2018年浙江省中考数学第8讲一元二次方程及其应用总复习讲解
第8讲一元二次方程及其应用1．一元二次方程的概念及解法2.一元二次方程根的判别式1．(2015·温州)若关于x的一元二次方程4x2－4x＋c＝0有两个相等实数根，则c的值是()A．－1 B．1 C．－4 D．42．(2017·舟山)用配方法解方程x2＋2x－1＝0时，配方结果正确的是()A．(x＋2)2＝2 B．(x＋1)2＝2 C．(x＋2)2＝3 D．(x＋1)2＝3 3．(2017·丽水)解方程：(x－3)(x－1)＝3.【问题】给出以下方程①3x＋1＝0；②x2－2x＝8；③1x－3－2x3－x＝1.(1)是一元二次方程的是__________；(2)求出(1)中的一元二次方程的解，并联想还有其他的解法吗？(3)通过(1)(2)问题解决，你能想到一元二次方程的哪些知识？【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理一元二次方程的概念以及解法．类型一一元二次方程的有关概念例1(1)关于x的方程(a－6)x2－8x＋6＝0有实数根，则整数a的最大值是________．(2)若x＝1是一元二次方程ax2＋bx－40＝0的一个解，且a≠b，则a2－b22a－2b的值为________．(3)关于x的方程a(x＋m)2＋b＝0的解是x1＝－2，x2＝1，(a，m，b均为常数，a≠0)，则方程a(x＋m＋2)2＋b＝0的解是________．【解后感悟】(1)切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件；(2)注意解题中的整体代入思想；(3)注意由两个方程的特点进行简便计算．1．(1)(2016·南京模拟)关于x的一元二次方程(a2－1)x2＋x－2＝0是一元二次方程，则a满足( )A ．a ≠1B ．a ≠－1C ．a ≠±1D ．为任意实数 (2)已知x ＝1是一元二次方程x 2＋mx ＋n ＝0的一个根，则m 2＋2mn ＋n 2的值为____________________．类型二 一元二次方程的解法例2 解下列方程： (1)(3x －1)2＝(x ＋1)2； (2)2x 2＋x －12＝0.【解后感悟】解一元二次方程要根据方程的特点选择合适的方法解题，但一般顺序为：直接开平方法→因式分解法→公式法．一般没有特别要求的不用配方法．解题关键是能把解一元二次方程转化成解一元一次方程．2．解方程：(1)(2x －1)2＝x(3x ＋2)－7；(2)x(x－2)＋x－2＝0.类型三一元二次方程根的判别式例3(1)(2017·潍坊)若关于x的一元二次方程kx2－2x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是________．(2)(2015·台州)关于x的方程mx2＋x－m＋1＝0，有以下三个结论：①当m＝0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是________(填序号)．【解后感悟】在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，需要把握根的三种存在情况：b2－4ac≥0，方程有实数根(两个相等或两个不相等)；b2－4ac＜0，无实数根．3．已知命题“关于x的一元二次方程x2＋bx＋1＝0，当b＜0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例是()A．b＝－1 B．b＝2 C．b＝－2 D．b＝04．若关于x的一元二次方程kx2＋4x＋3＝0有实根，则k的非负整数值是____________________．5．已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0(a≠0)有两个相等的实数根，求ab2的值．（a－2）2＋b2－4类型四与几何相关的综合问题例4(1)在宽为20m，长为32m的矩形田地中央修筑同样宽的两条互相垂直的道路，把矩形田地分成四个相同面积的小田地，作为良种试验田，要使每小块试验田的面积为135m2，则道路的宽为________m.(2)(2016·张家口模拟)如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设a＝1，则b＝________．(3)(2015·广安)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x 2－7x ＋10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是________．【解后感悟】(1)此题关键是将四个矩形以恰当的方式拼成大矩形列出等量关系．(2)此题是一个信息题目，首先根据题目隐含条件找到数量关系，然后利用数量关系列出方程解决问题．(3)本题关键是确定三角形的三边的长度，用的数学思想是分类讨论思想．要随时注意三边之间满足的关系“任意两边之和大于第三边”．6．(1)(2016·台湾)如图的六边形是由甲、乙两个长方形和丙、丁两个等腰直角三角形所组成，其中甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和．若丙的一股长为2，且丁的面积比丙的面积小，则丁的一股长为何？( )A .12B .35C ．2－ 3D ．4－2 3(2)一个直角三角形的两条边长是方程x2－7x＋12＝0的两个根，则此直角三角形的面积等于.(3)有一块长32cm，宽24cm的长方形纸片，如图，在每个角上截去相同的正方形，再折起来做成一个无盖的盒子，已知盒子的底面积是原纸片面积的一半，则盒子的高是____________________cm.类型五一元二次方程在生活中的应用例5(1)(2017·济宁市任城区模拟)某种数码产品原价每只400元，经过连续两次降价后，现在每只售价为256元，则平均每次降价的百分率为________．(2)某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都要赛一场)计划安排15场比赛，则参加比赛的球队应有________队．(3)商场在促销活动中，将标价为200元的商品，在打a折的基础上再打a折销售，现该商品的售价为128元，则a的值是________．(4)将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品每涨价1元，其销量就要减少10个，为了赚8000元利润，则应进货________个．【解后感悟】(1)若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2＝b；(2)关键是准确找到描述语，根据等量关系准确地列出方程．此题还要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解；(3)此题打a折转化a10是解决问题的关键；(4)解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．7．(1)(2016·宁波市镇海区模拟)毕业典礼后，九年级(1)班有若干人，若每人给全班的其他成员赠送一张毕业纪念卡，全班共送贺卡1190张，则九年级(1)班人数为____________________人．(2)(2017·山西模拟)将一些半径相同的小圆按如图的规律摆放，请仔细观察，第____________________个图形有94个小圆．【探索研究题】1．(1)(2017·温州)我们知道方程x2＋2x－3＝0的解是x1＝1，x2＝－3，现给出另一个方程(2x＋3)2＋2(2x＋3)－3＝0，它的解是()A．x1＝1，x2＝3B．x1＝1，x2＝－3C．x1＝－1，x2＝3D．x1＝－1，x2＝－3(2)(2017·宁波市北仑区模拟)已知m是方程x2－2017x＋1＝0的一个根，则代数式m2－2018m＋m2＋12017＋3的值是________．【方法与对策】(1)此题主要利用了方程结构相同的整体代入的方法求一元二次方程的解；(2)此题主要利用了一元二次方程的解得到已知式，再利用整体代入的方法求值．该题型是中考命题方法之一．【忽视一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中“a≠0”】已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是________．参考答案第8讲一元二次方程及其应用【考点概要】1．一 2 降次 配方 因式分解 2.b 2－4ac 有两个不相等 有两个相等 没有【考题体验】1．B 2.B 3.x 1＝0，x 2＝4.【知识引擎】【解析】(1)②； (2)x 1＝4，x 2＝－2(配方法)，其他方法：因式分解法、公式法； (3)一元二次方程的概念以及解法．【例题精析】例1 (1)①若a ＝6，则方程有实数根，②若a ≠6，则Δ≥0，∴64－4×(a －6)×6≥0，整理得：a ≤263，∴a 的最大值为8；(2)∵x ＝1是一元二次方程ax 2＋bx －40＝0的一个解，∴x ＝1满足一元二次方程ax 2＋bx －40＝0，∴a ＋b －40＝0，即a ＋b ＝40①，a 2－b 22a －2b＝（a ＋b ）（a －b ）2（a －b ）＝a ＋b 2，即a 2－b 22a －2b ＝a ＋b 2②，把①代入②，得a 2－b 22a －2b＝20.(3)∵关于x 的方程a(x ＋m)2＋b ＝0的解是x 1＝－2，x 2＝1，(a ，m ，b 均为常数，a ≠0)，∴方程a(x ＋m ＋2)2＋b ＝0变形为a[(x ＋2)＋m]2＋b ＝0，即此方程中x ＋2＝－2或x ＋2＝1，解得x ＝－4或x ＝－1.例2 (1)将方程(3x －1)2＝(x ＋1)2移项得，(3x －1)2－(x ＋1)2＝0，∴(3x －1＋x ＋1)(3x－1－x －1)＝0，∴4x(2x －2)＝0，∴x(x －1)＝0，解得x 1＝0，x 2＝1. (2)∵2x 2＋x －12＝0，可得，a ＝2，b ＝1，c ＝－12，∴x ＝－14±54. 例3 (1)∵关于x 的一元二次方程kx 2－2x ＋1＝0有实数根，∴Δ＝b 2－4ac ≥0，即：4－4k ≥0，解得：k ≤1，∵关于x 的一元二次方程kx 2－2x ＋1＝0中k ≠0，故答案为：k ≤1且k ≠0.(2)当m ＝0时，x ＝－1，方程只有一个解，①正确；当m ≠0时，方程mx 2＋x －m ＋1＝0是一元二次方程，Δ＝1－4m(1－m)＝1－4m ＋4m 2＝(2m －1)2≥0，方程有两个实数解，②错误；把mx 2＋x －m ＋1＝0分解为(x ＋1)(mx －m ＋1)＝0，当x ＝－1时，m －1－m ＋1＝0，即x ＝－1是方程mx 2＋x －m ＋1＝0的根，③正确；故答案为①③.例4 (1)设道路的宽为x 米．依题意得：(32－x)(20－x)＝135×4，解之得x 1＝2，x 2＝50(不合题意舍去)，∴道路宽为2m .(2)依题意得(a ＋b)2＝b(b ＋a ＋b)，而a ＝1，∴b 2－b －1＝0，∴b ＝1＋52.(3)∵x 2－7x ＋10＝0，∴(x －2)(x －5)＝0，x 1＝2，x 2＝5，①等腰三角形的三边是2，2，5，∵2＋2<5，∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；②等腰三角形的三边是2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是2＋5＋5＝12；即等腰三角形的周长是12.故答案：12.例5 (1)20%；(2)6；(3)200×a 10×a 10＝128，得a ＝8；(4)设销售价x 元/个，得[500－10(x －50)]·(x －40)＝8000，∴x ＝60或x ＝80，∴应进货400或200个．【变式拓展】1．(1)C (2)12. (1)x 1＝2，x 2＝4 (2)x 1＝2，x 2＝－13.A4.15. ∵ax 2＋bx ＋1＝0(a ≠0)有两个相等的实数根，∴Δ＝b 2－4ac ＝0，即b 2－4a ＝0，b 2＝4a.∴ab 2（a －2）2＋b 2－4＝ab 2a 2－4a ＋4＋b 2－4＝ab 2a 2－4a ＋b 2＝ab 2a 2.∵a ≠0，∴原式＝ab 2a 2＝b 2a ＝4a a＝4. 6. (1)D (2)6或372(3)4 7.(1)35 (2)9【热点题型】【分析与解】(1)先把方程(2x ＋3)2＋2(2x ＋3)－3＝0看作关于2x ＋3的一元二次方程，利用题中的解得到2x ＋3＝1或2x ＋3＝－3，所以x 1＝－1，x 2＝－3.故选D . (2)根据一元二次方程根的定义得到m 2＝2017m －1，再利用整体代入的方法得到原式＝2017m －1－2018m ＋2017m －1＋12017＋3＝－1－m ＋m ＋3＝2.故答案是2. 【错误警示】m ≤54且m ≠1，由一元二次方程有实数根，则12－4(m －1)≥0且m －1≠0.∴m ≤54且m ≠1.。
★2018浙教版初三数学上学期解一元二次方程知识点.doc
★2018浙教版初三数学上学期解一元二次方程知识点初三数学学习对我们来说很关键，因此必须掌握好课堂上学习的数学知识，学习完数学知识点要进行课下复习，下面为大家带来2018浙教版初三数学上学期解一元二次方程知识点，希望对大家掌握初中数学知识有帮助。
解法一：因式分解法第一步：将已知方程化为一般形式，使方程右端为0;第二步：将左端的二次三项式分解为两个一次因式的积;第三步：方程左边两个因式分别为0，得到两个一次方程，它们的解就是原方程的解.解法二：配方法x -4x+3=x -4x+4-1=(x-2) -1=0即(x-2) =1于是x=3或x=1一般来说，一元二次方程往往可以用这样2种方法解答，特别是对配方来说，它可能更实用，普遍。
比如x +x-1=0我们可能分解不出它的因式来，不过我们可以采用配方法x +x-1=(x+1/2) -5/4=0于是得到x=(根号5-1)/2或x=(-根号5-1)/2小练习1.分解因式：(1)x2-4x=_________; (2)x-2-x(x-2)=________ (3)m2-9=________; (4)(x+1)2-16=________2.方程(2x+1)(x-5)=0的解是_________3.方程2x(x-2)=3(x-2)的解是___________4.方程(x-1)(x-2)=0的两根为x1x2，且x1x2，则x1-2x2的值等于_______5.已知y=x2+x-6，当x=________时，y的值为0;当x=________时，y的值等于24.6.方程x2+2ax-b2+a2=0的解为__________.以上就是为大家带来的2018浙教版初三数学上学期解一元二次方程知识点，希望大家能够熟练掌握这些知识点，这样考试的时候就能熟练运用，从而取得好的成绩。
浙教版八年级下第二章一元二次方程的解法复习课件
一元二次方程的一般式
a≠0） ax + bx + c = 0 （a≠0）
2
一元二次方程 关于x （关于x） 一般形式 二次项 一次项 常数 系数 项 系数
3x²-1=0
3x²3x²-1=0
3x²3x（ =2（ 3x（x-2）=2（x-2） 3x²-8x+4=0
3 3
0 -8
-1 4
2
★一除、二移、三配、四化、五解. 一除、二移、三配、四化、五解.
公式法解一元二次方程的前提是 解一元二次方程的前提 用公式法解一元二次方程的前提是:
1.必需是一般形式的一元二次方程: 1.必需是一般形式的一元二次方程: 必需是一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0).
2.b2-4ac≥0.
解一元二次方程的方法
①因式分解法
方程一边是0， （方程一边是 ，另一边整式容易因式分解）
②直接开平方法 ③配方法 ④公式法
2=a(a≥0) a≥0) x
(化方程为一般式） 化方程为一般式） 化方程为一般式
1.用因式分解法的条件是 1.用因式分解法的条件是:方程左边能够 用因式分解法的条件 分解,而右边等于零; 分解,而右边等于零; 2.理论依据是 2.理论依据是:如果两个因式的积等于零 理论依据 那么至少有一个因式等于零. 那么至少有一个因式等于零. 因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 步骤 一移-----方程的右边=0; 一移-----方程的右边=0; -----方程的右边 二分-----方程的左边因式分解; 二分-----方程的左边因式分解; -----方程的左边因式分解 三化-----方程化为两个一元一次方程; 三化-----方程化为两个一元一次方程; -----方程化为两个一元一次方程 四解-----写出方程两个解; 四解-----写出方程两个解; -----写出方程两个解
2017-2018学年浙教版八年级数学下册课件：2.2 一元二次方程的解法 (共35张PPT)
4.下面是某同学在一次数学测验中解答的填空题，
其中答对的是（ C
）
A、若x2=4，则x=2
B、若3x2=6x，则x=2
C、若x2+x-k=0的一个根是1，则k=2
D、若
x
2
x
3x
2
2
的值为零，则x
2
引例：给下列方程选择较简便的方法
⑴ 5x2-3 2 x=0 （运用因式分解法）
一当边也的可整考式虑是配否方容法易）因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选 用公式法；不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法 也较简单。
2、选择适当的方法解下列方程：
• ① (x 2)2 9
• ②t2 4t 5
• ③ 9(2m 3)2 4(2m 5)2 0
因式分解法解一元二次方程 当方程的一边为0时，另一边容易分解成两个一次
因式的积时，则用因式分解法解方程比较方便.
解一元二次方程的万能法 （公式法解一元二次方程）
求根公式
:x b
b2 4ac (b2 4ac 0,a 0)
2a
强化训练
1、选择适当的方法解下列方 程
(1) 16 x2 1 25
(3) 2x2 5x -1 (4) x2 2x 99
（5）(x-1)(x+1)=x （6）x (2x+5)=2 (2x+5) （7）(2x－1)2=4(x+3)2 （8）3(x-2)2－9=0
共同归纳
解一元二次方程恰当方法的选择
开平方法解一元二次方程
( )2
① x2 = a ② m x + n = b
浙教版八级数学下册课件：一元二次方程的应用
配方法
将一元二次方程转化为完全平方 形式，然后求解。
一元二次方程的应用场景
01
02
03
几何问题
在几何问题中，常常需要 利用一元二次方程来求解 线段长度、角度等几何量 。
实际问题
一元二次方程在实际问题 中也有广泛应用，如速度 、距离、时间等问题，以 及一些经济问题。
代数问题
在代数问题中，一元二次 方程常常用于求解未知数 ，或者用于证明某些数学 性质和定理。
检验解的合理性
将解代入原方程进行检验，确保解 的合理性。
解释结果
将解代入实际问题中，解释结果的 物理意义和实际意义。
03
一元二次方程的应用题解析
代数应用题解析
代数应用题
这类问题通常涉及到一元二次方程的求解，通过 代数运算找出未知数的值。
解析方法
首先将问题转化为数学模型，即一元二次方程， 然后利用求解公式或因式分解法求解。
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答案及解析
由长方形面积公式得xy=120，所以y=120/x。解析：根 据长方形面积公式，我们可以列出x和y之间的关系式，即 xy=120。
题目
一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则它的斜 边长为（）
答案及解析
由勾股定理得斜边长为5。解析：根据勾股定理，直角三 角形的斜边长等于两直角边长的平方和的平方根，即 c=√(3^2+4^2)=5。
实际问题的数学建模
建立数学模型
将实际问题转化为数学问 题，通过数学语言描述问 题中的数量关系和变化规 律。
确定变量和参数
根据实际问题，确定相关 的变量和参数，并建立它 们之间的关系式。
建立方程
根据问题描述和数量关系 ，建立一元二次方程或其 他数学方程。
中考数学总复习考点知识讲解课件30---一元二次方程及其应用
C．x2－x＋1＝0
D．x2＝1
百变四：已知方程系数关系，判断方程根的情况 4．(2016·河北)a，b，c为常数，且(a－c)2＞a2＋c2，则关于x的方程ax2 ＋bx＋c＝0的根的情况( ) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．有一根为0
【解析】 ∵(a－c)2＝a2＋c2－2ac＞a2＋c2，∴ac＜0.∴在方程ax2＋bx＋ c＝0中，b2－4ac≥－4ac＞0，∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数 根．故选B.
【自主解答】 解：(1)四 x＝ (2)x2－2x－24＝0， 移项，得x2－2x＝24， 配方，得x2－2x＋1＝24＋1， 即(x－1)2＝25， 两边开平方，得x－1＝±5， ∴x1＝6，x2＝－4.
解一元二次方程的注意点
(1)在运用公式法解一元二次方程时，要先把方程化为一般形式，再确定 a，b，c的值，否则易出现符号错误； (2)用因式分解法确定一元二次方程的解时，一定要保证等号的右边化为 0，否则易出现错误； (3)如果一元二次方程的常数项为0，不能在方程两边同时除以含有未知数 的相同因式； (4)对于含有不确定量的方程，需要把求出的解代入原方程检验，避免增 根．
知识点二 一元二次方程的解法
x＝b b2 4ac 2a
知识点三 一元二次方程根的判别式
b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式．判别式 的符号决定了方程根的情况，即
(1)b2－4ac>0⇔方程有两个 _不__相__等__的实数根；
(2)b2－4ac_＝__0⇔方程有两个相等的实数根； (3)b2－4ac<0⇔方程__没__有___实数根．
【分析】由每个月的平均增长率相同，可分别表示二月份和三月份的工业 产值，再结合第一季度总产值为175亿元列方程即可． 【自主解答】由平均每月增长的百分率为x，则二月的工业产值为50(1＋x) 亿元，三月的工业产值为50(1＋x)2 亿元，则根据题意可得方程：50＋ 50(1＋x)＋50(1＋x)2＝175，故选D.
(完整word)2018浙教版最新一元二次方程的概念及解法
一元二次方程的概念及解法知识点一:一元二次方程的概念(1）定义：只含有一个未知数．．．．．．．．，并且未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的整式方程．．．．就是一元二次方程。
(2）一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax(3)四个特点：（1）只含有一个未知数；（2）且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为)0(02≠=++a c bx ax 的形式,则这个方程就为一元二次方程． （4）将方程化为一般形式:02=++c bx ax 时，应满足(a ≠0)例1：下列方程①x 2+1=0；②2y(3y —5）=6y 2+4；③ax 2+bx+c=0 ；④0351=--x x，其中是一元二次方程的有 .变式:方程：①13122=-x x ②05222=+-y xy x ③0172=+x ④022=y 中一元二次程的是 。
例2：一元二次方程12)3)(31(2+=-+x x x 化为一般形式为： ，二次项系数为: ，一次项系数为: ,常数项为： 。
变式：有一个一元二次方程，未知数为y,二次项的系数为－1,一次项的系数为3,常数项为－6，请你写出它的一般形式______________。
例3：在关于x 的方程(m —5)x m-7+(m+3)x-3=0中:当m=_____时，它是一元二次方程；当m=_____时，它是一元一次方程。
变式：已知关于x 的方程（m+1）x 2－mx+1=0，它是（ ） A ．一元二次方程 B ．一元一次方程 C ．一元一次方程或一元二次方程 D ．以上答案都不对知识点二:一元二次方程的解（1）概念：使方程两边相等的未知数的值,就是方程的解。
（2）应用：利用根的概念求代数式的值；【典型例题】1。
已知2x =是一元二次方程220x mx ++=的一个解，则m 的值是( ) A ．3-B ．3C ．0D ．0或32。
浙江省2018届初三数学中考总复习第8讲《一元二次方程及其应用》名师讲练含答案
第8讲一元二次方程及其应用对系数特点米用不同方法的最优化解题策略，养成先观察后动笔的基本解题习惯•一般情况下：（1）首先看能否用直接开平方法或因式分解方法法；（2）不能用以上方法时，可考虑用公式法；（3）除特别指明外，一般不用配方法.■考题体验^・1. （2015温州）若关于x的一元二次方程4x2—4x + c= 0有两个相等实数根，则c的值是（）A. —1【问题】给出以下方程①3x + 1 = 0:②x2—2x = 8:③―；—= 1.x —3 3 —x（1） _________________________ 是一元二次方程的是;（2）求出（1）中的一元二次方程的解，并联想还有其他的解法吗？⑶通过（1）（2）问题解决，你能想到一元二次方程的哪些知识？【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理一元二次方程的概念以及解法.D. 42. （2017舟山）用配方法解方程x2+ 2x — 1 = 0时，配方结果正确的是2A. (x + 2) = 2B. (x + 1)2= 2 C. (x + 2)2= 3 D. (x + 1)2= 33. (2017 丽水)解方程：(x —3)(x —1) = 3.类型一 一元二次方程的有关概念例1 (1)关于x 的方程(a — 6)x 1 2— 8x + 6 = 0有实数根，则整数 a 的最大值是 _________ . a 2_ b 2 ⑵若x = 1是一元二次方程ax 2 + bx — 40= 0的一个解，且a *b ，贝V 的值为2a — 2b(3) ______________________________ 关于 x 的方程 a(x + m)2 + b = 0 的解是 X i = — 2, x ?= 1, (a , m , b 均为常数，a * 0), 则方程a(x + m + 2)2+ b = 0的解是 .【解后感悟】(1)切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件； (2)注意解题中的整体代入思想；(3)注意由两个方程的特点进行简便计算.x 2+ mx + n = 0的一个根，则 m 2+ 2mn + n 2的值为类型二一元二次方程的解法例2解下列方程：(1) (3x — 1)2= (x + 1)2 ；2 1(2) 2x + x — = 0.【解后感悟】解一元二次方程要根据方程的特点选择合适的方法解题，但一般顺序为： 直接开平方法T 因式分解法T 公式法.一般没有特别要求的不用配方法.解题关键是能把解1 (1)(2016南京模拟)关于x 的一元二次方程(a 2— 1)x 2+ x —2 = 0是一元二次方程，则a满足()A . a * 1B . a *— 1C . a *± 1D .为任意实数(2)已知 x = 1是一兀二次方程元二次方程转化成解一元一次方程.2 .解方程:(1)(2x - 1)2= x(3x + 2) - 7;(2)x(x - 2) + x-2 = 0.类型三一元二次方程根的判别式例3(1)(2017潍坊)若关于x的一元二次方程kx2- 2x + 1 = 0有实数根，则k的取值范围是 .(2)(2015台州)关于x的方程mx2+ x- m+ 1= 0,有以下三个结论：①当m= 0时，方程只有一个实数解；②当m z0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是____________________________ (填序号).【解后感悟】在一元二次方程ax2+ bx + c= 0中，需要把握根的三种存在情况：b2- 4ac> 0，方程有实数根(两个相等或两个不相等);b2-4ac v 0,无实数根.3.已知命题“关于x的一元二次方程x2+ bx + 1 = 0,当b v 0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例是()A. b=- 1B. b= 2C. b=- 2D. b= 04 .若关于x的一元二次方程kx2+ 4x + 3 = 0有实根，则k的非负整数值是5.已知关于x的一元二次方程ax2+ bx + 1 = 0(a z 0)有两个相等的实数根，求ab2a-2) 2+ b2-4 的值.类型四与几何相关的综合问题（1）在宽为20m ，长为32m 的矩形田地中央修筑同样宽的两条互相垂直的道路，把矩 形田地分成四个相同面积的小田地，作为良种试验田，要使每小块试验田的面积为 135m 2,则道路的宽为 _________ m.（2）（2016张家口模拟）如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设 则b= ________⑶（2015广•安）一个等腰三角形的两条边长分别是方程 x 2— 7x + 10= 0的两根，则该等腰三角形的周长是 _________【解后感悟】（1）此题关键是将四个矩形以恰当的方式拼成大矩形列出等量关系. （2）此题是一个信息题目，首先根据题目隐含条件找到数量关系，然后利用数量关系列出方程解决问题.（3）本题关键是确定三角形的三边的长度，用的数学思想是分类讨论思想•要随时注 意三边之间满足的关系“任意两边之和大于第三边6.（1）（2016台湾）如图的六边形是由甲、乙两个长方形和丙、丁两个等腰直角三角形所 组成，其中甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和•若丙的一股长为 2,且丁的面积比丙的面积小，则丁的一股长为何？（ )13 込B.3C . 2- 3D . 4— 2.3<（2）一个直角三角形的两条边长是方程 x 2— 7x + 12= 0的两个根，则此直角三角形的面积等于 _________________ .⑶有一块长32cm ，宽24cm 的长方形纸片，如图，在每个角上截去相同的正方形，再 折起来做成一个无盖的盒子，已知盒子的底面积是原纸片面积的一半，则盒子的高是___________________ cm.类型五一元二次方程在生活中的应用例5 （1）（2017济宁市任城区模拟）某种数码产品原价每只 400元，经过连续两次降价后， 现在每只售价为256元，则平均每次降价的百分率为 ____________ .（2）某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式 （每两队之间都要赛一场）计划安排15场比赛，则参加比赛的球队应有 ___________ 队.⑶商场在促销活动中，将标价为200元的商品，在打 a 折的基础上再打 a 折销售，现该商品的售价为128元，则a 的值是 ___________ .⑷将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖 500个，已知该商品每涨价 1元，其销量就要减少10个，为了赚8000元利润，则应进货 ____________ 个.【解后感悟】（1）若设变化前的量为 a ,变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次 变化后的数量关系为 a （1 ±）2= b ; （2）关键是准确找到描述语，根据等量关系准确地列出方 程•此题还要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解；（3）此题打a 折转化 走是解决问题的关键； ⑷解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量 关系，列出方程，再求解. 71. (1)(2017温州)我们知道方程x 2+ 2x — 3= 0的解是x i = 1, X 2=— 3,现给出另一个方 程(2x + 3)2+ 2(2x + 3) — 3 = 0,它的解是()7 （1）（2016宁波市镇海区模拟）毕业典礼后，九年级（1）班有若干人，若每人给全班的其 他成员赠送一张毕业纪念卡，全班共送贺卡1190张，则九年级（1）班人数为 人.（2）（2017山西模拟）将一些半径相同的小圆按如图的规律摆放，请仔细观察，第 个图形有94个小圆.。
2018年浙江省中考数学《第8讲：一元二次方程及其应用》总复习讲解
第8讲一元二次方程及其应用1．一元二次方程的概念及解法考试内容考试要求一元二次方程的概念只含有个未知数，且未知数的最高次数是的整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0）．a一元二次方程的解法解一元二次方程的基本思想是____________________,主要方法有：____________________法、直接开平方法、____________________法、公式法等．c2.一元二次方程根的判别式考试内容考试要求根的判别式的定义关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为____________________．b判别式与根的关系(1）b2－4ac＞0⇔一元二次方程____________________的实数根;(2)b2－4ac＝0⇔一元二次方程____________________的实数根;（3）b2－4ac＜0⇔一元二次方程____________________实数根．考试内容考试要求基本化归与转化思想，一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、 c思想公式法、因式分解法,都是运用了“转化”的思想，把待解决的问题(一元二次方程），通过转化，归结为已解决的问题(一元一次方程），也就是不断地把“未知”转化为“已知”．基本方法对系数特点采用不同方法的最优化解题策略,养成先观察后动笔的解题习惯．一般情况下：（1)首先看能否用直接开平方法或因式分解法；(2）不能用以上方法时,可考虑用公式法;(3)除特别指明外，一般不用配方法．1．（2015·温州）若关于x的一元二次方程4x2－4x＋c＝0有两个相等实数根，则c的值是（）A．－1 B．1 C．－4 D．42．（2017·舟山）用配方法解方程x2＋2x－1＝0时，配方结果正确的是()A．（x＋2）2＝2 B．(x＋1）2＝2 C．(x＋2）2＝3 D．(x＋1）2＝33．(2017·丽水）解方程：(x－3）(x－1)＝3.【问题】给出以下方程①3x＋1＝0;②x2－2x＝8；③错误!－错误!＝1。
年浙江省中考数学《第8讲：一元二次方程及其应用》总复习讲解
第8讲一元二次方程及其应用1．一元二次方程的概念及解法考试内容考试要求一元二次方程的概念只含有个未知数，且未知数的最高次数是的整式方程,叫做一元二次方程．它的一般形式是ax２＋bｘ+c=0(a≠0).ａ一元二次方程的解法解一元二次方程的基本思想是_＿_______＿__＿__＿____,主要方法有:__________＿＿__＿_＿___法、直接开平方法、______＿__＿______＿＿__法、公式法等．c2.一元二次方程根的判别式考试内容考试要求根的判别式的定义关于x的一元二次方程ax2＋bx＋ｃ＝0（a≠0)的根的判别式为＿_＿＿＿＿________＿＿_＿__．b 判别式与根的关系(1)b2－４ac＞０⇔一元二次方程_____＿_＿＿_＿__＿______的实数根；(2)b2-4ac=0⇔一元二次方程_＿＿＿＿___＿______＿_＿__的实数根；(３）b2-4ac<0⇔一元二次方程_____＿＿___＿_＿＿＿___＿_实数根．考试内容考试要求基本思想化归与转化思想，一元二次方程的解法:直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法,都是运用了“转化”的思想,把待解决的问题(一元二次方程)，通过转化,归结为已解决的问题（一元一次方程）,也就是不断地把“未知”转化为“已知”．ｃ基本方法对系数特点采用不同方法的最优化解题策略,养成先观察后动笔的解题习惯.一般情况下:(1)首先看能否用直接开平方法或因式分解法；（2)不能用以上方法时,可考虑用公式法;（３)除特别指明外，一般不用配方法．1．（２015·温州)若关于x的一元二次方程4x２-４x＋ｃ=0有两个相等实数根,则ｃ的值是( )A．－1 Ｂ．1 C.-4D.42.(2０１7·舟山）用配方法解方程x２＋2x－1=０时，配方结果正确的是（)Ａ．(x＋２)2=2B.(ｘ＋1)２=２C．（x+2)2=3 Ｄ.(x+1)２＝3３.(2０17·丽水）解方程:(x－3）(ｘ－1)＝3.【问题】给出以下方程①３x+1=０;②x2-2x＝8；③错误!－错误!=1.(１)是一元二次方程的是_＿___＿＿_＿_；(2)求出(１)中的一元二次方程的解,并联想还有其他的解法吗?(3)通过(１)(２)问题解决,你能想到一元二次方程的哪些知识?【归纳】通过开放式问题,归纳、疏理一元二次方程的概念以及解法.类型一一元二次方程的有关概念例1(1）关于ｘ的方程(a－6)x２-８x+６=０有实数根，则整数a的最大值是_＿＿__＿_＿．(２）若x＝1是一元二次方程ax2+bx－40＝０的一个解,且a≠ｂ，则a2-b２２ａ－2b的值为＿＿＿_＿_＿_.(3）关于x的方程a(x+ｍ)２＋b＝0的解是x1=－2，ｘ2＝1，(ａ,ｍ，b均为常数,ａ≠０),则方程a(x+m+2)2＋b=０的解是________．【解后感悟】（1)切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件；(２)注意解题中的整体代入思想;(3)注意由两个方程的特点进行简便计算．1．(1)(２016·南京模拟)关于x的一元二次方程(a2－1)ｘ2+x-2=0是一元二次方程,则a满足( ）A．a≠１B.a≠-1 C．a≠±1 D.为任意实数(2)已知x=1是一元二次方程x2+ｍｘ＋n＝0的一个根,则ｍ2＋2ｍn+n2的值为_________________＿_＿．类型二一元二次方程的解法错误!解下列方程：(1)(３x－１)２＝(x＋１)2；(2)2ｘ２+x-错误!＝0.【解后感悟】解一元二次方程要根据方程的特点选择合适的方法解题，但一般顺序为:直接开平方法→因式分解法→公式法．一般没有特别要求的不用配方法.解题关键是能把解一元二次方程转化成解一元一次方程．２.解方程:(1)(２x－1）２＝x(3x＋2)-７;(2）x（x-2)+ｘ－２＝0.类型三一元二次方程根的判别式错误!(1)(２017·潍坊)若关于x的一元二次方程kx2－２x+1＝0有实数根，则k的取值范围是___＿_＿_＿.(２）(2０15·台州）关于ｘ的方程ｍx2＋x-m＋1＝0,有以下三个结论:①当m=0时，方程只有一个实数解；②当ｍ≠0时,方程有两个不等的实数解;③无论m取何值，方程都有一个负数解,其中正确的是＿_____＿_(填序号）.【解后感悟】在一元二次方程ａx2+bx+c＝0中,需要把握根的三种存在情况：b２－4ac≥0,方程有实数根(两个相等或两个不相等)；b2-４ａc＜0,无实数根．３.已知命题“关于ｘ的一元二次方程ｘ2+bx＋1=0,当b＜0时必有实数解”,能说明这个命题是假命题的一个反例是（)A.b=－1B.ｂ=２C．b=-2 Ｄ.b＝０4．若关于x的一元二次方程kｘ2＋4x＋3＝０有实根，则k的非负整数值是___＿________＿_______.5．已知关于x的一元二次方程ａx２＋bx+1＝0(a≠0)有两个相等的实数根，求aｂ22+ｂ２－4)的值．（a－2类型四与几何相关的综合问题错误!(1)在宽为20ｍ，长为32m的矩形田地中央修筑同样宽的两条互相垂直的道路，把矩形田地分成四个相同面积的小田地，作为良种试验田，要使每小块试验田的面积为135m2,则道路的宽为________m.(２)(2016·张家口模拟)如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形,设a=1,则b＝_＿_____＿．(3)(201５·广安）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－７ｘ+10=０的两根，则该等腰三角形的周长是＿__＿____．【解后感悟】(1)此题关键是将四个矩形以恰当的方式拼成大矩形列出等量关系.(2）此题是一个信息题目，首先根据题目隐含条件找到数量关系,然后利用数量关系列出方程解决问题．(３）本题关键是确定三角形的三边的长度,用的数学思想是分类讨论思想．要随时注意三边之间满足的关系“任意两边之和大于第三边”．６.(1)(２０１6·台湾)如图的六边形是由甲、乙两个长方形和丙、丁两个等腰直角三角形所组成,其中甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和．若丙的一股长为2,且丁的面积比丙的面积小，则丁的一股长为何?()A．错误!Ｂ.错误!C．2-错误! D．4－2 3（2)一个直角三角形的两条边长是方程x２-7x+12＝0的两个根，则此直角三角形的面积等于.（３）有一块长32cm,宽24ｃm的长方形纸片,如图，在每个角上截去相同的正方形，再折起来做成一个无盖的盒子,已知盒子的底面积是原纸片面积的一半，则盒子的高是_＿＿______＿＿＿__＿_____ｃm.类型五一元二次方程在生活中的应用错误!(１)(20１７·济宁市任城区模拟)某种数码产品原价每只40０元,经过连续两次降价后,现在每只售价为256元，则平均每次降价的百分率为＿＿_____＿.(２)某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都要赛一场)计划安排15场比赛，则参加比赛的球队应有＿_______队．（３）商场在促销活动中，将标价为200元的商品，在打a折的基础上再打a折销售,现该商品的售价为128元,则a的值是________.（４）将进货单价为4０元的商品按50元出售时,能卖500个,已知该商品每涨价1元，其销量就要减少10个，为了赚800０元利润，则应进货______＿＿个．【解后感悟】(1）若设变化前的量为a，变化后的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2＝b；（2)关键是准确找到描述语,根据等量关系准确地列出方程.此题还要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解；(３)此题打a折转化a１０是解决问题的关键;(4）解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．7．（1)(２016·宁波市镇海区模拟）毕业典礼后,九年级(１）班有若干人,若每人给全班的其他成员赠送一张毕业纪念卡,全班共送贺卡１１90张，则九年级(１)班人数为__＿__＿____＿_＿_____＿＿人.(２)(2０１７·山西模拟)将一些半径相同的小圆按如图的规律摆放,请仔细观察，第____＿___＿＿＿_______＿_个图形有94个小圆．【探索研究题】1．(1）(20１7·温州)我们知道方程x2+２ｘ-３＝0的解是x1=1，x2=-3,现给出另一个方程(2x+3）2＋2（2x+3)－3＝0，它的解是()A．x1＝1,ｘ2＝3B.ｘ1＝１,ｘ２=-３C.x１=-1，x２＝３D．ｘ1=－1,x2＝－3(2)(２017·宁波市北仑区模拟）已知ｍ是方程x2－2017x+1＝0的一个根,则代数式m2-２01８m+错误!+３的值是__＿_＿___.【方法与对策】(1)此题主要利用了方程结构相同的整体代入的方法求一元二次方程的解;(2）此题主要利用了一元二次方程的解得到已知式,再利用整体代入的方法求值．该题型是中考命题方法之一．【忽视一元二次方程ax ２+b ｘ＋c=０（a ≠０)中“ａ≠0”】已知关于x 的一元二次方程（m －１)x ２+x ＋1＝0有实数根，则m 的取值范围是__＿_＿＿__．参考答案第8讲 一元二次方程及其应用【考点概要】1.一 ２ 降次 配方 因式分解 ２.b 2－4ac 有两个不相等 有两个相等 没有 【考题体验】1．B ２.B 3.x １=０，ｘ2=4. 【知识引擎】【解析】(1)②; （2)x 1＝4,x 2＝-2(配方法)，其他方法：因式分解法、公式法; (3)一元二次方程的概念以及解法.【例题精析】例１ (1）①若a ＝６，则方程有实数根,②若a ≠6,则Δ≥0，∴6４－4×(a-6)×6≥0，整理得：a ≤２６3，∴a 的最大值为８；(２)∵x=1是一元二次方程ax ２+bx-４0＝0的一个解，∴ｘ=1满足一元二次方程ax ２+ｂx-40＝0,∴a ＋b-40=0，即a ＋b ＝40①，a ２-ｂ２2a －2b=错误!=错误!,即ａ2－b ２2a-２b ＝错误!②，把①代入②,得错误!＝20.(3)∵关于ｘ的方程a(ｘ＋m)2＋b=0的解是x 1=-2，ｘ2=1,（a ，m,b 均为常数，a ≠0),∴方程a(x ＋m ＋2)2+b=0变形为a ［(x ＋２)+m]2+ｂ＝0,即此方程中x+2=-2或x+2=1,解得x=－4或x ＝-1．例2 （1)将方程(3x －1)２＝（x ＋1)2移项得，(3x －1）2-(x+1)2=0,∴（３x-1+x ＋1)(３x －１-x －1)=0,∴4x(２x －2)=0,∴x(x-１)=０，解得x 1＝0,x 2=１. (2)∵2x 2＋ｘ-＼f(１,２)＝0，可得,a ＝2，b=１，c=-12，∴x=-错误!±错误!． 例3 (1)∵关于x 的一元二次方程ｋｘ2-2x＋1＝0有实数根，∴Δ=b ２－4ａc ≥0,即:4－4k ≥0,解得:k ≤１，∵关于ｘ的一元二次方程k ｘ2－２x ＋1=0中ｋ≠０,故答案为：k ≤1且k ≠0．(２)当m ＝０时,x=－1,方程只有一个解,①正确；当m ≠0时,方程ｍx 2+x －m+1＝0是一元二次方程，Δ=1－4m(１－m ）=1－4m ＋4m 2＝（2ｍ-1)2≥0,方程有两个实数解，②错误;把mx 2＋x －m ＋1＝0分解为（x ＋1)（m ｘ-ｍ＋1）＝0,当x ＝－1时,m －1-m+１＝０,即ｘ＝－１是方程mx ２+x －m ＋１＝０的根，③正确；故答案为①③.例4 （１)设道路的宽为x 米．依题意得：(3２-ｘ）（20-x ）＝1３5×4,解之得x 1=２,ｘ２=５０(不合题意舍去),∴道路宽为2ｍ．(2)依题意得(ａ+b ）２=b(b ＋a+b),而a ＝１,∴b 2-b －1=0，∴b ＝错误!．(3)∵ｘ２－7x+1０=0，∴(x －2)(x-5)＝0,x １=2,x 2＝５，①等腰三角形的三边是2，２,５，∵２+2<5,∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；②等腰三角形的三边是２，５,5,此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是2＋5＋５=12；即等腰三角形的周长是12.故答案:12.例5 (1)２0％;(2)6；(3)２00×a 10×a 1０=128,得a ＝8；(４)设销售价x 元/个,得［500-10(x-5０)]·(ｘ-４0)=80０0,∴ｘ＝6０或ｘ＝８0,∴应进货4０0或2０0个．【变式拓展】 1．(1)C (２)１2. (１)ｘ1=2，ｘ2＝4 (２)x 1＝2,x 2=-13.A 4．15. ∵ax 2＋bx ＋1＝０（a ≠0)有两个相等的实数根,∴Δ=ｂ2－4ａｃ=0，即b 2-4a=0，b 2=4ａ.∴错误!＝错误!＝错误!=错误!．∵ａ≠０，∴原式=错误!=错误!=错误!＝４.6. (１)D (2）6或３＼r(7)２ (3)４７.(１)３5 （2)9 【热点题型】【分析与解】（1)先把方程(2x ＋3)2+2（2ｘ+3）－3＝0看作关于２x+3的一元二次方程,利用题中的解得到2ｘ＋3=1或2x+３＝-３,所以ｘ1=－1,x ２＝-３．故选Ｄ. (2)根据一元二次方程根的定义得到m ２＝20１7m －１,再利用整体代入的方法得到原式＝20１７m －１－2０1８ｍ＋2017ｍ-1+１2０17+3＝-1-m+m+3=2.故答案是２.【错误警示】m ≤错误!且m ≠１，由一元二次方程有实数根，则12-４(m －1)≥0且ｍ-１≠0.∴m ≤错误!且ｍ≠1．。
中考数学一轮专题复习 第8讲 一元二次方程及应用精讲精练 浙教版
第8讲一元二次方程考点一、一元二次方程的有关概念【例1】下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )A．x2＋1x2＝0 B．ax2＋bx＋c＝0C．(x－1)(x＋2)＝1 D．3x2－2xy－5y2＝0方法总结方程是一元二次方程要同时满足下列条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2；④二次项系数不等于0.容易忽略的是条件①和④.举一反三方程x2+ax+1=0和x2﹣x﹣a=0有一个公共根，则a的值是（）A．0 B．1 C．2 D．3考点二、一元二次方程的解法【例2】解方程：（2x﹣1）2=x（3x+2）﹣7方法总结此类题目主要考查一元二次方程的解法及优化选择，常常涉及到配方法、公式法、因式分解法．选择解法时要根据方程的结构特点，系数(或常数)之间的关系灵活进行，解题时要讲究技巧，尽量保证准确、迅速．举一反三 1.解方程：（x2+4）（x2+1）=2x（4+x2）2.解方程组：5 x y12+=⎪⎩3.解方程组：4.解关于x的方程：a2（x2﹣x+1）﹣a（x2﹣1）=（a2﹣1）x．考点三、一元二次方程根的判别式的应用【例3】如果关于x的方程（m+1）x2+2mx+m﹣1=0有实数根，则（）A．m≠1 B．m=﹣1 C．m≠±1 D．m为全体实数方法总结由于一元二次方程有两个相等的实数根，可得根的判别式b2－4ac＝0，从而得到一个关于m的方程，解方程求得m的值即可．一元二次方程根的判别式的应用主要有以下三种情况：(1)不解方程，判定根的情况；(2)根据方程根的情况，确定方程系数中字母的取值范围；(3)应用判别式证明方程根的情况．举一反三 1.关于x的方程kx2﹣4x﹣=0有实数根，则k的取值范围是．2.已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+a（x+a）=0的两个实数根为x1，x2，若y=x1+x2+．（1）当a≥0时，求y的取值范围；（2）当a≤﹣2时，比较y与﹣a2+6a﹣4的大小，并说明理由．考点四、一元二次方程根与系数的关系【例4】已知关于x 的方程x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0有两个实数根x 1，x 2. (1)求k 的取值范围；(2)若|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，求k 的值．方法总结 解决本题的关键是把给定的代数式经过恒等变形化为含x 1＋x 2，x 1x 2的形式，然后把x 1＋x 2，x 1x 2的值整体代入．研究一元二次方程根与系数的关系的前提为：①a ≠0，②b 2－4ac ≥0.因此利用一元二次方程根与系数的关系求方程的系数中所含字母的值或范围时，必须要考虑这一前提条件．举一反三 1.已知m ，n 是方程x 2+2x ﹣5=0的两个实数根，则m 2﹣mn+3m+n= ．2. 若t 是一元二次方程2ax bx c 0(a 0)++=≠的根，则判别式2b 4a c ∆=-和完全平方式M=()22at b +的大小关系是( )A.△=MB.△＞MC.△＜MD.大小关系不能确定 3. 已知，关于x 的一元二次方程x 2﹣（a ﹣4）x ﹣a+3=0（a ＜0）． （1）求证：方程一定有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x 1，x 2（其中x 1＜x 2），若y 是关于a 的函数，且y=，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，利用函数图象，求关于a 的方程y+a+1=0的解．考点五、用一元二次方程解实际问题【例5】汽车产业是我市支柱产业之一，产量和效益逐年增加．据统计，2014年我市某种品牌汽车的年产量为6.4万辆，到2016年，该品牌汽车的年产量达到10万辆．若该品牌汽车年产量的年平均增长率从2014年开始五年内保持不变，则该品牌汽车2016年的年产量为多少万辆？方法总结此题是一道典型的增长率问题，主要考查列一元二次方程解应用题的一般步骤．解应用题的关键是把握题意，找准等量关系，列出方程．最后还要注意求出的未知数的值是否符合实际意义，不符合的要舍去．举一反三受房贷收紧、对政策预期不确定等因素影响，今年前两个月，全国商品住宅市场销售出现销售量和销售价齐跌态势，数据显示，2016年前两个月，某房地产开发公司的销售面积一共8300平方米，其中2月份比1月份少销售300平方米．（1）求2016年1、2月份各销售了多少平方米；（2）该公司2月份每平方米的售价为8000元，3月份开始，决定以降价促销的方式应对当前的形势，据调查，与2月份相比较，每平方米销售单价下调a%，则销售面积将增加（a+10）%，结果3月份总销售额为3456万元，求a 的值．一、选择题1．关于x 的方程2210x kx k ++-=的根的情况描述正确的是（ ）A . k 为任何实数，方程都没有实数根B .k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C .k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根D.根据k 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种2．关于x 的方程220x px q --=（p ，q 是正整数）, 若它的正根小于或等于4，则正根是整数的概率是（ ） A ．512 B ．14 C ．13D ．123．如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的三倍，则称这样的方程为“3倍根方程”，以下说法不正确的是（ ） A ．方程x 2﹣4x+3=0是3倍根方程B ．若关于x 的方程（x ﹣3）（mx+n ）=0是3倍根方程，则m+n=0C ．若m+n=0且m ≠0，则关于x 的方程（x ﹣3）（mx+n ）=0是3倍根方程D ．若3m+n=0且m ≠0，则关于x 的方程x 2+（m ﹣n ）x ﹣mn=0是3倍根方程 4．已知关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣a=0有两个相等的实数根，则a 的值是（ ） A ．4 B ．﹣4 C ．1 D ．﹣1二、填空题1．将关于x 的一元二次方程02=++q px x 变形为q px x --=2，就可将2x 表示为关于x 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降 次法”. 已知012=--x x ，可用“降次法”求得432014x x -+值是 .2．(2014下城区一模，14)已知等腰三角形的一腰为x ，周长为20，则方程212310x x -+= 的根为 .3.(2013上城区一模，13)已知1-=x 是一元二次方程0102=-+bx ax 的一个解，且b a -≠，则ba b a 2222+-的值为 ．三、解答题1．已知方程x 2﹣4x+3=0：，解决以下问题： (1)不解方程判断此方程的根的情况；(2)请按要求分别解这个方程：①配方法；②因式分解法. (3)这些方法都是将解 转化为解 ； (4)尝试解方程：x 3﹣x=02．把一个足球垂直水平地面向上踢，时间为t （秒）时该足球距离地面的高度h （米）适用公式h=20t ﹣5t 2（0≤t ≤4）．（1）当t=3时，求足球距离地面的高度； （2）当足球距离地面的高度为10米时，求t ；（3）若存在实数t 1，t 2（t 1≠t 2）当t=t 1或t 2时，足球距离地面的高度都为m （米），求m 的取值范围．1．设a、b是方程x2+x﹣2018=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A．2014 B．2015 C．2016 D．20172．已知m、n是方程x2﹣3x﹣1=0的两根，且（2m2﹣6m+a）（3n2﹣9n﹣5）=10，则a的值为（）A．7 B．﹣7 C．3 D．﹣33．已知实数m，n满足3m2+6m﹣5=0，3n2+6n﹣5=0，且m≠n，则= ．4．关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．5．如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建一条长方形道路LMPQ及一条平行四边形道路RSTK，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若LM=RS=x米，则根据题意可列出方程为．6．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知x2+mx+n=0是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则mn= ．7．选择适当方法解下列方程：（1）x2﹣5x+1=0（用配方法）；（2）3（x﹣2）2=x（x﹣2）；（3）2x2﹣2x﹣5=0（公式法）；（4）（y+2）2=（3y﹣1）2．8．定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”．如果关于x的一元二次方程x2﹣4x+5m=mx+5与x2+x+m﹣1=0互为“友好方程”，求m的值．9．阅读下列材料：（1）关于x的方程x2﹣3x+1=0（x≠0）方程两边同时乘以得：即，（2）a3+b3=（a+b）（a2﹣ab+b2）；a3﹣b3=（a﹣b）（a2+ab+b2）．根据以上材料，解答下列问题：（1）x2﹣4x+1=0（x≠0），则= ，= ，= ；（2）2x2﹣7x+2=0（x≠0），求的值．10.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根．（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=28，求m的值；（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．11.已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+3k=0．（1）求证：不论k取何实数，该方程总有实数根．（2）若等腰△ABC的一边长为2，另两边长恰好是方程的两个根，求△ABC的周长．12.已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．13.阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．计算：（1﹣﹣﹣）×（+++）﹣（1﹣﹣﹣﹣）×（++）．令++=t，则原式=（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t=t+﹣t2﹣t﹣t+t2=问题：（1）计算（1﹣﹣﹣﹣…﹣）×（++++…++）﹣（1﹣﹣﹣﹣﹣…﹣﹣）×（+++…+）；（2）解方程（x2+5x+1）（x2+5x+7）=7．答案【例1】 C举一反三 C【例2】解：（2x﹣1）2=x（3x+2）﹣7，4x2﹣4x+1=3x2+2x﹣7，x2﹣6x=﹣8，（x﹣3）2=1，x﹣3=±1，x1=2，x2=4举一反三 1.解：（x2+4）（x2+1）=2x（4+x2），两边同时除以x2+4得：x2+1=2x，整理得：x2﹣2x+1=0，（x﹣1）2=0，∴x1=x2=12.解：令，则等价于解方程组，解得或．继而解得或．经检验它们都是原方程组的解．3.解：由①得2x=﹣y﹣2，两边平方得：4x2=5y2+20y+20③，把③代入②，整理得7y2+10y﹣8=0，解得：y1=﹣2或y2=，代入②得x1=0或x2=﹣，故原方程组的解为或4.解：整理方程得（a2﹣a）x2﹣（2a2﹣1）x+（a2+a）=0．（1）当a2﹣a≠0，即a≠0，1时，原方程为一元二次方程，[ax﹣（a+1）][（a﹣1）x﹣a]=0，x1=，x2=；（2）当a2﹣a=0时，原方程为一元一次方程，当a=0时，x=0；当a=1时，x=2【例3】 D举一反三 1. k≥﹣6解：当k=0时，﹣4x﹣=0，解得x=﹣，当k≠0时，方程kx2﹣4x﹣=0是一元二次方程，根据题意可得：△=16﹣4k×（﹣）≥0，解得k≥﹣6，k≠0，综上k≥﹣6，故答案为k≥﹣6．2.解：（1）由x2﹣2x+a（x+a）=0得，x2+（a﹣2）x+a2=0△=（a﹣2）2﹣4××a2=﹣4a+4∵方程有两个实数根，∴﹣4a+4≥0．∴a≤1∵a≥0∴0≤a≤1∴y=x1+x 2+=﹣4a+8+a=﹣3a+8∵﹣3≤0，∴y 随a 的增大而减小当a=0时，y=8；a=1时，y=5∴5≤y≤8．（2）由（1）得a≤1，又a≤﹣2，∴a≤﹣2∴y=x1+x 2+=﹣4a+8﹣a=﹣5a+8当a=﹣2时，y=18；∵﹣3≤0∴y 随a 的增大而减小．∴当a≤﹣2时，y≥18又∵﹣a 2+6a ﹣4=﹣（a ﹣3）2+5≤5而18＞5∴当a≤﹣2时，y ＞﹣a 2+6a ﹣4【例4】解：(1)依题意，得b 2－4ac ≥0，即[－2(k －1)]2－4k 2≥0，解得k ≤12.(2)依题意，可知x 1＋x 2＝2(k －1)．由(1)可知k ≤12，∴2(k －1)＜0，即x 1＋x 2＜0.∴－2(k －1)＝k 2－1，解得k 1＝1，k 2＝－3.∵k ≤12，∴k ＝－3.举一反三 1. 8解：∵m、n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，∴mn=﹣5，m+n=﹣2，∵m2+2m﹣5=0∴m2=5﹣2mm2﹣mn+3m+n=（5﹣2m）﹣（﹣5）+3m+n=10+m+n=10﹣2=82. A3.解：（1）△=（a﹣4）2+4（a﹣3）=a2﹣4a+4=（a﹣2）2∵a＜0，∴（a﹣2）2＞0．∴方程一定有两个不相等的实数根；（2），∴x=a﹣3或．∵a＜0，x1＜x2，∴x1=a﹣3，x2=﹣1，∴（a＜0）；（3）如图，在同一平面直角坐标系中分别画出（a＜0）和y=﹣a﹣1（a＜0）的图象．由图象可得当a＜0时，方程y+a+1=0的解是a=﹣2．【例5】解：设该品牌汽车年产量的年平均增长率为x ，由题意，得6.4(1＋x)2＝10，解得x 1＝0.25，x 2＝－2.25.∵x 2＝－2.25＜0，故舍去，∴x ＝0.25＝25%.10×(1＋25%)＝12.5.答：2016年的年产量为12.5万辆．举一反三 解：（1）设1月份的销售面积为xm 2，则x+（x ﹣300）=8300，解得：x=4300，∴x ﹣300=4000m 2，答：2016年度月销售4300m 2，2月份销售4000m 2．（2）由题意可得：8000（1﹣a%）×4000[1+（a+10）%]=34560000令t=a%，则整理为：50t 2+5t ﹣1=0，解得：t=0.1或t=﹣0.2故a=10或a=﹣20（不符合题意，舍去）答：a 的值为10．一、选择题1． B2． A3． B4． D二、填空题1．20162．3.5三、解答题1．解：(1)041216>=-=∆，有两个不相等的实数根(2)①配方法：1,3,01)2(212===--x x x ;② 因式分解法：3,1,0)3)(1(21===--x x x x(3)一个一元二次方程，两个一元一次方程(4)1,1,0,0)1)(1(321-====+-x x x x x x2．解：（1）当t=3时，h=20t﹣5t2=20×3﹣5×9=15（米），∴当t=3时，足球距离地面的高度为15米；（2）∵h=10，∴20t﹣5t2=10，即t2﹣4t+2=0，解得：t=2+或t=2﹣，故经过2+或2﹣时，足球距离地面的高度为10米；（3）∵m≥0，由题意得t1，t2是方程20t﹣5t2=m 的两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac=202﹣20m＞0，∴m＜20，故m的取值范围是0≤m＜20．1．D解：∵a、b是方程x2+x﹣2014=0的两个实数根，∴a+b=﹣1；又∵a2+a﹣2014=0，∴a2+a=2014，∴a2+2a+b=（a2+a）+（a+b）=2018+（﹣1）=2017即a2+2a+b的值为2017．2．B解：∵m、n是方程x2﹣3x﹣1=0的两根，∴代入方程可以分别得到m2﹣3m﹣1=0，n2﹣3n﹣1=0，∴m2﹣3m=1，n2﹣3n=1，∴2m2﹣6m=2，3n2﹣9n=3，而（2m2﹣6m+a）（3n2﹣9n﹣5）=10，∴（2+a）（3﹣5）=10，∴a=﹣7．3．﹣解：∵m≠n时，则m，n是方程3x2+6x﹣5=0的两个不相等的根，∴m+n=﹣2，mn=﹣．∴原式====﹣，4．k＜且k≠05．（22﹣x）（17﹣x）=3006．﹣2解：∵x2+mx+n=0是“凤凰”方程，∴1+m+n=0，即n=﹣m﹣1．又∵方程x2+mx+n=0有两个相等的实数根，∴△=m2﹣4n=0，将n=﹣m﹣1代入，得m2﹣4（﹣m﹣1）=0，解得m=﹣2，∴n=1，∴mn=﹣2×1=﹣2．故答案为﹣2．7．解：（1）x2﹣5x=﹣1，x2﹣5x+（）2=﹣1+（）2，（x﹣）2=，x﹣=±，所以x1=，x2=；（2）3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）=0，（x﹣2）（3x﹣6﹣x）=0，所以x1=2，x2=3；（3）△=（﹣2）2﹣4×2×（﹣5）=48x===，所以x1=，x2=；（4）（y+2）2﹣（3y﹣1）2=0，（y+2+3y﹣1）（y+2﹣3y+1）=0，y+2+3y﹣1=0或y+2﹣3y+1=0，所以y1=﹣，y2=．8．解：x2﹣4x+5m=mx+5，整理得，x2﹣（4+m）x+5（m﹣1）=0，分解因式得，（x﹣5）[x﹣（m﹣1）]=0，解得x1=5，x2=m﹣1．当x=5时，25+5+m﹣1=0，解得m=﹣24﹣5；当x=m﹣1时，（m﹣1）2+（m﹣1）+m﹣1=0，解得m=1或m=﹣．所以m的值为﹣24﹣5或1或﹣．9．解；（1）∵x2﹣4x+1=0，∴x+=4，∴（x+）2=16，∴x2+2+=16，∴x2+=14，∴（x2+）2=196，∴x4++2=196，∴x4+=194．故答案为4，14，194．（2）∵2x2﹣7x+2=0，∴x+=，x2+=，∴=（x+）（x2﹣1+）=×（﹣1）=．10.解：（1）根据题意得△=4（m+1）2﹣4（m2+5）≥0，解得m≥2，x1+x2=2（m+1），x1x2=m2+5，∵（x1﹣1）（x2﹣1）=28，即x1x2﹣（x1+x2）+1=28，∴m2+5﹣2（m+1）+1=28，整理得m2﹣2m﹣24=0，解得m1=6，m2=﹣4，而m≥2，∴m的值为6；（2）若x1=7时，把x=7代入方程得49﹣14（m+1）+m2+5=0，整理得m2﹣14m+40=0，解得m1=10，m2=4，当m=10时，x1+x2=2（m+1）=22，解得x2=15，而7+7＜15，故舍去；当m=4时，x1+x2=2（m+1）=10，解得x2=3，则三角形周长为3+7+7=17；若x1=x2，则m=2，方程化为x2﹣6x+9=0，解得x1=x2=3，则3+3＜7，故舍去，所以这个三角形的周长为17．11.（1）证明：△=（k+3）2﹣4×3k=（k﹣3）2≥0，故不论k取何实数，该方程总有实数根；（2）解：当△AB C的底边长为2时，方程有两个相等的实数根，则（k﹣3）2=0，解得k=3，方程为x2﹣6x+9=0，解得x1=x2=3，故△ABC的周长为：2+3+3=8；当△ABC的一腰长为2时，方程有一根为2，方程为x2﹣5x+6=0，解得，x1=2，x2=3，故△ABC的周长为：2+2+3=7．12.解：（1）△ABC是等腰三角形；理由：∵x=﹣1是方程的根，∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，∴a+c﹣2b+a﹣c=0，∴a﹣b=0，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形；（2）∵方程有两个相等的实数根，∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，∴4b2﹣4a2+4c2=0，∴a2=b2+c2，∴△ABC是直角三角形；（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：2ax2+2ax=0，∴x2+x=0，解得：x1=0，x2=﹣1．13.解：（1）设++…+=t，则原式=（1﹣t）×（t+）﹣（1﹣t ﹣）×t=t+﹣t2﹣t﹣t+t2+t=；（2）设x2+5x+1=t，则原方程化为：t（t+6）=7，t2+6t﹣7=0，解得：t=﹣7或1，当t=1时，x2+5x+1=1，x2+5x=0，x（x+5）=0，x=0，x+5=0，x1=0，x2=﹣5；当t=﹣7时，x2+5x+1=﹣7，x2+5x+8=0，b2﹣4ac=52﹣4×1×8＜0，此时方程无解；即原方程的解为：x1=0，x2=﹣5．21。