离散数学小测试题及答案

一、填空
1．设
}7|{)},5()(|{<∈=<∈=+
x E x x B x N x x A 且且（N ：自然数集，E + 正偶数） 则 =⋃B A {0，1，2，3，4，6}； 。

2．A ，B ，C 表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为 A C B -⊕)( 。

3．设P ，Q 的真值为0，R ，S 的真值为1，则
)()))(((S R P R Q P ⌝∨→⌝∧→∨⌝的真值= 1 。

4．公式P R S
R P ⌝∨∧∨∧)()(的主合取范式为
)()(R S P R S P ∨⌝∨⌝∧∨∨⌝ 。

5．若解释I 的论域D 仅包含一个元素，则
)()(x xP x xP ∀→∃ 在I 下真值为
{<1,1>, <1,3>, <2,2>, <2,4> } 。

6. P ：你努力，Q ：你失败。

“除非你努力，否则你将失败”的翻译为 Q P →⌝； ；“虽然你努力了，但还是失败了”的翻译为 Q P ∧ 。

7.论域D={1，2}，指定谓词P
则公式),(x y yP x ∃∀真值为 T 。

二、选择
1、下列是真命题的有（ C D ） A ． }}{{}{a a ⊆；
B ．}}{,{}}{{ΦΦ∈Φ；
C ．
}},{{ΦΦ∈Φ； D ． }}{{}{Φ∈Φ。

2、下列集合中相等的有（B 、C ）
A ．{4，3}Φ⋃；
B ．{Φ，3，4}；
C ．{4，Φ，3，3}；
D ． {3，4}。

3、设全集U 是实数集R ，，，则图
中阴影部分所表示的集合是( C ).
A.
B.
C. D.
4、在下述公式中是重言式为（ B 、D ）
A ．)()(Q P Q P ∨→∧；
B ．))()(()(P Q Q P Q P →∧→↔↔；
C ．Q Q P ∧→⌝)(；
D ．)(Q P P ∨→。

5、命题公式 )()(P Q Q P ∨⌝→→⌝ 中极小项的个数为（D ），成真赋值的个数为（ D ）。

A ．0；
B ．1；
C ．2；
D ．3 。

6、给定推理
①))()((x G x F x →∀ P ②)()(y G y F → ③)(x xF ∃ P ④)(y F ⑤)(y G ⑥)(x xG ∀
)())()((x xG x G x F x ∀⇒→∀∴
推理过程中错在（ C ）。

A 、①->②;
B 、②->③;
C 、③->④;
D 、④->⑤;
E 、⑤->⑥
三、逻辑判断
1. 用等值演算法和真值表法判断公式)())()((Q P P Q Q P A ↔↔→∧→=的类型。

答案：
（1）等值演算法
T Q P Q P Q P P Q Q P A ⇔↔↔↔⇔↔↔→∧→=)()()())()((
（2）真值表法
所以A
2.下列问题，若成立请证明，若不成立请举出反例：
（1） 已知C B C A ∨⇔∨，问B A ⇔成立吗？ （2） 已知B A ⌝⇔⌝，问B A ⇔成立吗？
答案：
（1）不成立。

若取T C B C A T T B T
T A T
C ⇔∨⇔∨⇔∨⇔∨=有则
但A 与B 不一定等价，可为任意不等价的公式。

（2）成立。

证明：T B A B
A ⇔⌝↔⌝⌝⇔⌝充要条件
即：B A A B B A B A A B A B B A A B B A T ↔⇔→∧→⇔∨⌝∧∨⌝⇔⌝∨∧⌝∨⇔⌝→⌝∧⌝→⌝⇔)()()()()()()()(
所以T B A ⇔↔故 B A ⇔。

四、计算
1、 设命题A 1，A 2的真值为1，A 3，A 4真值为0，求命题
)()))(((421321A A A A A A ⌝∨↔⌝∧→∨的真值。

解：
1111)01(1)01(1()11()))001(1(=↔=↔∨=↔→∨=∨↔∧→∨
2、 利用主析取范式，求公式R Q Q P ∧∧→⌝)(的类型。

解：
F R Q Q P R Q Q P R Q Q P R Q Q P ⇔∧∧⌝∧⇔∧∧⌝∧⇔∧∧∨⌝⌝⇔∧∧→⌝)()()
()()(
它无成真赋值，所以为矛盾式。

五、逻辑推演
用推理规则证明下题（每小题 8分） 1、F A F E D D C B A →⇒→∨∧→∨, 证明
①A （附加前提） ②B A ∨
③D C B A ∧→∨ ④D C ∧ ⑤D ⑥E D ∨ ⑦F E D →∨ P ⑧F ⑨F A →
CP
2、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ∀→∀⇒→∀
证明 ①)(x xP ∀ P （附加前提） ②)(c P
③))()((x Q x P x →∀ P ④)()(c Q c P → ⑤)(c Q ⑥)(x xQ ∀
⑦)()(x xQ x xP ∀→∀
3.符号化语句：“有些人喜欢所有的花，但是人们不喜欢杂草，那么花不是杂草”。

并推证其结论。

解：y x y x H x x G x x F x x M 喜欢是杂草是花是人:),(;:)(;:)(;
:)(
))),()(()((y x H y F y x M x →∀∧∃ ))),()(()((y x H y G y x M x ⌝→∀→∀ ))()((x G x F x ⌝→∀⇒
证明：
⑴))),()(()((y x H y F y x M x →∀∧∃ ⑵)),()(()(y a H y F y a M →∀∧ ⑶)(a M
⑷)),()((y a H y F y →∀
⑸))),()(()((y x H y G y x M x ⌝→∀→∀ ⑹)),()(()(y a H y G y a M ⌝→∀→ ⑺)),()((y a H y G y ⌝→∀ ⑻))(),((y G y a H y ⌝→∀ ⑼),()(z a H z F → ⑽)(),(z G z a H ⌝→ ⑾)()(z G z F ⌝→ ⑿))()((x G x F x ⌝→∀。