离散数学模拟试题及答案

《离散数学》模拟试题
一、 填空题（每小题2分，共20分）
1. 已知集合A ={φ，1，2}，则A 得幂集合p （A ）=_____ _。

2. 设集合E ={a , b , c , d , e }, A = {a , b , c }, B = {a , d , e }, 则A ∪B =___ ___，
A ∩
B =____ __，A －B =___ ___，～A ∩～B =____ ____。

3. 设A ，B 是两个集合，其中A = {1, 2, 3}, B = {1, 2}，则A －B =____ ___，
ρ（A ）－ρ（B ）=_____ _ _。

4. 已知命题公式，则G 的析取范式为 。

5. 设P ：2＋2＝4，Q ：3是奇数；将命题“2＋2＝4，当且仅当3是奇数。

”符号化
，其真值为 。

二、单项选择题（选择一个正确答案的代号填入括号中，每小题4分，共16分。

）
1. 设A 、B 是两个集合，A ＝{1,3,4}，B ＝{1,2}，则A －B 为（ ）. A. {1} B. {1, 3} C. {3,4} D. {1,2}
2. 下列式子中正确的有（ ）。

A. φ＝0 B. φ∈{φ} C. φ∈{a,b} D. φ∈φ
3. 设集合X ＝{x , y }，则ρ（X ）＝（ ）。

A. {{x },{y }} B. {φ,{x },{y }}
C. {φ,{x },{y },{x , y }}
D. {{x },{y },{x , y }} 4. 设集合
A ＝{1,2,3}，A
上的关系
R ＝
{(1,1),(2,2),(2,3),(3,3),(3,2)}， 则R 不具备（ ）. 三、计算题（共50分）
R Q P G →∧⌝=)(
1. （6分）设全集E ＝N ，有下列子集：A ＝{1，2，8，10}，B
＝{n |n 2
<50 ，n ∈N }，C ＝{n |n 可以被3整除，且n <20 ，n ∈N }，D ＝{n |2i ，i <6且i 、n ∈N }，求下列集合： （1）A ∪(C ∩D ) （2）A ∩(B ∪(C ∩D )) （3）B －(A ∩C ) （4）(～A ∩B ) ∪D
2. （6分）设集合A ＝{a , b , c }，A 上二元关系R 1，R 2，R 3分别为：R 1＝A ×A ，
R 2 ＝{(a ，a )，(b ，b )}，R 3 ＝{(a ，a )}，试分别用
定义和矩阵运算求R 1· R 2 ，，R 1· R 2 · R 3 ， (R 1·R 2 ·R 3 )－1 。

（6分）化简等价式（﹁P ∧（﹁Q ∧R ））∨（Q ∧R ）∨（P ∧R ）.
4. (8分) 设集合A ＝{1,2,3}，R 为A 上的二元关系，且 M R ＝
写出R 的关系表达式，画出R 的关系图并说明R 的性质.
5. （10分） 设公式G 的真值表如下. 试叙述如何根据真值表求G 的 主析取范式和主合取范式，并 写出G 的主析取范式和主合取范式.
22R
1 0 0
1 1 0 1 0 0
6. (8分) 设解释I 为：
（1） 定义域D ＝{-2,3,6}； （2） F （x ）: x ≤3 G （x ）: x ＞5
在解释I 下求公式 x （F(x)∨G(x)）的真值.
7. （6分） 试用克鲁斯卡尔算法求下图所示权图中的最优支撑树.要求画出
其最优支撑树，并求出权和.
四、证明题（每小题8分，共16分）
1. 设A ，B ，C 为三个任意集合，试证明： ( 8分) （1）（A －B ）－C ＝（A －C ）－(B －C ) （2）A ∪(B ∩C )＝A ∪（（B －A ）∩（A ∪C ）） （3）（A ∪（B －A ））－C ＝（A －C ）∪(B －C ) （4）（（A ∪B ∪C ）∩（A ∪B ））－（（A ∪（B －C ））∩A ）＝B －
A
2. 证明下面的等价式： ( 8分)
（1）（⌝ P ∧（⌝ Q ∧R ））∨（Q ∧R ）∨（P ∧R ）＝R （2）（P ∧（Q ∧S ））∨（⌝ P ∧（Q ∧S ））＝（Q ∧S ） （3）P → (Q → R )＝（P ∧Q ）→ R （4）⌝( P Q )＝（P ∧⌝ Q ）∨（⌝P ∧Q ）
参考答案
一、填空题
1. {φ，{φ}，{1}，{φ，1}，{φ，2}，{1，2}，A}
2. {a ，b ，c ，d ，e }；{a }；{b ，c }；φ
3. {3}；{{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}} 4 . 5. P ↔Q ，1
二、单项选择题
1. C
2. B
3. C
4. B
三、计算题
1. （1）A ；（2）{1}；（3）B ；（4）{2，4，8，9，16，32}
2. R 1 ·R 2 =={（a ，a ），（a ，b ），（b ，a ），（b ，b ），（c ，a ），（c ，b ）}； ={( a ，a )，(a ，b )}；
R 1·R 2 ·R 3 = {( a ，a )，(b ，a )，(c ，a )}；
(R 1·R 2 ·R 3)－1
= {( a ，a )，(a ，b )，(a ，c )}； 3. 解：
（﹁P ∧（﹁Q ∧R ））∨（Q ∧R ）∨（P ∧R ） ＝（﹁P ∧（﹁Q ∧R ））∨（（Q ∨P ）∧R ）
↔R Q P ∨⌝∨22
R
＝（(﹁P∧﹁Q)∧R））∨（（Q∨P）∧R）
＝（(﹁P∧﹁Q)∨（Q∨P））∧R
＝（﹁(P∨Q)∨（P∨Q））∧R
＝1∧R
＝R
解：
R＝{(1,1),(2,1),(2,2),(3,1) }
其关系图如下：
R是反对称的和传递的.
5. 解：
将真值表中最后一列的1左侧的二进制数，所对应的极小项写出后，将其析取起来，
就得到G的主析取范式.
于是，G＝（﹁P∧﹁Q∧﹁R）∨（﹁P∧ Q∧﹁R）∨（﹁P∧Q∧R）∨（P∧﹁ Q∧R）.
将真值表中最后一列的0左侧的二进制数，所对应的极大项写出后，将其合取起来，
就得到G的主合取范式.
于是，G＝（P∨Q∨﹁R）∧（﹁P∨ Q∨R）∧（﹁P∨﹁Q∨R）∧（﹁P∨﹁ Q∨﹁R）.
6. 解：
∃ x ( F(x) ∨G(x))
⇔ ( F(-2) ∨G(-2)) ∨ ( F(3) ∨G(3)) ∨ ( F(6) ∨G(6))
(1∨0) ∨(1∨0) ∨(0∨1)
1
7. 解：
下图的粗线条为该权图的最优支撑树，5条边.
权和为2+2+3+3+5＝15.
四、证明题
1.（1）
左边＝（A－B）∩～C＝A∩～B∩～C
右边＝（A∩～C）∩～（B∩～C）
＝（A∩～C）∩（～B∪C）
＝（A∩～C∩～B）∪（A∩～C∩C）
＝（A∩～B∩～C）∪0
＝A∩～B∩～C
＝左边
（2）
左边＝（A∪B）∩（A∪C）
右边＝A∪（（B∩～A）∩（A∪C））
＝A∪（（B∩～A∩A）∪（B∩～A∩C））
＝A∪（B∩～A∩C）
＝（A∪B）∩（A∪～A）∩（A∪C）
＝（A∪B）∩（A∪C）
＝左边
（3）
左边＝（A∪（B∩～A））∩～C
＝（（A∪B）∩（A∪～A））∩～C
＝（A∪B）∩～C
＝（A∩～C）∪（B∩～C）
＝(A－C) ∪（B－C）
＝右边
（4）
左边＝（A∪B）－A
＝（A∪B）∩～A
＝（A∩～A）∩（B∩～A）
＝B－A
＝右边
2.（1）（⌝P∧（⌝Q∧R））∨（Q∧R）∨（P∧R）
＝（⌝P∧（⌝Q∧R））∨（（Q∨P）∧R）
＝（（⌝P∧⌝Q）∧R）∨（（Q∨P）∧R）
＝（（⌝P∧⌝ Q）∨（Q∨P））∧R
＝（⌝（P∨Q）∨（Q∨P））∧R
＝1∧R
＝R
（2）（P∧（Q∧S））∨（⌝P∧（Q∧S））
＝（（Q∧S）∧P）∨（（Q∧S）∧⌝P）
＝（Q∧S）∧（P∨⌝P）
＝（Q∧S）∧1
＝Q∧S
（3）P→ (Q→R)
＝⌝ P∨（⌝ Q∨R）
＝（⌝ P∨⌝ Q）∨R
＝⌝（P∧Q）∨R
＝（P∧Q）→ R
（4）⌝(P Q)
↔
＝⌝（（P→ Q）∧（Q→P））
＝⌝（（⌝ P∨Q）∧（⌝ Q∨P））
＝⌝（⌝ P∨Q）∨⌝（⌝ Q∨P）
＝（⌝（⌝ P）∧⌝ Q）∨（⌝（⌝ Q）∧⌝P）
＝（P∧⌝ Q）∨（Q∧⌝P）
＝（P∧⌝ Q）∨（⌝P∧Q）。