中考数学重难点专题讲座

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第九讲几何图形的归纳,猜想,证明问题

【前言】实行新课标以来，中考加大了对考生归纳，总结，猜想这方面能力的考察，但是由于数列的系统知识要到高中才会正式考察，所以大多放在填空压轴题来出。08年的中考填空压轴是一道代数归纳题，已经展现出了这种趋势。09年的一模，二模也只是较少的区县出了这种归纳题，然而中考的时候就出了一道几何方面的n等分点总结问题。于是今年的一模二模，这种有关几何的归纳，猜想问题铺天盖地而来，这就是一个重要的风向标。而且根据学生反映，这种问题一般较难，得分率很低，经常有同学选择+填空就只错了这一道。对于这类归纳总结问题来说，思考的方法是最重要的，所以一下我们通过今年的一二模真题来看看如何应对这种新题型。

第一部分真题精讲

【例1】2010，海淀，一模

如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设?B D C的面积为S，

2111

?B D C的面积为S，…，?B D C的面积为S，则S=；S=____（用3222n+1n n n2n

含n的式子表示）．

B1B2B3B4B5

D1D

2

D3D4……

A C

1C2C

3

C4C5

【思路分析】拿到这种题型，第一步就是认清所求的图形到底是什么样的。本题还好，将阴影部分标出，不至于看错。但是如果不标就会有同学误以为所求的面积是

?B AC,?B AC这种的,第二步就是看这些图形之间有什么共性和联系.首先S所代表的三22332

2

3 3 =

2 3

.接下来通过总结

,我们发现所求的

S = 1 n + 1

角形的底边 C D 是三角形 AC D 的底边,而这个三角形和△ AC B 是相似的.所以边长

2

2 2 2

3 3

的比例就是 AC 与 AC 的比值.于是

2

3

2 3

2 2

三角形有一个最大的共性就是高相等,为 3（连接上面所有的 B 点，将阴影部分放在反过来

的等边三角形中看）。那么既然是求面积，高相等，剩下的自然就是底边的问题了。我们发

现所有的 B,C 点连线的边都是平行的，于是自然可以得出 D 自然是所在边上的 n+1 等分

n

点.例如 D 就是 B C 的一个三等分点.于是 2 2 2

D C = n + 1 - 1 n n ? 2 (n+1-1 是什么意思?为什么要

减 1?)

S

?B n +1D n C n

=

1 1 2n 3n D C ? 3 = 3 =

2 n n 2 n + 1 n + 1

【例 2】2010，西城，一模

在平面直角坐标系中，我们称边长为 1 且顶点的横纵坐标均为整数的正方形为单位格点 正方形，如图，菱形 ABCD 的四个顶点坐标分别是 (-8 ，0) ， (0 ，4) ， (8 ，0) ， (0 ，- 4) ，

则菱形 ABCD 能覆盖的单位格点正方形的个数是_______个；若菱形 A B C D 的四个顶点坐

n n

n

n

标分别为 (-2n ，0) ， (0 ，n ) ， (2n ，0) ， (0 ，- n ) （ n 为正整数），则菱形 A B C D 能覆盖的

n n

n

n

单位格点正方形的个数为_________（用含有 n 的式子表示）．

y

4 B

A -8

O

-4 D

C

8 x

【思路分析】此题方法比较多，例如第一空直接数格子都可以数出是 48（笑）。这里笔

3 5 7 9

第一个梯形上底是 1，下底是 3，所以 S 1 = ? 1 + 3)? 2 = 4 .第二个梯形面积 ? 5 + 7 )? 2 = 12 ,第三个是 S = ? 9 + 11)? 2 = 20 ,至此,我们发现本题中梯形面积数值上 2 2

者提供一种方法，其他方法大家可以自己去想想看。因为求的是菱形包涵的正方形个数，所

以只需求出被 X,Y 轴所分的四个三角形包涵的个数，再乘以 4 即可。比如我们来看第二象

限那个三角形。第二象限菱形那条边过（-2n,0）(0,n),自然可以写出直线解析式为

y = 1

2

x + n ,

斜率 1 意味着什么?看上图,注意箭头标注的那些空白三角形,这些 RT 三角形一共有 2n/2=n

2

个,他们的纵直角边与横直角边的比是不是就是 1 ?而且这些直角三角形都是全等的 ,面积均

2

为两个单位格点正方形的一半△.那么整个的 AOB 的面积自然就是 1 ? 2n ? n ,所有 n 个空白

2

小三角形的面积之和为

n ? 1 ? 2 ?1 ,相减之后自然就是所有格点正方形的面积 n 2 - n ,也就是

2

数量了.所以整个菱形的正方形格点就是 4n 2 - 4n .

【例 3】2010，平谷，一模

如图， ∠AOB = 45? ，过OA 上到点 O 的距离分别为1，，，，，11... 的点作 OA 的垂线与

OB 相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为 S ，S ，S ，S ， ．则第一个黑

1

2

3

4

色梯形的面积 S =

；观察图中的规律，第 n ( n 为 正 整 数 ) 个 黑 色 梯 形 的 面 积

1

S =

．

n

B

S 3

S 2

S 4

S 1

0 1 3 5 7 9 11 13 ...

A

【思路分析】本题方法也比较多样。所有阴影部分都是一个直角梯形，而因为

∠AOB = 45? ，所以梯形的上下底长度分别都对应了垂足到 0 点的距离,而高则是固定的 2。

1 (

2 S =

2 1 ( 1 ( 3

其实就是上下底的和.而且各个梯形的上底都是前一个梯形上底加上 4。于是第 n 个梯形的上

底就是 1+4(n-1)=4n-3,(第一个梯形的上底 1 加上(n-1)个 4.)下底自然就是 4n-1,于是 S n 就是

8n-4.

【例 4】2010，丰台，一模

在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正方形

A 1

B 1

C 1

D 1，A 2B 2C 2D 2，A 3B 3C 3D 3……每个正方形四条边上的整点的个数．按此规律推算出正

方形 A 10B 10C 10D 10 四条边上的整点共有

个．

y

A 3

3 D 3 A 2

2

D 2

A 1 1 D 1

-3 -2 -1 O

B 1 -1

1 2 C 1

3 x

B 2

-2 C 2

B 3

-3

C 3

【思路分析】此题看似麻烦，但是只要把握住“正方形”这个关键就可以了。对于

A B C D 来说,每条边的长度是 2n,那么自然整点个数就是 2n+1，所以四条边上整点一共有

n n

n

n

(2n+1)x4-4=8n(个)(要减去四个被重复算的顶点),于是 A B C D 就是 80 个.

10 10 10 10

【例 5】2010，宣武，一模

如图，△ ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=1，取斜边的中点，向斜边做垂线，画出一个

新的等腰直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边与△ ABC 的 BC 边重叠

为止，此时这个三角形的斜边长为_____．

“ “

S = ，S = ，S = ... ，分子就是 1,2,4,8,16 这样的数列。于是 S = 2 2 2 2

6

【思路分析】本题依然要找出每个三角形和上一个三角形之间的规律联系。关键词“中

点” 垂线” 等腰直角”。这就意味着每个三角形的锐角都是 45 度，并且直角边都是上一个

三角形直角边的一半。绕一圈是 360 度，包涵了 8 个 45°。于是绕到第八次就可以和 BC

重叠了，此时边长为△ABC 的 1 8

，故而得解。

【例 6】2010，门头沟，一模

如图，以等腰三角形 AOB 的斜边为直角边向外作第 2 个等腰直角三角形 ABA ，再以等

1

腰直角三角形 ABA 的斜边为直角边向外作第 3 个等腰直角三角形 A BB ，……，如此作下去，

1

1

1

若 OA = OB = 1 ，则第 n 个等腰直角三角形的面积 S = ________（n 为正整数）.

n

B 2

A 1

A

O

B B 1

【思路分析】和上题很类似的几何图形外延拓展问题。还是一样慢慢找小三角形面积的

规律。由题可得

1 2 3 n

1 2 4 2n

【总结】几何图形的归纳总结问题其实就包括了代数方面的数列问题，只不过需要考生

自己找出图形与图形之间的联系而已。对于这类问题，首先就是要仔细读题，看清楚题目所

求的未知量是什么，然后找出各个未知量之间的联系，这其中就包括了寻找未知量的拓展过

程中，哪些变了，哪些没有变。最后根据这些联系列出通项去求解。在遇到具体关系很难找

的问题时，不妨先写出第一项，第二项，第三项然后去找数式上的规律，如上面例 就是一

例，如果纠结于几何图形当中等腰三角形直角边的平方，反而会使问题复杂化，直接列出前

几项的面积就可以大胆的猜测出来结果了。这类题目计算量往往不大，重在思考和分析的方

法，还请考生细心掌握。

第二部分发散思考

【思考1】2009，西城，二模

如图，在平面直角坐标系xOy中，B(0,1)，B(0,3)，B(0,6)，

123

B(0,10)，…，以B B为对角线作第一个正方形A B C B，以

4121112

B B为对角线作第二个正方形A B

C B，以B B为对角线作第

23222334

三个正方形A B C B，…，如果所作正方形的对角线B B都在

3334n n+1

y轴上，且B B的长度依次增加1个单位，顶点A都在第一象

n n+1n

限内（n≥1，且n为整数）．那么A的纵坐标为；用n

1

的代数式表示A的纵坐标：．

n

【思考2】2009，朝阳，二模

如图，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点P处开始跳动，第一

次跳到点P关于x轴的对称点P处，接着跳到点P关于y轴

11

的对称点P处，第三次再跳到点P关于原点的对称点处，…，

22

如此循环下去．当跳动第2009次时，棋子落点处的坐标是

．

【思考3】2009，昌平,一模

对于大于或等于2的自然数n的平方进行如下“分裂”，分裂成n个连续奇数的和，则自然数72的分裂数中最大的数是，自然数n2的分裂数中最大的数是.

1

3

1

3

5

1)

， ，0) 0)

【思考 4】2009，延庆，一模

一个质点在第一象限及 x 轴、 y 轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到 (0， ，然后

接着按图中箭头所示方向运动 ,即 (0， → (01) → (11) →

(1， → … ，且每秒移动一个单

位，那么第 35 秒时质点所在位置的坐标是_______

y 3

2

1 …

1 2 3

x

【思考 5】2009，海淀，二模

如图，将边长为1 + n

2 (n = 1, 2, 3,

)

的正方形纸片从左到右顺次摆放，其对应的正

方形的中心依次为 A 1, A 2, A 3, ….①若摆放前 6

个正方形纸片，则图中被遮盖的线段（虚线部分）

A

1

A 2 A 3 A 4

之和为

；②若摆放前 n （n 为大于 1 的正

整数）个正方形纸片，则图中被遮盖的线段（虚线部分）之和为 .

第三部分 思考题解析

【思考 1 答案】2；

(n + 1)2

2

【思考 2 答案】（3，－2）

【思考 3 答案】13；2n-1

【思考 4 答案】（5，0）

【思考 5 答案】10， 1

(n + 2)(n - 1)

4