中考数学解答题重难点专题突破：简单几何图形的证明与计算试题(有答案)

中考数学解答题重难点专题突破---解答重难点题型突破题型一 简单几何图形的证明与计算类型一 特殊四边形的探究1．(开封模拟)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，∠B ＝60°，以边AC 上一点O 为圆心，OA 为半径作⊙O，⊙O 恰好经过边BC 的中点D ，并与边AC 相交于另一点F.(1)求证：BD 是⊙O 的切线；(2)若BC ＝23，E 是半圆AGF ︵上一动点，连接AE 、AD 、DE. 填空：①当AE ︵的长度是__________时，四边形ABDE 是菱形； ②当AE ︵的长度是__________时，△ADE 是直角三角形.2．(商丘模拟)如图，已知⊙O 的半径为1，AC 是⊙O 的直径，过点C 作⊙O 的切线BC ，E 是BC 的中点，AB 交⊙O 于D 点．(1)直接写出ED 和EC 的数量关系：；(2)DE 是⊙O 的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由；(3)填空：当BC ＝__________时，四边形AOED 是平行四边形，同时以点O 、D 、E 、C 为顶点的四边形是__________.3．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝5 cm，点E从点A出发沿射线AD以1 cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动，设运动时间为t(s)．(1)连接EF，当EF经过BD边的中点G时，求证：△DGE≌△BGF；(2)填空：①当t为__________s时，△ACE的面积是△FCE的面积的2倍；②当t为__________s时，四边形ACFE是菱形.4．(新乡模拟)如图，AC是▱ABCD的一条对角线，过AC中点O的直线分别交AD，BC于点E，F.(1)求证：AE＝CF；(2)连接AF，CE.①当EF和AC满足条件__________时，四边形AFCE是菱形；②若AB＝1，BC＝2，∠B＝60°，则四边形AFCE为矩形时，EF的长是__________．类型二几何问题的证明与计算1．(周口模拟)如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交弧AC于点D，过点D作⊙O 的切线，交BA的延长线于点E.(1)求证：AC∥DE；(2)连接CD，若OA＝AE＝2时，求出四边形ACDE的面积．2．(湘潭)如图，在▱ABCD中，DE＝CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F.(1)求证：△ADE≌△FCE；(2)若AB＝2BC，∠F＝36°.求∠B的度数.3．(山西)如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，OD⊥AB，与AC交于点E，与过点C的⊙O的切线交于点D.(1)若AC＝4，BC＝2，求OE的长．(2)试判断∠A与∠CDE的数量关系，并说明理由.4．(杭州)如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D重合)，GE⊥DC于点E，GF⊥BC 于点F，连接AG.(1)写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；(2)若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长.简单几何图形的证明与计算参考答案类型一 特殊四边形的探究1．(1)证明：连接OD ，如解图， ∵∠BAC ＝90°，点D 为BC 的中点， ∴DB ＝DA ＝DC ，∵∠B ＝60°，∴△ABD 为等边三角形，∴∠DAB ＝∠ADB ＝60°，∠DAC ＝∠C ＝30°，而OA ＝OD ， ∴∠ODA ＝∠OAD ＝30°，∴∠ODB ＝60°＋30°＝90°， ∴OD ⊥BC ，又∵OD 是⊙O 的半径， ∴BD 是⊙O 的切线；(2)解：①连接OD 、OE ，∵△ABD 为等边三角形， ∴AB ＝BD ＝AD ＝CD ＝3， 在Rt △ODC 中，OD ＝33CD ＝1， 当DE ∥AB 时，DE ⊥AC ，∴AD ＝AE ， ∵∠ADE ＝∠BAD ＝60°， ∴△ADE 为等边三角形，∴AD ＝AE ＝DE ，∠ADE ＝60°，∴∠AOE ＝2∠ADE ＝120°，∴AB ＝BD ＝DE ＝AE ， ∴四边形ABDE 为菱形，此时，的长度＝120·π·1180＝23π，②当∠ADE ＝90°时，AE 为直径，点E 与点F 重合，此时的长度＝180·π·1180＝π，当∠DAE ＝90°时，DE 为直径，∠AOE ＝2∠ADE ＝60°，此时的长度＝60·π·1180＝13π，所以当的长度为13π或π时，△ADE 是直角三角形.2．解：(1)连接CD ，如解图，∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ADC ＝90°， ∵E 是BC 的中点， ∴DE ＝CE ；(2)DE 是⊙O 的切线．理由如下： 连接OD ，如解图，∵BC 为切线，∴OC ⊥BC ，∴∠OCB ＝90°，即∠2＋∠4＝90°，∵OC ＝OD ，ED ＝EC ，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，即∠ODE ＝90°，∴OD ⊥DE ， ∴DE 是⊙O 的切线； (3)当BC ＝2时，∵CA ＝CB ＝2，∴△ACB 为等腰直角三角形，∴∠B ＝45°， ∴△BCD 为等腰直角三角形，∴DE ⊥BC ，DE ＝12BC ＝1，∵OA ＝DE ＝1，AO ∥DE ，∴四边形AOED 是平行四边形； ∵OD ＝OC ＝CE ＝DE ＝1，∠OCE ＝90°， ∴四边形OCED 为正方形. 3．(1)证明：∵G 为BD 的中点， ∴BG ＝DG ，∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ∥BC ，∴∠EDG ＝∠FBG ，∠GED ＝∠GFB ， ∴△DGE ≌△BGF(AAS )；(2)解：①分两种情况考虑：当点F 在线段BC 上时，如解图①，连接AC ，EC ，设菱形ABCD 边BC 上的高为h ，由题意知S △ACE ＝12AE·h，S △FCE ＝12CF·h，∵△ACE 的面积是△FCE 的面积的2倍，∴12AE·h＝2×12CF·h，∴AE ＝2CF ，∵AE ＝t ，CF ＝5－2t ，∴t ＝2(5－2t)，解得t ＝2；当点F 在线段BC 的延长线上时，如解图②，连接AC ，EC ，AE ＝t ，CF ＝2t －5，∵△ACE 的面积是△FCE 的面积的2倍，∴AE ＝2CF ，∴t ＝2(2t －5)，解得t ＝103；②∵四边形ABCD 为菱形，∴AB ＝BC ，∵∠ABC ＝60°，∴△ABC 为等边三角形，∴AC ＝AB ＝5，当四边形ACFE 为菱形时，则AE ＝AC ＝CF ＝5，即t ＝5.4．(1)证明：∵AD ∥BC ，∴∠EAO ＝∠FCO. ∵O 是AC 的中点，∴OA ＝OC ， 在△AOE 和△COF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EAO ＝∠FCO OA ＝OC∠AOE ＝∠COF， ∴△AOE ≌△COF(ASA )． ∴AE ＝CF.(2)解：①当EF 和AC 满足条件EF ⊥AC 时，四边形AFCE 是菱形； 如解图所示，∵AE ∥CF ，AE ＝CF ，∴四边形AFCE 是平行四边形，又∵EF ⊥AC ，∴四边形AFCE 是菱形； ②若四边形AFCE 为矩形，则EF ＝AC ，∠AFB ＝∠AFC ＝90°，∵AB ＝1，BC ＝2，∠B ＝60°，∴∠BAF ＝30°， ∴BF ＝12AB ＝12，∴AF ＝3BF ＝32，CF ＝2－12＝32， ∴AC ＝AF 2＋CF 2＝（32）2＋（32）2＝3， ∴EF ＝ 3.类型二 几何问题的证明与计算 1．证明：(1)∵F 为弦AC 的中点， ∴AF ＝CF ，∴OD ⊥AC ，∵DE 切⊙O 于点D ，∴OD ⊥DE ， ∴AC ∥DE ；(2)∵AC ∥DE ，且OA ＝AE ， ∴F 为OD 的中点，即OF ＝FD ， 又∵AF ＝CF ， ∠AFO ＝∠CFD ，∴△AFO ≌△CFD(SAS )，∴S △AFO ＝S △CFD ，∴S 四边形ACDE ＝S △ODE .在Rt △ODE 中，OD ＝OA ＝AE ＝2， ∴OE ＝4，∴DE ＝OE 2－OD 2＝42－22＝23，∴S 四边形ACDE ＝S △ODE ＝12·OD·DE＝12×2×23＝2 3.2．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∴∠D ＝∠ECF ，在△ADE 和△FCE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠D ＝∠ECF DE ＝CE∠AED ＝∠FEC，∴△ADE ≌△FCE(ASA )；(2)解：∵△ADE ≌△FCE ，∴AD ＝FC ， ∵AD ＝BC ，AB ＝2BC ，∴AB ＝FB ，∴∠BAF ＝∠F ＝36°，∴∠B ＝180°－2×36°＝108°. 3．解：(1)∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AB ＝AC 2＋BC 2＝42＋22＝25，∴OA ＝12AB ＝5，∵OD ⊥AB ，∴∠AOE ＝∠ACB ＝90°， 又∵∠A ＝∠A ， ∴△AOE ∽△ACB ， ∴OE BC ＝OA AC ，即OE 2＝54，解得：OE ＝52； (2) ∠CDE ＝2∠A ，理由如下：连接OC ，如解图所示： ∵OA ＝OC ，∴∠1＝∠A ，∵CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CD ，∴∠OCD ＝90°， ∴∠2＋∠CDE ＝90°，∵OD ⊥AB ，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠3＝∠CDE ， ∵∠3＝∠A ＋∠1＝2∠A ， ∴∠CDE ＝2∠A.4．解：(1)结论：AG 2＝GE 2＋GF 2. 理由：如解图，连接CG.∵四边形ABCD 是正方形，∴A 、C 关于对角线BD 对称， ∵点G 在BD 上，∴GA ＝GC ，∵GE ⊥DC 于点E ，GF ⊥BC 于点F ， ∴∠GEC ＝∠ECF ＝∠CFG ＝90°， ∴四边形EGFC 是矩形，∴CF ＝GE ，在Rt △GFC 中，∵CG 2＝GF 2＋CF 2，∴AG 2＝GF 2＋GE 2； (2)如解图，作AH ⊥BG 于点H ，由题意得∠AGB ＝60°，∠ABH ＝45°，∴△ABH 是等腰直角三角形，2 2，HG＝66，∴BG＝32＋66.∵AB＝1，∴AH＝BH＝。