离散数学模拟题及答案

一、 填空
1．不能再分解的命题称为，至少包含一个联结词的命题称为。

2．一个命题公式A(P , Q, R)为真的所有真值指派是000, 001, 010, 100，则其主析取范式是，其主合取范式是。

3．设 {}，{}，{}，则( A ⋃ B ) ⊕C ＝ 。

4．幂集 P(P(∅)) ＝ 。

5．设A 为任意集合，请填入适当运算符，使式子∅；’=∅成立。

6．设{0，1，2，3，6}，{〈〉≠y ∧(∈A)∧y≡x( 3)}，则D(R)，R(R)。

7．称集合S 是给定非空集合A 的覆盖：若{S 1，S 2，…，}，其中⊆，≠Ø，1，2，…，n ，且 ；进一步若 ，则S 是集合A 的划分。

8．两个重言式的析取是 式，一个重言式和一个永假式的合取式是 式。

9．公式 ┐(P ∨Q) ←→(P ∧Q)的主析取范式是 。

10. 已知Π={{a}{}}是{}的一个划分，由Π决定的A 上的一个等价关系是 。

二、 证明及求解
1．求命题公式（P →Q ）→（Q ∨P ）的主析取范式。

2．推理证明题
1）⌝P ∨Q ，⌝Q ∨R ，R →S ⇒P →S 。

2) (∀x)(P(x)→Q(y)∧R(x))，(∃x)P(x)⇒Q(y)∧(∃x)(P(x)∧R(x))
3．设{0，1，2，3}，{〈〉∈A ∧(1∨2x )}，{〈〉∈A ∧（2）}。

试求οο。

4．证明：R 是传递的⇔R *R ⊆R 。

5．设R 是A 上的二元关系，{<a, b>| 存在c ∈A ，使<a, c>∈R ，且<c, b>∈R}。

证明：若R 是等价关系，则S 也是等价关系。

6．若→B 和→C 是双射，则（）-1-1 1。

7．符号化下列命题，并证明结论的有效性。

只要今天天气不好，就一定有考生不能提前进入考场，当且仅当所有考生提前进入考场，考试才能准时进行。

所以，如果考试准时进行，那么天气就好。

8．画出集合{1,2,3,4,5,6}在偏序关系“整除”下的哈斯图，并讨论：
1）写出 {1,2,3,4,5,6}的最大(小)元和极大(小)元；
2）分别写出{2,3,6}和{2,3,5}的上(下)界、上(下)确界。

9. 设R 是{1,2,3,4,5}上的二元关系，{<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>}，求r(R)、s(R)和t(R)，并作出它们及R 的关系图。

参考答案
一、填空
1．原子命题；复合命题
2．0m ∨1m ∨2m ∨4m ；3M ∧5M ∧6M ∧7M
3．{}
4．{∅,{∅}}
5．⊕；∩
6．{0，3，6}；{0，3，6}
7．S 1∪S 2∪…∪＝S ； ∩＝∅,1≤i<j ≤n
8．重言；永假
9．0m ∨1m
10. {<>,<>,<>,<>,<>}
二、证明及求解
1．解：(⌝p →q)→( ⌝q ∨p)⇔⌝(⌝p →q)∨(p ∨⌝q)
⇔⌝(p ∨q)∨(p ∨⌝q)
⇔(⌝p ∧⌝q)∨(p ∨⌝q)
⇔(⌝p ∨p ∨⌝q)∧(⌝q ∨p ∨⌝q)
⇔(p ∨⌝q)
⇔M1
⇔m0∨m2∨m3
2．1）证明：
(1)P 附加前提
(2)⌝P ∨Q P
(3)Q T(1)(2)，I
(4)⌝Q ∨R P
(5)R T(3)(4)，I
(6)R →S P
(7)S T(5)(6)，I
(8)P →S
2) 证明
(1)∃(x)
P (2)P(a) (1)
(3)x(P(x)→Q(y)∧R(x)) P
(4)P(a)→Q(y)∧R(a) (3)
(5)Q(y)∧R(a) T(2)(4)
(6)Q(y) T(5)
(7)R(a) T(5)
(8)P(a)∧R(a) T(2)(7)
(9)∃x(P(x)∧R(x)) (8)
(10)Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x)) T(6)(9)
3．解：
{<0,1>,<1,2>,<2,3>,<0,0>,<2,1>}{<2,0>,<3,1>}，
ο{<1,0>,<2,1>},
οο{<1,1>,<1,0>,<2,2>}
4．证明若R是传递的，则<x，y>∈R*R z(∧)∧，由R是传递的得，即有<x，y>∈R，所以R*R⊆R。

反之，若R*R⊆R，则对任意的x、y、z∈A，如果且，则<x，y>∈R*R，于是有<x，y>∈R，即有，所以R是传递的。

5．证明由R是A上的等价关系，知<>∈R，故存在a∈A，使<>∈R，且<>∈R，
故<>∈S。

若<a, b>∈S，则存在c∈A，使<>∈R，且<>∈R，由R的对称性，<>∈R，且<>∈R，故<>∈S。

若<a, b>∈S，<>∈S，存在d∈A，使<>∈R，且<>∈R，存在e∈A，使<>∈R，且<>∈R，由R的传递性，故存在e∈A，使<>∈R，且<>∈R，
所以<a, c>∈S。

故S是等价关系。

6．证明：1)因为→B和→C均是双射，故1和1均存在，且1：B→A，1：C→B，所以-1 1：C →A。

由f和g是双射，可知也是双射，故（）-1存在且（）-1：C→A。

D(-1 1)()-1
2) 对任意c∈C⇒存在唯一b∈B，使得g(b)⇒存在唯一a∈A，使得f(a)，故
(-1 1)(c)= (1(1(c))1(b)
但（）(a)(f(a))(b)
故（）-1(c)
因此对任意c∈C有：()-1(c)= (-1 1)(c)
由1)，2)可知-1 1＝()-1
7．解设P：今天天气好，Q：考试准时进行，A(e)：e提前进入考场，个体域：考生的集合，则命题可符号化为：⌝P→x⌝A(x)，(x)↔Q Q→P。

(1)⌝P→x⌝A(x) P
(2)⌝P→⌝(x) T(1)，E
(3)(x)→P T(2)，E
(4)(x)↔Q P
(5)((x)→Q)∧(Q→(x)) T(4)，E
(6)Q→(x) T(5)，I
(7)Q→P T(6)(3)，I
8．1）最大元：无；最小元：1；极大元：4，5，6；极小元：1
2）{2,3,6}的上界：6；下界：1；上确界：6；下确界：1。

{2,3,5}的上界：无；下界：1；上确界：无；下确界：1。

9.解：r(R)={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<1,1>,<2,2>,
<3,3>,<5,5>}
s(R)={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<1,2>,<4,2>,<4,3>}
R25={<2,2>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,1>,<5,5>,<5,4>}
R3={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<5,4>}
R4={<2,2>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,1>,<5,5>,<5,4>}
t(R)={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<2,2>,<5,1>,<5,4>,<5,5>} 图请同学自己画出。