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九年级数学暑假班讲义(教师版) 第1讲一元二次方程 - 提高班

第1讲一元二次方程1 一元二次方程的定义1．一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．要点诠释：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2．一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．要点诠释：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.【例题精选】例1 （2019秋•邗江区校级期末）若关于x的一元二次方程ax2+bx+4＝0的一个根是x＝﹣1，则2015﹣a+b的值是（）A．2011B．2015C．2019D．2020【分析】把x＝﹣1代入方程ax2+bx+4＝0得a﹣b+4＝0，然后利用整体代入的方法计算2015﹣a+b的值．【解答】解：把x＝﹣1代入方程ax2+bx+4＝0得a﹣b+4＝0，所以a﹣b＝﹣4，所以2015﹣a+b＝2015﹣（a﹣b）＝2015﹣（﹣4）＝2019．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．例2 （2019秋•常德期末）将一元二次方程5x2﹣1＝4x化为一般形式，其中一次项系数是（）A．5B．﹣4C．4D．﹣1【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【解答】解：一元二次方程5x2﹣1＝4x化为一般形式是5x2﹣4x﹣1＝0，一次项系数分别为﹣4．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，解答本题要通过移项，转化为一般形式，注意移项时符号的变化．【随堂练习】1．（2019秋•长春期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a2﹣1＝0的一个根为0，则a 的值为（）A．1B．﹣1C．±1D．【解答】解：把x＝0代入方程x2﹣x+a2﹣1＝0得：a2﹣1＝0，∴a＝±1．故选：C．2．（2019秋•五华县期末）一元二次方程x2﹣2x+3＝0的一次项和常数项分别是（）A．2和3B．﹣2和3C．﹣2x和3D．2x和3【解答】解：一元二次方程x2﹣2x+3＝0的一次项是﹣2x，常数项是3，故选：C．3．（2019秋•开远市期末）将一元二次方程5x2﹣1＝4x化成一般形式后，二次项系数、一次项系数和常数项分别为（）A．5、﹣1、4B．5、4、﹣1C．5、﹣4、﹣1D．5、﹣1、﹣4【解答】解：5x2﹣1＝4x化成一元二次方程一般形式是5x2﹣4x﹣1＝0，它的二次项系数是5，一次项系数是﹣4，常数项是﹣1．故选：C．2 直接开平方法1．直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.【例题精选】例1（2019秋•江城区期中）解方程4x2﹣13＝12【分析】移项，合并同类项，两边开方，即可求出答案．【解答】解：移项得：4x2＝13+12，4x2＝25，，，．【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．例2（2019秋•雁塔区校级月考）解下列方程：（1）（x﹣2）2﹣25＝0；（2）x2﹣1＝215．【分析】（1）根据直接开方法即可求出答案．（2）根据直接开方法即可求出答案．【解答】解：（1）∵（x﹣2）2﹣25＝0，∴x﹣2＝±5，∴x＝7或x＝﹣3；（2）∵x2﹣1＝215，∴x2＝216，∴x＝±6【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．【随堂练习】1．（2019秋•龙岗区期中）解下列方程：（1）x2﹣121＝0（2）2（x﹣1）2＝338【解答】解：（1）∵x2﹣121＝0，∴x2＝121，∴x＝11或x＝﹣11（2）∵2（x﹣1）2＝338，∴（x﹣1）2＝169，∴x﹣1＝±13，∴x＝14或﹣12；3 配方法1．配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.【例题精选】例1 （2019秋•青浦区校级期中）用配方法解方程：2x2﹣6x﹣1＝0【分析】根据配方法解方程的步骤依次计算可得．【解答】解：∵2x2﹣6x＝1，∴x2﹣3x＝，∴x2﹣3x+＝+，即（x﹣）2＝，∴x﹣＝±，则x1＝，x2＝．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．例2（2019秋•徐汇区校级月考）用配方法解方程：20x2+12x＝．【分析】根据配方法即可求出答案．【解答】解：原方程化为：x2+x＝，∴x2+x+＝，∴（x+）2＝，∴x＝【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．【随堂练习】1.（2019春•沂源县期中）配方法解一元二次方程：﹣2x2+2x+1＝0．【解答】解：∵﹣2x2+2x＝﹣1，∴x2﹣x＝，则x2﹣x+＝+，即（x﹣）2＝，。

初三数学暑期标准课讲义(教师版)

目录入门检测:1.一次函数21y x =-的图象与x 轴的交点坐标为，与y 轴的交点坐标为．<2分钟>【答案】(1,02)，(0,1-)2. 已知一次函数y=kx+b ，y 随着x 的增大而减小，且kb ＞0，则这个函数的大致图象是( )<2分钟>A ．B ．C ．D ．【答案】B3. 将正比例函数y=3x 的图象向下平移4个单位长度后，所得函数图象的解析式为（）． <2分钟>A ．34y x =+B ．34y x =-C ．3(4)y x =+D ． 3(4)y x =-【答案】B4. 如图，直线AB 与x 轴交于点A （1，0），与y 轴交于点B （0，－2）. （1）求直线AB 的解析式；（2）若点C 是第一象限内的直线上的一个点，且△BOC 的面积为2，求点C 的坐标. <5分钟>【答案】解：（1）设直线AB 的解析式为)0(≠+=k b kx y , ∵直线AB 经过点A （1，0），点B （0，－2），∴0,2,k b b +=⎧⎨=-⎩解得2,2.k b =⎧⎨=-⎩∴直线AB 的解析式为22-=x y .(2) ∵△BOC 的面积为2，过点C 作CD ⊥y 轴于点D ，∴CD=2.又∵点C 在第一象限内，∴点C 的横坐标是2. 代入22-=x y ，得到点C 的纵坐标是2. ∴点C 的坐标是（2，2）.5. 已知等腰三角形周长为12，其底边长为y ，腰长为x. （1）写出y 关于x 的函数解析式及自变量x 的取值范围；（2）在给出的平面直角坐标系中，画出（1）中函数的图象. <5分钟>【答案】解：(1)依题意212y x +=，212y x ∴=-+.x ，y 是三角形的边，故有002x y x y >⎧⎪>⎨⎪>⎩，将212y x =-+代入，解不等式组得36x <<.(2)-2 -1 -7-6 -5-4-3 -3 -4 -5 -6 -7 12 3 4 5 6 7-1 -2 76 5 4 3 2 1 o yx-2-1-7-6-5-4-3-3-4-5-6-71234567-1-27654321oyx第一讲二次函数的概念与解析式1.1二次函数的定义及图像二次函数的定义一般地，形如2(,,0)y axbx c a b c a =++≠是常数，的函数，叫做二次函数，其中，x 是自变量，,,a b c 分别是二次项系数、一次项系数、常数项．【例1】已知函数y=（m+2）x 2m m+是关于x 的二次函数，则满足条件的m 值为______．【答案】m=1【练习1.1】若y=（m －3）232m m x -+是二次函数，求m 的值．【答案】m=0【例2】若y=（k －3）22k x -+x 2－x+1是二次函数，求常数k 的值．【答案】分情况讨论：当k －3=0，即k=3时，y=x 2－x+1是二次函数；当k 2－2=2且k －3+1≠0，即k=－2时，y=－4x 2－x+1是二次函数；当k 2－2=1时，即k=±3时，y=x 2+（3－4）x+1，或y=x 2－（3+4）x+1均是二次函数，还有k 2－2=0时综合上知k=3或－2或±3或±2【练习2.1】若y=（k －2）22k x -+4x 2－x+1是二次函数，求常数k 的值．【答案】21.2 二次函数的性质与a 有关的性质一函数形式：2(0)y ax a =≠开口：0a >，开口向上；0a <,开口向下.a 相同⇔抛物线的形状大小相同.a越大开口越小，a越小开口越大.对称轴：y 轴（0x =）顶点：原点（0,0）【例3】二次函数y ＝ax 2的图象大致如下，请将图中抛物线字母的序号填入括号内．(1)y ＝2x 2如图( ) ； (2)221x y =如图( )； (3)y ＝－x 2如图( )； (4)231x y -=如图( )；(5)291x y =如图( )；(6)291x y -=如图( )．【答案】(1)D ，(2)C ，(3)A ，(4)B ，(5)F ，(6)E ．【练习3.1】若函数y ＝226a a ax －－是二次函数且图象开口向上，则a ＝( ) A ．－2 B ．4 C ．4或－2 D ．4或3【答案】B⏹ 与a 有关的性质二【例4】已知a<－1，点（a －1，y 1），（a ，y 2），（a+1，y 3）都在函数y=x 2的图象上，则（） A ．y 1<y 2<y 3 B ．y 1<y 3<y 2 C ．y 3<y 2<y 1 D ．y 2<y 1<y 3【答案】C【练习4.1】若二次函数223y x =-的图象上有两个点(3,)A m -、(2,)B n ，则m ___n （填“<”或“=”或“>”）【答案】>⏹ 与a 、b 有关的性质对称轴在y 轴左侧，,a b 同号；对称轴在y 轴右侧，,a b 异号.（左同右异）对称轴在y 轴上，b=0.【例5】判断下列二次函数的对称轴的位置 (1)y ＝x 2＋6x ＋10 (2)y ＝3x 2－2x (3)y ＝100－5x 2 (4)y ＝(x －2)(2x ＋1)(5)y ＝ax 2－6bx ＋10（a<0,b<0）【答案】左，右，0，右，右【练习5.1】已知二次函数2y ax bx c =++ (a ≠0）的图象如右图所示，则下列结论：①a 、b 同号；②当x =1和x =3时，函数值相等；③4a +b =0；④当y =－2时，x 的值只能取0．其中正确的个数是（）A ．l 个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B与c 有关的性质抛物线与y 轴正半轴相交，0c >；负半轴相交，0c <.抛物线经过原点，c=0【例6】判断下列二次函数与y 轴的交点的位置 (1)y ＝2x 2＋3x ＋10 (2)y ＝－3x 2－2x －3 (3)y ＝100x －5x 2(4)y ＝(x －3)(2x ＋1) (5)y ＝x 2－6x ＋a 2+2a+3【答案】正，负，原点，负，正.【练习6.2】已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，有下列结论：①abc>0；②a+b+c>0；③a-b+c<0；其中正确的结论有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C1.3二次函数的解析式的求法一般式【例7】已知抛物线c bx x y ++=2经过点（1，-4）和（-1，2）.求抛物线解析式.【答案】解：设抛物线解析式为：由题意知：⎩⎨⎧=--=+15b c b c解得：⎩⎨⎧-=-=32b c∴抛物线解析式为232--=x x y【练习7.1】已知：如图，二次函数22y axbx =+-的图象经过A 、B 两点，求出这个二次函数解析式.【答案】解：（1）由图可知A （－1，－1），B （1，1）依题意，得21,21a b a b --=-⎧⎨+-=⎩解得2,1.a b =⎧⎨=⎩∴ y ＝2x 2＋x －2．顶点式【例8】以直线1x =为对称轴的抛物线过点A （3，0）和点B(0，3)，求此抛物线的解析式.【答案】解：设抛物线的解析式为2(1)y a x b =-+，抛物线过点A （3，0）和B(0，3). ∴40,3.a b a b +=⎧⎨+=⎩解得1,4.a b =-⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为223y x x =-++.【练习8.1】已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，－2），求这个二次函数的关系式．【答案】解：设这个二次函数的关系式为2)1(2--=x ay得：2)10(02--=a 解得：2=a∴这个二次函数的关系式是2)1(22--=x y ，即224.y x x =-双根式【例9】已知抛物线与x 轴相交于两点A(1，0)，B(-3，0)，与y 轴相交于点C(0，3)． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)如果点3,2D m ⎛⎫⎪⎝⎭是抛物线上的一点，求△ABD 的面积．【答案】解：(1) ∵抛物线与y 轴相交于点C(0，3),∴设抛物线的解析式为23y ax bx =++. ∵抛物线与x 轴相交于两点(1,0),(3,0)A B -， ∴30,9330.a b a b ++=⎧⎨-+=⎩解得：1,2.a b =-⎧⎨=-⎩ ∴抛物线的函数表达式为：232y x x =-+-. （2）∵点3(,)2D m 是抛物线上一点，∴2(23339)224m =-⨯+=--. ∴119942242ABD D S AB y ∆==⨯⨯=.【练习9.1】已知抛物线过点A (2,0),B (－1,0),与y 轴交于点C ,且OC ＝2.则这条抛物线的解析式是（）A.22y x x =--B.22y x x =-++C.22y x x =--或22y x x =-++D.22y x x =---或22y x x =++【答案】C1.4二次函数与图形变换 ⏹ 平移【例10】将函数234y x x =+-向左平移3个单位，向下平移2个单位后的解析式为．【答案】276y x x =++【练习10.1】将抛物线25y x =先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（） A ．25(2)3y x =++B ．25(2)3y x =-+C ．25(2)3y x =--D ．25(2)3y x =+-【答案】A【练习10.2】把抛物线y ＝－x 2＋4x －3先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，则变换后的抛物线解析式是( ) A ．y ＝－(x ＋3)2－2 B ．y ＝－(x ＋1)2－1 C ．y ＝－x 2＋x －5D ．前三个答案都不正确【答案】B⏹ 对称【例11】抛物线234y x x =+-关于x 轴对称的图像解析式为，关于y 轴对称的图像解析式为，关于原点对称的图像解析式为.【答案】234y x x =--+；234y x x =--；234y x x =-++【练习11.1】某抛物线先沿x 轴翻折，再沿y 轴翻折得到新的解析式为223y x x =+，则原抛物线解析式为.【答案】223y x x =-+ 旋转【例12】填空(1)将抛物线21y x =+绕原点O 旋转180°，则旋转后抛物线的解析式为. (2)将抛物线223y x x =++绕点（1,1）旋转180°，则旋转后的抛物线解析式为.【答案】（1）21y x =--（2）269y x x =-+-【练习12.1】将抛物线 224=+y x 绕原点O 旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（）A ． 22=-y xB ． 224=-+y xC ． 224=--y xD ． 224=-y x【答案】C课后作业:1. 把抛物线2=+1y x 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（） A ．()231y x =+- B ．()233y x =++ C ．()231y x =-- D ．()233y x =-+【答案】C2.二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列结论中错误．．的是（） A ．函数有最小值 B ．当－1 <x < 2时，0y > C ．0a b c ++< D ．当12x <，y 随x 的增大而减小【答案】B3.已知抛物线y =x 2－4x +5，求出它的对称轴和顶点坐标.【答案】解：y =x 2－4x +5 = x 2－4x +4+1 =(x －2)2+1.∴抛物线的对称轴为x =2.顶点坐标为（2，1）.4. 抛物线22y x =平移后经过点(0,3)A ，(2,3)B ，求平移后的抛物线的表达式．【答案】解：设平移后抛物线的表达式为22y x bx c =++．∵平移后的抛物线经过点(0,3)A ，(2,3)B ，∴3,382.c b c =⎧⎨=++⎩解得4,3.b c =-⎧⎨=⎩所以平移后抛物线的表达式为2243y x x =-+．解二：∵平移后的抛物线经过点(0,3)A ，(2,3)B ， ∴平移后的抛物线的对称轴为直线1x =. ∴设平移后抛物线的表达式为()221y x k=-+．∴()23221k=⨯-+．∴1k =．所以平移后抛物线的表达式为()2211y x =-+．5.已知：二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠中的x y ，满足下表：（1）的值为；（2）若1()A p y ，，2(1)B p y +，两点都在该函数的图象上，且0p <，试比较1y 与2y的大小.【答案】解：（1）m = 0 . （2）0p <，11p p ∴<+<，又因为抛物开口向上，对称轴为1x =， ∴12y y >.6.已知直线y=mx+n 经过抛物线y=ax2+bx+c 的顶点P(1，7)，与抛物线的另一个交点为M （0，6），求直线和抛物线的解析式【答案】解：（1）∵ 直线y mx n =+经过点P （1，7）、M （0，6），∴7,6.m n n +=⎧⎨=⎩解得 1,6.m n =⎧⎨=⎩∴ 直线的解析式为6y x =+． ∵ 抛物线2y ax bx c=++的顶点为P （1，7），∴ 2(1)7y a x =-+．∵ 抛物线经过点M （0，6）， ∴2(01)76a -+=．解得1a =-．∴ 抛物线的解析式为226y x x =-++．7.抛物线2y x bx c =++（b ，c 均为常数）与x 轴交于(1,0),A B 两点，与y 轴交于点(0,3)C ．．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）若P 是抛物线上一点，且点P 到抛物线的对称轴的距离为3，请直接写出点P 的坐标．【答案】解:(1) ∵抛物线2y x bx c =++与y 轴交于点(0,3)C , ∴c=3 .∴23y x bx =++.又∵抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点(1,0)A , ∴b=-4 .∴243y x x =-+. （2）点P 的坐标为(5,8)或(1,8)-．入门检测:1. 下列各式中，y 是x 的二次函数的个数为( )①y ＝2x 2＋2x ＋5；②y ＝－5＋8x －x 2；③y ＝(3x ＋2)(4x －3)－12x 2；④y ＝ax 2＋bx ＋c ；⑤y ＝mx 2＋x ；⑥y ＝bx 2＋1(b 为常数，b ≠0)．<1分钟>A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A2. 已知二次函数,2c bx ax y ++=且0,0>+-<c b a a ，则一定有（）<2分钟> A ．042>-ac b B ．042=-ac b C ．042<-ac b D ．042≤-ac b【答案】A3．在同一直角坐标系中，一次函数y =ax +c 和二次函数y =ax 2+c 的图象为( ) <2分钟>【答案】B4. 抛物线2y x bx c =++图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为223y x x =--，则b 、c 的值为（）<2分钟> A .b ＝2，c ＝2 B.b ＝2，c ＝0 C .b ＝－2，c ＝－1 D.b ＝－3，c ＝2 【答案】B5．将抛物线221216y x x =-+绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）．<2分钟> A ．221216y x x =--+ B ．221216y x x =-+- C ．221219y x x =-+- D ．221220y x x =-+-【答案】D6．抛物线2y x bx c =-++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：x… 2-1-0 1 2 … y…4664…从上表可知，下列说法正确的个数是（）<4分钟>①抛物线与x 轴的一个交点为(20)-，②抛物线与y 轴的交点为(06)， ③抛物线的对称轴是：1x = ④在对称轴左侧y 随x 增大而增大 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C7．若二次函数52++=bx x y 配方后为k x y +-=2)2(则b 、k 的值分别为（）<1分钟> A ．0，5 B ．0，1 C ．—4，5 D ．—4，1 【答案】D8．由二次函数y ＝－x 2＋2x 可知（）<2分钟>A ．其图象的开口向上B ．其图象的对称轴为x ＝1C ．其最大值为－1D ．其图象的顶点坐标为（－1，1）【答案】B。

初三数学暑假衔接班讲义(合计18讲-可修改编辑)

暑假班培训初三数学学习资料目录本次培训具体计划如下，以供参考：第一讲如何做几何证明题第二讲平行四边形（包括矩形，菱形和正方形）的性质和判定第三讲平行四边形的提高篇（涉及中考的压轴题）第四讲梯形的辅助线和中考解题思路第五讲三角形和梯形中位线及其在中考中的解题技巧第六讲一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法）第七讲一元二次方程的判别式及其在中考题中的专项训练第八讲一元二次方程根与系数的关系（涵盖压轴题 5 种关系）第九讲一元二次方程的应用题（必讲章节）第十讲因式分解第十一讲分式的运算第十二讲分式的化简求值第十三讲分式方程及其应用第十四讲二次根式的运算专题第十五讲二次根式的化简求值第十六讲代数式的恒等变形第十七讲相似三角形第十八讲相似三角形（提高篇）第一讲：如何解决中考图形类证明题【知识梳理】1、几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。

几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。

这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。

2、掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。

3、掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。

在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。

【例题精讲】【专题一】证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。

09暑假初三数学提高1班1715

初三提高数学1班课时1．因式分解（7月15日）知识整理：1.因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的的形式．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．2. 因式分解的方法：⑴ ，⑵ ⑶⑷3.提公因式法：=++mc mb ma __________ _________.4.公式法: ⑴ =-22b a ⑵ =++222b ab a ，⑶=+-222b ab a .5.十字相乘法：()=+++pq x q p x 2 ．例题讲解：例1 分解因式：⑴ x 3-x 2=_______________________;⑵ x 2-81=______________________;⑶ x 2+2x+1=___________________;⑷ a 3-2a 2+a=_____________________.例2. 已知a+b=5,ab=3,求代数式a 3b-2a 2b 2+ab 3的值.课堂练习：1．简便计算：=2271.229.7－ 2．分解因式：=-x x 422____________________；3．分解因式：=-942x ____________________；4．分解因式：=+-442x x ____________________；5.若x 2+kx －6有一个因式是(x －2)，则k 的值是 ;6．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（）A bx ax b a x -=-)(B 222)1)(1(1y x x y x ++-=+-C )1)(1(12-+=-x x xD c b a x c bx ax ++=++)(7.（阅读理解题）分解因式：x 2 －120x+3456分析：由于常数项数值较大，则采用x 2－120x 变为差的平方的形式进行分解，这样简便易行：x 2 －120x+3456 = x 2 －2×60x+3600－3600+3456= (x －60)2－144=(x －60+12)(x-60-12)=(x －48)(x －72)请按照上面的方法分解因式：x 2 + 42x －35268.已知a=2006x+2007，b=2006x+2006，c=2006x+2005．求2a 2+2b 2+2c 2-2ab-2bc-2ac 的值．课后测试：1.若x-y=3，则2x-2y= ．2.分解因式：3x x -=______________________3．若 , ),4)(3(2==-+=++b a x x b ax x 则；4. 2008200720082⨯- = .5.若x 2＋mx ＋25 是一个完全平方式，则m 的值是（）A. 20B.10C. ± 20D. ±10 课时2．分式知识整理：1.分式的概念：整式A 除以整式B ，可以表示成 A B的形式，如果除式B 中含有，那么称 A B 为分式．若，则 A B 有意义；若，则 A B 无意义；若，则 A B =0 2．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的．用式子表示为 .3. 约分：把一个分式的分子和分母的约去，这种变形称为分式的约分．4．通分：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为的分式，这一过程称为分式的通分5．分式的运算⑴ 加减法法则：① 同分母的分式相加减： .② 异分母的分式相加减： .⑵ 乘法法则： .乘方法则： .⑶ 除法法则： .例题讲解：例1：（1）当x 时，分式x-13无意义？（2）当x 时，分式392--x x 的值为零？例2：⑴ 已知 31=-x x ，则221x x + = . ⑵若 311=-yx ，则分式 =---+y xy x y xy x 2232 . 例3先化简，再求值：⑴262393m m m m -÷+--，其中m = 2⑵ (12-x x －x x -12)÷1-x x ,其中x ＝3＋1.课堂练习：1．化简分式：22544______,202ab x x a b x -+=-=________． 2．计算：x －1x －2 ＋12－x＝。

09暑假初三数学1班13729

初三数学1班 §23.2.1 直接开方法和因式分解法（7月29日）【知能点分类训练】知能点1 直接开方法1．16的平方根是______，8的算术平方根是_______．2．a+1有平方根，则a 的取值范围是_______，它的平方根是________． 3．x=81，则x 的值是（）．A ．9B ．－9C ．9或－9D ．以上都不对 4．若一个正方形的面积是（a 2+1）m 2，则正方形的边长是（）． A ．a+1 B ．±（a+1） C ．±21a + D ．21a + 5．（1）2x 2－98=0的根是（）．A ．x 1=72，x 2=－72B ．x=72C ．x 1=7，x 2=－7D ．x=7 （2）（1－2x ）2－4=0的解是（）． A ．x 1=2，x 2=－2 B ．x 1=－12，x 2=32 C ．x=－12 D ．x 1=12，x 2=－3 知能点2 因式分解法6．（1）3x 2－x 分解因式为__________________．（2）－a 2+8a －16分解因式为___________________．（3）2x 2－50分解因式为___________________． 7．一元二次方程x 2=x 的根是___________________． 8．解方程：（1）x 2－3x=0；（2）9x 2－6x+1=0．9．解方程．（1）x （x －12）=x ；（2）（12x －2）2=2．【综合应用提高】10．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）只有一个根是0的条件是（）． A ．b=0，c=0 B ．c=0 C ．c=0，b ≠0 D ．b=0，c ≠0 11．方程12（x －3）2=0的根是（）． A ．x=3 B ．x=0 C ．x 1=x 2=3 D ．x 1=3，x 2=－3 12．给出以下方程的解题过程，其中正确的有（）．①解方程12（x－2）2=16，两边同时开方，得x－2=±4，移项得x1=6，x2=－2；②解方程x（x－12）=（x－12），两边同时除以（x－12）得x=1，所以原方程的根为x1=x2=1；③解方程（x－2）（x－1）=5，由题得x－2=1，x－1=5，解得x1=3，x2=6；④方程（x－m）2=n的解是x1=m+n，x2=m－n．A．0个B．2个C．3个D．4个13．解下列方程．（1）4（2x－1）2=9（3x－2）2；（2）12（x－2）2+x－2=0；14．（1）2x2+8x+8=0；（2）13（x－4）2=3．15．解方程x4－6x2+9=0．【开放探索创新】16．请你自己写出一道含有未知数y的一元二次方程，要求：（1）•能够用因式分解法解；（2）使方程的一个根是2，并解这个方程．17．若方程12（x－m）2－n=0，试说明方程根的情况．【中考真题实战】18．（甘肃）方程（x－1）（x+2）=2（x+2）的根为__________________．19．（温州）方程（x－1）（x+2）（x－3）=0的根是________________．20．（衢州）x 3－x=0的解为（）．A ．0，1B ．1，－1C ．0，－1D ．0，1，－1§23.2 一元二次方程的解法（1）作业◆基础知识作业1.方程x 2=16的根是x 1=______,x 2=______;若(x －2)2=0，则x 1=__________,x 2=__________.2.方程2x 2=32的解是________________; 方程2x 2=82的解是___________________.3.方程2(x －1)2=0的解是______________;方程(2x +1)2=0的解是______________________4.解方程:（1）x 2=4 (2)(x +1)2=0 （3）y 2－81=0◆能力方法作业5.若－2x 2+8=0，则x 1=_______,x 2=________;方程(2x －1)2=1的解______________ .6.若x 2+4=0，则此方程解的情况是________________________.7.若2x 2－7=0，则此方程的解的情况是___________________.8.方程5x 2+75=0的根是（） **B.－5C.±5D.无实根9.方程4x 2－0.3=0的解是（） A.075.0=x B.30201-=x C.27.01=x 27.02-=xD.302011=x 302012-=x 10.关于x 的方程(x +m )2=n ,下列说法正确的是（） A.有两个解x =±nB.当n ≥0时，有两个解x =±n －mC.当n ≥0时，有两个解x =±m n -D.当n ≤0时，方程无实根11.若一元二次方程(m －2)x 2+3(m 2+15)x +m 2－4=0的常数项是0，则m 为（） **B.±2C.－2D.－1012.解方程:（1）3x 2=3 （2）(4t －5)2=9（3）(x +1)2－144=0 （4）21(2x +1)2=313.已知一元二次方程21m y +－3y+1=0，求m 的值.◆能力拓展与探究14.已知方程ax 2+bx +c =0的一个根是－1，则a －b +c =___________.15.方程ax 2+c =0(a ≠0)的解的情况是：当ac ＞0时__________________；当ac =0时__________________；当ac ＜0时__________________. 16.关于x 的方程(m －3)x72-m －x =5是一元二次方程，则m =_________.17、若方程02=-m x 有整数根，则m 的值可以是_________（只填一个） 18. 关于x 的一元二次方程（a －1）x 2－5x －a 2+1=0 有一根为0，求a 的值.§23.2 一元二次方程的解法（2）作业◆基础知识作业1.如果两个因式的积是零，那么这两个因式至少有__________等于零；反之，如果两个因式中有__________等于零，那么它们之积是__________.2.方程x 2－16=0，可将方程左边因式分解得方程__________，则有两个一元一次方程____________或____________，分别解得：x 1=__________,x 2=__________.3.填写解方程3x (x +5)=5(x +5)的过程解：3x (x +5)__________=0 (x +5)(__________)=0x +5=__________或__________=0 ∴x 1=__________,x 2=__________ 4.用因式分解法解一元二次方程的关键是（1）通过移项，将方程右边化为零（2）将方程左边分解成两个__________次因式之积（3）分别令每个因式等于零，得到两个一元一次方程（4）分别解这两个__________，求得方程的解 5.一元二次方程(1)(2)0x x +-=的根是。

09暑假初三数学1班10725

MNP例1图A初三数学1班课时14．视图与投影（7月25日）知识整理1.从观察物体时，看到的图叫做主视图；从观察物体时，看到的图叫做左视图；从观察物体时，看到的图叫做俯视图.2.主视图与俯视图的一致；主视图与左视图的一致；俯视图与左视图的一致.3. 叫盲区.4.投影可分为平行投影与中心投影.其中所形成的投影叫平行投影；所形成的投影叫中心投影.5.利用光线是否平行或是否交于一点来判断是投影或投影，以及光源的位置和物体阴影的位置.例题讲解例1.如图，已知MN 是圆柱底面的直径，NP 是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点M P ，嵌有一幅路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿NP 剪开，所得的侧面展工图是（）例 2.如图是一个立体图形的三视图，请写出这个立体图形的名称，并计算这个立体图形的体积。

（结果保留π）课堂练习1.下列四个几何体中，已知某个几何体的主视图、左视图、俯视图分别为长方形、长方形、圆，则该几何体是（）Ａ．球体Ｂ．长方体Ｃ．圆锥体Ｄ．圆柱体2.将如图所示的Rt △ABC 绕直角边AC 旋转一周，所得几何体的主视图是（）P P 'N 'N M N 'N MPP 'N 'M N P P 'N 'MN P M 'P 'Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．例2图•DCB AC B A 5 题图主视2cm 3cm 左视俯视第7题图3.下面简单几何体的左视图是（）4.一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是（）Ａ．正方体Ｂ．球Ｃ．圆锥Ｄ．圆柱5.与如图所示的三视图对应的几何体是( )6.如图，D 、E 、F 分别是等边△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，现沿着虚线折起，使A 、B 、C 三点重合，折起后得到的空间图形是（）。

A 、正方体B 、圆锥C 、棱柱D 、棱锥 7.如图所示是某种型号的正六角螺母毛坯的三视图，则它的表面积为．课后测试1.如图是某一立体图形的三视图，则这个立体图形是（）主视图左视图俯视图A ．正三棱柱B ．三棱锥C ．圆柱D ．圆锥 2.下面的四个几何体中，它们各自的左视图与主视图不一样的是（）A B CD E F第6题图正视图左视图俯视图A ．B ．C ．D ．正面第3题图第5题图第4题图 6541233.如图，是由一些相同的小正方体搭成的几何体的三视图，搭成这个几何体的小正方体的个数有( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 6个4.如图，这是一个正方体的展开图，则号码2代表的面所相对的面的号码是______．课时15．轴对称与中心对称知识整理1.如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分能，那么这个图形就是，这条直线就是它的 .2. 如果一个图形沿一条直线折叠，如果它能与另一个图形，那么这两个图形成，这条直线就是，折叠后重合的对应点就是 .3. 如果两个图形关于对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的 .4. 把一个图形绕着某一个点旋转 °，如果旋转后的图形能够与原来的图形，那么这个图形叫做图形，这个点就是它的．5. 把一个图形绕着某一个点旋转 °，如果它能够与另一个图形，那么就说这两个图形关于这个点，这个点叫做．这两个图形中的对应点叫做关于中心的．6. 关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过，而且被对称中心所．关于中心对称的两个图形是图形.7.两个点关于原点对称时，它们的坐标符号，即点),(y x P 关于原点的对称点1P 为 .例题讲解例1.如图，在直角坐标系xOy 中， A(一l ，5)，B(一3，0)，0(一4，3)． (1)在右图中作出△ABC 关于y 轴的轴对称图形△A ′B ′C ′； (2)写出点C 关于，轴的对称点C ′的坐标(_____，_______)。

初三数学-09暑假1班1783

初三数学1班 23.3 实践与探索 8月3日一、选择题(每题5分,共30分)1.已知方程x 2+2x-1=0的两根分别是x 1,x 2,则1211x x += ( ) A.2 B.-2 C.-6 D.62.若k>1,关于x 的方程2x 2-(4k+1)x+2k 2-1=0的根的情况是( )A.有一正根和一负根B.有两个正根C.有两个负根D.没有实数根3.已知二次三项式2x 2+kx+c 分解因式为2(x-3)(x+1),则b,c 的值分别为( )A.3,-1B.-6,2C.-6,-4D.-4,-64.如果24410x x -+=,那么4x等于( ) A.-2 B.2 C.4 D.-2或45.已知方程x 2+5x-2=0,求作一个新的一元二次方程, 使它的根分别是已知方程各根的平方的倒数,则此新方程为( )A.4y 2-29y+1=0B.4y 2-25y+1=0C.4y 2+29y+1=0D.4y 2+25y+1=06.已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x 2-14x+48=0的一根, 则这个三角形的周长为( )A.11B.17C.17或19D.19二、填空题(每题3分,共24分)7.若方程x 2+3x+m=0的一根是另一根的一半,则m=______,两个根是_______.8.某制药厂生产的某种针剂,每支成本3元,由于连续两次降低成本,现在的成本是2.43元,则平均每次降低的百分数是_________.9.关于x 的代数式x 2+(m+2)x+(4m-7)中,当m=_______时,代数式为完全平方式.10.已知a 2+3a=7,b 2+3b=7,且a≠b,则a+b=_______.11.某市计划在两年内将工农业生产总值翻两番,则平均每年工农业生产总值的增长率是________.12.关于x 的方程x 2-kx+6=0有一根-2,那么这个方程两根倒数的和是_______.13.在Rt △ABC 中,斜边AB=5,BC 、AC 是一元二次方程x 2-(2m-1)x+4(m-1)=0 的两个实数根,则m 等于_________.14.在一元二次方程x 2+bx+c=0中,如果系数b 、c 可在1,2,3,4,5,6中任意取值, 那么其中有实数解的方程有______个.三、解答题(每题7分,共28分)15.已知x 1=q+p,x 2=q-p 是关于x 的一元二次方程x 2+px+q=0的两个根,求p 、q 的值.16.已知:321329m nm n+=⎧⎨=-⎩, 求以22,22m n m n-+--的值为根的一元二次方程.17.某小会议室的地面为长方形,长比宽多2米,如果地面用384块边长为25 厘米的正方形瓷砖恰好铺满,试算一算,这个小会议室的长和宽各是多少?18.已知x1和x2是方程(k2-1)x2-6(3k-1)x+72=0的两正根,且(x1-1)(x2-1)=4, 求k的值.四、列方程解应用题(每题9分,共18分)19.一个长方形水池,长88米,宽48米,沿池边四周有一条宽度相同的路, 已知这条路的面积是1776平方米,求路的宽度.20.一容器装满了含盐量为20%的盐水50升,第一次倒出若干升,用水加满; 第二次又倒出同样多,再用水加满,此时容器中盐水的含盐量为12.8%,求每次倒出的盐水是多少升?五、实践探索题(15分)21.当n=1,2,3,…,2007时,关于x的一元二次方程n(n+1)x2-(2n+1)x+1=0 的根为,n na b,试求:(1)│a1-b1│+│a2-b2│的值;(2)│a 1-b 1│+│a 2-b 2│+…+│20072007a b -│的值.22.已知关于x 的方程x 2-2mx+14n 2 =0,其中m,n 是一个等腰三角形的腰和底边的长. (1)求证这个方程有两个不相等的实数根;(2)若方程的两实根的绝对值是8,且等腰三角形的面积是16,求m,n 的值.23.关于x 的方程(a+c)x 2+2bx-a+c=0有相等二实根,问正数a,b,c 可否作为一个三角形三边的长?如果可以,是什么形状的三角形?◆能力方法作业13、已知一元二次方程 2 x 2 + b x + c = 0的两个根是 – 1 、3 ，则 b= ，,c= .14、若关于x 的一元二次方程x 2+px+q=0的两根互为相反数，则p=______，若两根互为倒数，则q=_____．15.如果x 1 、x 2 是方程x 2 + 4x + 3 = 0 的两根，则（x 1 + 1）（x 2 + 1）的值是。

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C 1
A 1
B 1
B 2A 2A
B C 初三数学1班课时16．平移与旋转（7月27日）
知识整理
1.一个图形沿着一定的方向平行移动一定的距离，这样的图形运动称为______，它是由移动的__ ___和___ ___所决定．
2. 平移的特征是：经过平移后的图形与原图形的对应线段__ __，对应角_ __，图形的_ __与__ __都没有发生变化，即平移前后的两个图形；且对应点所连的线段__ __．
3.图形旋转的定义：把一个图形的图形变换，叫做旋转，叫做旋转中心，叫做旋转角．
4.图形的旋转由、和所决定．其中①旋转在旋转过程中保持不动．②旋转分为时针和时针. ③旋转一般小于360º.
5. 旋转的特征是：图形中每一点都绕着旋转了的角度，对应点到旋转中心的相等，对应相等，对应相等，图形的都没有发生变化.也就是旋转前后的两个图形 .
例题讲解
例1.如图，在一个10×10的正方形DEFG 网格中有一个△ABC.
①在网格中画出△ABC 向下平移3个单位得到的△A 1B 1C 1。

②在网格中画出△ABC 绕C 点逆时针方向旋转90°得到的△A 2B 2C 2。

③若以EF 所在的直线为x 轴，ED 所在的直线为y 轴建立直角坐标系，写出A 1、A 2两点
的坐标。

例2.在平面直角坐标系中，AOB △的位置如图所示，已知90AOB ∠=，AO BO =，点
A 的坐标为(31)
-，．（1）求点B 的坐标；
课堂练习
1.按右边33⨯方格中的规律，在下面4个符号中选择一个填入方格左上方的空格内（）
A B C O x y
第4题图
2.如图所示是重叠的两个直角三角形．将其中一个直角三角形沿BC 方向平移得到
DEF △．如果8cm AB =，4cm BE =，3cm DH =，则图中阴影部分面积为 2
cm ．
3.如图，将一块斜边长为12cm ，60B ∠=°的直角三角板ABC ，绕点C 沿逆时针方向旋转
90°至A B C '''△的位置，再沿CB 向右平移，使点B '刚好落在斜边AB 上，那么此三角板向右平移的距离是 cm ．
4.如图，ABC △中(23)A -，
，(31)B -，，(12)C -，．（1）将ABC △向右平移4个单位长度，画出平移后的111A B C △；（2）画出ABC △关于x 轴对称的222A B C △；
（3）将ABC △绕原点O 旋转180，画出旋转后的333A B C △；（4）在111A B C △，
222
A B C △，333A B C △中，△______与△______成轴对称，对称轴是______；
△______与△______成中心对称，对称中心的坐标是______．
5.把正方形ABCD 绕着点A ，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ，边FG 与BC 交于点H （如图）．试问线段HG 与线段HB 相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．
课后测试
A
B C D
第2题图
A
B
C
D
H E
F
D C
A B G H
F E
第5题图
A B
A C
B '
第3题图
A ．
B ．
C ．
D ．（1） 1.观察下面图案，在A ，B ，C ，D 四幅图案中，能通过图案（1）平移得到的是（）
2.如图，正方形OABC 的边长为2，则该正方形绕点O 逆时针旋转45后，B 点的坐标为（） A ．(22)， B ．(022)，
C ．(220)，
D ．(02)，
3.如图的方格纸中，左边图形到右边图形的变换是
A ．向右平移7格
B ．以AB 的垂直平分线为对称轴作轴对称，再以AB 为对称轴作轴对称
C ．绕AB 的中点旋转1800
，再以AB 为对称轴作轴对称 D ．以AB 为对称轴作轴对称，再向右平移7格 4.已知点P 的坐标为(1，1)，若将点P 绕原点顺时针旋转45°，得到点P 1，则点P 1的坐标为_______.
三角形、梯形中位线
【要点回顾】
1、连结三角形两边中点的线段叫；
2、三角形中位线定理；
3、连结梯形两腰中点的线段叫；
4、梯形中位线定理；
5、中点四边形必是，它的形状取决于外围原四边形的的关系；
当外围四边形时，所得四边形是矩形；当外围四边形时，所得四边形是菱形；当外围四边形时，所得四边形是正方形；
【典型例题】
C O
B A
y
x 第2题图
第3题图
【例1】如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 是腰AB 的中点，且AD ＋BC ＝DC 。

求证：MD ⊥MC 。

分析：遇到腰上中点的问题构造梯形中位线可证明，也可以因为腰上有中点，延长DM 与CB 的延长线交于E 点进行证明。

【例2】如图，△ABC 的三边长分别为AB ＝14，BC ＝16，AC
＝26，P 为∠A 的平分线AD 上一点，且BP ⊥AD ，M 为BC 的中点，求PM 的长。

分析：∠A 的平分线与BP 边上的垂线互相重合，通过作辅助线延长BP 交AC 于点Q ，由△ABP ≌△AQP 知AB ＝AQ ＝14，又知M 是BC 的中点，所以PM 是△BQC 的中位线，于是本题得以解决。

【练习】
1、如图，EF 为梯形ABCD 的中位线，AC 是对角线，已知:2:3AEFD EBCF S S =，则:ACD ABC S S ∆∆等于（）A 、2：3 B 、3：5 C 、2：7 D 、3：7 ；
2、如图，梯形ABCD 中，AB//CD ，AB=3CD ，E 、F 分别是对角线BD 、AC 的中点，那么，EF 与AB 的比为（）A 、1：3 B 、1：4 C 、1：5 D 、2：3 ；
3、证明：连结四边形一组对边中点的线段，小于两条对角线的和的一半；
第1题
F
E D C
B
A
第2题
F E D C B
A
例1图
N
M D
C
B A 例2图
Q
P M
D
C
B
A。