离散数学-3-9 集合的划分和覆盖
离散数学教案
学习目标：1．深刻理解序偶、笛卡尔积、关系、集合的划分与覆盖、等价关系、等价类、商集、相容关系、（最大）相容类、偏序关系、极大元、极小元、上（下)界、上(下）确界、最大（小)元、全序关系、良序关系等概念;2．掌握集合的交、并、差、补、对称差的运算及其运算规律;3．掌握关系的交、并、逆、复合运算、闭包运算及其性质；4．掌握关系的矩阵表示和关系图；5．深刻理解关系的自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性，掌握其判别方法；6．掌握集合的覆盖与划分的联系与区别;7．掌握偏序关系的判别及其哈斯图的画法;会求偏序集中给定集合的极大元、极小元、上(下）界、上（下）确界、最大（小）元.主要内容:1．集合的基本概念及其运算2．序偶与笛卡尔积3．关系及其表示4．关系的性质及其判定方法5．复合关系和逆关系6．关系的闭包运算7．等价关系与相容关系8．偏序关系重点：1．关系的性质及其判别；2．关系的复合运算及其性质;3．等价关系与等价类、等价关系与集合的划分的联系；4．偏序关系判别及其哈斯图的画法、偏序集中特异位置元素的理解.难点：1．关系的传递性及其判别；2．等价关系的特性;3．偏序关系的哈斯图的画法；偏序集中特异位置元素的求法。
教学手段：通过多个实例的精讲帮助同学理解重点和难点的内容，并通过大量的练习使同学们巩固和掌握关系的性质及其判别、关系的复合运算及其性质、等价关系的特性、偏序关系的哈斯图的画法及偏序集中特异位置元素的求法。
习题：习题3。
1：4，6；习题3。
2:3（8），4（12），6(m);习题 3.4:1 （2）、（4）,3；习题3。
5：1,4；习题3.6：2,5,6;习题3.7：2，5，6;习题3。
8：1(1）-（6）;习题3。
9:3（2)、(4）,4(3);习题3。
10：1 ，4，5。
3。
1 集合的基本概念集合（set ）(或称为集）是数学中的一个最基本的概念。
所谓集合,就是指具有共同性质的或适合一定条件的事物的全体,组成集合的这些“事物”称为集合的元素。
集合的划分与覆盖
Def (1) (2) (3) 例1-53 设A = {a, b, c}, 则A的所有不同的划 分分别为:
1 {{a, b, c}}, 2 {{a, b},{c}}, 3 {{a, c},{b}}, 4 {{b, c},{a}}, 5 {{a},{b},{c}}.
3. 集合的基数 有限集合的基数就是的元素个数. 借助于集 合对等概念, 可以将其扩展到无限集合. Def 若集合A和B对等, 则称这两个集合的 基数(cardinality)相同. |A|.
• | N |然数集合N对等的集合称为可列 集合(countable set).
1.集合对等 Def A ~ B: 存在双射f : A B.
N ~ E. Z~N? (0, 1) ~ R. N ~ N N. Theorem 1-28(对等的性质) (1) A ~ A. (2) A ~ B B ~ A. (3) A ~ B, B ~ C A ~ C.
取 r 0.b0b1b2 ...bn ... :
1, ann 1 bn , n 0,1,2,... 3, ann 1
6. 基数的比较 Def 给定集合A和B, 若存在A到B的单射, 则 称A的基数小于等于B的基数, 记为|A| |B|. 若进一步, 不存在A到B的双射, 则称A的基数 小于B的基数, 记为|A| < |B|. 由定义易知, 若存在B到A的满射, 则|B| |A|. 显然, 0 . Problem 是否存在集合A, 满足 0 | A | ? (著名的连续统假设?!)
离散数学知识点总结
注意/技巧：析取符号为V，大写字母Vx + y = 3不是命题前件为假时，命题恒为真运用吸收律命题符号化过程中要注意命题间的逻辑关系，认真分析命题联结词所对应的自然语言中的联结词，不能只凭字面翻译。
也就是说，在不改变原意的基础上，按照最简单的方式翻译通用的方法：真值表法VxP（x）蕴含存在xP（x）利用维恩图解题证明两个集合相等：证明这两个集合互为子集常用的证明方法：任取待证集合中的元素<,>构造相应的图论模型第一章命题逻辑命题和联结词命题的条件：表达判断的陈述句、具有确定的真假值。
选择题中的送分题原子命题也叫简单命题，与复合命题相对简单联结词的真值表要记住非（简单）合取（当且仅当P，Q都为真时，命题为真）析取（当且仅当P，Q都为假时，命题为假），P，Q可以同时成立，是可兼的或条件（→）（当且仅当P为真，Q为假时，命题为假）P是前件，Q是后件只要P，就Q等价于P→Q只有P，才Q等价于非P→非Q，也就是Q→PP→Q特殊的表达形式：P仅当Q、Q每当P双条件（↔）（当且仅当P与Q具有相同的真假值时，命题为真，与异或相反）命题公式优先级由高到低：非、合取和析取、条件和双条件括号省略条件：①不改变先后次序的括号可省去②最外层的括号可省去重言式（永真式）、矛盾式（永假式）、偶然式可满足式：包括重言式和偶然式逻辑等价和蕴含（逻辑）等价:这是两个命题公式之间的关系，写作“⇔”，要与作为联结词的↔区分开来。
如果命题公式A为重言式，那么A⇔T常见的命题等价公式：需要背过被标出的，尽量去理解。
关键是掌握公式是将哪个符号转换为了哪个符号，这对于解证明题有很大的帮助！验证两个命题公式是否等价：当命题变元较少时，用真值表法。
当命题变元较多时，用等价变换的方法，如代入规则、替换规则和传递规则定理：设A、B是命题公式，当且仅当A↔B是一个重言式时，有A和B逻辑等价。
蕴含:若A→B是一个重言式，就称作A蕴含B，记作A⇒B常见的蕴含公式的运用方法同上面的命题等价公式证明A⇒B：①肯定前件，推出后件为真②否定后件，推出前件为假当且仅当A⇒B且B⇒A时，A⇔B，也就是说，要证明两个命题公式等价，可以证明它们相互蕴含联结词的完备集新的联结词：条件否定、异或（不可兼或）、或非（析取的否定）、与非（合取的否定）任意命题公式都可由仅含{非，析取}或{非，合取}的命题公式来等价地表示全功能联结词集合极小全功能联结词集合对偶式对偶式：将仅含有联结词非、析取、合取（若不满足，需先做转换）的命题公式A中的析取变合取，合取变析取，T变F，F变T得到的命题公式A*称为A的对偶式范式析取式：否定+析取合取式：否定+合取析取范式：（合取式）析取（合取式）……析取（合取式）。
有限集合上的划分与覆盖
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第! 期
陈仁荣： 有限集合上的划分与覆盖
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定义 " ： 设 ! 是集合 " 上的一个相容关系， 对于一个非空子集 # -"， 如果 # 中任何元素与 # 中其他 元素相容， 且 " # # 中的每个元素至少与 # 中一个元素不相容， 则称 # 为 " 上关于 ! 的一个最大相容 类。 定理 " ： 设 #（ 是集合 " 上关于相容关系 ! 的最大相容类， 则 " 的所有最大相容类的集合 $ ! $$ $% ） #$ ， …， #% ｝ 是 " 的一个覆盖， 并且是唯一的覆盖。 ｛#! ，
下面讨论集合 ) !｛(" ， (， …， (- ｝ 的划分个数。按照定义 " ， 求集合 ) 的一个划分就是把 - 个不同元 (# ， …， ( - 分成 * （ " $*$- ） 个非空子集 $" ， $# ， …， $* ， 其中 .$ & 、 $（ 满足 $ & + $ % ! 素 (" ， % " $& % %$*） 集合｛$" ， $# ， …， $* ｝ 即为 ) 的一个划分。现分以下步骤进行。 ,， 第一， 子集 $" ， $# ， …， $ * 有顺序区别。把 - 个不同元素放入 * 个不同的子集， 记 $（ 为第 & " $& $* ） & 个子集为空集， $ （ -， *） 为 $" ， $# ， …， $ * 中没有空集的不同放入法数。显然， .$ ! * - ，
离散数学---集合
3、 幂集： 、 幂集：
定义： 是一个集合， 定义：设A是一个集合，由A的所有子集 是一个集合 的所有子集 组成的集合称为A的幂集 ， 组成的集合称为 的幂集， 记 作 P(A)或 的幂集 或
。 2A。 。
该定义可以写作P(A)={u| 该定义可以写作P(A)={u|u⊆ A} P(A)={u 例如， 例如，A = {0, 1}，则 ， P(A) = { {}, {0}, {1}, {0, 1} }
定义： 定义：若A⊆ B且A ≠ B ，则称 A为 ⊆ 且 为 B的真子集。记 作 A ⊂ B ，或 B ⊃ A 的真子集。 的真子集 对一切x如果x 必有x 对一切x如果x∈A必有x∈B，并且存在一个 x0∈B且x0∉A。
三、特殊的集合
1、 空集： 、 空集： 定义： 不含任何元素的集合称为空集， 定义 ： 不含任何元素的集合称为空集 ， 记 作∅。 例如： 例如：Z={xx2+1=0,x∈R}，这是空集。 ∈ ，这是空集。 定理：空集是任何集合的子集。 定理：空集是任何集合的子集。 证明： 证明： ∅ ⊆ A ⇔ ∀ x(x∈∅ x∈A) ⇔1 ∈∅ ∈
特定的一些集合的表示符号
自然数集N={0，1，2，…} ， ， ， 自然数集 整数集合Z={…-2，-1，0，1，2，…} 整数集合 ， ， ， ， ， 有理数集合Q={xx=P⁄⁄q，p,q∈Z} 有理数集合 ， ∈ 实数集合R={ x x是实数 是实数} 实数集合 是实数 复数集合C={x x=a+bi,a,b∈R,i=复数集合C={x x=a+bi,a,b∈R,i=-1}
第三章 集合的基本概念
集合(set)：集合是数学中最基本的概念之一， ：集合是数学中最基本的概念之一， 集合 不能以更简单的概念来定义(define)，只能给 ， 不能以更简单的概念来定义 出它的描述(description)。一些对象的整体就 。 出它的描述 称为一个集合， 称为一个集合，这个整体的每个对象称为该 集合的一个元素 集合的一个元素(member或element)。 元素 或 。
离散数学集合的基本概念(一)
离散数学集合的基本概念(一)离散数学集合的基本概念集合是离散数学中最基本的概念之一，它是由一些确定的、互不相同的对象组成的整体。
这些对象被称为集合的元素，可以是任何事物，比如数字、字母、人、动物等。
在集合中，元素的顺序和重复是无关紧要的。
集合的表示集合通常用大写字母表示，如A、B。
元素属于集合时，通常用小写字母表示，如a、b。
一个元素a属于某个集合A时，表示为a∈A。
不属于某个集合时表示为a∉A。
集合的表示形式1.列举法：通过逐个列举出集合中的元素来表示集合。
例如，集合A={1, 2, 3}表示A为包含元素1、2、3的集合。
2.描述法：通过描述元素的特征来表示集合。
例如，集合A={x|x为正整数，且x<4}表示A为包含不大于3的正整数的集合。
1.并集：将两个集合中的元素合并在一起，形成的新集合包含了两个集合中的所有元素，且没有重复。
用符号∪表示。
例如，A∪B 表示集合A和集合B的并集。
2.交集：求两个集合中共有的元素，形成的新集合包含了两个集合中的所有共有元素。
用符号∩表示。
例如，A∩B表示集合A和集合B的交集。
3.差集：求一个集合中去除另一个集合中的元素后的剩余元素。
用符号-表示。
例如，A-B表示集合A去除集合B的元素后的剩余元素。
4.补集：求一个集合关于全集的差集。
用符号’表示。
例如，A’表示集合A的补集。
集合的性质1.互斥性：两个集合没有共同的元素时，称为互斥的。
两个互斥的集合的交集为空集。
2.包含关系：一个集合包含另一个集合时，称为包含关系。
包含关系可以是真包含或假包含，当一个集合包含另一个集合且两者不相等时，称为真包含。
3.幂集：一个集合所有可能的子集的集合称为幂集。
离散数学中的集合理论在计算机科学、信息技术、逻辑学、概率论等领域有着广泛的应用。
集合的概念和基本操作可以用于解决各种问题，例如数据处理、算法设计、数据库管理等。
以上是对离散数学集合的基本概念及相关内容的简要介绍，希望可以对读者有所帮助。
离散数学(3.9划分与覆盖)
3.7.3 全集的划分
(The Partition of the
Universal Set U)
设A,B,C是全集U的子集,则
{A, A},{B, B},{C, C },{AB, AB , A B, A B} 及 {ABC, A BC, AB C, ABC , AB C , A BC , A B C, A B C },
S5={ {a}, {b}, {c}, {d}, {e}, {f}, } （ （
1 ） 1 ）
说明: (1)若S是A的划分,则S也一定是A的覆盖.
(2) 任意给定集合A的划分或覆盖不是唯一的.
(3) 给定了集合A的划分或覆盖,则A便唯一确定.
(4) 覆盖中各子集可重叠,划分则不然.
(5) 以非空集A为元素的集合S={A}称为A的最小划 分.
离散数学discretemathematics1第三章集合与关系setsandrelations第三章集合与关系setsandrelations31集合及其运算setsoperationswithsets32序偶与笛卡尔积orderedpairscartesianproduct系33关系relations34关系的性质thepropetiesofrelations35复合关系与逆关系compoundrelationsinverse36关系的闭包运算closureoperations37集合的划分与覆盖partitioncoverofsets38等价关系equivalentrelations39相容关系compatibilityrelations310序关系orderedrelationsrelationsorderedrelationsrelations37集合的划分与覆盖partitioncoverofsets371集合的划分partitionofsets第三章集合与关系setsrelationsba??ba??372集合的覆盖coverofsets373全集的划分thepartitionoftheuniversalsetuthepartitionoftheuniversalsetu37集合的划分与覆盖1当ij时时2371集合的划分partitionofsets定义371设有非空集合asa1a2
《离散数学》课件-第3章集合的基本概念
例题
计算以下幂集：
，{}；{，{}}
解：
P()={} P({})={，{}} P({，{}})= {, {}，{{}},{，{}}}
18
3.3 集合的运算
集合的运算 并，交，补（绝对补），差（相对补－），和对称差等。
19
集合的并运算
• 定义3.3.1 设A，B为集合，由A和B的所有元素组成的集 合称为A与B的并集， 可表示为： AB={x|xAxB} 其文氏图：
其文氏图如下：
~E = ， ~ = E， ~（~A）= A A ~A = ， A ~A = E
27
德.摩根定律
• 定理3.3.5 设A，B为任意二个集合，则有： • （1） （AB）= A B • （2） （A B）= A B • 证明 设E为全集，显然有AE=A，AE=E成立。 • （1） （AB）= {x | xEx（AB）}= {x |
据的增加、删除、修改、排序，以及数据间关系的描述。
集合论在计算机语言、数据结构、编译原理、数据库与
知识库、形式语言及人工智能等许多领域得到广泛的应
用。
2
3.1 集合及其表示
• 集合是由一些对象聚集在一起构成的。 例如，全体整数 全体中国人 26个英文字母
• 构成集合的对象可以是各种类型的事物。 • 定义3.1.1 集合中的对象叫集合的元素，或成员。
• 集合中的元素可以具有共同性质，也可以表面上看起来不相干。
• 如{2，Tom，计算机，广州}
• 在集合论中，规定元素之间是彼此相异的，并且是没有次序关 系的。
例如，{3,4,5},{3,4,4,5,5},{5,3,4}都是同一个集合。
• 例如，A={3,4,5},
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*给定一个集合A，它的划分和覆盖都不是唯一的。
6
一、集合的覆盖和划分
例：4个元素的集合A共有多少个不同的划分。
解：A的最大(所有元素），最小划分（各元素单列）都各 有一个 把4个元素分成1，3两部分，有4种可能； 把4个元素分成2，2两部分，有3种可能；
把4个元素分成1，1，2三部分，有6种可能。 故总共有1＋1＋3＋6＋4＝15种。
i 1
则称S是集合A的一个覆盖。 *如果A中每个元素属于且仅属于一个分块，那么这些分块的全体构成的 集叫做A的一个划分（或分划）。即：若有Si Sj = (ij)，则称S为 A的一个划分。
2
一、集合的覆盖和划分
例 设 A=a,b,c，以下是A的子集构成的集合： S=a,b,b,c Q=a,a,b,a,c D=a,b,c G=a,b,c E=a,b,c F=a,a,c 试确定哪些集合是A的覆盖？哪些集合是A的划分？哪 些集合既不是覆盖，也不是划分？
4
一、集合的覆盖和划分
例 A={a, b, c}
则 S={{a, b},{b, c}}、Q={{a},{a, b},{a, c}}都 为A的覆盖，而D={{a},{b,c}}、G={{a,b,c}}、 E={{a},{b},{c}}为A的划分。而且称G为A的最小 划分（由集合的全部元素组成），而E为A的最大 划分（每个元素构成一个单元素分块）。
第三章 集合与关系
3-9 集合的划分和覆盖 授课人：李朔 Email:chn.nj.ls@
1
一、集合的覆盖和划分
在集合的讨论中，常须把一个集合分成若干子集加以讨论， 这就是集的划分问题。如一个班男、女生。一个学院不同 专业。
P128 定义3-9.1 若把一个集合A分成若干个称为分块的非空子集，使 得A中每个元素至少属于一个分块，那么这些分块的全体构成的集合 称为A的一个覆盖。 上述定义与下面定义是等价。 令A为给定非空集合，S ={S1, S2, , Sm},其中SiA且Si (i=1, m 2, , m) 且 S i A
8
三、划分的加细
B2, , Bs}，若对于每一个Aj均有Bk，使得Aj Bk，则{A1, A2, , , Ar}称为{B1, B2,,Bs}的加细。 定理3.9.2 任何两种划分的交叉划分，都是原划分的一种加 细。 证明： 设{A1, A2, , Ar}和{B1, B2, , Bs}的交叉划分为T，对T 中的任意元素Aj Bj，必有Aj Bj Aj , Aj Bj Bj 故T必是原划分的加细。
7
二、交叉划分
P129 定义3-9.2 若{A1, A2, , Ar}与{B1, B2, , Bs} 是同一集合A的两种划分，则其中所有AiBj 所组成的 集，称为原来两种划分的交叉划分。 例 P129 所有生物 定理3-9.1 设{A1, A2, , Ar}与{B1, B2, , Bs}是同一 集合X上的两种划分，则其交叉划分也是原集合的一种划 分。
*划分必是覆盖，覆盖未必是划分
5
一、集合的覆盖和划分
例3 设A=1,2,3，试确定A的所有划分。
解：有一个划分块的划分是：1,2,3 有两个划分块的划分是：1,2,3 2,1,3 3,1,2 有三个划分块的划分是：1,2,3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
上图是A的所有划分的示意图。(a)表示有一个划分块的划分1,2,3。 (b)、(c)和(d)表示有两个划分块的划分1,2,3、2,1,3和 3,1,2。(e) 表示有三个划分块的划分1,2,3。
定义3-9.3 对集合X上的任两种划分{A1, A2, , Ar}与{B1,
9
本课小结
覆盖 划分 交叉划分 划分的加细
10
作业
P130 （2）
11
吺唍咥
3
一、集合的覆盖和划分
例 设 A=a,b,c，以下是A的子集构成的集合： S=a,b,b,c Q=a,a,b,a,c D=a,b,c G=a,b,c E=a,b,c F=a,a,c 试确定哪些集合是A的覆盖？哪些集合是A的划分？哪 些集合既不是覆盖，也不是划分？ 解：S和Q是A的覆盖，但不是划分； D、G和E是A的覆盖，也是划分； F不是A的覆盖，也不是划分。