99数学竞赛试卷
1999年全国初中数学竞赛试题及答案（推荐五篇）
1999年全国初中数学竞赛试题及答案（推荐五篇）第一篇：1999年全国初中数学竞赛试题及答案1999年全国初中数学竞赛试卷一、选择题（本题共6小题，每小题5分，满分30分．每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个是正确的．请将正确答案的代号填在题后的括号里）1．一个凸n边形的内角和小于1999°，那么n的最大值是（）．A．11 B．12 C．13 D．142．某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费．已知某用户4月份的煤气费平均每立方米0.88元，那么4月份该用户应交煤气费（）．A．60元 B．66元 C．75元 D．78元3．已知，那么代数式的值为（）．A． B．－ C．－ D．4．在三角形ABC中，D是边BC上的一点，已知AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，那么三角形ABC的面积是（）．A．30 B．36 C．72 D．1255．如果抛物线与x轴的交点为A，B，项点为C，那么三角形ABC的面积的最小值是（）．A．1 B．2 C．3 D．46．在正五边形ABCDE所在的平面内能找到点P，使得△PCD与△BCD的面积相等，并且△ABP为等腰三角形，这样的不同的点P的个数为（）．A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题（本题共6小题，每小题5分，满分30分）7．已知，那么x + y的值为．28．如图1，正方形ABCD的边长为10cm，点E在边CB的延长线上，且EB=10cm，点2P在边DC上运动，EP与AB的交点为F．设DP=xcm，△EFB 与四边形AFPD的面积和为ycm，那么，y与x之间的函数关系式是（0＜x＜10）．9．已知ab≠0，a + ab－2b = 0，那么的值为．10．如图2，已知边长为1的正方形OABC在直角坐标系中，A，B两点在第Ⅰ象限内，OA与x轴的夹角为30°，那么点B的坐标是．11．设有一个边长为1的正三角形，记作A1（如图3），将A1的每条边三等分，在中间的线段上向形外作正三角形，去掉中间的线段后所得到的图形记作A2（如图4）；将A2的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A3（如图5）；再将A3的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A4，那么A4的周长是． 2212．江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等．如果用两台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完．如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机台．三、解答题（本题共3小题，每小题20分，满分60分）13．设实数s，t分别满足19s + 99s + 1 = 0，t + 99t + 19 = 0，并且st≠1，求的值．14．如图6，已知四边形ABCD内接于直径为3的圆O，对角线AC是直径，对角线AC和BD的交点是P，AB=BD，且PC=0.6，求四边形ABCD的周长．15．有人编了一个程序：从1开始，交错地做加法或乘法（第一次可以是加法，也可以是乘法）每次加法，将上次的运算结果加2或加3；每次乘法，将上次的运算结果乘2或乘3．例如，30可以这样得到：．（1）（10分）证明：可以得到22；10097（2）（10分）证明：可以得到2 + 2－2．1999年全国初中数学竞赛答案一、1．C 2．B 3．D 4．B 5．A 6．D二、7．10 8．y = 5x + 50 9． 10． 11． 12．6三、13．解：∵s≠0，∴第一个等式可以变形为：又∵st≠1，．∴，t是一元二次方程x + 99x + 19 = 0的两个不同的实根，于是，有．即st + 1 =－99s，t = 19s．∴．14．解：设圆心为O，连接BO并延长交AD于H．∵AB=BD，O是圆心，∴BH⊥AD．又∵∠ADC=90°，∴BH∥CD．从而△OPB∽△CPD．∴CD=1．于是AD=又OH=CD=，于是．，2AB=BC=所以，四边形ABCD的周长为15．证明：（1），．．．也可以倒过来考虑：．（或者（2．））．或倒过来考虑：．注意：加法与乘法必须是交错的，否则不能得分．第二篇：19届全国初中数学竞赛试题及答案“《数学周报》杯”2019年全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若，则的值为（）．（A）（B）（C）（D）解：由题设得．2．若实数a，b满足，则a的取值范围是（）．（A）a≤（B）a≥4（C）a≤或a≥4（D）≤a≤4解．C因为b是实数，所以关于b的一元二次方程的判别式≥0,解得a≤或a≥4．3．如图，在四边形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB=，BC=，CD＝，则AD边的长为（）．（A）（B）（C）（D）（第3题）解：D如图，过点A，D分别作AE，DF垂直于直线BC，垂足分别为E，F．由已知可得（第3题）BE=AE=，CF＝，DF＝2，于是EF＝4＋．过点A作AG⊥DF，垂足为G．在Rt△ADG中，根据勾股定理得AD＝．4．在一列数……中，已知，且当k≥2时，（取整符号表示不超过实数的最大整数，例如，），则等于（）．(A)(B)(C)(D)解：B由和可得，，，，……因为2010=4×502+2，所以=2．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B 旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，……，重复操作依次得到点P1，P2，…，则点P2010的坐标是（）．（A）（2010，2）（B）（2010，）（C）（2012，）（D）（0，2）解：B由已知可以得到，点，的坐标分别为（2，0），（2，）．（第5题）记，其中．根据对称关系，依次可以求得：，，．令，同样可以求得，点的坐标为（），即（），由于2010=4502+2，所以点的坐标为（2010，）．二、填空题6．已知a＝－1，则2a3＋7a2－2a－12的值等于．解：0由已知得(a＋1)2＝5，所以a2＋2a＝4，于是2a3＋7a2－2a－12＝2a3＋4a2＋3a2－2a－12＝3a2＋6a－12＝0．7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t分钟，货车追上了客车，则t＝．解：15设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S千米，小轿车、货车、客车的速度分别为（千米/分），并设货车经x分钟追上客车，由题意得，①，②．③由①②，得，所以，x=30．故（分）．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE 分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是．（第8题（第8题）解：如图，延长BC交x轴于点F；连接OB，AFCE，DF，且相交于点N．由已知得点M（2，3）是OB，AF的中点，即点M为矩形ABFO 的中心，所以直线把矩形ABFO分成面积相等的两部分．又因为点N （5，2）是矩形CDEF的中心，所以，过点N（5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分．于是，直线即为所求的直线．设直线的函数表达式为，则解得,故所求直线的函数表达式为．9．如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D．若CD＝CF，则．（第9题）解：见题图，设．因为Rt△AFB∽Rt△ABC，所以．又因为FC＝DC＝AB，所以即，解得，或（舍去）．又Rt△∽Rt△，所以，即=．10．对于i=2，3，…，k，正整数n除以i所得的余数为i－1．若的最小值满足，则正整数的最小值为．解：因为为的倍数，所以的最小值满足，其中表示的最小公倍数．由于，因此满足的正整数的最小值为．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．如图，△ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC上的一点，BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径，连接EF.求证：（第12A题）．（第12B题）（第11题）（第12B题）证明：如图，连接ED，FD.因为BE和CF都是直径，所以ED⊥BC，FD⊥BC，因此D，E，F三点共线.…………（5分）连接AE，AF，则，所以，△ABC∽△AEF.…………（10分）（第11题）作AH⊥EF，垂足为H，则AH=PD.由△ABC∽△AEF可得，从而，所以.…………（20分）12．如图，抛物线（a0）与双曲线相交于点A，B.已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）.（1）求实数a，b，k的值；（2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标.解：（1）因为点A（1，4）在双曲线上，所以k=4.故双曲线的函数表达式为.（第12题）设点B（t，），AB所在直线的函数表达式为，则有解得，.于是，直线AB与y轴的交点坐标为，故，整理得，解得，或t＝（舍去）．所以点B的坐标为（，）．因为点A，B都在抛物线（a0）上，所以解得…（10分）（2）如图，因为AC∥x轴，所以C（，4），于是CO＝4.又BO=2，所以.设抛物线（a0）与x轴负半轴相交于点D，则点D的坐标为（，0）.（第12题）因为∠COD＝∠BOD＝，所以∠COB=.（i）将△绕点O顺时针旋转，得到△.这时，点(，2)是CO的中点，点的坐标为（4，）.延长到点，使得=，这时点（8，）是符合条件的点.（ii）作△关于x轴的对称图形△，得到点（1，）；延长到点，使得＝，这时点E２（2，）是符合条件的点．所以，点的坐标是（8，），或（2，）.…………（20分）13．求满足的所有素数p和正整数m.解：由题设得，所以，由于p是素数，故，或.……（5分）（1）若，令，k是正整数，于是，故，从而.所以解得…………（10分）（2）若，令，k是正整数.当时，有，故，从而，或2.由于是奇数，所以，从而.于是这不可能.当时，；当，无正整数解；当时，无正整数解.综上所述，所求素数p=5，正整数m=9.…………（20分）14．从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？解：首先，如下61个数：11，，…，（即1991）满足题设条件.（5分）另一方面，设是从1，2，…，2010中取出的满足题设条件的数，对于这n个数中的任意4个数，因为，所以.因此，所取的数中任意两数之差都是33的倍数.…………（10分）设，i=1，2，3，…，n.由，得，所以，即≥11.…………（15分）≤，故≤60.所以，n≤61.综上所述，n的最大值为61.…………（20分）第三篇：1996年全国初中数学竞赛试题及答案1996年全国初中数学联赛试题A．M＞NB．M=NC．M＜ND．不确定A．有一组 B．有二组C．多于二组D．不存在3．如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA=2，AB是圆O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连结AC，则阴影部分的面积等于 [ ]4．设x1、x2是二次方程x2+x-3=0的两个根，那么x13-4x22+19的值等于 []A．-4B．8C．6D．05．如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的 []A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心6．如果20个点将某圆周20等分，那么顶点只能在这20个点中选取的正多边形的个数有 []A．4个 B．8个C．12个D．24个2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABN=∠MBC，BM=NM，BN=a，则点N到边BC的距离等于______．3．设1995x3=1996y3=1997z3，xyz＞0，且4．如图，将边长为1的正方形ABCD绕A点按逆时针方向旋转60°至AB＇C＇D＇的位置，则这两个正方形重叠部分的面积是______．5.某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男人和n个女生的捐款总数相等，都是(m·n+9m+11n+145)元，已知每人的捐款数相同，且都是整数元，求每人的捐款数．6.设凸四边形ABCD的对角线AC、BD的交点为M，过点M作AD的平行线分别交AB、CD于点E、F，交BC的延长线于点O，P是以O为圆心OM为半径的圆上一点（位置如图所示），求证：∠OPF=∠OEP．三、（本题满分25分）已知a、b、c都是正整数，且抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点A、B，若A、B到原点的距离都小于1，求a+b+c的最小值．1996年全国初中数学联赛参考答案第一试一、选择题 1．B 2．A 3．B 4．D 5．A 6．C二、填空题一、据题意m+11=n+9，且整除mn+9m+11n+145mn+9m+11n+145=(m+11)(n+9)+46，故m+11，n+9都整除46，由此得综上可知，每人捐款数为25元或47元．二、作AD、BO的延长线相交于G，∵OE而，三、据题意，方程ax2+bx+c=0有两个相异根，都在( 1，0)中，故经检验，符合题意，∴a+b+c=11最小．第四篇：全国初中数学竞赛试题及答案(1995年)中国数学教育网1995年全国初中数学联赛试题第一试一、选择题1．已知a＝355,b＝444,c＝533,则有［]A．a＜b＜c B．c＜b＜aC．c＜a＜bD．a＜c＜bA．1 B．2C．3D．4 3．如果方程(x－1)(x2－2x－m)＝0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m的取值范围是4．如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为［]A．62π B．63π C．64π D．65π 5．设AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，且与弦AB相交，记M＝｜S△CAB－S△DAB｜，N＝2S△OAB，则 []A．M＞NB．M＝NC．M＜N D．M、N的大小关系不确定6．设实数a、b满足不等式｜｜a｜－(a＋b)｜＜｜a－|a＋b｜｜，则[]A．a＞0且b＞0 B．a＜0且b＞0 C．a＞0且b＜0 D．a＜0且b＜0二、填空题1．在12，22，32…，952这95个数中，十位数字为奇数的数共有____个。
1999年全国高中数学联赛试卷及详细解析
1999年全国高中数学联合竞赛试卷第一试一、选择题本题共有6小题，每题均给出（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1． 给定公比为q (q ≠1)的等比数列{a n }，设b 1=a 1+a 2+a 3, b 2=a 4+a 5+a 6,…, b n =a 3n -2+a 3n -1+a 3n ,…，则数列{b n }【答】（ ）(A ) 是等差数列 (B ) 是公比为q 的等比数列(C ) 是公比为q 3的等比数列 (D ) 既非等差数列也非等比数列2． 平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么，满足不等式 (|x |-1)2+(|y |-1)2＜2的整点(x ,y )的个数是 【答】（ ） (A ) 16 (B ) 17 (C ) 18 (D ) 253． 若(log 23)x-(log 53)x≥(log 23)y --(log 53)y-，则 【答】（ ）(A ) x -y ≥0 (B ) x +y ≥0 (C ) x -y ≤0 (D ) x +y ≤0 4． 给定下列两个关于异面直线的命题：命题Ⅰ：若平面α上的直线a 与平面β上的直线b 为异面直线，直线c 是α与β的交线，那么，c 至多与a ,b 中的一条相交；命题Ⅱ：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线。
那么 【答】（ ） (A ) 命题Ⅰ正确，命题Ⅱ不正确 (B ) 命题Ⅱ正确，命题Ⅰ不正确 (C ) 两个命题都正确 (D ) 两个命题都不正确 5． 在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。
那么，在上述3名选手之间比赛的场数是 【答】（ ）(A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) 36． 已知点A (1,2)，过点(5,-2)的直线与抛物线y 2=4x 交于另外两点B ,C ，那么，△ABC 是(A ) 锐角三角形 (B ) 钝角三角形 (C ) 直角三角形 (D ) 不确定 【答】（ ）二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。
1999年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案
即 (s + 1) (t + 1) = - 4. 因此,
kA B
kA C =
2t t2 -
2 1
2s s2 -
2 1
=
(s +
4 1) (t +
1) = -
1.
所以 ∠B A C = 90°, 从而 △A B C 是直角三角形. 故选
(C ).
二、填空题
1. 已知正整数 n 不超过 2000, 并且能表示成不
(C ) 是公比为 q3 的等比数列
(D ) 既非等差数列又非等比数列
解 由题设, an = a1qn- 1, 则
bn+ 1 = bn =
a3n+ 1 + a3n+ 2 + a3n+ 3
a3n- 2 + a3n- 1 + a3n a1q3n + a1q3n+ 1 + a1q3n+ 2 a1q3n- 3 + a1q3n- 2 + a1q3n- 1
c2 =
9a2 + 9b2 2 9c2
9c2
=
19c2 2
- 9c2 9c2
=
5 9
.
4.
已知点 P
在双曲线 x 2 16
-
y2 9
=
1 上, 并且 P 到
这条双曲线的右准线的距离恰是 P 到这条双曲线的
两个焦点 的 距 离 的 等 差 中 项, 那 么 P 的 横 坐 标 是
.
解 记半实轴、半虚轴、半焦距的长分别为 a、b、
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中学数学 1999 年第 12 期
0 ≤ f (bn+ 1) - f (bn) ≤ (an+ 1 - bn+ 1) 2, 由前面的 f (x ) = n (x - bn) 2 + f (bn) 得
全国初中数学竞赛试题及答案(1999年)[1]
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1999年全国初中数学联合竞赛试卷第一试（4月4日上午8:30--9:30）考生注意：本试两大题共10道小题，每题7分。
全卷满分70分。
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6个小题，每小题都给出了（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后的圆括号内。
每小题选对得7分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分。
1、计算的值是（）。
（A）1；（B）－1；（C）2；（D）－2。
2、△ABC的周长是24，M是AB的中点，MC＝MA＝5，则△ABC的面积是（）。
（A）12；（B）16；（C）24；（D）30。
3、设，将一次函数与的图象画在同一平面直角坐标系内，则有一组的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（）。
4、若函数，则当自变量取1、2、3、…、100这100个自然数时，函数值的和是（）。
（A）540；（B）390；（C）194；（D）97。
5、如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝998，DC＝1001，AD＝1999，点P 在线段AD上，则满足条件∠BPC＝90°的点P的个数为（）。
（A）0；（B）1；（C）2；（D）不小于3的整数。
6、有下列三个命题：（甲）若是不相等的无理数，则是无理数；（乙）若是不相等的无理数，则是无理数；（丙）若是不相等的无理数，则是无理数。
其中正确命题的个数是（）。
（A）0；（B）1；（C）2；（D）3。
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）本题共有4道小题，要求直接把答案写在横线上。
1、已知且，则＝________。
2、如图，在△ABC中，∠B＝36°，∠ACB＝128°，∠CAB的平分线交BC于M，△ABC的外接圆的切线AN交BC的延长线于N，则△ANM的最小角等于________。
3、已知为整数，且满足，则＝________。
4、在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且∠NMB＝∠MBC，则tg∠ABM＝________。
1999年全国高中数学联赛试卷及答案
1999年全国高中数学联赛试题第一试一、选择题本题共有6小题，每题均给出（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1． 给定公比为q (q ≠1)的等比数列{a n }，设b 1=a 1+a 2+a 3, b 2=a 4+a 5+a 6,…,b n =a 3n -2+a 3n -1+a 3n ,…，则数列{b n } 【答】（ ） (A ) 是等差数列 (B ) 是公比为q 的等比数列 (C ) 是公比为q 3的等比数列 (D ) 既非等差数列也非等比数列2． 平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么，满足不等式(|x |-1)2+(|y |-1)2＜2的整点(x ,y )的个数是 【答】（ ） (A ) 16 (B ) 17 (C ) 18 (D ) 253． 若(log 23)x -(log 53)x ≥(log 23)y --(log 53)y-，则 【答】（ ）(A ) x -y ≥0 (B ) x +y ≥0 (C ) x -y ≤0 (D ) x +y ≤0 4． 给定下列两个关于异面直线的命题：命题Ⅰ：若平面α上的直线a 与平面β上的直线b 为异面直线，直线c 是α与β的交线，那么，c 至多与a ,b 中的一条相交；命题Ⅱ：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线。
那么 【答】（ ） (A ) 命题Ⅰ正确，命题Ⅱ不正确 (B ) 命题Ⅱ正确，命题Ⅰ不正确 (C ) 两个命题都正确 (D ) 两个命题都不正确5． 在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。
那么，在上述3名选手之间比赛的场数是 【答】（ ） (A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) 36． 已知点A (1,2)，过点(5,-2)的直线与抛物线y 2=4x 交于另外两点B ,C ，那么，△ABC 是(A ) 锐角三角形 (B ) 钝角三角形 (C ) 直角三角形 (D ) 不确定 【答】（ ）二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。
1999年全国初中数学联合竞赛试题
1999年全国初中数学联合竞赛试卷第一试（4月4日上午8:30--9:30）考生注意：本试两大题共10道小题，每题7分。
全卷满分70分。
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6个小题，每小题都给出了（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后的圆括号内。
每小题选对得7分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分。
1、计算的值是（）。
（A）1；（B）－1；（C）2；（D）－2。
2、△ABC的周长是24，M是AB的中点，MC＝MA＝5，则△ABC的面积是（）。
（A）12；（B）16；（C）24；（D）30。
3、设，将一次函数与的图象画在同一平面直角坐标系内，则有一组的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（）。
4、若函数，则当自变量取1、2、3、…、100这100个自然数时，函数值的和是（）。
（A）540；（B）390；（C）194；（D）97。
5、如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝998，DC＝1001，AD＝1999，点P在线段AD上，则满足条件∠BPC＝90°的点P的个数为（）。
（A）0；（B）1；（C）2；（D）不小于3的整数。
6、有下列三个命题：（甲）若是不相等的无理数，则是无理数；（乙）若是不相等的无理数，则是无理数；（丙）若是不相等的无理数，则是无理数。
其中正确命题的个数是（）。
（A）0；（B）1；（C）2；（D）3。
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）本题共有4道小题，要求直接把答案写在横线上。
1、已知且，则＝________。
2、如图，在△ABC中，∠B＝36°，∠ACB＝128°，∠CAB的平分线交BC于M，△ABC的外接圆的切线AN交BC的延长线于N，则△ANM的最小角等于________。
3、已知为整数，且满足，则＝________。
4、在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且∠NMB＝∠MBC，则tg∠ABM＝________。
1999年全国高中数学联合竞赛试题及解答.
A. x y 0 ◆答案：B
B. x y 0
x
) log 5 3 ，则( C. x y 0 D. x y 0
y y x
★ 解 析 ： 记 f ( x ) log 2 3 log 5 3 ， 则 f ( x ) 在 R 上 单 调 递 增 ， 则 原 不 等 式 等 价 于
x 1 y 1
2
2
2 的整点 ( x, y ) 的个数是(
C. 18
2
) D. 25
A. 16 ◆答案：A
B. 17
2
★解析： 由 | x | 1 | y | 1 2 ,可得 | x | 1, | y | 1 为 0,0 ， 0,1 ，0,1 ，1,0 或 1,0 . 从而，不难得到 ( x, y ) 共有 16 个. 1999*3、若 log 2 3 log 5 3 log 2 3
◆答案： 6 ★解析：首项为 a 的连续 k 个正整数之和为 S k 由于 S k 2000 ，得 60 k 62 ，于是
2a k 1k
2
k (k 1) 2
当 k 60 时， S k 60a 30 59 2000 ，得 a 3 ，此时 S k 1830,1890,1950 ； 当 k 61 时， S k 61a 30 61 2000 ，得 a 2 ，此时 S k 1891,1952 ； 当 k 62 时， S k 62a 31 61 2000 ，得 a 1 ，此时 S k 1953 ； 综上，这样的 n 有 6 个。 1999*8、已知 arctan
2
2
2
1999中国数学奥林匹克
第十四届中国数学奥林匹克(1999年)
1.在锐角△ABC中，∠C >∠B，点D是边BC上一点，使得∠ADB是钝角，
H是△ABD的垂心，点F在△ABC内部且在△ABD的外接圆周上。
求证点F是△ABC垂心的充份必要条件是：HD平行于CF且H在△ABC的外接圆周上。
2.给定实数a，设实数多项式序列{ f n(x) }满足f0(x)=1，f n+1(x)=xf n(x)+f n(ax)，
其中n=0, 1, ...。
1.求证：f n(x)=x n f n(1/x)，其中n=0, 1, ...。
2.求证：f n(x)的明显表达式。
3.MO太空城由99个空间站组成，全两空间站之间有管形通道相联。
规定
其中99条通道为双向通行的主干道，其余通道严格单向通行，如果某四个空间站可以通过它们之间的通道从其中任一站到达另外任一站，则称这四个站的集合为一个互通四站组。
试为MO太空城设计一个方案，使得互通四站组的数目最大(请具体算出该最大数，并证明你的结论)。
4.设m是给定的整数，求证：存在整数a、b和k，其中a、b均不能被2整
除，k≧0，使得2m=a19+b99+k × 21999。
5.求最大的实数λ，使得当实系数多项式f(x)=x3+ax2+bx+c的所有根都是非
负实数时，只要x≧0，就有f(x)≧λ(x - a)3。
并问上式中等号何时成立？
6.设4x4x4的大正方体由64个单位正方体组成。
选取其中的16个单位正方
体涂成红色，使得大正方体中每个由4个单位正方体椭成的1x1x4的小长方体中，都恰有1个红正方体。
问16个红正方体共有多少种不同取法？
说明理由。
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1999年小学数学奥林匹克竞赛试卷
1．计算：714．285÷0．37÷2．7×1．7×0．7＝（ ）
2．41
1
2111
+++
x ＝811
，求x ＝（ ） 3．某库房有一批货物，第一天运走20吨，第二天运的吨数比第一天多617
，此时还剩这批货物总重量的917
，这批货物有（ ）吨。
4．一项工程，甲、乙两人合作8天完成，乙、丙合作9天完成，丙甲合作18天可以完成，那么，丙一人（ ）天完成这项工程。
5．用10 元钱买4角、8角、一元的画片15张，那么最多可以买1元的画片（ ）张。
6．如图，一个矩形被分成8个小矩形，其中5个小矩形的面积如图所示，那么这个大矩形的面积是（ ）
7．甲乙两艘舰，由相距418千米的两个港口同时出发，甲舰每小时航行36千米，乙舰每小时行34千米，开出1小时后甲舰因有紧急任务，返回原港，之后又立即航行与乙舰继续相对开出，那么经过（ ）小时两舰相遇。
8．1999名学生从前往后排成一列，按下列的规则报数，如果某一个同学报的数是一位数，后面的同学就要报出这个数与9的和，如果某一个同学报的数是两位数，后面的同学就要报出这个数的个位数与6的和，现在第一个同学报一，最后一同学报的是（ ）。
9．某学习小组有4名女生，两名男生，在一次考试中，他们做对的试题的数量各不相同，最多对10题，最少对4题，女生中做对最多的比女生做对最少的多4题，男生中做对最多的比男生中做对最少的多4题，则男生中做对最多的人对了（ ）题。
10．张阳拿着50元钱买回4本书，（书的定价最小单位是角），回家一算，数学书用
去钱的一半，其余一半中有310 是买字典的，1023
用于买语文书，他最后剩下（ ）元。
11．一水箱，用甲、乙、丙三个水管往里注水，若只开甲、丙两管，甲管注入18吨水时，水箱已满。
若只开乙、丙两管，乙注入27吨时，水箱才满，又知乙管每分钟注水量是甲管每分钟注入水量的2倍，则该水箱最多可容（ ）吨水。
12．赵强每天上学步行10分钟以后，跑步2分钟，恰好到校有一天，他步行6分钟后开始跑步，结果早到了2分24秒，那么他跑步的速度是步行速度的（ ）倍。