极坐标方程与直角坐标的转化
极坐标方程与直角坐标方程的互化
一、极坐标方程与直角坐标方程的互化互化条件：极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，长度单位相同.互化公式：⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(tan 222x x y y x θρ θ的象限由点(x,y)所在的象限确定.例1.⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为θρcos 4=，θρsin 4-=．(I)把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程；(II)求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程．练习：曲线的极坐标方程ρ=4sin θ化成直角坐标方程为(A) x 2+(y+2)2=4 (B) x 2+(y-2)2=4(C) (x-2)2+y 2=4 (D) (x+2)2+y 2=4二、已知曲线的极坐标方程,判断曲线类型常见的直线和圆的极坐标方程及极坐标系中的旋转不变性:1、直线的极坐标方程(a>0)(1)过极点,并且与极轴成α角的直线的极坐标方程:θ=α;(2)垂直于极轴和极点间的距离为a 的直线的极坐标方程:ρcos θ=a;(3)平行于极轴和极轴间的距离为a 的直线的极坐标方程:ρsin θ=a;(4)不过极点,和极轴成α角,到极点距离为a 的直线的极坐标方程:ρsin(α-θ)=a.2、圆的极坐标方程(a>0)(1)圆心在极点,半径为a 的圆的极坐标方程: ρ=a;(2)圆心在(a,0),半径为a 的圆的极坐标方程: ρ=2acos θ;(3)圆心在(a,π),半径为a 的圆的极坐标方程: ρ=θcos 2a -;(4)圆心在(a,2π),半径为a 的圆的极坐标方程: ρ=2asin θ; (5)圆心在(a,23π),半径为a 的圆的极坐标方程: ρ=θsin 2a -; (6)圆心在(a, θ0),半径为a 的圆的极坐标方程: ρ=2acos(θ-θ0).3、极坐标系中的旋转不变性:曲线f(ρ,θ+α)=0是将曲线f(ρ,θ)=0绕极点旋转|α|角(0>α时,按顺时针方向旋转,0<α时,按逆时针方向旋转)而得到.例2．极坐标方程4ρsin 22θ=5所表示的曲线是（ ） (A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线的一支 (D)抛物线练习：极坐标方程ρ=cos(4π-θ)所表示的曲线是（ ） (A) 双曲线 (B)椭圆 (C)抛物线 (D)圆三、判断曲线位置关系例3．直线θ=α和直线ρsin(θ-α)=1的位置关系（ ）(A) 垂直 (B) 平行 (C) 相交但不垂直 (D) 重合四、根据条件求直线和圆的极坐标方程例4．在极坐标系中,如果一个圆的方程是ρ=4cos θ+6sin θ，那么过圆心且与极轴平行的直线方程是（ ）(A) ρsin θ=3 (B) ρsin θ = –3 (C) ρcos θ =2 (D) ρcos θ = –2练习：在极坐标方程中,与圆ρ=4sin θ相切的一条直线的方程是(A) ρsin θ=2 (B)ρcos θ=2 (C)ρcos θ= 4 (D) ρcos θ=- 4(答案:B)五、求曲线中点的极坐标例5．在极坐标系中，定点A(1,2π),点B 在直线0sin cos =+θρθρ上运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标是_________.练习：极坐标方程5ρ2cos2θ+ρ2-24=0所表示的曲线焦点的极坐标为_________.六、求距离例6．在极坐标系中，直线 的方程为ρsin θ=3，则点(2,6π)到直线 的距离为__________.练习：极坐标方程分别是ρ=cos θ和ρ=sin θ的两个圆的圆心距是 (A) 2 (B) 2 (C) 1 (D)22七、判定曲线的对称性例7．在极坐标系中,曲线ρ= 4sin(θ-3π)关于 (A) 直线θ=3π轴对称 (B)直线θ=65π轴对称 (C) 点(2, 3π)中心对称 (D)极点中心对称八、求三角形面积例8．在极坐标系中,O 是极点，设点A(4,3π)，B(5,65π-)，则△OAB 的面积是 .欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。
极坐标方程与直角坐标方程的互化
极坐标方程与直角坐标方程的互化一、引言极坐标和直角坐标是两种常用的描述平面上点位置的方式。
在数学和物理学中，这两种坐标系都有广泛的应用。
本文将介绍极坐标方程与直角坐标方程之间的互化关系。
二、极坐标系和直角坐标系的定义1. 极坐标系极坐标是一种描述平面上点位置的方式，它使用极径和极角来表示点在平面上的位置。
其中，极径表示点到原点的距离，而极角表示该点与正半轴之间的夹角。
通常用符号(r,θ)表示一个点在极坐标系中的位置。
2. 直角坐标系直角坐标系是一种描述平面上点位置的方式，它使用x轴和y轴上的数值来表示点在平面上的位置。
通常用符号(x,y)表示一个点在直角坐标系中的位置。
三、从直角坐标系到极坐标系1. 由(x,y)求(r,θ)要将一个点从直角坐标系转换为极坐标系，需要求出该点到原点的距离r和该点与正半轴之间的夹角θ。
其中，r可以通过勾股定理求得：r = √(x² + y²)而θ可以通过反三角函数求得：θ = arctan(y/x) (当x>0时)θ = arctan(y/x) + π (当x<0,y≥0时)θ = arctan(y/x) - π (当x<0,y<0时)θ = π/2 (当x=0,y>0时)θ = -π/2 (当x=0,y<0时)θ = 未定义 (当x=0,y=0时)2. 由(r,θ)求(x,y)要将一个点从极坐标系转换为直角坐标系，需要求出该点在x轴和y 轴上的坐标值。
其中，x可以通过余弦函数求得：x = r cos(θ)而y可以通过正弦函数求得：y = r sin(θ)四、从极坐标系到直角坐标系1. 由(r,θ)求(x,y)同样地，要将一个点从极坐标系转换为直角坐标系，也需要求出该点在x轴和y轴上的坐标值。
其中，x可以通过余弦函数求得：x = r cos(θ)而y可以通过正弦函数求得：y = r sin(θ)2. 由(x,y)求(r,θ)同样地，要将一个点从直角坐标系转换为极坐标系，也需要求出该点到原点的距离r和该点与正半轴之间的夹角θ。
极坐标方程与直角坐标方程的转换
极坐标方程与直角坐标方程的转换在数学中，极坐标和直角坐标是描述平面上点位置的两种不同方式。
极坐标是以点到原点的距离和点与正向 x 轴的夹角来描述点的位置，而直角坐标是以点在平面上的横纵坐标来描述点的位置。
在实际问题中，有时会需要将极坐标方程转换成直角坐标方程，或者将直角坐标方程转换成极坐标方程。
本文将围绕极坐标方程与直角坐标方程的转换进行深入探讨。
1. 极坐标方程与直角坐标方程的基本关系极坐标方程和直角坐标方程是描述平面上点位置的两种方式，它们之间有着基本的关系。
以极坐标到直角坐标的转换为例，记点在极坐标下的坐标为(r, θ)，在直角坐标下的坐标为(x, y)。
那么根据三角函数的定义，可以得到以下关系：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)反之，若已知点在直角坐标下的坐标(x, y)，则可以通过以下公式转换为极坐标：r = sqrt(x^2 + y^2)θ = arctan(y / x)这些基本的关系，为极坐标方程与直角坐标方程的转换奠定了基础。
2. 极坐标方程转换为直角坐标方程对于给定的极坐标方程，要将其转换为直角坐标方程，关键是利用极坐标到直角坐标的基本关系。
举例来说，假设有极坐标方程为r = 2cos(θ)，要将其转换为直角坐标方程。
首先利用之前提到的公式：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)代入r = 2cos(θ)，则可得：x = 2cos(θ) * cos(θ) = 2cos^2(θ)y = 2cos(θ) * sin(θ)这样就得到了极坐标方程r = 2cos(θ) 对应的直角坐标方程。
3. 直角坐标方程转换为极坐标方程与将极坐标方程转换为直角坐标方程类似，将直角坐标方程转换为极坐标方程也是利用极坐标到直角坐标的基本关系。
举例来说，假设有直角坐标方程为 x^2 + y^2 = 4，要将其转换为极坐标方程。
利用之前提到的公式：r = sqrt(x^2 + y^2)代入 x^2 + y^2 = 4，则可得：r = sqrt(4) = 2这样就得到了直角坐标方程 x^2 + y^2 = 4 对应的极坐标方程。
极坐标方程与直角坐标方程怎么互化的
极坐标方程与直角坐标方程怎么互化的在数学中，极坐标和直角坐标是两种常用的坐标系。
它们在描述平面上的点、图形和曲线方程时具有不同的表达方式。
在某些情况下，我们需要在两种坐标系之间进行转换，以便更方便地求解和分析问题。
而将极坐标方程和直角坐标方程互相转化是一种常见的转换方式。
本文将介绍如何互化极坐标方程和直角坐标方程。
一、从极坐标转换为直角坐标在极坐标系中，一个点的位置由极径（r）和极角（θ）共同确定。
我们可以通过以下公式将极坐标转换为直角坐标：•x = r * cos(θ)•y = r * sin(θ)其中，x和y分别表示直角坐标系下的点的坐标。
使用这两个公式，我们可以将给定的极坐标转换为直角坐标。
例如，如果我们有一个极径r=3和极角θ=π/4，我们可以使用上述公式计算出对应的直角坐标为：•x = 3 * cos(π/4) = 3 * √2 / 2 = √2 * 3 / 2•y = 3 * sin(π/4) = 3 * √2 / 2 = √2 * 3 / 2因此，原来的极坐标(3,π/4)在直角坐标系下的表示为(√2 * 3 / 2, √2 * 3 / 2)。
二、从直角坐标转换为极坐标同样地，我们也可以通过一些公式将直角坐标转换为极坐标。
给定一个点在直角坐标系下的坐标(x, y)，我们可以使用以下公式将其转换为极坐标：•r = √(x^2 + y^2)•θ = arctan(y / x)其中，r表示点到原点的距离，θ表示点与x轴正向的夹角。
通过这两个公式，我们可以将给定的直角坐标转换为极坐标。
例如，如果我们有一个点在直角坐标系下的坐标为(√2 * 3 / 2, √2 * 3 / 2)，我们可以使用上述公式计算出对应的极坐标为：•r = √((√2 * 3 / 2)^2 + (√2 * 3 / 2)^2) = √(9/2 + 9/2) = √(9 + 9) = √18•θ = arctan((√2 * 3 / 2) / (√2 * 3 / 2)) = arctan(1) = π/4因此，原来的直角坐标(√2 * 3 / 2, √2 * 3 / 2)在极坐标系下的表示为(√18, π/4)。
直角坐标方程和极坐标方程的转化
直角坐标方程和极坐标方程的转化简介直角坐标方程和极坐标方程是数学中常见的两种坐标系表示方式。
直角坐标系使用x和y轴来表示一个平面上的点的位置，而极坐标系使用极径和极角来表示。
在某些情况下，我们需要将直角坐标方程转化为极坐标方程，或者将极坐标方程转化为直角坐标方程，以便更方便地进行计算。
直角坐标方程转化为极坐标方程步骤一：将直角坐标转化为极坐标1.设直角坐标系上的点的坐标为(x, y)。
2.计算极径r：r = √(x² + y²)。
3.计算极角θ：θ = arctan(y / x)。
步骤二：写出极坐标方程将极径和极角用圆括号括起来，构成极坐标方程。
极坐标方程一般表示为(r, θ)。
举例说明假设有一个直角坐标系上的点P(3, 4)，要将其转化为极坐标方程。
1. 计算极径r：r = √(3² + 4²) = 5。
2. 计算极角θ：θ = arctan(4 / 3) ≈ 0.93弧度。
3. 极坐标方程为(5, 0.93)。
极坐标方程转化为直角坐标方程步骤一：将极坐标转化为直角坐标1.设极坐标系上的点的极径为r，极角为θ。
2.计算x坐标：x = r * cos(θ)。
3.计算y坐标：y = r * sin(θ)。
步骤二：写出直角坐标方程将x和y坐标用圆括号括起来，构成直角坐标方程。
直角坐标方程一般表示为(x, y)。
举例说明假设有一个极坐标系上的点Q(5, 0.93)，要将其转化为直角坐标方程。
1. 计算x坐标：x = 5 * cos(0.93) ≈ 3。
2. 计算y坐标：y = 5 * sin(0.93) ≈ 4。
3. 直角坐标方程为(3, 4)。
应用场景将直角坐标方程转化为极坐标方程或将极坐标方程转化为直角坐标方程在数学和物理学中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1.物理学中的极坐标方程可以更方便地描述圆形运动、天体运动等问题。
2.对于某些曲线，极坐标方程可能更简单，而直角坐标方程比较复杂。
极坐标方程与直角坐标方程的互化公式
极坐标方程与直角坐标方程的互化公式1. 引言在数学中，坐标系是描述空间中点位置的一种方式。
直角坐标系是最常见的坐标系，也被称为笛卡尔坐标系。
而极坐标系则是另一种常用的坐标系，它通过径向和极角来描述点的位置。
本文将介绍极坐标方程与直角坐标方程之间的互化公式。
2. 极坐标方程与直角坐标方程2.1 极坐标方程在极坐标系中，点的位置由半径和极角来确定。
半径表示点到原点的距离，极角表示点与正半轴的夹角。
一个点的极坐标可以表示为(r, θ)，其中r是非负实数，表示点到原点的距离，θ是弧度制的角度，表示点与正半轴的夹角。
在极坐标系中，可以用以下极坐标方程来表示曲线:r = f(θ)其中f(θ)是一个关于θ的函数，描述了曲线的形状。
2.2 直角坐标方程直角坐标系使用x和y轴来描述点的位置，点的坐标表示为(x, y)。
对于一个点的直角坐标方程，可以通过以下公式进行转换:x = r * cos(θ) y = r * sin(θ)其中，r是点到原点的距离，θ是点与正半轴的夹角。
3. 极坐标方程到直角坐标方程的转换公式极坐标方程可以通过转换成直角坐标方程来描述同一曲线的形状。
根据上述的直角坐标方程，可以得到以下转换公式:x = r * cos(θ) y = r * sin(θ)其中，r是极坐标方程中的半径，θ是极坐标方程中的极角。
4. 直角坐标方程到极坐标方程的转换公式直角坐标方程也可以通过转换成极坐标方程来描述同一曲线的形状。
通过对转换公式进行逆运算，可以得到以下转换公式:r = sqrt(x^2 + y^2) θ = arctan(y / x)其中，x和y是直角坐标方程中的坐标，r是极坐标方程中的半径，θ是极坐标方程中的极角。
5. 举例说明下面通过一个具体的例子来说明极坐标方程和直角坐标方程之间的转换关系。
考虑一个圆形曲线的方程r = 1，我们将使用这个方程进行转换。
通过直角坐标方程转换到极坐标方程:对于x = r * cos(θ)，代入r = 1，得到x = cos(θ) 对于y = r * sin(θ)，代入r = 1，得到y = sin(θ)因此，r = 1的直角坐标方程可以转换为极坐标方程x = cos(θ)，y = sin(θ)。
1.2.4极坐标方程与直角坐标方程的互化
设M( , )为直线上的任意一点， 将x cos , y sin代入直线方程
2x y 7 0得
2 cos sin 7 0这就是所求的极坐标方程
2、极坐标方程sin 1 ( R)表示的曲线是A
3 A、两条相交的直线 B、两条射线
答案 C
点击2 极坐标方程与直角坐标方程的互化 【例2】 (2010·广东高考)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲
线ρ(cos θ＋sin θ)＝1与ρ(sin θ－cos θ)＝1的交点的极坐标 为________．
解析 曲线 ρ(cos θ＋sin θ)＝1 与 ρ(sin θ－cos θ)＝
代入
所给的直角坐标方程中，得
(1)2cos 6sin 1 0
(2)2 cos2 2 sin2 25
化简得 2 cos 2 25
1、求过A(2,3)且斜率为2 的直线的极坐标方程。
解 ： 由 题 意 可 知 ， 在 直角 坐 标 系 内 直 线 方 程 为
王新敞 wxckt@ 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@
y2
y0
2.若两条曲线的极坐标方程分别为 1 与
2 cos ,它们相交于 A, B 两点,求线段
3
AB的长．
1 的直角坐标方程分别为 x＋y＝1 和 y－x＝1，两条直线 的交点的直角坐标为(0，1)，化为极坐标为1，π2 .
答案
1，π2
例4.把下列的直角坐标方程化为极坐标方程
(1)2x+6y-1=0
ห้องสมุดไป่ตู้(2)x2 -y2=25
极坐标方程与直角坐标方程之间的转换公式
极坐标方程与直角坐标方程之间的转换公式引言在数学中，极坐标系和直角坐标系是常用的两种坐标系。
它们分别通过极坐标方程和直角坐标方程来描述平面上的点的位置。
而在实际问题中，有时我们需要在两个坐标系之间进行转换。
本文将介绍极坐标方程和直角坐标方程之间的转换公式。
极坐标系的定义与公式极坐标系是通过一个有向线段和一个非负实数来描述平面上的点的位置。
对于极坐标系中的一个点 P，其坐标用(r, θ) 表示，其中 r 表示点 P 到原点 O 的距离，θ 表示从 x 轴正半轴到 OP 的角度，逆时针方向为正。
在极坐标系中，点 P 的直角坐标可以通过以下公式计算得到： - x = r * cos(θ) -y = r * sin(θ)直角坐标系的定义与公式直角坐标系是在平面上通过两个垂直坐标轴来描述点的位置。
对于直角坐标系中的一个点 Q，其坐标用 (x, y) 表示，其中 x 表示点 Q 在 x 轴上的投影，y 表示点Q 在 y 轴上的投影。
在直角坐标系中，点 Q 的极坐标可以通过以下公式计算得到： - r = √(x^2 +y^2) - θ = arctan(y / x)极坐标方程到直角坐标方程的转换已知某个点 P 在极坐标系中的坐标为(r, θ)，我们可以通过前述的公式将其转换为直角坐标系中的坐标 (x, y)： - x = r * cos(θ) - y = r * sin(θ)直角坐标方程到极坐标方程的转换对于直角坐标系中的一个点 Q，其坐标为 (x, y)，我们可以通过前述的公式将其转换为极坐标系中的坐标(r, θ)： - r = √(x^2 + y^2) - θ = arctan(y / x)需要注意的是，在进行直角坐标方程到极坐标方程的转换时，要特别注意点 Q的坐标 (x, y) 是否在特殊情况下，例如 x = 0 或 y = 0，此时需要额外讨论。
总结极坐标方程和直角坐标方程是描述平面上点位置的两种常用形式。