应用离散数学-集合与关系
离散数学第3版课件ch32集合与关系3.33.5贲
(A×B)×C≠A×(B×C) (当A≠∧B≠∧C≠时)
(4)笛卡儿积运算对并和交运算满足分配律，即
A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C) (B∪C)×A=(B×A)∪(C×A)
A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C) (B∩C)×A=(B×A)∩(C×A)
(5) AC∧BDA×BC×D
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我们给出性质(4)第一个式子的证明。
说明:(1)把关系这种“无形”的联系用集合这种“有形”的实体来描述。
(2)有序对是讲究次序的。
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on numbers: a=b a<b a≥b
on integers: a|b on subsets: A B
|A|=|B| on people: a is married to b
a is younger than b a is a descendant of b.
例7 求集合A＝｛1,2,3,4｝上的恒等关系、空关系、 全域关系和小于关系，并画出小于关系的关系图。
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例7 求集合A＝｛1,2,3,4｝上的恒等关系、空关系、 全域关系和小于关系，并画出小于关系的关系图。
IA={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4> } EA={ <1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,
定义3.16 设A,B,C是三个任意集合,R是A到B的二元关系,S是B到C 的二元关系，则定义关系R和S的合成或复合关系 RοS＝{<a,c>| aA,cC ∧ bB,使 <a,b>R且<b,c>S }。
例11 集合A＝{a,b,c},B＝{1,2,3}，R是A上关系，S是A到B
离散数学知识点总结及应用
离散数学知识点总结及应用
知识点1: 集合论
- 集合的定义和表示方法
- 集合的运算：并、交、差、补
- 集合的基本性质和定律
知识点2: 逻辑与命题
- 命题的定义和特性
- 命题的联结词：与、或、非
- 命题的真值表和逻辑运算
- 命题的充分条件和必要条件
知识点3: 关系与函数
- 关系的定义和性质
- 关系的类型：自反、对称、传递、等价
- 函数的定义和基本概念
- 函数的特性和图像
知识点4: 图论
- 图的基本概念和术语
- 图的存储结构：邻接矩阵、邻接表
- 图的遍历算法：深度优先搜索、广度优先搜索
- 最短路径算法：Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法
知识点5: 组合数学
- 排列和组合的基本概念
- 排列和组合的计算方法
- 随机变量和概率分布
- 组合数学在密码学等领域的应用
知识点6: 布尔代数
- 布尔代数的基本运算：与、或、非
- 布尔函数的最小化方法
- 布尔代数的应用：逻辑电路设计、编码器等
知识点7: 计算理论
- 自动机的基本概念和分类
- 正则语言和正则表达式
- 文法的定义和性质
- 上下文无关文法和巴科斯范式
知识点8: 数论
- 整数的性质和基本运算
- 质数和分解定理
- 同余关系和同余方程
- 数论在加密算法中的应用
以上是离散数学中的一些主要知识点和应用场景的简要总结，希望对你的研究有所帮助。
关系的性质-集合与关系-离散数学
非（不是）对称的 (x) (y) (xA∧yA∧<x,y> R ∧ <y,x> R )
第8 页
对称性的关系矩阵和关系图的特点
定义：R是集合A上的关系，若对任何x, y∈A，若有 <x,y>R，必有<y,x>R ，则称R为A中的对称关系。 R是A上对称的 (x)(y)((xA∧yA∧<x,y>R) <y,x>R) 从关系矩阵看对称性： 以主对角线为对称的矩阵。 从关系有向图看对称性： 在两个不同的结点之间，若 有边的话，则有方向相反的 ？ 1 0 两条边。
第2 页
一、自反性
定义：设R是集合A上的关系，若对于任意x∈A都 有<x,x>∈R (xRx)，则称R是A中的自反关系。即 R是A中自反的(x)(xA<x,x>∈R ) 该定义表明在自反关系 R中，除其他序偶外，必 须包括有全部由每个x ∈A所组成的相同元素的 序偶。 例如：设X={a,b,c}, R1={<a,a>,<b,b>,<c,c>,<a,b>} 是自反关系。 R2={<a,a>,<b,b>,<a,b>} 不是自反关系。 例如：相等关系(=)，小于等于关系()，包含关系() 等是自反关系。 非（不是）自反的 (x)(xA∧<x,x> R )
第7 页
三、对称性
定义：R是集合A上的关系，若对任何x, y∈A，若有 <x,y>R，必有<y,x>R ，则称R为A中的对称关系。 R是A上对称的 (x)(y)((xA∧yA∧<x,y>R) <y,x>R)
离散数学_集合与关系_关系
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例如 例3中的 A {1,2,3,4} ，
{(1,1), (1,2 ), (1,3 ), (1,4 ), ( 2,2 ), ( 2,4 ), ( 3,3 ), ( 4,4 )}
的关系图如下：
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练习3-6
1. 设A
{0,1,2}，B {0,2,4} ，A到B的关系
B {1,2}
。 }
A B {
(0,1), (0,2), (1,1), (1,2) (1,1), (1,2 ), ( 2,1), ( 2, 2)
B B {
}
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关系的表示
一、集合表示法
用表示集合的列举法或描述法来表示关系。
例1 设A { 2,3,4,8},B {1,5,7 } , 用描述 } 法定义由A到B的关系 {( a, b ) | a b，试
用列举法将
表示出来。
解
{( 2,5 ), ( 2,7 ),( 3,5 ), ( 3,7 ) ( 4,5 ), ( 4,7 )}
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例2 有王、张、李、何是某校的老师，该校有
三门课程：语文、数学和英语，已知王可以教语文 和数学，张可以教语文和英语，李可以教数学，何 可以教英语，若记A={王，张，李，何}，B={语文， 数学，英语}。那么这些老师与课程之间的对应关系 就可以用由A到B的一个关系
3利用关系图求复合关系是有限集a上的关系则复合关系也是a上的关系由复合关系的定义对于任意的反映在关系图上这意味着当且仅当在的关系图中有某一结点存在使得有边由指向且有边由指向的关系图中有边从指向理同志关系上搞庸俗关系学热衷于迎来送往
1Байду номын сангаас
离散数学集合与关系
离散数学集合与关系离散数学是数学中一门独立的分支，它主要研究离散的数学结构和被限制在有限范围的对象。
集合论和关系理论是离散数学的重要组成部分，它们在计算机科学、信息科学等领域具有广泛的应用。
一、集合的概念与基本运算集合是离散数学中最基本的概念之一，它是由确定的元素所组成的整体。
集合的表示通常使用大写字母，元素用小写字母表示，并用花括号{}括起来。
例如，集合A={1,2,3,4}表示由元素1,2,3,4组成的集合A。
在集合论中，集合之间的关系可以通过特定的运算来描述。
常见的集合运算包括并集、交集、差集和补集。
并集是指所有属于被操作的集合的元素的集合。
交集是指同时属于所有被操作的集合的元素的集合。
差集是指属于一个集合而不属于另一个集合的元素的集合。
补集是指在全集中属于一个集合而不属于另一个集合的元素的集合。
二、关系的定义与性质关系是描述集合之间元素之间的某种联系或者规律的数学概念。
在离散数学中，关系可以用二元组的形式表示。
关系的性质包括自反性、对称性和传递性。
自反性是指元素与自身之间存在关系。
对称性是指如果两个元素之间存在关系，那么它们之间的关系是互逆的。
传递性是指如果两个元素之间存在关系，并且与另一元素之间也存在关系，那么这两个元素之间也存在关系。
三、集合的基数与幂集集合的基数是指集合中的元素个数。
若集合A中的元素个数为n，则记作|A|=n。
基数为有限值的集合称为有限集，基数为无限值的集合称为无限集。
幂集是指一个集合的所有子集所组成的集合。
例如，对于集合A={1,2}，它的幂集为{{},{1},{2},{1,2}}。
幂集的基数等于原集合的基数的2的幂次方。
四、关系的类型与性质在离散数学中，关系可以分为几种不同的类型。
常见的关系类型包括等价关系、序关系和函数关系。
等价关系是指满足自反性、对称性和传递性的关系。
序关系是指满足自反性、反对称性和传递性的关系。
函数关系是指每个定义域中的元素都有唯一对应的值域中的元素的关系。
离散数学第3章-集合与关系
员，或A包含a，a在A之中，a属于A。即 a A a A
（2）集合中元素具有互异性和无序性。如{a,b,c,d}={a,b,b,c,d}
3-1 集合的概念和表示法
(3) 集合的元素个数可以是有限个也可以是无限个，具有有限个元素的集 合的为有限集，否则称为无限集。 (4) 集合中的元素也可以是集合，如
称为A和B的笛卡尔积，记作：A B
例：A {、、 、、
则：
3-4 序偶和笛卡尔积
5、多重直积：
A1 A2 A3是集合，A1 A2是笛卡尔集，也是集合仍可再作笛卡尔积
A A A A A A ( ) { , , | , , }
1
2
3
1
2
3
1
1
2
2
3
3
A A A { , , | , , }
E AB
S={x∣(x∈A)∧（xB）}
={x∣（x∈A）∧ （x∈B）}
3-2 集合的运算
b）集合A关于全集E的补。 E-A称为A的绝对补，记作~A。
E A
~A={x∣(x∈E）∧（x A）}
~ A有下列性质： ⑴ ~（ ~A）=A
⑵ ~E=
⑶~ =E
⑷A∪~A=E
⑸A∩~A=
3-2 集合的运算
* 以后判断两集合相等就主要用这一重要定理。
定理：对任一Set A， A
3-1 集合的概念和表示法
例：若A={a,b,c},写出其所有子集。 解：Ø 、{a}、{b}、{c}、{a，b}、{a，c}、{b，c}、{a，b，c}均是A的子 集
离散数学关系的运算
离散数学关系的运算离散数学是研究离散结构和离散对象的数学分支。
其中，关系是离散数学中一个重要的概念。
关系的运算是指对不同关系进行操作，从而得到新的关系。
在离散数学中，常见的关系运算包括并集、交集、差集、补集和复合运算。
1. 并集：对于两个关系R和S，它们的并集R∪S是包含了两个关系的所有元素的集合。
即R∪S={x | x∈R 或 x∈S}。
并集运算可以合并两个关系中的元素，得到新的关系。
2. 交集：对于两个关系R和S，它们的交集R∩S是同时属于R和S的元素的集合。
即R∩S={x | x∈R 且 x∈S}。
交集运算可以得到两个关系中共同拥有的元素。
3. 差集：对于两个关系R和S，它们的差集R-S是属于R但不属于S的元素的集合。
即R-S={x | x∈R 且 xS}。
差集运算可以得到在R中存在但不在S 中的元素。
4. 补集：对于一个关系R，它的补集R'是所有不属于R的元素的集合。
即R'={x | x不属于R}。
补集运算可以得到关系R的补集。
5. 复合运算：对于两个关系R和S，它们的复合运算RS是通过将R的元素的后继者与S的元素的后继者进行连接得到的新关系。
即RS={(a,c) | 对于某个b∈B, (a,b)∈R 且 (b,c)∈S}。
复合运算可以通过连接两个关系的元素来构建新的关系。
这些关系运算在离散数学中具有重要的应用，常用于描述集合、图、逻辑等离散结构之间的关系。
对于每种关系运算，都有相应的运算规则和性质。
熟练掌握关系运算可以帮助我们更好地理解和分析离散结构中的关系。
离散数学中的集合与关系理论
离散数学中的集合与关系理论离散数学是数学中的一门重要分支，主要研究离散的数值和结构。
在离散数学中，集合与关系理论是两个基础且关键的概念。
本文将对离散数学中的集合与关系理论进行探讨。
一、集合在离散数学中，集合是由元素组成的整体。
集合的表示可以使用不同的方式，如枚举法、描述法和扩展法。
其中，枚举法通过罗列元素的方式来表示集合。
例如，集合A = {1, 2, 3, 4}就是使用了枚举法表示的集合。
集合的运算是集合理论中的重要内容。
常见的集合运算有并集、交集、差集和补集。
并集表示两个集合中的所有元素的组合，交集表示两个集合中共有的元素，差集表示一个集合减去另一个集合中的元素，补集表示一个集合相对于全集中没有的元素。
集合的关系也是集合理论中的重要内容。
常见的集合关系有相等关系、包含关系和子集关系。
相等关系指的是两个集合具有相同的元素，包含关系指的是一个集合包含另一个集合中的所有元素，子集关系指的是一个集合包含于另一个集合。
二、关系关系是研究离散数学中元素之间联系的一种数学工具。
在离散数学中，关系可以用一个有序对的集合表示。
例如，关系R = {(1, 2), (2, 3),(3, 4)}表示了元素1与2之间、元素2与3之间、元素3与4之间的联系。
关系可以是自反的、对称的、传递的等。
自反关系指的是每个元素与自己之间有联系，对称关系指的是如果元素a与元素b之间有联系，则元素b与元素a之间也有联系，传递关系指的是如果元素a与元素b 之间有联系，元素b与元素c之间有联系，则元素a与元素c之间也有联系。
离散数学中的关系还可以进行合成和关系的闭包运算。
关系的合成指的是将两个关系进行组合，得到一个新的关系。
关系的闭包指的是将一个关系进行扩展，使得它满足某些性质。
集合和关系是离散数学中的两个重要概念，它们在离散数学中起着重要的作用。
集合可以用来整理和分类元素，关系可以用来描述元素之间的联系。
它们的研究对于理解和解决实际问题具有重要意义。
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集合与关系《应用离散数学》
第3章
21世纪高等教育计算机规划教材
目录
3.1 集合及其运算
3.2 二元关系及其运算3.3 二元关系的性质与闭包3.4 等价关系与划分
3.5 偏序关系与拓扑排序3.6 函 数
3.7 集合的等势与基数3.8 多元关系及其应用
集合是现代数学中最重要的基本概念之一，数学概念的建立由于使用了集合而变得完善并且统一起来。
集合论已成为现代各个数学分支的基础，同时还渗透到各个科学技术领域，成为不可缺少的数学工具和表达语言。
对于计算机科学工作者来说，集合论也是必备的基础知识，它在开关理论、形式语言、编译原理等领域中有着广泛的应用。
本章首先介绍集合及其运算，然后介绍二元关系及其关系矩阵和关系图，二元关系的运算、二元关系的性质、二元关系的闭包，等价关系与划分、函数，最后介绍多元关系及其在数据库中的应用等。
3.1 集合及其运算
3.1.1 基本概念
集合是数学中最基本的概念之一，如同几何中的点、线、面等概念一样，是不能用其他概念精确定义的原始概念。
集合是什么呢？直观地说，把一些东西汇集到一起组成一个整体就叫做集合，而这些东西就是这个集合的元素或叫成员。
例3.1
（1）一个班级里的全体学生构成一个集合。
（2）平面上的所有点构成一个集合。
（3）方程 的实数解构成一个集合。
（4）自然数的全体（包含0）构成一个集合，用N表示。
（5）整数的全体构成一个集合，用Z表示。
（6）有理数的全体构成一个集合，用Q表示。
（7）实数的全体构成一个集合，用R表示。
（8）复数的全体构成一个集合，用C表示。
（9）正整数集合Z+，正有理数集合Q+，正实数集合R+。
（10）非零整数集合Z*，非零有理数集合Q*，非零实数集合R*。
（11）所有n 阶(n≥2)实矩阵构成一个集合，用M n(R)表示，即
而所有n 阶(n≥2)可逆实矩阵也构成一个集合，用 表示。
通常用大写英文字母表示集合的名称，用小写英文字母表示集合里的元素。
若元素a 属于集合A ，记作 ；若元素 a 不属于集合 A ，记作 。
并用 或 记集合 A中元素的个数。
集合的表示方法通常有下列两种。
1．列举法
列举法是列出集合中的所有元素，元素之间用逗号隔开，并把它们用花括号括起来。
下面是用列举法表示的集合：
有时列出集合中所有元素是不现实或不可能的，如上面的B 和C ，但只要在省略号前或后列出一定数量的元素，能使人们一看就能了解哪些元素属于这个集合就可以。
2．描述法
描述法是用谓词描述出元素的公共特性，其形式为 ，表示 S 是使 为真的 x 的全体。
下面是用描述法表示的集合：
下面介绍表示集合的有关符号和方法。
在一个具体问题中，若一个集合包含我们讨论的每一个集合，则称它是全集，记作 E。
全集具有相对性，不同的问题有不同的全集，即使是同一个问题，也可以取不同的全集。
例如，当讨论有关整数的问题时，可以整数集作为全集，也可以把有理数集取作全集。
没有元素的集合叫做空集，记作 。
3.1.2 集合的运算
集合的基本运算有并、交、补、差和对称差，它们的定义如下。
以上集合之间的关系和运算可以用文氏图（Venn Diagram）形象、直观地描述。
文氏图通常用一个矩形表示全集 ，矩形中的点表示全集 E 中的元素， E 的子集用矩形区域内的圆形区域表示，图中阴影区域表示新组成的集合。
图3.1就是一些文氏图的实例。
图3.1 文氏图
由文氏图容易看出下列关系成立：
等等。
这说明使用文氏图能够对一些问题给出简单、直观的解释，这种解释对分析问题有很大帮助。
不过，文氏图只是起一种示意作用，可以启发我们发现集合之间的某些关系，但不能用文氏图来证明恒等式，因为这种证明是不严密的。
集合的并、交、差、补等具有许多性质，下面列出这些性质中最主要的几条。
定理3.1中的恒等式均可一一加以证明，下面我们选证其中的一小部分，其他的留给读者自己证明。
我们采用形式化的证明方法，在叙述中将大量用到数理逻辑的有关符号和等价公式。
上面给出的集合运算的一些恒等式，如交换律、结合律、分配律、等幂律、德·摩根律等都可以推广到多个集合中去，这里就不再列出具体的式子了。
3.1.3 集合的计算机表示
计算机表示集合的方式各种各样。
一种方式是把集合的元素无序地存储起来。
可是如果这样做，在做集合的运算时会浪费很多时间，因为这些运算需要大量的元素检索。
我们这里介绍一种利用位串表示集合的方法，集合的这种表示方法使计算集合的运算变得很容易。
位串是0个或多个字位的序列，而每个字位都有两个可能的值，即0或1，字位的这种取值来自二进制数字，因为0和1是用在数的二进制表示中的数字。
位串是计算机表示信息的基本方式。
3.2 二元关系及其运算3.2.1 笛卡尔积
证明 （这里只给出（1）的第一个等式的证明，其他的可类似地进行。
所用证明方法与证明两个集合相等一样，因为笛卡尔积也是集合。
）
因为
所以 。
由数学归纳法不难证明定理3.2对有限多个集合的并运算、交运算和差运算也是成立的。
3.2.2 二元关系及其表示
R 和S 的关系图如图3.2（a）和图3.2（b）所示。
图3.2 关系图
3.2.3 二元关系的运算
由于关系也是集合，所以对关系也可以进行并运算、交运算、补运算、差运算、对称差运算等集合的有关运算。
除了一般的集合运算外，关系本身还具有两种特殊的运算：复合运算和逆运算。
定义3.8 设 R 是从集合A 到集合B 的关系，S 是从集合 B 到集合 C 的关系，则从A 到 C 的关系称为 R 与 S 的复合关系。
即有
此例说明，复合关系不满足交换律，但复合关系满足结合律，即如下定理3.3。
定理3.3 设 R 是从集合 A 到集合 B 的关系， S 是从集合B 到集合 C 的关系， T 是从集合C 到集合 D 的关系，则
证明 （与定理3.2的证明方法类似，这里用的仍然是证明两个集合相等的方法。
）
根据定理3.3，利用数学归纳法容易证明下面结论。
3.3 二元关系的性质与闭包
3.3.1 二元关系的性质
有若干用于把集合上的关系进行分类的性质。
这里我们只介绍其中最重要的几个。
例3.14 对于下列五种二元关系，试判断哪些是自反的，哪些是反自反的，哪些是对称的，哪些是反对称的，哪些是传递的。
（1）实数集合R上的小于等于关系≤。
（2）集族上的包含于关系 。
（3）正整数集合Z+上的整除关系|。
（4）平面上直线集合L上的垂直关系⊥。
（5）平面上直线集合L上的平行关系 （认为直线不与自己平行）。
解
（1）是自反的，不是反自反的，不是对称的，是反对称的，是传递的。
（2）是自反的，不是反自反的，不是对称的，是反对称的，是传递的。
（3）是自反的，不是反自反的，不是对称的，是反对称的，是传递的。
（4）不是自反的，是反自反的，是对称的，不是反对称的，不是传递的。
（5）不是自反的，是反自反的，是对称的，不是反对称的，不是传递的。
关系的性质不仅像定理3.7所表述的那样反应在它的集合表达式上，也明显地反应在它的关系矩阵和关系图上。
表3.1列出了关系R 的五种性质在关系矩阵和关系图中的特点。
表3.1关系R的五种性质在关系矩阵和关系图中的特点
表3.2关系的五种性质和运算之间的联系。