人教版高中数学必修五同课异构课件：1.2 应用举例1.2.1 精讲优练课型
1.2 应用举例 第1课时 解三角形的实际应用举例——
距离问题
【知识提炼】 基线的概念与选择原则 1.基线的定义：在测量上，我们根据测量需要适当确 定的线段叫做基线.
2.选择基线的原则：在测量过程中，要根据实际需要
选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度.一般
来说，基线_____，测量的精确度越高. 越长
正三角形，且DC= km，当目标出现在B 点时，测得∠CDB=435°，∠BCD=75°，则炮兵阵地与
目标的距离是( )
A.1.1km
B.2.2km
C.2.9km
D.3.5km
【解析】选C.∠CBD=180°-∠BCD-∠CDB=60°.
在△BCD中，由正弦定理，得BD=CDsin 75 6 2 .
【解题探究】1.典例1中已知条件是什么？可用哪个定 理解决？ 提示：已知三角形的两角和其中一边，应用正弦定理 可求解. 2.典例2中根据已知条件，可用哪个定理解决？ 提示：已知两角和一边，可用正弦定理求解.
【解析】1.选B.如图所示，
由题意知∠C=45°，由正弦定理得
所以 12 3
AC 2 6 6. 2
2
【延伸探究】
1.(变换条件)典例1中若把条件“∠ABC= ”改为 “∠ABC= ”，其他条件不变，那么隧道3CD的长又该
是多少？ 6
【解析】如图：
由题意，易得∠DAC= ，
AC2=AB2+BC2-2AB4·BCcos
=4002+4002-2×4002× 6
3
=4002(2- ).
2
3
CD2=AD2+AC2-2AD·A Ccos
【知识探究】 知识点 距离问题 观察图形，回答下列问题：
问题1：测量一已知目标与另一无法到达的目标距离时， 利用正弦定理求解需要哪些条件？ 问题2：测量两个不可到达的点A，B之间的距离问题， 利用余弦定理求解需要哪些条件？
【总结提升】 1.测量距离问题包括两种情况 (1)测量一个可到达的点到另一个不可到达点之间的距 离.
BD BD
所以BD= tan 30 tan 45
8 4( 3 1) (m).
3 1
方法二：过点B作BD⊥AC，根据正弦定理得
AB AC ，
所sin以AACBB= sinABC
ACsinACB
8sin 45
sinABC sin (180 30 45)
4 2 8( 3 1)， 6 2
所以BD=ABsin30°= ×8( -1)=4( -1)(m4 ).
3
AD=ACcos∠DAC=30cos60°=15(n mile)，则在
Rt△ADB中，DB=ADtan∠DAB=15tan30°=5 (n
3 mile)，则BC=DC-DB=15 -5 =10 (n mile).
答案：10 3 3
3
3
类型二 测量两个不可到达的点之间的距离
【典例】1.如图，CD是京九铁路线上的一
【方法技巧】测量不能到达的两点间的距离的方法及 关键 (1)方法：测量不能到达的两点间的距离，利用正、余 弦定理解斜三角形是一个重要的方法. (2)关键：构造一个或几个三角形，测出有关边长和角， 用正、余弦定理进行计算.
【补偿训练】如图，某炮兵阵地位于A点，
两观察所分别位于C，D两点.已知△ACD为
(2)测量两个不可到达点之间的距离. 第一种情况实际上是已知三角形两个角和一边解三角 形的问题，用正弦定理即可解决(如图1)；对于第二种 情况，首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化 为应用正弦定理求三角形边长的问题，然后把BC，AC 转化为测量可到达的点与不可到达的点之间的距离问 题(如图2).
AC 12 ， sin 60 sin 45
2
2.因为∠CAB=75°，∠CBA=45°，
所以∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=60°.
由正弦定理，得 AB BC .
所以BC=
sinACB sinCAB
ABsin 75. sin 60
又因为sin75°=sin(30°+45°) =sin30°cos45°+cos30°sin45°
3 a. 在△BCD中，∠D2BC=180°-30°-105°=45°， 由正弦定理得
BD CD ， sinBCD sinDBC
6 2
所以BD=CD sinBCD 3 a 4 3 3 a.
sinDBC 2
2
4
在△ADB中，由余弦定理得 2
AB2=AD2+BD2-2·AD·BD·cos∠ADB
则BA2=BD2+AD2-2BD·ADcos∠BDA，
即142=x2+102-20xcos60°.整理，得x2-10x-96=0.
解得x1=16，x2=-6(舍去).
在△BCD中，由正弦定理，得
所以BC= ·sin30°=8
16 sin 135
≈11B(Ckm). BD ， sinCDB sinBCD
1 2 3 2 6 2.
所2以B2C= 2 2
4 (m).
100 6 2 150 2 50 6
34
3
即B，C两2点间的距离为
m.
150 2 50 6 3
【延伸探究】若典例2中的题设条件不变，求河段的宽.
【解析】过点C作CD垂直于AB，垂足为点D，则CD的
长就是该河段的宽度.
在Rt△BDC中，因为∠BCD=∠CBA=45°，sin∠BCD= BD， BC
所以 BD BCsin 45 ABsin 75 sin 45 sin 60
100
6 4
2
2 50(3
3) m.
3
2
3
所以该2河段的宽度为
m.
50(3 3)
3
【方法技巧】Байду номын сангаас距离问题时应注意的两点 (1)选定或确定所求量所在的三角形.若其他量已知， 则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三 角形中求解. (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选 择更便于计算的定理.
2.解与三角形有关的应用题的基本思路
【题型探究】
类型一 测量一个可到达点到一个不可到达点之间的
距离
【典例】1.在相距12海里的A，B两个小岛处测量目标C
岛，测得∠CAB=75°，∠CBA=60°，则A，C间的距离
为( )
A.2
B.6
C.2
D.4
6
6
2
2
2.如图所示的某河段的两岸可视为平行，为了测量该 河段两侧B，C两点间的距离，在河段的一岸边选取点A， 观察对岸的点C，测得∠CAB=75°，∠CBA=45°，且 AB=100m.求B，C两点间的距离.
在△ABD中，∠ADB=45°+60°=1s0in56°0，
2
由余弦定理，得
AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos105°
3 ( 6 2)2 2 3 6 2 6 2 5 2 3.
4
2
4
所以AB= ≈2.9(km). 52 3
所以炮兵阵地与目标的距离约为2.9km.
巧思妙解 图形分析法在求距离问题中的应用
【即时小测】 1.思考下列问题： (1)在距离的测量问题中，如果构造的三角形知道三个 内角能解出三角形的边长吗？ 提示：不能.要解一个三角形，至少要知道这个三角形 的一条边的长.
(2)两个不能到达的点之间能否求出两点之间的距离？ 提示：能.利用测角仪和皮尺测量相关的角、边，利用 正、余弦定理求出两点间的距离.
4 =2502+4002×(2- )-2×250×400×( -1)×
3
3
=482 500-260 000 ，所以CD≈179米.
3
2 2 22
2.(改变问法)典例1中，条件不变，试求∠ADC的余弦 值.
【解析】如图：在△ABC中，AB=BC=400米， ,
3
∠ABC=
,
2 ,
所以△ABC为等边三角形，∠BAC=3 又∠BAD=3 故
答案：4( -1)m 1 2
3
3
3
【补偿训练】某船开始看见灯塔在南偏东30°方向， 后来船沿南偏东60°方向航行30n mile后，看见灯塔 在正西方向，则这时船与灯塔的距离为______n mile.
【解析】如图所示，B是灯塔，A是船 的初始位置，C是船航行后的位置， 则BC⊥AD，∠DAB=30°，∠DAC=60°， 则在Rt△ACD中，DC=ACsin∠DAC=30sin60°= 15 (n mile)，
2
【解题探究】1.典例1中测量两个不可到达的点之间的 距离，一般是把距离如何转化？ 提示：测量两个不可到达的点之间的距离，一般是把 求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题. 2.典例2中，求BC的思路是什么？ 提示：先由余弦定理求出BD的值，然后由正弦定理求 出BC.
【解析】1.在△ABC中，AB=BC=400米，∠ABC= ， 3
所以△ACD为等边三角形.
因为∠ADB=∠BDC，
所以BD为正△ACD的中垂线，
所以AB=BC= a. 6
答案： a 4 6 4
【方法指导】 1.寻求特殊图形 分析图形的边角之间的关系，确定是否是特殊的图形， 如等腰(边)三角形、直角三角形，如果是则利用特殊 图形的性质进行求解，这样可以简化运算，使问题的 解决更加简洁.
【典例】(2015·广州高二检测)在某次军事演习中红
方为了准确分析战场形势，在两个相距为 的军事 3a
基地C和D，测得蓝方两支精锐部队分别在A处2 和B处， 且∠ADB=30°，∠BDC=30°，∠DCA=60°，
∠ACB=45°.如图所示，则蓝方这两支精锐部队的距离 为__________.
距离问题
【知识提炼】 基线的概念与选择原则 1.基线的定义：在测量上，我们根据测量需要适当确 定的线段叫做基线.
2.选择基线的原则：在测量过程中，要根据实际需要
选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度.一般
来说，基线_____，测量的精确度越高. 越长
正三角形，且DC= km，当目标出现在B 点时，测得∠CDB=435°，∠BCD=75°，则炮兵阵地与
目标的距离是( )
A.1.1km
B.2.2km
C.2.9km
D.3.5km
【解析】选C.∠CBD=180°-∠BCD-∠CDB=60°.
在△BCD中，由正弦定理，得BD=CDsin 75 6 2 .
【解题探究】1.典例1中已知条件是什么？可用哪个定 理解决？ 提示：已知三角形的两角和其中一边，应用正弦定理 可求解. 2.典例2中根据已知条件，可用哪个定理解决？ 提示：已知两角和一边，可用正弦定理求解.
【解析】1.选B.如图所示，
由题意知∠C=45°，由正弦定理得
所以 12 3
AC 2 6 6. 2
2
【延伸探究】
1.(变换条件)典例1中若把条件“∠ABC= ”改为 “∠ABC= ”，其他条件不变，那么隧道3CD的长又该
是多少？ 6
【解析】如图：
由题意，易得∠DAC= ，
AC2=AB2+BC2-2AB4·BCcos
=4002+4002-2×4002× 6
3
=4002(2- ).
2
3
CD2=AD2+AC2-2AD·A Ccos
【知识探究】 知识点 距离问题 观察图形，回答下列问题：
问题1：测量一已知目标与另一无法到达的目标距离时， 利用正弦定理求解需要哪些条件？ 问题2：测量两个不可到达的点A，B之间的距离问题， 利用余弦定理求解需要哪些条件？
【总结提升】 1.测量距离问题包括两种情况 (1)测量一个可到达的点到另一个不可到达点之间的距 离.
BD BD
所以BD= tan 30 tan 45
8 4( 3 1) (m).
3 1
方法二：过点B作BD⊥AC，根据正弦定理得
AB AC ，
所sin以AACBB= sinABC
ACsinACB
8sin 45
sinABC sin (180 30 45)
4 2 8( 3 1)， 6 2
所以BD=ABsin30°= ×8( -1)=4( -1)(m4 ).
3
AD=ACcos∠DAC=30cos60°=15(n mile)，则在
Rt△ADB中，DB=ADtan∠DAB=15tan30°=5 (n
3 mile)，则BC=DC-DB=15 -5 =10 (n mile).
答案：10 3 3
3
3
类型二 测量两个不可到达的点之间的距离
【典例】1.如图，CD是京九铁路线上的一
【方法技巧】测量不能到达的两点间的距离的方法及 关键 (1)方法：测量不能到达的两点间的距离，利用正、余 弦定理解斜三角形是一个重要的方法. (2)关键：构造一个或几个三角形，测出有关边长和角， 用正、余弦定理进行计算.
【补偿训练】如图，某炮兵阵地位于A点，
两观察所分别位于C，D两点.已知△ACD为
(2)测量两个不可到达点之间的距离. 第一种情况实际上是已知三角形两个角和一边解三角 形的问题，用正弦定理即可解决(如图1)；对于第二种 情况，首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化 为应用正弦定理求三角形边长的问题，然后把BC，AC 转化为测量可到达的点与不可到达的点之间的距离问 题(如图2).
AC 12 ， sin 60 sin 45
2
2.因为∠CAB=75°，∠CBA=45°，
所以∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=60°.
由正弦定理，得 AB BC .
所以BC=
sinACB sinCAB
ABsin 75. sin 60
又因为sin75°=sin(30°+45°) =sin30°cos45°+cos30°sin45°
3 a. 在△BCD中，∠D2BC=180°-30°-105°=45°， 由正弦定理得
BD CD ， sinBCD sinDBC
6 2
所以BD=CD sinBCD 3 a 4 3 3 a.
sinDBC 2
2
4
在△ADB中，由余弦定理得 2
AB2=AD2+BD2-2·AD·BD·cos∠ADB
则BA2=BD2+AD2-2BD·ADcos∠BDA，
即142=x2+102-20xcos60°.整理，得x2-10x-96=0.
解得x1=16，x2=-6(舍去).
在△BCD中，由正弦定理，得
所以BC= ·sin30°=8
16 sin 135
≈11B(Ckm). BD ， sinCDB sinBCD
1 2 3 2 6 2.
所2以B2C= 2 2
4 (m).
100 6 2 150 2 50 6
34
3
即B，C两2点间的距离为
m.
150 2 50 6 3
【延伸探究】若典例2中的题设条件不变，求河段的宽.
【解析】过点C作CD垂直于AB，垂足为点D，则CD的
长就是该河段的宽度.
在Rt△BDC中，因为∠BCD=∠CBA=45°，sin∠BCD= BD， BC
所以 BD BCsin 45 ABsin 75 sin 45 sin 60
100
6 4
2
2 50(3
3) m.
3
2
3
所以该2河段的宽度为
m.
50(3 3)
3
【方法技巧】Байду номын сангаас距离问题时应注意的两点 (1)选定或确定所求量所在的三角形.若其他量已知， 则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三 角形中求解. (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选 择更便于计算的定理.
2.解与三角形有关的应用题的基本思路
【题型探究】
类型一 测量一个可到达点到一个不可到达点之间的
距离
【典例】1.在相距12海里的A，B两个小岛处测量目标C
岛，测得∠CAB=75°，∠CBA=60°，则A，C间的距离
为( )
A.2
B.6
C.2
D.4
6
6
2
2
2.如图所示的某河段的两岸可视为平行，为了测量该 河段两侧B，C两点间的距离，在河段的一岸边选取点A， 观察对岸的点C，测得∠CAB=75°，∠CBA=45°，且 AB=100m.求B，C两点间的距离.
在△ABD中，∠ADB=45°+60°=1s0in56°0，
2
由余弦定理，得
AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos105°
3 ( 6 2)2 2 3 6 2 6 2 5 2 3.
4
2
4
所以AB= ≈2.9(km). 52 3
所以炮兵阵地与目标的距离约为2.9km.
巧思妙解 图形分析法在求距离问题中的应用
【即时小测】 1.思考下列问题： (1)在距离的测量问题中，如果构造的三角形知道三个 内角能解出三角形的边长吗？ 提示：不能.要解一个三角形，至少要知道这个三角形 的一条边的长.
(2)两个不能到达的点之间能否求出两点之间的距离？ 提示：能.利用测角仪和皮尺测量相关的角、边，利用 正、余弦定理求出两点间的距离.
4 =2502+4002×(2- )-2×250×400×( -1)×
3
3
=482 500-260 000 ，所以CD≈179米.
3
2 2 22
2.(改变问法)典例1中，条件不变，试求∠ADC的余弦 值.
【解析】如图：在△ABC中，AB=BC=400米， ,
3
∠ABC=
,
2 ,
所以△ABC为等边三角形，∠BAC=3 又∠BAD=3 故
答案：4( -1)m 1 2
3
3
3
【补偿训练】某船开始看见灯塔在南偏东30°方向， 后来船沿南偏东60°方向航行30n mile后，看见灯塔 在正西方向，则这时船与灯塔的距离为______n mile.
【解析】如图所示，B是灯塔，A是船 的初始位置，C是船航行后的位置， 则BC⊥AD，∠DAB=30°，∠DAC=60°， 则在Rt△ACD中，DC=ACsin∠DAC=30sin60°= 15 (n mile)，
2
【解题探究】1.典例1中测量两个不可到达的点之间的 距离，一般是把距离如何转化？ 提示：测量两个不可到达的点之间的距离，一般是把 求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题. 2.典例2中，求BC的思路是什么？ 提示：先由余弦定理求出BD的值，然后由正弦定理求 出BC.
【解析】1.在△ABC中，AB=BC=400米，∠ABC= ， 3
所以△ACD为等边三角形.
因为∠ADB=∠BDC，
所以BD为正△ACD的中垂线，
所以AB=BC= a. 6
答案： a 4 6 4
【方法指导】 1.寻求特殊图形 分析图形的边角之间的关系，确定是否是特殊的图形， 如等腰(边)三角形、直角三角形，如果是则利用特殊 图形的性质进行求解，这样可以简化运算，使问题的 解决更加简洁.
【典例】(2015·广州高二检测)在某次军事演习中红
方为了准确分析战场形势，在两个相距为 的军事 3a
基地C和D，测得蓝方两支精锐部队分别在A处2 和B处， 且∠ADB=30°，∠BDC=30°，∠DCA=60°，
∠ACB=45°.如图所示，则蓝方这两支精锐部队的距离 为__________.
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人教版高中数学必修五同课异构课件：1.2 应用举例 第2课时 解三角形的实际应用举例—高度、角度问题
1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解 决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题. (重点) 2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解 决一些有关计算角度的实际问题.(难点)
探究点1 测量底部不可到达的建筑物的高度 例1 AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑 物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法.
【变式练习】
我舰在敌岛A南偏西50°的方向上，且与敌岛
A相距12海里的B处，发现敌舰正由岛A沿北偏西
10°的方向以10海里/小时的速度航行．问我舰
需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追
上敌舰？(精确到1°）
C
解：如图，在△ABC中，由余弦定理 得：
10°
A
50° 40°
B
BC2 = AC2 + AB2 - 2AB·AC·cos∠BAC = 202 + 122 - 2×12×20×（- 1） 2 = 784，
把测量数据代入上式，得
BD = 27.3cos501' sin 5440' sin（5440' 501'）
.
=
27.3cos501' sin sin 439'
5440'
177.（4 m）
CD=BD-BC≈177.4-27.3≈150(m).
答：山的高度约为150米.
思考:有没有别的解题思 路呢？
2×1.2×2.8 -0.442. 所以cosα= 0.442，所以α 63.77°
答：堤对地面的倾斜角α为63.77°.
例3 如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正 西行驶,到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西 偏北15°的方向上,行驶5 km后到达B处,测得此 山顶在西偏北25°的方向上,仰角为8°,求此山 的高CD(精确到1 m).
人教版高中数学必修五同课异构课件：1.2 应用举例 第3课时 三角形中的几何计算 情境互动课型
所以此三角形为直角三角形.
利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为 只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简 并观察边或角的关系，从而确定三角形的形状.特 别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚 至可以两者混用.
1．在△ABC中，若acosB=bcosA，则△ABC一定是
（A
A．等腰三角形 B
a = b = c =k sinA sinB sinC 显然k≠0，所以
左边 = a2 + b2 c2
= k2sin2A + k2sin2B = sin2A + sin2B
k2sin2C
sin2C
= 右边.
（2）根据余弦定理， 右边=(b2+c2-a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2)
所以a2b + ab2 - ac2 + a3 - bc2 + b3 = 0
所以ab（a + b）- c（2 a + b）+（a + b）（a2 - ab + b2）= 0 即（a + b）（a2 + b2 - c2）= 0， 又a + b≠0， 所以a2 + b2 - c2 = 0， 所以c2 = a2 + b2，
2bc
2ca
所以c（2 a2 - b2）= a4 - b4 =（a2 + b2）（a2 - b2），
所以a2 = b2或c2 = a2 + b2.
根据边的关系得该三角形是等腰三角形或直角三角形.
另解：由正弦定理得sinAcosA=sinBcosB, 所以sin2A=sin2B, 即2A=2B, 所以A=B，
2
利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为 只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简 并观察边或角的关系，从而确定三角形的形状.特 别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚 至可以两者混用.
1．在△ABC中，若acosB=bcosA，则△ABC一定是
（A
A．等腰三角形 B
a = b = c =k sinA sinB sinC 显然k≠0，所以
左边 = a2 + b2 c2
= k2sin2A + k2sin2B = sin2A + sin2B
k2sin2C
sin2C
= 右边.
（2）根据余弦定理， 右边=(b2+c2-a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2)
所以a2b + ab2 - ac2 + a3 - bc2 + b3 = 0
所以ab（a + b）- c（2 a + b）+（a + b）（a2 - ab + b2）= 0 即（a + b）（a2 + b2 - c2）= 0， 又a + b≠0， 所以a2 + b2 - c2 = 0， 所以c2 = a2 + b2，
2bc
2ca
所以c（2 a2 - b2）= a4 - b4 =（a2 + b2）（a2 - b2），
所以a2 = b2或c2 = a2 + b2.
根据边的关系得该三角形是等腰三角形或直角三角形.
另解：由正弦定理得sinAcosA=sinBcosB, 所以sin2A=sin2B, 即2A=2B, 所以A=B，
2
高中数学 1.2应用举例课件1 新人教A版必修5
作业设计
1、在 ABC中，已知：a 2, b 2 2, C 15，
解三角形。
2、在ABC中，已知 角形的形状。
a2 tan A b2 tan B
,判断三
3、在△ABC 中（a+b+c)(b+c-a)=3bc,且 sin2A=sinBsinC,判断三角形的形状。
三、注意三角形中的隐含条件
正余弦定理及其应用
一、解三角形
A
一、解斜三角形的类型：
c
b
（1）已知两角一边，用正弦定理，有解时，只有一解；
（2）已知三边，用余弦定理，必有唯一解；
B
（3）已知两边及其夹角，用余弦定理，必有唯一解；
a
C
（4）已知两边及其中一边的对角，（不妨设为a,b,A）解法有两种：
①
由正弦定理
正余弦定理及其应用
已知：在三角形ABC中，sinA:sinB:sinC=5:7:8, 求角B。 分析：只需要判断最大边所对的角即可。
正余弦定理及其应用
还有别的
三、注意三角形中的隐含条件
解法吗？
例4：（2011全国新课标）在△ABC中，B= 60 ，
AC= 3 ，则AB+2BC的最大值为
。
解
：
在
求解。
正余弦定理及其应用
一、解三角形
例1：在 ABC中，a,b,c分别是角A，B，C
A
c
b
的对边长。若 a 3,b 2,B 45 , B
a
C
解三角形。
破
解
1:
由
正
弦
定
理
得 s
3 in
A
s
人教A版高中数学必修五课件高二《1.2应用举例(二)》
课后作业
1.阅读必修5教材P.13到P.16; 2.2.《习案》作业五.
讲授新课
例1.AB是底部B不可到达的一个建筑物， A为建筑物的最高点，设计一种测量建 筑物高度AB的方法.
A
B
讲解范例： 组卷网
例2.如图，在山顶铁塔上B处测得地面上
一点A的俯角＝54o40'，在塔底C处测得
A处的俯角=50o1'.
B
已知铁塔BC部分
的高为27.3m， 求出山高CD(精
C
确到1m).
D
A
思考：
有没有别的解法呢？若在△ACD中 求CD，可先求出AC.思考如何求出AC？
B
C
D
A
讲授新课
例3.如图，一辆汽车在一条水平的公路上 向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处 一山顶D在东偏南15o的方向上，行驶5km 后到达B处，测得此山顶在东偏南25o的方 向上，仰角为8o，求此山的高度CD.
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
1.2应用举例(二)
课题导入
现实生活中，人们是怎样测量底部 不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水 平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海
A
拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方 C B
面的问题
讲授新课
例1.AB是底部B不可到达的一个建筑物， A为建筑物的最高点，设计一种测量建 筑物高度AB的方法.
思考：
1.欲求出CD，大家思考在哪个三角形中 研究比较适合呢？
2.在△BCD中，已知BD或BC都可求出 CD，根据条件，易计算出哪条边的长？
练习：
教材P.18练习第1、2弦定理来解题时， 要学会审题及根据题意画方位图，要懂 得从所给的背景资料中进行加工、抽取 主要因素，进行适当的简化.
人教A 版高中数学必修五课件：1.2 应用举例 (共16张PPT)
人教A版必修5第一章解三角形
1.2 应用举例
（测量高度问题）
测量任务
天塔是天津广播电 视塔的简称,总高度 415.2米，耸立于碧波与 云霄之间，是世界上唯 一一座“水中之塔”， 其势如剑倚天，享有 “天塔旋云”之美称。
测量任务
天塔是天津广播电 视塔的简称,总高度 415.2米，耸立于碧波与 云霄之间，是世界上唯 一一座“水中之塔”， 其势如剑倚天，享有 “天塔旋云”之美称。
数学建模
实际情境
修改
提出问题
数学模型
数学结果
检验 不合乎实际
合乎实际
可用结果
小组评价：
作业：
• 完善实验报告，总结经验和不足
数学是自然的 数学是好玩的 数学是有用的
读书当将破万卷；求知不叫一疑存。读书之法，在 渐进，熟读而精思，喜欢读书，就等于把生活中寂 光换成巨大享受的时刻。自得读书乐，不邀为善名 间读书，有时间又有书读，这是幸福；没有时间读 时间又没书读，这是苦恼。不读书的人，思想就会 读书时要深思多问。只读而不想，就可能人云亦云 书本的奴隶；或者走马看花，所获甚微。为乐趣而 立身以立学为先，立学以读书为本读书而不能运用 读的书等于废纸。读书可以培养一个完人，谈话可 一个敏捷的人，而写作则可造就一个准确的人。读 别人思想的帮助下，建立起自己的思想。养心莫若 至乐无如读书。身边永远要着铅笔和笔记本，读书 时碰到的一切美妙的地方和话语都把它记下来。凿 聚萤作囊；在读书上，数量并不列于首要，重要的 品质与所引起的思索的程度。劳于读书，逸于作文
测量活动准备
• 基本工具 自制量角仪 卷尺 计算器 • 分组活动 三个小组设计方案，然后实地测量 • 活动时间 9月29日~10月8日
实验报告
小组测量任务交流
1.2 应用举例
（测量高度问题）
测量任务
天塔是天津广播电 视塔的简称,总高度 415.2米，耸立于碧波与 云霄之间，是世界上唯 一一座“水中之塔”， 其势如剑倚天，享有 “天塔旋云”之美称。
测量任务
天塔是天津广播电 视塔的简称,总高度 415.2米，耸立于碧波与 云霄之间，是世界上唯 一一座“水中之塔”， 其势如剑倚天，享有 “天塔旋云”之美称。
数学建模
实际情境
修改
提出问题
数学模型
数学结果
检验 不合乎实际
合乎实际
可用结果
小组评价：
作业：
• 完善实验报告，总结经验和不足
数学是自然的 数学是好玩的 数学是有用的
读书当将破万卷；求知不叫一疑存。读书之法，在 渐进，熟读而精思，喜欢读书，就等于把生活中寂 光换成巨大享受的时刻。自得读书乐，不邀为善名 间读书，有时间又有书读，这是幸福；没有时间读 时间又没书读，这是苦恼。不读书的人，思想就会 读书时要深思多问。只读而不想，就可能人云亦云 书本的奴隶；或者走马看花，所获甚微。为乐趣而 立身以立学为先，立学以读书为本读书而不能运用 读的书等于废纸。读书可以培养一个完人，谈话可 一个敏捷的人，而写作则可造就一个准确的人。读 别人思想的帮助下，建立起自己的思想。养心莫若 至乐无如读书。身边永远要着铅笔和笔记本，读书 时碰到的一切美妙的地方和话语都把它记下来。凿 聚萤作囊；在读书上，数量并不列于首要，重要的 品质与所引起的思索的程度。劳于读书，逸于作文
测量活动准备
• 基本工具 自制量角仪 卷尺 计算器 • 分组活动 三个小组设计方案，然后实地测量 • 活动时间 9月29日~10月8日
实验报告
小组测量任务交流
人教B版高中数学必修五课件1.2《应用举例》.pptx
在△BCD中， ∠CBD=180°－（∠BCD+∠BDC） =180°－（45°+45°+30°）=60°
由正弦定理 BC DC ，得
sin BDC sin DBC
BC DC sin BDC 100 3 sin 75 200sin 75
sin DBC
sin 60
在△ABC中由余弦定理，
sin BAC sin ABC
得 AC BC sin ABC 32sin 30 16
sin BAC sin15 sin15
在等腰Rt△ACD中，故
CD 2 AC 2 16 8 2 16( 3 1)
2
2 sin15 sin15
∴山的高度为16( 3 1) 米。
例题1:要测量河对岸两地A、B之间的距离，在岸边 选取相距100 3 米的C、D两地，并测得∠ADC=30°、 ∠ADB=45°、∠ACB=75°、∠BCD=45°，A、B、C、 D四点在同一平面上，求A、B两地的距离。
解：在△ACD中， ∠DAC=180°－（∠ACD+∠ADC） =180°－(75°+45°+30°)=30° ∴AC=CD= 100 3
测量问题： 1、水平距离的测量
①两点间不能到达， 又不能相互看到。
需要测量CB、CA的长和角C的大小，由余弦定理，
AB2 CA2 CB2 2CA CB cosC 可求得AB的长。
②两点能相互看到，但不能到达。
需要测量BC的长、角B和角C的大小， 由三角形的内角和，求出角A然后 由正弦定理，
例3 杆OA、OB所受的 力（精确到0.1）。
700 500
例4如图在海滨某城市附近海面有一台风。 据监测，台风中心位于城市A的南偏东300方 向、距城市300km的海面P处，并以20km/h的 速度向北偏西4500方向移动。如果台风侵袭 的范围为圆形区域，半径为120km。问几小
由正弦定理 BC DC ，得
sin BDC sin DBC
BC DC sin BDC 100 3 sin 75 200sin 75
sin DBC
sin 60
在△ABC中由余弦定理，
sin BAC sin ABC
得 AC BC sin ABC 32sin 30 16
sin BAC sin15 sin15
在等腰Rt△ACD中，故
CD 2 AC 2 16 8 2 16( 3 1)
2
2 sin15 sin15
∴山的高度为16( 3 1) 米。
例题1:要测量河对岸两地A、B之间的距离，在岸边 选取相距100 3 米的C、D两地，并测得∠ADC=30°、 ∠ADB=45°、∠ACB=75°、∠BCD=45°，A、B、C、 D四点在同一平面上，求A、B两地的距离。
解：在△ACD中， ∠DAC=180°－（∠ACD+∠ADC） =180°－(75°+45°+30°)=30° ∴AC=CD= 100 3
测量问题： 1、水平距离的测量
①两点间不能到达， 又不能相互看到。
需要测量CB、CA的长和角C的大小，由余弦定理，
AB2 CA2 CB2 2CA CB cosC 可求得AB的长。
②两点能相互看到，但不能到达。
需要测量BC的长、角B和角C的大小， 由三角形的内角和，求出角A然后 由正弦定理，
例3 杆OA、OB所受的 力（精确到0.1）。
700 500
例4如图在海滨某城市附近海面有一台风。 据监测，台风中心位于城市A的南偏东300方 向、距城市300km的海面P处，并以20km/h的 速度向北偏西4500方向移动。如果台风侵袭 的范围为圆形区域，半径为120km。问几小
人教版高中数学必修五同课异构课件：1.2 应用举例1.2.2 探究导学课型
(2)若要求CA的长，需要在△ACD中求出哪些量？ 提示：需要在△ACD中，求出∠ADC，∠ACD和边 DC的长，解三角形可求得CA的长.
【探究总结】对测量高度问题的两点说明 (1)对于底部不可到达的建筑物的高度测量问题，我们可选择 一条过建筑物底部点的基线，在基线上取另外两点，这样四点 可以构成两个小三角形，把其中不含未知高度的那个小三角形 作为依托，从中解出相关量，进而应用到含未知高度的三角形 中，然后利用正弦或余弦定理解决即可.
2BC·CD·cos150°，即x2= x2+100-2·
1 解得x=3
3x 3
15 5 33 . 2
·10·cos150°，
类型二 测量角度问题
1.从地面上测一建在山顶上的建筑物，测得其视角为α，同时
测得建筑物顶部仰角为β，则山顶的仰角为( )
A.α+β
B.α-β
C.β-α
D.α
2.某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船 上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相 距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度向正东方向匀 速行驶，经过t小时小艇与轮船相遇.假设小艇的最高航行速度 只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航 行速度的大小)，使得小艇能以最短的时间与轮船相遇，并说 明理由.
BC为( )
A.500 m
B.200m
C.1000 m
2
D.1000m
2
2.(2014·上海高考)如图，某公司要在A， B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其 中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设A， B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β. (1)设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多 少(结果精确到0.01米). (2)施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得 α=38.12°，β=18.45°，求CD的长(结果精确到0.01米).
人教A版高中数学必修五课件1.2应用举例(二)(12张PPT).pptx
课后作业
1. 阅读必修5教材P.13到P.16; 2. 《习案》作业五.
D
A
思考：
有没有别的解法呢？若在△ACD中 求CD，可先求出AC.思考如何求出AC？
B
C
D
A
讲授新课
例3.如图，一辆汽车在一条水平的公路上 向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处 一山顶D在东偏南15o的方向上，行驶5km 后到达B处，测得此山顶在东偏南25o的方 向上，仰角为8o，求此山的高度CD.
思考：
1. 欲求出CD，大家思考在哪个三角形 中研究比较适合呢？
思考：
1. 欲求出CD，大家思考在哪个三角形 中研究比较适合呢？ 2. 在△BCD中，已知BD或BC都可求出 CD，根据条件，易计算出哪条边的长？
练习：
教材P.15练习第1、2、3题.
课堂小结
利用正弦定理和余弦定理来解题时， 要学会审题及根据题意画方位图，要懂 得从所给的背景资料中进行加工、抽取 主要因素，进行适当的简化.
高中数学课件
（鼎尚图文*****整理制作）
1.2应用举例(二)
课题导入
现实生活中，人们是怎样测量底部 不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水 平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海
A
拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方 C B
面的问题.
讲授新课
例1.AB是底部B不可到达的一个建筑物， A为建筑物的最高点，设计一种测量建 筑物高度AB的方法.
讲授新课
例1.AB是底部B不可到达的一个建筑物， A为建筑物的最高点，设计一种测量建 筑物高度AB的方法.
A
B
讲解范例：
例2.如图，在山顶铁塔上B处测得地面上
一点A的俯角＝54o40'，在塔底C处测得
人教版高中数学必修五同课异构课件12 应用举例 第1课时 解三角形的实际应用举例距离问题 教学能
注：阅读(yuèdPú1)2教，材了解 基线的概念
第十五页，共22页。
练习(1l.一ià艘nx船í)以 32.2n mile / h 的速度(sùdù)向正北 航行(hángAx处ín看g)灯。塔在S在船的北偏东 20o的方 向， 30min 后航行到B处，在 B处看灯塔在 船的北偏东 65o的方向，已知距离此灯塔
55sin 75
?
? 65.7( m)
sin(180 ? 51 ? 75 ) sin 54
答： A,B 两点间的距离(jùl6í5).7为米。
第十一页，共22页。
B
A
D
第十二页，共22页。
C
例2、如图, A, B两点都在河的对岸(不可(bùk
达),设计一种(yī Azh, Bǒn两ɡ)点测间量距离(jùlí).的
正弦定理
用正弦定理求出另一对角 ,再由 A+B+C=180?，得出第三角 ,然
后用正弦定理求出第三边。
第六页，共22页。
实际(shíjì)应用问题中有关的名称、术语
1. 仰角、俯角(fǔjiǎo)、视角。
（1 ）当视线(shìxiàn)在水平线上方时，视线(shìxiàn)与水
仰角。
（2 ）当视线在水平线下方时，视线与水平线所成角叫
h ? SB sin 65 ? ? 7.06( n mile ) h ? 6.5n mile ? 此船可以继续一直沿正北方向航行
答：此船可以继续一直沿正北方向航行
第十六页，共22页。
变式练习(liànxí)：A、两B灯与塔海洋(hǎiyánCg的)观距察离站(jùlí) 等于 a km, 灯塔A在观察站 C的北偏东 30o，灯塔B 在观察站 C南偏东60o，则 A、B之间的距离为多
第十五页，共22页。
练习(1l.一ià艘nx船í)以 32.2n mile / h 的速度(sùdù)向正北 航行(hángAx处ín看g)灯。塔在S在船的北偏东 20o的方 向， 30min 后航行到B处，在 B处看灯塔在 船的北偏东 65o的方向，已知距离此灯塔
55sin 75
?
? 65.7( m)
sin(180 ? 51 ? 75 ) sin 54
答： A,B 两点间的距离(jùl6í5).7为米。
第十一页，共22页。
B
A
D
第十二页，共22页。
C
例2、如图, A, B两点都在河的对岸(不可(bùk
达),设计一种(yī Azh, Bǒn两ɡ)点测间量距离(jùlí).的
正弦定理
用正弦定理求出另一对角 ,再由 A+B+C=180?，得出第三角 ,然
后用正弦定理求出第三边。
第六页，共22页。
实际(shíjì)应用问题中有关的名称、术语
1. 仰角、俯角(fǔjiǎo)、视角。
（1 ）当视线(shìxiàn)在水平线上方时，视线(shìxiàn)与水
仰角。
（2 ）当视线在水平线下方时，视线与水平线所成角叫
h ? SB sin 65 ? ? 7.06( n mile ) h ? 6.5n mile ? 此船可以继续一直沿正北方向航行
答：此船可以继续一直沿正北方向航行
第十六页，共22页。
变式练习(liànxí)：A、两B灯与塔海洋(hǎiyánCg的)观距察离站(jùlí) 等于 a km, 灯塔A在观察站 C的北偏东 30o，灯塔B 在观察站 C南偏东60o，则 A、B之间的距离为多
人教A版高中数学必修五 第一章 1.2(一)《应用举例》(一)课件
本 讲 栏 目 开 关
【学习目标】
1．利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的测量
问题．
本 讲
2．利用正、余弦定理解决生产实践中的有关高度的测量
栏 目
问题．
开 关
3．利用正、余弦定理解决生产实践中的有关角度的测量
问题．
【学法指导】
1．在我们将所求距离或方向的问题转化为一个求三角形的
边和角的问题时，我们选择的三角形往往条件不够，这
目
开
用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达
关
的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
3．测量角度就是在三角形内利用正弦定理和余弦定理求角的
正弦值或余弦值，再根据需要求出所求的角．
讲 栏
可到达的两点 A，B 之间的距离转化为应用余弦定理求三角
目 开
的边长问题，然后在相关三角形中计算其他边．
关
研一研·问题探究、课堂更高效
跟踪训练1 在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若 ∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点之间的距离为
6 千米．
本 讲
解析 如图所示，由题意知∠C＝45°，
讲 栏
类别 点B与点C、D共线 点B与点C、D不共线
目
开
关
图形
研一研·问题探究、课堂更高效
先用正弦定理求出 在△BCD中先用正弦定理求
方法 AC或AD，再解直角 出BC，在△ABC中∠ACB
本
三角形求出AB
可知，即而求出AB
讲 栏 目 开 关
结论
AB＝
a tan∠1ACB－tan∠1ADB
AB＝
asin∠BDC×tan∠ACB sin∠BCD＋∠BDC
【学习目标】
1．利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的测量
问题．
本 讲
2．利用正、余弦定理解决生产实践中的有关高度的测量
栏 目
问题．
开 关
3．利用正、余弦定理解决生产实践中的有关角度的测量
问题．
【学法指导】
1．在我们将所求距离或方向的问题转化为一个求三角形的
边和角的问题时，我们选择的三角形往往条件不够，这
目
开
用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达
关
的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
3．测量角度就是在三角形内利用正弦定理和余弦定理求角的
正弦值或余弦值，再根据需要求出所求的角．
讲 栏
可到达的两点 A，B 之间的距离转化为应用余弦定理求三角
目 开
的边长问题，然后在相关三角形中计算其他边．
关
研一研·问题探究、课堂更高效
跟踪训练1 在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若 ∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点之间的距离为
6 千米．
本 讲
解析 如图所示，由题意知∠C＝45°，
讲 栏
类别 点B与点C、D共线 点B与点C、D不共线
目
开
关
图形
研一研·问题探究、课堂更高效
先用正弦定理求出 在△BCD中先用正弦定理求
方法 AC或AD，再解直角 出BC，在△ABC中∠ACB
本
三角形求出AB
可知，即而求出AB
讲 栏 目 开 关
结论
AB＝
a tan∠1ACB－tan∠1ADB
AB＝
asin∠BDC×tan∠ACB sin∠BCD＋∠BDC