离散数学作业4_集合与关系_关系的性质
关系的性质-集合与关系-离散数学
非（不是）对称的 (x) (y) (xA∧yA∧<x,y> R ∧ <y,x> R )
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对称性的关系矩阵和关系图的特点
定义：R是集合A上的关系，若对任何x, y∈A，若有 <x,y>R，必有<y,x>R ，则称R为A中的对称关系。 R是A上对称的 (x)(y)((xA∧yA∧<x,y>R) <y,x>R) 从关系矩阵看对称性： 以主对角线为对称的矩阵。 从关系有向图看对称性： 在两个不同的结点之间，若 有边的话，则有方向相反的 ？ 1 0 两条边。
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一、自反性
定义：设R是集合A上的关系，若对于任意x∈A都 有<x,x>∈R (xRx)，则称R是A中的自反关系。即 R是A中自反的(x)(xA<x,x>∈R ) 该定义表明在自反关系 R中，除其他序偶外，必 须包括有全部由每个x ∈A所组成的相同元素的 序偶。 例如：设X={a,b,c}, R1={<a,a>,<b,b>,<c,c>,<a,b>} 是自反关系。 R2={<a,a>,<b,b>,<a,b>} 不是自反关系。 例如：相等关系(=)，小于等于关系()，包含关系() 等是自反关系。 非（不是）自反的 (x)(xA∧<x,x> R )
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三、对称性
定义：R是集合A上的关系，若对任何x, y∈A，若有 <x,y>R，必有<y,x>R ，则称R为A中的对称关系。 R是A上对称的 (x)(y)((xA∧yA∧<x,y>R) <y,x>R)
离散数学 第四章 关系
若ai Rbj 若ai Rbj
矩阵MR 称为R的关系矩阵。
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第四章 关系
4.1 二元关系
例：设A={1，2，3，4}，A上的关系R={<x,y>|y是x 的整数倍}，故R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,2>,<2, 4>,<3,3>,<4,4>}.
1 2 3 4
1 1 2 0 MR 3 0 4 0
2
第四章 关系
4.1 二元关系
4.1.1 基本概念
4.1.2 关系的表示
3
第四章 关系
4.1 二元关系
4.1.1 基本概念 1)定义： A×B的子集叫做A到B上的一个二元关系。 A1×A2×A3的子集叫做A1×A2×A3上的一个三元 关系。 A1×A2×…xAn的子集叫做A1×A2×… × An上的 一个n元关系。 A×A×A ×… × A的子集叫做A上的n元关系。
1 1 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1
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第四章 关系
4.1 二元关系
3.关系图表示法
关系图由结点和边组成
若A= {x1, x2, …, xm}，R是A上的关系，R的关系图是 GR=<A, R>，其中A为结点集，R为边集。如果<xi,xj> R，在图中就有一条从 xi 到 xj 的有向边；如果<xi,xi> R，在图中就有一条从 xi 到 xi 的有向边。
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第四章 关系
4.1 二元关系 4)关系的个数： 2，A×A的子集有 2 n 个。 假设|A|=n，|A×A|=n 2n 所以 A上有 个不同的二元关系。
专升本《离散数学》_试卷_答案
专升本《离散数学》一、（共75题,共150分）1. 集合，则（）（2分）A.B.C.D.标准答案：B2. 集合，则下列哪个不是的元素（）（2分）A.B.C.D.标准答案：B3. 设，在条件且下与（）集合相等。
（2分）A.或B.或C.，或D.，或标准答案：C 4. 集合上的关系，则是（）（2分）A.自反的B.对称的C.传递且对称的D.反自反且传递的标准答案：B5. 集合,下列不是到的关系的是（）（2分）A.B.C.D.标准答案：A6. ，表示求两数的最小公倍数的运算（表示整数集合），对于运算的零元是（）（2分）A.B.C.D.不存在标准答案：D7. 下面各集合都是的子集，（）集合在普通加法运算下是封闭的。
（2分）A.B.C.D.标准答案：A8. 设集合，“”为整除关系，则代数系统（）（2分）A.是域B.是格，不是布尔代数C.是布尔代数D.不是代数系统标准答案：C9. 在（）中，补元是唯一的。
（2分）A.有界格B.有补格C.分配格D.有补分配格。
标准答案：D10. 下列语句中，真命题的是( ) （2分）A.请把门关上B.是素数C.D.太阳从西边升起标准答案：B11. 是自然数集，是小于等于关系，则是（）。
（2分）A.有界格B.有补格C.分配格D.有补分配格标准答案：C12. 下列函数中，（）是双射（2分）A.B.（除以的余数）C.D.标准答案：D13. 设为集合，，在上有（）种不同的关系。
（2分）A.B.C.D.标准答案：D14. 设是个结点、条边和个面的连通平面图，则等于（）。
（2分）A.B.C.D.标准答案：A15. 对于独异点，则下列说法正确的是（）（2分）A.不一定有单位元B.满足交换律C.一定是半群D.独异点就是群标准答案：C16. 群中，当（）时，该群一定是循环群。
（2分）A.B.C.D.标准答案：B17. 设，为普通乘法，则是（）（2分）A.代数系统B.半群C.群D.都不是标准答案：D18. 下列各图哪个一定是树（）（2分）A.有个结点，条边的连通图B.每对结点之间都有路的图C.有个结点，条边的图D.以上说法都不正确标准答案：A19. 在如下各图中是欧拉图的是（）（2分）A.B.C.D.标准答案：B20. 下列等价关系正确的是（）（2分）A.B.C.D.标准答案：B21. 下列哪些关系是对称关系（）（2分）A.B.C.D.标准答案：A,D22. 的合取范式为（）（2分）A.B.C.D.标准答案：B,D23. 关于复合运算，下列说法正确的是（）（2分）A.置换的复合不一定是置换B.置换在复合运算下是封闭的C.可数集的无限子集仍是可数集D.以上说法都正确标准答案：B,C24. 为命题，则下述公式中是重言式为（）（2分）A.B.C.D.标准答案：B,D25. 令我上街；我去书店看看；我很累则命题“如果我上街，我就去书店看看，除非我很累”可以符号化为（）（2分）A.B.C.D.标准答案：A,D26. 若集合，则（）（2分）A.且B.但C.但D.且标准答案：A27. 在（）下有。
离散数学_集合与关系_关系
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例如 例3中的 A {1,2,3,4} ，
{(1,1), (1,2 ), (1,3 ), (1,4 ), ( 2,2 ), ( 2,4 ), ( 3,3 ), ( 4,4 )}
的关系图如下：
14
练习3-6
1. 设A
{0,1,2}，B {0,2,4} ，A到B的关系
B {1,2}
。 }
A B {
(0,1), (0,2), (1,1), (1,2) (1,1), (1,2 ), ( 2,1), ( 2, 2)
B B {
}
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关系的表示
一、集合表示法
用表示集合的列举法或描述法来表示关系。
例1 设A { 2,3,4,8},B {1,5,7 } , 用描述 } 法定义由A到B的关系 {( a, b ) | a b，试
用列举法将
表示出来。
解
{( 2,5 ), ( 2,7 ),( 3,5 ), ( 3,7 ) ( 4,5 ), ( 4,7 )}
9
例2 有王、张、李、何是某校的老师，该校有
三门课程：语文、数学和英语，已知王可以教语文 和数学，张可以教语文和英语，李可以教数学，何 可以教英语，若记A={王，张，李，何}，B={语文， 数学，英语}。那么这些老师与课程之间的对应关系 就可以用由A到B的一个关系
3利用关系图求复合关系是有限集a上的关系则复合关系也是a上的关系由复合关系的定义对于任意的反映在关系图上这意味着当且仅当在的关系图中有某一结点存在使得有边由指向且有边由指向的关系图中有边从指向理同志关系上搞庸俗关系学热衷于迎来送往
1Байду номын сангаас
离散数学作业册
离散数学作业册第一章命题逻辑1.1 命题与逻辑联结词1.判断下列语句是否是命题，不是划“×”，是划“√”，且指出它的真值.(1)所有的素数都是奇数. ( ) 其真值( )(2)明天有离散数学课吗？ ( ) 其真值( )(3)326+>． ( ) 其真值( )(4)实践出真知. ( ) 其真值( )(5)这朵花真好看呀！ ( ) 其真值( )(6)5x=． ( ) 其真值( )(7)太阳系外有宇宙人． ( ) 其真值( )2.将下列命题符号化．(1)如果天下雨，那么我不去图书馆.(2)若地球上没有水和空气，则人类无法生存.(3)我们不能既划船又跑步．(4)大雁北回，春天来了.3.将下列复合命题分解成若干个原子命题，并找出适当的联结词.(1)天下雨，那么我不去图书馆.(2)若地球上没有水和空气，则人类无法生存.1.2 命题公式1. 判断下列各式是否是命题公式，不是的划“×”，是的划“√”．(1)(Q→R∧S). ( )(2)((R→(Q→R)→(P→Q)). ( )(3) (P∨QR)→S. ( )(4)((?P→Q)→(Q→P)). ( )2．写出五个常用命题联结词的真值表.1.3 真值表与等价公式1.指出下列命题的成真赋值与成假赋值．(1)?(P∨?Q).(2)?P→(Q→P).2.构造真值表，判断下列公式的类型．(1)(P∧Q)∧?(P∨Q).(2) P→(P∧┑Q))∨R.3.用等值演算法验证下列各等价式．(1) ((P→Q)∧(Q→R))→(P→R)?T.(2)P→(Q∧R)?(P→Q)∧(P→R).(3)?(P∨Q)∨(?P∧Q)??P．1.4 蕴涵式及其他联结词1.试证明下列各式为重言式．(1)(P→Q)∧(Q→R)?(P→R)．(2) (P→Q)→Q?P∨Q．(3)?(P↓Q)??P↑?Q．2.将下列公式化成与之等价且仅含{┑，∨}中联结词的公式．(1) (P∨Q)∧┑P(2) (P→(Q∨┑R))∧(┑P∧Q)3.证明{?，∧}是最小全功能联结词组.4.设A、B、C为任意的三个命题公式，试问下面的结论是否正确？(1)若A∧C?B∧C，则A?B．(2)若?A??B，则A?B．(3)若A→C?B→C，则A?B．1.6 对偶与范式1.试给出下列命题公式的对偶式．(1)T∨(P∧Q)．(2)?(P∧Q)∧(?P∨Q)．2.试求下列各公式的主析取范式和主合取范式．(1) (P→(Q∧R))∧(┑P→(┑Q→R))．(2)(?(P→Q)∧Q)∨R．(3)(P→(Q∨R))∧(?P∨(Q?R)).3.试用将公式化为主范式的方法，证明下列各等价式．(1) (┑P∨Q)∧(P→R)?P→(Q∧R)(2) ┑(P?Q)?(P∧┑Q)∨(┑P∧Q)1.7 推理理论1.试用推理规则，论证下列各式．(1) ┑(P∧┑Q),┑Q∨R,┑R?┑P(2) P∨Q,Q→R,P→S,┑S?R∧(P∨Q)(3) ┑P∨Q,┑Q∨R,R→S?P→S(4) P∨Q,P→R,Q→S?R∨S第二章谓词逻辑2.1 词的概念与表示1.用谓词表达写出下列命题．(1)高斯是数学家，但不是文学家.(2)小王既是运动员也是大学生.(3)张宁和李强都是三好学生.(4)若是x奇数，则2x不是奇数.2.2 命题函数与量词1.用谓词表达式写出下列命题．(1)每个计算机系的学生都学离散数学.(2)直线A平行于直线B当且仅当直线A不相交于直线B.(3)不存在既是奇数又是偶数的自然数.(4)没有运动员不是强壮的.(5)有些有理数是实数但不是整数.(6)所有学生都钦佩某些教师.2.3 谓词公式与变元的约束1.利用谓词公式翻译下列命题． (1)没有一个奇数是偶数.(2)一个整数是奇数，如果它的平方是奇数.2. 设个体域为自然数集N ，令P(x)：x 是素数；E(x)：x 是偶数；O(x)：x 是奇数；D(x ，y)：x 整除y ．将下列各式译成汉语．(1)?x(E(x)∧D(x ，6))．(2)?x(O(x)→?y(P(x)→?D(x ，y)))．3.指出下列表达示中的自由变元和约束变元，并指明量词的辖域．(1)()()(,)()()x F x Q x y xP x R x ?∧→?∨．(2)?x(P(x ，y)∨Q(z))∧?y(R(x ，y)→ ?zQ(z))．4.设个体域为A ＝{a ，b ，c}，消去公式?xP(x)∧?xQ(x)中的量词．2.4 谓词演算的等价式与蕴含式1.试证下列等价式或蕴涵式,其中A(x),B(x)表示含x自由变量的公式,A,B 表示不含变量x（不论是自由的还是约束的）的公式.(1)（?x A(x)→B）?(?x(A(x)→B))．(2)（?x A(x)→B）??x(A(x)→B)．2.试将下列公式化成等价的前束范式．(1)?x（（┑?yP(x,y)）→(?zQ(z)→R(x))）．(2)?x(F(x)→G(x))→(?xF(x)→?xG(x))．2.5 谓词演算的推理理论1.证明下列推理．(1)所有有理数都是实数，某些有理数是整数。
离散数学(大作业
一、请给出一个集合A ，并给出A 上既具有对称性，又具有反对称性的关系。
（10分） A:(A ∩B)∪A=A,(A ∪B)∩A=A.二、请给出一个集合A ，并给出A 上既不具有对称性，又不具有反对称性的关系。
（10分） A:(A ∩B)∪A=A,(A ∪B)∩A=A.三、设A={1，2}，请给出A 上的所有关系。
（10分）{1,2} {2,1}四、设A={1，2，3}，问A 上一共有多少个不同的关系。
（10分）集合中有三个元素,3个元素对,可定义二元关系2^3=8种（3个元素对分别满足或者不满足关系R ）五、证明： 命题公式G 是恒真的当且仅当在等价于它的合取范式中，每个子句均至少包含一个原子及其否定。
（10分）证明：设公式G 的合取范式为：G ’=G 1∧G 2∧…∧G n若公式G 恒真，则G ’恒真，即子句G i ；i=1,2,…n 恒真为其充要条件。
G i 恒真则其必然有一个原子和它的否定同时出现在G i 中，也就是说无论一个解释I 使这个原子为1或0 ，G i 都取1值。
若不然，假设G i 恒真，但每个原子和其否定都不同时出现在G i 中。
则可以给定一个解释I ，使带否定号的原子为1，不带否定号的原子为0，那么G i 在解释I 下的取值为0。
这与G i 恒真矛盾。
因此，公式G 是恒真的当且仅当在等价于它的合取范式中，每个子句均至少包含一个原子及其否定。
六、若G=(P ，L)是有限图，设P(G)，L(G)的元数分别为m ，n 。
证明：n ≤2m C ，其中2m C 表示m 中取2的组合数。
（10分）证明：如果G=(P,L)为完全图，即对于任意的两点u 、v （u ≠v ）,都有一条边uv ，则此时对于元数为m 的P(G)，L(G)的元数取值最大为C m 2。
因此，若G=(P,L)为一有限图，设P(G)的元数为m ，则有L(G)的元数n ≤C m 2 ，其中C m 2 表示m 中取2的组合数。
离散数学集合与关系
离散数学集合与关系离散数学是数学中一门独立的分支，它主要研究离散的数学结构和被限制在有限范围的对象。
集合论和关系理论是离散数学的重要组成部分，它们在计算机科学、信息科学等领域具有广泛的应用。
一、集合的概念与基本运算集合是离散数学中最基本的概念之一，它是由确定的元素所组成的整体。
集合的表示通常使用大写字母，元素用小写字母表示，并用花括号{}括起来。
例如，集合A={1,2,3,4}表示由元素1,2,3,4组成的集合A。
在集合论中，集合之间的关系可以通过特定的运算来描述。
常见的集合运算包括并集、交集、差集和补集。
并集是指所有属于被操作的集合的元素的集合。
交集是指同时属于所有被操作的集合的元素的集合。
差集是指属于一个集合而不属于另一个集合的元素的集合。
补集是指在全集中属于一个集合而不属于另一个集合的元素的集合。
二、关系的定义与性质关系是描述集合之间元素之间的某种联系或者规律的数学概念。
在离散数学中，关系可以用二元组的形式表示。
关系的性质包括自反性、对称性和传递性。
自反性是指元素与自身之间存在关系。
对称性是指如果两个元素之间存在关系，那么它们之间的关系是互逆的。
传递性是指如果两个元素之间存在关系，并且与另一元素之间也存在关系，那么这两个元素之间也存在关系。
三、集合的基数与幂集集合的基数是指集合中的元素个数。
若集合A中的元素个数为n，则记作|A|=n。
基数为有限值的集合称为有限集，基数为无限值的集合称为无限集。
幂集是指一个集合的所有子集所组成的集合。
例如，对于集合A={1,2}，它的幂集为{{},{1},{2},{1,2}}。
幂集的基数等于原集合的基数的2的幂次方。
四、关系的类型与性质在离散数学中，关系可以分为几种不同的类型。
常见的关系类型包括等价关系、序关系和函数关系。
等价关系是指满足自反性、对称性和传递性的关系。
序关系是指满足自反性、反对称性和传递性的关系。
函数关系是指每个定义域中的元素都有唯一对应的值域中的元素的关系。
离散数学-第四章 关系-内容提要
{}
传递。
(5)如 果 VJ
:IT{∶ ∶ ∶ ∶ 蚕 ⒈11∶⒈ ∶ Ll ;, 翕 罐 ∶ ∶ ∶ 置 R在 A上
:I∶
:: 1∷
Vj V石
(Π
、 、 y,z)∈ R→ 〈 R∧ 〈 J,z〉 ∈ R),则 称 Π ,y,z∈ A∧ 〈 ,j〉 ∈
1亠
判别法
:
利用关系表达式判别 (1)R在 A上 白反 ㈡rA∈ R。
,
系:简 称全胛 蜮 线序 曳
柙
\宀
:'艹
° Γ ˉ叽
抖 ¨ ‰ 艹 渺 冖妒 ”
^讷
p¨ ¨
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∶
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Ⅱ… ¨
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‘ :° f耷
一
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工 < ′
工 < ′
Ι ⒕
,
、
\′
I纟
:
轱
/廴
跃
:
h,如 果 J≤ y∨ y※ J,贝 刂 ∈ 称
J与 j可 比。
称 y覆 盖 J。
偏序集中的特殊元素
得 ⒎ 则
:
y,z〉 ∈ S))。 ∈ R∧ 〈
有关基本运算的定理 ・ 定理 4.1 设 F是 任意的关系 ,则
(1)(Fˉ l)ˉ ^l=F。
・
(2)domFˉ ˉ ∴ =ranF,ranF~l=domF。
定理 4.2 设 F,G,Ⅳ 是任意的关系 ,则 (1)(F° G)° H=Fo(G° H), (2)(FoG)ˉ l=G^loF_ˉ
:
(2)R在 (3)R在 (4)R在 (5)R在 (1)R在 (2)R在 (3)R在 (4)R在
A上 反 自反 ⑶R∩ rA=¤ 。 A上 对称 山R=Rl。 ; A上 反对称 ㈡R∩ R~l∈ A上 传递 ㈡R。 R∈ R。
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——关系的性质
1．判断正误，若错误请说明原因或给出反例。
(1) R是自反的，则R不是反自反的。
(2) R不是反自反的，则R是自反的。
(3) R是反自反的，则R不是自反的。
(4) R不是自反的，则R是反自反的。
2.考虑任意集合A上的二元关系的集合，如果某一集合运算施于关系后，所得关系仍具有相同的性质，那么说一个关系的性质在该集合运算下是保持的。按照在指出的集合运算下给出的性质是否保持，填充下表。若回答是肯定(Y)，则证明之；否则，给出反例。
运算性质
自反性
反自反性
对称性
反对称性
传递性
R1
R∩SR∪SRSFra bibliotekR∘S