2020年北京市东城区高考数学一模试卷(二)(有答案解析)
2020年北京市东城区高考数学一模试卷（二）一、选择题（本大题共20小题，共100.0分）1.设集合A={x|x2＞1}，B={x|-1≤x＜2}，则A∩B=（）A. {x|-1≤x＜1}B. {x|1＜x＜2}C. {x|x＜-1}D. {x|x＜2}2.若复数z满足z⋅（1+i）=-2i，则|z|=（）A. B. C. 2 D.3.若直线ax+by=1与圆x2+y2=1有两个公共点，则点P（a，b）与圆x2+y2=1的位置关系是（）A. 在圆上B. 在圆外C. 在圆内D. 以上都有可能4.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（）A.B.C. 8D.5.函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=f（x）的图象，只需把y=sinωx的图象上所有点（）A. 向右平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向左平移个单位长度6.关于x的方程a x-x-a=0（a＞0，且a≠1）有两个解，则a的取值范围是（）A. （1，+∞）B. （0，1）C. （0，+∞）D. ∅7.《九章算术》中有如下问题：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间二节欲均容，各多少？”其大意：“今有竹9节，下3节容量4升，上4节容量3升，问使中间两节也均匀变化，每节容量是多少？”在这个问题中，中间这两节的容量是（）A. 升和升B. 升和升C. 升和升D. 升和升8.将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成个同样大小的小正方体，从这些小正方体中任意取两个，这两个都恰是两面涂色的概率是（）A. B. C. D.9.现将甲、乙、丙、丁四个人安排到座位号分别是1，2，3，4的四个座位上，他们分别有以下要求，甲：我不坐座位号为1和2的座位；乙：我不坐座位号为1和4的座位；丙：我的要求和乙一样；丁：如果乙不坐座位号为2的座位，我就不坐座位号为1的座位．那么坐在座位号为3的座位上的是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁10.已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=2，BC=2，∠BAC=，则三棱柱ABC-A1B1C1外接球的体积为（）A. 4B. 6C. 8D. 1211.已知双曲线=1（a＞0，b＞0），过原点作一条倾斜角为直线分别交双曲线左、右两支P，Q两点，以线段PQ为直径的圆过右焦点F，则双曲线离心率为（）A. B. C. 2 D.12.若函数，有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A. （1，2]B. （2，4]C. （3，4]D. （3，5）13.已知集合A={x|2x2+x＞0}，B={x|2x+1＞0}，则A∩B=（）A. B. C. {x|x＞0} D. R14.在复平⾯面内，若复数（2-i）z对应的点在第⾯象限，则z可以为（）A. 2B. -1C. iD. 2+i15.在平面直角坐标系XOY中，角α以OX为始边，终边经过点P（-1，m）（m≠0），则下列各式的值一定为负的是（）A. sinα+cosαB. sinα-cosαC. sinαcosαD.16.正方体被一个平面截去⾯一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面图形的形状为（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 平行四边形D. 梯形17.若x，y满足，则|x-y|的最大值为（）A. 0B. 1C. 2D. 418.已知直线l过抛物线y2=8x的焦点F，与抛物线交于A，B两点，与其准线交于点C．若点F是的AC中点，则线段BC的长为（）A. B. 3 C. D. 619.南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V1，V2，被平行于这两个平⾯面的任意平面截得的两个截面的面积分别为S1，S2，则“V1，V2相等”是“S1，S2总相等”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件20.已知数列{a n}满足：a1=a，，则下列关于{a n}的判断正确的是（）A. ∀a＞0，∃n≥2，使得B. ∃a＞0，∃n≥2，使得a n＜a n+1C. ∀a＞0，∃m∈N*，总有a m＜a nD. ∃a＞0，∃m∈N*，总有a m+n=a n二、填空题（本大题共10小题，共50.0分）21.已知向量满足，且，则向量与的夹角为______．22.设x，y满足约束条件，若z=2x+y的最大值为11，则m的值为______．23.已知直线4x-3y+11=0，若P是抛物线y2=4x上的动点，则点P到直线l的距离与其到y轴的距离之和的最小值为____________.24.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n-2，若集合M={n∈N*|λa n＜1+2+3+…+n}中恰有三个元素，则实数λ的取值范围是______．25.在的展开式中，x2的系数是______．（用数字作答）26.在△ABC中，若b cos C+c sin B=0，则∠C=______．27.若曲线（θ为参数）关于直线（t为参数）对称，则a=；此时原点O到曲线C上点的距离的最大值为______．28.已知向量=，向量为单位向量，且•=1，则2-与2夹角为______．29.已知函数f（x）=4x-x3，若∀x1，x2∈[a，b]，x1≠x2都有2f（x1+x2）＞f（2x1）+f（2x2）成立，则满足条件的一个区间是______．30.设A，B是R中两个子集，对于x∈R，定义：①若A⊆B．则对任意x∈R，m（1-n）=______；②若对任意x∈R，m+n=1，则A，B的关系为______．三、解答题（本大题共13小题，共164.0分）31.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，求△ABC的面积的最大值．32.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，，E，F分别是A1D1，BC的中点，P是BD上的一点，PF∥平面EC1D．（Ⅰ）求BP的长；（Ⅱ）求二面角P-EC1-D的余弦值．33.身高x60708090100110120130140（cm）体重y（kg）6.137.909.9912.1515.0217.5020.9226.8631.11已知与之间存在很强的线性相关性，（Ⅰ）是据此建立y与x之间的回归方程；（Ⅱ）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高150cm体重为47kg的在校男生的体重是否正常？参考数据：=39.25附：对于一组数据（μ1，ν1），（μ1，ν1），…，（μn，νn），其回归直线中的斜率和截距的最小二乘估计分别为，34.已知椭圆的一个顶点是B（0，2），离心率，（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）已知直线l与椭圆交于M，N两点，且△BMN的重心恰好是椭圆的右焦点F，求△BMN的面积．35.已知函数．（Ⅰ）若y=f（x）在x=2处的切线与直线4x+e2y=0垂直，求实数a的值；（Ⅱ）当0＜a≤e2时，求证f（x）+e2≥036.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ2-4ρcosθ+3=0．（Ⅰ）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当时，求|OA|+|OB|的取值范围．37.已知函数f（x）=|x+1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞3-|x+2|；（Ⅱ）已知a＞0，b＞0，且，求证．38.已知函数，且．（Ⅰ）求a的值及f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在区间[0，m]上单调递增，求m的最大值．39.改革开放40年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图．其中条形图为体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率（%）．（Ⅰ）从2007年至2016年随机选择1年，求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多亿元以上的概率；（Ⅱ）从2007年至2016年随机选择3年，设X是选出的三年中体育产业年增长率超过20%的年数，求X的分布列与数学期望；（Ⅲ）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（结论不要求证明）40.如图，在棱长均为2的三棱柱ABC-A1B1C1中，点C在平面A1ABB1内的射影O为AB1与A1B的交点，E，F分别为BC，A1C1的中点．（Ⅰ）求证：四边形A1ABB1为正方形；（Ⅱ）求直线EF与平面A1ACC1所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段AB1上存在一点D，使得直线EF与平面A1CD没有公共点，求的值．41.设函数f（x）=ax2+（a-2）x-ln x的极小值点为x0．（Ⅰ）若x0=1，求a的值f（x）的单调区间；（Ⅱ）若0＜x0＜1，在曲线y=f（x）上是否存在点P，使得点P位于X轴的下方？若存在，求出一个点P坐标，若不存在，说明理由．42.已知椭圆与x轴交于两点A1，A2，与y轴的一个交点为B，△BA1A2的面积为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；（Ⅱ）在y轴右侧且平行于y轴的直线l与椭圆交于不同的两点P1，P2，直线A1P1与直线A2P2交于点P．以原点O为圆心，以A1B为半径的圆与x轴交于两点M，N （点M在点N的左侧），求|PM|-|PN|的值．43.已知L∈N+，数列A：a1，a2，…a n中的项均为不大于L的正整数．c k表示a1，a2，…a n中k的个数（k=1，2，…，L）．定义变换T，T将数列A变成数列T（A）：t（a1），t（a2），…t（a n）其中t（k）=L•．（Ⅰ）若L=4，对数列A：1，1，2，3，3，4，写出c i（1≤i≤4）的值；（Ⅱ）已知对任意的k（k=1，2，…，n），存在A中的项a m，使得a m=k．求证：t（a i）=a i（i=1，2，…，n）的充分必要条件为c i=c j（i，j=1，2，…，L）；（Ⅲ）若l=n，对于数列A：a1，a2，…a n，令T（T（A）：b1，b2，…b n，求证：b i=t（a i）（i=1，2，…，n）．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：解不等式x2＞1得：x＜-1或x＞1，即A=，又B={x|-1≤x＜2}，所以A∩B=，故选：B．由二次不等式的解法及交集的运算得：A=，又B={x|-1≤x＜2}，所以A∩B=，得解．本题考查了二次不等式的解法及交集的运算，属简单题．2.答案：A解析：解：由z（1+i）=-2i，得z=，∴|z|=．故选A．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后代入复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.答案：B解析：解：根据题意，直线ax+by=1与圆x2+y2=1有两个公共点，即直线与圆相交，则有圆心到直线ax+by=1的距离d=＜r=1，变形可得a2+b2＞1，则点P（a，b）在圆x2+y2=1的外部；故选：B．根据题意，由直线与圆的位置关系可得圆心到直线ax+by=1的距离d=＜r=1，变形可得a2+b2＞1，据此分析可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，注意分析a、b的关系，属于基础题．4.答案：B解析：解：由三视图可知，该几何体是的三棱锥（如图），是正方体的一个顶点在内的三棱锥，∴面ABC的面积最大，最大为：=2．故选：B．由三视图可知，该几何体是三棱锥，利用条件所给数据，代入面积公式，可得答案．本小题主要考查立体几何中的三视图问题，并且对考生的空间想象能力及利用三视图还原几何体的能力进行考查．5.答案：C解析：解：由图知，T=-=π，∴T==π（ω＞0），∴ω=2；又ω+φ=π，∴φ=π-ω=π-=，又A=1，∴y=f（x）=sin（2x+），g（x）=sin2x，∵g（x+）=sin2（x+）=sin（2x+），∴为了得到f（x）=sin（2x+）的图象，则只要将g（x）=sin2x的图象向左平移个单位长度．故选：C．由T=-，可求得其周期T，继而可求得ω，再利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换及可求得答案．本题考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换，求得ω是关键，考查识图与运算能力，属于中档题．6.答案：A解析：解：①当0＜a＜1时，函数f（x）=a x-x-a在R上是单调减函数，故方程a x-x-a=0不可能有两个解；②当a＞1时，作函数y=a x与y=x+a的图象如下，直线y=x+a过点（0，a），且k=1；而y=a x过点（0，1），且为增函数，增长速度越来越快；故函数y=a x与y=x+a的图象一定有两个交点，综上所述，实数a的取值范围是（1，+∞）；故选：A．当0＜a＜1时，函数f（x）=a x-x-a在R上是单调减函数，从而可判断；当a＞1时，作函数y=a x与y=x+a的图象，结合图象可得．本题考查了分类讨论与数形结合的思想应用，同时考查了函数与方程的关系应用及函数性质的判断与应用，属于中档题．7.答案：B解析：解：根据题意，九节竹的每一节容量变化均匀，即其每一节的容量成等差数列，设至下而上各节的容量分别为a1，a2，…，a n，公差为d，分析可得：，解可得a1=，d=-，则a4=+3d==1（升），a5=+4d==1（升）．故选：B．根据题意题意设九节竹至下而上各节的容量分别为a1，a2，…，a n，公差为d，利用等差数列的前n项和公式和通项公式列出方程组，求得首项和公差，再计算中间两节a4、a5的值．本题考查等差数列的前n项和的计算，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．8.答案：D解析：【分析】将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体，满足两面漆有油漆的小正方体有12个，由此利用古典概型概率公式即可得到答案．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【解答】解：一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个同样大小的小正方体，其中满足两面漆有油漆的小正方体有12个故从中随机地取出2个小正方体，基本事件总数n==351，这两个都恰是两面涂色包含的基本事件个数m==66，∴这两个都恰是两面涂色的概率P===．故选：D．9.答案：C解析：【分析】本题考查了阅读能力及进行简单的合情推理，难度较易，属于基础题，先阅读再进行简单的合情推理得：乙：我不坐座位号为1和4的座位；丙：我的要求和乙一样；可得：坐在座位号为3的座位上的是乙或丙，①若坐在座位号为3的座位上的是乙，则坐在座位号为2的座位上的是丙，则坐在座位号为4的座位上的是丁，则坐在座位号为1的座位上的是甲，与题设矛盾，②若坐在座位号为3的座位上的是丙，则坐在座位号为2的座位上的是乙，则坐在座位号为1的座位上的是丁，则坐在座位号为4的座位上的是甲，与题设相符，得解．【解答】解：由已知乙：我不坐座位号为1和4的座位；丙：我的要求和乙一样；可得：坐在座位号为3的座位上的是乙或丙，①若坐在座位号为3的座位上的是乙，则坐在座位号为2的座位上的是丙，则坐在座位号为4的座位上的是丁，则坐在座位号为1的座位上的是甲，与题设矛盾，②若坐在座位号为3的座位上的是丙，则坐在座位号为2的座位上的是乙，则坐在座位号为1的座位上的是丁，则坐在座位号为4的座位上的是甲，与题设相符，综合①②得：坐在座位号为3的座位上的是丙，故选C．10.答案：A解析：解：由正弦定理可知，△ABC的外接圆直径为，由于三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，该三棱柱为直三棱柱，所以，该三棱柱的外接球直径为，则．因此，三棱柱ABC-A1B1C1外接球的体积为．故选：A．先利用正弦定理计算出△ABC的外接圆直径2r，再利用公式可计算出外接球的半径R，最后利用球体体积公式可得出答案．本题考查球体体积的计算，解决本题的关键在于找出合适的模型求出球体的半径，考查计算能力，属于中等题．11.答案：B解析：解：设直线方程为y=x，联立双曲线方程可得：（b2-3a2）x2=a2b2，则x2=，y2=，可得|OQ|2=x2+y2=，以线段PQ为直径的圆过右焦点F，可得PF⊥QF，即有△PQF为等边三角形，可得|OQ|=|OF|=c，=c2=a2+b2，化为b4-6a2b2-3a4=0，解得b2=（3±2）a2，由b2＞3a2，可得b2=（3+2）a2，则e====1+．故选：B．设直线方程为y=x，联立双曲线方程，可得Q的坐标，由题意PF⊥QF，即有△PQF 为等边三角形，可得|OQ|=|OF|=c，再由a，b，c和e的关系式，计算可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查直径所对的圆周角为直角，考查化简整理的运算能力，属于中档题．12.答案：C解析：解：当x≥0时，f′（x）=3x2-a，∵a＞0且a≠1，∴f′（x）=3x2-a=0一定有两个根，由f′（x）=0得x=或x=-（舍），则当x=时，函数f（x）在x＞0时，取得极小值也是最小值f（）极小=（）3-a•+2，即当x＞0时，f（x）最多有两个零点，∵f（0）=2＞0，∴此时f（）极小=（）3-a•+2＜0，得＞2，即a＞3，∴a3＞27，即a＞3，则当x≤0时，f（x）为单调增函数，则此时只有一个零点，∵当x≤0时，-a＜f（x）≤4-a，∴要使f（x）有三个零点，则得得0＜a≤4，综上3＜a≤4，即实数a的取值范围是（3，4]，故选：C．根据分段函数的表达式，先判断当x＞0时，函数的极值，结合函数极值与0的关系，建立不等式进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，利用分段函数的解析式，结合函数极值和零点关系是解决本题的关键．13.答案：C解析：解：；∴A∩B={x|x＞0}．故选：C．可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．14.答案：B解析：解：当z=2时，（2-i）z=4-2i，对应的点在第四象限，不合题意；当z=-1时，（2-i）z=-2+i，对应的点在第二象限，符合题意；当z=i时，（2-i）z=1+2i，对应的点在第一象限，不合题意；当z=2+i时，（2-i）z=5，对应的点在实轴上，不合题意．故选：B．分别取z为四个选项中的数逐一分析得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．15.答案：D解析：解：由已知得r=|OP|=，则sinα=，cos＜0，tanα=-m．∴＜0．故一定为负值的是D．故选：D．由任意角的三角函数的定义结合三角函数的象限符号求解．本题考查任意角的三角函数的定义，考查三角函数的象限符号，是基础题．16.答案：A解析：解：由三视图可得，该几何体是正方体被一个平面截去一个三棱锥，且三棱锥的两条侧棱相等，截面是等腰三角形，如图所示；故选：A．根据三视图知该几何体是正方体被一个平面截去一个三棱锥，其截面是等腰三角形．本题考查了利用三视图判断几何体形状的应用问题，是基础题．17.答案：D解析：解：x，y满足，不等式组表示的平面区域如图所示，当直线z=x-y过点A时，z取得最小值，0，当直线z=x-y过点，B时，z取得最大值，4，则|x-y|的最大值为：4．故选：D．根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x-y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可推出结果．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．18.答案：C解析：解：如图，A在准线上的射影为E，B在准线上的射影为H，由抛物线y2=8x，得焦点F（2，0），∵点F是的AC中点，∴AE=2p=8，则AF=8，∴A点横坐标为6，代入抛物线方程，可得A（6，4），∴，则AF所在直线方程为y=．联立，得3x2-20x+12=0．∴6x B=4，得，则BF=BH=．故BC=CF-BF=AF-BF=8-=．故选：C．由题意画出图形，利用抛物线定义结合已知求得A的坐标，得到直线AF的方程，与抛物线联立求得B的坐标，再由抛物线焦半径公式求解．本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．19.答案：B解析：【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合祖暅原理是解决本题的关键，属于较易题.根据充分条件和必要条件的定义，通过举反例并结合祖暅原理进行判断即可．【解答】解：由祖暅原理知，若S1，S2总相等，则V1，V2相等成立，即必要性成立，若V1，V2相等，例如两个完全相同的棱台一正一反的放在两个平面之间时，此时体积固然相等但截面面积不一定相等，故充分性不成立，即“V1，V2相等”是“S1，S2总相等”的必要不充分条件，故选：B．20.答案：D解析：解：A．∀a1=a＞0，，∴a n＞0．∴a n+1≥2=，因此A不正确．B．∵=，由A可得：n≥2时，a n，∴＜1，即a n+1＜a n，因此B不正确．C．令f（x）=+（x），则f′（x）=≥0，因此函数f（x）在[，+∞）上单调递增，因此不存在m∈N*，总有a m＜a n，不正确．D：由a1=a＞0，，a2=+，令+=a，解得a=，则a n=，因此结论成立．故选：D．A．∀a1=a＞0，，由a n＞0．利用基本不等式的性质即可得出a n+1≥，即可判断出正误．B．由A可得：n≥2时，a n，即a n+1＜a n，即可判断出正误．C．令f（x）=+（x），利用导数已经其单调性，即可判断出正误．D：由a1=a＞0，，a2=+，令+=a，解得a，即可判断出正误．本题考查了数列递推关系、数列的通项公式及其单调性、利用导数已经函数的单调性、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.答案：解析：解：∵，且；∴==0；∴；又；∴与的夹角为．故答案为：．根据以及可得出，，进行数量积的运算即可求出的值，进而求出向量的夹角．考查向量垂直的充要条件，向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的范围．22.答案：3解析：解：画出满足条件的平面区域，如图示：由，解得：A（m，2+m），由z=2x+y得：y=-2x+z，显然直线过A（m，2+m）时，z最大，∴2m+2+m=11，解得：m=3，故答案为：3．画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，由z=2x+y得：y=-2x+z，显然直线过A（m，2+m）时，z最大，代入求出m的值即可．本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．23.答案：2解析：解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线方程为x=-1，过P作PN垂直准线x=-1于N，由抛物线的定义可得|PF|=|PN|，点P到直线l的距离d与其到y轴的距离之和为d+|PN|-1=d+|PF|-1，当F，P，M三点共线，且FM垂直于直线l时，d+|PF|的和最小，可得F到直线4x-3y+11=0的距离为=3，则d+|PF|-1的最小值为2．故答案为：2．求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义，点到直线的距离公式，结合图象可得所求最小值．本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查数形结合思想，属于中档题．24.答案：解析：解：数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n-2①，则：S n-1=2a n-1-2②，①-②得：a n=2a n-1，则：（常数），当n=1时，解得：a1=2．故：．集合M={n∈N*|λa n＜1+2+3+…+n}中恰有三个元素，即{n∈N*|λ＜}中恰有三个元素,设,,故，又,故需：故答案为：首先求出数列的通项公式，进一步利用数列的通项建立不等式，进一步求出参数的取值范围．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，参数的取值范围的确定，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．25.答案：60解析：解：在的展开式中，通项公式为T r+1=•（-1）r••x r，令r=2，求得x2的系数是•=60，故答案为：60．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得x2的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．26.答案：解析：解：∵b cos C+c sin B=0∴由正弦定理知，sin B cos C+sin C sin B=0，∵0＜B＜π，∴sin B＞0，于是cos C+sin C=0，即tan C=-1，∵0＜C＜π，∴C=．故答案为：．直接利用正弦定理对函数的关系式进行变换，进一步求出C的值．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．27.答案：解析：解：曲线C的直角坐标方程为（x-a）2+（y-2）2=1，表示圆心为（a，2），半径为1 的圆，直线l的直角坐标方程为：2x-y-4=0，因为圆关于直线2x-y-4=0对称，所以圆心（a，2）在直线2x-y-4=0上，即2a-2-4=0，解得a=3，此时圆C的方程为（x-3）2+（y-2）2=1，原点O到圆心（3，2）的距离为=，所以原点O到圆C上的点的最大值为+1．故答案为：3，+1．把曲线C和直线l换成直角坐标方程后利用圆心在直线上可得a=3，所求最大值等于原点O到圆心的距离加上半径1．本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．28.答案：60°解析：【分析】本题主要考查两个向量的数量积的定义和公式，属于基础题．由题意求出的坐标，再求出（2-）•2的值、2-和2的坐标，再利用两个向量的数量积的定义求得2-与2夹角．【解答】解：∵向量=，向量为单位向量，且•=1，设=（cosθ，sinθ），∴•=cosθ+sinθ=2cos（θ-600）=1，∴可令θ=1200，取=（-，）．∵（2-）•2=4-2•=4-2=2，2-=（-2，0），2=（-1，），设2-与2夹角为α，α∈[0°，180°]，则cosα===，∴α=60°.故答案为60°．29.答案：（0，1）（答案不唯一）解析：解：由2f（x1+x2）＞f（2x1）+f（2x2）得f（）＞，即函数f（x）满足在区间[a，b]上是凸函数即可，函数的f′（x）=4-3x2，由f′（x）＞0得4-3x2＞0得-＜x＜，此时函数f（x）为增函数，由f′（x）＞0得4-3x2＜0得x＜-或x＞，此时函数f（x）为减函数，即当x=-函数取得极小值，在x=时，函数f（x）取得极大值，由f（x）=4x-x3=0得x（4-x2）=0，得x=0或x=2或x=-2，则函数f（x）对应的图象如图：则函数在[0，2]上为凸函数，∵x1，x2∈[a，b]，∴2x1，2x2∈[2a，2b]，则[2a，2b]⊆[0，2]，则当a=0，b=1时，满足条件，即满足条件的一个区间为（0，1）或[0，1]，故答案为：（0，1）将不等式2f（x1+x2）＞f（2x1）+f（2x2）转化为f（）＞，即函数f（x）满足在区间[a，b]上是凸函数即可，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，作出函数的图象，利用数形结合进行判断求解即可．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．30.答案：0 A=∁R B解析：解：①∵A⊆B．则x∉A时，m=0，m（1-n）=0．x∈A时，必有x∈B，∴m=n=1，m（1-n）=0．综上可得：m（1-n）=0．②对任意x∈R，m+n=1，则m，n的值一个为0，另一个为1，即x∈A时，必有x∉B，或x∈B时，必有x∉A，∴A，B的关系为A=∁R B．故答案为：0，A=∁R B．①由A⊆B．由x∉A时，m=0，可得m（1-n）．x∈A时，必有x∈B，可得m=n=1．②对任意x∈R，m+n=1，则m，n的值一个为0，另一个为1，可得：x∈A时，必有x∉B，或x∈B时，必有x∉A，即可得出A，B的关系．本题考查了集合之间的关系、分类讨论方法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．31.答案：解：（Ⅰ）∵，可得：=，∴由sin B≠0，整理可得：sin C cos B=-cos A-cos C sin B，∴-cos A=sin C cos B+cos C sin B=sin（B+C）=sin A，∴可得：tan A=-，∵A∈（0，π），∴A=；（Ⅱ）∵A=，，∴由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A，可得：3=b2+c2+bc≥2bc+bc=3bc，解得：bc≤1，当且仅当b=c是等号成立，∴S△ABC=bc sin A≤=，即△ABC的面积的最大值为．解析：（Ⅰ）由二倍角公式，诱导公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tan A=-，结合范围A∈（0，π），可求A的值；（Ⅱ）由余弦定理，基本不等式可求得bc≤1，根据三角形的面积公式即可计算得解△ABC 的面积的最大值．本题主要考查了二倍角公式，诱导公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．32.答案：（I）解：设平面ABCD∩平面EC1D=m，∵PF∥平面EC1D，PF⊂平面ABCD，∴PF∥m，∵平面A1B1C1D1∩平面EC1D=C1E，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ABCD∩平面EC1D=m，∴C1E∥m，∴PF∥C1E，取AD的中点M，连接CM交BD于N，则CM∥C1E，∴PF∥CM，∴P是BN的中点，又，∴BP=BD=．（II）由（I）可知PF∥EC1，故F∈平面PEC1．以A1为原点，以A1B1，A1D1，A1A为坐标轴建立空间直角坐标系A1-xyz，则E（0，1，0），C1（1，2，0），F（1，1，1），D（0，2，1），∴=（1，1，0），=（1，0，1），=（0，1，1），设平面PC1E的法向量为=（x1，y1，z1），则，即，令x1=1得y1=-1，z1=-1，即=（1，-1，-1），平面EC1D的法向量为=（x2，y2，z2），则，即，令x2=1得y2=-1，z2=1，即=（1，-1，1）．∴cos＜＞===．∴二面角P-EC1-D的余弦值为．解析：（I）设AD中点为M，根据线面平行的性质可得PF∥CM，利用中位线定理和相似三角形性质可得出BP=BD；（II）建立空间坐标系，求出两平面的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小．本题考查了线面平行的性质，考查空间向量与二面角的计算，属于中档题．33.答案：解：（Ⅰ）由题意，计算=×（60+70+80+90+100+110+120+130+140）=100，=×ln y i=×24.02≈2.67，计算回归系数为==≈0.02，=2.67-0.02×100=0.67，∴ln y=0.02x+0.67，∴y与x之间的回归方程y=e0.02x+0.67；（Ⅱ）x=150，y=e0.02×150+0.67=e3.67=39.25，≈0.197，即该男生的体重没超过相同身高男性体重平均值的1.2倍，属于正常范围．解析：（Ⅰ）由题意计算平均数和回归系数，即可写出回归方程；（Ⅱ）利用回归系数计算x=150是y的值，再求对应的比值，从而得出结论．本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是基础题．34.答案：解：（Ⅰ）由题意可得，解得a=，b=2，c=1，∴椭圆的标准方程+=1．（Ⅱ）椭圆右焦点F的坐标为（1，0），设线段MN的中点为Q（x0，y0），由三角形重心的性质知=2，又B（0，2），∴（1，-2）=2（x0-1，y0），故得x0=，y0=-1，求得Q的坐标为（，-1）；设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=3，y1+y2=-2，∵+y12=1，+y22=1以上两式相减得（x1+x2）（x1-x2）+（y1+y2）（y1-y2）=0，∴（x1-x2）-（y1-y2）=0，∴k MN==，∴直线MN的方程为y+1=（x-），即6x-5y-14=0．由，消y可得7x2-21x+12=0，∴x1x2=，∴|MN|=•=，点B到直线MN的距离d==，∴△BMN的面积S=|MN|•d=××=．解析：（Ⅰ）由题意可得，解得a=，b=2，c=1，（Ⅱ）设线段MN的中点为Q（x0，y0），结合（1）中结论，及△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，由重心坐标公式，可得Q点坐标，由中点公式及M，N也在椭圆上，求出MN的斜率，可得直线l方程，再求出弦长MN，根据点到直线的距离公式，和三角形的面积公式即可求出．本题考查的知识点是直线的一般方程，直线与圆锥曲线，熟练掌握椭圆的简单性质是重心坐标，中点公式等基本公式，弦长公式，三角形的面积公式，属于中档题．35.答案：解：（Ⅰ）函数的导数为f′（x）=+a（-1），可得y=f（x）在x=2处的切线斜率为-a，。
2020年北京市东城区高考数学二模试卷 (含答案解析)
2020年北京市东城区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知全集U={0,1，2，3，4}，集合A={1,2，3}，B={2,4}，则(∁U A)∪B为()A. {1,2，4}B. {2,3，4}C. {0,2，4}D. {0,2，3，4}2.已知函数f(x)=−2x−1+12x+1，g(x)=x3−3x，那么函数y=f(g(x))是()A. 奇函数，且在(0,1)上是增函数，在(1,+∞)上是减函数B. 奇函数，且在(0,1)上是减函数，在(1,+∞)上是增函数C. 偶函数，且在(0,1)上是增函数，在(1,+∞)上是减函数D. 偶函数，且在(0,1)上是减函数，在(1,+∞)上是增函数3.已知四边形ABCD为平行四边形，其中A(5,−1)，B(−1,7)，C(1,2)，则顶点D的坐标为()A. (−7,6)B. (7,6)C. (6,7)D. (7,−6)4.若双曲线C：x2m2−y2n2=1的离心率为2，则双曲线的渐近线方程是()A. 2x±y=0B. x±2y=0C. √3x±y=0D. x±√3y=05.函数f(x)=(x−a)(x−b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)=a x+b的图象是()A.B.C.D.6.已知向量a⃗=(3,2)，b⃗ =(2,3)，则下列结论正确的是()A. a⃗⊥b⃗B. (a⃗−b⃗ )⊥(a⃗+b⃗ )C. a⃗//b⃗D. (a⃗−b⃗ )//(a⃗+b⃗ )7.《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著．书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”(一步=1.5米)意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为()A. 135平方米B. 270平方米C. 540平方米D. 1080平方米8.已知函数f(x)=lnx+ax2，那么“a>0”是“f(x)在(0,+∞)上为增函数”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9.已知一个几何体的三视图如图所示，则其体积为()A. 12πB. 16πC. 32π3D. 40π310.给出定义：若m−12<x≤m+12(其中m为整数)，则m叫作离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m.在此基础上给出下列关于函数f(x)=x−{x}的四个说法：①函数y=f(x)的定义域是R，值域是(−12,12]；②函数y=f(x)的图像关于y轴对称；③函数y=f(x)的图像关于坐标原点对称；④函数y=f(x)在(−12,12]上是增函数．其中正确说法的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.已知复数z满足zi+4=3i(i为虚数单位)，则z的共轭复数z−=______12.已知sin(π2+α)=45，则cos2α=______ ．13.已知a，b，c是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，那么下列命题中正确的序号为___．①若a⊥c，b⊥c，则a//b；②若α⊥γ，β⊥γ，则α//β；③若a⊥α，b⊥α，则a//b；④若a⊥α，α⊥β，则α//β．14.在△ABC中，a2−b2=√3bc，sin C=2√3sin B，则A=_______．15.根据以往数据统计发现，某大型商场中秋节前30天内，前t天的月饼销售总量f(t)大致满足f(t)=t2100+2t+1(0<t≤30)(单位：百斤)，则该商场前t天内平均每天售出的月饼量最少约为______百斤．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.如图，在平行四边形ABCD中，AB=2AD，∠BAD=60°，E为AB的中点，将△ADE沿直线DE折起到△PDE的位置，使平面PDE⊥平面BCDE．(Ⅰ)证明：平面PCE⊥平面PDE；(Ⅱ)设F、M分别为PC、DE的中点，求直线MF与平面PDE所成的角．17. 已知n ∈N ∗，数列{d n }满足d n =3+(−1)n 2，数列{a n }满足a n =d 1+d 2+d 3+⋯+d 2n ；又知数列{b n }中，b 1=2，且对任意正整数m ，n ，b n m =b m n ．(1)求数列{a n }和数列{b n }的通项公式；(2)将数列{b n }中的第a 1项，第a 2项，第a 3项，……，第a n 项，……删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c n }，求数列{c n }的前2013项和．18. 某射击小组有甲、乙、丙三名射手，已知甲击中目标的概率是34，甲、丙二人都没有击中目标的概率是112，乙、丙二人都击中目标的概率是14.甲乙丙是否击中目标相互独立．(1)求乙、丙二人各自击中目标的概率；(2)设乙、丙二人中击中目标的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．19. 已知离心率为√22的椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点(1,−√22)，点F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，过F 1的直线l 与C 交于A ，B 两点，且S △ABF 2=4√35． (1)求椭圆C 的方程；(2)求证：以AB 为直径的圆过坐标原点．20. 已知函数f(x)=e x −12(x −a)2+4．(1)若f(x)在(−∞,+∞)上单调递增，求a 的取值范围；(2)若x ≥0，不等式f(x)≥0恒成立，求a 的取值范围．21. 已知数列{a n }的通项公式a n =2n −(−1)n ，n ∈N ∗.设a n 1，a n 2，…，a n t (其中n 1<n 2<⋯<n t ，t ∈N ∗)成等差数列．(1)若t =3．①当n 1，n 2，n 3为连续正整数时，求n 1的值；②当n1=1时，求证：n3−n2为定值；(2)求t的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：全集U ={0,1，2，3，4}，集合A ={1,2，3}，B ={2,4}，则∁U A ={0,4}，所以(∁U A)∪B ={0,2，4}．故选：C ．根据补集和并集的定义，写出(∁U A)∪B 即可．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2.答案：A解析：解：f(x)=−2x−1+12x+1=−2x 2+2−x 2， 则f(−x)=−2−x 2+2x 2=−(−2x 2+2−x 2)=−f(x)，则函数f(x)是奇函数，g(x)是奇函数，则f(g(−x))=f(−g(x))=−f(g(x))，故函数y =f(g(x))是奇函数．函数g′(x)=3x 2−3=3(x 2−1)，当x >1时，g′(x)>0，则g(x)为增函数，且g(x)>g(1)=−2，∵f(x)为减函数，∴此时函数y =f(g(x))在(1,+∞)上是减函数，同理函数y =f(g(x))在(0,1)上是增函数，故选：A ．根据函数奇偶性和单调性的定义和性质分别进行判断即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性的综合应用，利用复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键． 3.答案：D解析：本题考查向量相等的概念，平面向量的运算，属于基础题．设D(x,y)，由AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得(x −5,y +1)=(2,−5)，可得结果．解：设D(x,y)，由AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得(x −5,y +1)=(2,−5)，∴x =7，y =−6，∴D(7,−6)．故选D ．4.答案：C解析：本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法和离心率公式的运用，考查运算能力，属于基础题.求出双曲线的c ，由离心率公式，解方程求得a ，再由双曲线的渐近线方程即可得到．解：∵双曲线x 2m 2−y 2n 2=1，∴c =√m 2+n 2，∴离心率为2，∴m 2+n 2m 2=4，解得n 2m 2=3，即b a =√3， ∴双曲线的渐近线方程为y =±√3x ，即√3x ±y =0．故选C ．5.答案：B解析：。
2020年北京东城区高三一模数学试卷
2020年北京东城区高三一模数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.已知集合，集合，则（ ）．A. B. C. D.2.已知复数 （其中是虚数单位），则（ ）．A. B. C. D.3.抛物线的准线与轴的交点的坐标为（ ）．A. B. C. D.4.设函数，则（ ）．A.有最大值B.有最小值C.是增函数D.是减函数5.已知曲线的方程为，则“”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的（ ）．A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.一排个座位坐了个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（ ）．A.B.C.D.7.已知圆与直线及的相切，圆心在直线上，则圆的方程为（ ）．A.B.C.D.8.已知正项等比数列中，，与的等差中项为，则（ ）．A.B.C.D.9.春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的倍，若荷叶天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了（ ）．A.天B.天C.天D.天10.某学校高三教师周一、周二、周三坐地铁上班的人数分别是，，，若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是，则这三天都开车上班的职工人数至多是（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.设向量，不平行，向量与平行，则实数 .12.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，将角的终边按逆时针方向旋转后经过点，则 ．13.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为 ．正主视图侧左视图俯视图14.若顶点在原点的抛物线经过四个点，，，中的个点，则该抛物线的标准方程可以是 ．15.某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为，观影人数记为，其函数图象如图（）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（）、图（）中的实线分别为调整后与的函数图象．给出下列四种说法：①图（）对应的方案是：提高票价，并提高成本；②图（）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图（）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；④图（）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是 ．（填写所有正确说法的编号）三、解答题（本大题共6小题，共85分）16.如图，在中，，分别为，的中点，为的中点，，，将沿折起到的位置，使得平面平面，如图．（1）（2）求证：．求直线和平面所成角的正弦值．17.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知的内角，，的对边分别为，，， ，，，求的面积．（1）（2）（3）18.为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（天）的快递件数记录结果中随机抽取天的数据，制表如下：甲公司某员工乙公司某员工每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件元；乙公司规定每天件以内（含件）的部分每件元，超出件的部分每件元．根据表中数据写出甲公司员工在这天投递的快递件数的平均数和众数．为了解乙公司员工的每天所得劳务费的情况，从这天中随机抽取天，他所得的劳务费记为（单位：元），求的分布列和数学期望．根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．（1）（2）（3）19.已知函数．若曲线存在斜率为的切线，求实数的取值范围；求的单调区间；设函数，求证：当时，在上存在极小值．【答案】解析:∵，，∴．故选项正确．解析:∵，∴．故选．解析:抛物线的准线方程为：，与轴的交点的坐标为，故选B．解析:（1）（2）20.已知椭圆的右焦点为．求点的坐标和椭圆的离心率；直线过点，且与椭圆交于，两点，如果点关于轴的对称点为，判断直线是否经过轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由．（1）（2）（3）21.各项均为非负整数的数列同时满足下列条件：①；②；③是的因数（）．当时，写出数列的前五项．若数列的前三项互不相等，且时，为常数，求的值．求证：对任意正整数，存在正整数，使得时，为常数．C1.A2.B3.A4.∵，则，∴，当且仅当即时等号成立，∴．故选．解析:要使曲线为焦点在轴上的椭圆，则，∴，即且，∴“”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的必要不充分条件．故选：．解析:根据题意，分步进行：①将每个三口之家都看成一个元素，每个家庭都有种排法，个三口之家共有种排法；②将个整体元素进行排列，共有种排法；由分步乘法计数原理可得，不同的坐法种数为．故选．解析:因为与即平行，且与的距离为，所以圆的半径．B 5.C 6.A 7.又因为圆心在直线上，且与，均垂直，所以由，解得交点坐标为，联立，解得交点坐标为，所以圆心坐标为的做点，所以圆方程为．故选．解析:设正项等比数列的公比为，由可得：，∵，∴，又与的等差中项为，∴，，，，∵，∴．∴．综上所述，答案选择．解析:荷叶覆盖水面面积与生长时间的函数关系式为．当时，长满水面，所以生长天时，布满水面一半．故选．解析:设周一，周二，周三开车上班的职工组成的集合分别为，，，D 8.C 9.C 10.集合，，中元素个数分别为，，，则，，，，因为，且，，，所以，即．故选．11.解析:∵向量，不平行，向量与平行，∴，∴，解得实数．故答案为：．12.解析:根据题意，角的终边按逆时针旋转后经过点，则，，即①，②，联立①②，解得．（1）解析:由主视图可知，四棱锥的高为，底面是长为，宽为的长方形．故四棱锥的体积为．故答案为：．解析:①若抛物线方程为，则，四个点，，，，故抛物线过和抛物线方程为．②若抛物线方程为，则，∵，，，，∴抛物线过和抛物线方程为．综上所述，抛物线方程为或．解析:∵观影人数时，∴时，为成本，即，∴②中减低成本（表现为利润亏损减少），③中成本不变，∴②③正确．解析:∵，，分别为，的中点，∴，∵是的中点，∴，∴，13.或14.②③15.（1）证明见解析（2）16.（2）又∵平面平面，平面平面，∴平面，∴．设为的中点，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，∴，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，∴，∴，故直线和平面所成角的正弦值是．解析:若选①．∴．又在中，∴，而，．∴，．见解析，面积为17.．而，．∴．若选②．∴．又．∴．又．∴．∴，．而．∴．若选③．∴，．又．∴．而，．∴，．，（1）（2）（3）而．∴．面积为．解析:甲公司员工在这天投递快件数的平均数为：，由表可知，众数为．设为乙公司每天投递件数，所得劳务费记为，则当时，元，当时，，∴的可能取值为，，，，，，，，，，∴的分布列为：元．由上表数据，甲公司每位员工在该月所得劳务费为元，（1）平均数：，众数：．（2）．（3）甲：元，乙：元．18.甲甲（1）（2）（3）乙公司每位员工在该月所得劳务费为元．解析:由得．由已知曲线存在斜率为的切线，所以存在大于零的实数根，即存在大于零的实数根，因为在时单调递增，所以实数的取值范围由，，可得当时，，所以函数的增区间为；当时，若，，若，，所以此时函数的增区间为，减区间为．由及题设得，由可得，由(Ⅱ)可知函数在上递增，所以，取，显然，，所以存在满足，即存在满足，所以在区间上的情况如下：极小所以当时，在上存在极小值．（1）（2）当时，函数的增区间为；当时，函数的增区间为，减区间为．（3）证明见解析．19.（1）（2）（1）（2）解析:因为椭圆所以焦点，离心率直线过点，所以，所以．由，得（依题意）．设 ，，则，．因为点关于轴的对称点为，则．所以，直线的方程可以设为，令，．所以直线过轴上定点．解析:，，，，．因为，所以，，又数列的前项互不相等，①当时，若，则，且对，都为整数，所以；若，则，且对，都为整数，所以；②当时，（1）焦点，离心率（2）定点坐标20.（1），，，，．（2）的值为，，．（3）证明见解析．21.（3）若，则，且对，都为整数，所以，不符合题意；若，则，且对，都为整数，所以；综上，的值为，，．对于，令，则．又对每一个，都为正整数，所以，其中“”至多出现个．故存在正整数，当时，必有成立．当时，则．从而．由题设知，又及均为整数，所以，故常数．从而常数．故存在正整数，使得时，为常数．。
2020东城高三一模数学试题答案
东城区2019-2020学年度第二学期教学统一检测高三化学参考答案及评分标准2020.5注：学生答案与本答案不符时，合理答案给分。
选择题（共42分）题号1234567答案B D A A C A D 题号891011121314答案ADDBDCB综合题（共58分）15.（11分）（1）铁比铜活泼（2）①O 2＋4e －＋2H 2O =4OH－4Fe(OH)2＋O 2=4FeOOH ＋2H 2O②6：2：1③铁质文物在潮湿环境中表面生成疏松的FeOOH ，水、氧气能通过孔隙使铁继续发生吸氧锈蚀；在干燥空气中形成致密的Fe 2O 3，隔绝了铁与水和氧气的接触，阻碍锈蚀（3）①Fe 2O 3＋6NaCl ＋3H 2O =6NaOH ＋2FeCl 3（Fe 2O 3+H 2O ====2FeOOH ）②氯、溴、碘同主族，形成的阴离子随电子层数增加半径增大（或体积增大），穿透能力减弱（4）HNO 3和AgNO 3（5）16.（13分）（1）羰基羟基（2）（3）（4）保护—CH 2OHCl —（5）（6）（7）水解反应、消去反应17.（10分）（1）CO 32-＋H 2OOH -+HCO 3-（2）Cu 2(OH)2CO 3＋4CH 3COOH =2(CH 3COO)2Cu ＋3H 2O ＋CO 2↑（3）醋酸铜的溶解度随温度变化较大，温度越高溶解度越大，温度降低溶解度减小（4）2Cu 2+＋4I -=2CuI↓＋I 2（5）因为CuSCN 不吸附I 2，通过反应CuI(s)＋SCN-CuSCN(s)＋Cl -，使CuI 吸附的I 2释放出来与Na 2S 2O 3反应。
（6）6.4bv/a %18.（11分）（1）氧化（2）（3）H 2（4）Cu ＋NO 3-=NO 2—＋CuO 或H 2＋NO 3-======NO 2—＋H 2O（5）①Pd 表面单位面积吸附的2NO -数目减小②增大2NO 2—＋6H =N 2＋4H 2O ＋2OH -（6）先调节溶液的pH 到12，待NO 3—几乎完全转化为NO 2—后，调节pH 到419.（13分）（1）Ag +＋223S O -=Ag 2S 2O 3↓（2）H +、24SO -Pd-Cu/TiO 2得到的24SO -是氧化产物，必然要生成其他还原产物（3）22322S O + 2H S + SO + H O-+↓ （4）过量Ag +与223S O -结合，使c (223S O -)降低，Ag 2S 2O 3＋3S 2O 32-2[Ag(S 2O 3)2]3-逆向移动，析出沉淀（5）逐滴滴加AgNO 3时，Ag 2S 2O 3的溶解速率大于分解速率；迅速混合时部分Ag 2S 2O 3来不及溶解即发生分解，分解产物不能再溶于Na 2S 2O 3（6）Na 2S 2O 3和AgNO 3物质的量之比大于2:1，在不断搅拌下将AgNO 3溶液缓缓加入到Na 2S 2O 3溶液中。
2020年北京市东城区高考数学二模试卷(含答案解析)
2020年北京市东城区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知全集1，2，3，4，，集合1，，，那么A. 1，B. 4，C. 4，D. 1，2，2.已知三个函数，，，则A. 定义域都为RB. 值域都为RC. 在其定义域上都是增函数D. 都是奇函数3.平面直角坐标系中，已知点A，B，C的坐标分别为，，，且四边形ABCD为平行四边形，那么D点的坐标为A. B. C. D.4.双曲线C：的渐近线与直线交于A，B两点，且，那么双曲线C的离心率为A. B. C. 2 D.5.已知函数的图象如图所示，那么函数的图象可能为A. B.C. D.6.已知向量，，，那么下列结论正确的是A. 与为共线向量B. 与垂直C. 与的夹角为钝角D. 与的夹角为锐角7.九章算术成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著．书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”一步米意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为A. 135平方米B. 270平方米C. 540平方米D. 1080平方米8.已知函数，那么“”是“在上为增函数”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9.已知一个几何体的三视图如图所示，正主视图是由一个半圆弧和一个正方形的三边拼接而成的，俯视图和侧左视图分别为一个正方形和一个长方形，那么这个几何体的体积是A. B. C. D.10.函数是定义域为R的奇函数，且它的最小正周期是T，已知给出下列四个判断：对于给定的正整数n，存在，使得成立；当时，对于给定的正整数n，存在，使得成立；当时，函数既有对称轴又有对称中心；当时，的值只有0或．其中正确判断的有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.复数的共轭复数为______．12.已知，则的值为______．13.设，，是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列三个结论：若，，则；若，，则；若，，则．其中，正确结论的序号为______．14.从下列四个条件；；；中选出三个条件，能使满足所选条件的存在且唯一，你选择的三个条件是____填写相应的序号，所选三个条件下的c的值为______．15.配件厂计划为某项工程生产一种配件，这种配件每天的需求量是200件．由于生产这种配件时其他生产设备必须停机，并且每次生产时都需要花费5000元的准备费，所以需要周期性生产这种配件，即在一天内生产出这种配件，以满足从这天起连续n天的需求，称n为生产周期假设这种配件每天产能可以足够大配件的存储费为每件每天2元当天生产出的配件不需要支付存储费，从第二天开始付存储费在长期的生产活动中，为使每个生产周期内每天平均的总费用最少，那么生产周期n为______．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.如图，四边形ABCD中，，，，，E为AD中点．将沿BE折起到的位置，如图．Ⅰ求证：平面平面；Ⅱ若，求与平面所成角的正弦值．17.已知为等比数列，其前n项和为，且满足，为等差数列，其前n项和为，如图_____，的图象经过A，B两个点．Ⅰ求；Ⅱ若存在正整数n，使得，求n的最小值．从图，图，图中选择一个适当的条件，补充在上面问题中并作答．18.某志愿者服务网站在线招募志愿者，当报名人数超过计划招募人数时，将采用随机抽取的方法招募志愿者，如表记录了A，B，C，D四个项目最终的招募情况，其中有两个数据模糊，记为项目计划招募人数报名人数A50100B60aC80bD160200甲同学报名参加了这四个志愿者服务项目，记为甲同学最终被招募的项目个数，已知，．Ⅰ求甲同学至多获得三个项目招募的概率；Ⅱ求a，b的值；Ⅲ假设有十名报了项目A的志愿者不包含甲调整到项目D，试判断如何变化结论不要求证明．19.已知椭圆C：的一个顶点坐标为，离心率为．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ若直线与椭圆C交于不同的两点P，Q，线段PQ的中点为M，点，求证：点M不在以AB为直径的圆上．20.已知．Ⅰ当时，求证：在上单调递减；Ⅱ若对任意，恒成立，求实数a的取值范围；Ⅲ若有最小值，请直接给出实数a的取值范围．21.设数列：A：，，，，B：，，，已知，，2，，n；，2，，，定义数表，其中．Ⅰ若A：1，1，1，0，B：0，1，0，0，写出；Ⅱ若A，B是不同的数列，求证：数表满足“2，，n；，2，，n；”的充分必要条件为“2，，”；Ⅲ若数列A与B中的1共有n个，求证：数表中1的个数不大于．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：1，2，3，4，，1，，，4，，4，．故选：B．进行补集和并集的运算即可．本题考查了列举法的定义，补集和并集的运算，全集的定义，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：C解析：解：函数的定义域为，即A错误；函数的值域是，即B错误；函数和是非奇非偶函数，即D错误，故选：C．根据指数、对数和幂函数的图象与性质进行分析即可．本题考查指数、对数和幂函数的图象与性质，熟练掌握基本初等函数的图象与性质是解题的关键，属于基础题．3.答案：A解析：解：设，点A，B，C的坐标分别为，，，且四边形ABCD为平行四边形，，，解得，，点的坐标为．故选：A．设，由四边形ABCD为平行四边形，得，由此能求出D点的坐标．本题考查点的坐标的求法，考查平面向量的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.答案：D解析：解：由双曲线的方程可得，且渐近线的方程为：，与联立可得，所以，由题意可得，解得，，所以双曲线的离心率，故选：D．由双曲线的方程可得渐近线的方程，与直线联立求出的值，进而求出的值，求出双曲线的离心率．本题考查双曲线的性质，属于基础题．5.答案：D解析：解：结合已知函数的图象可知，，，结合指数函数的性质及函数图象的平移可知，的图象单调递增，且由的图象向下平移超过1个单位，结合选项可知，D符合题意．故选：D．结合已知函数的图象可知，，，结合指数函数的性质及函数图象的平移可知，的图象单调递增，且由的图象向下平移超过1个单位，结合选项即可判断．本题主要考查了指数函数与对数函数的图象变换的简单应用，属于基础试题．6.答案：B解析：解：根据题意，向量，，，则，又由，有，则与不是共线向量，，则，则与垂直；故选：B．根据题意，求出向量的坐标，进而由向量平行、垂直的判断方法分析可得答案．本题考查向量平行、垂直的判断，涉及向量的坐标计算，属于基础题．7.答案：B解析：解：根据扇形的面积公式，计算扇形田的面积为平方米．故选：B．根据扇形的面积公式计算即可．本题考查了扇形的面积公式应用问题，是基础题．8.答案：A解析：解：的定义域是，，时，，在递增，故递增，是充分条件，由递增，得或，不是必要条件，故选：A．根据充分必要条件的定义以及函数的单调性判断即可．本题考查了充分必要条件，考查函数的单调性问题，是一道常规题．9.答案：C解析：解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为一个棱长为1的正方体和一个底面半径为，高为1的半个圆柱．如图所示：所以：．故选：C．首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10.答案：C解析：解：对于，要使成立，即，当时，，都符合，故正确；对于，要使成立，即，取，此时，故正确；对于，当，时，为将左移个单位，此时周期变为，既有对称轴也有对称中心，值域为，当时，为将左移个单位，此时，当时，为将左移T个单位，此时，故正确，错误；故选：C．对于，易知当时，，都符合；对于，即成立，取即可证明结论成立；对于，分别取，2，3，4，结合函数图象的平移变换即可得出对错；综合即可得出正确选项．本题考查分段函数的综合运用，涉及了函数性质，函数图象的变换等知识点，考查了推理能力，创新意识等，属于难题．11.答案：解析：解：，．故答案为：．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．12.答案：解析：解：由，得，即；所以．故答案为：．由求得的值，再化简并计算所求三角函数值．本题考查了二倍角的三角函数计算问题，是基础题．13.答案：解析：解：，，是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，对于，若，，由同垂直于同一平面的两直线平行，可得，故正确；对于，若，，由同垂直于同一直线的两平面平行，可得，故正确；对于，若，，考虑墙角处的三个平面两两垂直，可判断、相交，则不正确．故答案为：．由同垂直于同一平面的两直线平行，可判断；由同垂直于同一直线的两平面平行，可判断；考虑墙角处的三个平面两两垂直，可判断．本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，主要是平行和垂直，考查空间想象能力与推理能力，属于基础题．14.答案：，，或者，解析：解：由结合正弦定理可得，，所以，此时A不唯一，故所选条件中不能同时有，故只能是或，若选，，，由余弦定理可得，，解可得，；若选，，，，，且B为钝角，由正弦定理可得，，解可得，．故答案为，，，．由结合正弦定理可得，，可求sin A，但是A不唯一，故所选条件中不能同时有，只能是或，若选，结合余弦定理可求c；若选，结合正弦定理即可求解．本题主要考查了正弦定理及余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档试题．15.答案：5解析：解：每个周期内的总费用为，每个周期内每天的平均费用为：，当且仅当即时取等号．故答案为：5．求出每天的平均费用关于n的式子，利用基本不等式得出结论．本题考查了数列求和，不等式的应用，属于基础题．16.答案：Ⅰ证明：因为四边形ABCD中，，，，，E为AD中点，所以．故图中，，．又因为，，平面，所以平面．又因为平面，所以平面平面．Ⅱ解：由得，又，，因此，建立如图所示的空间直角坐标系．由，得0，，0，，1，，1，，，，设平面的法向量为y，，则即，令得，，所以1，是平面的一个法向量．又，设直线与平面所成角为，所以．解析：Ⅰ证明，然后证明平面即可证明平面平面．Ⅱ建立以E为原点，EB，ED，DA为x，y，z轴的空间直角坐标系求出平面的法向量，结合，利用空间向量的数量积求解直线与平面所成角的正弦函数值．本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．17.答案：解：Ⅰ设为公比为q的等比数列，由，，得，即，，所以，．所以；Ⅱ由图知：，，可判断，数列是递减数列；而递增，由于，所以选择不满足“存在n，使得”；由图知：，，可判断，数列是递增数列；由图知：，，可判断，数列是递增数列．所以选择均可能满足“存在n，使得”第一种情况：如果选择条件即，，可得：，．当，2，3，4，5，6，7时，不成立，当时，，所以使得成立的n的最小值为8．第二种情况：如果选择条件即，，可得：，．当，2，3，4时，不成立，当时，成立，所以使得成立的n的最小值为5．解析：Ⅰ设为公比为q的等比数列，运用等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，再由等比数列的求和公式，可得所求和；Ⅱ分别考虑图、、，判断数列的单调性，选择均可能满足“存在n，使得”讨论两种情况，等差数列的通项公式和恒成立思想，即可得到所求最小值．本题考查等比数列和等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查分类讨论思想和方程思想、化简运算能力和推理能力，属于中档题．18.答案：解：Ⅰ因为，所以，且．设事件A表示“甲同学被项目A招募”，由题意可知，；设事件B表示“甲同学被项目B招募”，由题意可知，；设事件C表示“甲同学被项目C招募”，由题意可知，；设事件D表示“甲同学被项目D招募”，由题意可知，，由于事件“甲同学至多获得三个项目招募”与事件“”是对立的，所以甲同学至多获得三个项目招募的概率是，Ⅱ由题意可知，，，解得，．Ⅲ变大．解析：Ⅰ由，得，且设事件A表示“甲同学被项目A招募”，则；设事件B表示“甲同学被项目B招募”，则；设事件C表示“甲同学被项目C招募”，则；设事件D表示“甲同学被项目D招募”，则，由于事件“甲同学至多获得三个项目招募”与事件“”是对立的，由此能求出甲同学至多获得三个项目招募的概率．Ⅱ由题意可知，，，由此能求出a，b．Ⅲ变大．本题考查概率的求法，考查古典概型、对立事件的概率、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：Ⅰ解：由题意可知解得所以椭圆C的方程为．Ⅱ证明：设，，由得，所以．所以当k为任何实数时，都有．所以，．因为线段PQ的中点为M，所以，，因为，所以，．所以．又因为，，所以，所以点M不在以AB为直径的圆上．解析：Ⅰ利用已知条件列出求出a，b然后得到椭圆方程．Ⅱ证明：设，，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及线段PQ 的中点为M，结合向量的数量积，判断点M不在以AB为直径的圆上．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．20.答案：Ⅰ解：，，当时，，，所以．所以在上单调递减．Ⅱ解：当时，，对于，命题成立，当时，设，则．因为，，所以，在上单调递增．又，所以．所以在上单调递增，且．当时，，所以在上单调递增．因为，所以恒成立．当时，，因为在上单调递增，又当时，，所以存在，对于，恒成立．所以在上单调递减，所以当时，，不合题意．综上，当时，对于，恒成立．Ⅲ解：．解析：把代入后对函数求导，然后结合单调性与导数关系即可证明；由已知不等式恒成立可转化为求解相应函数的取值范围或最值问题，结合导数对a进行分类讨论可求；结合最值与极值及导数关系可求．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及最值，还考查了不等式的恒成立求解参数范围问题，属于难题．21.答案：Ⅰ解：．Ⅱ证明：充分性若2，，，由于，，令A：，，，，由此数列B：，，，．由于．从而有2，，n；，2，，n；．必要性若2，，n；，2，，n；．由于A，B是不同的数列，设，，对任意的正整数，若，可得，，所以．若，可得，，所以．同理可证，时，有2，，成立．设，，对任意的正整数，若，可得，，所以有，则A，B是相同的数列，不符合要求．若，可得，，所以有，则A，B是相同的数列，不符合要求．同理可证，时，A，B是相同的数列，不符合要求．综上，有数表满足“”的充分必要条件为“2，，”．Ⅲ证明：由于数列A，B中的1共有n个，设A中1的个数为p，由此，A中0的个数为，B中1的个数为，B中0的个数为p．若，则数表的第i行为数列B：，，，，若，则数表的第i行为数列B：，，，，所以数表中1的个数为．所以数表中1的个数不大于．解析：根据得出的各行各列的数值；根据证明充分性，根据，的各种不同取值分类证明必要性；讨论的不同取值，计算的第i行中1的个数，从而得出中1的总数，利用基本不等式得出结论．本题考查了充要条件的判断，考查对新定义的理解和应用，属于中档题．。
2020年北京市东城区高考数学一模试卷-含详细解析
2020年北京市东城区高考数学一模试卷含详细解析一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x|x −1>0}，B ={−1,0，1，2}，那么A ∩B =( )A. {−1,0}B. {0,1}C. {−1,0，1，2}D. {2} 2. 函数f(x)=√x−2x 2+1的定义域为( )A. (−1,2]B. [2,+∞)C. (−∞,−1)∪[1，+∞)D. (−∞,−1)∪[2，+∞)3. 已知21+ai =1−i (a ∈R)，则a =( )A. 1B. 0C. −1D. −24. 若双曲线C ：x 2−y 2b 2=1 (b >0)的一条渐近线与直线y =2x +1平行，则b 的值为( ) A. 1 B. √2 C. √3 D. 25. 如图所示，某三棱锥的正(主)视图、俯视图、侧(左)视图均为直角三角形，则该三棱锥的体积为( )A. 4B. 6C. 8D. 126. 已知x <−1，那么在下列不等式中，不成立的是( )A. x 2−1>0B. x +1x <−2C. sinx −x >0D. cosx +x >07. 在平面直角坐标系中，动点M 在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周．若点M 的初始位置坐标为(12,√32)，则运动到3分钟时，动点M 所处位置的坐标是( )A. (√32,12) B. (−12,√32) C. (−√32,12) D. (−√32,−12) 8. 已知三角形ABC ，那么“|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |>|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC⃗⃗⃗⃗⃗ |”是“三角形ABC 为锐角三角形”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9. 设O 为坐标原点，点A(1,0)，动点P 在抛物线y 2=2x 上，且位于第一象限，M 是线段PA 的中点，则直线OM 的斜率的范围为( )A. (0,1]B. (0,√22)C. (0,√22]D. [√22,+∞)10. 假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者．现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型．假设捕食者的数量以x(t)表示，被捕食者的数量以y(t)表示．如图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向．下列说法正确的是：( )A. 若在t 1，t 2时刻满足：y(t 1)=y(t 2)，则x(t 1)=x(t 2)B. 如果y(t)数量是先上升后下降的，那么x(t)的数量一定也是先上升后下降C. 被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值D. 被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者的数量也会达到最大值二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11. 已知向量a ⃗ =(m,1)，b ⃗ =(1,−2)，c ⃗ =(2,3)，若a ⃗ −b ⃗ 与c⃗ 共线，则实数m =______． 12. 在(x +2x )6的展开式中常数项为______．13. 圆心在x 轴上，且与直线l 1：y =x 和l 2：y =x −2都相切的圆的方程为______． 14. △ABC 是等边三角形，点D 在边AC 的延长线上，且AD =3CD ，BD =2√7，则CD =______，sin∠ABD =______． 15. 设函数f(x)={a (x +1) ,x <0 ,2x−a +2a−x ,x ≥0.给出下列四个结论：①对∀a >0，∃t ∈R ，使得f(x)=t 无解； ②对∀t >0，∃a ∈R ，使得f(x)=t 有两解； ③当a <0时，∀t >0，使得f(x)=t 有解； ④当a >2时，∃t ∈R ，使得f(x)=t 有三解． 其中，所有正确结论的序号是______． 三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，PD ⊥面ABCD ，底面ABCD 为平行四边形，AB ⊥AC ，AB =AC =1，PD =1． (Ⅰ)求证：AD//平面PBC ；(Ⅱ)求二面角D −PC −B 的余弦值的大小．17.已知函数f(x)=asin(2x−π6)−2cos2(x+π6)(a>0)，且满足_______．(Ⅰ)求函数f(x)的解析式及最小正周期；(Ⅱ)若关于x的方程f(x)=1在区间[0,m]上有两个不同解，求实数m的取值范围．从①f(x)的最大值为1，②f(x)的图象与直线y=−3的两个相邻交点的距离等于π，③f(x)的图象过点(π6,0)这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答．18.中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，预计2020年北斗全球系统建设将全面完成．下图是在室外开放的环境下，北斗二代和北斗三代定位模块，分别定位的50个点位的横、纵坐标误差的值，其中“⋅”表示北斗二代定位模块的误差的值，“+”表示北斗三代定位模块的误差的值．(单位：米)(Ⅰ)从北斗二代定位的50个点位中随机抽取一个，求此点横坐标误差的值大于10米的概率；(Ⅱ)从图中A，B，C，D四个点位中随机选出两个，记X为其中纵坐标误差的值小于−4的点位的个数，求X的分布列和数学期望；(Ⅲ)试比较北斗二代和北斗三代定位模块纵坐标误差的方差的大小．(结论不要求证明)19.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，它的上，下顶点分别为A，B，左，右焦点分别为F1，F2，若四边形AF1BF2为正方形，且面积为2．(Ⅰ)求椭圆E的标准方程；(Ⅱ)设存在斜率不为零且平行的两条直线l1，l2，它们与椭圆E分别交于点C，D，M，N，且四边形CDMN是菱形，求出该菱形周长的最大值．20.已知函数f(x)=x(lnx−ax)(a∈R)．(Ⅰ)若a=1，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(Ⅱ)若f(x)有两个极值点，求实数a的取值范围；(Ⅲ)若a>1，求f(x)在区间(0,2a]上的最小值．21.数列A：x1，x2，x3，…，x n，…，对于给定的t(t>1,t∈N+)，记满足不等式：x n−x t≥t∗(n−t)(∀n∈N+,n≠t)的t∗构成的集合为T(t)．(Ⅰ)若数列A：x n=n2，写出集合T(2)；(Ⅱ)如果T(t)(t∈N+,t>1)均为相同的单元素集合，求证：数列x1，x2，…，x n，…为等差数列；(Ⅲ)如果T(t)(t∈N+,t>1)为单元素集合，那么数列x1，x2，…，x n，…还是等差数列吗？如果是等差数列，请给出证明；如果不是等差数列，请给出反例．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵A={x|x>1}，B={−1,0，1，2}，∴A∩B={2}．故选：D．可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】B，【解析】解：函数f(x)=√x−2x2+1≥0，得x−2≥0，令x−2x2+1解得x≥2，所以f(x)的定义域为[2,+∞)．故选：B．根据二次根式被开方数大于或等于0，列不等式求出解集即可．本题考查了根据二次根式被开方数大于或等于0求函数定义域的问题，是基础题．3.【答案】A=1−i，【解析】解：∵21+ai∴2=(1+ai)(1−i)=1+a+(a−1)i，∴{1+a=2a−1=0，即a=1．故选：A．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数相等的条件求解a值．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．4.【答案】D=1 (b>0)的一条渐近线y=bx与直线y=2x+1平【解析】解：双曲线C：x2−y2b2行，可得b=2．故选：D．利用双曲线的渐近线方程，得到关系式，求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．5.【答案】A【解析】解：由三视图知，几何体是一个三棱锥，D 1−BCD ，根据三棱锥的三视图的面积，设出三棱锥两两垂直的三条侧棱分别是DC =4，BC =3，DD 1=2∴三棱锥的体积是13×12×4×3×2=4故选：A ．几何体是一个三棱锥，根据三视图的数据，画出直观图，求解体积即可．本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原平面图形，是基础题． 6.【答案】D【解析】解：∵x <−1，∴x 2−1>0，x +1x <−2，又∵sinx ，cosx ∈[−1,1]，∴sinx −x >0，cosx +x <0． 可得：ABC 成立，D 不成立． 故选：D ．根据x <−1，利用函数的单调性、不等式的性质、三角函数的单调性即可判断出结论．本题考查了函数的单调性、不等式的性质、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 7.【答案】C【解析】解：每12分钟转动一周，则运动到3分钟时，转过的角为312×2π=π2；点M 的初始位置坐标为(12,√32)，运动到3分钟时动点M所处位置的坐标是M′(−√32,12).故选：C ．根据题意画出图形，结合图形求出3分钟转过的角度，由此计算点M 所处位置的坐标．本题考查了三角函数的定义与应用问题，是基础题． 8.【答案】B【解析】解：三角形ABC ，那么“|AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |>|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |”⇒AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >0，可得A 为锐角．此时三角形ABC 不一定为锐角三角形． 三角形ABC 为锐角三角形⇒A 为锐角．∴三角形ABC ，那么“|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |>|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC⃗⃗⃗⃗⃗ |”是“三角形ABC 为锐角三角形”的必要不充分条件． 故选：B ．三角形ABC ，那么“|AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |>|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |”⇒AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >0，可得A 为锐角．进而判断出结论．本题考查了向量数量积运算性质、简易逻辑的判定方法、三角形的分类，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：设P(y22,y)，y>0，所以PA的中点M(y2+24,y2)，所以k OM=y2y2+24=2y2+y2=2y+2y，因为y+2y≥2√2，所以0<1y+2y≤2√2=√24，所以k OM∈(0,√22]，故选：C．设P的坐标，看可得PA的中点M的坐标，进而求出OM的斜率，由均值不等式可得其取值范围．本题考查抛物线的性质，及均值不等式的性质，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：由图可知，曲线中纵坐标相等时横坐标未必相等，故A不正确；在曲线上半段中观察到y(t)是先上升后下降，而x(t)是不断变小的，故B不正确；捕食者数量最大时是在图象最右端，最小值是在图象最左端，此时都不是被捕食者的数量的最值处，同样当被捕食者的数量最大即图象最上端和最小即图象最下端时，也不是捕食者数量取最值的时候，所以被捕食者数量和捕食者数量不会同时达到最大和最小值，故C正确；当捕食者数量最大时在图象最右端，x(t)∈(25,30)，y(t)∈(0,50)，此时二者总和x(t)+y(t)∈(25,80)，由图象可知存在点x(t)=10，y(t)=100，x(t)+y(t)=110，所以并不是被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者数量也会达到最大值，故D错误，故选：C．根据图象数形结合，逐一进行分析即可本题考查的知识点是函数的图象和性质，本题比较抽象，理解起来有一定的难度．11.【答案】3【解析】解：∵向量a⃗=(m,1)，b⃗ =(1,−2)，c⃗=(2,3)，∴a⃗−b⃗ =(m−1,3)，∵a⃗−b⃗ 与c⃗共线，∴m−12=33，解得实数m=3．故答案为：3．先求出a⃗−b⃗ =(m−1,3)，再由a⃗−b⃗ 与c⃗共线，列方程能求出实数m．本题考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则和向量共线的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.【答案】160【解析】解：在(x+2x)6的展开式中的通项公式为T r+1=C6r⋅2r⋅x6−2r，令6−2r= 0，求得r=3，可得常数项为C63⋅23=160，故答案为：160．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．13.【答案】(x−1)2+y2=12【解析】解：设所求圆的方程为(x−a)2+y2=r2，因为圆与直线l1：y=x和l2：y=x−2都相切，则√1+1=√1+1=r，解得a=1，r=√22，所以圆的方程为(x−1)2+y2=12．故答案为：(x−1)2+y2=12．设所求圆的方程为(x−a)2+y2=r2，利用圆与直线l1：y=x和l2：y=x−2都相切，即可得出结论．本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．14.【答案】2 3√2114【解析】解：如图所示，等边△ABC中，AD=3CD，所以AC=2CD；又BD=2√7，所以BD2=BC2+CD2−2BC⋅CD⋅cos∠BCD，即(2√7)2=(2CD)2+CD2−2⋅2CD⋅CD⋅cos120°，解得CD=2，所以AD=6；由ADsin∠ABD =BDsin∠A，即6sin∠ABD =2√7sin60°，解得sin∠ABD=3√2114．故答案为：2，3√2114．根据题意画出图形，利用余弦定理求出CD的值，再利用正弦定理求出sin∠ABD的值．本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．15.【答案】③④【解析】解：对于①，可取a =3，则f(x)={3(x +1),x <02x−3+23−x ,x ≥0，当x <0时，f(x)=3(x +1)∈(−∞,3)；当x ≥0时，f(x)=2x−3+23−x ≥2√2x−3⋅23−x =2，当且仅当x =3时，取得等号，故a =3时，f(x)的值域为R ，∀t ∈R ，f(x)=t 都有解，故①错误；对于②可取a =0时，f(x)={0,x <02x +2−x ,x ≥0，可得f(x)在R 上单调递增，对∀t >0，f(x)=t 至多一解，故②错误；对于③，当a <0时，x <0时，f(x)=a(x +1)递减，可得f(x)>a ；又x ≥0时，x −a >0，即有2x−a >1，可得2x−a +2a−x >2，则f(x)的值域为(a,+∞)， ∀t >0，f(x)=t 都有解，故③正确；对于④，当a >2时，x <0时，f(x)=a(x +1)递增，可得f(x)<a ；当x ≥0时，f(x)=2x−a +2a−x ≥2，当且仅当x =a 时，取得等号， 由图象可得，当2<t <3时，f(x)=t 有三解，故④正确． 故答案为：③④．可取a =3，由一次函数的单调性和基本不等式，可得f(x)的值域，即可判断①；取a =0，判断f(x)的单调性，即可判断②；考虑a <0时，求得f(x)的值域，即可判断③；当a >2时，结合一次函数的单调性和基本不等式，以及f(x)的图象，即可判断④．本题考查分段函数的运用，主要考查方程的解的个数，注意运用反例法判断命题不正确，以及数形结合思想，考查推理能力，属于中档题．16.【答案】(Ⅰ)证明：∵底面ABCD 为平行四边形，∴AD//BC ， ∵BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ， ∴AD//平面PBC ；(Ⅱ)解：过D 作平行于AC 的直线Dx ，∵AB ⊥AC ，∴Dx ⊥DC ，又PD ⊥面ABCD ， ∴以D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D −xyz ．则C(0,1，0)，P(0,0，1)，B(1,2，0)， CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，0)，CP⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,1)， 设平面PCB 的一个法向量为n⃗ =(x,y,z)， 由{n ⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y =0n⃗ ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−y +z =0，取y =1，得n⃗ =(−1,1,1)； 取平面PCD 的一个法向量m ⃗⃗⃗ =(1,0,0)． 则cos <n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ >=n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=−1√3×1=−√33． 由图可知，二面角D −PC −B 为钝角， ∴二面角D −PC −B 的余弦值为−√33．【解析】(Ⅰ)由底面ABCD 为平行四边形，得AD//BC ，再由直线与平面平行的判定可得AD//平面PBC ；(Ⅱ)过D 作平行于AC 的直线Dx ，以D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D−xyz.分别求出平面PCB与平面PCD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角D−PC−B的余弦值．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．17.【答案】解：函数f(x)=asin(2x−π6)−2cos2(x+π6)=asin(2x−π6)−cos(2x+π3)−1=asin(2x−π)−sin(−2x+π)−1=(a+1)sin(2x−π6)−1，f(x)的最小正周期为T=2π2=π；若满足①:(Ⅰ)f(x)的最大值为1，则a+1=2，解得a=1，所以f(x)=2sin(2x−π6)−1；(Ⅱ)令f(x)=1，得sin(2x−π6)=1，解得2x−π6=π2+2kπ，k∈Z；即x=π3+kπ，k∈Z；若关于x的方程f(x)=1在区间[0,m]上有两个不同解，则x=π3或4π3；所以实数m的取值范围是[4π3,7π3).若满足②：(Ⅰ)f(x)的图象与直线y=−3的两个相邻交点的距离等于π，且f(x)的最小正周期为T=π，所以−(a+1)−1=−3，解得a=1；(Ⅱ)以下解法同①．若满足③：(Ⅰ)f(x)的图象过点(π6,0)，则f(π6)=(a+1)sinπ6−1=0，解得a=1；(Ⅱ)以下解法同①．【解析】本题考查了利用三角函数的基本性质求解析式问题，也考查了三角函数图象与性质的应用问题，是中档题．(Ⅰ)利用二倍角公式和诱导公式化简函数f(x)；(Ⅱ)令f(x)=1求得方程的解，根据方程f(x)=1在区间[0,m]上有两个不同解找出这两个解，从而写出实数m的取值范围．若满足①，利用最大值求出a的值，写出f(x)的解析式，求出最小正周期；若满足②，利用三角函数的图象与性质列出方程求得a的值，以下解法均相同．若满足③，利用f(x)的图象过点(π6,0)，代入求出a 的值，以下解法均相同．18.【答案】解：(Ⅰ)由图可得，在北斗二代定位的50个点中，横坐标误差的绝对值大于10米有3个点，所以从中随机选出一点，此点横坐标误差的绝对值大于10米的概率为350=0.06； (Ⅱ)由图可得，A ，B ，C ，D 四个点位中纵坐标误差值小于−4的有两个点：C ，D ， 所以X 的所有可能取值为0，1，2， P(X =0)=C 20C 42=16，P(X =1)=12C 21CC 42=23， P(X =2)=C 22C 42=16， 所以X 的分布列为所以X 的期望为E(X)=0×16+1×23+2×16=1；(Ⅲ)北斗二代定位模块纵坐标误差的方差大于北斗三代．【解析】(Ⅰ)通过图象观察，在北斗二代定位的50个点中，横坐标误差的绝对值大于10米有3个点，由古典概率的计算公式可得所求值；(Ⅱ)通过图象可得，A ，B ，C ，D 四个点位中纵坐标误差值小于−4的有两个点：C ，D ，则X 的所有可能取值为0，1，2，分别求得它们的概率，作出分布列，计算期望即可；(Ⅲ)通过观察它们的极差，即可判断它们的方差的大小．本题考查古典概率的求法，以及随机变量的分布列和期望的求法，方差的大小的判断，考查数形结合思想和运算能力、推理能力，属于中档题． 19.【答案】解：(Ⅰ)因为四边形AF 1BF 2为正方形，且面积为2， 所以b =c ，且12⋅2c ⋅2b =2，解得b =c =1，a 2=2， 所以椭圆的标准方程：x 22+y 2=1；(Ⅱ)设l 1的方程为y =kx +m 1，C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)， 设l 2的方程为y =kx +m 2，M(x 3,y 3)，N(x 4,y 4)，联立{y =kx +m 1x 2+2y 2=2可得(1+2k 2)x 2+4km 1x +2m 12−2=0， 由△>0可得16k 2m 12−4(1+2k 2)(2m 12−2)>0，化简可得2k 2+1−m 12>0，①x 1+x 2=−4km11+2k 2，x 1x 2=2m 12−21+2k 2，|CD|=√1+k 2⋅|x 1−x 2|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2⋅√(−4km 11+2k2)2−4⋅2m 12−21+2k 2=√1+k 2⋅2√2⋅√1+2k 2−m 121+2k 2，同理可得|MN|=√1+k 2⋅2√2⋅√1+2k 2−m 221+2k 2，因为四边形CDMN 为菱形，所以|CD|=|MN|，所以m 12=m 22，又因为m 1≠m 2，所以m 1=−m 2，所以l 1，l 2关于原点对称，又椭圆关于原点对称，所以C ，M 关于原点对称，D ，N 也关于原点对称，所以{x 3=−x 1y 3=−y 1且{x 4=−x 2y 4=−y 2，MC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2x 1,2y 1)，ND ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2x 2,2y 2)，因为四边形CDMN 为菱形，可得MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ND ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 即x 1x 2+y 1y 2=0，即x 1x 2+(kx 1+m 1)(kx 2+m 1)=0，即(1+k 2)x 1x 2+km 1(x 1+x 2)+m 12=0， 可得(1+k 2)⋅2m 12−21+2k 2+km 1⋅=−4km11+2k 2+m 12=0， 化简可得3m 12−2k 2−2=0， 设菱形CDMN 的周长为l ，则l =4|CD|=8√2√1+2k 2⋅√2k2+1−m 121+2k 2=8⋅√33√2+2k 2⋅√1+4k 21+2k 2≤8√33⋅12(2+2k 2+1+4k 2)1+2k 2=4√3，当且仅当2+2k 2=1+4k 2，即k 2=12时等号成立，此时m 12=1，满足①，所以菱形CDMN 的周长的最大值为4√3．【解析】(Ⅰ)由题意可得b =c ，bc =2，求得b ，再由a ，b ，c 的关系可得a ，进而得到所求椭圆方程；(Ⅱ)设l 1的方程为y =kx +m 1，C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，设l 2的方程为y =kx +m 2，M(x 3,y 3)，N(x 4,y 4)，分别联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，以及弦长公式，求得|CD|，|MN|，运用菱形和椭圆的对称性可得l 1，l 2关于原点对称，结合菱形的对角线垂直和向量数量积为0，可得3m 12−2k 2−2=0，设菱形CDMN 的周长为l ，运用基本不等式，计算可得所求最大值．本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，主要考查化简运算能力和推理能力，属于难题．20.【答案】解：∵f(x)=x(lnx −ax)，∴f′(x)=1+lnx −2ax ．(Ⅰ)当a =1时，f′(1)=−1，f(1)=−1，∴曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y −(−1)=−(x −1)， 即y =−x ；(Ⅱ)∵若f(x)有两个极值点，∴f′(x)=1+lnx −2ax =0有两个不等的正根，即2a =1+lnx x两个不等的正根．令g(x)=1+lnx x，x >0，g′(x)=−lnx x 2，令g′(x)=0⇒x =1，当x ∈(0,1)时g′(x)>0，此时g(x)单调递增；当x ∈(1,+∞)时g′(x)<0，此时g(x)单调递减；且g(1)=1，故0<2a <1，解得：a ∈(0,12).(Ⅲ)∵f(x)=x(lnx −ax)，∴f′(x)=1+lnx −2ax ，f″(x)=1x −2a ，∵a >1，x ∈(0,2a]，令f″(x)=0⇒x =12a ，当x ∈(0,12a )时，f″(x)>0，此时f′(x)单调递增；当x ∈(12a ,+∞)时，f″(x)<0，此时f′(x)单调递减，故f′(x)max=f′(12a)=−ln(2a)<0，∴f(x)在(0,2a]上单调递减，故f(x)在(0,2a]上的最小值为f(2a)=2a[ln(2a)−2a2].【解析】(Ⅰ)先利用导数的几何意义求出切线的斜率，然后求出切线方程；(Ⅱ)先把f(x)有两个极值点转化为方程2a=1+lnxx有两个不等的正根，再利用数形结合求出a的取值范围；(Ⅲ)先利用导函数的符号判断f(x)在区间(0,2a]上的单调性，进而解决其最小值．本题主要考查曲线的切线方程的求法及导数的综合应用，属于一道有难度的题．21.【答案】解：(Ⅰ)由于A：x n=n2，T(2)为满足不等式x n−x t≥t∗(n−t)(∀n∈N+)的t∗构成的集合，∴n2−4≥t∗(n−2)(∀n∈N+,n≠t)，当n>2时，上式可化为n+2≥t∗，∴5≥t∗，当n=1时，上式可化为3≤t∗，∴T(2)为[3,5]．(Ⅱ)证明：对于数列A：x1，x2，x3，…，x n，…，若T(t)(∀t∈N+,t>l)中均只有同一个元素，不妨设为a，下面证明数列A为等差数列，当n=t+1时，有x t+1−x t≥a，(∀t>1)，①当n=t−1时，有x t−x t−1≤a(∀t>1)，②∵①②两式对任意大于1的整数均成立，∴x t+1−x t=a(∀t>1)成立，∴数列x1，x2，…，x n，…为等差数列．(Ⅲ)对于数列A：x1，x2，…，x n，…，不妨设T(i)={a}，T(j)={b}，1<i<j，a≠b，由T(i)={a}，知x j−x i≥a(j−i)，由T(j)={b}，知：x i−x j≥b(i−j)，即x j−x i≤b(j−i)，∴a(j−i)≤x j−x i≤b(j−i)，∴a≤b．设T(i)={t i}，则t2≤t3≤⋯≤t n≤⋯，这说明1<i<j，则t i≤t j，∵对于数列A：x1，x2，…，x n，…，T(t)(∀t∈N+,t>1)中均只有一个元素，首先考察t=2时的情况，不妨设x2>x1，∵x2−x1≤t2，又T(2)为单元素集，∴x2−x1=t2，再证t3=x3−x2，证明如下：由t3=x3−x2，证明如下：由t3的定义可知：t3≥x3−x2，t3≥x3−x12，∴t3=max{x3−x2,x3−x12}，由t2的定义可知x3−x2≥t2=x2−x1，∴t3≥x3−x2≥x3−x2+x2−x12=x3−x12，∴x3−x2=t3，∵t 3>t 2，∴t 3=x 3−x 2>t 2，则存在正整数m(m ≥4)，使得(m −2)t 2=x m −x 2，③∵x 2−x 1=t 2≤x 3−x 2≤t 3≤x 4−x 3≤⋯≤x k −x k−1≤⋯∴x m −x 2=∑(m i=3x i −x i−1)≥∑t i−1mi=3>(m −2)t 2，这与③矛盾， ∴t 3=t 2，同理可证t 2=t 3=t 4=t 5=⋯，∴数列x 1，x 2，…，x n ，…还是等差数列．【解析】(Ⅰ)推导出n 2−4≥t ∗(n −2)(∀n ∈N +,n ≠t)，当n >2时，上式可化为n +2≥t ∗，5≥t ∗，当n =1时，上式可化为3≤t ∗，由此能求出T(2)为[3,5]．(Ⅱ)T(t)(∀t ∈N +，t >l)中均只有同一个元素，不妨设为a.当n =t +1时，有x t+1−x t ≥a ，(∀t >1)，当n =t −1时，有x t −x t−1≤a(∀t >1)，由此能证明数列x 1，x 2，…，x n ，…为等差数列．(Ⅲ)设T(i)={a}，T(j)={b}，1<i <j ，a ≠b ，由T(i)={a}，知x j −x i ≥a(j −i)，由T(j)={b}，知：x i −x j ≥b(i −j)，即x j −x i ≤b(j −i)，从而a(j −i)≤x j −x i ≤b(j −i)，a ≤b.设T(i)={t i }，则t 2≤t 3≤⋯≤t n ≤⋯，1<i <j ，则t i ≤t j ，推导出t 2=t 3=t 4=t 5=⋯，由此能证明数列x 1，x 2，…，x n ，…还是等差数列． 本题考查集合的求法，考查等差数列的证明，考查等比数列的判断与证明，考查推理论主能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是难题．。
东城高三二模数学理数
北京东城区2020—2020学年度高三第二学期统一练习（二）数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部份，共150分.考试时刻120分钟.考试终止，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上. 2．每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.不能答在试卷上.一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知集合M N M ⊆-=则满足},1,1{的集合N 的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 2．11,221,)(122=⎪⎩⎪⎨⎧>-++≤==x x a x x x x f a 在是函数处持续的（ ） A ．充分没必要要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3． 在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本 ①采纳随机抽样法：抽签掏出20个样本； ②采纳系统抽样法：将零件编号为00，01……，99，然后平均分组抽取20个样本； ③采纳分层抽样法：从一级品，二级品，三级品中抽取20个样本。
以下说法中正确的选项是 （ ） A ．不管采纳哪一种方式，这100个零件中每一个被抽到的概率都相等 B ．①②两种抽样方式，这100个零件中每一个被抽到的概率都相等；③并非如此 C ．①②两种抽样方式，这100个零件中每一个被抽到的概率都相等；②并非如此 D ．采纳不同的抽样方式，这100个零件中每一个零件被抽到的概率是各不相同的4．在23,)1(x x x n与展开式中+的系数别离为a ，b ，若是b ba那么,3=的值为 （ ）A ．70B ．60C ．55D ．405．设数列32}{21=+a a a n 满足，且对任意的)2,1(),(*,1=∈+n n n n P P a n P N n 都有点，那么{n a }的前n 项和为S n 为（ ）A ．)34(-n nB ．)43(-n nC ．)32(-n nD ．)21(-n n6．已知直线l 1α212//,l l l α⊂α到记点A l B l A ,,21∈∈c a b ≤≤a c b ≤≤c b a ≤≤bc a ≤≤,542sin ,532cos==θθθ0724=-y x 0724=+y x 0247=+y x 0247=-y x )0(22>=p py x 222py x =+2py -=4)2(222p p y x =-+0=y )1(),(0,10,12)(112--⎩⎨⎧≥-<-=f x f x x x x x f 则的反函数为10．已知过原点的直线与圆⎩⎨⎧=+-=θθsin ,cos 2y x （其中θ为参数）相切，假设切点在第二象限，那么该直线的方程为 . 11．将函数)32sin(2)(π+=x x f 图象上每一个点的横坐标扩大为原先的2倍，所得图象所对应的函数解析式为 ；假设将)(x f 的图象沿x 轴向左平移m 个单位（m>0），所得函数的图象关于y 轴对称，那么m 的 最小值为 .12．如图，PD ⊥平面在ABCD ，ABCD 为正方形，PD=AD ，那么直线PA 与直线BD 所成的角 为 .13．6个人分乘两辆不同的出租车，若是每辆车最多能乘4个人，那么不同的搭车方案有 种。
2020年北京市东城区高考数学一模试卷 (解析版)
2020年高考数学一模试卷一、选择题1．已知集合A＝{x|x﹣1＞0}，B＝{﹣1，0，1，2}，那么A∩B＝（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1，2}D．{2} 2．函数f(x)=√x−2x2+1的定义域为（）A．（﹣1，2]B．[2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）3．已知21+ai=1−i(a∈R)，则a＝（）A．1B．0C．﹣1D．﹣24．若双曲线C：x2−y2b2=1(b＞0)的一条渐近线与直线y＝2x+1平行，则b的值为（）A．1B．√2C．√3D．25．如图所示，某三棱锥的正（主）视图、俯视图、侧（左）视图均为直角三角形，则该三棱锥的体积为（）A．4B．6C．8D．126．已知x＜﹣1，那么在下列不等式中，不成立的是（）A．x2﹣1＞0B．x+1x＜−2C．sin x﹣x＞0D．cos x+x＞07．在平面直角坐标系中，动点M在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周．若点M的初始位置坐标为(12，√32)，则运动到3分钟时，动点M所处位置的坐标是（）A．(√32，12)B．(−12，√32)C．(−√32，12)D．(−√32，−12)8．已知三角形ABC，那么“|AB→+AC→|＞|AB→−AC→|”是“三角形ABC为锐角三角形”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．设O为坐标原点，点A（1，0），动点P在抛物线y2＝2x上，且位于第一象限，M是线段PA的中点，则直线OM的斜率的范围为（）A．（0，1]B．(0，√22)C．(0，√22]D．[√22，+∞) 10．假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者．现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型．假设捕食者的数量以x（t）表示，被捕食者的数量以y（t）表示．如图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向．下列说法正确的是：（）A．若在t1，t2时刻满足：y（t1）＝y（t2），则x（t1）＝x（t2）B．如果y（t）数量是先上升后下降的，那么x（t）的数量一定也是先上升后下降C．被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值D．被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者的数量也会达到最大值二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知向量a→=（m，1），b→=（1，﹣2），c→=（2，3），若a→−b→与c→共线，则实数m ＝．12．在（x+2x）6的展开式中常数项为．（用数字作答）13．圆心在x轴上，且与直线l1：y＝x和l2：y＝x﹣2都相切的圆的方程为．14．△ABC是等边三角形，点D在边AC的延长线上，且AD＝3CD，BD=2√7，则CD＝，sin∠ABD＝．15．设函数f(x)={a(x+1)，x＜0，2x−a+2a−x，x≥0．给出下列四个结论：①对∀a＞0，∃t∈R，使得f（x）＝t无解；②对∀t＞0，∃a∈R，使得f（x）＝t有两解；③当a＜0时，∀t＞0，使得f（x）＝t有解；④当a＞2时，∃t∈R，使得f（x）＝t有三解．其中，所有正确结论的序号是．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥面ABCD，底面ABCD为平行四边形，AB⊥AC，AB＝AC＝1，PD＝1．（Ⅰ）求证：AD∥平面PBC；（Ⅱ）求二面角D﹣PC﹣B的余弦值的大小．17．已知函数f(x)=asin(2x−π6)−2cos2(x+π6)(a＞0)，且满足_______．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及最小正周期；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）＝1在区间[0，m]上有两个不同解，求实数m的取值范围．从①f（x）的最大值为1，②f（x）的图象与直线y＝﹣3的两个相邻交点的距离等于π，③f（x）的图象过点(π6，0)这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答．18．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，预计2020年北斗全球系统建设将全面完成．下图是在室外开放的环境下，北斗二代和北斗三代定位模块，分别定位的50个点位的横、纵坐标误差的值，其中“•”表示北斗二代定位模块的误差的值，“+”表示北斗三代定位模块的误差的值．（单位：米）（Ⅰ）从北斗二代定位的50个点位中随机抽取一个，求此点横坐标误差的值大于10米的概率；（Ⅱ）从图中A，B，C，D四个点位中随机选出两个，记X为其中纵坐标误差的值小于﹣4的点位的个数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）试比较北斗二代和北斗三代定位模块纵坐标误差的方差的大小．（结论不要求证明）19．已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，它的上，下顶点分别为A，B，左，右焦点分别为F1，F2，若四边形AF1BF2为正方形，且面积为2．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设存在斜率不为零且平行的两条直线l1，l2，它们与椭圆E分别交于点C，D，M，N，且四边形CDMN是菱形，求出该菱形周长的最大值．20．已知函数f（x）＝x（lnx﹣ax）（a∈R）．（Ⅰ）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若a＞1，求f（x）在区间（0，2a]上的最小值．21．数列A：x1，x2，x3，…，x n，…，对于给定的t（t＞1，t∈N+），记满足不等式：x n﹣x t≥t*（n﹣t）（∀n∈N+，n≠t）的t*构成的集合为T（t）．（Ⅰ）若数列A：x n＝n2，写出集合T（2）；（Ⅱ）如果T（t）（t∈N+，t＞1）均为相同的单元素集合，求证：数列x1，x2，…，x n，…为等差数列；（Ⅲ）如果T（t）（t∈N+，t＞1）为单元素集合，那么数列x1，x2，…，x n，…还是等差数列吗？如果是等差数列，请给出证明；如果不是等差数列，请给出反例．参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A＝{x|x﹣1＞0}，B＝{﹣1，0，1，2}，那么A∩B＝（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1，2}D．{2}【分析】可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|x＞1}，B＝{﹣1，0，1，2}，∴A∩B＝{2}．故选：D．【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．函数f(x)=√x−2x2+1的定义域为（）A．（﹣1，2]B．[2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）【分析】根据二次根式被开方数大于或等于0，列不等式求出解集即可．解：函数f(x)=√x−2x2+1，令x−2x2+1≥0，得x﹣2≥0，解得x≥2，所以f（x）的定义域为[2，+∞）．故选：B．【点评】本题考查了根据二次根式被开方数大于或等于0求函数定义域的问题，是基础题．3．已知21+ai=1−i(a∈R)，则a＝（）A．1B．0C．﹣1D．﹣2【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数相等的条件求解a值．解：∵21+ai=1−i，∴2＝（1+ai ）（1﹣i ）＝1+a +（a ﹣1）i ，∴{1+a =2a −1=0，即a ＝1． 故选：A ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题． 4．若双曲线C ：x 2−y 2b 2=1(b ＞0)的一条渐近线与直线y ＝2x +1平行，则b 的值为（ ） A ．1 B ．√2 C ．√3 D ．2【分析】利用双曲线的渐近线方程，得到关系式，求解即可．解：双曲线C ：x 2−y 2b 2=1(b ＞0)的一条渐近线y ＝bx 与直线y ＝2x +1平行，可得b ＝2．故选：D ．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．5．如图所示，某三棱锥的正（主）视图、俯视图、侧（左）视图均为直角三角形，则该三棱锥的体积为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．12【分析】几何体是一个三棱锥，根据三视图的数据，画出直观图，求解体积即可． 解：由三视图知，几何体是一个三棱锥，D 1﹣BCD ，根据三棱锥的三视图的面积，设出三棱锥两两垂直的三条侧棱分别是DC ＝4，BC ＝3，DD 1＝2∴三棱锥的体积是13×12×4×3×2＝4故选：A ．【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原平面图形，是基础题．6．已知x＜﹣1，那么在下列不等式中，不成立的是（）A．x2﹣1＞0B．x+1x＜−2C．sin x﹣x＞0D．cos x+x＞0【分析】根据x＜﹣1，利用函数的单调性、不等式的性质、三角函数的单调性即可判断出结论．解：∵x＜﹣1，∴x2﹣1＞0，x+1x＜−2，又∵sin x，cos x∈[﹣1，1]，∴sin x﹣x＞0，cos x+x＜0．可得：ABC成立，D不成立．故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．在平面直角坐标系中，动点M在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周．若点M的初始位置坐标为(12，√32)，则运动到3分钟时，动点M所处位置的坐标是（）A．(√32，12)B．(−12，√32)C．(−√32，12)D．(−√32，−12)【分析】根据题意画出图形，结合图形求出3分钟转过的角度，由此计算点M所处位置的坐标．解：每12分钟转动一周，则运动到3分钟时，转过的角为312×2π=π2；点M的初始位置坐标为(12，√32)，运动到3分钟时动点M所处位置的坐标是M′（−√32，12）．故选：C．【点评】本题考查了三角函数的定义与应用问题，是基础题．8．已知三角形ABC，那么“|AB→+AC→|＞|AB→−AC→|”是“三角形ABC为锐角三角形”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】三角形ABC，那么“|AB→+AC→|＞|AB→−AC→|”⇒AB→•AC→＞0，可得A为锐角．进而判断出结论．解：三角形ABC，那么“|AB→+AC→|＞|AB→−AC→|”⇒AB→•AC→＞0，可得A为锐角．此时三角形ABC不一定为锐角三角形．三角形ABC为锐角三角形⇒A为锐角．∴三角形ABC，那么“|AB→+AC→|＞|AB→−AC→|”是“三角形ABC为锐角三角形”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了向量数量积运算性质、简易逻辑的判定方法、三角形的分类，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．设O为坐标原点，点A（1，0），动点P在抛物线y2＝2x上，且位于第一象限，M是线段PA的中点，则直线OM的斜率的范围为（）A．（0，1]B．(0，√22)C．(0，√22]D．[√22，+∞)【分析】设P的坐标，看可得PA的中点M的坐标，进而求出OM的斜率，由均值不等式可得其取值范围．解：设P（y22，y），y＞0，所以PA的中点M（y2+24，y2），所以k OM=y2y2+24=2y2+y2=2y+2y，因为y+2y≥2√2，所以0＜1y+2y≤22=√24，所以k OM∈（0，√22]，故选：C．【点评】本题考查抛物线的性质，及均值不等式的性质，属于中档题．10．假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者．现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型．假设捕食者的数量以x（t）表示，被捕食者的数量以y（t）表示．如图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向．下列说法正确的是：（）A．若在t1，t2时刻满足：y（t1）＝y（t2），则x（t1）＝x（t2）B．如果y（t）数量是先上升后下降的，那么x（t）的数量一定也是先上升后下降C．被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值D．被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者的数量也会达到最大值【分析】根据图象数形结合，逐一进行分析即可解：由图可知，曲线中纵坐标相等时横坐标未必相等，故A不正确；在曲线上半段中观察到y（t）是先上升后下降，而x（t）是不断变小的，故B不正确；捕食者数量最大时是在图象最右端，最小值是在图象最左端，此时都不是被捕食者的数量的最值处，同样当被捕食者的数量最大即图象最上端和最小即图象最下端时，也不是捕食者数量取最值的时候，所以被捕食者数量和捕食者数量不会同时达到最大和最小值，故C 正确； 当捕食者数量最大时在图象最右端，x （t ）∈（25，30），y （t ）∈（0，50）， 此时二者总和x （t ）+y （t ）∈（25，80），由图象可知存在点x （t ）＝10，y （t ）＝100， x （t ）+y （t ）＝110，所以并不是被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时， 被捕食者数量也会达到最大值，故D 错误， 故选：C ．【点评】本题考查的知识点是函数的图象和性质，本题比较抽象，理解起来有一定的难度．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知向量a →=（m ，1），b →=（1，﹣2），c →=（2，3），若a →−b →与c →共线，则实数m＝ 3 ．【分析】先求出a →−b →=（m ﹣1，3），再由a →−b →与c →共线，列方程能求出实数m ．解：∵向量a →=（m ，1），b →=（1，﹣2），c →=（2，3），∴a →−b →=（m ﹣1，3）， ∵a →−b →与c →共线，∴m−12=33，解得实数m ＝3．故答案为：3．【点评】本题考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则和向量共线的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．在（x +2x）6的展开式中常数项为 160 ．（用数字作答）【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项．解：在(x +2x)6的展开式中的通项公式为 T r +1=C 6r •2r •x 6﹣2r ，令6﹣2r ＝0，求得r ＝3， 可得常数项为C 63•23＝160，故答案为：160．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．13．圆心在x轴上，且与直线l1：y＝x和l2：y＝x﹣2都相切的圆的方程为（x﹣1）2+y2=12．【分析】设所求圆的方程为（x﹣a）2+y2＝r2，利用圆与直线l1：y＝x和l2：y＝x﹣2都相切，即可得出结论．解：设所求圆的方程为（x﹣a）2+y2＝r2，因为圆与直线l1：y＝x和l2：y＝x﹣2都相切，则√1+1=√1+1=r，解得a＝1，r=√22，所以圆的方程为（x﹣1）2+y2=12．故答案为：（x﹣1）2+y2=12．【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．14．△ABC是等边三角形，点D在边AC的延长线上，且AD＝3CD，BD=2√7，则CD＝2，sin∠ABD＝√2114．【分析】根据题意画出图形，利用余弦定理求出CD的值，再利用正弦定理求出sin∠ABD 的值．解：如图所示，等边△ABC中，AD＝3CD，所以AC＝2CD；又BD=2√7，所以BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD•cos∠BCD，即(2√7)2=（2CD）2+CD2﹣2•2CD•CD•cos120°，解得CD＝2，所以AD＝6；由ADsin∠ABD =BDsin∠A，即6sin∠ABD =2√7sin60°，解得sin∠ABD=3√2114．故答案为：2，3√21 14．【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题． 15．设函数f(x)={a(x +1)，x ＜0，2x−a +2a−x ，x ≥0．给出下列四个结论：①对∀a ＞0，∃t ∈R ，使得f （x ）＝t 无解； ②对∀t ＞0，∃a ∈R ，使得f （x ）＝t 有两解； ③当a ＜0时，∀t ＞0，使得f （x ）＝t 有解； ④当a ＞2时，∃t ∈R ，使得f （x ）＝t 有三解． 其中，所有正确结论的序号是 ③④ ．【分析】可取a ＝3，由一次函数的单调性和基本不等式，可得f （x ）的值域，即可判断①；取a ＝0，判断f （x ）的单调性，即可判断②；考虑a ＜0时，求得f （x ）的值域，即可判断③；当a ＞2时，结合一次函数的单调性和基本不等式，以及f （x ）的图象，即可判断④．解：对于①，可取a ＝3，则f （x ）={3(x +1)，x ＜02x−3+23−x，x ≥0，当x ＜0时，f （x ）＝3（x +1）∈（﹣∞，3）；当x ≥0时，f （x ）＝2x ﹣3+23﹣x ≥2√2x−3⋅23−x =2，当且仅当x ＝3时，取得等号， 故a ＝3时，f （x ）的值域为R ，∀t ∈R ，f （x ）＝t 都有解，故①错误； 对于②可取a ＝0时，f （x ）={0，x ＜02x +2−x ，x ≥0，可得f （x ）在R 上单调递增，对∀t ＞0，f （x ）＝t 至多一解，故②错误；对于③，当a ＜0时，x ＜0时，f （x ）＝a （x +1）递减，可得f （x ）＞a ；又x ≥0时，x ﹣a ＞0，即有2x ﹣a ＞1，可得2x ﹣a +2a ﹣x ＞2，则f （x ）的值域为（a ，+∞）， ∀t ＞0，f （x ）＝t 都有解，故③正确；对于④，当a ＞2时，x ＜0时，f （x ）＝a （x +1）递增，可得f （x ）＜a ；当x ≥0时，f （x ）＝2x ﹣a +2a ﹣x ≥2，当且仅当x ＝a 时，取得等号，由图象可得，当2＜t＜3时，f（x）＝t有三解，故④正确．故答案为：③④．【点评】本题考查分段函数的运用，主要考查方程的解的个数，注意运用反例法判断命题不正确，以及数形结合思想，考查推理能力，属于中档题．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥面ABCD，底面ABCD为平行四边形，AB⊥AC，AB＝AC＝1，PD＝1．（Ⅰ）求证：AD∥平面PBC；（Ⅱ）求二面角D﹣PC﹣B的余弦值的大小．【分析】（Ⅰ）由底面ABCD为平行四边形，得AD∥BC，再由直线与平面平行的判定可得AD∥平面PBC；（Ⅱ）过D作平行于AC的直线Dx，以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D ﹣xyz．分别求出平面PCB与平面PCD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角D﹣PC﹣B的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵底面ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∵BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，∴AD∥平面PBC；（Ⅱ）解：过D 作平行于AC 的直线Dx ， ∵AB ⊥AC ，∴Dx ⊥DC ，又PD ⊥面ABCD ，∴以D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D ﹣xyz ． 则C （0，1，0），P （0，0，1），B （1，2，0）， CB →=（1，1，0），CP →=（0，﹣1，1）， 设平面PCB 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，由{n →⋅CB →=x +y =0n →⋅CP →=−y +z =0，取y ＝1，得n →=(−1，1，1)； 取平面PCD 的一个法向量m →=(1，0，0)． 则cos ＜n →，m →＞=n →⋅m →|n →|⋅|m →|=3×1=−√33． 由图可知，二面角D ﹣PC ﹣B 为钝角，∴二面角D ﹣PC ﹣B 的余弦值为−√33．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．17．已知函数f(x)=asin(2x −π6)−2cos 2(x +π6)(a ＞0)，且满足_______． （Ⅰ）求函数f （x ）的解析式及最小正周期；（Ⅱ）若关于x 的方程f （x ）＝1在区间[0，m ]上有两个不同解，求实数m 的取值范围． 从①f （x ）的最大值为1，②f （x ）的图象与直线y ＝﹣3的两个相邻交点的距离等于π，③f （x ）的图象过点(π6，0)这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答． 【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式和诱导公式化简函数f （x ），若满足①，利用最大值求出a 的值，写出f （x ）的解析式，求出最小正周期；（Ⅱ）令f （x ）＝1求得方程的解，根据方程f （x ）＝1在区间[0，m ]上有两个不同解找出这两个解，从而写出实数m 的取值范围．若满足②，利用三角函数的图象与性质列出方程求得a 的值，以下解法均相同． 若满足③，利用f （x ）的图象过点(π6，0)，代入求出a 的值，以下解法均相同． 解：（Ⅰ）函数f （x ）＝a sin （2x −π6）﹣2cos 2（x +π6） ＝a sin （2x −π6）﹣cos （2x +π3）﹣1 ＝a sin （2x −π6）﹣sin （﹣2x +π6）﹣1 ＝（a +1）sin （2x −π6）﹣1，若满足①f （x ）的最大值为1，则a +1＝2，解得a ＝1， 所以f （x ）＝2sin （2x −π6）﹣1； f （x ）的最小正周期为T =2π2=π； （Ⅱ）令f （x ）＝1，得sin （2x −π6）＝1， 解得2x −π6=π2+2k π，k ∈Z ； 即x =π3+k π，k ∈Z ；若关于x 的方程f （x ）＝1在区间[0，m ]上有两个不同解，则x =π3或4π3；所以实数m 的取值范围是[4π3，7π3）．若满足②f （x ）的图象与直线y ＝﹣3的两个相邻交点的距离等于π， 且f （x ）的最小正周期为T =2π2=π，所以﹣（a +1）﹣1＝﹣3，解得a ＝1； 以下解法均相同．若满足③f （x ）的图象过点(π6，0)， 则f （π6）＝（a +1）sin π6−1＝0，解得a ＝1；以下解法均相同．【点评】本题考查了利用三角函数的基本性质求解析式问题，也考查了三角函数图象与性质的应用问题，是中档题．18．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，预计2020年北斗全球系统建设将全面完成．下图是在室外开放的环境下，北斗二代和北斗三代定位模块，分别定位的50个点位的横、纵坐标误差的值，其中“•”表示北斗二代定位模块的误差的值，“+”表示北斗三代定位模块的误差的值．（单位：米）（Ⅰ）从北斗二代定位的50个点位中随机抽取一个，求此点横坐标误差的值大于10米的概率；（Ⅱ）从图中A，B，C，D四个点位中随机选出两个，记X为其中纵坐标误差的值小于﹣4的点位的个数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）试比较北斗二代和北斗三代定位模块纵坐标误差的方差的大小．（结论不要求证明）【分析】（Ⅰ）通过图象观察，在北斗二代定位的50个点中，横坐标误差的绝对值大于10米有3个点，由古典概率的计算公式可得所求值；（Ⅱ）通过图象可得，A，B，C，D四个点位中纵坐标误差值小于﹣4的有两个点：C，D，则X的所有可能取值为0，1，2，分别求得它们的概率，作出分布列，计算期望即可；（Ⅲ）通过观察它们的极差，即可判断它们的方差的大小．解：（Ⅰ）由图可得，在北斗二代定位的50个点中，横坐标误差的绝对值大于10米有3个点，所以从中随机选出一点，此点横坐标误差的绝对值大于10米的概率为350=0.06；（Ⅱ）由图可得，A，B，C，D四个点位中纵坐标误差值小于﹣4的有两个点：C，D，所以X的所有可能取值为0，1，2，P （X ＝0）=C 20C 42=16， P （X ＝1）=C 21C 21C 42=23， P （X ＝2）=C 22C 42=16， 所以X 的分布列为 X1 2 P162316所以X 的期望为E （X ）＝0×16+1×23+2×16=1； （Ⅲ）北斗二代定位模块纵坐标误差的方差大于北斗三代．【点评】本题考查古典概率的求法，以及随机变量的分布列和期望的求法，方差的大小的判断，考查数形结合思想和运算能力、推理能力，属于中档题．19．已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)，它的上，下顶点分别为A ，B ，左，右焦点分别为F 1，F 2，若四边形AF 1BF 2为正方形，且面积为2． （Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）设存在斜率不为零且平行的两条直线l 1，l 2，它们与椭圆E 分别交于点C ，D ，M ，N ，且四边形CDMN 是菱形，求出该菱形周长的最大值．【分析】（Ⅰ）由题意可得b ＝c ，bc ＝2，求得b ，再由a ，b ，c 的关系可得a ，进而得到所求椭圆方程；（Ⅱ）设l 1的方程为y ＝kx +m 1，C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），设l 2的方程为y ＝kx +m 2，M （x 3，y 3），N （x 4，y 4），分别联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，以及弦长公式，求得|CD |，|MN |，运用菱形和椭圆的对称性可得l 1，l 2关于原点对称，结合菱形的对角线垂直和向量数量积为0，可得3m 12﹣2k 2﹣2＝0，设菱形CDMN 的周长为l ，运用基本不等式，计算可得所求最大值． 解：（Ⅰ）因为四边形AF 1BF 2为正方形，且面积为2， 所以b ＝c ，且12•2c •2b ＝2，解得b ＝c ＝1，a 2＝2，所以椭圆的标准方程：x 22+y 2＝1；（Ⅱ）设l 1的方程为y ＝kx +m 1，C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）， 设l 2的方程为y ＝kx +m 2，M （x 3，y 3），N （x 4，y 4）， 联立{y =kx +m 1x 2+2y 2=2可得（1+2k 2）x 2+4km 1x +2m 12﹣2＝0， 由△＞0可得16k 2m 12﹣4（1+2k 2）（2m 12﹣2）＞0，化简可得2k 2+1﹣m 12＞0，① x 1+x 2=−4km 11+2k2，x 1x 2=2m 12−21+2k2，|CD |=√1+k 2•|x 1﹣x 2|=√1+k 2•√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2•√(−4km 11+2k2)2−4⋅2m 12−21+2k2=√1+k 2•2√2⋅√1+2k 2−m 121+2k2，同理可得|MN |=√1+k 2•2√2⋅√1+2k 2−m 221+2k，因为四边形CDMN 为菱形，所以|CD |＝|MN |，所以m 12＝m 22，又因为m 1≠m 2，所以m 1＝﹣m 2，所以l 1，l 2关于原点对称，又椭圆关于原点对称，所以C ，M 关于原点对称，D ，N 也关于原点对称，所以{x 3=−x 1y 3=−y 1且{x 4=−x 2y 4=−y 2，MC →=（2x 1，2y 1），ND →=（2x 2，2y 2），因为四边形CDMN 为菱形，可得MC →•ND →=0， 即x 1x 2+y 1y 2＝0，即x 1x 2+（kx 1+m 1）（kx 2+m 1）＝0，即（1+k 2）x 1x 2+km 1（x 1+x 2）+m 12＝0， 可得（1+k 2）•2m 12−21+2k 2+km 1•=−4km 11+2k2+m 12＝0，化简可得3m 12﹣2k 2﹣2＝0， 设菱形CDMN 的周长为l ， 则l＝4|CD |=8√2√1+2k 2⋅√2k 2+1−m 121+2k 2=8⋅√33√2+2k 2⋅√1+4k 21+2k2≤8√33•12(2+2k 2+1+4k 2)1+2k =4√3，当且仅当2+2k 2＝1+4k 2，即k 2=12时等号成立，此时m 12＝1，满足①， 所以菱形CDMN 的周长的最大值为4√3．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，主要考查化简运算能力和推理能力，属于难题．20．已知函数f（x）＝x（lnx﹣ax）（a∈一、选择题）．（Ⅰ）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若a＞1，求f（x）在区间（0，2a]上的最小值．【分析】（Ⅰ）先利用导数的几何意义求出切线的斜率，然后求出切线方程；（Ⅱ）先把f（x）有两个极值点转化为方程2a=1+lnxx有两个不等的正根，再利用数形结合求出a的取值范围；（Ⅲ）先利用导函数的符号判断f（x）在区间（0，2a]上的单调性，进而解决其最小值．解：∵f（x）＝x（lnx﹣ax），∴f′（x）＝1+lnx﹣2ax．（Ⅰ）当a＝1时，f′（1）＝﹣1，f（1）＝﹣1，∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（﹣1）＝﹣（x﹣1），即y＝﹣x；（Ⅱ）∵若f（x）有两个极值点，∴f′（x）＝1+lnx﹣2ax＝0有两个不等的正根，即2a=1+lnxx两个不等的正根．令g（x）=1+lnxx，x＞0，g′（x）=−lnxx2，令g′（x）＝0⇒x＝1，当x∈（0，1）时g′（x）＞0，此时g（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时g′（x）＜0，此时g（x）单调递减；且g（1）＝1，故0＜2a＜1，解得：a∈（0，12）．（Ⅲ）∵f（x）＝x（lnx﹣ax），∴f′（x）＝1+lnx﹣2ax，f″（x）=1x−2a，∵a＞1，x∈（0，2a]，令f″（x）＝0⇒x=12a，当x∈（0，12a）时，f″（x）＞0，此时f′（x）单调递增；当x∈（12a，+∞）时，f″（x）＜0，此时f′（x）单调递减，故f′（x）max＝f′（12a）＝﹣ln（2a）＜0，∴f（x）在（0，2a]上单调递减，故f（x）在（0，2a]上的最小值为f（2a）＝2a[ln（2a）﹣2a2]．【点评】本题主要考查曲线的切线方程的求法及导数的综合应用，属于一道有难度的题．21．数列A：x1，x2，x3，…，x n，…，对于给定的t（t＞1，t∈N+），记满足不等式：x n﹣x t≥t*（n﹣t）（∀n∈N+，n≠t）的t*构成的集合为T（t）．（Ⅰ）若数列A：x n＝n2，写出集合T（2）；（Ⅱ）如果T（t）（t∈N+，t＞1）均为相同的单元素集合，求证：数列x1，x2，…，x n，…为等差数列；（Ⅲ）如果T（t）（t∈N+，t＞1）为单元素集合，那么数列x1，x2，…，x n，…还是等差数列吗？如果是等差数列，请给出证明；如果不是等差数列，请给出反例．【分析】（Ⅰ）推导出n2﹣4≥t*（n﹣2）（∀n∈N+，n≠t），当n＞2时，上式可化为n+2≥t*，5≥t*，当n＝1时，上式可化为3≤t*，由此能求出T（2）为[3，5]．（Ⅱ）T（t）（∀t∈N+，t＞l）中均只有同一个元素，不妨设为a．当n＝t+1时，有x t+1﹣x t≥a，（∀t＞1），当n＝t﹣1时，有x t﹣x t﹣1≤a（∀t＞1），由此能证明数列x1，x2，…，x n，…为等差数列．（Ⅲ）设T（i）＝{a}，T（j）＝{b}，1＜i＜j，a≠b，由T（i）＝{a}，知x j﹣x i≥a（j ﹣i），由T（j）＝{b}，知：x i﹣x j≥b（i﹣j），即x j﹣x i≤b（j﹣i），从而a（j﹣i）≤x j﹣x i≤b（j﹣i），a≤b．设T（i）＝{t i}，则t2≤t3≤…≤t n≤…，1＜i＜j，则t i≤t j，推导出t2＝t3＝t4＝t5＝…，由此能证明数列x1，x2，…，x n，…还是等差数列．解：（Ⅰ）由于A：x n=n2，T（2）为满足不等式x n−x t≥t∗（n﹣t）（∀n∈N+）的t*构成的集合，∴n2﹣4≥t*（n﹣2）（∀n∈N+，n≠t），当n＞2时，上式可化为n+2≥t*，∴5≥t*，当n＝1时，上式可化为3≤t*，∴T（2）为[3，5]．（Ⅱ）证明：对于数列A：x1，x2，x3，…，x n，…，若T（t）（∀t∈N+，t＞l）中均只有同一个元素，不妨设为a，下面证明数列A为等差数列，当n＝t+1时，有x t+1﹣x t≥a，（∀t＞1），①当n＝t﹣1时，有x t﹣x t﹣1≤a（∀t＞1），②∵①②两式对任意大于1的整数均成立，∴x t+1﹣x t＝a（∀t＞1）成立，∴数列x1，x2，…，x n，…为等差数列．（Ⅲ）对于数列A：x1，x2，…，x n，…，不妨设T（i）＝{a}，T（j）＝{b}，1＜i＜j，a≠b，由T（i）＝{a}，知x j﹣x i≥a（j﹣i），由T（j）＝{b}，知：x i﹣x j≥b（i﹣j），即x j﹣x i≤b（j﹣i），∴a（j﹣i）≤x j﹣x i≤b（j﹣i），∴a≤b．设T（i）＝{t i}，则t2≤t3≤…≤t n≤…，这说明1＜i＜j，则t i≤t j，∵对于数列A：x1，x2，…，x n，…，T（t）（∀t∈N+，t＞1）中均只有一个元素，首先考察t＝2时的情况，不妨设x2＞x1，∵x2﹣x1≤t2，又T（2）为单元素集，∴x2﹣x1＝t2，再证t3＝x3﹣x2，证明如下：由t3＝x3﹣x2，证明如下：由t3的定义可知：t3≥x3﹣x2，t3≥x3−x1 2，∴t3=max{x3−x2，x3−x12}，由t2的定义可知x3﹣x2≥t2＝x2﹣x1，∴t3≥x3﹣x2≥x3−x2+x2−x12=x3−x12，∴x3﹣x2＝t3，∵t3＞t2，∴t3＝x3﹣x2＞t2，则存在正整数m（m≥4），使得（m﹣2）t2＝x m﹣x2，③∵x2﹣x1＝t2≤x3﹣x2≤t3≤x4﹣x3≤…≤x k﹣x k﹣1≤…∴x m﹣x2=∑m i=3(x i−x i−1)≥∑m i=3t i−1＞（m﹣2）t2，这与③矛盾，∴t3＝t2，同理可证t2＝t3＝t4＝t5＝…，∴数列x1，x2，…，x n，…还是等差数列．【点评】本题考查集合的求法，考查等差数列的证明，考查等比数列的判断与证明，考查推理论主能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是难题．。
2020年北京东城高三一模数学试卷及答案
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………………………………14 分
(17)（本小题 14 分）
解：（Ⅰ）因为 f (x) asin(2x π) cos2(x π) 1
6
6
asin(2x π) cos(2x π) 1
6
3
asin(2x π) cos[(2x π) + π] 1
6
62
(a 1)sin(2x π) 1 6
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2020年北京市东城区高考数学二模试卷(二)(有答案解析)
7.答案：A
解析：解：依题意，以 C 为坐标原 点，CD 为 x 轴，CB 为 y 轴，CC1 为 z 轴建立坐标系，则 C1（0，0， 2），A（2，2，0）． 设 P 点坐标为（x，y，0）， 则由 PA≥PC1，得
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≥
，
在 xoy 平面内，z=0， 化简得：x+y≤1． 所以，点 P 构成的区域为如图的阴影区域．
3.答案：C
解析：【分析】 本题主要考查两个向量共线的性质，属于基础题．
由题意可得
即
，再根据两个向量共线的性质可得
结论． 【解答】
解：由题意可得
，
，由此可得
∴
，使得
，
又 = +m （m≠1）， =n + ，
故有
，
∴mn=1， 故选：C．
4.答案：C
解析：解：由三视图得鲁 班锁的其中一个零件是： 长为 100，宽为 20，高为 20 的长方体的上面的中
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间部分去掉一个长为 40，宽为 20，高为 10 的小长体的一个几何体， 如图， ∴该零件的体积： V=100×20×20-40×20×10=32000（mm3）． 故选：C． 由三视图得鲁班锁的其中一个零件是长为 100，宽为 20，高为 20 的长方体的上面的中 间部分去掉一个长为 40，宽为 20，高为 10 的小长体的一个几何体，由此能求出该零件 的体积． 本题考查几何体的体积的求法，考查几何体的三视图等基础知识，考查运算求解能力、 空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．
2020年北京市东城区高考数学二模试卷 (解析版)
2020年北京市东城区高考数学二模试卷一、选择题（共10小题）.1．已知全集U＝{0，1，2，3，4，5}，集合A＝{0，1，2}，B＝{5}，那么（∁U A）∪B＝（）A．{0，1，2}B．{3，4，5}C．{1，4，5}D．{0，1，2，5} 2．已知三个函数y＝x3，y＝3x，y＝log3x，则（）A．定义域都为RB．值域都为RC．在其定义域上都是增函数D．都是奇函数3．平面直角坐标系中，已知点A，B，C的坐标分别为（0，1），（1，0），（4，2），且四边形ABCD为平行四边形，那么D点的坐标为（）A．（3，3）B．（﹣5，1）C．（3，﹣1）D．（﹣3，3）4．双曲线C：x2−y2b2=1的渐近线与直线x＝1交于A，B两点，且|AB|＝4，那么双曲线C的离心率为（）A．√2B．√3C．2D．√55．已知函数f（x）＝log a x+b的图象如图所示，那么函数g（x）＝a x+b的图象可能为（）A．B．C．D．6．已知向量a→=（0，5），b→=（4，﹣3），c→=（﹣2，﹣1），那么下列结论正确的是（）A．a→−b→与c→为共线向量B．a→−b→与c→垂直C．a→−b→与a→的夹角为钝角D．a→−b→与b→的夹角为锐角7．《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著．书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”（一步＝1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为（）A．135平方米B．270平方米C．540平方米D．1080平方米8．已知函数f（x）＝lnx+ax2，那么“a＞0”是“f（x）在（0，+∞）上为增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．已知一个几何体的三视图如图所示，正（主）视图是由一个半圆弧和一个正方形的三边拼接而成的，俯视图和侧（左）视图分别为一个正方形和一个长方形，那么这个几何体的体积是（）A．1+π2B．1+π4C．1+π8D．1+π10．函数f（x）是定义域为R的奇函数，且它的最小正周期是T，已知f（x）={x ，x ∈[0，T4]T 2−x ，x ∈(T 4−T2]，g （x ）＝f （x +a ）（a ∈R ）．给出下列四个判断： ①对于给定的正整数n ，存在a ∈R ，使得∑ n i=1g(i⋅T n)f(i⋅Tn )=0成立； ②当a =T4时，对于给定的正整数n ，存在k ∈R （k ≠1），使得∑ n i=1g(k i⋅T n)f(i⋅Tn )=0成立；③当a ＝k T 4（k ∈Z ）时，函数g （x ）+f （x ）既有对称轴又有对称中心；④当a ＝k T4（k ∈Z ）时，g （x ）+f （x ）的值只有0或T4．其中正确判断的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题共5题，每题5分，共25分． 11．复数z =1−ii的共轭复数z 为 ． 12．已知cos2α=13，则cos 2（π2+α）﹣2cos 2（π﹣α）的值为 ．13．设α，β，γ是三个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，给出下列三个结论： ①若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n ； ②若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β； ③若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β． 其中，正确结论的序号为 ．14．从下列四个条件①a =√2c ；②C =π6；③cos B =−√24；④b =√7中选出三个条件，能使满足所选条件的△ABC 存在且唯一，你选择的三个条件是____（填写相应的序号），所选三个条件下的c 的值为 ．15．配件厂计划为某项工程生产一种配件，这种配件每天的需求量是200件．由于生产这种配件时其他生产设备必须停机，并且每次生产时都需要花费5000元的准备费，所以需要周期性生产这种配件，即在一天内生产出这种配件，以满足从这天起连续n 天的需求，称n 为生产周期（假设这种配件每天产能可以足够大）．配件的存储费为每件每天2元（当天生产出的配件不需要支付存储费，从第二天开始付存储费）．在长期的生产活动中，为使每个生产周期内每天平均的总费用最少，那么生产周期n 为 ． 三、解答题共6题，共85分。