四川省成都市2020版九年级上学期期中数学试卷B卷
四川省成都市2020版九年级上学期期中数学试卷B卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分） (2018九上·广州期中) 方程的解是（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分） (2017九上·满洲里期末) 抛物线的顶点坐标是（）
A . （2，－3）
B . （－2，3）
C . （2，3）
D . （－2，－3）
3. （2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）个．
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
4. （2分）下列一元二次方程有两个相等实数根的是（）
A . x2﹣2x+1=0
B . 2x2﹣x+1=0
C . 4x2﹣2x﹣3=0
D . x2﹣6x=0
5. （2分）已知x=1是一元二次方程x2+bx+1=0的解，则b的值为（）
A . 0
B . 1
C . ﹣2
D . 2
6. （2分）一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽米，最深处水深米，则此输水管道的直径是（）。
A .
B .
C .
D .
7. （2分）下列哪个函数的图象不是中心对称图形（）
A .
B .
C .
D .
8. （2分） (2016九上·岑溪期中) 某校成立“情暖校园”爱心基金会，去年上半年发给每个经济困难的学生600元，今年上半年发给了800元，设每半年发给的资金金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（）
A . 800（1﹣x）2=600
B . 600（1﹣x）2=800
C . 800（1+x）2=600
D . 600（1+x）2=800
9. （2分）(2019·合肥模拟) 2018年第一季度，某企业营收入比2017年同期增长12%，2019年第一季度营收入比2018年同期增长10%，设2018年和2019年第一季度营收入的平均增长率为x，则可列方程（）
A . 2x＝12%+10%
B . （1+x）2＝1+12%+10%
C . 1+2x＝（1+12%）（1+10%）
D . （1+x）2＝（1+12%）（1+10%）
10. （2分）如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°,则∠DCF等于（）
A . 80°
B . 50°
C . 40°
D . 20°
11. （2分）(2017·枣阳模拟) 如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，BE，CE，若∠CBD=32°，则∠BEC的度数为（）
A . 128°
B . 126°
C . 122°
D . 120°
12. （2分）如图：已知，平行四边形ABCD中，CE⊥AB，E为垂足，如果∠A=125°，则∠BCE的度数是（）
A . 25°
B . 55°
C . 35°
D . 30°
二、填空题 (共6题；共6分)
13. （1分）已知x=1是方程ax2+x﹣6=0的一个根，则a=________．
14. （1分）若m，n是方程x2+x﹣1=0的两个实数根，则m2+2m+n的值为________ ．
15. （1分） (2019八下·乌兰浩特期中) 如果是一次函数，则的值是________.
16. （1分） (2015八下·镇江期中) 把一个正方形绕着其对称中点旋转一定的角度，要使旋转后的图形与原来的图形重合，那么旋转的角度至少是________．
17. （1分） (2016九上·永城期中) 已知圆的半径为3，直线l与圆有两个公共点，则圆心到直线l的距离d的取值范围为________．
18. （1分）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到正方形AB′C′D′，则图中阴影部分的面积为________
三、解答题 (共8题；共73分)
19. （10分） (2015九上·重庆期末) 已知关于x的一元二次方程x2+4x﹣k=0有两个不相等的实数根．
（1）
求k的取值范围；
（2）
请你在﹣5，﹣4，﹣3，1，2，3中选择一个数作为k的值，使方程有两个整数根，并求出方程的两个整数根．
20. （8分） (2017九上·临海期末) 已知△ABC是等边三角形．
（1）
动手操作：如图1，点D在△ABC内，且∠BDC=150°，CD=1，BD=，把△BCD绕着点C顺时针旋转，使点B旋转到点A，得到△AEC．
①依题意补全图1________；（确认无误后，请用黑色水笔描黑）
②连接DE，则线段DE=________，AD=________；
（2）
应用拓展：如图2，点D在△ABC外，且CD=3，BD=4，AD=5，求∠BDC的度数．
21. （5分） (2016九上·恩施月考) 为丰富学生的学习生活，某校九年级组织学生参加春游活动，所联系的旅行收费标准如下：
春游活动结束后，该班共支付给该旅行社活动费用2800元，请问该班共有多少人参加这次春游活动？
22. （10分）(2016·江汉模拟) 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过C点的切线CE垂直于弦AD于点E，连OD交AC于点F．
（1）求证：∠BAC=∠DAC；
（2）若AF：FC=6：5，求sin∠BAC的值．
23. （5分） (2017九上·河东开学考) 向阳村2014年的人均收入为12000元，2016年的人均收入为14520元，求人均收入的年平均增长率．
24. （10分）(2019·龙湾模拟) 如图，将绕点按顺时针方向旋转，得到，当点的对应点落在线段上时，点的对应点恰好落在的外接圆上，且点在同一直线上.
（1）求证： .
（2）若，求的长.
25. （15分）(2017·肥城模拟) 如图，抛物线y= x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），交y轴于点B（0，
）．直线y=kx 过点A与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点是D．
（1）
求抛物线y= x2+bx+c与直线y=kx 的解析式；
（2）
设点P是直线AD下方的抛物线上一动点（不与点A、D重合），过点P作y轴的平行线，交直线AD于点M，作DE⊥y轴于点E．探究：是否存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形？若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）
在（2）的条件下，作PN⊥AD于点N，设△PMN的周长为m，点P的横坐标为x，求m与x的函数关系式，并求出m的最大值．
26. （10分） (2016八上·凉州期中) 如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．
（1）求证：△ABE≌△CAD；（2）求∠BFD的度数．
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共6题；共6分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
17-1、
18-1、
三、解答题 (共8题；共73分)
19-1、19-2、20-1、
20-2、21-1、
22-1、
22-2、23-1、24-1、
24-2、25-1、
25-2、
25-3、26-1、26-2、。
2020-2021学年四川省成都市武侯区石室佳兴外国语学校九年级(上)期中数学试卷
2020-2021学年四川省成都市武侯区石室佳兴外国语学校九年级（上）期中数学试卷A卷（100分）一．选择题（共10小题，每题3分，共30分）1．（3分）下列方程属于一元二次方程的是（）A．x3﹣2＝x2B．2x2+x+1＝0C．3x+2＝0D．2．（3分）如图，该几何体是由5个相同的小正方体搭成的，则这个几何体的主视图是（）A．B．C．D．3．（3分）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数最有可能是（）A．5B．10C．12D．154．（3分）如图，AD∥BE∥CF，AB＝3，BC＝6，DE＝2，则EF的值为（）A．2B．3C．4D．55．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y＝﹣的图象上，若y1＜y2＜0，则下列结论正确的是（）A．x1＜x2＜0B．x2＜x1＜0C．0＜x1＜x2D．0＜x2＜x1 6．（3分）如图，一块长方形绿地的长为100m，宽为50m，在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4704m2，则根据题意可列出方程（）A．5000﹣150x＝4704B．5000﹣150x﹣x2＝4704C．5000﹣150x+＝4704D．（100﹣x）（50﹣x）＝47047．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tan B的值为（）A．B．C．D．8．（3分）如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是（）A．∠A+∠B＝180°B．∠B+∠C＝180°C．∠A＝∠B D．∠B＝∠D 9．（3分）小明每天上学按一固定路线骑自行车从家到学校，骑自行车的平均速度y（km/h ）和骑车时间x（h）之间的函数图象是（）A．B．C．D．10．（3分）如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，S＝3，则△ABC的面积为（）A．15B．12C．9D．6二．填空题（共4小题，每题4分，共16分）11．（4分）已知，4m＝7n（mn≠0），则＝．12．（4分）已知x＝1是方程x2+ax+3＝0的一个根，则a的值为．13．（4分）如图，已知反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象经过点A，过A点作AB⊥x轴，垂足为B．若△AOB的面积为1，则k＝．14．（4分）如图，在△ABC中，P为边AB上一点，且∠ACP＝∠B，若AP＝6，BP＝4，则AC的长为．三．解答题（共6小题，共54分）15．（12分）解方程（1）x2﹣4x﹣4＝0；（2）x2+x﹣3＝0；（3）（x﹣3）2＝5（x﹣3）．16．（6分）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，求a 的取值范围．17．（8分）2019年12月以来，湖北省武汉市部分医院陆续发现不明原因肺炎病例，现已证实该肺炎为一种新型冠状病毒感染的肺炎，其传染性较强．为了有效地避免交叉感染，需要采取以下防护措施：①戴口罩；②勤洗手；③少出门；④重隔离；⑤捂口鼻；⑥谨慎吃．某公司为了解员工对防护措施的了解程度（包括不了解、了解很少、基本了解和很了解），通过网上问卷调查的方式进行了随机抽样调查（每名员工必须且只能选择一项），并将调查结果绘制成如下两幅统计图．（1）本次共调查了名员工，条形统计图中m＝；（2）若该公司共有员工1000名，请你估计不了解防护措施的人数；（3）在调查中，发现有4名员工对防护措施很了解，其中有3名男员工、1名女员工．若准备从他们中随机抽取2名，让其在公司内普及防护措施，请用画树状图或列表的方法求恰好抽中一男一女的概率．18．（8分）如图，小明欲测量一座古塔的高度，他拿出一根竹竿竖直插在地面上，然后自己退后，使眼睛通过竹竿的顶端刚好看到塔顶，若小明眼睛离地面1.5m，竹竿顶端离地面2.4m，小明到竹竿的距离DF＝2m，竹竿到塔底的距离DB＝32m，求这座古塔的高度．19．（10分）如图，已知在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A（2，5）在反比例函数y1＝的图象上．一次函数y2＝x+b的图象过点A，且与反比例函数图象的另一交点为B．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）连接OA和OB，求△OAB的面积；（3）根据图象直接写出y1＞y2时，x的取值范围．20．（10分）如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（不与C，D两点重合），连接BE，过点C作CH⊥BE于点F，交对角线BD于点G，交AD边于点H，连接GE，（1）求证：CH＝BE；（2）如图2，若点E是CD的中点，当BE＝8时，求线段GH的长；（3）设正方形ABCD的面积为S1，四边形DEGH的面积为S2，当的值为时，求的值．B卷（50分）一.填空题（共5小题，每题4分，共20分）21．（4分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个实数根，则x1x2﹣x1﹣x2的值为．22．（4分）点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），若AB＝2cm，则AC＝cm．23．（4分）从数﹣3，，0，2中任取一个数记为a，再从余下的三个数中，任取一个数记为b．若k＝a+b，反比例函数y＝的图象经过第一、三象限的概率是．24．（4分）如图，已知△ABC，△DCE，△FEG，△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG、GI在同一直线上，且AB＝4，BC＝2．连接AI，交FG于点G，则QI＝．25．（4分）如图，在边长为3的菱形ABCD中，∠A＝60°，点M是AD边上一点，且满足AM＝2DM，点N为AB边上任意一点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN ，连接A′C．则线段A′C长度的最小值是．二.解答题（共3小题，共30分，26题8分，27题10分，28题12分）26．（8分）2020年，受新冠肺炎疫情影响．口罩紧缺，某网店以每袋8元（一袋十个）的成本价购进了一批口罩，二月份以一袋14元的价格销售了256袋，三、四月该口罩十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400袋．（1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率；（2）为回馈客户．该网店决定五月降价促销．经调查发现．在四月份销量的基础上，该口罩每袋降价1元，销售量就增加40袋，当口罩每袋降价多少元时，五月份可获利1920元？27．（10分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AB中点，DC⊥CE，交BA延长线于点D，（1）求证：△DAC∽△DCB；（2）当时，求的值；（3）在（2）的条件下，作∠CDB的角平分线，与BC交点F，若DF＝2，求DE的长．28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点A、B在函数y＝（x＞0）的图象上，顶点C、D在函数y＝（x＞0）的图象上，其中0＜m＜n，对角线BD∥y 轴，且BD⊥AC于点P．已知点B的横坐标为4．（1）当m＝4，n＝20时，①点B的坐标为，点D的坐标为，BD的长为．②若点P的纵坐标为2，求四边形ABCD的面积．③若点P是BD的中点，请说明四边形ABCD是菱形．（2）当四边形ABCD为正方形时，直接写出m、n之间的数量关系．2020-2021学年四川省成都市武侯区石室佳兴外国语学校九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析A卷（100分）一．选择题（共10小题，每题3分，共30分）1．（3分）下列方程属于一元二次方程的是（）A．x3﹣2＝x2B．2x2+x+1＝0C．3x+2＝0D．【解答】解：A、该方程属于一元三次方程，故本选项不符合题意．B、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．C、该方程属于一元一次方程，故本选项不符合题意．D、该方程属于分式方程，故本选项不符合题意．故选：B．2．（3分）如图，该几何体是由5个相同的小正方体搭成的，则这个几何体的主视图是（）A．B．C．D．【解答】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层左边是一个小正方形．故选：A．3．（3分）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数最有可能是（）A．5B．10C．12D．15【解答】解：设袋子中红球有x个，根据题意，得：＝0.25，解得x＝5，∴袋子中红球的个数最有可能是5个，故选：A．4．（3分）如图，AD∥BE∥CF，AB＝3，BC＝6，DE＝2，则EF的值为（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∴＝，∵AB＝3，BC＝6，DE＝2，∴EF＝＝4，故选：C．5．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y＝﹣的图象上，若y1＜y2＜0，则下列结论正确的是（）A．x1＜x2＜0B．x2＜x1＜0C．0＜x1＜x2D．0＜x2＜x1【解答】解：∵﹣3＜0，∴图象位于第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大，又∵y1＜y2＜0，∴图象在第四象限，∴0＜x1＜x2，故选：C．6．（3分）如图，一块长方形绿地的长为100m，宽为50m，在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4704m2，则根据题意可列出方程（）A．5000﹣150x＝4704B．5000﹣150x﹣x2＝4704C．5000﹣150x+＝4704D．（100﹣x）（50﹣x）＝4704【解答】解：依题意，得：（100﹣x）（50﹣x）＝4704，故选：D．7．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tan B的值为（）A．B．C．D．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC＝＝4，∴tan B＝＝，故选：C．8．（3分）如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是（）A．∠A+∠B＝180°B．∠B+∠C＝180°C．∠A＝∠B D．∠B＝∠D 【解答】解：A、当∠A+∠B＝180°时，不可判断平行四边形ABCD成为矩形；B、当∠B+∠C＝180°时，不可判断平行四边形ABCD成为矩形；C、当∠A＝∠B时，∠A＝∠B＝90°，可判定平行四边形ABCD是矩形；D、当∠B＝∠D时，不可判断平行四边形ABCD是矩形；故选：C．9．（3分）小明每天上学按一固定路线骑自行车从家到学校，骑自行车的平均速度y（km/h ）和骑车时间x（h）之间的函数图象是（）A．B．C．D．【解答】解：根据：路程s＝速度y×时间x．∴，x＞0，由于家到学校的路程不变，可以看作常量．因此速度与时间成反比例函数关系，而且是双曲线只在第一象限．故选：B．10．（3分）如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，S＝3，则△ABC的面积为（）A．15B．12C．9D．6【解答】解：∵△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，∴△ABC≌△A1B1C1，BC∥B1C1，∴△OBC≌△OB1C1，∴＝＝，∴＝（）2，∵S＝3，∴△ABC的面积＝3×4＝12，故选：B．二．填空题（共4小题，每题4分，共16分）11．（4分）已知，4m＝7n（mn≠0），则＝．【解答】解：∵4m＝7n（mn≠0），∴＝．故答案为：．12．（4分）已知x＝1是方程x2+ax+3＝0的一个根，则a的值为﹣4．【解答】解：把x＝1代入方程x2+ax+3＝0得1+a+3＝0，即a＝﹣4．故答案是：﹣4．13．（4分）如图，已知反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象经过点A，过A点作AB⊥x轴，垂足为B．若△AOB的面积为1，则k＝﹣2．【解答】解：依据比例系数k的几何意义可得△AOB的面积等于|k|＝1，解得k＝±2，∵反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象在第二和第四象限，∴k＝﹣2．故答案为：﹣2．14．（4分）如图，在△ABC中，P为边AB上一点，且∠ACP＝∠B，若AP＝6，BP＝4，则AC的长为2．【解答】解：∵AP＝6，BP＝4，∴AB＝10，∵∠A＝∠A，∠ACP＝∠B，∴△ACP∽△ABC，∴，∴AC2＝6×10，∴AC＝2，故答案为：2．三．解答题（共6小题，共54分）15．（12分）解方程（1）x2﹣4x﹣4＝0；（2）x2+x﹣3＝0；（3）（x﹣3）2＝5（x﹣3）．【解答】解：（1）x2﹣4x﹣4＝0，x2﹣4x+4＝4+4，（x﹣2）2＝8，∴x﹣2＝±2，∴x1＝2+2，x2＝2﹣2；（2）x2+x﹣3＝0，x2+x＝3，x2+x+＝3+，∴（x+）2＝，∴x+＝±，∴x1＝，x2＝；（3）（x﹣3）2＝5（x﹣3），（x﹣3）2﹣5（x﹣3）＝0，（x﹣3）（x﹣3﹣5）＝0，∴x﹣3＝0或x﹣8＝0，∴x1＝3，x2＝8．16．（6分）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，求a 的取值范围．【解答】解：根据题意得a﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4（a﹣1）＞0，解得a＜2且a≠1．17．（8分）2019年12月以来，湖北省武汉市部分医院陆续发现不明原因肺炎病例，现已证实该肺炎为一种新型冠状病毒感染的肺炎，其传染性较强．为了有效地避免交叉感染，需要采取以下防护措施：①戴口罩；②勤洗手；③少出门；④重隔离；⑤捂口鼻；⑥谨慎吃．某公司为了解员工对防护措施的了解程度（包括不了解、了解很少、基本了解和很了解），通过网上问卷调查的方式进行了随机抽样调查（每名员工必须且只能选择一项），并将调查结果绘制成如下两幅统计图．（1）本次共调查了60名员工，条形统计图中m＝20；（2）若该公司共有员工1000名，请你估计不了解防护措施的人数；（3）在调查中，发现有4名员工对防护措施很了解，其中有3名男员工、1名女员工．若准备从他们中随机抽取2名，让其在公司内普及防护措施，请用画树状图或列表的方法求恰好抽中一男一女的概率．【解答】解：（1）本次调查的员工总人数为24÷40%＝60（名），条形统计图中m＝60﹣（12+24+4）＝20，故答案为：60，20；（2）估计不了解防护措施的人数为1000×＝200（名）；（3）用列表法表示所有可能出现的结果如下：女男1男2男3女女，男女，男女，男男1男，女男，男男，男男2男，女男，男男，男男3男，女男，男男，男由表格可知，从4名学生中，随机抽取2名学生，共有12种情况，且每种情况出现的可能性相同，其中正好是1名男生和1名女生的情况有6种，所以恰好抽中一男一女的概率为．18．（8分）如图，小明欲测量一座古塔的高度，他拿出一根竹竿竖直插在地面上，然后自己退后，使眼睛通过竹竿的顶端刚好看到塔顶，若小明眼睛离地面1.5m，竹竿顶端离地面2.4m，小明到竹竿的距离DF＝2m，竹竿到塔底的距离DB＝32m，求这座古塔的高度．【解答】解：∵小明、竹竿、古塔均与地面垂直，EH⊥AB，∴BH＝DG＝EF＝1.5m，EG＝DF，GH＝DB，∵小明眼睛离地面1.5m，竹竿顶端离地面2.4m，∴CG＝CD﹣EF＝2.4﹣1.5＝0.9m，∵CD∥AB，∴△EGC∽△EHA∵DF＝2mDB＝32m，∴，即＝，解得：AH＝15.3m，∴AB＝AH+BH＝15.3+1.5＝16.8m，答：古塔的高度是16.8m．19．（10分）如图，已知在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A（2，5）在反比例函数y1＝的图象上．一次函数y2＝x+b的图象过点A，且与反比例函数图象的另一交点为B．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）连接OA和OB，求△OAB的面积；（3）根据图象直接写出y1＞y2时，x的取值范围．【解答】解：（1）∵点A（2，5）是直线y＝x+b与反比例函数y＝的图象的一个交点，∴5＝2+b，k＝2×5＝10，∴b＝3，即k和b的值分别为10、3，故反比例函数和一次函数的解析式分别为y1＝和y2＝x+3；（2）解方程组，得，∴点B（﹣5，﹣2）．∵点C是直线y＝x+3与y轴的交点，∴点C（0，3），∴S△OAB＝S△OAC+S△OBC＝×3×2+×3×5＝，即△OAB的面积为；（3）观察函数图象可知，y1＞y2时，x的取值范围为：x＜﹣5或0＜x＜2．20．（10分）如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（不与C，D两点重合），连接BE，过点C作CH⊥BE于点F，交对角线BD于点G，交AD边于点H，连接GE，（1）求证：CH＝BE；（2）如图2，若点E是CD的中点，当BE＝8时，求线段GH的长；（3）设正方形ABCD的面积为S1，四边形DEGH的面积为S2，当的值为时，求的值．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝BC，∠HDC＝∠BCE＝90°，∴∠DHC+∠DCH＝90°，∵CH⊥BE，∴∠EFC＝90°，∴∠ECF+∠BEC＝90°，∴∠CHD＝∠BEC，∴△DHC≌△CEB（AAS），∴CH＝BE；（2）∵△DHC≌△CEB，∴CH＝BE，DH＝CE，∵CE＝DE＝CD，CD＝CB，∴DH＝BC，∵DH∥BC，∴，∴GC＝2GH，设GH＝x，则，则CG＝2x，∴3x＝8，∴x＝．即GH＝；（3）当的值为时，则，∵DH＝CE，DC＝BC，∴，∵DH∥BC，∴，∴，＝，设S△DGH＝9a，则S△BCG＝49a，S△DCG＝21a，∴S△BCD＝49a+21a＝70a，∴S1＝2S△BCD＝140a，∵S△DEG：S△CEG＝4：3，∴S△DEG＝12a，∴S2＝12a+9a＝21a．∴．B卷（50分）一.填空题（共5小题，每题4分，共20分）21．（4分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个实数根，则x1x2﹣x1﹣x2的值为1．【解答】解：根据题意得x1+x2＝5，x1x2＝6，所以，x1x2﹣x1﹣x2＝x1x2﹣（x1+x2）＝6﹣5＝1，故答案为1．22．（4分）点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），若AB＝2cm，则AC＝（）cm．【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），∴AC＝AB，而AB＝2cm，∴AC＝×2＝（﹣1）cm．故答案为（﹣1）．23．（4分）从数﹣3，，0，2中任取一个数记为a，再从余下的三个数中，任取一个数记为b．若k＝a+b，反比例函数y＝的图象经过第一、三象限的概率是．【解答】解：反比例函数y＝的图象经过第一、三象限，则k＞0，（1）当a＝﹣3时，b＝，0，2，则k＝a+b，均小于0，（2）a＝﹣时，b＝﹣3，0，2，k＝﹣，﹣，，即k＞0数值的个数为1个；（3）a＝0时，同理可得：即k＞0数值的个数为1个；（4）a＝2时，同理可得：即k＞0数值的个数为2个；故在k的12个数值中有4个大于0的，即概率为＝，故答案为：．24．（4分）如图，已知△ABC，△DCE，△FEG，△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG、GI在同一直线上，且AB＝4，BC＝2．连接AI，交FG于点G，则QI＝．【解答】解：过A点作AM⊥BC于M，如图，∵△ABC为等腰三角形，∴BM＝CM＝1，∴AM＝＝，∵△ABC，△DCE，△FEG，△HGI是4个全等的等腰三角形，∴CE＝EG＝GI＝BC＝2，∠ACB＝∠FGE，∴MI＝7，在Rt△AMI中，AI＝＝8，∵∠ACB＝∠FGE，∴AC∥QG，∴＝＝，∴QI＝AI＝．故答案为．25．（4分）如图，在边长为3的菱形ABCD中，∠A＝60°，点M是AD边上一点，且满足AM＝2DM，点N为AB边上任意一点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN ，连接A′C．则线段A′C长度的最小值是﹣2．【解答】解：在菱形ABCD中，AD＝3，∠A＝60°，∵AB∥CD，∴∠ADC＝120°，由折叠知，A'M＝AM，∵AM＝2DM，AD＝3，∴A'M＝AM＝2MD＝2，DM＝1，∴当点A'在CM上时，A'C的长度取得最小值，过点M作MH⊥CD于H，在Rt△MDH中，∠HDM＝60°，DM＝1，∴∠HMD＝30°，∴DH＝DM＝，∴MH＝DH＝，CH＝CD+DH＝3+＝，在Rt△CHM中，根据勾股定理，得CM＝＝＝＝，∴A'C＝CM﹣A'M＝﹣2．故答案为：﹣2．二.解答题（共3小题，共30分，26题8分，27题10分，28题12分）26．（8分）2020年，受新冠肺炎疫情影响．口罩紧缺，某网店以每袋8元（一袋十个）的成本价购进了一批口罩，二月份以一袋14元的价格销售了256袋，三、四月该口罩十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400袋．（1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率；（2）为回馈客户．该网店决定五月降价促销．经调查发现．在四月份销量的基础上，该口罩每袋降价1元，销售量就增加40袋，当口罩每袋降价多少元时，五月份可获利1920元？【解答】解：（1）设三、四这两个月销售量的月平均增长率为x，依题意，得：256（1+x）2＝400，解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）．答：三、四这两个月销售量的月平均增长率为25%．（2）设口罩每袋降价y元，则五月份的销售量为（400+40y）袋，依题意，得：（14﹣y﹣8）（400+40y）＝1920，化简，得：y2+4y﹣12＝0，解得：y1＝2，y2＝﹣6（不合题意，舍去）．答：当口罩每袋降价2元时，五月份可获利1920元．27．（10分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AB中点，DC⊥CE，交BA延长线于点D，（1）求证：△DAC∽△DCB；（2）当时，求的值；（3）在（2）的条件下，作∠CDB的角平分线，与BC交点F，若DF＝2，求DE的长．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，E为AB中点，∴AE＝BE＝CE，∴∠BCE＝∠B，∵DC⊥CE，∴∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠DCA＝∠BCE，∴∠B＝∠DCA，且∠CDA＝∠CDB，∴△DAC∽△DCB（2）∵，∴设DC＝4a，CE＝3a，∴DE＝＝＝5a，∵AE＝BE＝CE＝3a，∴DB＝8a，∵△DAC∽△DCB∴＝（3）∵DF平分∠CDB，∴∠CDF＝∠BDF，且∠B＝∠DCG，∴△DGC∽△DFB，∴＝∴BF＝2CG，DG＝DF＝1，∴GF＝1∴∠CGF＝∠CDG+∠DCG，∠CFG＝∠FDB+∠B，∴∠CGF＝∠CFG，∴CG＝CF，∵CG2+CF2＝GF2，∴CF＝，∴BF＝2CF＝，∴BC＝，∵，∴AC＝∵AC2+BC2＝AB2，∴+＝36a2，∴a＝∴DE＝5a＝28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点A、B在函数y＝（x＞0）的图象上，顶点C、D在函数y＝（x＞0）的图象上，其中0＜m＜n，对角线BD∥y 轴，且BD⊥AC于点P．已知点B的横坐标为4．（1）当m＝4，n＝20时，①点B的坐标为（4，1），点D的坐标为（4，5），BD的长为4．②若点P的纵坐标为2，求四边形ABCD的面积．③若点P是BD的中点，请说明四边形ABCD是菱形．（2）当四边形ABCD为正方形时，直接写出m、n之间的数量关系．【解答】解：（1）①当x＝4时，y＝＝1，∴点B的坐标为（4，1）；当y＝2时，2＝，解得：x＝2，∴点A的坐标为（2，2）；当n＝20时，y＝，当x＝4时，y＝5，故点D（4，5），BD＝5﹣1＝4，故答案为（4，1）；（4，5）；4；②∵BD∥y轴，BD⊥AC，点P的纵坐标为2，∴A（2，2），C（10，2）．∴AC＝8，∴四边形ABCD的面积＝AC×BD＝×8×4＝16；③四边形ABCD为菱形，理由如下：由①得：点B的坐标为（4，1），点D的坐标为（4，5），∵点P为线段BD的中点，∴点P的坐标为（4，3）．当y＝3时，3＝，解得：x＝，∴点A的坐标为（，3）；当y＝3时，3＝，解得：x＝，∴点C的坐标为（，3）．∴P A＝4﹣＝，PC＝﹣4＝，∴P A＝PC．∵PB＝PD，∴四边形ABCD为平行四边形．又∵BD⊥AC，∴四边形ABCD为菱形；（2）四边形ABCD能成为正方形．当四边形ABCD为正方形时，设P A＝PB＝PC＝PD＝t（t≠0）．当x＝4时，y＝＝，∴点B的坐标为（4，），∴点A的坐标为（4﹣t，+t）．∵点A在反比例函数y＝的图象上，∴（4﹣t）（+t）＝m，化简得：t＝4﹣，∴点D的纵坐标为+2t＝+2（4﹣）＝8﹣，∴点D的坐标为（4，8﹣），∴4×（8﹣）＝n，整理，得：m+n＝32．即四边形ABCD能成为正方形，此时m+n＝32．。
2020年四川省成都市 中考数学 B卷培优专练(18)轴对称变换问题 PDF版含答案
2020年四川省成都市中考数学B卷培优专练（18）轴对称变换问题一、单选题1.如图，在黄金矩形ABCD中，四边形ABFG、GHED均为正方形，，现将矩形ABCD沿AE 向上翻折，得四边形AEC'B'，连接BB'，若AB＝2，则线段BB'的长度为（）A. B. C.2 D.2.如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当A落在四边形BCDE内时，则与之间有始终不变的关系是（）A.∠A=∠1+∠2B.2∠A=∠1+∠2C.3∠A=∠1+∠2D.3∠A=2（∠1+∠2）3.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）A. B. C. D.4.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF （E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC的度数是（）A.128°B.118°C.108°D.98°5.如图，把一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在E处，BE与AD相交于点F，下列结论：①BD=AD2+AB2；②△ABF≌△EDF；③＝④AD=BD•cos45°．其中正确的一组是（）A.①②B.②③C.①④D.③④6.我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a＝3，b＝4，则该矩形的面积为()A.20B.24C.D.7.如图，△ABE，△ADC是△ABC分别沿着边AB，AC翻折形成的，若∠BCA：∠ABC：∠BAC=28：5：3，BE与DC交于点F，则∠BFC的度数为（）A.15°B.20°C.30°D.36°8.如图，在正方形中，是边的中点，将沿折叠，使点落在点处，的延长线与边交于点.下列四个结论:①;②;③;④S正方形ABCD，其中正确结论的个数为（）A.个B.个C.个D.个9.如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB=40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（）A.140°B.100°C.50°D.40°10.如图，在四边形ABCD中，∠C=70°，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）A.30°B.40°C.50°D.70°二、填空题11.在矩形中，，，点，分别为，上的两个动点，将沿折叠，点的对应点为，若点落在射线上，且恰为直角三角形，则线段的长为________.12.折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB=AD+2，EH=1，则AD=________.13.如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为________.14.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处，当△为直角三角形时，BE的长为________.15.如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ＋PQ的最小值是________.16.∠A=65º，∠B=75º，将纸片一角折叠，使点C 落在△ABC外，若∠2=20º，则∠1的度数为________.17.如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，点P是对角线AC上的一个动点，过点P作EF⊥AC分别交AD、AB于点E、F，将△AEF沿EF折叠，点A落在A′处，当△A′BC是等腰三角形时，AP的长为________．18.如图①的长方形ABCD中，E在AD上，沿BE将A点往右折成如图②所示，再作AF⊥CD于点F，如图③所示，若AB＝2，BC＝3，∠BEA＝60°，则图③中AF的长度为________．19.如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCO的边COOA分别在x轴，y轴上，点E在边BC上，将该长方形沿AE折叠，点B恰好落在边OC上的点F处，若OA=8，CF=4，则AE所在直线的表达式为________。
2020年四川省成都市 中考数学 B卷培优专练(19)平移、旋转变换 PDF版含答案
22.（在平面直角坐标系中，O 为原点，点 A（1，0），点 B（0， 得 A′B′O，记旋转角为α．
），把△ABO 绕点 O 顺时针旋转，
（1）如图①，当α＝30°时，求点 B′的坐标； （2）设直线 AA′与直线 BB′相交于点 M． ①如图②，当α＝90°时，求点 M 的坐标； ②点 C（﹣1，0），求线段 CM 长度的最小值．（直接写出结果即可） 23.在平面直角坐标系中，O 为原点，点 A（4，0），点 B（0，3），把△ABO 绕点 B 逆时针旋转得到△A′BO′， 点 A、O 旋转后的对应点为 A′、O′，记旋转角为α．
14.如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点 A 顺指针旋转到△AB1C1 的位置，点 B、O 分别落在点 B1、 C1 处，点 B1 在 x 轴上，再将△AB1C1 绕点 B1 顺时针旋转到△A1B1C2 的位置，点 C2 在 x 轴上，将△A1B1C2 绕点 C2 顺时针旋转到△A2B2C2 的位置，点 A2 在 x 轴上，依次进行下去…，若点 A（ ，0）、B（0，4）， 则点 B2020 的横坐标为________．
20.如图，点 P 是等腰 Rt△ABC 外一点，把线段 BP 绕点 B 顺时针旋转 90°得到线段 BP'，已知∠AP'B＝135°， P'A：P'C＝1：3，则 P'A：PB＝________．
精品人教版2019-2020学年九年级数学上册期中模拟试卷(二)解析版
人教版2019-2020学年九年级数学上册期中模拟试卷（二）一．选择题（共8小题，满分6分）1．一元二次方程x2＝3x的解为（）A．x＝0B．x＝3C．x＝0或x＝3D．x＝0 且x＝32．方程2x2+5＝7x根的情况是（）A．有两个不等的实数根B．有两个相等的实数根C．有一个实数根D．没有实数根3．将抛物线y＝﹣3x2先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是（）A．y＝﹣3（x﹣1）2﹣2B．y＝﹣3（x﹣1）2+2C．y＝﹣3（x+1）2﹣2D．y＝﹣3（x+1）2+24．（3分）如图，∠CAB＝25°，CA、CB是等腰△ABC的两腰，将△ABC绕点A顺时针进行旋转，得到△ADE．当点B恰好在DE的延长线时，则∠EAB的度数为（）A．155°B．130°C．105°D．75°5．在平面直角坐标系中，将点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°后得到点P′，则点P′的坐标是（）A．（﹣2，3）B．（3，﹣2）C．（﹣3，2）D．（2，﹣3）6．如图，∠AOB＝100°，点C在⊙O上，且点C不与A、B重合，则∠ACB的度数为（）A．50°B．80°或50°C．130°D．50°或130°7．如图，A，B，C三点在⊙O上，且∠BOC＝100°，则∠A的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b＞0；④其顶点坐标为（，﹣2）；⑤当x＜时，y随x的增大而减小；⑥a+b+c＞0中正确的有（）A．3 个B．4 个C．5 个D．6 个二．填空题（共8小题，满分18分）9．（3分）当a＝时，（a﹣3）x|a|﹣1﹣x＝5是关于x的一元二次方程．10．（3分）平面直角坐标系中，一点P（﹣2，3）关于原点的对称点P′的坐标是．11．（3分）二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的最大值是．12．（3分）已知抛物线y＝ax2+x+c与x轴交点的横坐标为﹣1，则a+c＝．13．（3分）已知关于x的方程x2+kx﹣3＝0的一个根是x＝﹣1，则另一根为．14．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD，若点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为．15．如图，P是⊙O的直径AB延长线上的一点，PC切⊙O于点C，∠APC的平分线交AC于点D．若∠APC＝40°，则∠CDP＝．16．如图，已知点C是的一点，圆周角∠ACB为125°，则圆心角∠AOB＝度．三．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）17．（8分）解方程与不等式：（1）（x﹣3）（x﹣2）+33＝（x+9）（x+1）（2）（2x+3）（2x﹣3）＜4（x﹣2）（x+3）18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0有实数根．（1）求m的取值范围（2）若两实数根分别为x1和x2，且x12+x22＝11，求m的值．四．解答题（共2小题）19．如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，点O也在格点上．（1）画△A'B'C'，使△A'B'C'与△ABC关于直线OP成轴对称，点A的对应点是A'；（2）画△A''B''C''，使△A''B''C''与△A'B'C'关于点O成中心对称，点A'的对应点是A''．20．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（2，0），点B（0，），把△ABO绕点B逆时针旋转，得△A′BO′，点A，O旋转后的对应点为A′，O′，记旋转角为α．如图，若α＝90°，求AA′的长．五．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）21．（10分）已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）（1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△OA′B′的面积．22．（10分）如图，在⊙O中，直径AB经过弦CD的中点E，点M在OD上，AM的延长线交⊙O于点G，交过D 的直线于F，且∠BDF＝∠CDB，BD与CG交于点N．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）连结MN，猜想MN与AB的位置有关系，并给出证明．六．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）23．（10分）某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？24．（10分）某商品的进价为每件50元．当售价为每件70元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：（1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？七．解答题（共1小题）25．在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E是对角线BD上一动点．（1）如图1，当CE⊥BD时，求DE的长；（2）如图2，作EM⊥EN分别交边BC于M，交边CD于N，连MN．①若，求tan∠ENM；②若E运动到矩形中心O，连CO．当CO将△OMN分成两部分面积比为1：2时，直接写出CN的长．八．解答题（共1小题）26．如图，已知关于x的二次函数y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的图象与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3，顶点为M．（1）求出二次函数的关系式；（2）点P为线段MB上的一个动点，过点P作x轴的垂线PD，垂足为D．若OD＝m，△PCD的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出m的取值范围；（3）探索线段MB上是否存在点P，使得△PCD为直角三角形？如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分6分）1．【解答】解：方程移项得：x2﹣3x＝0，分解因式得：x（x﹣3）＝0，解得：x＝0或x＝3，故选：C．2．【解答】解：方程化为2x2﹣7x+5＝0，因为△＝（﹣7）2﹣4×2×5＝9＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选：A．3．【解答】解：将抛物线y＝﹣3x2向左平移1个单位所得直线解析式为：y＝﹣3（x+1）2；再向下平移2个单位为：y＝﹣3（x+1）2﹣2，即y＝﹣3（x+1）2﹣2．故选：C．4．【解答】解：∵CA＝CB，∴∠CBA＝∠CAB＝25°，∵△ABC绕点A顺时针进行旋转，得到△ADE．点B恰好在DE的延长线上，∴∠D＝∠ABC＝25°，∠DAE＝∠BAC＝25°，AD＝AB，∴∠ABD＝25°，∴∠ABD＝∠CAB，∴AC∥BD，∴∠D+∠DAC＝180°，∴∠EAB＝180°﹣25°﹣25°﹣25°＝105°．故选：C．5．【解答】解：如图，过P、P′两点分别作x轴，y轴的垂线，垂足为A、B，∵线段OP绕点O顺时针旋转90°，∴∠POP′＝∠AOB＝90°，∴∠AOP＝∠P′OB，且OP＝OP′，∠P AO＝∠P′BO＝90°，∴△OAP≌△OBP′，即P′B＝P A＝3，BO＝OA＝2，∴P′（3，﹣2）．故选：B．6．【解答】解：当点C在优弧上时，∠AC′B＝∠AOB＝×100°＝50°，当点C在劣弧上时，∠ACB＝（360°﹣∠AOB）＝×（360°﹣100°）＝130°．故选：D．7．【解答】解：由题意得∠A＝∠BOC＝×100°＝50°．故选：B．8．【解答】解：①由图象开口可知：a＞0，c＜0，∵＞0，∴b＜0，∴abc＞0，故①正确；②由图象可知：△＞0，∴b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，故②正确；③抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），B（2，0），∴抛物线的对称轴为：x＝，∴＜1，∴2a+b＞0，故③正确；④由图象可知顶点坐标的纵坐标小于﹣2，故④错误；⑤由③可知抛物线的对称轴为x＝，∴由图象可知：x＜时，y随着x的增大而减小，故⑤正确；⑥由图象可知：x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，故⑥错误；故选：B．二．填空题（共8小题，满分18分）9．【解答】解：∵（a﹣3）x|a|﹣1﹣x＝5是关于x的一元二次方程，∴a﹣3≠0，|a|﹣1＝2，解得：a＝﹣3，即当a＝﹣3时，（a﹣3）x|a|﹣1﹣x＝5是关于x的一元二次方程，故答案为：﹣3．10．【解答】解：根据中心对称的性质，得点P（﹣2，﹣3）关于原点对称点P′的坐标是（2，﹣3）．故答案为：（2，﹣3）．11．【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x+3＝y＝﹣（x2+2x+1﹣1）+3＝﹣（x+1）2+4，∴当x＝﹣1时，y取得最大值4，故答案为：4．12．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+x+c与x轴交点的横坐标为﹣1，∴抛物线y＝ax2+x+c经过（﹣1，0），∴a﹣1+c＝0，∴a+c＝1，故答案为1．13．【解答】解：设方程的另一个根为x2，则﹣1×x2＝﹣3，解得：x2＝3，故答案为：3．14．【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E，∵OB＝2，AB⊥x轴，点A在直线y＝x上，∴AB＝2，OA＝＝4，∴RT△ABO中，tan∠AOB＝＝，∴∠AOB＝60°，又∵△CBD是由△ABO绕点B逆时针旋转60°得到，∴∠D＝∠AOB＝∠OBD＝60°，AO＝CD＝4，∴△OBD是等边三角形，∴DO＝OB＝2，∠DOB＝∠COE＝60°，∴CO＝CD﹣DO＝2，在RT△COE中，OE＝CO•cos∠COE＝2×＝1，CE＝CO•sin∠COE＝2×＝，∴点C的坐标为（﹣1，），故答案为：（﹣1，）．15．【解答】解：如图，连接OC，∵PC为圆O的切线，∴PC⊥OC，即∠PCO＝90°，∴∠CPO+∠COP＝90°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO＝∠COP，∵PD为∠APC的平分线，∴∠APD＝∠CPD＝∠CPO，∴∠CDP＝∠APD+∠A＝（∠CPO+∠COP）＝45°．故答案为：45°．16．【解答】解：在优弧AB上取点D，连接AD，BD，∵∠ACB＝125°，∴∠ADB＝180°﹣125°＝55°，∴∠AOB＝110°，故答案为：110．三．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）17．【解答】解：（1）x2﹣5x+6+33＝x2+10x+9，x2﹣5x﹣x2﹣10x＝9﹣6﹣33，﹣15x＝﹣30，x＝2；（2）4x2﹣9＜4（x2+x﹣6），4x2﹣9＜4x2+4x﹣24，4x2﹣4x2﹣4x＜﹣24+9，﹣4x＜﹣15，x＞．18．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0有实数根，∴△＝b2﹣4ac＝32+4m≥0，解得：m≥﹣；（2）∵x1+x2＝﹣3、x1x2＝﹣m，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝11，∴（﹣3）2+2m＝11，解得：m＝1．四．解答题（共2小题）19．【解答】解：（1）如图所示，△A'B'C'为所求三角形；（2）如图所示，△A''B''C''为所求三角形．20．【解答】解：∵点A（2，0），点B（0，），∴OA＝2，OB＝．在Rt△ABO中，由勾股定理得AB＝．根据题意，△A′BO′是△ABO绕点B逆时针旋转900得到的，由旋转是性质可得：∠A′BA＝90°，A′B＝AB＝，∴AA′＝＝．五．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）21．【解答】解：（1）设抛物线顶点式y＝a（x+1）2+4将B（2，﹣5）代入得：a＝﹣1∴该函数的解析式为：y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3（2）令x＝0，得y＝3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3）令y＝0，﹣x2﹣2x+3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0）当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位故A'（2，4），B'（5，﹣5）∴S△OA′B′＝×（2+5）×9﹣×2×4﹣×5×5＝15．22．【解答】（1）证明：∵直径AB经过弦CD的中点E，∴AB⊥CD，．∴∠BOD＝2∠CDB．∵∠BDF＝∠CDB，∴∠BOD＝∠CDF，∵∠BOD+∠ODE＝90°，∴∠ODE+∠CDF＝90°，即∠ODF＝90°，∴DF是⊙O的切线；（2）猜想：MN∥AB．证明：连结CB．∵直径AB经过弦CD的中点E，∴，．∴∠CBA＝∠DBA，CB＝BD．∵OB＝OD，∴∠DBA＝∠ODB．∴∠AOD＝∠DBA+∠ODB＝2∠DBA＝∠CBD，∵∠BCG＝∠BAG，∴△CBN∽△AOM，∴．∵AO＝OD，CB＝BD，∴，∴，∵∠ODB＝∠MDN，∴△MDN∽△ODB，∴∠DMN＝∠DOB，∴MN∥AB．六．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）23．【解答】解：（1）设每次降价的百分率为x．40×（1﹣x）2＝32.4x＝10%或190%（190%不符合题意，舍去）答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，两次下降的百分率啊10%；（2）设每天要想获得510元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价y元，由题意，得（40﹣30﹣y）（4×+48）＝510，解得：y1＝1.5，y2＝2.5，∵有利于减少库存，∴y＝2.5．答：要使商场每月销售这种商品的利润达到510元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价2.5元．24．【解答】解：（1）根据题意得y＝（70﹣x﹣50）（300+20x）＝﹣20x2+100x+6000，∵70﹣x﹣50＞0，且x≥0，∴0≤x＜20；（2）∵y＝﹣20x2+100x+6000＝﹣20（x﹣）2+6125，∴当x＝时，y取得最大值，最大值为6125，答：当降价2.5元时，每星期的利润最大，最大利润是6125元．七．解答题（共1小题）25．【解答】解：（1）∵矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8∴∠BCD＝90°，BC＝AD＝8，CD＝AB＝6∴BD＝＝10∵CE⊥BD∴∠CED＝∠BCD＝90°∵∠CDE＝∠BDC∴△CDE∽△BDC∴∴DE＝（2）①如图1，过点M作MF⊥BD于点F，过点N作NG⊥BD于点G∵，BD＝10∴BD＝BE+DE＝3DE+DE＝4DE＝10∴DE＝，BE＝设MF＝a，NG＝b∵∠BFM＝∠C＝90°，∠FBM＝∠CBD∴△FBM∽△CBD∴∴BF＝＝a∴EF＝BE﹣BF＝a同理可证：△GDN∽△CDB∴∴DG＝＝b∴EG＝DE﹣DG＝b∵EM⊥EN∴∠MEN＝∠MFE＝∠NGE＝90°∴∠MEF+∠NEG＝∠MEF+∠EMF＝90°∴∠EMF＝∠NEG∴△EMF∽△NEG∴∴EF•EG＝NG•MF∴（a）（b）＝ba整理得：16a＝90﹣27b∴在Rt△MEN中，tan∠ENM＝＝②如图2，过点M作MF⊥BD于点F，MP⊥OC于点P，过点N作NG⊥BD于点G，NQ⊥OC于点Q，设OC 与MN交点为H∵点O为矩形中心，BD＝10∴OB＝OD＝OC＝BD＝5由①可得，设MF＝a，NG＝b，则BF＝＝a，DG＝＝b，OF•OG＝NG•MF∴OF＝OB﹣BF＝5﹣a，OG＝OD﹣DG＝5﹣b∴（5﹣a）（5﹣b）＝ab整理得：16a＝60﹣9b∴＝设CN＝5x∵∠NCQ＝∠BDC，∠NQC＝∠BCD＝90°∴△NCQ∽△BDC∴＝∴CQ＝CN＝3x，NQ＝CN＝4x∴OQ＝OC﹣CQ＝5﹣3x∵∠MPO＝∠MON＝∠OQN＝90°∴∠MOP+∠NOQ＝∠NOQ+∠ONQ＝90°∴∠MOP＝∠ONQ∴△MOP∽△ONQ∴i）若S△OMH＝2S△ONH，且两三角形都以OH为底∴MP＝2NQ＝8x∴解得：x＝∴CN＝ii）若2S△OMH＝S△ONH，则MP＝NQ＝2x∴解得：x＝∴CN＝综上所述，CN的长为或．八．解答题（共1小题）26．【解答】解：（1）∵OB＝OC＝3，∴B（3，0），C（0，3）∴，解得1分∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴M（1，4）设直线MB的解析式为y＝kx+n，则有解得：，∴直线MB的解析式为y＝﹣2x+6∵PD⊥x轴，OD＝m，∴点P的坐标为（m，﹣2m+6）S三角形PCD＝×（﹣2m+6）•m＝﹣m2+3m（1≤m＜3）；（3）∵若∠PDC是直角，则点C在x轴上，由函数图象可知点C在y轴的正半轴上，∴∠PDC≠90°，在△PCD中，当∠DPC＝90°时，当CP∥AB时，∵PD⊥AB，∴CP⊥PD，∴PD＝OC＝3，∴P点纵坐标为：3，代入y＝﹣2x+6，∴x＝，此时P（，3）．∴线段BM上存在点P（，3）使△PCD为直角三角形．当∠P′CD′＝90°时，△COD′∽△D′CP′，此时CD′2＝CO•P′D′，即9+m2＝3（﹣2m+6），∴m2+6m﹣9＝0，解得：m＝﹣3±3，∵1≤m＜3，∴m＝3（﹣1），∴P′（3﹣3，12﹣6）综上所述：P点坐标为：（，3），（3﹣3，12﹣6）．。
四川省成都市外国语学校2022-2023学年九年级上学期期中数学考试
成都外国语学校2022-2023学年度上期期中考试初三数学试卷A卷一．选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）1．如图所示的几何体的左视图是（）2．下列说法正确的是（）A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．矩形的对角线互相垂直C．对角线相等的菱形是正方形D．一组对边平行的四边形是平行四边形3．已知两个相似三角形的相似比为1：4，则它们的对应高的比为（）A．1：2B．1：4C．1：8D．1：164．要估计鱼塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中打捞了50条鱼，在每条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞出200条鱼，发现只有两条鱼是刚才做了记号的鱼，假设鱼在鱼塘内均匀分布，那么估计这个鱼塘的鱼数约为（）A．1750条B．1250条C．5000条D．2500条5．关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k＞﹣1且k≠0C．k＜1D．k＜1且k≠06．对于函数y＝，下列说法错误的是（）A．点（，6）在这个函数图象上B．这个函数的图象位于第一、三象限C．这个函数的图象既是轴对称轴图形又是中心对称图形D．当x＞0时，y随x的增大而增大7．有一根1m长的铁丝，怎样用它围成一个面积为0.06m2的长方形？设长方形的长为xm，依题意，下列方程正确的是（）A．x（1﹣x）＝0.06B．x（1﹣2x）＝0.06C ．x （0.5﹣x ）＝0.06D ．2x （1﹣2x ）＝0.06 8．已知菱形的周长为4，两条对角线的和为6，则菱形的面积为（ ） A ．2 B ． C ．3 D ．4二．填空题本（大题共5个小题，每小题4分，共20分）9．已知函数y ＝（m +3）x |m |﹣4是反比例函数，则m ＝ ．10．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，∠A ＝20度，则∠BCD ＝ 度．11．如果a +b +c ＝0，那么一元二次方程ax 2+bx +c ＝0必有一个根是 ．12．把12cm 长的线段进行黄金分割后得两条线段，其中较长的线段的长为 cm ．13．如图，小明在B 时测得直立于地面的某树的影长为12米，A 时又测得该树的影长为3米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 米．三．解答题（本大题共5个小题，共48分）14．（12分）（1）计算：01-23-2821-2）（）（）（++ （2）计算：5422-=-x x x15．（8分）为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了多种社团活动．小明喜欢的社团有：合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团（分别用字母A ，B ，C ，D 依次表示这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．（1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B 的概率是多少？（2）小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母．请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D 的概率．16．（8分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝6，动点E 在边BC 上，连接DE ，过点A 作AH ⊥DE ，垂足为H，AH交CD于F．（1）求证：△CDE∽△DAF；（2）当FC＝2时，求EC的长．17．（10分）如图，在平面直角坐标系中，把以格点为顶点的三角形称为格点三角形（每个小方格都是边长为1的正方形）．图中△ABC是格点三角形，点A、B、C的坐标分别是（﹣3，﹣1），（﹣2，﹣3），（0，﹣2）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）以O为位似中心，在第一象限内将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；（3）△ABC内有一点P（a，b），直接写出经过（2）位似变换后P的对应点P1的坐标．18．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝x﹣2的图象与反比例函数（k≠0）的图象交于A（﹣2，a）、B（m，2）两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D，连接OA、OB．（1）求反比例函数（k≠0）的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）点N为坐标轴上一点，点M为y2的图象上一点，当以点C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出所有满足条件的N点的坐标．B卷一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19．设m、n分别为方程x2+2x﹣2025＝0的两个实数根，则m2+3m+n＝．20．完全相同的四张卡片上分别印有正三角形、正方形、正五边形和正六边形，现将印有图形的一面朝下，混合均匀后先由甲随机抽取一张，放回后，重新混合均匀再由乙随机抽取一张，则甲乙两人抽到的图形都是中心对称图形的概率为 ．21．若以方程x 2﹣2（k ﹣3）x +k 2﹣4k ﹣1＝0的两个实数根作为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数y ＝的图象上，则满足条件的k 值为 ．22．如图，点P 是等边△ABC 的一边BC 上的任意一点，且BP CP 3 ，连接AP ,作AP 的垂直平分线交AB 、AC 于M 、N 两点，则AN AM :的值为 ．23．如图，在边长为4正方形ABCD 中，以AB 为腰向正方形内部作等腰△ABE ，点G 在CD 上，且CG ＝3DG ．连接BG 并延长，与AE 交于点F ，与AD 延长线交于点H ．连接DE 交BH 于点K ．若AE 2＝BF •BH ，则S △CDE ＝ ．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24．（8分）由于新冠疫情的影响，口罩需求量急剧上升，经过连续两次价格的上调，口罩的价格由每包10元涨到了每包16.9元．（1）求出这两次价格上调的平均增长率；（2）在有关部门大力调控下，口罩价格还是降到了每包10元，而且调查发现，定价为每包10元时，一天可以卖出30包，每降价1元，可以多卖出5包．当销售额为315元时，且让顾客获得更大的优惠，应该降价多少元？25．（10分）问题背景 如图（1），已知△ABC ∽△ADE ，求证：△ABD ∽△ACE ；尝试应用 如图（2），在△ABC 和△ADE 中，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∠ABC ＝∠ADE ＝30°，AC 与DE相交于点F，点D在BC边上，＝，求的值；拓展创新如图（3），D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB＝4，AC＝2，直接写出AD的长．26．（12分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，0），B（4，0），点C在y轴的负半轴上，连接AC，BC，满足∠ACO＝∠CBO．（1）求直线BC 的解析式；（2）如图2，已知直线l 1：623-=x y 经过点B ． ①若点D 为直线l 1上一点，直线AD 与直线BC 交于点H ，若32=∆∆ABH BDH S S ，求点D 的坐标； ②过点O 作直线l 2∥BC ，若点M 、N 分别是直线l 1和l 2上的点，且满足∠ABC ＝∠MNB ．请问是否存在这样的点M 、N ，使得△ABC 与△MBN 相似？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．。
2019-2020学年四川省成都市武侯区西川中学九年级(上)期中数学试卷含答案
2019-2020学年四川省成都市武侯区西川中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）若＝，则的值为（）A．1B．C．D．2．（3分）如图所示的几何体的主视图是（）A．B．C．D．3．（3分）下列命题中，真命题是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是平行四边形D．两条对角线互相平分且相等的四边形是正方形4．（3分）如图，测得BD＝120m，DC＝60m，EC＝50m，则河宽AB为（）A．120m B．100m C．75m D．25m5．（3分）书架上有3本小说、2本散文，从中随机抽取1本恰好是小说的概率是（）A．B．C．D．6．（3分）若关于x的一元二次方程x2+x﹣3m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＞B．m＜C．m＞D．m＜7．（3分）对于反比例函数，下列说法不正确的是（）A．点（﹣3，1）在它的图象上B．它的图象在第二、四象限C．当x＞0时，y随x的增大而增大D．当x＜0时，y随x的增大而减小8．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC＝130°，则∠AOE的大小为（）A．75°B．65°C．55°D．50°9．（3分）已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝200，则AC的长度是（）A．200（﹣1）B．100（﹣1）C．100（3﹣）D．50（﹣1）10．（3分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝7，AD＝3，BC＝4．点P为AB 边上一动点，若△P AD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）11．（4分）若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是．12．（4分）已知x＝2是关于x一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根，则另一根是．13．（4分）如图，在▱ABCD中，E在AD上，＝，CE交BD于F，则S△BCF：S△DCF＝．14．（4分）如图，函数y＝kx（k≠0）与y＝的图象交于A，B两点，过点A作AM垂直于x轴，垂足为点M，则△BOM的面积为．三、解答题（共54分）15．（10分）（1）解方程：x2+2x﹣8＝0．（2）解方程：（2x﹣1）2﹣2（2x﹣1）＝0．16．（8分）如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．（1）画出位似中心点O；（2）直接写出△ABC与△A′B′C′的位似比；（3）以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出△A′B′C′关于点O中心对称的△A″B″C″，并直接写出△A″B″C″各顶点的坐标．17．（8分）一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B 处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长．（结果精确到0.1m）．18．（8分）随着交通道路的不断完善，带动了旅游业的发展，某市旅游景区有A，B，C，D，E等著名景点，该市旅游部门统计绘出“五一“长假期间旅游情况统计图，根据以下信息解答下列问题．（1）“五一”期间，该市周边景点共接待游客万人，扇形统计图中A景点所对应的圆心角的度数是，并补全条形统计图．（2）甲、乙两个旅行团在A，B，D三个景点中进行选择，求同时选择去同一景点的概率为多少？（请用画树状图或列表法加以说明）19．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于第二象限内的A、B两点，过点A作AC⊥x轴于点C，OA＝5，OC＝4，点B的纵坐标为6．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）写出kx+b﹣＜0的解集．20．（10分）如图1，E为正方形ABCD的边BC上一点，F为边BA延长线上一点，且CE＝AF．（1）求证：DE⊥DF；（2）如图2，若点G为边AB上一点，且∠BGE＝2∠BFE，△BGE的周长为16，求四边形DEBF的面积；（3）如图3，在（2）的条件下，DG与EF交于点H，连接CH且CH＝5，求AG的长．四、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）21．（4分）已知x2﹣2x﹣2＝0，代数式（x﹣1）2+2019的值为．22．（4分）从3，0，﹣1，﹣2，﹣3这五个数中，随机抽取一个数作为m的值，则使函数y＝（5﹣m2）x 的图象经过第一、第三象限，且使关于x的方程（m+1）x2+mx+1＝0有实数根的概率是．23．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点E、F分别在边AB、BC上，△BEF与△GEF关于直线EF对称，点B的对称点是点G，且点G在边AD上．若EG⊥AC，AB＝6，则FG的长为．24．（4分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F．若点D的坐标为（6，8），则点A的坐标是．25．（4分）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：①△ABE≌△DCF；②＝；③DP2＝PH•PB；④＝．其中正确的是．（写出所有正确结论的序号）五、解答题（共3小题，满分30分）26．（8分）某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．（2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？27．（10分）如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE＝30°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．28．（12分）如图，已知在平面直角坐标系中，四边形OBCD为矩形，B点的坐标为（5，0），D的坐标为（0，4），A为x负半轴上一点，AD＝CD．（1）求直线AC的解析式；（2）若点Q、P分别从点C、A同时出发，点Q沿线段CA向点A运动，点P沿线段AB向点B运动，Q点的速度为每秒个单位长度，P点的速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒，△PQE的面积为S，求S与t的函数关系式（请直接写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，过P点作PQ的垂线交直线CD于点M，在P、Q运动的过程中，是否在平面内有一点N，使四边形QPMN为正方形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．2019-2020学年四川省成都市武侯区西川中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）若＝，则的值为（）A．1B．C．D．【解答】解：∵＝，∴＝＝．故选：D．2．（3分）如图所示的几何体的主视图是（）A．B．C．D．【解答】解：从前面看可得到左边有2个正方形，右边有1个正方形，所以选A．3．（3分）下列命题中，真命题是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是平行四边形D．两条对角线互相平分且相等的四边形是正方形【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项错误；B、对角线互相垂直的平行边形是菱形，所以B选项错误；C、顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是平行四边形，所以C选项正确；D、两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以D选项错误．故选：C．4．（3分）如图，测得BD＝120m，DC＝60m，EC＝50m，则河宽AB为（）A．120m B．100m C．75m D．25m【解答】解：∵∠ADB＝∠EDC，∠ABC＝∠ECD＝90°，∴△ABD∽△ECD，∴＝，∴AB＝＝＝100（米）．则两岸间的大致距离为100米．故选：B．5．（3分）书架上有3本小说、2本散文，从中随机抽取1本恰好是小说的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：∵书架上有3本小说、2本散文，共有5本书，∴从中随机抽取1本恰好是小说的概率是；故选：D．6．（3分）若关于x的一元二次方程x2+x﹣3m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＞B．m＜C．m＞D．m＜【解答】解：∵a＝1，b＝1，c＝﹣3m，∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣3m）＝1+12m＞0，解得m＞．故选：C．7．（3分）对于反比例函数，下列说法不正确的是（）A．点（﹣3，1）在它的图象上B．它的图象在第二、四象限C．当x＞0时，y随x的增大而增大D．当x＜0时，y随x的增大而减小【解答】解：A、∵﹣＝1，∴点（﹣3，1）在它的图象上，故本选项正确；B、k＝﹣3＜0，∴它的图象在第二、四象限，故本选项正确；C、k＝﹣3＜0，当x＞0时，y随x的增大而增大，故本选项正确；D、k＝﹣3＜0，当x＜0时，y随x的增大而增大，故本选项错误．故选：D．8．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC＝130°，则∠AOE的大小为（）A．75°B．65°C．55°D．50°【解答】解：在菱形ABCD中，∠ADC＝130°，∴∠BAD＝180°﹣130°＝50°，∴∠BAO＝∠BAD＝×50°＝25°，∵OE⊥AB，∴∠AOE＝90°﹣∠BAO＝90°﹣25°＝65°．故选：B．9．（3分）已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝200，则AC的长度是（）A．200（﹣1）B．100（﹣1）C．100（3﹣）D．50（﹣1）【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，∴AC＝AB，而AB＝200，∴AC＝×200＝100（﹣1）．故选：B．10．（3分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝7，AD＝3，BC＝4．点P为AB 边上一动点，若△P AD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：∵AB⊥BC，∴∠B＝90°．∵AD∥BC∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，∴∠P AD＝∠PBC＝90°．设AP的长为x，则BP长为7﹣x．若AB边上存在P点，使△P AD与△PBC相似，那么分两种情况：①若△APD∽△BPC，则AP：BP＝AD：BC，即x：（7﹣x）＝3：4，解得：x＝3②若△APD∽△BCP，则AP：BC＝AD：BP，即x：4＝3：（7﹣x），解得：x＝4或3．∴满足条件的点P的个数是2个，故选：B．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）11．（4分）若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是4：9．【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为2：3，∴这两个相似三角形的相似比为2：3，∴它们的面积比是4：9．故答案为：4：9．12．（4分）已知x＝2是关于x一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根，则另一根是﹣3．【解答】解：设方程的另一个根为x2，则2x2＝﹣6，解得x2＝﹣3，故答案为：﹣3．13．（4分）如图，在▱ABCD中，E在AD上，＝，CE交BD于F，则S△BCF：S△DCF＝3：1．【解答】解：∵，∴，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝CB，∴△DEF∽△BCF，∴，∴．故答案为：3：1．14．（4分）如图，函数y＝kx（k≠0）与y＝的图象交于A，B两点，过点A作AM垂直于x轴，垂足为点M，则△BOM的面积为．【解答】解：由题意得：OA＝OB，则S△AOM＝S△BOM，设A（a，b）（a＞0，b＞0），故OM＝a，AM＝b，将x＝a，y＝b代入反比例函数y＝得：b＝，即ab＝3，又∵AM⊥OM，即△AOM为直角三角形，∴S△BOM＝S△AOM＝OM•AM＝ab＝．故答案是：．三、解答题（共54分）15．（10分）（1）解方程：x2+2x﹣8＝0．（2）解方程：（2x﹣1）2﹣2（2x﹣1）＝0．【解答】解：（1）∵x2+2x﹣8＝0，∴（x+4）（x﹣2）＝0，则x+4＝0或x﹣2＝0，解得x1＝﹣4，x2＝2；（2）令2x﹣1＝a，则a2﹣2a＝0，∴a（a﹣2）＝0，∴a＝0或a﹣2＝0，解得a＝0或a＝2，当a＝0时，2x﹣1＝0，解得x＝0.5；当a＝2时，2a﹣1＝2，解得x＝1.5；综上，x1＝0.5，x2＝1.5．16．（8分）如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．（1）画出位似中心点O；（2）直接写出△ABC与△A′B′C′的位似比；（3）以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出△A′B′C′关于点O中心对称的△A″B″C″，并直接写出△A″B″C″各顶点的坐标．【解答】解：（1）图中点O为所求；（2）△ABC与△A′B′C′的位似比等于2：1；（3）△A″B″C″为所求；A″（6，0）；B″（3，﹣2）；C″（4，﹣4）．17．（8分）一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B 处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长．（结果精确到0.1m）．【解答】解：设CD长为x米，∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA＝MA，∴MA∥CD∥BN，∴EC＝CD＝x米，∴△ABN∽△ACD，∴＝，即＝，解得：x＝6.125≈6.1．经检验，x＝6.125是原方程的解，∴路灯高CD约为6.1米18．（8分）随着交通道路的不断完善，带动了旅游业的发展，某市旅游景区有A，B，C，D，E等著名景点，该市旅游部门统计绘出“五一“长假期间旅游情况统计图，根据以下信息解答下列问题．（1）“五一”期间，该市周边景点共接待游客50万人，扇形统计图中A景点所对应的圆心角的度数是108°，并补全条形统计图．（2）甲、乙两个旅行团在A，B，D三个景点中进行选择，求同时选择去同一景点的概率为多少？（请用画树状图或列表法加以说明）【解答】解：（1）该市周边景点共接待游客数为：15÷30%＝50（万人），A景点所对应的圆心角的度数是：30%×360°＝108°，B景点接待游客数为：50×24%＝12（万人），故答案为：50，108°；补全条形统计图如下：（2）画树状图可得：共有9种等可能的结果，其中同时选择去同一个景点的结果有3种，∴同时选择去同一个景点的概率为＝．19．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于第二象限内的A、B两点，过点A作AC⊥x轴于点C，OA＝5，OC＝4，点B的纵坐标为6．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）写出kx+b﹣＜0的解集．【解答】解：（1）在Rt△AOC中，AC＝＝＝3，故点A的坐标为（﹣4，3），将A（﹣4，3）代入y＝得m＝﹣12，∴反比例函数的解析式为y＝﹣；∵当y＝6时，x＝﹣2，∴B（﹣2，6），将A（﹣4，3），B（﹣2，6）代入y＝kx+b得，解得，∴一次函数的解析式为y＝x+9；（2）设一次函数交x轴于点R，把y＝0代入y＝x+9得：x＝﹣6，即R的坐标是（﹣6，0），OR＝6，S△AOB＝S△BOR﹣S△AOR＝6×6﹣×6×3＝9；（3）由图象知kx+b﹣＜0的解集为：x＜﹣4或﹣2＜x＜0．20．（10分）如图1，E为正方形ABCD的边BC上一点，F为边BA延长线上一点，且CE＝AF．（1）求证：DE⊥DF；（2）如图2，若点G为边AB上一点，且∠BGE＝2∠BFE，△BGE的周长为16，求四边形DEBF的面积；（3）如图3，在（2）的条件下，DG与EF交于点H，连接CH且CH＝5，求AG的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠DAF＝∠DCE＝90°，在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE（SAS）∴∠ADF＝∠CDE，∵∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠ADF+∠ADE＝90°，即∠FDE＝90°，∴DE⊥DF；（2）解：∵∠BGE＝2∠BFE，∠BGE＝∠BFE+∠GEF，∴∠GEF＝∠GFE，∴GE＝GF，∵△BGE的周长为16∴BE+GB+GE＝16∴BE+GB+GF＝16∴BE+BA+AF＝16∵CE＝AF，∴BA+CB＝16，∴BC＝BA＝8，∴S四边形DEBF＝S四边形DEBA+S△ADF＝S四边形DEBA+S△DCE＝S正方形ABCD＝AB2＝64；（3）过点H作HP⊥HC交CB的延长线于点P，∵GF＝GE，DF＝DE，∴DG垂直平分EF，∵∠FDE＝90°，∴DH＝EH，∠DHE＝∠PHC＝90°，∴∠DHE﹣∠EHC＝∠PHC﹣∠EHC，即∠DHC＝∠EHP，∵在四边形DHEC中，∠HDC+∠HEC＝180°，∠HEC+∠HEP＝180°，∴∠HEP＝∠HDC，在△HDC和△HEP中，，∴△HDC≌△HEP（ASA）∴DC＝PE＝8，CH＝HP＝5，∴在Rt△PHC中，PC＝10，∴EC＝PC﹣PE＝2，∴AF＝2，BE＝6，在Rt△BGE中，设EG＝x，则BG＝10﹣x，由勾股定理得，（10﹣x）2+62＝x2解得：x＝，∴AG＝GF﹣AF＝．四、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）21．（4分）已知x2﹣2x﹣2＝0，代数式（x﹣1）2+2019的值为2022．【解答】解：∵x2﹣2x﹣2＝0，即x2﹣2x＝2，∴x2﹣2x+1＝3，即（x﹣1）2＝3，则原式＝3+2019＝2022．故答案为：2022．22．（4分）从3，0，﹣1，﹣2，﹣3这五个数中，随机抽取一个数作为m的值，则使函数y＝（5﹣m2）x 的图象经过第一、第三象限，且使关于x的方程（m+1）x2+mx+1＝0有实数根的概率是．【解答】解：∵所得函数的图象经过第一、三象限，∴5﹣m2＞0，∴m2＜5，∴3，0，﹣1，﹣2，﹣3中，3和﹣3均不符合题意，将m＝0代入（m+1）x2+mx+1＝0中得，x2+1＝0，Δ＝﹣4＜0，无实数根；将m＝﹣1代入（m+1）x2+mx+1＝0中得，﹣x+1＝0，x＝1，有实数根；将m＝﹣2代入（m+1）x2+mx+1＝0中得，x2+2x﹣1＝0，Δ＝4+4＝8＞0，有实数根．故方程有实数根的概率为；故答案为：．23．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点E、F分别在边AB、BC上，△BEF与△GEF关于直线EF对称，点B的对称点是点G，且点G在边AD上．若EG⊥AC，AB＝6，则FG的长为3．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠CAB＝∠CAD＝60°，∴△ABC，△ACD是等边三角形，∵EG⊥AC，∴∠AEG＝∠AGE＝30°，∵∠B＝∠EGF＝60°，∴∠AGF＝90°，∴FG⊥BC，∴2•S△ABC＝BC•FG，∴2××（6）2＝6•FG，∴FG＝3．故答案为3．24．（4分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F．若点D的坐标为（6，8），则点A的坐标是（8，4）．【解答】解：∵点D的坐标为（6，8），∴OD＝＝10，∵四边形OBCD是菱形，∴OB＝OD＝10，∴点B的坐标为：（10，0），∵AB＝AD，即A是BD的中点，∴点A的坐标为：（8，4），故答案是：（8，4）．25．（4分）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：①△ABE≌△DCF；②＝；③DP2＝PH•PB；④＝．其中正确的是①③④．（写出所有正确结论的序号）【解答】解：∵△BPC是等边三角形，∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，在正方形ABCD中，∵AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD∠ABC＝90°，∴∠ABE＝∠DCF＝30°，在△ABE与△CDF中，，∴△ABE≌△DCF（ASA），故①正确；∵PC＝CD，∠PCD＝30°，∴∠PDC＝75°，∴∠FDP＝15°，∵∠DBA＝45°，∴∠PBD＝15°，∴∠FDP＝∠PBD，∵∠DFP＝∠BPC＝60°，∴△DFP∽△BPH，∴＝＝＝，故②错误；∵∠PDH＝∠PCD＝30°，∵∠DPH＝∠DPC，∴△DPH∽△CDP，∴＝，∴PD2＝PH•CD，∵PB＝CD，∴PD2＝PH•PB，故③正确；如图，过P作PM⊥CD，PN⊥BC，设正方形ABCD的边长是4，△BPC为正三角形，∴∠PBC＝∠PCB＝60°，PB＝PC＝BC＝CD＝4，∴∠PCD＝30°∴PN＝PB•sin60°＝4×＝2，PM＝PC•sin30°＝2，S△BPD＝S四边形PBCD﹣S△BCD＝S△PBC+S△PDC﹣S△BCD＝×4×2+×2×4﹣×4×4＝4+4﹣8＝4﹣4，∴＝．故答案为：①③④．五、解答题（共3小题，满分30分）26．（8分）某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．（2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？【解答】解：（1）根据题意得：y＝（30+x﹣20）（230﹣10x）＝﹣10x2+130x+2300，自变量x的取值范围是：0＜x≤10且x为正整数；（2）当y＝2520时，得﹣10x2+130x+2300＝2520，解得x1＝2，x2＝11（不合题意，舍去）当x＝2时，30+x＝32（元）答：每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元．（3）根据题意得：y＝﹣10x2+130x+2300＝﹣10（x﹣6.5）2+2722.5，∵a＝﹣10＜0，∴当x＝6.5时，y有最大值为2722.5，∵0＜x≤10且x为正整数，∴当x＝6时，30+x＝36，y＝2720（元），当x＝7时，30+x＝37，y＝2720（元），答：每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元．27．（10分）如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE＝30°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．【解答】证明：（1）∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC＝120°，∴∠ABD＝∠ACB＝30°，∴∠ABD＝∠ADE＝30°，∵∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠ABD+∠DAB，∴∠EDC＝∠DAB，∴△ABD∽△DCE；（2）如图1，∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，过A作AF⊥BC于F，∴∠AFB＝90°，∵AB＝2，∠ABF＝30°，∴AF＝AB＝1，∴BF＝，∴BC＝2BF＝2，则DC＝2﹣x，EC＝2﹣y．∵△ABD∽△DCE，∴，∴，化简得：y＝x+2（0＜x＜2）；（3）当AD＝DE时，如图2，由（1）可知：此时△ABD≌△DCE，则AB＝CD，即2＝2﹣x，将x＝2﹣2，代入y＝x+2．解得：y＝4﹣2，即AE＝4﹣2，当AE＝ED时，如图3，∠EAD＝∠EDA＝30°，∠AED＝120°，∴∠DEC＝60°，∠EDC＝90°，则ED＝EC，即y＝（2﹣y），解得：y＝，即AE＝，当AD＝AE时，∠AED＝∠EDA＝30°，∠EAD＝120°，此时点D与点B重合，不符合题意，此情况不存在，∴当△ADE是等腰三角形时，AE＝4﹣2或．28．（12分）如图，已知在平面直角坐标系中，四边形OBCD为矩形，B点的坐标为（5，0），D的坐标为（0，4），A为x负半轴上一点，AD＝CD．（1）求直线AC的解析式；（2）若点Q、P分别从点C、A同时出发，点Q沿线段CA向点A运动，点P沿线段AB向点B运动，Q点的速度为每秒个单位长度，P点的速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒，△PQE的面积为S，求S与t的函数关系式（请直接写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，过P点作PQ的垂线交直线CD于点M，在P、Q运动的过程中，是否在平面内有一点N，使四边形QPMN为正方形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵四边形OBCD为矩形，B点的坐标为（5，0），D的坐标为（0，4），∴CD＝5，DO＝4，∴AD＝CD＝5，在Rt△AOD中，由勾股定理得：AO＝＝＝3．∴A（﹣3，0），C（5，4）．设直线AC的解析式为，y＝kx+b，由题意得，解得：．故直线AC的解析式为：y＝x+．（2）∵当x＝0时，y＝，∴E（0，），∴OE＝，∴DE＝．在Rt△CDE和Rt△AOE中，由勾股定理得：CE＝，AE＝，∴AC＝4．∵OA＝3，OB＝5，∴AB＝8，∵BC＝4，∴tan∠BAC＝，sin∠BAC＝，∴当0＜t＜时，S＝﹣＝﹣t2+t；当＜t≤4时，S＝﹣＝t2﹣t．综上所述，S＝；（3）①如图1，作NH⊥CD与H，MG⊥AB与G，QR⊥AB与R，∴∠MHN＝∠MGP＝∠PRQ＝90°，∵四边形QPMN为正方形，∴MP＝MN＝PQ，∠NMP＝∠MPQ＝90°，∴∠NMH＝∠GMP＝∠QPR，在△MHN和△PRQ中，，∴△MHN≌△PRQ（AAS）．∴NH＝QR．在△GMP和△RPQ中，，∴△GMP≌△RPQ（AAS），∴GM＝RP，GP＝QR，∵GM＝OD＝4cm，∴RP＝4cm．∵＝，∴AR＝8﹣2t，∴PR＝8﹣2t﹣2t＝4，∴t＝1，∴AR＝6，AP＝2，∴PO＝1，∵＝，∴QR＝3，∴GO＝4，∴HN＝3，MH＝4，∴H、O在同一直线上，∴N（0，7）；②如图2，作NS⊥CD于S，QH⊥AB于H，MR⊥AB于R，∴∠NSM＝∠QHP＝∠PRM＝90°，∵四边形PQNM是正方形，∴∠QPM＝∠PMN＝90°，PQ＝PM＝MN，∴∠HPQ＝∠PMR＝∠NMS，∴同①可以得出△NSM≌△QHP≌△PRM，∴NS＝QH＝PR，HP＝MR＝SM＝4，∵＝，∴＝，∴AH＝8﹣2t，∴2t﹣（8﹣2t）＝4，∴t＝3，∴AH＝2，HO＝1，∴QH＝SN＝1，OR＝4，∴SM＝OR，∴S在y轴上，∴N（0，5）．综上所述，N点的坐标为：（0，7）或（0，5）．。
2020年人教版九年级上册期中考试数学试卷
2020 年人教版九年级上册期中考试数学试卷一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）1．（3 分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（3 分）用求根公式计算方程 x 2﹣3x +2＝0 的根，公式中 b 的值为（） A ．3 3．（3 分）二次函数 y ＝（x +1）2﹣2 的最小值是（ A ．﹣2 B ．﹣1 C ．1B ．﹣3C ．2D ． ）D ．2 4．（3 分）新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，已知有 1 个人患了新 冠，经过两轮传染后共有 625 个人患了新冠，每轮传染中平均一个人传染m 人，则 m 的值为（A ．24B ．25C ．26D ．275．（3 分）若关于 x 的方程 kx 2﹣x +3＝0 有实数根，则 k 的取值范围是（ A ．k ≤12 B ．k ≤ C ．k ≤12 且 k ≠0 D ．k ≤ 6．（3 分）如图是二次函数 y ＝ax 2+bx +c 的部分图象，则 ax 2+bx +c +4＝0 的解的情况为（） ）且 k ≠0） A ．有唯一解 7．（3 分）设方程 x 2+x ﹣2＝0 的两个根为 α，β，那么 α+β﹣αβ 的值等于（A ．﹣3B ．﹣1C ．1D ．38．（3 分）某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA 喷出，OA 长为 1.5m ．水流在各个B ．有两个解C ．无解D ．无法确定）方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B 到 O 的距离为 3m ．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度 y （m ）与水平距离 x （m ）之间近似满足函 数关系 y ＝ax 2+x +c （a ≠0），则水流喷出的最大高度为（ ）A ．1 米 9．（3 分）对于任意实数 x ，多项式 x 2﹣2x +3 的值是一个（A ．正数B ．负数C ．非负数 B ． 米 C ．2 米D ． 米 ） D ．不能确定10．（3 分）如图 1，是某次比赛中垫球时的动作，若将垫球后排球的运动路线近似的看作抛物线， 在如图 2 所示的平面直角坐标系中，已知运动员垫球时（图中点 A ）离球网的水平距离为 5 米， 排球与地面的垂直距离为 0.5 米，排球在球网上端 0.26 米处（图中点 B ）越过球网（女子排球赛 中球网上端距地面的高度为 2.24 米），落地时（图中点 C ）距球网的水平距离为 2.5 米，则排球 运动路线的函数表达式为（ ）A ．y ＝﹣C ．y ＝ x 2﹣ x + B ．y ＝﹣ x 2+ x + x +x 2﹣ x + D ．y ＝ x 2+ 二．填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分）11．（3 分）将方程 x 2﹣4x ﹣1＝0 配方成（x +a ）2＝b （b ≥0）的形式为12．（3 分）如果函数 是关于 x 的二次函数，那么 k 的值是 13．（3 分）已知，点 A （a ﹣1，3）与点 B （2，﹣2b ﹣1）关于原点对称，则 2a +b ＝． ．． 14．（3 分）已知二次函数 y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图，有下列 5 个结论：①abc ＜0；②3a +c ＞0；③4a +2b +c ＞0；④2a +b ＝0；⑤b 2＞4ac ．其中正确的结论有 个．15．（3 分）为解决民生问题，国家对某药品价格分两次降价，该药品的原价是 48 元，降价后的价格是 30 元，若平均每次降价的百分率均为x，可列方程为．16．（3 分）如图，直线y＝kx+b交坐标轴于A、B两点，交抛物线y＝ax2 于点C（4，3），且C是线段AB的中点，抛物线上另有位于第一象限内的一点P，过P的直线y＝k′x+b′交坐标轴于D、E两点，且P恰好是线段DE的中点，若△AOB∽△DOE，则P点的坐标是．三．解答题（共10小题，满分102分）17．（10 分）解下列方程：（1）2x2﹣3x﹣1＝0（用配方法）；（2）（x+1）（x+3）＝8．18．（10 分）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣1＝0 有实数根．（1）求a的取值范围；（2）当a为符合条件的最大整数时，求此时方程的解．19．（10 分）如图，正方形ABCD的边长为 1，点M、N分别在BC、CD上，且△CMN的周长为 2，求△MAN的面积的最小值．20．（10 分）书籍是人类宝贵的精神财富．读书则是传承优秀文化的通道．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆 128 人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆 608 人次．若进馆人次的月平均增长率相同．（1）求进馆人次的月平均增长率；（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过450 人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．21．（10 分）已知关于 x 的二次函数 y＝x2+bx+c 的图象经过点（3，0），（1，1）．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求出此二次函数的图象的顶点坐标及其与y 轴的交点坐标．22．（10 分）在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系△ABC 是格点三角形（顶点在网格线的交点上）（1）先作△ABC 关于原点 O 成中心对称的△A B C ，再把△A B C 向上平移 4 个单位长度得到1 1 1 1 1 1△A B C ；2 2 2（2）△A B C 与△ABC 关于某点成中心对称，直接写出对称中心的坐标是．2 2 223．（10 分）如图，二次函数y＝（x﹣2）2+m的图象交y轴于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式．（2）抛物线上是否存在点P，使S△ABP＝S△ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．24．（10 分）已知二次函数y＝x2﹣6x+5．（1）将y＝x2﹣6x+5 化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；（3）当x取何值时，y随x的增大而减小．25．（10 分）疫情期间，某防疫物品销售量y（件）与售价x（元）满足一次函数关系，部分对应值如下表：当售价为 70 元时，每件商品能获得 40%的利润．售价x（元）……706560……销售量y（个）300350400（1）求y与x的函数关系式．（2）售价为多少时利润最大？最大利润为多少？（3）由于原材料价格上涨，导致每件商品成本增加a元（a＞0），当售价不低于 70 且不高于 85元时．若最大利润为 5290 元，求a的值．226．（12 分）如图，抛物线y＝x +bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）△APD能否构成直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点P坐标；若不能，请说明理由．2020年人教版九年级上册期中考试数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）1．（3 分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．C．B．D．解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、中心对称图形但不是轴对称图形，故此选项符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．故选：B．2．（3 分）用求根公式计算方程x2﹣3x+2＝0 的根，公式中b的值为（）A．3B．﹣3C．2D．解：用求根公式计算方程x2﹣3x+2＝0 的根，公式中b的值为﹣3，故选：B．3．（3 分）二次函数y＝（x+1）2﹣2 的最小值是（A．﹣2 B．﹣1 C．1）D．2解：二次函数y＝（x+1）2﹣2 的顶点坐标为（﹣1，﹣2），因此当x＝﹣1 时，y＝﹣2，最小故选：A．4．（3 分）新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，已知有 1 个人患了新冠，经过两轮传染后共有 625 个人患了新冠，每轮传染中平均一个人传染m人，则m的值为（A．24 B．25 C．26 D．27解：依题意，得：1+m+m（m+1）＝625，）解得：m＝24，m＝﹣26（不合题意，舍去）．12故选：A．5．（3 分）若关于x的方程kx2﹣x+3＝0 有实数根，则k的取值范围是（A．k≤12 B．k≤C．k≤12 且k≠0 D．k≤）且k≠0解：当 k＝0 时，﹣x+3＝0，解得 x＝3，当 k≠0 时，方程 kx2﹣x+3＝0 是一元二次方程，根据题意可得：△＝1﹣4k×3≥0，解得 k≤，k≠0，综上 k≤，故选：B．6．（3 分）如图是二次函数 y＝ax2+bx+c 的部分图象，则 ax2+bx+c+4＝0 的解的情况为（）A．有唯一解B．有两个解C．无解D．无法确定解：如图，直线 y＝﹣4 与抛物线 y＝ax2+bx+c 没有交点，即 ax2+bx+c+4＝0 的解的情况为：无解．故选：C．7．（3 分）设方程 x2+x﹣2＝0 的两个根为α，β，那么α+β﹣αβ的值等于（A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3）解：∵α，β是方程 x2+x﹣2＝0 的两个根，∴α+β＝﹣1，αβ＝﹣2，∴原式＝﹣1﹣（﹣2）＝1．故选：C．8．（3 分）某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA 喷出，OA 长为 1.5m．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B 到 O 的距离为 3m．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度 y（m）与水平距离 x（m）之间近似满足函数关系 y＝ax2+x+c（a≠0），则水流喷出的最大高度为（）A．1 米B．米C．2 米D．米解：由题意可得，抛物线经过点（0，1.5）和（3，0），把上述两个点坐标代入二次函数表达式得：，解得：，∴函数表达式为：y＝﹣x2+x+ ，＝﹣（x﹣1）2+2，∵a＜0，故函数有最大值，∴当 x＝1 时，y 取得最大值，此时 y＝2，答：水流喷出的最大高度为 2 米．故选：C．9．（3 分）对于任意实数 x，多项式 x2﹣2x+3 的值是一个（）A．正数B．负数C．非负数D．不能确定解：多项式 x2﹣2x+3 变形得 x2﹣2x+1+2＝（x﹣1）2+2，任意实数的平方都是非负数，其最小值是 0，所以（x﹣1）2+2 的最小值是 2，故多项式 x2﹣2x+3 的值是一个正数，故选：A．10．（3 分）如图 1，是某次比赛中垫球时的动作，若将垫球后排球的运动路线近似的看作抛物线，在如图 2 所示的平面直角坐标系中，已知运动员垫球时（图中点 A）离球网的水平距离为 5 米，排球与地面的垂直距离为 0.5 米，排球在球网上端 0.26 米处（图中点 B）越过球网（女子排球赛中球网上端距地面的高度为 2.24 米），落地时（图中点 C）距球网的水平距离为 2.5 米，则排球运动路线的函数表达式为（）A．y＝﹣C．y＝x2﹣x+B．y＝﹣x2+x+x+x2﹣x+D．y＝x2+解：方法一：0.26+2.24＝2.5＝（米）根据题意和所建立的坐标系可知，A（﹣5，），B（0，），C（，0），设排球运动路线的函数关系式为 y＝ax2+bx+c，将 A、B、C 的坐标代入得：，解得，a＝﹣，b＝﹣，c＝，∴排球运动路线的函数关系式为 y＝﹣故选：A．x2﹣x+ ，方法二：排球运动路线的函数关系式为y＝ax2+bx+c，由图象可知，a＜0，a、b 同号，即 b＜0，c ＝，故选：A．二．填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分）11．（3 分）将方程 x2﹣4x﹣1＝0 配方成（x+a）2＝b（b≥0）的形式为（x﹣2）2＝5 ．解：∵x2﹣4x﹣1＝0，∴x2﹣4x＝1，则 x2﹣4x+4＝1+5，即（x﹣2）2＝5，故答案为：（x﹣2）2＝5．12．（3 分）如果函数是关于 x 的二次函数，那么 k 的值是0 ．解：由题意得：k2﹣3k+2＝2，解得 k＝0 或 k＝3；又∵k﹣3≠0，∴k≠3．∴k 的值是 0 时．故答案为：0．13．（3 分）已知，点 A（a﹣1，3）与点 B（2，﹣2b﹣1）关于原点对称，则 2a+b＝﹣1 ．解：∵点 A（a﹣1，3）与点 B（2，﹣2b﹣1）关于原点对称，∴a﹣1＝﹣2，﹣2b﹣1＝﹣3，解得：a＝﹣1，b＝1，∴2a+b＝﹣1，故答案为：﹣1．14．（3 分）已知二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列 5 个结论：①abc＜0；②3a+c ＞0；③4a+2b+c＞0；④2a+b＝0；⑤b2＞4ac．其中正确的结论有 4 个．解：抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴为 x＝1＞0，因此 a、b 异号，所以 b＞0，抛物线与 y 轴交点在正半轴，因此 c＞0，所以 abc＜0，于是①正确；抛物线的对称轴为直线 x＝﹣＝1，因此有 2a+b＝0，故④正确；当 x＝﹣1 时，y＝a﹣b+c＜0，所以 3a+c＜0，故②正确；抛物线与 x 轴有两个不同交点，因此 b2﹣4ac＞0，即 b2＞4ac，故⑤正确；抛物线与 x 轴的一个交点在﹣1 的右边，由对称轴为 x＝1 可知，另一个交点在 3 的左边，不易判断交点在 2 的左边还是右边，因此不易判断当 x＝2 时，y＝4a+2b+c 的值正负，因此③不正确；综上所述，正确的结论有：①②④⑤，故答案为：4．15．（3 分）为解决民生问题，国家对某药品价格分两次降价，该药品的原价是 48 元，降价后的价格是 30 元，若平均每次降价的百分率均为 x，可列方程为48（1﹣x）2＝30 ．解：设平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后的价格为48×（1﹣x），第二次降价后的价格为 48（1﹣x）（1﹣x），由题意，可列方程为 48（1﹣x）2＝30．故答案为：48（1﹣x）2＝30．16．（3 分）如图，直线 y＝kx+b 交坐标轴于 A、B 两点，交抛物线 y＝ax2 于点 C（4，3），且 C 是线段 AB 的中点，抛物线上另有位于第一象限内的一点 P，过P 的直线 y＝k′x+b′交坐标轴于 D、E 两点，且 P 恰好是线段 DE 的中点，若△AOB∽△DOE，则 P 点的坐标是（，）．解：∵抛物线 y＝ax2 经过 C（4，3），∴抛物线的解析式为 y＝x2，∵C 是线段 AB 的中点，∴B（0，6），A（8，0），∵△AOB∽△DOE，∴＝＝，设点 D 的坐标为（0，a），则点 E 的坐标为（a，0），∵点 P 为 DE 的中点，∴点 P 的坐标为（∵点 P 在抛物线 y＝，），x2 上，∴＝×（a）2，解得：a＝6，∴点 P 的坐标为：（4，3）（不符合要求，舍去）．设 D 在 x 轴上，E 在 y 轴上，∵△AOB∽△DOE，∴＝＝，设点 D 的坐标为（a，0），则点 E 的坐标为（0，a），∵点 P 为 DE 的中点，∴点 P 的坐标为（，∵点 P 在抛物线 y＝），x2 上，∴a＝×（a）2，解得：a＝，∴点 P 的坐标为：（故答案为：（，，）．）．三．解答题（共 10 小题，满分 102 分）17．（10 分）解下列方程：（1）2x2﹣3x﹣1＝0（用配方法）；（2）（x+1）（x+3）＝8．解：（1）∵2x2﹣3x＝1，∴x2﹣x＝，则 x2﹣x+∴x﹣＝±＝+，即（x﹣）2＝，，∴x ＝，x ＝；12（2）方程整理为一般式，得：x2+4x﹣5＝0，∴（x+5）（x﹣1）＝0，则x+5＝0 或x﹣1＝0，解得x＝﹣5，x＝1．1218．（10 分）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣1＝0 有实数根．（1）求a的取值范围；（2）当a为符合条件的最大整数时，求此时方程的解．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣1＝0 有实数根，∴△＝（﹣3）2﹣4（a﹣1）＝﹣4a+13≥0，解得：a≤，即a的取值范围是a≤；（2）∵a的取值范围是a≤∴整数a的最大值是 3，，把a＝3 代入方程x2﹣3x+a﹣1＝0 得：x2﹣3x+2＝0，解得：x＝1，x＝2．1219．（10 分）如图，正方形ABCD的边长为 1，点M、N分别在BC、CD上，且△CMN的周长为 2，求△MAN的面积的最小值．解：设DN＝x，BM＝y，∴NC＝1﹣x，MC＝1﹣y，C△NCM＝NC+CM+NM＝2，∴NM＝x+y．将△DNA绕点A顺时针旋转 90°至△ABF，则NM＝MF，AM＝MA，AN＝AF，∴△ANM≌△AFM（SSS）．∴∠NAM＝45°，∠DNA＝∠AFB＝∠ANE．过点A作AE⊥NM，垂足为E，∵∠AEN＝∠D，AN为公共边，∴△DAN≌△EAN（AAS），∴AE＝AD＝1，∵在 Rt△CNM中，由勾股定理得：CN2+CM2＝NM2，∴（1﹣x）2+（1﹣y）2＝（x+y）2，∴化简得：xy+x+y﹣1＝0，①∴S△ANM＝（x+y）②．∵（x﹣y）2≥0，∴（x+y）2≥4xy，∴xy≤，③∴将②③代入①并整理可得S2+2S﹣1≥0，④∴（S+1）2≥2．∵S＞0，∴S≥﹣1，∴△MAN的面积的最小值为﹣1．20．（10 分）书籍是人类宝贵的精神财富．读书则是传承优秀文化的通道．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆 128 人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆 608 人次．若进馆人次的月平均增长率相同．（1）求进馆人次的月平均增长率；（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过450 人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．解：（1）设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：128+128（1+x）+128（1+x）2＝608．化简得：4x2+12x﹣7＝0．∴（2x﹣1）（2x+7）＝0，∴x＝0.5＝50%或x＝﹣3.5（舍）．答：进馆人次的月平均增长率为 50%．（2）∵进馆人次的月平均增长率为 50%，∴第四个月的进馆人次为：128（1+50%）3＝128×＝432＜450．答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．21．（10 分）已知关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（3，0），（1，1）．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求出此二次函数的图象的顶点坐标及其与y轴的交点坐标．解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（3，0），（1，1），∴，解得b＝﹣，c＝．∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x+ ．（2）∵y＝x2﹣x+ ＝（x﹣）2﹣，∴抛物线的顶点坐标为（，﹣）；∵当x＝0 时，y＝，∴与y轴的交点坐标为（0，）．22．（10 分）在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系△ABC是格点三角形（顶点在网格线的交点上）（1）先作△ABC关于原点O成中心对称的△A B C，再把△A B C向上平移 4 个单位长度得到1 1 1 1 1 1△A B C；2 2 2（2）△A B C与△ABC关于某点成中心对称，直接写出对称中心的坐标是（0，2）．2 2 2解：（1）如图，△A B C，△A B C即为所求．1 1 12 2 2（2）△A B C与△ABC关于点M成中心对称，M点坐标是（0，2），2 2 2故答案为（0，2）．23．（10 分）如图，二次函数y＝（x﹣2）2+m 的图象交 y 轴于点 C，点 B 是点 C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数 y＝kx+b 的图象经过该二次函数图象上的点 A（1，0）及点 B．（1）求二次函数与一次函数的解析式．（2）抛物线上是否存在点P，使 S△ABP＝S△ABC？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将点 A（1，0）代入 y＝（x﹣2）2+m 得（1﹣2）2+m＝0，解得 m＝﹣1．所以二次函数解析式为 y＝（x﹣2）2﹣1；当 x＝0 时，y＝4﹣1＝3，所以 C 点坐标为（0，3），由于 C 和 B 关于对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线 x＝2，所以 B 点坐标为（4，3），将 A（1，0）、B（4，3）代入 y＝kx+b 得，解得．所以一次函数解析式为 y＝x﹣1；（2）存在，理由如下：∵S△ABP＝S△ABC，∴C 到直线 AB 的距离为 P 到直线 AB 距离相等，过C点作AB的平行线CD，∴直线CD的解析式为y＝x+3，解得或，∴P点坐标为（0，3）或（5，8）．24．（10 分）已知二次函数y＝x2﹣6x+5．（1）将y＝x2﹣6x+5 化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；（3）当x取何值时，y随x的增大而减小．解：（1）y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4；（2）二次函数的图象的对称轴是x＝3，顶点坐标是（3，﹣4）；（3）∵抛物线的开口向上，对称轴是x＝3，∴当x≤3 时，y随x的增大而减小．25．（10 分）疫情期间，某防疫物品销售量y（件）与售价x（元）满足一次函数关系，部分对应值如下表：当售价为 70 元时，每件商品能获得 40%的利润．售价x（元）……706560……销售量y（个）300350400（1）求y与x的函数关系式．（2）售价为多少时利润最大？最大利润为多少？（3）由于原材料价格上涨，导致每件商品成本增加a元（a＞0），当售价不低于 70 且不高于 85元时．若最大利润为 5290 元，求a的值．解：（1）设一次函数的表达式为y＝kx+b，将（70，300）、（65，350）代入上式得故y与x的函数关系式为y＝﹣10x+1000；，解得，（2）当售价为 70 元时，每件商品能获得 40%的利润，则商品的进价为 70÷1.4＝50（元），设销售利润为w（元），则w＝y（x﹣50）＝（﹣10x+1000）（x﹣50）＝﹣10（x﹣100）（x﹣50），∵﹣10＜0，故w有最大值，当x＝（100+50）＝75（元）时，最大利润为 6250（元），故售价为 75 元时，利润最大，最大利润为 6250 元；（3）设销售利润为w（元），由题意得：w＝y（x﹣50﹣a）＝（﹣10x+1000）（x﹣50﹣a）＝﹣10（x﹣100）（x﹣50﹣a）（70≤x≤85），函数的对称轴为x＝（100+50+a）＝75+ a，∵﹣10＜0，抛物线开口向下，函数有最大值，①当 57+ a＞85 时，则x＝85 时，w＝﹣10（85﹣100）（85﹣50﹣a）＝5290，解得a≈﹣0.7（舍去）；最大值②当 57+ a≤85 时，则x＝75+ a时，w＝﹣10（75+ a﹣100）（75+ a﹣50﹣a）＝5290，解得a＝4 或 96（舍最大值去 96），故a＝4．26．（12 分）如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）△APD能否构成直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点P坐标；若不能，请说明理由．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），∴，解得，∴抛物线解析式为 y＝x2﹣4x+3；（3）①∠APD 是直角时，点 P 与点 B 重合，此时，点 P（1，0），②∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），∵A（3，0），∴点 P 为在抛物线顶点时，∠P AD＝45°+45°＝90°，此时，点 P（2，﹣1），综上所述，点 P（1，0）或（2，﹣1）时，△APD 能构成直角三角形．则w＝y（x﹣50）＝（﹣10x+1000）（x﹣50）＝﹣10（x﹣100）（x﹣50），∵﹣10＜0，故w有最大值，当x＝（100+50）＝75（元）时，最大利润为 6250（元），故售价为 75 元时，利润最大，最大利润为 6250 元；（3）设销售利润为w（元），由题意得：w＝y（x﹣50﹣a）＝（﹣10x+1000）（x﹣50﹣a）＝﹣10（x﹣100）（x﹣50﹣a）（70≤x≤85），函数的对称轴为x＝（100+50+a）＝75+ a，∵﹣10＜0，抛物线开口向下，函数有最大值，①当 57+ a＞85 时，则x＝85 时，w＝﹣10（85﹣100）（85﹣50﹣a）＝5290，解得a≈﹣0.7（舍去）；最大值②当 57+ a≤85 时，则x＝75+ a时，w＝﹣10（75+ a﹣100）（75+ a﹣50﹣a）＝5290，解得a＝4 或 96（舍最大值去 96），故a＝4．26．（12 分）如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）△APD能否构成直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点P坐标；若不能，请说明理由．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），∴，解得，∴抛物线解析式为 y＝x2﹣4x+3；（3）①∠APD 是直角时，点 P 与点 B 重合，此时，点 P（1，0），②∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），∵A（3，0），∴点 P 为在抛物线顶点时，∠P AD＝45°+45°＝90°，此时，点 P（2，﹣1），综上所述，点 P（1，0）或（2，﹣1）时，△APD 能构成直角三角形．。
四川省成都市成华区石室中学北湖校区2020-2021学年九年级上学期期中考试数学试卷
2020-2021学年四川省成都市成华区石室中学北湖校区九年级（上）期中数学试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．若斜坡AB的坡度i＝1：，那么坡角α＝（）A．30°B．45°C．60°D．75°2．下列说法正确的是（）①平行四边形的对角线互相平分；②菱形的四个内角相等；③矩形的对角线相等且互相垂直；④正方形具有矩形和菱形的所有性质．A．①④B．①③C．②④D．③④3．点M（﹣sin60°，cos60°）关于x轴对称的点的坐标是（）A．（）B．（﹣）C．（﹣）D．（﹣）4．如图，AB∥CD，AD与BC交于点E，且＝，则为（）A．B．3C．D．5．小华、小强和小彬三位同学随机地站成一排做游戏，小华站在排头的概率是（）A．B．C．D．16．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+（2m﹣1）x+m2﹣4＝0的一个根是0，则m的值是（）A．2B．﹣2C．2或﹣2D．7．已知一次函数y＝kx+5，y随x的增大而减小．下列关于反比例函数y＝的描述，其中正确的是（）A．当x＞0时，y＞0B．y随x的增大而增大C．y随x的增大而减小D．图象在第二、四象限8．函数y＝ax﹣a与y＝（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AO＝3，∠ABC＝60°，则菱形ABCD 的面积是（）A．18B．18C．36D．3610．成都西站至成飞工业园之间在建的9号地铁，现有甲、乙两个工程队从两头开始施工，已知，每天甲队比乙队多修8米，甲施工150米所用的时间与乙施工120米所用的时间相等，设甲每天施工x米，下列方程正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11．（4分）若，则＝．12．（4分）已知点A（2，y1），B（3，y2）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，用“＜”连接y1，y2：．13．（4分）已知α为锐角，且满足sin（α+15°）＝，则tanα＝．14．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E、F．求PE+PF＝．三、解答题.（本大题共6小题，共54分）15．（10分）完成下列小题．（1）计算：|﹣2|+（sin36°﹣）0﹣+tan45°．（2）用配方法解方程：4x2﹣12x﹣1＝0．16．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，当x＝2019时，求代数式的值．17．（9分）现有四张完全相同的不透明卡片，其正面分别写有数字﹣2，﹣1，0，2，把这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．（1）随机的取一张卡片，求抽取的卡片上的数字为非负数的概率．（2）先随机抽取一张卡片，其上的数字作为点A的横坐标；然后放回并洗匀，再随机抽取一张卡片，其上的数字作为点A的纵坐标，用列表的方法求出点A在直线y＝2x+2上的概率．18．（8分）石室联合中学金沙校区位于三环跨线桥旁边，为了不影响学生上课，市政在桥旁安装了隔音墙，交通局也对此路段设置了限速，九年级学生为了测量汽车速度做了如下实验：在桥上依次取B、C、D三点，再在桥外确定一点A，使得AB⊥BD，测得AB 之间15米，使得∠ADC＝30°，∠ACB＝60°．（1）求CD的长（精确到0.1，≈1.73，≈1.41）．（2）交通局对该路段限速30千米/小时，汽车从C到D用时2秒，汽车是否超速？说明理由．19．（9分）如图，在平面直角坐标系中，函数y1＝（k1＞0，x＞0）的图象与等边△OAB 的边OA，AB分别交于点M，N，且OM＝2MA，AM所在直线y2＝k2x，若AB＝3，求：（1）求反比例函数及直线AM的解析式；（2）直接写出当y1＞y2时x的范围；（3）求△ONB的面积．20．（10分）如图1，在矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E为直角顶点的Rt△EFG的两边EF，EG分别过点B，C，∠F＝30°．（1）求证：BE＝CE．（2）如图2，将△EFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动，若EF，EG分别与AB，BC相交于点M，N．①求证：△BEM≌△CEN．②若AB＝kCN，求当△BMN面积最大时，k的值．③当旋转停止时，点B恰好在FG上（如图3），求sin∠EBG的值．四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）21．（4分）已知a，b是一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两实数根，则+＝．22．（4分）对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b＝a2﹣ab，例如，5※3＝52﹣5×3＝10．若（x+1）※（x﹣2）＝6，则x的值为．23．（4分）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是．24．（4分）如图，菱形ABCD顶点A在函数y＝（x＞0）的图象上，函数y＝（k＞3，x＞0）的图象关于直线AC对称，且经过点B，D两点，若AB＝2，∠BAD＝30°，则k ＝．25．（4分）如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．①矩形DEFG 是正方形；②△GAF∽△CED；③AE+AG＝AD；④若F为AB中点，连接DF交AC 于点M，则EM＝，正确的有（填序号）．五、解答题（本大题共3小题，共30分）26．（10分）某专卖店为了清理商品库存，对原来平均每天可销售40件，每件盈利60元的商品，进行降价处理，现每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件．（1）每件商品降价多少元时，该商店日盈利可达到3150元？（2）试问，商店日盈利能否达到3300元？若能请求出此时商品售价，若不能，请说明理由．27．（10分）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D是线段AC上一点，连接BD过点C作CE⊥BD于点E，点F是AB垂直平分线上一点，连接BF、EF，BF与EC交于点G．（1）当F在AC边上时，①求证：△ADB≌△BGC．②若AD＝2，AB＝6，求BE的长．（2）如图2，若∠BDC＝75°，当∠AFB＝30°时，求（）2的值．28．（10分）如图1，在矩形ABCD中，BC＝3，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度，沿射线BC方向移动，作△P AB关于直线P A的对称△P AB′，设点P的运动时间为t（s）．（1）若AB＝2．①如图2，当点B′落在AC上时，显然△P AB′是直角三角形，求此时t的值；②是否存在异于图2的时刻，使得△PCB′是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t的值？若不存在，请说明理由．（2）当P点不与C点重合时，若直线PB′与直线CD相交于点M，且当t＜3时存在某一时刻有结论∠P AM＝45°成立，试探究：对于t＞3的任意时刻，结论“∠P AM＝45°”是否总是成立？请说明理由．2020-2021学年四川省成都市成华区石室中学北湖校区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．若斜坡AB的坡度i＝1：，那么坡角α＝（）A．30°B．45°C．60°D．75°【分析】根据斜坡AB的坡度i＝1：，可得tanα＝，然后求出α的度数．【解答】解：∵斜坡AB的坡度i＝1：，∴tanα＝，∴∠α＝30°．故选：A．2．下列说法正确的是（）①平行四边形的对角线互相平分；②菱形的四个内角相等；③矩形的对角线相等且互相垂直；④正方形具有矩形和菱形的所有性质．A．①④B．①③C．②④D．③④【分析】平行四边形的对角线互相平分；菱形的四个内角不相等；矩形的对角线相等且互相平分；正方形具有矩形和菱形的所有性质．【解答】解：平行四边形的对角线互相平分，故①正确．菱形的四个内角不相等，故②错误．矩形的对角线相等且互相平分，但不垂直，故③错误．正方形具有矩形和菱形的所有性质，故④正确．故选：A．3．点M（﹣sin60°，cos60°）关于x轴对称的点的坐标是（）A．（）B．（﹣）C．（﹣）D．（﹣）【分析】先根据特殊三角函数值求出M点坐标，再根据对称性解答．【解答】解：∵sin60°＝，cos60°＝，∴点M（﹣）．∵点P（m，n）关于x轴对称点的坐标P′（m，﹣n），∴M关于x轴的对称点的坐标是（﹣）．故选：B．4．如图，AB∥CD，AD与BC交于点E，且＝，则为（）A．B．3C．D．【分析】证明△EAB∽△EDC，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．【解答】解：∵，∴，∵AB∥CD，∴△EAB∽△EDC，∴，∴．故选：C．5．小华、小强和小彬三位同学随机地站成一排做游戏，小华站在排头的概率是（）A．B．C．D．1【分析】先利用列表法展示所以6种等可能的结果，其中小华站在排头的的结果占2个，然后根据概率定义求解．【解答】解；如图所示：共有6种等可能的结果，小华站在排头的结果有2个，∴小华站在排头的概率为＝；故选：B．6．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+（2m﹣1）x+m2﹣4＝0的一个根是0，则m的值是（）A．2B．﹣2C．2或﹣2D．【分析】把x＝0代入已知方程，列出关于m的新方程，通过解新方程即可求得m的值．注意，二次项系数不等于零．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+（2m﹣1）x+m2﹣4＝0的一个根为0，∴x＝0满足该方程，∴m2﹣4＝0，且m﹣2≠0，解得m＝﹣2．故选：B．7．已知一次函数y＝kx+5，y随x的增大而减小．下列关于反比例函数y＝的描述，其中正确的是（）A．当x＞0时，y＞0B．y随x的增大而增大C．y随x的增大而减小D．图象在第二、四象限【分析】根据一次函数y＝kx+5，y随x的增大而减小，可以得到k＜0，从而可以得到k ﹣5＜0，然后根据反比例函数的性质，即可判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：∵一次函数y＝kx+5，y随x的增大而减小，∴k＜0，∴k﹣2＜0，∴反比例函数y＝的图象在第二、四象限，故选项D正确；当x＞0时，反比例函数y＝的函数值y＜0，故选项A错误；在每个象限内，y随x的增大而增大，故选项B错误、选项C错误；故选：D．8．函数y＝ax﹣a与y＝（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】当反比例函数图象分布在第一、三象限，则a＞0，然后根据一次函数图象与系数的关系对A、B进行判断；当反比例函数图象分布在第二、四象限，则a＜0，然后根据一次函数图象与系数的关系对C、D进行判断．【解答】解：A、从反比例函数图象得a＞0，则对应的一次函数y＝ax﹣a图象经过第一、三、四象限，所以A选项错误；B、从反比例函数图象得a＞0，则对应的一次函数y＝ax﹣a图象经过第一、三、四象限，所以B选项错误；C、从反比例函数图象得a＜0，则对应的一次函数y＝ax﹣a图象经过第一、二、四象限，所以C选项错误；D、从反比例函数图象得a＜0，则对应的一次函数y＝ax﹣a图象经过第一、二、四象限，所以D选项正确．故选：D．9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AO＝3，∠ABC＝60°，则菱形ABCD 的面积是（）A．18B．18C．36D．36【分析】只要证明△ABC是正三角形，由三角函数求出BO，即可求出BD的长，进而解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD菱形，∴AC⊥BD，BD＝2BO，AB＝BC，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是正三角形，∴∠BAO＝60°，∴BO＝tan60°•AO＝3，∴BD＝6．∴菱形ABCD的面积＝，故选：B．10．成都西站至成飞工业园之间在建的9号地铁，现有甲、乙两个工程队从两头开始施工，已知，每天甲队比乙队多修8米，甲施工150米所用的时间与乙施工120米所用的时间相等，设甲每天施工x米，下列方程正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合甲队修筑150米与乙队修筑120米所用的时间相等，即可得出关于x的分式方程．【解答】解：根据题意得，＝，故选：C．二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11．（4分）若，则＝．【分析】直接利用已知变形进而得出a，b之间的关系．【解答】解：∵，∴3（a+2b）＝7（b﹣a），故3a+6b＝7b﹣7a，∴10a＝b，则＝．故答案为：．12．（4分）已知点A（2，y1），B（3，y2）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，用“＜”连接y1，y2：y2＜y1．【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点解答．【解答】解：∵反比例函数y＝（k＞0）中，k＞0，∴此函数图象在一、三象限，在每个象限y随x的增大而减小，∵2＜3，∴y2＜y1．故答案为y2＜y1．13．（4分）已知α为锐角，且满足sin（α+15°）＝，则tanα＝1．【分析】根据特殊锐角的三角函数值，求出α+15°，进而求出锐角α，再求tanα的值即可．【解答】解：∵sin60°＝，∴α+15°＝60°，∴α＝45°，∴tanα＝tan45°＝1，故答案为：1．14．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E、F．求PE+PF＝．【分析】首先连接OP．由矩形ABCD的两边AB＝3，BC＝4，可求得OA＝OD＝，S△AOD＝S矩形ABCD＝3，然后由S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA•PE+OD•PF＝OA （PE+PF）＝×（PE+PF）＝3，求得答案．【解答】解：连接OP，如图所示：∵矩形ABCD的两边AB＝3，BC＝4，∴S矩形ABCD＝AB•BC＝12，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC＝＝5，∴S△AOD＝S矩形ABCD＝3，OA＝OD＝，∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA•PE+OD•PF＝OA（PE+PF）＝×（PE+PF）＝3，∴PE+PF＝，故答案为：．三、解答题.（本大题共6小题，共54分）15．（10分）完成下列小题．（1）计算：|﹣2|+（sin36°﹣）0﹣+tan45°．（2）用配方法解方程：4x2﹣12x﹣1＝0．【分析】（1）根据绝对值的意义，零指数幂的定义，数的开方法则以及特殊角的三角函数的值代入计算即可；（2）方程利用完全平方公式变形，开方即可求出解．【解答】解：（1）原式＝2+1﹣2+1＝2；（2）4x2﹣12x﹣1＝0，方程两边同除以4，变形得x2﹣3x＝，配方，得x2﹣3x+＝+，即（x﹣）2＝，开方得：x﹣＝±，解得：x1＝，x2＝．16．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，当x＝2019时，求代数式的值．【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把x＝2019代入计算，得到答案．【解答】解：原式＝（﹣）÷＝•＝，当x＝2019时，原式＝．17．（9分）现有四张完全相同的不透明卡片，其正面分别写有数字﹣2，﹣1，0，2，把这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．（1）随机的取一张卡片，求抽取的卡片上的数字为非负数的概率．（2）先随机抽取一张卡片，其上的数字作为点A的横坐标；然后放回并洗匀，再随机抽取一张卡片，其上的数字作为点A的纵坐标，用列表的方法求出点A在直线y＝2x+2上的概率．【分析】（1）由概率公式即可得出结果；（2）直接利用列表法法列举出所有可能进而得出答案．【解答】解：（1）∵四张完全相同的不透明卡片，其正面分别写有数字﹣2，﹣1，0，2，非负数有0和2共2张，∴随机的取一张卡片，抽取的卡片上的数字为非负数的概率为＝；（2）列表如下：共有16个可能的结果，点A在直线y＝2x+2上的结果有3个，即（﹣2，﹣2），（﹣1，0），（0，2），∴点A在直线y＝2x+2上的概率为．18．（8分）石室联合中学金沙校区位于三环跨线桥旁边，为了不影响学生上课，市政在桥旁安装了隔音墙，交通局也对此路段设置了限速，九年级学生为了测量汽车速度做了如下实验：在桥上依次取B、C、D三点，再在桥外确定一点A，使得AB⊥BD，测得AB 之间15米，使得∠ADC＝30°，∠ACB＝60°．（1）求CD的长（精确到0.1，≈1.73，≈1.41）．（2）交通局对该路段限速30千米/小时，汽车从C到D用时2秒，汽车是否超速？说明理由．【分析】（1）根据特殊角三角函数先求出BC和BD的长，进而可得CD的长；（2）先进行单位换算，再用路程除以时间求出速度进行比较即可．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，AB＝15米，∴BC＝＝＝5米，在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，∠ADB＝30°，∴BD＝AB＝15米，∴CD＝BD﹣BC＝10≈17.3米，∴CD的长为17.3米；（2）∵30千米/小时＝30000÷3600＝米/秒，而10÷2≈8.66＞，∴汽车超速．19．（9分）如图，在平面直角坐标系中，函数y1＝（k1＞0，x＞0）的图象与等边△OAB 的边OA，AB分别交于点M，N，且OM＝2MA，AM所在直线y2＝k2x，若AB＝3，求：（1）求反比例函数及直线AM的解析式；（2）直接写出当y1＞y2时x的范围；（3）求△ONB的面积．【分析】（1）根据等边三角形的性质和已知条件，可求出OM，通过作垂线，利用解直角三角形，求出点M的坐标，进而确定反比例函数及直线AM的解析式；（2）根据图象即可求得；（3）设OC＝a，则BC＝3﹣a，NC＝，而在Rt△BCN中，NC＝BC，即可得出＝（3﹣a），求得a的值，即可求得N的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得结果．【解答】解：（1）过点N、M分别作NC⊥OB，MD⊥OB，垂足为C、D，∵△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝OB＝3，∠AOB＝60°∵又OM＝2MA，∴OM＝2，MA＝1，在Rt△MOD中，OD＝OM＝1，MD＝＝＝，∴M（1，），把M（1，）代入y1＝得，k1＝1×＝∴反比例函数的关系式为：y1＝，把M（1，）代入y2＝k2x，得k2＝，∴直线AM的解析式为y2＝x；（2）由图象可知，当y1＞y2时x的范围是0＜x＜1；（3）设OC＝a，则BC＝3﹣a，NC＝，在Rt△BCN中，NC＝BC，∴＝（3﹣a），解得：a＝或a＝（舍去）∴＝＝，∴N（，），∵OA＝AB＝OB＝3，∴S△ONB＝OB•y N＝＝．20．（10分）如图1，在矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E为直角顶点的Rt△EFG的两边EF，EG分别过点B，C，∠F＝30°．（1）求证：BE＝CE．（2）如图2，将△EFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动，若EF，EG分别与AB，BC相交于点M，N．①求证：△BEM≌△CEN．②若AB＝kCN，求当△BMN面积最大时，k的值．③当旋转停止时，点B恰好在FG上（如图3），求sin∠EBG的值．【分析】（1）利用SAS定理证明△BAE≌△CDE，根据全等三角形的性质证明结论；（2）①根据等腰直角三角形的性质得到∠EBC＝∠ECB＝45°，进而得到∠BEM＝∠CEN，利用ASA定理证明△BEM≌△CEN；②根据三角形的面积公式得到S△BMN＝﹣（x﹣a）2+，根据二次函数的性质解答；③作EH⊥BG于H，设NG＝m，根据直角三角形的性质、勾股定理用m表示出BN、BG，根据三角形的面积公式用m表示出EH，根据正弦的定义计算，得到答案．【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，∵E是AD中点，∴AE＝DE，∴△BAE≌△CDE（SAS），∴BE＝CE；（2）①证明：如图2，由（1）可知，△EBC是等腰直角三角形，∴∠EBC＝∠ECB＝45°，∵∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠EBM＝∠ECN＝45°，∵∠MEN＝∠BEC＝90°，∴∠MEN﹣∠BEN＝∠BEC﹣∠BEN，即∠BEM＝∠CEN，∵EB＝EC，在△BEM和△CEN中，，∴△BEM≌△CEN（ASA）；②解：设AB＝a，∵∠ABE＝45°，∠A＝90°，∴AE＝AB＝a，∴BC＝AD＝2a，∵△BEM≌△CEN，∴BM＝CN，设BM＝CN＝x，则BN＝2a﹣x，∴S△BMN＝•x（2a﹣x）＝﹣（x﹣a）2+，∵﹣＜0，∴x＝a时，△BMN的面积最大，此时AB＝CN，即k＝1；③解：如图3，作EH⊥BG于H，∵EF∥BN，∴∠GBN＝∠F＝30°，设NG＝m，则BG＝2m，由勾股定理得，BN＝EN＝＝m，则EB＝EN＝m，∴EG＝EN+NG＝（+1）m，∵S△EBG＝×EG×BN＝×BG×EH，∴×（+1）m×m＝×2m×EH，解得，EH＝m，在Rt△EBH中，sin∠EBG＝＝＝．四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）21．（4分）已知a，b是一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两实数根，则+＝3．【分析】根据方程的系数结合根与系数的关系，可得出a+b＝﹣，ab＝﹣，将其代入+＝中即可求出结论．【解答】解：∵a，b是一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两实数根，∴a+b＝﹣，ab＝﹣，∴+＝＝＝3．故答案为：3．22．（4分）对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b＝a2﹣ab，例如，5※3＝52﹣5×3＝10．若（x+1）※（x﹣2）＝6，则x的值为1．【分析】根据题意列出方程，解方程即可．【解答】解：由题意得，（x+1）2﹣（x+1）（x﹣2）＝6，整理得，3x+3＝6，解得，x＝1，故答案为：1．23．（4分）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是2．【分析】首先连接BE，由题意易得BF＝CF，△ACP∽△BDP，然后由相似三角形的对应边成比例，易得DP：CP＝1：3，即可得PF：CF＝PF：BF＝1：2，在Rt△PBF中，即可求得tan∠BPF的值，继而求得答案．【解答】解：如图，连接BE，∵四边形BCED是正方形，∴DF＝CF＝CD，BF＝BE，CD＝BE，BE⊥CD，∴BF＝CF，根据题意得：AC∥BD，∴△ACP∽△BDP，∴DP：CP＝BD：AC＝1：3，∴DP：DF＝1：2，∴DP＝PF＝CF＝BF，在Rt△PBF中，tan∠BPF＝＝2，∵∠APD＝∠BPF，∴tan∠APD＝2．方法二：如图，取格点H，连接AH，BH，证明∠AHB＝90°，CD∥BH，可得∠APD＝∠ABH，∴tan∠APD＝tan∠ABH＝＝2．故答案为：2．24．（4分）如图，菱形ABCD顶点A在函数y＝（x＞0）的图象上，函数y＝（k＞3，x＞0）的图象关于直线AC对称，且经过点B，D两点，若AB＝2，∠BAD＝30°，则k ＝6+2．【分析】连接OC，AC，过A作AE⊥x轴于点E，延长DA与x轴交于点F，过点D作DG⊥x轴于点G，得O、A、C在第一象限的角平分线上，求得A点坐标，进而求得D 点坐标，便可求得结果．【解答】解：连接OC，AC，过A作AE⊥x轴于点E，延长DA与x轴交于点F，过点D 作DG⊥x轴于点G，∵函数y＝（k＞3，x＞0）的图象关于直线AC对称，∴O，A，C三点在同直线上，且∠COE＝45°，∴OE＝AE，不妨设OE＝AE＝a，则A（a，a），∵点A在在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴a2＝3，∴a＝，∴AE＝OE＝，∵∠BAD＝30°，∴∠OAF＝∠CAD＝∠BAD＝15°，∵∠OAE＝∠AOE＝45°，∴∠EAF＝30°，∴AF＝，EF＝AE tan30°＝1，∵AB＝AD＝2，AE∥DG，∴EF＝EG＝1，DG＝2AE＝2，∴OG＝OE+EG＝+1，∴D（+1，2），故答案为：6+2．25．（4分）如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．①矩形DEFG 是正方形；②△GAF∽△CED；③AE+AG＝AD；④若F为AB中点，连接DF交AC 于点M，则EM＝，正确的有①③④（填序号）．【分析】①由“ASA”可证△EQD≌△ENF，可得ED＝EF，可证矩形DEFG是正方形；②由“SAS”可证△ADG≌△CDE，可得∠DAG＝∠DCE＝45°，进而可得∠GAF＝135°，由三角形内角和定理可求∠DEC＜135°，则△GAF与△CED不相似；③由全等三角形的性质可得AG＝CE，由正方形的性质可求解；④由勾股定理可求DF的长，通过证明△DCM∽△F AM，可求HM的长，由勾股定理可求EM的长．【解答】解：如图，作EQ⊥AD于Q，EN⊥AB于N，∵四边形BACD为正方形，∴∠EAD＝∠EAB，EQ＝EN，∵∠EQA＝∠EQD＝∠DAB＝90°，∴四边形ANEQ是矩形，∴∠QEN＝90°，∵EF⊥ED，∴∠DEF＝90°，∴∠DEQ＝∠FEN，在△EQD和△ENF中，，∴△EQD≌△ENF（ASA），∴ED＝EF，∵四边形DEFG是矩形，∴四边形DEFG是正方形，故①正确；∵四边形DEFG是正方形，∴DG＝DE，∵∠GDE＝∠ADC＝90°，∴∠ADG＝∠CDE，又∵AD＝DC，∴△ADG≌△CDE（SAS），∴∠DAG＝∠DCE＝45°，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAB＝135°，∵∠DEC+∠DCE+∠CDE＝180°，∴∠DEC＜135°，∴∠DAF≠∠DEC，∴△GAF与△CED不相似，故②错误；∵△ADG≌△CDE，∴AG＝CE，∴AE+AG＝AE+CE＝AC，∵四边形ABCD是正方形，∴AC＝AD，∴AE+AG＝AD，故③正确；如图，过点E作EH⊥DF于H，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝4，AB∥CD，∵点F是AB中点，∴AF＝FB，∴DF＝＝＝2，∵△DEF是等腰直角三角形，∴DH＝HF＝EH＝DF＝，∵AB∥CD，∴△DCM∽△F AM，∴，∴MF＝DM，∴DM＝×2＝，∴HM＝，∴EM＝＝＝，故④正确；故答案为①③④．五、解答题（本大题共3小题，共30分）26．（10分）某专卖店为了清理商品库存，对原来平均每天可销售40件，每件盈利60元的商品，进行降价处理，现每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件．（1）每件商品降价多少元时，该商店日盈利可达到3150元？（2）试问，商店日盈利能否达到3300元？若能请求出此时商品售价，若不能，请说明理由．【分析】（1）设每件商品降价x元时，商场日盈利可达到3150元，则商场每天多销售2x 件，根据“某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件”，列出关于x的一元二次方程，解之即可，（2）设每件商品降价y元时，商场日盈利可达到3300元，则商场每天多销售2y件，根据“某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件”，列出关于y的一元二次方程，结合判别式公式，判断该方程根的情况，即可得到答案．【解答】解：（1）设每件商品降价x元时，商场日盈利可达到3150元，则商场每天多销售2x件，根据题意得：（60﹣x）（40+2x）＝3150，整理得：x2﹣40x+375＝0，解得：x1＝15，x2＝25，∵清理商品库存，∴x＝25，答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到3150元；（2）设每件商品降价y元时，商场日盈利可达到3300元，则商场每天多销售2y件，根据题意得：（60﹣y）（40+2y）＝3300，整理得：y2﹣40y+450＝0，∵△＝1600﹣1800＝﹣200＜0，∴该方程无实数根，即商场日盈利不能达到3300元，答：商场日盈利不能达到3300元．27．（10分）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D是线段AC上一点，连接BD过点C作CE⊥BD于点E，点F是AB垂直平分线上一点，连接BF、EF，BF与EC交于点G．（1）当F在AC边上时，①求证：△ADB≌△BGC．②若AD＝2，AB＝6，求BE的长．（2）如图2，若∠BDC＝75°，当∠AFB＝30°时，求（）2的值．【分析】（1）①由“SAS”可证△ABD≌△CBE；②由全等三角形的性质可求AD＝BG ＝2，BD＝CG，由勾股定理可求EG，BE的长；（2）延长BD交AF于N，作EH⊥BF于H，连接NG，设BE＝a，则BN＝2a，CE＝a，EH＝a＝HG，NG＝BG＝a，利用参数a表示出EF2，CE2，即可求解．【解答】证明：（1）①∵CE⊥BD，∴∠ABC＝∠BEC＝90°，∴∠ABD+∠DBC＝90°，∠DBC+∠BCE＝90°，∴∠ABD＝∠BCE，∵∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝45°，∵点F是AB垂直平分线上一点，∴AF＝BF，∴∠ABF＝∠BAF＝∠FBC＝45°，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS）；（2）∵△ABD≌△CBE，∴AD＝BG＝2，BD＝CG，∵BC＝AB＝6，∠ABC＝90°，CE⊥BD，∴AF＝BF＝CF＝6，∴DF＝AF﹣AD＝4，∴BD＝＝＝2，∴CG＝BD＝2，∵BE2+CE2＝BC2，BE2+EG2＝BG2，∴72﹣（2+EG）2＝4﹣EG2，∴EG＝，∴BE＝＝＝；（3）如图2，延长BD交AF于N，作EH⊥BF于H，连接NG，∵∠AFB＝30°，点F是AB垂直平分线上一点，∴∠BAF＝∠ABF＝75°，∵∠BDC＝75°＝∠ADN，∠DAN＝∠BAF﹣∠BAC＝30°，∴∠ANB＝75°＝∠BAF，∴AB＝NB，∠ABN＝180°﹣2×75°＝30°，∴∠NBF＝∠ANB﹣∠AFB＝45°，∠NBC＝60°，又∵CE⊥BE，∴BE＝BC＝BN＝EN，∴GE垂直平分BN，∴BG＝GN，∴∠BNG＝∠NBG＝45°，∴NG⊥BF，设BE＝a，则BN＝2a，CE＝a，EH＝a＝HG，NG＝BG＝a，∵∠NFG＝30°，∴GF＝GN＝a，∴HF＝a+a，∴EF2＝EH2+HF2＝（a）2+（a+a）2＝（7+2）a2，∴（）2＝＝＝．28．（10分）如图1，在矩形ABCD中，BC＝3，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度，沿射线BC方向移动，作△P AB关于直线P A的对称△P AB′，设点P的运动时间为t（s）．（1）若AB＝2．①如图2，当点B′落在AC上时，显然△P AB′是直角三角形，求此时t的值；②是否存在异于图2的时刻，使得△PCB′是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t的值？若不存在，请说明理由．（2）当P点不与C点重合时，若直线PB′与直线CD相交于点M，且当t＜3时存在某一时刻有结论∠P AM＝45°成立，试探究：对于t＞3的任意时刻，结论“∠P AM＝45°”是否总是成立？请说明理由．【分析】（1）①利用勾股定理求出AC，由△PCB′∽△ACB，推出＝，即可解决问题．②分三种情形分别求解即可：如图2﹣1中，当∠PCB′＝90°时．如图2﹣2中，当∠PCB′＝90°时．如图2﹣3中，当∠CPB′＝90°时．（2）如图3﹣2中，首先证明四边形ABCD是正方形，如图3﹣2中，利用全等三角形的性质，翻折不变性即可解决问题．【解答】解：（1）①如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴AC＝＝，∵∠PCB′＝∠ACB，∠PB′C＝∠ABC＝90°，∴△PCB′∽△ACB，∴＝，∴＝，∴PB′＝2﹣4．∴t＝PB＝2﹣4．②如图2﹣1中，当∠PCB′＝90°时，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，∴DB′＝＝，∴CB′＝CD﹣DB′＝，在Rt△PCB′中，∵B′P2＝PC2+B′C2，∴t2＝（）2+（3﹣t）2，∴t＝2．如图2﹣2中，当∠PCB′＝90°时，在Rt△ADB′中，DB′＝＝，∴CB′＝3在Rt△PCB′中则有：，解得t＝6．如图2﹣3中，当∠CPB′＝90°时，易证四边形ABP′为正方形，易知t＝2．综上所述，满足条件的t的值为2s或6s或2s．（2）如图3﹣1中，∵∠P AM＝45°∴∠2+∠3＝45°，∠1+∠4＝45°又∵翻折，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，又∵∠ADM＝∠AB′M，AM＝AM，∴△AMD≌△AMB′（AAS），∴AD＝AB′＝AB，即四边形ABCD是正方形，如图，设∠APB＝x．∴∠P AB＝90°﹣x，∴∠DAP＝x，易证△MDA≌△B′AM（HL），∴∠BAM＝∠DAM，∵翻折，∴∠P AB＝∠P AB′＝90°﹣x，∴∠DAB′＝∠P AB′﹣∠DAP＝90°﹣2x，∴∠DAM＝∠DAB′＝45°﹣x，∴∠MAP＝∠DAM+∠P AD＝45°．。
2022-2023学年四川省成都市成华区九年级上学期期末考试数学试卷
2022－2023学年度上期期末学业水平阶段性监测九年级数学A 卷（共100分）第Ⅰ卷（选择题，共32分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）1．下列各点在反比例函数3y x =-图象上的是（ ） A ．()3,1-- B ．()1,3-C ．()1,3D ．()3,1 2．如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的左视图为（ ）A ．B ．C ．D ．3．下列一元二次方程有实数解的是（ ）A ．220x +=B ．2210x x -+=C ．2220x x -+=D ．2320x x +-=4．下列命题为假命题的是（ ）A ．对角线相等的平行四边形是矩形B ．对角线互相垂直的平行四边形是菱形C ．有一个角是直角的平行四边形是正方形D ．有一组邻边相等的矩形是正方形5．关于x 的一元二次方程260x x c ++=配方后得到方程2(3)2x c +=，则c 的值为（ ）A ．－3B ．0C ．3D ．96．在同一平面直角坐标系中，函数()10y kx k =+≠和(0)k y k x=≠的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ．7．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是边AD 的中点，点F 在对角线AC 上，且14AF AC =，连接EF ．若AC ＝10，则EF 的长为（ ） A ．52B ．3C ．4D ．5 8．如图，在ABC △中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，连接DE ，EF ，已知四边形BDEF 是平行四边形，13DE BC =．若ADE △的面积为1，则平行四边形BDEF 的面积为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9．已知2(0)3a c b d b d ==+≠，则a c b d+=+______． 10．历史上数学家皮尔逊（Pearson ）曾在实验中掷均匀的硬币24000次，正面朝上的次数是12012次，频率约为0.5．由此实验，我们可得掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是______．11．如图，点A 是反比例函数2y x=图象上任意一点，过点A 作AB x ⊥轴于点B ，连接OA ，则AOB △的面积是______． 12．关于x 的一元二次方程240x x k -+=无实数解，则k 的取值范围是______．13．如图，在ABC △中，BC ＝3，AC ＝4，∠ACB ＝90°，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，与AB 交于点D ，再分别以A ，D 为圆心，大于12AD 的长为半径画弧，两弧交于点M ，N ，作直线MN ，分别交AC ，AB 于点E ，F ，则线段EF 的长为______．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14．（本小题满分10分，每题5分）（1）解方程：（x ＋8）（x ＋1）＝－12；（2）解方程：22(23)(32)x x +=+． 15．（本小题满分8分）为落实国家“双减”政策，学校在课后托管时间里开展了“A －音乐、B －体育、C －文学、D －美术”四项社团活动．学校从全校1200名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动”的问卷调查（每人必选且只选一种），并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题： （1）参加调查的学生共有______人；条形统计图中m 的值为______；扇形统计图中α的度数为______；根据调查结果，可估计该校1200名学生中最喜欢“音乐”社团的约有______人；（2）现从“文学”社团里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．16．（本小题满分10分）某市从2020年起连续投入资金用于“建设美丽城市，改造老旧小区”．已知每年投入资金的增长率相同，其中2020年投入资金1000万元，2022年投入资金1440万元．（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；（2）2022年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2023年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用计划增加20%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市2023年最多可以改造多少个老旧小区？17．（本小题满分10分）如图，点E 是正方形ABCD 的对角线CA 延长线上一点，连接BE ，将BE 绕点B 顺时针旋转90°至BF ，连接EF ，EF 交AD 于点G ．（1）求证：ABE AEG ∽△△；（2）若正方形ABCD 的边长为4，点G 为AD 的中点，求AE 的长．18．（本小题满分10分）如图，一次函数()20y kx k =+≠的图象与反比例函数()0,0m y m x x=>>的图象交于点()2,A n ，与y 轴交于点B ，与x 轴交于点()4,0C -．（1）求k 与m 的值；（2）点(),0P a 为x 轴正半轴上的一点，且APB △的面积为72，求a 的值． （3）在（2）的条件下，在平面内是否存在一点Q ，使以点A ，B ，P ，Q 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；不存在，请说明理由．B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19．已知反比例函数6y x=-的图象经过点()4,a ，则a 的值为______． 20．已知m ，n 是一元二次方程2250x x +-=的两个根，则22m mn m ++的值为______．21．如图，点E ，F ，G ，H 分别是正方形ABCD 四边的中点，AG ，BH ，CE ，DF 围成图中阴影部分．随机地往正方形ABCD 内投掷飞镖，飞镖击中阴影部分的概率是______．22．如图是某风车的示意图，其大小相同的四个叶片均匀分布，点M 在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光恰好垂直照射叶片OA ，OB ，叶片影子为线段CD ，测得MC ＝8.5米，CD ＝13米，此时垂直于地面的标杆EF 与它的影子FG 的比为2:3（其中点M ，C ，D ，F ，G 在水平地面上），则OM 的高度为______米，叶片OA 的长为______米．23．如图，矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝10，点E 是边AD 上一个动点，过点E 作AC 的垂线，交直线BC 于点F ，则AF ＋FE ＋EC 的最小值为______．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24．（本小题满分8分）为防控疫情，学校对学生宿舍进行消毒工作，先经过5min 的集中药物喷洒，再封闭宿舍10min ，然后打开门窗进行通风，宿舍内空气中含药量y （3mg/m ）与时间x （min ）之间的函数图象如图所示，打开门窗前为线段OA 和线段AB ，打开门窗后为反比例函数关系． （1）求线段OA 和反比例函数的表达式；（2）当室内空气中的含药量不低于34mg/m 且持续时间不低于30分钟时，才能有效消毒，请问这次消毒工作是否有效？25．（本小题满分10分）如图，点A 在反比例函数(0,0)m y m x x =>>的图象上，点A 的纵坐标为3．过点A 作x 轴的平行线交反比例函数(,0)n y n m x x=>>的图象于点C ．点P 为线段AC 上一动点，过点P 作AC 的垂线，分别交反比例函数m y x =和n y x=的图象于点B ，D ． （1）当m ＝4，n ＝16时，①若点P 的横坐标为4（如图1），求直线AB 的函数表达式；②若点P 是AC 的中点（如图2），试判断四边形ABCD 的形状，并说明理由；（2）四边形ABCD 能否成为正方形？若能，求此时m ，n 之间的数量关系；若不能，说明理由．26．（本小题满分12分）如图，在ABC △中，∠ACB ＝90°，BC ＝3cm ，AC ＝4cm ，将ABC △绕点A 逆时针旋转90°得到ADE △．点P ，Q 分别是AB ，AD 上的动点，且BP ＝AQ ，连接PQ ，CP ，EQ ，CD ．时（如图1），求BP的长；（1）当EQ AD∥时（如图2），求BP的长；（2）当PQ CD7.4cm若存在，请求出BP的长；若不存在，请说明（3）是否存在点P，Q，使四边形PCDQ的面积为2理由．。
2022-2023学年四川省成都市双流区九年级上学期期末考试数学试卷含详解
2022~2023学年度上期期末学生学业质量监测九年级数学试题注意事项：1．全卷分A 卷和B 卷，A 卷满分100分，B 卷满分50分；考试时间120分钟．2．考生使用答题卡作答3．在作答前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在答题卡上．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回．4．答题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．5．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸、试卷上答题无效．6．保持答题卡面清洁，不得折叠、污染、破损等．A 卷（共100分）一、选择题（每小题4分，共32分）每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求．1.方程x 2＝4的解是（）A.x ＝2 B.x ＝﹣2 C.x ＝±2 D.没有实数根2.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，若3AO =，则BD 的长为（）A.3B.4C.5D.63.反比例函数3y x =的图象在第（）．A.一、三象限 B.二、四象限C.一、二象限D.二、三象限4.如图所示的几何体的俯视图是（）A. B. C. D. 5.我国南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的宽比长少12步，问它的长和宽各多少步？设这块田地的宽为x 步，则所列的方程正确的是（）A.()12864x x +-= B.()12864x x ++= C.()12864x x -= D.()12864x x +=6.从一定的高度任意抛掷一枚质地均匀的硬币的次数很大时，落下后，正面朝上的频率最有可能接近的数值为（）A.0.53B.0.87C.1.03D.1.507.如图，已知ABC 和DEF 是以点O 为位似中心的位似图形，:2:3OA AD =，ABC 的面积为4，则DEF 的面积为（）A.6B.10C.25D.128.如图，直线y ax b =+与x 轴相交于点A ()2,0，与函数k y x =的图象交于点B ，C ，点B 的横坐标是8，点C 的横坐标是6-，则不等式组0k ax b x <+<的解集是（）A.62x -<<B.60x -<<C.68x -<<D.02x <<二、填空题（每小题4分，共20分）9.如果34m n =，那么m n=_________．10.若点()13,A y ，()25,B y 都在反比例函数(0)m y m x=>的图象上，则1y ，2y 的大小关系为：1y ___________2y （填“>”或“<”）．11.如图，C ABC BD ∽△△，4AB =，6BD =，则BC =______．12.已知关于x 的一元二次方程2320x x k +-=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是___________．13.如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，按下列步骤作图：①分别以点C ，D 为圆心，大于12CD 的长为半径画弧，两弧的交点分别为点E ，F ；②过点E ，F 作直线EF ，交CD 于点P ；③连接OP ．若 1.5OP =，则菱形ABCD 的周长为___________．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14.（1）计算：10112(|33|(2023)2π----++-（2）解方程：2420x x -+=．15.某小队在探险过程途中发现一个深坑，小队人员为了测出坑深，采取如下方案：如图所示，在深坑左侧用观测仪AB 从观测出发点A 观测深坑底部P ，且观测视线刚好经过深坑边缘点M ，在深坑右侧用观测仪CD 从观测出发点C 观测深坑底部P ，且观测视线恰好经过深坑边缘点N ．（点E ，B ，M ，N ，D ，F 在同一水平线上）已知：,AB EM CD NF ⊥⊥，观测仪AB 高2m ，观测仪CD 高1m ， 1.6m,0.8m BM ND ==，深坑宽度8.8m MN =．请根据以上数据计算深坑深度多少米？16.为传承中华民族优秀传统文化，提高学生文化素养，学校举办“经典诵读”比赛，比赛题目分为“诗词之风”、“散文之韵”和“小说之趣”三组（依次记为A ，B ，C ）．彤彤和祺祺两名同学参加比赛，其中一名同学从三组题目中随机抽取一组，然后放回，另一名同学再随机抽取一组．（1）彤彤抽到A 组题目的概率是______；（2）请用列表法或画树状图的方法，求彤彤和祺祺抽到相同题目的概率．17.如图，一次函数122y x =+的图象与反比例函数(0)k y k x=>的图象交于点A ，与y 轴交于点B ．已知点A 的纵坐标为6．（1）求k 的值：（2）点P 在反比例函数的图象上，点Q 在x 轴上，若以点A ，B ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P 坐标．18.如图，在正方形ABCD 中，BM ，DN 分别是其外角CBP ∠和CDQ ∠的平分线，点E 在射线BM 上，点F 在射线DN 上，连接AE ，AF ，EF ．已知45FAE ∠=︒．（1）求证：以线段BE ，DF ，EF 为三边组成的三角形是直角三角形；（2）若AEF △为等腰直角三角形，探究线段BE ，DF 之间的数量关系；（3）当EF AD ∥时，请求出BE DF的值．B 卷一、填空题（每小题4分，共20分）19.已知0234a b c ==≠，且230a b c -+≠，则23a b c a b c+--+的值为______．20.大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用，如图是小乐同学的健康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为4cm 的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为_____cm 2．21.若1x ，2x 是关于x 的方程2250x x --=的两个实数根，则代数式211234x x x --+的值是___________．22.已知过原点的一条直线l 与反比例函数(0)k y k x=>的图象交于A ，B 两点(A 在B 的右侧)．C 是反比例函数图象上位于A 点上方的一动点，连接AC 并延长交y 轴于点D ，连接CB 交y 轴于点E ．若AC mCD BC nCE ==，，则m n -=___________．23.如图，在Rt AOB △和Rt COD 中，90AOB COD ABO CDO ∠∠∠∠=== ，，E 为OA 的中点，46OA OB ==，．将COD △绕点O 旋转，直线AC ，BD 交于点F ，连接EF ，则EF 的最小值是___________．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24.某大型批发商场平均每天可售出某款商品3000件，售出1件该款商品的利润是10元．经调查发现，若该款商品的批发价每降低1元，则每天可多售出1000件．为了使每天获得的利润更多，该批发商场决定降价x 元销售该款商品．（1）当x 为多少元时，该批发商场每天卖出该款商品的利润为40000元？（2）若按照这种降价促销的策略，该批发商场每天卖出该款商品的利润能达50000元吗？若能，请求出x 的值，若不能，请说明理由．25.如图，在锐角ABC 中，=45ABC ∠︒，过点A 作AD BC ⊥于点D ，过点B 作BE AC ⊥于点E ，AD 与BE 相交于点H ，连接DE ．AEB ∠的平分线EF 交AB 于点F ，连接DF 交BE 于点G ．（1）求证：DBG DAE∠∠=（2）试探究线段AE ，BE ，DE 之间的数量关系；（3）若6CD BE ==，，求GH 的长．26.如图，点()1,A m 和点B 是反比例函数()1k y k x x =>0,>0图象上的两点，一次函数()220y ax a =+≠的图象经过点A ，与y 轴交于点C ，过点B 作BD x ⊥轴，垂足为D ，连接,OA OB ．已知OAC ∆与OBD ∆的面积满足:2:3OAC OBD S S ∆∆=．（1）求OAC ∆的面积和k 的值；（2）求直线AC 的表达式；（3）过点B 的直线MN 分别交x 轴和y 轴于,M N 两点，2NB MB =，若点P 为MON ∠的平分线上一点，且满足2OP OM ON = ，请求出点P 的坐标．2022~2023学年度上期期末学生学业质量监测九年级数学试题注意事项：1．全卷分A 卷和B 卷，A 卷满分100分，B 卷满分50分；考试时间120分钟．2．考生使用答题卡作答3．在作答前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在答题卡上．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回．4．答题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．5．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸、试卷上答题无效．6．保持答题卡面清洁，不得折叠、污染、破损等．A 卷（共100分）一、选择题（每小题4分，共32分）每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求．1.方程x 2＝4的解是（）A.x ＝2B.x ＝﹣2C.x ＝±2D.没有实数根C【分析】用直接开平方法求解即可.【详解】解：∵x 2＝4，∴x ＝±2，故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如ax 2+c=0（a≠0）的方程可变形为x 2=-c a，当a 、c 异号时，可利用直接开平方法求解．2.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，若3AO =，则BD 的长为（）A.3B.4C.5D.6D【分析】因为矩形的对角线相等且互相平分，已知3OA =，则26AC OA ==，又BD AC =，故可求．【详解】解：∵ABCD 是矩形，∴OC OA =，BD AC =，又∵3OA =，∴26AC OA OC OA =+==，∴6BD AC ==，故选D ．【点睛】本题考查矩形的对角线相等的性质，属于矩形的基本性质，比较简单．3.反比例函数3y x =的图象在第（）．A .一、三象限 B.二、四象限C.一、二象限D.二、三象限A【分析】根据反比例函数解析式，得出30k =>，进而即可求解．【详解】解：∵反比例函数3y x =中，30k =>∴反比例函数3y x=的图象在第一、三象限，故选：A ．【点睛】本题考查了反比例函数图像的性质，掌握0k >，函数图象在第一、三象限是解题的关键．4.如图所示的几何体的俯视图是（）A. B. C. D.B【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【详解】解：从上面看，只有一行，有两个正方形，即故选B【点睛】本题主要考查了简单几何组合体的三视图，熟知三视图的定义是解题的关键．5.我国南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的宽比长少12步，问它的长和宽各多少步？设这块田地的宽为x 步，则所列的方程正确的是（）A.()12864x x +-= B.()12864x x ++= C.()12864x x -= D.()12864x x +=D【分析】由矩形的宽及长与宽之间的关系可得出矩形的长为()12x +步，再利用矩形的面积公式即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：∵矩形的宽为x 步，且宽比长少12步，∴矩形的长为()12x +步．依题意，得：()12864x x +=．故选D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．6.从一定的高度任意抛掷一枚质地均匀的硬币的次数很大时，落下后，正面朝上的频率最有可能接近的数值为（）A.0.53B.0.87C.1.03D.1.50A【分析】根据频率估计概率，随机事件概率进行判断即可求解．【详解】解∶抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为12，当抛掷的次数很大时，频率会稳定在概率的周围波动，∴落下后，正面朝上的频率稳定在12的周围波动，∴正面朝上的频率最有可能接近的数值为0.53，故选：A 【点睛】本题考查了频率的稳定性，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定数左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，熟记频率的稳定性是解题的关键．7.如图，已知ABC 和DEF 是以点O 为位似中心的位似图形，:2:3OA AD =，ABC 的面积为4，则DEF 的面积为（）A.6B.10C.25D.12C【分析】根据比例的性质，求出位似比，根据相似比等于位似比，面积比等于相似比的平方，求出DEF 的面积即可．【详解】解：ABC 和DEF 是以点O 为位似中心的位似图形，:2:3OA AD =，∴:2:5OA OD =，∴ABC 和DEF 相似，且相似比为：2:5，∴:4:25ABC DEF S S = ，∴254254DEF S ⨯== ；故选C ．【点睛】本题考查位似图形的性质，相似三角形的性质．熟练掌握相似比等于位似比，是解题的关键．8.如图，直线y ax b =+与x 轴相交于点A ()2,0，与函数k y x =的图象交于点B ，C ，点B 的横坐标是8，点C 的横坐标是6-，则不等式组0k ax b x <+<的解集是（）A.62x -<<B.60x -<<C.68x -<<D.02x <<B【分析】利用数形结合的思想，直接得出关于x 的不等式0k ax b x <+<的解集．【详解】解：观察图象可得，当60x -<<时，直线y ax b =+位于x 轴的上方、函数k y x=图象的下方，∴不等式组0k ax b x<+<的解是60x -<<．故选：B ．【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用数形结合思想解答是解题关键．二、填空题（每小题4分，共20分）9.如果34m n =，那么m n=_________．34##0.75【分析】根据比例的性质变形即可求解．【详解】解：∵34m n =，即43m n =，∴34m n =，故答案为：34．【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．10.若点()13,A y ，()25,B y 都在反比例函数(0)m y m x =>的图象上，则1y ，2y 的大小关系为：1y ___________2y （填“>”或“<”）．>【分析】根据反比例函数的图象与性质即可解答．【详解】解：(0)m y m x=>的图象当0x >时，y 随x 的增大而减小，∵35<，故12y y >，故答案为：>．【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象与性质．11.如图，C ABC BD ∽△△，4AB =，6BD =，则BC =______．【详解】解：∵C ABC BD ∽△△，∴AB CB CB DB=，∴224CB AB BD =⋅=，∵0CB >，∴CB =故答案为：【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边的比相等，都等于相似比．12.已知关于x 的一元二次方程2320x x k +-=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是___________．13k >-【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得到0∆>，列式求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2320x x k +-=有两个不相等的实数根，∴244120b ac k ∆=-=+>，解得：13k >-；故答案为：13k >-．【点睛】本题考查根据一元二次方程根的情况，求参数的取值范围．熟练掌握方程有两个不相等的实数根，0∆>，是解题的关键．13.如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，按下列步骤作图：①分别以点C ，D 为圆心，大于12CD 的长为半径画弧，两弧的交点分别为点E ，F ；②过点E ，F 作直线EF ，交CD 于点P ；③连接OP ．若 1.5OP =，则菱形ABCD 的周长为___________．12【分析】根据作图可得P 是CD 的中点，根据菱形的性质得出O 是BD 的中点，根据三角形中位线的性质得出23BC OP ==，根据菱形的性质即可得周长．【详解】解：根据作图可知EF 是C D 的垂直平分线，∴P 是CD 的中点，∵菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，∴BO OD =，∴12EP BC =，∵ 1.5OP =，∴3BC =，∴菱形ABCD 的周长为12，故答案为：12．【点睛】本题考查了作线段垂直平分线，菱形的性质，三角形中位线的性质，掌握基本作图是解题的关键．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14.（1）计算：10112(|33|(2023)2π----++-（2）解方程：2420x x -+=．（132）1222,22x x =+=【分析】（1）根据实数运算法则进行计算即可；（2）运用配方法求解即可．【详解】（110112()|33|(2023)2π---++-32331=-+3=（2）2420x x -+=242x x -=-24424x x -+=-+()222x -=22x -=∴1222,22x x =+=-．【点睛】此题考查了实数的混合运算，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握实数的运算法则，正确解一元二次方程．15.某小队在探险过程途中发现一个深坑，小队人员为了测出坑深，采取如下方案：如图所示，在深坑左侧用观测仪AB 从观测出发点A 观测深坑底部P ，且观测视线刚好经过深坑边缘点M ，在深坑右侧用观测仪CD 从观测出发点C 观测深坑底部P ，且观测视线恰好经过深坑边缘点N ．（点E ，B ，M ，N ，D ，F 在同一水平线上）已知：,AB EM CD NF ⊥⊥，观测仪AB 高2m ，观测仪CD 高1m ， 1.6m,0.8m BM ND ==，深坑宽度8.8m MN =．请根据以上数据计算深坑深度多少米？5.5【分析】过点P 作PH ⊥EF 于点H ，通过AB ∥HP ，CD ∥HP ，得到,A APH C HPN ∠=∠∠=∠，从而得到,AMB PMH CND PNH △∽△△∽△，得到108.HP NH =，21688..HP NH=-，利用08.NH HP =，1.6HP =17.6-2NH ，从而求出HP 的长度．即可得到答案．【详解】解：过点P 作PH ⊥EF 于点H ，∵,AB EM CD NF ⊥⊥，PH ⊥EF ，∴AB ∥HP ，CD ∥HP ，∴,A APH C HPN ∠=∠∠=∠，又∵,AMB NMP CND MNP ∠=∠∠=∠，∴,AMB PMH CND PNH△∽△△∽△∵CND PNH △∽△，∴CD DNHP NH =，即108.HP NH =，∴08.NH HP =，∵,AMB PMH △∽△∴AB BMHP MH =，即21688..HP NH =-，∴1.6HP =17.6-2NH ，将08.NH HP =代入上式得：1.6HP =17.6-2×0.8HP ，化简得：3.2HP=17.6，解得HP=5.5，故答案为：5.5．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，关键是构造三角形相似．16.为传承中华民族优秀传统文化，提高学生文化素养，学校举办“经典诵读”比赛，比赛题目分为“诗词之风”、“散文之韵”和“小说之趣”三组（依次记为A，B，C）．彤彤和祺祺两名同学参加比赛，其中一名同学从三组题目中随机抽取一组，然后放回，另一名同学再随机抽取一组．（1）彤彤抽到A组题目的概率是______；（2）请用列表法或画树状图的方法，求彤彤和祺祺抽到相同题目的概率．（1）1 3（2）1 3【分析】（1）根据概率公式直接求概率即可；（2）先画出树状图，然后再根据概率公式进行计算即可．【小问1详解】解：彤彤抽到A组题目的概率是1 3；故答案为：1 3．【小问2详解】解：根据题意画出树状图，如图所示：∵共有9种等可能的情况，彤彤和祺祺抽到相同题目的情况数有3种，∴彤彤和祺祺抽到相同题目的概率为31 93=．【点睛】本题主要考查了概率公式，画树状图或列表法求概率，解题的关键是根据题意画出树状图或列出表格．17.如图，一次函数122y x=+的图象与反比例函数(0)ky kx=>的图象交于点A，与y轴交于点B．已知点A的纵坐标为6．（1）求k 的值：（2）点P 在反比例函数的图象上，点Q 在x 轴上，若以点A ，B ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P 坐标．（1）见解析（2）见解析【分析】（1）将点A 的坐标代入122y x =+求得a ，再把点A 的坐标代入k y x=求出k ；（2）当AB 是对角线时，先求出点P 的纵坐标，进而代入反比例函数的解析式求得横坐标；当AB 为边时，同样先求出点P 的纵坐标，进而代入反比例函数的解析式求得横坐标．【小问1详解】解：设点(),6A a ，把,6x a y ==代入122y x =+得1262a +=，8a ∴=，即点()8,6A 把8,6x y ==代入k y x=得68k =，48k ∴=【小问2详解】解：【点睛】本题考查了求反比例函数解析式，结合一次函数的解析式求点的坐标，结合平行四边形的性质求点的坐标等知识，解题关键是画出图形，全面分类．18.如图，在正方形ABCD 中，BM ，DN 分别是其外角CBP ∠和CDQ ∠的平分线，点E 在射线BM 上，点F 在射线DN 上，连接AE ，AF ，EF ．已知45FAE ∠=︒．（1）求证：以线段BE ，DF ，EF 为三边组成的三角形是直角三角形；（2）若AEF △为等腰直角三角形，探究线段BE ，DF 之间的数量关系；（3）当EF AD ∥时，请求出BE DF的值．（1）见解析（2）12BE DF =（3）2【分析】（1）过点A 作AH AF ⊥，并截止AH AF =，连接,BH EH ，证明()SAS ADF ABH ≌，()SAS AFE AHE ≌，得到BEH △即为以线段BE ，DF ，EF 为三边组成的三角形，利用正方形的性质和角平分线平分角，求出90EBH HBP EBP ∠=∠+=︒，即可得证；（2）证明ADF EBA ∽，得到BE AE AB AD AF DF ==，根据AEF △为等腰直角三角形，得到22BE AB AD DF ==，进而求出BE ，DF 之间的数量关系；（3）连接DB 并延长交FE 的延长线于点G ，证明,DFG BEG 均为等腰直角三角形，得到,FG GE ==，利用BE ，DF ，EF 为三边组成的三角形是直角三角形，得到222EF BE DF =+，设,BE x DF y ==，得到(2x y =，进而求出BE DF的值．【小问1详解】证明：过点A 作AH AF ⊥，并截止AH AF =，连接,BH EH ，则：90HAF ∠=︒，∵四边形ABCD 为正方形，∴,90AD AB DAB ADC ABC =∠=∠=∠=︒，∵DAF FAB HAB FAB ∠+∠=∠+∠，90,90CDQ CBP ∠=︒∠=︒，∴DAF BAH ∠=∠，∴()SAS ADF ABH ≌，∴,AF BH ADF ABH =∠=∠，∵45FAE ∠=︒，∴45EAH FAH FAE FAE ∠=∠-∠=︒=∠，又∵,AE AE AF AH ==，∴()SAS AFE AHE ≌，∴EH EF =，∴BEH △即为以线段BE ，DF ，EF 为三边组成的三角形，∵BM ，DN 分别是CBP ∠和CDQ ∠的平分线，∴45,45FDC EBP ∠=︒∠=︒，∴135ADF ABH ADC FDC ∠=∠=∠+∠=︒，∴18045HBP ABH ∠=︒-∠=︒，∴90EBH HBP EBP ∠=∠+=︒，∴BEH △为直角三角形，即：以线段BE ，DF ，EF 为三边组成的三角形是直角三角形；【小问2详解】解：∵BM ，DN 分别是CBP ∠和CDQ ∠的平分线，∴45,45FDC CBE ∠=︒∠=︒，∴9045135ADF ABE ∠=∠=︒+︒=︒，∴18045EAB BEA ABE ∠+∠=︒-∠=︒，∵45EAB EAF DAB FAD ∠+∠=∠-∠=︒，∴BEA DAF ∠=∠，∴ADF EBA ∽，∴BE AE AB AD AF DF==，∵AEF △为等腰直角三角形，45FAE ∠=︒，∴2222,2AE EF AE EF AE AF =+==，∴22AE AF =，∴22BE AB AD DF ==，∴2,2BE AD DF ==，∵AD AB =，∴12BE DF =；【小问3详解】解：连接DB 并延长交FE 的延长线于点G ，则：45,45CDB ADB CBD ∠=∠=︒∠=︒，∴90,90FDB FDC CDB DBE CBE CBD ∠=∠+∠=︒∠=∠+∠=︒，∵FE AD ，∴45DFE FDQ ∠==︒，45G BDA ∠=∠=︒，∴,DFG BEG 均为等腰直角三角形，∴,FG GE ==，由（1）知：222EF BE DF =+，∴)222DF BE BE DF ⎤-=+⎦，设,BE x DF y ==，∴()2222y x x y -=+，解得：(2x y =或(2x y =+（不合题意，舍掉）∴(22y BE x DF y y===【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，以及勾股定理．本题的综合性较强，熟练掌握正方形的性质，通过添加辅助线，证明三角形全等，以及证明三角形相似，是解题的关键．B 卷一、填空题（每小题4分，共20分）19.已知0234a b c ==≠，且230a b c -+≠，则23a b c a b c+--+的值为______．1-【分析】根据已知条件，设2a k =，3b k =，4c k =，代入原式后以达到约分的目的即可．【详解】设2a k =，3b k =，4c k =，且230a b c -+≠，∴23a b ca b c +--+234494k k k a k k +-=-+k k=-1=-．故答案为：1-．【点睛】本题考查了分式的化简求值，此类题目的常用解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，达到约分的目的．20.大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用，如图是小乐同学的健康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为4cm 的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为_____cm 2．9.6【分析】先根据经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，可估计点落入黑色部分的概率为0.6，再乘以正方形的面积即可得出答案．【详解】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，∴估计点落入黑色部分的概率为0.6，∴估计黑色部分的总面积约为4×4×0.6＝9.6（cm 2），故答案为：9.6．【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．21.若1x ，2x 是关于x 的方程2250x x --=的两个实数根，则代数式211234x x x --+的值是___________．7【分析】根据题意得到122x x +=，21125x x -=，再将所求式子变形为()2111224x x x x --++，代入计算即可．【详解】解：∵1x ，2x 是关于x 的方程2250x x --=的两个实数根，∴122x x +=，211250x x --=，∴21125x x -=，∴()22112111234245247x x x x x x x --+=--++=-+=，故答案为：7．【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程解的概念，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．22.已知过原点的一条直线l 与反比例函数(0)k y k x=>的图象交于A ，B 两点(A 在B 的右侧)．C 是反比例函数图象上位于A 点上方的一动点，连接AC 并延长交y 轴于点D ，连接CB 交y 轴于点E ．若AC mCD BC nCE ==，，则m n -=___________．2【分析】根据题意作出图形，得出,DFC DGA FCE HBE ∽∽，根据题意得出()()11BH m CF n CF =+=-，即可求解．【详解】解：如图所示，过点,,A B C 分别作y 轴的垂线，垂足分别为,,F G H ，CF AG BH ∴∥∥，,DFC DGA FCE HBE ∴ ∽∽CE CF EF BE BH EH ∴==，DF CF DC DG GA DA==AC mCD BC nCE ==， 11CF EF CE CE BH EH BE BC CE n ∴====--()1BH n CF ∴=-FC GA ∥ ∴,AC FG m CD DF ==∴11DF CF DC DF DG GA DA mDF DF m ====++，则()1AG m CF =+，根据对称性可得BH AG =()1m CF=+()()11m CF n CF ∴+=-∴11m n ∴+=-2m n ∴-=故答案为：2【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，反比例数的性质，得出()()11BH m CF n CF =+=-是解题的关键．23.如图，在Rt AOB △和Rt COD 中，90AOB COD ABO CDO ∠∠∠∠=== ，，E 为OA 的中点，46OA OB ==，．将COD △绕点O 旋转，直线AC ，BD 交于点F ，连接EF ，则EF 的最小值是___________．133-【分析】取AB 的中点M ，连接,EM FM ，则EF FM EM ≥-，当,,E M F 三点共线时，EF 最小，证明AOB COD ∽，进而推出DOB COA ∽，进而得到90AFB ∠=︒，根据三角形中位线定理以及斜边上的中线等于斜边的一半，求出,EM FM ，进而求出EF 的最小值．【详解】解：取AB 的中点M ，连接,EM FM ，则EF FM ME ≥-，∴当,,E M F 三点共线时，EF 最小，∵90AOB COD ABO CDO ∠∠∠∠=== ，，∴AOB COD ∽，∴OB OA OD OC =，∴OB OD OA OC =，∵90DOB BOC AOC BOC ∠+∠=∠+∠=︒，∴DOB AOC ∠=∠，∴DOB COA ∽，∴DBO OAC ∠=∠，∵180DBO OBF ∠+∠=︒，∴180OAC OBF ∠+∠=︒，∴180BOA BFA ∠+∠=︒，∴90BFA ∠=︒，∵46OA OB ==，，∴224613AB =+=，∵M 是AB 的中点，E 为OA 的中点，∴113,1322EM OB MF AB ====，∴EF 3；3-．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，中位线定理，斜边上的中线．熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似，是解题的关键．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24.某大型批发商场平均每天可售出某款商品3000件，售出1件该款商品的利润是10元．经调查发现，若该款商品的批发价每降低1元，则每天可多售出1000件．为了使每天获得的利润更多，该批发商场决定降价x 元销售该款商品．（1）当x 为多少元时，该批发商场每天卖出该款商品的利润为40000元？（2）若按照这种降价促销的策略，该批发商场每天卖出该款商品的利润能达50000元吗？若能，请求出x 的值，若不能，请说明理由．（1）当x 为2或5时，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润为40000元（2）按照这种降价促销的策略，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润不能达到500元【分析】（1）利用降价后每瓶的销售利润=原来每瓶的销售利润－降低的价格，即可得出降价后每瓶的销售利润，再用提升后的销量乘以利润等于总利润，由此列出方程求解即可；（2）由（1）所得的算式，使得总利润等于50000列式计算即可．【小问1详解】解：该批发商场决定降价x 元销售该款商品，依题意得，()()300010001040000x x +-=，即27100x x -+=解得：122,5x x ==，答：当x 为2或5时，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润为40000元【小问2详解】解：()()300010001050000x x +-=，即27200x x -+=∵24494200b ac ∆=-=-⨯<，原方程无解，∴按照这种降价促销的策略，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润不能达到50000元．【点睛】本题考查一元二次方程的应用以及根的判别式，解题关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程，牢记“当Δ0＜时，方程无实数根”．25.如图，在锐角ABC 中，=45ABC ∠︒，过点A 作AD BC ⊥于点D ，过点B 作BE AC ⊥于点E ，AD 与BE相交于点H ，连接DE ．AEB ∠的平分线EF 交AB 于点F ，连接DF 交BE 于点G ．（1）求证：DBG DAE∠∠=（2）试探究线段AE ，BE ，DE 之间的数量关系；（3）若6CD BE ==，，求GH 的长．（1）证明见解析（2）BE AE =（3）57GH =【分析】（1）利用AD BC ⊥，BE AC ⊥得到90BEC ADC ∠=∠=︒，利用等角的余角相等，即可得证；（2）过点D 作DM DE ⊥，交BE 于点M ，证明MBD EAD ≌，得到,DM DE BM AE ==，进而推出线段AE ，BE ，DE 之间的数量关系；（3）证明ECD EAF ∽，得到DE =，利用BE AE =+，求出,DE AE 的长，进而求出AB 的长，过点作DP AC ⊥，垂足为P ，证明ADP DCP ∽，求出,CD CP 的长，进而求出,AC AF 的长，利用平行线分线段成比例，求出,,AH DH EH 的长，进而求出BH 的长，作FN BE ∥，交AD 于点N ，得到AFN ABH ∽，求出,AN FN 的长，再证明DGH DFN ∽，求出GH 的长．【小问1详解】证明：∵AD BC ⊥，BE AC ⊥，∴90BEC ADC ∠=∠=︒，∴90C CBE C CAD ∠+∠=∠+∠=︒，∴DBG DAE ∠∠=；【小问2详解】解：过点D 作DM DE ⊥，交BE 于点M ，则：90MDE ∠=︒，∵AD BC ⊥，=45ABC ∠︒，∴90ADE ADM ADM MDB ∠+∠=∠+∠=︒，AD BD =，∴ADE MDB ∠=∠，又∵DBG DAE ∠∠=，∴()ASA MBD EAD ≌，∴,DM DE BM AE ==，∴MDE 是等腰直角三角形，∴ME =，∴BE BM ME AE =+=；【小问3详解】解：由（2）知：45BED ∠=︒，∵BE AC ⊥，∴90AEB CEB ∠=∠=︒，∴45CED ∠=︒，∵AEB ∠的平分线EF 交AB 于点F ，∴1452AEF AEB ∠=∠=︒，∴CED AEF ∠=∠，∵18018045AFE AEF BAC BAC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-∠，18018045C ABC BAC BAC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-∠，∴C AFE ∠=∠，∴ECD EFA ∽，∴CD DE AF AE=，∵CD =，∴DE =，∵BE AE =，∴26BE AE AE =+=，∴2AE =，∴DE =AB ==，过点作DP AC ⊥，垂足为P ，则：222DP EP DE ===，DP BE ∥，。