数值计算方法复习提纲

数值计算方法复习提纲第一章 数值计算中的误差分析 1．了解误差及其主要来源，误差估计；2．了解误差(绝对误差、相对误差)和有效数字的概念及其关系；3．掌握算法及其稳定性，设计算法遵循的原则。

1、 误差的来源 模型误差 观测误差 截断误差 舍入误差 2误差与有效数字绝对误差 E （x ）=x-x *绝对误差限εεε+≤≤-**x x x相对误差***/)(/)()(x x x x x x x E r -≈-=有效数字m n a a a x 10.....021*⨯±=若n m x x -⨯≤-1021*，称*x 有n 位有效数字。

有效数字与误差关系（1） m 一定时，有效数字n 越多，绝对误差限越小；（2）*x 有n 位有效数字，则相对误差限为)1(11021)(--⨯≤n r a x E 。

选择算法应遵循的原则1、 选用数值稳定的算法，控制误差传播；例⎰=101dx e x e I xn neI nI I n n 11101-=-=- △!n x n=△x 02、 简化计算步骤，减少运算次数；3、 避免两个相近数相减，和接近零的数作分母； 避免第二章 线性方程组的数值解法1．了解Gauss 消元法、主元消元法基本思想及算法； 2．掌握矩阵的三角分解，并利用三角分解求解方程组； （Doolittle 分解；Crout 分解；Cholesky 分解；追赶法） 3．掌握迭代法的基本思想，Jacobi 迭代法与Gauss-Seidel 迭代法；4．掌握向量与矩阵的范数及其性质,迭代法的收敛性及其判定 。

本章主要解决线性方程组求解问题，假设n 行n 列线性方程组有唯一解，如何得到其解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (22112222212111212111)两类方法，第一是直接解法，得到其精确解；第二是迭代解法，得到其近似解。

一、 Gauss 消去法 1、 顺序Ｇauss 消去法 记方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++)1()1(2)1(21)1(1)1(2)1(22)1(221)1(21)1(1)1(12)1(121)1(11............nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a消元过程：经ｎ－１步消元，化为上三角方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+=)()(2)(21)(1)2(22)2(221)2(21)1(11)1(11......n nn n nn n n n n b x a x a x a b x a x a b x a第ｋ步若0)(≠k kkan k j i n k b a a bba a a aak k k kkk ikk ik ik kj k kkk ik k ijk ij,....,1,1,...1)()()()()1()()()()()1(+=-=-=-=++回代过程：⎪⎩⎪⎨⎧--=-==∑+=ni j i iij i iji i in nn n n n n n i a x ab x a b x 1)()()()()()1,...2,1(/)(/２、Ｇauss —Ｊｏｒｄａｎ消去法避免回代，消元时上下同时消元 ３、Ｇauss 列主元消去法例 ：说明直接消元，出现错误⎩⎨⎧=+=+32200001.02121x x x x 由顺序Ｇauss 消去法，得0,112≈≈x x ；Ｇauss 列主元消去法原理： 每步消元前，选列主元，交换方程。

算法：将方程组用增广矩阵[]()(1)ij n n A b a +=M 表示。

（1）消元过程： 对k=1,2,n-1,选主元，找{,1,,}ki k k n ∈+⋅⋅⋅使得,max k i k ikk i na a ≤≤=如果,0kika =，则矩阵A 奇异，程序结束；否则执行3。

如果k i k ≠，则交换第k 行与第k i 行对应的元素位置， ,,, 1.k kji j a a j k n ↔=+g g g消元，对i=k+1,L,n,计算,ikik kka l a =对j=L+1, L,n+1,计算ijij ik kj a a l a =-（2）回代过程：1．若0,nna =则矩阵A 奇异，程序结束；否则执行。

2,1;1,,2,1,n n n nna x i n a +==-L 对计算,11ni n ij j j i i iia a x x a +=+⎛⎫-∑ ⎪⎝⎭=举例说明。

4、消元法应用 （1）行列式计算； （2）矩阵求逆。

二、利用矩阵三角分解求解线性方程组 1、求解原理线性方程组写成矩阵形式为： AX=b若A=LU ，则LUX= b ， 记UX=Y 则LY= b若L 、U 为特殊矩阵，则求解线性方程组变为解两个特殊线性方程组问题。

2、 Doolittle 分解L 为下三角矩阵, U 为上三角矩阵,不一定能分解,分解也不一定唯一; 设L 或U 是单位三角矩阵, 若能分解,则可分解唯一. L 是单位下三角矩阵,称为Doolittle 分解; U 是单位上三角矩阵,称为Crout 分解；定理: n 阶矩阵A 有唯一分解的充要条件为A 的前n-1阶主子式都不为0.Doolittle 分解算法：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n nn n n n n u u u u u u l l l a a a a a a a a a ............1............11............ (222112)112121212222111211 由矩阵乘法：∑==nk kjik ij u l a 1得到：∑-=+=-=11;,...1,k r rjkr kj kj n k k j u l a un k k i u u l a l k r kkrk ir ik ik ,...1,/)(11+=-=∑-=算法特点：先计算U 的行，再计算L 的列，交替进行；存储时可用紧凑格式。

矩阵分解后，解两个三角方程组： LY= b ，UX=Y⎪⎩⎪⎨⎧=-==∑-=1111,...3,2i k kik i i ni yl b y b y∑+=-=-=ni k iik iki i n n i u x uy x 11,...1,/)(3、Crout 分解若L 为下三角矩阵，U 是单位上三角矩阵，则称Crout 分解； 算法特点：先计算L 的列，再计算U 的行，交替进行。

4、正定对称矩阵的平方根法（Cholesky 分解） （1） 正定对称矩阵性质与判定：定义：是n 阶对称矩阵，若对任意非零向量n R X ∈，有0>AX X T ，则称A 为正定对称矩阵；判定：A 为n 阶正定对称矩阵充要条件A 的各阶顺序主子式大于0。

（2） Cholesky 分解定理：设A 为n 阶正定对称矩阵，则存在唯一主对角线元素都是正数的下三角阵L ，使得T LL A =.Cholesky 分解算法：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n nn n n nn n n n n l l l l l ll l l l l l l a a a a a a a a a .................................... (222112)1121222111212222111211 21112)(∑-=-=j k jkjj jj l a l∑-=-=11/)(j k jjjk ik ij ij l l l a lnj j i n j ,...2,1;,...2,1++==5、 追赶法三对角矩阵的特殊分解⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----n n C n n nn n n u c u u c u l l l b a c b a c b a c b a c b 1-n 12113211133322211......1......111....2n i cl b u u a l b u i i i ii i i ,...3,2/1111=⎪⎩⎪⎨⎧-===--三对角方程组的追赶法：追的过程 LY=D⎩⎨⎧=-==-n i y l d y d y i i i i ,...3,2111 赶的过程 UX=Y⎩⎨⎧--=-==+1,....,2,1/)(/1n n i u x c y x u y x i i i i inn n§2 线性方程组的迭代解法一、 Jacobi 迭代公式 例：⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+212121212121x x x x 其解为 1,121-==x x 方程变形得到迭代公式⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=++21212121)(1)1(2)(2)1(1k k k k x x x x 给初值⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00)0(X 计算，观察解的变化。

一般地，对线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (2211222221211)1212111若0≠ii a ，则可从第i 个方程中解出i x ,得到Jacobi 迭代公式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=---=---=-+++nn k n nn k n n k nii k n in k i i k ik n n k k a x a x a b x a x a x a b x a x a x a b x /)...(.../).......(.../)...()(1)(11)1()()(11)1(11)(1)(2121)1(1简记为：n i a x a b xiinij j k jij i k i,...,2,1/)(1)()1(=-=∑≠=+二、 Gauss--Seidel 迭代公式n i a x ax a b xiii j ni j k j ijk jij i k i,...,2,1/)(111)()1()1(=--=∑∑-=+=++三、 SOR 迭代公式四、 迭代公式的矩阵表示DGX Xk k +=+)()1(§3 迭代公式的收敛性一、 向量与矩阵的范数与性质 1、 向量范数定义：向量n R X ∈，对应非负实数X，满足三条件：（1）非负性0,0,0==≥X X X（2）齐次性Xk kX =（3）三角不等式YX Y X +≤+称X为向量范数2、 常见向量范数1范数nx x x X +++= (211)2范数222212...nx x x X+++=∞范数ix ni X≤≤=∞1max3、 矩阵范数定义：方阵n n R A ⨯∈，对应非负实数A，满足三条件：（1）非负性0,0,0==≥A A A（2）齐次性A k kA =（3）三角不等式 B A B A +≤+（4）绝对值不等式 BA AB ≤称A为矩阵范数；向量范数与矩阵范数相容性：XA AX ≤4、常见矩阵范数1范数，列范数 ：∑=≤≤=ni ijnj a A 111max∞范数，行范数 ：∑=≤≤∞=nj ijni a A11max2范数，谱范数 ：F 范数：∑∑===ni nj ijFaA112举例计算二、 迭代公式收敛性的判定 1、 向量的极限2、 矩阵的谱半径：iini A λλρ≤≤=1max )(为特征值；3、收敛性的判定 收敛的充要条件：迭代公式D GX X k k +=+)()1(收敛的充要条件为谱半径1)(<G ρ。