圆锥曲线知识点总结

圆锥曲线
一、椭圆
1、定义:平面内与两个定点1F ,2F 的距离之和等于常数(大于12F F )的点的轨迹称为椭圆.
即:|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。

这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距. 2、椭圆的几何性质: 焦点的位置
焦点在x 轴上
焦点在y 轴上
图形
标准方程 ()22
22
10x y a b a b +=>> ()22
22
10y x a b a b +=>> 范围
a x a -≤≤且
b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤
顶点
()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A
()1,0b B -、()2,0b B
轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a =
焦点 ()1,0F c -、()2,0F c
()10,F c -、()20,F c
焦距 ()222122F F c c a b ==-
对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称
离心率 ()2
2101c b e e a a
==-<<ｅ越小，椭圆越圆;e 越大,椭圆越扁
ﻬ
二、双曲线
１、定义：平面内与两个定点1F ,2F 的距离之差的绝对值等于常数(小于12F F )的点的轨迹称为双曲线.即:|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-。

这两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线的焦距. 2、双曲线的几何性质： 焦点的位置
焦点在x 轴上
焦点在y 轴上
图形
标准方程 ()22
22
10,0x y a b a b -=>> ()22
22
10,0y x a b a b -=>> 范围 x a ≤-或x a ≥，y R ∈ y a ≤-或y a ≥,x R ∈
顶点 ()1,0a A -、()2,0a A
()10,a A -、()20,a A
轴长 虚轴的长2b = 实轴的长2a =
焦点 ()1,0F c -、()2,0F c
()10,F c -、()20,F c
焦距 ()222122F F c c a b ==+
对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称 离心率 ()2
211c b e e a a
==+>,e 越大,双曲线的开口越阔
渐近线方程
b
y x a
=±
a y x b
=±
三、抛物线
1、定义:平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F 称为抛物线的焦点,定直线l 称为抛物线的准线.
2、抛物线的几何性质：
3、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A 、B 两点的线段AB ，称为抛物线的“通径”，即2p AB =．
4、关于抛物线焦点弦的几个结论:
设AB 为过抛物线22(0)y px p =>焦点的弦,1122(,)(,)A x y B x y 、
，直线AB 的倾斜角为θ，则
⑴ 221212,;4p x x y y p ==- ⑵ 22;sin p AB θ
= ⑶ 以AB 为直径的圆与准线相切; (4）
112.||||FA FB P
+= 四、直线与圆锥曲线的位置关系
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧⎩⎨
⎧⎩⎨⎧繁琐）利用两点间距离公式（易）利用一般弦长公式（容弦长问题直线与圆锥曲线相交的系）直线与圆锥曲线位置关代数角度（适用于所有
)
位置关系主要适用于直线与圆的(几何角度关系直线与圆锥曲线的位置
直线与圆锥曲线.12.直线与圆锥曲线的位置关系：
⑴.从几何角度看:(特别注意)要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时,直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时,直线与抛物线也只有一个交点。

⑵.从代数角度看：设直线L 的方程与圆锥曲线的方程联立得到02=++c bx ax 。

①. 若a =0,当圆锥曲线是双曲线时，直线L 与双曲线的渐进线平行或重合;
当圆锥曲线是抛物线时,直线L 与抛物线的对称轴平行或重合。

②.若0≠a ,设ac b 42-=∆。

a .0>∆时,直线和圆锥曲线相交于不同两点,相交。

b ．0=∆时,直线和圆锥曲线相切于一点，相切。

ｃ.0<∆时,直线和圆锥曲线没有公共点,相离。

五、弦长问题:
直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点,化解这个难点的方法是：设而不
求，根据根与系数的关系，进行整体代入。

即当直线()k 斜率为与圆锥曲线交于点()11y ,x A ,()22y ,x B 时,则
AB ＝2k 1+21x x -=2
k 1+()212214x x x x -+ =211k +
2
1y y -=2
1
1k +()212214y y y y -+。