2002考研数四真题及解析

2002年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上)(1) 设常数12a ≠，则21lim ln .(12)nn n na n a →∞⎡⎤-+=⎢⎥-⎣⎦(2) 已知f (x )的一个原函数为2ln x ，则()xf x dx '=⎰.(3) 设矩阵1123-⎛⎫ ⎪⎝⎭,232B A A E =-+,则1B -=.(4) 设向量组123(,0,),(,,0), (0,,)a c b c a b ααα===,线性无关,则,,a b c 必须满足关系式.(5) 设随机变量,X Y 的联合概率密度分布为则,X Y 的相关系数ρ=.二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上有定义，在开区间(,)a b 内可导，则 ( )(A)当()()0f a f b <时，存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ=. (B)对任何(,)a b ξ∈，有lim[()()]0x f x f ξξ→-=.(C)当()()f a f b =时，存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ'=. (D)存在(,)a b ξ∈，使()()()()f b f a f b a ξ'-=-.(2) 设函数()f x 连续，则在下列变上限定积分定义的函数中,必为偶函数的是 ( )(A)0[()()]xt f t f t dt +-⎰ (B)0[()()]xt f t f t dt --⎰(C)2()xf t dt ⎰(D)20()xf t dt ⎰(3) 设,A B 为n 阶矩阵, ,A B **分别为,A B 对应的伴随矩阵,分块矩阵00A C B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则C 的伴随矩阵C *= ( )(A)00A A B B **⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭, (B)00B B A A **⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭, (C)00A B B A **⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭, (D)00B A A B **⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭(4) 设1X 和2X 是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为1()f x 和2()f x ,分布函数分别为1()F x 和2()F x ,则 ( )(A)12()()f x f x +必为某一随机变量的概率密度. (B)12()()F x F x 必为某一随机变量的分布函数. (C)12()()F x F x +必为某一随机变量的分布函数. (D)12()()f x f x 必为某一随机变量的概率密度. (5) 设随机变量12,,,n X X X 相互独立,12n n S X X X =+++则根据列维—林德柏格()LevyLindberg 中心极限定理, 当n 充分大时,n S 近似服从正态分布, 只要12,,,n X X X ( )(A) 有相同的数学期望. (B) 有相同的方差.(C) 服从同一指数分布. (D) 服从同一离散型分布.三、(本题满分5分)求极限 200arctan(1)lim(1cos )xu x t dt du x x →⎡⎤+⎢⎥⎣⎦-⎰⎰四、(本题满分7分)设函数(,,)u f x y z =有连续偏导数，且(,)z z x y =由方程x y zxe ye ze -=所确定，求du .五、(本题满分6分)设2(sin ),sin x f x x =求()x dx . 六、(本题满分7分)设闭区域22:,0.D x y y x +≤≥(,)f x y 为D 上的连续函数,且8(,)(,).Df x y f u v dudvπ=⎰⎰求(,)f x y.七、(本题满分7分)设某商品需求量Q是价格p的单调减少函数:()Q Q p=,其需求弹性2220.192ppη=>-(1) 设R为总收益函数,证明(1).dRQdpη=-(2) 求6p=时,总收益对价格的弹性,并说明其经济意义.八、(本题满分6分)设函数(),()f xg x在[,]a b上连续，且()0g x>.利用闭区间上连续函数性质，证明存在一点[,]a bξ∈，使()()()()b ba af xg x dx f g x dxξ=⎰⎰.九、(本题满分8分)设四元齐次方程组()I为1231234230,20,x x xx x x x+- =⎧⎨++-=⎩且已知另一四元齐次线性方程组()II的一个基础解系为12(2,1,2,1),(1,2,4,8)T Ta aαα=-+=-+.(1) 求方程组()I的一个基础解系;(2)当a为何值时,方程组()I与()II有非零公共解?在有非零公共解时,求出全部非零公共解.十、(本题满分8分)设实对称矩阵111111aA aa⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 求可逆矩阵P，使1P A P-为对角形矩阵,并计算行列式A E-的值.十一、(本题满分8分)设A, B 是任意二事件,其中A 的概率不等于0和1,证明：(|)(|)P B A P B A=是事件A与B独立的充分必要条件.十二、(本题满分8分)假设一设备开机后无故障工作的时间X服从指数分布，平均无故障工作的时间()E X 为5小时.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数()F y .2002年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析一、填空题 (1)【答案】112a- 【详解】ln “”里面为1∞“”型，通过凑成重要极限形式来求极限，1(12)12211limln limln 1(12)(12)nn a an n n na n a n a -⋅-→∞→∞⎡⎤⎡⎤-+=+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦(12)11lim ln 112(12)n a n a n a -→∞⎡⎤=+⎢⎥--⎣⎦11ln 1212e a a==--．(2)【答案】22ln ln x x C -+ 【详解】用分部积分法()()()()xf x dx xdf x xf x f x dx '==-⎰⎰⎰由题设知22ln ()(ln )xf x x x '==， 所以212ln ()2ln ln ln ,xf x dx dx xd x x C x===+⎰⎰⎰所以 2()()()2ln ln xf x dx xf x f x dx x x C '=-=-+⎰⎰．(3)【答案】01211⎛⎫⎪--⎝⎭【详解】1123A -⎛⎫=⎪⎝⎭，故11221A E --⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0122A E -⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以 232(2)()B A A E A E A E =-+=--110121212220-----⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦因为0B ≠，故B 可逆，()()1B E E B -→初等行变换(B 经过初等行变换化为单位矩阵的同时，单位矩阵化为1B -)[]21102001B E --⎡⎤= ⎢⎥⎣⎦2001122110⎡⎤⎢⎥--⎣⎦交换，行的顺序 2001210111⎡⎤+ ⎢⎥-⎣⎦行行1121001201112(1)⨯⎡⎤⎢⎥--⨯-⎣⎦行行故 1B -=01211⎛⎫⎪--⎝⎭．(4)【答案】0abc ≠【详解】方法1：由题设条件三个三维向量123,,ααα线性无关，则以123,,ααα为列向量的三阶矩阵的秩为3123,,0,ααα⇔≠(n 阶矩阵A 的秩等于n 的充要条件是0A ≠)1230,,00a b c a c bααα=222000000abc abc c a b =++⨯⨯-⨯-⨯-⨯2abc =故0abc ≠．方法2：123,,ααα线性无关则以123,,ααα为列向量的三阶矩阵的秩为3⇔齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数矩阵的秩小于未知数的个数，故线性齐次方程组[]112233123,,0x x x x αααααα++==只有零解．⇔当齐次方程组对应矩阵为方阵时，有123,,0(())m n A r A n ααα⨯≠=时，故 1230,,00a b c a c bααα=222000000a b c a b c c a b=++⨯⨯-⨯-⨯-⨯20abc =≠(5) 【答案】0.02-．【详解】2X 、2Y 和2X 2Y 都是01-分布，而01-分布的期望值恰为取1时的概率p ．由离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布表可得2X 的可能取值为0和1，且2Y 的可能取值也为0和1，且X 和Y 的边缘分布为{}00.070.180.150.4P X ==++=；{}10.080.320.200.6P X ==++=； {}10.070.080.15P Y =-=+=；{}00.180.320.5P Y ==+=； {}10.150.200.35P Y ==+=；故有{}{}220,00,00.18,P X Y P X Y ======{}{}{}220,10,10,10.070.150.22,P X Y P X Y P X Y =====-+===+= {}{}221,01,00.32,P X Y P X Y ======{}{}{}221,11,11,10.080.200.28,P X Y P X Y P X Y =====-+===+=而边缘分布律：{}{}2000.4P X P X ====，{}{}2110.6P X P X ====， {}{}2000.5P Y P Y ====，{}{}{}21110.150.350.5P Y P Y P Y ===-+==+=所以，22(,)X Y 的联合分布及其边缘分布为X0 10.4 0.6 Y1- 0 10.15 0.5 0.35由上表同理可求得22X Y 的分布律为所以由01-分布的期望值恰为取1时的概率p 得到：2222222222()0.5()0.60,(0.28cov ()()0.280.60.50.02E X E Y E X Y X Y E X Y E X E Y ====-=-⨯=-，）（，）（）二、选择题 (1)【答案】(B)【详解】方法1：论证法．由题设()f x 在开区间(,)a b 内可导，所以()f x 在(,)a b 内连续，因此，对于(,)a b 内的任意一点ξ，必有lim ()().x f x f ξξ→= 即有lim[()()]0x f x f ξξ→-=．故选(B)．方法2：排除法．(A)的反例：1(,]()1x a b f x x a ∈⎧=⎨-=⎩，有()1,()1,()()10f a f b f a f b =-==-<，但()f x 在(,)a b 内无零点．(C)与(D)的反例，(1,1]()11xx f x x ∈-⎧=⎨=-⎩ (1)(1)1f f -==，但()1f x '=(当(1,1)x ∈-)，不满足罗尔中值定理，当然也不满足拉格朗日中值定理的结论．故选(B)．(2)【答案】(D)【详解】对与(D)，令0()[()()]xF x t f t f t dt =+-⎰，则0()[()()]xF x t f t f t dt --=+-⎰，令t u =-，则dt du =-，所以()[()()]()[()()]xxF x t f t f t dt u f u f u du --=+-=--+-⎰⎰[()()](),xu f u f u du F x =-+=⎰所以(D)为偶函数．同理证得(A)、(C)为奇函数，而(B)不确定，如()1f t t =+．故应选(D)．(3)【答案】(D)【详解】方法1：直接算出C *因为准对角矩阵12n A A A A ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭可逆的充要条件是(1,2,,)iA i n =均可逆，且有111121n A A A A ----⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，故,A B 均可逆. 又1212n n A A A A A A A ==⋅，故1111000000A A A C C C A B B B B --*--⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭110000A B A B A A B B A B -*-*⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦故应选(D)．方法2：对四个选项逐个验算，选使2n CC C E *=(C 为22n n ⨯矩阵，故这里的单位矩阵为2n 阶方阵)成立的C *即可．对(D)有000000A B A B AA CC B A B A BB *****⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦(矩阵的乘法) 00nn A B E A B E ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(AA A E *=，BB B E *=)nn E A B E ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(提取公因子) 2n C E =(因为12nA A A 12n A A A =⋅，故C AB =)(4) 【答案】D【分析】函数()f x 成为概率密度的充要条件为：(1)()0;f x ≥ (2)() 1.f x dx +∞-∞=⎰函数()F x 成为分布函数的充要条件为：(1)()F x 单调不减；(2)lim ()0,lim ()1;x x F x F x →-∞→+∞==(3)()F x 右连续.我们可以用以上的充要条件去判断各个选项，也可以用随机变量的定义直接推导. 【详解】方法1：(A)选项不可能，因为1212[()()]()()1121f x f x dx f x dx f x dx +∞+∞+∞-∞-∞-∞+=+=+=≠⎰⎰⎰也不能选(B)，因为可取反例，令121,101,01()()0,0,x x f x f x -<<<<⎧⎧==⎨⎨⎩⎩其他其他显然12()()f x f x ，均是均匀分布的概率密度. 而12()()0f x f x =，不满足12()()1f x f x dx +∞-∞=⎰条件.(C)当然也不正确，因为12lim [()()]1121x F x F x →+∞+=+=≠根据排除法，答案应选(D).方法2：令12max(,)X X X =，显然X 也是一个随机变量. X 的分布函数为{}{}{}1212()max(,),F x P X x P X X x P X x X x =≤=≤=≤≤{}{}1212()()P X x P X x F x F x =≤≤=.(5)【答案】C ．【分析】列维—林德柏格()LevyLindberg 中心极限定理要求随机变量12,,,n X X X 相互独立、同分布且方差存在．当n 充分大时，12n n S X X X =+++才近似服从正态分布，故本题只要求验证满足同分布和方差存在的条件．【详解】方法1：当条件(C)成立时，同分布满足，方差存在也满足，因为指数分布的随机变量方差存在的，答案应选(C)． 方法2：条件(A)、(B)均不能保证12,,,n X X X 具有相同的分布．条件(D)不能保证方差的存在，根据排除法，唯一的正确选项只能是(C)．三【详解】22000003arctan(1)arctan(1)limlim 1(1cos )2xu x u x x t dt du t dt du x x x→→⎡⎤⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎰⎰⎰⎰等价无穷小202arctan(1)lim32x x t dt x →+⎰洛必达法则洛必达法则20arctan(1)2lim 3x x xx→+⋅2346ππ=⋅=．四【详解】方法1：用一阶微分形式不变性求全微分．123du f dx f dy f dz '''=++(,)z z x y =由x y z xe ye ze -=所确定，两边求全微分，有()()()()()x y z x y z d xe ye d ze d xe d ye d ze -=⇒-= x x y y z z xe dx e dx ye dy e dy ze dz e dz ⇒+--=+，解出 (1)(1),(10).(1)x y ze x dx e y dydz z e z +-+=+≠+设 所以 du =123(1)(1)(1)x y ze x dx e y dyf dx f dy f e z +-+'''++⨯+ 1323(1)(1)(1)(1)x yz ze x e yf f dx f f dy e z e z ⎡⎤⎡⎤++''''=++-⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦ 方法2：1323,u z u zf f f f x x y y∂∂∂∂''''=+=+∂∂∂∂(根据多元函数偏导数的链式法则) 下面通过隐函数求导得到z x ∂∂，zy∂∂．由x y z xe ye ze -=两边对x 求偏导数，有 (),x x z z z xe e ze e x∂+=+∂ 得x x z z z xe e x ze e ∂+=∂+，(10)z +≠设．类似可得，y yz zz ye e y ze e∂+=-∂+，代入,u u x y ∂∂∂∂表达式 1323(),()x xy yz z z z u xe e u ye e f f f f x ze ey ze e∂+∂+''''=+⋅=-⋅∂+∂+， 再代入 u udu dx dy x y∂∂=+∂∂中，得 du 1323(1)(1)(1)(1)x y z ze x e yf f dx f f dy e z e z ⎡⎤⎡⎤++''''=++-⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦．五【详解】首先要从2(sin )sin xf x x=求出()f x ． 命2sin u x =，则有sin x =x =()f u =(通过换元求出函数的表达式)arcsin ()x f x dxx == sin 2sin cos cos ttt tdt t⎰(换元积分法) sin t tdt =2⎰[]2cos sin t t tC =-++(分部积分法)2C ⎡=+⎣．六【详解】令(,),Df u v dudv A =⎰⎰于是8(,).f x y A π=把8(,)f u v A π=代入(,),Df u v dudv A =⎰⎰得8DA A dudv π⎫=⎪⎭⎰⎰8D D A dudv π=-⎰⎰． 而区域D 是以(0,12)为圆心，以12为半径的半圆面(如图所示)，所以 211228Ddudv D ππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰⎰的面积sin 20Dd πθθ ⎰⎰极坐标3sin 22201(1)3d d r πθθ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰⎰sin 322201(1)3r d θπθ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰3201(1cos )3d πθθ=-⎰32011cos 323d ππθθ=⨯-⎰22011(1sin )sin 323d ππθθ=⨯--⎰32200111sin |sin |3239πππθθ=⨯-+12(),323π=- 得到 12(),323A A π=--解得 12()623A π=- 所以42(,)().323f x y ππ=-七【分析】弹性公式：||()p dQQ p dpη=【详解】(1) 总收益()(),R p pQ p = 两端对p 求导得()()1()dR dQ p dQ Q p p Q p dp dp Q p dp ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭(1) 又因为()Q p 是p 的单调减函数，故0dQ dp<，按弹性公式有()p dQQ p dp η=-，即()p dQQ p dpη=-，代入(1)，得()(1).dRQ p dpη=- (2) 总收益R 对价格p 的弹性(1)1ER p dR pQ Ep R dp R ηη==-=-2222219231192192p p p p -=-=-- 所以670.54.13p ER Ep==≈ 经济意义：当6p =时，若价格上涨1%，则总收益将增加0.54%.八【详解】方法1：因为()f x 与()g x 在[],a b 上连续，所以存在1x 2x 使得1[,]()max ()x a b f x M f x ∈==，2[,]()min ()x a b f x m f x ∈==，满足()m f x M ≤≤．又()0g x >，故根据不等式的性质()()()()mg x f x g x Mg x ≤≤根据定积分的不等式性质有()()()(),b b baaam g x dx f x g x dx M g x dx ≤≤⎰⎰⎰所以 ()().()b abaf xg x dxm M g x dx≤≤⎰⎰由连续函数的介值定理知，存在[,]a b ξ∈，使()()()()babaf xg x dxf g x dxξ=⎰⎰即有()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰．方法2：因为()f x 与()g x 在[],a b 上连续，且()0g x >，故()()baf xg x d x⎰与()bag x dx ⎰都存在，且()0.bag x dx >⎰记()()()babaf xg x dxh g x dx=⎰⎰，于是()()()(),bbbaaaf xg x dxh g x dx hg x dx ==⎰⎰⎰即(())()0baf x hg x dx -=⎰因此必存在(,)a b ξ∈使()f h ξ=．不然，则在(,)a b 内由连续函数的零点定理知要么()f x h -恒为正，从而根据积分的基本性质得(())()0ba f x h g x dx ->⎰；要么()f x h -恒为负，同理得(())()0baf x hg x dx -<⎰，均与(())()0baf x hg x dx -=⎰不符．由此推知存在(,)a b ξ∈使()f h ξ=，从而()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰．九【详解】(1)对方程组(I)的系数矩阵作初等行变换，有：23101211A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦1212112310-⎡⎤→⎢⎥-⎣⎦交换，行的顺序21212110132-⨯-⎡⎤→⎢⎥--⎣⎦行行 系数矩阵的秩为2，故基础解系由4-2个线性无关解向量组成，选34,x x 为自由未知量，分别取3410x x ==，及3401x x ==，，求得方程组的两个线性无关解12(5,3,1,0)(3,2,0,1)T T ββ=-=-，由此可得方程组(I)的基础解系为12(5,3,1,0)(3,2,0,1)TTββ=-=-，．(2)方法1：由题设条件，根据齐次线性方程组的解的结构，方程组(II)的通解为11221221122418k k k k a a αα-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥+=+⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦1212121222(2)4(8)k k k k a k k k a k -⎡⎤⎢⎥-+⎢⎥=⎢⎥++⎢⎥++⎣⎦ (数乘运算，数与向量的每个元素相乘)； (对应元素相加)方程组(I)与(II)有非零公共解，即方程组(II)的有些解也是(I)的解，把(II)的通解表达式代入方程组(I)，整理后得112(1)0()(1)(1)0a k a k a k +=⎧*⎨+-+=⎩要使方程组(I)(II)有非零公共解，只需关于12,k k 的方程组()*有非零解．所以，当1a ≠-时，由()*知120k k ==，方程组(I)与(II)无非零公共解；当1a =-时，无论12,k k 为何值，()*恒成立，(II)的通解满足方程组(I)，即方程组(II)的全部解都是(I)的解，故1a =-时，11221221121417k k k k αα-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦是方程组(I)、(II)的全部非零公共解(12,k k 为不全为零的任意常数)．方法2：方程组(I)的通解为1122λβλβ+，(II)的通解为1122k k αα+，则方程组(I)(II)的公共解应满足11221122k k ααλβλβ+=+，即112211220k k λβλβαα+--=方程组(I)与(II)有非零公共解，即存在不全为零的1212,,,k k λλ使得上式成立，把1212,,,k k λλ看作未知数，问题转化为上式存在非零解，写成矩阵的形式11221212112253213212[,,,]0()10240118k k a k k a λλλλββαα--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥==*⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦对系数矩阵做初等变换5321321210240118a a --⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥+⎢⎥+⎣⎦122111321210240118a a +-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥→⎢⎥+⎢⎥+⎣⎦行行212111110310240118a a +-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥+⎢⎥+⎣⎦行行 121103************a a -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥+⎢⎥+⎣⎦交换，的顺序212311103011701270118a a +⨯+-⎡⎤⎢⎥⎢⎥→⎢⎥+⎢⎥+⎣⎦行行行行32421103011700100001a a ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥→⎢⎥+⎢⎥+⎣⎦行行行行 当1a ≠-时，系数矩阵的秩为4，()*只有零解，方程组(I)与(II)无非零公共解． 若1a =-时，系数矩阵的秩为2(小于未知量的个数)，故上述方程组()*有无穷多解，一定有非零解，即方程组(I)(II)有非零公共解，其同解方程组为1222123070k k k λλλ-+-=⎧⎨--=⎩，取12,k k --为自由未知量， 分别取1122,k c k c -=-=，解得2127,c c λ=--122122373k c c c λλ=-=--+124c c =--此时11221122k k ααλβλβ+=+，故1122c c αα--(或1122λβλβ+)，其中12,c c 是不同时为零的任意常数，为方程组(I)(II)的非零公共解．十【详解】矩阵A 的特征多项式111111aE A aaλλλλ----=----101131111a a aaλλλλ----+----行行 13112111a aa λλλ-------+列列112(1)(1)11aa a λλλ+-=----+(按第1行展开，其中11(1)+-中的两个1分别指(1)a λ--所在的行数和列数)(1)[()(1)2]a a a λλλ=----+-2(1)[()()2]a a a λλλ=---+-- (1)(1)(2)a a a λλλ=-----+2(1)(2)a a λλ=---+令0E A λ-=，得矩阵A 的特征值1231, 2.a a λλλ==+=-对于特征值121,a λλ==+ 由[(1))]0a E A X +-=，即1231111110111x x x --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-= ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭， 系数矩阵进行初等行变换2131111111111000111000++----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭行行行行，故1111111110001111000r r ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， 基础解系中含有2个(未知量的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解向量，同解方程组为1230x x x --=，选23,x x 为自由未知量，取231,0x x ==和230,1x x ==，可得对应的两个线性无关的特征向量T T 12(1,1,0),(1,0,1)ξξ==对于特征值32a λ=-，由[(2))]0a E A X --=，即1232111210112x x x ---⎛⎫⎛⎫⎪⎪--= ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭，系数矩阵做初等行变换211121112---⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭12112211112--⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪--⎝⎭交换，行的顺序12121203331033--⎛⎫-⨯ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭行行行-行 1213-2033000--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭行行121130113000--⎛⎫⎪⨯- ⎪ ⎪⎝⎭行，故2111211210112112000r r -----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，基础解系中含有1个(未知量的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解向量，同解方程组为12323200x x x x x --+=⎧⎨-=⎩，选3x 为自由未知量，取31x =，可得对应的特征向量T 3(1,1,1)ξ=-令矩阵123111()101,011P ξξξ-⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦有1112a P AP a a -+⎡⎤⎢⎥=Λ=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦由A 的特征值为1,1,2a a a ++-，可得A E -的特征值为,,3a a a -. n 阶矩阵的行列式等于它的n 个特征值的乘积，所以2(3).A E a a -=-十一【详解】本题涉及条件概率及独立性．应熟记有关的公式()(|)()P AB P B A P A = 及()()()P AB P A P B =； 方法1：由(|) (|)P B A P B A =()()()()()1()()P AB P AB P B P AB P A P A P A -⇔==- [][]()1()()()()P AB P A P A P B P AB ⇔-=-()()()P AB P A P B ⇔=所以，(|) (|)P B A P B A =是A 与B 独立的充分必要条件． 方法2：A 与B 独立，等价于A 与B 也独立， 由A 与B 独立有()()()(|) =().()()P AB P A P B P B A P B P A P A == 同理，,A B 独立有 (|) ()P B A P B =．总之，A 与B 独立，等价于A 与B 也独立，又等价于 ()(|)P B A P B A =．十二【详解】首先找出随机变量Y 的表达式． Y 由X 和2(小时)来确定，所以min(,2)Y X =．指数分布的X 的分布参数为 11,()5E X λ==其密度函数为： 1510()500x X ex f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩其中0λ>是参数由分布函数的定义：{}{}()min(,2)F y P Y y P X y =≤=≤(1) 当0y <时，()0Y F y =(因为{}min ,2Y X =，其中X 和2都大于0，那么小于0是不可能事件)(2) 当2y ≥时，()1Y F y =(因为{}min ,2Y X =最大也就取到2，所以小于等于2是一定发生的，是必然事件)(3) 当02y ≤<时, {}{}{}()min(,2)F y P Y y P X y P X y =≤=≤=≤115501()15x y y yX f x dx e dx e ---∞===-⎰⎰所以1500()10212y Y y F y e y y -<⎧⎪⎪=-≤<⎨⎪≥⎪⎩。