离散数学第三章集合与关系-习题课
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离散数学-3-5 关系及其表示
MR=
其关系图是：
10
二、关系矩阵和关系图
例 设A=1,2,3,4，R是A的二元关系，定义为： R=<1,1>,<1,2>,<2,1>,<3,2>,<3,1>,<4,3>,<4,2>,<4,1> 写出A上二元关系R的关系矩阵。 1 0 0 1 解：R的关系矩阵为： MR=
1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0
7
二、关系矩阵和关系图
设给定的两个有限集合X={x1,x2,…,xm}，Y={y1,y2,…,yn}，R为从X到 Y的一个二元关系。则对应于关系R有一个关系矩阵 R=[rij]mn，其中 关系矩阵M 关系矩阵
1 rij = 0
< xi , y j >∈ R < xi , y j >∉ R
(i=1,2,…，m；j=1,2,…，n) 设给定的两个有限集合X={x1,x2,…,xm}，Y={y1,y2,…,yn}，R为从X到 Y的一个二元关系。在平面上作m个结点分别记作x1,x2,…,xm，然后另 作n个结点分别记作y1,y2,…,yn。如果xi Ryi，则可自结点xi至结点yj处 作一有向弧，其箭头指向yj ，如果xi Ryi ，则xi至yj处没有线段联结。 例：设A={a1,a2},B={b1,b2,b3},R={〈a1,b1〉,〈a2,b1〉,〈a1,b3〉, 〈a2,b2〉},则其关系矩阵为：
ranR = { y | (∃x )(< x, y >∈ R )}
R的前域和值域一起称作R的域 的域，记作FLD R即 的域 FLD R=domR∪ranR 例题1 例题 P106
最新离散数学课件第三章集合与关系-2精品文档
中A表示所有动物Animal的集合, P表示所有植物 Plant的集合。
B也可划分成 {F, L},其中F表示史前First生 物,L表示史后Last生物。
它们的交叉划分为 : D = {A∩F, A∩L, P∩F, P∩L},
其中A∩F是史前动物, A∩L是史后动物, P∩F是史前植物, P∩L是史后植物。
定义3-9.2 若S1={A1…Am},S2={B1…Bn}是A的二个划
分,则
S={Ai∩Bj|AiS1∧BjS2}
称为A的交叉划分。
定理3-9.1 设 {A1,A2,…,Am}与{B1,B2,…,Bn}为同 一集合A的两个划分。则其交叉划分Ai∩Bj亦是原 集合的一种划分。
交叉划分举例
例：设B是所有生物的集合, 可划分成{A, P}, 其
② 因为 R s(R),故 st( R ) st(s( R )) 而st(s( R ))= sts(R) = s(ts( R )) = ts( R )
st( R ) ts( R ).
注： st(R)ts(R)未必成立。 反例：设R={ <a,b>,<c,b> }
则s(R)={ <a,b>,<b,a>,<c,b>,<b,c> } t(s(R))={ <a,b>,<b,a>,<c,b>,<b,c>,
离散数学课件第三章集合与关 系-2
复合关系举例
例：A={1，2，3，4}，B={3，5，7}，C={1，2，3} R={<2,7>，<3,5>，<4,3>}，S={<3,3>，<7,2>} 则 R◦S={<2，2>，<4，3>} 如图所示：
B也可划分成 {F, L},其中F表示史前First生 物,L表示史后Last生物。
它们的交叉划分为 : D = {A∩F, A∩L, P∩F, P∩L},
其中A∩F是史前动物, A∩L是史后动物, P∩F是史前植物, P∩L是史后植物。
定义3-9.2 若S1={A1…Am},S2={B1…Bn}是A的二个划
分,则
S={Ai∩Bj|AiS1∧BjS2}
称为A的交叉划分。
定理3-9.1 设 {A1,A2,…,Am}与{B1,B2,…,Bn}为同 一集合A的两个划分。则其交叉划分Ai∩Bj亦是原 集合的一种划分。
交叉划分举例
例：设B是所有生物的集合, 可划分成{A, P}, 其
② 因为 R s(R),故 st( R ) st(s( R )) 而st(s( R ))= sts(R) = s(ts( R )) = ts( R )
st( R ) ts( R ).
注： st(R)ts(R)未必成立。 反例：设R={ <a,b>,<c,b> }
则s(R)={ <a,b>,<b,a>,<c,b>,<b,c> } t(s(R))={ <a,b>,<b,a>,<c,b>,<b,c>,
离散数学课件第三章集合与关 系-2
复合关系举例
例：A={1，2，3，4}，B={3，5，7}，C={1，2，3} R={<2,7>，<3,5>，<4,3>}，S={<3,3>，<7,2>} 则 R◦S={<2，2>，<4，3>} 如图所示：
离散数学第3版习题答案
离散数学第3版习题答案离散数学是一门重要的数学学科，它研究的是离散对象和离散结构的数学理论。
离散数学的应用广泛，涉及到计算机科学、信息技术、通信工程等领域。
在学习离散数学的过程中，习题是不可或缺的一部分，通过解答习题可以加深对知识的理解和掌握。
本文将为大家提供《离散数学第3版》习题的答案，希望能对学习者有所帮助。
第一章：命题逻辑1.1 习题答案：1. (a) 真值表如下：p | q | p ∧ qT | T | TT | F | FF | T | FF | F | F(b) 命题“p ∧ q”的真值表如下：p | q | p ∧ qT | T | TT | F | FF | T | FF | F | F(c) 命题“p ∨ q”的真值表如下：p | q | p ∨ qT | T | TT | F | TF | T | TF | F | F(d) 命题“p → q”的真值表如下：p | q | p → qT | T | TT | F | FF | T | TF | F | T1.2 习题答案：1. (a) 命题“¬(p ∧ q)”等价于“¬p ∨ ¬q”。
(b) 命题“¬(p ∨ q)”等价于“¬p ∧ ¬q”。
(c) 命题“¬(p → q)”等价于“p ∧ ¬q”。
(d) 命题“¬(p ↔ q)”等价于“(p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)”。
1.3 习题答案：1. (a) 命题“p → q”的否定是“p ∧ ¬q”。
(b) 命题“p ∧ q”的否定是“¬p ∨ ¬q”。
(c) 命题“p ↔ q”的否定是“(p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)”。
(d) 命题“p ∨ q”的否定是“¬p ∧ ¬q”。
1.4 习题答案：1. (a) 命题“p → q”与命题“¬p ∨ q”等价。
(完整版)离散数学课后习题答案(第三章)
a t a t i m e an dA l lt h i ng si nt h ei r be i ng ar eg oo df o r so me t hi n 3-5.1 列出所有从X={a,b,c}到Y={s}的关系。
解：Z 1={<a,s>}Z 2={<b,s>} Z 3={<c,s>}Z 4={<a,s>,<b,s>} Z 5={<a,s>,<c,s>} Z 6={<b,s>,<c,s>}Z 7={<a,s>,<b,s>,<c,s>}3-5.2 在一个有n 个元素的集合上，可以有多少种不同的关系。
解 因为在X 中的任何二元关系都是X ×X 的子集，而X ×X=X 2中共有n 2个元素，取0个到n 2个元素，共可组成22n 个子集，即22|)(|n X X =⨯℘。
3-5.3 设A ＝{6：00，6：30,7：30，…, 9：30,10：30}表示在晚上每隔半小时的九个时刻的集合，设B={3,12,15,17}表示本地四个电视频道的集合,设R 1和R 2是从A 到B 的两个二元关系，对于二无关系R 1，R 2，R 1∪R 2，R 1∩R 2，R 1⊕R 2和R 1-R 2可分别得出怎样的解释。
解：A ×B 表示在晚上九个时刻和四个电视频道所组成的电视节目表。
R 1和R 2分别是A ×B 的两个子集，例如R 1表示音乐节目播出的时间表，R 2是戏曲节日的播出时间表，则R 1∪R 2表示音乐或戏曲节目的播出时间表，R 1∩R 2表示音乐和戏曲一起播出的时间表，R 1⊕R 2表示音乐节目表以及戏曲节目表，但不是音乐和戏曲一起的节日表，R 1-R 2表示不是戏曲时间的音乐节目时间麦。
3-5.4 设L 表示关系“小于或等于”，D 表示‘整除”关系,L 和D 刀均定义于解：L={<1,2>,<1,3>,<1,6>,<2,3>,<2,6>, <3,6>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<6,6>}D={<1,2>,<1,3>,<1,6>,<2,6>,<3,6>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<6,6>} L ∩D={<1,2>,<1,3>,<1,6>,<2,6>,<3,6>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<6,6>}3-5.5对下列每一式，给出A 上的二元关系，试给出关系图：a){<x,y>|0≤x ∧y ≤3}，这里A={1,2,3,4}；b){<x,y>|2≤x,y ≤7且x 除尽y ,这里A ＝{n|n ∈N ∧n ≤10}c) {<x,y>|0≤x-y<3}，这里A={0,1,2,3,4}；d){<x,y>|x,y 是互质的}，这里A={2,3,4,5,6}解：a) R={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<0,3>, <1,0>,<1,1>,<1,2>,<1,3>, <2,0>,<2,1>,<2,2>,<2,3>, <3,0>,<3,1>,<3,2>,<3,3>,} 其关系图b) R={<2,0>,<2,2>,<2,4>,<2,6>,<3,0>,<3,3>,<3,6>, <4,0>,<4,4>, <5,0>,<5,5>,i m e an dA l lt h in gs in th ei r be i ng ar eg oo df o rsa）若R1和R2是自反的，则R1○R2也是自反的；b）若R1和R2是反自反的，则R1○R2也是反自反的；c）若R1和R2是对称的，则R1○R2也是对称的；d）若R1和R2是传递的，则R1○R2也是传递的。
离散数学课后习题答案（第三章）（doc）
R={＜a，b＞，＜b，a＞，＜b，c＞，＜c，d＞}
a） 用矩阵运算和作图方法求出 R 的自反、对称、传递闭包； b） 用 Warshall 算法，求出 R 的传递闭包。
解 a） 0 1 00
MR= 1 0 1 0 0 0 01
0 0 00
R 的关系图如图所示。
a
b
d
c
MR+MIA=
0 1 00 1 0 10
反之，若 S∩ScIX，设＜x，y＞∈S 且 ＜y，x＞∈S，则 ＜x，y＞∈S∧＜x，y＞∈Sc ＜x，y＞∈S∩Sc ＜x，y＞∈IX 故 x＝y，即 S 是反对称的。
3-7.3 设 S 为 X 上的关系，证明若 S 是自反和传递的，则 S○S=S，其逆为真 吗？
证明 若 S 是 X 上传递关系，由习题 3-7.2a）可知（S○S）S， 令＜x，y＞∈S，根据自反性，必有＜ x，x＞ ∈S， 因此有＜ x，y ＞∈S○S， 即 SS○S。得到 S=S○S.
自反的； b）若 R1 和 R2 是反自反的，则 R1○R2 也
是反自反的； c）若 R1 和 R2 是对称的，则 R1○R2 也是
对称的； d）若 R1 和 R2 是传递的，则 R1○R2 也是
传递的。
证明 a）对任意 a∈A，设 R1 和 R2 是自 反的，则＜a，a＞∈R1，＜a，a＞∈R2 所以，＜a，a＞∈R1○R2，即 R1○R2 也是 自反的。
解：L= {<1,2>,<1,3>,<1,6>,<2,3>,<2,6>, <3,6>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<6,6>} D={<1,2>,<1,3>,<1,6>, <2,6>,<3,6>,<1, 1>,<2,2>,<3,3>,<6,6>} L∩D= {<1,2>,<1,3>,<1,6>,<2,6>,<3,6>,<1,1>, <2,2>,<3,3>,<6,6>}
a） 用矩阵运算和作图方法求出 R 的自反、对称、传递闭包； b） 用 Warshall 算法，求出 R 的传递闭包。
解 a） 0 1 00
MR= 1 0 1 0 0 0 01
0 0 00
R 的关系图如图所示。
a
b
d
c
MR+MIA=
0 1 00 1 0 10
反之，若 S∩ScIX，设＜x，y＞∈S 且 ＜y，x＞∈S，则 ＜x，y＞∈S∧＜x，y＞∈Sc ＜x，y＞∈S∩Sc ＜x，y＞∈IX 故 x＝y，即 S 是反对称的。
3-7.3 设 S 为 X 上的关系，证明若 S 是自反和传递的，则 S○S=S，其逆为真 吗？
证明 若 S 是 X 上传递关系，由习题 3-7.2a）可知（S○S）S， 令＜x，y＞∈S，根据自反性，必有＜ x，x＞ ∈S， 因此有＜ x，y ＞∈S○S， 即 SS○S。得到 S=S○S.
自反的； b）若 R1 和 R2 是反自反的，则 R1○R2 也
是反自反的； c）若 R1 和 R2 是对称的，则 R1○R2 也是
对称的； d）若 R1 和 R2 是传递的，则 R1○R2 也是
传递的。
证明 a）对任意 a∈A，设 R1 和 R2 是自 反的，则＜a，a＞∈R1，＜a，a＞∈R2 所以，＜a，a＞∈R1○R2，即 R1○R2 也是 自反的。
解：L= {<1,2>,<1,3>,<1,6>,<2,3>,<2,6>, <3,6>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<6,6>} D={<1,2>,<1,3>,<1,6>, <2,6>,<3,6>,<1, 1>,<2,2>,<3,3>,<6,6>} L∩D= {<1,2>,<1,3>,<1,6>,<2,6>,<3,6>,<1,1>, <2,2>,<3,3>,<6,6>}
离散数学课后习题答案(第三章)
b）设A={a,b,c}
R1={＜a,b＞，＜b,a＞，＜b,c＞，＜c,b＞，＜a,c＞，＜c,a＞，＜a,a＞，＜b,b＞，＜c,c＞}
R2={＜a,a＞，＜b,b＞，＜c,c＞，＜b,c＞，＜c,b＞}
R1-R2={＜a,b＞，＜b,a＞，＜a,c＞，＜c,a＞}
所以R1和R2是A上等价关系，但R1-R2不是A上等价关系。
r（R1-R2）=（R1-R2）∪IA
={＜a,b＞,＜b,a＞,＜a,c＞，＜c,a＞，＜a,a＞，＜b,b＞,＜c,c＞}
不是A上的等价关系。
3-10.8设C*是实数部分非零的全体复数组成的集合，C*上的关系R定义为：(a+bi)R(c+di)ac>0,证明R是等价关系，并给出关系R的等价类的几何说明。
c）若R1是A上等价关系，则
＜a,a＞∈R1＜a,a＞∈R1○R1
所以R12是A上自反的。
若＜a,b＞∈R12则存在c，使得＜a, c＞∈R1∧＜c,b＞∈R1。因R1对称，故有
＜b, c＞∈R1∧＜c,a＞∈R1＜b, a＞∈R12
即R12是对称的。
若＜a,b＞∈R12∧＜b, c＞∈R12,则有
a）（A×A）-R1；
b）R1-R2；
c）R12；
d) r（R1-R2）（即R1-R2的自反闭包）。
解a）（A×A）-R1不是A上等价关系。例如：
A={a,b}，R1={＜a,a＞，＜b,b＞}
A×A={＜a,a＞，＜a,b＞，＜b,a＞，＜b,b＞}
（A×A）-R1={＜a,b＞，＜b,a＞}
所以（A×A）-R1不是A上等价关系。
即R是对称的。
3设任意＜x,y＞∈A，＜u,v＞∈A，＜w,s＞∈A，对
R1={＜a,b＞，＜b,a＞，＜b,c＞，＜c,b＞，＜a,c＞，＜c,a＞，＜a,a＞，＜b,b＞，＜c,c＞}
R2={＜a,a＞，＜b,b＞，＜c,c＞，＜b,c＞，＜c,b＞}
R1-R2={＜a,b＞，＜b,a＞，＜a,c＞，＜c,a＞}
所以R1和R2是A上等价关系，但R1-R2不是A上等价关系。
r（R1-R2）=（R1-R2）∪IA
={＜a,b＞,＜b,a＞,＜a,c＞，＜c,a＞，＜a,a＞，＜b,b＞,＜c,c＞}
不是A上的等价关系。
3-10.8设C*是实数部分非零的全体复数组成的集合，C*上的关系R定义为：(a+bi)R(c+di)ac>0,证明R是等价关系，并给出关系R的等价类的几何说明。
c）若R1是A上等价关系，则
＜a,a＞∈R1＜a,a＞∈R1○R1
所以R12是A上自反的。
若＜a,b＞∈R12则存在c，使得＜a, c＞∈R1∧＜c,b＞∈R1。因R1对称，故有
＜b, c＞∈R1∧＜c,a＞∈R1＜b, a＞∈R12
即R12是对称的。
若＜a,b＞∈R12∧＜b, c＞∈R12,则有
a）（A×A）-R1；
b）R1-R2；
c）R12；
d) r（R1-R2）（即R1-R2的自反闭包）。
解a）（A×A）-R1不是A上等价关系。例如：
A={a,b}，R1={＜a,a＞，＜b,b＞}
A×A={＜a,a＞，＜a,b＞，＜b,a＞，＜b,b＞}
（A×A）-R1={＜a,b＞，＜b,a＞}
所以（A×A）-R1不是A上等价关系。
即R是对称的。
3设任意＜x,y＞∈A，＜u,v＞∈A，＜w,s＞∈A，对
离散数学第四版课后答案(第3章)
但对于等式（4），左边经变形后得
( A B C) ( A B) ((A B) ( A B)) (C ( A B))
= (C ( A B)) C ( A B). 易 见 ， C (A B) C, 但 不 一 定 有 C (A B) C.如 令 A B C {1}.时，等式（4）不为真。类假地，等式（5）的左 边经化简后得 (A C) B ，而 (A C) B 不一定恒等于 A-C。 3．17 （1）不为真。（2），（3）和（4）都为真。对于题 （1）举反例如下：令 A {1}, A {1}, B {1,4},C {2}, D {2,3}, 则 A B 且 C B ，但 A C B D ，
这是 S T 的充公必要条件,从而结论为真. 对 于 假 命 题 都 可 以 找 到 反 例 , 如 题 (2) 中 令 S {1,2},T z{1}, M {2}即可;而对于题(5),只要 S 即可. 3.9 (2),(3)和(4)为真,其余为假. 3.10 (1) A {0,1,2}. (2) A {1,2,3,4,5} (3) A {1} (4) A { 0,0 , 0,1 1,0 , 0,2 , 1,1 , 2,0 , 0,3 ,
A B .
（4）易见，当 A=B 成立时，必有 A-B=B-A。反之，由 A-B=B-A 得
( A B) B (B A) B
化简后得 B A ，即 B A，同理，可证出 A B ，从而 得到 A=B。
3．18 由| P(B) | 64 可知|B|=6。又由| P(A B) | 256 知| A B | 8 ， 代入包含排斥原理得
{,{1},{2},{1,2}}}.
(4) P( A) {,{{1}},{{1,2}},{{1}},{{1,2}} (5) P( A) {,{1},{1},{2},{1,1},{1,2}{1,2}{1,1,2}. 分析 在做集合运算前先要化简集合,然后再根据题目 要求进行计算.这里的化简指的是元素,谓词表示和集合公 式三种化简. 元素的化简——相同的元素只保留一个，去掉所有冗余 的元素。 谓词表示的化简——去掉冗余的谓词，这在前边的题解 中已经用到。 集合公工的化简——利用简单的集合公式代替相等的 复杂公式。这种化简常涉及到集合间包含或相等关系的判别。 例如，题（4）中的 A {{1,1},{2,1},{1,2,1}}化简后得 A {{1},{1,2}}， 而题（5）中的 A {x | x R x3 2x2 x 2 0} 化 简为 A {1,1,2}。 3．15
( A B C) ( A B) ((A B) ( A B)) (C ( A B))
= (C ( A B)) C ( A B). 易 见 ， C (A B) C, 但 不 一 定 有 C (A B) C.如 令 A B C {1}.时，等式（4）不为真。类假地，等式（5）的左 边经化简后得 (A C) B ，而 (A C) B 不一定恒等于 A-C。 3．17 （1）不为真。（2），（3）和（4）都为真。对于题 （1）举反例如下：令 A {1}, A {1}, B {1,4},C {2}, D {2,3}, 则 A B 且 C B ，但 A C B D ，
这是 S T 的充公必要条件,从而结论为真. 对 于 假 命 题 都 可 以 找 到 反 例 , 如 题 (2) 中 令 S {1,2},T z{1}, M {2}即可;而对于题(5),只要 S 即可. 3.9 (2),(3)和(4)为真,其余为假. 3.10 (1) A {0,1,2}. (2) A {1,2,3,4,5} (3) A {1} (4) A { 0,0 , 0,1 1,0 , 0,2 , 1,1 , 2,0 , 0,3 ,
A B .
（4）易见，当 A=B 成立时，必有 A-B=B-A。反之，由 A-B=B-A 得
( A B) B (B A) B
化简后得 B A ，即 B A，同理，可证出 A B ，从而 得到 A=B。
3．18 由| P(B) | 64 可知|B|=6。又由| P(A B) | 256 知| A B | 8 ， 代入包含排斥原理得
{,{1},{2},{1,2}}}.
(4) P( A) {,{{1}},{{1,2}},{{1}},{{1,2}} (5) P( A) {,{1},{1},{2},{1,1},{1,2}{1,2}{1,1,2}. 分析 在做集合运算前先要化简集合,然后再根据题目 要求进行计算.这里的化简指的是元素,谓词表示和集合公 式三种化简. 元素的化简——相同的元素只保留一个，去掉所有冗余 的元素。 谓词表示的化简——去掉冗余的谓词，这在前边的题解 中已经用到。 集合公工的化简——利用简单的集合公式代替相等的 复杂公式。这种化简常涉及到集合间包含或相等关系的判别。 例如，题（4）中的 A {{1,1},{2,1},{1,2,1}}化简后得 A {{1},{1,2}}， 而题（5）中的 A {x | x R x3 2x2 x 2 0} 化 简为 A {1,1,2}。 3．15
离散数学第3章_(1-6)(新教材)(1)
注: J恰好是全体n位二进制数,也就是集合 {0,1,2,…, 2 n 1} 的二进制表示.
第三节 集合的运算
1. 集合的并
定义3.1 A和B是集合, 所有属于A或属于B 的元素组成的集合S, 称为A和B的并集, 记作 AB, 即, S=AB={x |(xA)(xB)}
A AB AB B
A
例如, 设全集E为整数集合Z, O为奇数集合, 则 为偶数集合, A
定理3.3(补与差的性质) (1)A-B=A B , (2)A-B=A-(AB) (3) A =E, A = A A
(4)
A
=A,
,
(5) E , E
(6)
A E A
定义1.1(集合相等的定义): 两个集合A和B是相等的, 当且仅当A和B有相同的元素, 记作A=B; 集合A与 集合B不相等,记作AB;
例如上面例1中的(1)和(2)中的两个集合S和T, 不难 看出它们实际上是两个相同的集合,也即有S=T. 再看上面例1中的(3),根据数论中著名的 Lagrange四平方定理(该定理的结论是:每个自然数 都可以表示成四个整数的平方数之和)可以看出:这 个例子中的集合W与全体自然数组成的集合N也是 相等的集合。
定义2.2(幂集) 假设A是一个给定的集合, 将集合A的每 个子集看成一个元素,则集合A的所有子集为元素所作成的 新的集合称为集合A的幂集,记为(A). 例1.求空集的幂集. 解由于空集只有一个子集，也就是空集自己,从而它的 幂集为 ()={} . (注)请注意将空集与{}区别开来: 中没有任何元素,而 {}中恰好有一个元素。
.(De Morgan律)
(11)设A、B是任何集合, 若AB, 则有: [1] B ,[2] (BA)A=B. A
离散数学第3章-集合与关系
（1） 任一对象a，对某一集合A来说，a属于A或a不属于A， 两者必居其一，且仅居其一。并且当a属于A时，称a是A的成
员，或A包含a，a在A之中，a属于A。即 a A a A
（2）集合中元素具有互异性和无序性。如{a,b,c,d}={a,b,b,c,d}
3-1 集合的概念和表示法
(3) 集合的元素个数可以是有限个也可以是无限个，具有有限个元素的集 合的为有限集，否则称为无限集。 (4) 集合中的元素也可以是集合，如
称为A和B的笛卡尔积，记作：A B
例：A {、、 、、
则：
3-4 序偶和笛卡尔积
5、多重直积：
A1 A2 A3是集合，A1 A2是笛卡尔集，也是集合仍可再作笛卡尔积
A A A A A A ( ) { , , | , , }
1
2
3
1
2
3
1
1
2
2
3
3
A A A { , , | , , }
E AB
S={x∣(x∈A)∧（xB）}
={x∣（x∈A）∧ （x∈B）}
3-2 集合的运算
b）集合A关于全集E的补。 E-A称为A的绝对补，记作~A。
E A
~A={x∣(x∈E）∧（x A）}
~ A有下列性质： ⑴ ~（ ~A）=A
⑵ ~E=
⑶~ =E
⑷A∪~A=E
⑸A∩~A=
3-2 集合的运算
* 以后判断两集合相等就主要用这一重要定理。
定理：对任一Set A， A
3-1 集合的概念和表示法
例：若A={a,b,c},写出其所有子集。 解：Ø 、{a}、{b}、{c}、{a，b}、{a，c}、{b，c}、{a，b，c}均是A的子 集
员，或A包含a，a在A之中，a属于A。即 a A a A
（2）集合中元素具有互异性和无序性。如{a,b,c,d}={a,b,b,c,d}
3-1 集合的概念和表示法
(3) 集合的元素个数可以是有限个也可以是无限个，具有有限个元素的集 合的为有限集，否则称为无限集。 (4) 集合中的元素也可以是集合，如
称为A和B的笛卡尔积，记作：A B
例：A {、、 、、
则：
3-4 序偶和笛卡尔积
5、多重直积：
A1 A2 A3是集合，A1 A2是笛卡尔集，也是集合仍可再作笛卡尔积
A A A A A A ( ) { , , | , , }
1
2
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1
2
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1
1
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3
3
A A A { , , | , , }
E AB
S={x∣(x∈A)∧（xB）}
={x∣（x∈A）∧ （x∈B）}
3-2 集合的运算
b）集合A关于全集E的补。 E-A称为A的绝对补，记作~A。
E A
~A={x∣(x∈E）∧（x A）}
~ A有下列性质： ⑴ ~（ ~A）=A
⑵ ~E=
⑶~ =E
⑷A∪~A=E
⑸A∩~A=
3-2 集合的运算
* 以后判断两集合相等就主要用这一重要定理。
定理：对任一Set A， A
3-1 集合的概念和表示法
例：若A={a,b,c},写出其所有子集。 解：Ø 、{a}、{b}、{c}、{a，b}、{a，c}、{b，c}、{a，b，c}均是A的子 集
离散数学期末3-4章复习精品PPT课件
(除非 A= B= C=) 反例: A=B=C={1}.
(AB)C={<<1,1>,1>}, A(BC)={<1,<1,1>>}.
3. 笛卡尔积分配律：（对或运算满足） （1） A(BC) = (AB)(AC) （2） A(BC) = (AB)(AC) （3） (BC)A = (BA)(CA) （4） (BC)A = (BA)(CA)
（4） 全集
[定义] 全集: 在一定范围内，如果所有集合均为某一集合的 子集,则称这个集合是全集,记作E。 E={x | P(x) P(x)}，P(x)为任何谓词 全集是相对的, 视情况而定, 因此不唯一。 例如, 讨论(a,b)区间里的实数性质时, 可以选 E=(a,b), E=[a,b), E=(a,b], E=[a,b], E=(a,+), E=(-,+)等
3-4.2 三元组(ordered triple)
定义［三元组］：<a,b,c>=<<a,b>,c>. 定义［ n(2)元组］：
<a1,a2,…,an>=<<a1,a2,…,an-1>,an>.
定理: <a1,a2,…,an>= <b1,b2,…,bn> ai = bi, i =1,2,…,n.
集合恒等式证明(方法)
（1）逻辑演算法: 利用逻辑等价式和逻辑推理规则
（2）集合演算法: 利用集合恒等式和已知的集合结论
（1）逻辑演算法(格式)
题型: A B.
题型: A=B.
证明: x, xA 证明： x, xA
…(????)
…(????)
xB A B证毕.
(AB)C={<<1,1>,1>}, A(BC)={<1,<1,1>>}.
3. 笛卡尔积分配律：（对或运算满足） （1） A(BC) = (AB)(AC) （2） A(BC) = (AB)(AC) （3） (BC)A = (BA)(CA) （4） (BC)A = (BA)(CA)
（4） 全集
[定义] 全集: 在一定范围内，如果所有集合均为某一集合的 子集,则称这个集合是全集,记作E。 E={x | P(x) P(x)}，P(x)为任何谓词 全集是相对的, 视情况而定, 因此不唯一。 例如, 讨论(a,b)区间里的实数性质时, 可以选 E=(a,b), E=[a,b), E=(a,b], E=[a,b], E=(a,+), E=(-,+)等
3-4.2 三元组(ordered triple)
定义［三元组］：<a,b,c>=<<a,b>,c>. 定义［ n(2)元组］：
<a1,a2,…,an>=<<a1,a2,…,an-1>,an>.
定理: <a1,a2,…,an>= <b1,b2,…,bn> ai = bi, i =1,2,…,n.
集合恒等式证明(方法)
（1）逻辑演算法: 利用逻辑等价式和逻辑推理规则
（2）集合演算法: 利用集合恒等式和已知的集合结论
（1）逻辑演算法(格式)
题型: A B.
题型: A=B.
证明: x, xA 证明： x, xA
…(????)
…(????)
xB A B证毕.
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河南工业大学离散数学课程组
四.证明R的反对称性 方法1 用定义1证： 任取 x,y∈A,设<x,y>∈R, <y,x>∈R.证出 x=y。 方法2 用定义2证： 任取 x,y∈A,x≠y, 设<x,y>∈R,证出<y,x>R. 方法3 用定理证：证出 R∩Rc IA . (见教材P118) 五.证明R的传递性： 方法1 用传递定义证： 任取 x,y,z∈A,设<x,y>∈R,<y,z>∈R, 证出 <x,z>∈R. 方法2 用传递闭包证：证出 t(R)=R, 即 R∪R2∪R3∪... =R. 方法3 用定理证：证出R R R ( P119 (2) a) ) 下面证明第113页 (4)
河南工业大学离散数学课程组
离散数学
河南工业大学 第三章
信息科学与工程学院
集合与关系
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河南工业大学离散数学课程组 3-2（9）在什么条件下，下面命题为真？
a) (A-B)∪(A-C)=A (A-B)∪(A-C)= (A∩~B)∪(A∩~C)=A∩(~B∪~C) = A∩~(B∩C)=A-(B∩C)=A 所以满足此式的充要条件是： A∩(B∩C)= Φ或A ~ (B∩C) b) (A-B)∪(A-C)=Φ (A-B)∪(A-C)= A∩~(B∩C)= A-(B∩C)=Φ 所以满足此式的充要条件是：A B∩C c) (A-B)∩(A-C)=Φ (A-B)∩(A-C)= (A∩~B)∩(A∩~C)=A∩(~B∩~C) = A∩~(B∪C)=A-(B∪C)=Φ 所以满足此式的充要条件是: A B∪C d) (A-B)(A-C)=Φ 因为 当且仅当A=B ，才有AB=Φ 所以满足此式的充要条件是: A-B=A-C
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河南工业大学离散数学课程组
第109页⑴ X={a,b,c} Y={s} X到Y的所有关系： X×Y={<a,s>,<b,s>,<c,s>} X×Y的任何一个子集都是一个 从X到Y的关系。如 果|X|=m |Y|=n则有2mn个从X到Y的关系, 故,有23=8 个关系: R0=Φ R1={<a,s>} R2={<b,s>} R3={<c,s>} R4={<a,s>,<b,s>} R5={<a,s>,<c,s>} R6={<b,s>,<c,s>} R7={<a,s>,<b,s>,<c,s>} ⑵ 设|A|=n ，有多少个A上的关系？ 因为RA×A,所以A×A有多少个子集就有多少个A上 关系,由集合的幂集就是该集合的子集构成的,所以A 上关系个数就是A×A 的幂集P(A×A)的元素个数 |P(A×A)|,而 2|A×A|=2nn= 2n 。所以有 2n 个不同的A上 关系。
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河南工业大学离散数学课程组 P134(4). R是A上关系，
设 S={<a,b>|c∈A∧<a,c>∈R∧<c,b>∈R} 求证若R是等价关系，则S也是等价关系。 证明： a)证S自反：任取a∈A，∵R是自反的， ∴有<a,a>∈R,由 S定义得<a,a>∈S, (S定义中c就是a) ∴S自反。 b)证S对称: 任取a,b∈A，且有<a,b>∈S,由S定义得 c∈A∧<a,c>∈R∧<c,b>∈R, 由R对称得 c∈A∧<b,c>∈R∧<c,a>∈R,由S定义得<b,a>∈S, S对称。 c)证S传递:任取a,b,c∈A,有<a,b>∈S,<b,c>∈S, 由S定义得(d∈A∧<a,d>∈R∧<d,b>∈R)∧ (e∈A∧<b,e>∈R∧<e,c>∈R) , 由于R传递,所以有<a,b>∈R,<b,c>∈R,由S定义得 <a,c>∈S, 所以S传递. 所以S是A上等价关系。 20
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第104页⑴b) A={0,1} B={1,2} 求A2×B。 AB={<x,y>|xA∧yB} A2 =A×A={<0,0>,<0,1>,<1,0>,<1,1> } A2×B={<<0,0>,1>,<<0,1>,1>,<<1,0>,1>,<<1,1>,1>, <<0,0>,2>,<<0,1>,2>,<<1,0>,2>,<<1,1>,2> } 注意： A2×B= (A×A)×B= A×A×B 第105页 ⑵设A={a,b},构成集合P(A) ×A P(A)={Φ,{a},{b},{a,b}} P(A) ×A={< Φ,a>, < Φ,b>, < {a},a>, <{a},b>, < {b},a>, <{b},b>, < {a,b},a>, <{a,b},b>
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五.证明R的传递性： 方法1 用传递定义证：任取 x,y,z∈A, 设<x,y>∈R∩S,<y,z>∈R∩S, (证出<x,z>∈R∩S) <x,y>∈R∩S∧<y,z>∈R∩S <x,y>∈R∧<x,y>∈S∧<y,z>∈R∧<y,z>∈S (<x,y>∈R∧<y,z>∈R)∧(<x,y>∈S ∧<y,z>∈S) <x,z>∈R∧<x,z>∈S （因为R、S传递） <x,z>∈R∩S 所以R∩S传递。 方法2 用传递闭包证：证出 t(R∩S)=R∩S, 即 (R∩S)∪(R∩S)2∪(R∩S)3∪... =R∩S. 方法3用定理证：证出 (R∩S) o (R∩S) (R∩S) 用方法2、方法3证明此题的传递性有很大难度。 R(S∩T)(RS)∩(RT) 希望同学们灵活掌握证明关系性质的方法。
设R是A上关系， 一.证明R的自反性： 方法1 用自反定义证：任取 x∈A,证出<x,x>∈R. 方法2 用恒等关系IA证：证出IA R. ( P119 (2) b) ) 方法3 用自反闭包证：证出r(R)=R, 即R∪IA=R. 二.证明R的反自反性： 方法1 用反自反定义证：任取 x∈A,证出<x,x>R。 方法2 用R∩IA=Φ证 三.证明R的对称性： 方法1 用对称定义证： 任取 x,y∈A,设<x,y>∈R, 证出 <y,x>∈R. 方法2 用求逆关系证：证出 Rc=R. 方法3 用对称闭包证：证出 s(R)=R, 即R∪Rc =R.
2 2
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P109 3-5（5）
注意：A上的关系，结点数为A中元素的个数。
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第113页⑴ A={1,2,3}，A上五个关系如下：
1 1 1 1 1
。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 A×A T
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3-2（5）b)证明 (A-B)-C=(A-C)-B x： x∈(A-B)-C x∈(A-B)∧xC (x∈A∧xB)∧xC (x∈A∧xC)∧xB x∈(A-C)∧xB x∈(A-C)-B 所以(A-B)-C=(A-C)-B
(A-B)-C =(A∩~B)∩~ C = (A∩~C)∩~ B =(A-C)-B 所以(A-B)-C=(A-C)-B
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河南工业大学离散数学课程组 P113(4)R和S都A上是自反、对称、传递的，求证R∩S也
是自反、对称和传递的。
证明：一.证明R∩S的自反性 方法1 用自反定义证：任取 x∈A, (证出<x,x>∈R∩S) 因R和S都自反，所以有<x,x>∈R，<x,x>∈S， 于是有<x,x>∈R∩S，所以R∩S也自反。 方法2 用恒等关系IA证：(证出IA R∩S) 因R和S都自反，所以 IA R ，IA S， 所以 IA R∩S 所以R∩S也自反。 方法3 用自反闭包证： (证出r(R∩S)=R∩S, 即 (R∩S)∪IA= R∩S) 因R和S都自反，所以r(R)=R, r(S)=S, r(R∩S)=(R∩S)∪IA= (R∪IA)∩(S∪IA) = r(R)∩r(S)=R∩S
R S Φ R S T Φ
A×A
自反 N Y N N Y
反自反 N N N Y N
对称 N Y N Y Y
反对称 Y N Y Y N
传递 Y Y N Y Y
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上述五个关系中， 哪些是等价关系？如果是等价关系，求其商集。 哪些是相容关系？如果是相容关系，求其完全覆盖。 哪些是偏序关系？如是偏序关系,画Hasse图,并求Ａ的极 小(大)元、最小(大)元、上界与下界、上确界和下确界。 等价关系：S和A×A，对应的商集分别是： A/S={{1,2},{3}} A/A={{1,2,3}} 相容关系: S和A×A，对应的完全覆盖分别是： CS(A)={{1,2},{3}} CA×A(A)={{1,2,3}} 偏序关系: T 3。 Ａ的极小元、最小元、下界、下确界都是：1 Ａ的极大元、最大元、上界、上确界都是：3 2。 1 1。
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第130页(1).X是集合，且|X|=4，X有多少个不同的划分？ 解.