极坐标和直角坐标的互化
极坐标方程与直角坐标方程的互化
一、极坐标方程与直角坐标方程的互化互化条件：极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，长度单位相同.互化公式：⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(tan 222x x y y x θρ θ的象限由点(x,y)所在的象限确定.例1.⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为θρcos 4=，θρsin 4-=．(I)把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程；(II)求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程．练习：曲线的极坐标方程ρ=4sin θ化成直角坐标方程为(A) x 2+(y+2)2=4 (B) x 2+(y-2)2=4(C) (x-2)2+y 2=4 (D) (x+2)2+y 2=4二、已知曲线的极坐标方程,判断曲线类型常见的直线和圆的极坐标方程及极坐标系中的旋转不变性:1、直线的极坐标方程(a>0)(1)过极点,并且与极轴成α角的直线的极坐标方程:θ=α;(2)垂直于极轴和极点间的距离为a 的直线的极坐标方程:ρcos θ=a;(3)平行于极轴和极轴间的距离为a 的直线的极坐标方程:ρsin θ=a;(4)不过极点,和极轴成α角,到极点距离为a 的直线的极坐标方程:ρsin(α-θ)=a.2、圆的极坐标方程(a>0)(1)圆心在极点,半径为a 的圆的极坐标方程: ρ=a;(2)圆心在(a,0),半径为a 的圆的极坐标方程: ρ=2acos θ;(3)圆心在(a,π),半径为a 的圆的极坐标方程: ρ=θcos 2a -;(4)圆心在(a,2π),半径为a 的圆的极坐标方程: ρ=2asin θ; (5)圆心在(a,23π),半径为a 的圆的极坐标方程: ρ=θsin 2a -; (6)圆心在(a, θ0),半径为a 的圆的极坐标方程: ρ=2acos(θ-θ0).3、极坐标系中的旋转不变性:曲线f(ρ,θ+α)=0是将曲线f(ρ,θ)=0绕极点旋转|α|角(0>α时,按顺时针方向旋转,0<α时,按逆时针方向旋转)而得到.例2．极坐标方程4ρsin 22θ=5所表示的曲线是（ ） (A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线的一支 (D)抛物线练习：极坐标方程ρ=cos(4π-θ)所表示的曲线是（ ） (A) 双曲线 (B)椭圆 (C)抛物线 (D)圆三、判断曲线位置关系例3．直线θ=α和直线ρsin(θ-α)=1的位置关系（ ）(A) 垂直 (B) 平行 (C) 相交但不垂直 (D) 重合四、根据条件求直线和圆的极坐标方程例4．在极坐标系中,如果一个圆的方程是ρ=4cos θ+6sin θ，那么过圆心且与极轴平行的直线方程是（ ）(A) ρsin θ=3 (B) ρsin θ = –3 (C) ρcos θ =2 (D) ρcos θ = –2练习：在极坐标方程中,与圆ρ=4sin θ相切的一条直线的方程是(A) ρsin θ=2 (B)ρcos θ=2 (C)ρcos θ= 4 (D) ρcos θ=- 4(答案:B)五、求曲线中点的极坐标例5．在极坐标系中，定点A(1,2π),点B 在直线0sin cos =+θρθρ上运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标是_________.练习：极坐标方程5ρ2cos2θ+ρ2-24=0所表示的曲线焦点的极坐标为_________.六、求距离例6．在极坐标系中，直线 的方程为ρsin θ=3，则点(2,6π)到直线 的距离为__________.练习：极坐标方程分别是ρ=cos θ和ρ=sin θ的两个圆的圆心距是 (A) 2 (B) 2 (C) 1 (D)22七、判定曲线的对称性例7．在极坐标系中,曲线ρ= 4sin(θ-3π)关于 (A) 直线θ=3π轴对称 (B)直线θ=65π轴对称 (C) 点(2, 3π)中心对称 (D)极点中心对称八、求三角形面积例8．在极坐标系中,O 是极点，设点A(4,3π)，B(5,65π-)，则△OAB 的面积是 .欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。
极坐标与直角坐标的互化推导公式
极坐标与直角坐标的互化推导公式在数学中，极坐标和直角坐标是两种不同的坐标系，它们可以互相转换并描述同一点的位置。
下面将通过推导公式，介绍极坐标与直角坐标之间的转换关系。
极坐标与直角坐标的基本概念首先，我们先来了解一下极坐标和直角坐标的基本概念。
•极坐标：极坐标使用极径和极角来表示平面上的点的位置。
其中，极径表示点到原点的距离，极角表示点与正半轴之间的角度。
•直角坐标：直角坐标使用横坐标和纵坐标来表示平面上的点的位置。
其中，横坐标表示点在 x 轴上的投影，纵坐标表示点在 y 轴上的投影。
极坐标转直角坐标接下来，我们将推导出将极坐标转换为直角坐标的公式。
设点 P 在极坐标系中的坐标为(r, θ)，在直角坐标系中的坐标为 (x, y)。
利用三角函数的关系可得：$$x = r \\cos(\\theta)$$$$y = r \\sin(\\theta)$$这两个公式将极坐标系中的点的坐标转换为直角坐标系中的坐标。
直角坐标转极坐标同样地，我们也可以推导出将直角坐标转换为极坐标的公式。
设点 P 在直角坐标系中的坐标为 (x, y)，在极坐标系中的坐标为(r, θ)。
利用三角函数的反函数可得：$$r = \\sqrt{x^2 + y^2}$$$$\\theta = \\arctan\\left(\\frac{y}{x}\\right)$$这两个公式将直角坐标系中的点的坐标转换为极坐标系中的坐标。
推导过程下面，我们将推导出上述的转换公式。
极坐标转直角坐标首先，考虑直角三角形 OPX，如下图所示：|| O|-----------|-----r | x||P根据三角函数的定义，我们可以得到：$$\\cos(\\theta) = \\frac{x}{r}$$$$\\sin(\\theta) = \\frac{y}{r}$$将上面两个等式进行整理，可以得到：$$x = r \\cos(\\theta)$$$$y = r \\sin(\\theta)$$这就是将极坐标转换为直角坐标的公式。
直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化关系是什么
直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化关系是什么直线是几何学中最基本的图形之一，它可以通过不同的数学表示方式来描述。
其中，直角坐标系和极坐标系是两种常用的坐标系统。
直线的极坐标方程和直角坐标方程之间存在互化关系，通过相互转换可以方便地描述直线的性质和特征。
本文将介绍直线的极坐标方程和直角坐标方程，并探讨它们之间的转换关系。
直角坐标系直角坐标系是最常见的坐标系统，由两个垂直的坐标轴组成，分别为 x 轴和 y 轴。
坐标轴的交点称为原点（0, 0），x 轴正向为右，y 轴正向为上。
直角坐标系中，可以使用坐标对 (x, y) 来表示一个点的位置，其中 x 表示横坐标，y 表示纵坐标。
直线在直角坐标系中可以用一般式方程表示：Ax + By + C = 0其中 A、B、C 为常数，代表直线的性质和位置。
极坐标系极坐标系是另一种常用的坐标系统，它由极轴和极角组成。
极轴是一条从原点出发的直线，极角是该直线与 x 轴的夹角。
极角通常用θ（theta）表示。
极坐标系中，可以使用坐标对(r, θ) 来表示一个点的位置，其中 r 表示点到原点的距离，θ表示点与正极轴的夹角。
同样，在极坐标系中，直线可以通过方程表示：r = p / (cos(θ - α))其中 p 为直线到原点的距离，α 为直线与正极轴的夹角。
极坐标方程与直角坐标方程的互化关系直线的极坐标方程和直角坐标方程之间存在互化关系，可以相互转换。
极坐标方程转直角坐标方程进行极坐标方程转换时，我们需要把极坐标系转换为直角坐标系。
由于极坐标系中的点与直角坐标系中的点之间存在一一对应的关系，我们可以通过以下公式将极坐标方程转换为直角坐标方程：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)其中，x 和 y 分别为直角坐标系中的横纵坐标，r 和θ 分别为极坐标系中的极径和极角。
将极坐标方程r = p / (cos(θ - α)) 转换为直角坐标方程，可以得到：x * cos(θ) + y * sin(θ) = p / cos(α)此为直线在直角坐标系中的一般式方程。
极坐标方程与直角坐标方程的互化
极坐标方程与直角坐标方程的互化一、引言极坐标和直角坐标是两种常用的描述平面上点位置的方式。
在数学和物理学中，这两种坐标系都有广泛的应用。
本文将介绍极坐标方程与直角坐标方程之间的互化关系。
二、极坐标系和直角坐标系的定义1. 极坐标系极坐标是一种描述平面上点位置的方式，它使用极径和极角来表示点在平面上的位置。
其中，极径表示点到原点的距离，而极角表示该点与正半轴之间的夹角。
通常用符号(r,θ)表示一个点在极坐标系中的位置。
2. 直角坐标系直角坐标系是一种描述平面上点位置的方式，它使用x轴和y轴上的数值来表示点在平面上的位置。
通常用符号(x,y)表示一个点在直角坐标系中的位置。
三、从直角坐标系到极坐标系1. 由(x,y)求(r,θ)要将一个点从直角坐标系转换为极坐标系，需要求出该点到原点的距离r和该点与正半轴之间的夹角θ。
其中，r可以通过勾股定理求得：r = √(x² + y²)而θ可以通过反三角函数求得：θ = arctan(y/x) (当x>0时)θ = arctan(y/x) + π (当x<0,y≥0时)θ = arctan(y/x) - π (当x<0,y<0时)θ = π/2 (当x=0,y>0时)θ = -π/2 (当x=0,y<0时)θ = 未定义 (当x=0,y=0时)2. 由(r,θ)求(x,y)要将一个点从极坐标系转换为直角坐标系，需要求出该点在x轴和y 轴上的坐标值。
其中，x可以通过余弦函数求得：x = r cos(θ)而y可以通过正弦函数求得：y = r sin(θ)四、从极坐标系到直角坐标系1. 由(r,θ)求(x,y)同样地，要将一个点从极坐标系转换为直角坐标系，也需要求出该点在x轴和y轴上的坐标值。
其中，x可以通过余弦函数求得：x = r cos(θ)而y可以通过正弦函数求得：y = r sin(θ)2. 由(x,y)求(r,θ)同样地，要将一个点从直角坐标系转换为极坐标系，也需要求出该点到原点的距离r和该点与正半轴之间的夹角θ。
极坐标方程与直角坐标方程互化
互化条件 ：
（1）以原点作为极点,x轴的 正半轴作为极轴 （2）两种坐标系中取相 同的长度单位
ρ
θ
点M的直角坐标为（x，y） 设点M的极坐标为(ρ，θ)
X =ρcosθ, y =ρsinθ
y x y , tan ( x 0) x
2 2 2
1.进行直角坐标方程与极坐标方程互化
a=-8或2
sin 3，则点（ ， ）到直线l的距离是＿＿＿ 2 2
6. 2010广东）在极坐标系（ ，）（0 2）中， （ . 标为
直线（cos sin） 1与（sin - cos）交点的极坐
＿＿＿＿
7. 2008广东）已知曲线 1，C2的极坐标方程分别为： （ . C
（， ） 1 2
（ 极坐标为 2 3， ） ＿＿＿＿ 6
cos 3， 4cos（0 ）则两曲线交点的
2
8. 2009.辽宁）在直角坐标系 中，x正半轴为 （ xoy 极轴建立极坐标系。曲 C的极坐标方程为 线
3 （1 ）写出C的直角坐标方程，并求n 4cos 1 2 2 （2）y x - 2x -1 0 （2） 2 - 2cos -1 0 （3） 3 （3）y 3x（x 0）
2
1 2 2 （6） （6）x 4y - 2x -1 0 3 2 - cos
cos（ - ） 1，M , N分别为C与x轴，y轴的交点。
（2）设MN的中点为p，求直线op的极坐标方程
2 3 （ ）x 3y 2 M(2,0) N（ 1 ，） 3 2
（2）
6
1 4）y 2 -4 x -1 （ （ ） 2 2 2 2 （5） cos2 4 （5）x - y 4
极坐标方程与直角坐标方程的互化公式
极坐标方程与直角坐标方程的互化公式1. 引言在数学中，坐标系是描述空间中点位置的一种方式。
直角坐标系是最常见的坐标系，也被称为笛卡尔坐标系。
而极坐标系则是另一种常用的坐标系，它通过径向和极角来描述点的位置。
本文将介绍极坐标方程与直角坐标方程之间的互化公式。
2. 极坐标方程与直角坐标方程2.1 极坐标方程在极坐标系中，点的位置由半径和极角来确定。
半径表示点到原点的距离，极角表示点与正半轴的夹角。
一个点的极坐标可以表示为(r, θ)，其中r是非负实数，表示点到原点的距离，θ是弧度制的角度，表示点与正半轴的夹角。
在极坐标系中，可以用以下极坐标方程来表示曲线:r = f(θ)其中f(θ)是一个关于θ的函数，描述了曲线的形状。
2.2 直角坐标方程直角坐标系使用x和y轴来描述点的位置，点的坐标表示为(x, y)。
对于一个点的直角坐标方程，可以通过以下公式进行转换:x = r * cos(θ) y = r * sin(θ)其中，r是点到原点的距离，θ是点与正半轴的夹角。
3. 极坐标方程到直角坐标方程的转换公式极坐标方程可以通过转换成直角坐标方程来描述同一曲线的形状。
根据上述的直角坐标方程，可以得到以下转换公式:x = r * cos(θ) y = r * sin(θ)其中，r是极坐标方程中的半径，θ是极坐标方程中的极角。
4. 直角坐标方程到极坐标方程的转换公式直角坐标方程也可以通过转换成极坐标方程来描述同一曲线的形状。
通过对转换公式进行逆运算，可以得到以下转换公式:r = sqrt(x^2 + y^2) θ = arctan(y / x)其中，x和y是直角坐标方程中的坐标，r是极坐标方程中的半径，θ是极坐标方程中的极角。
5. 举例说明下面通过一个具体的例子来说明极坐标方程和直角坐标方程之间的转换关系。
考虑一个圆形曲线的方程r = 1，我们将使用这个方程进行转换。
通过直角坐标方程转换到极坐标方程:对于x = r * cos(θ)，代入r = 1，得到x = cos(θ) 对于y = r * sin(θ)，代入r = 1，得到y = sin(θ)因此，r = 1的直角坐标方程可以转换为极坐标方程x = cos(θ)，y = sin(θ)。
曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
问题2：在极坐标系中，以极点O为圆心, 1为半径的圆 的方程是什么？
1
问题3：这两个方程可以互化吗？ 可以
【例1】指出下列方程所表示的曲线的形状.
(1)ρcos(θ- )=2; (2)ρ2cos2θ=3;
3
(3)ρ2-3ρcosθ+6ρsinθ-5=0; (4)ρ= 2 .
1 sin
C. 2(sin cos ) D. 2(sin cos )
3 ________. 答案 : 3
2
课堂小结：
1、将直角坐标方程化成极坐标方程，只要将 x = ρcos θ，y = ρsin θ代入再化简即可
2、将极坐标方程化为直角坐标方程,可将方 程化成 ρcos θ，ρsin θ 和ρ2的形式,再 分别替换成 x，y，x2 +y2，有时要两边先乘 以ρ ；
§2.4曲线的极坐标方程与直 角坐标方程的互化(x, y)，极坐标是 (ρ,θ)
x=ρcosθ, y=ρsinθ
2 x2 y2 , tan y ( x 0)
x
通常情况下，将点的直角坐标, 化为极
坐标时，取 0, 0,
问题1：在直角坐标系中，以原点O为圆心, 1为半径的 圆的方程是什么？
(5) sin 3cos
练习：把极坐标方程化为直角坐标方程
(1) ρsin（θ π） 2 42
(2) ρ2cosθ ρ 0
(3)
ρ
4 2－cosθ
(4)4ρsin2 θ 5； 2
(5) ρ 4 4 2sinθ； ρ
例2、将下列曲线的方程直角坐标 化为极坐标方程
(1) x y 2 0 (2) x2 y2 2ax 0
1.极坐标方程 sin2 2 cos 0表示的曲线是_抛__物_线_ 2.极坐标方程 4sin2 3所表示的曲线是（ B ） A.两条射线 B.两条相交直线 C.圆 D.抛物线
1.2.4极坐标方程与直角坐标方程的互化
设M( , )为直线上的任意一点， 将x cos , y sin代入直线方程
2x y 7 0得
2 cos sin 7 0这就是所求的极坐标方程
2、极坐标方程sin 1 ( R)表示的曲线是A
3 A、两条相交的直线 B、两条射线
答案 C
点击2 极坐标方程与直角坐标方程的互化 【例2】 (2010·广东高考)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲
线ρ(cos θ＋sin θ)＝1与ρ(sin θ－cos θ)＝1的交点的极坐标 为________．
解析 曲线 ρ(cos θ＋sin θ)＝1 与 ρ(sin θ－cos θ)＝
代入
所给的直角坐标方程中，得
(1)2cos 6sin 1 0
(2)2 cos2 2 sin2 25
化简得 2 cos 2 25
1、求过A(2,3)且斜率为2 的直线的极坐标方程。
解 ： 由 题 意 可 知 ， 在 直角 坐 标 系 内 直 线 方 程 为
王新敞 wxckt@ 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@
y2
y0
2.若两条曲线的极坐标方程分别为 1 与
2 cos ,它们相交于 A, B 两点,求线段
3
AB的长．
1 的直角坐标方程分别为 x＋y＝1 和 y－x＝1，两条直线 的交点的直角坐标为(0，1)，化为极坐标为1，π2 .
答案
1，π2
例4.把下列的直角坐标方程化为极坐标方程
(1)2x+6y-1=0
ห้องสมุดไป่ตู้(2)x2 -y2=25
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[0,2π )内的角θ 0,再表示为θ 0+2kπ ,k∈Z.
【归纳总结】 1.直角坐标与极坐标的关系
三角函数是点的直角坐标与极坐标的联系纽带,根据三
角函数定义,角θ 的顶点在原点O(极点),始边为横轴的 正半轴,M(x,y)为角θ 终边上的一点,|OM|= x 2 y2 ,
则sinθ = y ,cosθ = x ,所以y=ρ sinθ ,x=ρ cosθ .
类型一
点的极坐标与直角坐标的转化
【典例】在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴的非 负半轴为极轴,ρ ≥0,θ ∈R完成下列各题:
7 化为直角坐标. (1)将极坐标M (6， ) 6
(2)将直角坐标N(-2016,2016)化为极坐标.
【解题探究】将点的极坐标化为直角坐标的公式是什 么?将点的直角坐标化为极坐标的公式是什么?
所以(1, 3 )即为所求.
5 ,求点P关于极点 2.若已知极坐标平面内的点P (2， ) 3
对称的点的极坐标及直角坐标.
【解析】点P关于极点的对称点P′到极点的距离仍为2, 即ρ=2. 又P与P′的极角间相差π+2kπ,k∈Z, 故θ=- 5 +π+2kπ,k∈Z,
2 故P′的极坐标可以为 (2， ), 3 3
x cos, 提示:由公式 将点的极坐标化为直角坐标,由 y sin 2 x 2 y 2 , 公式 将点的直角坐标化为极坐标. y tan (x 0) x
7 代入公式 【解析】(1)将点M的极坐标 (6， )
所以点的直角坐标为(-3
【方法技巧】极坐标与直角坐标互化的策略 (1)点的直角坐标化为极坐标的注意事项.
化点的直角坐标为极坐标时,一般取ρ ≥0,θ ∈[0,
y 2π ),即θ 取最小正角,由tanθ = (x≠0)求θ 时,必须 x
根据角θ 的终边经过点(x,y)所在的象限来确定θ 的值.
(2)掌握特殊角的三角函数值,还需要掌握一些常用的 三角变换公式,如半角公式 cos 1 cos，
A.(1,0)
C.(0,1)
B.(-1,0)
D.(0,-1)
x cos, x 1, 【解析】选B.由公式 得 所以点(1,π ) y sin, y 0，
对应的点的直角坐标为(-1,0).
2.在直角坐标系中,点(2016,-2016)的极坐标为 ________(ρ >0,0≤θ <2π ).
第2课时
极坐标和直角坐标的互化
【自主预习】
极坐标与直角坐标的互化公式 如图所示,把直角坐标系的原点作为
极点,x轴的正半轴作为极轴,且长度单位
相同,设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x,y), (ρ ,θ ).
ρ cosθ ρ sinθ
x2+y2
y x
【即时小测】 1.极坐标系中,点(1,π )的直角坐标为 ( )
由x=2cos ( 2 ) =-1,y=2sin ( 2 ) =- 3 ,
3 3
故点P′的直角坐标为(-1,- 3 ).
类型二
极坐标与直角坐标转化的应用
π 4π (6, )和(8, )，求线段 3 3
【典例】已知A,B两点的极坐标为 AB中点的直角坐标.
【解题探究】怎样求线段中点的直角坐标? 提示:先求出端点的直角坐标,再利用中点坐标公式求 中点的直角坐标.
1－cos sin 等. 2 2 2 2
【变式训练】1.(2016·绵阳高二检测)将点M的极坐标
化成直角坐标是 (2, ) 3
(
)
A.(-1,-1) C.(1, 3 )
B.(1,1) D.( 3 ,1)
x 1, x cos , 【解析】选C.由公式 得 y sin y 3,
2.特殊角的三角函数值 θ
6
1 2
4
3
2
sinθ
cosθ tanθ
2 2 2 2
3 2
1 2
1
0 不存在
3 2 3 3
1
3
3.由点的直角坐标确定极角 当点不在y轴上时,由tanθ = y 求出[0,2π )上的θ ;
x
当点在y轴正半轴上时,θ =
当点在y轴负半轴上时,θ =
; 2 3 . 2
7 x 6cos 3 3, x cos, 6 得 y sin, y 6sin 7 3, 6
3
6
,-3).
(2)由点的直角坐标N(-2016,2016)与公式
2 x 2 y 2 , y 2 2 得 x y 2 016 2 ， tan 1， x tan yx(x 0), 且θ的终边经过点N(-2016,2016),所以θ= 3 , 4 3 所以点N的极坐标为 (2 016 2， 2k),k∈Z. 4
1.点与极坐标是一一对应的吗?
提示:在直角坐标系和极坐标系中,点M与直角坐标(x,y) 是一一对应的,点M与极坐标(ρ ,θ )不是一一对应的,
即点M的极坐标不唯一.
2.将点的直角坐标化为极坐标的关键是什么?
提示:将点的直角坐标化为极坐标的关键是运用公式
2 x 2 y 2， 分别计算极径和极角,求极角时先计算 y tan (x 0) x
【解析】因为A点的极坐标为 （6, ）， 3
所以 x A 6 cos 3，y A 6 sin 3 3，
3 3
所以A(3, 3 3 ), 同理可得B(-4, 4 3 ). 设线段AB的中点为M(m,n),由线段的中点坐标公式可得
4 3 1 m ， 2 2 n 4 3 3 3 3 ， 2 2
【解析】在直角坐标系中,点(2016,-2016)到原点(极 点)的距离为2016 2 ,极角θ= 7 +2kπ,k∈Z, 4
因为0≤θ<2π,所以θ= 7 .
7 . 所以点(2016,-2016)的极坐标为 (2 016 2， ) 7 答案: (2 016 2， ) 4 4 4
【知识探究】 探究点 极坐标和直角坐标的互化