离散数学模拟试题及答案
《离散数学》模拟试题
一、 填空题(每小题2分,共20分)
1. 已知集合A ={φ,1,2},则A 得幂集合p (A )=_____ _。
2. 设集合E ={a , b , c , d , e }, A = {a , b , c }, B = {a , d , e }, 则A ∪B =___ ___,
A ∩
B =____ __,A -B =___ ___,~A ∩~B =____ ____。 3. 设A ,B 是两个集合,其中A = {1, 2, 3}, B = {1, 2},则A -B =____ ___,
ρ(A )-ρ(B )=_____ _ _。
4. 已知命题公式,则G 的析取范式为 。
5. 设P :2+2=4,Q :3是奇数;将命题“2+2=4,当且仅当3是奇数。”符号化
,其真值为 。
二、单项选择题(选择一个正确答案的代号填入括号中,每小题4分,共16分。)
1. 设A 、B 是两个集合,A ={1,3,4},B ={1,2},则A -B 为( ). A. {1} B. {1, 3} C. {3,4} D. {1,2}
2. 下列式子中正确的有( )。 A. φ=0 B. φ∈{φ} C. φ∈{a,b} D. φ∈φ
3. 设集合X ={x , y },则ρ(X )=( )。 A. {{x },{y }} B. {φ,{x },{y }}
C. {φ,{x },{y },{x , y }}
D. {{x },{y },{x , y }} 4. 设集合
A ={1,2,3},A
上的关系
R =
{(1,1),(2,2),(2,3),(3,3),(3,2)}, 则R 不具备( ). 三、计算题(共50分)
R Q P G →∧?=)(
1. (6分)设全集E =N ,有下列子集:A ={1,2,8,10},B
={n |n 2
<50 ,n ∈N },C ={n |n 可以被3整除,且n <20 ,n ∈N },D ={n |2i ,i <6且i 、n ∈N },求下列集合: (1)A ∪(C ∩D ) (2)A ∩(B ∪(C ∩D )) (3)B -(A ∩C ) (4)(~A ∩B ) ∪D
2. (6分)设集合A ={a , b , c },A 上二元关系R 1,R 2,R 3分别为:R 1=A ×A ,
R 2 ={(a ,a ),(b ,b )},R 3 ={(a ,a )},试分别用
定义和矩阵运算求R 1· R 2 ,,R 1· R 2 · R 3 , (R 1·R 2 ·R 3 )-1 。 (6分)化简等价式(﹁P ∧(﹁Q ∧R ))∨(Q ∧R )∨(P ∧R ).
4. (8分) 设集合A ={1,2,3},R 为A 上的二元关系,且 M R =
写出R 的关系表达式,画出R 的关系图并说明R 的性质.
5. (10分) 设公式G 的真值表如下. 试叙述如何根据真值表求G 的 主析取范式和主合取范式,并 写出G 的主析取范式和主合取范式.
22R
1 0 0
1 1 0 1 0 0
6. (8分) 设解释I 为:
(1) 定义域D ={-2,3,6}; (2) F (x ): x ≤3 G (x ): x >5
在解释I 下求公式 x (F(x)∨G(x))的真值.
7. (6分) 试用克鲁斯卡尔算法求下图所示权图中的最优支撑树.要求画出
其最优支撑树,并求出权和.
四、证明题(每小题8分,共16分)
1. 设A ,B ,C 为三个任意集合,试证明: ( 8分) (1)(A -B )-C =(A -C )-(B -C ) (2)A ∪(B ∩C )=A ∪((B -A )∩(A ∪C )) (3)(A ∪(B -A ))-C =(A -C )∪(B -C ) (4)((A ∪B ∪C )∩(A ∪B ))-((A ∪(B -C ))∩A )=B -
A
2. 证明下面的等价式: ( 8分)
(1)(? P ∧(? Q ∧R ))∨(Q ∧R )∨(P ∧R )=R (2)(P ∧(Q ∧S ))∨(? P ∧(Q ∧S ))=(Q ∧S ) (3)P → (Q → R )=(P ∧Q )→ R (4)?( P Q )=(P ∧? Q )∨(?P ∧Q )
参考答案
一、填空题
1. {φ,{φ},{1},{φ,1},{φ,2},{1,2},A}
2. {a ,b ,c ,d ,e };{a };{b ,c };φ
3. {3};{{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}} 4 . 5. P ?Q ,1
二、单项选择题
1. C
2. B
3. C
4. B
三、计算题
1. (1)A ;(2){1};(3)B ;(4){2,4,8,9,16,32}
2. R 1 ·R 2 =={(a ,a ),(a ,b ),(b ,a ),(b ,b ),(c ,a ),(c ,b )}; ={( a ,a ),(a ,b )};
R 1·R 2 ·R 3 = {( a ,a ),(b ,a ),(c ,a )};
(R 1·R 2 ·R 3)-1
= {( a ,a ),(a ,b ),(a ,c )}; 3. 解:
(﹁P ∧(﹁Q ∧R ))∨(Q ∧R )∨(P ∧R ) =(﹁P ∧(﹁Q ∧R ))∨((Q ∨P )∧R )
?R Q P ∨?∨22
R
=((﹁P∧﹁Q)∧R))∨((Q∨P)∧R)
=((﹁P∧﹁Q)∨(Q∨P))∧R
=(﹁(P∨Q)∨(P∨Q))∧R
=1∧R
=R
解:
R={(1,1),(2,1),(2,2),(3,1) }
其关系图如下:
R是反对称的和传递的.
5. 解:
将真值表中最后一列的1左侧的二进制数,所对应的极小项写出后,将其析取起来,
就得到G的主析取范式.
于是,G=(﹁P∧﹁Q∧﹁R)∨(﹁P∧ Q∧﹁R)∨(﹁P∧Q∧R)∨(P∧﹁ Q∧R).
将真值表中最后一列的0左侧的二进制数,所对应的极大项写出后,将其合取起来,
就得到G的主合取范式.
于是,G=(P∨Q∨﹁R)∧(﹁P∨ Q∨R)∧(﹁P∨﹁Q∨R)∧(﹁P∨﹁ Q∨﹁R).
6. 解:
? x ( F(x) ∨G(x))
? ( F(-2) ∨G(-2)) ∨ ( F(3) ∨G(3)) ∨ ( F(6) ∨G(6))
(1∨0) ∨(1∨0) ∨(0∨1)
1
7. 解:
下图的粗线条为该权图的最优支撑树,5条边.
权和为2+2+3+3+5=15.
四、证明题
1.(1)
左边=(A-B)∩~C=A∩~B∩~C
右边=(A∩~C)∩~(B∩~C)
=(A∩~C)∩(~B∪C)
=(A∩~C∩~B)∪(A∩~C∩C)
=(A∩~B∩~C)∪0
=A∩~B∩~C
=左边
(2)
左边=(A∪B)∩(A∪C)
右边=A∪((B∩~A)∩(A∪C))
=A∪((B∩~A∩A)∪(B∩~A∩C))
=A∪(B∩~A∩C)
=(A∪B)∩(A∪~A)∩(A∪C)
=(A∪B)∩(A∪C)
=左边
(3)
左边=(A∪(B∩~A))∩~C
=((A∪B)∩(A∪~A))∩~C
=(A∪B)∩~C
=(A∩~C)∪(B∩~C)
=(A-C) ∪(B-C)
=右边
(4)
左边=(A∪B)-A
=(A∪B)∩~A
=(A∩~A)∩(B∩~A)
=B-A
=右边
2.(1)(?P∧(?Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)
=(?P∧(?Q∧R))∨((Q∨P)∧R)
=((?P∧?Q)∧R)∨((Q∨P)∧R)
=((?P∧? Q)∨(Q∨P))∧R
=(?(P∨Q)∨(Q∨P))∧R
=1∧R
=R
(2)(P∧(Q∧S))∨(?P∧(Q∧S))
=((Q∧S)∧P)∨((Q∧S)∧?P)
=(Q∧S)∧(P∨?P)
=(Q∧S)∧1
=Q∧S
(3)P→ (Q→R)
=? P∨(? Q∨R)
=(? P∨? Q)∨R
=?(P∧Q)∨R
=(P∧Q)→ R
(4)?(P Q)
?
=?((P→ Q)∧(Q→P))
=?((? P∨Q)∧(? Q∨P))
=?(? P∨Q)∨?(? Q∨P)
=(?(? P)∧? Q)∨(?(? Q)∧?P)
=(P∧? Q)∨(Q∧?P)
=(P∧? Q)∨(?P∧Q)