例谈数学思想在解题中的应用
Ａ． ８ １
一
分析 ： 本题 主要 考查 整 体 化 思 想 的 应 用 ． 镶 嵌 而 成 的 正方 形 图案 ． 已知 该 图 案 的 面 积 为 ４ ． ９ 小正 方 形 比较 题 目中 的 两个 代 数 式 不 难 发 现 ，其 二 次项 系 数 和 的 面积 为 ４若 用 ， 示 小 长 方 形 的边 长 （＞ ）请 观 察 图 ． Ｙ表 ｘｙ ， 次 项 系数 都 是 ３倍 的 关 系 ．所 以可 利 用 整体 代换 的 方 法 案 。 出 以下 关 系 中不 正确 的是 ： 指
想 的应 用 ．
ｘ ６ ７ 故 应 选 Ｄ ＋＝ ， ．
ｊ
通 过 观察 图 形 不 难 看 出 ．大 正 方
二 、 化 思 想 转
形 的 面 积 为 （＋ ） ４ ， 正 方 形 面 积 ｙ： ９ 小 －
所 谓转 化 ， 即设 法把 需 要 解决 的 问题 ， 过 某 种 转 化 过 为 （－ ） ４ 通 ｘ ｙ ￣ ，四个 小长 方 形 的 面 积 为 － － 程 ， 归 到一 类 已经 解 决或 易 于 解 决 的 问题 中 ， 而 使 原 来 ４ ｙ 化 从 ｘ ．由 此 可 进 一 步 得 出 ｘ ｙ ７ ＿ ＝ ＋＝。 ｙ 的 问题 得 到 解 决 ．
２ｘ４， 等． 不 确 是 ２故 选 ，＋９ ４ ＝坼 ｙ 所 正 的 坼 ５应 Ｄ 以 ，
五 、 类 讨 论 思想 分
当题 目中 的条 件 或结 论 不 确 定 或 不 唯一 时 ，会 产 生 几 种可 能 的情 况 ， 要 对 每一 种 情 况 都 进 需
行 分 析 解 决 。 后 综 合 得 出 结 论 ． 就 最 这 要 求 此 人 共 走 了 多 少 米 ， 直 接 计 算 比较 复 杂 ． “ 若 由 道 是分 类 讨 论 ， 分类 时 要 做 到 不 重 不漏 ． 路 宽 为 １米 ” 个 条件 易想 到 ， １ 长 的 道 路 ， 面 积 为 这 每 米 其 例 ５等 腰 三 角 形 一 腰 上 的 中 线 将 ． ｌ 方米． 可将“ 平 故 求共 走 了 多 少 米 远 ” 问 题 转 化 为 “ 所 周 长 分 为 １ 的 求 ２和 ９两 部 分 ， 这 个 三 角 求 走 的道 路对 应 的 面积 为多 少平 方 米 ” 问题 ． ７ ８ ５ （ 的 由 ｘ ＝ ６ 平 形 的 各 边 长． Ｂ
例 ２ 如 图 （ ）“ ” ． １ ， 回 字形 的道 路 宽 为 １ ， 个 “ ” 米 整 回 形
的 长 为 ８米 ， 为 ７米 ， 宽 一个 人 从 入 口点 Ａ 沿 着 道 路 中 央 走 到 终 点 日， 共 走 了 他
Ａ５ ．５米 Ｂ５ ． ．５ ５米 Ｃ５ ．６米 Ｄ５ ． ．６ ５米
图３
如 图 ３Ｂ ， Ｄ是 等 腰 三 角 形 ＡＡＢ Ｃ的腰 Ａ Ｃ上 的 中线 ． 设 这 个 三 角形 的 腰 长 为 ， 底 边 长 为 （ １２ ） 易 知 本 题 分 则 ２ －ｘ ， 两 种 情况 ： ，Ｃ Ｃ ＝ ； Ｂ ＋ Ｄ ９ 有 ＋ ＝ ２ 解 得 ＝ ， １， ８
数 学 思 想 是数 学 知识 、 数 学 技 能 的本 质 体 现 ． 数 在
解 决．
通 过 分 析 、 较 已知 的 三 比 个 等 式 不 难 发 现 ， 个 等 式 的 每
学 学 习 中 ． 要 提 高 分 析 问
题 、 决 问 题 的能 力 ． 成 解 形
应 用 数 学 的 意识 ． 些 都 离 这 不开数学思想．
由 ３ ＋ ＝ — ６ ９可 得 ３ ２４ ＋ ８ ２ ． 边 除 以 ３ 得 ＇ ｘ－ ｘ １ ＝ １ 两 － ． ＿
』
求值 ：
Ａ． ｙ ７ Ｂｘ－ ２ Ｃ铆 ＋ － ９ Ｄ￣ ｙ ２ ． ｘ ＝ ． ．－ ． ． ４－ ． ＿＋ Ｚ ５ ＋ ． ￣ ４ ２ ＝ ＿ 分 析 ：本 题 主 要 考 查 数 形 结 合 思
ｂ ｌ２１ ９ ． 以 ａ ｂ ０ ＝ ０— ＝ ９ 所 ＋ ＝１ ９ 四 、 形 结合 思想 数
、
整 体 化 思 想
即 对某 些 数 学 问 题 ． 从 宏 观上 进 行 分 析 ， 住 问题 抓 的 整体 结 构 和 本 质特 点 ． 全 面关 注条 件 和 结论 ． 而化 从
繁 为 简 、 难 为 易 ， 得 解 变 获 决 问题 的捷 径 ． 例 １ 知 代数 式 ３ ． 已 为（ ）
方 米 ） 可 选 Ｃ 故 三 、 比思 想 类 即把 几 个 数学 对 象 进 行分 析 和 比较 ，找 出它 们 相 似 的
分析 ： 本题 主要 考 查 转化 思 想 的 应 用．
Ｃ
分 析 ： 题 主要 考 查 分 类 讨 论 思 想 本 的应 用 ．
Ｂ．２ １ Ｃ９ ． Ｄ． ７
数 形 结 合 ，就是 将 抽 象 的 数 学 语 言 与 直 观 的 图 形 结 合
＋ ６的 值 为 ９ 则 ， 计 ６的值
）
起 来 ， 过 “ ” 直观 地 表 达 “ ”或 是 通 过 “ ” 精 确 地 通 形 来 数 ， 数 来 研 究 “ ” 从 而 化 难 为 易 、 抽 象 为 直 观 ， 问题 得 到 简 捷 形 ， 化 使 解决． 例 ４如 图 ２是 用 ４个 相 同 的小 长 方 形 与一 个 小 正 方 形 ．
一
左 边 都 是 一 个 整 数 与 一 个 分 数 的 和 ， 分 数 的 分 子 与 这 个 且 整 数 相 同 ， 母 等 于 这 个 整 数 分
的 平 方 与 １的 差 ； 边 的 两 数 右 之 积 ： 一 个 因数 是 左 边 整 数 第 的 平 方 ， 二 个 因 数 与 左 边 的 第 分 数 相 同 ．由 此 可 得 出 ａ １ ． ＝ ０
例谈“数形结合”思想在高考数学中的应用
２０２４年３月上半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀例谈 数形结合 思想在高考数学中的应用∗◉湖北江汉大学数学与大数据系㊀周㊀岭㊀许㊀璐㊀㊀著名数学家华罗庚曾说过: 数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休 ．所谓 数形结合 就是把抽象的数学语言㊁数量关系与直观的几何图形㊁位置关系结合起来,通过 以形助数或 以数解形 ,即通过抽象思维与形象思维的结合,将复杂问题简单化,抽象问题具体化,达到实现优化解题路径的目的,起到事半功倍的效果．下面将结合高考数学试题实例,分析说明 数形结合 思想在解决问题中的作用和简捷．１数形结合思想在解析几何中的应用例１㊀(２０２３年全国新高考Ⅰ卷)过点(０,－２)与圆x ２＋y ２－４x －１＝０相切的两条直线的夹角为α,则s i n α＝(㊀㊀)．A．１㊀㊀㊀B ．１５４㊀㊀C ．１０４㊀㊀D．６４分析:此题可以先将圆的方程化为标准形式,设出切线方程,利用点到直线的距离公式求出两条切线的斜率,最后利用夹角公式求得s i n α的值,但是计算相对复杂．解析:依题意,圆的方程可化为(x －２)２＋y ２＝５．图１如图１,得到圆心C (２,０),r ＝５,P (０,－２)．所以|P C |＝２２．设过点P 的两条切线为P A 和P B ,则øA P B ＝α,可得s i nα２＝r |P C |＝５２２＝１０４,c o sα２＝１－(s i n α２)２＝６４．所以s i n α＝２s i nα２c o s α２＝１５４．故选:B ．例２㊀(２０２３年新高考I 卷)已知双曲线C :x ２a ２－y ２b２＝１(a ＞０,b ＞０)的左㊁右焦点分别为F １,F ２．点A 在C 上,点B 在y 轴上,F １A ңʅF １B ң,F ２A ң＝－２３F ２B ң,则C 的离心率为．分析:此题常见解法是设出点A ,B 的坐标,利用已知条件列出三个方程,再解出方程求得点A ,B 的坐标,进而得出双曲线C 的离心率．这样计算量会很大,如果利用数形结合的思想结合双曲线的定义求其离心率将会大大简化计算．解析:由F ２A ң＝－２３F ２B ң,得|F ２A ||F ２B |＝２３．设|F ２A |＝２x ,则|F ２B |＝３x ,|A B |＝５x ,|F １B |＝|F ２B |＝３x ．由双曲线的定义,得|A F １|＝|A F ２|＋２a ＝２x ＋２a ．设øF １A F ２＝θ,则s i n θ＝３x ５x ＝３５,所以c o s θ＝４５＝２x ＋２a５x,解得＝a ,则|A F １|＝４a ,|A F ２|＝２a ．图２如图２,在әF １A F ２中,由余弦定理,可得c o s θ＝１６a ２＋４a ２－４c ２１６a２＝４５．整理,得５c ２＝９a ２．故e ＝c a ＝３５５．点评:这类题目考查了学生 数学抽象 的核心素养．解决此类题的关键在于将数学符号语言和图形语言相互转化,利用图形的直观性,结合相关定义㊁公式即可快速解题．２数形结合思想在立体几何中的应用例３㊀(２０２２年新高考I 卷)已知正方体A B C D ＧA １B １C １D １,则(㊀㊀)．A．直线B C １与D A １所成的角为９０ʎB ．直线B C １与C A １所成的角为９０ʎC ．直线B C １与平面B B １D １D 所成的角为４５ʎD．直线B C １与平面A B C D 所成的角为４５ʎ分析:此题可以通过建立空间直角坐标系来判断各选项是否正确,但计算较繁琐．解析:选项A ,B 的判断略．９３∗基金项目:江汉大学研究生科研创新基金项目 基于新课标新课改背景下提升中学生数学学科核心素养的探究 ,项目编号为K Y C X J J ２０２３５０;教育部产学合作协调育人２０２２年第一批立项项目 基于P y t h o n 的大数据分析与应用课程混合教学模式探索 ,项目编号为２２０５０６６２７２４２０５７．学习指导２０２４年３月上半月㊀㊀㊀图３如图３所示,连接A１C１,设A１C１ɘB１D１＝O,连接B O．由B B１ʅ平面A１B１C１D１,C１O⊂平面A１B１C１D１,得C１OʅB１B．因为C１OʅB１D１,B１D１ɘB１B＝B１,所以C１Oʅ平面B B１D１D,所以øC１B O为直线B C１与平面B B１D１D的夹角．设正方体棱长为１,则C１O＝２２,B C１＝２,于是s i nøC１B O＝C１O B C１＝１２．所以直线B C１与平面B B１D１D所成的角为３０ʎ,故选项C错误．因为C１Cʅ平面A B C D,所以øC１B C为直线B C１与平面A BC D的夹角,易得øC１B C＝４５ʎ,故选项D正确．综上所述,此题选:A B D．点评:本题主要考查立体几何中直线与直线的夹角㊁直线与平面的夹角,是对学生 逻辑推理 直观想象核心素养的考查．此题如果通过建系来计算,将比较复杂,耗时较长;若采取 传统 方法,结合图形并运用立体几何㊁三角函数相关知识,即可快速㊁直观作出判断．３数形结合思想在函数中的应用例４㊀(２０２１年全国乙卷)设aʂ０,若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)２(x－b)的极大值点,则有(㊀㊀)．A．a＜b B．a＞b C．a b＜a２D．a b＞a２分析:此题如果利用导数知识来求该函数的极大值点,再通过a与b的大小来判断选项将非常复杂．如果通过数形结合先考虑函数的零点情况,注意零点附近左右两侧函数值是否变号,结合极大值点的性质,对a进行分类画出该函数的图象再来判断选项将大大简化了问题,既直观又方便快捷[１]．解析:若a＝b,则f(x)＝a(x－a)３为单调函数,无极值点,不符合题意,故aʂb．所以f(x)有x＝a和x＝b两个不同零点,且在x＝a附近左右两侧不变号,在x＝b附近左右两侧变号．因为x＝a为函数f(x)＝a(x－a)２(x－b)的极大值点,所以f(x)在x＝a附近左右都小于０．①当a＜０时,由x＞b,f(x)ɤ０,画出f(x)的图象如图４所示．由b＜a＜０,得a b＞a２．图４㊀㊀㊀图５②当a＞０时,由x＞b,f(x)＞０,画出f(x)的图象如图５所示．由b＞a＞０,得a b＞a２．综上a b＞a２成立．故选:D．例５㊀(２０２１年新高考I卷)已知O为坐标原点,点A(１,０),P１(c o sα,s i nα),P２(c o sβ,－s i nβ),P３(c o s(α＋β),s i n(α＋β)),则(㊀㊀)．A．|O P１ң|＝|O P２ң|B．|A P１ң|＝|A P２ң|C．O Aң O P３ң＝O P１ң O P２ңD．O Aң O P１ң＝O P２ң O P３ң分析:此题如果画出图形,利用数形结合思想解题,既直观又简捷．图６解析:如图６,可得|O P１ң|＝|O P２ң|＝１,故选项A正确．仅当α＝－β时,|A P１ң|＝|A P２ң|成立．故选项B错误．由O Aң O P３ң＝|O Aң| |O P３ң|c o s(α＋β),O P１ң O P２ң＝|O P１ң| |O P２ң| c o s(α＋β),|O Aң|＝|O P３ң|＝|O P１ң|＝|O P２ң|＝１,可知O Aң O P３ң＝O P１ң O P２ң．故选项C正确．观察图象,易得‹O Aң,O P１ң›＝α,‹O P２ң,O P３ң›＝α＋２β．故选项D错误．此题应选:A C．例６㊀(２０２１年新高考I卷)若过点(a,b)可以作曲线y＝e x的两条切线,则(㊀㊀)．A．e b＜a B．e a＜bC．０＜a＜e b D．０＜b＜e a分析:此题要求作出曲线y＝e x的两条切线,通过几何图形进行直观想象,很容易判断各选项是否正确．解析:作出y＝e x的图象．易得,若想作出切线,点(a,b)需在曲线y＝e x的下方和x轴上方,如图７,即b＜e a．图７㊀㊀图８但点(a,b)在x轴及其下方时,仅能作出一条切线,如图８．所以点(a,b)需在y轴上方,即b＞０．综上,可得０＜b＜e a．故选:D．综上所述,在高考数学中利用数形结合思想解题往往可以起到简化计算㊁提高解题效率的作用．因此,平时教学中教师应通过数形结合思想丰富的展现形式不断对其进行渗透,促进学生数与形相互转换的能力,刺激学生学习数学的欲望,引导学生投入到数形结合分析的专题探究中[２],从而达到数学抽象思维具象化㊁发散化的教学目的,最终达到提升学生核心素养和全面发展的教育目的．参考文献:[１]常国良．数学教学中渗透直观想象素养的三重境界[J]．教学与管理,２０２０(３１):６２Ｇ６４．[２]李兆芹．探究数形结合思想如何有效运用于高中数学教学[J]．数学学习与研究,２０１８(５):４３．Z０４。
例谈数学思想在解题中的应用
、
用 分类 讨 论 思 想 巧 妙 解 题
当被 研 究 的 问题 包 含 多 种 可 能 情 况 ， 能 一 概 而 论 时 ， 不
行 四边 形 ， 以 ＡＤ＝ Ｃ， 所 Ｅ ＡＥ＝ Ｂ Ｃ Ｄ． 因 为 ＡＢ＝ Ｄ＝ ＡＤ＝ 。 Ｃ ７． ５
握 一 定 的 数 学 思 想 与方 法 ， 解 、 握 基 本 的数 学 知 识 及 技 理 掌 能提 到并 重 的 位 置 。那 么 初 中数 学 教 学 中 常 用 到 哪 些 数 学
思想 方 法 呢？ 现 举 例 说 明 ：
一
数。
Ａ
Ｄ
析解 ：过 Ａ点作 Ａ ∥ Ｅ Ｄ 交 Ｂ Ｃ， Ｃ于 Ｅ， 因为 Ａ Ｄ∥
析解 ： 由两 实 数 ａ ｂ在 数 轴 上 的位 置 可 知 、
所 以 ａ ｂ Ｏ．— ＞ ＋ ＜ ｂ ａ０
例 ２ 某 商 场 销 售 一 批 名 牌 衬 衫 ，平 均 每 天 可售 出 ２ ０
ＷＥ Ｉ Ａ Ａ Ｇ Ｎ Ｌ ０ Ｈ Ｎ Ｄ
实 践 平 台
例谈数掌思想 在解题 中的 应 用
文 ／ 庆 思 吴
评 注 ： 审题 时 不 仅要 找 到 隐 含 的 相 等 关 系 ， 出方 程 ， 在 列 还 要 抓 住 “ 快 减 少 库 存 ” 样 的 要 求 ， 能 对 所 得 的 方 程 尽 这 才 的解 进 行 合 理 的取 舍 。
Ｅ
Ｃ
必 须 按 可 能 出现 的所 有 情 况 来 分 别 讨 论 ， 得 出 各 种 相 应 的
结 论 ． 种处 理 问 题 的 思 想 方 法 称 为分 类 思 想 。 这
Ｂ Ｃ＝１ 所 以 Ｂ Ｂ Ｃ ２， Ｅ＝ Ｃ— Ｅ＝１ — ＝ ＡＥ＝ Ｄ： ２ ５ ７， Ｃ ＡＢ＝ ７． 所 以
例谈分类讨论思想在解初中数学题中的应用
例谈分类讨论思想在解初中数学题中的应用【摘要】本文讨论了分类讨论思想在解初中数学题中的应用。
在整数、几何、代数、概率和数列问题中，通过分类讨论不同情况，能够有效解决复杂的数学难题。
通过分类讨论思想，学生可以更清晰地理解问题，准确分类，有针对性地解决问题，提高解题效率。
文章强调了分类讨论思想对学生解题能力的提升作用，希望学生能够加强练习，掌握分类讨论思想的运用技巧，提高自身解题水平。
最终目的是培养学生综合运用分类讨论思想的能力，让他们在数学学习中拥有更广阔的视野和更灵活的思维方式。
通过分类讨论思想，学生可以更好地理解并解决复杂问题，从而在数学学科中取得更好的成绩。
【关键词】分类讨论思想、初中数学题、整数问题、几何问题、代数问题、概率问题、数列问题、解题思路、解题能力、综合运用、学生、应用、提升、培养、展望、结论1. 引言1.1 介绍分类讨论思想分类讨论思想是一种解决问题的思维方法，通过将一个大问题分解成若干个小问题，然后逐一进行讨论和分类，最终得出整体的解决方案。
在数学领域，分类讨论思想常常被应用于解决复杂的问题，尤其在初中数学题中发挥着重要作用。
分类讨论思想能够帮助学生将复杂的问题简化，并将其分解成易于处理的部分，从而更好地理解问题的本质和特点。
通过分类讨论，学生可以更清晰地认识到问题的不同情况和条件，有利于他们找出解决问题的方法和思路。
分类讨论思想还能激发学生的思维活力和创造力，培养他们解决问题的能力和技巧。
1.2 说明初中数学题的解题思路在解初中数学题时，正确的解题思路是非常重要的。
通常情况下，初中数学题可以通过分类讨论思想来进行解答。
分类讨论思想是指将问题分为若干种情况进行讨论，然后再将各种情况的结果合并，得到最终的解答。
通过分类讨论思想，我们可以更清晰地理清问题，找到其中的规律，从而更好地解决数学题。
分类讨论思想在解初中数学题中的应用非常广泛，涉及整数问题、几何问题、代数问题、概率问题和数列问题等多个方面。
例谈分类讨论思想在解初中数学题中的应用
例谈分类讨论思想在解初中数学题中的应用分类讨论是数学中常见的解题思想之一，它在解决初中数学题中发挥着重要的作用。
分类讨论思想通过将问题划分成若干类别，然后分别讨论每个类别，最终得出整体的解决方案。
在初中数学中，分类讨论思想既可以帮助学生更好地理解问题，也可以帮助他们更快速、准确地解决问题。
下面将从几个典型的初中数学题目出发，通过具体的例子来探讨分类讨论思想在解题中的应用。
我们来看一个简单的应用题：甲乙两人合作剪彩带，已知甲每分钟剪3米，乙每分钟剪4米。
为了提高效率，甲、乙两人分别采取了不同的工作方式合作，甲每隔4分钟休息1分钟，乙每隔5分钟休息1分钟。
请问：他们共同完成20米的彩带需要多长时间？在这个问题中，需要考虑到甲、乙两人的工作方式不同，所以可以采用分类讨论思想。
我们可以考虑甲、乙两人一起工作的情况。
假设他们一起工作了x分钟后，甲休息了y分钟，那么乙休息了x/4分钟。
根据题目条件，可以列出方程：3x + 4x = 20然后，根据甲、乙两人的休息时间，可以列出方程：y = x/45|y –x解方程组，得出x=4，y=1。
根据x和y的值，可以得出甲、乙两人共同完成20米的彩带需要的时间为x+y=5分钟。
接下来，再来看一个关于方程的问题：某数是17的整数倍，加上19是这个数的平方，求这个数。
在这个问题中，可以使用分类讨论思想来解决。
设这个数为x，根据题目条件，可以列出方程：x = 17k，k为自然数得出x^2 – x – 19 = 0。
然后，解方程得x = (1 ± √(1 + 76))/2。
由于要求x为整数，所以需要1 + 76是完全平方数，即1 + 76 = 77 = 7^2。
所以x = (1 + √77)/2。
符合条件的x只有一个整数解，即x = (1 + √77)/2。
在平面直角坐标系xoy中，点A ∈ {(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}),(\frac{1}{2}, \frac{2}{3}),(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}),(\frac{2}{3}, \frac{1}{3})}，则点A的可能取值为这是一个考察点的排列组合的问题，同样可以采用分类讨论思想来解决。
例谈分类讨论思想在解初中数学题中的应用
例谈分类讨论思想在解初中数学题中的应用
分类讨论思想是解决数学问题的一种重要方法之一，它通过将问题按照不同的情况进
行分类讨论，从而得到最终的解答。
在初中数学题中，分类讨论思想特别适用于解决一些
复杂的实际问题，可以帮助学生更好地理解和掌握相关的数学概念和方法。
1. 方程的分类讨论：在解决一元一次方程和一元二次方程等问题时，常常需要通过
分类讨论的方式来解决。
在解决关于年龄、长度、面积等实际问题时，往往需要设定不同
的条件和方程式，然后通过分类讨论的方式求解。
2. 整式的分类讨论：在计算多项式的值、展开多项式等问题时，常常需要将多项式
按照不同的情况进行分类讨论，并采用相应的方法来计算。
求多项式的值时，可以通过将
多项式按照不同的变量取值情况进行分类，然后分别计算得到最终的结果。
1. 几何图形的分类讨论：在解决诸如三角形、四边形、多边形等几何图形的性质和
计算问题时，常常需要将图形按照不同的情况进行分类讨论。
在解决三角形的面积问题时，可以将三角形按照是否为直角三角形、是否为等边三角形等进行分类讨论，然后采用相应
的公式和方法求解。
例谈数形结合思想在解题中的应用
中 的应 用
程组｛ Ｌ 戈 ： 十 ： Ｖ 一 — ３ ｊ ： ＝ ０ Ｕ 得
＝
—
３
０ 雪
曰
根据 函数的图像 ，讨论方程 的解 的个数是一种 重要 的思想方法 ，基本 思想是把方程两边 的代数式 看作是两个熟悉函数的表达式 ，然后在 同一坐标系 中作 出两个 函数的图像 ，图像 的交点个数 即为解 的 个数 。 例１（ ２ ０ １ ２ 辽 宁卷 ） 设 函数厂 （ ） （ Ｒ） 满 足 ） ＝ 厂 【 ） ， ） ＝ ２ ） ， 且 当 ∈［ ０ ， １ ］ 时， ） ， 又 函数 （ ） ＝ ｌ ｃ ｏ ｓ （ ） Ｉ ， 则 函数ｈ （ ） （ ） － ｆ （ ） 在
实数ｃ 的取 值范围 是（ 一 ， 一 ２ ］ ｕ ｆ 一 １ ， 一 ÷１ 。 故选Ｂ 。
运用 数形结 合 的思想解 决一些 抽象 的数 学 问 题， 可起到事半功倍的效果 。 一方面借助“ 形” 的生动 ｆ ｘ ＋ ｙ 一 ３≤０ 性和 直观性来 阐述 “ 数” 的联系 ， 另一 方面 ， 也借助 点（ ， ＇ ， ） 满足约束条件｛ 【 一 ２ 一 ３ ≤０ ， 则实数ｍ 的最大 “ 数” 的精确性 ， 规范性及 严密性来 阐明“ 形” 的某些 ≥ 属性。重点是研究 “ 以形助数 ” ， 在学习中要争取“ 胸 值为 （ ） 有成图” ， “ 见数想图” ， “ 依图判性” ， 以开拓 自己解题
ｒ １ １
１ ， 所 以ｍ≤Ｉ ， 故
／
－ ｙ 一 ３ ＝ ０
选Ｂ 。
一 ２ ｒ － ３ ＝ ０ 戈 ：
三、 数 形 结 合 思 想 在 求 参 数 取 值 范 围 中 的 应 用
例３ （ ２ ０ １ １ 天 津卷 ） 对 实 数ｎ 和ｂ ， 定 义 运 算
例谈数学思想方法在小学数学解题中的运用
例
谈
数 安
学徽
思
庐 江
想
县 盛
方
桥 镇
法中 心
在小
小 学 数
学 (231541)
学李
解 斌 (
题
特 级
中
教 师)
的
运
用
数学 思 想 方法 是 对 数学 内 容及 其 所使 用 的方 法的 本 质认 识 。小 学 数 学 解 题 中 涉及 许 多 数 学思想 方法, 重视这些 数学思想 方 法的 运用 , 能启 迪学 生 的思 维, 培 养学 生 的数 学素 养 , 使学 生学会 数学地思考 问题, 提高学 生分析 问题和解决 问题的能 力。 现 举 几 例 加 以 说明 。
5 倍, 儿子年龄是父亲年龄的 2 。这样, 经转化后, 原本
2
5
复 杂 的 问 题 就 变 得 十分 简 单 了 。
父亲 的年 龄为 : 63× 5 = 45(岁) 或63÷(1+ 2 )= 45
7
5
(岁)。
儿子 的年 龄为 : 63× 2 = 18(岁) 或63÷(1+ 5 )= 18
例谈数形结合思想在解题中的应用
蠲
・ 解题思想万法
２ ０ １ ３ 年第 １ 期
数 形 结 合 是 中学 数 学 解 题 的 一 种 重 要 思 想 方 法 ， 本 文 通
由此可得 ±
≤ ±
过 一 个 例 题 的 两 种 不 同解 法 ， 体 现 出 数 形 结 合 思 想 在 数 学 解
题中的重要作用 ， 值得我们学 习、 总结 、 提高． 题目 已知 抛 物 线 —ｄ 。 ， 直线 ｌ ， ２ 都过点 （ １ ， 一２ ） 且 互相垂直 ， 若 抛物线与直线 ｌ ， ｌ 。 中至少一条相交 ， 求 实 数 ａ的 取值范围．
不成立 ， 即 方 程 。 一４ ａ ｋ 一８ ａ 一 ０的 正 根 不 大 于 方 程 ８ ａ ｋ
４ ａ ｋ 一１ —０的 正 根 ．
很 少有 学 生 能 够根 据 图像 ， 分 析得 出不 等 式 ， 进 而 完整 地 解 决
问题 ． 解 法 ２比 较 有 特 点 ， 很 少 同 学能 想 到 ， 用此方法 ， 后面 的
１
综上 可得 ， “ ＜ｏ或 ０ ＜ｎ ≤÷ ．
ｏ
评析 ： 解 法 １较 基 本 ， 同学们 大都能够按 此思路 求解 ， 但
当点 Ａ 应 该 在 点 Ｂ 的 右边 时 ， 对任意 的 ＞ｏ ， 当 取 Ａ， Ｂ 两 点 之 间 的值 时 ， 有 厂 （ ） ＜０ ， ｇ （ ） ＞０ ， 此 时， ① ② 两 式 都
若口 ＜Ｏ ， 因为 ｋ ＞０ ， 所 以① 式 必 成立 ， 现设 ａ ＞０ ．
记 厂（ ） 一 一 ４ ａ ｋ ～８ ａ ， ｇ（ ） 一８ ａ ｋ 。 ４ ａ ｋ — ｌ，
设 过 点 Ｍ 引 两 条 切 线 与 抛 物 线 的 切 点 坐 标 分 别 为
数学思想在解答函数零点个数问题中的应用
考点透视函数零点的个数问题比较常见，常见的命题形式有两种：（1）求函数零点的个数；（2）已知函数零点的个数，求参数的取值范围.下面结合实例，谈一谈如何巧妙运用数学思想解答函数零点的个数问题.一、利用方程思想函数f (x )的零点即为函数f (x )=0时x 的取值.因此，在解答函数零点的个数问题时，可利用方程思想，令函数f (x )=0，将问题转化为求函数f (x )所对应的方程f (x )=0的解的个数.解该方程，便可确定函数的零点的个数.例1.求函数f (x )=ìíîïïx 2-2,-π<x ≤0,cos(3x +π6),0<x <π.零点的个数.解：当-π<x ≤0时，解方程x 2-2=0，得x =-2；当0<x <π时，解方程cos(3x +π3)=0,得3x +π6=π2+k π，即x =π9+k π3(k ∈Z)，当k =0,1,2时，x =π9，4π9，7π9，满足题意，所以函数f (x )有4个零点.该函数为分段函数，需分-π<x ≤0和0<x <π两种情况讨论f (x )=0的解的个数.运用方程思想求解函数零点的个数问题的思路较为简单，解方程即可求得问题的答案.二、利用数形结合思想函数的图象是解答函数问题的重要工具.由于函数f (x )的零点即为函数f (x )与x 轴交点的横坐标，所以可利用数形结合思想，根据函数的解析式画出函数的图象，通过研究函数的图象与x 轴交点的个数，来求得函数零点的个数.例2.求函数f (x )=ln x +2x -4零点的个数.解：由题意可知函数的定义域是{x |x >0}，令f (x )=ln x +2x -4=0，可得ln x =4-2x ，设g (x )=ln x ,h (x )=4-2x ,分别画出两个函数的图象，如图1所示，由图可知两个函数的图象交于第一象限，而g (x )=ln x 在第一象限单调递增，h (x )=4-2x 在第一象限单调递减，所以两个函数的图象只有1个交点，所以函数f (x )=ln x +2x -4只有1个零点.该函数由两个简单初等函数g (x )、h (x )构成，于是令f (x )=0，将方程变为g (x )=h (x )的形式，构造出两个新函数，然后在同一坐标系中分别画出g (x )和h (x )的图象，利用数形结合思想来解题.通过观察两个函数的图象，即可明确其交点的个数.两个函数的图象有几个交点，方程g (x )=h (x )就有几个解，函数f (x )=0就有几个解，函数f (x )就有几个零点.例3.已知函数f (x )=ax -2ln x (a ∈R)有2个零点，求a 的取值范围.解：令f (x )=0，可得ax -2ln x =0，即a =2ln x x(x >0).设g (x )=2ln x x(x >0),y =a，对g (x )求导可得g ′(x )=2(1-ln x )x 2,则当0<x <e 时，1-ln x >0，g ′(x )>0；当x >e 时，1-ln x <0，g ′(x )<0，所以g (x )在（0,e ）上单调递增，在（e ,+∞）上单调递减，故g (x )在x =e 处取得最大值g (e )=2e.画出函数g (x )=2ln xx的图象，如图2所示，要使直线y =a 与g (x )图象有2个交点，则需使直线y =a 必须在x 轴和直线y =2e 之间，因此，0<a <2e.解答本题的关键在于将f (x )=0进行适当的变形，通过分离参数，构造出两个函数，利用数形结合思想来研究两个函数图象的交点.在画函数的图象时，可利用导数法来判断函数的单调性，求函数的最值，以便确定函数图象的变化情况.总之，解答函数零点的个数问题，可以从方程和图象两个方面入手，利用方程思想和数形结合思想来解答.一般地，若易于求得方程f (x )=0的解，则可利用方程思想，通过解方程来解题；若不易求得方程f (x )=0的解，则需利用数形结合思想，借助函数图象来讨论函数零点的个数.（作者单位：陕西省神木职业技术教育中心）邱香云图2图139Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
例谈解题中“主元思想”的应用
例谈解题中“主元思想”的应用
湖北省鄂州高中肖安平湖北省黄冈中学王宪生
在数学解题中常用到“主元思想”，所谓“主元思想”，即是指在
含有两个或两个以上字母的问题的解决过程中，选择其中一个字母作
为研究的主要对象，视为“主元”，而将其余各字母视作参数或常量，
来指导解题的一种思想方法．这一思想方法运用的核心是确定“主
元”、选择“主元”，在多变量问题的解题中一旦选对了“主元”，等价于战斗中选择准了主攻方向．
下面利用两道例题的分析和解题研究来简单介绍一下应该如何运
用“主元思想”和如何选择解题中的“主元”：
2—2x－m+1﹤0对满足︱m︱≤2的一切m都成[例1]设不等式mx
立，求x的取值范围．
2－1）m﹤2x－1①，采用分离变[分析1]可以将原不等式化为（x
2－1的符号来求
解．量法，视x为主元，通过讨论x
2－1=O即x=±1时，①成立2x－1﹥O，∴x=1；
[解答1]（1）当x
2－1﹥0即x﹤－1或x﹥1时，由①式得m﹤（2）当x 2x 1
2
x 1
，
2x 1 2
x 1﹥2，由此得不等式组
2
x
10
2
1
2x 1
2
，解得1﹤x﹤1 3
2
x
由题意知；
2—1﹤0即－1﹤x﹤1时，由①得
m﹥
（3）当x 2x 1
2
x 1
，
2x 1 由题意知
2
x 1
2
x10
﹤－2，由此得不等式组
2x 1
2
x 1
，解得7 1
2
2
﹤x﹤1；。