离散数学 31集合概念表示法
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离散数学(chapter3集合的基本概念和运算)
以上运算律的证明思路：欲证P=Q，即证 x P x Q。
2013-7-10 离散数学
20
Байду номын сангаас
三、集合算律
证明分配律：A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) 对x， x A∪(B ∩C) (x A ) (x B∩C )
(x A) (x B x C )
Z: 整数集合
Q: 有理数集合
R: 实数集合 C: 复数集合
: 空集(不含任何元素) E: 全集 （在某一问题中，含有所涉及的全部集合的集合。）
2013-7-10 离散数学 6
三、集合的表示方法
列出集合的所有元素，元素之间用逗号 1、列举法： 隔开。如A = { a, b, c } ， B = { 1,2,4,6,7,9 } 用谓词概括该集合中元素的属性。 2、描述法： 如：A = { x | xZ 3 < x 6 } A = { x | P (x) }，其中P (x)表示x满足的性质。 即A是由所有使P (x)为真的全体x构成。
2013-7-10 离散数学 3
§3.1 集合的基本概念
内容：集合，元素，子集，幂集等。 重点：(1) 掌握集合的概念及两种表示法， (2) 常见的集合N , Z, Q, R, C 和特殊集合 ,E， (3) 掌握子集及两集合相等的概念， (4) 掌握幂集的概念及求法。
2013-7-10 离散数学 4
2013-7-10
离散数学
8
四、集合之间的关系
3、真子集： B A。
B A B A B A
BABA B=A
4、幂 集：集合A的全体子集构成的集合，记作P (A)。 符号化为 P (A) = { x | x A} n 元集A的幂集P (A)含有2n个元素。
离散数学---集合
3、 幂集： 、 幂集：
定义： 是一个集合， 定义：设A是一个集合，由A的所有子集 是一个集合 的所有子集 组成的集合称为A的幂集 ， 组成的集合称为 的幂集， 记 作 P(A)或 的幂集 或
。 2A。 。
该定义可以写作P(A)={u| 该定义可以写作P(A)={u|u⊆ A} P(A)={u 例如， 例如，A = {0, 1}，则 ， P(A) = { {}, {0}, {1}, {0, 1} }
定义： 定义：若A⊆ B且A ≠ B ，则称 A为 ⊆ 且 为 B的真子集。记 作 A ⊂ B ，或 B ⊃ A 的真子集。 的真子集 对一切x如果x 必有x 对一切x如果x∈A必有x∈B，并且存在一个 x0∈B且x0∉A。
三、特殊的集合
1、 空集： 、 空集： 定义： 不含任何元素的集合称为空集， 定义 ： 不含任何元素的集合称为空集 ， 记 作∅。 例如： 例如：Z={xx2+1=0,x∈R}，这是空集。 ∈ ，这是空集。 定理：空集是任何集合的子集。 定理：空集是任何集合的子集。 证明： 证明： ∅ ⊆ A ⇔ ∀ x(x∈∅ x∈A) ⇔1 ∈∅ ∈
特定的一些集合的表示符号
自然数集N={0，1，2，…} ， ， ， 自然数集 整数集合Z={…-2，-1，0，1，2，…} 整数集合 ， ， ， ， ， 有理数集合Q={xx=P⁄⁄q，p,q∈Z} 有理数集合 ， ∈ 实数集合R={ x x是实数 是实数} 实数集合 是实数 复数集合C={x x=a+bi,a,b∈R,i=复数集合C={x x=a+bi,a,b∈R,i=-1}
第三章 集合的基本概念
集合(set)：集合是数学中最基本的概念之一， ：集合是数学中最基本的概念之一， 集合 不能以更简单的概念来定义(define)，只能给 ， 不能以更简单的概念来定义 出它的描述(description)。一些对象的整体就 。 出它的描述 称为一个集合， 称为一个集合，这个整体的每个对象称为该 集合的一个元素 集合的一个元素(member或element)。 元素 或 。
离散数学集合的表示方法
离散数学集合的表示方法离散数学是指以一定的符号系统来表示数学概念和数学运算的学科，其中最基本的概念是集合。
集合是一组独立的元素的有序集，也可以说是一类物体的总称，它可以用简单的符号表示。
这种表示方法在数学研究和计算上起着重要作用。
本文着重介绍离散数学集合的表示方法。
首先，在离散数学中，所有的集合都可以用符号表示，通常用大写字母代表集合，如A、B、C等。
确定集合的方法通常有三种：①通过给出其元素的方式，如表示集合A={1,3,5,7,9}；②通过用公式表示法，如表示集合B={2n|n∈N，n≤5}；③通过用符号表示，如表示集合C={x|x∈A，x>3}。
此外，在离散数学中，还有一些特殊的集合概念，包括空集、自身的集合、全集以及基本集合。
空集是指不包含元素的集合，它有一个特殊的符号，即；自身的集合，即一个集合的元素全部不在其他集合中，如集合A={1,2,3}，则A∈A；全集是指包含所有元素的集合，标识符为G；基本集合是指包含元素的所有集合，标识符通常是N、Z、R等。
另外，集合运算也是离散数学中非常重要的概念，其中有一些重要的运算，如交集、并集、补集、差集等。
其定义和运算方法是：对于两个集合A={1,2,3}、B={2,4,6}，交集A∩B={2}，即A和B的交集，两个集合的公共元素；并集A∪B={1,2,3,4,6}，即A和B的并集，包含A和B全部元素；补集A′={4,6}，即在A中没有的元素；差集A-B={1,3}，即A中有，而B中没有的元素。
总之，离散数学集合的表示方法有大写字母表示、公式表示法和符号表示，以及特殊的集合概念如空集、自身的集合、全集以及基本集合，以及交集、并集、补集、差集等重要的集合运算。
它们为离散数学的理解和应用提供了基础，同时也为计算机科学技术的发展提供了条件和依据。
离散数学-3-1集合的概念和表示法.ppt
一、集合的概念
集合是不能精确定义的数学基本概念, 当我 们讨论某一类对象时，就把这一类对象的 全体称为集合。这些对象称为集合中元素。 元素也是抽象的，无法精确定义，可以认 为是存在于世界上的一切客观物体。 例如：地球上的人。
公园里的花。 坐标平面上的点。
1
一、集合的概念
通常用大写字母表示一个集合，例A，B， 。 用小写字母表示一个集合的元素，例a, b, x, y, 。 若元素a属于集合A，记作aA, 否则记aA。 若一个集的元素个数是有限，称有限集， 否则称为无限集。 有限集合的元素个数称为该集合的基数， 集合A的基数记为|A|。
集合的元素又是无序的，即1,2,3和3,1,2是同一集合。
集合的元素还可以允许是一个集合，如S= 1,2, 3,
{a},a
4
二．集合之间的关系
集合之间有二种基本关系：
1）相等：两个集A，B称作相等，当且仅当A，B的元素完 全相同，记A=B，否则AB。(P82 外延性原理） 例 { {1, 2}, 4} {1, 2, 4} { 1, 3, 5 }={x x是正奇数} 2）子集（Ｐ83 定义3-1.1）：A，B为两个集合，若A的每 个元素都是B的元素，称A为B的子集，或A包含在B内， 或Ｂ包含Ａ，记AB或BA。 即 A B x(xAxB) 根据子集的定义，可立即有：对任意集合A，B，C： 1）AA； （自反性） 2）AB，BC则AC；(传递性）
但B中至少有一个元素不属于A，则称A为B的真子集，或A包含在B内， 记AB。
即A B x (xAxB)(x)(xBxA) ABABAB
例如：Z Q
又例如：设 A=a，B=a,b，C=a,b,c 则
AB，BC，AC，但 AA
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三、空集
集合是不能精确定义的数学基本概念, 当我 们讨论某一类对象时，就把这一类对象的 全体称为集合。这些对象称为集合中元素。 元素也是抽象的，无法精确定义，可以认 为是存在于世界上的一切客观物体。 例如：地球上的人。
公园里的花。 坐标平面上的点。
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一、集合的概念
通常用大写字母表示一个集合，例A，B， 。 用小写字母表示一个集合的元素，例a, b, x, y, 。 若元素a属于集合A，记作aA, 否则记aA。 若一个集的元素个数是有限，称有限集， 否则称为无限集。 有限集合的元素个数称为该集合的基数， 集合A的基数记为|A|。
集合的元素又是无序的，即1,2,3和3,1,2是同一集合。
集合的元素还可以允许是一个集合，如S= 1,2, 3,
{a},a
4
二．集合之间的关系
集合之间有二种基本关系：
1）相等：两个集A，B称作相等，当且仅当A，B的元素完 全相同，记A=B，否则AB。(P82 外延性原理） 例 { {1, 2}, 4} {1, 2, 4} { 1, 3, 5 }={x x是正奇数} 2）子集（Ｐ83 定义3-1.1）：A，B为两个集合，若A的每 个元素都是B的元素，称A为B的子集，或A包含在B内， 或Ｂ包含Ａ，记AB或BA。 即 A B x(xAxB) 根据子集的定义，可立即有：对任意集合A，B，C： 1）AA； （自反性） 2）AB，BC则AC；(传递性）
但B中至少有一个元素不属于A，则称A为B的真子集，或A包含在B内， 记AB。
即A B x (xAxB)(x)(xBxA) ABABAB
例如：Z Q
又例如：设 A=a，B=a,b，C=a,b,c 则
AB，BC，AC，但 AA
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三、空集
《离散数学》课件-第3章集合的基本概念
17
例题
计算以下幂集：
，{}；{，{}}
解：
P()={} P({})={，{}} P({，{}})= {, {}，{{}},{，{}}}
18
3.3 集合的运算
集合的运算 并，交，补（绝对补），差（相对补－），和对称差等。
19
集合的并运算
• 定义3.3.1 设A，B为集合，由A和B的所有元素组成的集 合称为A与B的并集， 可表示为： AB={x|xAxB} 其文氏图：
其文氏图如下：
~E = ， ~ = E， ~（~A）= A A ~A = ， A ~A = E
27
德.摩根定律
• 定理3.3.5 设A，B为任意二个集合，则有： • （1） （AB）= A B • （2） （A B）= A B • 证明 设E为全集，显然有AE=A，AE=E成立。 • （1） （AB）= {x | xEx（AB）}= {x |
据的增加、删除、修改、排序，以及数据间关系的描述。
集合论在计算机语言、数据结构、编译原理、数据库与
知识库、形式语言及人工智能等许多领域得到广泛的应
用。
2
3.1 集合及其表示
• 集合是由一些对象聚集在一起构成的。 例如，全体整数 全体中国人 26个英文字母
• 构成集合的对象可以是各种类型的事物。 • 定义3.1.1 集合中的对象叫集合的元素，或成员。
• 集合中的元素可以具有共同性质，也可以表面上看起来不相干。
• 如{2，Tom，计算机，广州}
• 在集合论中，规定元素之间是彼此相异的，并且是没有次序关 系的。
例如，{3,4,5},{3,4,4,5,5},{5,3,4}都是同一个集合。
• 例如，A={3,4,5},
例题
计算以下幂集：
，{}；{，{}}
解：
P()={} P({})={，{}} P({，{}})= {, {}，{{}},{，{}}}
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3.3 集合的运算
集合的运算 并，交，补（绝对补），差（相对补－），和对称差等。
19
集合的并运算
• 定义3.3.1 设A，B为集合，由A和B的所有元素组成的集 合称为A与B的并集， 可表示为： AB={x|xAxB} 其文氏图：
其文氏图如下：
~E = ， ~ = E， ~（~A）= A A ~A = ， A ~A = E
27
德.摩根定律
• 定理3.3.5 设A，B为任意二个集合，则有： • （1） （AB）= A B • （2） （A B）= A B • 证明 设E为全集，显然有AE=A，AE=E成立。 • （1） （AB）= {x | xEx（AB）}= {x |
据的增加、删除、修改、排序，以及数据间关系的描述。
集合论在计算机语言、数据结构、编译原理、数据库与
知识库、形式语言及人工智能等许多领域得到广泛的应
用。
2
3.1 集合及其表示
• 集合是由一些对象聚集在一起构成的。 例如，全体整数 全体中国人 26个英文字母
• 构成集合的对象可以是各种类型的事物。 • 定义3.1.1 集合中的对象叫集合的元素，或成员。
• 集合中的元素可以具有共同性质，也可以表面上看起来不相干。
• 如{2，Tom，计算机，广州}
• 在集合论中，规定元素之间是彼此相异的，并且是没有次序关 系的。
例如，{3,4,5},{3,4,4,5,5},{5,3,4}都是同一个集合。
• 例如，A={3,4,5},
离散数学 第七讲
康托尔(Cantor)9 3.1 集合的基本概念集合、元素、子集、包含、集合相等、真子集、空集、幂集、全集9 3.2 集合的基本运算并集、交集、相对补集、绝对补集、对称差、文氏图、算律、9 3.3 集合中元素的计数基数、有(无)穷集、包含排斥原理3.1 集合的基本概念9把具有共同性质的一些东西，汇集成一个整体，就形成一个集合。
9由确定的相互区别的一些对象组成的整体称为集合。
9可确定的可分辨的事物构成的整体。
例：教室内的桌椅、图书馆的藏书、全国的高等学校、自然数的全体、直线上的点、26个英文字母3.1 集合的基本概念集合的元素(member或element)9集合内的对象或单元称为元素。
9集合通常用大写英文字母标记。
例如，N代表自然数集合（包括0），Z代表整数集合，Q代表有理数集合，R代表实数集合，C代表复数集合。
趣味思考9任意自然数都可以表示为两个自然数的平方差吗?9请严谨、详细分析说明。
3.1 集合的基本概念集合的表示法列举法将集合中的元素一一列举，或列出足够多的元素以反映集合中元素的特征。
例如：V={a,e,i,o,u} 或B={1,4,9,16,25,36……}。
描述法通过描述集合中元素的共同特征来表示集合。
例如：V= {x| x是元音字母}B={x| x=a2, a是自然数}C= {x| x∈Z ∧3<x≤6}，即C={4,5,6}3.1 集合的基本概念集合的表示9元素a属于集合A，记作a ∈A。
9元素a不属于集合A ，记作a ∉A3.1 集合的基本概念3.1 集合的基本概念集合的特征9确定性：任何一个对象，或者是这个集合的元素，或者不是，二者必居其一。
例如：A={x| x∈N ∧x<100}，C={x| x是秃子}9互异性：集合中任何两个元素都是不同的，即集合中不允许出现重复的元素。
例如：集合A={a,b,c,c,b,d}，应该是A={a,b,c,d}3.1 集合的基本概念集合的特征9无序性：集合与其中的元素的顺序无关。
《离散数学集合》课件
满射。
双射
03
如果一个映射既是单射又是满射，则称该映射为双射。
函数的基本性质
确定性
对于任意一个输入，函数只能有一个输出。
互异性
函数的输出与输入一一对应，没有重复的输 出值。
可计算性
对于任意给定的输入，函数都能计算出唯一 的输出值。
域和陪域
函数的输入值的集合称为函数的定义域，函 数输出的集合称为函数的陪域。
04
集合的运算性质
并集运算性质
并集的交换律
对于任意集合A和B，有A∪B=B∪A。
并集的幂等律
对于任意集合A，有A∪A=A。
并集的结合律
对于任意集合A、B和C，有 A∪(B∪C)=(A∪B)∪C。
并集的零律
对于任意集合A和空集∅，有A∪∅=ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ。
交集运算性质
交集的交换律
对于任意集合A和B，有A∩B=B∩A。
在数学中的应用
集合论
集合论是数学的基础，它为数学提供了基本的逻辑和概念 框架。通过集合，可以定义和讨论概念、关系和性质等。
概率论
在概率论中，集合用来表示事件，事件发生的概率可以定 义为该事件所对应的集合的元素个数与样本空间所对应的 集合的元素个数之比。
拓扑学
拓扑学是研究几何形状在大范围内变化的学科。在拓扑学 中，集合用来表示空间中的点、线、面等元素，以及它们 之间的关系。
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03
集合的分类
有穷集和无穷集
有穷集
集合中元素的数量是有限的，可以明 确地列举出集合中的所有元素。例如 ，集合{1, 2, 3}是一个有穷集。
无穷集
集合中元素的数量是无限的，无法列 举出集合中的所有元素。例如，自然 数集N={1, 2, 3,...}是一个无穷集。
离散数学 31集合概念表示法54页PPT
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
离散数学 31集合概念表示法
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、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
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吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
▪பைடு நூலகம்
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
54
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0
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倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
离散数学 31集合概念表示法
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7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
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若
浮
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9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
▪பைடு நூலகம்
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
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26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
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当它们有相同的成员。
两个集合A和B相等，记作A=B，两个集合 不相等，记作AB。 {0，1}={x|x(x2-2x+1)=0，x I} {0，1}{1，2}
➢2.包含关系（子集） ➢定义3-1.1 设A、B是任意两个集合，如果A的每一 个元素都是B的元素，则称集合A是集合B的子集合（ 或子集，subsets），或称A包含在B内，记为AB ； 或称B包含A，记为BA 。 ➢即
所以|A1|+|A2|=|A1～A2|+|A1A2|+
|～A1A2|+|A1A2|
=|A1～A2|+|～A1A2|+2|A1A2|
而|A1～A2|+|～A1A2|+|A1A2|=|A1A2|
故|A1A2|=|A1|+|A2|-|A1A2|
例1：求从1到500的整数中，能被3或5除尽的数的个数。
3、差集、补集
定义3-2.3：设A、B是任意两个集合，所有属 于A而不属于B的元素组成的集合称为B对A 的补集，或相对补，(或A和B差集)记作A-B 。
A-B={x|xA∧xB} 文氏图
定义3-2.4：设E为全集，任一集合A关于E的补 ，称为A的绝对补，记作A。 A=E-A={x|xE∧xA}
文氏图
属于S，同样根据定义，S就 可以属说于，S这。一无悖论论如就何象都在平是静矛的盾的 数学。水面上投下了一块巨石，而
它所引起的巨大反响则导致了第 三次数学危机。
危机产生后，数学家纷纷提出自己的
解决方案：
人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过 对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新 的原则。“这些原则必须足够狭窄，以保证排除一 切矛盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合 论中一切有价值的内容得以保存下来。”
中成员的特征。如：B={2，4，8，……} 若x=2n，则
B={2，4，8，16，32，……} 若x=2+n(n-1)，则
B={2，4，8，14，22，……} 2、描述法：A={x|P(x)}或A={x：P(x)} 例： C={x|1x5，x R}，
D={(x，y)|x2+y21，x，y R} F={x|x是中国的一个省}
则
a)BA b)(B-A)A=B
4、对称差 定义3-2.5：设A、B是任意两个集合，集合A和
B的对称差，其元素或属于A，或属于B，但 不能既属于A又属于B，记作AB。
AB=(A-B)(B-A) 文氏图
性质： a)AB=BA b)A=A c)AA= d)AB=(AB)(AB) e)(AB)C=A(BC)
1908年，策梅罗在这一原则基础上提出第一个公理 化集合论体系，后来经其他数学家改进，称为ZF 系统。这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托 尔朴素集合论的缺陷。
公理化集合系统的建立，成功排除了集合论中出现的 悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。
集合论
第3章 集合和关系 第4章 函数
第三章 集合与关系
因为有AB，若x A，则x B， 所以x B且x C，故x BC。 因此ACBC。
2、并集 定义3-2.2：设任意两个集合A和B，所有属于A
或属于B的元素组成的集合，称为A和B的并 集，记作A B。
A B={x|x A x B} 文氏图
举例
例1：A={1，2，3，4}，B={2，4，5}， AB={1，2，3，4，5}
推论：空集是唯一的。
证明：设1，2是两个空集，则1 2，
，得
，所以空集是唯一的。
2、全集 定义3-1.4：在一定范围内，如果所有集合均是
某一集合的子集，则称该集合为全集。记作E 。
E={x|p(x) p(x)} 3、幂集 定义3-1.5：给定集合A，由A的所有子集为元
素组成的集合称为A的幂集，记作 (A)或2A 。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
集合论
“一切数学成果可建立在集合论基础上” 这一发现使数学家们为之陶醉。
1900年，国际数学家大会上，法国著 名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣 称：“………借助集合论概念，我们 可以建造整个数学大厦……今天， 我了们…可…以”可 19说是03绝，年对好，的景一严不个格长震性。惊已数经学达界到的 消息传出：集合论是有漏洞 的！这就是英国数学家罗素 提出的著名的罗素悖论。
例2：设A是奇数集合，B是偶数集合，AB是 整数集合，AB=。
性质：
a)AA=A b)AE=E c)A=A d)AB=BA e)(AB)C=A(BC) f)AAB，BAB
举例
例题3：设AB，CD，求证ACBD。
证明：对任一x AC，则x A或x C， （1）若x A，则x B，故x B D ； （2）若x C，则x D，故x BD。
3-3 包含排斥原理 (容斥原理)
包含排斥原理
1、定理3-3.1：设A1，A2为有限集合，其元素个数分别 为|A1|，|A2|，则|A1A2|=|A1|+|A2|-|A1A2|，此定理被称 作包含排斥原理。
证明：a)当A1A2= ，则|A1A2|=|A1|+|A2|
b)若A1A2 ，则|A1|=|A1～A2|+|A1A2|，|A2|=|～ A1A2|+|A1A2|
如果a不是A的元素，记为： aA ，读作“a不属于A ”。
集合的分类
•空集和只含有有限多个元素的集合称为有限集（ finite sets），否则称为无限集（infinite sets）。
•有限集合中元素的个数称为集合的基数（cardinality ）。集合A的基数表示为 A。
二、集合的三种表示方式：
3-2 集合的运算及其性质
一、集合的运算
1、交 定义3-2.1：设任意两个集合A和B，由A和B的
所有共同元素组成的集合，称为A和B的交集 ，记为A B。
A B={x|xA xB}
文氏图
举例
例1：A={0，2，4，6，8，10，12}，B={1，2 ，3，4，5，6}，AB={2，4，6}
例2：设A是平面上所有矩形的集合，B是平面 上所有菱形的集合，AB是所有正方形的集 合。
定理3-2.2 设A，B为任意两个集合，则 下列吸收律成立。
a)A(AB)=A
b)A(AB)=A
证明：
a)A(AB)=(AE)(AB)
=A(EB)=AE=A
b)A(AB)=(AA)(AB)
=A(AB)=A
定理3-2.3 AB，当且仅当AB=B或 AB=A。
证明：若AB，对任意xA必有x B， （1）对任意x AB，则x A或x B，即x B， 所以AB B。 （2）又B AB ，因此得到AB=B 。 反之，若AB=B，因为A AB ，所以A B 。 同理可证得AB=A
AB x(xAxB)
设A，B，C为任意集合，根据定义，显然有： 包含关系具有自反性：A A 包含关系具有传递性：若A B且B C，则A C。
➢ 注：可能AB或BA ，也可能两者均不成立， 不是两者必居其一。
例：A={1，2，3}，B={1，2}，C={1，3}， D={3}，F={1，4}，
理发师悖论（罗素悖论）
20世纪英国著名哲学家、数学 家罗素提出一个著名的悖论 ——“理发师难题”，其内容如 下：
西班牙的塞维利亚有一个理发 师，这位理发师有一条极为 特殊的规定：他只给那些“不 给自己刮胡子”的人刮胡子。
罗素悖论
G的 到罗.弗信的切成素雷后最不。构格伤不在是心合造收地心自了到说意身一罗：的元个素事“一素集介莫个的合绍过科集这于S学：一是合家S悖在所所由论他遇组一 的罗工素作问即将：结S是束时否，属其于基S础呢崩？溃了 。如罗果素S先属生于的S一，封根信正据好S的把我定置义于，S 这个就境不地属。”于S；反之，如果S不
则BA， CA， DC， FA
四、特殊的集合
1、空集
定义3-1.3：不含任何元素的集合称为空集，记作 。
={x|p(x) p(x)} 例如：X={x|x2+1=0，x R}是空集。 注意： {}， {}
定理3-1.2：对于任意一个集合A， A。
证明：反证法，假设存在一个集合A，使得 A为 假。则存在x 且x A，这与空集的定义矛盾， 所以 A，空集是任意集合的子集。
（l）列举法 将集合的元素列举出来。
（2）描述法 利用一项规则（一个谓词公式），描述集合 中的元素的共同性质，以便决定某一物体是否 属于该集合。
（3）归纳法 用递归方法定义集合。
1、列举法：将集合的元素列举出来 例：A={a，b，c，d}，A1={1，3，5，7，9
，……} 使用列举法，须列出足够多的元素以反映集合
一、集合的基本概念
集合是一些确定的、作为整体识别的、互相区别的 对象的总体。
组成集合的对象称为集合的成员（member）或元素 （element）。
一般用大写字母表示集合，用小写字母表示元素。 例如A表示一个集合，a表示元素，如果a是A的元素， 记为：aA，读作“a属于A”、“a是A的元素”、“a是A 的成员”、 “a在A之中”、“A 包含a”。
(A)={u|u A} 例：设A={1，2，3}，写出A的幂集 (A)。 解： (A)={，{1}，{2}，{3}，{1，2}， {1，3}，{2，3}，{1，2，3}}
一般地如果|A|=n，则： A的0元子集有Cn0=1个，即空集， 1元子集有Cn1个， 2元子集有Cn2个， …， n-1元子集有Cnn-1个， n元子集有Cnn个。 所以A的子集个数为：
例3：设A是所有能被K整除的整数的集合，B是 所有能被L整除的整数的集合，AB是所有能 被K与L最小公倍数整除的整数的集合。
性质：
a)AA=A b)A= c)AE=A d)AB=BA e)(AB)C=A(BC) f)ABA，ABB
举例
例题4：设AB，求证ACBC。 证明：对任一个x AC，则x A且x C，
两个集合A和B相等，记作A=B，两个集合 不相等，记作AB。 {0，1}={x|x(x2-2x+1)=0，x I} {0，1}{1，2}
➢2.包含关系（子集） ➢定义3-1.1 设A、B是任意两个集合，如果A的每一 个元素都是B的元素，则称集合A是集合B的子集合（ 或子集，subsets），或称A包含在B内，记为AB ； 或称B包含A，记为BA 。 ➢即
所以|A1|+|A2|=|A1～A2|+|A1A2|+
|～A1A2|+|A1A2|
=|A1～A2|+|～A1A2|+2|A1A2|
而|A1～A2|+|～A1A2|+|A1A2|=|A1A2|
故|A1A2|=|A1|+|A2|-|A1A2|
例1：求从1到500的整数中，能被3或5除尽的数的个数。
3、差集、补集
定义3-2.3：设A、B是任意两个集合，所有属 于A而不属于B的元素组成的集合称为B对A 的补集，或相对补，(或A和B差集)记作A-B 。
A-B={x|xA∧xB} 文氏图
定义3-2.4：设E为全集，任一集合A关于E的补 ，称为A的绝对补，记作A。 A=E-A={x|xE∧xA}
文氏图
属于S，同样根据定义，S就 可以属说于，S这。一无悖论论如就何象都在平是静矛的盾的 数学。水面上投下了一块巨石，而
它所引起的巨大反响则导致了第 三次数学危机。
危机产生后，数学家纷纷提出自己的
解决方案：
人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过 对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新 的原则。“这些原则必须足够狭窄，以保证排除一 切矛盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合 论中一切有价值的内容得以保存下来。”
中成员的特征。如：B={2，4，8，……} 若x=2n，则
B={2，4，8，16，32，……} 若x=2+n(n-1)，则
B={2，4，8，14，22，……} 2、描述法：A={x|P(x)}或A={x：P(x)} 例： C={x|1x5，x R}，
D={(x，y)|x2+y21，x，y R} F={x|x是中国的一个省}
则
a)BA b)(B-A)A=B
4、对称差 定义3-2.5：设A、B是任意两个集合，集合A和
B的对称差，其元素或属于A，或属于B，但 不能既属于A又属于B，记作AB。
AB=(A-B)(B-A) 文氏图
性质： a)AB=BA b)A=A c)AA= d)AB=(AB)(AB) e)(AB)C=A(BC)
1908年，策梅罗在这一原则基础上提出第一个公理 化集合论体系，后来经其他数学家改进，称为ZF 系统。这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托 尔朴素集合论的缺陷。
公理化集合系统的建立，成功排除了集合论中出现的 悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。
集合论
第3章 集合和关系 第4章 函数
第三章 集合与关系
因为有AB，若x A，则x B， 所以x B且x C，故x BC。 因此ACBC。
2、并集 定义3-2.2：设任意两个集合A和B，所有属于A
或属于B的元素组成的集合，称为A和B的并 集，记作A B。
A B={x|x A x B} 文氏图
举例
例1：A={1，2，3，4}，B={2，4，5}， AB={1，2，3，4，5}
推论：空集是唯一的。
证明：设1，2是两个空集，则1 2，
，得
，所以空集是唯一的。
2、全集 定义3-1.4：在一定范围内，如果所有集合均是
某一集合的子集，则称该集合为全集。记作E 。
E={x|p(x) p(x)} 3、幂集 定义3-1.5：给定集合A，由A的所有子集为元
素组成的集合称为A的幂集，记作 (A)或2A 。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
集合论
“一切数学成果可建立在集合论基础上” 这一发现使数学家们为之陶醉。
1900年，国际数学家大会上，法国著 名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣 称：“………借助集合论概念，我们 可以建造整个数学大厦……今天， 我了们…可…以”可 19说是03绝，年对好，的景一严不个格长震性。惊已数经学达界到的 消息传出：集合论是有漏洞 的！这就是英国数学家罗素 提出的著名的罗素悖论。
例2：设A是奇数集合，B是偶数集合，AB是 整数集合，AB=。
性质：
a)AA=A b)AE=E c)A=A d)AB=BA e)(AB)C=A(BC) f)AAB，BAB
举例
例题3：设AB，CD，求证ACBD。
证明：对任一x AC，则x A或x C， （1）若x A，则x B，故x B D ； （2）若x C，则x D，故x BD。
3-3 包含排斥原理 (容斥原理)
包含排斥原理
1、定理3-3.1：设A1，A2为有限集合，其元素个数分别 为|A1|，|A2|，则|A1A2|=|A1|+|A2|-|A1A2|，此定理被称 作包含排斥原理。
证明：a)当A1A2= ，则|A1A2|=|A1|+|A2|
b)若A1A2 ，则|A1|=|A1～A2|+|A1A2|，|A2|=|～ A1A2|+|A1A2|
如果a不是A的元素，记为： aA ，读作“a不属于A ”。
集合的分类
•空集和只含有有限多个元素的集合称为有限集（ finite sets），否则称为无限集（infinite sets）。
•有限集合中元素的个数称为集合的基数（cardinality ）。集合A的基数表示为 A。
二、集合的三种表示方式：
3-2 集合的运算及其性质
一、集合的运算
1、交 定义3-2.1：设任意两个集合A和B，由A和B的
所有共同元素组成的集合，称为A和B的交集 ，记为A B。
A B={x|xA xB}
文氏图
举例
例1：A={0，2，4，6，8，10，12}，B={1，2 ，3，4，5，6}，AB={2，4，6}
例2：设A是平面上所有矩形的集合，B是平面 上所有菱形的集合，AB是所有正方形的集 合。
定理3-2.2 设A，B为任意两个集合，则 下列吸收律成立。
a)A(AB)=A
b)A(AB)=A
证明：
a)A(AB)=(AE)(AB)
=A(EB)=AE=A
b)A(AB)=(AA)(AB)
=A(AB)=A
定理3-2.3 AB，当且仅当AB=B或 AB=A。
证明：若AB，对任意xA必有x B， （1）对任意x AB，则x A或x B，即x B， 所以AB B。 （2）又B AB ，因此得到AB=B 。 反之，若AB=B，因为A AB ，所以A B 。 同理可证得AB=A
AB x(xAxB)
设A，B，C为任意集合，根据定义，显然有： 包含关系具有自反性：A A 包含关系具有传递性：若A B且B C，则A C。
➢ 注：可能AB或BA ，也可能两者均不成立， 不是两者必居其一。
例：A={1，2，3}，B={1，2}，C={1，3}， D={3}，F={1，4}，
理发师悖论（罗素悖论）
20世纪英国著名哲学家、数学 家罗素提出一个著名的悖论 ——“理发师难题”，其内容如 下：
西班牙的塞维利亚有一个理发 师，这位理发师有一条极为 特殊的规定：他只给那些“不 给自己刮胡子”的人刮胡子。
罗素悖论
G的 到罗.弗信的切成素雷后最不。构格伤不在是心合造收地心自了到说意身一罗：的元个素事“一素集介莫个的合绍过科集这于S学：一是合家S悖在所所由论他遇组一 的罗工素作问即将：结S是束时否，属其于基S础呢崩？溃了 。如罗果素S先属生于的S一，封根信正据好S的把我定置义于，S 这个就境不地属。”于S；反之，如果S不
则BA， CA， DC， FA
四、特殊的集合
1、空集
定义3-1.3：不含任何元素的集合称为空集，记作 。
={x|p(x) p(x)} 例如：X={x|x2+1=0，x R}是空集。 注意： {}， {}
定理3-1.2：对于任意一个集合A， A。
证明：反证法，假设存在一个集合A，使得 A为 假。则存在x 且x A，这与空集的定义矛盾， 所以 A，空集是任意集合的子集。
（l）列举法 将集合的元素列举出来。
（2）描述法 利用一项规则（一个谓词公式），描述集合 中的元素的共同性质，以便决定某一物体是否 属于该集合。
（3）归纳法 用递归方法定义集合。
1、列举法：将集合的元素列举出来 例：A={a，b，c，d}，A1={1，3，5，7，9
，……} 使用列举法，须列出足够多的元素以反映集合
一、集合的基本概念
集合是一些确定的、作为整体识别的、互相区别的 对象的总体。
组成集合的对象称为集合的成员（member）或元素 （element）。
一般用大写字母表示集合，用小写字母表示元素。 例如A表示一个集合，a表示元素，如果a是A的元素， 记为：aA，读作“a属于A”、“a是A的元素”、“a是A 的成员”、 “a在A之中”、“A 包含a”。
(A)={u|u A} 例：设A={1，2，3}，写出A的幂集 (A)。 解： (A)={，{1}，{2}，{3}，{1，2}， {1，3}，{2，3}，{1，2，3}}
一般地如果|A|=n，则： A的0元子集有Cn0=1个，即空集， 1元子集有Cn1个， 2元子集有Cn2个， …， n-1元子集有Cnn-1个， n元子集有Cnn个。 所以A的子集个数为：
例3：设A是所有能被K整除的整数的集合，B是 所有能被L整除的整数的集合，AB是所有能 被K与L最小公倍数整除的整数的集合。
性质：
a)AA=A b)A= c)AE=A d)AB=BA e)(AB)C=A(BC) f)ABA，ABB
举例
例题4：设AB，求证ACBC。 证明：对任一个x AC，则x A且x C，