中考数学二轮复习 专题二 解答重难点题型突破 题型六 二次函数与几何图形综合题课件
回归教材重难点06 二次函数与几何的综合(解析版)
回归教材重难点06 二次函数与几何的综合本考点是中考五星高频考点，难度较大，在全国各地市的中考试卷中均有考查。
（2022年辽宁省朝阳市中考数学试卷第25题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴分别交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3），连接BC．（1）求抛物线的解析式及点B的坐标．（2）如图，点P为线段BC上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值．（3）动点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点C向点B运动，同时动点M以每秒1个单位长度的速度在线段BO上由点B向点O运动，在平面内是否存在点N，使得以点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将A，C两点坐标代入抛物线的解析式求得a，c的值，进而得出解析式，当y＝0时，求出方程的解，进而求得B点坐标；（2）由B，C两点求出BC的解析式，进而设出点P和点Q坐标，表示出PQ的长，进一步得出结果；（3）要使以点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形，只需△PMB是等腰三角形，所以分为PM＝BM，PM＝PB和BP＝BM，结合图象，进一步得出结果．【解答】解：（1）由题意得，，∴，∴y＝x2+2x﹣3，当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，∴x1＝1，x2＝﹣3，∴B（﹣3，0）；（2）设直线BC的解析式为：y＝kx+b，∴，∴，∴y＝﹣x﹣3，设点P（m，﹣m﹣3），Q（m，m2+2m﹣3），∴PQ＝（﹣m﹣3）﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，＝；∴当m＝﹣时，PQ最大（3）如图1，∵B（﹣3，0），C（0，﹣3），∴OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，作PD⊥y轴于D，∴CD＝PD＝PC•sin∠OCB＝＝t，当BM＝PM时，∴∠MPB＝∠OBC＝45°，∵∠PMO＝∠PDO＝∠MOD＝90°，∴四边形OMPD是矩形，∴OM＝PD＝t，由BM+OM＝OB得，∴2t＝3，∴t＝，∴P（﹣，﹣），∴N（﹣3，﹣），如图2，当PM＝PB时，作PD⊥y轴于D，作PE⊥x轴于E，∴BM＝2BE，可得四边形PDOE是矩形，∴OE＝PD＝t，∴BE＝3﹣t，∴t＝2（3﹣t），∴t＝2，∴P（﹣2，﹣1），∴N（﹣2，1），如图3，当PB＝MB时，3﹣＝t，∴t＝6﹣3，∴P（3，3﹣3），∴N（0，3﹣3），综上所述：N（﹣3，﹣）或（﹣2，1）或（0，3﹣3）．点评：本题考察了二次函数及其图象的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形的分类和等腰三角形的性质，菱形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出符合条件的图形。
专题六 二次函数与几何图形的综合
若不存在,请说明理由.
+ + = ,
【解析】(1)由题意得:ቐ
−
= ,
= ,
解得ቊ
= −,
故抛物线的表达式为y=x2-5x+4①;
(2)对于y=x2-5x+4,令y=x2-5x+4=0,解得x=1或4,令x=0,则y=4,
= − +
= −
得:ቐ
,解得ቐ = ,
=
= + +
=
∴抛物线的表达式为:y=-x2+2x+3;
(2)∵正方形OBDC,∴∠OBC=∠DBC,BD=OB,
∵BF=BF,∴△BOF≌△BDF,∴∠BOF=∠BDF;
(3)存在.∵抛物线交正方形OBDC的边BD于点E,
设AB的中点为J,连接PJ,则J(-2,-2),
∴PJ= AB=2
,∴12+(n+2)2=(2 )2,解得n= -2或n=- -2,
∴P3(-1, -2),P4(-1,- -2),
综上所述,满足条件的点P的坐标为(-1,3)或(-1,-5)或(-1, -2)或(-1,- -2).
在Rt△BOM中,BM=tan 30°·OB= ,∴ME=BE-BM=2- ,
综上所述,ME的值为:3 -2或2- .
考点二直角三角形的存在性问题
解答二次函数中直角三角形存在性问题的方法:
(1)假设其存在,画出相应的图形.
(2)分情况讨论:当所给条件不能确定直角顶点时,应分情况讨论.分别令三角形三个
2019年中考数学第二轮专题复习 二次函数与几何图形综合 含解析
函数与几何综合1．如图，抛物线C1：y＝x2﹣2x与抛物线C2：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，它们相交于O，C两点，且分别与x轴的正半轴交于点B，点A，OA＝2OB．（1）求抛物线C2的解析式；（2）在抛物线C2的对称轴上是否存在点P，使PA+PC的值最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由；（3）M是直线OC上方抛物线C2上的一个动点，连接MO，MC，M运动到什么位置时，△MOC面积最大？并求出最大面积．2．如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x+3分别相交于A，B两点，且此抛物线与x轴的一个交点为C，连接AC，BC．已知A（0，3），C（﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MC|的值最大，并求出这个最大值；（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣1与x轴的交点为A（﹣1，0），B（2，0），且与y轴交于C点．（1）求该抛物线的表达式；（2）点C关于x轴的对称点为C1，M是线段BC1上的一个动点（不与B、C1重合），ME⊥x轴，MF⊥y轴，垂足分别为E、F，当点M在什么位置时，矩形MFOE的面积最大？说明理由．（3）已知点P是直线y＝x+1上的动点，点Q为抛物线上的动点，当以C、C1、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求出相应的点P和点Q的坐标．4．已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．（1）抛物线的解析式为，抛物线的顶点坐标为；（2）如图1，连接OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，请求出点D的坐标；（3）如图2，点E的坐标为（0，﹣1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标；（4）如图3，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，5），与x轴相交于B（﹣1，0），C（3，0）两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BC'D，若点C'恰好落在抛物线的对称轴上，求点C'和点D的坐标；（3）设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当△CPQ为等边三角形时，求直线BP的函数表达式．6．如图，已知直线AB与抛物线C：y＝ax2+2x+c相交于点A（﹣1，0）和点B（2，3）两点．（1）求抛物线C函数表达式；（2）若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点，以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB 的面积最大时，求此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；（3）在抛物线C的对称轴上是否存在定点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y＝的距离？若存在，求出定点F的坐标；若不存在，请说明理由．7．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，其图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C（0，3）．（1）求b，c的值；（2）直线1与x轴相交于点P．①如图1，若l∥y轴，且与线段AC及抛物线分别相交于点E，F，点C关于直线x＝1的对称点为点D，求四边形CEDF面积的最大值；②如图2，若直线1与线段BC相交于点Q，当△PCQ∽△CAP时，求直线1的表达式．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），C（0，﹣6），其对称轴为直线x＝2．（1）求该二次函数的解析式；（2）若直线y＝﹣x+m将△AOC的面积分成相等的两部分，求m的值；（3）点B是该二次函数图象与x轴的另一个交点，点D是直线x＝2上位于x轴下方的动点，点E是第四象限内该二次函数图象上的动点，且位于直线x＝2右侧．若以点E为直角顶点的△BED与△AOC相似，求点E的坐标．9．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA＝1，经过点A的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；（3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE+PA的最小值．10．如图，直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，过A，B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点C（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，若点E是线段AC上的一个动点（不与A，C重合），过点E作EF∥BC，交AB于点F，当△BEF的面积是时，求点E的坐标；（3）在（2）的结论下，将△BEF绕点F旋转180°得△B′E′F，试判断点E′是否在抛物线上，并说明理由．11．如图，顶点为P（3，3）的二次函数图象与x轴交于点A（6，0），点B在该图象上，OB交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接BN、ON．（1）求该二次函数的关系式．（2）若点B在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：①连接OP，当OP＝MN时，请判断△NOB的形状，并求出此时点B的坐标．②求证：∠BNM＝∠ONM．12．两条抛物线C1：y1＝3x2﹣6x﹣1与C2：y2＝x2﹣mx+n的顶点相同．（1）求抛物线C2的解析式；（2）点A是抛物线C2在第四象限内图象上的一动点，过点A作AP⊥x轴，P为垂足，求AP+OP的最大值；（3）设抛物线C2的顶点为点C，点B的坐标为（﹣1，﹣4），问在C2的对称轴上是否存在点Q，使线段QB绕点Q 顺时针旋转90°得到线段QB′，且点B′恰好落在抛物线C2上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，已知抛物线y＝a（x+2）（x﹣6）与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点，且tan∠CAB＝．设抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）P为抛物线的对称轴上一点，Q（n，0）为x轴上一点，且PQ⊥PC．①当点P在线段MN（含端点）上运动时，求n的变化范围；②在①的条件下，当n取最大值时，求点P到线段CQ的距离；③在①的条件下，当n取最大值时，将线段CQ向上平移t个单位长度，使得线段CQ与抛物线有两个交点，求t的取值范围．14．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（﹣3，0），且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，且∠POB＝∠ACB，求点P的坐标；（3）抛物线上两点M，N，点M的横坐标为m，点N的横坐标为m+4．点D是抛物线上M，N之间的动点，过点D作y轴的平行线交MN于点E．①求DE的最大值；②点D关于点E的对称点为F，当m为何值时，四边形MDNF为矩形．15．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣5，0）和点B（1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点P是抛物线上A、D之间的一点，过点P作PE⊥x轴于点E，PG⊥y轴，交抛物线于点G，过点G作GF⊥x 轴于点F，当矩形PEFG的周长最大时，求点P的横坐标；（3）如图2，连接AD、BD，点M在线段AB上（不与A、B重合），作∠DMN＝∠DBA，MN交线段AD于点N，是否存在这样点M，使得△DMN为等腰三角形？若存在，求出AN的长；若不存在，请说明理由．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝kx+b都经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，该抛物线的顶点为C．（1）求此抛物线和直线AB的解析式；（2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△PAB面积最大时，求点P的坐标，并求△PAB面积的最大值．17．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝kx+n 与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D，已知A（﹣1，0），D（5，﹣6），P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）．（1）求抛物线和直线l的解析式；（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF 的最大值；（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（1，0），B（﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；（2）设点D是x轴上一点，当tan（∠CAO+∠CDO）＝4时，求点D的坐标；（3）如图2．抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段PA交BE于点M，交y轴于点N，△BMP和△EMN的面积分别为m、n，求m﹣n的最大值．19．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）经过x轴上的点A（1，0）和点B及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为y＝x+n．①求抛物线的解析式．②点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，求t为何值时，△PBE的面积最大并求出最大值．③过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标．20．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（3，2），且与直线y＝﹣x+交于B、C两点，点B的坐标为（4，m）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA的最小值；（3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使∠AQM＝45°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．21．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△PAC的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得S△PAM＝S△PAC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．22．已知二次函数y＝ax2﹣bx+c且a＝b，若一次函数y＝kx+4与二次函数的图象交于点A（2，0）．（1）写出一次函数的解析式，并求出二次函数与x轴交点坐标；（2）当a＞c时，求证：直线y＝kx+4与抛物线y＝ax2﹣bx+c一定还有另一个异于点A的交点；（3）当c＜a≤c+3时，求出直线y＝kx+4与抛物线y＝ax2﹣bx+c的另一个交点B的坐标；记抛物线顶点为M，抛物线对称轴与直线y＝kx+4的交点为N，设S＝S△AMN﹣S△BMN，写出S关于a的函数，并判断S是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由．23．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；（2）点D为抛物线对称轴上一点，连接CD、BD，若∠DCB＝∠CBD，求点D的坐标；（3）已知F（1，1），若E（x，y）是抛物线上一个动点（其中1＜x＜2），连接CE、CF、EF，求△CEF面积的最大值及此时点E的坐标．（4）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．24．如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点E，使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB＝∠OCB？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．25．已知，如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为M（1，9），经过抛物线上的两点A（﹣3，﹣7）和B（3，m）的直线交抛物线的对称轴于点C．（1）求抛物线的解析式和直线AB的解析式．（2）在抛物线上A、M两点之间的部分（不包含A、M两点），是否存在点D，使得S△DAC＝2S△DCM？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P的坐标．26．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x与该抛物线交于E，F两点．（1）求抛物线的解析式．（2）P是直线EF下方抛物线上的一个动点，作PH⊥EF于点H，求PH的最大值．（3）以点C为圆心，1为半径作圆，⊙C上是否存在点M，使得△BCM是以CM为直角边的直角三角形？若存在，直接写出M点坐标；若不存在，说明理由．27．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．28．二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）连接BD，当t＝时，求△DNB的面积；（3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标；（4）当t＝时，在直线MN上存在一点Q，使得∠AQC+∠OAC＝90°，求点Q的坐标．29．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？30．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（9，0）和C（0，4），CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直于x轴，垂足为E，直线l是该抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点．（1）求出该二次函数的表达式及点D的坐标；（2）若Rt△AOC沿x轴向右平移，使其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合，得到Rt△A1O1F，求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分图形的面积；（3）若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t≤6）得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分图形的面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．31．如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点A（1，0）、B（5，0）、C（0，4）三点．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）P是抛物线对称轴上的一点，求满足PA+PC的值为最小的点P坐标（请在图1中探索）；（3）在第四象限的抛物线上是否存在点E，使四边形OEBF是以OB为对角线且面积为12的平行四边形？若存在，请求出点E坐标，若不存在请说明理由（请在图2中探索）32．设二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是实数）．（1）甲求得当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；乙求得当x＝时，y＝﹣．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x1，x2的代数式表示）．（3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m，n是实数），当0＜x1＜x2＜1时，求证：0＜mn＜．参考答案与试题解析一．解答题（共32小题）1．【分析】（1）C1、C2：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，则a＝﹣1，将点A的坐标代入C2的表达式，即可求解；（2）作点C关于C1对称轴的对称点C′（﹣1，3），连接AC′交函数C2的对称轴与点P，此时PA+PC的值最小，即可求解；（3）S△MOC＝MH×x C＝（﹣x2+4x﹣x）＝﹣x2+，即可求解．【解答】解：（1）令：y＝x2﹣2x＝0，则x＝0或2，即点B（2，0），∵C1、C2：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，则a＝﹣1，则点A（4，0），将点A的坐标代入C2的表达式得：0＝﹣16+4b，解得：b＝4，故抛物线C2的解析式为：y＝﹣x2+4x；（2）联立C1、C2表达式并解得：x＝0或3，故点C（3，3），作点C关于C2对称轴的对称点C′（1，3），连接AC′交函数C2的对称轴与点P，此时PA+PC的值最小为：线段AC′的长度＝3，此时点P（2，2）；（3）直线OC的表达式为：y＝x，过点M作y轴的平行线交OC于点H，设点M（x，﹣x2+4x），则点H（x，x），则S△MOC＝MH×x C＝（﹣x2+4x﹣x）＝﹣x2+x，∵﹣＜0，故x＝，S△MOC最大值为．【点评】此题考查了待定系数法求解析式，还考查了三角形的面积，要注意将三角形分解成两个三角形求解；还要注意求最大值可以借助于二次函数．2．【分析】（1）①将A（0，3），C（﹣3，0）代入y＝x2+bx+c，即可求解；（2）分当点B、C、M三点不共线时、当点B、C、M三点共线时，两种情况分别求解即可；（3）分当时、当时两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）①将A（0，3），C（﹣3，0）代入y＝x2+bx+c得：，解得：，∴抛物线的解析式是y＝x2+x+3；（2）将直线y＝x+3表达式与二次函数表达式联立并解得：x＝0或﹣4，∵A（0，3），∴B（﹣4，1）①当点B、C、M三点不共线时，|MB﹣MC|＜BC②当点B、C、M三点共线时，|MB﹣MC|＝BC∴当点、C、M三点共线时，|MB﹣MC|取最大值，即为BC的长，过点B作x轴于点E，在Rt△BEC中，由勾股定理得BC＝＝，∴|MB﹣MC|取最大值为；（3）存在点P使得以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．设点P坐标为（x，x2+x+3）（x＞0）在Rt△BEC中，∵BE＝CE＝1，∴∠BCE＝45°，在Rt△ACO中，∵AO＝CO＝3，∴∠ACO＝45°，∴∠ACB＝180°﹣450﹣450＝900，AC＝3，过点P作PQ⊥PA于点P，则∠APQ＝90°，过点P作PQ⊥y轴于点G，∵∠PQA＝∠APQ＝90°∠PAG＝∠QAP，∴△PGA∽△QPA∵∠PGA＝∠ACB＝90°∴①当时，△PAG∽△BAC，∴＝，解得x1＝1，x2＝0，（舍去）∴点P的纵坐标为×12+×1+3＝6，∴点P为（1，6）；②当时，△PAG∽△ABC，∴＝3，解得x1＝﹣（舍去），x2＝0（舍去），∴此时无符合条件的点P综上所述，存在点P（1，6）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形相似、勾股定理运用等知识点，其中（2）、（3），要注意分类求解，避免遗漏．3．【分析】（1）待定系数法将已知点的坐标分别代入得方程组并解方程组即可求得抛物线的表达式；（2）先求得C1（0，1），再由待定系数法求得直线C1B解析式y＝﹣x+1，设M（t，+1），得S矩形MFOE＝OE×OF＝t（﹣t+1）＝﹣（t﹣1）2+，由二次函数性质即可得到结论；（3）以C、C1、P、Q为顶点的四边形为平行四边形要分两种情况进行讨论：①C1C为边，②C1C为对角线．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（2，0）分别代入抛物线y＝ax2+bx﹣1中，得，解得：∴该抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣1．（2）在y＝x2﹣x﹣1中，令x＝0，y＝﹣1，∴C（0，﹣1）∵点C关于x轴的对称点为C1，∴C1（0，1），设直线C1B解析式为y＝kx+b，将B（2，0），C1（0，1）分别代入得，解得，∴直线C1B解析式为y＝﹣x+1，设M（t，+1），则E（t，0），F（0，+1）∴S矩形MFOE＝OE×OF＝t（﹣t+1）＝﹣（t﹣1）2+，∵﹣＜0，∴当t＝1时，S矩形MFOE最大值＝，此时，M（1，）；即点M为线段C1B中点时，S矩形MFOE最大．（3）由题意，C（0，﹣1），C1（0，1），以C、C1、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，分以下两种情况：①C1C为边，则C1C∥PQ，C1C＝PQ，设P（m，m+1），Q（m，﹣m﹣1），∴|（﹣m﹣1）﹣（m+1）|＝2，解得：m1＝4，m2＝﹣2，m3＝2，m4＝0（舍），P1（4，3），Q1（4，5）；P2（﹣2，0），Q2（﹣2，2）；P3（2，2），Q3（2，0）②C1C为对角线，∵C1C与PQ互相平分，C1C的中点为（0，0），∴PQ的中点为（0，0），设P（m，m+1），则Q（﹣m，+m﹣1）∴（m+1）+（+m﹣1）＝0，解得：m1＝0（舍去），m2＝﹣2，∴P4（﹣2，0），Q4（2，0）；综上所述，点P和点Q的坐标为：P1（4，3），Q1（4，5）或P2（﹣2，0），Q2（﹣2，2）或P3（2，2），Q3（2，0）或P4（﹣2，0），Q4（2，0）．【点评】本题属于中考压轴题类型，主要考查了待定系数法求一次函数、二次函数解析式，二次函数的最值运用，平行四边形性质等，解题关键要正确表示线段的长度，掌握分类讨论的方法．4．【分析】（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3），即可求解；（2）S△CPD：S△BPD＝1：2，则BD＝BC＝×＝2，即可求解；（3）∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，则∠OHE＝45°，故OH＝OE＝1，即可求解；（4）利用S四边形BOCP＝S△OBC+S△PBC＝8，即可求解．【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3），即：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3…①，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）∵OB＝OC，∴∠CBO＝45°，∵S△CPD：S△BPD＝1：2，∴BD＝BC＝×＝2，y D＝BD sin∠CBO＝2，则点D（﹣1，2）；（3）如图2，设直线PE交x轴于点H，∵∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，∴∠OHE＝45°，∴OH＝OE＝1，则直线HE的表达式为：y＝﹣x﹣1…②，联立①②并解得：x＝（舍去正值），故点P（，）；（4）不存在，理由：连接BC，过点P作y轴的平行线交BC于点H，直线BC的表达式为：y＝x+3，设点P（x，﹣x2﹣2x+3），点H（x，x+3），则S四边形BOCP＝S△OBC+S△PBC＝×3×3+（﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3）×3＝8，整理得：3x2+9x+7＝0，解得：△＜0，故方程无解，则不存在满足条件的点P．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、一元二次方程应用、图象的面积计算等，难度不大．5．【分析】（1）根据待定系数法，把点A（﹣2，5），B（﹣1，0），C（3，0）的坐标代入y＝ax2+bx+c得到方程组求解即可；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1，0），BH＝2，由翻折得C′B＝CB＝4，求出C′H的长，可得∠C′BH＝60°，求出DH的长，则D坐标可求；（3）由题意可知△C′CB为等边三角形，分两种情况讨论：①当点P在x轴的上方时，点Q在x轴上方，连接BQ，C′P．证出△BCQ≌△C′CP，可得BP垂直平分CC′，则D点在直线BP上，可求出直线BP的解析式，②当点P在x轴的下方时，点Q在x轴下方．同理可求出另一直线解析式．【解答】解：（1）由题意得：解得，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3．（2）∵抛物线与x轴交于B（﹣1，0），C（3，0），∴BC＝4，抛物线的对称轴为直线x＝1，如图，设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1，0），BH＝2，由翻折得C′B＝CB＝4，在Rt△BHC′中，由勾股定理，得C′H＝＝＝2，∴点C′的坐标为（1，2），tan，∴∠C′BH＝60°，由翻折得∠DBH＝∠C′BH＝30°，在Rt△BHD中，DH＝BH•tan∠DBH＝2•tan30°＝，∴点D的坐标为（1，）．（3）取（2）中的点C′，D，连接CC′，∵BC′＝BC，∠C′BC＝60°，∴△C′CB为等边三角形．分类讨论如下：①当点P在x轴的上方时，点Q在x轴上方，连接BQ，C′P．∵△PCQ，△C′CB为等边三角形，∴CQ＝CP，BC＝C′C，∠PCQ＝∠C′CB＝60°，∴∠BCQ＝∠C′CP，∴△BCQ≌△C′CP（SAS），∴BQ＝C′P．∵点Q在抛物线的对称轴上，∴BQ＝CQ，∴C′P＝CQ＝CP，又∵BC′＝BC，∴BP垂直平分CC′，由翻折可知BD垂直平分CC′，∴点D在直线BP上，设直线BP的函数表达式为y＝kx+b，则，解得，∴直线BP的函数表达式为y＝．②当点P在x轴的下方时，点Q在x轴下方．∵△PCQ，△C′CB为等边三角形，∴CP＝CQ，BC＝CC′，∠CC′B＝∠QCP＝∠C′CB＝60°．∴∠BCP＝∠C′CQ，∴△BCP≌△C′CQ（SAS），∴∠CBP＝∠CC′Q，∵BC′＝CC′，C′H⊥BC，∴．∴∠CBP＝30°，设BP与y轴相交于点E，在Rt△BOE中，OE＝OB•tan∠CBP＝OB•tan30°＝1×，∴点E的坐标为（0，﹣）．设直线BP的函数表达式为y＝mx+n，则，解得，∴直线BP的函数表达式为y＝﹣．综上所述，直线BP的函数表达式为或．【点评】本题考查了二次函数的综合题，涉及的知识点有：待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，综合性较强，有一定的难度．6．【分析】（1）利用待定系数法，将A，B的坐标代入y＝ax2+2x+c即可求得二次函数的解析式；（2）过点M作MH⊥x轴于H，交直线AB于K，求出直线AB的解析式，设点M（a，﹣a2+2a+3），则K（a，a+1），利用函数思想求出MK的最大值，再求出△AMB面积的最大值，可推出此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；（3）如图2，分别过点B，C作直线y＝的垂线，垂足为N，H，设抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y＝的距离，其中F（1，a），连接BF，CF，则可根据BF＝BN，CF＝CN两组等量关系列出关于a的方程组，解方程组即可．【解答】解：（1）由题意把点（﹣1，0）、（2，3）代入y＝ax2+2x+c，得，，解得a＝﹣1，c＝3，∴此抛物线C函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）如图1，过点M作MH⊥x轴于H，交直线AB于K，将点（﹣1，0）、（2，3）代入y＝kx+b中，得，，解得，k＝1，b＝1，∴y AB＝x+1，设点M（a，﹣a2+2a+3），则K（a，a+1），则MK＝﹣a2+2a+3﹣（a+1）＝﹣（a﹣）2+，根据二次函数的性质可知，当a＝时，MK有最大长度，∴S△AMB最大＝S△AMK+S△BMK＝MK•AH+MK•（x B﹣x H）＝MK•（x B﹣x A）＝××3＝，∴以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，S最大＝2S△AMB最大＝2×＝，M（，）；（3）存在点F，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴对称轴为直线x＝1，当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，∴抛物线与点x轴正半轴交于点C（3，0），如图2，分别过点B，C作直线y＝的垂线，垂足为N，H，抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y＝的距离，设F（1，a），连接BF，CF，则BF＝BN＝﹣3＝，CF＝CH＝，由题意可列：，解得，a＝，∴F（1，）．【点评】此题考查了待定系数法求解析式，还考查了用函数思想求极值等，解题关键是能够判断出当平行四边形MANB的面积最大时，△ABM的面积最大，且此时线段MK的长度也最大．7．【分析】（1）根据抛物线的对称轴及抛物线与y轴的交点坐标可求出b、c的值；（2）由题意先求出D点坐标为（2，3），求出直线AC的解析式，设F（a，﹣a2+2a+3），E（a，﹣a+3），则EF＝﹣a2+3a，四边形CEDF的面积可表示为，利用二次函数的性质可求出面积的最大值；（3）当△PCQ∽△CAP时，可得∠PCA＝∠CPQ，∠PAC＝∠PCQ＝∠OCA＝45°，则PQ∥AC，∠BCO＝∠PCA，过点P 作PM⊥AC交AC于点M，可求出PM、PA、OP的长，用待定系数法可求出函数解析式．【解答】解：（1）由题意得：，∴b＝2，c＝3，（2）①如图1，∵点C关于直线x＝1的对称点为点D，∴CD∥OA，∴3＝﹣x2+2x+3，解得：x1＝0，x2＝2，∴D（2，3），∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，∴令y＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴B（﹣1，0），A（3，0），设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，设F（a，﹣a2+2a+3），E（a，﹣a+3），∴EF＝﹣a2+2a+3+a﹣3＝﹣a2+3a，四边形CEDF的面积＝S△EFC+S△EFD＝＝＝﹣a2+3a＝，∴当a＝时，四边形CEDF的面积有最大值，最大值为．②当△PCQ∽△CAP时，∴∠PCA＝∠CPQ，∠PAC＝∠PCQ，∴PQ∥AC，∵C（0，3），A（3，0），∴OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝∠PCQ＝45°，∴∠BCO＝∠PCA，如图2，过点P作PM⊥AC交AC于点M，∴，设PM＝b，则CM＝3b，AM＝b，∵，∴，∴，∴，∴，∴，设直线l的解析式为y＝﹣x+n，∴，∴．∴直线l的解析式为y＝﹣x+．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质和轴对称的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，会利用相似三角形的性质解题；要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键．8．【分析】（1）把点A、C坐标及对称轴x＝2代入二次函数表达式，即可求解；（2）求出直线y＝﹣x+m与y轴的交点为（0，m），由S△AOC＝＝6，×＝3，即可求解；（3）分△DEO∽△AOC、△BED∽△AOC两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）由已知得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣6，同理可得直线AC的表达式为：y＝﹣3x﹣6；（2）联立，解得：x＝﹣，直线y＝﹣x+m与y轴的交点为（0，m），S△AOC＝＝6，由题意得：×＝3，解得：m＝﹣2或﹣10（舍去﹣10），∴m＝﹣2；（3）∵OA＝2，OC＝6，∴，①当△DEB∽△AOC时，则，如图1，过点E作EF⊥直线x＝2，垂足为F，过点B作BG⊥EF，垂足为G，则Rt△BEG∽Rt△EDF，则，则BG＝3EF，设点E（h，k），则BG＝﹣k，FE＝h﹣2，则﹣k＝3（h﹣2），即k＝6﹣3h，∵点E在二次函数上，故：h2﹣2h﹣6＝6﹣3h，解得：h＝4或﹣6（舍去﹣6），则点E（4，﹣6）；②当△BED∽△AOC时，，过点E作ME⊥直线x＝2，垂足为M，过点B作BN⊥ME，垂足为N，则Rt△BEN∽Rt△EDM，则，则NB＝EM，设点E（p，q），则BN＝﹣q，EM＝p﹣2，则﹣q＝（p﹣2），解得：p＝或（舍去）；故点E坐标为（4，﹣6）或（，）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形相似等知识点，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．9．【分析】（1）先写出平移后的抛物线解析式，经过点A（﹣1，0），可求得a的值，由△ABD的面积为5可求出点D 的纵坐标，代入抛物线解析式求出横坐标，由A、D的坐标可求出一次函数解析式；（2）作EM∥y轴交AD于M，如图，利用三角形面积公式，由S△ACE＝S△AME﹣S△CME构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；（3）作E关于x轴的对称点F，过点F作FH⊥AE于点H，交x轴于点P，则∠BAE＝∠HAP＝∠HFE，利用锐角三角函数的定义可得出EP+AP＝FP+HP，此时FH最小，求出最小值即可．【解答】解：（1）将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2，∵OA＝1，∴点A的坐标为（﹣1，0），代入抛物线的解析式得，4a﹣2＝0，∴，∴抛物线的解析式为y＝，即y＝．令y＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴B（3，0），∴AB＝OA+OB＝4，∵△ABD的面积为5，∴＝5，∴y D＝，代入抛物线解析式得，，解得x1＝﹣2，x2＝4，∴D（4，），设直线AD的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AD的解析式为y＝．（2）过点E作EM∥y轴交AD于M，如图，设E（a，），则M（a，），∴＝，∴S△ACE＝S△AME﹣S△CME＝＝＝，＝，∴当a＝时，△ACE的面积有最大值，最大值是，此时E点坐标为（）．（3）作E关于x轴的对称点F，连接EF交x轴于点G，过点F作FH⊥AE于点H，交x轴于点P，∵E（），OA＝1，∴AG＝1+＝，EG＝，∴，。
2024海南中考数学二轮重点专题研究 二次函数综合 类型六 二次函数与特殊四边形问题(课件)
(3)若点 D 是平面直角坐标系内一点，点 P 是 y 轴上一点，是否存在点 P， 使得以点 A、B、D、P 为顶点的四边形是以 AB 为边的菱形，若存在， 求出点 P 坐标；若不存在，请说明理由． 【思维教练】由四边形ABPD为菱形，可知AB＝BP，设出点P的坐标， 根据已知的点B的坐标再结合勾股定理求解即可．
例 10
如图，抛物线 y＝x2＋6x＋5 与 x 轴交于 A、
B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴交于点 C，顶点为 M，连接 AC，抛
物线的对称轴为直线 l，l 与 x 轴交于点 D，与 AC 交于点 E.
(1)若点 P 是平面内一点，使得以点 A、B、C、P 为顶点的四边形为平行
四边形，求点 P 坐标；
第6题图
②当 BC 是以 B、C、Q、M 为顶点的平行四边形的对角线时， 此时 MQ 也是该平行四边形的对角线， 且 MQ 必过 BC 的中点， 设点 Q 的坐标为(1，t)，点 M 的坐标为(x，y)， 易知 BC 的中点坐标为(32，32)， ∴1＋x＝3，
22
第6题图
∴x＝2， ∴将x＝2代入y＝－x2＋2x＋3， ∴M(2，3)， 综上所述，点M的坐标为(4，－5)或(2，3)或(－2，－5)．
∴易知 BQ 的中点为(2， t )， 2
MC 的中点(x2，3＋2 y)，
第6题图
∴x2＝2， ∴x＝4， ∴将x＝4代入y＝－x2＋2x＋3， ∴y＝－5， ∴M(4，－5)； 当BM与CQ互相平分时， ∴易知CQ的中点为(12，t＋2 3)，
第6题图
BM中点为(x＋2 3，2y)． ∴12＝x＋2 3. ∴x＝－2. ∴将x＝－2代入y＝－x2＋2x＋3， ∴y＝－5. ∴M(－2，－5)；
专题二 二次函数的综合——2023届中考数学热点题型突破(含答案)
专题二二次函数的综合——2023届中考数学热点题型突破题型1 二次函数与线段最值问题1.在平面直角坐标系中, 点B 的坐标为, 将抛物线向左平移 2 个单位长度后的顶点记为A. 若点P是x 轴上一动点, 则的最小值是( )A. 8B.C. 9D.2.如图, 抛物线与x轴正半轴交于点A, 与y 轴交于点B.(1)求直线AB的解析式及抛物线顶点坐标;(2)点P为第四象限内且在对称轴右侧抛物线上一动点, 过点 P作轴, 垂足为C,PC交AB于点D, 求的最大值, 并求出此时点P的坐标;(3)将抛物线向左平移n个单位长度得到抛物线, 若抛物线与直线AB 只有一个交点, 求n的值.3.已知:如图,二次函数与x轴交于点A,B,点A在点B左侧,交y 轴于点C,.（1）求抛物线的解析式;（2）在第一象限的抛物线上有一点D,连接AD,若,求点D坐标;（3）点P在第一象限的抛物线上,于点Q,求PQ的最大值?题型2 二次函数与图形面积问题4.如图，抛物线与x轴的两个交点坐标为、.(1)求抛物线的函数表达式；(2)矩形的顶点P，Q在x轴上(P，Q不与A，B重合)，另两个顶点M，N在抛物线上(如图).①当点P在什么位置时，矩形周长最大？求这个最大值并写出点P的坐标；②判断命题“当矩形周长最大时，其面积最大”的真假，并说明理由.5.在平面直角坐标系xOy 中, 已知抛物线经过,两点. P是抛物线上一点, 且在直线AB的上方.(1)请直接写出抛物线的解析式.(2)若面积是面积的 2 倍, 求点P的坐标.(3)如图, OP交AB于点C,交AB于点D. 记,,的面积分别为,,. 判断是否存在最大值. 若存在, 求出最大值; 若不存在, 请说明理由.6.已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点，且，.(1)求抛物线的解析式；(2)点P为抛物线上位于直线BC上方的一点，连结PB、PC.①如图1，过点P作轴交BC于点D，交x轴于点E，连结OD.设的面积为，的面积为，若，求S的最大值；②如图2，已知，Q为平面内一点，若以点A、C、P、Q为顶点的四边形是以CP为边的平行四边形，求点Q的坐标.题型3 二次函数与图形判定问题7.如图，已知二次函数(b，c为常数)的图象经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接BC.(1)求该二次函数的解析式及点M的坐标；(2)若将该二次函数图象向下平移m()个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在的内部(不包括的边界)，求m的取值范围；(3)点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与相似，请直接写出所有点P的坐标(直接写出结果，不必写解答过程).8.如图, 已知点, 以点D为顶点的抛物线经过点A, 且与直线交于点B,.(1)求抛物线的表达式和点D的坐标.(2)在对称轴上存在一点M, 使得, 求出点M 的坐标.(3)已知点P 为抛物线对称轴上一点, 点Q 为平面内一点, 是否存在以P,B,C,Q为顶点的四边形是菱形的情形? 若存在, 直接写出点P 的坐标; 若不存在, 请说明理由.9.如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q.(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在线段OB上运动时，直线l交直线BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形；(3)点P在线段AB上运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.答案以及解析1.答案：D解析：，平移后抛物线的解析式为,点A的坐标为.如图, 作点A关于 x轴对称的点连接交x轴于点P则此时有最小值，最小值为的长，易知，，的最小值是.2.答案： (1)(2)(3)解析： (1)对于,令, 则, 解得，,.令, 则,.设直线AB的解析式为,则解得直线AB的解析式为.抛物线顶点坐标为.(2)如图, 过点D作轴于点E, 则.，,.设点P的坐标为,则点D的坐标为，.，又，当时, 的值最大, 最大值为,此时,此时点P 的坐标为.(3)设抛物线的解析式为. 令,整理, 得,3.答案：（1）（2）（3）解析:（1）当时,,解得,,,.,,,抛物线的解析式为;（2）如图,作于E,,,设,则,,,解得,,,;（3）如图,作轴,交BC于F,则,,,,,由,可知,直线BC的解析式为,设,则,,,时,PF的最大值为,的最大值为.4.答案：(1)(2)①Р在时，矩形的周长最大，最大值为10；②命题是假命题解析：(1)解：将、代入中得，解得，抛物线的函数表达式为，(2)解：抛物线的对称轴为，设点，则，①P，Q关于对称，，则，矩形的周长为，当时，l的值最大，最大值为10，即Р在时，矩形的周长最大，最大值为10.②假命题.由①可知，当矩形周长最大时，长为3，宽为2，面积为6，当为正方形时，，解得，点Р的坐标为，点Q的坐标为，，正方形的面积；故命题是假命题.5.答案： (1)(2) 或(3) 存在，解析：(1)将，分别代入, 得解得所以抛物线的解析式为.(2)设直线AB的解析式为,将，分别代入, 得解得所以直线AB的解析式为.如图 (1), 过点P 作轴, 垂足为M,PM交AB于点N, 过点B 作, 垂足为E,所以因为，,所以.因为的面积是面积的 2 倍,所以, 所以.设,则,所以, 即,解得，,所以点P的坐标为或.(3) 存在.因为, 所以，, 所以,所以.因为，,所以.设直线AB交y轴于点F, 则.如图 (2), 过点P作轴, 垂足为H,PH交 AB于点G.因为, 所以.因为, 所以,所以,所以.设.由 (2) 可得,所以.又,所以当时, 的值最大, 最大值为.6.答案：(1)(2)见解析①6②或解析：(1)由题意，得，，此抛物线的解析式为：.(2)①由可得：设直线BC的解析式为：，则，，直线BC的解析式为：，设，则，，，当时，S的最大值为6.②在OB上截取，则，，又，，，，，运用待定系数法法可求：直线CF的解析式为：，直线BP的解析式为：，，解得或4，，，轴，ACPQ是以CP为边构成平行四边形，，点Q在x轴上，或.7.答案：(1)二次函数解析式为；点M的坐标为(2)(3)，，，解析：(1)把点，点代入二次函数得，，解得，二次函数解析式为，配方得，点M的坐标为；(2)设直线AC解析式为，把点，代入得，，解得，直线AC的解析式为，如图所示，对称轴直线与两边分别交于点E、点F.把代入直线AC解析式解得，则点E坐标为，点F坐标为，，解得；(3)连接MC，作轴并延长交AC于点N，则点G坐标为，，，，把代入解得，则点N坐标为，，，，，由此可知，若点P在AC上，则，则点D与点C必为相似三角形对应点①若有，则有，，，，，，若点P在y轴右侧，作轴，，，，把代入，解得，；同理可得，若点P在y轴左侧，则把代入，解得，；②若有，则有，，，若点P在y轴右侧，把代入，解得；若点P在y轴左侧，把代入，解得；；.所有符合题意得点P坐标有4个，分别为，，，.8.答案： (1)(2)(3)存在, 点P的坐标为，, ，或解析： (1) 将代入, 得,将，分别代入, 得解得故抛物线的表达式为.抛物线的顶点D的坐标为.(2)易知抛物线的对称轴为直线, 且点A,C 关于对称轴对称.作直线AB, 交直线于点M, 则点M即为所求.令,解得,,故.设直线AB 的表达式为,将，分别代入, 得解得故直线AB 的表达式为,当时, , 故.(3)设,易得，①当时,该四边形是以BC为对角线的菱形, 则, 即, 解得,点P 的坐标为.②当时,该四边形是以PC 为对角线的菱形, 则, 即,解得, 故点P的坐标为或.③当时,该四边形是以PB为对角线的菱形, 则, 即, 解得,故点P 的坐标为或.综上可知, 点P的坐标为，,，或9.答案：(1)(2)当时，四边形CQMD是平行四边形(3)点Q的坐标为或解析：(1)设抛物线的解析式为，把点的坐标代入，得，解得抛物线的解析式为，即.(2)点D与点C关于x轴对称，点，，设直线BD的表达式为，把，代入得，，解得，直线BD的关系表达式为，设，，，，当时，四边形CQMD为平行四边形，，解得，(不合舍去)，故当时，四边形CQMD是平行四边形；(3)在中，，，，当以点B、M为顶点的三角形与相似时，分三种情况：①若时，，如图1所示，当时，，即，，，，，，解得，，(不合舍去)，，，，，点Q的坐标为；②若时，如图2所示，此时点P、Q与点A重合，，③由于点M在直线BD上，因此，这种情况不存在，综上所述，点Q的坐标为或.。
2020年中考数学二轮专题——二次函数与几何图形综合(压轴)题型(含详细解答)
2020年中考数学二轮专题——二次函数与几何图形综合（压轴）题型一、基础过关1. (2019宿迁)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为(1，0)，与y轴交于点C(0，－3)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图①，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠P AB＝2∠ACO.求点P的坐标；(3)如图②，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N.请问DM＋DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．第1题图2. (2019贺州)如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为(－1，0)，且OA＝OC＝4OB，抛物线y ＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象经过A，B，C三点．(1)求A，C两点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P 的坐标及PD的最大值．第2题图二、能力提升1. (2019菏泽)如图，抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C (0，－2)，点A 的坐标是(2，0)，P 为抛物线上的一个动点，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，交直线BC 于点E ，抛物线的对称轴是直线x ＝－1.(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点P 在第二象限内，且PE ＝14OD ，求△PBE 的面积；(3)在(2)的条件下，若M 为直线BC 上一点，在x 轴的上方，是否存在点M ，使△BDM 是以BD 为腰的等腰三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．第1题图三、满分冲关1. (2019襄阳)如图，在直角坐标系中，直线y ＝－12x ＋3与x 轴，y 轴分别交于点B ，点C ，对称轴为x＝1的抛物线过B , C 两点，且交x 轴于另一点A ，连接A C.(1)直接写出点A ，点B ，点C 的坐标和抛物线的解析式；(2)已知点P 为第一象限内抛物线上一点，当点P 到直线BC 的距离最大时，求点P 的坐标； (3)抛物线上是否存在一点Q (点C 除外)，使以点Q ，A ，B 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．第1题图2、(2019滨州)如图①，抛物线y ＝－18x 2＋12x ＋4与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，C ，将直线AB 绕点A 逆时针旋转90°，所得直线与x 轴交于点D .(1)求直线AD 的函数解析式；(2)如图②，若点P 是直线AD 上方抛物线上的一个动点． ①当点P 到直线AD 的距离最大时，求点P 的坐标和最大距离； ②当点P 到直线AD 的距离为524时，求sin ∠P AD 的值．3、(2019金牛区一诊)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴的两个交点分别为A (－3，0)、B (1，0)，与y 轴交于点D (0，3)，过顶点C 作CH ⊥x 轴于点H .(1)求抛物线的解析式和顶点C 的坐标；(2)连接AD 、CD ，若点E 为抛物线上一动点(点E 与顶点C 不重合)，当△ADE 与△ACD 面积相等时，求点E 的坐标；(3)若点P 为抛物线上一动点(点P 与顶点C 不重合)，过点P 向CD 所在的直线作垂线，垂足为点Q ，以P 、C 、Q 为顶点的三角形与△ACH 相似时，求点P 的坐标．第1题图备用图参考答案一、基础过关1. 解：(1)把A (1，0)，C (0，－3)代入y ＝x 2＋bx ＋c 得，⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝0c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2c ＝－3， ∴抛物线的函数表达式为y ＝x 2＋2x －3；(2)如解图，作点A 关于y 轴的对称点A ′，连接A ′C ，作AD ⊥A ′C 于点D ， ∴点A ′的坐标为(－1，0)， 则AA ′＝2，OC ＝3，A ′C ＝10， ∵S △A ′AC ＝12AA ′·OC ＝12A ′C ·AD ，∴AD ＝AA ′·OC A ′C ＝3105，在Rt △A ′AD 中，∵A ′D 2＋AD 2＝A ′A 2， ∴A ′D 2＋(3105)2＝22.解得A ′D ＝105(负值已舍去)， ∴DC ＝4105，∴tan ∠ACA ′＝AD DC ＝34. 由对称可得∠ACD ＝2∠ACO ，则∠P AB ＝∠ACA ′， 设P (a ，a 2＋2a －3)，①如解图，当点P 在x 轴的上方时，作P 1H 1⊥x 轴于点H 1， ∴tan ∠P 1AB ＝P 1H 1AH 1＝a 2＋2a －31－a ＝34，解得a 1＝1(舍)，a 2＝－154，把a ＝－154代入得P (－154，5716)；②如解图，当点P 在x 轴的下方时，作P 2H 2⊥x 轴于点H 2， ∴tan ∠P 2AB ＝P 2H 2AH 2＝－a 2－2a ＋31－a ＝34，解得a 3＝1(舍)，a 4＝－94，把a ＝－94代入得P (－94，－3916)，综上所述，点P 的坐标为(－154，5716)或(－94，－3916)；第1题解图(3)是．设Q (m ，m 2＋2m －3)，则－3＜m ＜1. 设直线AQ 的解析式为y ＝k 1x ＋b 1，把A (1，0)，Q (m ，m 2＋2m －3)，代入解析式解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝m ＋3b 1＝m －3， ∴y ＝(m ＋3)x －m －3， 当x ＝－1时，y ＝－2m －6， 设直线BQ 的解析式为y ＝k 2x ＋b 2，把B (－3，0)，Q (m ，m 2＋2m －3)代入y ＝k 2x ＋b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝m －1b 2＝3m －3，∴y ＝(m －1)x ＋3m －3， 当x ＝－1时，y ＝2m －2， ∴DM ＝2m ＋6，DN ＝－2m ＋2， ∴DM ＋DN ＝2m ＋6－2m ＋2＝8. 2. 解：(1)∵B (－1，0)， ∴OB ＝1.又∵OA ＝OC ＝4OB ， ∴OA ＝OC ＝4， ∴A (4，0)，C (0，－4)；(2)将A 、B 、C 三点坐标代入y ＝ax 2＋bx ＋c 得，⎩⎪⎨⎪⎧16a ＋4b ＋c ＝0a －b ＋c ＝0c ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－3c ＝－4， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2－3x －4；(3)如解图，过点P 作PE ⊥x 轴交AC 于点E ， ∴PE ∥y 轴． ∵OA ＝OC ，∴∠PED ＝∠OCA ＝45°， ∴△DEP 为等腰直角三角形， ∴PD ＝22PE ， ∴当PE 取得最大值时，PD 取得最大值， 易得直线AC 的解析式为y ＝x －4， 设P (x ，x 2－3x －4)，则E (x ，x －4)，则PE ＝(x －4)－(x 2－3x －4)＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4， ∵0＜x ＜4，∴当x ＝2时，PE 取得最大值，最大值为4， 此时PD 取得最大值，最大值为4×22＝22，∴点P 的坐标为(2，－6)．第2题解图二、能力提升1. 解：(1)∵抛物线与x 轴交于A ，B 两点，点A 的坐标为(2，0)，抛物线的对称轴为直线x ＝－1， ∴点B 的坐标为(－4，0)．∴设抛物线的函数表达式为y ＝a (x ＋4)(x －2)，将点C (0，－2)代入得－8a ＝－2，解得a ＝14.∴抛物线的函数表达式为y ＝14(x ＋4)(x －2)＝14x 2＋12x －2；(2)设点P 的坐标为(x ，14x 2＋12x －2)，则点D 的坐标为(x ，0)，设BC 所在直线的表达式为y ＝kx ＋b ， 将B (－4，0)，C (0，－2)代入得，⎩⎪⎨⎪⎧－4k ＋b ＝0b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12b ＝－2， ∴BC 所在直线的表达式为y ＝－12x －2.∴点E 的坐标为(x ，－12x －2)．∴PE ＝14x 2＋x .∵PE ＝14OD ，∴14x 2＋x ＝－14x ，即14x 2＋54x ＝0， 解得x ＝－5或x ＝0(舍)． ∴PE ＝54，BD ＝1，∴S △PBE ＝12PE ·BD ＝12×54×1＝58；(3)存在．①当DM ＝DB ＝1时，如解图①，过点M 作MF ⊥x 轴于点F ， 设M (m ，－12m －2)，则MF ＝－12m －2，DF ＝－m －5，∵MF 2＋DF 2＝DM 2，∴(－12m －2)2＋(－m －5)2＝1，解得m ＝－285或m ＝－4(舍去)．∴点M 的坐标为(－285，45)；第1题解图①②当BD ＝BM ＝1时，如解图②，过点M 作x 轴的垂线，垂足为N ， ∵DE ⊥x 轴， ∴DE ∥MN ，∴BN ∶BD ＝BM ∶BE ，∴BN ∶1＝1∶BE . ∵E (－5，12)，∴DE ＝12，∴BE ＝52， ∴BN ∶1＝1∶52，解得BN ＝255. ∴点M 的横坐标为－4－255，将x ＝－4－255代入y ＝－12x －2，得y ＝55，即点M 的坐标为(－4－255，55)．综上所述，点M 的坐标为(－285，45)或(－4－255，55)．第1题解图②三、满分冲关1. 解：(1)A (－4，0)，B (6，0)，C (0，3)，抛物线的解析式为y ＝－18x 2＋14x ＋3；【解法提示】令y ＝－12x ＋3＝0，解得x ＝6，令x ＝0，得y ＝3，∴B (6，0)，C (0，3)．∵抛物线的对称轴为x ＝1，且过点B 、A ，∴抛物线与x 轴的另一交点A 坐标为(－4，0)，设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋4)(x －6)，将点C (0，3)代入得－24a ＝3，解得a ＝－18.∴y ＝－18(x ＋4)(x －6)＝－18x 2＋14x ＋3(2)如解图①，过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，交BC 于点Q ，过点P 作PH ⊥BC 于点H . ∵OC ＝3，OB ＝6， ∴BC ＝OC 2＋OB 2＝3 5. 又∵∠HQP ＝∠GQB ， ∴∠HPQ ＝∠CBO ， ∴sin ∠HPQ ＝sin ∠CBO ＝55. 故点P 到直线BC 的距离最大，即PQ 最大． 设P (m ，－18m 2＋14m ＋3)，Q (m ，－12m ＋3)，∴PQ ＝－18m 2＋14m ＋3－(－12m ＋3)＝－18(m －3)2＋98.∵－18＜0，∴当m ＝3时，PQ 有最大值为98.∴P (3，218)；第1题解图①(3)存在．由(1)得A (－4，0)、B (6，0)、C (0，3)， ∴AB ＝10，AC ＝32＋42＝5. 分为两种情况分类讨论：①当△ABC ∽△AQB 时，如解图②所示． ∴AC AB ＝ABAQ，∠CAB ＝∠BAQ . ∴AQ ＝AB 2AC ＝1025＝20，过点Q 作QD ⊥x 轴，垂足为点D ， ∴QD ＝AQ ·sin ∠BAQ ＝20×35＝12，AD ＝AQ ·cos ∠BAQ ＝20×45＝16.∴Q (12，－12)．第1题解图②②当△ABC ∽△BQA 时，如解图③所示， ∴AB BQ ＝ACAB，∠CAB ＝∠ABQ . ∴BQ ＝AB 2AC＝20，过点Q 作QE ⊥x 轴，垂足为E ，同理可得QE ＝BQ ·sin ∠ABQ ＝20×35＝12，BE ＝BQ ·cos ∠ABQ ＝20×45＝16， ∴Q (－10，－12)．综上所述，点Q 的坐标是(12，－12)或(－10，－12)．第1题解图③2、解：(1)抛物线y ＝－18x 2＋12x ＋4， 令x ＝0，可得A 点的坐标为(0，4)，令y ＝0，可得B 点的坐标为(－4，0)，C 点的坐标为(8，0)．易得直线AB 的函数解析式为y ＝x ＋4，∵OA ＝OB ，∴∠BAO ＝45°.又∵直线AD 由直线AB 逆时针旋转90°而来，∴∠BAD ＝90°，∴∠OAD ＝45°，△OAD 为等腰直角三角形，∴OD ＝OA ＝4，D (4，0)，易得直线AD 的函数解析式为y ＝－x ＋4；(2)①如解图①，过点P 作PE ⊥x 轴交AD 于点E ，PF ⊥AD 于点F ，第1题解图①易得△PEF 为等腰直角三角形，∴PF ＝22PE ， ∴当PE 取得最大值时，PF 取得最大值，设P (x ，－18x 2＋12x ＋4)， 则E (x ，－x ＋4)，∴PE ＝－18x 2＋12x ＋4－(－x ＋4)＝－18x 2＋32x ＝－18(x －6)2＋92， ∴当x ＝6时，PE 有最大值92， 此时PF 有最大值924， ∴当x ＝6时，－18x 2＋12x ＋4＝52， ∴当点P 到直线AD 的距离最大时，点P 的坐标为(6，52)，最大距离为924； ②如解图②，连接AP ，过点P 作PE ⊥x 轴，交AD 于点E ，PF ⊥AD 于点F ，当点P 到AD 的距离为524时，PF ＝524， 则此时PE ＝2PF ＝52， 将PE ＝52代入PE ＝－18(x －6)2＋92中， 解得x 1＝10，x 2＝2，∴此时点P 的坐标为(10，－72)或(2，92)， 当点P 的坐标为(2，92)时，AP ＝22＋（92－4）2＝172， ∴sin ∠P AD ＝524172＝53434； 当点P 的坐标为(10，－72)时， AP ＝102＋（－72－4）2＝252， ∴sin ∠P AD ＝PF AP ＝524252＝210. 综上，sin ∠P AD 的值是53434或210.3、1. 解：(1)把点A 、B 、D 的坐标分别代入抛物线的解析式中得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝09a －3b ＋c ＝0c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－2c ＝3，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3，∴抛物线的对称轴为直线x ＝－b 2a＝－1， ∴点C 的坐标为(－1，4)；(2)如解图①，过点C 作CE ∥AD 交抛物线于点E ，交y 轴于点T ，则△ADE 与△ACD 面积相等，直线AD 过点D ，设其解析式为y ＝mx ＋3，将点A 的坐标代入得：0＝－3m ＋3，解得m ＝1，则直线AD 的解析式为y ＝x ＋3，∵CE ∥AD ，设直线CE 的解析式为y ＝x ＋n ，将点C 的坐标代入上式得：4＝－1＋n ，解得n ＝5，则直线CE 的解析式为y ＝x ＋5，则点T 的坐标为(0，5)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－2x ＋3y ＝x ＋5， 解得x ＝－1或x ＝－2(x ＝－1为点C 的横坐标)，即点E 的坐标为(－2，3)；在y 轴取一点H ′，使DT ＝DH ′＝2，过点H ′作直线E ′E ″∥AD ，则△ADE ′和△ADE ″都与△ACD 面积相等，同理可得直线E ′E ″的解析式为y ＝x ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－2x ＋3y ＝x ＋1， 解得x ＝－3±172， ∴点E ″、E ′的坐标分别为(－3＋172，－1＋172)、(－3－172，－1－172)， 综上，满足要求的点E 的坐标为(－2，3)或(－3＋172，－1＋172)或(－3－172，－1－172)；第1题解图①(3)如解图②，设点P 的坐标为(m ，n )，则n ＝－m 2－2m ＋3，把点C 、D 的坐标代入一次函数的解析式y ＝kx ＋b 得：⎩⎪⎨⎪⎧4＝－k ＋b b ＝3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1b ＝3， 即直线CD 的解析式为y ＝－x ＋3，由(1)得，直线AD 的解析式为y ＝x ＋3，∴AD ⊥CD ，而直线PQ ⊥CD ，故直线PQ 的解析式中的k 值与直线AD 的解析式中的k 值相同， 同理可得直线PQ 的解析式为y ＝x ＋(n －m )，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋3y ＝x ＋（n －m ）， 解得x ＝3＋m －n 2，即点Q 的坐标为(3＋m －n 2，3－m ＋n 2)， 则PQ 2＝(m －3＋m －n 2)2＋(n －3－m ＋n 2)2＝（m ＋n －3）22＝12(m ＋1)2·m 2， 同理可得：PC 2＝(m ＋1)2[1＋(m ＋1)2]，AH ＝2，CH ＝4，则AC ＝25，当△ACH ∽△CPQ 时，PC PQ ＝AC CH ＝52， 即4PC 2＝5PQ 2，整理得3m 2＋16m ＋16＝0，解得m ＝－4或m ＝－43， ∴点P 的坐标为(－4，－5)或(－43，359)； 当△ACH ∽△PCQ 时，同理可得，点P 的坐标为(－23，359)或(2，－5)， 综上所述，点P 的坐标为(－4，－5)或(－43，359)或(－23，359)或(2，－5)．第1题解图②。
九年级数学 中考二轮专项复习：二次函数与几何综合(含答案)
中考数学 二轮专项复习：二次函数与几何综合（含答案）1.如图,已知直线y 1=21x +b 和抛物线y 2=-45x 2+ax +b 都经过点B （0,1）和点C ,过点C 作CM ⊥x轴于点M ,且CM =25.第1题图（1）求出抛物线的解析式;（2）动点P 从点O 出发,以每秒1个单位长度的速度,沿OM 向点M运动,过点P 作PE ⊥x 轴分别交抛物线和直线于点E ,F .当点P 运动多少秒时,四边形EFMC 为菱形?（3）在（2）的条件下,在直线AC 上是否存在一点Q ,使得以点E 、F 、Q 为顶点的三角形与△AMC 相似,若存在,请直接写出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.解：（1）把B (0,1)代入y 1=21x +b ,得b =1,∴y 1=21x +1,把y =25代入y 1=21x +1得x =3, ∴C （3,25）,把B (0,1),C （3,25）代入y 2=-45x 2+ax +b 得,⎪⎩⎪⎨⎧=++-=2534451b a b ,解得⎪⎩⎪⎨⎧==4171a b , ∴y 2=-45x 2+417x +1.（2）∵四边形EFMC 为菱形, 则EF =FM =CM =25, 设P (t ,0),则EP =-45t 2+417t +1,FP =21t +1,MP =3-t ,则EF =EP -FP =-45t 2+417t +1-21t -1=-45t 2+415t , FM =10545222+-=+t t PM PF ,∴-45t 2+415t=25①,105452+-t t =25②, 解①得t =1或t =2,解②得t =1或t =3,要使①,②同时成立,则t =1, 当点P 运动1秒时,四边形EFMC 为菱形; （3）存在,点Q 的坐标为（2,2）或（6,4）. 【解法提示】由（2）可知t =1,∴点F 的横坐标为1, 将x =1代入y 1=21x +1中,得y 1=23, 将x =1代入y 2=-45x 2+417x +1中,得y 2=4. ∴点E （1,4）,F （1,23）, 将y =0代入y 1=21x +1中,得x =-2,∴点A 的坐标为（-2,0）, ①如解图,过点E 作EQ 1⊥CF ,∵四边形EFMC 为菱形,∴∠ECF =∠ACM ,FE =EC ,∴∠EFC =∠ECF =∠ACM ,又∵∠EQ 1F =∠AMC =90°,∴△EQ 1F ∽△AMC ,∵EF =EC ,EQ 1⊥CF ,∴Q 1为CF 的中点,∵F （1,23）,C （3,25）, ∴点Q 1的坐标为（2,2）;第1题解图②如解图,过点E 作EQ 2//x 轴,交直线BC 于点Q 2,∵EQ 2//x 轴,∴∠EQ 2F =∠CAM ,∠Q 2EF =∠FP A =90°,∴∠Q 2EF =∠AMC =90°,∴△EQ 2F ∽△MAC ,又∵E （1,4）,∴设Q 2（x ,4）, 将y =4代入y 1=21x +1,得x =6, ∴点Q 2的坐标为（6,4）;综上所述,点Q 的坐标为（2,2）或（6,4）.2.如图，一次函数y ＝21x ＋1的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，二次函数y ＝21x 2＋bx ＋c 的图象与一次函数y ＝21x ＋1的图象交于B 、C 两点，与x 轴交于D 、E 两点且D 点坐标为(1，0)．第2题图（1）求二次函数的解析式；（2）若抛物线上存在点P ，使S △BDC ＝S △PBC ，求出P 点坐标(不与已知点重合)；（3）在x 轴上存在点N ，平面内存在点M ，使得B 、N 、C 、M 为顶点构成矩形，请直接写出M 点坐标．解：（1）将x ＝0代入y ＝21x ＋1中，得：y ＝1， ∴B (0，1)，将B (0，1)，D (1，0)的坐标代入y ＝21x 2＋bx ＋c 得：⎪⎩⎪⎨⎧=++=0211c b c ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=123c b ， ∴二次函数的解析式为y ＝21x 2－23x ＋1； （2）如解图①，过点D 作DF ∥y 轴交AC 于点F ，过点P 作PG ∥y 轴交AC 于点G ，第2题解图①将x ＝1代入直线BC 的解析式得：y ＝23，即F (1，23)， 设点P (x ，21x 2－23x ＋1)， 则G (x ，21x ＋1)， ∴GP ＝⎪⎭⎫⎝⎛+--+123211212x x x ＝x x 2212+-.∵△PBC 的面积＝△DBC 的面积， ∴DF ＝GP ，即x x 2212+-＝23， 当x x 2212+-＝-23时，解得x ＝2＋7或x ＝2－7，∴点P 的坐标为(2＋7，277+)或(2－7，277-)， 当x x 2212+-＝23时，解得x ＝3或x ＝1(舍去)，∴点P 的坐标为(3，1)，综上所述，点P 的坐标为(3，1)或(2＋7，277+)或(2－7，277-)； （3）点M 的坐标为(3，4)，(1，4)，(23，－2)或(29，2)． 【解法提示】如解图②所示：当∠CBN ＝90°时，则BN 的解析式为y ＝－2x ＋1，将直线BC 的解析式与抛物线的解析式联立得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=123211212x x y x y ，解得⎩⎨⎧==10y x ，或⎩⎨⎧==34y x ，∴点C 的坐标为(4，3)，将y ＝0代入直线BN 的解析式得：－2x ＋1＝0，解得x ＝21，∴点N 的坐标为(21，0)，设点M 的坐标为(x ，y )， ∵四边形BNMC 为矩形，∴202421x +=+，21230y +=+， 解得x ＝29，y ＝2，∴点M 的坐标为(29，2)；第2题解图②如解图③所示：当∠CNM ＝90°时，第2题解图③设CN 的解析式为y ＝－2x ＋n ，将点C 的坐标代入得：－8＋n ＝3， 解得n ＝11，∴CN 的解析式为y ＝－2x ＋11， 将y ＝0代入得－2x ＋11＝0， 解得x ＝211， ∴点N 的坐标为(211，0)， 设点M 的坐标为(x ，y )， ∵四边形BMNC 为矩形， ∴2422110x +=+，23201y +=+，解得x ＝23，y ＝－2，∴点M 的坐标为(23，－2)； 如解图④所示：当∠BNC ＝90°时，过点C 作CF ⊥x 轴，垂足为F ，第2题解图④设ON ＝a ，则NF ＝4－a ，∵∠BNO ＋∠OBN ＝90°，∠BNO ＋∠CNF ＝90°，∴∠OBN ＝∠CNF ， 又∵∠BON ＝∠CFN ， ∴△BON ∽△NFC ， ∴NF OB CF ON =，即3a ＝a-41，解得：a ＝1或a ＝3， 当a ＝1时，点N 的坐标为(1，0)，设点M 的坐标为(x ，y )， ∵四边形BNCM 为矩形， ∴21240x +=+，20231y+=+， 解得x ＝3，y ＝4， ∴点M 的坐标为(3，4)；当a ＝3时，点N 的坐标为(3，0 )，设点M 的坐标为(x ，y )， ∵四边形BNCM 为矩形， ∴23240x +=+，20231y+=+， 解得x ＝1，y ＝4， ∴点M 的坐标为(1，4)，综上所述，点M 的坐标为(3，4)，(1，4)，(23，－2)或(29，2)．3. 如图,在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,抛物线y =ax 2-bx +5与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交点为C ,直线y =-x -2经过点A ,交抛物线于点D ,交y 轴于点E ,连接CD ,并且∠ADC =45°.第3题图（1）求抛物线的解析式;（2）过点A 的直线AF 与抛物线的另一个交点为F ,sin ∠BAF =55,求点F 的坐标; （3）在（2）的条件下,点P 是直线AF 下方抛物线上一点,过点P 作PQ ⊥AF ,垂足为Q ,若PE =EQ ,求点P 的坐标.解：（1）当x =0时,y =ax 2+bx-5=-5,则C （0,-5）, 当y =0时,-x -2=0,则A （-2,0）, 当x =0时,y =-x -2=0,则E （0,-2）, ∴OA =OE ,∴△OAE 为等腰直角三角形,∴∠OAE =45°, ∵∠ADC =45°, ∴CD //x 轴,∴△CDE 为等腰直角三角形, ∴CD =CE =3,∴D （3,-5）,把A （-2,0）,D （3,-5）代入y =ax 2+bx -5,得⎩⎨⎧-=-+=--55390524b a b a ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==2321b a ,∴抛物线的解析式为y =21x 2-23x -5；（2）设直线AF 交y 轴于G ,如解图①, 在Rt △AOG 中,sin ∠OAG =5155==AG OG ,第3题解图①G设OG=t,AG=5t,∴OA=22)5(tt-=2t,∴2t=2,解得t=1,∴G（0,1）,易得直线AG的解析式为y=21x+1,联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+=523211212xxyxy,解得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-=462yxyx或,∴点F的坐标为（6,4）;（3）作EM⊥PQ于M,如解图②,∵PQ⊥AF,∴设PQ的解析式为y=-2x+m,第3题解图②∵EM//AF,∴EM的解析式为y=21x-2,联立⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=mxyxy2121,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=54515252mymx,则Q （54515252+-m m ，）,设点P 的坐标为（a ,b ）,∵EQ =EP ,∴QM =PM ,∴M 点的坐标为[21(a +52m -52),21(b +5451+m )], 把M [21(a +52m -52),21(b +5451+m )]代入y =21x -2 得41(a +52m -52)-2=21(b +5451+m ), ∴b =21a -5,即P （a ,21a -5）,把P （a ,21a -5）代入y =21x 2-23x -5得21a 2-23a -5=21a -5,解得a 1=0,a 2=4, ∴P 点坐标为（0,-5）或（4,-3）.类型二 等腰三角形的存在性问题4. 如图，抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (－1，0)、B 两点，与y 轴交于点C (0，2)，抛物线的对称轴交x 轴于点D .第4题图（1）求抛物线的解析式； （2）求sin ∠ABC 的值；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形，如果存在，直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．解：（1）将点A (－1，0)，C (0，2)代入抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 中，得 ⎩⎨⎧－12－b ＋c ＝0c ＝2，解得⎩⎨⎧b ＝32c ＝2， ∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋32x ＋2； （2）令y ＝－12x 2＋32x ＋2＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝4， ∴点B 的坐标为(4，0)，在Rt △BOC 中，BC ＝22OB OC +＝2242+＝52， ∴sin ∠ABC ＝BC OC＝522＝55；（3）存在，点P 坐标为(23，25)或(23，－25)或(23，4)．【解法提示】由抛物线y ＝－21x 2＋23x ＋2得对称轴为直线x ＝23， ∴点D 的坐标为(23，0)． ∴CD ＝22OD OC +＝22232⎪⎭⎫⎝⎛+＝25.∵点P 在对称轴x ＝23上，且△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形， ∴当点D 为顶点时，有DP ＝CD ＝25， 此时点P 的坐标为(23，25)或(23，－25)；当点C 为顶点时，如解图，连接CP ，则CP ＝CD ，过点C 作CG ⊥DP 于点G ，则DG ＝PG ， ∵DG ＝2， ∴PG ＝2，PD ＝4， ∴点P 的坐标为(32，4)．第4题解图综上所述，存在点P 使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形，点P 的坐标为(32，25)或(32，－25)或(32，4)．5.如图①，在平面直角坐标系中，抛物线()02≠++=a c bx ax y 与直线3333+=x y 交于A 和E ⎪⎪⎭⎫⎝⎛3354，两点，与x 轴交于点B （3,0），与y 轴交于点C （0，3-），对称轴与x 轴交于点D ，顶点为点H .（1）求抛物线的解析式；（2）点P 为抛物线上的一动点，且位于直线AE 下方，过点P 作PM ∥y 轴交直线AE 于点M ，求线段PM 的最大值；（3）如图②，连接CD ，将（1）中抛物线沿射线CD 平移得到新抛物线y ’，y ’经过点D ，y ’的顶点为点F ，在直线HF 上，是否存在点Q ，使△DHQ 为等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.图① 图②第5题图解：：（1）将点B （3,0）、C （0，3-）、E （4，335）的坐标代入c bx ax y ++=2中，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++-==++3354163039c b a c c b a ，解得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=-==333233c b a ， ∴抛物线的解析式为3332332--=x x y ； （2）令y =0，即03332332=--x x ，解得x 1=-1,x 2=3, ∴点A （-1,0），设直线AE 的解析式为t kx y +=，将点A 、E 的坐标代入得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-33540t k t k ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3333t k ， ∴直线AE 的解析式为3333+=x y ， 设点P 的坐标为（m ，3332332--m m ）， 则点M 的坐标为（m ，3333+m ），且-1＜m ＜4. ∴PM =（3333+m ）-（3332332--m m ） =3343332++-m m =1232523332+⎪⎭⎫ ⎝⎛--m ， ∵33-＜0，1＜m ＜4. ∴当m =23时，PM 有最大值，其最大值为12325；（1）存在，由（1）易得H （1，334-），D （1,0）， ∵将（1）中抛物线沿射线CD 平移得到新抛物线y'，y'经过点D ，y'的顶点为点F ， ∴F （2，33-）， 易得直线HF 的解析式为3373-=x y ，设点Q 的坐标为（n ，3373-n ）， ∴DQ 2=()35216433731222+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-n n n n ， HQ 2=()48433433731222+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-n n n n ， DH 2=3163342=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-，当DQ =HQ 时，DQ 2=HQ 2，则3521642+-n n =4842+-n n ， 解得35=n ，∴点Q （33235-，）； 当DQ =DH 时，DQ 2=DH 2，则3521642+-n n =316， 解得n =3或1， ∵点H 与点Q 不重合， ∴n =1（舍去），∴Q （3323，）；当HQ =DH 时，HQ 2=DH 2，则4842+-n n =316， 解得n =3321+或3321-， ∴Q （3321+，3342-）或Q （3321-，3342--）； 综上所述，存在点Q ，使得△DHQ 为等腰三角形，点Q 的坐标为（33235-，）或（3323，）或（3321+，3342-）或（3321-，3342--）. 类型三 直角三角形的存在性问题6. 如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为直线x ＝－1，且经过A (1，0)，C (0，3)两点，与x 轴的另一个交点为B .第6题图(1)若直线y ＝mx ＋n 经过B ，C 两点，求抛物线和直线BC 的解析式；(2)在抛物线的对称轴x ＝－1上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求点M 的坐标；(3)设点P 为抛物线的对称轴x ＝－1上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．解：（1）由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++-=-3012c c b a a b，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=321c b a ，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3.∵对称轴为直线x ＝－1，抛物线经过A (1，0)， ∴B (－3，0)．设直线BC 的解析式y ＝mx ＋n ，把B (－3，0)，C (0，3)分别代入y ＝mx ＋n 得⎩⎨⎧==+-303n n m ，解得⎩⎨⎧==31n m ， ∴直线BC 的解析式为y ＝x ＋3； （2）如解图，连接MA ，第6题解图∵MA ＝MB ，∴MA ＋MC ＝MB ＋MC .∴使MA ＋MC 最小的点M 应为直线BC 与对称轴x ＝－1的交点．设直线BC 与对称轴x ＝－1的交点为M ，把x ＝－1代入直线y ＝x ＋3，得y ＝2. ∴M (－1，2);（3）设P (－1，t )，∵B (－3，0)，C (0，3)，∴BC 2＝18， PB 2＝(－1＋3)2＋t 2＝4＋t 2， PC 2＝(－1)2＋(t －3)2＝t 2－6t ＋10.①若B 为直角顶点，则BC 2＋PB 2＝PC 2，即18＋4＋t 2＝t 2－6t ＋10，解得t ＝－2； ②若C 为直角顶点，则BC 2＋PC 2＝PB 2，即18＋t 2－6t ＋10＝4＋t 2，解得t ＝4； ③若P 为直角顶点，则PB 2＋PC 2＝BC 2，即：4＋t 2＋t 2－6t ＋10＝18，解得t 1＝3＋172，t 2＝3－172.综上所述，满足条件的点P 共有四个，分别为：P 1(－1，－2)，P 2(－1，4)，P 3(－1，3＋172)，P 4(－1，3－172)．7. 如图,抛物线y ＝－43x 2＋bx ＋c 经过A (3,0),C (－1,0)两点,与y 轴交于B 点．第7题图备用图（1）求抛物线的解析式;（2） D 为第一象限抛物线上的一点,连接CD 交AB 于点E ,当CE ＝2ED 时,求点D 的坐标; （3）点P 以每秒3个单位长度的速度从点O 出发,沿O →B →A 匀速运动,同时点Q 以每秒1个单位长度的速度从点C 出发,沿C →A 匀速运动,运动时间为t 秒,当一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动,是否存在t ,使以A 、P 、Q 为顶点的三角形为直角三角形,若存在,直接写出t 的值;若不存在,说明理由．解：（1）∵抛物线y ＝c bx x ++-234经过A (3,0)、C (-1,0)两点,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=++⨯-034033342c b c b ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==438c b ,∴抛物线的解析式为y ＝438342++-x x ; （2）如解图,作DF ∥AC 交AB 于点F ,第7题解图∴∠EAC ＝∠EFD ,∠ECA ＝∠EDF , ∴△ACE ∽△FDE , ∴FD AC ＝DE CE ＝DE 2DE ＝12, ∵AC ＝4,∴FD ＝2,设D (x ,y ),则F (x -2,y ), 令x ＝0,得y ＝4, ∴B (0,4),过点F 作FM ⊥x 轴于点M , ∴△AMF ∽△AOB , ∴AM OA ＝FM OB , ∴3－（x －2）3＝y 4＝－43x 2＋83x ＋44,解得x 1＝1,x 2＝2, ∴y 1＝163,y 2＝4, ∴D 1(1,163),D 2(2,4);（3）存在．t 1＝－1＋136,t 2＝1,t 3＝74,t 4＝114. 【解法提示】∵当P 在OB 上时,OP ＝3t ,CQ ＝t , ∴AQ ＝4-t ,要使△APQ 是直角三角形,则需①∠AQP ＝90°,此时点Q 与点O 重合,CQ ＝1,则t ＝1; ②∠APQ ＝90°,此时△PQO ∽△APO , ∴OQ OP ＝OPOA ,即(3t )2＝(1-t )·3,解得t 1＝13－16,t 2＝－13－16(负根舍去)．当点P 在AB 上,在Rt △AOB 中,OA ＝3,OB ＝4,易得AB ＝5, 则此时AP ＝9-3t ,AQ ＝4-t , ③当∠PQA ＝90°时,则PQ ⊥AO ,∴cos ∠P AQ ＝QA AP ＝OA AB ,即4－t 9－3t ＝35,解得t ＝74;④当∠QP A＝90°时,则△APQ∽△AOB,∴APAO＝AQAB,即9－3t3＝4－t5,解得t＝114.综上所述,t的值为1或13－16或74或114.8.如图，抛物线cbxaxy++=2与x轴交于点A（-3,0），B（1,0），与y轴交于点C（0,3），顶点为D.（1）求抛物线的表达式及点D的坐标；（2）如图①，在x轴上找一点E，使得△CDE的周长最小，求点E的坐标；（3）如图②，F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．图①图②第8题图解：（1）∵A，B，C三点在抛物线上，∴,321339⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=cbaccbacba，解得∴抛物线的表达式y＝－x2－2x＋3，∵y＝－x2－2x＋3=()412++-x，∴点D的坐标为（-1,4）；（2）如解图①，作点C关于x轴的对称点M，则M(0，－3)，连接DM，DM与x轴的交点为E，连接CE，此时△CDE的周长最小，第8题解图①设直线DM 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，将D (－1，4)，M (0，－3)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎨⎧-==+-34b b k ，解得⎩⎨⎧-=-=37b k ， ∴直线DM 的解析式为y ＝－7x －3， 令y ＝0，则y ＝－7x －3＝0， 解得x ＝－37，∴点E 的坐标为(－37，0)． （3）存在．由（1）知，OA ＝OC ＝3，∠AOC ＝90°， ∴∠CAB ＝45°，如解图②，第8题解图②①当∠AFP ＝90°时，即∠AF 1P 1＝90°，∴点P 1既在x 轴上，又在抛物线上，则点P 1与点B 重合，点P 1的坐标为(1，0)； ②当∠F AP ＝90°时，即∠F 2AP 2＝90°，则∠P 2AO ＝45°，设AP 2与y 轴的交点为点N ，∴OA ＝ON ＝3，则N (0，－3)， ∴直线AP 2的解析式为y ＝－x －3，联立抛物线与直线AP 2的解析式，得方程组⎩⎨⎧+--=--=3232x x y x y ， 解得⎩⎨⎧=-=03y x 或⎩⎨⎧-==52y x ，∵A (－3，0)， ∴P 2(2，－5)；③当∠APF ＝90°时，即∠AP 3F 3＝90°，点P 3既在x 轴上，又在抛物线上，则点P 3与点B 重合，点P 3的坐标为(1，0)．综上所述，抛物线上存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形，其坐标为P (1，0)或(2，－5)．类型四 特殊四边形的存在性问题9. 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与y 轴交于点C (0，4)，与x 轴交于点A 和点B ，其中点A 的坐标为(－2，0)，抛物线的对称轴x ＝1与抛物线交于点D ，与直线BC 交于点E . (1)求抛物线的解析式；(2)若点F 是直线BC 上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F ，使四边形ABFC 的面积为17？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)平行于DE 的一条直线l 与直线BC 相交于点P ，与抛物线相交于点Q ，若以D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标．第9题图解：（1）∵点A (－2，0)与点B 关于直线x ＝1对称，∴B (4，0)，将点A ，B ，C 的坐标代入函数解析式，得⎪⎩⎪⎨⎧==++=+-40416024c c b a c b a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=4121c b a ，∴抛物线的解析式为y ＝21-x 2＋x ＋4；（2）不存在点F ，使四边形ABFC 的面积为17，理由如下：∵B (4，0)，C (0，4)， ∴BC 的解析式为y ＝－x ＋4，如解图，过点F 作x 轴垂线，交BC 于G ，设F 点的坐标为(m ，21-m 2＋m ＋4)，则G (m ，-m ＋4)，∴FG ＝(21-m 2＋m ＋4)－(－m ＋4)＝21-m 2＋2m ，∴S 四边形ABFC ＝S △ABC ＋S △BCF ＝21AB ·y C ＋21FG ·(x B －x C )＝21×6×4＋12×4(21-m 2＋2m )＝17，整理得m 2－4m ＋5＝0， ∵b 2－4ac ＝16－4×1×5＝－4<0. ∴方程无解， ∴F 点不存在；第9题解图（3）当x ＝1时，21-x 2＋x ＋4＝29，即D (1，29)．当x ＝1时，－x ＋4＝3，即E (1，3)， ∴DE ＝92－3＝32.设Q 点坐标为(m ，－12m 2＋m ＋4)，则P (m ，－m ＋4)． ∴|PQ |＝|(－12m 2＋m ＋4)－(－m ＋4)|＝|－12m 2＋2m |. 由PQ ∥DE ，PQ ＝DE 得|－12m 2＋2m |＝32，∴－12m 2＋2m ＝32或－12m 2＋2m ＝－32，解得m 1＝1(PQ 与DE 重合，舍去)，m 2＝3或m 3＝2＋7，m 4＝2－7.∴P 点坐标为(3，1)或(2＋7，2－7)或(2－7，2＋7)．10．如图，经过点A （3,3）的抛物线bx ax y +=2与x 轴交于点B （4,0）和原点O ，P 为二次函数上一动点，过P 作x 轴垂线，垂足为D (x'，0)(x'>0)，并与直线OA 交于点C .（1）求抛物线的表达式；（2）当点P 在线段OA 上方时，过P 作x 轴的平行线与线段OA 相交于点E ，求△PCE 周长的最大值及此时P 点的坐标；（3）当PC ＝CO 时，求P 点坐标．第10题图解：（1）∵A （3,3），B （4,0）两点在抛物线bx ax y +=2上，∴,4160393⎩⎨⎧+=+=b a b a 解得,41⎩⎨⎧=-=b a ∴抛物线的表达式为x x y 42+-=；（2）如解图①，设点P 的坐标为(x ，－x 2＋4x )，第10题解图①∵点A 坐标为(3，3)；∴∠AOB ＝45°，∴OD ＝CD ＝x ，∴PC ＝PD －CD ＝－x 2＋4x －x ＝－x 2＋3x ，∵PE ∥x 轴，∴△PCE是等腰直角三角形，∴当PC取最大值时，△PCE周长最大．∵PE与线段OA相交，∴0≤x≤1，由PC＝－x2＋3x＝－(x－32)2＋94可知，抛物线的对称轴为直线x＝32，且在对称轴左侧PC随x的增大而增大，∴当x＝1时，PC最大，PC的最大值为－1＋3＝2，∴PE＝2，CE＝，∴△PCE的周长为CP＋PE＋CE＝4＋，∴△PCE周长的最大值为4＋，把x＝1代入y＝－x2＋4x，得y＝－1＋4＝3，∴点P的坐标为(1，3)；（3）设点P坐标为(x，－x2＋4x)，则点C坐标为(x，x)，如解图②，D2第10题解图②①当点P在点C上方时，P1C1＝－x2＋4x－x＝－x2＋3x，OC12x，∵P1C1＝OC1，∴－x2＋3x2x，解得x1＝32x2＝0(舍去)．把x＝32代入y＝－x2＋4x得，y＝－(32)2＋4(32)＝1＋2，∴P1(32，1＋2)，②当点P在点C下方时，P2C2＝x－(－x2＋4x)＝x2－3x，OC22x，∵P2C2＝OC2，∴x2－3x2x，解得x1＝32x2＝0(舍去)，把x ＝3＋2代入y ＝－x 2＋4x 得y ＝－(3＋2)2＋4(3＋2)＝1－22，∴P 2(3＋2，1－22)．综上所述，P 点坐标为(3－2，1＋22)或(3＋2，1－22)．11.如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴分别交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A (－1，0)、C (0，5)、D (1，8)在抛物线上，M 为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）求△MCB 的面积；（3）在抛物线上是否存在点P ，使△P AB 的面积等于△MCB 的面积？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第11题图解：（1）∵A (－1，0)，C (0，5)，D (1，8)三点在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上，∴⎪⎩⎪⎨⎧++==+-=c b a c c b a 850，解得⎪⎩⎪⎨⎧==-=541c b a ， ∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋4x ＋5；（2）如解图，过点M 作MN ∥y 轴交BC 于点N ， ∴S △MCB ＝S △MCN ＋S △MNB ＝12MN ·OB .∵y＝－x2＋4x＋5＝－(x－5)(x＋1)＝－(x－2)2＋9，∴M(2，9)，B(5，0)，由B，C两点的坐标易求得直线BC的解析式为：y＝－x＋5，当x＝2时，y＝－2＋5＝3，则N(2，3)，则MN＝9－3＝6，则S△MCB＝12×6×5＝15；第11题解图（3）在抛物线上存在点P，使△P AB的面积等于△MCB的面积．∵A(－1，0)，B(5，0)，∴AB＝6，∵S△P AB＝S△MCB，∴12×6×|y P|＝15，∴|y P|＝5，即y P＝±5.当y P＝5时，－x2＋4x＋5＝5，解得x1＝0，x2＝4；当y P＝－5时，－x2＋4x＋5＝－5，解得x3＝2＋14，x4＝2－14.故在抛物线上存在点P1(0，5)，P2(4，5)，P3(2＋14，－5)，P4(2－14，－5)，使△P AB的面积等于△MCB的面积．。
2023年中考数学二轮专题复习——专题 二次函数综合题 学案(含答案)
专题辅导——二次函数综合题【题型解读】二次函数综合题是中考的必考题，一方面考查了一次函数、二次函数的图象与性质，几何图形的性质与判定，图形变换等；另一方面考查了方程与函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、数学建模思想等.主要类型包括：线段问题，角度问题，面积问题，全等、相似三角形存在性问题，平行四边形存在性问题，特殊三角形存在性问题等.类型一线段问题方法总结1. 确定线段长两点之间的距离可以根据两点坐标表示线段长度，已知点A（x1，y1），点B（x2，y2），则AB=.在求这类问题时首先应该明白与x 轴平行的直线上的点的纵坐标都相同，且两点间的距离是横坐标相减的绝对值；与y轴平行的直线上的点的横坐标都相同，且两点间的距离是纵坐标相减的绝对值.2. 线段数量关系问题根据前面所得的线段长，结合题干中线段间的数量关系，利用勾股定理或相似三角形对应边成比例，列出方程求解即可.（注意排除不符合题意的数值）3. 求线段最大值问题根据前面所得的线段长的关系式，构建二次函数模型，利用二次函数性质求最值，可得到线段长的最大值（注意自变量的取值范围）；求两条线段和的最小值时，常用“将军饮马”模型.考点例析例1如图1，抛物线y=x2+2x-8与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C.（1）求A，B，C三点的坐标；（2）连接AC，直线x=m（-4<m<0）与该抛物线交于点E，与AC交于点D，连接OD.当OD⊥AC时，求线段DE的长.图1 图2解析：（1）令y=0，得x2+2x-8=0，解得x1=-4，x2=2.所以点A的坐标为（-4，0），点B的坐标为（2，0）.令x=0，得y=x2+2x-8=-8.所以点C的坐标为（0，-8）.（2）设直线AC的解析式为y=kx+b.将A（-4，0），C（0，-8）代入y=kx+b，得408k bb-+=⎧⎨=-⎩，，解得28kb=-⎧⎨=-⎩，.所以直线AC的解析式为y=-2x-8.设E（m，m2+2m-8），则D（m，-2m-8），所以DE=-2m-8-（m2+2m-8）=-m2-4m.如图2，设DE交x轴于点F，则F（m，0），所以FO=-m.所以AF=m-（-4）=m+4，FD=2m+8.因为OD⊥AC，EF⊥OA，所以⊥ODC=⊥COA=⊥OFD=90°.所以⊥ACO+⊥COD=⊥DOF+⊥COD=90°.所以⊥ACO=⊥DOF.所以⊥ACO⊥⊥DOF.所以OAFD=OCFO.所以OC•FD=OA•FO，即8（2m+8）=4（-m），解得m=-165.所以DE=-m2-4m=-2165⎛⎫- ⎪⎝⎭-4×165⎛⎫-⎪⎝⎭=6425.跟踪训练1.如图，已知抛物线y=ax2+bx+4经过A（-1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C.（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，求直线BC的解析式；（3）请在抛物线的对称轴上找一点P，使AP+PC的值最小，求点P的坐标，并求出此时AP+PC的最小值.第1题图类型二角度问题方法总结如果要证明两角相等，可通过平行线、等边对等角、轴对称或相似三角形求解；如果要构造一个45°的角，可通过等腰直角三角形、同弧所对圆周角等于90°圆心角的一半、平分直角等解决；在二倍角的问题中，可利用等腰三角形顶角的外角等于底角2倍，构造2倍角，再利用正切三角函数计算.考点例析例2如图3，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-1，0）和点B，与y轴交于点C，顶点D的坐标为（1，-4）.（1）直接写出抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上且满足⊥PCB=⊥CBD，求点P的坐标.图3 图4解析：（1）由顶点D的坐标为（1，-4），设抛物线的解析式为y=a（x-1）2-4.将A（-1，0）代入y=a（x-1）2-4，得a（-1-1）2-4=0，解得a=1.所以该抛物线的解析式为y=（x-1）2-4=x2-2x-3.（2）因为抛物线对称轴为x=1，A（-1，0），所以点B的坐标为（3，0）.设直线BD的解析式为y=kx+d.将B（3，0），D（1，-4）代入y=kx+d，得304k dk d+=⎧⎨+=-⎩，，解得26kd=⎧⎨=-⎩，.所以直线BD的解析式为y=2x-6.如图4，过点C作CP1⊥BD，交抛物线于点P1.由y=x2-2x-3，得C（0，-3）.所以直线CP1的解析式为y=2x-3.联立22323y x xy x⎧=--⎨=-⎩，，解得113xy=⎧⎨=-⎩，；2245xy=⎧⎨=⎩，.所以P1（4，5）.如图4，过点B作y轴的平行线与过点C作x轴的平行线交于点G.因为OB=OC，⊥BOC=⊥OBG=⊥OCG=90°，所以四边形OBGC是正方形.所以OC=GC=BG=3，⊥COE=⊥G =90°，⊥OCB=⊥GCB=45°.设CP1与x轴交于点E.令2x-3=0，解得x=32.所以E32⎛⎫⎪⎝⎭，.在x轴下方作⊥BCF=⊥BCE，交BG于点F，交抛物线于点P2.所以⊥OCB-⊥BCE=⊥GCB-⊥BCF，即⊥OCE=⊥GCF.所以⊥OCE⊥⊥GCF.所以EO=FG=32.所以BF=BG-FG=3-32=32.所以F332⎛⎫-⎪⎝⎭，.设直线CF的解析式为y=e x+f.将C（0，-3），F332⎛⎫-⎪⎝⎭，代入y=ex+f，得3332fe f=-⎧⎪⎨+=-⎪⎩，，解得123ef⎧=⎪⎨⎪=-⎩，.所以直线CF的解析式为y=12x-3.联立223132y x xy x⎧=--⎪⎨=-⎪⎩，，解得113xy=⎧⎨=-⎩，；225274xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，.所以P25724⎛⎫-⎪⎝⎭，.综上所述，点P的坐标为（4，5）或5724⎛⎫-⎪⎝⎭，.跟踪训练2.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（-2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C.直线l与抛物线交于A，D（4，3）两点，与y轴交于点E.（1）求抛物线的解析式与直线l的解析式；（2）若Q是y轴上的点，且⊥ADQ=45°，求点Q的坐标.第2题图类型三面积问题方法总结在平面直角坐标系内，如果三角形的一边与坐标轴平行或重合，就把这边作三角形的底边，直接用面积公式计算；如果三角形的三边都不与坐标轴平行或重合，可用“铅垂高”法.如图，过⊥ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫⊥ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在⊥ABC内部线段的长度叫⊥ABC的“铅垂高”（h），则S⊥ABC=12ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.求图形面积之最时，常利用二次函数的最值性质解决.考点例析例3如图5，在平面直角坐标系中，直线y=-12x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=13x2+bx+c经过坐标原点和点A，顶点为M.（1）求抛物线的解析式及点M的坐标；（2）E是直线AB下方的抛物线上一动点，连接EB，EA，当⊥EAB的面积等于252时，求点E的坐标.图5 图6解析：（1）令y =-12x +3=0，解得x =6.所以A （6，0）. 因为抛物线y =13x 2+bx +c 经过坐标原点，所以c =0. 将A （6，0）代入y =13x 2+bx ，得13×62+6b =0，解得b =-2.所以抛物线的解析式为y =13x 2-2x .由y =13x 2-2x =13（x -3）2-3，得点M 的坐标为（3，-3）.（2）如图6，过点E 作EH ∥y 轴交AB 于点H .设点E 的坐标为2123x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则点H 的坐标为132x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，，所以S ⊥E A B =12OA •EH =12×62113223x x x ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭=252，解得x 1=1，x 2=72.所以点E 的坐标为513⎛⎫- ⎪⎝⎭，或735212⎛⎫- ⎪⎝⎭，. 跟踪训练3.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =x 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A （-1，0），B （3，0），与y 轴交于点C .（1）b = ，c = ；（2）若点D 在该二次函数的图象上，且S ⊥ABD =2S ⊥ABC ，求点D 的坐标；（3）若P 是该二次函数图象上位于x 轴上方的一点，且S ⊥APC =S ⊥APB ，直接写出点P 的坐标.第3题图类型四 相似三角形存在性问题方法总结当两个三角形相似时，求动点的坐标是常见的题型，此时两个三角形的对应关系并不确定，通常分为两种情况讨论，根据相似三角形对应边成比例求线段长，从而求得动点的坐标.考点例析例4 如图7，抛物线y =ax 2-2x +c （a ≠0）与x 轴交于A ，B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，-3），抛物线的顶点为D .（1）求抛物线的解析式；（2）已知M 是x 轴上的动点，过点M 作x 轴的垂线交抛物线于点G ，是否存在这样的点M ，使得以A ，M ，G 为顶点的三角形与⊥BCD 相似？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.图7解析：（1）将B （3，0），C （0，-3）代入y =ax 2-2x +c ，得9603a c c -+=⎧⎨=-⎩，，解得13a c =⎧⎨=-⎩，.所以抛物线的解析式为y =x 2-2x -3.（2）当y =0时，x 2-2x -3=0，解得x 1=-1，x 2=3.所以A （-1，0）. 由y =x 2-2x -3=（x -1）2-4，得抛物线顶点D 的坐标为（1，-4）.由C （0，-3），B （3，0），D （1，-4），得BD 2=22+42=20，CD 2=12+12=2，BC 2=32+32=18，所以BD 2=CD 2+BC 2.所以⊥BCD 是直角三角形，且⊥BCD =90°.设点M 的坐标为（m ，0），则点G 的坐标为（m ，m 2-2m -3）.由题意，得⊥AMG =⊥BCD =90°，所以要使以A ，M ，G 为顶点的三角形与⊥BCD 相似，需要满足条件AMMG=BC CD 或AM MG =CDBC. ⊥当m <-1时，2123m m m ----或2123m m m ----，解得m 1=83，m 2=-1或m 1=0，m 2=-1.都舍去； ⊥当-1<m ≤3时，()()2123m m m -----或()()2123m m m -----，解得m 1=83，m 2=-1（舍去）或m 1=0，m 2=-1（舍去）.所以M 803⎛⎫⎪⎝⎭，或（0，0）. ⊥当m >3时，()2123m m m ----或()2123m m m ----，解得m 1=103，m 2=-1（舍去）或m 1=6，m 2=-1（舍去）.所以M 1003⎛⎫⎪⎝⎭，或（6，0）.综上所述，存在点M，点M的坐标为83⎛⎫⎪⎝⎭，或（0，0）或103⎛⎫⎪⎝⎭，或（6，0）.跟踪训练4.如图，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴交于点C，连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为D.（1）求抛物线的解析式；（2）P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q在射线ED上，若以P，Q，E为顶点的三角形与⊥BOC 相似，求出点P的坐标.第4题图类型五平行四边形存在性问题方法总结已知平行四边形的三个顶点，利用平行四边形对边平行且相等或对角线互相平分的性质可以确定第四个顶点；已知平行四边形的两个顶点，通过平移或者过中点作直线可以确定另外两个顶点.矩形的存在性问题应转化为直角三角形的存在性问题来解决.菱形的存在性问题应转化为等腰三角形的存在性问题来解决.正方形的存在性问题应转化为等腰直角三角形的存在性问题来解决.例5 如图8，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（-1，0），点C的坐标为（0，5）.（1）求该抛物线的解析式；（2）若M是抛物线上一点，N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.① ② ③图8 图9解析：（1）将A （-1，0），C （0，5）代入y =-x 2+bx +c ，得105b c c --+=⎧⎨=⎩，，解得45b c =⎧⎨=⎩，.所以抛物线的解析式为y =-x 2+4x +5.（2）由y =-x 2+4x +5=-（x -2）2+9，得对称轴为x =2，所以B （5，0）. 设M （s ，-s 2+4s +5），N （2，t ）.（ⅰ）如图9-①，以MN ，BC 为对角线，则MN 与BC 的中点重合，所以225022450522s s s t ++⎧=⎪⎪⎨-++++⎪=⎪⎩，，解得33s t =⎧⎨=-⎩，.所以M （3，8）.（ⅱ）如图9-②，以MB ，NC 为对角线，则MB 与NC 的中点重合，所以252022450522s s s t ++⎧=⎪⎪⎨-++++⎪=⎪⎩，，解得321s t =-⎧⎨=-⎩，.所以M （-3，-16）.（ⅲ）如图9-③，以MC ，NB 为对角线，则MC 与NB 的中点重合，所以202522455022s s s t ++⎧=⎪⎪⎨-++++⎪=⎪⎩，，解得711s t =⎧⎨=-⎩，.所以M （7，-16）.综上所述，存在点M ，点M 的坐标为（3，8）或（-3，-16）或（7，-16）.跟踪训练5.如图，一次函数y的图象与坐标轴交于点A ，B ，二次函数y2+bx +c 的图象过A ，B 两点.（1）求二次函数的解析式；（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.第5题图类型六特殊三角形存在性问题方法总结探究等腰三角形存在性问题，常用“两圆一线”法，即分别以定长线段的两端点为圆心，以定长为半径画两个圆，再作定长线段的垂直平分线，则圆上各点及垂直平分线上各点都是符合题意的等腰三角形的第三个顶点（三个顶点在同一直线上的除外）；探究直角三角形存在性问题，常用“一圆两线”法，即以定长线段为直径画圆，再分别过定长线段的两端点作这条线段的垂线，则圆上各点及垂线上各点都是符合题意的直角三角形的第三个顶点（三个顶点在同一直线上的除外）.考点例析例6如图10，抛物线y=ax2+bx+3过点A（-1，0），点B（3，0），顶点为C.（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）点P在抛物线上，连接CP并延长交x轴于点D，连接AC，若⊥DAC是以AC为底的等腰三角形，求点P的坐标.图10 图11解析：（1）将A（-1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx+3，得309330a ba b-+=⎧⎨++=⎩，，解得12.ab=-⎧⎨=⎩，所以抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.由y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，得点C的坐标为（1，4）.（2）如图11，设AC交y轴于点F，连接DF，过点C作CE⊥x轴于点E.因为A（-1，0），C（1，4），所以OA=1，OE=1，CE=4.所以OA=OE，AC因为OF ⊥AB ，CE ⊥AB ，所以OF ⊥CE .所以OF =12CE =2，F 为AC 的中点. 因为⊥DAC 是以AC 为底的等腰三角形，所以DF ⊥AC . 因为FO ⊥AD ，所以⊥AFO ⊥⊥FDO .所以OA OF =OF OD ，即12=2OD，解得OD =4.所以D （4，0）. 设直线CD 的解析式为y =kx +m .将C （1，4），D （4，0）代入y =kx +m ，得440k m k m +=⎧⎨+=⎩，，解得4316.3k m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以直线CD 的解析式为y =-43x+163.联立24163323y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=-++⎩，，解得1114x y =⎧⎨=⎩，；2273209x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，.所以P 72039⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 跟踪训练6.如图，直线y =x +2与抛物线y =ax 2+bx +6（a ≠0）相交于点A 1522⎛⎫⎪⎝⎭，和点B （4，m ）.点F 在线段AB 上运动（不与点A ，B 重合），过点F 作直线FC ⊥x 轴于点P ，交抛物线于点C . （1）求抛物线的解析式；（2）连接AC ，是否存在点F ，使⊥F AC 是直角三角形？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，说明理由.第6题图参考答案1. 解：（1）将A （-1，0），B （4，0）代入y =ax 2+bx +4，得4016440a b a b -+=⎧⎨++=⎩，，解得13.a b =-⎧⎨=⎩，所以抛物线的解析式为y =-x 2+3x +4.（2）当x =0时，y =-x 2+3x +4=4，所以C （0，4）. 设直线BC 的解析式为y =kx +c .将B（4，0），C（0，4）代入y=kx+c，得404k cc+=⎧⎨=⎩，，解得14kc=-⎧⎨=⎩，.所以直线BC的解析式为y=-x+4.（3）由A（-1，0），B（4，0），得抛物线的对称轴为x=3 2 .如图，连接BC交对称轴于点P，连接P A，此时P A+PC的值最小，最小值为线段BC的长，BC此时点P的坐标为35 22⎛⎫ ⎪⎝⎭，.第1题图2. 解：（1）由抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（-2，0），B（6，0），设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-6）.将D（4，3）代入y=a（x+2）（x-6），得a（4+2）×（4-6）=3，解得a=-14.所以抛物线的解析式为y=-14（x+2）（x-6）=-14x2+x+3.设直线l的解析式为y=kx+m.将A（-2，0），D（4，3）代入y=kx+m，得2043k mk m-+=⎧⎨+=⎩，，解得121.km⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以直线l的解析式为y=12x+1.（2）如图，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AT，则T（-5，6），设DT交y轴于点Q，则⊥ADQ=45°.由D（4，3），T（-5，6），得直线DT的解析式为y=-13x+133.所以Q133⎛⎫⎪⎝⎭，.作点T关于AD的对称点T′（1，-6），则直线DT′的解析式为y=3x-9.设连接DT′交y轴于点Q′，则⊥ADQ′=45°.所以Q′（0，-9）.综上所述，点Q的坐标为133⎛⎫⎪⎝⎭，或（0，-9）.第2题图3. 解：（1）-2-3解析：将A（-1，0），B（3，0）代入y=x2+bx+c，得10930b cb c-+=⎧⎨++=⎩，，解得23.bc=-⎧⎨=-⎩，（2）如图①，连接BC.由（1），得二次函数的解析式为y=x2-2x-3.令x=0，则y=x2-2x-3=-3，所以C（0，-3）.所以S⊥ABC=12AB•OC=12×（3+1）×3=6.设D（m，m2-2m-3）.因为S⊥ABD=2S⊥ABC，所以12AB•|y D|=2×6，即12×4×|m2-2m-3|=12，解得m1m2=1所以点D的坐标为()1或().（3）点P的坐标为（4，5）.解析：设P（n，n2-2n-3）.因为点P在抛物线位于x轴上方的部分，所以n<-1或n>3.当点P在点A左侧时，即n<-1，可知点C到AP的距离小于点B到AP的距离，所以S⊥APC<S⊥APB，此情况不成立；当点P在点B右侧时，即n>3，因为⊥APC和⊥APB都以AP为底，若要面积相等，则点B和点C到AP 的距离相等，即BC⊥AP，如图②.设直线BC的解析式为y=kx+p.将B（3，0），C（0，-3）代入y=kx+p，得303k pp+=⎧⎨=-⎩，，解得13kp=⎧⎨=-⎩，.则设直线AP的解析式为y=x+q.将A（-1，0）代入y=x+q，得-1+q=0，解得q=1.所以直线AP的解析式为y=x+1.将P（n，n2-2n-3）代入y=x+1，得n2-2n-3=n+1，解得n1=4，n2=-1（舍去）.所以点P的坐标为（4，5）.①②第3题图4. 解：（1）将A（1，0），B（-3，0）代入y=ax2+bx+3，得309330a ba b++=⎧⎨-+=⎩，，解得12ab.=-⎧⎨=-⎩，所以抛物线的解析式为y=-x2-2x+3.（2）令x=0，则y=3，所以C（0，3）.所以OC=OB=3.所以⊥BOC是等腰直角三角形.由抛物线的解析式y=-x2-2x+3，得抛物线对称轴为x=-1.因为以P，Q，E为顶点的三角形与⊥BOC相似，所以⊥PQE是等腰直角三角形.由B（-3，0），C（0，3），得直线BC的解析式为y=x+3.当x=-1时，y=-1+3=2，所以E（-1，2）.设点P的坐标为（m，-m2-2m+3）（m<-1）.（ⅰ）如图①，当P为直角顶点时，过点P作PH⊥ED，垂足为H，则⊥PHE=90°，⊥PEH=45°，PH=HE，即-1-m＝-m2-2m+3-2，解得m1=-2，m2=1（舍去）.所以点P的坐标为（-2，3）.（ⅱ）如图②，当Q为直角顶点时，PQ=EQ，即-1-m=-m2-2m+3-2，解得m1=-2，m2=1（舍去）.所以点P 的坐标为（-2，3）.（ⅲ）如图③，当E为直角顶点时，PE=EQ，PE∥x轴，则点P，E纵坐标相等，所以-m2-2m+3=2，解得m1=-1，m2=-（舍去）.所以点P的坐标为()1-.综上所述，点P的坐标为（-2，3）或()12-.①②③第4题图5. 解：（1）在y=3xx=0，得y=.令y=0，得x=3.所以A（3，0），B(0，.将A （3，0），B (0-，代入y=3x 2+bx +c，得30b c c ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得3b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩所以二次函数的解析式为y2x.（2）由y=2xx -1）2，得抛物线对称轴为x =1.所以C (2-，. 设P （1，m ），Q 2n ⎛⎝. （ⅰ）如图①，以BC ，PQ 为对角线，BC 与PQ 的中点重合，所以202122332nm ++⎧=⎪⎪=，解得1m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩.所以P 1⎛ ⎝⎭，，Q 1⎛ ⎝⎭，.此时四边形BQCP 是平行四边形. 由P 13⎛-⎝⎭，，B (0，C (2，得PB 2=PC 2=43，所以PB =PC .所以BQCP 是菱形.所以Q 1⎛ ⎝⎭. （ⅱ）如图②，以BP ，CQ 为对角线，BP 与CQ 的中点重合，所以201222332n++⎧=⎪⎪=，解得01m n =⎧⎨=-⎩，.所以P （1，0），Q （-1，0）.此时四边形BCPQ 是平行四边形.由P （1，0），B (0，C (2，，得BC 2=PC 2=4，所以BC =PC .所以BCPQ 是菱形.所以Q （-1，0）.（ⅲ）如图⊥，以BQ ，CP 为对角线，BQ 与CP 的中点重合，由（ⅱ）对称，得P （1，0），Q （3，0）.综上所述，存在点Q ，点Q的坐标为1⎛ ⎝⎭，或（-1，0）或（3，0）.① ② ③第5题图6. 解：（1）将B （4，m ）代入y =x +2，得m =4+2=6，所以B （4，6）.将A 1522⎛⎫⎪⎝⎭，，B （4，6）代入y =ax 2+bx +6，得1156********a b a b ⎧++=⎪⎨⎪++=⎩，，解得28.a b =⎧⎨=-⎩，所以抛物线的解析式为y =2x 2-8x +6.（2）设F （n ，n +2）.如图，直线AB 与x 轴交于点M ，则M （-2，0）；直线AB 与y 轴交于点N ，则N （0，2）.所以OM =ON =2.所以⊥ONM =45°.因为FC ⊥y 轴，所以C （n ，2n 2-8n +6），⊥AFC =⊥ONM =45°.（ⅰ）若A 为直角顶点，即⊥F AC =90°，过点A 作AD ⊥FC 于点D ，如图①. 在Rt⊥F AC 中，⊥AFC =45°，所以AF =AC .所以DF =DC .所以AD =12FC ，即n -12=12()22286n n n ⎡⎤+--+⎣⎦，解得n 1=3，n 2=12（舍去）.所以F （3，5）. （ⅱ）若C 为直角顶点，即⊥FCA =90°，则AC ⊥x 轴，如图②. 在Rt⊥F AC 中，⊥AFC =45°，所以AC =CF ，即n -12=（n +2）-（2n 2-8n +6），解得n 1=72，n 2=12（舍去）.所以F 71122⎛⎫⎪⎝⎭，.综上所述，存在点F ，点F 的坐标为（3，5）或71122⎛⎫ ⎪⎝⎭，.① ②第6题图。
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∴N(5－255，－ 55)，
③以 BD 为边，如解图③，过 M 作 MH⊥x 轴于 H， ∴MH2＋BH2＝BM2，
即(12n－2)2＋(n－4)2＝12， ∴n1＝4＋2 5 5，n2＝4－2 4 5(不合题意，舍去)，∴N(5＋2 5 5， 55)， 综上所述，当 N(92，－14)或(253，45)或(5－2 5 5，－ 55)或(5＋2 5 5， 55)时，以点 B，D，M， N 为顶点的四边形是菱形.
抛物线的解析式为 y＝14x2－12x－2；
(2)令 y＝14x2－12x－2＝0，解得：x1＝－2，x2＝4，当 x＝0 时，y＝－2，∴B(4，0)，C(0，
－2)，设 BC 的解析式为 y＝kx＋c，则4c＝k＋－c＝2 0，解得：kc＝＝12－2，∴直线 BC 的解析式为 y
＝12x－2，设 D(m，0)，∵DP∥y 轴，∴E(m，12m－2)，P(m，14m2－12m－2)， ∵OD＝4PE，∴m＝4(14m2－12m－2－12m＋2)， ∴m＝5 或 m＝0(舍去)，∴D(5，0)，P(5，74)，E(5，12)， ∴S 四边形 POBE＝S△OPD－S△EBD＝12×5×74－12×1×12＝383；
(3)存在，设 M(n，21n－2)，①以 BD 为对角线，如解图①， ∵四边形 BNDM 是菱形，∴MN 垂直平分 BD，∴n＝4＋2 5，∴M(29，41)， ∵M，N 关于 x 轴对称，∴N(92，－41)；
②以 BD 为边，如解图②， ∵四边形 BNMD 是菱形，∴MN∥BD，MN＝BD＝MD＝1， 过 M 作 MH⊥x 轴于 H，∴MH2＋DH2＝DM2， 即(12n－2)2＋(n－5)2＝12，∴n1＝4(不合题意)，n2＝258，∴N(253，45)，
解：(1)在直线解析式 y＝21x＋2 中，令 x＝0，得 y＝2，∴C(0，2)．
∵点 C(0，2)、D(3，27)在抛物线 y＝－x2＋bx＋c 上，
∴c－＝92＋3b＋c＝72，解得 b＝27，c＝2，
∴抛物线的解析式为：y＝－x2＋72x＋2；
(2)设 P 点坐标为(m，－m2＋72m＋2)，F(m，12m＋2) ∵PF∥CO，四边形为平行四边形，∴PF＝CO， ∴yP－yF＝±(yc－yo)， ∴－m2＋3m＝2 或－2， ∴m＝1 或 2 或3＋2 17或3－2 17(舍)，
(3)在(2)的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一 点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是 菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵抛物线 y＝ax2＋bx－2 的对称轴是直线 x＝1，A(－2，0)在抛物 线上，
∴－（2－ba＝2）12a－2b－2＝0，解得：ab＝＝14－21，
∴当 m＝1 或 2 或3＋2 17时，以 O、C、P、F 为顶点的四边形是平 行四边形．
(3) 存在． 理由：设点 P 的横坐标为 m，则 P(m，－m2＋27m＋2)， F(m，12m＋2)．
如解图，过点 C 作 CM⊥PE 于点 M，则 CM＝m，EM＝2，
∴FM＝yF－yM＝12m，
∴tan∠CFM＝2.
(3)在题(2)的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、 P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明 理由．1．解：(1)∵抛物线的顶点为Q(2，－1)，∴设抛物线的解析式为
y＝a(x－2)2－1， 将C(0，3)代入上式，得：3＝a(0－2)2－1，a＝1； ∴y＝(x－2)2－1，即y＝x2－4x＋3； (2)分两种情况： ①当点P1为直角顶点时，点P1与点B重合； 令y＝0，得x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3； ∵点A在点B的右边，∴B(1，0)，A(3，0)；∴P1(1，0)；
【例 2】(2013·河南)如图，抛物线 y＝－x2＋bx＋c 与直线 y＝21x＋2 交于 C、 D 两点，其中点 C 在 y 轴上，点 D 的坐标为(3，72)．点 P 是 y 轴右侧的抛物线 上一动点，过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E，交 CD 于点 F.
(1)求抛物线的解析式； (2)若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形 是平行四边形？请说明理由． (3)若存在点P，使∠PCF＝45°，请直接写出相应的点P的坐标．
在
Rt△CFM
中，由勾股定理得：CF＝
5 2 m.
过点 P 作 CD 于点 N，
则 PN＝FN·tan∠PFN＝FN·tan∠CFM＝2FN.
∵∠PCF＝45°，∴PN＝CN，
而 PN＝2FN，∴FN＝CF＝ 25m，PN＝2FN＝ 5m， 在 Rt△PFN 中，由勾股定理得：PF＝ FN2＋PN2＝52m. ∵PF＝yP－yF＝(－m2＋72m＋2)－(12m＋2)＝－m2＋3m，∴－m2＋3m＝52m， 整理得：m2－12m＝0，解得 m＝0(舍去)或 m＝12，∴P(12，72)； 同理求得，另一点为 P(263，1138)． ∴符合条件的点 P 的坐标为(12，72)或(263，1138)．
【对应训练】 1．(2017·新乡模拟)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为 Q(2，－1)，且与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于A，B两点(点A在点B的右 侧)，点P是该抛物线上的一动点，从点C沿抛物线向点A运动(点P与A不重 合)，过点P作PD∥y轴，交AC于点D. (1)求该抛物线的解析式； (2)当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；
专题二 解答重难点题型突破 题型六 二次函数与几何图形综合题
类型一 二次函数与图形判定【例1】(2017·营口)如图，抛物线y＝ax2＋bx －2的对称轴是直线x＝1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐 标为(－2，0)，点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直 线BC于点E. (1)求抛物线解析式； (2)若点P在第一象限内，当OD＝4PE时，求四边形POBE的面积；