基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
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基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(上课)
题型三 商的导数
例 3 求下列函数的导数． (1)y＝sxin2x； (2)y＝xx2＋ ＋33； (3)y＝tanx； (4)y＝x·sinx－co2sx.
【解析】 (1)y′＝x2′·sinsxi－ n2xx2·sinx′ ＝2xsinxs－ in2xx2·cosx. (2)y′＝x＋3′·x2＋x32＋ －3x2＋3x2＋3′ ＝x2＋3x－ 2＋2x3x2＋3＝－x2＋ x2＋ 6x3－23. (3)∵y＝tanx＝csoinsxx， ∴y′＝csoinsxx′＝sinx′cosxc－ os2sxinx·cosx′
f (x) • g(x) f (x)g(x) f (x)g(x)
3.两个函数的商的导数,等于第一个函数的导 数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函 数的导数 ,再除以第二个函数的平方.即:
f g
(x) (x)
f
(
x)
g
(x) f (
g(x)2
§1.2 导数的计算
探要点·究所然 情境导学
前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基 本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的 定义显得格外轻松.对于由四则运算符号连接的两 个或两个以上基本初等函数的导数如何求，正是本 节要研究的问题.
一、基本初等函数的导数公式
1.若f(x)=c,则 f ' (x) = 0 ；
【总结提升】
函数f(x)在某点处导数的大小表示函数在 此点附近变化的快慢.由上述计算可
知 c′(98) 25c′(90) .它表示纯净度为98%左
右时净化费用的变化率,大约是纯净度为90% 左右时净化费用的变化率的25倍.这说明,水 的纯净度越高,需要的净化费用就越多,而且 净化费用增加的费用也越快.
几种常见函数的导数基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的 和(差),即:
导数的运算法则:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
B
y k x
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
f(x1)
O
A x2-x1=△x x x1 x2
回顾
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:
lim
x 0
f ( x 0 x) f ( x 0) x
lim
x 0
3
y 3x cos x sin x
2
x x 2 (1) y 2 sin cos 2 x 1 (2) 2 2
y cos x 4 x
(3) y ( x 1)(x 2)
y 2 x 3
例6:求下列函数的导数:
1 2 (1) y 2 ; x x x (2) y ; 2 1 x (3) y tan x;
基本初等函数 的导数公式及导数的运算法则
①平均变化率 函数y=f(x)的定义域为D,x1.x2∈D,f(x)从x1到x2 平均变化率为:
回顾
y x
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
y
比值反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度．
Y=f(x)
②割线的斜率
f(x2) f(x2)-f(x1)=△y
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则导数是微积分中一个重要的概念，它描述了函数在给定点处的变化率。
在微积分中有许多基本的初等函数，它们都有对应的导数公式和导数的运算法则。
下面，我将介绍一些常见的基本初等函数的导数公式及导数的运算法则。
1.常数函数导数公式：如果f(x)=C，其中C为常数，则其导数为f'(x)=0。
2.幂函数导数公式：如果f(x) = x^n，其中n为常数，则其导数为f'(x) = nx^(n-1)。
例如：f(x)=x^3，则f'(x)=3x^23.指数函数导数公式：如果f(x)=e^x，则其导数为f'(x)=e^x。
例如：f(x)=e^2，则f'(x)=e^24.对数函数导数公式：如果f(x) = ln(x)，则其导数为f'(x) = 1/x。
例如：f(x) = ln(2)，则f'(x) = 1/25.三角函数导数公式：(1) 如果f(x) = sin(x)，则其导数为f'(x) = cos(x)。
(2) 如果f(x) = cos(x)，则其导数为f'(x) = -sin(x)。
(3) 如果f(x) = tan(x)，则其导数为f'(x) = sec^2(x)。
6.反三角函数导数公式：(1) 如果f(x) = arcsin(x)，则其导数为f'(x) = 1/√(1-x^2)。
(2) 如果f(x) = arccos(x)，则其导数为f'(x) = -1/√(1-x^2)。
(3) 如果f(x) = arctan(x)，则其导数为f'(x) = 1/(1+x^2)。
导数的运算法则：1.常数乘法法则：设c为常数，f(x)为可导函数，则(cf(x))' = c*f'(x)。
例如：如果f(x)=2x，则f'(x)=2*1=22.求和差法则：设f(x)，g(x)为可导函数，则(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
上导乘下,下导乘上,差比下方
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
如果上式中f(x)=c,则公式变为：
[cg ( x)] cg ( x)
例2 根据基本初等函数的导数公式和导数
运算法则，求函数y=x3-2x+3的导数。
y (x 解：因为2x 3)
p(t ) p0 (1 5%)
t
解:根据基本初等函数导数公式表,有
(t ) 1.05t ln1.05 p
所以 p(10) 1.05 ln1.05 0.08(元 / 年)
10
因此,在第10个年头,这种商品的价格 约以0.08元/年的速度上涨.
导数的运算法则:(和差积商的导数)
导数的运算法则:(和差积商的导数)
[ f ( x) g ( x)]' f '( x) g '( x)
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
轮流求导之和
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) g ( x) 2 g ( x)
是否有切线，如果有， 求出切线的方程.
试自己动手解答.
1 有,切y x 2
线的 方程 为
基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x) c, 则f '( x) 0; 公式2.若f ( x) x n , 则f '( x) nx n 1 ; 公式3.若f ( x) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a ( a 0); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x) e x ; 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x) ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ; x
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则[www
解 因为y' x3 2x 3 ' x3 ' 2x' 3'
3x2 2. 所以,函数 y x3 2x 3的导数是 y' 3x2 2.
例3 日常生活中的饮用水 通常是经过净化的.随着水 纯净度的提高, 所需净化费 用不断增加.已知将1吨水净 化到纯净度为x%时所需费
用单位: 元为
1.金属晶体属等径圆球的密堆积方式：
请你比较
最紧密堆积
非紧密堆积
密置层
非密置层
采用密置层排列能够降低体系的能量
第一层:密置型排列 第二层:将球对准 1，3，5 位。
1
6
2
5
3
4
12
6
3
54
对准 2，4，6 位，其情形是一样的 吗？
密置双层只有一种
思考
取A、B两个密置层，将B层放 在A层的上面，有几种堆积方式？ 最紧密的堆积方式是哪种？它有 何特点？
cx 5284 80 x 100.求净化到下纯度
100 x 时,所需净化费用的瞬时变化率 :
1 90% ; 298%.
解 净化费用的瞬时变化率就是净化费
用函数的导数.
c
'
x
5284 100 x
'
5284' 100 x 5284 100 x'
100 x2
0
100 x 5284 100 x2
2
A
B
1
第一种排列
A
B
12
6
3
A
54
B
A
于是每两层形成一个 周期，即 AB AB 堆 积方式。
A3型紧密堆积
1
C
3x2 2. 所以,函数 y x3 2x 3的导数是 y' 3x2 2.
例3 日常生活中的饮用水 通常是经过净化的.随着水 纯净度的提高, 所需净化费 用不断增加.已知将1吨水净 化到纯净度为x%时所需费
用单位: 元为
1.金属晶体属等径圆球的密堆积方式：
请你比较
最紧密堆积
非紧密堆积
密置层
非密置层
采用密置层排列能够降低体系的能量
第一层:密置型排列 第二层:将球对准 1，3，5 位。
1
6
2
5
3
4
12
6
3
54
对准 2，4，6 位，其情形是一样的 吗？
密置双层只有一种
思考
取A、B两个密置层，将B层放 在A层的上面，有几种堆积方式？ 最紧密的堆积方式是哪种？它有 何特点？
cx 5284 80 x 100.求净化到下纯度
100 x 时,所需净化费用的瞬时变化率 :
1 90% ; 298%.
解 净化费用的瞬时变化率就是净化费
用函数的导数.
c
'
x
5284 100 x
'
5284' 100 x 5284 100 x'
100 x2
0
100 x 5284 100 x2
2
A
B
1
第一种排列
A
B
12
6
3
A
54
B
A
于是每两层形成一个 周期，即 AB AB 堆 积方式。
A3型紧密堆积
1
C
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
因此，在第10个年头，这种商品的价格约以元/年的速度上涨。
讲解经济学中的温水煮青蛙现象。虽然每年只有8分钱，但在 不知不觉中物价已经让你承担不起。
例5 日常生活中的饮用水通常是经过净化的。随着水 纯净度的提高，所需净化费用不断增加。已知将1吨水 净化到纯净度x%时所需费用（单位：元）为
c(x) 5284 (80 x 100) 100 x
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率： （1）90％ （2）98％
解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数
c'(x)
( 5284 100 x
)'
5284'(100
x) 5284 (100 x)2Βιβλιοθήκη (100x)'
0 (100 x) 5284 (1) (100 x)2
5284 (100 x)2
例2 假设某国家在20年期间的平均通货膨胀率为5％，物价p(单位： 元)与时间t（单位：年）有如下函数关系
p(t) p0 (1 5%)t
其中p0为t = 0时的物价。假定某种商品的p0=1,那么在第10个年 头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到）?
解：根据基本初等函数导数公式表，有
p'(t) 1.05t ln1.05 p'(10) 1.0510 ln1.05 0.08(元 / 年)
解：因为 y (x3 2x 3)
(x3 ) (2x) (3) 3x2 2
所以，函数y=x3-2x+3的导数是
y ' 3x2 2
既然导数可求，那可以求这个函数图像的切线吗？原来的旧方 法没用了吧！我们用几何画板画出此函数的图像。
2.已知函数y=xlnx (1)求这个函数的导数 (2)求这个函数在点x=1处的切线方程
讲解经济学中的温水煮青蛙现象。虽然每年只有8分钱，但在 不知不觉中物价已经让你承担不起。
例5 日常生活中的饮用水通常是经过净化的。随着水 纯净度的提高，所需净化费用不断增加。已知将1吨水 净化到纯净度x%时所需费用（单位：元）为
c(x) 5284 (80 x 100) 100 x
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率： （1）90％ （2）98％
解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数
c'(x)
( 5284 100 x
)'
5284'(100
x) 5284 (100 x)2Βιβλιοθήκη (100x)'
0 (100 x) 5284 (1) (100 x)2
5284 (100 x)2
例2 假设某国家在20年期间的平均通货膨胀率为5％，物价p(单位： 元)与时间t（单位：年）有如下函数关系
p(t) p0 (1 5%)t
其中p0为t = 0时的物价。假定某种商品的p0=1,那么在第10个年 头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到）?
解：根据基本初等函数导数公式表，有
p'(t) 1.05t ln1.05 p'(10) 1.0510 ln1.05 0.08(元 / 年)
解：因为 y (x3 2x 3)
(x3 ) (2x) (3) 3x2 2
所以，函数y=x3-2x+3的导数是
y ' 3x2 2
既然导数可求，那可以求这个函数图像的切线吗？原来的旧方 法没用了吧！我们用几何画板画出此函数的图像。
2.已知函数y=xlnx (1)求这个函数的导数 (2)求这个函数在点x=1处的切线方程
1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则1
x3 1 (4) y sin x
1 2 作业1：求 y 2 的导数. x x 作业2:求下列函数的导数:
x (1) y ; 2 1 x (2) y tan x;
2
(3) y (2 x 3)(1 x );
2
作业3：P18习题1.2 A组 第4题（1） 第6题
小结:
导数运算法则：
1. f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
2. f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
特别地：(cf(x)) = cf (x) (c 为常数).
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) 3. ( g ( x) 0) 2 g ( x) g ( x)
1.2.2基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则
基本初等函数的导数公式
1、若f ( x ) c, 则 2、若f ( x ) x , 则 3、若f ( x ) sin x, 则 4、若f ( x ) cos x, 则 5、若f ( x ) a , 则
x
1. f '( x) 0; 2. f '( x) x 1 ; 3. f '( x) cos x; 4. f '( x) sin x; 5. f '( x) a ln a (a 0);
x
6、若f ( x ) e x , 则 7、若f ( x ) log a x, 则 8、若f ( x ) ln x, 则
6. f '( x) e x ; 1 7. f '( x) (a 0, 且a 1); x ln a 1 8. f '( x) ; x
1 2 作业1：求 y 2 的导数. x x 作业2:求下列函数的导数:
x (1) y ; 2 1 x (2) y tan x;
2
(3) y (2 x 3)(1 x );
2
作业3：P18习题1.2 A组 第4题（1） 第6题
小结:
导数运算法则：
1. f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
2. f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
特别地：(cf(x)) = cf (x) (c 为常数).
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) 3. ( g ( x) 0) 2 g ( x) g ( x)
1.2.2基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则
基本初等函数的导数公式
1、若f ( x ) c, 则 2、若f ( x ) x , 则 3、若f ( x ) sin x, 则 4、若f ( x ) cos x, 则 5、若f ( x ) a , 则
x
1. f '( x) 0; 2. f '( x) x 1 ; 3. f '( x) cos x; 4. f '( x) sin x; 5. f '( x) a ln a (a 0);
x
6、若f ( x ) e x , 则 7、若f ( x ) log a x, 则 8、若f ( x ) ln x, 则
6. f '( x) e x ; 1 7. f '( x) (a 0, 且a 1); x ln a 1 8. f '( x) ; x
1.2.2导数公式及导数运算法则
例2.求下列函数的导数. 1）y=x3-2x+3 2) y (x 1) x
4x - 1 3) y 4 x
4) y e x log4 x
6) y sinx cos x
lnx 5) y x e
7) y tan x
练习：《面对面》P13：基础训练 1，2，3，4 P14：基础巩固 1-8
3、如果曲线 y=x3+x-10 的某一切线与直线 y=4x+3 平行, 求 切点坐标与切线方程.
解: ∵切线与直线 y=4x+3 平行,
∴切线斜率为 4. 又切线在 x0 处斜率为 y | x=x0=(x3+x-10) | x=x0=3x02+1. ∴3x02+1=4. ∴x0=1. 当 x0=1 时, y0=-8; 当 x0=-1 时, y0=-12. ∴切点坐标为 (1, -8) 或 (-1, -12). 切线方程为 y=4x-12 或 y=4x-8.
2 x1 2( x2 2) x1 0 x1 2 或 . 因为两切线重合, 2 2 x1 x2 4 x2 2 x2 0
若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4.
所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.
导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的 和(差),即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
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1.2.2基本初等函数的导数公式及 导数的运算法则
公式一:
C
= 0 (C为常数)
公式二: ( x
) x
1
( 是常数)
算一算：求下列函数的导数 (1)
4 y=x
;
(2)
-5 y=x
;
4x3
(3) y x ;
-6 -5x
1 1 -3 2 -2x x 2 注意公式中,n的任意性.
3 2
例2:求下列函数的导数:
答案: (1) y 3x2 2;
1 4 3; 2 x x 1 x2 (3) y ; 2 2 (1 x ) (2) y
(5) y (2 x 3) 1 x ; 1 (6) y 4 ; x (7) y x x ;
2
1 (4) y ; 2 cos x 6 x3 x (5) y ; 1 x2
p(t ) p0 (1 5%)
t
解:根据基本初等函数导数公式表,有
t p (t ) 1.05 ln1.05
所以 p(10) 1.05 ln1.05 0.08(元 / 年)
10
因此,在第10个年头,这种商品的价格 约以0.08元/年的速度上涨.
• • • • •
三、解答题 6．求下列函数的导数 (1)y＝x4－3x2－5x＋6； (2)y＝x·tanx； (3)y＝(下列各式正确的是（ D ）
1 A.(log )' x ln 10 x B .(loga )' x x C .(3 )' 3 x
x a
D .(3 )' 3 ln 3
x x
0 (3) f(x)=80，则f '(x)=______;
x '
(4) f ( x) e , 则f ( x)等于e ______ f (1)等于 ______ 1
(6) y (7) y 4 ; 5 x
3 x; 2
(1)求下列函数的导数． ①y＝x2sinx ②y＝x2(x2－1)
1 2 3 (2)求 y＝x＋x2＋x3的导数．
[解析] (1)①y′＝(x sinx)′＝(x )′sinx＋x (sinx)′ ＝2xsinx＋x2cosx. ②y′＝[x (x －1)]′＝(x )′(x －1)＋x (x －1)′ ＝2x(x －1)＋x · 2x＝4x －2x.
x－1 (4)y＝ . x＋1
[解析]
(1)y′ ＝ (x4 － 3x2 － 5x ＋ 6)′ ＝ (x4)′ －
(3x2)′－(5x)′＋6′＝4x3－6x－5；
xsinx (2)y′＝(x· tanx)′＝ cosx ′
(xsinx)′cosx－xsinx(cosx)′ ＝ cos2x (sinx＋xcosx)cosx＋xsin2x sinxcosx＋x ＝ ＝ cos2x ； cos2x
c '(98) 1321(元/吨)
1.2.3复合函数求导
基本初等函数的导数公式
5284 5284' (100 x ) 5284 (100 x )' 解：c '( x ) ( )' 100 x (100 x )2
0 5284 (1) 5284 2 2 c '(90) 52.84(元/吨) (100 x ) (100 x )
4 3 5 3 5 3
[解析]
1 5 4 3 (1)y′＝5x －3x ＋3x＋
2 ′
1 4 5 ＝5x ′－3x3′＋(3x)′＋(
2)′＝x4－4x2＋3.
(2) 解 法 1 ： y′ ＝ (3x5 － 4x3)′(4x5 ＋ 3x3) ＋ (3x5 － 4x3)(4x5 ＋3x3)′＝(15x4 －12x2)(4x5 ＋3x3)＋ (3x5 －4x3)(20x4 ＋9x2)＝60x9－48x7＋45x7－36x5＋60x9－80x7＋27x7－36x5 ＝120x9－56x7－72x5. 解法 2：∵y＝12x10－7x8－12x6 ∴y′＝120x9－56x7－72x5.
(5)
x ln a (1og a x) ________
'
x
'
e
例1
假设某国家在20年期间的年通货膨胀 率为5﹪，物价p（单位：元）与时间t（单 t p t p 1 5% ，其 位：年）有函数关系 0 中 p0 为t=0时的物价.假定某商品的 p0 1 那么在第10个年头，这种商品的价格上涨 的速度的大约是多少（精确到0.01）？
又曲线过点(2，－1)，所以4a＋2b＋c＝－1.
a＋b＋c＝1， a＝3， 由4a＋b＝1， 解得b＝－11， 4a＋2b＋c＝－1， c＝9. 所以 a、b、c 的值分别为 3、－11、9.
[点评] 本题主要考查了导数的几何意义， 导数的运算法则及运算能力．
例2. 日常生活中的饮用水通常是通过净化的。随着水纯 净度的提高，所需净化费用不断增加。已知将1吨水 净化到纯净度为 x% 时所需费用(单位:元)为： 5284 c( x ) (80 x 100) 100 x 求净化到下列纯净度时 , 所需净化费用的瞬时 变化率： (1)90% (2)98%
1
C 0(C为常数)
x
[例 1] 求下列函数的导数： 1 x 5 3 x (1)y＝x ；(2)y＝x4；(3)y＝ x ；(4)y＝2 ；(5)y＝2sin2
12
x cos . 2
[分析]
对于简单函数的求导， 关键是合理转化函数的
1 关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式， 如 y＝x4可 以写成 y＝x ，y＝ x ＝x5等，这样就可以直接使用幂函 数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的 运算失误．
－4
5
3
3
[解析] (1)y′＝(x12)′＝12x11.
1 4 －4 －5 (2)y′＝x4′＝(x )′＝－4x ＝－x5.
(4)y′＝(2 )′＝2 ln2.
x x (5)y′＝2sin2cos2′＝(sinx)′＝cosx.
x
x
• [点评] 运算的准确是数学能力高低的重要 标志，要从思想上提高认识，养成思维严 谨、步骤完整的解题习惯，要形成不仅会 求，而且要求对、求好的解题标准．
[例3] 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点(1,1)，且在点 (2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a、b、c的值． [ 分析 ] [解析] 题中涉及三个未知量，已知中有三个独立条 因为y＝ax2＋bx＋c过点(1,1)， 件，因此，要通过解方程组来确定a、b、c的值．
所以a＋b＋c＝1. y′＝2ax＋b，曲线过点P(2，－1)的切线的斜率为 4a＋b＝1.
(4)解法
x－1 1：y′＝ x＋1′
(x－1)′(x＋1)－(x－1)(x＋1)′ ＝ (x＋1)2 x＋1－(x－1) 2 ＝ ＝ ； (x＋1)2 (x＋1)2 x－1 x＋1－2 2 解法 2：∵y＝ ＝ ＝1－ ， x＋1 x＋1 x＋1
2 2 2 ∴y′＝1－x＋1′＝－x＋1′＝ 2. ( x ＋ 1)
• 求下列函数的导数： • (1)y＝x－2；(2)y＝cosx；(3)y＝log3x；(4)y＝e0. • [解析] 由求导公式得 2 －3 (1)y′＝－2· x ＝－x3.
(2)y′＝(cosx)′＝－sinx. 1 (3)y′＝(log3x)′＝ xlog3e. (4)∵y＝e0＝1，∴y′＝0.
x x
(2) (e ) e .
x x
公式1
公式2 公式3 公式4 公式5 公式6 公式7
公式8 (1nx )
x x (为常数) ' (sin x) cos x. 记 ' (cos x ) sin x. x ' x 一 (a ) a ln a x ' x (e ) e 1 记 ' (1og a x) x ln a 1 '
数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第 二个函数的导数 ,即:
' '
f (x) g(x) f (x) g(x) f (x) g (x)
'
应用2:求下列函数的导数
2+3)(3x-2) 2 2 (1)y=(2x y ' (2 x 3)(3x 2)'(2 x 3)' (3x 2)
1 2 1 3 －2 －3 (2)y′＝x＋x2＋x3′＝x＋2x ＋3x ′
2 2 3 2 2 2 2 2 2
2
2
2
1 1 4 9 －3 －4 ＝－x2－4x －9x ＝－x2－x3－x4.
练一练： （1）下列各式正确的是（ C ）
A.(sin )' cos (为常数） B （ . cos x )' sin x C .(sin x )' cos x 1 6 D.( x )' x 5
一、导数的运算法则
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两
个函数的导数的和(差),即:
[f(x) ±g(x)] ′= f'(x) ± g'(x); 应用1: 求下列函数的导数 (1)y=x3+sinx 2
y' 3x cos x
(2)y=x3-2x+3.
y ' 3x 2
2
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函
4 3 (3)y′＝(3 x ＋4 x )′＝(3x )′＋(4x )′ 3 2 3
4 3
• [点评] 1.多项式的积的导数，通常先展 开再求导更简便． • 2 ．含根号的函数求导一般先化为分数指 数幂，再求导．
公式一:
C
= 0 (C为常数)
公式二: ( x
) x
1
( 是常数)
算一算：求下列函数的导数 (1)
4 y=x
;
(2)
-5 y=x
;
4x3
(3) y x ;
-6 -5x
1 1 -3 2 -2x x 2 注意公式中,n的任意性.
3 2
例2:求下列函数的导数:
答案: (1) y 3x2 2;
1 4 3; 2 x x 1 x2 (3) y ; 2 2 (1 x ) (2) y
(5) y (2 x 3) 1 x ; 1 (6) y 4 ; x (7) y x x ;
2
1 (4) y ; 2 cos x 6 x3 x (5) y ; 1 x2
p(t ) p0 (1 5%)
t
解:根据基本初等函数导数公式表,有
t p (t ) 1.05 ln1.05
所以 p(10) 1.05 ln1.05 0.08(元 / 年)
10
因此,在第10个年头,这种商品的价格 约以0.08元/年的速度上涨.
• • • • •
三、解答题 6．求下列函数的导数 (1)y＝x4－3x2－5x＋6； (2)y＝x·tanx； (3)y＝(下列各式正确的是（ D ）
1 A.(log )' x ln 10 x B .(loga )' x x C .(3 )' 3 x
x a
D .(3 )' 3 ln 3
x x
0 (3) f(x)=80，则f '(x)=______;
x '
(4) f ( x) e , 则f ( x)等于e ______ f (1)等于 ______ 1
(6) y (7) y 4 ; 5 x
3 x; 2
(1)求下列函数的导数． ①y＝x2sinx ②y＝x2(x2－1)
1 2 3 (2)求 y＝x＋x2＋x3的导数．
[解析] (1)①y′＝(x sinx)′＝(x )′sinx＋x (sinx)′ ＝2xsinx＋x2cosx. ②y′＝[x (x －1)]′＝(x )′(x －1)＋x (x －1)′ ＝2x(x －1)＋x · 2x＝4x －2x.
x－1 (4)y＝ . x＋1
[解析]
(1)y′ ＝ (x4 － 3x2 － 5x ＋ 6)′ ＝ (x4)′ －
(3x2)′－(5x)′＋6′＝4x3－6x－5；
xsinx (2)y′＝(x· tanx)′＝ cosx ′
(xsinx)′cosx－xsinx(cosx)′ ＝ cos2x (sinx＋xcosx)cosx＋xsin2x sinxcosx＋x ＝ ＝ cos2x ； cos2x
c '(98) 1321(元/吨)
1.2.3复合函数求导
基本初等函数的导数公式
5284 5284' (100 x ) 5284 (100 x )' 解：c '( x ) ( )' 100 x (100 x )2
0 5284 (1) 5284 2 2 c '(90) 52.84(元/吨) (100 x ) (100 x )
4 3 5 3 5 3
[解析]
1 5 4 3 (1)y′＝5x －3x ＋3x＋
2 ′
1 4 5 ＝5x ′－3x3′＋(3x)′＋(
2)′＝x4－4x2＋3.
(2) 解 法 1 ： y′ ＝ (3x5 － 4x3)′(4x5 ＋ 3x3) ＋ (3x5 － 4x3)(4x5 ＋3x3)′＝(15x4 －12x2)(4x5 ＋3x3)＋ (3x5 －4x3)(20x4 ＋9x2)＝60x9－48x7＋45x7－36x5＋60x9－80x7＋27x7－36x5 ＝120x9－56x7－72x5. 解法 2：∵y＝12x10－7x8－12x6 ∴y′＝120x9－56x7－72x5.
(5)
x ln a (1og a x) ________
'
x
'
e
例1
假设某国家在20年期间的年通货膨胀 率为5﹪，物价p（单位：元）与时间t（单 t p t p 1 5% ，其 位：年）有函数关系 0 中 p0 为t=0时的物价.假定某商品的 p0 1 那么在第10个年头，这种商品的价格上涨 的速度的大约是多少（精确到0.01）？
又曲线过点(2，－1)，所以4a＋2b＋c＝－1.
a＋b＋c＝1， a＝3， 由4a＋b＝1， 解得b＝－11， 4a＋2b＋c＝－1， c＝9. 所以 a、b、c 的值分别为 3、－11、9.
[点评] 本题主要考查了导数的几何意义， 导数的运算法则及运算能力．
例2. 日常生活中的饮用水通常是通过净化的。随着水纯 净度的提高，所需净化费用不断增加。已知将1吨水 净化到纯净度为 x% 时所需费用(单位:元)为： 5284 c( x ) (80 x 100) 100 x 求净化到下列纯净度时 , 所需净化费用的瞬时 变化率： (1)90% (2)98%
1
C 0(C为常数)
x
[例 1] 求下列函数的导数： 1 x 5 3 x (1)y＝x ；(2)y＝x4；(3)y＝ x ；(4)y＝2 ；(5)y＝2sin2
12
x cos . 2
[分析]
对于简单函数的求导， 关键是合理转化函数的
1 关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式， 如 y＝x4可 以写成 y＝x ，y＝ x ＝x5等，这样就可以直接使用幂函 数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的 运算失误．
－4
5
3
3
[解析] (1)y′＝(x12)′＝12x11.
1 4 －4 －5 (2)y′＝x4′＝(x )′＝－4x ＝－x5.
(4)y′＝(2 )′＝2 ln2.
x x (5)y′＝2sin2cos2′＝(sinx)′＝cosx.
x
x
• [点评] 运算的准确是数学能力高低的重要 标志，要从思想上提高认识，养成思维严 谨、步骤完整的解题习惯，要形成不仅会 求，而且要求对、求好的解题标准．
[例3] 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点(1,1)，且在点 (2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a、b、c的值． [ 分析 ] [解析] 题中涉及三个未知量，已知中有三个独立条 因为y＝ax2＋bx＋c过点(1,1)， 件，因此，要通过解方程组来确定a、b、c的值．
所以a＋b＋c＝1. y′＝2ax＋b，曲线过点P(2，－1)的切线的斜率为 4a＋b＝1.
(4)解法
x－1 1：y′＝ x＋1′
(x－1)′(x＋1)－(x－1)(x＋1)′ ＝ (x＋1)2 x＋1－(x－1) 2 ＝ ＝ ； (x＋1)2 (x＋1)2 x－1 x＋1－2 2 解法 2：∵y＝ ＝ ＝1－ ， x＋1 x＋1 x＋1
2 2 2 ∴y′＝1－x＋1′＝－x＋1′＝ 2. ( x ＋ 1)
• 求下列函数的导数： • (1)y＝x－2；(2)y＝cosx；(3)y＝log3x；(4)y＝e0. • [解析] 由求导公式得 2 －3 (1)y′＝－2· x ＝－x3.
(2)y′＝(cosx)′＝－sinx. 1 (3)y′＝(log3x)′＝ xlog3e. (4)∵y＝e0＝1，∴y′＝0.
x x
(2) (e ) e .
x x
公式1
公式2 公式3 公式4 公式5 公式6 公式7
公式8 (1nx )
x x (为常数) ' (sin x) cos x. 记 ' (cos x ) sin x. x ' x 一 (a ) a ln a x ' x (e ) e 1 记 ' (1og a x) x ln a 1 '
数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第 二个函数的导数 ,即:
' '
f (x) g(x) f (x) g(x) f (x) g (x)
'
应用2:求下列函数的导数
2+3)(3x-2) 2 2 (1)y=(2x y ' (2 x 3)(3x 2)'(2 x 3)' (3x 2)
1 2 1 3 －2 －3 (2)y′＝x＋x2＋x3′＝x＋2x ＋3x ′
2 2 3 2 2 2 2 2 2
2
2
2
1 1 4 9 －3 －4 ＝－x2－4x －9x ＝－x2－x3－x4.
练一练： （1）下列各式正确的是（ C ）
A.(sin )' cos (为常数） B （ . cos x )' sin x C .(sin x )' cos x 1 6 D.( x )' x 5
一、导数的运算法则
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两
个函数的导数的和(差),即:
[f(x) ±g(x)] ′= f'(x) ± g'(x); 应用1: 求下列函数的导数 (1)y=x3+sinx 2
y' 3x cos x
(2)y=x3-2x+3.
y ' 3x 2
2
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函
4 3 (3)y′＝(3 x ＋4 x )′＝(3x )′＋(4x )′ 3 2 3
4 3
• [点评] 1.多项式的积的导数，通常先展 开再求导更简便． • 2 ．含根号的函数求导一般先化为分数指 数幂，再求导．