2010-2011-2线性代数试卷及答案
2010~2011线性代数试题0002答案
一、[教师答题时间： 5 分钟] 选择题（每小题 3 分，共 15 分。
请将答案填在下面的表格内）1、 C2、 D3、C4、B5、 A二、填空题（每题 3 分，共 15 分）[教师答题时间： 4 分钟]1、1423314214223143,a a a a a a a a -2、1300110230⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ 3、1- 4、12121110(,)01c c c c R --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5、110112022⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭三、计算行列式或矩阵（第1,2题 8 分，第3题10分，共 26分）1、[三基类][教师答题时间：4 分钟]答：1331113111130003001030103010031003-=………………（2分）1113333111030000300003---=………………（4分）32354=⨯=………………………………（2分）2、[三基类][教师答题时间： 3 分钟]答：[]1122352257222111001001,13201001033100010014A E ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦…………（6分）11221352257134A --⎡⎤⎢⎥∴=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦………………………………（2分）3、 [一般综合类][教师答题时间： 5 分钟2100100100110110210011011121A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦…………………………（2分）3100100100210110310121011231A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦…………………………（2分）1010010109101A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦…………………………（6分）四.证明题（8分）[三基类][教师答题时间： 4 分钟]已知方阵A 满足220A A E --=,证明2A E +可逆，并求出1(2)A E -+证明：220A A E --=得 3(2)()4A EA E E -+-= （6分）1(2)A E -+=34A E--（2分）五、求解下列线性方程组（每题 10 分，共 30 分）2、[一般综合类][教师答题时间： 3 分钟]答：令12421111A k -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，当()3R A <时有非零解， 即12421111A k -=--=0 …………………………………………………..（2分）3k ∴= ……………………………………………………（1分）当3k =时⎡⎤-⎢⎥--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-→-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦21031241247A 211037013113000000……….………（4分） 13232373x x x x ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩令31x =，则123731ξ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭……………………………………………………（2分） ∴通解 11k ξξ= （10k ≠）………………………………………………（1分） 3、[一般综合类][教师答题时间： 4分钟]答： 系数矩阵的秩为3，∴导出组中基础解系的解向量个数为1………（2分）121013ηη⎛⎫⎪ ⎪∴-= ⎪ ⎪-⎝⎭为导出组的基础解系…………………………….……（2分）∴该方程组的通解111210110()4123k k ξηηη⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭（1k R ∈）………（6分）六、综合计算题（每题 8 分，共 16 分）1、[综合类][教师答题时间： 5 分钟]答：()1234121112117,,,033701131135110015αααα⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦221001520101511015⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦………………………………………….……（4分） ∴向量组的秩为3，其中一个最大无关组为123,,ααα………….…..…（2分）41232221115155αααα=-++……………..………………………………...……（2分）2、[综合类][教师答题时间： 8 分钟]答：1）12313a λλλ++=++ ∴2a =………………………………...……（1分）330A =⨯⨯ 即 102203(22)003b b -=⨯+= ∴1b =-……...……（1分） 2）当123λλ==时210321000A E --⎡⎤⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦(3)1R A E ∴-=………………………...……（2分） ∴A 可对角化当123λλ==时11022103210000000000A E ⎡⎤⎢⎥--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 11210ξ⎛⎫- ⎪⎪ ⎪∴= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭2001ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭..…（1分） 当30λ=时1101100220001003000A E --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 3110ξ⎛⎫⎪∴= ⎪ ⎪⎝⎭…………………..…（1分）1231012(,,)101010P ξξξ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥∴==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1330P A P -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦………..…（2分）注：考核类型是指：三基类、一般综合型和综合型。
线性代数考试题及答案
线性代数考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间中，线性无关的向量集合的最小维度是：A. 1B. 2C. 3D. 向量的数量答案：D2. 矩阵A的行列式为0，这意味着：A. A是可逆矩阵B. A不是可逆矩阵C. A的所有行向量线性相关D. A的所有列向量线性无关答案：B3. 线性变换T: R^3 → R^3，由矩阵[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]表示，其特征值是：A. 1, 2, 3B. 0, 1, 2C. -1, 1, 2D. 0, 3, 6答案：D4. 矩阵A与矩阵B相乘，结果矩阵的秩最多是：A. A的秩B. B的秩C. A和B的秩之和D. A的秩和B的列数中较小的一个答案：D5. 给定两个向量v1和v2，它们的点积v1·v2 > 0，这意味着：A. v1和v2垂直B. v1和v2平行或共线C. v1和v2的夹角小于90度D. v1和v2的夹角大于90度答案：C6. 对于任意矩阵A，下列哪个矩阵总是存在的：A. 伴随矩阵B. 逆矩阵C. 转置矩阵D. 特征矩阵答案：C7. 线性方程组AX=B有唯一解的充分必要条件是：A. A是方阵B. A的行列式不为0C. B是零向量D. A是可逆矩阵答案：D8. 矩阵的特征值和特征向量之间的关系是：A. 特征向量对应于特征值B. 特征值对应于特征向量C. 特征向量是矩阵的行向量D. 特征值是矩阵的对角元素答案：A9. 一个矩阵的迹（trace）是：A. 所有元素的和B. 主对角线上元素的和C. 所有行的和D. 所有列的和答案：B10. 矩阵的范数有很多种，其中最常见的是：A. L1范数B. L2范数C. 无穷范数D. 所有上述范数答案：D二、简答题（每题10分，共20分）1. 请解释什么是基（Basis）以及它在向量空间中的作用是什么？答：基是向量空间中的一组线性无关的向量，它们通过线性组合可以表示空间中的任何向量。
(完整版)线性代数试题及答案
线性代数习题和答案第一部分 选择题 （共 28 分）、单项选择题（本大题共 14 小题，每小题 2 分，共 28 分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
C. 3D. 46.设两个向量组 α1，α2，⋯， αs 和β 1，β2，⋯， βs 均线性相关，则（）A. 有不全为 0 的数λ 1，λ2，⋯，λs 使λ1α1+λ2α2+⋯+λs αs =0 和λ 1β 1+λ 2β 2+⋯λ s βs =0B. 有不全为 0 的数λ 1，λ 2，⋯，λ s 使λ 1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+⋯+λs （ α s + β s ）=0C. 有不全为 0 的数λ 1，λ 2，⋯，λ s 使λ1（α 1- β1）+λ2（α2- β2）+⋯+λs （αs - βs ）=0D.有不全为 0的数λ 1，λ 2，⋯，λ s 和不全为 0的数μ 1，μ 2，⋯，μ s 使λ1α1+λ2α2+⋯+ λ s α s =0 和μ 1β1+μ2β2+⋯+μ s βs =07.设矩阵 A 的秩为 r ，则 A 中（ ）A. 所有 r- 1阶子式都不为 0B.所有 r- 1阶子式全为 0C.至少有一个 r 阶子式不等于 0D.所有 r 阶子式都不为 08. 设 Ax=b 是一非齐次线性方程组， η1，η2是其任意 2 个解，则下列结论错误的是（ ）A. m+n C. n- m a 11a 12a 13 a 11=m ，a 21a 22a 23 a 21a 11 a 12 a 13等于（2.设矩阵 A=0 ，则 A - 1 等于（ 3A. 0 1 3C. 03.设矩阵 A=a 21 a 22 a 23B. - (m+n) D. m- nB.D.21 ，A *是 A 的伴随矩阵，则 A *中位于 41，2）的元素是（A. –6 C. 2 4.设 A 是方阵，如有矩阵关系式 AB=AC ，则必有（ A. A =0 C. A 0 时 B=C 5.已知 3×4 矩阵 A 的行向量组线性无关，则秩（ A. 1B. 6 D. –2 ) B. B D. |A| 0 时 B=C C 时 A=0 A T )等于( )B. 21.设行列式 =n ，则行列式10.设 A 是一个 n （≥3）阶方阵，下列陈述中正确的是（ ）A. 如存在数λ和向量 α使 A α=λα，则α是 A 的属于特征值λ的特征向量B. 如存在数λ和非零向量 α，使（λE- A ）α=0，则λ是 A 的特征值C. A 的 2 个不同的特征值可以有同一个特征向量D. 如λ 1，λ 2，λ 3是A 的 3个互不相同的特征值， α1，α2，α3依次是 A 的属于λ 1，λ2， λ3的特征向量，则 α 1，α 2， α 3有可能线性相关 11. 设λ 0是矩阵 A 的特征方程的 3重根， A 的属于λ 0的线性无关的特征向量的个数为 k ，则必有（ ）222（a 11A 21+a 12A 22+a 13A 23） +（a 21A 21+a 22A 22+a 23A 23） +（a 31A 21+a 32A 22+a 33A 23） =.18. 设向量（ 2， -3， 5）与向量（ -4， 6， a ）线性相关，则 a= .19. 设A 是 3×4矩阵，其秩为 3，若η1，η2为非齐次线性方程组 Ax=b 的 2个不同的解，则它 的通解为 .20. 设 A 是 m ×n 矩阵， A 的秩为 r （<n ） ，则齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系中含有解的个A. η1+η2 是 Ax=0 的一个解 C. η 1-η 2是 Ax=0 的一个解 9. 设 n 阶方阵 A 不可逆，则必有（A. 秩 （A ）<n C.A=0 11B.η1+ η2是 Ax=b 的一个解22D. 2 η 1-η 2 是 Ax=b 的一个解 ) B. 秩 (A)=n- 1D. 方程组 Ax=0 只有零解A. k ≤ 3C. k=312. 设 A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（A.| A| 2必为 1 C. A - 1=A T 13. 设 A 是实对称矩阵， C 是实可逆矩阵，A.A 与 B 相似B. A 与 B 不等价C. A 与 B 有相同的特征值D. A 与 B 合同 14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）23 A.34 1 0 0C. 0 2 30 3 5第二部分B. k<3 D. k>3 ）B.|A|必为 1D.A 的行（列）向量组是正交单位向量组 B=C T AC .则（ ） 34 B. 26 1 1 1 D. 1 2 0102 非选择题（共 72 分）2 分，共 20 分）不写解答过程，将正确的答案写在每1 1 115. 3 569 25 361 111 2 316.设 A=B=.则 A+2B=1 111 2 417. 设 A =(a ij )3 × 3 ， |A|=2 ， A ij 表示 |A|中 元 素a ij 的 代 数 余 子 式 （ i,j=1,2,3 ） , 则数为.21. 设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α- β）=22.设 3阶矩阵 A 的行列式 |A |=8，已知 A 有 2个特征值 -1和 4，则另一特征值为 .0 10 6223.设矩阵 A=1 3 3 ，已知 α = 1 是它的一个特征向量，则α 所对应的特征值2 10 82为24.设实二次型 f （x 1,x 2,x 3,x 4,x 5）的秩为 4，正惯性指数为 3，则其规范形为 三、计算题（本大题共 7 小题，每小题 6分，共 42分）26.试计算行列式4 2 327.设矩阵 A= 110， 求矩阵 B 使其满足矩阵方程AB=A+2B.12321 3 028.给定向量组α 1=1，3 α2=， α=， α10 2 2 =4.3419试判断 α 4 是否为 α 1， α2，α3 的线性组合；若是， 则求出组合系数。
完整版)线性代数试卷及答案
完整版)线性代数试卷及答案线性代数A试题（A卷）试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数学号：______ 姓名：______题号得分阅卷人一．单项选择题（每小题3分，共30分）1.设A经过初等行变换变为B，则(B)。
(下面的r(A),r(B)分别表示矩阵A,B的秩)。
A) r(A)。
r(B)；(D)2.设A为n(n≥2)阶方阵且|A|=，则(C)。
A) A中有一行元素全为零；(B) A中必有一行为其余行的线性组合；(C) A有两行（列）元素对应成比例；(D) A的任一行为其余行的线性组合。
3.设A,B是n阶矩阵(n≥2),AB=O,则下列结论一定正确的是: (D)A) A=O或B=O。
(B) B的每个行向量都是齐次线性方程组AX=O的解。
(C) BA=O。
(D) R(A)+R(B)≤n.4.下列不是n维向量组α1,α2.αs线性无关的充分必要条件是（A）A) 存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。
+ksαs≠O；(B) 不存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。
+ksαs=O(C) α1,α2.αs的秩等于s；(D) α1,α2.αs 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示。
5.设n阶矩阵(n≥3)A=，若矩阵A的秩为n-1，则a必为（）。
11；(C) -1；(D)。
(A) 1；(B)6.四阶行列式a1a2a3a4b1b2b3b4的值等于（）。
A) a1a2a3a4+b1b2b3b4；(B) (a1a2-b1b2)(a3a4-b3b4)；(C)a1a2a3a4-b1b2b3b4；(D) (a2a3-b2b3)(a1a4-b1b4)。
1.设A为四阶矩阵且A=b，则A的伴随矩阵A的行列式为b^3.(C)2.设A为n阶矩阵满足A+3A+In=O，In为n阶单位矩阵，则A=−A−3In。
(C)9.设A，B是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是A与B的行列式相同。
线性代数考试题及答案
线性代数考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 矩阵A的行列式为0，则矩阵A是：A. 可逆的B. 不可逆的C. 正定的D. 负定的答案：B2. 若向量组\( \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \)线性相关，则：A. 存在不全为0的实数k1, k2, ..., kn，使得k1\( \alpha_1 +k2\alpha_2 + \ldots + k_n\alpha_n = 0 \)B. 所有向量都为零向量C. 存在不全为0的实数k1, k2, ..., kn，使得k1\( \alpha_1 +k2\alpha_2 + \ldots + k_n\alpha_n \)是零向量D. 所有向量都为非零向量答案：A3. 矩阵A和B的乘积AB等于零矩阵，则：A. A和B都是零矩阵B. A和B中至少有一个是零矩阵C. A和B的秩之和小于A的列数D. A和B的秩之和小于B的行数答案：C4. 向量组\( \beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_m \)可以由向量组\( \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \)线性表示，则：A. m > nB. m ≤ nC. m ≥ nD. m < n答案：B5. 若矩阵A和B合同，则：A. A和B具有相同的行列式B. A和B具有相同的秩C. A和B具有相同的特征值D. A和B具有相同的迹答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 若矩阵A的特征值为λ，则矩阵A^T的特征值为______。
答案：λ2. 若矩阵A可逆，则矩阵A的行列式|A|与矩阵A^-1的行列式|A^-1|满足关系|A^-1|=______。
答案：1/|A|3. 若向量组\( \alpha_1, \alpha_2 \)线性无关，则由这两个向量构成的矩阵的秩为______。
答案：24. 矩阵A的秩为r，则矩阵A的零空间的维数为______。
线性代数考试试卷及答案
线性代数试卷一、 填空题（每题3分，共30分）1.5阶行列式中的1423354251a a a a a 的符号是 .2.设0abc ≠；000000a A b c ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -= . 3.若13150122x -=--，则x = . 4. 若n 阶矩阵A 满足224A A I --=O ，则1()A I -+= ．5.设C 是m n ⨯矩阵，若有矩阵A,B ，使TAC C B =,则A 的行数⨯列数为 . 6.设有向量组12:,,s A ααα线性无关，向量组12:,,t B βββ线性无关，若向量组A 与向量B 等价，则s 与t 的关系为： .7.设A 为m n ⨯矩阵，若齐次线性方程组0Ax =仅有唯一零解，则()r A = .8.已知向量(1,3,2,4),(,1,3,2)T T k k αβ==-正交，则k = .9.已知1(6,1,3)a α=+，2(,2,2)a α=-，若12,αα线性相关，则a = . 10. 已知三阶矩阵A 的特征值为1，-1，2，则223A A I -+= .二、 单选题（每题3分，共15分）1. 若行列式1112132122233132331a a a D a a a a a a ==，则行列式1111121312121222331313233423423423a a a a D a a a a a a a a -=-=- ( )． A .-12． B.12． C .-24． D.24．2. 设A ，B 均为n 阶矩阵，满足AB =O ,则必有( ) 。
A. 0A B +=B. ()()r A r B =C. A B =O =O 或D. 00A B ==或3. 设A 为n 阶矩阵，且2A =，则TA A ⋅=（ ）． A ．2n． B ．12n -． C ．12n +. D ．4．4. 向量组12,,s ααα线性无关的充分条件是( ) .A. 12,,s ααα均不是零向量B. 12,,s ααα中任意两个向量都不成比例C. 12,,s ααα中任意一个向量均不能由其余1s -个向量线性表示D. 12,,s ααα中有一个部分组线性无关5. 设A,B,C 为n 阶方阵，若ABC I =,则1B -=（ ）. A. 11A C -- B. CA C. 11C A -- D. AC三、 计算题（每题10分，共40分）1 . 计算行列式121014512313312D ---=-2. 求线性方程组1234123412345231153612426x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪++-=-⎨⎪+++=-⎩的全部解，并用对应导出组的基础解系表示。
2010—2011学年第二学期《线性代数B1》期末考试试卷及答案
五、（本题8分）
(1) 因为b1, b2, · · · , bn两两正交, 所以 bi, bj = δij · |bi|2 =
|bi|2 = 0, i = j,
0,
i = j.
设λ1b1 + λ2b2 + · · · + λnbn = 0, 用bi作内积得：λi bi, bi = 0 ⇒ λi = 0, i = 1, 2, · · · , n.
因为βj = n akjbk ⇒ βj = (b1, b2, · · · , bn) a1... j (j > r).
k=1
anj
所以βj (j > r)是β1, β2, · · · , βr的线性组合. 下面只要说明β1, β2, · · · , βr线性无关即可.
设λ1β1 + λ2β2 + · · · + λrβr = (β1, β2, · · · , βr) λ...1 = 0,
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得分 评卷人
五、（本题15分）
已知二次型Q(x1, x2, x3) = 3x21 + 2x22 + 3x23 − 2x1x3。 (1) 写出二次型Q(x1, x2, x3)对应的矩阵A，和Q(x1, x2, x3)的矩阵式。 (2) 求正交变换P ，使x = P y把Q(x1, x2, x3)化为标准形。 (3) 二次型是正定的、负定的还是不定的，为什么？ (4) 指出Q(x1, x2, x3) = 1的几何意义。
=
。
(8) 设P3[x]为 次 数 小 于 等 于3的 实 系 数 多 项 式 全 体 构 成 的 线 性 空 间 。 定
2010-2011第一学期线性代数期末试卷A(1)及答案
西南财经大学200 － 200 学年第 学期专业 科 级（ 年级 学期）学 号 评定成绩 （分） 学生姓名 担任教师《线性代数》期末闭卷考试题（下述 一 — 四 题全作计100分， 两小时完卷）考试日期：试 题 全 文：一、 填空题（共5小题，每题2分）1、211121112---= 2、设A 是m n ⨯矩阵，B 是p m ⨯矩阵，则T T A B 是______矩阵。
3、设αβ、线性无关，则k αββ+、线性无关的充要条件是_______。
4、设αβ、为n 维非零列向量，则T R ()αβ=_________。
5、设3阶矩阵-1A 的特征值为-1、2、1，则A =_____。
二、选择题（共10小题，每题2分）1、设A 、B 为n 阶矩阵，则下列说法正确的是（ ）（A ）、=B+AA B + （B ）AB =BA（C ）、T(AB )=TTA B （D ）若AB A =，则B E =2、若某个线性方程组相应的齐次线性方程组仅有零解，则该线性方程组（ ） （A)、有无穷解 （B)、有唯一解 （C)、无解 （D ）、以上都不对3、一个向量组的极大线性无关组（ ）（A)、个数唯一 （B)、个数不唯一（C)、所含向量个数唯一 (D)、所含向量个数不唯一 4、若3阶方阵A 与B 相似，且A 的特征值为2、3、5，则B-E =（ ）。
(A)、 30 （B)、 8 （C)、11 (D)、75、若m n ⨯矩阵A 的秩为m,则方程组A X B =（ ）。
（A)、有唯一解 （B ）、有无穷解 (C)、有解 （D)、 可能无解6、设A 为3阶方阵，且1A 2=，则1*2A A -+=( )。
（A)、 8 （B)、16 （C)、10 (D)、127、已知行列式D 的第一行元素都是4，且D=-12，则D 中第一行元素代数余子式之和为（ ）。
（A)、0 （B)、-3 （C)、-12 （D)、4 8、设A 、B 都是正定矩阵，则（ ） （A)、AB,A+B 一定都是正定矩阵（B)、AB 是正定矩阵，A+B 不是正定矩阵（C)、AB 不一定是正定矩阵，A+B 是正定矩阵 （D)、AB 、A+B 都不是正定矩阵9、设A 是n 阶方阵，且k A O =(k 是正整数)，则（ ）（A ）、A O = （B ）、A 有一个不为零的特征值 (C)、 A 的特征值全为零 （D ）、A 有n 个线性无关的特征向量 10、已知2阶实对称矩阵A 满足232A A E O -+=，则A （ ） （A)、正定 （B)、半正定 （C ）、负定 （D)、不定三、计算题（共8小题，每题8分）1、计算四阶行列式01001100100k k k k2、设100110111A⎛⎫⎪=⎪⎪⎝⎭，且*22A BA BA E=-，求B3、设111111kA kk⎛⎫⎪=⎪⎪⎝⎭，求R(A)4、考虑向量组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1412,2615,1012,31407,023154321ααααα (1) 求向量组的秩;(2) 求此向量组的一个极大线性无关组,并把其余向量分别用该极大线性无关组表示.5、设T α)0,2,1(1=, Tααα)3,2,1(2-+=, T b αb α)2,2,1(3+---=, Tβ)3,3,1(-=, 试讨论当b a ,为何值时,(Ⅰ) β不能由321,,ααα线性表示;(Ⅱ) β可由321,,ααα唯一地线性表示, 并求出表示式;(Ⅲ) β可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式.6、设12314315A a-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭有一个2重特征值，求a 的值并讨论A 是否可对角化。
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东 北 大 学 考 试 试 卷（A 卷） 2010 — 2011学年 第二学期
课程名称：线性代数
（共2页）
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ (15分) 设三阶矩阵()321,,ααα=A ， ()3323214,3,32αααααα+-+=B ， 且A 的行列式1||=A ，求矩阵B 的行列式||B . 解 因为()3323214,3,32αααααα+-+=B ＝⎪
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-413031002),,(321ααα， 所以，24413031002||||=-=A B
分) 设向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2111α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1122α，⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=a 213α线性相关，向量 ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=b 13β可由向量组321,,ααα线性表示，求b a ,的值。
解 由于
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=b a 1212113121),,,(321βααα⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→62304330312
1b a ⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+→210043303121b a
所以，.2,1=-=b a 三分) 证明所有二阶实对称矩阵组成的集合V 是R 2⨯
2
的子空间，试在
V 上定义内积运算，使V 成为欧几里得空间，并给出V 的一组正交基.
解 由于任意两个二阶实对称矩阵的和还是二阶实对称矩阵，数乘二阶实对称矩阵还是 二阶实对称矩阵，即V 对线性运算封闭，所以V 是R 2⨯
2
的子空间。
对任意V b b b b B a a a a A ∈⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2212121122121211,,定义内积：[A,B]=222212121111b a b a b a ++， 显然满足：[A,B]=[B,A], [kA,B]=k[A,B], [A,A]≥0且[A,A]=0当且仅当A=0. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00011A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01102A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10003A 就是V 的一组正交基.
注：内积和正交基都是不唯一的.
2－1
四
分) 已知三阶矩阵A 的伴随矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=333222111*A ,求齐次线性方程
组0=Ax 的通解.
解 由于0*≠A ,且1)(*=A R 得R(A)=2,所以，0=Ax 的解空间是1维的。
又由于0||*==E A AA ,所以，*A 的列向量是0=Ax 的解。
于是，（1,2,3）T 是0=Ax 的基础解系，所以，通解为：
R k k x ∈⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=,321
分) 设三阶实对称矩阵A 满足A A 22=，且向量T )0,1,1(-=α是齐次方程0=Ax 的一个基础解系，求矩阵A 。
解 由0=Ax 的基础解系含一个解知A 的秩为2。
由A A 22
=知A 的特征值只能为2或0，所以，A 的三个特征值为：2，2，0。
由0=αA 知α是属于特征值0的特征向量。
所以，A 的属于特征值2的特征向量必与α正交，所以，特征值2的特征向量可取为：
T )0,1,1(1=β和T )1,0,0(2=β,
于是，可构造正交矩阵：⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=010
2
1021210
21Q 满足：Λ=AQ Q T 所以，
=Λ=T Q Q A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝
⎛-010
21021210
21⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛022⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-
02
121100
0212
1⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200011011
15分） 某仓库有A,B,C 三种物品若干件，现按下述方案进行采购：购进原B 物品件数30%和原C 物品件数50%的A 物品；购进原A 物品件数30%的B 物品；购进原B 物品件数60%的C 物品。
试建立采购前后仓库A,B,C 三种物品件数间的关系式。
若采购后仓库A,B,C 三种物品件数分别为290，330，380，求采购前仓库A,B,C 三种物品的件数。
解 记采购前仓库A,B,C 三种物品件数分别为：000,,z y x ，采购后仓库A,B,C 三种物品件数分别为：111,,z y x ，则由已知有：
⎪⎩⎪
⎨⎧+=+=++=00100100016.03.05.03.0z y z y x y z y x x 即：⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00011116.00013.05.03.01z y x z y x 所以，若380,330,290111===z y x 时，有
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-38033029016.0001
3.05.03.011
000z y x ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=20030010038033029091.06.018.015.013.05.001
即采购前仓库A,B,C 三种物品的件数分别为100，300, 200.
2-2。