2021年温州市中考数学重难点复习：二次函数
【数学知识点】2021中考二次函数复习知识点
【数学知识点】2021中考二次函数复习知识点一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P(h，k)]交点式：y=a(x-x?)(x-x ?) [仅限于与x轴有交点A(x? ，0)和 B(x?，0)的抛物线]注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4a x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
、考点1：函数以及函数的定义域、函数值等有关概念，函数的表示法，常值函数考核要求：(1)通过实例认识变量、自变量、因变量，知道函数以及函数的定义域、函数值等概念;(2)知道常值函数;(3)知道函数的表示方法，知道符号的意义。
考点2：用待定系数法求二次函数的解析式考核要求：(1)掌握求函数解析式的方法;(2)在求函数解析式中熟练运用待定系数法。
注意求函数解析式的步骤：一设、二代、三列、四还原。
特别地，二次函数(以下称函数)y=ax^2+bx+c，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程)，即ax^2+bx+c=0此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
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2021年九年级数学中考复习专题：二次函数综合(考察动点坐标、长度、面积等)(一)
2021年九年级数学中考复习专题：二次函数综合（考察动点坐标、长度、面积等）（一）1．如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）△APD能否构成直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点P坐标；若不能，请说明理由．2．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点B坐标为（3，0），点C坐标为（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，点M为该抛物线的顶点，直线MD⊥x轴于点D，在直线MD上是否存在点N，使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．已知点D的坐标为（﹣1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，连接AP、PC、CD．（1）求这个抛物线的表达式．（2）当四边形ADCP面积等于4时，求点P的坐标．（3）①点M在平面内，当△CDM是以CM为斜边的等腰直角三角形时，直接写出满足条件的所有点M的坐标；②在①的条件下，点N在抛物线对称轴上，当∠MNC＝45°时，直接写出满足条件的所有点N的坐标．4．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，BO＝3AO＝3，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C，D，BC＝CD．（1）求b，c的值；（2）求直线BD的函数解析式；（3）点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上．当△ABD与△BPQ相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．5．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴相交于点C，M是抛物线的顶点，直线x＝1是抛物线的对称轴，且点C的坐标为（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D．若PD＝m，△PCD的面积为S．①求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；②当S取得最值时，求点P的坐标．（3）在（2）的条件下，在线段MB上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与直线BC交于点D．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使|BM﹣CM|的值最大，求出点M的坐标；（3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，直接写出点E的坐标．7．如图1，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B两点，其中点A的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点D为y轴上一点，如果直线BD与直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度；（3）如图2，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求点P的坐标．8．已知二次函数图象过点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4）．（1）求二次函数的解析式．（2）如图，当点P为AC的中点时，在线段PB上是否存在点M，使得∠BMC＝90°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点K在抛物线上，点D为AB的中点，直线KD与直线BC的夹角为锐角θ，且tanθ＝，求点K的坐标．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），与x轴交于B（﹣3，0）、C两点（点B在点C的左侧），抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的表达式；（2）用配方法求点D的坐标；（3）点P是线段OB上的动点．①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，若PE＝PC，求点E的坐标；②在①的条件下，点F是坐标轴上的点，且点F到EA和ED的距离相等，请直接写出线段EF的长；③若点Q是射线OA上的动点，且始终满足OQ＝OP，连接AP，DQ，请直接写出AP+DQ的最小值．10．如图1，已知：抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）交x轴于A，C两点，交y轴于点B，且OB ＝2CO．（1）求二次函数解析式；（2）在二次函数图象（如图2）位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），∴，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3；（2）令x＝0，则y＝3，∴点C（0，3），则直线AC的解析式为y＝﹣x+3，设点P（x，x2﹣4x+3），∵PD∥y轴，∴点D（x，﹣x+3），∴PD＝（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）2+，∵a＝﹣1＜0，∴当x＝时，线段PD的长度有最大值；（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，此时，点P（1，0），②∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），∵A（3，0），∴点P为在抛物线顶点时，∠PAD＝45°+45°＝90°，此时，点P（2，﹣1），综上所述，点P（1，0）或（2，﹣1）时，△APD能构成直角三角形．2．解：（1）∵点B（3，0），点C（0，3）在抛物线y＝﹣x2+bx+c图象上，∴，解得：，∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）∵点B（3，0），点C（0，3），∴直线BC解析式为：y＝﹣x+3，如图，过点P作PH⊥x轴于H，交BC于点G，设点P（m，﹣m2+2m+3），则点G（m，﹣m+3），∴PG＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，＝×PG×OB＝×3×（﹣m2+3m）＝﹣（m﹣）2+，∵S△PBC有最大值，∴当m＝时，S△PBC∴点P（，）；（3）存在N满足条件，理由如下：∵抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点，∴点A（﹣1，0），∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点M为（1，4），∵点M为（1，4），点C（0，3），∴直线MC的解析式为：y＝x+3，如图，设直线MC与x轴交于点E，过点N作NQ⊥MC于Q，∴DE＝4＝MD，∴∠NMQ＝45°，∵NQ⊥MC，∴∠NMQ＝∠MNQ＝45°，∴MQ＝NQ，∴MQ＝NQ＝MN，设点N（1，n），∵点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离，∴NQ＝AN，∴NQ2＝AN2，∴（MN）2＝AN2，∴（|4﹣n|）2＝4+n2，∴n2+8n﹣8＝0，∴n＝﹣4±2，∴存在点N满足要求，点N坐标为（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）．3．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），∴抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a，即﹣3a＝2，解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+2；（2）连接OP，设点P（x，﹣x2﹣x+2），∵抛物线y＝﹣x2﹣x+2交y轴于点C，∵S ＝S 四边形ADCP ＝S △APO +S △CPO ﹣S △ODC ＝×AO ×y P +×OC ×|x P |﹣×CO ×OD ＝4，∴×3×（﹣x 2﹣x +2）+×2×（﹣x ）﹣×1×2＝4，∴x 1＝﹣1，x 2＝﹣2， ∴点P （﹣1，）或（﹣2，2）；（3）①如图2，若点M 在CD 左侧，连接AM ，∵∠MDC ＝90°，∴∠MDA +∠CDO ＝90°，且∠CDO +∠DCO ＝90°， ∴∠MDA ＝∠DCO ，且AD ＝CO ＝2，MD ＝CD ， ∴△MAD ≌△DOC （SAS ）∴AM ＝DO ，∠MAD ＝∠DOC ＝90°， ∴点M 坐标（﹣3，1），若点M 在CD 右侧，同理可求点M '（1，﹣1）； ②如图3，∵抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2﹣x +2＝﹣（x +1）2+；∴对称轴为：直线x ＝﹣1，∴点D在对称轴上，∵MD＝CD＝M'D，∠MDC＝∠M'DC＝90°，∴点D是MM'的中点，∵∠MCD＝∠M'CD＝45°，∴∠MCM'＝90°，∴点M，点C，点M'在以MM'为直径的圆上，当点N在以MM'为直径的圆上时，∠M'NC＝∠M'MC＝45°，符合题意，∵点C（0，2），点D（﹣1，0）∴DC＝，∴DN＝DN'＝，且点N在抛物线对称轴上，∴点N（﹣1，），点N'（﹣1，﹣）延长M'C交对称轴与N''，∵点M'（1，﹣1），点C（0，2），∴直线M'C解析式为：y＝﹣3x+2，∴当x＝﹣1时，y＝5，∴点N''的坐标（﹣1，5），∵点N''的坐标（﹣1，5），点M'（1，﹣1），点C（0，2），∴N''C＝＝M'C，且∠MCM'＝90°，∴MM'＝MN''，∴∠MM'C＝∠MN''C＝45°∴点N''（﹣1，5）符合题意，综上所述：点N的坐标为：（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，5）．4．解：（1）∵BO＝3AO＝3，∴点B（3，0），点A（﹣1，0），∴抛物线解析式为：y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣x﹣，∴b＝﹣，c＝﹣；（2）如图1，过点D作DE⊥AB于E，∴CO∥DE，∴，∵BC＝CD，BO＝3，∴＝，∴OE＝，∴点D横坐标为﹣，∴点D坐标为（﹣，+1），设直线BD的函数解析式为：y＝kx+b，由题意可得：，解得：，∴直线BD的函数解析式为y＝﹣x+；（3）∵点B（3，0），点A（﹣1，0），点D（﹣，+1），∴AB＝4，AD＝2，BD＝2+2，对称轴为直线x＝1，∵直线BD：y＝﹣x+与y轴交于点C，∴点C（0，），∴OC＝，∵tan∠CBO＝＝，∴∠CBO＝30°，如图2，过点A作AK⊥BD于K，∴AK＝AB＝2，∴DK＝＝＝2，∴DK＝AK，∴∠ADB＝45°，如图，设对称轴与x轴的交点为N，即点N（1，0），若∠CBO＝∠PBO＝30°，∴BN＝PN＝2，BP＝2PN，∴PN＝，BP＝，当△BAD∽△BPQ，∴，∴BQ＝＝2+，∴点Q（1﹣，0）；当△BAD∽△BQP，∴，∴BQ＝＝4﹣，∴点Q（﹣1+，0）；若∠PBO＝∠ADB＝45°，∴BN＝PN＝2，BP＝BN＝2，当△DAB∽△BPQ，∴，∴，∴BQ＝2+2∴点Q（1﹣2，0）；当△BAD∽△PQB，∴，∴BQ＝＝2﹣2，∴点Q（5﹣2，0）；综上所述：满足条件的点Q的坐标为（1﹣，0）或（﹣1+，0）或（1﹣2，0）或（5﹣2，0）．5．解：（1）∵直线x＝1是抛物线的对称轴，且点C的坐标为（0，3），∴c＝3，﹣＝1，∴b＝2，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）①∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴点M（1，4），∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），∴0＝﹣x2+2x+3∴x1＝3，x2＝﹣1，∴点A（﹣1，0），点B（3，0），∵点M（1，4），点B（3，0）∴直线BM解析式为y＝﹣2x+6，∵点P在直线BM上，且PD⊥x轴于点D，PD＝m，∴点P（3﹣，m），∴S△PCD＝×PD×OD＝m×（3﹣）＝﹣m2+m，∵点P在线段BM上，且点M（1，4），点B（3，0），∴0＜m≤4∴S与m之间的函数关系式为S＝﹣m2+m（0＜m≤4）②∵S＝﹣m2+m＝﹣（m﹣3）2+，∴当m＝3时，S有最大值为，∴点P（，3）∵0＜m≤4时，S没有最小值，综上所述：当m＝3时，S有最大值为，此时点P（，3）；（3）存在，若PC＝PD＝m时，∵PD＝m，点P（3﹣，m），点C（0，3），∴（3﹣﹣0）2+（m﹣3）2＝m2，∴m1＝18+6（舍去），m2＝18﹣6，∴点P（﹣6+3，18﹣6）；若DC＝PD＝m时，∴（3﹣﹣0）2+（﹣3）2＝m2，∴m3＝﹣2﹣2（舍去），m4＝﹣2+2，∴点P（4﹣，﹣2+2）；若DC＝PC时，∴（3﹣﹣0）2+（m﹣3）2＝（3﹣﹣0）2+（﹣3）2，∴m5＝0（舍去），m6＝6（舍去）综上所述：当点P的坐标为：（﹣6+3，18﹣6）或（4﹣，﹣2+2）时，使△PCD为等腰三角形．6．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3），∴，解得，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3；（2）∵抛物线对称轴是线段AB的垂直平分线，∴AM＝BM，由三角形的三边关系，|BM﹣CM|＝|AM﹣CM|＜AC，∴点A、C、M三点共线时，|BM﹣CM|最大，设直线AC的解析式为y＝mx+n，则，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣3x+3，又∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，∴x＝2时，y＝﹣3×2+3＝﹣3，故，点M的坐标为（2，﹣3）；（3））∵OB＝OC＝3，OB⊥OC，∴△BOC是等腰直角三角形，∵EF∥y轴，直线BC的解析式为y＝﹣x+3，∴△DEF只要是直角三角形即可与△BOC相似，∵D（2，1），A（1，0），B（3，0），∴点D垂直平分AB且到点AB的距离等于AB，∴△ABD是等腰直角三角形，∴∠ADB ＝90°，如图，①点F 是直角顶点时，点F 的纵坐标与点D 的纵坐标相同，是1，∴x 2﹣4x +3＝1，整理得x 2﹣4x +2＝0，解得x ＝2±， 当x ＝2﹣时，y ＝﹣（2﹣）+3＝1+， 当x ＝2+时，y ＝﹣（2+）+3＝1﹣， ∴点E 1（2﹣，1+）E 2（2+，1﹣）， ②点D 是直角顶点时，易求直线AD 的解析式为y ＝x ﹣1，联立，解得，，当x ＝1时，y ＝﹣1+3＝2，当x ＝4时，y ＝﹣4+3＝﹣1，∴点E 3（1，2），E 4（4，﹣1），综上所述，存在点E 1（2﹣，1+）或E 2（2+，1﹣）或E 3（1，2）或E 4（4，﹣1），使以D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCO 相似．7．解：（1）∵抛物线y ＝x 2+bx +c 交x 轴于点A （1，0），与y 轴交于点C （0，﹣3），∴，解得：，∴抛物线解析式为：y＝x2+2x﹣3；（2）∵抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴于A，B两点，∴点B（﹣3，0），∵点B（﹣3，0），点C（0，﹣3），∴OB＝OC＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，如图1，当点D在点C上方时，∵∠DBC＝15°，∴∠OBD＝30°，∴tan∠DBO＝＝，∴OD＝×3＝，∴CD＝3﹣；若点D在点C下方时，∵∠DBC＝15°，∴∠OBD＝60°，∴tan∠DBO＝＝，∴OD＝3，∴DC＝3﹣3，综上所述：线段CD的长度为3﹣或3﹣3；（3）如图2，在BO上截取OE＝OA，连接CE，过点E作EF⊥AC，∵点A（1，0），点C（0，﹣3），∴OA＝1，OC＝3，∴AC＝＝＝，∵OE＝OA，∠COE＝∠COA＝90°，OC＝OC，∴△OCE≌△OCA（SAS），∴∠ACO＝∠ECO，CE＝AC＝，∴∠ECA＝2∠ACO，∵∠PAB＝2∠ACO，∴∠PAB＝∠ECA，＝AE×OC＝AC×EF，∵S△AEC∴EF＝＝，∴CF＝＝＝，∴tan∠ECA＝＝，如图2，当点P在AB的下方时，设AP与y轴交于点N，∵∠PAB＝∠ECA，∴tan∠ECA＝tan∠PAB＝＝，∴ON＝，∴点N（0，﹣），又∵点A（1，0），∴直线AP解析式为：y＝x﹣，联立方程组得：，解得：或，∴点P坐标为：（﹣，﹣），当点P在AB的上方时，同理可求直线AP解析式为：y＝﹣x+，联立方程组得：，解得：或，∴点P坐标为：（﹣，），综上所述：点P的坐标为（﹣，），（﹣，﹣）．8．解：（1）∵二次函数图象过点B（4，0），点A（﹣2，0），∴设二次函数的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），∵二次函数图象过点C（0，4），∴4＝a（0+2）（0﹣4），∴a＝﹣，∴二次函数的解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣4）＝﹣x2+x+4；（2）存在，理由如下：如图1，取BC中点Q，连接MQ，∵点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4），点P是AC中点，点Q是BC中点，∴P（﹣1，2），点Q（2，2），BC＝＝4，设直线BP解析式为：y＝kx+b，由题意可得：，解得：∴直线BP的解析式为：y＝﹣x+，∵∠BMC＝90°∴点M在以BC为直径的圆上，∴设点M（c，﹣c+），∵点Q是Rt△BCM的中点，∴MQ＝BC＝2，∴MQ2＝8，∴（c﹣2）2+（﹣c+﹣2）2＝8，∴c＝4或﹣，当c＝4时，点B，点M重合，即c＝4，不合题意舍去，∴c＝﹣，则点M坐标（﹣，），故线段PB上存在点M（﹣，），使得∠BMC＝90°；（3）如图2，过点D作DE⊥BC于点E，设直线DK与BC交于点N，∵点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4），点D是AB中点，∴点D（1，0），OB＝OC＝4，AB＝6，BD＝3，∴∠OBC＝45°，∵DE⊥BC，∴∠EDB＝∠EBD＝45°，∴DE＝BE＝＝，∵点B（4，0），C（0，4），∴直线BC解析式为：y＝﹣x+4，设点E（n，﹣n+4），∴﹣n+4＝，∴n＝，∴点E（，），在Rt△DNE中，NE＝＝＝，①若DK与射线EC交于点N（m，4﹣m），∵NE＝BN﹣BE，∴＝（4﹣m）﹣，∴m＝，∴点N（，），∴直线DK解析式为：y＝4x﹣4，联立方程组可得：，解得：或，∴点K坐标为（2，4）或（﹣8，﹣36）；②若DK与射线EB交于N（m，4﹣m），∵NE＝BE﹣BN，∴＝﹣（4﹣m），∴m＝，∴点N（，），∴直线DK解析式为：y＝x﹣，联立方程组可得：，解得：或，∴点K坐标为（，）或（，），综上所述：点K的坐标为（2，4）或（﹣8，﹣36）或（，）或（，）．9．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），与x轴交于B（﹣3，0），∴∴∴抛物线解析式为：y＝x2﹣x+2；（2）∵y＝x2﹣x+2＝﹣（x+1）2+，∴顶点D坐标（﹣1，）；（3）①∵抛物线y＝x2﹣x+2与x轴交于B（﹣3，0）、C两点，∴点C（1，0）设点E（m，m2﹣m+2），则点P（m，0），∵PE＝PC，∴m2﹣m+2＝1﹣m，∴m＝1（舍去），m＝﹣，∴点E（﹣，）②如图，连接AE交对称轴于点N，连接DE，作EH⊥DN于H，交y轴于点F，∵点A（0，2），点E（﹣，），∴直线AE解析式为y＝﹣x+2，∴点N坐标（﹣1，）∴DH＝＝，HN＝＝，∴DH＝NH，且EH⊥DN，∴∠DEH＝∠NEH，∴点F到AE，DE的距离相等，∴DN∥y轴，EH⊥DN，∴EH⊥y轴，∴EF＝；③在x轴正半轴取点H，使OH＝OA＝2，∵OH＝OA，∠AOP＝∠QOH＝90°，OP＝OQ，∴△AOP≌△HOQ（SAS）∴AP＝QH，∴AP+DQ＝DQ+QH≥DH，∴点Q在DH上时，DQ+AP有最小值，最小值为DH的长，∴AP+DQ的最小值＝＝．10．解：（1）对于抛物线y＝a（x+1）（x﹣3），令y＝0，得到a（x+1）（x﹣3）＝0，解得x＝﹣1或3，∴C（﹣1，0），A（3，0），∴OC＝1，∵OB＝2OC＝2，∴B（0，2），把B（0，2）代入y＝a（x+1）（x﹣3）中得：2＝﹣3a，a＝﹣∴二次函数解析式为＝；（2）设点M的坐标为（m，），则点N的坐标为（2﹣m，），MN＝m﹣2+m＝2m﹣2，GM＝矩形MNHG的周长C＝2MN+2GM＝2（2m﹣2）+2（）＝＝∴当时，C有最大值，最大值为；（3）∵A（3，0），B（0，2），∴OA＝3，OB＝2，由对称得：抛物线的对称轴是：x＝1，∴AE＝3﹣1＝2，设抛物线的对称轴与x轴相交于点E，当△ABP为直角三角形时，存在以下三种情况：①如图1，当∠BAP＝90°时，点P在AB的下方，∵∠PAE+∠BAO＝∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠PAE＝∠ABO，∵∠AOB＝∠AEP，∴△ABO∽△PAE，∴，即，∴PE＝3，∴P（1，﹣3）；②如图2，当∠PBA＝90°时，点P在AB的上方，过P作PF⊥y轴于F，同理得：△PFB∽△BOA，∴，即，∴BF＝，∴OF＝2+＝，∴P（1，）；③如图3，以AB为直径作圆与对称轴交于P1、P2，则∠AP1B＝∠AP2B＝90°，设P1（1，y），∵AB2＝22+32＝13，由勾股定理得：AB2＝P1B2+P1A2，∴12+（y﹣2）2+（3﹣1）2+y2＝13，解得：y＝1±，∴P（1，1+）或（1，1﹣），综上所述，点P的坐标为（1，﹣3）或（1，）或（1，1+）或（1，1﹣）。
2021年九年级数学中考复习专题之二次函数考察：最值问题综合(五)
2021年九年级数学中考复习专题之二次函数考察：最值问题综合（五）1．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是第一象限抛物线上一点，设P点的横坐标为m．过点P作PD⊥x轴，交BC 于点D，过点D作DE⊥y轴，垂足为E，连接PE，当△PDE和△BOC相似时，求点P的坐标；（3）连接AC，Q是线段BC上一动点，过Q作QF⊥AC于F，QG⊥AB于G，连接FG．请直接写出FG的最小值和此时点Q的坐标．2．图①，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），并且与直线y＝x ﹣2相交于坐标轴上的B、C两点，动点P在直线BC下方的二次函数的图象上．（1）求此二次函数的表达式；（2）如图①，连接PC，PB，设△PCB的面积为S，求S的最大值；（3）如图②，抛物线上是否存在点Q，使得∠ABQ＝2∠ABC？若存在，则求出直线BQ的解析式及Q点坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于点A，C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C 两点，与x轴的另一交点为B．点D是AC上方抛物线上一点．（1）求抛物线的函数表达式；，（2）连接BC，CD，设直线BD交线段AC于点E，如图1，△CDE，△BCE的面积分别为S1 S，求的最大值；2（3）过点D作DF⊥AC于F，连接CD，如图2，是否存在点D，使得△CDF中的某个角等于∠BAC的两倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，说明理由．4．已知，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交点为A（﹣1，0）和点B，与y轴交点为C（0，﹣3），直线L：y＝kx﹣1与抛物线的交点为点A和点D．（1）求抛物线和直线L的解析式；（2）如图，点M为抛物线上一动点（不与A、D重合），当点M在直线L下方时，过点M 作MN∥x轴交L于点N，求MN的最大值；（3）点M为抛物线上一动点（不与A、D重合），M'为直线AD上一动点，是否存在点M，使得以C、D、M、M′为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点M的坐标，如果不存在，请说明理由．5．如图1，抛物线y＝x2+2x﹣6交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C点，D点是该抛物线的顶点，连接AC、AD、CD．（1）求△ACD的面积；（2）如图1，点P是线段AD下方的抛物线上的一点，过P作PE∥y轴分别交AC于点E，交AD于点F，过P作PG⊥AD于点G，求EF+FG的最大值，以及此时P点的坐标；（3）如图2，在对称轴左侧抛物线上有一动点M，在y轴上有一动点N，是否存在以BN 为直角边的等腰Rt△BMN？若存在，求出点M的横坐标，若不存在，请说明理由．6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝x +m 与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B （0，﹣1），抛物线y ＝+bx +c 经过点B ，且与直线l 的另一个交点为C （4，n ）．（1）求n 的值和抛物线的解析式；（2）P 是直线AC 下方的抛物线上一动点，设其横坐标为a ．当a 为何值时，△APC 的面积最大，并求出其最大值．（3）M 是平面内一点，将△AOB 绕点M 沿逆时针方向旋转90°后，得到△A 1O 1B 1，点A 、O 、B 的对应点分别是点A 1、O 1、B 1，若△A 1O 1B 1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A 1的横坐标．7．如图1，已知抛物线y ＝ax 2﹣12ax +32a （a ＞0）与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）连接BC ，若∠ABC ＝30°，求a 的值．（2）如图2，已知M 为△ABC 的外心，试判断弦AB 的弦心距d 是否有最小值，若有，求出此时a 的值，若没有，请说明理由；（3）如图3，已知动点P （t ，t ）在第一象限，t 为常数．问：是否存在一点P ，使得∠APB 达到最大，若存在，求出此时∠APB 的正弦值，若不存在，也请说明理由．8．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．直线y＝x﹣5经过点B、C．（1）求抛物线的解析；（2）点P是直线BC上方抛物线上一动点，连接PB、PC．①当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；②在①的条件下，y轴上存在点M，使四边形PMAB的周长最小，请求出点M的坐标；③连接AC，当tan∠PBO＝2tan∠ACO时，请直接写出点P的坐标．9．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A、C，与y轴交于点B，直线y＝x+3经过A、B两点．（1）求b、c的值．（2）若点P是直线AB上方抛物线上的一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线AB于点D，求线段PD的最大值．（3）在（2）的结论下，连接CD，点Q是抛物线对称轴上的一动点，在抛物线上是否存在点G，使得以C、D、G、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y＝x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在轴y上．（1）求m的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x．①求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；②线段PE的长h是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时的x值；若不存在，请说明理由？参考答案1．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣；（2）如图1，令x＝0，得y＝4，∴C（0，4），∴OC＝4，∵B（3，0），∴OB＝3，设直线BC的解析式为y＝kx+n（k≠0），则，解得：，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+4，设P（m，﹣m2+m+4），则D（m，﹣m+4），∴DP＝（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m，DE＝m，∵∠BOC＝∠PDE＝90°，∵，∴当△PDE和△BOC相似时，∴＝或，∴3PD＝4ED或4PD＝3ED，①当3PD＝4ED时，3（﹣m2+4m）＝4m，4m2﹣8m＝0，m＝0（舍）或2，∴P（2，4），②当4PD＝3ED时，4（﹣m2+4m）＝3m，解得：m＝0（舍）或，∴P（，）；综上，点P的坐标为：（2，4）或（，）；（3）∵A（﹣1，0），C（0，4），同理可得：AC的解析式为：y＝4x+4，设F（t，4t+4），﹣1＜t＜0，∵FQ⊥AC，∴k FQ＝﹣＝﹣，同理可得：FQ的解析式为：y＝﹣x+t+4，则，解得：x＝﹣t，∴G（﹣t，0），∴FG2＝（t+t）2+（4t+4）2＝，∴当t＝﹣时，FG2有最小值＝，∴FG的最小值是，此时Q（，）．2．解：（1）对于直线y＝x﹣2，令x＝0，则y＝﹣2，令y＝0，即x﹣2＝0，解得：x＝4，故点B、C的坐标分别为（4，0）、（0，﹣2），抛物线过点A、B两点，则y＝a（x+1）（x﹣4），将点C的坐标代入上式并解得：a＝，故抛物线的表达式为y＝x2﹣x﹣2①；（2）如图2，过点P作PH∥y轴交BC于点H，设点P（x，x2﹣x﹣2），则点H（x，x﹣2），S＝S△PHB +S△PHC＝PH•（x B﹣x C）＝×4×（x﹣2﹣x2+x+2）＝﹣x2+4x，∵﹣1＜0，故S有最大值，当x＝2时，S的最大值为4；（3）①当点Q在BC下方时，如图2，延长BQ交y轴于点H，过点C作SC⊥BC交x轴于点R，交BQ于点S，过点S作SK⊥x 轴于点K，∵∠ABQ＝2∠ABC，则BC是∠ABH的角平分线，则△RSB为等腰三角形，则点C是RS的中点，在△BOC中，tan∠OBC＝＝＝tan∠ROC＝，则设RC＝x＝SB，则BC＝2x，则RB＝＝x＝BS，＝×SR•BC＝BR•SK，即2x•2x＝KS•x，解得：KS＝，在△SRB中，S△RSB∴sin∠RBS＝＝＝，则tan∠RBH＝，在Rt△OBH中，OH＝OB•tan∠RBH＝4×＝，则点H（0，﹣），由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为y＝（x﹣4）②，联立①②并解得：x＝4（舍去）或，当x＝时，y＝﹣，故点Q（，﹣）；②当点Q在BC上方时，同理可得：点Q的坐标为（﹣，）；综上，点Q的坐标为（，﹣）或（﹣，）．3．解：（1）根据题意得A（﹣4，0），C（0，2），∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、C两点，∴，∴，∴y＝﹣x2﹣x+2；（2）如图1，令y＝0，∴﹣x2﹣x+2＝0，∴x1＝﹣4，x2＝1，∴B（1，0），过D作DM⊥x轴交AC于点M，过B作BN⊥x轴交AC于N，∴DM∥BN，∴△DME∽△BNE，∴＝＝，设D（a，﹣a2﹣a+2），∴M（a，a+2），∵B（1，0），∴N（1，），∴＝＝＝﹣（a+2）2+；∴当a＝﹣2时，的最大值是；（3）∵A（﹣4，0），B（1，0），C（0，2），∴AC＝2，BC＝，AB＝5，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，∴P（﹣，0），∴PA＝PC＝PB＝，∴∠CPO＝2∠BAC，∴tan∠CPO＝tan（2∠BAC）＝，过D作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延长线于G，情况一：如图2，∴∠DCF＝2∠BAC＝∠DGC+∠CDG，∴∠CDG＝∠BAC，∴tan∠CDG＝tan∠BAC＝，即＝，令D（a，﹣a2﹣a+2），∴DR＝﹣a，RC＝﹣a2﹣a，∴＝，∴a1＝0（舍去），a2＝﹣2，∴x D＝﹣2，情况二，∴∠FDC＝2∠BAC，∴tan∠FDC＝，设FC＝4k，∴DF＝3k，DC＝5k，∵tan∠DGC＝＝，∴FG＝6k，∴CG＝2k，DG＝3k，∴RC＝k，RG＝k，DR＝3k﹣k＝k，∴＝＝，∴a1＝0（舍去），a2＝﹣，∴点D的横坐标为﹣2或﹣．4．解：（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式得，解得：，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3①，将点A的坐标代入直线L的表达式得：0＝﹣k﹣1，解得：k＝﹣1，故直线L的表达式为：y＝﹣x﹣1②；（2）设点M的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），点N的纵坐标与点M的纵坐标相同，将点N的纵坐标代入y＝﹣x﹣1得：m2﹣2m﹣3＝﹣x﹣1，解得：x＝﹣m2+2m+2，故点N（﹣m2+2m+2，m2﹣2m﹣3），则MN＝﹣m2+2m+2﹣m＝﹣m2+m+2，∵﹣1＜0，故MN有最大值，当m＝﹣＝时，MN的最大值为；（3）设点M（m，n），则n＝m2﹣2m﹣3③，点M′（s，﹣s﹣1），①当CD为边时，点C向右平移2个单位得到D，同样点M（M′）向右平移2个单位得到M′（M），即m±2＝s且n＝﹣s﹣1④，联立③④并解得：m＝0（舍去）或1或，故点M的坐标为（1，﹣4）或（，）或（，）；②当CD为对角线时，由中点公式得：（0+2）＝（m+s）且（﹣3﹣3）＝（n﹣s﹣1）⑤，联立③⑤并解得：m＝0（舍去）或﹣1，故点M（1，﹣4）；综上，点M的坐标为（1，﹣4）或（，）或（，）．5．解：（1）令x＝0，得y＝x2+2x﹣6＝﹣6，∴C（0，﹣6），令y＝0，得y＝x2+2x﹣6＝0，解得，x＝﹣6或2，∴A（﹣6，0），点B（2，0），设直线AC的解析式为：y＝kx+b（k≠0），则，∴，∴直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣6，∵y＝x2+2x﹣6＝（x+2）2﹣8，∴D（﹣2，﹣8），过D作DM⊥x轴于点M，交AC于点N，如图1，则N（﹣2，﹣4），∴，∴△ACD的面积＝；（2）如图1，过点D作x轴的平行线交FP的延长线于点H，由点A、D的坐标得，直线AD的表达式为：y＝﹣2x﹣12，故tan∠FDH＝2，则sin∠FDH＝，∵∠HDF+∠HFD＝90°，∠FPG+∠PFG＝90°，而∠HFD＝∠PFG，∴∠FPG＝∠FDH，在Rt△PGF中，PF＝＝＝FG，则EF+FG＝EF+PF＝EP，设点P（x，x2+2x﹣6），则点E（x，﹣x﹣6），则EF+FG＝EF+PF＝EP＝﹣x﹣6﹣（x2+2x﹣6）＝﹣x2﹣3x，∵﹣＜0，故EP有最大值，此时x＝﹣＝﹣3，最大值为；当x＝﹣3时，y＝x2+2x﹣6＝﹣，故点P（﹣3，﹣）；（3）存在，理由：设点M的坐标为（m，n），则n＝m2+2m﹣6①，点N（0，s），（Ⅰ）当点M在x轴下方时，①当∠MNB为直角时，如图2，过点N作x轴的平行线交过点B与y轴的平行线于点H，交过点M与y轴的平行线于点G，∵∠MNG+∠BNH＝90°，∠MNG+∠GMN＝90°，∴∠GMN＝∠BNH，∵∠NGM＝∠BHN＝90°，MN＝BN，∴△NGM≌△BHN（AAS），∴GN＝BH，MG＝NH，即n﹣s＝2且﹣m＝﹣s②，联立①②并解得：m＝﹣2±2（舍去正值），故m＝﹣2﹣2；②当∠NBM为直角时，如图3，过点B作y轴的平行线交过点N与x轴的平行线于点G，交过点M与x轴的平行线于点H，同理可证：△MHB≌△BGN（AAS），则BH＝NG，即n＝﹣2，当n＝﹣2时，m2+2m﹣6＝﹣2，解得：m＝﹣2±2（舍去正值），故m＝﹣2﹣2；（Ⅱ）当点M在x轴上方时，同理可得：m＝﹣﹣或﹣3﹣；综上，点M的横坐标为﹣2﹣2或﹣2﹣2或﹣﹣或﹣3﹣．6．解：（1）直线l：y＝x+m过点B（0，﹣1），则m＝﹣1，则直线l：y＝x﹣1，将点C（4，n）代入上式并解得：n＝2，故点C（4，2），将点B、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣1；（2）如图1，过点P作PD∥y轴交AC于点D，点D在线段AC上，由题意得P（a，a﹣1），则D（a，a﹣1），A（，0），∴PD＝＝﹣+2a，∵A（，0），C（4，2），∴△APC 的面积＝S △PAD +S △PDC ＝×PD ×（4﹣）＝××＝﹣（a ﹣2）2+，∴a ＝2时，△APC 的面积最大，最大值为．同理当点D 在线段AB 上时，S △APC ＝S △PDC ﹣S △PAD ＝×PD ×（4﹣）＝﹣（a ﹣2）2+， ∴a ＝2时，△APC 的面积最大，最大值为．综合以上可得a ＝2时，△APC 的面积最大，最大值为． （3）∵△AOB 绕点M 沿逆时针方向旋转90°， ∴A 1O 1∥y 轴时，B 1O 1∥x 轴，设点A 1的横坐标为x ，①如图2，点O 1、B 1在抛物线上时，点O 1的横坐标为x ，点B 1的横坐标为x +1，∴x 2﹣x ﹣1＝（x +1）2﹣（x +1）﹣1， 解得x ＝，②如图3，点A 1、B 1在抛物线上时，点B 1的横坐标为x +1，点A 1的纵坐标比点B 1的纵坐标大，∴x 2﹣x ﹣1＝（x +1）2﹣（x +1）﹣1+， 解得x ＝﹣，综上所述，点A 1的横坐标为或﹣．7．解：（1）连接BC ，令y＝0，得y＝ax2﹣12ax+32a＝0，解得，x＝4或8，∴A（4，0），B（8，0），令x＝0，得y＝ax2﹣12ax+32a＝32a，∴C（0，32a），又∠ABC＝30°，∴tan∠ABC＝，解得，a＝；（2）过M点作MH⊥AB于点H，连接MA、MC，如图2，∴AH＝BH＝＝2，∴OH＝6，设M（6，d），∵MA＝MC，∴4+d2＝36+（d﹣32a）2，得2ad＝32a2+1，∴d＝16a+＝，∴当4时，有，即当a＝时，有；（3）∵P（t，t），∴点P在直线y＝x上，如图3，取AB的中点T，过T作MT⊥AB，以M为圆心，MA为半径作⊙M，MT与直线y＝x 交于点S，P′为直线y＝x上异于P的任意一点，连接AP′，交⊙M于点K，连接BK，MP，AP，BP，MB，MA，当⊙M与直线y＝x相切时，有∠APB＝∠AKB＞∠AP′B，∴∠APB最大，此时相切点为P，设M（6，d），而T（6，0），∴S（6，6），∴∠PSM＝90°﹣∠SOT＝45°，又MP＝MB＝，∴MS＝＝，∵MS+MT＝ST＝6，∴，解得，d＝2（负根舍去），经检验，d＝2是原方程的解，也符合题意，∴M（6，2），∴MB＝2，∵∠AMB＝2∠APB，MT⊥AB，MA＝MB，∴∠AMT＝∠BMT＝∠AMB＝∠APB，∴sin∠APB＝sin∠BMT＝．8．解（1）∵直线y＝x﹣5经过点B，C，∴点B（5，0），C（0，﹣5），∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B，C，∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+6x﹣5①；（2）①如图1，过点P作PD⊥x轴，交BC于点D，设点P（m，﹣m2+6m﹣5），则点D的坐标为（m，m﹣5），∴PD＝﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）＝﹣m2+5m，S＝PD×OB＝×（﹣m2+5m）×5＝﹣m2+m＝﹣，△PBC取得最大值，此时点P的坐标为（，）；∵0＜m＜5，当m＝时，S△PBC②如图2，作点P关于y轴的对称点P’，连接P’A交y轴于点M，连接MP，此时，MP+MA的值最小，∵PB，AB为定长线段，此时四边形PMAB的周长最小，∵P 的坐标为（，）； ∴点P ′的坐标为（﹣，）， ∵抛物线y ＝﹣x 2+6x ﹣5交x 轴于A ，B 两点，且B （5，0），点A 的坐标为（1，0）， ∴直线P ′A 的解析式为y ＝﹣x +， ∴点M 的坐标为（0，）；③在Rt △AOC 中，tan ∠ACO ＝＝，则tan ∠P ′BO ＝2tan ∠ACO ＝， 如图3，当点P ′位于第一象限时，过点B 作直线BE 交抛物线于点P ′、交y 轴于点E ，∵tan ∠P ′BO ＝＝，∴， ∴OE ＝2，∴E （0，2），设直线BP ′的表达式为：y ＝kx +2，将点B 的坐标代入上式并计算得：k ＝﹣， 故直线BP ′的表达式为：y ＝﹣x +2②，联立①②并解得：x 1＝0（不合题意值舍去），x 2＝， 则点P ′的坐标为（，）； 当点P ″位于第四象限时，同理可得P ″（，﹣）； 综上，点P 的坐标为（，）或（，﹣）．9．解：（1）∵直线y＝x+3经过A、B两点．∴当x＝0时，y＝3，当y＝0时，x＝﹣4，∴直线y＝x+3与坐标轴的交点坐标为A（﹣4，0），B（0，3）．分别将x＝0，y＝3，x＝﹣4，y＝0代入y＝﹣x2+bx+c得，，解得，b＝﹣，c＝3，（2）由（1）得y＝﹣x2﹣x+3，设点P（m，﹣m+3），则D（m，m+3），∴PD＝﹣＝﹣，∴当m＝﹣2时，PD最大，最大值是．（3）存在点G，使得以C、D、G、Q为顶点的四边形是平行四边形，G点的坐标为或或；∵y＝﹣x2﹣x+3，∴y＝0时，x＝﹣4或x＝2，∴C（2，0），由（2）可知D（﹣2，），抛物线的对称轴为x＝﹣1，设G（n，﹣n+3），Q（﹣1，p），CD与y轴交于点E，E为CD的中点，①当CD为对角线时，n+（﹣1）＝0，∴n＝1，此时G（1，）．②当CD为边时，若点G在点Q上边，则n+4＝﹣1，则n＝﹣5，此时点G的坐标为（﹣5，﹣）．若点G在点Q上边，则﹣1+4＝n，则n＝3，此时点G的坐标为（3，﹣）．综合以上可得使得以C、D、G、Q为顶点的四边形是平行四边形的G点的坐标为或或；10．解：（1）∵点A（3，4）在直线y＝x+m上，∴4＝3+m．∴m＝1．设所求二次函数的关系式为y＝a（x﹣1）2．∵点A（3，4）在二次函数y＝a（x﹣1）2的图象上，∴4＝a（3﹣1）2，∴a＝1．∴所求二次函数的关系式为y＝（x﹣1）2．即y＝x2﹣2x+1．（2）①设P、E两点的纵坐标分别为y P和y E．∴PE＝h＝y P﹣y E＝（x+1）﹣（x2﹣2x+1）＝﹣x2+3x．即h＝﹣x2+3x（0＜x＜3）．②存在．∵h＝﹣（x﹣）2+，又∵a＝﹣1＜0，∴x＝时，h的值最大，最大值为．。
2021二次函数知识点总结及中考题型总结(精华版)
二次函数知识点总结及中考题型 ,易错题总结（一）二次函数知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y axbx c （ a ，b ，c 是常数， a 0 ）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调： 和一元二次方程类似， 二次项系数 0 ，而b ，c a 可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数 bx c 的结构特征：2yax⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式， x 的最高次数是2．⑵ a ，b ，c 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2ax的性质：y a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
开口方 顶点坐 对称a 的符 性质号向标轴x 0 时， y 随x 的增大而增大； x 0 时， y 随 x 的增大而减小； 0 时，向上0 ，0y 轴 a 0xy 有最小值 0 ．x 0 时， y 随x 的增大而减小； x 0 时， y 随 x 的增大而增大； 0 时，y 轴 向下0 ，0a 0x2.y 有最大值 0 ．2y axc的性质： 上加下减。
开口方 顶点坐 对称a 的符性质号向标轴0 时， y 随x 的增大而增大； x x 0 向上时， y 随 x 的增大而减小； 0 时，0 ，cy 轴a 0x y 有最小值 c ．x 0 时， y 随x 的增大而减小； x 0 时， y 随 x 的增大而增大； 0 时，向下0 ，cy 轴 a 0x3.y 有最大值 c ．2y a x h的性质：左加右减。
a 的符开口方 顶点坐 对称性质号向标轴h 时，y 随 x 的增大而增大； x x h y 随向上时， x 的增大而减小； h 时，h ，0x X=ha 0y有最小值 0 ．h 时，y 随 x 的增大而减小； x x h y 随向下h ，0X=h时， x 的增大而增大； h 时，x a 0y 有最大值 0．2y a x hk的性质 ：4.a 的符 开口方 顶点坐 对称性质号 向 标 轴h 时， y 随x 的增大而增大； x x h y 随向上时， x 的增大而减小； h 时，h ，kX=hx a 0y 有最小值 k．h 时，y 随 x 的增大而减小； x x h y 随向下时， x 的增大而增大； h 时，h ，kX=hx a 0y有最大值 k ．三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：2y a x hk方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标h ，k；2h ，ky ax ⑵ 保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：向上 (k>0)【或向下 (k<0)】平移 |k|个单位y=ax 2y=ax 2+k向右 ( h>0) 【或左 ( h<0) 】平移 |k|个单位向右 (h>0)【或左 (h<0)】平移 |k| 个单位向右 (h>0)【或左 (h<0)】平移 |k| 个单位向上 ( k>0) 【或下 ( k<0) 】 平移 |k|个单位2 y=a( x-h)y=a (x-h)2+k向上 (k>0) 【或下 (k<0)】平移 |k|个单位2. 平移规律h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”． 在原有函数的基础上“ 概括成八个字“左加右减，上加下减” ．方法二：22c 沿 y 轴平移 :向上（下）平移 y ax bx y axbx c 变成m 个单位， ⑴y ax 2ax2bx c m （或 y bx c m ）22y ax bx c 沿轴平移：向左（右）平移 y axbx c 变成m 个单位， ⑵22y a( x m)b(x m) c （或 y a(x m)b( x m) c ）22y a x hky ax bx c 的比较 四、二次函数与22y a x h ky axbx c 是两种不同的表达形式， 从解析式上看，与后者通过222b 2 a4ac 4ab b 2a4ac 4ab y a x，kh配方可以得到前者，即 ，其中．2yaxbx c 图象的画法五、二次函数 22y ax bx c 化为顶点式 y a(x h)k五点绘图法： 利用配方法将二次函数 ，确 定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画0，c 0 ，c 顶点、与 y 轴的交点 图.一般我们选取的五点为：、以及 关于对称轴 2h ，c x 1 ，0 x 2 ，0 对称的点 、与 x 轴的交点 ， （若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点） .y 轴 画草图时应抓住以下几点： 的交点 . 开口方向， 对称轴， 顶点，与 x 轴的交点， 与2yaxbx c 的性质六、二次函数 2b ，4ac b b2a ，顶点坐标为x2a 4a0 时，抛物线开口向上，对称轴为．当a 1. b2a b2 a 时，y 随 b 2axxx时，y 随 x 的增大而减小； 当当x 的增大而增大； 当24ac 4aby 有最小值时， ．2b4ac b b2a ，顶点坐标为， x2a 4a 0 时，抛物线开口向下， 对称轴为．当当a 2. b2 a 时，b2a b2 a 时，xx x y 随 x 的增大而增大；当 y 随x 的增大而减小；当 时， 24ac 4 aby 有最大值．七、二次函数解析式的表示方法 2y axbx c （ a ， b ， c 为常数， 0 ）；0 ）；1. 一般式：2. 顶点式：3. 两根式： a 2ya( x h) k（a ， h ， k 为常数， a ya( x x 1)( x x 2) （a 0 ， x 1 ， x 2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标） . 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次2函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即 0 时，抛物 b 4ac 线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互 化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数 a2y axbx c 中， a 作为二次项系数，显然 二次函数 a 0 ．0 时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，⑴ 当 a开口越大；0 时，抛物线开口向下， a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，⑵ 当 a开口越大．a 总结起来， a 决定了抛物线开口的大小和方向， a 的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小． 一次项系数 b2. a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴． 在二次项系数 0 的前提下，⑴ 在 ab2a 0y 轴左侧；当b 0时，，即抛物线的对称轴在 b2a 0，即抛物线的对称轴就是y 轴；当b 0时，b2a，即抛物线对称轴在 y 轴的右侧．当b 0时， ⑵ 在 a 0 的前提下，结论刚好与上述相反，即b2a 0y轴右侧；当b 0时，，即抛物线的对称轴在 b2a 0，即抛物线的对称轴就是y 轴；当b 0时，b2a，即抛物线对称轴在 y 轴的左侧．当b 0时，总结起来，在 a 确定的前提下， b 决定了抛物线对称轴的位置．b2a 在 y 轴左边则 x0 ，在 y 轴的右侧则 ab 的符号的判定： 对称轴ab ab 0 ，概括的说就是“左同右异” 总结： 3. 常数项 c0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方， 即抛物线与 y 轴交点的纵坐⑴ 当 c标为正；0 时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵⑵ 当 c坐标为 0 ；0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方， 即抛物线与 y 轴交点的纵坐 ⑶ 当 c标为负．c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置． 总结起来，a ，b ，c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．总之，只要二次函数解析式的确定 ：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求 二次函数的解析式必须根据题目的特点， 选择适当的形式， 才能使解题简便． 一 般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；3. 已知抛物线与4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达x 轴对称 1. 关于 22ya xb x关cyaxbx c； x 轴对称后，得到的解析式是 22y a x hk ya x h k关于x 轴对称后，得到的解析式是 ；y 轴对称2. 关于 22ya xb x关cy 轴对称后，得到的解析式是 y axbx c； 22y a x hky a x h ky 轴对称后，得到的解析式是关于 ；3. 关于原点对称22y a xb x关c于原点对称后，得到的解析式是y ax bx c ；22h y a x 关k 于原点对称后，得到的解析式是y a x h k ； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转 180°）2b2y axbx c2y a xb x 关c 于顶点对称后，得到的解析式是 ；2a 22y a x hky a x hk关于顶点对称后，得到的解析式是．m ，n 对称5. 关于点22m ，n y a x hk关于点 ya x h 2m2n k对称后，得到的解析式是根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生 a 变化，因此 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或 方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方 向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 x 轴交点情况）：2ax2y bx c y 0一元二次方程 0 是二次函数 当函数值 时的特殊情况 .axbx c 图象与 x 轴的交点个数： A x 1 ，0 ，B x 2 ，0 2x 1 ，x 2(x 1x 2 ) ，其中的 ① 当0 时，图象与 x 轴交于两点 b4ac 2axbx c 0 a 0是一元二次方程的两根．这两点间的距离2b4ac aABx 2x 1.② 当 0 时，图象与 x 轴只有一个交点； ③ 当0 时，图象与 x 轴没有交点 .y 0 ； 0 时，图象落在 x 轴的上方，无论 x 为任何实数，都有 当 a 1' y 0 ．0 时，图象落在 x 轴的下方，无论 x 为任何实数，都有 当 a 2'2y axbx c 的图象与 y 轴一定相交，交点坐标为(0， c) ；2. 抛物线3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶 点式；2y axbx c中⑶ 根据图象的位置判断二次函数a ，b ，c 的符号，或由二次函 数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与 x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标 .2axbx c(a 0) 本身就是所⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式 含字母 x 的二次函数；下面以0 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元a二次方程之间的内在联系：抛物线与x 轴二次三项式的值一元二次方程有两个不相等实根有两个交点可正、可零、可负0抛物线与x 轴二次三项式的值一元二次方程有两个相等的实数根只有一个交为非负点抛物线与x 轴二次三项式的值一元二次方程无实数根.无交点恒为正二次函数图像参考：y=2x 2y=x 2x 2 22y=2x 2y=2(x-4)y=y=2(x-4) 2-3y=2 x 2 +22y=3(x+4)2y=3x x2y=2y=3(x-2) 2 y=2 x 2-4x22y= -y=-2(x+3) 2y= -x 2y=-2(x-3) 2y=-2x 22y=-2x刹车距离 何时获得最大利润最大面积是多少十一、函数的应用（二） 二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中 ，如：22y (m 2) x mm 2 的图像经过原点，已知以 x 为自变量的二次函数 则m 的值 是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是 在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题， 如：kx y(k 0)2y kx k 如图，函数 和在同一直角坐标系中图象可能是图中的()3.考查用待定系数法求二次函数的解析式， 有关习题出现的频率很高， 习题类型 有中档解答题和选拔性的综合题，如：53 ，求这条抛物线的解析式。
2021年中考数学复习讲义-二次函数
二次函数知识梳理要点透析一、二次函数 1.二次函数一般地，形如c bx ax y ++=2(a 、b 、c 是常数，且a ≠0)的函数称为二次函数，其中x 是自变量，y 是x 的函数，2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数，bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项.二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）的自变量x 可以是任意实数.2.二次函数的图象与性质（1）二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）的图象是抛物线，对称轴是直线x =-ab2，顶点坐标为（-ab2，a b ac 442-）.①a ＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，x =-ab2时，y 的值最小，最小值为ab ac 442-.②a ＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，x =-ab2时，y 的值最大，最大值为ab ac 442-.（2）()k h x a y +-=2(a ≠0）的图象是抛物线，对称轴是直线h x =，顶点坐标为()k h ,.（3）抛物线的绘画：“五点法”即顶点加对称轴两边的各两点. 3. c bx ax y ++=2中a 、b 、c 的取值与函数图象的位置（1）由c bx ax y ++=2的a 、b 、c 的取值可以判断函数图象的位置a ——确定二次函数的开口方向；b ——在a 的值确定的前提下，b 的值确定-ab2的值大于或等于或小于0，从而确定函数图象的对称轴在y 轴的右边、y 轴还是在y 轴的左边.c——二次函数的图象与y 轴的交点坐标为（0，c ），c 的值确定图象与y 轴的交点在x 轴的上方、原点还是在x 轴的下方.（2）由二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）的图象能说明a 、b 、c 的符号开口方向——a ，对称轴的位置——-ab2，与y 轴的交点——c 4.二次函数解析式的确定 （1）二次函数的三种解析式①一般式：c bx ax y ++=2（a ≠0）②顶点式：()k h x a y +-=2(a ≠0）其中（h ，k ）为顶点③双根式：()()21x x x x a y --=(0≠a )其中1x 、2x 为抛物线与x 轴两交点的横坐标 （2）三种解析式的选用当已知条件是“图象过任意三点”或给出的是三组对应的x 、y 的值，用一般式，列出方程组，求出系数a 、b 、c .当已知条件涉及图象顶点、对称轴、最大值或最小值时，用顶点式，求待定系数a 、h 、k .当已知条件为抛物线与x 轴两交点坐标时，用双根式较为简捷. 5.抛物线的平移与对称（1）上、下平移直接在抛物线的解析式后进行加减，向上为“+”，向下为“-”；左、右移动，在()k h x a y +-=2的括号内进行加减，向左为“+”，向右为“-”.如果所给函数关系式为一般式c bx ax y ++=2，应化为顶点式，也可按照这样的方法实施：向上平移m 个单位（m ＞0），则变为c bx ax y ++=2+m ；向下平移m 个单位（m ＞0），则变为c bx ax y ++=2-m ；向左平移m 个单位（m ＞0），则变为()()c m x b m x a y ++++=2；向右平移m 个单位（m ＞0），则变为()()c m x b m x a y +-+-=2.（2）抛物线()k h x a y +-=2的顶点为（h ，k ），关于x 轴对称为（h ，-k ），抛物线关于x 轴对称的解析式变为()k h x a y ---=2,y =-〔()k h x a +-2〕，在解析式前添上“-”即可.一般式c bx ax y ++=2关于x 轴对称时，相同的x ，对应的y 正好相反，故-c bx ax y ++=2，即c bx ax y ---=2，所有系数均变为相反数.（3）抛物线()k h x a y +-=2的顶点为（h ，k ），关于y 轴对称的点的坐标为（-h ，k ），解析式变为()k h x a y ++=2.一般式c bx ax y ++=2关于y 轴对称时，对称的点的纵坐标不变，横坐标互为相反数，故解析式为c x b x a y +-+-=)()(2，即c bx ax y +-=2，只需把一次项系数变为相反数. （4）抛物线()k h x a y +-=2的顶点为（h ，k ），关于原点对称的点的坐标为（-h ，-k ），解析式变为()k h x a y -+-=2.一般式c bx ax y ++=2关于原点对称，对称点的横、纵坐标均变为其相反数，故解析式为-c x b x a y +-+-=)()(2，即c bx ax y -+-=2，二次项系数、常数项均变为相反数，一次项系数不变. 6．特别提示（1）二次函数的图象用“五点法”绘画，其中关键一点是顶点，然后在顶点两边各取两个点.（2）三元一次方程组的解法课标不作要求，已知任意三点坐标，求二次函数的解析式，一般难以出现.二、二次函数与一元二次方程1.一般地，二次函数c bx ax y ++=2的图象与一元二次方程02=++c bx ax 的根有如下关系：如果二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有两个公共点，那么一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根.如果二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有一个公共点，那么一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根.如果二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴没有公共点，那么一元二次方程02=++c bx ax 没有实数根.反之，根据一元二次方程02=++c bx ax 根的情况也可以知道二次函数的图象c bx ax y ++=2与x 轴的位置关系.2.一元二次方程02=++c bx ax 的近似求解（1）画出c bx ax y ++=2的图象，读出图象与x 轴交点的横坐标，即是对应方程的解. （2）在同一直角坐标系中画出2ax y =与c bx y --=的图象，读出交点的横坐标，即是方程的解.比较方法（1），虽说画了两个函数图象，但相比较而言，这两个图象要容易画得多. 3．特别提示：已知二次函数求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，可以解对应的一元二次方程，但若问，自变量取何值时，函数值大于0或小于0，就不能解对应的一元二次不等式，而应画出函数图象，直接由函数图象读出. 典例演示例1．二次函数c bx ax y ++=2的图象如图5.2-1所示，则一次函数a bx y +=的图象不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限思路点拨 由二次函数的图象知a ＞0,b ＞0,c ＞0,一次函数a bx y +=的图象过一、二、三象限. 解：选D.例2.已知抛物线c bx ax y ++=2的开口向下，顶点坐标为（2，－3），那么该抛物线有（ ） A. 最小值 －3 B. 最大值－3 C. 最小值2 D. 最大值2 思路点拨 抛物线开口向下，有最大值，最大值为顶点的纵坐标. 解：选B.例3.二次函数5632+--=x x y 的图像的顶点坐标是（ ） A ．（-1，8） B ．（1，8） C ．（-1，2） D ．（1，-4）思路点拨 配方法或直接代入公式（ab 2-，a b ac 442-）求顶点坐标.解：选A.例4.抛物线c bx x y ++=2图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为322--=x x y ，则b 、c 的值为（ ） A .2=b ，2=c B. 2=b ，0=cC . 2-=b ，1-=c D. 3-=b ，2=c思路点拨 将抛物线322--=x x y 向左平移两个单位，再向上平移三个单位即得到抛物线c bx x y ++=2，有c bx x y ++=2=34)21(2+-+-xx图5.2-1y O图5.2-2解：选B.例5.已知二次函数)1()2(2-+-=a a x y （a 为常数），当a 取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．图5.2-2分别是当1-=a ，0=a ，1=a ，2=a 时二次函数的图象.它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是y = .思路点拨 顶点坐标为（a 2，1-a ），a x 2=，1-=a y ，消去a ，就可以得到顶点的横、纵坐标满足的函数关系式. 解：12-=xy 例6.若二次函数k x x y ++-=22的部分图象如图5.2-3所示，则关于x 的一元二次方程022=++-k x x 的一个解31=x ，另一个解=2x ；思路点拨 抛物线关于直线1=x 对称，对应方程的解为抛物线与x 轴的两个交点的横坐标. 解：-1例7.如图5.2-4，是二次函数c bx ax y ++=2图象的一部分，其对称轴为直线1=x ，若其与x 轴一交点为A （3，0），则由图象可知，不等式c bx ax ++2＜0的解集是 . 思路点拨 根据图象读出抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（-1，0），不等式的解即为图象在x 轴下方对应的x 的值. 解：－1＜x ＜3.例8.已知二次函数32-+=bx ax y 的图象经过点A （2，－3），B （－1，0）． （1）求二次函数的解析式；（2）填空：要使该二次函数的图象与x 轴只有一个交点，应把图象沿y 轴向上平移 个单位．思路点拨 （1）函数图象过点，说明点的坐标适合函数解析式，（2）抛物线与x 轴只有一个公共点，对应的ac b 42-=0.解：(1)由已知，有⎩⎨⎧=---=-+033324b a b a ，即⎩⎨⎧=-=+3024b a b a ，解得⎩⎨⎧-==21b a∴所求的二次函数的解析式为322--=x x y . (2) 4y图5.2-3Ox1 3图5.2-4例9．如图5.2-5，已知二次函数c bx x y ++-=221的图象经过A （2，0）、B （0，－6）两点. （1）求这个二次函数的解析式（2）设该二次函数的对称轴与x 轴交于点C ， 连结BA 、BC ，求△ABC 的面积.思路点拨 （1）代入求出b 、c.(2)确定对称轴，求出C 点坐标，再求△ABC 的面积.解：（1）把A （2，0）、B （0，－6）代入c bx x y ++-=221 得：⎩⎨⎧-==++-6022c c b 解得⎩⎨⎧-==64c b∴这个二次函数的解析式为64212-+-=x x y（2）∵该抛物线对称轴为直线4)21(24=-⨯-=x∴点C 的坐标为（4，0）∴224=-=-=OA OC AC ∴6622121=⨯⨯=⨯⨯=∆OB AC S ABC 例10.用长度为20m 的金属材料制成如图5.2-6所示的金属框，下部为矩形，上部为等腰直角三角形，其斜边长为2x m ．当该金属框围成的图形面积最大时，图形中矩形的相邻两边长各为多少？请求出金属框围成的图形的最大面积．思路点拨 用x 表示出金属框围成图形的面积S ，得到一二次函数，二次项系数为负，有最大值.配方或公式求出何时取得最大值. 解：根据题意可得：等腰直角三角形的直角边为x 2cm ，矩形的一边长为x 2cm ．其相邻边长为x x)22(102)224(20+-=+-该金属框围成的面积[]x x x x S 2221)22(102•⨯++-•==x x 20)223(2++-（25100-<<x ） 当2203022310-=+=x 时, 金属框围成的面积最大，此时矩形的一边是220602-=x （m ）,相邻边长为10210)223(10)22(10-=-⨯+-(m)∴)22-(3100=最大S (2m )答：当矩形的一边是（22060-）m ,相邻边长为（10210-）米时，面积最大，y xCAO B图5.2-5 图5.2-6为)22-(31002m .例11.某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时平均每天销售量是500件，而销售价每降低1元，平均每天就可以多售出100件.(1)假定每件商品降价x 元，商店每天销售这种小商品的利润是y 元，请写出y 与x 间的函数关系式，并注明x 的取值范围．(2)每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？(注：销售利润＝销售收入－购进成本)思路点拨 （1）用每件利润乘以销售件数就得到利润.（2）函数关系式为二次函数，二次项系数为负有最大值.解：(1)设降价x 元时利润最大．依题意：)100500)(5.25.13(x x y +--=整理得：)556(1002++-=x x y (0＜x ≤1) (2)由(1)可知，当x ＝3时y 取最大值，最大值是6400即降价3元时利润最大，∴销售单价为10.5元时，最大利润6400元 答：销售单价为10.5元时利润最大，最大利润为6400元. 方法归纳一、二次函数的图象位置与字母系数取值a :开口方向 c :与y 轴的交点的纵坐标 a 、b ：对称轴的位置 b 2-4ac :与x 轴的交点个数 a+b+c :x=1时，y 的值 a-b+c :x =-1时，y 的值 2a+b:对称轴在直线x=1的左边还是右边 2a-b: 对称轴在直线x=-1的左边还是右边. 二、二次函数的图象变换二次函数的图象变换，关键是顶点的变换，结合考虑抛物线的开口方向. 三、二次函数的实际应用1.根据题意，布列出函数关系式，再利用二次函数的知识解决相关问题；2.已知实际生活中的抛物线，建立坐标系解决问题时，坐标系的建立力求简单，通常以抛物线的顶点为坐标原点，水平直线为x 轴，竖直直线为y 轴.此处提醒注意的是：距离与点的坐标之间的关系.四、二次函数中存在性题的处理基本思路：先对结论作肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，若导出矛盾，则否定先前的假设；若推出合理的结论，则说明假设正确，由此得出问题的结论.。
中考数学复习二次函数知识点总结
中考数学复习二次函数知识点总结二次函数是中学数学中的重要内容，也是考试中常见的题型之一、在复习二次函数时，需要掌握其基本概念、性质、图像和应用等方面的知识。
下面是关于二次函数的知识点总结。
一、基本概念1.二次函数的定义二次函数是形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数，其中a、b、c为常数，且a为二次函数的二次系数。
2.二次函数的导数与二次系数的关系二次函数的导数为一次函数，二次系数a决定了导数的单调性，当a>0时，导数在整个定义域上单调递增；当a<0时，导数在整个定义域上单调递减。
3.二次函数的对称轴二次函数的对称轴是二次函数的图像关于该轴对称的直线。
对称轴的方程为x=-b/2a，其中a、b是二次函数的系数。
4.二次函数的顶点二次函数的顶点是二次函数的图像的最低点或最高点，对称轴上的点。
顶点的横坐标为对称轴的横坐标，纵坐标为代入对称轴横坐标得到的纵坐标。
二、性质1.零点性质二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的零点是方程ax²+bx+c=0的解，当方程有解时，二次函数与x轴交于两点，也可能与x轴重合。
2.二次函数图像的开口方向当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。
3.二次函数的最值当a>0时，二次函数的最小值是顶点的纵坐标；当a<0时，二次函数的最大值是顶点的纵坐标。
4.判别式二次函数方程ax²+bx+c=0的判别式Δ=b²-4ac可以判断二次函数方程的解的情况：当Δ>0时，方程有两个不相等实数解；当Δ=0时，方程有两个相等实数解；当Δ<0时，方程没有实数解。
三、图像1.开口向上的二次函数图像特点开口向上的二次函数图像在顶点处为最小值，两侧递增；对称轴为y 轴且在第四象限，二次系数a为正数。
2.开口向下的二次函数图像特点开口向下的二次函数图像在顶点处为最大值，两侧递减；对称轴为y 轴且在第一象限，二次系数a为负数。
2021年中考复习数学 专题训练：二次函数的图象及性质(含答案)
2021中考数学专题训练：二次函数的图象及性质一、选择题1. 在平面直角坐标系中，对于二次函数y=(x-2)2+1，下列说法中错误的是()A.y的最小值为1B.图象顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线x=2C.当x<2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小D.它的图象可以由y=x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到2. 抛物线y＝2(x－3)2＋1的顶点坐标是()A. (3，1)B. (3，－1)C. (－3，1)D. (－3，－1)3. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表：有下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x＝2；③当0<x<4时，y>0；④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4；⑤若A(x1，2)，B(x2，3)是抛物线上的两点，则x1<x2.其中正确的个数是()A．2 B．3 C．4 D．54. 某人画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象时，列出下表(计算没有错误)：根据此表判断：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根x1满足下列关系式中的() A．3.2<x1<3.3 B．3.3<x1<3.4 C．3.4<x1<3.5 D．3.1<x1<3.25. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：①b2>4ac；②abc<0；③2a ＋b－c>0；④a＋b＋c<0.其中正确的是()A．①④B．②④C．②③D．①②③④6. (2019•嘉兴)小飞研究二次函数y=–(x–m)2–m+1(m为常数)性质时如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y=–x+1上；②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点A(x1，y1)与点B(x2，y2)在函数图象上，若x1<x2，x1+x2>2m，则y1<y2；④当–1<x<2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≥2其中错误结论的序号是A．①B．②C．③D．④7. （2020·常德）二次函数的图象如图所示，下列结论：240b ac ->①；0abc <②；40a b +=③；420a b c -+>④．其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．18. （2020·湖北孝感）将抛物线：y =-2x +3向左平移1个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于x 轴对称，则抛物线的解析式为( ) A.y =--2 B.y =-+2 C.y =-2 D.y =+2二、填空题9. 经过A (4，0)，B (-2，0)，C (0，3)三点的抛物线解析式是_____________.10. 如图所示，抛物线y ＝ax 2－3x ＋a 2－1经过原点，那么a 的值是________．11. 已知函数y ＝ax 2＋c 的图象与函数y ＝－3x 2－2的图象关于x 轴对称，则a ＝________，c ＝________．12. (2019•天水)二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，若42M a b =+，=-．则M、N的大小关系为M__________N．(填“>”、“=”或“<”)N a b13. 如图，抛物线y=-x2+x+2与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，且CD∥AB.AD与y轴相交于点E，过点E的直线PQ平行于x 轴，与拋物线相交于P，Q两点，则线段PQ的长为.14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx(a＞0)的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y＝ax2(a＞0)交于点B.若四边形ABOC是正方形，则b的值是________．三、解答题15. 已知抛物线经过点A(1，0)，B(0，3)，且对称轴是直线x＝2，求该抛物线的解析式．16. 把抛物线y＝x2先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到如图5－ZT －4所示的二次函数的图象．(1)求此二次函数的解析式；(2)在平移后的抛物线上存在一点M，使△ABM的面积为20，请直接写出点M的坐标．17. 如图，二次函数的图象与x轴交于A(-3，0)，B(1，0)两点，交y轴于点C(0，3)，点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B，D.(1)请直接写出点D的坐标;(2)求二次函数的解析式;(3)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围.18. 如图1，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD方别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A(1，2)，过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过O、A、C三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P为线段OC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移的过程中与△COD重叠部分的面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．2021中考数学专题训练：二次函数的图象及性质-答案一、选择题1. 【答案】C[解析]根据二次函数的性质进行判断，由二次函数y=(x-2)2+1，得它的顶点坐标是(2，1)，对称轴为直线x=2，当x=2时，函数的最小值是1，图象开口向上，当x≥2时，y的值随x值的增大而增大，当x<2时，y的值随x值的增大而减小，可由y=x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，所以选项C是错误的，故选C.2. 【答案】A【解析】∵抛物线y＝a(x－h)2＋k的顶点坐标是(h，k)，∴y＝2(x －3)2＋1的顶点坐标是(3，1)．3. 【答案】B[解析] 先根据二次函数的部分对应值在坐标系中描点、连线，由图象可以看出抛物线开口向上，所以结论①正确．由图象(或表格)可以看出抛物线与x轴的两个交点分别为(0，0)，(4，0)，所以抛物线的对称轴为直线x＝2且抛物线与x轴的两个交点间的距离为4，所以结论②和④正确．由图象可以看出当0<x<4时，y<0，所以结论③错误．由图象可以看出当抛物线上的点的纵坐标为2或3时，对应的点均有两个，若A(x1，2)，B(x2，3)是抛物线上两点，既有可能x1<x2，也有可能x1>x2，所以结论⑤错误．4. 【答案】B[解析] 从表格中的数据看，当3.2≤x≤3.5时，y随x的增大而增大，且x＝3.3时，y＝－0.17<0，x＝3.4时，y＝0.08>0，故y＝0一定在3.3<x<3.4这个范围内取得，∴方程的根也在此范围内．故选B.5. 【答案】A[解析] ①因为图象与x轴有两个不同的交点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，故①正确．②图象开口向下，故a<0.图象与y轴交于正半轴，故c>0.因为对称轴为直线x＝－1，所以－b2a＝－1，所以2a＝b，故b<0，所以abc>0，故②错误．③因为a<0，b<0，c>0，所以2a ＋b －c<0，故③错误．④当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c ，由图可得，当x ＝－3时，y<0.因为抛物线的对称轴为直线x ＝－1，所以由对称性可知，当x ＝1时，y<0，即a ＋b ＋c<0，故④正确．综上所述，①④正确，故选A.6. 【答案】C【解析】把(m ，–m+1)代入y=–x+1，–m+1=–m+1，左=右，故①正确； 当–(x –m)2–m+1=0时，x1=1m m -x2=1m m - 若顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形， 则1–m+(1–m)2+1–m+(1–m)2=4(1–m)，即m2–m=0，∴m=0或1时，∴存在一个m 的值，使得函数图象的顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形；故②正确； 当x1<x2，且x1、x2在对称轴右侧时，∵–1<0，∴在对称轴右侧y 随x 的增大而减小，即y1>y2，故③错误； ∵–1<0，∴在对称轴左侧y 随x 的增大而增大， ∴m≥2，故④正确， 故选C ．7. 【答案】B 【解析】本题考查了二次函数图像与系数的关系.∵抛物线与x 轴有两个交点，∴方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根，240b ac ∴->，故①正确，由图象知，抛物线的对称轴为直线2x =，22ba∴-=，40a b ∴+=，故③正确，由图象知，抛物线开口方向向下，0a ∴<.∵40a b +=，0b ∴>.∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，0c ∴>.0abc ∴<，故②正确，由图象知，当2x =-时，0y <，420a b c ∴-+<，故④错误.综上所述，正确的结论有3个，因此本题选B ．8. 【答案】A【解析】利用平移得性质“上加下减，左加右减”得抛物线得解析式：y =-2(x +1)+3，整理得y =+2，再利用关于x 轴对称的性质“横坐标不变，纵坐标互为相反数”得：y =--2.故选A. 二、填空题9. 【答案】y=-(x -4)(x +2)[解析]设抛物线解析式为y=a (x -4)(x +2)，把C (0，3)代入上式得3=a (0-4)(0+2)，解得a=-，故y=-(x -4)(x +2).10. 【答案】－1 [解析] 因为抛物线经过原点(0，0)，所以a 2－1＝0，即a ＝±1.因为抛物线的开口向下，所以舍去a ＝1.故a ＝－1.11. 【答案】3212. 【答案】<【解析】当1x =-时，0y a b c =-+>， 当2x =时，420y a b c =++<，()42M N a b a b -=+--()420a b c a b c =++--+<， 即M N <， 故答案为：<．13. 【答案】2[解析]当y=0时，-x 2+x +2=0，解得x 1=-2，x 2=4，∴点A 的坐标为(-2，0).当x=0时，y=-x 2+x +2=2，∴点C 的坐标为(0，2). 当y=2时，-x 2+x +2=2，解得x 1=0，x 2=2， ∴点D 的坐标为(2，2).设直线AD 的解析式为y=kx +b (k ≠0)，将A (-2，0)，D (2，2)代入y=kx +b ，得解得∴直线AD 的解析式为y=x +1.当x=0时，y=x +1=1，∴点E 的坐标为(0，1). 当y=1时，-x 2+x +2=1，解得x 1=1-，x 2=1+， ∴点P 的坐标为(1-，1)，点Q 的坐标为(1+，1)，∴PQ=1+-(1-)=2.14. 【答案】－2 [解析] 抛物线y ＝ax 2＋bx 的顶点C 的坐标为(－b 2a ，－b24a)．把x ＝－b 2a 代入y ＝ax 2，得点B 的坐标为(－b 2a ，b 24a )．在y ＝ax 2＋bx 中，令y ＝0，则ax 2＋bx ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－b a ，∴A(－ba ，0)．∵四边形ABOC 为正方形，∴BC ＝OA ，∴2·b 24a ＝－b a ，即b 2＋2b ＝0.解得b ＝－2或b ＝0(不符合题意，舍去)．三、解答题15. 【答案】解：∵抛物线的对称轴是直线x ＝2且经过点A(1，0)，∴由抛物线的对称性可知，抛物线还经过点(3，0)．设抛物线的解析式为y ＝a(x －1)(x －3)．把(0，3)代入解析式，得3＝3a ，∴a ＝1，∴y ＝(x －1)(x －3)，即该抛物线的解析式为y ＝x2－4x ＋3.16. 【答案】解：(1)此二次函数的解析式为y ＝(x ＋1)2－4，即y ＝x2＋2x －3.(2)∵当y ＝0时，x2＋2x －3＝0，解得x1＝－3，x2＝1，∴A(1，0)，B(－3，0)，∴AB ＝4. 设点M 的坐标为(m ，n)．∵△ABM 的面积为20，∴12AB·|n|＝20，解得n ＝±10. 当n ＝10时，m2＋2m －3＝10，解得m ＝－1＋14或m ＝－1－14，∴点M 的坐标为(－1＋14，10)或(－1－14，10)；当n ＝－10时，m2＋2m －3＝－10，此方程无解．故点M 的坐标为(－1＋14，10)或(－1－14，10)．17. 【答案】解:(1)D(-2，3).(2)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，且a≠0)，根据题意，得解得∴二次函数的解析式为y=-x2-2x+3.(3)x<-2或x>1.18. 【答案】（1）将A(1，2)、O(0，0)、C(2，1)分别代入y＝ax2＋bx＋c，得2,0,42 1.a b cca b c++=⎧⎪=⎨⎪++=⎩解得32a=-，72b=，0c=．所以23722y x x=-+．（2）如图2，过点P、M分别作梯形ABPM的高PP′、MM′，如果梯形ABPM是等腰梯形，那么AM′＝BP′，因此yA－y M′＝yP′－yB．直线OC的解析式为12y x=，设点P的坐标为1(,)2x x，那么237(,)22M x x x-+．解方程23712()222x x x--+=，得123x=，22x=．x＝2的几何意义是P与C重合，此时梯形不存在．所以21(,)33P．图2 图3（3）如图3，△AOB 与△COD 重叠部分的形状是四边形EFGH ，作EK ⊥OD 于K ．设点A ′移动的水平距离为m ，那么OG ＝1＋m ，GB ′＝m ．在Rt △OFG 中，11(1)22FG OG m ==+．所以21(1)4OFG S m ∆=+． 在Rt △A ′HG 中，A ′G ＝2－m ，所以111'(2)1222HG A G m m ==-=-． 所以13(1)(1)22OH OG HG m m m =-=+--=． 在Rt △OEK 中，OK ＝2 EK ；在Rt △EHK 中，EK ＝2HK ；所以OK ＝4HK ． 因此4432332OK OH m m ==⨯=．所以12EK OK m ==． 所以211332224OEH S OH EK m m m ∆=⋅=⨯⋅=． 于是22213111(1)44224OFG OEH S S S m m m m ∆∆=-=+-=-++2113()228m =--+． 因为0＜m ＜1，所以当12m =时，S 取得最大值，最大值为38．。
专题15二次函数及其应用(知识点总结例题讲解)-2021届中考数学一轮复习
1 2 中考数学 专题 15 二次函数及其应用（知识点总结+例题讲解）一、二次函数的概念：1.二次函数的概念：（1）一般地，如果 y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0)，那么 y 叫做 x 的二次函数； （2）抛物线 y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0)叫做二次函数的一般式。
2.二次函数的解析式（ 二次函数的解析式有三种形式）： （1）一般式：y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0) （2）顶点式：y=a(x-h)2+k(a ，h ，k 是常数，a≠0) （3）两根式(交点式)：y=a(x-x 1)(x-x 2)；①已知图像与 x 轴的交点坐标 x 1、x 2，通常选用交点式； 即对应二次方程 ax 2+bx+c=0 有实根 x 和 x 存在； ②如果没有交点，则不能这样表示。
3.用待定系数法求二次函数的解析式：（1）若已知抛物线上三点坐标，可设二次函数表达式为 y ＝ax 2＋bx ＋c ； （2）若已知抛物线上顶点坐标或对称轴方程，则可设顶点式：y ＝a(x －h)2＋k ，其中对称轴为 x ＝h ，顶点坐标为(h ，k)；（3）若已知抛物线与 x 轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用两根式(交点式)：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)，其中与 x 轴的交点坐标为(x 1，0)，(x 2，0)。
【例题 1】已知二次函数的图象经过(2，10)、(0，12)和(1，9)三点，求二次函数的解析式.【答案】y=2x 2-5x+12【解析】设抛物线的解析式为 y=ax 2+bx+c ，把(2，10)、(0，12)、(1，9)分别代入求出 a ，b ，c 即可．解：设抛物线的解析式为 y=ax 2+bx+c ；⎨ ⎩ ⎧4a + 2b + c = 10 把(2，10)、(0，12)、(1，9)分别代入得⎪c = 12⎪a + b + c = 9 所以，二次函数的解析式为：y=2x 2-5x+12。
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2021年温州市中考数学重难点复习：二次函数目录一、历年真题二、知识点讲解三、各地真题及模拟题精讲一、历年真题一．选择题（共8小题）1．将抛物线y ＝x 2﹣2向上平移1个单位后所得新抛物线的表达式为（ ） A ．y ＝x 2﹣1B ．y ＝x 2﹣3C ．y ＝（x +1）2﹣2D ．y ＝（x ﹣1）2﹣2【解答】解：将抛物线y ＝x 2﹣2向上平移1个单位后所得新抛物线的表达式为y ＝x 2﹣2+1，即y ＝x 2﹣1． 故选：A ．2．如图，抛物线y ＝﹣（x +m ）2+5交x 轴于点A ，B ，将该抛物线向右平移3个单位后，与原抛物线交于点C ，则点C 的纵坐标为（ ）A ．52B ．114C ．3D ．134【解答】解：将抛物线y ＝﹣（x +m ）2+5向右平移3个单位后得到y ＝﹣（x +m ﹣3）2+5，根据题意得：{y =−(x +m)2+5y =−(x +m −3)2+5，解得：{x =32−my =114， ∴交点C 的坐标为（32−m ，114），故选：B ．3．已知点A （﹣3，a ），B （﹣2，b ），C （1，c ）均在抛物线y ＝3（x +2）2+k 上，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c ＜a ＜bB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a【解答】解：函数的对称轴为：x ＝﹣2， a ＝3＞0，故开口向上，x ＝1比x ＝﹣3离对称轴远，故c 最大，b 为函数最小值， 故选：C ．4．如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，且对称轴在（﹣1，0）的左边，下列结论一定正确的是（）A．abc＞0B．2a﹣b＜0C．b2﹣4ac＜0D．a﹣b+c＞﹣1【解答】解：A、如图所示，抛物线经过原点，则c＝0，所以abc＝0，故不符合题意；B、如图所示，对称轴在直线x＝﹣1的左边，则−b2a＜−1，又a＞0，所以2a﹣b＜0，故符合题意；C、如图所示，图象与x轴有2个交点，依据根的判别式可知b2﹣4ac＞0，故不符合题意；D、如图所示，当x＝﹣1时y＜0，即a﹣b+c＜0，但无法判定a﹣b+c与﹣1的大小，故不符合题意．故选：B．5．抛物线y＝x2+6x+9与x轴交点的个数是（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：∵b2﹣4ac＝36﹣4×1×9＝0∴二次函数y＝x2+6x+9的图象与x轴有一个交点．故选：B．6．如图一段抛物线y＝x2﹣3x（0≤x≤3），记为C1，它与x轴于点O和A1：将C1绕旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕旋转180°得到C3，交x轴于A3，如此进行下去，若点P（2020，m）在某段抛物线上，则m的值为（）A．0B．−32C．2D．﹣2【解答】解：当y＝0时，x2﹣3x＝0，解得：x1＝0，x2＝3，∴点A1的坐标为（3，0）．由旋转的性质，可知：点A2的坐标为（6，0）．∵2020＝336×6+4，∴当x＝4时，y＝m．由图象可知：当x＝2时的y值与当x＝4时的y值互为相反数，∴m＝﹣（2×2﹣3×2）＝2．故选：C．7．二次函数y＝﹣x2+2mx（m为常数），当0≤x≤1时，函数值y的最大值为4，则m的值是（）A．±2B．2C．±2.5D．2.5【解答】解：y＝﹣x2+2mx＝﹣（x﹣m）2+m2（m为常数），①若m≤0，当x＝0时，y＝﹣（0﹣m）2+m2＝4，m不存在，②若m≥1，当x＝1时，y＝﹣（1﹣m）2+m2＝4，解得：m＝2.5；③若0≤m≤1，当x＝m时，y＝m2＝4，即：m2＝4，解得：m＝2或m＝﹣2，∵0≤m≤1，∴m＝﹣2或2都舍去，故选：D．8．抛物线y＝x2+2x+3与y轴的交点为（）A ．（0，2）B ．（2，0）C ．（0，3）D ．（3，0）【解答】解：把x ＝0代入y ＝x 2+2x +3，求得y ＝3， ∴抛物线y ＝x 2+2x +3，与y 轴的交点坐标为（0，3）． 故选：C ．二．填空题（共12小题）9．抛物线y ＝x 2﹣9与y 轴的交点坐标为 （0，﹣9） ． 【解答】解：令x ＝0，y ＝x 2﹣9＝﹣9， 故答案为：（0，﹣9）10．已知二次函数y ＝x 2﹣4x +3，当a ≤x ≤a +5时，函数y 的最小值为﹣1，则a 的取值范围是 ﹣3≤a ≤2【解答】解：∵二次函数y ＝x 2﹣4x +3＝（x ﹣2）2﹣1， ∴对称轴为直线x ＝2，当a ＜2＜a +5时，则在a ≤x ≤a +5范围内，x ＝2时有最小值﹣1， 当a ≥2时，则在a ≤x ≤a +5范围内，x ＝a 时有最小值﹣1， ∴a 2﹣4a +3＝﹣1， 解得a ＝2，当a +5≤2时，则在a ≤x ≤a +5范围内，x ＝a +5时有最小值﹣1， ∴（a +5）2﹣4（a +5）+3＝﹣1， 解得a ＝﹣3，∴a 的取值范围是﹣3≤a ≤2， 故答案为﹣3≤a ≤2．11．若二次函数y ＝x 2+x +1的图象，经过A （﹣3，y 1），B （2，y 2），C （12，y 3），三点y 1，y 2，y 3大小关系是 y 3＜y 1＝y 2 （用“＜”连接） 【解答】解：∵y ＝x 2+x +1＝（x +12）2+34， ∴图象的开口向上，对称轴是直线x =−12， A （﹣3，y 1）关于直线x =−12的对称点是（2，y 1）， ∵12＜2，∴y 3＜y 1＝y 2，故答案为y 3＜y 1＝y 2．12．如图，C ，D 是抛物线y =56（x +1）2﹣5上两点，抛物线的顶点为E ，CD ∥x 轴，四边形ABCD 为正方形，AB 边经过点E ，则正方形ABCD 的边长为245．【解答】解：设AB ＝CD ＝AD ＝BC ＝a ， ∵抛物线y =56（x +1）2﹣5，∴顶点E （﹣1，﹣5），对称轴为直线x ＝﹣1， ∴C 的横坐标为a2−1，D 的横坐标为﹣1−a2，∵点C 在抛物线y =56（x +1）2﹣5上，∴C 点纵坐标为56（a2−1+1）2﹣5=5a 224−5，∵E 点坐标为（﹣1，﹣5）， ∴B 点纵坐标为﹣5， ∵BC ＝a ， ∴5a 224−5﹣a ＝﹣5，解得：a 1=245，a 2＝0（不合题意，舍去）， 故答案为：245．13．一个小球从水平面开始竖直向上发射，小球的高度h （m ）关于运动时间t （s ）的函数表达式为h ＝at 2+bt ，其图象如图所示．若小球在发射后第2s 与第6s 时的高度相等，则小球从发射到回到水平面共需时间 8 （s ）．【解答】解：由题意可知：小球在发射后第2s与第6s时的高度相等，则函数h＝at2+bt的对称轴t=6+22=4，故小球从发射到回到水平面共需时间8秒，故答案是：8．14．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，则水面下降1m时，水面宽度增加（2√6−4）m．【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C 点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a＝﹣0.5，所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y＝﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y＝﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1＝﹣0.5x2+2，解得：x＝±√6，所以水面宽度增加到2√6米，比原先的宽度当然是增加了2√6−4，故答案为：（2√6−4）．15．抛物线y＝x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是y ＝（x+3）2﹣2．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝x2向左平移3个单位所得的抛物线的表达式是y＝（x+3）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝（x+3）2向下平移2个单位所得的抛物线的表达式是y＝（x+3）2﹣2．故答案为：y＝（x+3）2﹣2．16．二次函数y＝x2﹣2x+3图象与y轴的交点坐标是（0，3）．【解答】解：当x＝0时，y＝x2﹣2x+3＝3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）．故答案为（0，3）．17．已知点A（1，y A），B（0，y B），C（﹣1，y c）是抛物线y＝ax2+4ax+c（a＞0）上三个点，若抛物线与x轴至多只有一个交点，则y Ay B−y C的最小值是3．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+4ax+c（a＞0）与x轴至多只有一个交点，∴b2﹣4ac≤0，即：16a2﹣4ac≤0，又∵a＞0，∴4a﹣c≤0，即c≥4a，把点A（1，y A），B（0，y B），C（﹣1，y c）代入抛物线y＝ax2+4ax+c得，y A＝a+4a+c＝5a+c，y B＝c，y C＝a﹣4a+c＝﹣3a+c，∴y Ay B−y C =5a+cc+3a−c=53+c3a，当c ＝4a 时，其值最小， 因此y A y B −y C的最小值为53+43=3，故答案为：3．18．如图，抛物线y 1的顶点在y 轴上，y 2由y 1平移得到，它们与x 轴的交点为A 、B 、C ，且2BC ＝3AB ＝4OD ＝6，若过原点的直线被抛物线y 1、y 2所截得的线段长相等，则这条直线的解析式为 y =34x ．【解答】解：∵2BC ＝3AB ＝4OD ＝6， ∴BC ＝3，AB ＝2，OD =32，则：A （﹣1，0）、B （1，0）、D （0，32）、C （4，0），把A （﹣1，0）、B （1，0）、D （0，32）三点坐标代入：y ＝ax 2+bx +c ，解得：y 1=−32x 2+32⋯①， 同理可得：y 2=−32x 2+152x ﹣6…②； 设：过原点的直线方程为：y ＝kx ，（k ＞0）…③，联立①、③得：3x 2+2kx ﹣3＝0， 则：x 1+x 2=−2k3，x 1x 2＝﹣1， 则：G 、F 两点横坐标差＝x 2﹣x 1=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√4k 29−4×(−1)=√4k29+4，同理：K 、H 两点横坐标差=√(15−2k)29−16，∵AG ＝KH ，∴√4k 29+4=√(15−2k)29−16， 解得：k =34，故：直线的解析式为y =34x ．19．如图，已知直线y ＝﹣2x +1与抛物线y ＝x 2﹣2x +c 的一个交点为点A ，作点A 关于抛物线对称轴的对称点A ′，当A ′刚好落在y 轴上时，c 的值为 ﹣3 ．【解答】解：二次函数y ＝x 2﹣2x +c 的对称轴为：x =−−22×1=1， ∵点A 关于抛物线对称轴的对称点A ′落在y 轴上， ∴点A 的横坐标为2，把x ＝2代入y ＝﹣2x +1，得y ＝﹣3， ∴A （2，﹣3），把A （2，﹣3）代入y ＝x 2﹣2x +c ，则 c ＝﹣3． 故答案为：﹣3．20．小林家的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图1）．当手按住顶部A 下压如图2位置时，洗手液瞬间从喷口B 流出路线呈抛物线经过C 与E 两点．瓶子上部分是由弧CE ̂和弧FD ̂组成，其圆心分别为D ，C ．下部分的是矩形CGHD 的视图，GH ＝10cm ，点E 到台面GH 的距离为14cm ，点B 距台面的距离为16cm ，且B ，D ，H 三点共线．若手心距DH 的水平距离为2cm 去接洗手液时，则手心距水平台面的高度为 11 cm ．【解答】解：如图：∵CD ＝DE ＝10，根据题意，得C （﹣5，8），E （﹣3，14），B （5，16）．设抛物线解析式为y ＝ax 2+bx +c ，因为抛物线经过C 、E 、B 三点，∴{9a −3b +c =1425a −5b +c =825a +5b +c =16解得{ a =−1140b =45c =1518所以抛物线解析式为y =−1140x 2+45x +1518．当x ＝7时，y ＝11．∴Q （7，11）所以手心距水平台面的高度为11cm ．故答案为11．三．解答题（共30小题）21．已知，如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过直线y ＝﹣x +3与坐标轴的两个交点A ，B ．此抛物线与x 轴的另一个交点为C ．抛物线的顶点为D ．（1）求此抛物线的解析式．（2）若点M 为抛物线上一动点，是否存在点M ．使△ACM 与△ABC 的面积相等？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵直线y ＝﹣x +3，∴当x ＝0时，y ＝3，当y ＝0时，x ＝3，∵直线y ＝﹣x +3与坐标轴的两个交点A ，B ，∴点A 的坐标为（3，0），点B 的坐标为（0，3），∵抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过直线y ＝﹣x +3与坐标轴的两个交点A ，B ，∴{−32+3b +c =0c =3，得{b =2c =3， 即抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x +3；（2）存在点M ．使△ACM 与△ABC 的面积相等．∵抛物线y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣3）（x +1）＝﹣（x ﹣1）2+4与x 轴的另一个交点为C ．抛物线的顶点为D ，∴点C 的坐标为（﹣1，0），点D 的坐标为（1，4），∵△ACM 与△ABC 的面积相等，点B 的坐标为（0，3），∴点M 的纵坐标是3或﹣3，当点M 的纵坐标为3时，3＝﹣x 2+2x +3，得x 1＝0，x 2＝2，则点M 的坐标为（2，3）；当点M 的纵坐标为﹣3时，﹣3＝﹣x 2+2x +3，得x 3=√7+1，x 4=−√7+1，则点M 的坐标为（√7+1，﹣3）或（−√7+1，﹣3）；由上可得，点M的坐标为（2，3）、（√7+1，﹣3）或（−√7+1，﹣3）．22．总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，甲店一天可售出20件，每件盈利40元；乙店一天可售出32件，每件盈利30元．经调查发现，每件衬杉每降价1元，甲、乙两家店一天都可多售出2件．设甲店每件衬衫降价a元时，一天可盈利y1元，乙店每件衬衫降价b元时，一天可盈利y2元．（1）当a＝5时，求y1的值．（2）求y2关于b的函数表达式．（3）若总公司规定两家分店下降的价格必须相同，请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利和最大，最大是多少元？【解答】解：（1）由题意可得，y1＝（40﹣a）（20+2a），当a＝5时，y1＝（40﹣5）×（20+2×5）＝1050，即当a＝5时，y1的值是1050；（2）由题意可得，y2＝（30﹣b）（32+2b）＝﹣2b2+28b+960，即y2关于b的函数表达式为y2＝﹣2b2+28b+960；（3）设两家下降的价格都为x元，两家的盈利和为w元，w＝（40﹣x）（20+2x）+（﹣2x2+28x+960）＝﹣4x2+88x+1760＝﹣4（x﹣11）2+2244，∴当x＝11时，w取得最大值，此时w＝2244，答：每件衬衫下降11元时，两家分店一天的盈利和最大，最大是2244元．23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+2x+a交x轴于点A，B，交y轴于点C，点A的横坐标为﹣2．（1）求抛物线的对称轴和函数表达式．（2）连结BC线段，BC上有一点D，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，F，若EF＝6，求点D的坐标．【解答】解：（1）∵A点的横坐标为﹣2，∴A（﹣2，0），∵点A在抛物线y=−12x2+2x+a上，∴﹣2﹣4+a＝0，解得：a＝6，∴函数的解析式为：y=−12x2+2x+6，∴对称轴为x=−b2a=−22×(−12)=2；（2）∵A（﹣2，0），对称轴为x＝2，∴点B的坐标为（6，0），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+6，∵点D在BC上，∴设点D的坐标为（m，﹣m+6），∴点E和点F的纵坐标为﹣m+6，∴y=−12x2+2x+6＝﹣m+6，解得：x＝2±√2m+4，∴EF＝2+√2m+4−（2−√2m+4）＝2√2m+4，∵EF＝6，∴2√2m+4=6，解得：m＝2.5，∴点D的坐标为（2.5，3.5）．24．永农化工厂以每吨800元的价格购进一批化工原料，加工成化工产品进行销售，已知每1吨化工原料可以加工成化工产品0.8吨，该厂预计销售化工产品不超过50吨时每吨售价为1600元，超过50吨时，每超过1吨产品，销售所有的化工产品每吨价格均会降低4元，设该化工厂生产并销售了x 吨化工产品．（1）用x 的代数式表示该厂购进化工原料 54x 吨；（2）当x ＞50时，设该厂销售完化工产品的总利润为y ，求y 关于x 的函数关系式；（3）如果要求总利润不低于38400元，那么该厂购进化工原料的吨数应该控制在什么范围？【解答】解：（1）x ÷0.8=54x 吨，故答案为：54x ； 故答案为：54x ；（2）根据题意得，y ＝x [1600﹣4（x ﹣50）]−54x •800＝﹣4x 2+800x ，则y 关于x 的函数关系式为：y ＝﹣4x 2+800x ；（3）当y ＝38400时，﹣4x 2+800x ＝38400，x 2﹣200x +9600＝0，（x ﹣120）（x ﹣80）＝0，x ＝120或80，∵﹣4＜0，∴当y ≥38400时，80≤x ≤120，∴100≤54x ≤150，∴如果要求总利润不低于38400元，那么该厂购进化工原料的吨数应该控制在100吨～150吨范围内．25．如图，抛物线y=−12x2+2x+6交x轴于A，B两点（点A在点B的右侧），交y轴于点C，顶点为D，对称轴分別交x轴、线段AC于点E、F．（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；（2）连结AD，CD，求△ACD的面积；（3）设动点P从点D出发，沿线段DE匀速向终点E运动，取△ACD一边的两端点和点P，若以这三点为顶点的三角形是等腰三角形，且P为顶角顶点，求所有满足条件的点P的坐标．【解答】解：（1）对于抛物线y=−12x2+2x+6令y＝0，得到−12x2+2x+6＝0，解得x＝﹣2或6，∴B（﹣2，0），A（6，0），令x＝0，得到y＝6，∴C（0，6），∴抛物线的对称轴x=−b2a=2，A（6，0）．（2）∵y=−12x2+2x+6=−12(x−2)2+8，∴抛物线的顶点坐标D（2，8），设直线AC的解析式为y＝kx+6，∴0＝6k+6，∴k＝﹣1，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6，∴F（2，4），∴DF＝4，∴S△ACD=12DF•OA=12×4×6＝12；（3）如图1，过点O作OM⊥AC交DE于点P，交AC于点M，∵A（6，0），C（0，6），∴OA＝OC＝6，∴CM＝AM，∴CP＝AP，此时AC为等腰三角形ACP的底边，∴OE＝PE＝2．∴P（2，2），如图2，过点C作CP⊥DE于点P，∵OC＝6，DE＝8，∴PD＝DE﹣PE＝2，∴PD＝PC，此时△PCD是以CD为底边的等腰直角三角形，∴P（2，6），如图3，作AD的垂直平分线交DE于点P，则PD＝P A，设PD＝x，则PE＝8﹣x，在Rt△P AE中，PE2+AE2＝P A2，∴（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝5，∴PE＝8﹣5＝3，∴P（2，3），综合以上可得点P的坐标为（2，2）或（2，6）或（2，3）．26．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D．（1）如图1，求△BCD的面积；（2）如图2，P是抛物线BD段上一动点，连接CP并延长交x轴于E，连接BD交PC 于F，当△CDF的面积与△BEF的面积相等时，求点E和点P的坐标．【解答】解：（1）在y ＝x 2﹣2x ﹣3中，当x ＝0时，y ＝﹣3，∴C （0，﹣3），当x =−b 2a=1时，y ＝﹣4， ∴顶点D （1，﹣4），当y ＝0时，x 1＝﹣1，x 2＝3，∴A （﹣1，0），B （3，0），如图1，连接BC ，过点D 作DM ⊥y 轴于点M ，作点D 作DN ⊥x 轴于点N ， ∴DC 2＝DM 2+CM 2＝2，BC 2＝OC 2+OB 2＝18，DB 2＝DN 2+BN 2＝20， ∴DC 2+BC 2＝DB 2，∴△BCD 是直角三角形，∴S △BCD =12DC •BC =12√2×3√2=3；（2）设直线BD 的解析式为y ＝kx +b ，将B （3，0），D （1，﹣4）代入，得{3k +b =0k +b =−4， 解得，k ＝2，b ＝﹣6，∴y BD ＝2x ﹣6，设P （a ，a 2﹣2a ﹣3），直线PC 的解析式为y ＝mx ﹣3，将P （a ，a 2﹣2a ﹣3）代入，得am ＝a 2﹣2a ﹣3，∵a ≠0，∴解得，m ＝a ﹣2，∴y PC ＝（a ﹣2）x ﹣3，当y ＝0时，x =3a−2，∴E （3a−2，0），联立{y =2x −6y =(a −2)x −3， 解得，{x =4−a 3y =6a−184−a， ∴F （4−a 3，6a−184−a ），过点C 作x 轴的平行线，交BD 于点H ，则y H ＝﹣3， ∴H （32，﹣3）， ∴S △CDF =12CH •（y F ﹣y D ），S △BEF =12BE •（﹣y F ）， ∴当△CDF 与△BEF 的面积相等时，12CH •（y F ﹣y D ）=12BE •（﹣y F ），即12×32（6a−184−a+4）=12（3a−2−3）（−6a−184−a ）， 解得，a 1＝4（舍去），a 2=135，∴E （5，0），P （135，−3625）．。