2020届上海市徐汇区高考二模数学模拟试题有答案(加精)
第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三数学一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知全集R U =，集合{}0322>--=x x x A ，则=A C U .2．在61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项是.3．函数()lg(32)x x f x =-的定义域为_____________．4．已知抛物线2x ay =的准线方程是14y =-，则a =.5．若一个球的体积为323π，则该球的表面积为_________．6．已知实数x y ，满足001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，．则目标函数z x y =-的最小值为___________．7．函数()2sin cos 1()11x x f x +-=的最小正周期是___________．8．若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于.9．将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是m ，记第二颗骰子出现的点数是n ，向量()2,2a m n =--，向量()1,1b =，则向量a b ⊥的概率．．是. 10．已知直线12:0,:20l mx y l x my m -=+--=.当m 在实数范围内变化时，1l 与2l 的交点P 恒在一个定圆上，则定圆方程是.11．若函数222(1)sin ()1x xf x x ++=+的最大值和最小值分别为M 、m ，则函数()()()sin 1g x M m x M m x =+++-⎡⎤⎣⎦图像的一个对称中心是．12．已知向量,a b 的夹角为锐角，且满足||15a =、||b =，若对任意的{}(,)(,)||1,0x y x y xa yb xy ∈+=>，都有||1x y +≤成立，则a b ⋅的最小值为.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题５分）每题有且只有一个正确选项。
考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．在四边形ABCD 中，AB DC =，且AC ·BD ＝0，则四边形ABCD 是--------（）（A ）菱形（B ）矩形（C ）直角梯形（D ）等腰梯形14.若无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1，公比为12，且a S n n =∞→lim ，NMD 1C 1B 1A 1DCBA(n ∈*N )，则复数ia z +=1（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于----------（）（A ）第一象限．（B ）第二象限． （C ）第三象限．（D ）第四象限．15．在ABC ∆中，“cos sin cos sin A A B B +=+”是“090C ∠=”的------------（） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件16．如图，圆C 分别与x 轴正半轴，y 轴正半轴相切于点,A B ，过劣弧AB 上一点T 作圆C 的切线，分别交x 轴正半轴，y 轴正半轴于点,M N ，若点(2,1)Q 是切线上一点，则MON ∆周长的最小值为----------------------( )（A ）10 （B ）8 （C ）45（D ）12三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 如图在长方体1111D C B A ABCD -中，2AB =，4AD =，121AC =，点M 为AB 的中点，点N 为BC 的中点．（1）求长方体1111D C B A ABCD -的体积；（2）求异面直线M A 1与N B 1所成角的大小（用反三角函数表示）．18．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)如图：某快递小哥从A 地出发，沿小路AB BC →以平均时速20公里/小时，送快件到C 处，已知10BD =（公里），0045,30DCB CDB ∠=∠=，ABD ∆是等腰三角形，0120ABD ∠=． （1）试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到C 处？（2）快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路AD DC →追赶，若汽车平均时速60公里/小时，问，汽车能否先到达C 处？19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)已知函数2()31f x x tx =-+，其定义域为[0,3][12,15]，(1)当2t =时，求函数()y f x =的反函数；(2)如果函数()y f x =在其定义域内有反函数，求实数t 的取值范围．AB CD20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)如图，,A B 是椭圆22:12x C y +=长轴的两个端点，,M N 是椭圆上与,A B 均不重合的相异两点，设直线,,AM BN AN 的斜率分别是123,,k k k . (1)求23k k ⋅的值； (2)若直线MN 过点2,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，求证：1316k k ⋅=-； (3)设直线MN 与x 轴的交点为(,0)t (t 为常数且0t ≠)，试探究直线AM 与直线BN 的交点Q 是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 已知数列{}n a 的前n 项和n A 满足*11()12n n A A n N n n +-=∈+，且11a =，数列{}n b 满足*2120()n n n b b b n N ++-+=∈，32b =，其前9项和为36．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)当n 为奇数时，将n a 放在n b 的前面一项的位置上；当n 为偶数时，将n b 放在n a 前面一项的位置上，可以得到一个新的数列：1122334455,,,,,,,,,,a b b a a b b a a b ⋅⋅⋅，求该数列的前n 项和n S ； (3)设1n n nc a b =+，对于任意给定的正整数()2k k ≥，是否存在正整数,()l m k l m <<，使得,,k l m c c c 成等差数列？若存在，求出,l m (用k 表示)；若不存在，请说明理由．ENMD 1C 1B 1A 1D CBA第二学期徐汇区学习能力诊断卷数学学科参考答案及评分标准 2018.4一． 填空题：（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分 １．]3,1[- 2．20 3．(0,)+∞ 4．1 5．16π 6．1- 7．π 8．15π9．16 10．2220x y x y +--=11．114⎛⎫ ⎪⎝⎭，12．815 二．选择题：（本大题共有4题，满分20分，每题５分）13．A 14．D 15．B 16．A三． 解答题：（本大题共5题，满分74分）17．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)【解】（1）连AC 、1AC ． ABC ∆是直角三角形，∴AC =1111D C B A ABCD -是长方体，∴BC C C ⊥1，CD C C ⊥1，又C BC DC =⋂， ∴⊥C C 1平面ABCD ，∴AC C C ⊥1．又在1ACC Rt ∆中，1AC =，AC =∴11CC =，∴11118ABCD A B C D V -=．--------6分（2）解法一：如图建立空间直角坐标系则()14,0,1A 、()4,1,0M 、()14,2,1B 、()2,2,0N ，所以()10,1,1A M =-、()12,0,1B N =--，10分则向量1AM 与1B N 所成角θ满足111110cos 10A MB N A M B Nθ⋅==⋅． ∴异面直线M A 1与N B 1所成的角等于．14分解法二：取AD 的中点E ，连E A 1、EM ．11////B A AB EN ，∴四边形NE B A 11为平行四边形，N B E A 11//∴，∴M EA 1∠等于异面直线M A 1与N B 1所成的角或其补角．----------------------------------------9分1AM =，2AE =，11=AA ，得1AM =1A E =，5=EM，∴1cos EA M∠==1EA M∠=．∴异面直线MA1与NB1所成的角等于arccos10．----------------------------14分18．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)【解】（1）10AB=（公里），BCD∆中，由00sin45sin30BD BC=，得BC=-------------------2分于是，由106051.215020+≈>知，快递小哥不能在50分钟内将快件送到C处．---------------------------------------6分（2）在ABD∆中，由22211010210103002AD⎛⎫=+-⋅⋅⋅-=⎪⎝⎭，得AD=，------------------------------------------------------------8分在BCD∆中，0105CBD∠=，由sin105CD=得(51CD=（公里），-----------------------------------------------------10分由(5160152045.9851.2160⨯+=+≈<（分钟）知，汽车能先到达C处．-----------------------------------------------------------14分19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)【解】(1)3[8,1]3[73,136]xyx⎧-∈-⎪=⎨+∈⎪⎩；------------------------------------------------------6分(2)01若32t≤，即0t≤，则()y f x=在定义域上单调递增，所以具有反函数；---8分02若3152t≥，即10t≥，则()y f x=在定义域上单调递减，所以具有反函数；--10分03当33122t≤≤，即28t≤≤时，由于区间[]0,3关于对称轴32t的对称区间是[]33,3t t-，于是当312332tt<⎧⎪⎨≥⎪⎩或33153122tt->⎧⎪⎨≤⎪⎩，即[)2,4t∈或(]6,8t∈时，函数()y f x=在定义域上满足1-1对应关系，具有反函数．综上，(,0][2,4)(6,8][10,)t∈-∞+∞．------------------------------------------14分20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)【解】(1)设00(,)N x y，由于(A B，所以22322yk kx⋅==-，因为00(,)N x y 在椭圆C 上，于是220012x y +=，即220022x y -=-，所以202320122y k k x ⋅==--.------------------------------------------------------------------4分(2)设直线:2MN x my =+1122(,),(,)M x y N x y，由22222x my x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得223(2)02m y +-=，于是()1212223,222y y y y m m +=-⋅=-++，------------------------------------6分13121222k k ⋅==()()()222222332212396322222222m m m m m m --+===---++++．10分(3)由于直线MN 与x 轴的交点为(,0)t ，于是:MN x my t =+，联立直线:MN x my t =+与椭圆22:12x C y +=的方程，可得 222(2)220m y mty t +++-=，于是212122222,22mt t y y y ym m -+=-⋅=++.-------------------------------------------------12分因为直线:AM y x =+，直线:BNy x =， 两式相除，可知2211y y y y===22212221222()222(2t mt m t y m m t m t y m -⋅++--++==-⋅++2==， 于是2xt =，所以2x t =，即直线AM 与直线BN 的交点Q 落在定直线2x t=上．16分21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)【解】答案：(1)因为*11()12n n A A n N n n +-=∈+，于是数列n A n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为12的等差数列， 所以1122n A n n =+，即*(1)()2n n n A n N +=∈， 当2n ≥时，1n n n a A A n -=-=，又因为11a =，所以*()n a n n N =∈.--------------2分 又因为*2120()n n n b b b n N ++-+=∈，于是数列{}n b 是等差数列，设{}n b 的前n 项和为n B ，由于95936B b ==，则54b =，由于32b =，所以1(*)n b n n N =-∈．---------------------------------------------------------------------------------4分 (2)数列{}n a 的前n 项和(1)2n n n A +=，数列{}n b 的前n 项和(1)2n n nB -=．----5分 当2(*)n k k N =∈时，22(1)(1)22n k k k k k k kS S A B k +-==+=+=；-----------6分 当43(*)n k k N =-∈时，2432122(21)(23)(1)463n k k k S S A B k k k k k k ---==+=-+--=-+；----------7分当41(*)n k k N =-∈时，241212(21)(21)42n k k k S S A B k k k k k k --==+=-+-=-；------------------------8分所以2221,243,4341,414n n n k n S n k n n k ⎧=⎪⎪+⎪==-⎨⎪⎪-=-⎪⎩，其中*k N ∈．------------------------------------------------10分(3)由(1)可知，121n c n =-. 若对于任意给定的正整数()2k k ≥，存在正整数,()l m k l m <<，使得,,k l m c c c 成等差数列，则2l k m c c c =+，即211212121l k m =+---，---------------------------------------11分 于是121421212121(21)(21)k l m l k l k --=-=-----，所以222(1)(214)(21)421421kl k l k l k k m k l k l +--+-+-==----2(21)1421k k k l -=-+--，即2(21)1421k m k k l -=+---，------------------------------------------13分 则对任意的()2,k k k N *≥∈，421k l --能整除2(21)k -，且4210k l -->.由于当2k ≥时，21k -中存在多个质数，所以421k l --只能取1或21k -或()221k -------------------------------------------------14分 若4211k l --=，则21l k =-，2452m k k =-+，于是2473(43)(1)0m l k k k k -=-+=-->，符合k l m <<；----------------------------15分若42121k l k --=-，则k l =，矛盾，舍去；---------------------------------------------16分 若2421(21)k l k --=-，则2m k +=，于是0m ≤，矛盾．-------------------------------17分综上，当2k ≥时，存在正整数221,452l k m k k =-=-+，满足k l m <<，且使得,,k l m c c c 成等差数列．-----------------------------------------------------------------------------------------------------18分。
上海市徐汇区达标名校2020年高考二月仿真备考数学试题含解析
上海市徐汇区达标名校2020年高考二月仿真备考数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()xe f x ax x=-，(0,)x ∈+∞，当21x x >时，不等式()()1221f x f x x x <恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,]e -∞B ．(,)e -∞C ．,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦2．设复数z 满足|3|2z -=，z 在复平面内对应的点为(,)M a b ，则M 不可能为（ ） A．B ．(3,2)C ．(5,0)D ．(4,1)3．已知12,F F 分别为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于,A B 两点，若22240,5BF AB BF AF ⋅==，则双曲线C 的离心率为（） A B ．4C ．2D 4．已知函数()ln f x x =，()()23g x m x n =++，若()0,x ∀∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立.记()23m n +的最小值为(),F m n ，则(),F m n 的最大值为（ ）A ．1B ．1eC ．21eD ．31e5．已知数列{}n a 对任意的*n N ∈有111(1)n n a a n n +=-++成立，若11a =，则10a 等于（ ）A ．10110B ．9110C ．11111D ．122116．在ABC ∆中，30C =︒，2cos3A =-，2AC =，则AC 边上的高为（） AB ．2CD ．27．天干地支，简称为干支，源自中国远古时代对天象的观测.“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”称为十天干，“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”称为十二地支.干支纪年法是天干和地支依次按固定的顺序相互配合组成，以此往复，60年为一个轮回.现从农历2000年至2019年共20个年份中任取2个年份，则这2个年份的天干或地支相同的概率为（ ） A ．219B ．995C ．4895D ．5198．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，已知1,30a b B ===，则A 为( )A ．60B ．120 C ．60或150 D ．60或1209．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是C 的右支上一点，连接1PF 与y 轴交于点M ，若12||FO OM =（O 为坐标原点），12PF PF ⊥，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．3y x =±B ．3y x =±C ．2y x =±D ．2y x =±10．已知3sin 2cos 1,(,)2παααπ-=∈，则1tan21tan 2αα-=+（ ） A ．12-B ．2-C ．12D ．211．若0.60.5a ＝,0.50.6b ＝,0.52c ＝,则下列结论正确的是( ) A ．b c a >>B ．c a b >>C ．a b c >>D ．c b a >>12．某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（ ） A ．方差B ．中位数C ．众数D ．平均数二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024届上海市徐汇区高三二模数学试题及答案
第12题图上海市徐汇区2024届高三二模数学试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.已知集合22A y y x ，集合2430B x x x ，那么A B ．2.已知复数1iz i（i 为虚数单位），则z z ．3.在ABC 中，1AC ，2C ，A，则ABC 的外接圆半径为．4.5.6.7.8.9.10.11.不与O 点重合，轨道与直杆的宽度等因素均可忽略不计），直杆上的点P 满足OP AB ，则OAP 面积的取值范围是．12.如图所示，已知ABC 满足8BC ，3AC AB ，P 为ABC 所在平面内一点．定义点集13,3P AP AB AC R D．若存在点0P D ，使得对任意P D ，满足0AP AP恒成立，则0AP的最大值为．第11题图二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.在下列函数中，值域为R 的偶函数是（）.A 13y x ；.B lg y x ；.C x x y e e ；.D 3cos y x x ．14.为了研究y 关于x 的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）：.A ˆa.B 当x .C .D 15.）.A 若 .B 若 .C .D 若16.三棱锥90 ，二面角P BC A 的大小为45 ，则对以下两个命题，判断正确的是（）①三棱锥O ABC 的体积为83；②点P 形成的轨迹长度为．.A ①②都是真命题；.B ①是真命题，②是假命题；.C ①是假命题，②是真命题；.D ①②都是假命题．第18题图三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须写出必要的步骤】17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数 y f x ，其中 122log 2xf x x ．（1）求证： y f x 是奇函数；（2）若关于x 的方程 12log f x x k 在区间 3,4上有解，求实数k 的取值范围．18.如图，4，ABC 是底面圆O （1）（2）19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）为了解中草药甲对某疾病的预防效果，研究人员随机调查了100名人员，调查数据如右表．（单位：个）（1）若规定显著性水平0.05 ，试分析中草药甲对预防此疾病是否有效；（2）已知中草药乙对该疾病的治疗有效率数据如下：对未服用过中草药甲的患者治疗有效率为12，对服用过中草药甲的患者治疗有效率为34．若用频率估计20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知椭圆224:13x y C ，1A 、2A 分别为椭圆C 的左、右顶点，1F 、2F 分别为左、右焦点，直线l 交椭圆C 于M 、N 两点（l 不过点2A ）．（1）若Q 为椭圆C 上（除1A 、2A 外）任意一点，求直线1QA 和2QA 的斜率之积；（2）若112NF F M，求直线l 的方程；（3）若直线2MA 与直线2NA 的斜率分别是1k 、2k ，且1294k k，求证：直线l 过定点．21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题（i ）满分6分，第2小题（ii ）满分8分）已知各项均不为0的数列 n a 满足2211n n n n n a a a a a（n 是正整数），121a a ，定义函数111!nkn k y f x x k（0x ），e 是自然对数的底数．（1）求证：数列1n n a a是等差数列，并求数列 n a 的通项公式；（2）记函数 n y g x ，其中 1xn n g x e f x ；（i ）证明：对任意0x ， 3430g x f x f x ；（ii ）数列 n b 满足12n n nb a ，设n T 为数列 n b 的前n 项和．数列 n T 的极限的严格定义为：若m 满足：当n m n T 的极限T ．上海市徐汇区2024届高三二模数学试卷-简答参考答案及评分标准2024.4一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1． 3, 2.2 3.14.35.816.17.2108.79.76410.7211.12.3二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.B 14.D 15.C 16.A三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）【解】（1）证明:函数122log 2xy x 的定义域为 22D x x x 或，在D 中任取一个实数x ，都有x D ，并且1111222222()log log log ()222x x x f x f x x x x.因此，122log 2xy x 是奇函数.（2） 12()log f x x k 等价于22x x k x即24122x k x x x x在 3,4上有解．记4()12g x x x，因为()g x 在 3,4上为严格减函数，所以，max ()(3)2g x g ，min ()(4)1g x g ，故()g x 的值域为 1,2 ，因此，实数k 的取值范围为 1,2 ．18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）【解】（1）在椭圆22:143x y C 中，左、右顶点分别为12(2,0)(2,0)A A 、，设点 000,(2)Q x y x ，则12202000220000312244344QA QA x y y y k k x x x x ．（2）设 1122,,,M x y N x y ，由已知可得1(1,0) F ，122111(1,)(+1,)NF x y F M x y，，由112 NF FM 得2211(1,)2(+1,) x y x y ，化简得2121=322 x x y y 代入2222431 x y 可得22114(32)(32)1 x y ，联立2211431 x y 解得117=4=8x y 由112 NF FM 得直线l 过点1(1,0) F ，7(,4 N ，所以，所求直线方程为=(1)2y x.（3）设 3344,,,M x y N x y ，易知直线l 的斜率不为0，设其方程为x my t （2 t ），联立22143x my tx y ，可得2223463120m y mty t ，由2222364(34)(312)0m t m t ，得2234t m ．由韦达定理，得234342263123434， mt t y y y y m m ．1294k k ，34349224y y x x ．可化为 343449220 y y my t my t ，整理即得 223434499(2)9(2)0 m y y m t y y t ，222223126499(2)9(2)03434t mt m m t t m m ，由20t ，进一步得2222(49)(2)183(2)03434m t m t t m m ，化简可得16160t ，解得1t ，直线MN 的方程为1x my ，恒过定点(1,0)．21.（本题满分18分，第（1）小题满分4分，第（2）（i ）满分6分，第（2）（ii ）满分8分）（方法二）而对于任意0u ，只需22e n u 且4n 时，可得22222222222!123n n e e e u e n n u个…….故存在22max ,5e m u，当n m 时，恒有n T T u ，因而n T 的极限2T e .。
2020年上海市高考数学仿真试卷(二) (含答案解析)
2020年上海市高考数学仿真试卷（二）一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1. 已知向量a ⃗ =(2,1)，a ⃗ +b ⃗ =(1,k)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则实数k =( )A. 12B. −2C. −7D. 32. 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么这两个几何体的体积相等．设A ，B 为两个同高的几何体，命题P ：A ，B 的体积不相等，命题Q ：A ，B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，P 是Q 的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 如果双曲线x 2m−y 2n=1(m >0,n >0)的渐近线方程渐近线为y =±12x ，则双曲线的离心率为( )A. 54 B. 32 C. √54D. √524. 已知点A(1,1)，B(2,1)，C(1,2)，若λ∈[−1,2]，μ∈[2,3]，则|λAB⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是( ) A. [2,10]B. [√5,√13]C. [1,5]D. [2,√13]二、填空题（本大题共12小题，共54.0分） 5. 集合{a,b}的子集个数为________个．6. 若线性方程组的增广矩阵为(12c 120c 2)的解为{x =1y =3，则c 1+c 2=______7. 若，则________．8. 若行列式∣∣∣∣x−1−2∣∣∣a 301∣∣∣∣∣∣∣的展开式的绝对值小于6的解集为(−1,2)，则实数a 等于______． 9. 已知椭圆x 2m−2+y 210−m =1的焦点在x 轴上，焦距为4，则m 等于____. 10. 已知(2+ax)(1+x)5的展开式中x 2的系数为15，则展开式中所有项的系数和为________． 11. 若圆锥的侧面积是底面积三倍，则其母线与底面角的大小为 (结果用反三角函数表示)。
2020上海高三数学二模汇编-解析几何含答案
解析几何一、直线1、【2020年闵行区二模第3题】若直线10ax by ++=的方向向量为(1,1)，则此直线的倾斜角为 【答案：4π】 2、【2020年黄浦区二模第4题】若直线1:350l ax y +-=与2:210l x y +-=互相垂直，则实数a 的值为 【答案： 6- 】3、【2020年金山区二模第13题】已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为1111:0l a x b y c ++=，2222:0l a x b y c ++=，那么“11220a b a b =”是“两直线1l 、2l 平行”的( )． （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 【答案：B 】4、【2020年徐汇区二模第8题】已知直线(2)(1)30a x a y ++--=的方向向量是直线(1)(23)20a x a y -+++= 的法向量，则实数a 的值为 .【答案：11或- 】5、【2020年松江区二模第13题】若为坐标原点，是直线上的动点，则的最小值为（ ） (A)(B)(C)(D)【答案：B 】6、【2020年金山区二模第12题】设*n ∈N ，n a 为()(2)1nn x x +-+的展开式的各项系数之和，162m t =-+，，1222...333n n n a a na b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（[x ]表示不超过实数x 的最大整数），则()22()n n t b m -+-的最小值为___________.O P 20-+=x y OP 2R t ∈【答案：95解析：赋值法，令1x =，∴32nnn a =-，∴(32)2[][][()]333n n nn n nna n n n -==-⋅， 可用计算器分析2()3n n ⋅单调性及范围，可知2()(0,1)3n n ⋅∈，∴[]13n n na n =-，∴(1)2n n n b -=，22()()n n t b m -+-的 几何意义为点(,)n n b 到点(,)t m 的距离的平方，如图所示， 当3n =时，点(3,3)到直线162y x =-+的距离最小， ∴min 22512d ==+，即2min95d =。
2023-2024学年上海市高考数学质量检测模拟试题(二模)含答案
2023-2024学年上海市高考数学模拟试题（二模）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.若():1,2x α∈，[]:0,2x β∈，则α是β的______条件．【正确答案】充分非必要【分析】判断集合()1,2和[]0,2之间的关系，即可判断出答案.【详解】由于()1,2是[]0,2的真子集，故α是β的充分非必要条件，故充分非必要2.若34(sin (cos )55z i θθ=-+-是纯虚数，则tan θ的值为__________．【正确答案】34-【详解】分析：由纯虚数的概念得305405sin cos θθ⎧-=⎪⎪⎨⎪-≠⎪⎩，结合221sin cos θθ+=可得解.详解：若34sin cos 55z i θθ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是纯虚数，则305405sin cos θθ⎧-=⎪⎪⎨⎪-≠⎪⎩，又由221sin cos θθ+=，可得34sin cos 55θθ==-.所以sin 3tan cos 4θθθ==-.故答案为34-.点睛：本题主要考查了纯虚数的概念及同角三角函数的基本关系，属于基础题.3.已知幂函数f（x）的图象经过点（2，4），则f（x）为______函数．（填奇偶性）【正确答案】偶【分析】根据幂函数的概念设出()f x 的解析式()f x x α=，然后代点求出α，再用函数奇偶性定义判断奇偶性．【详解】因为函数()f x 是幂函数，所以可设()f x x α=，又f（2）=4，即2a=4，解得a=2，∴()2f x x =，∴()()22()f x x x f x -=-==，∴f（x）为偶函数．故答案为偶．本题主要考查了幂函数的基本概念，以及利用定义法判定函数的奇偶性，其中解答中熟记幂函数的基本概念，熟练应用函数奇偶性的定义判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.若双曲线经过点，且渐近线方程是y ＝±13x ，则双曲线的方程是________．【正确答案】2219x y -=【分析】利用渐近线方程为13y x =±，设双曲线的方程是229x y λ-=，代入点即可求解【详解】根据渐近线方程为13y x =±，设双曲线的方程是229x y λ-=，因为双曲线过点，所以9219λ=-=，所以双曲线的方程为2219x y -=故2219x y -=5.已知命题：“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题，给出下列四个命题：①M 的元素不都是P 的元素；②M 的元素都不是P 的元素；③M 中有P 的元素；④存在x M ∈，使得x P ∉；其中真命题的序号是________（将正确的序号都填上）.【正确答案】①④【分析】从命题的否定入手．【详解】命题：“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题，则命题：“非空集合M 的元素不都是集合P 的元素”是真命题，说明集合M 中至少有一个元素不属于集合P ，或者M 中就没有集合P 中的元素，因此②③错误，①④正确．故答案为①④．本题考查真假命题的理解，对一个假命题，可从反面入手，即它的否定为真命题入手，理解起来较方便．6.一个袋中装有5个球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个，用X 表示取出的3个球中最大编号，则()E X =______．【正确答案】4.5【分析】求出X 可能取值和概率，再根据()E X 公式进行计算即可.【详解】从中任取3个球，共有()123，，，()124，，，()125，，，()134，，，()135，，，()145，，，()234，，，()235，，，()245，，，()345，，10中情况，所以X 可能取值为345，，，()1310P X ==，()3410==P X ，()635105===P X ，所以()1339345101052E X =⨯+⨯+⨯=.故答案为.4.57.函数tan()42y x ππ=-的部分图象如图所示，则()OA OB AB +⋅= ____.【正确答案】6【详解】试题分析：由图可知(2,0)A ，(3,1)B ，∴()(5,1)(1,1)6OA OB AB +⋅=⋅=.考点：正切型函数的图象与平面向量的数量积运算.【方法点睛】本题主要考查了正切型函数的图象与平面向量的数量积运算，属于中档题.本题解答的关键观察图象发现,A B 分别是函数tan(42y x ππ=-y 轴右侧的第一个零点和函数值为1的点，即可求得,A B 的坐标，进而求得向量(),OA OB AB +的坐标，根据平面向量数量积的坐标运算即可求得答案.8.如果一个球的外切圆锥的高是这个球半径的3倍，那么圆锥侧面积和球的表面积的比值为______．【正确答案】32【分析】设球的半径为r ，则圆锥的高为3r ，取圆锥的轴截面ABC ，其中A 为圆锥的顶点，设球心为O ，作出图形，分析可知ABC 为等边三角形，求出AB ，利用圆锥的侧面积公式以及球体的表面积公式可求得结果.【详解】设球的半径为r ，则圆锥的高为3r ，取圆锥的轴截面ABC ，其中A 为圆锥的顶点，设球心为O，如下图所示：设圆O 分别切AB 、AC 于点E 、D ，则D 为BC 的中点，由题意可得OD OE r ==，3AD r =，则322AO AD OD r r r OE =-=-==，又因为OE AB ⊥，所以，π6BAD ∠=，同理可得π6CAD ∠=，所以，π3BAC ∠=，又因为AB AC =，故ABC为等边三角形，故πsin 32AD AB ===，所以，圆锥的侧面积为2ππ6πAB BD r ⨯⨯=⨯=，因此，圆锥侧面积和球的表面积的比值为226π34π2r r =.故答案为.329.已知某产品的一类部件由供应商A 和B 提供，占比分别为110和910，供应商A 提供的该部件的良品率为910，供应商B 提供的该部件的良品率为710．若发现某件部件不是良品，那么这个部件来自供应商B 的概率为______（用分数作答）【正确答案】2728【分析】利用全概率公式，条件概率公式求解即可.【详解】设“某件部件不是良品”为事件A ，“这个部件来自供应商B ”为事件B ，()11932810101010100P A =⨯+⨯= ，()93271010100P AB =⨯=，()()()2728P AB P B A P A ∴==.故272810.已知()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，函数()y f x =，x ∈R 的最小正周期为π，将()y f x =的图像向左平移π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的值是______．【正确答案】π8##1π8【分析】由周期求出ω，即可求出()f x 的解析式，再根据三角函数的变换规则得到平移后的解析式，最后根据对称性得到ϕ的值.【详解】 ()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，函数()y f x =的最小正周期为2ππT ω==，2ω∴=，π()sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．将()y f x =的图像向左平移ϕ个单位长度，可得πsin 224y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图像，根据所得图像关于y 轴对称，可得ππ2π42k ϕ+=+，Z k ∈，解得ππ28k ϕ=+，Z k ∈，又π02ϕ<<，则令0k =，可得ϕ的值为π8．故π8．11.如图，椭圆的中心在原点，长轴1AA 在x 轴上．以A 、1A 为焦点的双曲线交椭圆于C 、D 、1D 、1C 四点，且112CD AA =．椭圆的一条弦AC 交双曲线于E ，设AE EC λ=，当2334λ≤≤时，双曲线的离心率的取值范围为______．710e ≤≤【分析】由题意设()()1,0,,0A c A c -，则可设,,,22c c D h C h ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据向量的共线求得E 点坐标，代入双曲线的方程22221x y a b-=，结合离心率化简可得2221e e λλ+=-，求出λ的表达式，结合条件可列不等式，即可求得答案.【详解】设()()1,0,,0A c A c -，则设,,,22c c D h C h ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(其中c 为双曲线的半焦距，h 为C .D 到x 轴的距离)，AE EC λ=，则AE EC λ∴= ，即(,)()2,E E E E x c y h x cy λ--+=，()()˙22,1211E E c c c y h x λλλλλλ-+-∴===+++，即E 点坐标为()()2,211c h λλλλ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭，设双曲线的方程为22221x y a b -=，将c a e =代入方程，得222221e x y c b-=①，将(,)2c C h ，E ()()2,211c h λλλλ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭代入①式，整理得2˙2222222()121,(1441e h e h b b λλλλ--=-+=+，消去22h b ，得2221e e λλ+=-，所以22213122e e e λ-==-++，由于2334λ≤≤.所以22331324e ≤-≤+，故2710,710e e ≤≤≤≤710e ≤≤12.将关于x 的方程()2sin 2π1x t +=（t 为实常数，01t <<）在区间[)0,∞+上的解从小到大依次记为12,,,,n x x x ，设数列{}n x 的前n 项和为n T ，若20100πT ≤，则t 的取值范围是______．【正确答案】1150,,626⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【分析】先根据三角函数的周期性得出12,x x 满足的关系，然后再根据12,x x 的对称性可得结果.【详解】由()2sin 2π1x t +=得()1sin 2π2x t +=，则方程()2sin 2π1x t +=的解即为函数()sin 2πy x t =+图象与直线12y =交点的横坐标，因为函数()sin 2πy x t =+的周期为πT =，所以135,,x x x 是以x 1为首项，π为公差的等差数列，246,,,x x x 是以x 2为首项，π为公差的等差数列，所以201234201210()90π100πT x x x x x x x =+++++=++≤ ，所以12πx x +≤，令π2π=π()2x t k k ++∈Z 得πππ=242k t x +-，因为[)0,x ∈+∞，所以[)2ππ,x t t +∈+∞，由函数()sin 2πy x t =+图象的对称性知，x 1与2x 对应的点关于函数()sin 2πy x t =+图象的某条对称轴对称，因为01t <<，所以当π0π6t <≤，即106t <≤时，可知x 1与2x 对应的点关于直线ππ=42t x -对称，此时满足12πx x +≤成立；当π5ππ66t <≤，即1566t <≤时，可知x 1与2x 对应的点关于直线3ππ=42t x -对称，此时由123πππ2x x t +=-≤得12t ≥，所以1526t ≤≤；当5πππ6t <<，即516t <<时，可知x 1与2x 对应的点关于直线5ππ=42t x -对称，此时不满足12πx x +≤；综上，106t <≤或1526t ≤≤.故答案为.1150,,626⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦思路点睛：涉及同一函数的不同自变量值对应函数值相等问题，可以转化为直线与函数图象交点横坐标问题，结合函数图象性质求解.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13，14题每题4分，第15，16题每题5分）13.设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】A【详解】试题分析：运用两直线平行的充要条件得出l 1与l 2平行时a 的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可．解：∵当a=1时，直线l 1：x+2y ﹣1=0与直线l 2：x+2y+4=0，两条直线的斜率都是﹣，截距不相等，得到两条直线平行，故前者是后者的充分条件，∵当两条直线平行时，得到，解得a=﹣2，a=1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件．故选A ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系．14.已知平面α，β，直线l ，若αβ，l αβ⋂=，则A.垂直于平面β的平面一定平行于平面αB.垂直于直线l 的直线一定垂直于平面αC.垂直于平面β的平面一定平行于直线lD.垂直于直线l 的平面一定与平面α,β都垂直【正确答案】D【详解】选D.由α⊥β，α∩β＝l ，知：垂直于平面β的平面与平面α平行或相交，故A 不正确；垂直于直线l 的直线若在平面β内，则一定垂直于平面α，否则不一定，故B 不正确；垂直于平面β的平面与l 的关系有l ⊂β，l ∥β，l 与β相交，故C 不正确；由平面垂直的判定定理知：垂直于直线l 的平面一定与平面α，β都垂直，故D 正确．15.已知抛物线()220y px p =>上一点()()1,0M m m >到其焦点的距离为5，双曲线2221xy a-=的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值为（）A.13B.14C.19D.12【正确答案】A 【分析】由152p+=得抛物线方程，M 在抛物线上求得M 坐标，再根据双曲线一条渐近线与直线AM 平行可得答案.【详解】根据题意，抛物线22(0)y px p =>上一点(1,)(0)M m m >到其焦点的距离为5，则点M 到抛物线的准线2px =-的距离也为5，即152p +=，解得8p =，所以抛物线的方程为216y x =，则216m =，所以4m =，即M 的坐标为14（，），又双曲线2221x y a-=的左顶点(),0A a -，一条渐近线为1y x a =，而41AM k a =+，由双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则有411a a =+，解得13a =.故选：A16.已知函数()y f x =是定义域在R 上的奇函数，且当0x >时，()()()230.02f x x x =--+，则关于()y f x =在R 上零点的说法正确的是（）A.有4个零点，其中只有一个零点在()3,2--内B.有4个零点，其中只有一个零点在()3,2--内，两个在()2,3内C.有5个零点，都不在()0,2内D.有5个零点，其中只有一个零点在()0,2内，一个在()3,+∞【正确答案】C【分析】解法一：先研究0x >时，零点的情况，根据()()23y x x =--零点的情况，以及函数图象的平移，即可得出0x >时零点的个数.然后根据奇函数的对称性以及特性，即可得出答案；解法二：求解方程()0f x =，也可以得出0x >时零点的个数.然后根据奇函数的对称性以及特性，即可得出答案.【详解】解法一：根据对称性可以分三种情况研究(1)0x >的情况，()f x 是把抛物线()()23y x x =--与x 轴交点为()()2,0,3,0向上平移了0.02，则与x 轴交点变至()2,3之间了，所以在()2,3之间有两个零点；(2)当0x <时，()()()230.02f x x x =-++-，根据对称性()3,2--之间也有两个零点(3)()f x 是定义在R 上的奇函数，故()00f =，所以有五个零点.解法二：(1)直接解方程()()230.020x x --+=的两根也可以得两根为52x =，都在()2,3之间；(2)当0x <时，()()()230.02f x x x =-++-，根据对称性()3,2--之间也有两个零点(3)()f x 是定义在R 上的奇函数，故()00f =，所以有五个零点.故选：C.方法点睛：先求出0x >时，零点的情况.然后根据奇函数的性质，即可得出答案.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤17.2020年全面建成小康社会取得伟大历史成就，决战脱贫攻坚取得决定性胜利．某市积极探索区域特色经济，引导商家利用多媒体的优势，对本地特产进行广告宣传，取得了社会效益和经济效益的双丰收，某商家统计了7个月的月广告投入x （单位：万元）与月销量y （单位：万件）的数据如表所示：月广告投入x /万元1234567月销量y /万件28323545495260（1）已知可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明，并求y 关于x 的线性回归方程；（2）根据（1）的结论，预计月广告投入大于多少万元时，月销量能突破70万件．（本题结果均按四舍五入精确到小数点后两位）【正确答案】（1）0.99r =，线性相关程度相当高；75151ˆ147yx =+.（2）当月公告投入大于9.04万元时，月销售量能突破70万件.【分析】（1）利用相关系数的公式求得r 的值，得出相关性相当高，再求得ˆb和ˆa 的值，即可求得回归直线的方程；（2）结合（1）中的回归方程，根据题意列出不等式，即可求解.【小问1详解】解：由表格中的数据，可得1(1234567)47x =⨯++++++=，1(28323545495270)437y =⨯++++++=，77722111()28,()820,()()150i i i i i i x x y y x x y y ===-=-=--=∑∑∑，可相关系数为7()0.99i x x y y r --==∑，所以y 与x 的线性相关程度相当高，从而用线性回归模型能够很好地拟合y 与x 的关系，又由71721()()7514(i i i i x x y y r x x ==--==-∑∑，可得75151ˆˆ434147a y bx =-=-⨯=，所以y 关于x 的线性回归方程为75151ˆ147y x =+.【小问2详解】解：要使得月销售量突破70万件，则7515170147x +>，解得2269.0425x >≈，所以当月公告投入大于9.04万元时，月销售量能突破70万件.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，90,ACB PA ∠=⊥平面,1,ABCD PA BC AB F ===是BC 的中点.（1）求证:DA ⊥平面PAC ；（2）试在线段PD 上确定一点G ,使//CG 平面PAF ,并求三棱锥A CDG -的体积.【正确答案】（1）证明见解析；（2）112.【分析】（1）因为四边形ABCD 是平行四边形，所以90ACB DAC ∠=∠= ，所以DA AC ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，则,PA DA ⊥又AC PA A ⋂=，故DA ⊥平面PAC .（2）取PD 的中点为G ，构造平行四边形，可证得//CG 平面PAF .此时，高为PA 的一半，所以体积为1111111332212A CDG G ACD ACD V V S h --∆∴==⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=.【小问1详解】因为四边形ABCD 是平行四边形，90,,ACB DAC DA AC PA ∴∠=∠=∴⊥⊥ 平面ABCD ,DA ⊂平面ABCD ，,PA DA ∴⊥又,AC PA A DA =∴⊥ 平面PAC ，【小问2详解】设PD 的中点为G ，连接,AG CG ，在平面PAD 内作GH PA ⊥于点H ,则//GH AD ，且12GH AD =,由已知可得////FC AD GH ,且12FC AD GH ==,连接FH ，则四边形FCGH 为平行四边形，//,GC FH FH ∴⊂ 平面,PAF CG ⊄平面PAF ,//CG ∴平面PAF ,G ∴为PD 的中点时,//CG 平面PAF ,设S 为AD 的中点,连接GS ,则//GS PA ,且11,22GS PA PA ==⊥ 平面ABCD ,GS ∴⊥平面ABCD ,11111··11332212A CDG G ACD ACD V V S GS --∴===⨯⨯⨯⨯= .19.甲、乙两地相距1004千米，汽车从甲地匀速驶向乙地，速度不得超过120千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以1元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v （千米/小时）的立方成正比，比例系数为2，固定部分为a 元()0a >．（1）把全部运输成本y 元表示为速度v （千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全部运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？【正确答案】（1）(]()2100420,120a y v v v ⎛⎫=+∈⎪⎝⎭（2）答案见解析【分析】（1）求出汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间，根据货车每小时的运输成本可变部分和固定部分组成，可求得全程运输成本以及函数的定义域；（2）对210042a y v v ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求导，分两种情况讨论单调性，从而可求得最小成本时对应的速度.【小问1详解】由题意得，每小时运输成本为()32a v +,全程行驶时间为1004v 小时，所以全部运输成本(]()3210042001004(2),12a y v v v a v v ⎛⎫+⎪=∈+ ⎝=⎭；【小问2详解】由（1）知210042a y v v ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求导得3224100441004a v a y v v v -⎛⎫'=-+=⨯ ⎪⎝⎭，令30,40y v a '=-=，解得v =，120<，即304120a <<⨯时，0v <<，200,1042a y v y v ⎛⎫=+ ⎪⎝<⎭'递减；120v <≤，200,1042a y v y v ⎛⎫=+ ⎪⎝>⎭'递增，此时，当v =，y 有最小值；120≥，即34120a ≥⨯时，0120v <≤，200,1042a y v y v ⎛⎫=+ ⎪⎝<⎭'递减；此时，当120v =，y 有最小值.综上，为了使全部运输成本最小，当304120a <<⨯时，汽车应以v =千米/小时行驶；当34120a ≥⨯时，汽车应以120v =千米/小时行驶.20.已知A B 、是平面内的两个定点，且8AB =，动点M 到A 点的距离是10，线段MB 的垂直平分线l 交MA 于点P ，若以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系.（1）试求P 点的轨迹C 的方程;（2）直线()40R mx y m m --=∈与点P 所在曲线C 交于弦EF ，当m 变化时，试求AEF △的面积的最大值.【正确答案】（1）221259x y +=（2）15【分析】（1）根据几何关系将距离转化为10PA PB +=，结合椭圆定义即可求解；（2）先判断直线过定点且斜率不能为0，则三角形的底为定值，即求三角形的高12y y -的最大值，联立直线与椭圆方程，将斜率转化为三角形式，结合三角公式化简，用基本不等式求解即可.【小问1详解】以AB 为x 轴，AB 中垂线为y 轴，则()()4,0,4,0A B -，由题意得，108PA PB PA PM AB +=+==＞，所以P 点的轨迹是以,A B 为左右焦点，长轴长为10的椭圆，设椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，焦距为2c ，所以22221028a c a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩，解得534a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以P 点的轨迹C 的方程为221259x y +=【小问2详解】由40mx y m --=得()4y m x =-过定点()4,0B ，显然0m ≠，联立()224,1259y m x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得2297225810,Δ0y y m m ⎛⎫++-=> ⎪⎝⎭恒成立.所以12227272925925m m y y m m +=-=-++，212228181925259m y y m m =-=-++，所以12y y -===因为m 为直线斜率，所以令tan ,tan 0,m θθ=≠所以22122290tan 90tan 125tan 925tan 9sin y y θθθθθ-==⋅++2222290sin 190sin 19015.99cos 25sin sin 916sin sin 416sin sin θθθθθθθθθ=⋅=⋅=≤=+++当且仅当916sin ,sin θθ=即3sin ,4θ=时1215,4max y y -=()115815.24AEF max S =⨯⨯=△思路点睛：圆锥曲线的面积最值问题多采用直线与圆锥曲线联立方程组，运用韦达定理结合基本不等式计算的方法，本题为简化计算，还可以采用三角换元，将直线斜率与三角函数巧妙联系从而更快求解。
2020-2021学年上海市徐汇区第二次高考模拟高三数学试卷及答案解析
第二学期 学习能力诊断卷高三年级数学学科一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1. 设全集{}1,2,3,4U =，集合{}2|540,A x x x x Z =-+<∈，则U C A =____________．2. 参数方程为22x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数）的曲线的焦点坐标为____________．3. 已知复数z 满足1z =，则2z -的取值范围是____________．4. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*21()3n n S a n N =-∈，则lim n n S →∞=____________．5. 若*1()(4,)2nx n n N x+≥∈的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列，则n =_____． 6. 把12345678910、、、、、、、、、分别写在10张形状大小一样的卡片上，随机抽取一张卡片，则抽到写着偶数或大于6的数的卡片的概率为____________．（结果用最简分数表示）7. 若行列式124cossin 022sin cos822x xx x 中元素4的代数余子式的值为12，则实数x 的取值集合为____________．8. 满足约束条件22x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是____________．9. 已知函数2log 02()25()239x x x f x x <<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩，，．若函数()()g x f x k =-有两个不同的零点，则实数k的取值范围是____________．10. 某部门有8位员工，其中6位员工的月工资分别为8200，8300，8500，9100，9500，9600（单位：元），另两位员工的月工资数据不清楚，但两人的月工资和为17000元，则这8位员工月工资的中位数可能的最大值为____________元．11. 如图：在ABC ∆中，M 为BC 上不同于,B C 的任意一点，点N 满足2AN NM =u u u r u u u u r ．若AN x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r，则229x y +的最小值为____________．12. 设单调函数()y p x =的定义域为D ，值域为A ，如果单调函数()y q x =使得函数(())y p q x =的值域也是A ，则称函数()y q x =是函数()y p x =的一个“保值域函数”． 已知定义域为[],a b 的函数2()3h x x =-，函数()f x 与()g x 互为反函数，且()h x 是()f x 的一个“保值域函数”，()g x 是()h x 的一个“保值域函数”，则b a -=___________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13. “1x >”是“11x<”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 14. 《九章算术》是我国古代数学著作，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积及堆放的米各为多少？”已知一斛米的体积约为1.62立方尺，由此估算出堆放的米约有（ ） （A ）21斛 （B ）34斛 （C ）55斛 （D ）63斛15. 将函数1y x=-的图像按向量(1,0)a =r 平移，得到的函数图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像的所有交点的横坐标之和等于（ ）（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8N A16. 过椭圆221(4)4x y m m m +=>-右焦点F 的圆与圆22:1O x y +=外切，则该圆直径FQ 的端点Q 的轨迹是（ ）（A ）一条射线 （B ）两条射线 （C ）双曲线的一支 （D ）抛物线三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图：在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，2PA AD ==． （1）求异面直线PC 与AB 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）若点E 、F 分别是棱AD 和PC 的中点，求证：EF ⊥平面PBC ．18. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数41()2x xm f x ⋅+=是偶函数．（1）求实数m 的值；（2）若关于x 的不等式22()31k f x k ⋅>+在(,0)-∞上恒成立，求实数k 的取值范围．19. （本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）如图所示：湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的A 点处，乙船在中间的B 点处，丙船在最后面的C 点处，且FEA P:3:1BC AB =．一架无人机在空中的P 点处对它们进行数据测量，在同一时刻测得030APB ∠=，090BPC ∠=．（船只与无人机的大小及其它因素忽略不计） （1）求此时无人机到甲、丙两船的距离之比；（2）若此时甲、乙两船相距100米，求无人机到丙船的距离．（精确到1米）20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分5分）如图：椭圆2212x y +=与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点12F F 、，它们在y 轴右侧有两个交点A 、B ，满足220F A F B +=u u u u r u u u u r r．将直线AB 左侧的椭圆部分（含A ,B 两点）记为曲线1W ，直线AB 右侧的双曲线部分（不含A ,B 两点）记为曲线2W ．以1F 为端点作一条射线，分别交1W 于点(,)p p P x y ，交2W 于点(,)M M M x y (点M 在第一象限),设此时M F 1=1m F P ⋅u u u r.（1）求2W 的方程; （2）证明:1p x m=，并探索直线2MF 与2PF 斜率之间的关系; （3）设直线2MF 交1W 于点N ，求1MF N ∆的面积S 的取值范围.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）现有正整数构成的数表如下： 第一行： 1 第二行： 1 2 第三行： 1 1 2 3第四行： 1 1 2 1 1 2 3 4第五行： 1 1 2 1 1 2 3 1 1 2 1 1 2 3 4 5…… …… ……第k 行：先抄写第1行,接着按原序抄写第2行,然后按原序抄写第3行,⋯,直至按原序抄写第1k -行,最后添上数k .（如第四行，先抄写第一行的数1，接着按原序抄写第二行的数1，2，接着按原序抄写第三行的数1，1，2，3，最后添上数4）.将按照上述方式写下的第n 个数记作n a (如11a =,21a =,32a =,41a =,⋯,73a =,⋯,14153,4,a a ==L )．（1）用k t 表示数表第k 行的数的个数，求数列{}k t 的前k 项和k T ；（2）第8行中的数是否超过73个？若是，用0n a 表示第8行中的第73个数，试求0n 和0n a 的值；若不是，请说明理由；（3）令123n n S a a a a =++++L ，求2017S 的值．参考答案一、填空题：(共54分，第1~6题每题4分；第7~12题每题5分)1. {}1,42. (1,0)3. []1,34. 15. 86. 7107. |2,3x x k k Z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭8. 2- 9. 5(,1)9 10. 8800 11. 25 12. 1二、选择题：(共20分，每题5分)13. A 14. A 15. D 16. C 三、解答题 17、解：（1）以点A 为原点，以AB 方向为x 轴正方向，AD 方向为y 轴正方向，建立空间直角坐标系，则(0,0,2),(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0)P A B C D ,--------2分所以，(2,2,2),(2,0,0)PC AB =-=u u u r u u u r,--------4分 设,PC AB u u u r u u u r的夹角为α，则cos 3PC AB PC AB α⋅===⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ,--------5分 所以，,PC AB u u u r u u u r的夹角为，即异面直线PC 与AB所成角的大小为.--------6分 （2）因为点E 、F 分别是棱AD 和PC 的中点，可得(0,1,0)E ，(1,1,1)F ，所以(1,0,1)EF =u u u r，--------8分 又(0,2,0)BC =u u u r ，(2,2,2)PC =-u u u r，--------10分计算可得0,0EF PC EF BC ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r，--------12分所以，,EF PC EF BC ⊥⊥，又PC BC C =I ，所以EF ⊥平面PBC.--------14分18、(1) 因为函数41()2x xm f x ⋅+=是定义域为R 的偶函数，所以有()()f x f x -=，-2分即414122x x x xm m --⋅+⋅+=，即44122x x x xm m +⋅+=， ------------------------------4分 故m=1. -----------------------------------------6分(2)241()0,3102x xf x k +=>+>，且22()31k f x k ⋅>+在(,0)-∞上恒成立，故原不等式等价于22131()k k f x >+在(,0)-∞上恒成立，--------------------8分又x ∈(,0)-∞，所以()()2,f x ∈+∞， -------------------------------------10分 所以110,()2f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，----------------------------11分 从而221312k k ≥+，----------------------------12分因此，1,13k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.-------------------------------------------------------------------14分 19、(1)在APB ∆中，由正弦定理，得1sin sin 2AP AB ABABP APB==∠∠，-----------2分 在BPC ∆中，由正弦定理，得 sin sin 1CP BC BCCBP CPB ==∠∠，-----------4分 又31BC AB =，sin sin ABP CBP∠=∠，--------------------------------------------6分 故23AP CP =.即无人机到甲、丙两船的距离之比为23.-----------------------7分 (2)由:3:1BC AB =得AC=400，且0120APC ∠=， ------------------------------9分由(1)，可设AP=2x ，则CP=3x ， ---------------------------------------------10分在APC ∆中，由余弦定理，得160000=(2x)2+(3x)2-2(2x)(3x)cos1200，------12分解得19=， 即无人机到丙船的距离为275≈米. ----14分 20、解：（1）由条件，得2(1,0)F ，根据220F A F B +=u u u u r u u u u r r知，F 2、A 、B 三点共线，且由椭圆与双曲线的对称性知，A 、B 关于x 轴对称， 故AB 所在直线为x=1，从而得(1,2A，(1,2B -.--------------2分 所以，221112a b-=,又因为2F 为双曲线的焦点，所以221a b +=， 解得2212a b ==.CB AP---------------------------------------------------------------3分因此，2W 的方程为2211122x y -=(1x >). ------------4分 (2) 由P(x p ,y p )、M(x M ,y M )，得1F P u u u r =(x p +1,y p )，1F M u u u u r=(x M +1,y M )，由条件，得1(1)M p M p x m x y my +=+⎧⎪⎨=⎪⎩，即1M p M px mx m y my =+-⎧⎪⎨=⎪⎩， ---------------5分由P(x p ,y p )、M(x M ,y M )分别在曲线1W 和2W 上，有2222122(1)2()1p p p p x y mx m my ⎧+=⎪⎨⎪+--=⎩，消去y p ，得2234(1)140p p m x m m x m +-+-= (*) ---------------7分将1m 代入方程(*)，成立，因此(*)有一根1p x m=,结合韦达定理得另一根为143p m x m -=，因为1m >,所以143p mx m-=<-1，舍去. 所以，1p x m=. -----------------------------------------------------8分 从而P 点坐标为(1m)，所以，直线2PF的斜率2PF k =，-------------------------------------9分由1M p x mx m m =+-=,得M(m所以，直线2MF的斜率2MF k =.--------------------10分因此，2MF 与2PF 斜率之和为零. ---------------------------------11分（3）由(2)知直线2PF 与2NF 关于x 轴对称，结合椭圆的对称性知点P 与点N 关于x 轴对称，故N (m 1,1m-212-m ), -----------------------------12分 因此，S=21⨯|F 1F 2|(|y M |+|y N |)=21⨯2(212-m +m 1212-m ) =212-m +2211m -，-----------14分 因为S 在()1,+∞上单调递增, ----------------------------------15分 所以,S的取值范围是)+∞.----------------------------------------------------16分21、解：（1）当2k ≥时，1211k k t t t t -=+++L ，----------------------------------------------------------------2分 1121k k t t t t +=+++L ，于是1k k k t t t +-=，即12k k t t +=，又2112,1t t t ==， ---------------------3分所以12k k t -=，故21122221k kk T -=++++=-L . ---------------4分（2）由12k k t -=得第8行中共有27=128个数，所以，第8行中的数超过73个，-------6分70773*******n T =+=-+=，-----7分从而，020073n a a a ==， 由26-1=63<73，27-1=127>73，所以，按上述顺序依次写下的第73个数应是第7行的第73-63=10个数，同上过程知7310a a ==2，--------------------------------------------------------9分 所以，02n a =.--------------------------------------------------------------10分（3）由于数表的前n 行共有21n -个数，于是，先计算21n S -.方法一：在前21n -个数中，共有1个n ，2个1n -，22个2n -，……，2n-k个k ，……，2n-1个1， ---------------------------------------------------12分因此21n S -=n ×1+(n-1)×2+…+ k ×2n-k+…+2×2n-2+1×2n-1则2×21n S -=n ×2+(n-1)×22+…+ k ×2n-k+1+…+2×2n-1+1×2n两式相减，得21n S -=n -+2+22+…+2n-1+2n＝2n+1-n-2. ------------15分方法二：由此数表构成的过程知，121212n n S S n ---=+，---------------12分 则21n S -+n+2=2(121n S --+n+1)，即数列{21n S -+n+2}是以S 1+1+2=4为首项，2为公比的等比数列,所以21n S -+n+2＝4×2n-1，即21n S -=2n+1-n-2. ------------------------------15分S 2017=1021S -+S 994-----------------------------------------------------------------16分=1021S -+921S -+S 483=1021S -+921S -+821S -+S 228＝1021S -+921S -+821S -+721S -+S 101=1021S -+921S -+821S -+721S -+621S -+S 38 =1021S -+921S -+821S -+721S -+621S -+521S -+S 7=(211-12)+(210-11)+(29-10)+(28-9)+(27-8)+(26-7)+(24-5) =3986.------------------------------------------------------------------------18分。
上海市徐汇区2020届高三二模数学卷(含答案)
1 俯视图
A. 2 5 5
B. 2 5 5
C. 5 5
D. 5 5
16．若数列
an
, bn
的通项公式分别为 an
1 n2020 a ， bn 2
1 n2019 n
，且 an
bn 对任意 n N 恒成立，
则实数 a 的取值范围为（ ）
A. 2,1
B.
2,
3 2
C.
记为 mn . 设 bn ni M n mn ，当正整数 n 满足 3 n 2020 时，比较 bn 与 bn1 的大小，并求出 bn 的最大值．
参考答案及评分标准
一． 填空题：（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分
2020.本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17．（本题满分 14 分，第（1）小题 6 分，第（2）小题 8 分）
如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA 底面 ABCD ， E 是 PC 的中点，已知 AB 2 ，
（2）[解法一]如图所示，以 A 点为原点， AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴
建立空间直角坐标系，
则 B(2, 0, 0)，C(2, 2 2 ,0)，E(1, 2 , 1)，-------8
z
分
AE (1, 2, 1) ， BC (0, 2 2, 0) .-----------10
P
分
设 AE 与 BC 的夹角为，则
11．如图为某街区道路示意图，图中的实线为道路，每段道路旁的数字表示单向通
过此段道路时会遇见的行人人数，在防控新冠肺炎疫情期间，某人需要从 A 点由图
2023届上海徐汇区高三二模数学试题及答案
2022-2023学年上海徐汇区第二学期学习能力诊断卷高三数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.已知集合{}3A x x =<，{B x y ==，则A B ⋃=_________.2.若角的终边过点3(4,)P -，则3sin()2πα+的值为_____________.3.抽取某校高一年级10名女生，测得她们的身高（单位：cm ）数据如下：163165161157162165158155164162，据此估计该校高一年级女生身高的第25百分位数是__________.4.命题“若x a >，则10x x->”是真命题，实数a 的取值范围是__________.5.在正项等比数列{}n a 中，2256892100a a a a ++=，则59a a +=______．6.设一组样本数据1x ，2x ，L ，n x 的方差为0.01，则数据110x ，210x ，L ，10n x 的方差为___________.7.如图所示，圆锥SO 的底面圆半径1OA =，侧面的平面展开图的面积为3π，则此圆锥的体积为_________.8.若()()2023220240122024112x x a a x a x a x +-=+++⋅⋅⋅+，()R 0,1,2,,2024i a i ∈=⋅⋅⋅，则122024a a a ++⋅⋅⋅+=_________.9.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为()1,0F -，过F 且与x 轴垂直的直线与双曲线交于A 、B 两点，O 为坐标原点，AOB 的面积为32，则F 到双曲线的渐近线距离为_________.10.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加高中社会实践活动，高中社会实践活动共有博物馆讲解、养老院慰问、交通宣传、超市导购四个项目，每人限报其中一项，记事件A 为“4名同学所报项目各不相同”，事件B 为“只有甲同学一人报交通宣传项目，则()P A B =_________.11.已知函数()af x x b x=++，[),x b ∈+∞，其中0b >，R a ∈，若()f x 的最小值为2，则实数a 的取值范围是__________.12.已知数列{}n a 满足：对于任意*N n ∈有π0,2n a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1π4a =，()1n f a +=，其中()tan f x x =.若()11tan tan nn n nb a a +-=-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则120T =_________.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.设z C ∈，则0z z +=是z 为纯虚数的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件14.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（）A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差15.设函数()22,0ln ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩，现有如下命题，①若方程()f x a =有四个不同的实根1x 、2x 、3x 、4x ，则1234x x x x ⋅⋅⋅的取值范围是()0,1；②方程()()2110f x a f x a ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭的不同实根的个数只能是1，2，3，8.下列判断正确的是（）A.①和②均为真命题B.①和②均为假命题C.①为真命题，②为假命题D.①为假命题，②为真命题16.如图：棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的内切球为球O ，E 、F 分别是棱AB 和棱1CC 的中点，G 在棱BC 上移动，则下列命题正确的个数是（）①存在点G ，使OD 垂直于平面EFG ；②对于任意点G ，OA 平行于平面EFG ；③直线EF被球О；④过直线EF 的平面截球О所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为π2.A.0B.1C.2D.3三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.雅言传承文明，经典滋润人生，中国的经典诗文是中华民族精神文明的重要组成部分.某社区拟开展“诵读国学经典，积淀文化底蕴”活动.为了调查不同年龄人对此项活动所持的态度，研究人员随机抽取了300人，并将所得结果统计如下表所示.分组区间[)20,30[)30,40[)40,50[)50,60[]60,70人数30751056030支持态度人数2466904218（1）完成下列2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为年龄与所持态度有关；年龄在50周岁及以上年龄在50周岁以下总计支持态度人数不支持态度人数总计（2）以（1）中的频率估计概率，若在该地区所有年龄在50周岁及以上的人中随机抽取4人，记X 为4人中持支持态度的人数，求X 的分布以及数学期望.参考数据：()23.8410.05Pχ≥≈参考公式：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++18.已知向量,2sin 22x x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，cos ,cos 22x x n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，函数()y f x m n ==⋅ .（1）设ππ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且()1f θ=，求θ的值；（2）在ABC 中，1AB =，()1f C =+，且ABC 的面积为32，求sin sin A B +的值.19.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ︒∠=，AB AC a ==，1AA b =，点E ，F 分别在1BB ，1CC ，且113BE BB =，1113C F CC =.设b aλ=.（1）当3λ=时，求异面直线AE 与1A F 所成角的大小；（2）当平面AEF ⊥平面1A EF 时，求λ的值.20.已知椭圆C ：()2211x y t t+=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线l ：()0y kx m m =+≠与椭圆C 交于M 、N 两点（M 点在N 点的上方），与y 轴交于点E .（1）当2t =时，点A 为椭圆C 上除顶点外任一点，求12AF F △的周长；（2）当3t =且直线l 过点()1,0D -时，设EM DM λ= ，EN DN μ=，求证：λμ+为定值，并求出该值；（3）若椭圆C 的离心率为2，当k 为何值时，22OM ON +恒为定值；并求此时MON △面积的最大值.21.已知常数k 为非零整数，若函数()y f x =，[]0,1x ∈满足：对任意[]12,0,1x x ∈，()()()()121211kkf x f x x x -≤+-+，则称函数()y f x =为()L k 函数.（1）函数2y x =，[]0,1x ∈是否为()2L 函数﹖请说明理由；（2）若()y f x =为()1L 函数，图像在[]0,1x ∈是一条连续的曲线，()00f =，()112f =，且()f x 在区间()0,1上仅存在一个极值点，分别记()max f x 、()min f x 为函数()y f x =的最大、小值，求()()max min f f x x -的取值范围；（3）若0a >，()()20.050.1ln 1f x x x a x =+++，且()y f x =为()1L -函数，()()g x f x '=，对任意[],0,1x y ∈，恒有()()g x g y M -≤，记M 的最小值为()M a ，求a 的取值范围及()M a 关于a 的表达式.参考答案：一．填空题：1、{}3x x <；2、45-；3、158；4、[)1,+∞；5、10；6、1；7、22π3；8、3-；9、32；10、29；11、(),1-∞；12、10；二．选择题：13、B ；14、B ；15、C ；16、D ；三．解答题：17、【答案】（1）列联表、答案见解析（2）分布列见解析，83EX =【小问1详解】完成列联表如下，年龄在50周岁及以上年龄在50周岁以下总计支持态度人数60180240不支持态度人数303060总计90210300提出原假设0:H 年龄与所持态度无关，确定显著性水平0.05α=，()22603018030062406.0930001014287210χ⨯-⨯⨯⨯≈⨯==()2 3.8410.05P χ≥≈，14.286 3.841>，从而否定原假设，故有95%的把握认为年龄与所持态度具有相关性.【小问2详解】依题意，X 服从二项分布24,3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故()4110381P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()3141281C 3381P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()2224122482C 338127P X ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()33412323C 3381P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,()42164381P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,所以分布列如下表，X01234P18188182732811681所以28433EX np ==⨯=.18、【答案】（1）π2-或π6（2）312+【小问1详解】2π()2sin cos cos )sin 2cos 2226x x xfx x x x ⎛⎫=-=+-=++ ⎪⎝⎭()π2cos 16f θθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，得1cos 62πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故2π(Z)63ππk k θ+=±∈，ππ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，故π2θ=-或π6.【小问2详解】(0,π)C ∈，由（1）知π6C =，在ABC 中，设内角A 、B 的对边分别是,a b ，则31s n 2πi 26S ab ==，故=ab 由余弦定理得2222π12cos66a b ab a b =+-=+-，故227a b +=.解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩或2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，于是2+=+a b ，由正弦定理得sin sin sin 112===A B C a b ，故13sin sin ()122+=+=+A B a b .19、【答案】（1）60°（2）32λ=解：因为直三棱柱111ABC A B C -，所以1AA ⊥平面ABC ，因为,AB AC ⊂平面ABC ，所以1AA AB ⊥，1AA AC ⊥，又因为90BAC ︒∠=，所以建立分别以AB ，AC ，1AA 为,,x y z 轴的空间直角坐标系A xyz -.（1）设1a =，则1AB AC ==，13AA =，各点的坐标为(0,0,0)A ，(1,0,1)E ，1(0,0,3)A ，(0,1,2)F .(1,0,1)AE =，1(0,1,1)A F =- .因为1||||AE A F == ，11AE A F ⋅=-，所以1111cos ,2||||AE A F AE A F AE A F ⋅〈〉===-.所以向量A E和1A F 所成的角为120°，所以异面直线AE 与1A F 所成角为60°；（2）因为,0,3b E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，20,,3b F a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,0,3b AE a ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭ ，20,,3b AF a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 设平面AEF 的法向量为1(,,)n x y z =，则10AE n ⋅= ，且10AF n ⋅=.即03bz ax +=，且203bz ay +=.令1z =，则3b x a =-，23by a=-.所以122,,1,,13333b b a a n λλ⎛⎫⎛⎫=--=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 是平面AEF 的一个法向量.同理，222,,1,,13333b b n a a λλ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 是平面1A EF 的一个法向量.因为平面AEF ⊥平面1A EF ，所以120n n ⋅=，22221099λλ∴--+=，解得32λ=.所以当平面AEF ⊥平面1A EF 时，32λ=.20、【答案】（1）2+（2）证明见解析，3λμ+=（3）12k =±；1【小问1详解】当2t =时，椭圆C ：2212x y +=，12AF F △的周长为12122AF AF F F ++=；【小问2详解】当3t =且直线l 过点()1,0D -时，椭圆C ：2212x y +=，直线斜率存在，()1y k x =+，联立2213(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得：()2222316330k x k x k +++-=，()()()2222264333124120k k k k ∆--+==+>恒成立，设()11,M x y ，()22,N x y ，则212221226313331k x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，由,EM DM EN DN λμ==，点E 的横坐标为0，考虑向量横坐标得到()111x x λ=+，()221x x μ=+，从而121211x xx x λμ+=+++，22122212121222622113122233611113 311k x x k k k x x x x x x k k λμ-+⎛⎫++++=-+=-=- ⎪-+++++⎝⎭-+++22331=-=-+，所以λμ+为定值3；【小问3详解】132t e t-==，解得4t =，故椭圆方程2214xy +=，联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消元得()222418440k x kmx m +++-=，()()222264164110k m k m ∆=-+->，即22410k m -+>，设()11,M x y ，()22,N x y ，则122841km x x k -+=+，21224441m x x k -⋅=+，则()2222222121212123||||1122444x x OM ON x x x x x x ⎡⎤+=+-++-=++-⎣⎦()()()()22222222222641641246246224141m k k k m m k kk-++-++=+=+++，当22||||OM ON +为定值时，即与2m 无关，故2410k -=，得12k =±，此时2||14k m MN k===+，又点O 到直线l的距离d ==所以2212||||122MONm m S d MN m +-=⨯⨯==△，当且仅当||m =1m =±时，等号成立，经检验，此时0∆>成立，所以MON △面积的最大值为1.21、【答案】（1）是，理由见解析（2）13,24⎛⎤⎥⎝⎦（3）()0.12a M a =-，10,10a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【小问1详解】2y x =是()2L 函数，理由如下，对任意[]12,0,1x x ∈，()()2212122211x x x x --+-+，()()()()12121212122222x x x x x x x x x x =--++-=-++-()12120x x x x =-+-≤，故()()2212122211x x x x -≤+-+【小问2详解】（ⅰ）若0x 为()f x 在区间()0,1上仅存的一个极大值点，则()f x 在()00,x 严格递增，在()0,1x 严格递减，由()()()()0000011f x f x f x f x ⎧-≤⎪⎨-≤-⎪⎩，即()()0000001322x f x x x f x x ⎧-≤≤⎪⎨-≤≤-⎪⎩，得()01344f x -≤≤，又()00f =，()112f =，则()01324f x <≤，（构造()3,0433,124x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩时，等号成立），所以()()()()()00max min 130,24f x f x f x f f x ⎛⎤-=-=∈ ⎥⎝⎦；（ⅱ）若0x 为()f x 在区间()0,1上仅存的一个极小值点，则()f x 在()00,x 严格递减，在()0,1x 严格增，由()()()()0000011f x f x f x f x ⎧-≤⎪⎨-≤-⎪⎩，同理可得()01344f x -≤≤，又()00f =，()112f =，则()0104f x -≤<，（构造()1,0411,124x x f x x x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩时，等号成立），所以()()()()()00max min 1131224f x f x f f x f x ⎛⎤-=-=-∈ ⎥⎝⎦；综上所述：所求取值范围为13,24⎛⎤⎥⎝⎦；【小问3详解】显然()f x 为[]0,1上的严格增函数，任意[]12,0,1x x ∈，不妨设12x x <，此时()()12f x f x <，由()f x 为()1L -函数，得()()12121111f x f x x x -≤-++恒成立，即()()21211111f x f x x x +≤+++恒成立，设()()()2110.050.1ln 111h x f x x x a x x x =+=++++++，则()h x 为[]0,1上的减函数，()()()210.11011a h x x x x '=++-≤++，得()211110x a x +≤-+对[]0,1x ∈恒成立，易知上述不等号右边的函数为[]0,1上的减函数，所以14121010a ≤-=，所以a 的取值范围为10,10⎛⎤ ⎥⎝⎦，此时()()()0.111ag x f x x x '==+++，法1：当()0.111ax x +=+时，即1x +=，1≤，而[]11,2x +∈，所以()g x 为[]0,1上的增函数，法2：()()20.11ag x x '=-+，因为10,10a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，当[]0,1x ∈，()()20.101a g x x '=-≥+，所以()g x 为[]0,1上的增函数，由题意得，()()()100.20.10.122a a M a g g a =-=+--=-，10,10a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.。
2020年上海市徐汇区高考数学二模试卷(有答案解析)
2020年上海市徐汇区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.满足条件|z-i|=|3+4i|（i是虚数单位）的复数z在复平面上对应的点的轨迹是（）A. 直线B. 圆C. 椭圆D. 双曲线2.设n∈N*，则“数列{a n}为等比数列”是“数列{a n}满足a n•a n+3=a n+1•a n+2”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件3.已知直线l1：4x-3y+6=0和直线l2：x=-1，则抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A. B. C. 2 D.4.设f（x）是定义在R上的函数，若存在两个不等实数x1，x2∈R，使得f（）=，则称函数f（x）具有性质P，那么下列函数：①f（x）=；②f（x）=x3；③f（x）=|x2-1|；④f（x）=x2；不具有性质P的函数为（）A. ①B. ②C. ③D. ④二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.设全集U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则Α∩∁UΒ=______．6.已知点（2，5）在函数f（x）=1+a x（a＞0且a≠1）的图象上，则f（x）的反函数f-1（x）=______．7.不等式＞1的解为______．8.已知球的主视图所表示图形的面积为9π，则该球的体积是______．9.函数f（x）=在区间[0，]上的最小值为______．10.若2+i（i是虚数单位）是关于x的实系数方程x2+mx+n=0的一个根，则圆锥曲线=1的焦距是______．11.设无穷等比数列{a n}的公比为q，若{a n}的各项和等于q，则首项a1的取值范围是______．12.已知点O（0，0），A（2，0），B（1，-2），P是曲线y=上一个动点，则的取值范围是______．13.甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队在每局赢的概率都是0.5，则甲队获得冠军的概率为______（结果用数值表示）14.已知函数f（x）=x+-1，若存在x1，x2，…，x n∈[，4]使得f（x1）+f（x2）+…f（x n-1）=f（x n），则正整数n的最大值是______．15.在平面直角坐标系中，设点O（0，0），A（3，），点P（x，y）的坐标满足，则在上的投影的取值范围是______．16.函数f（x）=sinωx（ω＞0）的图象与其对称轴在y轴右侧的交点从左到右依次记为A1，A2，A3……A n…在点列{A n}中存在三个不同的点A k，A t，A p，使得△A k A t A p是等腰直角三角形将满足上述条件的ω值从小到大组成的数列记为{ωn}，则ω2019=______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2cos2A+4cos（B+C）+3=0．（1）求角A的大小；（2）若a=，b+c=3，求b和c的值．18.如图：正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为2，BC1与底面ABCD所成角的大小为arctan2，M是DD1的中点，N是BD上的一动点，设=（0＜λ＜1）（1）当λ=时，证明：MN与平面ABC1D1平行；（2）若点N到平面BCM的距离为d，试用λ表示d，并求出d的取值范围．19.2018年世界人工智能大会已于2018年9月在上海徐汇西岸举行，某高校的志愿者服务小组受大会展示项目的启发，会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图：A、B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过O点的直线l与直线AB的夹角为45°，机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到A点的信号比接收到B点的信号晚秒（注：信号每秒传播v0米）．在时刻t0时，测得机器鼠距离O点为4米．（1）以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系（如图），求时刻t0时机器鼠所在位置的坐标；（2）游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区域运动时，有“被抓”的风险．如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？20.对于项数为m（m≥3）的有穷数列{a n}，若存在项数为m+1，公差为d的等差数列{b n}，使得b k＜a k＜b k+1，其中k=1，2，…，m，则称数列{a n}为“等差分割数列”．（1）判断数列{a n}：1，4，8，13是否为“等差分割数列”，并说明理由；（2）若数列{a n}的通项公式为a n=2n（n=1，2…，m），求证：当m≥5时，数列{a n}不是“等差分割数列”；（3）已知数列{a n}的通项公式为a n=4n+3（n=1，2，…，m），且数列{a n}为“等差分割数列”．若数列{b n}的首项b1=3，求数列{b n}的公差d的取值范围（用m表示）．21.已知函数y=f1（x），y=f2（x），定义函数f（x）=．（1）设函数f1（x）=，f2（x）=（）x-1（x≥0），求函数y=f（x）的值域；（2）设函数f1（x）=lg（|p-x|+1）（0，p为实常数），f2（x）=lg（0），当0＜x时，恒有f（x）=f1（x），求实常数p的取值范围；（3）设函数f1（x）=2|x|，f2（x）=3•2|x-p|，p为正常数，若关于x的方程f（x）=m （m为实常数）恰有三个不同的解，求p的取值范围及这三个解的和（用p表示）．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：因为|3+4i|=5，满足条件|z-i|=|3+4i|=5的复数z在复平面上对应点的轨迹是：圆心为（0，1），半径为5的圆．故选：B．利用复数的几何意义可直接得出|z-i|=|3+4i|中复数z在复平面上对应点的轨迹是圆．考查复数的几何意义及复数求模的公式．题型很基本．较全面考查了复数的运算与几何意义．2.答案：A解析：解：“数列{a n}为等比数列”，则==q，⇒数列{a n}满足a n•a n+3=a n+1•a n+2．反之不能推出，例如a n=0，故选：A．“数列{a n}为等比数列”，则==q，⇒数列{a n}满足a n•a n+3=a n+1•a n+2．反之不能推出，可以举出反例．本题考查了等比数列的定义、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.答案：C解析：【分析】本题考查抛物线性质的应用，是中档题，解题时要熟练掌握抛物线的性质，注意等价转化思想的合理运用．由x=-1是抛物线y2=4x的准线，推导出点P到直线l1：4x-3y+6=0的距离和到直线l2：x=-1的距离之和的最小值．【解答】解：∵x=-1是抛物线y2=4x的准线，∴P到x=-1的距离等于PF，∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0）∴过P作4x-3y+6=0垂线，和抛物线的交点就是P，∴点P到直线l1：4x-3y+6=0的距离和到直线l2：x=-1的距离之和的最小值就是F（1，0）到直线4x-3y+6=0距离，∴最小值=．故选：C．4.答案：D解析：解：①选择的两点关于原点对称即可，如图：（1）中的A，B，②同①，选择的两点关于原点对称即可，如图（2）,③如图，y=1与f（x）的交点，满足题意，④没有满足的点对，假设存在x1，x2∈R，使得f（）=，即（）2=得，x1=x2与x1≠x2矛盾，故④不存在，故选：D．根据条件分别进行判断即可．本题主要考查函数与方程的应用，结合条件，利用数形结合分别进行判断是解决本题的关键．5.答案：{1，4}解析：解：∵全集U=R，集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，∴（∁U B）={x|x＞3或x＜2}，∴A∩（∁U B）={1，4}，故答案为：{1，4}．本题考查集合的运算，由于两个集合已经化简，故直接运算得出答案即可．本题考查集合的交、并、补的混合运算，熟练掌握集合的交并补的运算规则是解本题的关键．本题考查了推理判断的能力．6.答案：log2（x-1）（x＞1）解析：解：由点（2，5）在函数f（x）=1+a x（a＞0且a≠1）的图象上，得2=1+a2，∵a＞0，∴a=2．则y=1+2x，∴2x=y-1，得x=log2（y-1），∴f（x）的反函数f-1（x）=log2（x-1）（x＞1）．故答案为：log2（x-1）（x＞1）．把点的坐标代入函数解析式，求得a，然后求解x，把x与y互换可得f（x）的反函数f-1（x）．本题考查函数的反函数的求法，是基础题．7.答案：（0，+∞）解析：解：根据题意，＞1⇒-1＞0⇒＞0，解可得x＞0，即不等式的解集为（0，+∞）；故答案为：（0，+∞）．根据题意，原不等式变形可得＞0，进而分析可得答案．本题考查分式不等式的解法，关键是对分式不等式的变形，属于基础题．8.答案：36π解析：解：πR2=9π，R=3，V==36π．故答案为36π．由圆面积得到半径，再由体积公式得体积．本题考查球的体积公式，属于简单题．9.答案：解析：解：函数f（x）==cos2x+sin x cosx==sin（2x+），∵2x+∈[，]，∴f（x）在区间[0，]上的最小值为f（x）min=f（）=sin=-sin=-．故答案为：-．求出函数f（x）=cos2x+sin x cosx=sin（2x+），由2x+∈[，]，能求出f（x）在区间[0，]上的最小值．本题考查函数的最小值的求法，考查二阶行列式、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.答案：6解析：解：2+i（i是虚数单位）是关于x的实系数方程x2+mx+n=0的一个根，则2-i也是方程的根，由韦达定理可得-m=2+i+2-i=4，解得m=-4，n=（2+i）（2-i）=5，所以双曲线方程为：．所以双曲线的焦距为：2=6．故答案为：6．利用实系数方程虚根成对定理，结合韦达定理求出m，n，然后求解椭圆的焦距即可．本题考查实系数方程虚根成对定理的应用，双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．11.答案：-2＜a1≤且a1≠0解析：解：∵无穷等比数列{a n}的各项和等于公比q，∴|q|＜1，且=q，∴a1=q（1-q）=-q2+q=-（q-）2+，由二次函数可知a1=-（q-）2+≤，又等比数列的项和公比均不为0，∴由二次函数区间的值域可得：首项a1的取值范围为：-2＜a1≤且a1≠0故答案为：-2＜a1≤且a1≠0由题意易得=q，可得a1=-（q-）2+，由二次函数和等比数列的性质可得．本题考查等比数列的各项和，涉及二次函数的最值，属基础题．12.答案：[-2，4]解析：【分析】利用已知条件设出P的坐标，利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数转化求解即可，属于一般题．本题考查向量的数量积的应用，椭圆参数方程的应用，考查两角和与差的三角函数，准确设出P的坐标是解题的关键．【解答】解：点O（0，0），A（2，0），B（1，-2），P是曲线y=上一个动点，设P（2cosθ，sinθ），θ∈[0，π]，则==4∈[-2，4]．故答案为：[-2，4]．13.答案：0.75解析：解：甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队在每局赢的概率都是0.5，则甲队获得冠军的概率为p=1-0.5×0.5=0.75．故答案为：0.75．利用对立事件、相互独立事件概率乘法公式直接求解．本题考查概率的求法，考查对立事件、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．14.答案：6解析：解：函数函数f（x）=x+-1的导数为f′（x）=1-=，可得f（x）在[，2]递减，在（2，4]递增，即有f（2）为最小值，且为3；最大值为f（）=，∴≥f（x n）=f（x1）+f（x2）+…f（x n-1）≥3（n-1），故正整数n的最大值是6．故答案为：6求得f（x）的导数，可得f（x）在[，2]递减，在（2，4]递增，求得f（x）的最值，即可得到所求n的最大值．本题考查对勾函数的单调性和最值求法，考查运算能力和推理能力，属于中档题．15.答案：[-3，3]解析：解：在上的投影：z==||•cos∠AOP=2cos∠AOP，∵∠AOP∈[，]，∴当∠AOP=时，z max=2cos=3，当∠AOP=时，z min=2cos=-3，∴z的取值范围是[-3，3]．∴故答案为：[-3，3]．先根据约束条件画出可行域，设z为在上的投影，再利用z的几何意义求范围，只需求出向量和的夹角的余弦值的取值范围即可，从而得到z值即可．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化．16.答案：π解析：解：由ωx=kπ+，得x=，k∈Z，由题意得x=，，，…，，即A1（，1），A2（，-1），A3（，1），A4（，-1）…，由△A1A2A3是等腰直角三角形，得=-1，即=-1，得ω1=，同理△A1A4A7是等腰直角三角形得=-1，得ω2=．同理△A1A6A11是等腰直角三角形得•=-1，得ω3=．……ωn=，则ω2019==π，故答案为：π由三角函数的对称性求出对应的对称轴，得对称轴对应的交点坐标，结合△A k A t A p是等腰直角三角形，归纳出满足条件的数列{ωn}，进行求解即可．本题主要考查三角函数对称性的应用，结合条件求出三角函数的对称轴以及结合等腰直角三角形归纳出{ωn}是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．17.答案：解：（1）∵2cos2A+4cos（B+C）+3=0,∴2（2cos2A-1）+4cos（π-A）+3=0，∴可得：4cos2A-4cos A+1=0，可得：（2cos A-1）2=0，∴解得：cos A=，∵A∈（0，π），∴A=．（2）由题意可得：b+c=3，可得：b=3-c，又由a2=b2+c2-2bc cos A，可得：（）2=（3-c）2+c2-2×，可得：c2-3c+2=0，解得：，或．解析：（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得可得（2cos A-1）2=0，解得cos A的值，结合范围A∈（0，π），可求A的值．（2）由题意可得：b=3-c，进而利用余弦定理可求c2-3c+2=0，解方程可求c的值，进而可求b的值．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和方程思想，属于基础题．18.答案：（1）证明：连接BD1，由可知N为BD的中点，又M是DD1的中点，∴MN∥D1B，又MN⊄平面ABC1D1，BD1⊂平面ABC1D1，∴MN∥平面ABC1D1．（2）解：∵CC1⊥平面ABCD，∴∠C1BC为直线BC1与底面ABCD所成的角，即tan∠C1BC==2，∴CC1=2BC=4，以D为原点，以DA，DC，DD1为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示，则B（2，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），M（0，0，2），∴=（2，2，0），=（-2，0，0），=（-2，-2，2）．∴=λ=（2λ，2λ，0），即N（2λ，2λ，0），∴=（2λ，2λ，-2），设平面BCM的法向量为=（x，y，z），则，即，令y=1可得=（0，1，1），设MN与平面BCM所成的角为α，则sinα=|cos＜＞|=||=，∴N到平面BCM的距离d=|MN|sinα==（1-λ）．∵0＜λ＜1，∴0＜d＜．解析：（1）连接BD1，则MN∥D1B，故MN∥平面ABC1D1；（2）根据tan∠C1BC=2得CC1=4，建立空间坐标系，求出平面BCM的法向量，计算与的夹角正弦值得出d关于λ的表达式．本题考查了线面平行的判定，空间向量与空间距离的计算，属于中档题．19.答案：解：（1）设机器鼠位置为点P，由题意可得-=，即|PA|-|PB|=8＜10，可得P的轨迹为双曲线的右支，且2c=10，2a=8，即有c=5，a=4，b=3，则P的轨迹方程为-=1（x≥4），时刻t0时，|OP|=4，即P（4，0），可得机器鼠所在位置的坐标为（4，0）；（2）设直线l的平行线l1的方程为y=x+m，联立双曲线方程-=1（x≥4），可得7x2+32mx+16m2+144=0，即有△=（32m）2-28（16m2+144）=0，且x1+x2=-＞0，可得m=-，即l1：y=x-与双曲线的右支相切，切点即为双曲线右支上距离l最近的点，此时l与l1的距离为d==，即机器鼠距离l最小的距离为＞1.5，则机器鼠保持目前运动轨迹不变，没有“被抓”的风险．解析：本题考查双曲线在实际问题中的应用，考查直线和双曲线的位置关系，注意联立直线方程和双曲线方程，考查化简运算能力，属于中档题．（1）设机器鼠位置为点P，由双曲线的定义和方程可得P的轨迹和方程，及时刻t0时P的坐标；（2）设直线l的平行线l1的方程为y=x+m，联立双曲线方程，由判别式为0，解得m，再求平行线的距离，结合题意即可判断．20.答案：（1）解：由题意，可知：数列{b n}若存在，则b1＜1＜b2＜4＜b3＜8＜b4＜13＜b5，可令b1=0，d=3.5，则b1=0＜1＜b2=3.5＜4＜b3=7＜8＜b4=10.5＜13＜b5=14，即数列{a n}：1，4，8，13为“等差分割数列”；（2）证明：当m≥5时，假设存在项数为m+1，公差为d的等差数列{b n}，使得：b k＜a k＜b k+1，其中k=1，2，…，m．即满足：b1＜2＜b2＜4＜b3＜8＜b4＜16＜b5＜32＜b6＜……，由b6＞32，b1＜2⇒b6-b1=5d＞30⇒d＞6，又由2＜b2＜4，4＜b3＜8⇒0＜b3-b2=d＜6，矛盾，故不存在这样的等差数列{b n}，即数列{a n}不是“等差分割数列”；（3）解：由题意，可设等差数列{b n}通项公式为：b n=3+（n-1）d，则：b1=3＜a1=7＜b2=3+d＜a2=11＜b3=3+2d＜……＜b m=3+（m-1）d＜a m=4m+3＜b m+1=3+md，由b1=3，b2＞7⇒b2-b1=d＞4，又由b1=3，b m＜4m+3⇒b m-b1=（m-1）d＜4m，即d＜，则4＜d＜，此时，b k=3+（k-1）d＜3+（k-1），a k=4k+3，b k+1=3+kd＞3+4m（=1，2，…，m）．a k-b k=4k-（k-1）=≥0，b k+1-a k＞0，即b k＜a k＜b k+1，k=1，2，…，m恒成立．则公差d的取值范围为（4，）．解析：第（1）题要根据题意找出一个符合条件的等差数列{b n}，使得b1＜1＜b2＜4＜b3＜8＜b4＜13＜b5成立．可假设b1=0，d=3.5即可得到一个符合条件的等差数列{b n}；第（2）题可采用反证法证明，即假设存在项数为m+1，公差为d的等差数列{b n}满足条件，然后找出公差d的取值范围正好相反从而产生矛盾，则假设不成立，原命题成立；第（3）题可根据题意设等差数列{b n}通项公式为：b n=3+（n-1）d，然后根据b1=3，b2＞7以及b1=3，b m＜4m+3得出公差d的取值范围．本题第（1）题主要考查根据新定义构造一个等差数列；第（2）题主要考查反证法的应用以及对新定义的理解；第（2）题主要考查根据新定义求出公差d的取值范围．本题属较难题．21.答案：解：（l）注意到f1（1）=f2（1）=1，∵f1（x）=在[0，+∞）上单调递增，f2（x）=（）x-1在[0，+∞）上单调递减，∴当0≤x≤1时，f1（x）≤f2（x），此时f（x）=f1（x）=∈[0，1]，当x＞1时，f1（x）＞f2（x），此时f（x）=f2（x）=（）x-1∈（0，1），综上所述，函数y=f（x）的值域是[0，1]（2）由题意f1（x）≤f2（x），即lg（|p-x|+l）≤lg在0≤x≤恒成立，⇔|p-x|≤-1⇔1-≤x-p≤-1⇔在0＜x≤时恒成立，令g（x）=x+-1，（0＜x≤），h（x）=x-+1，（0＜x≤），问题等价为p≤g（x）min且p≥h（x）max，∵g（x）min=g（）=，h（x）max=h（）=-，故-≤p≤，（3）由题意f1（x）=，f2（x）=，其中p＞0，∴f1（x）＞0，f2（x）＞0，2p＞1，当x≤0时，==＜1，∴f1（x）≤f2（x），∴f（x）=f1（x）=2-x，假设2p≤3，则当0＜x≤p时，==•22-p≤≤1，∴f1（x）≤f2（x），∴f（x）=f1（x）=2x，当x＞p时，==，∴f1（x）≤f2（x），∴f（x）=f1（x）=2x，综上可知，f（x）=f1（x）=2|x|，此时f（x）在（-∞，0]上单调递减，则[0，+∞）上单调递增，这与方程f（x）=m恰有三个不同的解矛盾，不符合题意，故2p＞3，当0＜x≤p时，==•22x-p，由•22x-p≤1得x≤，∴f（x）=，当x＞p时，==＞1，f1（x）＞f2（x），∴f（x）=f2（x）=3•2x-p，则由此可知，p＞log23，f（x）=，故f（x）在（-∞，0]上单调递减，此时f（x）∈[1，+∞）f（x）在[0，]上单调递增，此时f（x）∈[1，]，f（x）在[，p]上单调递减，此时f（x）∈[3，]，f（x）在[p，+∞）上单调递增，此时f（x）∈[3，+∞），∵关于x的方程f（x）=m（m为实常数）恰有三个不同的解，∴m=3或m=，当m=3时，由f（x）=3得x=-log23或x=log23或x=p，三个解的和为p，]，当m=时，由f（x）=，得x=-或x=或x=，三个解的和为．解析：（1）根据f（x）的定义分别比较两个函数的大小即可（2）若当0＜x时，恒有f（x）=f1（x），等价为f1（x）≤f2（x）恒成立，利用参数分离法进行求解即可（3）讨论p的范围，结合f（x）的定义比较f1（x）与f2（x）的大小，结合方程根的个数，确定判断判断取值范围即可本题主要考查函数方程的综合应用，结合条件比较f1（x），f2（x）的大小是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，难度较大．。
2020上海高三数学二模汇编-排列组合与概率统计含答案
排列组合与概率统计一、排列组合1、【2020年徐汇区二模第11题】如图为某街区道路示意图，图中的实线为道路，每段道路旁的数字表示单向通过此段道路时会遇见的行人人数，在防控新冠肺炎疫情期间，某人需要从A 点由图中的道路到B 点，为避免人员聚集，此人选择了一条遇见的行人总人数最小的从A 到B 的行走线路，则此人从A 到B 遇见的行人总人数最小值是【答案：34解析：枚举比较，可知按如图方式行走，遇见行人最少。
】二、二项式定理、组合数运算2、【2020年长宁区二模第3题】()51x +的二项展开式的第三项的系数是 _______________． 【答案：10】3、【2020年嘉定区二模第4题】4. 在5(2)x -的二项展开式中，项的系数为【答案： 40 】4、【2020年青浦区二模第4题】若5(1)ax +的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是__________．【答案：2】 5、【2020年徐汇区二模第7题】二项式52x x ⎛+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项等于 . 【答案：5 】6、【2020年松江区二模第5题】若的展开式中项的系数为，则实数= ． 8()x a +5x 56a【答案：1 】7、【2020年宝山区二模第8题】已知1()2n x x-的展开式的常数项为第6项，则常数项为 【答案：638- 】 8、【2020年崇明区二模第6题】241(2)x x +的展开式中含5x 项的系数是 （用数字作答）【答案：32】9、【2020年虹口区二模第7题】若25(ax的展开式中的常数项为52-，则实数a 的值为 【答案： 12-】10、【2020年闵行区二模第6题】在 81x ⎫⎪⎭的二项展开式中，常数项的值为 ． 【答案：28】11、【2020年浦东新区二模第7题】若二项式4(12)x +展开式的第4项的值为，则23lim()n n x x x x →∞+++⋅⋅⋅+= . 【答案：15】12、【2020年杨浦区二模第10题】设*n N ∈，若(2n +的二项展开式中，有理项的系数之和为29525，则n =【答案：10解析：(2n +的二项展开式中，有理项系数之和为02222n n nn C C -++⋅⋅⋅，无理项系数之和为113322n n n n C C --++⋅⋅⋅，作差即01122332222(21)1n n n n n n n n n C C C C ----+-+⋅⋅⋅=-=，∴当有理项的系数之和为29525，则无理项的系数之和为29524，即所有项系数之和为59049，令1x =，∴35904910n n =⇒=。