《3.1.1-特征值与特征向量》习题2

《3.1.1-特征值与特征向量》习题2

《3.1.1 特征值与特征向量》习题2

1．求矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－1 0 5 6的特征值和特征向量．

2. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤1 22 x 的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．

3. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤ 1 －2－1 －3，向量α＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤ 3－5，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤24. (1)求向量2α＋3β在矩阵M 表示的变换作用下的象；

(2)向量γ＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤12是矩阵M 的特征向量吗？为什么？

4. 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤ 1 2－1 4，设向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，试计算A 5β的值．

5. 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤1 －1a 1，其中a ∈R ，若点P (1,1)在矩阵A 的变换下得到点P ′(0，－3)

(1)求实数a 的值；

(2)求矩阵A 的特征值及特征向量．

6. 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤3 3c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤ 3－2，求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．

7. 已知矩阵A 对应的变换是先将某平面图

形上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，再将所得图形绕原点按顺时针方向旋转90°.

(1)求矩阵A 及A 的逆矩阵B ；

(2)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤3 32 4，求M 的特征值和特征向量；

(3)若α＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤81在矩阵B 的作用下变换为β，求M 50β.(结果用指数式表示)

8. 已知二阶矩阵M 的一个特征值λ＝8及与

其对应的一个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)．

(1)求矩阵M ；

(2)求矩阵M 的另一个特征值及与其对应的另一个特征向量α2的坐标之间的关系；

(3)求直线l ：x －y ＋1＝0在矩阵M 的作用下的直线l ′的方程．

9. 给定矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦

⎥⎥⎤ 23 －13－13 23，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2及向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，α2＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤ 1－1. (1)求证M 和N 互为逆矩阵；

(2)求证α1和α2都是矩阵M 的特征向量．

10．给定矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 56 1及向量α＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－2 9. (1)求矩阵M 的特征值及与其对应的特征向量α1，α2；

(2)确定实数a ，b ，使向量α可以表示为α＝a α1＋b α2；

(3)利用(2)中的表达式计算M 3α，M n α；

(4)从(3)中的运算结果，你能发现什么？

参考答案

1.【解】 矩阵M 的特征多项式

f (λ)＝⎪⎪⎪⎪

⎪⎪λ＋1 0－5 λ－6＝(λ＋1)(λ－6)． 令f (λ)＝0，解得矩阵M 的特征值λ1＝－1，

λ2＝6.将λ1＝－1代入方程组

⎩⎨⎧

λ＋1x ＋0·y ＝0，－5x ＋λ－6y ＝0， 易求得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 7－5为属于λ1＝－1的一个特征向量．将λ2＝6代入方程组

⎩⎨⎧ λ＋1x ＋0·y ＝0，－5x ＋λ－6y ＝0，

易求得⎣⎢⎡⎦⎥⎤01为属于λ2＝6的一个特征向量．综上所述，M ＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－1 0 5 6的特征值为λ1＝－1，λ2＝6，属于λ1＝－1的一个特

征向量为⎣⎢⎡⎦

⎥⎤ 7－5，属于λ2＝6的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤01. 2．【解】 矩阵M 的特征多项式为

f (λ)＝⎪⎪⎪⎪

⎪⎪λ－1 －2－2 λ－x ＝(λ－1)(λ－x )－4 因为λ1＝3为方程f (λ)＝0的一根，所以x ＝1

由(λ－1)(λ－1)－4＝0得λ2＝－1，

设λ2＝－1对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤x y ， 则由⎩⎨⎧

－2x －2y ＝0，－2x －2y ＝0得x ＝－y 令x ＝1，则y ＝－1.

所以矩阵M 的另一个特征值为－1，对应的

一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤ 1－1. 3． 【解】 (1)因为2α＋3β＝2⎣⎢⎡⎦

⎥⎤ 3－5＋3⎣⎢⎡⎦⎥⎤24＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 2，所以M (2α＋3β)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －2－1 －3⎣⎢⎡⎦

⎥⎤12 2＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤ 8－18，所以向量2α＋3β在矩阵M 表示的变换作用下的象为⎣⎢⎡⎦

⎥⎤ 8－18. (2)向量γ＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤12不是矩阵M 的特征向量．理由如下：Mγ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －2－1 －3⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3－7，向量⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－3－7

与向量γ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12不共线，所以向量γ＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤12不是矩阵M 的特征向量．

4． 【解】 矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪

⎪⎪λ－1 －21 λ－4＝λ2－5λ＋6＝0， 解得λ1＝2，λ2＝3.

当λ1＝2时，得α1＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤21； 当λ2＝3时，

得α2＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤11， 由β＝m α1＋n α2，

得⎩⎨⎧

2m ＋n ＝7m ＋n ＝4， 得m ＝3，n ＝1，

∴A 5β＝A 5(3α1＋α2)

＝3(A 5α1)＋A 5α2

＝3(λ51α1)＋λ52α2