《二次函数与一元二次方程》重点题型探究
二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解
二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解一、本节知识点（1）一元二次不等式的概念. （2）三个二次的关系. （3）一元二次不等式的解法. 知识点拓展:（4）分式不等式的解法. （5）高次不等式的解法. 二、本节题型（1）解不含参数的一元二次不等式. （2）解含参数的一元二次不等式. （3）三个二次之间的关系.（4）简单高次不等式、分式不等式的解法. （5）不等式恒成立问题. （6）一元二次不等式的应用. 三、知识点讲解.知识点 一元二次不等式的概念我们把只含有1个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.即形如02>++c bx ax （≥0）或02<++c bx ax （≤0）（其中0≠a ）的不等式叫做一元二次不等式.元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x 的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,叫做这个一元二次不等式的解集.注意 一元二次不等式的解集要写成集合或区间的形式. 知识点 三个二次的关系一元二次不等式的解集、一元二次方程的解以及二次函数的图象之间有着紧密的联系.一元二次方程()002≠=++a c bx ax 与二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的关系是:（1）当ac b 42-=∆≥0时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴有交点,且方程的解是交点的横坐标,交点的横坐标亦是方程的解;①当0>∆时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴有两个不同的交点;②当0=∆时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个相等的实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴只有一个交点（即抛物线的顶点）.（2）当042<-=∆ac b 时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 无实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴没有交点.具体关系见下页表（1）所示.一元二次不等式与二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的关系是:（1）一元二次不等式02>++c bx ax （≥0）的解集就是二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象位于x 轴上方（包括x 轴）的部分所对应的自变量的取值范围;（2）一元二次不等式02<++c bx ax （≤0）的解集就是二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象位于x 轴下方（包括x 轴）的部分所对应的自变量的取值范围.由表可知 一元二次不等式的解集的端点值就是对应的一元二次方程的解. 知识点 一元二次不等式的解法解一元二次不等式的一般步骤是:（1）利用不等式的性质,将二次项系数化为正数; （2）计算ac b 42-=∆的值,并判断∆的符号; （3）当∆≥0时,求出相应的一元二次方程的根; （4）画出对应的二次函数的简图;（5）根据一元二次不等式的形式,结合简图,写出其解集.注意 一元二次不等式的解集结构与二次项系数的符号有着直接的关系.其中,①当0>∆时,一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集在“两根之外”,即“大于大根或小于小根”;一元二次不等式()002><++a c bx ax 的解集在“两根之内”,即“大于小根且小于大根”,简记为“大于0取两边,小于0取中间”;②当0=∆时,一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2;一元二次不等式()002><++a c bx ax 的解集为∅;③当0<∆时,一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集为R ;一元二次不等式()002><++a c bx ax 的解集为∅.表（1）一元二次方程、二次函数以及一元二次不等式的关系:一元二次不等式在R 上恒成立的问题（1）02>++c bx ax 在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧<-=∆>0402ac b a 或⎩⎨⎧>==00c b a ; （2）02<++c bx ax 在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧<-=∆<0402ac b a 或⎩⎨⎧<==00c b a ;（3）一元二次不等式c bx ax ++2≥0在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧≤-=∆>0402ac b a ; （4）一元二次不等式c bx ax ++2≤0在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧≤-=∆<0402ac b a . 补充概念 二次函数的零点我们把使一元二次方程02=++c bx ax 的实数x 叫做二次函数c bx ax y ++=2的零点. 对零点的理解（1）二次函数的零点即相应一元二次方程02=++c bx ax 的实数根;（2）根据数形结合,二次函数的零点,即二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标,且交点的个数等于零点的个数;（3）并非所有的二次函数都有零点.当ac b 42-=∆≥0时,一元二次方程有实数根,相应二次函数存在零点.知识点 分式不等式的解法 分式不等式的概念分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.利用不等式的性质,可将分式不等式化为以下标准形式: ①0)()(>x g x f ; ②)()(x g x f ≥0; ③0)()(<x g x f ; ④)()(x g x f ≤0. 分式不等式的解法解分式不等式的思路是把其转化为整式不等式求解.解分式不等式时,要先把分式不等式转化为标准形式. 各标准形式的分式不等式的解法为: （1）0)()(>x g x f 与不等式组⎩⎨⎧>>0)(0)(x g x f 或⎩⎨⎧<<0)(0)(x g x f 同解,与不等式0)()(>⋅x g x f 同解; （2）)()(x g x f ≥0与不等式组⎩⎨⎧≠≥⋅0)(0)()(x g x g x f 同解;（3）0)()(<x g x f 与不等式组⎩⎨⎧<>0)(0)(x g x f 或⎩⎨⎧><0)(0)(x g x f 同解,与不等式0)()(<⋅x g x f 同解;（4）)()(x g x f ≤0与不等式组⎩⎨⎧≠≤⋅0)(0)()(x g x g x f .由以上解法可以看出:将分式不等式转化为标准形式后,再将其转化为不等式组或同解整式不等式进行求解.知识点 高次不等式的解法解高次不等式,一般用“数轴标根法”,也叫“穿根引线法”,其步骤如下:（1）把高次不等式化为左边是几个因式的乘积,右边是0的形式,注意每个因式最高次项的系数必须为正;（2）把不等号换成等号,求出所得方程的所有实数根; （3）标根: 把各个实数根在数轴上标出;（4）画穿根线: 从“最右根”的右上方穿过根,往左下画线,然后又穿过“次右根”上去,如此一上一下依次穿过各根.但要注意偶次根不穿过,即奇过偶不过;（5）写出解集: 若不等号为“ > ”,则取数轴上方穿根线以内的范围;若不等号为“ < ”,则取数轴下方穿根线以内的范围.四、例题讲解例1. 解不等式0452>-+-x x .分析 先把不等式的二次项系数化为正数,再进行求解.注意不等式的解集要写成区间或集合的形式.解: 原不等式可化为:0452<+-x x .对于方程0452=+-x x ,∵()0941452>=⨯⨯--=∆∴该方程有两个不相等的实数根,解之得:4,121==x x . ∴不等式0452>-+-x x 的解集为{}41<<x x .点评 在求解一元二次不等式时,先观察二次项系数是否为正,若为负,则先把不等式的二次项系数化为正数（利用不等式的基本性质）.例2. 已知关于x 的不等式022>++c x ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-2131x x ,求不等式022>-+-a x cx 的解集.分析 先根据一元二次不等式与相应一元二次方程之间的关系,利用根与系数的关系定理,求出c a ,的值.注意 一元二次不等式的解集的端点值是对应一元二次方程的根. 解: 由题意可知:0<a .∵关于x 的不等式022>++c x ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-2131x x ∴21,3121=-=x x 是方程022=++c x ax 的两个实数根由根与系数的关系定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯-=+-=-213121312a c a ,解之得:⎩⎨⎧=-=212c a . ∴022>-+-a x cx 即012222>++-x x ∴062<--x x ,解之得:32<<-x .∴不等式022>-+-a x cx 的解集为{}32<<-x x .例3. 一元二次不等式()()052>-+x x 的解集为 【 】 （A ）{}52>-<x x x 或 （B ）{}25>-<x x x 或 （C ）{}52<<-x x （D ）{}25<<-x x分析 本题可用数轴标根法求解.使用该方法时,要把乘积中所有因式的最高次项的系数化为正数.解: 原不等式可化为:()()052<-+x x .∵方程()()052=-+x x 的根为5,221=-=x x .∴不等式()()052<-+x x 的解集为{}52<<-x x ,即原不等式的解集. ∴选择答案【 C 】.例4. 已知不等式042<++ax x 的解集为空集,则实数a 的取值范围是 【 】 （A ）{}44≤≤-a a （B ）{}44<<-a a （C ）{}44≥-≤a a a 或 （D ）{}44>-<a a a 或分析 本题考查一元二次不等式与相应的二次函数之间的关系,同时问题还可以转化为一元二次不等式恒成立的问题.不等式042<++ax x 的解集为空集,即相应的二次函数42++=ax x y 的图象位于x 轴上及其上方,或者不等式42++ax x ≥0在R 上恒成立.解: ∵不等式042<++ax x 的解集为空集∴162-=∆a ≤0,解之得:4-≤a ≤4. ∴实数a 的取值范围是{}44≤≤-a a . ∴选择答案【 A 】.例5. 若关于x 的不等式()()021>--x mx 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x m x ,则实数m 的取值范围是 【 】 （A ）{}0>m m （B ）{}20<<m m（C ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21m m （D ）{}0<m m分析 本题由题意可知:0<m . 解: ∵()()021>--x mx∴()02122>++-x m mx .∵其解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x m x ∴0<m .∴实数m 的取值范围是{}0>m m . ∴选择答案【 D 】.例6. 已知函数182++=bx ax y 的定义域为[]6,3-,则实数a 的值为_________,实数b 的值为_________.解: ∵函数182++=bx ax y 的定义域为[]6,3-∴一元二次不等式182++bx ax ≥0的解集为[]6,3-. 由根与系数的关系定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯-=+-=-631863aab ,解之得:⎩⎨⎧=-=31b a . ∴实数a 的值为1-,实数b 的值为3. 例7. 已知函数m x x y +-=2.（1）当2-=m 时,求不等式0>y 的解集; （2）若0,0<>y m 的解集为{}b x a x <<,,求ba 41+的最小值. 解:（1）2-=m 时,22--=x x y .∵0>y ,∴()()02122>-+=--x x x x 解之得:1-<x 或2>x .∴不等式0>y 的解集为{}21>-<x x x 或;（2）∵02<+-=m x x y 的解集为{}21>-<x x x 或 ∴m ab b a ==+,1,且041>-=∆m ,解之得:41<m . ∵0>m ,∴0,0>>b a ,410<<m . ∴()a b b a b a b a b a ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+454141≥9425=⋅+a b b a . 当且仅当a b b a =4,即32,31==b a 时,等号成立.此时41923231<=⨯=m ,符合题意. ∴ba 41+的最小值为9. 例8. 解关于x 的不等式02>-x ax （0≠a ）.分析 本题考查含有参数的一元二次不等式的解法.当二次项系数含有参数时,要对二次项系数的正负进行讨论（一元二次不等式解集的结构与二次项系数的符号有关）.解: ∵02>-x ax ,∴()01>-ax x∴01>⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x ax .∵0≠a ,∴分为两种情况:①当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>01x a x x 或;②当0<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<01x a x . 综上所述,当当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>01x a x x 或,当0<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<01x a x .另解: 解方程02=-x ax （0≠a ）得:ax x 1,121==. 分为两种情况:①当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>01x a x x 或; ②当0<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<01x a x . 综上所述,当当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>01x a x x 或,当0<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<01x a x . 点评 不等式02>-x ax （0≠a ）可化为01>⎪⎭⎫⎝⎛-a x ax .当0>a 时,根据不等式的性质可知,原不等式同解于不等式01>⎪⎭⎫⎝⎛-a x x ;当0<a 时,原不等式同解于不等式01<⎪⎭⎫⎝⎛-a x x .例9. 若对于0>∀x ,132++x x x≤a 恒成立,则实数a 的取值范围是 【 】 （A ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥31a a （B ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>31a a （C ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>51a a （D ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥51a a . 解: ∵132++x x x≤a 恒成立 ∴只需a ≥max213⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x 即可. ∵0>∀x ∴311132++=++x x x x x≤513121=+⋅xx . 当且仅当xx 1=,即1=x 时,等号成立. ∴5113max 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x . ∴a ≥51,即实数a 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥51a a .∴选择答案【 D 】.例10.（1）若关于x 的不等式0232>+-x ax （∈a R ）的解集为{}b x x x ><或1（∈b R ）,求b a ,的值;（2）解关于x 的不等式ax x ax ->+-5232（∈a R ）.解:（1）由题意可知:0>a .一元二次方程0232=+-x ax 的根为b x x ==21,1.由根与系数的关系定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯=+=baba1213,解之得:⎩⎨⎧==21b a .∴a 的值为1,b 的值为2;（2）∵ax x ax ->+-5232（∈a R ） ∴()0332>--+x a ax .当0=a 时,原不等式为523>+-x ,解之得:1-<x . ∴原不等式的解集为{}1-<x x ;当0≠a 时,原不等式可化为()031>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a x x a . ①若0>a ,则原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>13x a x x 或; ②若03<<-a 时,原不等式同解于()031<⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a x x ,且13-<a ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<13x a x ; ③若3-=a ,原不等式为()0132<+x ,其解集为∅;④若3-<a ,则13->a ,则原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-a x x 31. 综上所述,当0=a 时, 原不等式的解集为{}1-<x x ;当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>13x a x x 或;当03<<-a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<13x a x ; 当3-=a 时,原不等式的解集为∅; 当3-<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-a x x 31. 例11.已知关于x 的不等式08322<-+kx kx . （1）若不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-123x x ,求实数k 的值;（2）若不等式08322<-+kx kx 恒成立,求实数k 的取值范围. 解:（1）由题意可知:0>k .一元二次方程08322=-+kx kx 的根是1,2321=-=x x . 由根与系数的关系定理:123283⨯-=-k ,解之得:81=k .∴实数k 的值为81;（2）当0=k 时,083<-恒成立,符合题意;当0≠k 时,由题意可知:⎪⎩⎪⎨⎧<⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯-=∆<08324022k k k ,解之得:03<<-k . 综上所述,实数k 的取值范围为{}03≤<-k k .例12. 若∀1≤x ≤4,不等式()422++-x a x ≥1--a 恒成立,求实数a 的取值范围.分析 本题考查一元二次不等式在给定闭区间上的恒成立问题,要把问题转化为相应二次函数在闭区间上的最值问题.解: ∵()422++-x a x ≥1--a∴()1-x a ≤522+-x x . ∵1≤x ≤4∴当1=x 时,显然0⨯a ≤4521=+-成立,∴∈a R ; 当x <1≤4时,01>-x∴a ≤1522-+-x x x 恒成立,只需a ≤min2152⎪⎭⎫⎝⎛-+-x x x 即可.∵()14114115222-+-=-+-=-+-x x x x x x x ≥()41412=-⋅-x x . 当且仅当141-=-x x ,即3=x 时,等号成立.此时3=x []4,1∈,符合题意.∴a ≤4.综上所述,实数a 的取值范围是(]4,∞-. 例13. 已知不等式012<--mx mx .（1）当∈x R 时不等式恒成立,求实数m 的取值范围; （2）当∈x {}31≤≤x x 时不等式恒成立,求实数m 的取值范围.解:（1）当0=m 时,01<-恒成立,符合题意;当0≠m 时,则有⎩⎨⎧<+=∆<0402m m m ,解之得:04<<-m . 综上,实数m 的取值范围是(]0,4-;（2）当0=m 时,显然∈x {}31≤≤x x 时,01<-恒成立,符合题意; 当0≠m 时,()11<-x mx .若1=x ,显然10<恒成立,此时∈m R ; 若x <1≤3,则()01>-x x ∴()11-<x x m 恒成立,只需()min11⎥⎦⎤⎢⎣⎡-<x x m 即可. ∵()4121111122-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-x x x x x ≥614121312=-⎪⎭⎫ ⎝⎛- ∴()6111min=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-<x x m . 综上所述,实数m 的取值范围为⎪⎭⎫⎝⎛∞-61,.例14. 解关于x 的不等式()m x m mx --+122≥0.解: 当0=m 时,x -≥0,解之得:x ≤0.∴原不等式的解集为{}0≤x x ;当0≠m 时,原不等式可化为()()m x mx +-1≥0∴()[]m x m x m --⎪⎭⎫⎝⎛-1≥0.方程()m x m mx --+122的两个实数根分别为m x mx -==21,1. 当0>m 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≥m x m x x 或1; 当0<m 时,原不等式同解于()[]m x m x --⎪⎭⎫ ⎝⎛-1≤0,且m m -<1. ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤m m m x 1. 综上所述,当0=m 时,原不等式的解集为{}0≤x x ;当0>m 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≥m x m x x 或1;当0<m 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤m m m x 1. 例15. 已知关于x 的不等式222->-x kx kx . （1）当2=k 时,解不等式; （2）当∈k R 时,解不等式.解:（1）当2=k 时,2422->-x x x∴02522>+-x x ∴()()0212>--x x . 解之得:2>x 或21<x . ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>212x x x 或;（2）原不等式可化为()02122>++-x k kx . 当0=k 时,02>+-x ,解之得:2<x . ∴原不等式的解集为{}2<x x ;当0≠k 时,原不等式可化为()()012>--kx x∴()012>⎪⎭⎫⎝⎛--k x x k .方程222->-x kx kx 的根为kx x 1,221==. 当0<k 时,原不等式同解于()012<⎪⎭⎫ ⎝⎛--k x x ,且21<k .∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x k x ; 当0>k 时,原不等式同解于()012>⎪⎭⎫⎝⎛--k x x .①若21>k ,则21<k ,∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>k x x x 12或; ②若21=k ,则21=k,∴原不等式的解集为{}2≠x x ; ③若210<<k ,则21>k ,∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>21x k x x 或.综上所述,当0=k 时,原不等式的解集为{}2<x x ;当0<k 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x k x ; 当210<<k 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>21x k x x 或;当21=k 时,原不等式的解集为{}2≠x x ; 当21>k 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>k x x x 12或.例16. 已知关于x 的不等式0622<+-k x kx .（1）若不等式的解集为{}23->-<x x x 或,求实数k 的取值; （2）若不等式的解集为R ,求实数k 的取值范围.解:（1）由题意可知:0<k .一元二次方程0622=+-k x kx 的两个实数根分别为2,321-=-=x x .由根与系数的关系定理可得:232--=--k ,解之得:52-=k . ∴实数k 的值为52-;（2）当0=k 时,原不等式的解集为{}0>x x ,不符合题意;当0≠k 时,则有:⎩⎨⎧<-=∆<024402k k ,解之得:66-<k . 综上所述,实数k 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<66k k .例17. 已知122++ax ax ≥0恒成立,解关于x 的不等式022<+--a a x x .解:∵122++ax ax ≥0恒成立∴当0=a 时,1≥0恒成立,符合题意;当0≠a 时,则有:⎩⎨⎧≤-=∆>04402a a a ,解之得:a <0≤1. 综上,实数a 的取值范围是[]1,0. 对于不等式022<+--a a x x当0≤a ≤1时,原不等式可化为()()01<-+-a x a x∴()()[]01<---a x a x ,方程022=+--a a x x 的根为a x a x -==1,21.①若a <21≤1,则a a ->1,∴原不等式的解集为{}a x a x <<-1; ②若21=a ,则a a -=1,∴原不等式的解集为∅;③若210<<a ,则a a -<1,∴原不等式的解集为{}a x a x -<<1.综上所述,对于不等式022<+--a a x x :当a <21≤1时,不等式的解集为{}a x a x <<-1; 当21=a 时,不等式的解集为∅;当0≤21<a 时,不等式的解集为{}a x a x -<<1.例18. 不等式()()xa c xb x -++≤0的解集为{}321≥<≤-x x x 或,则=+c b 【 】（A ）5- （B ）2- （C ）1 （D ）3解: 原不等式可化为()()ax c x b x -++≥0,同解于()()()⎩⎨⎧≠-≥++-00a x c xb x a x .方程()()0=-++ax c x b x 的解为c x b x -=-=21,.∵该不等式的解集为{}321≥<≤-x x x 或∴2=a ,⎩⎨⎧=--=-31c b 或⎩⎨⎧-=-=-13c b ,∴⎩⎨⎧-==31c b 或⎩⎨⎧=-=13c b .∴2-=+c b . ∴选择答案【 B 】.例19. 已知函数b ax x y +=2（b a ,为常数）,且方程012=+-x y 的两个根为31=x ,42=x .（1）求b a ,的值;（2）设1>k ,解关于x 的不等式()xkx k y --+<21.解:（1）由题意可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=+-+0124416012339b a b a ,整理得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+142131ba ba ,解之得:⎩⎨⎧=-=21b a . ∴a 的值为1-,b 的值为2;（2）由（1）可知:xx y -=22.∵()x kx k y --+<21,∴()xkx k x x --+<-2122. ∴()()()021212<---=-++-xk x x x k x k x . 原不等式同解于()()()021>---k x x x .∵1>k∴当21<<k 时,原不等式的解集为{}21><<x k x x 或; 当2=k 时,()()0212>--x x ,原不等式的解集为{}21≠>x x x 且;当2>k 时,原不等式的解集为{}k x x x ><<或21.综上所述,当21<<k 时,原不等式的解集为{}21><<x k x x 或;当2=k 时,原不等式的解集为{}21≠>x x x 且;当2>k 时,原不等式的解集为{}k x x x ><<或21.例20. 已知集合()()[]{}0132<+--=a x x x A ,()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+--=012a x a x x B . （1）当2=a 时,求B A ;（2）若A B ⊆,求实数a 的取值范围.解:（1）当2=a 时∵()(){}{}72072<<=<--=x x x x x A ,{}52052<<=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<--=x x x x x B∴{}52<<=x x B A ;（2）∵∈∀a R ,恒有a a >+12,()()()[]{}010122<+--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+--=a x a x x a x a x x B ∴{}12+<<=a x a x B . 当213>+a ,即31>a 时,{}132+<<=a x x A . ∵A B ⊆,∴⎩⎨⎧+≤+≥13122a a a ,解之得: 2≤a ≤3.∴实数a 的取值范围是[]3,2;当213=+a ,即31=a 时,(){}∅=<-=022x x A ,显然不符合题意; 当213<+a ,即31<a 时,{}213<<+=x a x A .∵A B ⊆,∴⎩⎨⎧≤+≤+21132a aa ,解之得: 1-≤a ≤21-.∴实数a 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21,1. 综上所述,实数a 的取值范围是[]3,221,1 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--. 例21. 已知不等式442-+>+m x mx x .（1）若对任意实数x 不等式恒成立,求实数m 的取值范围; （2）若对于0≤m ≤4不等式恒成立,求实数x 的取值范围.解:（1）∵442-+>+m x mx x∴()0442>-+-+m x m x . ∵对任意实数x 不等式恒成立∴()()04442<---=∆m m ,解之得: 40<<m .∴实数m 的取值范围是()4,0; （2）∵442-+>+m x mx x ∴()04412>+-+-x x m x . ∵对[]4,0∈∀m ,不等式恒成立∴()()⎩⎨⎧>+-+⨯->+-+⨯-044410440122x x x x x x ,解之得:0≠x 且2≠x . ∴实数x 的取值范围是{}2200><<<x x x x 或或.点评 解决恒成立问题时一定要清楚谁是主元,谁是参数.一般情况下,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数,构造以主元为变量的函数,根据主元的取值范围求解.例22. 设()12--=mx mx x f ,求使()0<x f ,且m ≤1恒成立的x 的取值范围.解: ∵()0<x f ,m ≤1,∴012<--mx mx ,[]1,1-∈m .∴()012<--m x x 对[]1,1-∈m 恒成立. 设()()12--=m x x m g ,则有:()()()()()⎩⎨⎧<-⨯-=<--⨯-=-0111011122x x g x x g ,解之得:251251+<<-x .∴实数x 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-251,251.重要结论 一次函数()b kx x f +=()0≠k 在区间[]n m ,上的恒成立问题:（1）若()0>x f 恒成立,则()()⎩⎨⎧>>00n f m f ;（2）若()0<x f 恒成立,则()()⎩⎨⎧<<0n f m f .例23. 设函数()12--=mx mx x f ()0≠m ,若对于[]3,1∈x ,()5+-<m x f 恒成立,求m 的取值范围.解: ∵()5+-<m x f 在[]3,1∈x 上恒成立∴062<-+-m mx mx 在[]3,1∈x 上恒成立. 令()62-+-=m mx mx x g ,只需()0max <x g 即可. 函数()x g 图象的对称轴为直线212=--=m m x . 当0>m 时,()x g 在[]3,1上单调递增 ∴()()0673max <-==m g x g ,解之得:76<m . ∴760<<m ; 当0<m 时,()x g 在[]3,1上单调递减 ∴()()061max <-==m g x g ,解之得:0<m .综上所述,m 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<<7600m m m 或.另解: ∵062<-+-m mx mx 在[]3,1∈x 上恒成立∴()612<+-x x m 在[]3,1∈x 上恒成立.∵04321122>+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-x x x ∴162+-<x x m 在[]3,1∈x 上恒成立.只需761336162min 2=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-<x x m 即可. ∵0≠m∴m 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<<7600m m m 或. 例24. 已知集合{}042≤-=t t A ,对于任意的A t ∈,使不等式122->-+x t tx x 恒成立的x 的取值范围是_____________.解: {}{}22042≤≤-=≤-=t t t t A .∵当A t ∈时,不等式122->-+x t tx x 恒成立 ∴()01212>+-+-x x t x 恒成立. 设()()1212+-+-=x x t x t f ,则有:()()⎩⎨⎧>-=>+-=-012034222x f x x f ,解之得:1-<x 或3>x . ∴x 的取值范围是{}31>-<x x x 或.例25. 对一切实数x ,不等式12++x a x ≥0恒成立,则实数a 的取值范围是_____________.解: 当0=x 时,显然对∈∀a R 成立;当0≠x 时,a ≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=--=--x x x x x x 1112,只需a ≥max 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x 即可.∵⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x 1≤212-=⋅-x x∴21max -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x ,∴a ≥2-.∴实数a 的取值范围是[)+∞-,2.例26. 已知0,0>>y x ,且()()()144152++--+y x m y x ≥0恒成立,则实数m 的取值范围是_____________.解: ∵0,0>>y x ,∴0>+y x .∵()()()144152++--+y x m y x ≥0恒成立∴15-m ≤()y x y x yx y x +++=+++1441442恒成立,只需15-m ≤min144⎪⎭⎫ ⎝⎛+++y x y x 即可. ∵y x y x +++144≥()241442=+⋅+yx y x （当且仅当12=+y x 时,等号成立） ∴24144min =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++y x y x ,∴15-m ≤24,解之得:m ≤5.∴实数m 的取值范围是(]5,∞-. 例27. 已知61>k ,对任意正实数y x ,,不等式ky x k +⎪⎭⎫ ⎝⎛-213≥xy 2恒成立,求实数k 的取值范围.解: ∵61>k ,∴0213>-k . ∴ky x k +⎪⎭⎫ ⎝⎛-213≥xy k k ky x k ⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-213221322.当且仅当ky x k =⎪⎭⎫⎝⎛-213,即x kk y 213-=时,等号成立.∴ky x k +⎪⎭⎫ ⎝⎛-213的最小值为xy k k ⎪⎭⎫⎝⎛-21322∵不等式ky x k +⎪⎭⎫⎝⎛-213≥xy 2恒成立∴xy k k ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21322≥xy 2∴xy k k ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21342≥xy 2,解之得:k ≥21.∴实数k 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21.例28. 若关于x 的不等式()()0121122>+++-+-x x x k x k 的解集为R ,则实数k 的取值范围是_____________.解: ∵04321122>+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++x x x 在R 上恒成立 ∴原不等式同解于不等式()()02112>+-+-x k x k ,其解集为R 当1=k 时,02> 在R 上恒成立,符合题意;当1≠k 时,则有:()()⎩⎨⎧<---=∆>-0181012k k k ,解之得:91<<k . 综上所述,实数k 的取值范围是[)9,1.例29.（1）解关于x 的不等式()422++-x a x ≤a 24-（∈a R ）;（2）若x <1≤4时,不等式()422++-x a x ≥1--a 恒成立,求实数a 的取值范围.解:（1）∵()422++-x a x ≤a 24-∴()()a x x --2≤0.当2>a 时,原不等式的解集为{}a x x ≤≤2; 当2=a 时,()22-x ≤0,原不等式的解集为{}2=x x ;当2<a 时,原不等式的解集为{}2≤≤x a x .综上所述,当当2>a 时,原不等式的解集为{}a x x ≤≤2;当2=a 时,()22-x ≤0,原不等式的解集为{}2=x x ;当2<a 时,原不等式的解集为{}2≤≤x a x . （2）由题意可知,当(]4,1∈x 时,不等式()5212+---x x a x ≥0恒成立.∴当(]4,1∈x 时,a ≤1522-+-x x x 恒成立,只需a ≤min2152⎪⎭⎫⎝⎛-+-x x x 即可.∵(]4,1∈x ,∴()14114115222-+-=-+-=-+-x x x x x x x ≥()41412=-⋅-x x . 当且仅当141-=-x x ,即3=x 时,等号成立.∴4152min 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-x x x .∴a ≤4,即实数a 的取值范围为(]4,∞-.例30.（1）已知命题∈∀x p :R ,a x x +-22≥0,命题∈∃x q :R ,0122=-++a x x ,若p 为真命题,q 为假命题,求实数a 的取值范围;（2）已知a ≥21,二次函数c ax x a y ++-=22,其中c a ,均为实数,证明对任意x （0≤x ≤1）,均有y ≤1成立的充要条件是c ≤43.解:（1）∵命题∈∀x p :R ,a x x +-22≥0为真命题∴()a a 44422-=--=∆≤0,解之得: a ≥1.∵命题∈∃x q :R ,0122=-++a x x 为假命题 ∴⌝q :∈∀x R ,0122≠-++a x x 为真命题. ∴()01241<--=∆a ,解之得:85>a . ∴实数a 的取值范围是[)+∞,1;（2）证明: 二次函数c ax x a y ++-=22图象的对称轴为直线aa a x 2122=--=. ∵a ≥21,∴a210<≤1. ∵[]1,0∈∀x ,02<-a∴函数c ax x a y ++-=22的最大值在顶点处取得,即4144222max +=---=c a a c a y . 充分性: ∵c ≤43,∴41+c ≤14143=+,即max y ≤1. ∴y ≤1;必要性: ∵[]1,0∈∀x ,均有y ≤1成立. ∴max y ≤1,即41+c ≤1,解之得: c ≤43. 综上所述, 对任意x （0≤x ≤1）,均有y ≤1成立的充要条件是c ≤43.例31.已知关于x 的不等式222++-m mx x ≤0（∈m R ）的解集为M . （1）当M 为空集时,求m 的取值范围;（2）在（1）的条件下,求1522+++m m m 的最小值;（3）当M 不为空集,且{}41≤≤⊆x x M 时,求实数m 的取值范围.解:（1）∵不等式222++-m mx x ≤0（∈m R ）的解集为M 为空集∴()()084424222<--=+--=∆m m m m ,解之得:21<<-m .∴m 的取值范围是{}21<<-m m ;（2）由（1）可知: 21<<-m ,∴310<+<m .∴()14114115222+++=+++=+++m m m m m m m ≥()41412=+⋅+m m . 当且仅当141+=+m m ,即1=m 时,等号成立. ∴1522+++m m m 的最小值为4;（3）由题意可知,方程0222=++-m mx x 的两个实数根均在[]4,1内 设()222++-=m mx x x f ,则有:()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤--≤≥++-=≥++-=≥+--=∆42210281640221102422m m m f m m f m m ,解之得: 2≤m ≤718. ∴实数m 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡718,2. 例32. 当10<<x 时,若关于x 的二次方程m mx x 2122-=++有两个不相等的实数根,求实数m 的取值范围.分析 本题考查的是一元二次方程的K 分布:两根均在()21,k k 内. 解: ∵m mx x 2122-=++∴01222=+++m mx x . 设()1222+++=m mx x x f .∵该方程在()1,0内有两个不相等的实数根∴()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+++=>+=<-<>+-=∆01221101201220012422m m f m f m m m ,解之得:2121-<<-m . ∴实数m 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,21.重要结论 一元二次方程的实数根的K 分布:一元二次方程02=++c bx ax （0>a ）的两个实数根分别为21,x x ,且21x x <.（1）若k x x <<21,则有:()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><->∆020k f k a b; （2）若21x x k <<,则有:()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>->∆020k f k a b; （3）若21x k x <<,则有:()0<k f ;（4）若2211k x x k <<<,即两根21,x x 在()21,k k 内,则有:()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>><-<>∆00202121k f k f k a b k（5）若11k x <,且22k x >（21k k <）,则有:()()⎩⎨⎧<<021k f k f ; （6）()()212211,,,k k x k k x ∈∈中只有一个成立,即方程只有一个实数根在()21,k k 内,则有:()()021<k f k f或⎪⎩⎪⎨⎧<-<=∆2120k ab k . 例33. 已知二次函数1222-+-=t tx x y （∈t R ）.（1）若该二次函数有两个互为相反数的零点,解不等式1222-+-t tx x ≥0; （2）若关于x 的方程01222=-+-t tx x 的两个实数根均大于2-且小于4,求实数t 的取值范围.解:（1）∵二次函数1222-+-=t tx x y 有两个互为相反数的零点∴方程01222=-+-t tx x 有两个互为相反数的实数根,设为21,x x ,∴021=+x x . 由根与系数的关系定理可得:0221==+t x x ,解之得:0=t .∵1222-+-t tx x ≥0∴12-x ≥0,解之得:x ≥1或x ≤1-. ∴该不等式的解集为{}11-≤≥x x x 或;（2）∵()()044441422222>=+-=---=∆t t t t∴∈∀t R ,该方程总有两个不相等的实数根. ∵方程的两个实数根均大于2-且小于4∴()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-=>++=-<--<-015840342422222t t f t t f t ,解之得:31<<-t .∴实数t 的取值范围是()3,1-. 例34. 已知二次函数12+-=bx ax y .（1）是否存在实数b a ,,使不等式012>+-bx ax 的解集是{}21<<x x ?若存在,求实数b a ,的值,若不存在,请说明理由;（2）若a 为整数,2+=a b ,且方程012=+-bx ax 在{}12-<<-∈x x x 上恰有一个实数根,求a 的值.解:（1）假设存在这样的实数b a ,.∵不等式012>+-bx ax 的解集是{}21<<x x ∴0<a ,方程012=+-bx ax 的两个实数根分别为2,1. 由根与系数的关系定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯=+=--21121aa b ,解之得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2321b a . ∵021>=a ,与0<a 矛盾 ∴不存在这样的实数b a ,,使不等式012>+-bx ax 的解集是{}21<<x x ; （2）∵2+=a b ∴()0122=++-x a ax .∵()[]()0314242222>+-=+-=-+-=∆a a a a a∴方程()0122=++-x a ax 总有两个不相等的实数根.∵方程()0122=++-x a ax 在{}12-<<-∈x x x 上恰有一个实数根 ∴()()[]()[]0121122222<+++-⨯⨯+++-⨯a a a a整理得:()()03256<++a a ,解之得:6523-<<-a . ∵a 为整数 ∴a 的值为1-.例35. 已知不等式052>+-b ax x 的解集为{}14<>x x x 或. （1）求实数b a ,的值; （2）若10<<x ,()xbx a x f -+=1,求函数()x f 的最小值. 分析 （1）一元二次不等式的解的结构与二次项系数的符号有关,且一元二次不等式解集的端点值就是其对应的一元二次方程的两个实数根;（2）注意到()11=-+x x ,且01,10>-<<x x ,考虑利用基本不等式求函数()x f 的最小值.解:（1）∵不等式052>+-b ax x 的解集为{}14<>x x x 或∴方程052=+-b ax x 的两个实数根分别4和1. 由根与系数的关系定理可得:⎩⎨⎧⨯=+=14145b a ,解之得:⎩⎨⎧==41b a . ∴a 的值为1,b 的值为4; （2）由（1）可知:4,1==b a . ∴()xx x f -+=141. ∵10<<x ,∴01>-x . ∴()()[]x x x x x x x x x x x f -+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=-+=11451411141 ≥911425=-⋅-+xxx x . 当且仅当x x x x -=-114,即31=x 时,等号成立. ∴函数()x f 的最小值为9.。
高考数学专题《二次函数与一元二次方程、不等式》习题含答案解析
专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式1．（浙江高考真题）已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f （4）>f （1），则（ ） A ．a >0，4a ＋b ＝0 B ．a <0，4a ＋b ＝0 C ．a >0，2a ＋b ＝0 D ．a <0，2a ＋b ＝0【答案】A 【解析】由已知得f (x )的图象的对称轴为x ＝2且f (x )先减后增，可得选项. 【详解】由f (0)＝f （4），得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴为x ＝－2ba＝2，∴4a ＋b ＝0， 又f (0)>f （1），f （4）>f （1），∴f (x )先减后增，于是a >0， 故选：A.2．（2021·全国高三专题练习（文））已知函数42()f x x x =-，则错误的是（ ）A ．()f x 的图象关于y 轴对称B ．方程()0f x =的解的个数为2C ．()f x 在(1,)+∞上单调递增D ．()f x 的最小值为14-【答案】B 【解析】结合函数的奇偶性求出函数的对称轴，判断A ，令()0f x =，求出方程的解的个数，判断B ，令2t x =，2211()()24g t t t t =-=--，从而判断C ，D 即可．【详解】42()f x x x =-定义域为R ，显然关于原点对称，又()()4242()f x x x x x -=---=-()f x =，所以()y f x =是偶函数，关于y 轴对称，故选项A 正确. 令()0f x =即2(1)(1)0x x x +-=，解得：0x =，1，1-，函数()f x 有3个零点，故B 错误；练基础令2t x =，2211()()24g t t t t =-=--，1x >时， 函数2t x =，2()g t t t =-都为递增函数，故()f x 在(1,)+∞递增，故C 正确；由12t =时，()g t 取得最小值14-，故()f x 的最小值是14-，故D 正确．故选：B ．3．（2021·北京高三其他模拟）设x ∈R ，则“2560x x -+<”是“|2|1x -<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】分别解出两个不等式的解集，比较集合的关系，从而得到两命题的逻辑关系. 【详解】2560x x -+<23x ⇒<<；|2|1x -<13x ⇒<<；易知集合()2,3是()1,3的真子集，故是充分不必要条件. 故选：A.4．（2021·全国高三月考）已知函数2()f x x bx c =-++，则“02b f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“方程()0f x =有两个不同实数解且方程(())0f f x =恰有两个不同实数解”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】根据二次函数的图象与性质，求得(())02bf f >，反之若()0f t =有两个正根12t t <，当12max ()t t f x <<，得到方程(())0f f x =恰有四个不同实数解，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由2()f x x bx c =-++表示开口向下的抛物线，对称轴的方程为2b x =，要使得方程()0f x =有两个不同实数，只需()02bf >，要使得方程(())0f f x =恰有两个不同实数解，设两解分别为12,x x ，且12x x <， 则满足1max 2()x f x x <<，因为12(,)x x x ∈时，()0f x >，所以(())02b f f >，所以必要性成立； 反之，设()02b t f =>，即()0f t >，当()0f t =有两个正根，且满足12t t <，若12max ()t t f x <<， 此时方程(())0f f x =恰有四个不同实数解，所以充分性不成立.所以“02b f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“方程()0f x =有两个不同实数解且方程(())0f f x =恰有两个不同实数解”的必要不充分条件. 故选：C.5．（2021·全国高三专题练习）若当x ∈(1，2)时，函数y =(x -1)2的图象始终在函数y =log a x 的图象的下方，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】1<a ≤2. 【解析】在同一个坐标系中画出两个函数的图象，结合图形，列出不等式组，求得结果. 【详解】如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y =(x -1)2和y =log a x 的图象.由于当x ∈(1，2)时，函数y =(x -1)2的图象恒在函数y =log a x 的图象的下方，则1log 21aa >⎧⎨⎩，解得1<a ≤2.故答案为：1<a ≤2.6.（2020·山东省微山县第一中学高一月考）若不等式220ax x a ++<对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是_________.【答案】(,1)-∞- 【解析】∵不等式220ax x a ++<对任意x ∈R 恒成立， ∴函数22y ax x a =++的图象始终在x 轴下方，∴2440a a <⎧⎨∆=-<⎩，解得1a <-， 故答案为：(,1)-∞-．7.（2021·全国高三专题练习）已知当()0,x ∈+∞时，不等式9x －m ·3x ＋m ＋1>0恒成立，则实数m 的取值范围是________．【答案】(,2-∞+ 【解析】先换元3x ＝t ，()1,t ∈+∞，使f （t ）＝t 2－mt ＋m ＋1>0在()1,t ∈+∞上恒成立，再利用二次函数图象特征列限定条件，计算求得结果即可. 【详解】令3x ＝t ，当()0,x ∈+∞时，()1,t ∈+∞，则f （t ）＝t 2－mt ＋m ＋1>0在()1,t ∈+∞上恒成立，即函数在()1,t ∈+∞的图象在x 轴的上方，而判别式()()224144m m m m ∆=--+=--，故2440m m ∆=--<或()0121110m f m m ∆≥⎧⎪⎪≤⎨⎪=-++≥⎪⎩，解得2m <+故答案为：(,2-∞+.8．（2021·浙江高一期末）已知函数2()1(0)f x ax x a =-+≠，若任意1x 、2[1,)x ∈+∞且12x x ≠，都有()()12121f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围是___________．【答案】[)1,+∞ 【解析】本题首先可令12x x >，将()()12121f x f x x x ->-转化为()()1122f x x f x x ->-，然后令()()g x f x x =-，通过函数单调性的定义得出函数()g x 在[1,)+∞上是增函数，最后分为0a =、0a ≠两种情况进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果. 【详解】因为任意1x 、2[1,)x ∈+∞且12x x ≠，都有()()12121f x f x x x ->-，所以令12x x >，()()12121f x f x x x ->-即()()1212f x f x x x ->-，()()1122f x x f x x ->-，令()()221g x f x x ax x =-=-+，则函数()g x 在[1,)+∞上是增函数， 若0a =，则()21g x x =-+，显然不成立；若0a ≠，则0212a a>⎧⎪-⎨-≤⎪⎩，解得1a ≥，综合所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞， 故答案为：[)1,+∞.9.（2021·四川成都市·高三三模（理））已知函数21,0()2,0x x f x x x x --≤⎧=⎨-+>⎩，若()()12f x f x =，且12x x ≠，则12x x -的最大值为________． 【答案】134【解析】由()()12f x f x =得，212221x x x =--，把12x x -转化为212212231x x x x x x -=-=-++，利用二次函数求最值. 【详解】()y f x =的图像如图示：不妨令12x x <，由图像可知，10x ≤，20x >由()()22121221221221f x f x x x x x x x =⇒--=-+⇒=--，由212212231x x x x x x -=-=-++ 当232x =时，12max134x x -=． 故答案为：134. 10．（2021·浙江高一期末）已知函数2()24f x kx x k =-+．（Ⅰ）若函数()f x 在区间[2,4]上单调递减，求实数k 的取值范围； （Ⅱ）[2,4]x ∀∈，()0f x ≥恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）1(,]4-∞；（Ⅱ）1[,)2+∞ 【解析】（Ⅰ）由题意讨论0k =，0k >与0k <三种情况，求出函数的对称轴，结合区间，列不等式求解；（Ⅱ）利用参变分离法得24k x x≥+在[2,4]上恒成立，令4()f x x x =+，根据单调性，求解出最值，即可得k 的取值范围. 【详解】（Ⅰ）当0k =时，()2f x x =-，在区间[2,4]上单调递减，符合题意；当0k >时，对称轴为1x k，因为()f x 在区间[2,4]上单调递减，所以14k ≥，得14k ≤，所以104k <≤；当0k <时，函数()f x 在区间[2,4]上单调递减，符合题意，综上，k 的取值范围为1(,]4-∞.（Ⅱ）[2,4]x ∀∈，()0f x ≥恒成立，即[2,4]x ∀∈，22244x k x x x≥=++恒成立，令4()f x x x=+，可知函数()f x 在[2,4]上单调递增，所以()4f x ≥，所以max 2142x x ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪+⎝⎭，所以12k ≥，故k 的取值范围为1[,)2+∞1．（2020·山东省高三二模）已知函数()()21f x x m x m =+--，若()()0f f x 恒成立，则实数m 的范围是（ ）A ．3,3⎡--+⎣B ．1,3⎡--+⎣C ．[]3,1- D ．3⎡⎤-+⎣⎦【答案】A 【解析】()()()()211f x x m x m x m x =+--=-+，（1）1m >-，()()0ff x ≥恒成立等价于()f x m ≥或()1f x ≤-恒成立，即()()21f x x m x m m =+--≥或()()211f x x m x m =+--≤-（不合题意，舍去）恒成立；即01m ∆≤⎧⎨>-⎩，解得(1,3m ∈--+， （2）1m =-恒成立，符合题意； （3）1m <-，()()0ff x ≥恒成立等价于()f x m ≤（不合题意，舍去）或()1f x ≥-恒成立，等价于1m ∆≤⎧⎨<-⎩，解得[)3,1m ∈--. 综上所述，3,3m ⎡∈--+⎣，故选：A.2．（2021·浙江高三二模）已知()22f x x x =-，对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程练提升()()()()12f x f x f x f x m -+-=在[]0,3上有解，则m 的取值范围是（ ）A ．[]0,3B ．[]0,4C ．{}3D ．{}4【答案】D 【解析】对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程()()()()12f x f x f x f x m -+-=在[]0,3上有解，不妨取取()11f x =-，()23f x =，方程有解m 只能取4，则排除其他答案.【详解】2()(1)1f x x =--，[0,3]x ∈，则min ()1f x =-，max ()3f x =.要对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程()()()()12f x f x f x f x m -+-=在[]0,3上都有解, 取()11f x =-，()23f x =，此时，任意[0,3]x ∈，都有()()()()124m f x f x f x f x =-+-=， 其他m 的取值，方程均无解，则m 的取值范围是{}4. 故选：D.3.（2020·浙江省高三二模）已知函数()321,020a x x f x x ax x ⎧-≤⎪=⎨-+->⎪⎩的图象经过三个象限，则实数a 的取值范围是________. 【答案】2a <或3a >. 【解析】当0x ≤时，3()||11f x a x =-≤-，此时函数图象经过第三象限，当02x <<时，2()(1)2f x x a x =-++，此时函数图象恒经过第一象限，当2[(1)]40a =--->且10a +>，即3a >时，函数图像经过第一、四象限，当2x ≥时，2()(1)2f x x a x =---，此时函数图象恒经过第一象限，当(2)0f <，即2a >时，函数图像经过第一、四象限， 综上所述：2a <或3a >.4．（2020·陕西省西安中学高三其他（理））记{},max ,,,m m nm n n m n ≥⎧=⎨<⎩函数{}22()max 44(1),ln (1)f x x ax a x a =-+--<有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是_________.【答案】12a < 【解析】令()()2244(1)0g x x ax a x =-+-->，因为1a <，则()2(1)651(5)0ln1g a a a a =-+-=---<=，所以(1)ln10f ==，即1是函数()f x 的零点， 因为函数()g x 的对称轴为122a x =<， 所以根据题意，若函数()f x 有且只有一个零点，则二次函数()g x 没有零点，22(4)16(1)0a a ∆=--<，解得12a <. 故答案为：12a <5．（2021·浙江高三专题练习）已知函数()21,()2f x x x a b a b R =+-+∈，若[1,1]x ∈-时，()1f x ≤，则12a b +的最大值是___________. 【答案】12- 【解析】根据函数()21,()2f x x x a b a b R =+-+∈，分1a >，1a <-和11a -≤≤三种情况讨论，分别求得其最大值，即可求解. 【详解】由题意，函数()21,()2f x x x a b a b R =+-+∈， 当1a >时，()211,[1,1]22f x x x a b x =-++∈-，因为() 1f x ≤，可得(1)11()14f f -≤⎧⎪⎨≥-⎪⎩，所以1122115216a b a b ⎧+≤-⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩，所以15111622a b -≤+≤-； 当1a <-时，()211,[1,1]22f x x x a b x =+-+∈-，因为()1f x ≤，可得()max 11(1)1122f x f a b ==+-+≤， 所以1122b a ≤-，所以113222a b a +=-≤-；当11a -≤≤时，()21,[1,1]2f x x x a b x =+-+∈-，由()1f x ≤知，()max (1)1112f f x a b =+--+=， 因为11a -≤≤，所以10a --≤，所以()max (1)1112f f x a b =+--+=，所以1122a b +≤-，综上可得，12a b +的最大值是12-.故答案为：12-6.（2021·浙江高三期末）已知函数()()21sin sin ,22bf x x x a a b R =+-+∈，若对于任意x ∈R ，均有()1f x ≤，则+a b 的最大值是___________.【答案】1- 【解析】首先讨论1a ≥、1a ≤-时()f x 的最值情况，由不等式恒成立求+a b 的范围，再讨论11a -<<并结合()f x 的单调情况求+a b 的范围，最后取它们的并集即可知+a b 的最大值. 【详解】当sin a x ≥时，211()(sin )4216a b f x x +=-+-， 当sin a x <时，211()(sin )4216b a f x x -=++-，令sin [1,1]t x =∈-，则()()2211,4216{11(),()4216a b t a t g t b a t a t +⎛⎫-+-≥ ⎪⎝⎭=-++-<∴当1a ≥时，14t =有min 1()216a b g t +=-；1t =-有max 3()22a b g t +=+； 由x ∈R 有()1f x ≤，有131121622a b a b ++-≤-<+≤，故1518a b -≤+≤-； 当1a ≤-时，14t =-有min 1()216b a g t -=-；1t =有max 3()22b a g t -=+； 由x ∈R 有()1f x ≤，有131121622b a b a ---≤-<+≤，故1518b a -≤-≤-，即3a b +≤-； 当11a -<<时，()2211(),(1)4216{11,(1)4216a b t t a g t b a t a t +-+--<<=-⎛⎫++-≤< ⎪⎝⎭， ∴1(1,)4a ∈--：()g t 在(1,)a -上递减，1[,)4a -上递减，1[,1]4-上递增； 11[,]44a ∈-：()g t 在(1,)a -上递减，[,1)a 上递增；1(,1)4a ∈：()g t 在1(1,]4-上递减，1[,)4a 上递增，[,1)a 上递增；∴综上，()g t 在(1,1)-上先减后增，则(1)1(1)1g g ≤⎧⎨-≤⎩，可得1a b +≤-∴1a b +≤-恒成立，即+a b 的最大值是-1. 故答案为：1-.7．（2020·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）高一期中）已知函数2()3(,)f x ax bx a b R =++∈，且()0f x ≤的解集为[1,3]．（1）求()f x 的解析式；（2）设()()41xh x f x x =+-，在定义域范围内若对于任意的12x x ，，使得()()12h x h x M -≤恒成立，求M 的最小值．【答案】（1）2()43f x x x =-+；（2）2． 【解析】（1）代入方程的根，求得参数值.（2）使不等式恒成立，根据函数单调性求得函数的最值，从而求得参数的值. 【详解】 解：（1）由题意(1)30(3)9330f a b f a b =++=⎧⎨=++=⎩解得14a b =⎧⎨=-⎩2()43f x x x ∴=-+（2）由题意max ()()min M h x h x -2(),2xh x x R x =∈+ 当0()0x h x ==当10()2x h x x x≠=+， 令2()g x x x=+，当0,()22x g x>，当x =当0,()x g x <≤-x =()(,)g x ∴∈-∞-⋃+∞(),00,(0)44h x x ⎡⎫⎛∈-⋃≠⎪ ⎢⎪⎣⎭⎝⎦综上，()44h x ⎡∈-⎢⎣⎦2442M⎛∴--= ⎝⎭min 2M ∴=8．（2021·浙江高一期末）设函数()()2,f x x ax b a b R =-+∈． （1）若()f x 在区间[]0,1上的最大值为b ，求a 的取值范围； （2）若()f x 在区间[]1,2上有零点，求2244a b b +-的最小值． 【答案】（1）[)1,+∞；（2）45. 【解析】（1）对实数a 的取值进行分类讨论，分析函数()f x 在区间[]0,1上的单调性，求得()max f x ，再由()max f x b =可求得实数a 的取值范围；（2）设函数()f x 的两个零点为1x 、2x ，由韦达定理化简()22222221222222241414144a x x x x x x b b x +-=+⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭，设()22224124g x x =⎛⎫+- ⎪⎝⎭，由[]21,2x ∈结合不等式的基本性质求出()2g x 的最小值，即为所求. 【详解】（1）二次函数()2f x x ax b =-+的图象开口向上，对称轴为直线2a x =. ①当02a≤时，即当0a ≤时，函数()f x 在区间[]0,1上单调递增，则()()max 11f x f a b ==-+； ②当012a <<时，即当02a <<时，函数()f x 在0,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在,12a ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增， ()0f b =，()11f a b =-+，所以，(){}max 1,01max ,1,12a b a f x b a b b a -+<<⎧=-+=⎨≤<⎩；③当12a≥时，即当2a ≥时，函数()f x 在区间[]0,1上单调递减，则()()max 0f x f b ==.综上所述，()max 1,1,1a b a f x b a -+<⎧=⎨≥⎩.所以，当()f x 在区间[]0,1上的最大值为b ，实数a 的取值范围是[)1,+∞； （2）设函数()f x 的两个零点为1x 、2x ，由韦达定理可得1212x x ax x b+=⎧⎨=⎩，所以，()()22222222222212121211221212122444424142a b b x x x x x x x x x x x x x x x x x +-=++-=-++=+-+()222222222212222222241414141x x x x x x x x x x ⎛⎫=+-+-≥- ⎪+++⎝⎭， 设()242222222222422222444144141124x x g x x x x x x x =-===++⎛⎫++- ⎪⎝⎭， 由212x ≤≤可得221114x ≤≤，所以，()2222445124g x x =≥⎛⎫+- ⎪⎝⎭.此时，21x =，由212241x x x =+可得115x =. 所以，当115x =，21x =时，2244a b b +-取最小值45. 9．（2020·全国高一单元测试）已知函数f （x ）=9x ﹣a ⋅3x +1+a 2（x ∈[0，1]，a ∈R ），记f （x ）的最大值为g （a ）．（Ⅰ）求g （a ）解析式；（Ⅱ）若对于任意t ∈[﹣2，2]，任意a ∈R ，不等式g （a ）≥﹣m 2+tm 恒成立，求实数m 的范围．【答案】（Ⅰ）g （a ）=22499,3431,3a a a a a a ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩；（Ⅱ）m ≤﹣52或m ≥52．【解析】（Ⅰ）令u =3x ∈[1，3]，得到f （x ）=h （u ）=u 2﹣3au +a 2，分类讨论即可求出， （Ⅱ）先求出g （a ）min =g （32）=﹣54，再根据题意可得﹣m 2+tm ≤﹣54，利用函数的单调性即可求出．【详解】解：（Ⅰ）令u =3x ∈[1，3]，则f （x ）=h （u ）=u 2﹣3au +a 2． 当32a≤2，即a ≤43时，g （a ）=h （u ）min =h （3）=a 2﹣9a +9； 当322a>，即a ＞43时，g （a ）=h （u ）min =h （1）=a 2﹣3a +1； 故g （a ）=22499,3431,3a a a a a a ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩；（Ⅱ）当a≤43时，g （a ）=a 2﹣9a +9，g （a ）min =g （43）=﹣119；当a 43>时，g （a ）=a 2﹣3a +1，g （a ）min =g （32）=﹣54；因此g （a ）min =g （32）=﹣54；对于任意任意a ∈R ，不等式g （a ）≥﹣m 2+tm 恒成立等价于﹣m 2+tm ≤﹣54． 令h （t ）=mt ﹣m 2，由于h （t ）是关于t 的一次函数，故对于任意t ∈[﹣2，2]都有h （t ）≤﹣54等价于5(2)45(2)4h h ⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，即2248504850m m m m ⎧+-≥⎨--≥⎩， 解得m ≤﹣52或m ≥52． 10．（2021·全国高一课时练习）已知函数()22(0)f x ax ax b a =-+>，在区间[]0,3上有最大值16，最小值0.设()()f xg x x=． （1）求()g x 的解析式；（2）若不等式()22log log 0g x k x -⋅≥在[]4,16上恒成立，求实数k 的取值范围；【答案】（1）()148g x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(0)x ≠；（2）(,1]-∞． 【解析】（1）由二次函数的性质知()f x 在0,1上为减函数，在()1,3上为增函数，结合其区间的最值，列方程组求,a b ，即可写出()g x 解析式； （2）由题设得222184()4log log k x x≤-+在[]4,16x ∈上恒成立，即k 只需小于等于右边函数式的最小值即可. 【详解】（1）∵()2(1)f x a x b a =-+-(0a >)，即()f x 在0,1上为减函数，在()1,3上为增函数．又在[]0,3上有最大值16，最小值0，∴(1)0f b a =-=，(3)316f a b =+=，解得4a b ==， ∴()148g x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(0)x ≠； （2）∵()22log log 0g x k x -≥∴22214log 8log log x k x x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，由[]4,16x ∈，则[]2log 2,4x ∈， ∴222221814()44(1)log log log k x x x ≤-+=-，设21log t x =，11,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴()24(1)h t t =-在11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，当12t =时，()h t 最小值为1，∴1k ≤，即(,1]k ∈-∞.1．（浙江省高考真题）若函数()2f x =x ax b ++在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M m -的值（ ）A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关练真题【答案】B 【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b 无关，选B ．2.（2018·浙江高考真题）已知λ∈R，函数f (x )={x −4,x ≥λx 2−4x +3,x <λ，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________． 【答案】 (1,4) (1,3]∪(4,+∞) 【解析】由题意得{x ≥2x −4<0 或{x <2x 2−4x +3<0 ，所以2≤x <4或1<x <2，即1<x <4，不等式f (x )<0的解集是(1,4),当λ>4时，f(x)=x −4>0，此时f(x)=x 2−4x +3=0,x =1,3，即在(−∞,λ)上有两个零点；当λ≤4时，f(x)=x −4=0,x =4，由f(x)=x 2−4x +3在(−∞,λ)上只能有一个零点得1<λ≤3.综上，λ的取值范围为(1,3]∪(4,+∞).3.（北京高考真题）已知0x ≥,0y ≥,且1x y +=,则22x y +的取值范围是_____.【答案】1[,1]2【解析】试题分析：22222(1)221,[0,1]x y x x x x x +=+-=-+∈，所以当01x =或时，取最大值1；当12x =时，取最小值12.因此22x y +的取值范围为1[,1]2.4.（2018·天津高考真题（理））已知0a >，函数222,0,()22,0.x ax a x f x x ax a x ⎧++≤=⎨-+->⎩若关于x 的方程()f x ax=恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是______________.【答案】(48)，【解析】分析：由题意分类讨论0x ≤和0x >两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果. 详解：分类讨论：当0x ≤时，方程()f x ax =即22x ax a ax ++=， 整理可得：()21x a x =-+，很明显1x =-不是方程的实数解，则21x a x =-+，当0x >时，方程()f x ax =即222x ax a ax -+-=， 整理可得：()22x a x =-，很明显2x =不是方程的实数解，则22x a x =-，令()22,01,02x x x g x x x x ⎧-≤⎪⎪+=⎨⎪>⎪-⎩， 其中211211x x x x ⎛⎫-=-++- ⎪++⎝⎭，242422x x x x =-++-- 原问题等价于函数()g x 与函数y a =有两个不同的交点，求a 的取值范围. 结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数()g x 的图象， 同时绘制函数y a =的图象如图所示，考查临界条件， 结合0a >观察可得，实数a 的取值范围是()4,8.5.（2020·江苏省高考真题）已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，，求h (x )的表达式； 【答案】（1）()2h x x =； 【解析】（1）由题设有2222x x kx b x x -+≤+≤+对任意的x ∈R 恒成立. 令0x =，则00b ≤≤，所以0b =.因此22kx x x ≤+即()220x k x +-≥对任意的x ∈R 恒成立，所以()220k ∆=-≤，因此2k =. 故()2h x x =.6．（浙江省高考真题（文））设函数2(),(,)f x x ax b a b R =++∈.（1）当214a b时，求函数()f x 在[1,1]-上的最小值()g a 的表达式； （2）已知函数()f x 在[1,1]-上存在零点，021b a ≤-≤，求b 的取值范围.【答案】（1）222,2,4(){1,22,2,24a a a g a a a a a ++≤-=-<≤-+>；（2）[3,9--【解析】 （1）当214a b时，2()()12a f x x =++，故其对称轴为2a x =-. 当2a ≤-时，2()(1)24a g a f a ==++.当22a -<≤时，()()12a g a f =-=.当2a >时，2()(1)24a g a f a =-=-+.综上，222,2,4(){1,22,2,24a a a g a a a a a ++≤-=-<≤-+>（2）设,s t 为方程()0f x =的解，且11t -≤≤，则{s t ast b+=-=.由于021b a ≤-≤，因此212(11)22t ts t t t --≤≤-≤≤++. 当01t ≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++， 由于222032t t --≤≤+和212932t t t --≤≤-+所以293b -≤≤-当10t -≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++， 由于22202t t --≤<+和2302t t t --≤<+，所以30b -≤<.综上可知，b 的取值范围是[3,9--.。
二次函数与一元二次方程及不等式的关系探析
程 ax2+bx+c=0（a≠0）在实数范围内无解
（或称无实数根）。
二次函数是我们初中数学中的一个
难点，我们一定要掌握好二次函数与一元
二次方程的关系，使我们在面对二次函数
时，能够巧妙地结合方程来解决二次函数 的相关问题。
四、进一步的拓展应用
在二次函数与一元二次方程关系的 基础上，我们其实还可利用二次函数的图 像去解一元二次不等式，我们可以结合二 次函数图像与 x 轴交点的情况来判断一 元二次不等式的解集；下面以 a>0 为例说 明，抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴无交 点时，不等式 ax2+bx+c>0（或 <0）（a>0）的 解集为全体实数或无解；抛物线
参考文献： [1]石慧英，秦继东.从“有形无图”到 “以形助数”— —— 一道中考题的解法与变 式探究[J].中学数学，2020(14):67-69. [2]仓猛.复习课“三个关注”：目标、教 材与“考向”———以“二次函数与一元二次 方程”复习课为例[J].中学数学，2019(22): 41-42. [3]徐章韬.从二次函数到一元二次方 程———教育数学研究之九[J].教育研究与 评论(中学教育教学)，2019(08):43-46. [4]沈莉.基于机会的教学立意———以 “二次函数与方程、不等式的关系”教学为 例[J].中学数学，2018(18):10-12. [5]陆炜锋.重新建构学材，提升学习 能力—— —以“二次函数与一元二次方程” 教学为例[J].中学数学，2017(18):15-17.
2021·9
解：（1）①当 m=0 时，原方程可化为
x-2=0，解得 x=2；
②当 m≠0 时，方程为一元二次方程，
《二次函数与一元二次方程的联系》教案 (公开课)2022年湘教版数学
1．4二次函数与一元二次方程的联系1．通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系，会用二次函数图象求一元二次方程的近似解；(重点)2．通过研究二次函数与一元二次方程的联系体会数形结合思想的应用．(难点)一、情境导入小唐画y＝x2－6x＋c的图象时，发现其顶点在x轴上，请你帮小唐确定字母c的值是多少？二、合作探究探究点一：二次函数与一元二次方程的联系【类型一】二次函数图象与x 轴交点情况的判断以下函数的图象与x轴只有一个交点的是()A．y＝x2＋2x－3 B．y＝x2＋2x＋3C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2－2x＋1解析：选项A中b2－4ac＝22－4×1×(－3)＝16＞0，选项B中b2－4ac＝22－4×1×3＝－8＜0，选项C中b2－4ac ＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，选项D中b2－4ac＝(－2)2－4×1×1＝0，所以选项D 的函数图象与x轴只有一个交点．应选D.变式训练：见《学练优》本课时练习“课后稳固提升〞第1题【类型二】利用函数图象与x轴交点情况确定字母的取值范围(2021·武汉模拟)二次函数y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有交点，那么k的取值范围是()A．k<3 B．k<3且k≠0C．k≤3 D．k≤3且k≠0解析：∵二次函数y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有交点，∴方程kx2－6x＋3＝0(k≠0)有实数根，即Δ＝36－12k≥0，k≤3.由于是二次函数，故k≠0，那么k的取值范围是k≤3且k≠D.方法总结：二次函数y＝ax2＋bx＋c，当b2－4ac＞0时，图象与x轴有两个交点；当b2－4ac＝0时，图象与x轴有一个交点；当b2－4ac＜0时，图象与x轴没有交点．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练〞第4题【类型三】利用抛物线与x轴交点坐标确定一元二次方程的解(2021·苏州中考)假设二次函数y ＝x2＋bx的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y轴的直线，那么关于x的方程x2＋bx＝5的解为()A.⎩⎪⎨⎪⎧x1＝0，x2＝4B.⎩⎪⎨⎪⎧x1＝1，x2＝5C.⎩⎪⎨⎪⎧x1＝1，x2＝－5D.⎩⎪⎨⎪⎧x1＝－1，x2＝5解析：∵对称轴是经过点(2，0)且平行于y轴的直线，∴－b2＝2，解得bx2－4x＝5，解得x1＝－1，x2D.方法总结：此题容易出错的地方是不知道二次函数的图象与一元二次方程的解的关系导致无法求解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练〞第1题探究点二：用二次函数的图象求一元二次方程的近似解利用二次函数的图象求一元二次方程－x2＋2x－3＝－8的实数根(精确到0.1)．解析：对于y＝－x2＋2x－3，当函数值为－8时，对应点的横坐标即为一元二次方程－x2＋2x－3＝－8的实数根，故可通过作出函数图象来求方程的实数根．解：在平面直角坐标系内作出函数y＝－x2＋2x－3的图象，如图．由图象可知方程－x2＋2x－3＝－8的根是抛物线y＝－x2＋2x－3与直线y＝－8的交点的横坐标，左边的交点横坐标在－1与－2之间，另一个交点的横坐标在3与4之间．(1)先求在－2和－1之间的根，利用计算器进行探索：xy因此x≈－1.4是方程的一个实数根．(2)另一个根可以类似地求出：xyx≈3.4是方程的另一个实数根．方法总结：用二次函数的图象求一元二次方程满足精确度的实数根的方法：(1)作出函数的图象，并由图象确定方程解的个数；(2)由图象与y＝h的交点的位置确定交点横坐标的取值范围；(3)利用计算器求方程的实数根．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练〞第8题探究点三：二次函数与一元二次方程在运动轨迹中的应用某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，球出手时距地面209米，与篮框中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮框距地面3米．(1)建立如下列图的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？(2)此时，假设对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，，那么他能否获得成功？解析：这是一个有趣的、贴近学生日常生活的应用题，由条件可得到出手点、最高点(顶点)和篮框的坐标，再由出手点、顶点的坐标可求出函数表达式；判断此球能否准确投中的关键就是判断代表篮框的点是否在抛物线上；判断盖帽拦截能否获得成功，就是比较当x＝1时函数y的值与最大摸高3.1米的大小．解：(1)由条件可得到出手点、最高点和篮框的坐标分别为A(0，209)，B(4，4)，C(7，3)，其中B是抛物线的顶点．设二次函数关系式为y＝a(x－h)2＋k，将点A、B的坐标代入，可得y＝－19(x－4)2＋4.将点C的坐标代入上式，得左边＝3，右边＝－19(7－4)2＋4＝3，左边＝右边，即点C在抛物线上．所以此球一定能投中；(2)将x＝1代入函数关系式，得y＝3.因为3.1＞3，所以盖帽能获得成功．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后稳固提升〞第7题三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，通过观察二次函数与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，体会知识间的相互转化和相互联系. 第2课伟大的历史转折1教学分析【教学目标】知识与能力知道中共十一届三中全会召开时间；了解它的背景，理解其重大意义；拨乱反正加强了民主与法制建设，推动了社会主义现代化建设；学会在开展的进程中认识历史人物、历史事件的地位和作用过程与方法学会运用原因与结果、联系与综合等概念，理解中共十一届三中全会的背景与历史意义情感态度与价值观认同中国共产党完全有能力领导中国人民取得社会主义建设事业的成功识改革开放是我国的强国之路【重点难点】教学重点：中共十一届三中全会教学难点：中共十一届三中全会在政治上、思想上、组织上的转变以及历史意义2教学过程一、导入新课“文化大革命〞时期，我国教育遭到了很大破坏，高考中断了十年。
高中数学题型讲座：二次函数与一元二次方程、不等式
第2讲：二次函数与一元二次方程、不等式(重点题型方法与技巧)目录类型一：一元二次不等式（不含参）的求解 类型二：一元二次不等式（含参）的求解 角度1：两根大小不确定，从两根相等开始讨论角度2：最高项系数含参从0开始讨论 角度3：不可因式分解型，从开始讨论 类型三：一元二次不等式与对应函数、方程的关系类型四：二次不等式恒成立问题 类型五：一元二次函数求最值（含参数）类型六：：根据不等式的解求参数1、四个二次的关系 1.1一元二次函数的零点一般地，对于二次函数2y ax bx c =++，我们把使20ax bx c ++=的实数x 叫做二次函数2y ax bx c =++的零点．1.2次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设ac b 42-=∆，它的解按照0>∆，0=∆，0<∆可分三种情况，相应地，二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图象与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或20ax bx c ++<(0)a >的解集.判别式ac b 42-=∆ 0∆>0∆=0∆<二次函数2y ax bx c =++(0a >的图象一元二次方程20ax bx c ++=(0a >)的根有两个不相等的实数有两个相等的实数根没有实数根根1x ，2x (12x x <)122b x x a==-20ax bx c ++>(0a >)的解集 12{|}x x x x x <>或 {|}2b x x a≠-R20ax bx c ++<(0a >)的解集12{|}x x x x <<∅ ∅2、一元二次不等式的解法1：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； 2：写出相应的方程20ax bx c ++=(0)a >，计算判别式∆：①0∆>时，求出两根12x x 、，且12x x <（注意灵活运用十字相乘法）； ②0∆=时，求根ab x x 221-==； ③0∆<时，方程无解 3：根据不等式，写出解集.类型一：一元二次不等式（不含参）的求解典型例题例题1．（2022·全国·高一课时练习）不等式21560x x +->的解集为（ ） A ．{1x x 或1}6x <-B ．116x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C ．{1x x 或3}x <-D ．{}32x x -<<【答案】B【详解】法一：原不等式即为26510x x --<，即()()6110x x +-<，解得116x -<<，故原不等式的解集为116x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭．法二：当2x =时，不等式不成立，排除A ，C ；当1x =时，不等式不成立，排除D ． 故选：B ．例题2．（2022·陕西省丹凤中学高一期末（理））不等式2280x x +-≤的解集是________． 【答案】{|42}x x -≤≤【详解】解：因为2280x x +-≤，即()()420x x +-≤， 解得42x -≤≤，所以原不等式的解集为{|42}x x -≤≤； 故答案为：{|42}x x -≤≤同类题型演练1．（2022·广东珠海·高一期末）不等式()()130x x ++<的解集是（ ）A ．RB ．∅C ．{31}x x -<<-∣D ．{3xx <-∣，或1}x >- 【答案】C【详解】解：由()()130x x ++<，解得31x -<<-，即不等式的解集为{31}xx -<<-∣； 故选：C2．（2022·四川成都·高一期末（文））不等式()()120x x +->的解集为___________. 【答案】{}|12x x -<<【详解】不等式()()120x x +->可化为()()120x x +-<， 解得：12x -<<.所以原不等式的解集为{}|12x x -<<. 故答案为：{}|12x x -<<类型二：一元二次不等式（含参）的求解 角度1：两根大小不确定，从两根相等开始讨论 典型例题例题1．（2022·全国·高一课时练习）解不等式()2220x c x c -++<.【答案】解：不等式化为()2220x c x c -++<，即()(2)0x c x --<当2>c 时，不等式的解集为{}2x x c <<， 当2c =时，不等式的解集为∅， 当2c <时，不等式的解集为{}2x c x <<例题2．（2022·全国·高三专题练习）求不等式2212x ax a ->（a R ∈）的解集． 【答案】当a>0时，不等式的解集为{|}43a ax x x <->或 当a ＝0时，不等式的解集为{x|x ∈R 且x≠0}； 当a<0时，不等式的解集为{|}34a ax x x <>-或 【详解】试题分析：解含参数的二次不等式，通常要比较其对应方程的两根大小才能写出不等式的解集．本题对应方程两根为13a x =，24ax =-比较这两个根的大小，只需讨论与零的大小关系就可以了．试题解析：原不等式可化为（3x －a ）（4x ＋a ）>0． 当a>0时，不等式的解集为{|}43a a x x x <->或 当a ＝0时，不等式的解集为{x|x ∈R 且x≠0}； 当a<0时，不等式的解集为{|}34a a x x x <>-或 例题3．（2022·广东·高一期末）设函数2()(1)1f x ax a x =-++． (1)当a +∈R 时，求关于x 的不等式()0f x <的解集．【答案】(1)当1a =时，解集为∅；当01a <<时，解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当1a >时，解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. ()0f x <，即()2110ax a x -++<，当a +∈R 时，原不等式可化为()110x x a⎛⎫--< ⎪⎝⎭，其解得情况应由1a与1的大小关系确定， 当1a =时，解得x ∈∅； 当1a >时，解得11x a<<； 当01a <<时，解得11x a<<. 综上所述：当1a =时，解集为∅；当01a <<时，解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当1a >时，解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 同类题型演练1．（2022·福建南平·高一期末）当0a <时，求关于x 的不等式2(24)80ax a x +-->的解集． 【答案】2(24)80ax a x +-->，因为0a <，所以不等式可化为2(4)0x x a ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭当24a <-时，即102a -<<，原不等式的解集24,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭当24a =-时，即12a =-，原不等式的解集为∅当24a >-时即12a <-原不等式的解集2,4a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.综上所述，当102a -<<时，原不等式的解24,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；当12a =-时，原不等式的解集为∅；当12a <-时，原不等式的解集2,4a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.2．（2022·四川成都·高一期末）设函数()()3y x x a =--，R a ∈. (1)解关于x 的不等式0y <； 【答案】(1)答案见解析.当3a <时，不等式()0f x <的解集为(),3a ， 当3a =时，不等式()0f x <的解集为∅， 当3a >时，不等式()0f x <的解集为()3,a .3．（2022·甘肃省武威第一中学高一开学考试）解关于x 的不等式：()2230x a a x a -++<.【答案】答案见解析【详解】解：()2230x a a x a -++<即()()20x a x a --<， 则对应方程的根为212,==x a x a ，①当0a <或1a >时，原不等式的解集为{}2x a x a <<，②当0a =或1a =时，原不等式的解集为∅，③当01a <<时，原不等式的解集为{}2x a x a <<.角度2：最高项系数含参从0开始讨论典型例题例题1．（2022·湖南·新邵县第二中学高一开学考试）解关于x 的不等式2(1)21(R)ax a x a a a +-+-<-∈.【答案】由题意可得22(1)21(1)10ax a x a a ax a x +-+-<-⇒+--<，当0a =时，不等式可化为1x <，所以不等式的解集为{}1x x <，当0a >时，21(1)10(1)(1)01ax a x ax x x a+--<⇒+-<⇒-<<，当0a <时，2(1)10(1)(1)0ax a x ax x +--<⇒+-<，①当1a =-，解集{}1x x ≠，②当10a -<<，解集为{1x x <或1x a ⎫>-⎬⎭，③当1a <-，解集为{1x x >或1x a ⎫<-⎬⎭.综上所述，当1a <-，不等式的解集为{1x x >或1x a ⎫<-⎬⎭，当1a =-，不等式的解集为{}1x x ≠，当10a -<<，不等式的解集为{1x x <或1x a ⎫>-⎬⎭，当0a =时，不等式的解集为{}1x x <，当0a >时，不等式的解集为11x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.例题2．（2022·陕西·西安高新第三中学高一期中）已知函数()2(2)()f x ax a x a =+-∈R .若2a >-，解关于x 的不等式()2f x ≥.【答案】20a -<<时，解集为2|1x x a ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭；0a =时，解集为{}1x x ≤-； 0a >时，解集为2{|x x a≥或1}x ≤- 不等式()2f x ≥，可化为：()2220ax a x +--≥.当0a =时，原不等式即为220x --≥，∴1x ≤-．当0a >时，原不等式化为()210a x x a ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，∴2x a ≥或1x ≤-.当20a -<<时，原不等式为()210a x x a ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，可化为()210x x a ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭因21a<-，∴21x a ≤≤-．综上，20a -<<时，原不等式的解集为2|1x x a ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭；0a =时，原不等式的解集为{}1x x ≤-； 0a >时，原不等式的解集为2{|x x a≥或1}x ≤- 同类题型演练1．（2022·全国·高一专题练习）若R a ∈，解关于x 的不等式2(1)10ax a x +++>．【答案】答案见解析.【详解】当0a =时，1x >-，当0a ≠时，1()(1)0a x x a++>，当0a <时，1()(1)0x x a ++<，解得11x a-<<-，当0a >时，1()(1)0x x a++>，若1a =，则1x ≠-，若01a <<，则1x a <-或1x >-，若1a >，则1x <-或1x a>-，所以当0a <时，原不等式的解集是{}|11x x a -<<-；当0a =时，原不等式的解集是{|1}x x >-；当01a <≤时，原不等式的解集是1{|x x a <-或1}x >-；当1a >时，原不等式的解集是{|1x x <-或1}x a>-．2．（2022·福建·莆田一中高一期末）已知函数2()(1)2f x ax a x a =+-+-. 若0a <，解关于x 的不等式()1f x a <-. 【答案】依题意，因0a <，则2()1(1)101()(1)0f x a ax a x x x a<-⇔+-⇔--+><，当1a =-时，11a-=，解得1x ≠， 当10a -<<时，11a ->，解得1x <或1x a>-， 当1a <-时，101a <-<，解得1x a<-或1x >，所以，当1a =-时，原不等式的解集为{R |1}x x ∈≠；当10a -<<时，原不等式的解集为{|1x x <或1}x a>-；当1a <-时，原不等式的解集为1{|x x a<-或1}x >.角度3：不可因式分解型，从开始讨论典型例题例题1．（2022·全国·高一专题练习）解关于x 的不等式：2220()x ax a R ++>∈． 【答案】答案见解析.【详解】关于x 的不等式：2220()x ax a R ++>∈中，∆2242216a a =-⨯⨯=-，当4a >或4a 时，∆0>，对应的一元二次方程有两个实数根2164a a x ---=和2164a a x -+-=，且22161644a a a a ----+-<， 故不等式的解集为216{|4a a x x ---<或216}4a a x -+->；当4a =±时，∆0=，对应的一元二次方程有两个相等的实数根4ax =-，∴不等式的解集为{|}4ax x ≠-；当44a -<<时，∆0<， ∴不等式的解集为R ；综上，4a >或4a时，不等式的解集为216{|4a a x x ---<或216}4a a x -+->；4a =±时，不等式的解集为{|}4ax x ≠-；44a -<<时，不等式的解集为R ．同类题型演练1．（2022·山东滨州·高二期中）已知一元二次函数2()f x x bx c =++，满足(0)2,(1)(1)=-=f f f ．(1)求()f x 的解析式；(2)解关于x 的不等式()2≤f x ax ． 【答案】(1)2()2f x x =+(2)解集见解析(1)解：函数2()f x x bx c =++，由(0)2f =，得2,c = 因为(1)(1)f f -=，所以1212,++=-+b b 解得0b =； 所以2()2f x x =+.(2)关于x 的不等式()2≤f x ax 可化为2220,-+≤x ax 因为248,∆=-a所以当0,∆<即22a -<<时，原不等式对应的方程无实数根， 又二次函数222y x ax =-+的图像开口向上，所以原不等式的解集为∅； 当0∆=，即2a =±时，原不等式对应的方程有两个相等的实数根， 2a =时，原不等式的解集为{}|2=x x ；2a =-时，原不等式的解集为{}|2=-x x ；当0,∆>即2a <-或2a >时，原不等式对应的有两个相等的实数根， 分别为22122,2,=--=+-x a a x a a 且12,x x <所以原不等式解集为{}22|22--≤≤+-x a a a a a .综上所知，当22a -<<时，原不等式的解集为∅； 当2a =时，原不等式的解集为{}|2=x x ； 当2a =-时，原不等式的解集为{}|2=-x x ；当2a <-或2a >时，原不等式解集为{}22|22--≤≤+-x a a a a a .类型三：一元二次不等式与对应函数、方程的关系典型例题例题1．（2022·全国·高一课时练习）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则不等式20ax bx c ++>的解集是（ ）A ．{}21x x -<<B ．{|2x x <-或1}x >C ．{}21x x -≤≤D ．{|2x x ≤-或1}x ≥【答案】A【详解】由二次函数图象知：20ax bx c ++>有21x -<<. 故选：A例题2．（2022·黑龙江·大庆实验中学高二期末）已知220x kx m -+<的解集为()1,t -（1t >-），则k m +的值为（ ） A ．1- B ．2- C ．1 D ．2【答案】B【详解】解：因为220x kx m -+<的解集为()1,t -（1t >-）， 所以1x =-为220x kx m -+=的根，所以2k m +=-. 故选：B例题3．（2022·黑龙江·大庆中学高二期末）若不等式220ax bx ++>的解集是1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则0ax b +>的解集为（ ）A ．1,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．1,6⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,6⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,6⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】A【详解】不等式220ax bx ++>的解集是1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭则根据对应方程的韦达定理得到：112311223ba a⎧⎛⎫-+=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-⋅= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得122a b =-⎧⎨=-⎩，则1220x -->的解集为1,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭故选：A同类题型演练1．（2022·浙江·高三专题练习）已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，则不等式20ax bx c ++>的解集是（ ）A ．()2,1-B ．()(),21,-∞-⋃+∞C ．[]2,1-D ．(][),21,-∞-+∞【答案】A【详解】结合图像易知，不等式20ax bx c ++>的解集()2,1-， 故选：A.2．（2022·全国·高一单元测试）若方程()200ax bx c a ++=<有唯一的实数根3，则不等式20ax bx c ++≥的解集为______．【答案】{}3x x =【详解】由已知得抛物线()20y ax bx c a =++<的开口向下，与x 轴交于点()3,0，故不等式20ax bx c ++≥的解集为{}3x x =． 故答案为：{}3x x =3．（2022·江苏·高一）若关于x 的不等式28210mx mx ++<的解集为{}71x x -<<-，则实数m 的值为______. 【答案】3【详解】由题可知，－7和－1是二次方程28210mx mx ++=的两个根， 故()21713m m=-⨯-⇒=.经检验满足题意 故答案为：3.类型四：二次不等式恒成立问题典型例题例题1．（2022·江西吉安·高二期末（文））若关于x 的不等式2220ax ax --<恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]2,0- B ．(]2,0- C ．()2,0-D ．()(),20,-∞-⋃+∞【答案】B【详解】当0a =时，不等式成立；当0a ≠时，不等式2220ax ax --<恒成立， 等价于()()20,2420,a a a <⎧⎪⎨∆=--⨯-<⎪⎩20a ∴-<<． 综上，实数a 的取值范围为(]2,0-． 故选：B ．例题2．（2022·黑龙江·鸡东县第二中学高二期中）已知命题“[1,2]x ∃∈-，230x x a +>-”是假命题，则实数a 的取值范围是________. 【答案】(,4]-∞-【详解】由题意得，“[1,2]x ∀∈-，230x x a -+≤”是真命题， 则23a x x ≤-+对[1,2]x ∀∈-恒成立，在区间[]1,2-上，23x x -+的最小值为()()21314--+⨯-=-，所以()2min 34a x x ≤-+=-，即a 的取值范围是(,4]-∞-. 故答案为：(,4]-∞-例题3．（2022·全国·高一课时练习）已知关于x 的不等式244x mx x m +>+-． (1)若对任意实数x ，不等式恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于04m ≤≤，不等式恒成立，求实数x 的取值范围．【答案】(1)(0,4) (2)()()(),00,22,-∞⋃⋃+∞（1）若对任意实数x ，不等式恒成立，即2440x mx x m +--+>恒成立 则关于x 的方程2440x mx x m +--+=的判别式()()24440m m ∆=---+<， 即240m m -<，解得04m <<，所以实数m 的取值范围为(0,4)． （2）不等式244x mx x m +>+-，可看成关于m 的一次不等式()21440m x x x -+-+>，又04m ≤≤，所以224404(1)440x x x x x ⎧-+>⎨-+-+>⎩，解得2x ≠且0x ≠，所以实数x 的取值范围是()()(),00,22,-∞⋃⋃+∞．同类题型演练1．（多选）（2022·全国·高一课时练习）不等式22x bx c x b ++≥+对任意的x ∈R 恒成立，则（ ） A ．2440b c -+≤ B ．0b ≤ C ．1c ≥ D ．0b c +≥【答案】ACD【详解】22x bx c x b ++≥+可整理为()220x b x c b +-+-≥，则()()2224440b c b b c ∆=---=-+≤，故A 正确． 当1b =，2c =时，满足0∆≤，即原不等式成立．B 错误；由0∆≤，得214b c ≥+，所以1c ≥．C 正确；2211042b b b c b ⎛⎫+≥++=+≥ ⎪⎝⎭．D 正确．故选：ACD ．2．（2022·江苏南京·高二期末）2R,10x x x λ∀∈-+>，则λ的取值范围为__________． 【答案】22λ-<<【详解】由题设240λ∆=-<，可得22λ-<<. 故答案为：22λ-<<3．（2022·四川广安·高一期末（理））已知不等式()21460a x x +--<的解集是{}13x x -<<．(1)求常数a 的值；(2)若关于x 的不等式240ax mx ++≥的解集为R ，求m 的取值范围． 【答案】(1)1a =(2)[]4,4-(1)因为不等式()21460a x x +--<的解集是{}13x x -<<．所以－1和3是方程()21460a x x +--=的解，把1x =-代入方程解得1a =．经验证满足题意(2)若关于x 的不等式240ax mx ++≥的解集为R ，即240x mx ++≥的解集为R ， 所以2160m ∆=-≤，解得44m -≤≤，所以m 的取值范围是[]4,4-．4．（2022·四川·盐亭中学高二阶段练习（文））已知函数()()211f x x a x =-++．(1)若关于x 的不等式的()0f x <的解集是{}2x m x <<，求a ，m 的值； (2)设关于x 不等式的()0f x >在[]0,1上恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)32a =，12m =(2)(),1-∞ (1)根据二次不等式的解集与系数的关系可得x m =和2x =是方程()2110x a x -++=的两根，故()221210a -+⨯+=，解得32a =，由韦达定理有21m =，解得12m =. 故32a =，12m = (2)()0f x >在[]0,1上恒成立，即()211x a x +>+恒成立.当0x =时满足题意，当(]0,1x ∈时，min 11x a x ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭恒成立，因为1122x x x x+≥⋅=，当且仅当1x =时取等号.故12a +<，即a的取值范围为(),1-∞.5．（2022·浙江·镇海中学高二期末）已知函数2()4f x x x b =-+，若()0f x <的解集为{}1|x x m <<.(1)求b ，m 的值；(2)当a 为何值时，2()2()10a b x a b x +++-<的解集为R ？ 【答案】(1)3m =，3b = (2)(]4,3--(1)解：由题意可知，240x x b -+<的解集为{}1|x x m <<， 所以1x =与x m =为方程240x x b -+=的两根，141m m b +=⎧∴⎨⋅=⎩，33m b =⎧∴⎨=⎩； (2)解：()()2210a b x a b x +++-<的解集为R ，①当0a b +=时，10-<的解集为R ，30a ∴+=，3a ∴=-；②当0a b +<时，()20Δ4()40a b a b a b +<⎧⎨=+++<⎩，10a b ∴-<+<，130a ∴-<+<，43a ∴-<<-综上所述，a 的取值范围为(]4,3--.类型五：一元二次函数求最值（含参数）典型例题例题1．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()222f x x ax =++．(1)当1a =时，求函数()f x 在区间[)23-，上的值域； (2)当1a =-时，求函数()f x 在区间[]1t t +，上的最大值；(3)求()f x 在[]55-，上的最大值与最小值． 【答案】(1)[)1,17(2)221(1)12112t t t t ⎧-+<⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，，(3)答案见解析（1）当1a =时，()()222211f x x x x =++=++，函数在[)21－，－上单调递减，在()1,3-上单调递增， ()()min 11317x f x f ∴===－，，，∴函数()f x 在区间[)23-，上的值域是[)1,17；（2）当1a =-时，()()222211f x x x x =-+=-+，12t，函数()f x 在区间[]1t t +，上的最大值()()211f t t =-+； 12t ≥，函数()f x 在区间[]1t t +，上的最大值()211f t t +=+； ∴函数()f x 在区间[]1t t +，上的最大值221(1)12112t t t t ⎧-+<⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，，；（3）函数()()222222f x x ax x a a =++=++- 的对称轴为x a =-，①当5a -<-，即5a >时，函数y 在[]55－，上是增函数， 当5x =-时，函数y 取得最小值为2710a -；当5x =时，函数y 取得最大值为2710a +． ②当50a -≤<，即05a <≤时，当x a =-时，函数y 取得最小值为22-a ；当5x =时，函数y 取得最大值为2710a +．③当05a ≤≤－，即50a ≤≤－时，x =－a 时，函数y 取得最小值为22a －；当5x =－时，函数y 取得最大值为2710a －．④当5a >－，即5a <－时，函数y 在[]55－，上是减函数， 故当5x =－时，函数y 取得最大值为2710a －；当5x =时，函数y 取得最小值为2710a +． 综上，当5a >时，函数的最大值为2710a +，最小值为2710a -，当05a <≤时，函数的最大值为2710a +，最小值为22-a ，当50a ≤≤－时，函数的最大值为2710a －，最小值为22a －，当5a <－时，函数的最大值为2710a －，最小值为2710a + 例题2．（2022·黑龙江·大庆市东风中学高二期末）已知二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且满足(0)2f =，(1)()21f x f x x +-=+. (1)求函数()f x 的解析式；(2)当[,2]x t t ∈+（R t ∈）时，求函数()f x 的最小值()g t （用t 表示）． 【答案】(1)2()2f x x =+ (2)222,0()2,2046,2t t g t t t t t ⎧+≥⎪=-<<⎨⎪++≤-⎩（1）因为二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且满足(0)2f =，(1)()21f x f x x +-=+， 所以2c =，且22(1)(1)()21a x b x c ax bx c x ++++-++=+，由22(1)(1)()21a x b x c ax bx c x ++++-++=+，得221ax b a x ++=+，所以221a b a =⎧⎨+=⎩，得10a b =⎧⎨=⎩，所以2()2f x x =+.（2）因为2()2f x x =+是图象的对称轴为直线0x =，且开口向上的二次函数， 当0t ≥时，2()2f x x =+在[,2]x t t ∈+上单调递增，则2min ()()2f x f t t ==+；当20t +≤，即2t ≤-时，2()2f x x =+在[,2]x t t ∈+上单调递减，则22min ()(2)(2)246f x f t t t t =+=++=++；当01t t <<+，即20t -<<时，min ()(0)2f x f ==， 综上222,0()2,2046,2t t g t t t t t ⎧+≥⎪=-<<⎨⎪++≤-⎩同类题型演练1．（2021·全国·高一专题练习）已知函数()22f x x mx n =++的图象过点(0,1)-，且满足()()12f f -=．(1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()f x 在[],2a a +上的最小值； 【答案】(1)2()221f x x x =--(2)2min23263,,2331[()],,2221221,.2a a a f x a a a a ⎧++≤-⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩(1)解：因为函数2()2f x x mx n =++的图象过点(0,1)-， 所以1n =- 又(1)(2)f f -=， 所以1224m -+=-， 解得2m =-，所以2()221f x x x =--；(2)2213()221222f x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，[,2]x a a ∈+，当122a +≤时，即32a ≤-时，函数()f x 在[],2a a +上单调递减，所以2min [()](2)263f x f a a a =+=++，当122a a <<+时，即3122a -<<时，函数()f x 在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,22a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦单调递增，所以min 13[()]22f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭；当12a ≥时，函数()f x 在[],2a a +上单调递增， 所以2min [()]()221f x f a a a ==--．综上：2min23263,,2331[()],,2221221,.2a a a f x a a a a ⎧++≤-⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩2．（2021·江西·兴国县将军中学高一期中）已知二次函数()2f x x bx c =++，且()()31f f -=，()00=f ．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()()()422g x f x a x =-++，[]1,2x ∈，求函数()g x 的最小值． 【答案】(1)2()2f x x x =+；(2)2min12,0()21,0124,1a a g x a a a a a -≤⎧⎪=--+<<⎨⎪-≥⎩. (1)由(3)(1),(0)0f f f -==，则(0)0f c ==，又931b b -=+，解得2b =， ∴函数()f x 的解析式为2()2f x x x =+.(2)由(1)知，2()2(1)2g x x a x =-++， 其对称轴1x a =+，而[]1,2x ∈， 当11a +≤，即0a ≤时，()g x 在[]1,2上单调递增，min ()(1)12g x g a ==-， 当12a +≥，即1a ≥时，()g x 在[]1,2上单调递减，min ()(2)24g x g a ==-，当01a <<时，2min ()(1)21g x g a a a =+=--+，∴2min12,0()21,0124,1a a g x a a a a a -≤⎧⎪=--+<<⎨⎪-≥⎩. 类型六：：根据不等式的解求参数典型例题例题1．（2021·福建三明·高一期中）已知函数2()2f x ax x c =++，若不等式()0f x <的解集是{|53}x x -<< (1)求()f x 的解析式；(2)若函数()f x 在区间[,2]m m +上的最小值为20，求实数m 的值. 【答案】(1)2()215f x x x =+- (2)－9或5(1)125,3x x =-=是对应方程ax 2＋2x ＋c ＝0的两根.由韦达定理得12122211515x x a ac c x x a ⎧+=-=-⎪=⎧⎪∴⎨⎨=-⎩⎪==-⎪⎩，2()215f x x x ∴=+-；(2)22()215(1)16f x x x x =+-=+-，对称轴为1x =-，当21m +≤-，即3m ≤-时，2min ()(2)(3)16f x f m m =+=+-，由已知得：2(3)1620m +-=， 解得：m ＝3或－9，又3m ≤-，9m ∴=-，当1m ≥-时，2min ()()(1)16f x f m m ==+-，由已知得：2(1)1620m +-=， 解得：m ＝5或－7，又1m ≥-，5m ∴=，当12m m <-<+时，min ()1620f x =-≠，（舍去）， 综上所述，m ＝－9或5.例题2．（2021·河南开封·高一阶段练习）已知函数()221f x x ax =-+，[]1,2x ∈，R a ∈.(1)若()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围； (2)若()f x 最小值为4-，求a 的值. 【答案】(1)54a ≥； (2)94. (1)因为2()21f x x ax =-+开口向上，由[]1,2x ∈时，()0f x ≤恒成立，可得()max 0f x ≤，所以(1)0(2)0f f ≤⎧⎨≤⎩，即220540a a -≤⎧⎨-≤⎩，解得：54a ≥，所以a 的取值范围为54a ≥. (2)()221f x x ax =-+对称轴为x a =，开口向上，当1a ≤时，()()min 1224f x f a ==-=-，解得：3a =（舍）；当12a <<时，2min ()()14f x f a a ==-+=-，5a =±（舍）；当2a ≥时，min ()(2)544f x f a ==-=-，94a =； 所以a 的值为94.同类题型演练1．（2022·贵州毕节·高一期末）已知函数2()2(0)f x x ax a =->． (1)当3a =时，解关于x 的不等式5()7f x -<<；(2)函数()y f x =在[],2t t +上的最大值为0，最小值是4-，求实数a 和t 的值． 【答案】(1)(1,1)(5,7)-⋃ (2)0,2t a ==或2,2t a ==(1)当3a =时，不等式5()7f x -<<， 即为2567x x -<-<，即226756⎧-<⎪⎨-<-⎪⎩x x x x ，所以171,5或-<<⎧⎨<>⎩x x x ， 所以11x -<<或57x <<，所以原不等式的解集为(1,1)(5,7)-⋃． (2)(0)(2)0f f a ==，由题意0=t 或22t a +=，这时24a -≤-解得2a ≥， 若0=t ，则2t a +≤，所以()()2242f t f a +==-⇒=；若22t a +=，即22t a a =-≥， 所以()()422f t f a =-=-，则2a =，综上，0,2t a ==或2,2t a ==．2．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0，1]时有最大值2，求a的值．【答案】a＝－1或a＝2．【详解】函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，对称轴方程为x＝a．（1）当a<0时，f(x)max＝f(0)＝1－a，∴1－a＝2，∴a＝－1．（2）当0≤a≤1时，f(x)max＝f(a)＝a2－a＋1，∴a2－a＋1＝2，即a2－a－1＝0，∴a＝125(舍去)．（3）当a>1时，f(x)max＝f(1)＝a，∴a＝2．综上可知，a＝－1或a＝2．。
二次函数知识点总结归纳及考查重点与常见题型
二次函数知识点归纳及考查重点与常见题型一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y a x b x c=++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y a x b x c=++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵a b c ，，是常数，a是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y a x c =+的性质：上加下减。
3. ()2=-的性质：y a x h左加右减。
4. ()2y ax h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y ax h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或mc bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或cm x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y ax h k =-+与2y a x b x c =++的比较 从解析式上看，()2y ax h k =-+与2y a x b x c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b a c b y a xa a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b a c b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y a x b x c=++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y a x b x c =++化为顶点式2()y a x h k=-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y a x b x c=++的性质 1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a=-，顶点坐标为2424b a c b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2b x a<-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a>-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2.当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b a c b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a<-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a>-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y a x b x c=++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； 3. 两根式：12()()y a xxxx =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y a x b x c=++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠． ⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02b a -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b a->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02b a ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b a-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异”总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y a x b x c=++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y a x b x c=---； ()2y ax h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y ax h k =---； 2. 关于y 轴对称2y a x b x c=++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y a x b x c=-+； ()2y ax h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y ax h k =++； 3. 关于原点对称 2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y a x b x c=-+-；()2y ax h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y ax h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y a x b x c=++关于顶点对称后，得到的解析式是222by a x b x c a=--+-； ()2y ax h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y ax h k =--+． 5. 关于点()m n ，对称()2y ax h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20a x b x c ++=是二次函数2y a x b x c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b a c ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A xB x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200a x b xc a ++=≠的两根．这两点间的距离21A B x x =-② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1'当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；2' 当0a <时，图象落在x轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y a x b x c=++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ； 3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数2y a x b x c=++中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)a xb xc a++≠本身就是所含字母x的二次函数；下面以0a>时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：图像参考：2y=-2x 22y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)22-32十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）3．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
备战高考数学复习考点知识与题型讲解7---二次函数与一元二次方程、不等式
备战高考数学复习考点知识与题型讲解第7讲二次函数与一元二次方程、不等式一、知识梳理1.一元二次不等式(1)一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.(2)一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0.(其中a，b，c均为常数，a≠0)2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系有两个相等的实数常用结论1.分式不等式的解法 (1)f （x ）g （x ）>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0).(2)f （x ）g （x ）≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）g （x ）≥0（≤0），g （x ）≠0. 2.两个恒成立的充要条件(1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b 2－4ac <0.(2)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b 2－4ac <0.二、教材衍化1.(人A 必修第一册P 55习题2.3T 1(3)改编)不等式x 2－3x －10＜0的解集为________.解析：由x 2－3x －10＜0得(x ＋2)(x －5)＜0，所以－2＜x ＜5. 答案：(－2，5)2.(人A 必修第一册P 55习题2.3T 3改编)已知M ＝{x |4x 2－4x －15≥0}，N ＝{x |x 2－5x －6＞0}，则M ∩N ＝________，M ∪N ＝________.解析：M ＝{x |(2x ＋3)(2x －5)≥0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－32，或x ≥52，N ＝{x |(x ＋1)(x －6)＞0}＝{x |x ＜－1，或x ＞6}， 所以M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－32，或x ＞6， M ∪N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜－1，或x ≥52.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－32，或x ＞6⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜－1，或x ≥52一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( ) (2)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( )(3)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( ) (4)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集一定不是空集.( )答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ 二、易错纠偏1.(忽略等号能否成立致误)不等式x －1x －3≤0的解集是( ) A.(－∞，1)∪[3，＋∞) B.(－∞，1]∪(3，＋∞)C.[1，3)D.[1，3] 解析：选C.不等式x －1x －3≤0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（x －3）≤0，x －3≠0.解得1≤x <3，所以不等式的解集是[1，3)，故选C.2.(忽视二次项系数为0致误)不等式mx 2＋mx ＋1>0对一切x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是________.解析：当m ＝0时，1>0，不等式恒成立， 当m ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝m 2－4m <0.解得0<m <4. 综上，0≤m <4. 答案：[0，4)3.(不能正确理解不等式的解集致误)若关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，13，则a ＋b ＝________. 解析：因为x 1＝－12，x 2＝13是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个根，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 4－b 2＋2＝0，a 9＋b3＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－14. 答案：－14考点一 一元二次不等式的解法(多维探究)复习指导：通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，会解一元二次不等式.角度1 不含参数的不等式(1)不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1 C.(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪(1，＋∞) (2)(链接常用结论1)不等式1－x 2＋x ≥0的解集为( )A.[－2，1]B.(－2，1]C.(－∞，－2)∪(1，＋∞)D.(－∞，－2]∪(1，＋∞) 【解析】 (1)－2x 2＋x ＋3<0可化为2x 2－x －3>0， 即(x ＋1)(2x －3)>0， 所以x <－1或x >32.(2)原不等式化为⎩⎪⎨⎪⎧（1－x ）（2＋x ）≥0，2＋x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（x ＋2）≤0，x ＋2≠0， 解得－2<x ≤1. 【答案】 (1)C (2)B解一元二次不等式的方法和步骤角度2 含参数的不等式解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a >0). 【解】 原不等式变为(ax －1)(x －1)<0， 因为a >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0.所以当a >1时，解得1a <x <1； 当a ＝1时，解集为∅； 当0<a <1时，解得1<x <1a . 综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为∅； 当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1a <x <1.在本例中，把a >0改成a ∈R ，解不等式. 解：当a >0时，同例2，当a ＝0时，原不等式等价于－x ＋1<0，即x >1，当a <0时，1a <1，原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0，解得x >1或x <1a .综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a ，当a ＝1时，不等式的解集为∅，当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1a <x <1，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x >1}， 当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪⎪x <1a 或x >1.解含参数的一元二次不等式的步骤(1)二次项若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的一元二次不等式；(2)判断一元二次不等式所对应的方程实根的个数，即讨论判别式Δ与0的关系；(3)确定方程无实根或有两个相同实根时，可直接写出解集；确定方程有两个相异实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式.|跟踪训练|1.若不等式ax 2＋bx ＋2<0的解集为{x |x <－12或x >13}，则a －b a ＝( ) A.56 B.16 C.－16D.－56解析：选A.由题意得方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和13，所以根据根与系数的关系可得－b a ＝－12＋13＝－16，则a －b a ＝1－b a ＝1－16＝56.2.解不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R ). 解：原不等式可化为12x 2－ax －a 2>0， 即(4x ＋a )(3x －a )>0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0， 解得x 1＝－a 4，x 2＝a3.当a >0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞；当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当a <0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4，＋∞. 考点二 一元二次不等式恒成立问题(思维发散)复习指导：此类问题的求解常利用转化思想，其思路为：一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)解集的端点值是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，也是函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交点的横坐标.(链接常用结论2)已知函数f (x )＝mx 2－mx －1，若对于x ∈R ，f (x )＜5－m恒成立，求实数m 的取值范围.【解】 对于x ∈R ，f (x )＜5－m 恒成立， 即mx 2－mx －6＋m ＜0对x ∈R 恒成立， 当m ＝0时，显然符合题意，当m ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝m 2－4m （m －6）＜0得m ＜0，综上，所求实数m 的取值范围是(－∞，0].1.本例中将条件“x ∈R ”改为“x ∈[1，3]”，其他不变，求实数m 的取值范围.解：要使f (x )＜－m ＋5在x ∈[1，3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1，3]上恒成立.令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1，3].当m ＞0时，g (x )在[1，3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6＜0， 所以m ＜67，所以0＜m ＜67； 当m ＝0时，－6＜0恒成立；当m ＜0时，g (x )在[1，3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)，即m －6＜0， 所以m ＜6，所以m ＜0.综上所述，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪m ＜67.2.本例中条件改为“若存在x ∈[1，3]，使f (x )＜5－m 成立”，求实数m 的取值范围.解：题中条件可转化为存在x ∈[1，3]，使m <6x 2－x ＋1成立.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1，3]上的最大值为6， 所以只需m ＜6即可， 故m 的取值范围是(－∞，6).(1)若不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)恒成立，则满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝b 2－4ac ＜0.若a ＝0，则应单独验证是否符合题意.(2)一元二次不等式在指定范围内恒成立，其本质是这个不等式的解集包含指定的范围.(3)“恒成立”和“能成立”问题都可以转化为函数最值问题.|跟踪训练|1.若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则实数a 的取值范围为( )A.(－2，2)B.(－∞，－2)∪(2，＋∞)C.(－∞，－2]∪[2，＋∞)D.[－2，2]解析：选D.由题意知x 2＋ax ＋1≥0恒成立，即Δ＝a 2－4≤0，解得－2≤a ≤2，即实数a 的取值范围是[－2，2].故选D.2.若不等式x 2＋mx －1＜0对于任意x ∈[m ，m ＋1]都成立，则实数m 的取值范围是________.解析：由题意，得函数f (x )＝x 2＋mx －1在[m ，m ＋1]上的最大值小于0，又抛物线f (x )＝x 2＋mx －1开口向上，所以只需⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝m 2＋m 2－1＜0，f （m ＋1）＝（m ＋1）2＋m （m ＋1）－1＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－1＜0，2m 2＋3m ＜0，解得－22＜m ＜0.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，03.若mx 2－mx －1＜0对于m ∈[1，2]恒成立，求实数x 的取值范围.解：设g (m )＝mx 2－mx －1＝(x 2－x )m －1，其图象是直线，当m ∈[1，2]时，图象为一条线段，则⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＜0，g （2）＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1＜0，2x 2－2x －1＜0，解得1－32＜x ＜1＋32，故x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32，1＋32.考点三 一元二次不等式的实际应用(综合研析)复习指导：体会建立不等式模型解决实际问题的方法.某地区上年度电价为0.8元/kW ·h ，年用电量为a kW ·h.本年度计划将电价降到0.55元/kW ·h 至0.75元/kW ·h 之间，而用户期望电价为0.4元/kW ·h.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k ).该地区电力的成本价为0.3元/kW ·h.(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y 与实际电价x 的函数关系式； (2)设k ＝0.2 a ，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%？注：收益＝实际用电量×(实际电价－成本价). 【解】 (1)下调电价后新增的用电量为k x －0.4，所以下调电价后的总用电量为a ＋kx －0.4， 所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋k x －0.4(x －0.3)(0.55≤x ≤0.75). (2)由已知⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎪⎫a ＋0.2a x －0.4（x －0.3）≥[a ×（0.8－0.3）]×（1＋20%），0.55≤x ≤0.75，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1.1 x ＋0.3≥0，0.55≤x ≤0.75，解得0.60≤x ≤0.75.当电价最低定为0.60元/kW ·h 时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.求解不等式应用题的四个步骤|跟踪训练|若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1 x2(0<x<240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是________台.解析：生产者不亏本时有y－25x＝－0.1 x2－5x＋3 000≤0，即x2＋50 x－30 000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去).故生产者不亏本时的最低产量是150台.答案：150[A基础达标]1.(2022·铜仁市思南中学期中考试)不等式－x2－3x＋10≥0的解集为()A.{x|－5≤x≤2}B.{x|x≤－5或x≥2}C.{x|－2≤x≤5}D.{x|x≤－2或x≥5}解析：选A.－x2－3x＋10≥0可化为x2＋3x－10≤0，即(x－2)(x＋5)≤0，解得－5≤x≤2.2.设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是()A.{x |x <－n 或x >m }B.{x |－n <x <m }C.{x |x <－m 或x >n }D.{x |－m <x <n }解析：选B.原不等式(m －x )(n ＋x )>0可化为(x －m )(x ＋n )<0， 因为m ＋n >0，所以m >－n ， 所以原不等式的解为－n <x <m .3.关于x 的不等式(ax －b )(x ＋3)<0的解集为(－∞，－3)∪(1，＋∞)，则关于x 的不等式ax ＋b >0的解集为( )A.(－∞，－1)B.(－1，＋∞)C.(－∞，1)D.(1，＋∞)解析：选A.由题意可得a <0，且1，－3是方程(ax －b )(x ＋3)＝0的两实数根， 所以x ＝1为方程ax －b ＝0的根，所以a ＝b ， 则不等式ax ＋b >0可化为x ＋1<0，即x <－1， 所以不等式ax ＋b >0的解集为(－∞，－1).4.若存在实数x ∈[2，4]，使x 2－2x ＋5－m ＜0成立，则m 的取值范围为( ) A.(13，＋∞) B.(5，＋∞) C.(4，＋∞)D.(－∞，13)解析：选B.m ＞x 2－2x ＋5，设f (x )＝x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4，x ∈[2，4]，当x ＝2时，f (x )min ＝5，若∃x ∈[2，4]使x 2－2x ＋5－m ＜0成立，即m ＞f (x )min ，所以m ＞5.故选B.5.(多选)满足关于x 的不等式(ax －b )(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12<x <2，则满足条件的一组有序实数对(a ，b )的值可以是( )A.(－2，－1)B.(－3，－6)C.(2，4)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－32 解析：选AD.不等式(ax －b )(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12<x <2，所以方程(ax －b )(x －2)＝0的实数根为12和2， 且⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b a ＝12，即a ＝2b <0，故选AD.6.不等式x ＋2x －1>2的解集为________. 解析：原不等式可化为x ＋2x －1－2>0，即（x ＋2）－2（x －1）x －1>0，即4－x x －1>0， 即(x －1)(x －4)<0， 解得1<x <4，所以原不等式的解集为{x |1<x <4}. 答案：{x |1<x <4}7.若0<a <1，则不等式(a －x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a >0的解集是________.解析：原不等式可化为(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a ，所以a <x <1a . 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，1a8.(2022·河南温县一中10月月考)已知定义在R 上的运算“⊗”： x ⊗y ＝x (1－y )，关于x 的不等式(x －a )⊗(x ＋a )>0.(1)当a ＝2时，不等式的解集为________________；(2)若∀x ∈[0，1]，不等式恒成立，则实数a 的取值范围是________， 解析：(1)当a ＝2时，不等式(x －a )⊗(x ＋a )>0为(x －2)(1－x －2)>0， 即(x －2)(x ＋1)<0，解得－1<x <2，所以不等式的解集为{x |－1<x <2}.(2)不等式(x －a )⊗(x ＋a )>0为(x －a )(1－x －a )>0， 即－x 2＋x ＋a 2－a >0，不等式对∀x ∈[0，1]恒成立，设y ＝－x 2＋x ＋a 2－a ， 则只要∀x ∈[0，1]，y min >0，y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14＋a 2－a ，当x ＝0或x ＝1时，y min ＝a 2－a ，所以y min ＝a 2－a >0， 解得a <0或a >1.答案：(1){x |－1<x <2} (2)a <0或a >1 9.若不等式ax 2＋5x －2>0的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫12<x <2. (1)求实数a 的值；(2)求不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集.解：(1)由题意知a <0，且方程ax 2＋5x －2＝0的两个实数根为12和2，代入方程解得a ＝－2.(2)由(1)知不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0，即为－2x 2－5x ＋3>0，即2x 2＋5x －3<0，解得－3<x <12，即不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，12. 10.(2022·重庆九校联考)汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个重要因素.在一个限速为40 km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m.已知甲、乙两种车型的刹车距离s (m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲＝0.1 x＋0.01 x2，s乙＝0.05 x＋0.005 x2.问：甲、乙两车有无超速现象？解：由题意知，对于甲车，有0.1 x＋0.01 x2>12，即x2＋10 x－1 200>0，解得x>30或x<－40(不符合实际意义，舍去)，这表明甲车的车速超过30 km/h.但根据题意知刹车距离略超过12 m，由此估计甲车的车速不会超过限速40 km/h.对于乙车，有0.05 x＋0.005 x2>10，即x2＋10 x－2 000>0，解得x>40或x<－50(不符合实际意义，舍去)，这表明乙车的车速超过40 km/h，即超过规定限速.故甲车没有超速，乙车有超速现象.[B综合应用]11.在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0的解集中至多包含1个整数，则a 的取值范围是()A.(－3，5)B.(－2，4)C.[－1，3]D.[－2，4]解析：选C.因为关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0可化为(x－1)(x－a)＜0，当a＞1时，不等式的解集为{x|1＜x＜a}，当a＜1时，不等式的解集为{x|a＜x＜1}，当a＝1时，不等式的解集为∅，要使得解集中至多包含1个整数，则a＝1或1＜a≤3或－1≤a＜1，所以实数a的取值范围是a∈[－1，3]，故选C.12.(多选)(2022·淄博高三一模)设[x]表示不小于实数x的最小整数，则满足关于x的不等式[x]2＋[x]－12≤0的解可以为()A.10B.3C.－4.5D.－5解析：选BC.因为不等式[x]2＋[x]－12≤0，所以([x ]－3)([x ]＋4)≤0，所以－4≤[x ]≤3，又因为[x ]表示不小于实数x 的最小整数，结合选项， 所以不等式[x ]2＋[x ]－12≤0的解可以为3和－4.5. 故选BC.13.(2022·山东泰安一中月考)设m 为实数，若函数f (x )＝x 2－mx ＋2在区间(－∞，2)上是减函数，对任意的x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，m 2＋1，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，则m 的取值范围为( )A.[4，6]B.(4，6)C.(4，6]D.[4，6)解析：选A.函数f (x )＝x 2－mx ＋2的对称轴为直线x ＝m2， 由其在区间(－∞，2)上是减函数，可得m2≥2，即m ≥4； 因为m ≥4，m 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，m 2＋1且m 2＋1－m 2≤m2－1，故当x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，m 2＋1时，f (x )max ＝f (1)＝3－m ，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＝－m 24＋2，由|f (x 1)－f (x 2)|≤4，可得3－m －⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 24＋2≤4，化简可得m 2－4m －12≤0，可得－2≤m ≤6， 综上可得4≤m ≤6，故选A.[C 素养提升]14.(2022·河南郑州联考改编)已知f (x )＝－2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )>0的解集是(－1，3)，则b ＝________；若对于任意x ∈[－1，0]，不等式f (x )＋t ≤4恒成立，则实数t 的取值范围是________.解析：由题可知－1和3是方程－2x 2＋bx ＋c ＝0的根，即⎩⎪⎨⎪⎧2＝b2，－3＝－c2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝6，所以f (x )＝－2x 2＋4x ＋6.所以不等式f (x )＋t ≤4可化为t ≤2x 2－4x －2，x ∈[－1，0].令g (x )＝2x 2－4x －2，x ∈[－1，0]，由二次函数的性质可知g (x )在[－1，0]上单调递减，则g (x )的最小值为g (0)＝－2，则t ≤－2.答案： 4 (－∞，－2]15. (2022·浙江诸暨中学高三模拟)设函数f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，若不等式f (x )<0的解集是(1，5).(1)求f (x )的解析式；(2)若对于任意x ∈[1，3]，不等式f (x )≤2＋t 有解，求实数t 的取值范围. 解： (1)由题意知1和5是方程2x 2＋bx ＋c ＝0的两个根，由根与系数的关系知，－b 2＝6，c2＝5，解得b ＝－12，c ＝10，所以f (x )＝2x 2－12x ＋10.(2)不等式f (x )≤2＋t 在x ∈[1，3]时有解，等价于2x 2－12x ＋8≤t 在x ∈[1，3]时有解，只要t ≥(2x 2－12x ＋8)min 即可，不妨设g (x )＝2x 2－12x ＋8，x ∈[1，3]，则g (x )在[1，3]上单调递减，所以g (x )≥g (3)＝－10，所以t ≥－10.。
专题05 二次函数与一元二次方程、不等式(解析版)
目录不等关系与不等式 ................................................................................................. 错误!未定义书签。
考点1：二次函数与一元二次方程、不等式 (2)考点2：一元二次不等式在实际问题中的应用 (9)专题05 二次函数与一元二次方程、不等式考点1：二次函数与一元二次方程、不等式知识点一一元二次不等式的概念定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式一般形式ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数知识点二一元二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．知识点三二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠－b2a Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅题型1：解不含参数的一元二次不等式例1解下列不等式：(1)－x2＋5x－6>0；(2)3x2＋5x－2≥0；(3)x2－4x＋5>0.解(1)不等式可化为x2－5x＋6<0.因为Δ＝(－5)2－4×1×6＝1>0，所以方程x 2－5x ＋6＝0有两个实数根：x 1＝2，x 2＝3. 由二次函数y ＝x 2－5x ＋6的图象(如图①)，得原不等式的解集为{x |2<x <3}．(2)因为Δ＝25－4×3×(－2)＝49>0，所以方程3x 2＋5x －2＝0的两实根为x 1＝－2，x 2＝13.由二次函数y ＝3x 2＋5x －2的图象(图②)，得原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－2或x ≥13. (3)方程x 2－4x ＋5＝0无实数解，函数y ＝x 2－4x ＋5的图象是开口向上的抛物线，与x 轴无交点(如图③)．观察图象可得，不等式的解集为R .变式 解下列不等式： (1)4x 2－4x ＋1>0； (2)－x 2＋6x －10>0.解 (1)∵方程4x 2－4x ＋1＝0有两个相等的实根x 1＝x 2＝12.作出函数y ＝4x 2－4x ＋1的图象如图．由图可得原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠12.(2)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0， ∵Δ＝36－40＝－4<0， ∴方程x 2－6x ＋10＝0无实根， ∴原不等式的解集为∅.题型2：三个“二次”间的关系及应用例2 已知二次函数y ＝ax 2＋(b －8)x －a －ab ，且y >0的解集为{x |－3<x <2}． (1)求二次函数的解析式；(2)当关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R 时，求c 的取值范围． 解 (1)因为y >0的解集为{x |－3<x <2}，所以－3,2是方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两根， 所以⎩⎨⎧－3＋2＝－b －8a，－3×2＝－a －aba ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝5，所以y ＝－3x 2－3x ＋18.(2)因为a ＝－3<0，所以二次函数y ＝－3x 2＋5x ＋c 的图象开口向下，要使－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R ，只需Δ≤0，即25＋12c ≤0，所以c ≤－2512. 所以当c ≤－2512时，－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R .变式 已知关于x 的不等式ax 2＋5x ＋c >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13<x <12. (1)求a ，c 的值；(2)解关于x 的不等式ax 2＋(ac ＋2)x ＋2c ≥0.解 (1)由题意知，不等式对应的方程ax 2＋5x ＋c ＝0的两个实数根为13和12，由根与系数的关系，得⎩⎨⎧－5a ＝13＋12，c a ＝12×13，解得a ＝－6，c ＝－1.(2)由a ＝－6，c ＝－1知不等式ax 2＋(ac ＋2)x ＋2c ≥0可化为－6x 2＋8x －2≥0，即3x 2－4x＋1≤0，解得13≤x ≤1，所以不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13≤x ≤1.题型3：含参数的一元二次不等式的解法例3 设a ∈R ，解关于x 的不等式ax 2＋(1－2a )x －2>0.解 (1)当a ＝0时，不等式可化为x －2>0，解得x >2，即原不等式的解集为{x |x >2}． (2)当a ≠0时，方程ax 2＋(1－2a )x －2＝0的两根分别为2和－1a .①当a <－12时，解不等式得－1a<x <2，即原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1a<x <2； ②当a ＝－12时，不等式无解，即原不等式的解集为∅；③当－12<a <0时，解不等式得2<x <－1a，即原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2<x <－1a ； ④当a >0时，解不等式得x <－1a或x >2，即原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1a 或x >2.变式 (1)当a ＝12时，求关于x 的不等式x 2－⎝⎛⎭⎫a ＋1a x ＋1≤0的解集； (2)若a >0，求关于x 的不等式x 2－⎝⎛⎭⎫a ＋1a x ＋1≤0的解集． 解 (1)当a ＝12时，有x 2－52x ＋1≤0，即2x 2－5x ＋2≤0，解得12≤x ≤2，故不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x ≤2. (2)x 2－⎝⎛⎭⎫a ＋1a x ＋1≤0⇔⎝⎛⎭⎫x －1a (x －a )≤0， ①当0<a <1时，a <1a ，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪a ≤x ≤1a ； ②当a ＝1时，a ＝1a＝1，不等式的解集为{1}；③当a >1时，a >1a ，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1a ≤x ≤a . 综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ a ≤x ≤1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为{1}；当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a≤x ≤a .考点1：练习题1．已知集合M ＝{x |－4<x <2}，N ＝{x |x 2－x －6<0}，则M ∩N 等于( ) A ．{x |－4<x <3} B ．{x |－4<x <－2} C ．{x |－2<x <2} D ．{x |2<x <3}答案 C解析 ∵N ＝{x |－2<x <3}，M ＝{x |－4<x <2}， ∴M ∩N ＝{x |－2<x <2}，故选C.2．若0<m <1，则不等式(x －m )⎝⎛⎭⎫x －1m <0的解集为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1m <x <m B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >1m 或x <m C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >m 或x <1m D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪m <x <1m 答案 D解析 ∵0<m <1，∴1m>1>m ，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪m <x <1m ，故选D. 3．二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为－2,3，如果a <0，那么ax 2＋bx ＋c >0的解集为( ) A ．{x |x >3或x <－2} B ．{x |x >2或x <－3} C ．{x |－2<x <3} D ．{x |－3<x <2}答案 C解析 由题意知－2＋3＝－b a ，－2×3＝ca ，∴b ＝－a ，c ＝－6a ，∴不等式ax 2＋bx ＋c >0可化为ax 2－ax －6a >0， 又a <0，∴x 2－x －6<0，∴(x －3)(x ＋2)<0， ∴－2<x <3，故选C.4．若不等式5x 2－bx ＋c <0的解集为{x |－1<x <3}，则b ＋c 的值是( ) A ．5 B ．－5 C ．－25 D ．10 答案 B解析 由题意知－1,3为方程5x 2－bx ＋c ＝0的两根， ∴－1＋3＝b 5，－3＝c5，∴b ＝10，c ＝－15，∴b ＋c ＝－5.故选B.5．若关于x 的二次不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．{m |m ≤－2或m ≥2} B ．{m |－2≤m ≤2} C ．{m |m <－2或m >2} D ．{m |－2<m <2}答案 B解析 ∵x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ， ∴Δ＝m 2－4≤0，∴－2≤m ≤2，故选B. 6．不等式x 2－4x ＋4≤0的解集是________． 答案 {2}解析 原不等式可化为(x －2)2≤0，∴x ＝2. 7．不等式x 2＋3x －4<0的解集为________． 答案 {x |－4<x <1}解析 易得方程x 2＋3x －4＝0的两根为－4,1，所以不等式x 2＋3x －4<0的解集为{x |－4<x <1}．8．关于x 的不等式(mx －1)(x －2)>0，若此不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1m<x <2，则m 的取值范围是________． 答案 {m |m <0}解析 ∵不等式(mx －1)(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1m<x <2， ∴方程(mx －1)(x －2)＝0的两个实数根为1m 和2，且⎩⎪⎨⎪⎧m <0，1m<2，解得m <0，∴m 的取值范围是m <0.9．已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B . (1)求A ∩B ；(2)若不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为A ∩B ，求不等式ax 2＋x ＋b <0的解集． 解 (1)由x 2－2x －3<0，得－1<x <3， ∴A ＝{x |－1<x <3}． 由x 2＋x －6<0，得－3<x <2，∴B ＝{x |－3<x <2}，∴A ∩B ＝{x |－1<x <2}．(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ＋b ＝0，4＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.∴－x 2＋x －2<0，∴x 2－x ＋2>0， ∵Δ＝1－8＝－7<0，∴不等式x 2－x ＋2>0的解集为R .10．若不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}． (1)解不等式2x 2＋(2－a )x －a >0；(2)b 为何值时，ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R?解 (1)由题意知1－a <0，且－3和1是方程(1－a )x 2－4x ＋6＝0的两根，∴⎩⎨⎧1－a <0，41－a＝－2，61－a ＝－3，解得a ＝3.∴不等式2x 2＋(2－a )x －a >0，即为2x 2－x －3>0， 解得x <－1或x >32.∴所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1或x >32. (2)ax 2＋bx ＋3≥0，即为3x 2＋bx ＋3≥0， 若此不等式解集为R ，则Δ＝b 2－4×3×3≤0，∴－6≤b ≤6.11．下列四个不等式：①－x 2＋x ＋1≥0；②x 2－25x ＋5>0；③x 2＋6x ＋10>0；④2x 2－3x ＋4<1. 其中解集为R 的是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④ 答案 C解析 ①显然不可能；②中Δ＝(－25)2－4×5>0，解集不为R ； ③中Δ＝62－4×10<0.满足条件；④中不等式可化为2x 2－3x ＋3<0，所对应的二次函数开口向上，显然不可能．故选C. 12．在R 上定义运算“⊙”：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( ) A ．{x |0<x <2} B ．{x |－2<x <1} C ．{x |x <－2或x >1} D ．{x |－1<x <2}答案 B解析 根据给出的定义得，x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)， 又x ⊙(x －2)<0，则(x ＋2)(x －1)<0，故不等式的解集是{x |－2<x <1}．13．若关于x 的方程(a －2)x 2－2(a －2)x ＋1＝0无实数解，则a 的取值范围是________． 答案 2≤a <3解析 若a －2＝0，即a ＝2时，原方程为1＝0不合题意， ∴a ＝2满足条件，若a －2≠0，则Δ＝4(a －2)2－4(a －2)<0， 解得2<a <3，综上有a 的取值范围是2≤a <3.14．已知不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对∀x ∈R 恒成立，则a 的取值范围为________． 答案 {a |－1≤a ≤4}解析 x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4≥a 2－3a 恒成立，∴a 2－3a ≤4，即a 2－3a －4≤0， ∴(a －4)(a ＋1)≤0，∴－1≤a ≤4.考点2：等式性质与不等式性质知识点 用一元二次不等式解决实际问题的步骤 1．理解题意，搞清量与量之间的关系；2．建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题． 3．解决这个一元二次不等式，得到实际问题的解．题型1：分式不等式的解法例1 解下列不等式：(1)2x －5x ＋4<0； (2)x ＋12x －3≤1. 解 (1)2x －5x ＋4<0⇔(2x －5)(x ＋4)<0⇔－4<x <52，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－4<x <52.(2)∵x ＋12x －3≤1，∴x ＋12x －3－1≤0，∴－x ＋42x －3≤0，即x －4x －32≥0.此不等式等价于(x －4)⎝⎛⎭⎫x －32≥0且x －32≠0，解得x <32或x ≥4， ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <32或x ≥4.变式 解下列不等式： (1)2x －13x ＋1≥0；(2)2－xx ＋3>1. 解 (1)原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)(3x ＋1)≥0，3x ＋1≠0.解得⎩⎨⎧x ≤－13或x ≥12，x ≠－13，∴x <－13或x ≥12，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－13或x ≥12. (2)方法一 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3>0，2－x >x ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3<0，2－x <x ＋3.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x >－3，x <－12或⎩⎪⎨⎪⎧x <－3，x >－12， ∴－3<x <－12，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－3<x <－12. 方法二 原不等式可化为(2－x )－(x ＋3)x ＋3>0，化简得－2x －1x ＋3>0，即2x ＋1x ＋3<0，∴(2x ＋1)(x ＋3)<0，解得－3<x <－12.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－3<x <－12.题型2：一元二次不等式的实际应用例2 某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a 万担．政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x (x >0)个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点．(1)写出降税后税收y (万元)与x 的关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围．解 (1)降低税率后的税率为(10－x )%，农产品的收购量为a (1＋2x %)万担，收购总金额为200a (1＋2x %)万元．依题意得y ＝200a (1＋2x %)(10－x )%＝150a (100＋2x )(10－x )(0<x <10)． (2)原计划税收为200a ×10%＝20a (万元)．依题意得150a (100＋2x )(10－x )≥20a ×83.2%， 化简得x 2＋40x －84≤0，解得－42≤x ≤2.又因为0<x <10，所以0<x ≤2.即x 的取值范围为{x |0<x ≤2}．变式 北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x 5万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？此时该商品每件定价多少元？解 (1)设每件定价为t 元，依题意得⎝⎛⎭⎫8－t －251×0.2t ≥25×8， 整理得t 2－65t ＋1 000≤0，解得25≤t ≤40.所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．(2)依题意得当x >25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋x 5有解， 等价于当x >25时，a ≥150x ＋x 6＋15有解． 由于150x ＋x 6≥2150x ·x 6＝10，当且仅当150x ＝x 6，即x ＝30时等号成立， 所以a ≥10.2.故当该商品改革后的销售量a 至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．考点2：练习题1．不等式3x －12－x≥1的解集是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 34≤x ≤2 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 34≤x <2 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >2或x ≤34 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥34 答案 B解析 不等式3x －12－x ≥1，移项得3x －12－x－1≥0， 即x －34x －2≤0，可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x －34≥0，x －2<0或⎩⎪⎨⎪⎧x －34≤0，x －2>0， 解得34≤x <2，则原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪34≤x <2， 故选B.2．与不等式x －32－x≥0同解的不等式是( ) A ．(x －3)(2－x )≥0B ．0<x －2≤1 C.2－x x －3≥0 D ．(x －3)(2－x )>0答案 B解析 解不等式x －32－x≥0，得2<x ≤3， A ．不等式(x －3)(2－x )≥0的解是2≤x ≤3，故不正确．B ．不等式0<x －2≤1的解是2<x ≤3，故正确．C ．不等式2－x x －3≥0的解是2≤x <3，故不正确． D ．不等式(x －3)(2－x )>0的解是2<x <3，故不正确．故选B.3．若关于x 的不等式ax －b >0的解集为{x |x >1}，则关于x 的不等式ax ＋b x －2>0的解集为( ) A ．{x |x >1或x <－2}B ．{x |1<x <2}C ．{x |x >2或x <－1}D ．{x |－1<x <2}答案 C解析 x ＝1为ax －b ＝0的根，∴a －b ＝0，即a ＝b ，∵ax －b >0的解集为{x |x >1}，∴a >0，故ax ＋b x －2＝a (x ＋1)x －2>0， 等价为(x ＋1)(x －2)>0.∴x >2或x <－1.4．已知不等式－x 2＋4x ≥a 2－3a 在R 上有解，则实数a 的取值范围为( )A ．{a |－1≤a ≤4}B ．{a |－1<a <4}C ．{a |a ≥4或a ≤－1}D ．{a |－4≤a ≤1} 答案 A解析 由题意知，原不等式可化为－(x －2)2＋4≥a 2－3a 在R 上有解，∴a 2－3a ≤4，即(a －4)(a ＋1)≤0，∴－1≤a ≤4，故选A.5．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x (单位：元)的取值范围是( )A ．{x |10≤x <16}B ．{x |12≤x <18}C ．{x |15<x <20}D ．{x |10≤x <20} 答案 C解析 设这批台灯的销售单价为x 元，则[30－(x －15)×2]x >400，即x 2－30x ＋200<0，∴10<x <20，又∵x >15，∴15<x <20.故选C.6．若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2a ＋b x ＋c >bx 的解集为________．答案 {x |x <0}解析 由题意知，－1,2为ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－a ，c ＝－2a 且a <0， ∴不等式2a ＋b x ＋c >bx 可化为a x－2a >－ax ， ∵a <0，即1x －2<－x ，即(x －1)2x<0， ∴x <0.7．现有含盐7%的食盐水200克，生产含盐5%以上、6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水为x 克，则x 的取值范围是________．答案 {x |100<x <400}解析 5%<x ·4%＋200·7%x ＋200<6%， 解得x 的取值范围是{x |100<x <400}．8．某种汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s m和汽车车速x km/h 有如下关系：s ＝118x ＋1180x 2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于40 m ，那么这辆汽车刹车前的车速不低于________ km/h.答案 80解析 根据题意，得118x ＋1180x 2≥40. 移项整理，得x 2＋10x －7 200≥0.显然Δ>0，x 2＋10x －7 200＝0有两个实数根，即x 1＝80，x 2＝－90，然后，根据二次函数y ＝x 2＋10x －7 200的图象(图略)，得不等式的解集为{x |x ≤－90或x ≥80}．在这个实际问题中，x >0，所以这辆汽车刹车前的车速不低于80 km/h.9．解关于x 的不等式a －x x ＋1>0(a ∈R )． 解 原不等式可化为x －a x ＋1<0， 即(x ＋1)(x －a )<0，①当a ＝－1时，x ∈∅；②当a >－1时，{x |－1<x <a }；③当a <－1时，{x |a <x <－1}．综上，a ＝－1时，不等式的解集为∅，a >－1时，不等式的解集为{x |－1<x <a }，a <－1时，不等式的解集为{x |a <x <－1}．10．某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？ 解 (1)由题意得y ＝[12(1＋0.75x )－10(1＋x )]×10 000×(1＋0.6x )(0<x <1)，整理得y ＝－6 000x 2＋2 000x ＋20 000(0<x <1)．(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有⎩⎪⎨⎪⎧ y －(12－10)×10 000>0，0<x <1， 即⎩⎪⎨⎪⎧－6 000x 2＋2 000x >0，0<x <1， 解得0<x <13， 所以投入成本增加的比例x 应在0<x <13的范围内． 11．不等式x 2－x －2x －2>0的解集为( ) A ．{x |x >－1且x ≠2}B ．{x |x >－1}C ．{x |－1<x <2}D ．{x |x <－1或x >2} 答案 A解析 原不等式可化为(x －2)(x ＋1)x －2>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x －2≠0，∴x >－1且x ≠2.故选A. 12．若a >0，b >0，则不等式－b <1x<a 的解集为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <－1b 或x >1a B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －1a <x <1b C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1a 或x >1bD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1b <x <0或0<x <1a 答案 A解析 原不等式可化为⎩⎨⎧1x >－b ，1x <a ，即⎩⎨⎧ bx ＋1x >0，ax －1x >0， 可得⎩⎨⎧ x <－1b 或x >0，x <0或x >1a ， 故不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <－1b 或x >1a . 13．不等式x 2－2x －2x 2＋x ＋1<2的解集为( ) A ．{x |x ≠－2}B ．RC ．∅D ．{x |x <－2或x >2} 答案 A解析 ∵x 2＋x ＋1>0恒成立，∴原不等式⇔x 2－2x －2<2x 2＋2x ＋2⇔x 2＋4x ＋4>0⇔(x ＋2)2>0，∴x ≠－2.∴不等式的解集为{x |x ≠－2}．14．在一个限速40 km /h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ．又知甲、乙两种车型的刹车距离s m 与车速x km/h 之间分别有如下关系：s 甲＝0.1x ＋0.01x 2，s 乙＝0.05x ＋0.005x 2.这次事故的主要责任方为________．答案 乙车解析 由题意列出不等式s 甲＝0.1x ＋0.01x 2>12，s 乙＝0.05x ＋0.005x 2>10.分别求解，得x 甲<－40或x 甲>30.x 乙<－50或x 乙>40.由于x >0，从而得x 甲>30 km /h ，x 乙>40 km/h.经比较知乙车超过限速，应负主要责任．。
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《二次函数与一元二次方程》重点题型探究
类型一、二次函数图象与坐标轴交点
例1．（1）判断下列二次函数的图象与x轴是否有公共点，若有求出公共点坐标，若没有，说明理由.
①y=-x2-x+1；②；③y=x2+3x+4.
思路点拨：二次函数y=ax2+bx+c与x轴公共点横坐标即方程ax2+bx+c=0的实根. 解：
①有两个公共点
对于方程-x2-x+1=0
，∴方程有两个不等实根
两根为
∴两个公共点坐标为；
②只有一个公共点
对于方程
∴方程有两个相等实根，
∴公共点坐标为(-2，0)；
③没有公共点，理由如下：
对于方程x2+3x+4=0
∵△=32-4×1×4=-7<0，方程没有实数根
∴二次函数y=x2+3x+4与x轴无公共点.
（2）已知函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）
A. B. C.且 D.且
思路点拨：只要当y=0时，⊿≥0即可，k-3=0时也可以，故选B.
答案：B
总结升华：
(1)当，则方程有两个不相等实根，这时二次函数的图象与x轴有两个交点；
(2)当，则方程有两个相等实根，这时二次函数的图象与x轴有且只有一个交点；
(3)当，则方程没有实根，这时二次函数的图象与x轴没有交点. 举一反三：
【变式1】已知二次函数y=(m-2)x2+2mx+m+1，其中m为常数，且满足-1<m<2，试判断此抛物线的开口方向，与x轴有无交点，与y轴的交点在x轴上方还是在x轴下方.
解：∵-1<m<2.
∴m-2<0，抛物线开口向下，
又m+1>0，抛物线与y轴的交点在x轴上方.
Δ=4m2-4(m-2)(m+1)
=4m2-4(m2-m-2)
=4m+8
=4(m+1)+4>0.
∴抛物线与x轴有两个不同的交点.
总结升华：
此题目也可以用数形结合方法来判断抛物线与x轴有两个不同交点(用抛物线与y轴的交点C在x轴上方，开口向下，必与x轴有两个不同交点).
【变式2】二次函数y=mx2+(2m-1)x+m+1的图象总在x轴的上方，求m的取值范围.
思路点拨：抛物线总在x轴上方表明(1)开口向上；(2)与x轴没有公共点.
解：由题意
类型二、利用图象法求一元二次方程的解
例2.（1）阅读材料回答问题：
有如下一道题：画图求方程的解.两位同学的解法如下：
甲：将方程化为，画出的图象，观察它与x轴的交点，得出方程的解.
乙：分别画出函数和的图象，观察它们的交点，把交点的横坐标作为方程的解.你对这两种解法有什么看法？请与你的同学交流.
答案：
上面甲、乙两位同学的解法都是可行的，但乙的方法要来得简便，因为画抛物线远比画直线困难，所以只要事先画好一条抛物线的图象，再根据待解的方程，画出相应的直线，两线交点的横坐标即为方程的解.所以建议同学们以后尽量用乙的方法.
（2）已知函数y=mx2－6x＋1（m是常数）．
①求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；
②若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．
解：①当x=0时，．
所以不论为何值，函数的图象经过轴上的一个定点（0，1）②第一种情况：当时，函数的图象与轴只有一个交点；
第二种情况：当时，若函数的图象与轴只有一个交点
则方程有两个相等的实数根，所以，．
综上，若函数的图象与轴只有一个交点，则的值为0或9．举一反三：
【变式1】利用函数的图象，求方程的解：
解：先把方程化成x2=-2x+3.
如图：在同一直角坐标系中分别画出函数和的图象，
得到它们的交点(-3，9)和(1，1)，
则方程的解为x=-3或x=1.
总结升华：
一般地，求一元二次方程的近似解时，通常先把方程化成
的形式，然后在同一直角坐标系中分别画出y=x2和两个函数的图象，得出交点，交点的横坐标即为方程的解.
【变式2】利用函数的图象，求方程组的解：
思路点拨：可以通过直接画出函数和的图象，得到它们的交点，从而得到方程组的解.
解：在同一直角坐标系中画出函数和的图象，
如图，得到它们的交点坐标(-2，0)，(3，15)，
则方程组的解为.
总结升华：利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤来解，关键是根据图象来理解方程和函数的内在关系.
类型三、二次函数与一元二次方程的综合运用
例3．已知抛物线的顶点P(3，-2)且在x轴上所截得的线段AB的长为4.
(1)求此抛物线的解析式；
(2)抛物线上是否存在点Q，使△QAB的面积等于12，若存在，求点Q的坐标，若不存在，请说明理由.
思路点拨：已知抛物线的顶点坐标及与x轴公共点间的距离时，可利用抛物线的对称性求抛物线与x轴两个公共点坐标，并采用顶点式(待定系数)，可以大大减少计算量.
解：
(1)∵由已知，可得抛物线的顶点为(3，-2)
∴设抛物线的解析式为y=a(x-3)2-2且对称轴为x=3，由抛物线的对称性可知，当抛物线在x轴上截得的线段长为4时，则点A、点B到直线x=3的距离均为2
∴A(1，0)，B(5，0)
∴a(1-3)2-2=0，解得
.
(2)假定存在点Q(m，n)，使S△QAB=12，
又
∴当n=6时，，解得m1=-1，m2=7
当n=-6时，，无实根
∴Q(-1，6)或(7，6)为所求.
例4．已知二次函数y=-x2+(2m+2)x-(m2+4m-3)(其中m为非负整数)，其图象交x 轴于点A、点B，且点A在原点左侧，点B在原点右侧.
(1)求此二次函数的解析式；
(2)一次函数y=kx+b的图象经过点A，与这个二次函数的图象交于点C且
S△ABC=10，求一次函数的解析式.
解：
(1)抛物线开口向下，与x轴有两个公共点且分别在原点两侧，表示x=0时y>0
∴m=0
∴y=-x2+2x+3为所求.
(2)令y=0，-x2+2x+3=0解得x1=-1，x2=3
∴A(-1，0)，B(3，0)，∴AB=4
设C(p，q)∴q=-p2+2p+3
∵S△ABC=10，
当q=5时，-p2+2p+3=5，无实根，
当q=-5时，-p2+2p+3=-5，∴p1=-2，p2=4
∴C1(-2，-5)，C2(4，-5)
若y=kx+b过A(-1，0)，C(-2，-5)
若y=kx+b过A(-1，0)，C(4，-5)
∴y=5x+5或y=-x-1为所求.
【变式1】已知：关于x的方程（1）当a取何值时，二次函数的对称轴是x=-2；（2）求证：a取任何实数时，方程总有实数根.
解：
(1)∵二次函数的对称轴是x=-2
∴
解得a=-1
经检验a=-1是原分式方程的解.
所以a=-1时，二次函数的对称轴是x=-2；
(2)①当a=0时，原方程变为-x-1=0，方程的解为x= -1；
②当a≠0时，原方程为一元二次方程，，
当方程总有实数根，
∴
整理得，
∵a≠0时所以a取任何实数时，方程总有实数根.。