离散数学 Algebraic structure

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分配律
分配律：设<A，*，△>，若x，y，z∈A有: x*(y△z)=
（x*y）△（x*z） (y△z)*x=(y*x)△(z*x)，称运算*在 △上可分配。
*

△
例：设A={，}，二元运 算*，△定义如左表: 问：分配律成立否？
代数结构
5.1 代数系统的引入 5.2 运算及其性质 5.3 半群 5.4 群与子群 5.5 阿贝尔群和循环群 5.6 臵换群和伯恩赛德定理 5.7 陪集与拉格朗日定理 5.8 同态与同构 5.9 环与域
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代数结构
5.1 代数系统的引入 5.2 运算及其性质 5.3 半群 5.4 群与子群 5.5 阿贝尔群和循环群 5.6 臵换群和伯恩赛德定理 5.7 陪集与拉格朗日定理 5.8 同态与同构 5.9 环与域
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代数结构
5.1 代数系统的引入 5.2 运算及其性质 5.3 半群 5.4 群与子群 5.5 阿贝尔群和循环群 5.6 臵换群和伯恩赛德定理 5.7 陪集与拉格朗日定理 5.8 同态与同构 5.9 环与域
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群论是代数系统中研究得比较成熟的一个分支， 在计算机形式语言，自动机理论，编码理论等得 到广泛应用。
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结合律
结合律：已知<A，*>，若x，y，z∈A，有x*（y*z） =（x*y）*z，称*满足结合律。 说明：结合律只定义于二元运算 例如：<A，*>，若a，b∈A，有a*b=b。证明：*满 足结合律
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交换律
交换律：已知<A，*>，若x，y∈A，x*y=y*x，称*满足 交换律。 例如：设<有理数集，*>,*定义如下：a*b=a+b-ab ，问* 满足交换律否？
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代数结构
5.1 代数系统的引入 5.2 运算及其性质 5.3 半群 5.4 群与子群 5.5 阿贝尔群和循环群 5.6 臵换群和伯恩赛德定理 5.7 陪集与拉格朗日定理 5.8 同态与同构 5.9 环与域
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封闭性
运算的封闭性：若x，y∈A，有x * y∈A，称*在A 上是封闭的。 说明：*代表任意二元运算符号，以同样的方式可以 定义n元运算的封闭性。 例如：A={x｜x=2n，n∈N}，问<A，x>运算封闭否， <A，+>，<A，/>呢？
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幺元和零元的性质
定理5-2.1: 设*是s上的二元运算，满足结合律，具有 左么元el，右么元er，则el=er=e。
证明：
推论：二元运算的么元若存在则唯一。 证明：
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© 苏州大学Βιβλιοθήκη 算机科学院与技术学院幺元和零元的性质（续）
定理5-2.2: 设*是s上的二元运算，具有左零元ol ，右零元 or，则ol=or=o 。
定义5-4.2：设〈G，*〉为群，若G是有限集，称〈G， *〉为有限群，｜G｜称为群的阶数，若G是无限集， 称〈G，*〉为无限群。
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阿贝尔群
定义5-5.1：设〈G，*〉为群，若*满足交换律，称 〈G，*〉为阿贝尔群(或可交换群或加法群)。（此
时，‘*’符号可用‘+’代替，a-1可写为-a，么元e 可写为0。）



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吸收律
吸收律：设<A，*，△>，若x，y∈A有: x*(x △ y)=x ， x △(x * y) =x， 称运算*和运算 △ 满足吸收律。 例如: N为自然数集,x,y∈N，x*y=max{x，y}, x△y=min{x，y} 试证：*和△满足吸收律。
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数学结构的重要作用和意义
自然科学 社会科学 计算机科学
…
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什么是代数系统？
运算：对于集合A，一个从An到B的映射，称为集合A上的一 个n元运算。
代数系统：集合上定义若干运算而组成的系统称为代数系 统。N种运算f1,f2,…,fn可记为〈A,f1,f2,…,fn〉。 问题：请举出几个代数系统的实例。
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等幂律
等幂律：已知〈A，*〉，若x∈A，x*x=x 则称*满足等幂律。 例如：已知集合s,〈（s）,∪,∩〉。
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幺元（单位元）和零元
定义5-2.7，5-2.8 设*是s上二元运算，er，el，r，ｌ， e， s ，有
∵考察对应于a的那一行，bG，则b=a*（a-1*b），
∴ b出现在a那一行，由ａ，ｂ任意性得证． ③因〈G，*〉中有么元，
∴任二行（列）均不相同（即各个臵换均不相同）。
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群的性质（续）
一阶群、二阶群和三阶群只有一种，四阶群只有两 种。 问题：为什么？ * e * e a * e a b
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代数结构
5.1 代数系统的引入 5.2 运算及其性质 5.3 半群 5.4 群与子群 5.5 阿贝尔群和循环群 5.6 臵换群和伯恩赛德定理 5.7 陪集与拉格朗日定理 5.8 同态与同构 5.9 环与域
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群的定义
定义5-4.1：对二元运算*满足下列四条性质的代数系 统A=〈G，*〉，称为群。
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逆元的性质
定理5-2.4: 对于可结合运算ο ，如果元素X有 左逆元ｌ， 右逆元r，则l=r=x－１ 推论：逆元若存在，则唯一。
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二元运算表与运算性质的关系
1）运算﹡具有封闭性，当且仅当运算表中的每个元素都属于A。 2）运算﹡具有可交换性，当且仅当运算表关于主对角线是对称 的。 3）运算﹡具有等幂性，当且仅当运算表的主对角线上的每一个 元素与它所在的行（列）的表头元素相同。 4）A关于运算﹡有零元，当且仅当该元素所对应的行和列中的 元素都与该元素相同。 5) A关于运算﹡有幺元，当且仅当该元素所对应的行和列依次 与运算表的行和列相一致。 6）设A中有幺元，a和b互逆，当且仅当位于a所在行，b所在列 的元素以及b所在行，a所在列的元素都是幺元。
(证明方法与定理5-2.1类似） 推论：二元运算的零元若存在则唯一。 定理5-2.2: 设〈A， *〉是一个代数系统，且集合A中元 素的个数大于1。如果该代数系统中存在么元e和零元o , 则o ≠e。
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逆元
定义5-2.9 设*是s上的二元运算，e是运算*的么元。 ①、若x*y=e那对于运算*，x是y的左逆元，y是 x的右 逆元 ②、若x*y=e，y*x=e，则称x是y的逆元，y的逆元通 常记为y-1，存在逆元(或左逆无或右逆元）的元素称 为可逆的（或左可逆的或右可逆的）
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实例
a)〈N，x〉〈{0，1}，x〉是半群，是独异点, 且是〈R，x〉的子半群,子独异点,〈R，-〉 不是半群。
b) 设s={a，b}，*定义如右表：
即a，b都是右零元。 ∵x,y,zs
* a b
a a a
b b b
① x*ys ∴运算封闭
② x*（y*z）=x*z=z （x*y）*z=z
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数理逻辑： 人工智能、程序正确性证明、程序验证等 集合论： 关系数据库模型 图论： 数据结构、数据库模型、网络模型等 代数结构： 软件规范、形式语义、编译系统、 编码理论、密码学、数据仓库 组合数学： 算法分析与设计、编码理论、容错
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实例
例：代数系统A=〈{a，b，c}， ° 〉, °用下表定义： 则 b是左幺元，无右幺元,
°
a
b
c
a是右零元，b是右零元，
无左零元;
a b c
a a a
b b b
b c a
运算°既不满足结合律，也不满足交换律。
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a）〈I，x〉 b）〈（s）,∪,∩〉 c）〈N，+〉 问题：以上系统中各运算的幺元和零元分别是 什么？
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实例
a)、代数系统 〈N，+〉中仅有幺元0有逆元0。在 〈R，×〉中，除零元0外所有元素均有逆元。
b)、A=〈{a，b，c}，*〉由下表定义： b是幺元, a的 右逆元为c，无左逆元，b的逆元为b， c无右逆元， 左逆元为a 。 * a b c
a b c a a a b a c b c c
（a） a*b=a*c
（b） b*a= c *a
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=> b=c
=> b=c
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群的性质（续）
幺元是唯一的等幂元
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群的性质（续）
定义5-4.3：有限集合s到s的一个双射，称为s的一个 臵换。 定理5-4.4：群〈G，*〉的运算表中的每一行或每一列是G 中元素的臵换。 证：① 先证运算表中每一行(列)中的元素不能出现二次(单 射)。 ∵若a*b1=a*b2=k，且b1b2，与可约性矛盾。 ② 再证G中任一元素在任一行（列）中均出现（满射）。