考点06 一元二次方程及其应用【无答案】

考点06 一元二次方程及其应用首先一元二次方程及其解法是初中数学计算的基础，很多几何问题都需要有一元二次方程的解题基础，其次，正是因为一元二次方程在后续几何问题中也有占比，所以中考数学中单独考察的问题占比并不大，其中，一元二次方程的各考点均有可能出成小题考察，而解答题则多出有关于一元二次方程的解法、一元二次方程的应用题等问题，复习过程中要多注意各基础考点的巩固，特别是解法中公式法的公式，不要和后续二次函数顶点坐标的众坐标公式记混了。

一、一元二次方程及其解法二、一元二次方程根的判别式三、一元二次方程根与系数的关系四、一元二次方程的简单应用考向一：一元二次方程及其解法1. 一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax判断一元二次方程的特征：是整式方程③次未知数的最高次数是②只含有一个未知数①.2..2. 一元二次方程的解法：【易错警示】 ➢ 判断方程是不是一元二次方程需要化简后再根据特征判断；➢ 一元二次方程的解，要么无解，有解必有2个，所以最后的方程的解一定要写明x1、x2；➢ 一元二次方程公式法也称万能公式，但是利用万能公式时一定要先写清楚其a 、b 、c 以及b 2-4ac 的值，之后再带入计算；1．一元二次方程3（x 2﹣3）＝5x 的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）A ．3，﹣5；9B ．3，﹣5，﹣9C ．3，5，9D ．3，5，﹣92．若m 是一元二次方程x 2+2x ﹣1＝0的一个实数根，则2019﹣m 2﹣2m 的值是 ．3．根据表格中的信息，估计一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a 、b 、c 为常数，a ≠0）的一个解x 的范围为（ ）x0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 ax 2+bx +c﹣0.44 ﹣0.25 ﹣0.04 0.19 0.44 A ．0.4＜x ＜0.5 B ．0.5＜x ＜0.6C ．0.6＜x ＜0.7D ．0.7＜x ＜0.8 4．如图是一个简单的数值运算程序，则输入x 的值为（ ）A ．±2B ．±3C ．3或﹣1D ．2或﹣15．用配方法解一元二次方程x 2﹣4x ﹣5＝0，变形后的结果正确的是（ ）A ．（x ﹣4）2＝﹣5B ．（x ﹣4）2＝5C ．（x ﹣2）2＝9D ．（x ﹣2）2＝﹣96．方程2x 2﹣10x ＝3的解是 ．7．解下列方程：（1）x 2+4x ﹣1＝0；（2）2x 2﹣7x +3＝0；一元二次方程3) 利用直接开方法求解方程公式法 适用所有一元二次方程 (1) 将方程写成一般式02=++c bx ax ； (2) 分别写出a 、b 、c 的表达式，带入求出根的判别式acb 42-的值 (3) 将数据带入公式）（042422≥--±-=ac b aac b b x ，得到方程的两个解x 1、x 2（3）9（x+1）2＝（2x﹣5）2；（4）（x+2）2﹣10（x+2）+25＝0．考向二：一元二次方程根的判别式对于一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，(1) 042＞ac b - 方程有两个不相等的实数根(2) 042=-ac b 方程有两个相等的实数根(3) 042＜ac b - 方程没有实数根【易错警示】1．一元二次方程x 2﹣3x +1＝0的根的情况（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根 2．已知关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣4x ﹣1＝0有两个不等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k ≥﹣4B ．k ＞﹣3C ．k ＞﹣3且k ≠1D ．k ≥﹣3且k ≠13．若关于x 的方程x 2+2x ﹣m +9＝0有实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m ≤8B ．m ≥8C ．m ＞8D ．m ＜84．关于x 的一元二次方程kx 2+2x +1＝0有两个不相等的实数根，则k 可取最大整数是 ．5．已知，关于x 的一元二次方程x 2+（k +3）x ﹣2＝0，请完成下面的问题．（1）若此方程有一个根是1，请求出另一个跟及k 的值．（2）求证：此方程一定有两个不相等的实数根．考向三：一元二次方程根与系数的关系若一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根为21x x 、，则有a b x x -21=+，ac x x =•211．关于x 的一元二次方程x 2+px +4＝0的一个解为x 1＝2，则另一个解x 2为（ ）A ．1B ．﹣1C ．﹣2D ．22．设a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个不相等的实数根，则a2+2a+b的值为（）A．0B．1C．2022D．20213．设一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两根为x1、x2，则的值为（）A．B．﹣C．3D．﹣54．等腰三角形的三边长分别为a，b，1，且关于x的一元二次方程x2﹣4x+n+2＝0的两个根是a和b，则n 的值为（）A．1B．1或2C．2D．1且25．已知α，β是方程x2+2020x+1＝0的两个根，则（α2+2022α+1）（β2+2022β+1）的值为（）A．2020B．2022C．2D．46．已知关于x的方程x2﹣（m+1）x+2（m﹣1）＝0．（1）求证：无论m取何值时，方程总有实数根；（2）如果方程有两个实数根x1，x2当（x1﹣x2）2＝4时，求出m的值．考向四：一元二次方程的实际应用列方程解应用题的一般步骤：1．某展览馆计划将长60m，宽40m的矩形场馆重新布置，展览馆的中间是面积为1500m2的一个矩形展览区，四周留有等宽的通道（如图所示），求通道的宽．设通道的宽为xm，根据题意列方程正确的是（）A．（60﹣2x）（40﹣2x）＝1500B．（60﹣2x）（40﹣x）＝1500C．（60﹣x）（40﹣2x）＝1500D．（60﹣x）（40﹣x）＝15002．某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元，设平均每月降低的百分率为x，根据题意列出的方程是（）A．2500（1+x）2＝3200B．2500（1﹣x）2＝3200C．3200（1﹣x）2＝2500D．3200（1+x）2＝32003．一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，共送贺卡72张，共有人．4．如图，在长为20m，宽为12m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，已知草坪的面积为矩形面积的，若设道路的宽为xm，则所列方程为．5．如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．（1）设花圃的宽AB长为x米，请你用含x的代数式表示BC的长为米；（2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时AB的长度．1．（2022•雅安）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（）A．﹣3B．0C．3D．92．（2022•临沂）方程x2﹣2x﹣24＝0的根是（）A．x1＝6，x2＝4B．x1＝6，x2＝﹣4C．x1＝﹣6，x2＝4D．x1＝﹣6，x2＝﹣43．（2022•天津）方程x2+4x+3＝0的两个根为（）A．x1＝1，x2＝3B．x1＝﹣1，x2＝3C．x1＝1，x2＝﹣3D．x1＝﹣1，x2＝﹣34．（2022•淮安）若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，则k的值可以是（）A．﹣2B．﹣1C．0D．15．（2022•巴中）对于实数a，b定义新运算：a※b＝ab2﹣b，若关于x的方程1※x＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围（）A．k＞﹣B．k＜﹣C．k＞﹣且k≠0D．k≥﹣且k≠06．（2022•兰州）关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个相等的实数根，则k＝（）A．﹣2B．﹣1C．0D．17．（2022•河南）一元二次方程x2+x﹣1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．没有实数根C．有两个相等的实数根D．只有一个实数根8．（2022•益阳）若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（）A．﹣1B．0C．1D．29．（2022•黔东南州）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0的两根分别记为x1，x2，若x1＝﹣1，则a ﹣x12﹣x22的值为（）A．7B．﹣7C．6D．﹣610．（2022•黑龙江）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（）A．8B．10C．7D．911．（2022•河池）某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x．则所列方程为（）A．30（1+x）2＝50B．30（1﹣x）2＝50C．30（1+x2）＝50D．30（1﹣x2）＝5012．（2022•泰安）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（）A．3（x﹣1）x＝6210B．3（x﹣1）＝6210C．（3x﹣1）x＝6210D．3x＝621013．（2022•资阳）若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则2a2+4a的值是．14．（2020•扬州）方程（x+1）2＝9的根是．15．（2020•雅安）若（x2+y2）2﹣5（x2+y2）﹣6＝0，则x2+y2＝．16．（2022•荆州）一元二次方程x2﹣4x+3＝0配方为（x﹣2）2＝k，则k的值是．17．（2022•衢州）将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程：（不必化简）．18．（2022•徐州）若一元二次方程x2+x﹣c＝0没有实数根，则c的取值范围是．19．（2022•湖北）若一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个根是x1，x2，则x1•x2的值是．20．（2022•上海）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为．21．（2018•兰州）解方程：3x2﹣2x﹣2＝0．22．（2022•凉山州）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．23．（2022•十堰）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值．1．（2022•贵港）若x＝﹣2是一元二次方程x2+2x+m＝0的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（）A．0，﹣2B．0，0C．﹣2，﹣2D．﹣2，02．（2022•包头）若x1，x2是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则x1•x22的值为（）A．3或﹣9B．﹣3或9C．3或﹣6D．﹣3或63．（2022•怀化）下列一元二次方程有实数解的是（）A．2x2﹣x+1＝0B．x2﹣2x+2＝0C．x2+3x﹣2＝0D．x2+2＝04．（2022•东营）一元二次方程x2+4x﹣8＝0的解是（）A．x1＝2+2，x2＝2﹣2B．x1＝2+2，x2＝2﹣2C．x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2D．x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣25．（2022•温州）若关于x的方程x2+6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是（）A．36B．﹣36C．9D．﹣96．（2022•甘肃）用配方法解方程x2﹣2x＝2时，配方后正确的是（）A．（x+1）2＝3B．（x+1）2＝6C．（x﹣1）2＝3D．（x﹣1）2＝67．（2022•重庆）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（）A．200（1+x）2＝242B．200（1﹣x）2＝242C．200（1+2x）＝242D．200（1﹣2x）＝2428．（2022•大连）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是（）A．36B．9C．6D．﹣99．（2022•宜宾）已知m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，则m2+mn+2m的值为（）A．0B．﹣10C．3D．1010．（2022•西宁）关于x的一元二次方程2x2+x﹣k＝0没有实数根，则k的取值范围是（）A．k＜﹣B．k≤﹣C．k＞﹣D．k≥﹣11．（2022•内蒙古）对于实数a，b定义运算“⊗”为a⊗b＝b2﹣ab，例如3⊗2＝22﹣3×2＝﹣2，则关于x的方程（k﹣3）⊗x＝k﹣1的根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定12．（2022•遂宁）已知m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，那么m3+2m2﹣2025m+2022的值为（）A．﹣2022B．0C．2022D．404413．（2022•聊城）用配方法解一元二次方程3x2+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（）A．B．C．2D．14．（2022•眉山）设x1，x2是方程x2+2x﹣3＝0的两个实数根，则x12+x22的值为．15．（2022•杭州）某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0），则x＝（用百分数表示）．16．（2022•东营）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．17．（2022•连云港）若关于x的一元二次方程mx2+nx﹣1＝0（m≠0）的一个根是x＝1，则m+n的值是．18．（2022•青海）如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为21cm2的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为．19．（2022•内江）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且+＝x12+2x2﹣1，则k的值为．20．（2022•齐齐哈尔）解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2．21．（2022•广州）已知T＝（a+3b）2+（2a+3b）（2a﹣3b）+a2．（1）化简T；（2）若关于x的方程x2+2ax﹣ab+1＝0有两个相等的实数根，求T的值．22．（2022•贵阳）（1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示．用“＜”或“＞”填空：a b，ab0；（2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法；它们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．①x2+2x﹣1＝0；②x2﹣3x＝0；③x2﹣4x＝4；④x2﹣4＝0．23．（2022•德州）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．（1）若扩充后的矩形绿地面积为800m，求新的矩形绿地的长与宽；（2）扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5：3．求新的矩形绿地面积．24．（2022•毕节市）2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润＝销售价﹣进货价）类别价格A款钥匙扣B款钥匙扣进货价（元/件）3025销售价（元/件）4537（1）网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；（2）第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？（3）冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？25．（2022•黄石）阅读材料，解答问题：材料1为了解方程（x2）2﹣13x2+36＝0，如果我们把x2看作一个整体，然后设y＝x2，则原方程可化为y2﹣13y+36＝0，经过运算，原方程的解为x1，2＝±2，x3，4＝±3．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．材料2已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，显然m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m+n＝1，mn＝﹣1．根据上述材料，解决以下问题：（1）直接应用：方程x4﹣5x2+6＝0的解为；（2）间接应用：已知实数a，b满足：2a4﹣7a2+1＝0，2b4﹣7b2+1＝0且a≠b，求a4+b4的值；（3）拓展应用：已知实数m，n满足：+＝7，n2﹣n＝7且n＞0，求+n2的值．1．（2022•顺城区模拟）下列方程是一元二次方程的是（）A．3x2﹣＝0B．2x+3y＝0C．2x2+3＝2（x2+3x）D．y2﹣3y＝42．（2022•汉阳区校级模拟）将一元二次方程2x2+7＝9x化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（）A．2，9B．2，7C．2，﹣9D．2x2，﹣9x3．（2022•南岸区校级模拟）若m是关于x的一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根，则3﹣2m2+2m的值是（）A．2B．1C．4D．54．（2022•启东市二模）若关于x的一元二次方程ax2+2bx﹣2＝0的一个根是x＝2022，则一元二次方程（x+2）2+bx+2b＝1必有一根为（）A．2020B．2021C．2022D．20235．（2022•永康市模拟）已知a是方程2x2﹣3x﹣5＝0的一个解，则﹣4a2+6a的值为（）A．10B．﹣10C．2D．﹣406．（2022•黄冈模拟）已知a，b是一元二次方程x2﹣3x﹣m2﹣1＝0的两个根，则a2+3b+ab的值等于（）A．8B．9C．10D．与m的值有关7．（2022•东阿县三模）观察下列表格，估计一元二次方程x2+3x﹣5＝0的正数解在（）x﹣101234x2+3x﹣5﹣7﹣5﹣151323A．﹣1和0之间B．0和1之间C．1和2之间D．2和3之间8．（2022•白云区一模）方程（x+1）2＝9的解为（）A．x＝2，x＝﹣4B．x＝﹣2，x＝4C．x＝4，x＝2D．x＝﹣2，x＝﹣4 9．（2022•义乌市模拟）用配方法解方程x2﹣8x+1＝0时，配方结果正确的是（）A．（x﹣4）2＝5B．（x﹣4）2＝16C．（x﹣4）2＝7D．（x﹣4）2＝15 10．（2022•镇海区校级二模）已知（a2+b2）2﹣8（a2+b2）﹣48＝0，则a2+b2的值为（）A．12B．4C．﹣4D．12或﹣411．（2022•瓯海区模拟）如图是小明在解方程x2﹣2x﹣1＝0时的过程，他在解答过程中开始出错的步骤是（）A．第①步B．第②步C．第③步D．第④步12．（2022•城关区一模）已知一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根是菱形的一条边和一条对角线的长，则这个菱形的面积是（）A．3B．C．4D．或413．（2022•铁岭模拟）关于x的一元二次方程ax2+2x﹣a＝0根的情况是（）A．两个不相等的实数根B．两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定14．（2022•大理州二模）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，且k为非负整数，则符合条件的k的个数为（）A．3B．2C．1D．015．（2022•仁怀市模拟）已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b+2020的值是（）A．2024B．2022C．2021D．202016．（2022•仁怀市模拟）若α和β是关于x的方程x2+bx﹣1＝0的两根，且αβ﹣2α﹣2β＝﹣11，则b的值是（）A．﹣3B．3C．﹣5D．517．（2022•西华县三模）《九章算术》勾股章有一个问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问：绳索有多长？若设绳索长x尺，根据题意，可列方程为（）A．82+x2＝x2B．82+（x﹣3）2＝x2C．82+x2＝（x﹣3）2D．x2+（x﹣3）2＝8218．（2022•肥东县校级模拟）春节期间，阜阳市商务局组织举办了“皖美消费，乐享阜阳”﹣2022年跨年迎新购物季”列促销活动，某超市对一款原价位a元的商品降价x%销售一段时间后，为了加大促销力度，再次降价x%，此时售价共降低了b元，则（）A．b＝a（1﹣2x%）B．b＝a﹣a（1﹣x%）2C．b＝a（1﹣x%）2D．b＝a﹣a（1﹣2x%）19．（2022•泉港区模拟）小张的书法作品荣获学校书法比赛一等奖．作品尺寸如图所示：书法作品长5尺，宽3尺；将书法作品贴在一张矩形装裱纸的正中央，书法作品四周外露装裱纸的宽度相同；矩形装裱纸的面积为书法作品面积的2倍．设书法作品四周外露装裱纸的宽度为x尺，下面所列方程正确的是（）A．（5+2x）（3+2x）＝2×5×3B．（5+x）（3+x）＝2×5×3C．2（5+2x）（3+2x）＝5×3D．（5+2x）（3+2x）＝5×320．（2022•竞秀区二模）某市积极响应国家的号召“房子是用来住的，不是用来炒的”，在宏观调控下，商品房成交价由今年1月份的每平方米10000元下降到3月份的每平方米8100元，且今年房价在2月份、3月份、4月份的下降率保持一致，则4月份的房价单价为每平方米（）A．7300元B．7290元C．7280元D．7270元21．（2022•金水区校级模拟）已知关于x的方程2x2﹣k＝0有两个不相等的实数根，请写出一个符合条件的k值．22．（2022•潍坊二模）已知关于x的一元二次方程mx2﹣6mx+9m﹣1＝0有x1，x2两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）若x1＝1，求x2．23．（2022•玉州区二模）关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣2k+2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两根分为x1、x2，且，求k的值．24．（2022•璧山区模拟）五一期间，璧山区丁家街道天天农家乐的草莓和枇杷相继成熟，为了吸引更多游客走进乡村，体验采摘乐趣，天天农家乐推出采摘草莓和采摘枇杷两种方式：采摘1公斤草莓的费用比采摘1公斤枇杷的费用多15元，采摘2公斤草莓和1公斤枇杷的费用共90元．（1）求采摘1公斤草莓和1公斤枇杷的费用分别是多少元？（2）根据去年采摘情况表明，平均每天采摘草莓30公斤，采摘枇杷20公斤．天天农家乐决定今年采摘枇杷的价格保持不变，采摘草莓的价格下调，采摘草莓的费用每降价3元，采摘草莓的数量会增加2公斤．天天农家乐要想平均每天的收益为1386元，请问采摘草莓每公斤应降价多少元？。