2017春人教版高中数学必修五课件：2.4 第2课时 等比数列的性质1
迭乘法
a n a 1 ( n 1) d
a n a1 q n 1 ( a1, q 0 )
乘—乘方
由等差数列的性质，猜想等比数列的性质 {an}是公差为d的等差数列 {bn}是公比为q的等比数列 猜想1： b n b m q n m
性质1： an=am+(n-m)d
an1 bn1 a1b1 (q1q2 )n 因为 q1q2 . n-1 an bn a1b1 (q1q2 )
它是一个与n无关的常数，所以{an•bn}是一个 以q1q2为公比的等比数列.
说明： 特别地，如果 an 是等比数列，c是 不等于0的常数，那么数列c an 也是 等比数列.
3.(2015 · 福 建 高 考 ) 若
2
a,b
是 函 数
f(x)=x -px+q(p>0,q>0) 的 两 个 不 同 的 零 点 , 且 a,b,-2 这三个数可适当排序后成等差数列 , 也可 适当排序后成等比数列 ,则 p+q 的值等于 A.6 B.7 C.8
a + b = p > 0 = q > 0
a4 1.已知 an 为等比数列，
则 a1
a10
a5 a6 8 ， a7 2 ，
D．-7
（ B.5
D ）
C．-5
A．7
a 5 a 6 a 4 a 7 8 a 4 4, a 7 2 【解析】选D.a 4 a 7 2 ，
或a4 2, a7 4, a4 4, a7 2 a1 8, a10 1 a1 a10 7, 或a4 2, a7 4 a10 8, a1 1 a1 a10 7.
性质4：从原数列中取出偶 猜想4：从原数列中取 数项组成的新数列公差为 出偶数项，组成的新 2 数列公比为 (可推 q 2d.(可推广)
广)
性质5: 若{cn}是公差为 d′的等差数列，则数列 {an+cn}是公差为d+d′的等 差数列.
猜想5： 若{dn}是公比为 q′的等比数列,则数列 {bn•dn}是公比为 q·q′的等比数列.
2.如果-1，a，b，c，-9成等比数列，那么( B ) A.b=3，ac=9 C.b=3，ac=-9 B.b=-3，ac=9 D.b=-3，ac=-9
【解析】选B. ∵b是－1，－9的等比中项，∴b2＝9，
b ＝±3 ，又由等比数列奇数项符号相同，得 b<0 ， 故 b ＝－ 3. 而 b 又是 a ， c 的等比中项，故 b2 ＝ ac ， ac ＝9.
【解析】由题意知：a2a4＝a32，a4a6＝a52
∴a32＋2a3a5＋a52＝36，即(a3＋a5)2＝36，
∴a3＋a5＝6，故填6.
例
已知{an}、{bn}是项数相同的等比数列，求
证{an•bn}是等比数列.
【解题关键】当数列an 、b n 是项数相同的两个等 差数列时，数列pan + qb n 其中p,q是常数 也是等 差数列吗？是的，公差为pd1 + qd2 .可以类比证明.
.
当 n=3 或 4
1 此时 2
2 1 7 49 n 2 4 取到最小值 -6, 时, 2
2 1 7 n 49 2 2 4
取到最大值 2 .
6
所以 a1·a2·„·an 的最大值为 64.
性质2：若an-k,an,an+k 是{an}中的三项 ， 则2an=an+k+ an-k
若bn-k,bn,bn+k 猜想2： 是{bn}中的三项,则
b2 n b n k b n k
猜想3：若n+m=p+q，则 bn·bm=bp·bq
性质3： 若n+m=p+q, 则am+an=ap+aq
(9)在{an}中,每隔k(k∈N*)项取出一项,按原来顺序排
列,所得的新数列仍为等比数列,且公比为qk+1.
(10)当m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列时， am , an , ap 成等比数列.
【即时练习】 在等比数列{an}中，an＞0，a2 a4+2a3a5+a4a6=36, 6 那么a3+a5=_______.
探究点1
等比数列的图象 公比 q=2 公比 q=
1 2
观察数列
(1) 1，2，4，8，16，„
1 1 1 (2)8, 4, 2, 1, , , , 2 4 8
(3) 4，4，4，4，4，4，4，„
公比 q=1
(4) 1，-1，1，-1，1，-1，1，„ 公比 q=-1
通过图象观察性质
20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 O
a 2 a1 q a 3 a 2 q a1 q 2
a 4 a 3 q a1 q 3 a 5 a 4 q a1 q 4
„ 由此可知，等比数列 a n 的通项公式为
1 a n a1 q n（ a1 ,q 0）
1.灵活应用等比数列的定义及通项公式；深刻理 解等比中项概念； 2.熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数 列是否成等比数列的方法. (重点、难点）
● ● ●
等比数列的图象1 数列：1，2，4，8，16，„
●
递增数列
●
1
2
3
4
5
6
பைடு நூலகம்
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 O
等比数列的图象2
●
1 1 1 数列： 8, 4 , 2 ,1, , , , 2 4 8
递减数列
●
● ● ● ●
●
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
20 18 16 14 12 10 8 6 4 2
5.在等比数列{an}中，a1· a9＝256，a4＋a6＝40，则 1 ± 或± 2 公比q＝ ________. 2 a4＋a6＝40， 【解析】 根据 a1· a9＝a4· a6， 列方程组 a6＝256. a4·
a4＝32， a4＝8， 解得 或 a6＝8， a6＝32.
a6 8 1 32 2 ∴q ＝ ＝ ＝ 或 q ＝ ＝4. a4 32 4 8
2
1 ∴q＝± 或 q＝± 2. 2
6.(2014·广东高考)等比数列{an}的各项均为正数,且 a1a5=4,则 log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=
5
.
【解析】方法一:各项均为正数的等比数列{an}中 a1a5=a2a4= a 32 =4,则 a1a2a3a4a5=2 , log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2(a1a2a3a4a5) =log22 =5. 方法二:各项均为正数的等比数列{an}中 a1a5=a2a4= a 32 =4, 设 log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=S, 则 log2a5+log2a4+log2a3+log2a2+log2a1=S, 2S=5log2(a1a5)=10,S=5.
第2课时 等比数列的性质
定义：一般地，如果一个数列从第2项起， 每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么
这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数
列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0).
a n 1 q(q是与n无关的数或式子, 且q 0） an
an , „， 如果一个数列 a1 , a2 , a3 , „， 是等比数列，它的公比是q，那么
【规律总结】 若数列{an}是公比为q的等比数列,则 (1)当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时, {an}是递增数列; 当q>1, a1<0或0<q<1,a1>0时, {an}是递减数列; 当q=1时, {an}是常数列; 当q<0时, {an}是摆动数列.
(2)an≠0,且anan+2>0. (3)an=amqn-m(n,m∈N*). (4)当n+m=p+q(n,m,p,q∈N*)时,有anam=apaq.
探究点2
等差、等比数列的性质比较
类比等差数列的性质，等比数列有哪些性质呢？
提示:
等差数列 等比数列
定义
等比数列用“比”代替了等差数列中的“差”
常数
数学表 达式 通项公 式证明 通项 公式
an-an-1=d （n≥2） 减—除 加—乘 迭加法 加-乘
an q ( q 0， n 2) an 1
2
故
1 an = 2
n 4
,
1 所以 a1·a2·„·an= 2
3 2 n 4
1 = 2
1 n n 7 2
1 = 2
2 1 7 n 49 2 2 4
【变式练习】 将公比为 q 的等比数列 {an} 依次取相邻两项的乘积组成 新的数列a1a2，a2a3，a3a4，….此数列是( B ) A．公比为q的等比数列 B．公比为q2的等比数列 C．公比为q3的等比数列 D．不一定是等比数列
【解析】设新数列为{bn}，{bn}的通项公式为 bn＝anan an＋1an＋2 an＋2 ＝ a ＝q2，数列{bn}是公比为 q2 的等 ＋1.所以 anan＋1 n 比数列．
高考数学必修五 第二章 2.4 第2课时等比数列的性质
第2课时 等比数列的性质学习目标 1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.2.熟悉等比数列的有关性质.3.系统了解判断数列是否成等比数列的方法.知识点一 由等比数列衍生的等比数列思考 等比数列{a n }的前4项为1,2,4,8，下列判断正确的是 (1){3a n }是等比数列； (2){3＋a n }是等比数列；(3)⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等比数列； (4){a 2n }是等比数列.答案 由定义可判断出(1)，(3)，(4)正确.梳理 (1)在等比数列{a n }中按序号从小到大取出若干项：123,,,,,,n k k k k a a a a ……若k 1，k 2，k 3，…，k n ，…成等差数列，那么123,,,,,n k k k k a a a a ……是等比数列.(2)如果{a n }，{b n }均为等比数列，那么数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n ，{|a n |}是等比数列.知识点二 等比数列的性质思考 在等比数列{a n }中，a 25＝a 1a 9是否成立？a 25＝a 3a 7是否成立？a 2n ＝a n －2a n ＋2(n >2，n ∈N *)是否成立？ 答案 ∵a 5＝a 1q 4，a 9＝a 1q 8，∴a 1a 9＝a 21q 8＝(a 1q 4)2＝a 25， ∴a 25＝a 1a 9成立.同理a 25＝a 3a 7成立，a 2n ＝a n －2·a n ＋2也成立. 梳理 一般地，在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝s ＋t ，则有a m ·a n ＝a s ·a t (m ，n ，s ，t ∈N *).若m ＋n ＝2k ，则a m ·a n ＝a 2k (m ，n ，k ∈N *).1.a n ＝a m q n －m (n ，m ∈N *)，当m ＝1时，就是a n ＝a 1q n －1.(√)2.等比数列{a n }中，若公比q <0，则{a n }一定不是单调数列.(√)3.若{a n }，{b n }都是等比数列，则{a n ＋b n }是等比数列.(×)类型一 等比数列通项公式的推广应用 例1 等比数列{a n }中. (1)a 4＝2，a 7＝8，求a n ；(2)若{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，求通项公式a n . 考点 等比数列的通项公式题点 已知数列为等比数列求通项公式 解 (1)∵a 7a 4＝q 7－4＝82，即q 3＝4，∴q ＝34， ∴a n ＝a 4·qn －4＝2·(34)n －4＝22543332(2)2.n n --⋅=(2)由a 25＝a 10＝a 5·q 10－5，且a 5≠0， 得a 5＝q 5，即a 1q 4＝q 5， 又q ≠0，∴a 1＝q .由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1得，2a n (1＋q 2)＝5qa n ， ∵a n ≠0，∴2(1＋q 2)＝5q ， 解得q ＝12或q ＝2.∵a 1＝q ，且{a n }为递增数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2.∴a n ＝2·2n －1＝2n .反思与感悟 (1)应用a n ＝a m q n －m ，可以凭借任意已知项和公比直接写出通项公式，不必再求a 1. (2)等比数列的单调性由a 1，q 共同确定，但只要单调，必有q >0. 跟踪训练1 (1)在等比数列{a n }中，a 3＝4，a 7＝16，则a 5＝________；(2)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2·…·a n 的最大值为__________. 考点 等比数列的通项公式题点 已知数列为等比数列求通项公式 答案 (1)8 (2)64解析 (1)∵a 7a 3＝q 7－3＝q 4＝164＝4，∴q 2＝2.∴a 5＝a 3q 5－3＝4·q 2＝4×2＝8. (2)设该等比数列{a n }的公比为q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝10，a 1q ＋a 1q 3＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12，∴a 1a 2…a n ＝⎝⎛⎭⎫12(－3)＋(－2)＋…＋(n －4)211749(7)[()]222411()(),22n n n ---== 当n ＝3或4时，12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫n －722－494取得最小值－6， 此时21749[()]2241()2n --取得最大值26，∴a 1a 2…a n 的最大值为64. 类型二 等比数列的性质 命题角度1 序号的数字特征 例2 已知{a n }为等比数列.(1)若a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，求a 3＋a 5；(2)若a n >0，a 5a 6＝9，求log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10的值. 考点 等比数列的性质 题点 利用项数的规律解题解 (1)a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝25， ∵a n >0， ∴a 3＋a 5>0，∴a 3＋a 5＝5.(2)根据等比数列的性质，得 a 5a 6＝a 1a 10＝a 2a 9＝a 3a 8＝a 4a 7＝9， ∴a 1a 2…a 9a 10＝(a 5a 6)5＝95， ∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10 ＝log 3(a 1a 2…a 9a 10) ＝log 395＝10.反思与感悟 抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地解决问题. 跟踪训练2 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 3a 5＝4，则a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7＝________. 考点 等比数列的性质 题点 等比数列各项积的问题 答案 128解析 ∵a 3a 5＝a 24＝4，a n >0， ∴a 4＝2.∴a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7＝(a 1a 7)·(a 2a 6)·(a 3a 5)·a 4 ＝43×2＝128.命题角度2 未知量的设法技巧例3 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数. 考点 等比数列的性质题点 等比数列的性质的其他应用问题解 方法一 设这四个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，(a ＋d )2a ，由条件得⎩⎨⎧a －d ＋(a ＋d )2a ＝16，a ＋a ＋d ＝12.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝9，d ＝－6.所以当a ＝4，d ＝4时，所求的四个数为0,4,8,16； 当a ＝9，d ＝－6时，所求的四个数为15,9,3,1.故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.方法二 设这四个数依次为2a q －a ，aq，a ，aq (q ≠0)，由条件得⎩⎨⎧2aq－a ＋aq ＝16，aq ＋a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，q ＝13.当a ＝8，q ＝2时，所求的四个数为0,4,8,16； 当a ＝3，q ＝13时，所求的四个数为15,9,3,1.故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.反思与感悟 合理地设出未知数是解决此类问题的技巧.一般地，三个数成等比数列，可设为aq ，a ，aq ；三个数成等差数列，可设为a －d ，a ，a ＋d .若四个同号的数成等比数列，可设为a q 3，aq ，aq ，aq 3；四个数成等差数列，可设为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d .跟踪训练3 有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项和为21，中间两项和为18，求这四个数.考点 等比数列的性质题点 等比数列的性质的其他应用问题 解 设这四个数分别为x ，y,18－y,21－x ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x (18－y )，2(18－y )＝y ＋(21－x )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝6或⎩⎨⎧x ＝754，y ＝454.故所求的四个数为3,6,12,18或754，454，274，94.1.在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，则公比q 为( )A.2B.3C.4D.8考点等比数列基本量的计算题点求等比数列公比答案 A解析由a5＝a2q3，得q3＝8，所以q＝2.2.在等比数列{a n}中，a n>0，且a1a10＝27，则log3a2＋log3a9等于()A.9B.6C.3D.2考点等比数列的性质题点等比数列的性质与对数运算综合答案 C解析因为a2a9＝a1a10＝27，所以log3a2＋log3a9＝log327＝3.3.在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________.考点等比数列的性质题点等比数列各项积的问题答案8解析设这8个数组成的等比数列为{a n}，则a1＝1，a8＝2.插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7＝(a2a7)·(a3a6)·(a4a5)＝(a1a8)3＝23＝8.4.已知a n＝2n＋3n，判断数列{a n}是不是等比数列？考点等比数列的判定题点判断数列为等比数列解不是等比数列.∵a1＝21＋31＝5，a2＝22＋32＝13，a3＝23＋33＝35，∴a1a3≠a22，∴数列{a n}不是等比数列.1.解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法.2.所谓通式通法，指应用通项公式，前n项和公式，等差中项，等比中项等列出方程(组)，求出基本量.3.巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要.一、选择题1.在等比数列{a n }中，a 2 015＝8a 2 012，则公比q 的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.8考点 等比数列基本量的计算 题点 求等比数列公比 答案 A解析 ∵a 2 015＝8a 2 012＝a 2 012·q 3，∴q 3＝8，∴q ＝2.2.在数列{a n }中，a 1＝1，点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝2x 上，则a 4的值为( ) A.7 B.8 C.9 D.16 考点 等比数列的判定 题点 判断数列为等比数列 答案 B解析 点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝2x 上，∴a n ＋1＝2a n ，∵a 1＝1≠0，∴a n ≠0，∴{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，∴a 4＝1×23＝8. 3.已知各项均为正数的等比数列{a n }中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1·a 15的值为( ) A.100 B.－100 C.10 000D.－10 000考点 等比数列的性质 题点 利用项数的规律解题 答案 C解析 ∵lg(a 3a 8a 13)＝lg a 38＝6，∴a 38＝106∴a 8＝102＝100.∴a 1a 15＝a 28＝10 000.4.在正项等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7等于( )A.56B.65C.23D.32 考点 等比数列的性质 题点 利用项数的规律解题 答案 D解析 设公比为q ，则由等比数列{a n }各项为正数且 a n ＋1<a n 知0<q <1，由a 2·a 8＝6，得a 25＝6.解得q ＝26或q ＝36(舍去)，∴a 5a 7＝1q 2＝⎝⎛⎭⎫622＝32.5.已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q 为( ) A.13 B.3 C.±13 D.±3 考点 等比中项 题点 利用等比中项解题 答案 B解析 设等差数列为{a n }，公差为d ，d ≠0. 则a 23＝a 2·a 6，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )， 化简得d 2＝－2a 1d ，∵d ≠0，∴d ＝－2a 1，∴a 2＝－a 1，a 3＝－3a 1，∴q ＝a 3a 2＝3.6.已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6等于( ) A.5 2 B.7 C.6 D.4 2 考点 等比数列的性质 题点 等比数列各项积的问题 答案 A解析 ∵a 1a 2a 3＝a 32＝5，∴a 2＝35.∵a 7a 8a 9＝a 38＝10，∴a 8＝310.∴a 25＝a 2a 8＝350＝1350，又∵数列{a n }各项均为正数，∴a 5＝1650. ∴a 4a 5a 6＝a 35＝1250＝5 2.7.已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8等于( )A.1＋ 2B.1－ 2C.3＋2 2D.3－2 2考点 等比数列基本量的计算 题点 利用基本量法解题 答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1，12a 3，2a 2成等差数列，∴a 3＝a 1＋2a 2，∴a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，a 1≠0，∴q 2－2q －1＝0，∴q ＝1±2. ∵a n >0，∴q >0，q ＝1＋ 2. ∴a 9＋a 10a 7＋a 8＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2.二、填空题8.设数列{a n }为公比q >1的等比数列，若a 4，a 5是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 6＋a 7＝________. 考点 等比数列的性质 题点 利用项数的规律解题 答案 18解析 由题意得a 4＝12，a 5＝32，∴q ＝a 5a 4＝3.∴a 6＋a 7＝(a 4＋a 5)q 2＝⎝⎛⎭⎫12＋32×32＝18.9.已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝________. 考点 等比中项 题点 利用等比中项解题 答案 －6解析 由题意知，a 3＝a 1＋4，a 4＝a 1＋6. ∵a 1，a 3，a 4成等比数列，∴a 23＝a 1a 4， ∴(a 1＋4)2＝(a 1＋6)a 1， 解得a 1＝－8，∴a 2＝－6.10.在等比数列{a n }中，若a 1a 2a 3a 4＝1，a 13a 14a 15a 16＝8，则a 41a 42a 43a 44＝________. 考点 等比数列的性质 题点 等比数列各项积的问题 答案 1 024解析 设等比数列{a n }的公比为q ， a 1a 2a 3a 4＝a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝a 41·q 6＝1，① a 13a 14a 15a 16＝a 1q 12·a 1q 13·a 1q 14·a 1q 15＝a 41·q 54＝8，②②÷①得q 48＝8，q 16＝2，∴a 41a 42a 43a 44＝a 1q 40·a 1q 41·a 1q 42·q 1q 43＝a 41·q 166＝a 41·q 6·q 160＝(a 41·q 6)(q 16)10＝210＝1 024.11.已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9＝________. 考点 等比数列的性质 题点 利用项数的规律解题 答案 8解析 由等比数列的性质得a 3a 11＝a 27，∴a 27＝4a 7.∵a 7≠0，∴a 7＝4，∴b 7＝a 7＝4. 再由等差数列的性质知b 5＋b 9＝2b 7＝8. 三、解答题12.已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝2⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2，a 3＋a 4＋a 5＝64⎝⎛⎭⎫1a 3＋1a 4＋1a 5，求{a n }的通项公式.考点 等比数列的性质 题点 利用项数的规律解题 解 设数列{a n }的公比为q (q >0).∵a 1＋a 2＝2·⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2， ∴a 1＋a 1q ＝2·1＋q a 1q ，即a 1＝2a 1q .①又∵a 3＋a 4＋a 5＝64⎝⎛⎭⎫1a 3＋1a 4＋1a 5，∴a 3(1＋q ＋q 2)＝64·q 2＋q ＋1a 3q 2，即a 3＝64a 3q 2.② 联立①②，解得q ＝2，a 1＝1， 故a n ＝2n －1(n ∈N *).13.在等比数列{a n }(n ∈N *)中，a 1＞1，公比q ＞0.设b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 3＋b 5＝6，b 1b 3b 5＝0. (1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求{b n }的前n 项和S n 及{a n }的通项a n ； (3)试比较a n 与S n 的大小. 考点 等比数列的性质题点 等比数列的性质与对数运算综合 (1)证明 因为b n ＝log 2a n ，所以b n ＋1－b n ＝log 2a n ＋1－log 2a n ＝log 2 a n ＋1a n＝log 2q (q ＞0)为常数，所以数列{b n }为等差数列且公差d ＝log 2q .(2)解 因为b 1＋b 3＋b 5＝6，所以(b 1＋b 5)＋b 3＝2b 3＋b 3＝3b 3＝6，即b 3＝2.又因为a 1＞1，所以b 1＝log 2a 1＞0，又因为b 1·b 3·b 5＝0，所以b 5＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ b 3＝2，b 5＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＋2d ＝2，b 1＋4d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝4，d ＝－1， 因此S n ＝4n ＋n (n －1)2(－1)＝9n －n 22. 又因为d ＝log 2q ＝－1，所以q ＝12，b 1＝log 2a 1＝4， 即a 1＝16，所以a n ＝25－n (n ∈N *).(3)解 由(2)知，a n ＝25－n ＞0，当n ≥9时，S n ＝n (9－n )2≤0， 所以当n ≥9时，a n ＞S n .又因为a 1＝16，a 2＝8，a 3＝4，a 4＝2，a 5＝1，a 6＝12， a 7＝14，a 8＝18， S 1＝4，S 2＝7，S 3＝9，S 4＝10，S 5＝10，S 6＝9，S 7＝7， S 8＝4，所以当n ＝3,4,5,6,7,8时，a n <S n ；当n ＝1,2或n ≥9，n ∈N *时，a n ＞S n .四、探究与拓展14.已知等比数列{a n }满足a n >0，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则当n ≥3时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1等于( )A.2nB.2n 2C.n 2D.n考点 等比数列的性质题点 等比数列的性质与对数运算综合答案 C解析 log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝log 2(a 1a 3·…·a 2n －1) 2222222121252522log ()log ()log (2)log 2.n n n n n n n a a a a n --=====15.在等差数列{a n }中，公差d ≠0，a 1，a 2，a 4成等比数列，已知数列a 1，a 3，12,,,,n k k k a a a ……也成等比数列，求数列{k n }的通项公式.考点 等比数列基本量的计算题点 利用基本量法解题解 由题意得a 22＝a 1a 4，即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )， 得d (d －a 1)＝0，又d ≠0，∴a 1＝d .又a 1，a 3，12,,,,n k k k a a a ……成等比数列，∴该数列的公比q ＝a 3a 1＝3d d＝3， ∴n k a ＝a 1·3n ＋1.又n k a ＝a 1＋(k n －1)d ＝k n a 1，∴数列{k n }的通项公式为k n ＝3n ＋1.。
人教版高中数学必修五课件：第二章 数列2-4-2 等比数列的性质
【所以自主{an解2}答是】首1项.因为为1，an公=2比n-为1，4所的以等a比ann数122 列，22nn=故1 242a，n2=4n-1.
答案：an2=4n-1
2.由a4·a7=-512，得a3·a8=-512.
由
解得a3=-4，a8=128或a3=128，a8=-4(舍).
所以aaq33 =a8a
am·an=ak·al
2.等比数列的单调性
(1)当a1>0，_q_>_1_或a1<0，_0_<_q_<_1_时，{an}为递增数列. (2)当____，0<q<1或a1<0，____时，{an}为递减数列. (3)当_a_1>_0_时，{an}为常数列q.>1
q=1
1.在等比数列{an}中，a6=6，a9=9，则a3=( )
(3)若m+n=p+l(m，n，p，l∈N*)，那么aman=apal吗？ 提示：相等，aman=2m-1×2n-1=2m+n-2， apal=2p-1×2l-1=2p+l-2，因为m+n=p+l， 所以m+n-2=p+l-2，所以aman=apal.
探究2：对任意的等比数列{an}，若有m+n=p+l(m，n，p，l∈N*)， 那么aman=apal吗？ 提示：相等，设等比数列{an}的公比为q，则am=a1qm-1， an=a1qn-1，ap=a1qp-1，al=a1ql-1，aman= a1qm-1×a1qn-1=a12 qm + n-2， apal= a1qp-1×a1ql-1=a12qp + l-2， 因为m+n=p+l，所以aman=apal.
【教学资源网·世纪金榜】2017春人教A版高中数学必修五课件：第2章 数列2.4 第2课时
1 2 1 2 若 a3＝12，a7＝3，则有 3＝12×q ，∴q ＝ ，q ＝ ，q＝± . 4 2 2
4 4
∴q 的值可能有 4 个．
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第二章 数列
命题方向2 ⇨等比数列的设项技巧
已知四个数前三个成等差，后三个成等比，中间两数之积为 16，首 尾两个数之积为－128，求这四个数. 导学号 54742423
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第二章 数列
2a a [解析] 设四个数为 －a、 、a、aq， q q
2 a q ＝16 则由题意得 2a－a· aq＝－128 q
a＝8 ，解得 q＝4
a＝－8 或 q＝4
.
因此所求的四个数为－4,2,8,32 或 4，－2，－8，－32.
2
(2)若四个数成等比数列，可设为 a，aq，aq2，aq3；若四个数均为正(负)数， a a 可设 3， ，aq，aq3. q q
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第二章 数列
〔跟踪练习 2〕 导学号 54742424 (1)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去 1,1,4,13，则成等差数列，则这
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(4)若等比数列的下标具有某种规律时，应考虑应用性质求解．
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第二章 数列
〔跟踪练习 1〕 导学号 54742422
25 (1)在等比数列{an}中，已知 a7a12＝5，则 a8a9a10a11＝________.
1或64 (2){an}为等比数列，且 a1a9＝64，a3＋a7＝20，则 a11＝________.
2 [解析] 由等比数列的性质，得 a4a6＝a2 5，a2a4＝a3， 2 ∴(a3＋a5)2＝a2 ＋ 2 a a ＋ a 3 3 5 5，
高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列(二)课件 新人教A版必修5
名师点评
抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地 解决问题．
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4.an＝2n＋3n，判断数列{an}是不是等比数列？ 不是等比数列. ∵a1＝21＋31＝5，a2＝22＋32＝13，a3＝23＋33＝35， ∴a1a3≠a22， ∴数列{an}不是等比数列.
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课堂小结
1.解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法. 2.所谓通式通法，指应用通项公式，前n项和公式，等差中项，等比中 项等列出方程(组)，求出根本量. 3.巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要.
探究点2 等比数列的性质
命题角度1 序号的数字特征 例2 {an}为等比数列． (1)假设an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a23＋2a3a5＋a25 ＝(a3＋a5)2＝25， ∵an>0， ∴a3＋a5>0， ∴a3＋a5＝5.
(2)假设an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
方法二 设这四个数依次为2qa－a，aq，a，aq(q≠0)，
2qa－a＋aq＝16， 由条件得aq＋a＝12，
解得aq＝＝82，
a＝3， 或q＝13.
当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0，4，8，16；
当 a＝3，q＝13时，所求的四个数为 15，9，3，1. 故所求的四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.
2．等比数列项的运算性质 在等比数列{an}中，若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 am·an＝ ap·aq . ①特别地，当 m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝ a2k . ②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的 积 ，
高中数学新人教A版必修5第二章 2.4 第二课时 等比数列的性质
第二课时 等比数列的性质预习课本P53练习第3、4题，思考并完成以下问题 等比数列项的运算性质是什么？[新知初探] 等比数列的性质(1)若数列{a n }，{b n }是项数相同的等比数列，则{a n ·b n }也是等比数列．特别地，若{a n }是等比数列，c 是不等于0的常数，则{c ·a n }也是等比数列．(2)在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q .(3)数列{a n }是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项的积． (4)在等比数列{a n }中，每隔k 项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为q k ＋1.(5)当m ，n ，p (m ，n ，p ∈N *)成等差数列时，a m ，a n ，a p 成等比数列．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积( ) (2)当q >1时，{a n }为递增数列．( ) (3)当q ＝1时，{a n }为常数列．( )解析：(1)正确，根据等比数列的定义可以判定该说法正确． (2)错误，当q >1，a 1>0时，{a n }才为递增数列．(3)正确，当q ＝1时，数列中的每一项都相等，所以为常数列． 答案：(1)√ (2)× (3)√2．由公比为q 的等比数列a 1，a 2，…依次相邻两项的乘积组成的数列a 1a 2，a 2a 3，a 3a 4，…是( )A ．等差数列B ．以q 为公比的等比数列C ．以q 2为公比的等比数列D ．以2q 为公比的等比数列解析：选C 因为a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n ＝q 2为常数，所以该数列为以q 2为公比的等比数列．3．已知等比数列{a n }中，a 4＝7，a 6＝21，则a 8的值为( )A ．35B ．63C ．21 3D ．±21 3解析：选B ∵{a n }成等比数列． ∴a 4，a 6，a 8成等比数列∴a 26＝a 4·a 8，即a 8＝2127＝63.4．在等比数列{a n }中，各项都是正数，a 6a 10＋a 3a 5＝41，a 4a 8＝4，则a 4＋a 8＝________.解析：∵a 6a 10＝a 28，a 3a 5＝a 24， ∴a 24＋a 28＝41，又a 4a 8＝4，∴(a 4＋a 8)2＝a 24＋a 28＋2a 4a 8＝41＋8＝49，∵数列各项都是正数， ∴a 4＋a 8＝7. 答案：7等比数列的性质[典例] (1)在1与100之间插入n 个正数，使这n ＋2个数成等比数列，则插入的n 个数的积为( )A ．10nB ．n 10C ．100nD ．n 100(2)在等比数列{a n }中，a 3＝16，a 1a 2a 3…a 10＝265，则a 7等于________． [解析] (1)设这n ＋2个数为a 1，a 2，…，a n ＋1，a n ＋2， 则a 2·a 3·…·a n ＋1＝(a 1a n ＋2)n 2＝(100)n 2＝10n .(2)因为a 1a 2a 3…a 10＝(a 3a 8)5＝265，所以a 3a 8＝213， 又因为a 3＝16＝24，所以a 8＝29. 因为a 8＝a 3·q 5，所以q ＝2. 所以a 7＝a 8q ＝256.[答案] (1)A (2)256有关等比数列的计算问题，基本方法是运用方程思想列出基本量a 1和q 的方程组，先解出a 1和q ，然后利用通项公式求解．但有时运算稍繁，而利用等比数列的性质解题，却简便快捷，为了发现性质，要充分发挥项的“下标”的指导作用．[活学活用]1．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．7 B ．5 C ．－5D ．－7解析：选D 因为数列{a n }为等比数列，所以a 5a 6＝a 4a 7＝－8，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 4a 7＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝4，a 7＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4，所以q 3＝－12或q 3＝－2，故a 1＋a 10＝a 4q3＋a 7·q 3＝－7.2．在等比数列{a n }中，已知a 4a 7＝－512，a 3＋a 8＝124，且公比为整数，则a 10＝________. 解析：由a 4·a 7＝－512，得a 3·a 8＝－512.由⎩⎪⎨⎪⎧a 3·a 8＝－512，a 3＋a 8＝124， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝－4，a 8＝128或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝128，a 8＝－4.(舍去)． 所以q ＝5a 8a 3＝－2.所以a 10＝a 3q 7＝－4×(－2)7＝512. 答案：512灵活设元求解等比数列问题[典例] (1)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13成等差数列，则这四个数的和是________．(2)有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们之和为12，求这四个数．[解析] (1)设这四个数分别为a ，aq ，aq 2，aq 3，则a －1，aq －1，aq 2－4，aq 3－13成等差数列．即⎩⎪⎨⎪⎧2(aq －1)＝(a －1)＋(aq 2－4)，2(aq 2－4)＝(aq －1)＋(aq 3－13)，整理得⎩⎪⎨⎪⎧a (q －1)2＝3，aq (q －1)2＝6，解得a ＝3，q ＝2.因此这四个数分别是3,6,12,24，其和为45. [答案] 45(2)解：法一：设前三个数为aq ，a ，aq ，则a q ·a ·aq ＝216， 所以a 3＝216.所以a ＝6. 因此前三个数为6q ，6,6q . 由题意知第4个数为12q －6. 所以6＋6q ＋12q －6＝12，解得q ＝23.故所求的四个数为9,6,4,2.法二：设后三个数为4－d,4,4＋d ，则第一个数为14(4－d )2，由题意知14(4－d )2×(4－d )×4＝216，解得4－d ＝6.所以d ＝－2.故所求得的四个数为9,6,4,2.几个数成等比数列的设法(1)三个数成等比数列设为aq ，a ，aq . 推广到一般：奇数个数成等比数列设为： …a q 2，aq，a ，aq ，aq 2… (2)四个符号相同的数成等比数列设为： a q 3，aq，aq ，aq 3. 推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为： …a q 5，a q3，aq ，aq ，aq 3，aq 5… (3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为：a ，aq ，aq 2，aq 3. [活学活用]在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为( )A ．－4或352B ．4或352C ．4D ．1712解析：选B 设插入的第一个数为a ，则插入的另一个数为a 22.由a ，a 22，20成等差数列得2×a 22＝a ＋20.∴a 2－a －20＝0，解得a ＝－4或a ＝5. 当a ＝－4时，插入的两个数的和为a ＋a 22＝4.当a ＝5时，插入的两个数的和为a ＋a 22＝352.等比数列的实际应用问题[典例] 某工厂2018年1月的生产总值为a 万元，计划从2018年2月起，每月生产总值比上一个月增长m %，那么到2019年8月底该厂的生产总值为多少万元？[解] 设从2018年1月开始，第n 个月该厂的生产总值是a n 万元，则a n ＋1＝a n ＋a n m %， ∴a n ＋1a n＝1＋m %.∴数列{a n }是首项a 1＝a ，公比q ＝1＋m %的等比数列．∴a n ＝a (1＋m %)n －1.∴2019年8月底该厂的生产总值为a 20＝a (1＋m %)20－1＝a (1＋m %)19(万元)．数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：①构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式解；②通过归纳得到结论，再用数列知识求解．[活学活用] 如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝2 2.过点 A 作BC 的垂线，垂足为A 1 ；过点 A 1作 AC 的垂线，垂足为 A 2；过点A 2 作A 1C 的垂线，垂足为A 3 ；…，依此类推．设BA ＝a 1 ，AA 1＝a 2 , A 1A 2＝a 3 ，…， A 5A 6＝a 7 ，则 a 7＝________.解析：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，…，A n －1A n ＝a n ＋1＝sin π4·a n ＝22a n ＝2×⎝⎛⎭⎫22n ，故a 7＝2×⎝⎛⎭⎫226＝14. 答案：14层级一 学业水平达标1．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12D ．24解析：选A 由题意知(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.2．对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列D ．a 3，a 6，a 9成等比数列解析：选D 设等比数列的公比为q ，因为a 6a 3＝a 9a 6＝q 3，即a 26＝a 3a 9，所以a 3，a 6，a 9成等比数列．故选D.3．在正项等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7等于( )A.56B.65C.23D.32解析：选D 设公比为q ，则由等比数列{a n }各项为正数且a n ＋1<a n 知0<q <1，由a 2·a 8＝6，得a 25＝6.∴a 5＝6，a 4＋a 6＝6q＋6q ＝5. 解得q ＝26，∴a 5a 7＝1q 2＝⎝⎛⎭⎫622＝32.4．已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q 为( )A.13 B ．3 C ．±13D ．±3解析：选B 设等差数列为{a n }，公差为d ，d ≠0.则a 23＝a 2·a 6，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )·(a 1＋5d )，化简得d 2＝－2a 1d ， ∵d ≠0，∴d ＝－2a 1，∴a 2＝－a 1，a 3＝－3a 1，∴q ＝a 3a 2＝3.5．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1·a 15的值为( ) A ．100 B ．－100 C ．10 000D ．－10 000解析：选C ∵a 3a 8a 13＝a 38，∴lg(a 3a 8a 13)＝lg a 38＝3lg a 8＝6.∴a 8＝100.又a 1a 15＝a 28＝10000，故选C.6．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，成等比数列，则此未知数是________．解析：设此三数为3，a ，b ，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3＋b ，(a －6)2＝3b ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝15，b ＝27.所以这个未知数为3或27. 答案：3或277．设数列{a n }为公比q >1的等比数列，若a 4，a 5是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 6＋a 7＝________.解析：由题意得a 4＝12，a 5＝32，∴q ＝a 5a 4＝3.∴a 6＋a 7＝(a 4＋a 5)q 2＝⎝⎛⎭⎫12＋32×32＝18. 答案：188．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米．解析：这10个正方形的边长构成以2为首项，2为公比的等比数列{a n }(1≤n ≤10，n ∈N *)，则第10个正方形的面积S ＝a 210＝22·29＝211＝2 048. 答案：2 0489．在由实数组成的等比数列{a n }中，a 3＋a 7＋a 11＝28，a 2·a 7·a 12＝512，求q . 解：法一：由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 7q －4＋a 7＋a 7q 4＝28， ①a 7q －5·a 7·a 7q 5＝512， ② 由②得a 37＝512，即a 7＝8. 将其代入①得2q 8－5q 4＋2＝0.解得q 4＝12或q 4＝2，即q ＝±142或q ＝±42.法二：∵a 3a 11＝a 2a 12＝a 27， ∴a 37＝512，即a 7＝8.于是有⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 11＝20，a 3a 11＝64，即a 3和a 11是方程x 2－20x ＋64＝0的两根，解此方程得x ＝4或x ＝16.因此⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝4，a 11＝16或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝16，a 11＝4.又∵a 11＝a 3·q 8，∴q ＝±⎝⎛⎭⎫a 11a 318＝±418＝±42或q ＝±⎝⎛⎭⎫1418＝±142. 10．在正项等比数列{a n }中，a 1a 5－2a 3a 5＋a 3a 7＝36，a 2a 4＋2a 2a 6＋a 4a 6＝100，求数列{a n }的通项公式．解：∵a 1a 5＝a 23，a 3a 7＝a 25， ∴由题意，得a 23－2a 3a 5＋a 25＝36， 同理得a 23＋2a 3a 5＋a 25＝100，∴⎩⎪⎨⎪⎧ (a 3－a 5)2＝36，(a 3＋a 5)2＝100.即⎩⎪⎨⎪⎧a 3－a 5＝±6，a 3＋a 5＝10.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝2，a 5＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝8，a 5＝2.分别解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝12，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，q ＝12.∴a n ＝2n－2或a n ＝26－n .层级二 应试能力达标1．在等比数列{a n }中，T n 表示前n 项的积，若T 5＝1，则( ) A ．a 1＝1 B ．a 3＝1 C ．a 4＝1D ．a 5＝1解析：选B 由题意，可得a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝1，即(a 1·a 5)·(a 2·a 4)·a 3＝1，又a 1·a 5＝a 2·a 4＝a 23，所以a 53＝1，得a 3＝1.2．已知等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9等于( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．16解析：选C 等比数列{a n }中，a 3a 11＝a 27＝4a 7，解得a 7＝4，等差数列{b n }中，b 5＋b 9＝2b 7＝2a 7＝8.3．已知数列{a n }为等差数列，a 1，a 2，a 3成等比数列，a 1＝1，则a 2 016＝( ) A ．5B ．1C ．0D ．－1解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，则由a 1，a 2，a 3成等比数列得(1＋d )2＝1＋2d ，解得d ＝0，所以a 2 016＝a 1＝1.4．设各项为正数的等比数列{a n }中，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，则a 3·a 6·a 9·…·a 30＝( )A ．230B ．210C ．220D ．215解析：选C ∵a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，∴a 301·q1＋2＋3＋…＋29＝a 301·q29×302＝230， ∴a 1＝2－272，∴a 3·a 6·a 9·…·a 30＝a 103·(q 3)9×102＝(2－272×22)10×(23)45＝220. 5．在等比数列{a n }中，若a 7＝－2，则此数列的前13项之积等于________． 解析：由于{a n }是等比数列，∴a 1a 13＝a 2a 12＝a 3a 11＝a 4a 10＝a 5a 9＝a 6a 8＝a 27，∴a 1a 2a 3…a 13＝(a 27)6·a 7＝a 137， 而a 7＝－2.∴a 1a 2a 3…a 13＝(－2)13＝－213. 答案：－2136．已知－7，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－4，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等比数列，则a 2－a 1b 2＝________.解析：由题意，知a 2－a 1＝－1－(－7)3＝2，b 22＝(－4)×(－1)＝4.又因为b 2是等比数列中的第三项，所以b 2与第一项同号，即b 2＝－2，所以a 2－a 1b 2＝2－2＝－1. 答案：－17．已知数列{a n }为等差数列，公差d ≠0，由{a n }中的部分项组成的数列ab 1，ab 2，…，ab n ，…为等比数列，其中b 1＝1，b 2＝5，b 3＝17.求数列{b n }的通项公式．解：依题意a 25＝a 1a 17，即(a 1＋4d )2＝a 1(a 1＋16d )，所以a 1d ＝2d 2，因为d ≠0，所以a 1＝2d ，数列{ab n }的公比q ＝a 5a 1＝a 1＋4d a 1＝3，所以ab n ＝a 13n －1，①又ab n ＝a 1＋(b n －1)d ＝b n ＋12a 1，② 由①②得a 1·3n －1＝b n ＋12·a 1. 因为a 1＝2d ≠0，所以b n ＝2×3n －1－1.8．容器A 中盛有浓度为a %的农药m L ，容器B 中盛有浓度为b %的同种农药m L ，A ，B 两容器中农药的浓度差为20%(a >b )，先将A 中农药的14倒入B 中，混合均匀后，再由B倒入一部分到A 中，恰好使A 中保持m L ，问至少经过多少次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%?解：设第n 次操作后，A 中农药的浓度为a n ，B 中农药的浓度为b n ，则a 0＝a %，b 0＝b %.b 1＝15(a 0＋4b 0)，a 1＝34a 0＋14b 1＝15(4a 0＋b 0)；b 2＝15(a 1＋4b 1)，a 2＝34a 1＋14b 2＝15(4a 1＋b 1)；…；b n ＝15(a n －1＋4b n －1)，a n ＝15(4a n －1＋b n －1)．∴a n －b n ＝35(a n －1－b n －1)＝…＝35(a 0－b 0)·⎝⎛⎭⎫35n －1. ∵a 0－b 0＝15，∴a n －b n ＝15·⎝⎛⎭⎫35n .依题意知15·⎝⎛⎭⎫35n <1%，n ∈N *，解得n ≥6.故至少经过6次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%.。
高中数学人教A版必修五教学课件：第二章 《数列》 2.4 第2课时 等比数列的性质
－6 解析：a4a7＝a1· a10＝ ＝－2. 3
答案：B
3． 等比数列{an}中， 若 a9＝－2， 则此数列前 17 项之积为____________．
解析：由题意得 a1a2a3…a15a16a17 ＝(a1a17)· (a2a16)· (a3a15)· …· a9
17 17 ＝a17 9 ＝(－2) ＝－2 .
2 ∴a6 ＝a2· a10，
1 ∴a10＝162 × ＝13 122. 2
2
法三：由公式 ap· aq＝ap＋k· aq－k 得
2 a2· a10＝a2＋4· a10－4＝a6 .
1 ∴a10＝1622× ＝13 122. 2
答案：13 122
探究二
an＋1＝can＋d(c≠1，cd≠0)的递推关系
利用等比数列的性质解题 (1)基本思路：充分发挥项的 “下标”的指导作用，分析等比数列项 与项之间的关系，选择恰当的性质解题． (2)优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量．
1．在等比数列中，若 a2＝2，a6＝162，则 a10＝________.
解析：法一：∵a6＝a2q4，其中 a2＝2，a6＝162， ∴q4＝81， ∴a10＝a6q4＝162×81＝13 122. 法二：∵2,6,10 三数成等差数列， ∴a2，a6，a10 成等比数列．
－
1n－1 4n－1 n－1 第 n 个图形的周长 3 ×(3×4 )＝3×3 .
[感悟提高]
(1)解决此类问题，需要抓住变中的不变量，即数据在改
变，但其变化规律不改变，事实上，给出的图形只是问题的载体，我 们只需从“形”中抽象出“数”，即可将问题归结为等比数列．
a1＝1， 1 ∴ 或 1 q ＝ . q＝2，
高中数学 2.4.2 等比数列的性质课件 新人教A版必修5
6-2log 8 = 0,
= 2,
∴
= 11.
2 + 3log 8 = m.
故存在常数 c=2,使得对任意 n∈N*,an+logcbn 恒为常数 11.
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问题
(wèntí)导
学
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
KETANG HEZUO TANJIU
当堂(dānɡ
tánɡ)检测
三个数或四个数成等比数列的设元技巧:
(1)若三个数成等比数列,可设三个数为 a,aq,aq2 或,a,aq;
(2)若四个数成等比数列,可设 a,aq,aq2,aq3;若四个数均为正(负)数,
可设 3 , ,aq,aq3.
第 2 课时
等比数列的性质
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预习(yùxí)
引导
学习目
记住等比数列的常见性质,并会用这些性质解答一些简单的等比数
标
列问题.
重点难
重点:等比数列的性质及应用;
点
难点:对等比数列性质的理解.
已知条件进行推理,从而得出结论.
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问题(wèntí)
导学
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当堂(dānɡ
tánɡ)检测
人教版高中数学必修五-等比数列课件
【变式训练】在等比数列{an}中，已知a1= 9，an= 1，q= 2，
则n为( )
8 33
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】选C.等比数列{an}中，a1= an= q= 所以
an=a1qn-1=
所以
即n-981，=3，13n，=4.
2， 3
9 (2)n1 1， ( 2)n1 ( 2)3，
83 3
公比分别为p，q，因为 an b1 n1 an=1pbqn≠1 0，所以{an·bn}
一定是等比数列.
anbn an bn
2.令an+1+λ=2(an+λ)，与已知an+1=2an+3比较知λ=3，
所以an+1+3=2(an+3)，即 =2，
所以数列{an+3}是首项为aan11+33，公比为q=2的等比数列. an 3
A. 27
B. 45
C. 25
D. 47
2
4
2
4
2.一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三 项就成为等差数列；如果再把这个等差数列的第三项加上32， 那么所得的三项又成等比数列.求原来的等比数列.
【解题指南】1.根据前3个数成等比数列，设出这两个数，再 由后三个数成等差数列列方程求解. 2.根据三个数成等比数列，设出这三个数，再根据条件建立方 程组求解.
注意什么？
提示：根据等比数列的定义，要判断一个数列为等比数列需 要注意：(1) =q(n∈N*)为常数.
((23))比数值列中a的n为1 每同aan一n一1 项个都常不数能. 为0. an
探究3：由等比数列的定义，要判断一个数列是否为等比数列，
2017-2018学年高中数学人教A版必修5课件：2-4-2等比数
等比数列的性质
1.复习巩固等比数列的概念及其通项公式. 2.掌握等比中项的应用. 3.掌握等比数列的性质,并能解决有关问题.
1.等比数列的定义及通项公式
【做一做 1】
A.3 B.9 答案:C
1 等比数列{an}的公比 q=3,a1= , 则������5 等于( 3
).
C.27 D.81
2.等比中项 如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a 与b的等比中项,这三个数满足关系式G2=ab. 【做一做2】 已知10是a与20的等比中项,则a= . 答案:5
1.等比数列的性质 剖析已知在等比数列{an}中,首项为a1,公比为q(q≠0),则an=a1· qn-1. (1)当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时,数列{an}是递增数列;当q>1,a1<0 或0<q<1,a1>0时,数列{an}是递减数列;当q=1时,数列{an}是常数列; 当q<0时,数列{an}是摆动数列(它所有的奇数项同号,所有的偶数项 同号,但是奇数项与偶数项异号). (2)an=am· qn-m(m,n∈N*). (3)当m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)时,有am· an=ap· aq.但am+an≠ap+aq.当 2 m+n=2k(m,n,k∈N*)时,有am· an = ������������ . (4)若数列{an}是有穷数列,则与首末两项等距离的两项的积相等, 且等于首末两项之积,即a1· an=a2· an-1=a3· an-2=…=am· an-m+1.
个数,根据中间两数之积为 16,将中间两数分别设为 , ������������ , 列方程解 得a,q.这样既可使未知量减少,同时解方程也较为方便.
高中数学必修5课件：第2章2-4-2等比数列的性质
数学 必修5
第二章 数列
温故知新
1.等比数列{an}，对于任意正整数 n，都有aan＋n 1＝________.
[答案] q 2．等比数列{an}，对于任意正整数 n、m 都有aamn＝________. [答案] qn－m
数学 必修5
第二章 数列
(4){|an|}是公比为|q|的等比数列；
(5){amn }(m是整数常数)是公比为qm的等比数列．
特别地，若数列{an}是正项等比数列时，数列{a
m n
}(m是实
数常数)是公比为qm的等比数列；
(6)若{an}，{bn}分别是公比为q1，q2的等比数列，则数列 {an·bn}是公比为q1·q2的等比数列．
数学 必修5
第二章 数列
3．在等比数列{an}中，各项都是正数，a6a10＋a3a5＝41， a4a8＝4，则a4＋a8＝________.
解析： ∵a6a10＝a28，a3a5＝a24， ∴a24＋a28＝41， 又a4a8＝4， ∴(a4＋a8)2＝a24＋a28＋2a4a8＝41＋8＝49， ∵数列各项都是正数，∴a4＋a8＝7.
【错解】 因为a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根，
所以a5＋a9＝178， 又因为a7是a5，a9的等比中项， a5·a9＝1.
所以a27＝a5·a9＝1，即a7＝±1.
数学 必修5
第二章 数列
【错因】 上述解法忽视了对a7符号的讨论，由于a5，a9
均为正数且公比为q＝±
a7 a5
＝±
第二章 数列
(1)本类题目与等差数列中的形式基本类似， 但相对等差数列来说，它的运算量远远高出等差数列，特别提 出一点，对于公比q一定要根据题意进行取舍，并给出必要的 讨论和说明．