从近世代数看数系扩充

从近世代数看数系的扩充现行中小学数学教材中,关于数的概念的发展历程如下:
N0
正分数Q+
负分数
Q
无理数
R
虚数
C
上式中N0：非负整数集；Q+：非负有理数集；Q：有理数集；R：实数集；C：复数集.
在教学中，前两次扩充都是从实践需要来说明其必要性的.这样处理学生易于理解,符合可接受性原则.若从数学本身发展的需要出发,则常从以下两方面来说明:(l)某一运算的逆运算在原有数集中不封闭;(2)某一方程在原有数集中没有解.
事实上,这两个方面是相互等价且互为补充的.我们说某一运算的逆运算在原数集中不封闭,则必定存在与此运算有关的方程在此数集中无解;反之,若存在某一方程在原数集中无解,则此方程中涉及到未知数运算的逆运算并不封闭·例如,在N0中减法不封闭,这意味着当a>b时,方程a+x=b在N0中无解.
从代数系统(A,∗)扩充到代数系统(B,。

),必须满足以下四个条件:(1)A⊂B;(2)a∘b=a∗b,∀a,b∈A;(3)在(B,∘)中,方程a∘x=b有唯一确定的解;(4)如果(C,十)也满足性质(1)~(3),则存在(B,。

)到(C,+)的同构映射,这个映射使A中
的元素及运算保持不变.
满足上述条件的数集的扩充可能有多种方法.在中学数学教学中,数集扩充的方法是在已知的集合A上补充新数的集合A,构成扩集B,使B=A∪A这种扩充
思想虽易于接受,但不太严密,且不易了解数的结构思想.
另一种途径是从数学结构的角度,用旧数系中的数为材料构成一个新数集B,然后使它的某个子集与旧数系A相等(严格地说,是同构).下面说明通过这种途
径来建立数系的过程.
一自然数集N
自然数是最简单、最基本的数,皮亚诺四条公理揭示了自然数的根本性质.
在给出加法运算,乘法运算的定义之后,可以证明(N,十,∙)是具有加法、乘法交换律和加法、乘法结合律以及分配律的代数系统.
在N中,序关系(<)是利用自然数的加法来定义的.可以证明“<”满足反对
称性、传递性、可比性以及最小数原理.所以(N,<)不仅是一个全序集,而且是一个良序集.
在(N,+,·)中,方程a+x=b,a∙x=b不一定有解,因此,在N中,加法、乘法的逆运算都不封闭.对于减法要限制施行.对于除法则分两种情况讨论:(l)a整除b,(2)带余除法.
二从N到有理数域Q的扩充
定理可换半群(A,+)可扩充的充分必要条件是运算“+”是可消去的.
证明必要性:若a+c=a+b,a,b,c∈A,设(B,+)是(A,+)的扩充,则在(B,+)中,a+x=a+b有唯一解x=b;又由a+c=a+b,知c满足a+x=a+b,所以b=c.
充分性:如果运算可消去,则在集合A×A上定义关系~:
(a,b)~(c,d)a+d=b+c
易证“~”是等价关系.等价关系“~’将A×A划分成等价类,用B表示商集A×A/~,在商集B上定义加法运算:
[(a,b)]+[(c,d)]=[(a+c,b+d)]
可以证明这个定义是合理的,即运算结果与等价类中代表的选取无关.
定义从A到B的映射f:A B为f a=a+b,b∀a,b∈A易证f是一一的且保持A中的运算不变,所以A与B中的某一子集同构.
在B中方程[(a,b)]+x=[(c,d)]有唯一解:x=[c+b,a+d]所以在B中
‘+’的逆运算可畅通无阻,(B,+)是(A,+)的扩充.
根据这个定理,用同样的原理和方法,自然数加法半群(N,+)可扩充为整数加法群(Z,+),自然数乘法半群(N,·)可扩充为正有理数乘法群.
学里研究的代数系统,通常具有两种运算.在这种情况下,可以先根据一种运算进行扩充,再将第二种运算运用到已扩充的代数系统中去.因此,从(N,+,·)到(Q,+,·)的扩充常有两种途径:
(1)(N,+,·)(Q+,+,·)(Q,+,·)
将(N,+,·)中的半群(N,·)按乘法运算扩充为(Q,+·)
在Q+,∙中定义加法运算b
n +c
n
=b+c
n
,得到(Q+,+,·),再将它按加法运算扩充,得到
域(Q,+,·).
这一途径与中学教材相吻合,在(Q+,∙)中定义加法运算,只须对同分母的加法作出规定,由分数的基本性质(或序偶的对等性)，异分母分数的加法运算可转化为同分数的加法运算.
(2)(N,+,·)(Z,+,∙)(Q,+,∙)
这一途径在一般代数教程中较为常见,不赘述.
三从有理数域到实数域的扩充
从自然数到有理数的扩充,是通过序偶的等价类构造出新数集,以解决乘法和加法的逆运算的间题,在Q中,四则运算可以畅通无阻地进行,但并不意味着能进行其它各种各样的运算.就直观而言,在数轴上,有理点的分布尽管是稠密的,但不能覆盖整个数轴,数轴上还有许多“空隙”.
下面举例说明这一事实:
分别考虑有理数数列a n,a n=n
n+1；b n,b n=1+1+1
2!
+1
3!
+⋯+1
n!
·它
们具有共同的特性:当m,n充分大时,a m−a n,b m−b n变得要多小有多小.但两者也有差别:序列a n的项越来越趋近于有理数1,而对b n而言,却不存在这样的有理数.
所以,有理数的扩充既要保持原有的域公理,又要使极限运算畅行无阻.
建立实数系R的方法多种多样,但必须满足三个条件,即实数公理:(1)R是
域;(2)R是阿基米德全序域;(3)R是完备的.
建立实数系的方法常见的有三种:
(1)用十进小数来定义实数.
从教学角度而言,用十进小数定义实数既直观又方便,便于学生接受,但用它来建立实数理论却有不少困难.首先,两个无穷小数的加法无法定义,如果用不足近似值序列和过剩近似值序列表示一个无穷小数,就涉及到区间套的间题,而区间套的四则运算和序关系的定义也不容易.
(2)用戴得金分割定义实数.
定义设ξ⊂Q,并用ξ=Q∖ξ表示ξ的余集,ξ满足下列条件:(1)ξ≠φ,ξ≠
φ; (2)若a∈ξ,且a1<a则a1<ξ；（3）ξ没有最大的有理数·则称Q的分类 ξ，ξ是
一个戴得金分割,ξ叫分割的下类,ξ叫分割的上类,我们把ξ叫做一个实数，一切实数的集合记为R.
确定一个实数ξ等于确定有理数集的一个分割 ξ，ξ.有理数集分成上、下两
类ξ和ξ，好象数轴被切了一刀,切口就在ξ与ξ的分界处.分界处可能是有理点,也可能是Q的一个“空隙’,把所有有理点与所有空隙(必须补充进来的)合在一起,就是实数集的直观背景.
（3）用基本序列(柯西列,正则列)定义实数.
定义有理数列a n是柯西列,当且仅当对任意的ε>0,存在n,m,当
n,m>n0时,有a m−a n<ε.
不难给出柯西列的加法、乘法、顺序定义.
建立柯西列集合上的关系“~”
a n−
b n=0
a n~
b n lim
n ∞
可以证明"~"是一个等价关系.把一个等价类a n叫做一个实数,对任一有理数r,用常数列{r}所在的等价类与之对应,有理数集嵌人到实数集中·十进小数定义实数相当于用一种特殊类型的有理数序列来逼近实数,柯西列抛开这种序列的特殊形式而保留其基本特性,并可以克服定义运算的困难.另外,柯西列方法可以强有力地说明实数的完备性,并和分析中的柯西收敛准则相吻合,它保证了在实数范围内,任一柯西列必收敛.所以,近年来,柯西列方法被广泛采用.
四复数系的建立
在实数集R的基础上引进新的数,从而产生新的数系,希望在新的数系中,方程x2=a a∈R总有解,也就是解决自乘运算的逆运算的问题.
从域扩充的角度而言,实数域的进一步扩充沿着两个方向进行:一是超越扩充,得到有理函数域R x=f/g|f,g∈R x,g≠0;二是代数扩充得到复数域.
实际上,实数域R上的不可约多项式最多是二次的,不妨设为x2+px+
q p2−4q<0.它的一个根α是R上的代数元,由于x2+px+q是R[x]中主理想,所以Rα同构于商域R x/x2+px+q,Rα=aα+b|a,bϵR,如果取不可约多项式为x2+1,则建立复数系的过程同中学教材类似.
上述代数扩充的过程也可应用于有限域.
中学教材中指出复数集、平面上点集以及以原点为始点的向量集合之间可建立一一对应关系.这仅是集合间的一一对应,而不是代数结构间的同构映射.我们
必须从代数运算的角度掌握三者的联系与区别.
五数系的进一步扩充
由于高斯代数基本定理的保证,复数城上的任何代数扩充都同构于自身,复数域上的超越扩充C(x)与R(x)代数性质相同.
如果放弃部分域公理--乘法交换律,便可以从C扩充到四元数体H.四元数体可以看成是复数域上的二维空间或实数城上的四维空间.
有趣的是,如果把R看成是H的主理想,则H/R同构于R3中的普通向量积结构,其中i,j,k看成是坐标轴上的单位向量
数的扩充到此可告一段落.如果把代数运算进一步抽象,运算对象从数扩展为向量、矩阵、变换、乃至抽象元素,则形成形形色色的代数结构.这些便成为高等代数(或抽象代数)研究的内容,而数及其运算则成为它们的源泉和基础.。