导数的运算法则及复合函数的导数公式
复合函数的导数及导数的运算法则
练习、已知函数f x 在R上满足f x=2 f 2 x x2 8x 8,
则曲线y=f x 在点1，f 1 处的切线方程为 A
A.y=2x-1
B . y=x
C .y=3x-2
D.y=-2x+3
课堂小结
复合函数的导数
一般地，设函数 u＝(x)在点 x 处有导数 u'x＝'(x)，函数 y＝f(u) 在点 x 的对应点 u 处 有导数 y'u＝f '(u) ，则复合函数 y＝f((x)) 在
6.若f(x) = e x，则f ' (x) = e x
7.若f(x) =
loga x，则f ' (x) =
1 xlna
8.若f(x) = lnx，则f ' (x) = 1 x
复 习:
二,导数的运算法则:
法则1: f (x) g(x) f (x) g(x)
法则2: f (x)• g(x) f (x)g(x) f (x)g(x)
复 习:
一,基本初等函数的导数公式
1.若f(x) = c，则f ' (x) = 0
2.若f(x) = xn，则f ' (x) = nxn-1 (n R)
3.若f(x) = sinx，则f ' (x) = cosx
4.若f(x) = cosx，则f ' (x) = -sinx
5.若f(x) = a x，则f ' (x) = a x lna
新课讲解
例 1 求下列函数的导数．
（1）y (2x 3)2
（2）y e0.05 x1
（3）y sin( x ) (其中，均为常数)
注：求复合函数的导数，关键在于分析清楚函 数的复合关系，选好中间变量，在熟练以后， 就不必再写中间步骤。
导数的四则运算及复合函数求导
经济应用数学数学
2. 复合函数求导法则
y f (u) , u (x)
dy dx
dy du
du dx
f (u) (x)
说明: 最基本的公式 (C) 0
(sin x) cos x
y yuux
(ln x) 1
x
3. 初等函数在定义区间内可导, 由定义证 , 其它公式
u x2 3复合而成, 所以 dy dy du
dx du dx
2sinu2x 0
4xsin x2 3
经济应用数学数学
例9 设y tan 1 2x2 , 求 dy dx
解 因y tan 1 2x2由y tan u, u= v,v=1-2x2复合而成，所以
2 1 sec x sec x tan x 2222
sec2 x tan x 22
经济应用数学数学
例11 求函数 y ln tan 2x 的导数.
解：y ln tan x 1 tan 2x .
tan 2x
1 sec2 2x 2x
tan 2x
经济应用数学数学
三、小结
1. 有限次四则运算的求导法则
(u v) u v (uv) uv uv
注意：
(Cu) Cu ( C为常数 )
u
v
uv uv v2
(v 0)
[u( x) v( x)] u( x) v( x);
[u( x)] u( x) . v( x) v( x)
f (x) f
( x)
f
(x)
i1 i
1
2
复合函数导数公式及运算法则
复合函数导数公式及运算法则复合函数导数公式及运算法则是以下这些：1、链式法则：若$f\left( x \right)$关于$x$的导数为$f'\left( x \right)$,且$g\left( x \right)$关于$f\left( x \right)$的导数为$g'\left( f\left( x \right)\right)$,则$g\left( f\left( x \right) \right)$关于$x$的导数为$f'\left( x\right)\times g'\left( f\left( x \right) \right)$。
2、乘法法则：若$y=f\left( x \right)\times g\left( x \right)$,则$y$关于$x$的导数为$f'\left( x \right)\times g\left( x \right)+f\left( x \right)\timesg'\left( x \right)$。
3、除法法则：若$y=f\left( x \right)\div g\left( x \right)$,则$y$关于$x$的导数为$\frac{f'\left( x \right)\times g\left( x \right)-f\left( x \right)\timesg'\left( x \right)}{\left[ g\left( x \right) \right]^2}$。
4、指数函数法则：若$y=a^x$(a>0,a 不等于1),则$y$关于$x$的导数为$a^x\cdot \ln\left( a \right)$。
5、指数函数反函数法则：若$y=a^x$(a>0,a 不等于1),则其反函数$y=\ln _ax$的导数关于$x$的导数为$\frac{1}{a^x\cdot \ln\left( a \right)}$。
导数复合函数求导法则(非常实用)
导数复合函数求导法则(非常实用)一、导数复合函数求导法则(非常实用)在学习数学的过程中，我们经常会遇到各种各样的函数，其中有一种特殊的函数叫做复合函数。
复合函数是由两个或多个函数组成的函数，它们之间的关系是“和”的关系。
那么，如何求解复合函数的导数呢？这里我们就来探讨一下导数复合函数求导法则。
我们需要了解什么是导数。
导数是一个函数在某一点处的变化率，也就是说，它表示了函数在这个点的切线斜率。
而求导数的目的，就是为了更好地理解函数在不同点上的变化规律，从而更好地解决实际问题。
那么，如何求解复合函数的导数呢？这里我们可以借鉴一下初等函数的求导方法。
对于一个简单的初等函数f(x),它的导数可以通过以下公式计算：f'(x) = (f(x) f(a)) / (x a)其中，a是一个常数，表示我们要求导的点。
这个公式的意义是：在点a处，函数f(x)的导数等于它在点a两侧的平均变化率。
现在，我们来看一个例子。
假设我们有一个复合函数g(u)(u为参数),它的定义域是[0, 1],值域是[0, 1]。
我们要求的是g(u)在u=0.5时的导数。
根据导数复合函数求导法则，我们可以得到：g'(0.5) = [g(0.5) g(0)] / (0.5 0) = (g(0.5) g(0)) / 0.5这个公式的意义是：在u=0.5处，函数g(u)的导数等于它在u=0和u=0.5两侧的平均变化率。
二、复合函数求导法则的实际应用了解了导数复合函数求导法则之后，我们可以将其应用到实际问题的解决中。
下面我们通过一个例子来说明这一点。
假设我们要设计一个程序，计算一个二次多项式在给定点处的值。
这个二次多项式的定义域是[-1, 1],值域是[-1, 1]。
我们可以将这个二次多项式表示为：h(x) = a * x^2 + b * x + c其中，a、b、c是常数，且满足以下条件：1. a > 0 且 a < 1;2. b > 0 且 b < 1;3. c > -1 且 c < 1;4. |a| + |b| + |c| <= 1;5. a * b * c != 0。
复合函数导数公式及运算法则
复合函数导数公式及运算法则1.基本公式：设有两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的复合函数为$h(x)=f(g(x))$。
那么$h(x)$的导数可以表示为：$$\frac{{dh}}{{dx}} = \frac{{df}}{{dg}} \cdot\frac{{dg}}{{dx}}$$或者可以写成简洁的形式：$$h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$这个公式是复合函数导数的基本公式，也是后续运算法则的基础。
2.反函数法则：设有函数$y=f(x)$，如果$f(x)$的反函数存在且可导，那么反函数$f^{-1}(x)$的导数可以表示为：$$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{{f'(f^{-1}(x))}}$$3.乘积法则：设有两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的乘积为$h(x) = f(x) \cdot g(x)$。
那么$h(x)$的导数可以表示为：$$h'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$$这个公式可以直接应用于两个或多个函数的乘积的导数运算。
4.商法则：设有两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的商为$h(x) =\frac{{f(x)}}{{g(x)}}$。
那么$h(x)$的导数可以表示为：$$h'(x) = \frac{{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdotg'(x)}}{{(g(x))^2}}$$这个公式可以用于计算两个函数的商的导数。
5.复合函数的高阶导数：复合函数的高阶导数是指对复合函数进行多次求导的结果。
根据基本公式，我们可以计算复合函数的高阶导数。
例如，对于三次导数，我们可以应用基本公式三次，得到如下的表达式：$$h''(x) = [f'(g(x)) \cdot g'(x)]' = f''(g(x)) \cdot(g'(x))^2 + f'(g(x)) \cdot g''(x)$$类似地，我们可以计算更高阶的导数。
导数的运算法则及复合函数的导数公式(课堂PPT)
1 x 2. 求y= 3 x 的导数
1 x2
3. 求y= sin x 的导数
4. 求y=2x2+3x+1的导数
18
课外作业：
P18页习题1 .2 A组第4、6、7题
公 式 5 .若 f ( x ) a x , 则 f '( x ) a x ln a ( a 0 );
公 式 6 .若 f ( x ) e x , 则 f '( x ) e x ;
公 式 7 .若 f ( x ) lo g a
x,则 f
'( x )
1 (a x ln a
0,且 a
1);
上导乘下,下导乘上,差比下方 7
[ f( x ) g ( x ) ] f ( x ) g ( x ) f( x ) g ( x )
如果上式中f(x)=c,则公式变为：
[c(g x)]cg(x)
8
练习2、求下列函数的导数。
(1) y = x3·ex
ln x (2)(3) y =x
(2) y = x2·2x
公 式 8 .若 f ( x ) ln x , 则 f '( x ) 1 ;
x
16
课堂小结
一、导数的四则运算法则
(1) (uv) uv
(2) (uv) uvuv
(3)
(
u v
)
uvuv v2
(v0).
二、复合函数的求导法则
yx yu ux，
17
达标练习
1.函数y=x2cosx的导数为（ ）
导数的四则运算与复合函数求导
导数的四则运算与复合函数求导在微积分学中，导数是描述函数变化率的重要概念。
导数的四则运算和复合函数求导是微积分中的基本技巧，本文将重点介绍这两个内容。
一、导数的四则运算导数的四则运算包括常数倍法则、和差法则、乘积法则和商法则。
下面将逐一介绍这些法则的应用。
1. 常数倍法则设函数y=f(x)，其中f(x)可导，k为常数，则有：(d/dx)(k·f(x)) = k·(d/dx)f(x)即常数倍法则指出，常数与函数的导数之间可以交换次序。
2. 和差法则对于可导函数f(x)和g(x)，则有：(d/dx)(f(x) ± g(x)) = (d/dx)f(x) ± (d/dx)g(x)即和差法则指出，函数的求和或求差的导数等于各函数的导数的和或差。
3. 乘积法则对于可导函数f(x)和g(x)，则有：(d/dx)(f(x) · g(x)) = f(x)·(d/dx)g(x) + g(x)·(d/dx)f(x)即乘积法则指出，函数的乘积的导数等于其中一个函数乘上另一个函数的导数，再加上另一个函数乘上第一个函数的导数。
4. 商法则对于可导函数f(x)和g(x)，其中g(x) ≠ 0，则有：(d/dx)(f(x) / g(x)) = (g(x)·(d/dx)f(x) - f(x)·(d/dx)g(x)) / (g(x))^2即商法则指出，函数的商的导数等于分子的导数与分母的导数的差再除以分母平方。
二、复合函数求导当函数是由一个函数与另一个函数组合而成时，就称之为复合函数。
求解复合函数的导数需要运用链式法则。
1. 链式法则设函数y=g(f(x))，其中f(x)和g(x)都可导，则有：(d/dx)g(f(x)) = (dg/df)·(df/dx)即链式法则指出，复合函数的导数等于外层函数对内层函数求导的结果乘上内层函数对自变量求导的结果。
复合函数求导公式运算法则
复合函数求导公式运算法则1. 基本公式：如果函数y=f(u)和u=g(x)都可导，则复合函数y=f(g(x))也可导，且导数为dy/dx=f'(u)·g'(x)。
2. 对数函数：对于自然对数函数y=ln(u)，其中u是一个关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/u·du/dx。
3. 幂函数：对于幂函数y=u^n，其中u是关于自变量x的函数，n是常数，则其导数为dy/dx=n·u^(n-1)·du/dx。
4. 指数函数：对于指数函数y=a^u，其中a是常数，u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=a^u·ln(a)·du/dx。
5. 三角函数：对于三角函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=f'(u)·du/dx。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
6. 反三角函数：对于反三角函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/f'(u)·du/dx。
常见的反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。
7. 双曲函数：对于双曲函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=f'(u)·du/dx。
常见的双曲函数包括双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数等。
8. 反双曲函数：对于反双曲函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/f'(u)·du/dx。
常见的反双曲函数包括反双曲正弦函数、反双曲余弦函数和反双曲正切函数等。
下面通过实际例子来说明复合函数求导公式的运算法则。
例子1：求函数y=(2x+1)^3的导数。
解：将y看作是外层函数f(u)=u^3，其中u=2x+1、根据链式法则，导数dy/dx=f'(u)·u'(x)。
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x y yu u， x
达标练习
1.函数y=x2cosx的导数为（
A. y′=2xcosx-x2sinx C. y′=x2cosx-2xsinx
）
B. y′=2xcosx+x2sinx D. y′=2xcosx-x2sinx
1 x 2. 求y= 3 x 的导数 2 1 x 3. 求y= sin x 的导数
再利用导数的运算法则(3)来计算。
1 ( 3) y ; 2 cos x
思考？
如何求函数y=ln(x+2)的导数呢？ 函数y=ln(3x+2)的导数呢？
拆分下列复合函数
1. 2. 3. 4.
y= sin(-3x+5) y=sin2x 2x y=cos x y=cos
3
复合函数的求导法则
定理 设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导， 则复合函数 y = f ( (x)) 也可导. 且
轮流求导之和
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) g ( x) 2 g ( x)
上导乘下,下导乘上,差比下方
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
1.2.2
导数的运算法则及复合函 数的导数公式
1．求导数的方法 (1)定义法：运用导数的定义来求函数的导数． (2)公式法：运用已知函数的导数公式及导数的 则运算法则求导数．
基本初等函数的导数公式：
原函数 y＝C y＝xn 导函数
y＝sin x y＝cos x y＝ax(a>0，a≠1) x y′＝ex y＝e 1 y＝logax(a>0，a≠1) y′＝ y＝ln x
1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x ) ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x ) ln x, 则f '( x ) ; x
课堂小结
一、导数的四则运算法则
(1) (u v) u v (2) (u v) u v uv u uv uv (3) ( ) (v 0). 2 v v 二、复合函数的求导法则
y′＝0 y′＝nxn－1 y′＝cos x y′＝－sin x y′＝axlna
xln a 1 y′＝ x
导数的运算法则:(两函数和差的导数)
[ f ( x) g ( x)]' f '( x) g '( x)
[cg( x)] cg ( x)
练习1、求下列函数的导数。
(1) y =
x y yu u， x
即：因变量对自变量求导,等于因变量 对中间变量求导,乘以中间变量对自变 量求导. ( 链式法则 )
例4：求下列函数的导数
-0.05x+1 e
(1) y =
(2x+3)2
(2) y =
(3) y=sin( x+ ) (其中 、 均为常数）
课堂练习
P18页 练习 第2题 （5）、（6）题
如果上式中f(x)=c,则公式变为：
[cg( x)] cg ( x)
练习2、求下列函数的导数。 (1) y
=
3·x x e
(2) y = x2·x 2 (4) y =
ln x (3) y = x
e x
x 2
思考：如何求y=tanx导数呢？
本题可先将tanx转化为sinx和cosx的比值，
4. 求y=2x2+3x+1的导数
课外作业：
P18页习题1 .2 A组第4、6、7题
(1)
设 y = sin2 x，求 y .
(2)
设 f (x) = sinx2 ，求 f (x).
求 y .
(3) 设 y 1 x 2 ,
基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x) c, 则f '( x ) 0; 公式2.若f ( x) x , 则f(2) y= 3cosx - 4sinx (3) f(x)= (4) y=
x e
x+ a
a+ x
logax
+ ln x
思考: 如何求下列函数的导数?
(1) y ( x 1)( x 2)
(2) y x x
e (3) y
x
x
2
导数的运算法则:(积、商的导数)
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
n n 1
;
公式3.若f ( x ) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x ) a x , 则f '( x ) a x ln a ( a 0); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x ) e x ;