原分式方程的解．答：工程期限为15天.26、（1）作图见解析；（2）作图见解析.【解题分析】试题分析：利用正六边形的特性作图即可.试题解析：（1）如图所示（答案不唯一）：（2）如图所示（答案不唯一）：27、（1）①见解析；②见解析；（1）1π．【解题分析】（1）①利用点平移的坐标规律，分别画出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点可得△A1B1C1；②利用网格特点和旋转的性质，分别画出点A1、B1、C1的对应点A1、B1、C1即可；（1）根据弧长公式计算．【题目详解】（1）①如图，△A1B1C1为所作；②如图，△A1B1C1为所作；（1）点C1在旋转过程中所经过的路径长＝9042 180ππ⨯=【题目点拨】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移的性质．。
2022-2023学年广东省广州市越秀区高二(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年广东省广州市越秀区高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 6＝12，S 6＝42，则{a n }的公差为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．已知f （x ）＝x 3+x 2，则f （x ）的单调递减区间是（ ） A ．(−∞，−23) B ．(−23，0)C ．（0，+∞）D ．(−∞，−23)和（0，+∞）3．设函数f （x ）在R 上可导，其导函数为f '（x ），且函数f （x ）在x ＝﹣2处取得极大值，则函数y ＝xf '（x ）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4．随着广州的城市生态环境越来越好，越来越多的家庭选择市区景点轻松度周末．现有两个家庭，他们分别从“南沙海滨公园”、“白云山”、“海珠湿地公园”、“大夫山森林公园”、“火炉山森林公园”这5个户外景点中随机选择1个景点度周末．记事件A 为“两个家庭中至少有一个家庭选择白云山”，事件B 为“两个家庭选择的景点不同”，则P （B |A ）＝（ ） A ．23B ．78C ．89D ．9105．某区进行高二数学期末调研测试，数学测试成绩X ～N （78，9），如果按照16%，34%，34%，16%的比例将考试成绩由高到低分为A ，B ，C ，D 四个等级，则A 等级的分数线应该是（ ） 参考数据：若X ～N （μ，σ2），则P （|X ﹣μ|≤σ）≈0.68，P （|X ﹣μ|≤2σ）≈0.96． A ．69B ．81C ．87D ．966．某外贸工厂今年的月份x 与订单y （单位：万元）的几组对应数据如下：变量x ，y 具有线性相关关系，其经验回归方程为：y =b x +a ，则估计10月份该厂的订单数为（ ）参考数据：∑ 5i=1y i =175，∑x i y i 5i=1=608，∑ 5i=1x i 2=55参考公式：b =∑(x i −x)(y i −y)ni=1∑ n i=1(x i −x)2=∑x i y i−nxyni=1∑x i 2−nx2ni=1A ．93.1B ．89.9C ．83.1D ．59.97．下列说法正确的是（ ）A ．在进行回归分析时，残差平方和越大，决定系数R 2越大B ．随机变量X 的方差为2，则D （2X +1）＝5C ．随机变量ξ～B （n ，p ），若E （ξ）＝30，D （ξ）＝20，则n ＝45D ．安排4名飞行员同时到3所不同的学校作报告，每所学校至少安排一名飞行员，则不同的安排方法有36种8．已知f （x ）＝2lnx ﹣x ，g(x)=−12tx 2+2tx ，t ∈R ，则下列说法正确的是（ ） A ．当t ＜ln 2﹣1时，函数f （x ）的图象和函数g （x ）的图象有两个公共点 B ．当ln 2﹣1＜t ＜0时，函数f （x ）的图象和函数g （x ）的图象只有一个公共点C ．当t ≤−12或t ≥0时，函数f （x ）的图象和函数g （x ）的图象没有公共点D ．当−12＜t ＜ln2−1时，函数f （x ）的图象和函数g （x ）的图象只有一个公共点二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列关于(1−√x)10的说法，正确的是（ ） A ．展开式的各二项式系数之和是1024 B ．展开式各项系数之和是1024 C ．展开式的第5项的二项式系数最大 D ．展开式的第3项为45x10．设数列{a n }满足a 1＝﹣1，a n+1=a n2+5a n（n ∈N *），则（ ） A ．{1a n+5}为等比数列 B ．{a n }的通项公式为a n =12n+1−5C ．{a n }为递减数列D ．{1a n}的前n 项和T n =2n+2−5n −411．费马原理是几何光学中的一条重要原理，可以推导出双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知F 1、F 2分别是以y =±34x 为渐近线且过点A(4√2，3)的双曲线C 的左、右焦点，在双曲线C 右支上一点P （x 0，y 0）（x 0＞4，y 0＞0）处的切线l 交x 轴于点Q ，则（ ）A ．双曲线C 的离心率为√74B ．双曲线C 的方程为x 216−y 29=1C ．过点F 1作F 1K ⊥PQ ，垂足为K ，则|OK |＝8D ．点Q 的坐标为(16x 0，0)12．已知函数f （x ）＝x （1﹣lnx ），下列选项正确的是（ ） A ．f （x ）有最大值 B ．f(3e )＜f(1e )C ．若x ≥e 时，f （x ）﹣a （e ﹣x ）≤0恒成立，则a ≤1D ．设x 1，x 2为两个不相等的正数，且lnx 1x 1−lnx 2x 2=1x 2−1x 1，则1x 1+1x 2＞2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（x +y ）（x ﹣y ）5的展开式中x 2y 4的系数是 （用数字作答）．14．在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误的接收为1或0．已知发送信号0时，接收到0和1的概率分别为0.9和0.1；发送给信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05．假设发送信号0和1是等可能的，则接收的信号为1的概率是 ；若已知接收的信号为1，则发送的信号是1的概率是 ． 15．已知函数f （x ）在R 上满足2f(x)=f(2−x)+x 2+4x −4−sinπxπ，则曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程是 ．16．已知数列{a n }满足2n a 1+2n−1a 2+⋯+22a n−1+2a n =2n −n 2−1，若c n =1√a +a ，则数列{c n }的前n 项和T n ＝ ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2﹣b 2+c 2＝4，sinB =√24． （1）求△ABC 的面积； （2）若sinAsinC =√147，求b ．18．（12分）已知数列{a n }满足a 1＝1，a n+1={2a n ，n 为奇数，3a n ，n 为偶数.．（1）记b n ＝a 2n ，证明数列{b n }为等比数列，并求数列{b n }的通项公式； （2）求{a n }的前2n 项和T 2n ．19．（12分）为了有针对性提高学生体育锻炼的积极性，某校需了解性别因素对本校学生体育锻炼的经常性是否有影响，调查团队对学校内的学生进行简单随机抽样调查，得到如下列联表：（1）根据以上调查结果，采用样本量比例分配的分层随机抽样，在经常进行体育锻炼的学生中抽取8人，再从这8人中随机选取4人访谈，记参与访谈的女生人数为X ，求X 的分布列和数学期望； （2）依据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析体育锻炼的经常性是否与性别有关．参考公式和数据如下：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d20．（12分）如图，矩形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直，AB ＝2，M 是CD ̂上异于C ，D 的点．（1）证明：平面AMC ⊥平面AMD ； （2）当三棱锥M ﹣ABC 的最大体积为√33时，求直线DM 与平面MAB 所成角的余弦值．21．（12分）随着社会快速发展，学生的成长环境也不断发生变化，学生的心理健康越来越受到全社会的关注．某高校为了了解学生的心理健康情况，在全校大学生中开展了心理健康测试，随机抽取了50名学生的测试成绩，按照[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分组，得到如下所示的样本频率分布直方图：（1）用样本的频率估计概率，从该高校所有学生中随机抽取2名学生的成绩，记成绩在[80，100]的人数为X ，求X 的分布列和数学期望；（2）为了促进在校大学生的心理健康，该校开设了心理健康教育课程，课程中有一项传彩球的活动，甲乙丙三人传彩球，第一次由甲将彩球传出，每次传出时传球者都等可能地将彩球传给另外两个人中的任何一人．①求第二次传球后彩球在乙手上的概率；②记第i 次传球后彩球在乙手上的概率为p i ，求p i ．22．（12分）已知函数f(x)=x +e xa，g （x ）＝sin x ，其中a 为实数，e 是自然对数的底数． （1）若a ＝﹣1时，证明：∀x 1，x 2∈R ，f （x 1）≤g （x 2）；（2）若h （x ）＝f （x ）﹣g （x ）在（0，π）上有唯一的极值点，求实数a 的取值范围．2022-2023学年广东省广州市越秀区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a6＝12，S6＝42，则{a n}的公差为（）A．1B．2C．3D．4解：由题意可知：S6=6(a1+a6)2=3(a1+12)=42，解得a1＝2，所以{a n}的公差d=a6−a16−1=2．故选：B．2．已知f（x）＝x3+x2，则f（x）的单调递减区间是（）A．(−∞，−23)B．(−23，0)C．（0，+∞）D．(−∞，−23)和（0，+∞）解：∵f（x）＝x3+x2，∴f′（x）＝3x2+2x＝x（3x+2），令f′（x）＜0，解得：−23＜x＜0，故f（x）的递减区间是（−23，0）．故选：B．3．设函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x），且函数f（x）在x＝﹣2处取得极大值，则函数y＝xf'（x）的图象可能是（）A．B．C．D．解：∵函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x＝﹣2处取得极大值，∴当x ＞﹣2时，f ′（x ）＜0； 当x ＝﹣2时，f ′（x ）＝0； 当x ＜﹣2时，f ′（x ）＞0．∴当0＞x ＞﹣2时，xf ′（x ）＞0；x ＞0时，xf ′（x ）＜0； 当x ＝﹣2时，xf ′（x ）＝0； 当x ＜﹣2时，xf ′（x ）＜0． 故选：D ．4．随着广州的城市生态环境越来越好，越来越多的家庭选择市区景点轻松度周末．现有两个家庭，他们分别从“南沙海滨公园”、“白云山”、“海珠湿地公园”、“大夫山森林公园”、“火炉山森林公园”这5个户外景点中随机选择1个景点度周末．记事件A 为“两个家庭中至少有一个家庭选择白云山”，事件B 为“两个家庭选择的景点不同”，则P （B |A ）＝（ ） A ．23B ．78C ．89D ．910解：根据题意，现有两个家庭，他们分别从这5个户外景点中随机选择1个景点度周末，有5×5＝25种选择方法，若两个家庭中至少有一个家庭选择白云山，则有25﹣16＝9种选法，则P （A ）=925， 若两个家庭选择的景点不同且至少有一个家庭选择白云山，有C 21C 41=8种选法，则P （AB ）=825，故P （B |A ）=P(AB)P(A)=825925=89．故选：C ．5．某区进行高二数学期末调研测试，数学测试成绩X ～N （78，9），如果按照16%，34%，34%，16%的比例将考试成绩由高到低分为A ，B ，C ，D 四个等级，则A 等级的分数线应该是（ ） 参考数据：若X ～N （μ，σ2），则P （|X ﹣μ|≤σ）≈0.68，P （|X ﹣μ|≤2σ）≈0.96． A ．69B ．81C ．87D ．96解：数学测试成绩X ～N （78，9）， 则μ＝78，σ=√9=3， 故P （X ＞μ+σ）=1−P(|X−μ|≤σ)2≈0.16， 故A 等级的分数线应该是μ+σ＝78+3＝81． 故选：B ．6．某外贸工厂今年的月份x 与订单y （单位：万元）的几组对应数据如下：变量x ，y 具有线性相关关系，其经验回归方程为：y =b x +a ，则估计10月份该厂的订单数为（ ）参考数据：∑ 5i=1y i =175，∑x i y i 5i=1=608，∑ 5i=1x i 2=55参考公式：b =∑(x i −x)(y i −y)ni=1∑ n i=1(x i −x)2=∑x i y i−nxyni=1∑x i 2−nx2ni=1A ．93.1B ．89.9C ．83.1D ．59.9解：x =1+2+3+4+55=3，y =15∑ 5i=1y i=175＝35，∑x i y i 5i=1=608，∑ 5i=1x i 2=55，∴b =∑ 5i=1x i y i −5xy ∑ 5i=1x i2−5x2=608−5×3×3555−5×32=8310=8.3， a =y −b x =35−8.3×3=10.1．∴y 关于x 的线性回归方程为y =8.3x +10.1， 取x ＝10，可得y =8.3×10+10.1=93.1． 故选：A ．7．下列说法正确的是（ ）A ．在进行回归分析时，残差平方和越大，决定系数R 2越大B ．随机变量X 的方差为2，则D （2X +1）＝5C ．随机变量ξ～B （n ，p ），若E （ξ）＝30，D （ξ）＝20，则n ＝45D ．安排4名飞行员同时到3所不同的学校作报告，每所学校至少安排一名飞行员，则不同的安排方法有36种解：对于选项A ：因为残差平方和越大，决定系数R 2越小，故A 错误； 对于选项B ：因为D （2X +1）＝4D （X ）＝8，故B 错误；对于选项C ：因为{E(ξ)=np =30D(ξ)=np(1−p)=20，解得{n =90p =13，故C 错误； 对于选项D ：可知必有一个学校安排了两名飞行员，先分组有C 42=6种不同安排方法，再分配到3个学校有A 33=6种不同安排方法， 共有6×6＝36种不同安排方法，故D 正确．故选：D．8．已知f（x）＝2lnx﹣x，g(x)=−12tx2+2tx，t∈R，则下列说法正确的是（）A．当t＜ln2﹣1时，函数f（x）的图象和函数g（x）的图象有两个公共点B．当ln2﹣1＜t＜0时，函数f（x）的图象和函数g（x）的图象只有一个公共点C．当t≤−12或t≥0时，函数f（x）的图象和函数g（x）的图象没有公共点D．当−12＜t＜ln2−1时，函数f（x）的图象和函数g（x）的图象只有一个公共点解：已知f（x）＝2lnx﹣x，g(x)=−12tx2+2tx，t∈R，不妨设h（x）＝f（x）﹣g（x）＝2lnx﹣x+12tx2+2tx，函数定义域为（0，+∞），要求函数f（x）的图象和函数g（x）的图象的公共点的个数，即求函数h（x）的零点个数，可得ℎ′(x)=2x−1+tx−2t=(x−2)(t−1x)，若t＜0，当0＜x＜2时，h′（x）＞0，h（x）单调递增；当x＞2时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，所以当x＝2时，函数h（x）取得极大值也是最大值，最大值h（2）＝2（ln2﹣1）﹣2t，易知f′(x)=2x−1，当0＜x＜2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以当x＝2时，函数f（x）取得极大值也是最大值，最大值f（2）＝2ln2﹣2＜0，则当x＞2时，h（x）＜12tx2−2tx，不妨设k（x）=12tx2−2tx，可得k′（x）＝tx﹣2t＝t（x﹣2），当t＜0，x＞2时，函数k（x）=12tx2−2tx单调递减，此时k（x）＜k（2）＝﹣2t，所以当t＜0，x＞2时，函数h（x）的值域为（﹣∞，2（ln2﹣1）﹣2t），当t＜0，0＜x＜2时，易知函数m（x）=12tx2+2tx﹣x是开口向下的二次函数，所以当0＜x＜2时，m（x）＞min{m（0）m（2）}，则函数y＝2lnx在0＜x＜2上的值域为（﹣∞，2ln2），此时当t＜0，0＜x＜2时，函数h（x）的值域为（﹣∞，2（ln2﹣1）﹣2t），综上，当t＜0时，函数h（x）的值域为（﹣∞，2（ln2﹣1）﹣2t]，当2（ln2﹣1）﹣2t＞0，即t＜ln2﹣1时，函数h（x）有两个零点，故选项A正确；因为ln2＞ln√e=1 2，所以ln2﹣1＞−1 2，易知当t≤−12或−12＜t＜ln2﹣1时，函数h（x）有两个零点，故选项C、D错误；当ln2﹣1＜t＜0时，2（ln2﹣1）﹣2t＜0此时函数h（x）无零点，故选项B错误．故选：A．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列关于(1−√x)10的说法，正确的是（）A．展开式的各二项式系数之和是1024B．展开式各项系数之和是1024C．展开式的第5项的二项式系数最大D．展开式的第3项为45x解：对于(1−√x)10，它的展开式的各二项式系数之和是210＝1024，故A正确．令x＝1，可得展开式各项系数之和是（1﹣1）10＝0，故B错误．根据二项式系数C10r的性质，可得当r＝5时，二项式系数C10r最大，即第六项的二项式系数最大，故C正确．展开式的第三项为T3=C102•(−√x)2=45x，故D正确．故选：AD．10．设数列{a n}满足a1＝﹣1，a n+1=a n2+5a n（n∈N*），则（）A．{1a n +5}为等比数列B．{a n}的通项公式为a n=12n+1−5C ．{a n }为递减数列D ．{1a n}的前n 项和T n =2n+2−5n −4解：对于A ，由题意可得1a n+1=2a n+5，即1a n+1+5=2(1a n+5)，所以{1a n+5}是以1a 1+5为首项，以2为公比的等比数列，A 正确； 对于B ，由于1a 1+5=−1+5＝4，所以1a n+5=4×2n ﹣1＝2n +1，所以a n =12n+1−5，B 正确；对于C ，由于a 1＝﹣1＜0，a 2=123−5=13＞0＞a 1，所以{a n }不是递减数列，C 错误； 对于D ，由上可知1a n=2n+1−5，所以T n =4(1−2n)1−2−5n =2n +2﹣5n ﹣4，D 正确．故选：ABD ．11．费马原理是几何光学中的一条重要原理，可以推导出双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知F 1、F 2分别是以y =±34x 为渐近线且过点A(4√2，3)的双曲线C 的左、右焦点，在双曲线C 右支上一点P （x 0，y 0）（x 0＞4，y 0＞0）处的切线l 交x 轴于点Q ，则（ ） A ．双曲线C 的离心率为√74B ．双曲线C 的方程为x 216−y 29=1C ．过点F 1作F 1K ⊥PQ ，垂足为K ，则|OK |＝8D ．点Q 的坐标为(16x 0，0)解：对于A ，设双曲线方程为x 2a 2−y 2b 2=1，由题意知a ＝4，b ＝3，所以双曲线方程为x 216−y 29=1，由于c =√16+9=5，所以e =ca =54，A 错误； 对于B ，由上可知B 正确；对于C ，当P 点横坐标趋于无穷大时，其切线近似为渐近线，不妨设其切线为y =34x ，则直线F 1K 为y =−43（x +5），联立二式解得x =−165，y =−125，此时|OK |=√(165)2+(125)2=4，C 错误； 对于D ，将x 216−y 29=1变形为9x 2﹣16y 2＝144，左右同时对x 求导得18x ﹣32yy ′＝0，当x 0＞4，y 0＞0，y ′=9x16y =9x16√9(x 216−1)=34x√x 2−16，所以P 点切线方程为y −34√x 02−16=340√x 0−16（x ﹣x 0），令y ＝0，解得x =16x 0，D 正确． 故选：BD ．12．已知函数f （x ）＝x （1﹣lnx ），下列选项正确的是（ ） A ．f （x ）有最大值 B ．f(3e )＜f(1e )C ．若x ≥e 时，f （x ）﹣a （e ﹣x ）≤0恒成立，则a ≤1D ．设x 1，x 2为两个不相等的正数，且lnx 1x 1−lnx 2x 2=1x 2−1x 1，则1x 1+1x 2＞2解：对于选项A ：已知f （x ）＝x （1﹣lnx ），函数定义域为（0，+∞）， 可得f ′（x ）＝1﹣lnx ﹣1＝﹣lnx ，当0＜x ＜1时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增； 当x ＞1时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减，所以当x ＝1时，函数f （x ）取得极大值也是最大值，最大值f （1）＝1，故选项A 正确； 对于选项B ：因为f(3e)=3e(1−ln 3e)=3(2−ln3)e ，f(1e )=1e (1−ln 1e )=2e， 所以f(3e )−f(1e )=3(2−ln3)e −2e =4−3ln3e=1e ln e 427＞0， 则f(3e )＞f(1e )，故选项B 错误；对于选项C ：不妨设g （x ）＝f （x ）﹣a （e ﹣x ），函数定义域为[e ，+∞）， 可得g ′（x ）＝﹣lnx +a ， 因为g （e ）＝0，若x ≥e 时，f （x ）﹣a （e ﹣x ）≤0恒成立， 可得当x ≥e 时，g （x ）≤0恒成立， 此时F ′（e ）＝﹣1+a ≤0， 解得a ≤1， 若a ≤1，此时g '（x ）＝﹣lnx +a ≤0恒成立， 所以g （x ）在[e ，+∞）上单调递减， 则g （x ）≤g （e ）＝0，符合题意，综上，满足条件的a 的取值范围为（﹣∞，1]，故选项C 正确；对于选项D ：因为x 1，x 2为两个不相等的正数，且lnx 1x 1−lnx 2x 2=1x 2−1x 1，所以1x 1(1−ln1x 1)=1x 2(1−ln1x 2)，即f(1x 1)=f(1x 2)，因为函数f （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， 当x →0时，f （x ）→0， 当0＜x ＜e 时，f （x ）＞0， 不妨设0＜1x 1＜1＜1x 2＜e ，不妨设h （x ）＝f （1+x ）﹣f （1﹣x ），函数定义域为（0，1），可得h ′（x ）＝f ′（1+x ）+f ′（1﹣x ）＝﹣ln （1+x ）﹣ln （1﹣x ）＝﹣ln （1﹣x 2）＞0恒成立， 所以函数h （x ）在（0，1）上单调递增， 此时g （x ）＞g （0）＝0，所以当0＜x ＜1时，f （1+x ）＞f （1﹣x ）， 即当0＜x ＜1时，f （2﹣x ）＞f （x ）， 整理得f(1x 2)=f(1x 1)＜f （2−1x 1），因为函数f （x ）在（1，+∞）上单调递增，且1＜2−1x 1＜2，1＜1x 2＜e ，所以1x 2＞2−1x 1，即1x 1+1x 2＞2，故选项D 正确．故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（x +y ）（x ﹣y ）5的展开式中x 2y 4的系数是 ﹣5 （用数字作答）．解：（x ﹣y ）5展开式的通项为T k+1=C 5k x 5−k (−y)k =(−1)k C 5k x 5−k y k ，令5﹣k ＝2，则k ＝3，令5﹣k ＝1，则k ＝4，所以（x +y ）（x ﹣y ）5的展开式中x 2y 4的系数是(−1)3C 53+(−1)4C 54=−10+5=−5．故答案为：﹣5．14．在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误的接收为1或0．已知发送信号0时，接收到0和1的概率分别为0.9和0.1；发送给信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05．假设发送信号0和1是等可能的，则接收的信号为1的概率是0.525 ；若已知接收的信号为1，则发送的信号是1的概率是 1921．解：设事件A 表示“接收的信号为1”， 则P （A ）=12×0.1+12×0.95=0.525， 设事件B 表示“发送的信号是1”， 则P （AB ）=12×0.95=0.475， 所以P （B |A ）=P(AB)P(A)=0.4750.525=1921，即已知接收的信号为1，则发送的信号是1的概率为1921．故答案为：0.525；1921．15．已知函数f （x ）在R 上满足2f(x)=f(2−x)+x 2+4x −4−sinπxπ，则曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程是 7x ﹣3y ﹣4＝0 ． 解：由2f(x)=f(2−x)+x 2+4x −4−sinπxπ，① 以2﹣x 替换x ，可得2f （2﹣x ）＝f （x ）+(2−x)2+4(2−x)−4−sin(2π−πx)π， 即2f （2﹣x ）＝f （x ）+x 2−8x +8+sinπxπ，② 联立①②解得：f （x ）=x 2−sinπx3π．∴f ′（x ）＝2x −13cosπx ，则f （1）＝1，f ′（1）=73，则曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程是y =73(x −1)+1， 即7x ﹣3y ﹣4＝0． 故答案为：7x ﹣3y ﹣4＝0．16．已知数列{a n }满足2n a 1+2n−1a 2+⋯+22a n−1+2a n =2n −n 2−1，若c n =1√a +a ，则数列{c n }的前n 项和T n ＝ 2（√n +1−1） ．解：由题意得2n a 1+2n ﹣1a 2+…+23a n ﹣1+22a n +2a n +1＝2n +1−n+12−1，与原式作差可得2a n +1+2n −n 2−1=（2n +1−n+12−1）﹣（2n −n2−1）， 化简得a n +1=n+14，所以a n =n4， 所以c n ＝2×1√n+1+√n=2×（√n +1−√n ），T n ＝2×（√2−√1+√3−√2+⋯+√n +1−√n ）＝2（√n +1−1）． 故答案为：2（√n +1−1）．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2﹣b 2+c 2＝4，sinB =√24． （1）求△ABC 的面积； （2）若sinAsinC =√147，求b ．解：（1）因为a 2﹣b 2+c 2＝4＞0，可得B 为锐角，因为sin B =√24，所以cos B =√144，则b 2＝a 2+c 2﹣4，由余弦定理可得b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ＝a 2+c 2﹣2ac •√144， 所以√142ac ＝4，解得ac =4√147，所以S △ABC =12ac sin B =12×4√147×√24=√77；（2）由正弦定理可得；a sinA=c sinC=b sinB，所以sin A =ab sin B ，sin C =c b sin B ， 所以sin A sin C =ac b2•sin 2B ，而ac =4√147，sin B =√24，sin A sin C =√147， 所以b 2=acsin 2B sinAsinC=4√147⋅(√24)2√147=12，解得b =√22．18．（12分）已知数列{a n }满足a 1＝1，a n+1={2a n ，n 为奇数，3a n ，n 为偶数.．（1）记b n ＝a 2n ，证明数列{b n }为等比数列，并求数列{b n }的通项公式； （2）求{a n }的前2n 项和T 2n ．解：（1）证明：2n 为偶数，2n +1为奇数， 所以a 2n +1＝3a 2n ，a 2n +2＝2a 2n +1＝6a 2n ， 即b n +1＝a 2n +2＝6a 2n ＝6b n ， 又b 1＝a 2＝2a 1＝2，所以数列{b n }是以2为首项，以6为公比的等比数列，所以b n＝2•6n﹣1；（2）由题意T2n＝1+2+6+12+36+72+…+6n+2•6n＝（1+6+…+6n）+（2+12+…+2•6n）＝3×（1+6+…+6n）＝3×1−6n1−6=35⋅6n−35．19．（12分）为了有针对性提高学生体育锻炼的积极性，某校需了解性别因素对本校学生体育锻炼的经常性是否有影响，调查团队对学校内的学生进行简单随机抽样调查，得到如下列联表：（1）根据以上调查结果，采用样本量比例分配的分层随机抽样，在经常进行体育锻炼的学生中抽取8人，再从这8人中随机选取4人访谈，记参与访谈的女生人数为X，求X的分布列和数学期望；（2）依据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析体育锻炼的经常性是否与性别有关．参考公式和数据如下：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+b+c+d解：（1）根据题意可知：抽取8人中有3030+10×8=6名女生，1030+10×8=2名男生，则X的可能取值为2，3，4，P(X=4)=C20C64C84=314，P(X=3)=C21C63C84=47，P(X=2)=C22C62C84=314，所以X的分布列为：期望E(X)=2×314+3×47+4×314=3；（2）零假设为H0：学生的性别与喜欢体育锻炼之间无关联，因为χ2=50(5×10−30×5)235×15×10×40=5021≈2.381＜3.841=x0.05，根据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H 0成立，即学生的性别与喜欢体育锻炼之间无关联． 20．（12分）如图，矩形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直，AB ＝2，M 是CD ̂上异于C ，D 的点．（1）证明：平面AMC ⊥平面AMD ； （2）当三棱锥M ﹣ABC 的最大体积为√33时，求直线DM 与平面MAB 所成角的余弦值．（1）证明：因为AD ⊥CD ，平面ABCD ⊥平面CDM ，平面ABCD ∩平面CDM ＝CD ， AD ⊂平面ABCD 所以AD ⊥平面CDM ，且CM ⊂平面CDM ，则AD ⊥CM ， 又因为DM ⊥CM ，AD ∩DM ＝D ，AD ，DM ⊂平面ADM ，所以CM ⊥平面ADM ， 且CM ⊂平面AMC ，所以平面AMC ⊥平面AMD ．（2）解：因为平面ABCD ⊥平面CDM ，平面ABCD ∩平面CDM ＝CD ， 则点M 在平面ABCD 上的投影均在直线CD 上，且△ABC 的面积为定值， 可知三棱锥M ﹣ABC 的最大体积，即三棱锥M ﹣ABC 的高最大， 此时点M 为CD̂的中点，三棱锥M ﹣ABC 的高为12CD =1，则13×1×12×2×BC =√33， 解得BC =√3，矩形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直， 则AD 、BC ⊥半圆弧CD 所在平面，则AD ⊥DM ，BC ⊥CM ，可得MC =MD =√2，MA =MB =√5，在△MAB 中，边AB 上的高ℎ=√5−1=2， 设点D 到平面MAB 的距离为d ，直线DM 与平面MAB 所成角为θ∈[0，π2]， 因为V M ﹣ABD ＝V D ﹣ABM ，即13×1×12×2×√3=13×d ×12×2×2，解得d =√32， 则直线DM 与平面MAB 所成角的正弦值sinθ=dDM =√322=√64，所以直线DM 与平面MAB 所成角的余弦值cosθ=√1−sin 2θ=√104．21．（12分）随着社会快速发展，学生的成长环境也不断发生变化，学生的心理健康越来越受到全社会的关注．某高校为了了解学生的心理健康情况，在全校大学生中开展了心理健康测试，随机抽取了50名学生的测试成绩，按照[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分组，得到如下所示的样本频率分布直方图：（1）用样本的频率估计概率，从该高校所有学生中随机抽取2名学生的成绩，记成绩在[80，100]的人数为X，求X的分布列和数学期望；（2）为了促进在校大学生的心理健康，该校开设了心理健康教育课程，课程中有一项传彩球的活动，甲乙丙三人传彩球，第一次由甲将彩球传出，每次传出时传球者都等可能地将彩球传给另外两个人中的任何一人．①求第二次传球后彩球在乙手上的概率；②记第i次传球后彩球在乙手上的概率为p i，求p i．解：（1）由题意可知：该高校所有学生中随机抽取1名学生的成绩，成绩在[80，100]的概率为10×0.04+10×0.02＝0.6，可知X～B（2，0.6），且X的可能取值为0，1，2，则有：P(X=0)=(1−0.6)2=0.16，P(X=1)=C21×0.6×(1−0.6)=0.48，P(X=2)=0.62=0.36，所以X的分布列为：期望E（X）＝2×0.6＝1.2；（2）①若第二次传球后彩球在乙手上，则第一次传球后彩球在丙手上，第二次由丙传球给乙，所以第二次传球后彩球在乙手上概率为P=12×12=14；②第i次传球后彩球在乙手上的概率为p i，即第i次传球后彩球在甲、丙手上的概率为1﹣p i，再由甲、丙传球给乙，所以第i+1次传球后彩球在乙手上的概率为p i+1=12(1−p i)，可得p i+1−13=−12(p i−13)，且p1=12，p1−13=16≠0，所以数列{p i }是以首项p 1−13=16，公比q =−12的等比数列， 则p i −13=16×(−12)i−1=−13×(−12)i ，可得p i =13[1−(−12)i ]． 22．（12分）已知函数f(x)=x +e xa ，g （x ）＝sin x ，其中a 为实数，e 是自然对数的底数． （1）若a ＝﹣1时，证明：∀x 1，x 2∈R ，f （x 1）≤g （x 2）；（2）若h （x ）＝f （x ）﹣g （x ）在（0，π）上有唯一的极值点，求实数a 的取值范围． （1）证明 a ＝﹣1时，f （x ）＝x ﹣e x ， 要证明∀x 1，x 2∈R ，f （x 1）≤g （x 2）； 即证明f （x ）max ≤g （x ）min ， 而f ′（x ）＝1﹣e x ，令f ′（x ）＞0，解得x ＜0，令f ′（x ）＜0，解得x ＞0， 故f （x ）在（﹣∞，0）递增，在（0，∞）递减， 故f （x ）max ＝f （0）＝﹣1；而g （x ）＝sin x ，故g （x ）min ＝﹣1， 故f （x ）max ≤g （x ）min ， 原结论成立． （2）解：h （x ）＝x +e xa−sin x 在（0，π）上有唯一的极值点， 等价于h ′（x ）=e xa +1﹣cos x ＝0在（0，π）上有唯一的变号零点，h ′（x ）＝0等价于1a=cosx−1e x，设t （x ）=cosx−1e x，x ∈（0，π）， t ′（x ）=−sinx−cosx+1e x =1−√2sin(x+π4)e x，∵x ∈（0，π），∴x +π4∈（π4，5π4），当0＜x ＜π2时，x +π4∈（π4，3π4），sin （x +π4）＞√22， t ′（x ）＜0，t （x ）在（0，π2）上为减函数， 当π2＜x ＜π时，x +π4∈（3π4，5π4），sin （x +π4）＜√22， t ′（x ）＞0，t （x ）在（π2，π）上为增函数，∴函数t （x ）的极小值也是最小值为t （π2）=−1e π2， 又t （0）＝0，t （π）=−2e π， 所以当−2e π≤a ＜0时，方程1a =cosx−1e x在（0，π）上有唯一的变号零点， 所以1a的取值范围是[−2e π，0），∴a 的取值范围是（﹣∞，−e π2]．。
2023-2024学年广东省广州市越秀区高一上学期期末质量检测数学试题(含解析)
2023-2024学年广东省广州市越秀区高一上册期末数学试题一、单选题1．设全集{}1,2,3,5,8U =，集合M 满足{}1,8U M =ð，，则（）A ．1M ∈B ．2M∉C ．3M∈D ．5M∉【正确答案】C【分析】根据补集的定义求出{}235M =，，，即可得到结果.【详解】因为{}1,8U M =ð，所以{}235M =，，，则3M ∈，所以C 正确.故选：C.2．对于实数,,a b c ，“a b >”是“22ac bc >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B【详解】试题分析：由于不等式的基本性质，“a ＞b”⇒“ac ＞bc ”必须有c ＞0这一条件．解：主要考查不等式的性质．当c=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边．故选B 不等式的性质点评：充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件．3．不等式26190x x --<的解集是（）A ．∅B ．RC ．13⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【正确答案】D【分析】由一元二次不等式的解法求解即可.【详解】不等式26190x x --<可化为29610x x -+>，即2(31)0x ->，解得13x ≠，故原不等式的解集为11,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.4．某企业为了响应落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备．在过滤过程中，污染物含量M （单位：mg/L ）与时间t （单位：h ）之间的关系为0e ktW M -=（其中0M ，k 是正常数）．已知经过1h ，设备可以过滤掉50%的污染物，则过滤掉90%的污染物需要的时间约为（结果精确到0.1h ，参考数据：lg 20.3010≈）（）A ．3.0hB ．3.3hC ．6.0hD ．6.6h【正确答案】B【分析】由题意可得e 0.5k -=，进而得()0.10.5t=，利用指数与对数的关系可得0.5log 0.1t =，再用换底公式结合对数的运算性质求解即可.【详解】由题意可知()00150%e kM M --=，所以e 0.5k -=，设过滤90%的污染物需要的时间为t ，则()00190%e ktM M --=，所以()()0.1e e 0.5ttkt k --===，所以0.5lg 0.1111log 0.1 3.3lg 0.5lg 20.311200lg t -====≈≈.故选：B.5．已知函数log ,log ,log ,log a b c d y x y x y x y x ====①②③④的大致图象如图所示，则（）A ．a c b a +<+B ．a d b c +<+C ．b c a d +<+D ．b d a c+<+【正确答案】A【分析】作直线1y =，则由log 1a a =，可得01c d a b <<<<<，进而由不等式性质可以判断A 正确，由不等式可加性可判断BCD 错误.【详解】作直线1y =，则由log 1a a =，可得01c d a b <<<<<，则由不等式性质可得a c b a +<+，所以A 正确.由不等式可加性可得a c b d +<+，故D 错误，不能推出B 、C ，故B 、C 错误.故选：A.6．方程e 410x x -+=的实数解所在的一个区间是（）A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【正确答案】C【分析】利用函数零点存在定理即可求解.【详解】设()e 41xf x x =-+，1211e 41022f -⎛⎫-=+⨯+> ⎪⎝⎭，()00e 40120f =-⨯+=>，1211e 411022f ⎛⎫=-⨯+=> ⎪⎝⎭，()1e 41e 30f =-+=-<，3233e 41022f ⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭，所以()1102f f ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，所以存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()00f x =，所以方程e 410x x -+=的实数解所在的一个区间是1,12⎛⎫⎪⎝⎭.故选：C.7．下列函数中，最小正周期为π2，且在π(,0)4-上单调递减的是（）A ．)πsin(42y x =+B ．)πcos(42y x =-C ．tan(π2)y x =+D ．|sin(π2)|y x =+【正确答案】D【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，根据周期公式及三角函数的性质进行求解判断.【详解】c πsin(4)os 42y x x =+=，函数的最小正周期为π2；当)π(,04x ∈-时，4(π,0)x ∈-，则此函数在区间π(,0)4-上单调递增，故A 错误；s πcos(4)in 42y x x =-=，函数的最小正周期为π2；当)π(,04x ∈-时，4(π,0)x ∈-，则此函数在区间(,π48)π--上是单调递减，在区间()π8,0-上是单调递增，故B 错误；tan(π2)tan 2y x x =+=，函数的最小正周期为π2；当)π(,04x ∈-时，π2(,0)2x ∈-，则此函数在区间π(,0)4-上单调递增，故C 错误；|sin(π2)||sin 2||sin 2|y x x x =+=-=，因为sin 2y x =的最小正周期为π，则此函数的最小正周期为π2；当)π(,04x ∈-时，π2(,0)2x ∈-，|sin 2|sin 2y x x ==-，则此函数在区间π(,0)4-上单调递减，故D 正确.故选：D.8．设3log 2a =，5log 3b =，8log 5c =，则A ．b a c <<B ．a b c<<C ．b<c<aD ．c<a<b【正确答案】B【分析】根据对数函数的性质，结合基本不等式，即可得出结果.【详解】由对数性质，可得：(),,0,1a b c ∈，2255555l g 3l g 8l g 24log 3log 8122o o o +⎛⎫⎛⎫⋅<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，5851log 3log 5log 8∴<=，即b c <；而3332log 2log log 3a ==，5552log 3log log 3b ==>=，综上所述，a bc <<.故选：B.本题主要考查比较对数式的大小，熟记对数函数的性质即可，涉及基本不等式的应用，属于常考题型.二、多选题9．已知命题2:R,10p x x x ∀∈-+>，则（）A ．命题p 是真命题B ．命题p 的否定是“2R,10x x x ∀∈-+=”C ．命题p 是假命题D ．命题p 的否定是“2R,10x x x ∃∈-+≤”【正确答案】AD【分析】利用配方法可判断命题的真假，根据全称命题的否定是特称命题写出命题的否定．【详解】2213R,1024x x x x ⎛⎫∀∈-+=-+> ⎪⎝⎭，则命题p 是真命题；命题p 的否定是“2R,10x x x ∃∈-+≤”，故A 、D 正确．故选：AD ．10．已知幂函数()y f x =的图象过点(，则（）A ．()12f x x =B ．()f x 的值域是[0,)+∞C ．()f x 是偶函数D ．()f x 在(0,)+∞上是减函数【正确答案】AB【分析】求出幂函数的解析式，然后根据幂函数的性质判断即可.【详解】设()f x x α=，∵()y f x =的图象过点(，∴1233α==，∴12α=，∴12()f x x =，从而可得，()f x 的定义域为[0,)+∞，值域是[0,)+∞，()f x 既不是奇函数也不是偶函数，在[0,)+∞上是增函数，故A 、B 正确；C 、D 错误.故选：AB.11．已知5sin 13π3x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，且ππ32x <<，则（）A ．5sin 13π6x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭B ．12cos 132π3x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭C ．tan 12π53x ⎛⎫= ⎪⎝-⎭D ．5cos 135π6x ⎛⎫-=⎪⎝⎭【正确答案】BCD【分析】根据角的范围及三角函数同角关系式求得cos 3x ⎛⎫- ⎪⎝⎭π，tan π3x -⎛⎫⎪⎝⎭．由sin sin 2πππ63x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦结合诱导公式计算求解可判断A ；由πc c 2ππ3s 3o os x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦结合诱导公式计算求解可判断B ；由tan tan ππ33x x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝-⎭-⎝⎭结合诱导公式计算求解可判断C ；由πc 2os 5ππ6s 3co x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦结合诱导公式计算求解可判断D.【详解】由ππ32x <<得ππ063x -<-<，则12cos 13π3x -⎛⎫== ⎪⎝⎭，tan 12π53x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-.12sin sin cos 213ππππ633x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故A 错误；12cos cos cos 132ππππ333x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故B 正确；tan ta 2ππ533n 1x x ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--，故C 正确；5cos cos sin 135ππππ6233x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=--= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 正确.故选：BCD.12．已知01a b <<<，则（）A ．b aa b <B ．log log a b b a >C ．log log 2a b b a +>D ．sin(sin )sin a b<【正确答案】ACD【分析】由x y a =的单调性可得b a a a <，由a y x =的单调性可得a a a b <，从而可判断A ；由log ,log a b y x y x ==的单调性可得log log ,log log a a b b a b a b ∴>>，从而可判断B ；由基本不等式可判断C ；利用结论：当π(0,)2x ∈时，sin x x <，可判断D.【详解】0< 1,x a y a <∴=在(0,)+∞上单调递减，又,b a a b a a <∴<，0,a a y x >∴= 在(0,)+∞上单调递增，由a b <得a a a b <，b a a b ∴<，故A 正确；由01a b <<<可知log ,log a b y x y x ==在(0,)+∞上均单调递减，log log ,log log a a b b a b a b ∴>>，log 1log a b b a ∴<<，故B 错误；由01a b <<<，可知lg lg log 0,log 0lg lg a b b a b a a b =>=>，因此lg lg log log 2lg lg a b b a b a a b +=+≥=，当且仅当a b =取等号，但已知01a b <<<，故等号不成立，从而得log log 2a b b a +>，故C 正确；当π(0,)2x ∈时，sin x x <．π012a b <<<< ，π0sin 2a ab ∴<<<<，又sin y x =在π(0,)2单调递增，所以sin(sin )sin sin a a b <<，故D 正确．故选：ACD ．三、填空题13．若函数()f x =的定义域为A ，函数()()lg 2g x x =-的定义域为B ，则A ∩B =______.【正确答案】()1,2-【分析】先求得集合A B 、，再利用交集定义即可求得A B ⋂.【详解】()f x =的定义域为()1,-+∞；函数()()lg 2g x x =-的定义域为(),2-∞，则A B = ()1,2-.故()1,2-14．已知tan 2a =，则()2sin cos αα-=__________.【正确答案】15##0.2【分析】利用同角三角函数的基本关系，构造齐次式求解即可．【详解】()2222222sin cos 2sin cos tan 12tan sin cos sin cos 1tan 51ααααααααααα+-+--===++．故答案为.15四、双空题15．函数1101x y a a a -=+>≠(，)的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是_____；若点P 在直线100)mx ny m n +=>>(，上，则21m n+的最小值为______.【正确答案】(1,2)；8【分析】利用指数幂的运算即可求得点P 的坐标，利用均值定理即可求得21m n+的最小值.【详解】当1x =时，1112a -+=，则函数1101x y a a a -=+>≠(，)的图象恒过定点(1,2)P ，点P 在直线100)mx ny m n +=>>(，上，可得2100)m n m n +=>>(，，则21214(2)4448n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（当且仅当122m n ==时等号成立）故(1,2)；8五、填空题16．数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形ABC ，再分别以点A ，B ，C 为圆心，线段AB 长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）．若莱洛三角形的周长为π2，则其面积是___________.【正确答案】π8-【分析】根据图形分析，利用扇形面积和三角形的面积公式，即可求解.【详解】莱洛三角形的周长为π2，可得弧长6πA BCB AC===，则等边三角形的边长π16π23AB BC AC====，分别以点A、B、C为圆心，圆弧,,AB BC AC所对的扇形面积均为1π1π26224⨯⨯=，等边ABC的面积1122416S=⨯⨯=，所以莱洛三角形的面积是ππ3224168⨯-⨯.故答案为六、解答题17．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点34,55P⎛⎫-⎪⎝⎭(1)求sin cosαα+的值；(2)求sin(π)cos(π)πtan(2π)sin()2αααα--+++的值.【正确答案】(1)15-；(2)14【分析】（1）先利用三角函数定义求得sin cos αα、的值，进而求得sin cos αα+的值；（2）先求得tan α的值，再利用三角函数诱导公式即可求得该式的值.【详解】（1）角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则43sin ,cos 55αα=-=，则431sin cos 555αα+=-+=-；（2）由（1）得43sin ,cos 55αα=-=，则4tan 3α=-，则sin(π)cos(π)sin cos πtan cos tan(2π)sin()2αααααααα--++=++41sin cos tan 1134sin tan 43ααααα-+++====-18．已知函数()a f x x x=+.(1)若()15f =，判断()f x 的奇偶性，并说明理由；(2)若()43f =，判断()f x 在(0,)+∞上的单调性，并加以证明.【正确答案】(1)()f x 是奇函数，理由见解析(2)()f x 在(0,)+∞上的单调递增，证明见解析【分析】（1）由(1)5f =求出a ，从而得()f x ，由函数奇偶性的定义求解即可；（2）由()43f =求出a ，从而得()f x ，由函数单调性的定义进行判断证明即可.【详解】（1）()f x 是奇函数，理由如下：∵()af x x x=+，且()15f =，∴15a +=，解得4a =∴4()f x x x=+，定义域为(,0)(0,)-∞+∞ 又44()()()()f x x x f x x x-=-+=-+=--所以()f x 为奇函数.（2）()f x 在(0,)+∞上的单调递增，理由如下：∵()af x x x=+，且()43f =，∴434a +=，解得4a =-，∴4()f x x x=-设120x x <<，则2121212112()()()()4(14)4f x f x x x x x x x x x --=-=-+-∵120x x <<，∴21x x -0>，12410x x +>故21()()0f x f x ->，即21()()f x f x >所以()f x 在(0,)+∞上的单调递增.19．已知函数1π()sin(0,R)23f x x x ωω=->∈的最小正周期为π.(1)求()f x 的单调递减区间；(2)求()f x 在区间π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值.【正确答案】(1)5π11ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)()f x 在区间π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为4，最小值为14-.【分析】（1）根据周期可以求出2ω=，进而求出()f x 的单调递减区间；（2）根据π3π,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦求出π2π7π2,336x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，进而求出()f x 在区间π3π,24⎡⎤⎢⎣⎦上的最大值与最小值.【详解】（1）由题意可得2πT==πω，则2ω=，则1π()sin(2)23f x x =-，所以()f x 的单调递减区间需要满足：ππ3π2π22π(Z)232k x k k +≤-≤+∈，解得5π11πππ(Z)1212k x k k +≤≤+∈，所以()f x 的单调递减区间为.5π11ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）由（1）知1π()sin(2)23f x x =-，因为π3π,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则π2π7π2,336x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以π1sin(2),32x ⎡-∈-⎢⎣⎦，则1(),4f x ⎡∈-⎢⎣⎦，所以()f x 在区间π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦14-.20．已知函数||1()()2x f x a b =+的图象过点()0,2，且无限接近直线1y =但又不与该直线相交．(1)求函数()y f x =的解析式：(2)解关于x 的不等式3(ln )2f x <．【正确答案】(1)()||112x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)()10,e,e ⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据图象过点()0,2得,a b 的关系，根据图象无限接近直线1y =但又不与该直线相交求出b ，从而得解；（2）利用指数函数和对数函数的单调性求解即可．【详解】（1）由图象过点()0,2，得()02f a b =+=，∵函数||1()()2x f x a b =+无限接近直线1y =，但又不与该直线相交，∴1b =，从而1a =，∴()||112x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（2）由3(ln )2f x <得|ln |13122x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即|ln |1122x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，则ln 1x >，所以ln 1x <-或ln 1x >，解得10ex <<或e x >．所以不等式3(ln )2f x <的解集为()10,e,e ⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭．21．某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售人员的销售利润不低于10万元时，按其销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售人员的销售利润x （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过其销售利润的25%．现有三个奖励模型：80.2, 1.02,log 1x y x y y x ===+，请分别判断这三个模型是否符合公司的要求？并说明理由．（参考数据： 1.028log 581.274,log 1000 3.322≈≈，当8x ≥时，8log 10.25x x +≤恒成立）【正确答案】奖励模型8log 1y x =+符合公司的要求，理由见解析【分析】由题意，符合公司要求的模型需同时满足：当[10,1000]x ∈时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③25%y x ≤⋅，根据函数的性质一一验证即可．【详解】由题意，符合公司要求的模型需同时满足：当[10,1000]x ∈时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③25%y x ≤⋅．对于0.2y x =，易知满足①，但当25x >时，>5y ，不符合公司的要求；对于 1.02x y =，易知满足①，但当82x ≥时， 1.02o 82l g 51.0251.02y >≥=，不符合公司的要求；对于8log 1y x =+，函数在[10,1000]上单调递增，而且函数的最大值8log 1000 3.3225≈<，因而满足①②，因为当8x ≥时，8log 10.25x x +≤恒成立，所以当[10,1000]x ∈时，8log 125%x x +<⋅，满足③，故符合公司的要求．综上，奖励模型8log 1y x =+符合公司的要求．22．对于定义在I 上的函数()f x ,若存在实数0x I ∈,使得()00f x x =,则称0x 是函数()f x 的一个不动点,已知2()2(0)f x ax x a =-+≠有两个不动点12,x x ,且122x x <<(1)求实数a 的取值范围；(2)设[]()log ()a F x f x x =-，证明：()F x 在定义域内至少有两个不动点.【正确答案】(1)10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)证明见解析【分析】（1）由题意，得到210ax x -+=的两个实数根为12,x x ，设2()1p x ax x =-+，根据二次函数的图象与性质，列出不等式即可求解；（2）把()F x x =可化为()2log 22a ax x x -+=，设2()220p x ax x =-+=的两个实数根为,m n ，根据1x =是方程()g x x =的实数根，得出()2()220n n h n a an n a =--+=>，结合函数()h x 单调性，即可求解．【详解】（1）因为函数()f x 有两个不动点12,x x ，所以方程()f x x =，即2220ax x -+=的两个实数根为12,x x ，记2()22p x ax x =-+，则()p x 的零点为1x 和2x ，因为122x x <<，所以(2)0a p ⋅<，即(42)0a a -<，解得102a <<，所以实数a 的取值范围为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．（2）因为()2()log [()]log 22a a F x f x x ax x =-=-+方程()F x x =可化为()2log 22a ax x x -+=，即2222220x a ax x ax x ⎧=-+⎨-+>⎩设2()22p x ax x =-+，因为10,4(12)02a a <<∆=->，所以()0=p x 有两个不相等的实数根．设2()220p x ax x =-+=的两个实数根为,m n ，不妨设m n <．因为函数2()22p x ax x =-+图象的对称轴为直线1x a =，且1112(1)0,2,20,20p a p p a a a a ⎛⎫⎛⎫=>>=-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以121m n a a <<<<．记()2()22x h x a ax x =--+，因为(1)0h =，且(1)0p a =>，所以1x =是方程()F x x =的实数根，所以1是()F x 的一个不动点，()2()220n n h n a an n a =--+=>，因为102a <<，所以24024,222a h a a a a ⎛⎫>=-<-< ⎪⎝⎭，且()h x 的图象在2,n a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象是不间断曲线，所以0,2x n a ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，又因为()p x 在2,n a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()0()0p x p n >=，所以0x 是()F x 的一个不动点，综上，()F x 在(,)a +∞上至少有两个不动点．。