反比例函数图象与图形面积

2 ).又因 为
A(4, 2)也在双曲线 y= kx上 , 所以可把 A(4,
2)代入
y=
kx, 得
2
= k, 所以 4
k=8.
(2)由 (1)得 k=8, 从而双曲线 y= kx即
为 y= 8x.因为双曲线和正比例函数的图象都 是中心对称图形 , 所以有 OA=OB, OP =OQ,
从而四边形 APBQ是平行四边形 .
设动点 C的坐标为 C(x, y). 因为点 C在第四象限 , 则 x>0, y<0, 所以 BC = x =x, AC = y =-y. 因为 BC· AC =6, 所以 x· (-y) =6, xy=-6, 所以 y= -x6(x>0). 这就是说 , 在变化过程中 , 所有的点 C组成 双曲线 y= -x6在第四象限的一个分支 . 评注 :本题实际上是 “双曲线 的面积不变 性 ” 的逆过程 .它告诉我们 , 由与本例相类似的 长方形或三角形的面积不变可推知双曲线及其 解析式 . 三 、反比例函数图象与梯形面积 例 5 (2007年湖 北省 荆州市 )如图 6, D为反比例 函数 :y= kx(k<0)图象上 一点 .过 D作 DC⊥ y轴于 C, DE⊥ x轴于 E, 一次函数
滨州市 )如图 2, 已知 M(2, 1)、N(2, 6)两点 , 反比例函
数 y= kx的图象与线段 MN
相交 , 过反比例函数
y=
k x
图象上 任意一点 P作 y轴
的垂线 PG, G为垂足 , 则 ■OPG的面积 S的取
值范围是 .
分析 :本题的关键是先求出系数 k的变化
范围 , 然后由 k的变化范围来确定面积 S的取
值范围 .根据题意 , 图象必与线段 MN相交 .因
为 MN平行于 y轴 , 故当双曲线过点 N时 , k的
值最大 ;当双曲线过点 M时 , k的值最小 .
解 :当双曲线 y= kx过点 M(2, 1)时 , k=
2;
当双曲线 y= kx过点 N(2, 6)时 , k=12,
所以 k的变化范围是 2 ≤ k≤ 12.
从而有 S■OPE =S■OAF, 所以 S■OAP =S梯形 , PEFA 又 S■OAP =6, 所以 S梯形 PEFA =6.
欲求点 P的坐标 , 可设为 (x, 8x), 又因为
点 A的坐标为 (4, 2), 所以
AF =2, PE = 8x, EF =4 -x.
由
S梯形 PEFA
=6得
1 2
于图中梯形 DCAE已被 y轴分割成两部分矩形
DCOE和 ■OCA, 所以可得 S矩形 DCOE +S■OCA =4, 由 OC =2, OA=2易得 S■OCA =2, 从而 S矩形 DCOE =2. 由于矩形 DCOE恰好 是双曲线 的特征矩
形 ,所以
S矩形 DCOE = k =-k(因为 k<0), 从而 -k=2, k=-2. 四 、反比例函数图象与平行四边形面积
根据面积公式
S=
1 2
k , 可知 ■OPG的
面积 S的取值范围是 1 ≤ S≤ 6. 例 2 (2005年浙江

省课 改实验 区 )两个 反
比例函数
y=
3x,
y=
6 x
在第一象 限内的图 象如
图 3所示 , 点 P1 , P2 , P3 ,
…, P2005 在反比例函数 y
= 6x的图象 上 , 它们的 横坐标分别是 x1 , x2 ,
y=-x+m与 y=- 3x+ 3
2的图象都过 C点 , 与 x轴分别交于 A、B两点 . 若梯形 DCAE的面积为 4, 求 k的值 .
解析 :先分析两个一次函数的图象 .因为一
次函数 y=- 33x+2的图象交 x轴 、y轴分别 于点 B、C, 所以可把 y=0代入得
y=- 33x+2 =0,
解得 x=2 3, 从而 B点坐标为 (2 3, 0), 把 x=0代入得 y=2, 从而 C点坐标为 (0, 2),
-x+2 =0, 解得 x=2, 从而 A点坐标为 (2, 0), 所以 OA=2.接着 从条件 “梯形 DCAE的面积为 4”出发着手建立 关于 k的方程 , 若直接用梯形面积公式计算 ,
必须用 k的代数式表示线段 DC、EA的长 , 但由
于点 D的坐标未知 , 所以线段 DC、EA的长不易 表示出 , 所以考虑把梯形面积作适当的转化 .由
所以 OB =2 3, OC =2; 又因为一次函数 y=-x+m的图象也经 过 C(0, 2), 所以可把 C(0, 2)代入 y=-x+m, 得 m =2, 从而一次函数 y=-x+m即为 y =-x+2, 又因为它的图象交 x轴于点 A, 所以 可把 y=0代入 y=-x+2得
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2008年第 5期
2008年第 5期
反比例函数图象与图形面积
江苏省泰州外国语学校 (225300)于志洪
如图 1, 对于双曲线 y
= kx(k≠ 0)上 任 一 点
P(x0 , y0 ), 恒有 x0 y0 =k(k 为定值 ).
进而可知 , 过反比例函
数 y= kx图象上任一点 P(x0, y0)作 PA⊥ x轴
(A)y=-
4 x
(B)y=
8 x
(C)y=-1x6 (D)y=-
8 x
答案 :选 (D).
2.(2006 年 内江 市 中考 题 )如图 10, 反比例函数图 象上一点 A与坐标轴围成的 矩形 ABOC的面积是 8, 则该 反比 例 函数 的 解 析 式为
. 答案 :反比例函数的解
析式为 y= 8x. 3.(2006 年兰州 市中
解 :因为 A为 y= 6x的图象上的任一点 , 所 以
S矩形 AEOH =6. 故 S矩形 ABCD =4 ×6 =24, 所以总费用为 15 ×24 =360(元 ). 答 :所需钢条一共花 360元 . 例 4 (2006 年江苏省 南通市 )某 电子游戏中 , 有 一个魔幻长方形 , 它的长与 宽都可任意伸长与缩短 , 但 面积保持不变 , 都是 6.若将 此长方形放在如图 5所示的 位置 , 并且长方形在变化过 程中 OA、OB始终在 x轴 、y轴上 , 则在此变化 过程中 , 所有的点 C组成怎样的线 ?为什么 ? 分析 :设点 C的坐标为 C(x, y), 则 BC = x =x, AC = y =-y. 因为在变化过程中长方形的面积不变 , 所 以 BC· AC =6, 故 x· (-y) =6, 即 xy=-6. 解 :在变化过程中 , 所有的点 C组成双曲线 的一个分支 .理由如下 :
(AF+PE)×EF=6,
即
1 2
(2
+ 8x)×(4
-x) =6,
解得 x1 =2, x2 =-8.
由于点 P在第一象限 , 所以舍去 x2 =-8,
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数理化学习
所以 x=2, 故点 P的坐标为 (2, 4). 附练习题 1.(2006 年山东省临沂市
中考题 )如图 9, 点 A是反比例 函数图象上的一点 , 自点 A向 y 轴作垂线 , 垂足为 T, 已知 S■AOT =4, 则此反比例函数的表达式 为 ( )
形 ,而
S■AOB
=
1 2
,
所以
,
不论
k取何正数 , 总有
四边形 ABCD面积 =4S■AOB =2.
例 7 (2007 年福建省
福州市 )如图 8所示 , 已知
直线 y= 1 x与双曲线 y= 2
kx(k>0)交于 A、B两点 ,
且点 A的横坐标为 4. (1)求 k的值 ;
(2)过原点 O的另一条直线 l交 y= kx(k
例 6 (2005年浙江省 宁波市 )如图 7, 正比例函 数 y=kx(k>0)与反比
例函数 y= 1x的图象相交
于 A、C两点 , 过 A作 x轴的 垂线 , 交 x轴于 B, 过 C作
x轴的垂线 , 交 x轴于 D.
求证 :当 k取不同正数时 , 四边形 ABCD的面积 是常数 .
证 :由题意易得 , 四边形 ABCD为平行四边
>0)于 P、Q两点 (P点在第一象限 , 且 P点的 横坐标小于 4), 若由点 A、B、P、Q为顶点组成的 四边形面积为 24, 求点 P的坐标 .
解析 :(1)由于点
A在直线
y= 1 2
x上 , 且
点 A的横坐标为 4, 所以可把 x=4 代入 y=
1 x, 得 2
y=2,
从而点
A的坐标为
(4,
考 题 )如 图 11, P1 、P2 、P3 是双曲线上的三点 , 过这 三点分别 作 y轴 的垂 线 , 得 到 三 个 三 角 形 P1 A1 O、 P2 A2 O、P3 A3 O, 设它们的面 积分别是 S1 、S2 、S3 , 则 ( )
(A)S1 <S2 <S3 (B)S1 <S3 <S2 (C)S2 <S1 <S3 (D)S1 =S2 =S3 答案 :选 (D). 4.(2006年呼和浩特市中考题 )如图 12, P 是反比例函数 y= k x(k>0)的图象上的任意
于点 A, 作 PB⊥ y轴于点 B, O为坐标原点 , 则
PA=BO = y0 , PB =OA= x0 .
从而
S■OPA
=
1 2
k,
S矩形 OAPB = x0 · y0 = k . 下面我们通过几个实例 , 说明反比例函数
的上述性质在解题中的应用 .
一 、反比例函数图象与三角形面积
例 1 (2006 年山东省