2021年高考文科数学真题试卷(全国乙卷)含答案

2021年高考文数真题试卷（全国乙卷）及答案(时间：120分钟 总分：150分）姓名：__________ 班级：__________考号：__________一、选择题：本题共12小题，每小题5分，总共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},则C u （MUN ）=（ ）A ．{5}B ．{1,2}C ．{3,4}D ．{1,2,3,4}2．设iz=4+3i ，则z 等于（ ）A ．-3-4iB ．-3+4iC ．3-4iD ．3+4i3．已知命题p ： ∃ x∈R ，sinx ＜1；命题q ： ∀ x∈R ， e |x|≥1，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p ∧ qB ．¬ p ∧ qC ．p ∧¬ qD ．¬ (pVq)4．函数f （x ）=sin x 3 +cos x3 的最小正周期和最大值分别是（ ）A ．3π 和 √2B ．3π 和2C ．6π 和 √2D ．6π 和25．若x ，y 满足约束条件 {x +y ≥4x −y ≤2y ≤3 ,则z=3x+y 的最小值为（ ）A ．18B ．10C ．6D ．46．cos 2π12−cos 25π12= （ ）A ．12B ．√33C ．√22D ．√327．在区间(0, 12 )随机取1个数，则取到的数小于 13的概率为（ ）A ．34B ．23C ．13D ．168．下列函数中最小值为4的是（ ）A ．y =x 2+2x +4B ．y =|sinx|+4|sinx|C．y=2x+22−x D．y=lnx+4lnx9．设函数f(x)=1−x1+x，则下列函数中为奇函数的是（）A．f(x−1)−1B．f(x−1)+1C．f(x+1)−1D．f(x+1)+1 10．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（）A．π2B．π3C．π4D．π611．设B是椭圆C：x 25+y2=1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为（）A．52B．√6C．√5D．2 12．设a≠0，若x=a为函数f(x)=a(x−a)2(x−b)的极大值点，则（）A．a＜b B．a＞b C．ab＜a2D．ab＞a2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知向量a=(2,5),b=(λ,4)，若a⃗//b⃗，则λ=.14．双曲线x 24−y25=1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为.15．记∈ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为√3，B=60°，a2+c2=3ac，则b=.16．以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）.三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17．某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 x̅ 和 y ̅ ，样本方差分别记为s 12和s 22（1）求 x̅ ， y ̅ ， s 12，s 22； （2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 y̅ - x ̅ ≥ 2√s12+s 222 ，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.18．如图，四棱锥P-ABCD 的底面是矩形，PD ⊥ 底面ABCD ，M 为BC 的中点，且PB ⊥ AM.（1）证明：平面PAM ⊥ 平面PBD ； （2）若PD=DC=1，求四棱锥P-ADCD 的体积.19．设 {a n } 是首项为1的等比数列，数列 {b n } 满足 b n =nan 3 ，已知 a 1 ，3 a 2 ，9 a 3 成等差数列.（1）求 {a n } 和 {b n } 的通项公式；（2）记 S n 和 T n 分别为 {a n } 和 {b n } 的前n 项和.证明： T n < S n 2.20．已知抛物线C ： y 2=2px (p>0)的焦点F 到准线的距离为2.（1）求C 的方程.（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足 PQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =9QF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线OQ 斜率的最大值. 21．已知函数 f(x)=x 3−x 2+ax +1 .（1）讨论 f(x) 的单调性；（2）求曲线 y =f(x) 过坐标原点的切线与曲线 y =f(x) 的公共点的坐标.四、[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中， ⊙ C 的圆心为C （2，1），半径为1.（1）写出 ⊙ C 的一个参数方程；（2）过点F （4，1）作 ⊙ C 的两条切线， 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条直线的极坐标方程.五、[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）=|x-a|+|x+3|.（1）当a=1时，求不等式f （x ）≥6的解集； （2）若f （x ）≥-a ，求a 的取值范围.答案解析部分1．【答案】A 2．【答案】C 3．【答案】A 4．【答案】C 5．【答案】C 6．【答案】D 7．【答案】B 8．【答案】C 9．【答案】B 10．【答案】D 11．【答案】A 12．【答案】D 13．【答案】8514．【答案】√5 15．【答案】2√216．【答案】②⑤或③④17．【答案】（1）解：各项所求值如下所示x̅ = 110 (9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0 y̅ = 110(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3 s 12 =110x[(9.7-10.0)2+2x(9.8-10.0)2+(9.9-10.0)2+2X(10.0-10.0)2+(10.1-10.0)2+2x(10.2-10.0)2+(10.3-10.0)2]=0.36，s 22 =110x[(10.0-10.3)2+3x(10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+2x(10.4-10.3)2+2x(10.5-10.3)2+(10.6-10.3)2]=0.4.（2）由(1)中数据得 y̅ - x ̅ =0.3，2 √s 12+s 2210≈0.551 显然 y̅ - x ̅ ＜2 √s 12+s 2210，所以不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。

18．【答案】（1）因为 PD ⊥ 底面 ABCD ， AM ⊂ 平面 ABCD ，所以 PD ⊥AM ，又 PB ⊥AM ， PB ∩PD =P ， 所以 AM ⊥ 平面 PBD ， 而 AM ⊂ 平面 PAM ， 所以平面 PAM ⊥ 平面 PBD ．（2）由（1）可知， AM ⊥ 平面 PBD ，所以 AM ⊥BD ， 从而 △DAB~△ABM ，设 BM =x ， AD =2x ，则 BM AB =AB AD ，即 2x 2=1 ，解得 x =√22 ，所以 AD =√2 ．因为 PD ⊥ 底面 ABCD ，故四棱锥 P −ABCD 的体积为 V =13×(1×√2)×1=√23．19．【答案】（1）因为 {a n } 是首项为1的等比数列且 a 1 ， 3a 2 ， 9a 3 成等差数列，所以 6a 2=a 1+9a 3 ，所以 6a 1q =a 1+9a 1q 2 ，即 9q 2−6q +1=0 ，解得 q =13 ，所以 a n =(13)n−1 ，所以 b n =na n 3=n3n .（2）证明：由（1）可得 S n =1×(1−13n )1−13=32(1−13n ) ，T n =13+232+⋯+n−13n−1+n3n ，①13T n =132+233+⋯+n−13n +n 3n+1 ，② ①−②得 23T n =13+132+133+⋯+13n −n 3n+1 =13(1−13n )1−13−n 3n+1=12(1−13n )−n 3n+1 ，所以 T n =34(1−13n )−n2⋅3n ，所以 T n −S n 2= 34(1−13n )−n 2⋅3n −34(1−13n )=−n2⋅3n <0 ， 所以 T n <Sn 2.20．【答案】（1）抛物线 C:y 2=2px(p >0) 的焦点 F(p 2,0) ，准线方程为 x =−p2 ， 由题意，该抛物线焦点到准线的距离为 p 2−(−p2)=p =2 ，所以该抛物线的方程为 y 2=4x ；（2）设 Q(x 0,y 0) ，则 PQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =9QF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(9−9x 0,−9y 0) ， 所以 P(10x 0−9,10y 0) ，由 P 在抛物线上可得 (10y 0)2=4(10x 0−9) ，即 x 0=25y 02+910，所以直线 OQ 的斜率 k OQ =y 0x 0=y 025y 02+910=10y 025y 02+9 ，当 y 0=0 时， k OQ =0 ；当 y 0≠0 时， k OQ =1025y 0+9y， 当 y 0>0 时，因为 25y 0+9y 0≥2√25y 0⋅9y 0=30 ，此时 0<k OQ ≤13 ，当且仅当 25y 0=9y 0，即 y 0=35 时，等号成立；当 y 0<0 时， k OQ <0 ；综上，直线 OQ 的斜率的最大值为 13.21．【答案】（1）由函数的解析式可得： f ′(x)=3x 2−2x +a ，导函数的判别式 Δ=4−12a ，当 Δ=4−12a ≤0,a ≥13时， f ′(x)≥0,f(x) 在R 上单调递增，当 Δ=4−12a >0,a <13 时， f ′(x)=0 的解为： x 1=2−√4−12a 6,x 2=2+√4−12a 6，当 x ∈(−∞,2−√4−12a 6) 时， f ′(x)>0,f(x) 单调递增；当 x ∈(2−√4−12a 6,2+√4−12a 6) 时， f ′(x)<0,f(x) 单调递减；当 x ∈(2+√4−12a 6,+∞) 时， f ′(x)>0,f(x) 单调递增；综上可得：当 a ≥13时， f(x) 在R 上单调递增，当 a <13 时， f(x) 在 (−∞,2−√4−12a 6) 上单调递增，在 (2−√4−12a 6,2+√4−12a 6) 上单调递减，在 (2+√4−12a 6,+∞) 上单调递增.（2）由题意可得： f(x 0)=x 03−x 02+ax 0+1 ， f ′(x 0)=3x 02−2x 0+a ， 则切线方程为： y −(x 03−x 02+ax 0+1)=(3x 02−2x 0+a)(x −x 0) ， 切线过坐标原点，则： 0−(x 03−x 02+ax 0+1)=(3x 02−2x 0+a)(0−x 0) , 整理可得： 2x 03−x 02−1=0 ，即： (x 0−1)(2x 02+x 0+1)=0 ，解得： x 0=1 ，则 f(x 0)=f(1)=1−1+a +1=a +1 ，即曲线 y =f(x) 过坐标原点的切线与曲线 y =f(x) 的公共点的坐标为 (1,a +1) .22．【答案】（1）因为 ⊙ C 的圆心为(2，1)，半径为1.故 ⊙ C 的参数方程为 {x =2+cosθy =1+sinθ （ θ 为参数).（2）设切线y=k （x-4)+1，即kx-y-4k+1=0.故 √1+k2 =1 即|2k|= √1+k 2 ，4 k 2 = 1+k 2 ，解得k=± √33.故直线方程为y= √33 (x-4)+1， y= −√33(x-4)+1故两条切线的极坐标方程为 ρ sin θ = √33 cos θ - 43√3 +1或 ρ sin θ = √33cos θ + 43√3 +1.23．【答案】（1）解：a=1时，f(x)=|x-1|+|x+3|，即求|x-1|+|x-3|≥6的解集.当x≥1时，2x 十2≥6，得x≥2；当-3<x<1时，4≥6此时没有x 满足条件； 当x≤-3时-2x-2≥6.得x≤-4， 综上，解集为(-∞，-4]U[2，-∞).（2）f(x)最小值>-a ，而由绝对值的几何意义，即求x 到a 和-3距离的最小值. 当x 在a 和-3之间时最小，此时f(x)最小值为|a+3|，即|a+3|＞-a. A≥-3时，2a+3>0，得a>- 32 ；a<-3时，-a-3>-a ，此时a 不存在.综上，a>- 32.。