2019版江西中考数学总复习专题六二次函数的综合探究(压轴题)类型5针对训练
第二部分 专题六 类型五1．对于直线l 1：y ＝ax ＋b (a ＜0，b ＞0)，有如下定义：我们把直线l 2：y ＝－1a(x ＋b )称为它的“姊线”．若l 1与x ，y 轴分别相交于A ，B 两点，l 2与x ，y 轴分别相交于C ，D 两点，我们把经过点A ，B ，C 的抛物线C 叫做l 1的“母线”．(1)若直线l 1：y ＝ax ＋b (a ＜0，b ＞0)的“母线”为C ：y ＝－12x 2－x ＋4，求a ，b 的值；(2)如图，若直线l 1：y ＝mx ＋1(m ＜0)，G 为AB 中点，H 为CD 中点，连接GH ，M 为GH 中点，连接OM ，若OM ＝56，求出l 1的“姊线”l 2与“母线”C 的函数解析式； (3)将l 1：y ＝－3x ＋3的“姊线”绕着D 点旋转得到新的直线l 3：y ＝kx ＋n ，若点P (x ，y 1)与点Q (x ，y 2)分别是“母线”C 与直线l 3上的点，当0≤x ≤1时，|y 1－y 2|≤3，求k 的取值范围．解：(1)对于抛物线y ＝－12x 2－x ＋4，令x ＝0，得到y ＝4，∴B (0,4)，令y ＝0，得到－12x 2－x ＋4＝0，解得x ＝－4或2，∴A (2,0)，C (－4,0)．∵y ＝ax ＋b 的图象过点A ，B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4.(2)如答图所示，连接OG ，OH .∵点G ，H 为斜边中点，∴OG ＝12AB ，OH ＝12CD .∵l 1：y ＝mx ＋1，∴l 1的“姊线”l 2为y ＝－1m(x ＋1)，∴B (0,1)，A (－1m ，0)，D (－1,0)，C (0，－1m)，∴OA ＝OC ，OB ＝OD .∵∠AOB ＝∠COD ，∴△AOB ≌△COD ， ∴AB ＝CD ，∠ABO ＝∠CDO ，∴OG ＝OH . ∵OG ＝GB ，OH ＝HC ，∴∠GOB ＝∠ABO ，∠HOC ＝∠OCD .∵∠ODC ＋∠OCD ＝90°，∴∠ABO ＋∠OCD ＝90°， ∴∠GOB ＋∠HOC ＝90°，∴∠HOG ＝90°， ∴OG ⊥OH ，∴△OGH 为等腰直角三角形．∵点M 为GH 中点，∴△OMG 为等腰直角三角形， ∴OG ＝2OM ＝106，∴AB ＝2OG ＝103， ∴OA ＝1032－12＝13，∴A (13，0)，∴C (0，13)，D (－1,0)．∴l 1的“姊线”l 2的函数解析式为y ＝13x ＋13，“母线”C 的函数的解析式为y ＝－3x2－2x ＋1.(3)l 1：y ＝－3x ＋3的“姊线”的解析式为y ＝13x ＋1，“母线”C 的解析式为y ＝－x2－2x ＋3，∴直线l 3：y ＝kx ＋1， ∵当0≤x ≤1时，|y 1－y 2|≤3，不妨设x ＝1，则y 1＝0，y 2＝k ＋1，由题意k ＋1＝±3，解得k ＝2或－4， ∴满足条件的k 是取值范围为－4≤k ≤2.2．我们定义：两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y 轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数．例如：y ＝2x 2＋4x －5的友好同轴二次函数为y ＝－x 2－2x －5.(1)请你分别写出y ＝－13x 2，y ＝13x 2＋x －5的友好同轴二次函数；(2)满足什么条件的二次函数没有友好同轴二次函数？满足什么条件的二次函数的友好同轴二次函数是它本身？(3)如图，二次函数L 1：y ＝ax 2－4ax ＋1与其友好同轴二次函数L 2都与y 轴交于点A ，点B ，C 分别在L 1，L 2上，点B ，C 的横坐标均为m (0＜m ＜2)，它们关于L 1的对称轴的对称点分别为B ′，C ′，连接BB ′，B ′C ′，C ′C ，CB .①若a ＝3，且四边形BB ′C ′C 为正方形，求m 的值；②若m ＝1，且四边形BB ′C ′C 的邻边之比为1∶2，直接写出a 的值．解：(1)∵1－(－13)＝43，∴函数y ＝－13x 2的友好同轴二次函数为y ＝43x 2.∵1－13＝23，1×(23÷13)＝2，∴函数y ＝13x 2＋x －5的友好同轴二次函数为y ＝23x 2＋2x －5.(2)∵1－1＝0，∴二次项系数为1的二次函数没有友好同轴二次函数． ∵1÷2＝12，∴二次项系数为12的二次函数的友好同轴二次函数是它本身．(3)∵二次函数L 1：y ＝ax 2－4ax ＋1的对称轴为直线x ＝－－4a 2a ＝2，∴其友好同轴二次函数L 2：y ＝(1－a )x 2－4(1－a )x ＋1.①∵a ＝3，∴二次函数L 1：y ＝ax 2－4ax ＋1＝3x 2－12x ＋1，二次函数L 2：y ＝(1－a )x 2－4(1－a )x ＋1＝－2x 2＋8x ＋1，∴点B 的坐标为(m,3m 2－12m ＋1)，点C 的坐标为(m ，－2m 2＋8m ＋1)，∴点B ′的坐标为(4－m,3m 2－12m ＋1)， 点C ′的坐标为(4－m ，－2m 2＋8m ＋1)，∴BC ＝－2m 2＋8m ＋1－(3m 2－12m ＋1)＝－5m 2＋20m ，BB ′＝4－m －m ＝4－2m . ∵四边形BB ′C ′C 为正方形， ∴BC ＝BB ′，即－5m 2＋20m ＝4－2m ，解得m 1＝11－1015，m 2＝11＋1015(不合题意，舍去)，∴m 的值为11－1015.②当m ＝1时，点B 的坐标为(1，－3a ＋1)， 点C 的坐标为(1,3a －2)， ∴点B ′的坐标为(3，－3a ＋1)， 点C ′的坐标为(3,3a －2)，∴BC ＝|3a －2－(－3a ＋1)|＝|6a －3|，BB ′＝3－1＝2.∵四边形BB ′C ′C 的邻边之比为1∶2，∴BC ＝2BB ′或BB ′＝2BC ，即|6a －3|＝2×2或2＝2|6a －3|，解得a 1＝－16，a 2＝76，a 3＝13，a 4＝23，∴a 的值为－16，76，13或23.3．在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知两个函数，如果对于任意的自变量x ，这两个函数对应的函数值记为y 1，y 2，都有点(x ，y 1)和(x ，y 2)关于点(x ，x )中心对称(包括三个点重合时)，由于对称中心都在直线y ＝x 上，所以称这两个函数为关于直线y ＝x 的特别对称函数．例如：y ＝12x 和y ＝32x 为关于直线y ＝x 的特别对称函数．(1)若y ＝3x ＋2和y ＝kx ＋t (k ≠0)为关于直线y ＝x 的特别对称函数，点M (1，m )是y ＝3x ＋2上一点．①点M (1，m )关于点(1,1)中心对称的点坐标为 (1，－3). ②求k ，t 的值．(2)若y ＝3x ＋n 的图象和它的特别对称函数的图象与y 轴围成的三角形面积为2，求n 的值．(3)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 和y ＝x 2＋d 为关于直线y ＝x 的特别对称函数． ①直接写出a ，b 的值．②已知点P (－3,1)，点Q (2,1)，连接PQ ，直接写出y ＝ax 2＋bx ＋c 和y ＝x 2＋d 两条抛物线与线段PQ 恰好有两个交点时d 的取值范围．解：(1)①∵点M (1，m )是y ＝3x ＋2上一点， ∴m ＝5，∴M (1,5)，∴点M 关于(1,1)中心对称点坐标为(1，－3)．②∵y ＝3x ＋2和y ＝kx ＋t (k ≠0)为关于直线y ＝x 的特别对称函数，∴3x ＋2＋kx ＋t2＝x ，∴(1＋k )x ＋(t ＋2)＝0，∴k ＝－1，t ＝－2. (2)设y ＝3x ＋n 的特别对称函数为y ＝m ′x ＋n ′， ∴3x ＋n ＋m ′x ＋n ′2＝x ，∴(1＋m ′)x ＋n ＋n ′＝0，∴m ′＝－1，n ′＝－n ，∴y ＝3x ＋n 的特别对称函数为y ＝－x －n ，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ＋n ，y ＝－x －n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12n ，y ＝－12n ，∵y ＝3x ＋n 的图象和它的特别对称函数的图象与y 轴围成的三角形面积为2，∴12|n －(－n )|×|－12n |＝2，∴n ＝±2.(3)①∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 和y ＝x 2＋d 为关于直线y ＝x 的特别对称函数， ∴ax 2＋bx ＋c ＋x 2＋d2＝x ，∴(a＋1)x2＋(b－2)x＋c＋d＝0，∴a＝－1，b＝2，c＝－d；②由①知，a＝－1，b＝2，c＝－d，∴二次函数y＝－x2＋2x－d和y＝x2＋d，∴这两个函数的对称轴为直线x＝1和x＝0.∵点P(－3,1)，点Q(2,1)，当d＜0时，如答图1，当抛物线C2：y＝x2＋d恰好过点P(－3,1)时，即9＋d＝1，d＝－8，当抛物线C1：y＝－x2＋2x－d恰好过点Q(2,1)时，即－4＋4－d＝1，∴d＝－1，y＝ax2＋bx＋c和y＝x2＋d两条抛物线与线段PQ恰好有两个交点时d的取值范围为－8≤d＜－1，如答图2，当0≤d＜1时，抛物线C2与线段PQ有两个交点，而抛物线C1与线段PQ没有交点，∴y＝ax2＋bx＋c和y＝x2＋d两条抛物线与线段PQ恰好有两个交点时d的取值范围为0≤d＜1，即：y＝ax2＋bx＋c和y＝x2＋d两条抛物线与线段PQ恰好有两个交点时d的取值范围为－8≤d＜－1或0≤d＜1.。
(江西专用)2019中考数学总复习第二部分专题综合强化 针对性试题(打包28套)
第二部分 专题一 类型一1．(2018·安徽)矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，点P 在矩形ABCD 的内部，点E 在边BC 上，满足△PBE ∽△DBC ，若△APD 是等腰三角形，则PE 的长为3或65.2．(2019·原创)正方形ABCD 的边长为4，E 是AD 的中点，点P 是直线BC 边上的动点，若CP ＝6，则EP 长为3．(2018·江西名校联盟二)△ABC 中，∠A ＝30°，AC ＝8，∠B ＝90°，点D 在AB 上，BD ＝3，点P 在△ABC 上，则当AP ＝2PD 时，PD 4．(2018·牡丹江)矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，点M 在对角线AC 上，且AM ∶MC ＝2∶3，过点M 作EF ⊥AC 交AD 于点E ，交BC 于点F .在AC 上取一点P ，使∠MEP ＝∠EAC ，则AP 的长为74或254.5．(2018·景德镇三模)如图，在菱形ABCD 中，其对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是线段BO 上的一个动点，点F 为射线DC 上一点，若∠ABC ＝60°，∠AEF ＝120°，AB ＝4，则EF 可能的整数值是2,3,4.6．(2018·上饶模拟)如图，一次函数y ＝kx ＋1的图象过点A (1,2)，且与x 轴相交于点B .若点P 是坐标轴上的一点，且满足∠APB ＝90°，则点P7．(2019·原创)如图，已知点A 为⊙O 上一点，射线AM 与⊙O 的另一交点为B ，且AB ＝8，⊙O 的半径为5.若P 为射线AM 上的一点，BP ＝2，则tan ∠OPA 的值为12或32.8．(2018·南昌三模)如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形ABCD 是平行四边形，点A ，B ，C 的坐标分别为A (0,4)，B (－2,0)，C (8,0)，点E 是BC 的中点，点P 为线段AD 上的动点，若△BEP 是以BE 为腰的等腰三角形，则点P 的坐标为 (1,4)，(0,4)或(6,4).第二部分 专题一 类型二1．(2018·抚顺)如图，△AOB 三个顶点的坐标分别为A (8,0)，O (0,0)，B (8，－6)，点M 为OB 的中点．以点O 为位似中心，把△AOB 缩小为原来的12，得到△A ′O ′B ′，点M ′为O ′B ′的中点，则MM ′的长为52或152.2．(2018·吉安二模)如图，在反比例函数图象中，△AOB 是等边三角形，点A 在双曲线的一支上，将△AOB 绕点O 顺时针旋转α(0°＜α＜360°)，使点A 仍在双曲线上，则α＝_30°，180°，210°.3．(2018·江西模拟)如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，点P 为射线AB 上一个动点．过点P 作PE ⊥AB 交射线AD 于点E .将△AEP 沿直线PE 折叠，点A 的对应点为F ，连接FD ，FC ，若△FDC 为直角三角形时，AP 的长为12或32.4．(2018·高安四模)如图，OA ⊥OB 于点O ，OA ＝4，⊙A 的半径是2，将OB 绕点O 按顺时针方向旋转，当OB 与⊙A 相切时，OB 旋转的角度为60°或120°.5．(2018·宜春三模)如图，Rt △ABC 纸片中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点D 在边BC 上，以AD 为折痕将△ABD 折叠得到△AB ′D ，AB ′与边BC 交于点E .若△DEB ′为直角三角形，则BD 的长是2或5.6．(2019·原创)将边长为6的正方形ABCD 绕点A 旋转30°，得到正方形AB ′C ′D ′，则BD 7．(2018·江西二模)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝7，点E 是AD 上一个动点，把△BAE 沿BE 向矩形内部折叠，当点A 的对应点A ′恰好落在∠BCD 的平分线上时，CA ′的长为8．(2018·萍乡模拟)如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，若△ABC 沿射线BC 方向平移m 个单位得到△DEF ，顶点A ，B ，C 分别与D ，E ，F 对应，若以点A ，D ，E 为顶点的三角形是等腰三角形，则m 的值是258，5或8.9．(2018·九江模拟)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝3，D 为BC 上一点，且∠ADB ＝120°.若将线段AD 绕点A 旋转30°，得到AD ′，则以BD ′为边长的正方形的面积为10．(2018·江西四模)如图，正方形ABCD 的边长为4，在AD 边上存在一个动点E (不和点A ，D 重合)，沿BE 把△ABE 折叠，当点A 的对应点A ′恰好落在正方形ABCD 的对称轴上时，则AE 的长为3第二部分 专题一 类型三1．(2018·鹰潭模拟)如图，有一三角形纸片ABC ，∠A ＝80°，点D 是AC 边上一点，沿BD 方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C 的度数可以是25°或40°或10°.2．(2019·原创)如图所示，在纸片ABCD 中，已知AB ∥DC ，∠D ＝90°，AD ＝8，AB ＝3，CD ＝4，点E 为AD 边上一点，小明沿EB ，EC 用剪刀将纸片ABCD 剪成三张三角形纸片，要使其中的△EAB 与△EDC 相似，则AE 的长为247，2或6.3．(2018·江西模拟)在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的四边形ABCD ，其中AB ＝2，BC＝4，CD ＝3，∠B ＝∠C ＝90°，则原三角形纸片的斜边长是4．(2019·原创)用直角边分别为3和4的两个直角三角形拼成凸四边形，所得的四边形的周长是14或16或18.5．(2018·江西模拟)如图，将一条长为7 cm 的卷尺铺平后折叠，使得卷尺自身的一部分重合，然后在重合部分(阴影处)沿与卷尺边垂直的方向剪一刀，此时卷尺被分成了三段，若这三段长度由短到长之比为1∶2∶4，其中没完全盖住的部分最长，则折痕对应的刻度可能是2或2.5 cm.6．(2018·抚州模拟)已知△ABC 是等边三角形，且AB ＝4，△ACD 是一个含30°角的直角三角形，现将△ABC 和△ACD 拼成一个凸四边形ABCD ，则对角线BD 的长为37．(2018·上饶二模)如图，在等腰三角形纸片ABC 中，AB ＝AC ＝5 cm ，BC ＝6 cm ，若将△ABC 沿底边BC 上的高AD 剪成两个三角形，再用这两个三角形拼成一个平行四边形，则这个平行四边形较长的对角线的长是8．(2018·宜春二模)将两块全等的三角板如图放置，点O 为AB 的中点，AB ＝A ′B ′＝10，BC ＝B ′C ′＝6，现将三角板A ′B ′C ′绕点O 旋转，B ′C ′，A ′B ′与边AC 分别交于点M ，N ，当△OMN 与△BCO 相似时，CM 的长度为258或74.第二部分 专题二 类型一1．(2018·江西模拟)如图，已知C 为AB 的中点，分别以AC ，BC 为边，在AB 的同侧作等边△ACE与等边△BCD，连接BE，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图．(保留作图痕迹，不写作法)(1)在图1中，作出AE的中点P；(2)在图2中，过点C作AE的垂线l.解：(1)如答图1，点P即为所求．(2)如答图2，直线l即为所求．2．(2018·吉安模拟)根据下列条件和要求，仅使用无刻度的直尺画图，并保存画图痕迹．(1)如图1，△ABC中，∠C＝90°，在三角形的一边上取一点D，画一个钝角△DAB；(2)如图2，△ABC中，AB＝AC，ED是△ABC的中位线，画出△ABC中∠BAC的角平分线．解：(1)如答图1，△DAB即为所求．(2)如答图2，AF即为∠BAC的角平分线．3．(2018·江西师大附中模拟)在△ABE中，点C，D分别为AE，BE的中点，请仅用无刻度的直尺按要求作图．(不写作法，保留作图痕迹)(1)如图1，AE＝BE，作出AB的垂线；(2)如图2，AE≠BE，作出BE的平行线l.解：(1)如答图1，直线EM即为所求．(2)如答图2，直线l即为所求．4．(2018·鹰潭模拟)请仅用无刻度的直尺按要求作图．(不写作法，保留作图痕迹)(1)如图1，AD，BE是△ABC的角平分线，且相交于点O，作出∠C的平分线；(2)如图2，AC与BD相交于点O，且∠DAO＝∠BAO＝∠CBO＝∠ABO，作出∠AOB的平分线．解：(1)如答图1，CF即为所求．(2)如答图2，OF即为所求．5．(2018·新余模拟)如图，C，D是线段AB的三等分点，分别以AC，CD，DB为边向AB 上方作等边三角形，请仅用无刻度的直尺完成下列作图．(不写作法，保留作图痕迹)(1)在图1中，作AB的中点P；(2)在图2中，作一个矩形．解：(1)如答图1(或答图2,3)，点P即为所求．(2)如答图4，矩形MCNF即为所求．(答案不唯一)6．(2018·萍乡模拟)请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1和图2中画出BC 的垂直平分线．(保留作图痕迹，不写作法)(1)如图1，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，点D为△ABC内一点，BD＝CD；(2)如图2，AB＝AC，E，F分别为AB，AC的中点．解：(1)如答图1，AE即为所求．(2)如答图2，AG即为所求．第二部分专题二类型二1．(2018·临川一中模拟)如图，是由两个全等的矩形拼在一起的图形，请仅用无刻度的直尺，直接在图中用连线的方式按要求画出图形，并用字母表示所画图形．(1)在图1中画出一个平行四边形(要求不与原矩形重合)；(2)在图2中画出一个菱形．解：(1)如答图1，四边形ABCD即为所求平行四边形．(2)如答图2，四边形ABCD即为所求菱形．2．(2018·南昌二中模拟)如图1、图2，四边形ABCD是正方形，DE＝CE.请仅用无刻度的直尺按要求完成下列画图．(1)在图1中，画出CD边的中点；(2)在图2中，画出AD边的中点．解：(1)如答图1，点F即为所求．(2)如答图2，点M即为所求．3．(2018·遂川模拟)如图，在四边形ABCD中，AB＝AC，BD＝DC，BE∥DC，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图．图1 图2(1)在图1中，画一个以AB为边的直角三角形；(2)在图2中，画一个菱形．解：(1)如答图1，Rt△AOB即为所求．(2)如答图2，四边形BFCD即为所求．4．(2018·章贡区模拟)如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，且AE＝EC，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图(保留作图痕迹)．(1)在图1中，画出∠DAE的平分线；(2)在图2中，画出∠AEC的平分线．解：(1)如答图1，AC即为所求．(2)如答图2，EF即为所求．5．(2018·江西样卷七)如图，在□ABCD中，点E在BC上，AB＝BE，BF平分∠ABC交AD于点F，请仅用无刻度的直尺，按要求画图(保留作图痕迹，不写画法)．(1)在图1中，过点A画出△ABF中BF边上的高；(2)在图2中，过点C画出BF的垂线．解：(1)如答图1，AG即为所求．(2)如答图2，CH即为所求．6．(2019·原创)如图，菱形ABCD，点P是AB的中点，连接CP.请仅用无刻度的直尺按要求画图．(1)在图1中画出BC边的中点E；(2)在图2中画出∠DCF，使得∠DCF＝∠BCP.解：(1)如答图1，点E即为所求．(2)如答图2，∠DCF即为所求．第二部分专题二类型三1．(2018·九江模拟)已知正六边形ABCDEF ，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．(1)在图1中，以AB 为边，作等边三角形； (2)在图2中，作一个含30°角的直角三角形．解：(1)如答图1，△AOB 即为所求． (2)如答图2，△FCD 即为所求．2．(2018·江西样卷五)如图，正六边形ABCDEF 的边长为1，请仅用无刻度的直尺按要求画图．(1)在图1中画出一条长度为12的线段；(2)在图2中画出一条长度为13的线段．解：(1)如答图1，线段AG 即为所求． (2)如答图2，线段HO 即为所求．3．(2018·江西模拟)如图，已知正八边形ABCDEFGH ，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．(1)在图1中，作出一个正方形； (2)在图2中，作出一个等腰直角三角形．解：(1)如答图1，四边形BDFH即为所作的正方形(答案不唯一)；(2)如答图2，△BFH即为所求．(答案不唯一)4．(2018·江西师大附中模拟)如图，已知正八边形的边长为2，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．(1)在图1中，作出一个边长不为2的正方形；(2)在图2中，作出一个不是正方形的菱形．解：(1)如答图1，四边形ABCD即为所作正方形．(答案不唯一，画图正确即可)(2)如答图2.(答案不唯一，画图正确即可)5．(2018·吉安模拟)如图，在五边形ABCDE中，AB＝AE＝DE，CD＝CB，∠ABC＝120°.请仅用无刻度的直尺按要求画出图形．(1)在图1中，作出图形的对称轴l；(2)在图2中，作出一个正六边形．解：(1)如答图1，l即为所求；(2)如答图2，正六边形ABPJDE即为所求．第二部分专题二类型四1．如图，在边长为1的正方形网格中画一个圆心为O的半圆，请按要求准确画图．(1)请在图1中仅用无刻度的直尺连线将半圆的面积三等份；(2)请在图2网格中以O为圆心，用直尺与圆规画一个与已知半圆的半径不同，但面积相等的扇形．解：(1)作图如答图1；(2)作图如答图2.2．(2018·吉安十校联考二模)如图，8个完全相同的小矩形拼成了一个大矩形，AB是其中一个小矩形的对角线，请按照下列要求画图，要求：①仅用无刻度的直尺；②保留必要的画图痕迹．(1)在图1中，画出一个45°的角，使点A或者点B是这个角的顶点，且AB为这个角的一边．(2)在图2中，画出线段AB的垂直平分线．解：(1) 如答图1，∠BAC或∠ABC即为所求．(画法有多种，正确画出一种即可)(2)如答图2，MN 即为所求．(画法不唯一)3．(2018·宜春模拟)如图，下列正方形网格的每个小正方形的边长均为1，⊙O 的半径为10，规定：顶点既在圆上又是正方形格点的直角三角形称为“圆格三角形”，请仅用使用无刻度的直尺，分别按照下列条件，在图1，图2中画一个“圆格三角形”，(1)一个锐角的正切值为13 ；(2)面积为8.解：(1)如答图1，直角边长为2,6的Rt △ACB 即为所求．(画法不唯一，正确即可) (2)如答图2，直角边分别为22，42的Rt △ABC 即为所求．(画法不唯一，正确即可)4．(2018·崇仁二中模拟)如图所示，在4×4的菱形斜网格图中(每一个小菱形的边长为1，有一个内角是60°)，线段AB 的端点在格点上，请仅用无刻度的直尺在下列图形中按要求画图．(1)在图1中，画出一个以AB 为边，且顶点均在格点上的等腰三角形；(2)在图2中，画出一个以AB 为边的面积最大的平行四边形，且该平行四边形的顶点均在格点上．解：(1)如答图1.(画法不唯一，正确画出一种即可) (2)如答图2, 平行四边形ABFG 即为所求．5．(2018·广昌一中模拟)图1、图2是两张形状大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，线段AB，EF的端点均在小正方形的顶点上，请仅用无刻度直尺按要求完成下列作图(保留作图痕迹，不写作法)．(1)如图1，作出以AB为对角线的正方形；(2)如图2，以线段EF为一边作出等腰△EFG(点G在小正方形顶点处)且顶角∠EFG为钝角．解：(1)如答图1，正方形AEBF即为所作；(2)如答图2，△EFG即为所作．第二部分专题二类型五1．(2018·江西模拟)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，请仅用无刻度的直尺在下列图形中按要求画图．(1)在图1中，已知OD⊥BC于点D，画出∠A的角平分线；(2)在图2中，已知OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，画出∠A的角平分线．解：(1)如答图1，AM即为所求；(2)如答图2，AG即为所求．2．(2018·芦溪模拟)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，AC＝AB，请仅用无刻度的直尺画图(保留作图痕迹，不写作法)．(1)△ABC的中线BE；(2)以D为切点⊙O的切线DT.解：(1)如答图1，BE即为所求；(2)如答图2，DT即为所求．3．(2018·广丰模拟)如图，⊙O与⊙P相交于A，B两点，且AC，AB分别是⊙O，⊙P 的直径，AC＝2AB，下面请你仅用无刻度直尺按要求画图．(1)在AmC上确定一点D，连接DA，使DA⊥AB；(2)在(1)中，画OE⊥AD于点E.解：(1)如答图，作直径BD，连接AD，则∠BAD＝90°即为所求．(2)如答图，设AC与⊙P交于点G，作法：作射线BG延长线交⊙O于点F，连接OF交AD于点E，则OE⊥AD即为所求．4．(2018·赣州名校联盟模拟)已知四边形ABCD内接于⊙O，且已知∠ADC＝120°；请仅用无刻度直尺完成以下作图(保留作图痕迹，不写作法，写明答案)．(1)在图1中，AD＝CD，在⊙O上求作一个度数为30°的圆周角；(2)在图2中，AD≠CD，在⊙O上求作一个度数为30°的圆周角．解：(1)如答图1，∠ABD＝30°或∠CBD＝30°(连接弦BD)，即为所求作的圆周角.(2)如答图2，∠CAE＝30°，或如答图3中∠ACF＝30°，均为所求作的圆周角．5．(2018·萍乡模拟)如图，点A，B在⊙O上，点O是⊙O的圆心，请你仅用无刻度的直尺，分别画出图1和图2中∠A的余角．(1)图1中，点C在⊙O上；(2)图2中，点C在⊙O内；解：(1)如答图1，∠DBC即为所求．(答案不唯一)(2)如答图2，∠FBE即为所求．(答案不唯一)第二部分专题三类型一1．“低碳环保，你我同行”．近两年，某市区的公共自行车给市民出行带来了极大的方便．图1是公共自行车的实物图，图2是公共自行车的车架示意图，点A ，D ，C ，E 在同一条直线上，CD ＝30 cm ，DF ＝20 cm ，AF ＝25 cm ，FD ⊥AE 于点D ，坐杆CE ＝15 cm ，且∠EAB ＝75°.(1)求AD 的长；(2)求点E 到AB 的距离．(参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73)解：(1)在Rt △ADF 中，由勾股定理得，AD ＝AF 2－FD 2＝252－202＝15(cm)；(2)AE ＝AD ＋CD ＋EC ＝15＋30＋15＝60(cm)， 如答图，过点E 作EH ⊥AB 于点H ， 在Rt △AEH 中，sin ∠EAH ＝EHAE，则EH ＝AE ·sin ∠EAH ＝AE ·sin75°≈60×0.97＝58.2(cm)．答：点E 到AB 的距离为58.2 cm.2．(2018·吉安模拟)某市需要新建一批公交车候车厅，设计师设计了一种产品(如图1)，产品示意图的侧面如图2所示，其中支柱DC 长为2.1 m ，且支柱DC 垂直于地面DG ，顶棚横梁AE 长为1.5 m ，BC 为镶接柱，镶接柱与支柱的夹角∠BCD ＝150°，与顶棚横梁的夹角∠ABC ＝135°，要求使得横梁一端点E 在支柱DC 的延长线上，此时经测量得镶接点B 与点E 的距离为0.35 m(参考数据：2≈1.41，sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，结果精确到0.1 m)．(1)求EC 的长；(2)求点A 到地面DG 的距离．解：(1)如答图，连接EC .可得∠EBC ＝45°，∠ECB ＝30°.过点E 作EP⊥BC 于点P .如答图，EP ＝BE ·sin45°≈0.25(m)．EC ＝2EP ＝0.5 m.(2)过点A 作AF ⊥DG ，垂足为F ，过点E 作EM ⊥AF ，垂足为M ，AM ＝AE ·sin15°＝1.5×0.26＝0.39(m)．AF ＝AM ＋CE ＋DC ＝0.39＋0.5＋2.1＝3.2(m)．所以点A 到地面DG 的距离是3.2 m.3．(2018·江西样卷)如图1，是某校的简易车棚的支撑架，其示意图如图2. 经测量知AB ＝210 cm ，BE ＝110 cm ，BF ＝100 cm ，BD ＝OD ＝80 cm ，OA ＝160 cm.(1)求棚顶EF 与水平面MN 的倾斜角；(结果精确到1度) (2)求车棚的边沿E 到地面MN 的距离．(结果精确到1 cm) (参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32)图1 图2解：(1)如答图，过点D 作DG ⊥AB 于点G ， ∵BD ＝OD ，DG ⊥AB ，∴BG ＝OG ＝12OB ＝12×(210－160)＝25(cm)．在Rt △BDG 中，sin ∠BDG ＝BG BD ＝2580＝0.3125≈0.31，∴∠BDG ＝18°. ∴棚顶EF 与水平面MN 的倾斜角约为18°.第3题答图(2)过点E ，作EH ⊥AB 延长线，垂足分别为H ， ∵EH ⊥AB, DG ⊥AB ， ∴EH ∥DG ，∴∠BEH ＝∠BDG ＝18°. 在Rt △BEH 中， sin ∠BEH ＝BH BE，∴BH ＝BE ·sin18°＝110×0.31≈34(cm)， ∴AH ＝AB ＋BH ＝210＋34＝244(cm)．∴车棚的边沿E 到地面MN 的距离约为244 cm.4．(2018·江西模拟)如图1是一种简易台灯，在其结构图2中灯座为△ABC (BC 伸出部分不计)，A ，C ，D 在同一直线上．量得∠ACB ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝16 cm ，∠ADE ＝135°，灯杆CD 长为40 cm ，灯管DE 长为15 cm.(1)求DE 与水平桌面(AB 所在直线)所成的角；(2)求台灯的高(点E 到桌面的距离，结果精确到0.1 cm)．(参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin30°≈0.5，cos30°≈0.87，tan30°≈0.58)解：(1)如答图所示，过点D 作DF ∥AB ，过点D 作DN ⊥AB 于点N ，过点E 作EF ⊥AB 延长线于点M ，第4题答图由题意可得，四边形DNMF 是矩形，则∠NDF ＝90°， ∵∠A ＝60°，∠AND ＝90°， ∴∠ADN ＝30°，∴∠EDF ＝135°－90°－30°＝15°，即DE 与水平桌面(AB 所在直线)所成的角为15°.(2)如答图所示，∵∠ACB ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝16 cm ，∴∠ABC ＝30°，则AC ＝12AB＝8 cm ，∵灯杆CD 长为40 cm ，∴AD ＝AC ＋CD ＝8＋40＝48(cm)，∴DN ＝AD ·sin60°＝24 3 cm ，则FM ＝24 3 cm ， ∵灯管DE 长为15 cm ，∴sin15°＝EF DE ＝EF15＝0.26，解得EF ＝3.9.故台灯的高为EF ＋FM ＝3.9＋243≈45.5(cm)．5．(2018·宜春模拟)一书架上的方格中放置四本厚度和长度相同的书，其中书架方格长BF ＝40 cm ，书的长度AB ＝20 cm ，设一本书的厚度为x cm.(1)如图1左边三本书紧贴书架方格内侧竖放，右边一本书自然向左斜放，支撑点为C ，E ，最右侧书一个角正好靠在方格内侧上，若CG ＝4 cm ，求EF 的长度；(2)如图2左边两本书紧贴书架方格内侧竖放，右边两本书自然向左斜放，支撑点为C ，E ，最右侧书的下面两个角正好靠在方格内侧上，若∠DCE ＝30°，求x 的值(保留一位小数)．(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)解：(1)∵∠CEH ＝90°，∴∠CED ＋∠HEF ＝90°. 又∵∠CED ＋∠DCE ＝90°，∴∠DCE ＝∠HEF . 又∵∠CDE ＝∠EFH ＝90°，∴△CDE ∽△EFH ， ∴CE EH ＝CDEF，又∵CE ＝DG ＝20 cm ，CG ＝4 cm ， ∴CD ＝16 cm ，由勾股定理得DE ＝12， ∴20x ＝16EF ，∴EF ＝4x 5. ∵BD ＋DE ＋EF ＝40， ∴3x ＋12＋45x ＝40，∴x ＝14019，EF ＝45×14019＝11219(cm)．(2)∵AB ＝CE ＝20 cm ，∠DCE ＝30°，∴DE ＝10 cm. 在Rt △EGM 中，∵∠GEM ＝∠DCE ＝30°，EG ＝x cm ， ∴EM ＝233x cm ，在Rt △MFH 中，∵∠GEM ＝∠HMF ＝30°，MH ＝x cm ， ∴FM ＝32x cm ， ∴BF ＝BD ＋DE ＋EM ＋FM ＝2x ＋10＋233x ＋32x ＝40，化简(12＋73)x ＝180，x ≈7.5 cm.第二部分 专题三 类型二1．(2017·江西样卷)某大学计划为新生配备如图1所示的折叠椅．图2是折叠椅撑开后的侧面示意图，其中椅腿AB 和CD 的长相等，O 是它们的中点．为使折叠椅既舒适又牢固，厂家将撑开后的折叠椅高度设计为32 cm ，∠DOB ＝100°，那么椅腿的长AB 和篷布面的宽AD 各应设计为多少 cm ？(结果精确到0.1 cm)解：连接AC ，BD ，∵OA ＝OB ＝OC ＝OB, ∴四边形ACBD 为矩形， ∵∠DOB ＝100°， ∴∠ABC ＝50°，由已知得AC ＝32 cm ，在Rt △ABC 中，sin ∠ABC ＝AC AB， ∴AB ＝ACsin ∠ABC ＝32sin50°≈41.8(cm ),tan ∠ABC ＝AC BC， ∴BC ＝ACtan ∠ABC ＝32tan50°≈26.9(cm)．∴AD ＝BC ＝26.9(cm)．答：椅腿AB 的长约为41.8 cm ，篷布面的宽AD 约为26.9 cm.2．(2017·江西样卷)阳台窗外活动伸缩衣架如图1所示，动点G 由点A 滑动到点B 时，伸缩衣架完全张开，如图2所示，其中CBA 垂直于地面，点C ，F ，P 在同一水平线上，侧面活动支架均相互平分，测得BC ＝20 cm, GF ＝CE ＝36 cm ，点D 为支架GF ，CE 的中点．(1)求伸缩衣架完全张开时∠CDG 的度数；(2)求伸缩衣架完全张开时CP 的长．(精确到0.1，可使用科学计算器) (参考数据： sin33.75°≈0.5555, cos33.75°≈0.8315)解：(1)∵GF ＝CE ＝36 cm ，点D 为GF ，CE 的中点，∴GD ＝CD ＝18 cm ， 如答图，过点D 作DN ⊥AC 于点N,∴CN ＝12BC ＝10 cm ，∵sin ∠CDN ＝CN CD ＝1018≈0.5555，∴∠CDN ≈33.75°，∴∠CDG ≈67.5°.(2) ∵横杆完全张开时，∠CDG ≈67.5°，即∠CDN ≈33.75°，cos33.75°＝DN CD ＝DN18，∴DN ＝cos33.75°×18≈14.967 cm，∴完全张开时PC ＝14.967×8＝119.736≈119.7 cm.3．(2018·江西样卷)如图1是楼梯及扶手的一部分，将实物图的主体部分抽象成图2，楼梯踏步宽度MN ＝30 cm ，高度NG ＝15 cm ，且F ′A ′，FA 均与楼面垂直，A ，A ′分别是GH ，G ′H ′的中点， AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EF ＝16 cm ，A ′B ′＝B ′C ′＝C ′D ′＝D ′E ′＝E ′F ′＝16 cm ，FP ＝8 cm.(1)判断BB ′与FF ′的位置关系？并说明理由； (2)求tan ∠EFP 的值；(3)求点P 到水平楼面的距离(精确到0.1 cm) . (参考数据：2≈1.4，3≈1.7，5≈2.3)解：(1)BB ′∥FF ′.∵F ′A ′，FA 均与楼面垂直，∴F ′A ′∥FA .又∵AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EF ＝16 cm ，A ′B ′＝B ′C ′＝C ′D ′＝D ′E ′＝E ′F ′＝16 cm. ∴F ′B ′＝FB .∴四边形F ′B ′BF 是平行四边形． ∴BB ′∥FF ′.第3题答图(2)延长AG ，B ′A ′相交于点K ，连接AA ′.由题意知，FA ，F ′A ′均与楼面垂直，易知，AF ∥A ′F ′，△KA ′A 为直角三角形． 又由题意知，GH ＝G ′H ′＝MN ＝30 cm ， ∵A ，A ′分别是GH ，G ′H ′的中点， ∴GA ＝A ′H ′＝15 cm.∴KA ＝A ′H ′＋MN ＋GA ＝15＋30＋15＝60(cm)． 易知：A ′K ＝H ′M ＋NG ＝15＋15＝30 cm. 在Rt △KA ′A 中，KA ＝60 cm ，KA ′＝30 cm ， ∴tan ∠KA ′A ＝KA KA ′＝6030＝2. ∵AF ∥A ′F ′，∴∠EFP ＝∠KA ′A ， ∴tan ∠EFP ＝tan ∠KA ′A ＝2. (3)过点P 作PP ′⊥AF 交AF 于点P ′. 在Rt △P ′FP 中， tan ∠EFP ＝2，∴cos ∠EFP ＝15. ∴P ′F FP ＝15.∵FP ＝8，∴P ′F ＝855. ∴点P 到水平楼面的距离为 16×5＋15－855＝95－855≈91.3 cm.第二部分 专题三 类型三1．“五一”节，小莉和同学一起到游乐场玩．游乐场的大型摩天轮的半径为20 m ，匀速旋转1周需要12 min.小莉乘坐最底部的车厢(离地面0.5 m)开始1周的观光，5 min 后小莉离地面的高度是多少？(精确到0.1 m ．下列数据供参考：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236)解：如答图，设经过5 min 后，小明从点B 到达点C 的位置．由题意知，OC ＝20，∠COA＝360°×512＝150°.延长AO 交⊙O 于点E ，过点C 作CD ⊥AE ，垂足为D .在Rt △COD 中，∵∠COD ＝180°－∠COA ＝180°－150°＝30°，∴OD ＝OC ·cos∠COD ＝20×cos 30°＝10 3.∴AD ＝AB ＋BO ＋OD ＝0.5＋20＋103≈37.8(m)．答：5 min 后小莉离地面的高度约为37.8 m.2．(2018·遂川模拟)如图1是校园内的一种铁制乒乓球桌，其侧面简化结构如图2所示，直线型支架的上端A ，B 与台面下方相连，与圆弧形底座支架EF 在C ，D 处相连接，支架AC 与BD 所在的直线过EF ︵ 的圆心，若AB ＝200 cm ，∠CAB ＝∠DBA ＝60°，EC ︵ ＝FD ︵，AB 平行于地面EF ，EF ︵最顶端与AB 的距离为2 cm.(1)求EF ︵的半径；(2)若台面AB 与地面EF 之间的距离为72 cm ，求E ，F 两点之间的距离． (精确到1 cm ，参考数据：3≈1.7，1682－982≈137)解：(1)如答图，延长AC ，BD 交于一点O ，过O 点作OM ⊥AB 于M 交EF ︵于点N ，EF 交OM 于点K .第2题答图∵∠CAB ＝∠DBA ＝60°， ∴△AOB 是等边三角形， ∴OA ＝OB ＝AB ＝200 cm ， ∵OM ⊥AB ，∴OM ＝1003，∵MN ＝2，∴ON ＝1003－2＝168(cm)，∴EF ︵的半径为168 cm. (2)连接OF .在Rt △OFK 中，OK ＝OM －KM ＝170－72＝98， ∴FK ＝OF 2－OK 2＝1682－982≈137(cm)， ∵EF ∥AB ，OM ⊥AB ，∴OK ⊥EF ，∴EK ＝KF ， ∴EF ＝274 cm.3．如图是某种直径型号的地球仪的支架示意图，弧AB 是半圆弧，经测量点A 距离水平线CD 的距离为27.7厘米， 点B 距离水平线CD 的距离为9.4厘米，直径AB 所在直线与竖直线形成的锐角为23.5°，试问它是哪种直径型号的地球仪的支架？(计算结果精确到个位，可使用科学计算器，参考数据：sin23.5°≈0.3987, cos23.5°≈0.9171，tan23.5°≈0.4348)解：如答图，过点A 作AF ⊥CD 于点F ，过点B 作BH ⊥CD 于点H ，连接BE ，AB ，第3题答图∵弧AB 是半圆弧，∴AB 是直径， ∴∠AEB ＝90°，∴∠BEF ＝90°， ∵AF ⊥CD ，BH ⊥CD ， ∴四边形BEFH 是矩形， ∴EF ＝BH ＝9.4，∴AE ＝AF －EF ＝27.7－9.4＝18.3.∵∠FAB ＝23.5°，∴AB ＝AE cos23.5°＝18.30.9171≈20，∴它是直径约为20厘米的地球仪的支架．4．(2017·赣州模拟)摇椅是老年人很好的休闲工具，右图是一张摇椅放在客厅的侧面示意图，摇椅静止时，以O 为圆心OA 为半径的AB ︵ 的中点P 着地，地面NP 与AB ︵相切，已知∠AOB ＝60°，半径OA ＝60 cm ，靠背CD 与OA 的夹角∠ACD ＝127°，C 为OA 的中点，CD ＝80 cm ，当摇椅沿AB ︵滚动至点A 着地时是摇椅向后的最大安全角度．(1)静止时靠背CD 的最高点D 离地面多高？(2)静止时着地点P 至少离墙壁MN 的水平距离是多少时？才能使摇椅向后至最大安全角度时点D 不与墙壁MN 相碰．(精确到1 cm ，参考数据π取3.14，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36，2≈1.41，3≈1.73)解：(1)如答图1，过F 点作CF ⊥DF ，DF ∥NP ，CF 和DF 交于点F ，则∠DFC ＝90°. ∵P 为AB ︵的中点，∠AOB ＝60°，∴∠COP ＝30°. 又∵OP ∥FC ，∴∠FCO ＝30°， ∴∠DCF ＝180°－127°－30°＝23°. 在Rt △DFC 中，cos ∠DCF ＝FC CD，∴FC ＝80×cos23°＝80×sin67°＝80×0.92＝73.6. 在Rt △COE 中，cos ∠COE ＝OE OC， OE ＝30×cos30°＝30×32＝15 3. D 离地面总高度为CF ＋EP ＝CF ＋(OP －OE )＝73.6＋60－153≈107.62≈108(cm)；(2)如答图2，过点C 作CE ⊥MN ，垂足为E ， 则∠DCE ＝127°－90°＝37°. 在Rt △DCE 中，cos ∠DCE ＝EC CD， ∴EC ＝80×cos37°＝80×0.8＝64.AP ′＝30π·60180＝10π＝10×3.14＝31.4. NP ＝EC ＋AP ′＝64＋31.4＝95.4≈96.答：静止时的着地点P 至少要离墙壁MN 的水平距离为96 cm 时，才能使摇椅向后至最大安全角度时点D 不与墙壁MN 相碰．5．(2019·原创)如图，有一时钟，时针OA 长为6 cm ，分针OB 长为8 cm ，△OAB 随着时间的变化不停地改变形状．求：(1)13时整时， △OAB 的面积是多少？(2)14时整时， △OAB 的面积比13时整时增大了还是减少了？为什么？ (3)问几时整时， △OAB 的面积最大？最大面积是多少？并说明理由．(4)设∠BOA ＝α(0°≤α≤180°)，试归纳α变化时△OAB 的面积有何变化规律(不证明)．解：如答图，分别过B 作BE ⊥OA 于点E .(E 也可在OA 的延长线上) (1)如答图1，在13时整时， ∠BOA ＝30°，BE ＝12OB ＝4，S △OAB ＝12×4×6＝12(cm 2)．(2)如答图2，在14时整时，∠BOA ＝60°，BE OB ＝sin60°，BE ＝8×32＝43，S △OAB ＝12×43×6＝12 3.∵123>12，∴14时整时比13时整的△ABO 的面积增大了．(3)当15时或21时整时，如答图3，△OAB 的面积最大， 此时BE 最长，BE ＝OB ＝8，而OA 不变，S △ABO ＝12×8×6＝24.(4)当α＝0°，180°时不构成三角形，当0°＜α≤90°时，S △AOB 的值随α增大而增大， 当90°＜α＜180°时，S △AOB 的值随α增大而减少．6．(2018·江西样卷)如图1是一个演讲台，图2为演讲台的侧面示意图，支架BC 是一条圆弧，台面与两支架的连接点A ，B 间的距离为30 cm, CD 为水平底面，且BD 所在的直线垂直于底面，∠ADC ＝75°，∠DAB ＝60°.(1)求台面上点B 处的高度(精确到个位)；(2)如图3，若圆弧BC 所在圆的圆心O 在CD 延长线上，且OD ＝CD ，求支架BC 的长度(结果保留根号)．(参考数据：sin 75°≈0.97，cos 75°≈0.26，3≈1.7)解：(1)如答图，连接BD ，过点B 作BE ⊥AD ，垂足为E . 在Rt △ABE 中，BE ＝AB · sin∠EAB ＝30×sin60°＝30×32≈25.5(cm)． ∵∠ADC ＝75°，∴∠ADB ＝90°－∠ADC ＝15°. ∴∠EBD ＝90°－∠ADB ＝90°－15°＝75°. 在Rt △BDE 中，BD ＝BEcos ∠EBD ≈25.5cos75°≈25.50.26≈98(cm)．即台面上点B 处的高度约为98 cm.第6题答图(2)连接BC ，BO ，∵BD ⊥CO ，OD ＝CD ，∴BC ＝BO . 又CO ＝BO ，∴△BOC 是等边三角形，∠BOC ＝60°.∴sin60°＝BD BO ，BO ＝BD sin60°＝ 98 32＝19633，∴支架BC 的长度为19633(cm)．答：支架BC 的长度为19633cm.第二部分 专题四 类型一1．(2018·湖北)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，E 为AB 边的中点，以BE 为边作等边△BDE ，连接AD ，CD .(1)求证：△ADE ≌△CDB ；(2)若BC ＝3，在AC 边上找一点H ，使得BH ＋EH 最小，并求出这个最小值． (1)证明：在Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°，E 为AB 边为中点，∴BC ＝EA ，∠ABC ＝60°. ∵△DEB 为等边三角形，∴DB ＝DE ，∠DEB ＝∠DBE ＝60°，∴∠DEA ＝120°，∠DBC ＝120°，∴∠DEA ＝∠DBC ，∴△ADE ≌△CDB .(2)解：如答图，作点E 关于直线AC 的对称点E ′，连接BE ′交AC 于点H ，连接AE ′，则点H 即为符合条件的点．由作图可知EH ＋BH ＝BE ′，AE ′＝AE ，∠E ′AC ＝∠BAC ＝30°，∴∠EAE ′＝60°，∴△EAE ′为等边三角形， ∴EE ′＝EA ＝12AB ，∴∠AE ′B ＝90°.在Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°，BC ＝3， ∴AB ＝23，AE ′＝AE ＝3， ∴BE ′＝AB 2－AE ′2＝32－32＝3，∴BH ＋EH 的最小值为3.2．(2018·徐州)如图，将等腰直角三角形纸片ABC 对折，折痕为CD .展平后，再将点B 折叠在边AC 上(不与A ，C 重合)，折痕为EF ，点B 在AC 上的对应点为M ，设CD 与EM 交于点P ，连接PF .已知BC ＝4.(1)若M 为AC 的中点，求CF 的长； (2)随着点M 在边AC 上取不同的位置， ①△PFM 的形状是否发生变化？请说明理由； ②求△PFM 的周长的取值范围． 解：(1)∵M 为AC 的中点， ∴CM ＝12AC ＝12BC ＝2，由折叠的性质可知，FB ＝FM ， 设CF ＝x ，则FB ＝FM ＝4－x ，在Rt △CFM 中，FM 2＝CF 2＋CM 2，即(4－x )2＝x 2＋22，解得，x ＝32，即CF ＝32.(2)①△PFM 的形状是等腰直角三角形，不会发生变化，理由如下：令FM 与CD 交于点D ，由折叠的性质可知，∠PMF ＝∠B ＝45°. ∵CD 是中垂线，∴∠ACD ＝∠DCF ＝45°. ∵∠MPC ＝∠OPM ，∴△POM ∽△PMC ， ∴PO PM ＝OM MC ，∴MC PM ＝OMPO.∵∠EMC ＝∠AEM ＋∠A ＝∠CMF ＋∠EMF ， ∴∠AEM ＝∠CMF .∵∠DPE ＋∠AEM ＝90°，∠CMF ＋∠MFC ＝90°，∠DPE ＝∠MPC ， ∴∠DPE ＝∠MFC ，∠MPC ＝∠MFC . ∵∠PCM ＝∠OCF ＝45°， ∴△MPC ∽△OFC ，∴MP OF ＝MC OC， ∴MC PM ＝OC OF ，∴OM PO ＝OCOF.∵∠POF ＝∠MOC ，∴△POF ∽△MOC ，∴∠PFO ＝∠MCO ＝45°， ∴△PFM 是等腰直角三角形．②∵△PFM 是等腰直角三角形，设FM ＝y ， 由勾股定理可知PF ＝PM ＝22y ， ∴△PFM 的周长为(1＋2)y . ∵2＜y ＜4，∴△PFM 的周长的取值范围为2＋22＜(1＋2)y ＜4＋4 2.第二部分 专题四 类型二1．(2018·重庆)如图，在□ABCD 中，∠ACB ＝45°，点E 在对角线AC 上，BE ＝BA ，BF ⊥AC 于点F ，BF 的延长线交AD 于点G ，点H 在BC 的延长线上，且CH ＝AG ，连接EH .(1)若BC ＝122，AB ＝13，求AF 的长； (2)求证：EB ＝EH .(1)解：∵BF ⊥AC ，∴∠BFC ＝∠AFB ＝90°.。
中考数学——二次函数的综合压轴题专题复习含答案解析
中考数学——二次函数的综合压轴题专题复习含答案解析一、二次函数1．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3），顶点为G．（1）求抛物线和直线AC的解析式；（2）如图，设E（m，0）为x轴上一动点，若△CGE和△CGO的面积满足S△CGE＝S△CGO，求点E的坐标；（3）如图，设点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，运动时间为ts，点M为射线AC上一动点，过点M作MN∥x轴交抛物线对称轴右侧部分于点N．试探究点P在运动过程中，是否存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；直线AC解析式为：y＝3x+3；（2）点E 坐标为（1，0）或（﹣7，0）；（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为或或．【解析】【分析】（1）用待定系数法即能求出抛物线和直线AC解析式．（2）△CGE与△CGO虽然有公共底边CG，但高不好求，故把△CGE构造在比较好求的三角形内计算．延长GC交x轴于点F，则△FGE与△FCE的差即为△CGE．（3）设M的坐标（e，3e+3），分别以M、N、P为直角顶点作分类讨论，利用等腰直角三角形的特殊线段长度关系，用e表示相关线段并列方程求解，再根据e与AP的关系求t 的值．【详解】（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3），, 解得：，∴抛物线解析式为：y=-x2+2x+3，设直线AC解析式为y=kx+3，∴-k+3=0，得：k=3，∴直线AC解析式为：y=3x+3.（2）延长GC交x轴于点F，过G作GH⊥x轴于点H，∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴G（1，4），GH=4，∴S△CGO=OC•x G=×3×1=，∴S△CGE=S△CGO=×=2，①若点E在x轴正半轴上，设直线CG：y=k1x+3，∴k1+3=4 得：k1=1，∴直线CG解析式：y=x+3，∴F（-3，0），∵E（m，0），∴EF=m-（-3）=m+3，∴S△CGE=S△FGE-S△FCE=EF•GH-EF•OC=EF•（GH-OC）=（m+3）•（4-3）=，∴=2，解得：m=1，∴E的坐标为（1，0）.②若点E在x轴负半轴上，则点E到直线CG的距离与点（1，0）到直线CG距离相等，即点E到F的距离等于点（1，0）到F的距离，∴EF=-3-m=1-（-3）=4，解得：m=-7 即E（-7，0），综上所述，点E坐标为（1，0）或（-7，0）.（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，设M（e，3e+3），则y N=y M=3e+3，①若∠MPN=90°，PM=PN，如图2，过点M作MQ⊥x轴于点Q，过点N作NR⊥x轴于点R，∵MN∥x轴，∴MQ=NR=3e+3，∴Rt△MQP≌Rt△NRP（HL），∴PQ=PR，∠MPQ=∠NPR=45°，∴MQ=PQ=PR=NR=3e+3，∴x N=x M+3e+3+3e+3=7e+6，即N（7e+6，3e+3），∵N在抛物线上，∴-（7e+6）2+2（7e+6）+3=3e+3，解得：e1=-1（舍去），e2=−，∵AP=t，OP=t-1，OP+OQ=PQ，∴t-1-e=3e+3，∴t=4e+4=，②若∠PMN=90°，PM=MN，如图3，∴MN=PM=3e+3，∴x N=x M+3e+3=4e+3，即N（4e+3，3e+3），∴-（4e+3）2+2（4e+3）+3=3e+3，解得：e1=-1（舍去），e2=−，∴t=AP=e-（-1）=−+1＝，③若∠PNM=90°，PN=MN，如图4，∴MN=PN=3e+3，N（4e+3，3e+3），解得：e=−，∴t=AP=OA+OP=1+4e+3=，综上所述，存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为或或．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标系中三角形面积计算，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，考查了分类讨论和方程思想．第（3）题根据等腰直角三角形的性质找到相关线段长的关系是解题关键，灵活运用因式分解法解一元二次方程能简便运算．2．如图，抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）（OA＜OB），与y轴交于点C，且满足x12+x22﹣x1x2＝13．（1）求抛物线的解析式；（2）以点B为直角顶点，BC为直角边作Rt△BCD，CD交抛物线于第四象限的点E，若EC ＝ED，求点E的坐标；（3）在抛物线上是否存在点Q，使得S△ACQ＝2S△AOC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）E 113+113+3）点Q的坐标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．理由见解析.【解析】【分析】（1）由根与系数的关系可得x1+x2＝m，x1•x2＝﹣（m+1），代入x12+x22﹣x1x2＝13，求出m1＝2，m2＝﹣5．根据OA＜OB，得出抛物线的对称轴在y轴右侧，那么m＝2，即可确定抛物线的解析式；（2）连接BE、OE．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BE＝12CD＝CE．利用SSS证明△OBE≌△OCE，得出∠BOE＝∠COE，即点E在第四象限的角平分线上，设E点坐标为（m，﹣m），代入y＝x2﹣2x﹣3，求出m的值，即可得到E点坐标；（3）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，根据三角形的面积公式可得S△ACQ＝S△ACF．由S△ACQ＝2S△AOC，得出S△ACF＝2S△AOC，那么AF＝2OA＝2，F（1，0）．利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3．根据AC∥FQ，可设直线FQ的解析式为y＝﹣3x+b，将F（1，0）代入，利用待定系数法求出直线FQ的解析式为y＝﹣3x+3，把它与抛物线的解析式联立，得出方程组22333y x xy x⎧=--⎨=-+⎩，求解即可得出点Q的坐标．【详解】（1）∵抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0），∴x1+x2＝m，x1•x2＝﹣（m+1），∵x12+x22﹣x1x2＝13，∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝13，∴m2+3（m+1）＝13，即m2+3m﹣10＝0，解得m1＝2，m2＝﹣5．∵OA＜OB，∴抛物线的对称轴在y轴右侧，∴m＝2，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）连接BE、OE．∵在Rt△BCD中，∠CBD＝90°，EC＝ED，∴BE＝12CD＝CE．令y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵C（0，﹣3），∴OB ＝OC ，又∵BE ＝CE ，OE ＝OE ，∴△OBE ≌△OCE （SSS ），∴∠BOE ＝∠COE ，∴点E 在第四象限的角平分线上，设E 点坐标为（m ，﹣m ），将E （m ，﹣m ）代入y ＝x 2﹣2x ﹣3，得m ＝m 2﹣2m ﹣3，解得m ＝1132±， ∵点E 在第四象限，∴E 点坐标为（113+，﹣113+）； （3）过点Q 作AC 的平行线交x 轴于点F ，连接CF ，则S △ACQ ＝S △ACF ．∵S △ACQ ＝2S △AOC ，∴S △ACF ＝2S △AOC ，∴AF ＝2OA ＝2，∴F （1，0）．∵A （﹣1，0），C （0，﹣3），∴直线AC 的解析式为y ＝﹣3x ﹣3．∵AC ∥FQ ，∴设直线FQ 的解析式为y ＝﹣3x +b ，将F （1，0）代入，得0＝﹣3+b ，解得b ＝3，∴直线FQ 的解析式为y ＝﹣3x +3．联立22333y x x y x ⎧=--⎨=-+⎩， 解得11312x y =-⎧⎨=⎩，2223x y =⎧⎨=-⎩， ∴点Q 的坐标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到一元二次方程根与系数的关系，求二次函数的解析式，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，一次函数图象与几何变换，待定系数法求直线的解析式，抛物线与直线交点坐标的求法，综合性较强，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键．3．已知如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y 轴交直线AC于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）94；（3）点P（1，0）或（2，﹣1）；（4）M（2，﹣3）．【解析】试题分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解；（2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答；（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，②求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为在抛物线顶点时，∠PAD是直角，分别写出点P的坐标即可；（4）根据抛物线的对称性可知MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时，|MA﹣MC|最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求解即可．试题解析：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），∴93010b cb c++=⎧⎨++=⎩，解得43bc=-⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；（2）令x=0，则y=3，∴点C（0，3），则直线AC的解析式为y=﹣x+3，设点P（x，x2﹣4x+3）．∵PD∥y轴，∴点D（x，﹣x+3），∴PD=（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣32）2+94．∵a=﹣1＜0，∴当x=32时，线段PD的长度有最大值94；（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，此时，点P（1，0），②∵y=x2﹣4x+3=（x ﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）．∵A（3，0），∴点P为在抛物线顶点时，∠PAD=45°+45°=90°，此时，点P（2，﹣1）．综上所述：点P（1，0）或（2，﹣1）时，△APD能构成直角三角形；（4）由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB，∴MA=MB，由三角形的三边关系，|MA﹣MC|＜BC，∴当M、B、C三点共线时，|MA﹣MC|最大，为BC的长度，设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），则3k bb+=⎧⎨=⎩，解得：33kb=-⎧⎨=⎩，∴直线BC的解析式为y=﹣3x+3．∵抛物线y=x2﹣4x+3的对称轴为直线x=2，∴当x=2时，y=﹣3×2+3=﹣3，∴点M （2，﹣3），即，抛物线对称轴上存在点M（2，﹣3），使|MA﹣MC|最大．点睛：本题是二次函数综合题，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数的对称性以及顶点坐标的求解，（2）整理出PD的表达式是解题的关键，（3）关键在于利用点的坐标特征作出判断，（4）根据抛物线的对称性和三角形的三边关系判断出点M的位置是解题的关键．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；（3）符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139），【解析】分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-13x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-13x+3，再解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得3p qq-+=⎧⎨=⎩，解得33pq=⎧⎨=⎩，∴直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），∵MB=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∴点M的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b，把C（0，3）代入得b=3，∴直线PC的解析式为y=﹣13x+3，解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝，解得3xy=⎧⎨=⎩或73209xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则此时P点坐标为（73，209）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，把A（﹣1，0）代入得13+b=0，解得b=﹣13，∴直线PC的解析式为y=﹣13x﹣13，解方程组2231133y x xy x⎧-++⎪⎨--⎪⎩＝＝，解得1xy=-⎧⎨=⎩或103139xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则此时P点坐标为（103，﹣139）.综上所述，符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139）.点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．5．已知，点M 为二次函数2()41y x b b =--++图象的顶点，直线5y mx =+分别交x 轴正半轴，y 轴于点,A B .（1）如图1，若二次函数图象也经过点,A B ，试求出该二次函数解析式，并求出m 的值. （2）如图2，点A 坐标为(5,0)，点M 在AOB ∆内，若点11(,)4C y ，23(,)4D y 都在二次函数图象上，试比较1y 与2y 的大小.【答案】（1）2(2)9y x =--+,1m =-；（2）①当102b <<时，12y y >；②当12b =时，12y y =；③当1425b <<时，12y y < 【解析】 【分析】 （1）根据一次函数表达式求出B 点坐标，然后根据B 点在抛物线上，求出b 值，从而得到二次函数表达式，再根据二次函数表达式求出A 点的坐标，最后代入一次函数求出m 值.（2）根据解方程组，可得顶点M 的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案． 【详解】（1）如图1，∵直线5y mx =+与y 轴交于点为B ，∴点B 坐标为(0,5)又∵(0,5)B 在抛物线上，∴25(0)41b b =--++，解得2b =∴二次函数的表达式为2(2)9y x =--+ ∴当0y =时，得15=x ，21x =- ∴(5,0)A代入5y mx =+得，550m +=，∴1m =-（2）如图2，根据题意，抛物线的顶点M 为(,41)b b +，即M 点始终在直线41y x =+上，∵直线41y x =+与直线AB 交于点E ，与y 轴交于点F ，而直线AB 表达式为5y x =-+解方程组415y xy x=+⎧⎨=-+⎩，得45215xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴点421(,)55E，(0,1)F∵点M在AOB∆内，∴45b<<当点,C D关于抛物线对称轴（直线x b=）对称时，1344b b-=-，∴12b=且二次函数图象的开口向下，顶点M在直线41y x=+上综上：①当12b<<时，12y y>；②当12b=时，12y y=；③当1425b<<时，12y y<.【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合应用，难度系数大同学们需要认真分析即可.6．如图，在平面直角坐标系中有抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2和y＝a（x﹣h）2，抛物线y＝a （x﹣2）2﹣2经过原点，与x轴正半轴交于点A，与其对称轴交于点B；点P是抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2上一动点，且点P在x轴下方，过点P作x轴的垂线交抛物线y＝a（x﹣h）2于点D，过点D作PD的垂线交抛物线y＝a（x﹣h）2于点D′（不与点D重合），连接PD′，设点P的横坐标为m：（1）①直接写出a的值；②直接写出抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2的函数表达式的一般式；（2）当抛物线y＝a（x﹣h）2经过原点时，设△PDD′与△OAB重叠部分图形周长为L：①求PDDD'的值；②直接写出L与m之间的函数关系式；（3）当h为何值时，存在点P，使以点O、A、D、D′为顶点的四边形是菱形？直接写出h 的值．【答案】（1）①12；②y ＝212x ﹣2x ； （2）①1；②L ＝2(22)(02)21(221)4(24)2m m m m π⎧+<⎪⎨-++<<⎪⎩…； （3）h ＝±3 【解析】 【分析】（1）①将x ＝0，y ＝0代入y ＝a （x ﹣2）2﹣2中计算即可；②y ＝212x ﹣2x ； （2）将（0，0）代入y ＝a （x ﹣h ）2中，可求得a ＝12，y ＝12x 2，待定系数法求OB 、AB 的解析式，由点P 的横坐标为m ，即可表示出相应线段求解；（3）以点O 、A 、D 、D ′为顶点的四边形是菱形，DD ′＝OA ，可知点D 的纵坐标为2，再由AD ＝OA ＝4即可求出h 的值． 【详解】解：（1）①将x ＝0，y ＝0代入y ＝a （x ﹣2）2﹣2中， 得：0＝a （0﹣2）2﹣2， 解得：a ＝12； ②y ＝212x ﹣2x ；． （2）∵抛物线y ＝a （x ﹣h ）2经过原点，a ＝12； ∴y ＝12x 2， ∴A （4，0），B （2，﹣2），易得：直线OB 解析式为：y ＝﹣x ，直线AB 解析式为：y ＝x ﹣4 如图1，222111,2,,,(,0),(,),,222P m m m D m m E m F m m D m m '⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，①221122,222PD m m m m DD m '⎛⎫=--== ⎪⎝⎭PD 2m 1DD 2m'∴== ②如图1，当0＜m ≤2时，L ＝OE +EF +OF ＝2(22)m m m m ++=+，当2＜m ＜4时，如图2，设PD ′交x 轴于G ，交AB 于H ，PD 交x 轴于E ，交AB 于F ，则222111,2,,,(,0),(,4),,222P m m m D m m E m F m m D m m '⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2211(4)23422PF m m m m m ⎛⎫=---=-+- ⎪⎝⎭，2222322m 22,PG m 22m 2422FH PH PF ===-+-=-+ ∵DD ′∥EGEG PE DD PD '∴=，即：EG •PD ＝PE •DD ′，得：EG •（2m ）＝（2m ﹣12m 2）•2m ∴EG ＝2m ﹣12m 2，EF ＝4﹣m ∴L ＝EG +EF +FH +GH ＝EG +EF +PG2212242222m m m m ⎛⎫=-+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭221m (221)m 42+=-+++ 2(22)m(0m 2)21m (221)m 4(2m 4)L ⎧+<⎪∴=⎨+-+++<<⎪⎩…；（3）如图3，∵OADD ′为菱形 ∴AD ＝AO ＝DD ′＝4， ∴PD ＝2，23PA =23h ∴=±【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，菱形的性质，抛物线的平移等，解题时要注意考虑分段函数表示方法．7．如图，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣1(a ≠0)交x 轴于A ，B (1，0)两点，交y 轴于点C ，一次函数y ＝x +3的图象交坐标轴于A ，D 两点，E 为直线AD 上一点，作EF ⊥x 轴，交抛物线于点F (1)求抛物线的解析式；(2)若点F 位于直线AD 的下方，请问线段EF 是否有最大值？若有，求出最大值并求出点E 的坐标；若没有，请说明理由；(3)在平面直角坐标系内存在点G ，使得G ，E ，D ，C 为顶点的四边形为菱形，请直接写出点G 的坐标．【答案】(1)抛物线的解析式为y＝13x2+23x﹣1；(2)4912，(12，72)；(3)点G的坐标为(2，1)，(﹣2，﹣2﹣1)，2，2﹣1)，(﹣4，3)．【解析】【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式；（2）由函数图象上点的坐标特征：可设点E的坐标为（m，m+3），点F的坐标为（m，1 3m2+23m﹣1），由此得到EF＝﹣13m2+13m+4，根据二次函数最值的求法解答即可；（3）分三种情形①如图1中，当EG为菱形对角线时．②如图2、3中，当EC为菱形的对角线时，③如图4中，当ED为菱形的对角线时，分别求解即可．【详解】解：(1)将y＝0代入y＝x+3，得x＝﹣3．∴点A的坐标为(﹣3，0)．设抛物线的解析式为y＝a(x﹣x1)(x﹣x2)，点A的坐标为(﹣3，0)，点B的坐标为(1，0)，∴y＝a(x+3)(x﹣1)．∵点C的坐标为(0，﹣1)，∴﹣3a＝﹣1，得a＝13，∴抛物线的解析式为y＝13x2+23x﹣1；(2)设点E的坐标为(m，m+3)，线段EF的长度为y，则点F的坐标为(m，13m2+23m﹣1)∴y＝(m+3)﹣( 13m2+23m﹣1)＝﹣13m2+13m+4即y＝-13(m﹣12) 2+4912，此时点E的坐标为(12，72)；(3)点G的坐标为(2，1)，(﹣2，﹣2﹣1)，2，2﹣1)，(﹣4，3)．理由：①如图1，当四边形CGDE为菱形时．∴EG 垂直平分CD ∴点E 的纵坐标y ＝132-+＝1， 将y ＝1带入y ＝x +3，得x ＝﹣2． ∵EG 关于y 轴对称， ∴点G 的坐标为(2，1)；②如图2，当四边形CDEG 为菱形时，以点D 为圆心，DC 的长为半径作圆，交AD 于点E ，可得DC ＝DE ，构造菱形CDEG 设点E 的坐标为(n ，n +3)， 点D 的坐标为(0，3)∴DE ＝22(33)n n ++-＝22n ∵DE ＝DC ＝4， ∴22n ＝4，解得n 1＝﹣22，n 2＝22．∴点E 的坐标为(﹣22，﹣22+3)或(22，22+3) 将点E 向下平移4个单位长度可得点G ，点G 的坐标为(﹣22，﹣22﹣1)(如图2)或(22，22﹣1)(如图3)③如图4，“四边形CDGE 为菱形时，以点C 为圆心，以CD 的长为半径作圆，交直线AD 于点E ，设点E 的坐标为(k ，k +3)，点C 的坐标为(0，﹣1)． ∴EC ＝22(0)(31)k k -+++＝22816k k ++． ∵EC ＝CD ＝4， ∴2k 2+8k +16＝16， 解得k 1＝0(舍去)，k 2＝﹣4． ∴点E 的坐标为(﹣4，﹣1) 将点E 上移1个单位长度得点G ． ∴点G 的坐标为(﹣4，3)．综上所述，点G 的坐标为(2，1)，(﹣22，﹣22﹣1)，(22，22﹣1)，(﹣4，3)．【点睛】本题考查二次函数综合题、轴对称变换、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用对称解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．8．已知抛物线2(5)6y x m x m =-+-+-. （1）求证：该抛物线与x 轴总有交点；（2）若该抛物线与x 轴有一个交点的横坐标大于3且小于5，求m 的取值范围；（3）设抛物线2(5)6y x m x m =-+-+-与y 轴交于点M ，若抛物线与x 轴的一个交点关于直线y x =-的对称点恰好是点M ，求m 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）1?<?m?3<；（3）56m m ==或 【解析】 【分析】（1）本题需先根据判别式解出无论m 为任何实数都不小于零，再判断出物线与x 轴总有交点．（2）根据公式法解方程，利用已有的条件，就能确定出m 的取值范围，即可得到结果． （3）根据抛物线y=-x 2+（5-m ）x+6-m ，求出与y 轴的交点M 的坐标，再确定抛物线与x 轴的两个交点关于直线y=-x 的对称点的坐标，列方程可得结论． 【详解】（1）证明：∵()()()222454670b ac m m m ∆=-=-+-=-≥ ∴抛物线与x 轴总有交点.（2）解：由（1）()27m ∆=-，根据求根公式可知，方程的两根为：257m m x （）-±-=即1216x x m =-=-+， 由题意，有 3<-m 6<5+1<?m 3∴<(3)解：令 x = 0， y =6m -+ ∴ M （0，6m -+）由（2）可知抛物线与x 轴的交点为（-1，0）和（6m -+，0）， 它们关于直线y x =-的对称点分别为（0 ， 1）和（0， 6m -）， 由题意，可得：6166m m m 或-+=-+=- 56m m ∴==或 【点睛】本题考查对抛物线与x 轴的交点，解一元一次方程，解一元一次不等式，根的判别式，对称等，解题关键是熟练理解和掌握以上性质，并能综合运用这些性质进行计算．9．如图，菱形ABCD 的边长为20cm ，∠ABC ＝120°，对角线AC ，BD 相交于点O ，动点P 从点A 出发，以4cm /s 的速度，沿A →B 的路线向点B 运动；过点P 作PQ ∥BD ，与AC 相交于点Q ，设运动时间为t 秒，0＜t ＜5．（1）设四边形PQCB 的面积为S ，求S 与t 的关系式；（2）若点Q 关于O 的对称点为M ，过点P 且垂直于AB 的直线l 交菱形ABCD 的边AD （或CD ）于点N ，当t 为何值时，点P 、M 、N 在一直线上？（3）直线PN 与AC 相交于H 点，连接PM ，NM ，是否存在某一时刻t ，使得直线PN 平分四边形APMN 的面积？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) S=﹣231003t +0＜t ＜5）； (2) 307;(3)见解析. 【解析】 【分析】（1）如图1，根据S=S △ABC -S △APQ ，代入可得S 与t 的关系式；（2）设PM=x ，则AM=2x ，可得3，计算x 的值，根据直角三角形30度角的性质可得3AM=AO+OM ，列方程可得t 的值；（3）存在，通过画图可知：N 在CD 上时，直线PN 平分四边形APMN 的面积，根据面积相等可得MG=AP ，由AM=AO+OM ，列式可得t 的值． 【详解】解：（1）如图1，∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠ABD=∠DBC=12∠ABC=60°，AC ⊥BD ， ∴∠OAB=30°， ∵AB=20，∴OB=10，3 由题意得：AP=4t ，∴PQ=2t ，AQ=23t ， ∴S=S △ABC ﹣S △APQ ， =11··22AC OB PQ AQ -， =111020322322t t ⨯⨯-⨯⨯ ， =﹣23t 2+1003（0＜t ＜5）； （2）如图2，在Rt △APM 中，AP=4t ， ∵点Q 关于O 的对称点为M ， ∴OM=OQ ， 设PM=x ，则AM=2x ， ∴AP=3x=4t ， ∴x=3， ∴AM=2PM=3， ∵AM=AO+OM ，∴3=103+103﹣23t ，t=307； 答：当t 为307秒时，点P 、M 、N 在一直线上； （3）存在，如图3，∵直线PN 平分四边形APMN 的面积， ∴S △APN =S △PMN ，过M 作MG ⊥PN 于G ，∴11··22PN AP PN MG = ， ∴MG=AP ，易得△APH ≌△MGH ，∴3，∵AM=AO+OM ，同理可知：3﹣3，3333t ，t=3011． 答：当t 为3011秒时，使得直线PN 平分四边形APMN 的面积．【点睛】考查了全等三角形的判定与性质，对称的性质，三角形和四边形的面积，二次根式的化简等知识点，计算量大，解答本题的关键是熟练掌握动点运动时所构成的三角形各边的关系.10．已知，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A （﹣1，0）和C （0，3）． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使PA +PC 的值最小？如果存在，请求出点P 的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）设点M 在抛物线的对称轴上，当△MAC 是直角三角形时，求点M 的坐标．【答案】（1）223y x x =-++；（2）当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2；（3）点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或21,3⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】()1由点A 、C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +取最小值，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B 的坐标，由点B 、C 的坐标利用待定系数法即可求出直线BC 的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P 的坐标；()3设点M 的坐标为()1,m ，则22CM (10)(m 3)=-+-，()22AC [01](30)10=--+-=，()22AM [11](m 0)=--+-，分AMC 90∠=o 、ACM 90∠=o 和CAM 90∠=o 三种情况，利用勾股定理可得出关于m 的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m 的值，进而即可得出点M 的坐标． 【详解】解：()1将()1,0A -、()0,3C 代入2y x bx c =-++中， 得：{103b c c --+==，解得：{23b c ==，∴抛物线的解析式为223y x x =-++．()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +取最小值，如图1所示．当0y =时，有2230x x -++=， 解得：11x =-，23x =，∴点B 的坐标为()3,0．Q 抛物线的解析式为2223(1)4y x x x =-++=--+， ∴抛物线的对称轴为直线1x =．设直线BC 的解析式为()0y kx d k =+≠， 将()3,0B 、()0,3C 代入y kx d =+中， 得：{303k d d +==，解得：{13k d =-=，∴直线BC 的解析式为3y x =-+． Q 当1x =时，32y x =-+=，∴当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2．()3设点M 的坐标为()1,m ，则22(10)(3)CM m =-+-，()22[01](30)10AC =--+-=()22[11](0)AM m =--+-分三种情况考虑：①当90AMC ∠=o 时，有222AC AM CM =+，即22101(3)4m m =+-++，解得：11m =，22m =，∴点M 的坐标为()1,1或()1,2；②当90ACM ∠=o 时，有222AM AC CM =+，即224101(3)m m +=++-，解得：83m =， ∴点M 的坐标为81,3⎛⎫⎪⎝⎭；③当90CAM ∠=o 时，有222CM AM AC =+，即221(3)410m m +-=++，解得：23m =-， ∴点M 的坐标为21,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭综上所述：当MAC V 是直角三角形时，点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫⎪⎝⎭或21,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查待定系数法求二次(一次)函数解析式、二次(一次)函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：()1由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；()2由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点P 的位置；()3分AMC 90∠=o 、ACM 90∠=o 和CAM 90∠=o 三种情况，列出关于m 的方程．11．如图，直线y ＝﹣x +4与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过B ，C 两点，与x 轴另一交点为A ．点P 以每秒2个单位长度的速度在线段BC 上由点B 向点C 运动（点P 不与点B 和点C 重合），设运动时间为t 秒，过点P 作x 轴垂线交x 轴于点E ，交抛物线于点M ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，过点P 作y 轴垂线交y 轴于点N ，连接MN 交BC 于点Q ，当12MQ NQ =时，求t 的值；（3）如图②，连接AM 交BC 于点D ，当△PDM 是等腰三角形时，直接写出t 的值． 【答案】（1）y ＝﹣x 2+3x +4；（2）t 的值为12；（3）当△PDM 是等腰三角形时，t ＝1或t ﹣1． 【解析】 【分析】（1）求直线y=-x+4与x 轴交点B ，与y 轴交点C ，用待定系数法即求得抛物线解析式． （2）根据点B 、C 坐标求得∠OBC=45°，又PE ⊥x 轴于点E ，得到△PEB 是等腰直角三角形，由PB =求得BE=PE=t ，即可用t 表示各线段，得到点M 的横坐标，进而用m 表示点M 纵坐标，求得MP 的长．根据MP ∥CN 可证MPQ NCQ V V ∽，故有12MP MQ NC NQ ＝＝，把用t 表示的MP 、NC 代入即得到关于t 的方程，求解即得到t 的值． （3）因为不确定等腰△PDM 的底和腰，故需分3种情况讨论：①若MD=MP ，则∠MDP=∠MPD=45°，故有∠DMP=90°，不合题意；②若DM=DP ，则∠DMP=∠MPD=45°，进而得AE=ME ，把含t 的式子代入并解方程即可；③若MP=DP ，则∠PMD=∠PDM ，由对顶角相等和两直线平行内错角相等可得∠CFD=∠PMD=∠PDM=∠CDF 进而得CF=CD ．用t 表示M 的坐标，求直线AM 解析式，求得AM 与y 轴交点F 的坐标，即能用t 表示CF 的长．把直线AM 与直线BC 解析式联立方程组，解得x 的值即为点D 横坐标．过D 作y 轴垂线段DG ，得等腰直角△CDG ，用DG 即点D 横坐标，进而可用t 表示CD 的长．把含t 的式子代入CF=CD ，解方程即得到t 的值． 【详解】（1）直线y ＝﹣x +4中，当x ＝0时，y ＝4 ∴C （0，4）当y ＝﹣x +4＝0时，解得：x ＝4 ∴B （4，0）∵抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过B ，C 两点 ∴1640004b c c -++=⎧⎨++=⎩ 解得：34b c =⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2+3x +4（2）∵B （4，0），C （0，4），∠BOC ＝90° ∴OB ＝OC∴∠OBC ＝∠OCB ＝45° ∵ME ⊥x 轴于点E ，PBt ∴∠BEP ＝90°∴Rt △BEP 中，2PE sin PBE PB ∠=＝∴BE PE t ＝＝， ∴4M P P x x OE OBBE t y PE t ＝＝＝﹣＝﹣，＝＝ ∵点M 在抛物线上∴2243445M y t t t t +++＝﹣（﹣）（﹣）＝﹣， ∴24MP MP y y t t +＝﹣＝﹣ ， ∵PN ⊥y 轴于点N∴∠PNO ＝∠NOE ＝∠PEO ＝90° ∴四边形ONPE 是矩形 ∴ON ＝PE ＝t ∴NC ＝OC ﹣ON ＝4﹣t ∵MP ∥CN ∴△MPQ ∽△NCQ ∴12MP MQ NC NQ == ∴24142t t t -+=-解得：12142t t ＝，＝（点P 不与点C 重合，故舍去） ∴t 的值为12（3）∵∠PEB ＝90°，BE ＝PE ∴∠BPE ＝∠PBE ＝45° ∴∠MPD ＝∠BPE ＝45°①若MD ＝MP ，则∠MDP ＝∠MPD ＝45° ∴∠DMP ＝90°，即DM ∥x 轴，与题意矛盾 ②若DM ＝DP ，则∠DMP ＝∠MPD ＝45° ∵∠AEM ＝90° ∴AE ＝ME∵y ＝﹣x 2+3x +4＝0时，解得：x 1＝﹣1，x 2＝4 ∴A （﹣1，0）∵由（2）得，x M ＝4﹣t ，ME ＝y M ＝﹣t 2+5t ∴AE ＝4﹣t ﹣（﹣1）＝5﹣t ∴5﹣t ＝﹣t 2+5t解得：t 1＝1，t 2＝5（0＜t ＜4，舍去）③若MP ＝DP ，则∠PMD ＝∠PDM如图，记AM 与y 轴交点为F ，过点D 作DG ⊥y 轴于点G ∴∠CFD ＝∠PMD ＝∠PDM ＝∠CDF ∴CF ＝CD∵A （﹣1，0），M （4﹣t ，﹣t 2+5t ），设直线AM 解析式为y ＝ax +m ∴()2045a m a t m t t -+=⎧⎨-+=-+⎩ 解得：a tm t =⎧⎨=⎩ ， ∴直线AM ：y tx t +＝ ∴F （0，t ） ∴CF ＝OC ﹣OF ＝4﹣t ∵tx +t ＝﹣x +4，解得：41tx t -=+， ∴41D x tt DG -=+＝＝， ∵∠CGD ＝90°，∠DCG ＝45° ∴)2421t CD DG t -+＝＝，∴)2441t t t -+﹣ 解得：21t ＝﹣综上所述，当△PDM 是等腰三角形时，t ＝1或21t ＝﹣． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解二元一次方程组和一元二次方程，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，涉及等腰三角形的分类讨论，要充分利用等腰的性质作为列方程的依据．12．已知，如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(1,9)M ，经过抛物线上的两点(3,7)A --和(3,)B m 的直线交抛物线的对称轴于点C ．（1）求抛物线的解析式和直线AB 的解析式．（2）在抛物线上,A M 两点之间的部分（不包含,A M 两点），是否存在点D ，使得2DAC DCM S S ∆∆=？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点,,,A M P Q 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P 的坐标．【答案】（1）抛物线的表达式为：228y x x =-++，直线AB 的表达式为：21y x =-；（2）存在，理由见解析；点P (6,16)-或(4,16)--或(17,2)+或(17,2)．【解析】 【分析】（1）二次函数表达式为：y=a （x-1）2+9，即可求解； （2）S △DAC =2S △DCM ，则()()()()()21112821139112222DAC C A S DH x x x x x x =-=-++-++=--⨯V ，，即可求解；（3）分AM 是平行四边形的一条边、AM 是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】解：（1）二次函数表达式为：()219y a x =-+， 将点A 的坐标代入上式并解得：1a =-， 故抛物线的表达式为：228y x x =-++…①， 则点()3,5B ，将点,A B 的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线AB 的表达式为：21y x =-； （2）存在，理由：二次函数对称轴为：1x =，则点()1,1C ， 过点D 作y 轴的平行线交AB 于点H ，设点()2,28D x x x -++，点(),21H x x -，∵2DAC DCM S S ∆∆=， 则()()()()()21112821139112222DAC C A S DH x x x x x x =-=-++-++=--⨯V ， 解得：1x =-或5（舍去5）， 故点()1,5D -；（3）设点(),0Q m 、点(),P s t ，228t s s =-++， ①当AM 是平行四边形的一条边时，点M 向左平移4个单位向下平移16个单位得到A ，同理，点(),0Q m 向左平移4个单位向下平移16个单位为()4,16m --，即为点P ， 即：4m s -=，6t -=，而228t s s =-++， 解得：6s =或﹣4， 故点()6,16P -或()4,16--； ②当AM 是平行四边形的对角线时，由中点公式得：2m s +=-，2t =，而228t s s =-++， 解得：17s =±故点()17,2P 或()17,2；综上，点()6,16P -或()4,16--或()17,2或()17,2． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．13．已知矩形ABCD 中，AB =5cm ，点P 为对角线AC 上的一点，且AP =25cm .如图①，动点M 从点A 出发，在矩形边上沿着A B C →→的方向匀速运动(不包含点C ).设动点M 的运动时间为t (s )，APM ∆的面积为S (cm ²)，S 与t 的函数关系如图②所示： (1)直接写出动点M 的运动速度为 /cm s ，BC 的长度为 cm ;(2)如图③，动点M 重新从点A 出发，在矩形边上，按原来的速度和方向匀速运动.同时，另一个动点N 从点D 出发，在矩形边上沿着D C B →→的方向匀速运动，设动点N 的运动速度为()/v cm s .已知两动点M 、N 经过时间()x s 在线段BC 上相遇(不包含点C )，动点M 、N 相遇后立即停止运动，记此时APM DPN ∆∆与的面积为()()2212,S cm S cm . ①求动点N 运动速度()/v cm s 的取值范围;②试探究12S S ⋅是否存在最大值.若存在，求出12S S ⋅的最大值并确定运动速度时间x 的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)2，10；(2)①2/6/3cm s v cm s ≤＜；②当154x =时，12S S ⋅取最大值2254. 【解析】 【分析】（1）由题意可知图像中0~2.5s 时，M 在AB 上运动，求出速度，2.5~7.5s 时，M 在BC 上运动，求出BC 长度；（2）①分别求出在C 点相遇和在B 点相遇时的速度，取中间速度，注意C 点相遇时的速度不能取等于；②过M 点做MH ⊥AC ，则125MH CM ==得到S 1，同时利用12()PAD CDM ABM N ABCD S S S S S S ∆∆∆+=---（N ）矩形=15，得到S 2，再得到12S S ⋅关于x 的二次函数，利用二次函数性质求得最大值 【详解】(1)5÷2.5=2/cm s ；（7.5-2.5）×2=10cm (2)①解：在C 点相遇得到方程57.5v= 在B 点相遇得到方程152.5v= ∴5=7.515=2.5vv⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩解得 23=5v v ⎧=⎪⎨⎪⎩。
中考数学—二次函数的综合压轴题专题复习附答案
一、二次函数真题与模拟题分类汇编〔难题易错题〕1 .童装店销售某款童装,每件售价为60元,每星期可卖100件,为了促销该店决定降价销售, 经市场调查发现：每降价1元,每星期可多卖10件,该款童装每件本钱30元,设降价后该款童装每件售价工元,每星期的销售量为〕'件.⑴降价后,当某一星期的销售量是未降价前一星期销售量的3倍时,求这一星期中每件童装降价多少元？⑵当每件售价定为多少元时,一星期的销售利润最大,最大利润是多少？【答案】〔1〕这一星期中每件童装降价20元；〔2〕每件售价定为50元时,一星期的销售利润最大,最大利润4000元.【解析】【分析】〔1〕根据售量与售价x 〔元/件〕之间的关系列方程即可得到结论.〔2〕设每星期利润为W元,构建二次函数利用二次函数性质解决问题.【详解】解：〔1〕根据题意得,〔60-x〕 xl0+100=3xl00,解得：x=40,60 - 40 = 20 元,答：这一星期中每件童装降价20元：〔2〕设利润为w,根据题意得,w= 〔x- 30〕 [ 〔60-X〕xl0+100]= - 10x2+1000x - 21000=-10 〔x- 50〕 2+4000,答：每件售价定为50元时,一星期的销售利润最大,最大利润4000元.【点睛】此题考查二次函数的应用,一元二次不等式,解题的关键是构建二次函数解决最值问题, 利用图象法解一元二次不等式,属于中考常考题型.2 .阅读：我们约定,在平面直角坐标系中,经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线,叫该点的“特征线〞.例如,点M 〔1, 3〕的特征线有：x=l, y=3,备用图问题与探究：如图,在平面直角坐标系中有正方形0A8C,点8在第一象限,A、C分别在x轴和y轴上,抛物线＞ =；*一〃?〕2+〃经过8、C两点,顶点.在正方形内部.〔1〕直接写出点.〔m, n〕所有的特征线：〔2〕假设点.有一条特征线是y=x+l,求此抛物线的解析式：〔3〕点P是48边上除点八外的任意一点,连接0P,将AOAP沿着0P折登,点4落在点々的位置,当点4在平行于坐标轴的.点的特征线上时,满足〔2〕中条件的抛物线向下平移多少距离,其顶点落在0P上？【答案】〔1〕 x=m, y=n, y=x+n - m, y= - x+m+n；〔2〕 y = - 〔x-2〕2 + 3 ；〔3〕抛物4线向下平移上二正或W距离,其顶点落在OP上. 3 12【解析】试题分析：〔1〕根据特征线直接求出点.的特征线：〔2〕由点.的一条特征线和正方形的性质求出点.的坐标,从而求出抛物线解析式；〔2〕分平行于x轴和y轴两种情况,由折卷的性质计算即可.试题解析：解：〔1〕・二点D 〔m,.〕,,••点.〔m, n〕的特征线是x=m, y=n, y=x+n - m,y= - x+m+n；〔2〕点.有一条特征线是y=x+l, .•.〃=m+l. •.•抛物线解析式为了 = !〔工一"?了+〃,.•.y = =〔x—〃?〕2+〃? + 1, ,四边形OA8C是正方形,且.点为正方4 4形的对称轴,.〔m, /?〕,「. 8 〔2m, 2m〕 ,y = —〔2m — m〕2 + n = 2m 9将c=m+l 带4入得到m=2, n=3；・・・.〔2, 3〕,・•・抛物线解析式为y = !〔x-2〕2+3.〔3〕①如图,当点A在平行于y轴的.点的特征线时：根据题意可得,D (2, 3),・ .0A=0A=4, 0M=2,N AOM=60°,「・N AOP=N AOP=30°,:MN笺空,抛物线需要向下平移的距离=3—李亨•②如图,当点4在平行于X轴的.点的特征线时,设A〔P,3 〕,那么OA=OA=4, OE=3,EA 二“2.32 =a,,AF=4-a,设P(4, c) (c>0),,在RS AFP 中,(4-V7)2+ (3-c) 2=c2, .•“」6T立,「.p (4, .16 —4" ) ,直线OP解析式为3 3y=匕Lx, ：.N (2, l") •.抛物线需要向下平移的距离=3-3 38-2>/7 _1 + 2>/7-3-- -3综上所述：抛物线向下平移) - 2琳或1 + 2"距离,其顶点落在0P上. 3 3点睛：此题是二次函数综合题,主要考查了折叠的性质,正方形的性质,解答此题的关键是用正方形的性质求出点.的坐标.3.在直角坐标系中,我们不妨将横坐标,纵坐标均为整数的点称之为〃中国结〃.〔1〕求函数y=/x+2的图像上所有“中国结〞的坐标：〔2〕求函数y=±〔HO, k为常数〕的图像上有且只有两个“中国结〃,试求出常数k的值X与相应“中国结〞的坐标；〔3〕假设二次函数丫=〔公一3攵+2〕/+〔2攵2-4%+ 1〕%+公一% 〔k为常数〕的图像与x轴相交得到两个不同的"中国结",试问该函数的图像与x轴所围成的平而图形中〔含边界〕,一共包含有多少个“中国结〞？【答案】〔1〕〔0,2〕 : 〔2〕当k=l时,对应"中国结〞为〔1,1〕〔一1, -D ;当k=-l 时,对应"中国结"为〔1, 一1〕, 〔一1,1〕 ; 〔3〕 6个.【解析】试题分析：〔1〕由于X是整数,XHO时,JJx是一个无理数,所以XHO时,JJx+2不是整数,所以x=o, y=2,据此求出函数y=J^x+2的图象上所有“中国结〃的坐标即可.k〔2〕首先判断出当k=l时,函数/一〔k/0, k为常数〕的图象上有且只有两个〃中国xk结〃：〔1, 1〕、〔-1、-1〕：然后判断出当代1时,函数度一〔kHO, k为常数〕的图X象上最少有4个〃中国结〃,据此求出常数k的值与相应〃中国结〃的坐标即可.(3)首先令(k2-3k+2) x2+ (2k2-4k+l) x+k2 - k=0,那么[(k- 1) x+k][ (k-2) x+ (k-1)]=0,求出X】、X2的值是多少；然后根据X】、X2的值是整数,求出k的值是多少：最后根据横坐标,纵坐标均为整数的点称之为"中国结",判断出该函数的图象与x轴所用成的平面图形中(含边界),一共包含有多少个“中国结〞即可.试题解析：(l);x是整数,XHO时,、^x是一个无理数,xHO时,JJx+2不是整数,x=0> y=2,即函数y=Cx+2的图象上"中国结〞的坐标是(0, 2).(2)①当k=l时,函数度勺(k#0, k为常数)的图象上有且只有两个“中国结〃：x (1, 1)、(-1、-1)：②当匕-1时,函数丫=&(HO, k为常数)的图象上有且只有两个“中国结〃：X(1, -1)、( -1, 1).③当修±1时,函数尸& (HO, k为常数)的图象上最少有4个〃中国结JX(I, k)、( - 1, - k)、(k, 1)、( - k, - 1),这与函数度土(kxo, k 为常数)的x图象上有且只有两个“中国结"矛盾,k综上可得,k=l时,函数y=— (k/0, k为常数)的图象上有且只有两个“中国结J (1, x 1)、( - 1、- 1)；k=-l时,函数y=七(k/0, k为常数)的图象上有且只有两个“中国结J (1, -1)、x (-1、1).(3)令(k2-3k+2) x2+ (2k2-4k+l) x+k2 - k=0,那么[(k- 1) x+k][ (k-2) x+ (k- 1) ]=0, kx.= ---------.•・{ ik-\f x 2x) +1• k =——=-=——. x1 +1 x2 +1 整理,可得XlX2+2X2+l=0t/. xz (xi+2) = T,•••X】、X2都是整数,X)= 1 x, =—1｛- 或｛-玉+2 = _「^+2 = 1匹=T ②当｛X、= —1k ,,/ ------- = -1 ,l — kk=k-l,无解；练上,可得.3K=—, XF-3, x2=l t2y= (k2- 3k+2) x2+ (2k2-4k+l) x+k2 - k3 3 3 3 3 3=[(-)2-3X-+21X2+[2X ( - ) 2-4x-+l]x+ (- ) 2--2 2 2 2 2 2①当x=-2时,1 13 1 1 3y= - - x2- — x+ — = " - x ( - 2) 2 - -x ( - 2) + —4 2 4 4 2 4_3~4②当X=-1时,=13③当x=0时,y=-,另外,该函数的图象与X轴所闱成的平面图形中x轴上的“中国结〞有3个: 〔-2, 0〕、〔 -1、0〕、〔0, 0〕.综上,可得假设二次函数y= 〔k2-3k+2〕 x2+ 〔2k2-4k+l〕 x+l?-k 〔k为常数〕的图象与x轴相交得到两个不同的"中国结〞,该函数的图象与x轴所围成的平面图形中〔含边界〕,一共包含有6个“中国结〞：〔-3, 0〕、〔-2, 0〕、〔 - 1, 0〕〔-1, 1〕、〔0, 0〕、〔1, 0〕.考点：反比例函数综合题4.如图,抛物线〕,= 公+ C的顶点为A〔4,3〕,与轴相交于点3〔0,—5〕,对称轴为直线/,点"是线段A8的中点.〔1〕求抛物线的表达式：〔2〕写出点M的坐标并求直线A3的表达式；〔3〕设动点尸,.分别在抛物线和对称轴I上,当以A,P,Q,例为顶点的四边形是平行四边形时,求.,.两点的坐标.【答案】〔1〕y = --x2+4x-5t〔2〕 A/〔2,-1〕, y = 2x-5：〔3〕点夕、.的坐 2标分别为〔6,1〕或〔2,1〕、〔4,—3〕或〔4』〕.【解析】【分析】〔1〕函数表达式为：〕,= a〔x = 4『+3,将点3坐标代入上式,即可求解：〔2〕 A〔4,3〕、B〔0-5〕,那么点加〔2,-1〕,设直线A8的表达式为：y = ^-5,将点4坐标代入上式,即可求解；〔3〕分当AM是平行四边形的一条边、AM是平行四边形的对角线两种情况,分别求解即可. 【详解】解：〔1〕函数表达式为：y = a〔x = 4〕2+3,将点4坐标代入上式并解得：.=2故抛物线的表达式为：y = -l x2+4x-5:乙(2) 4(4,3)、B(0,-5),那么点M(2,-1),设直线A8的表达式为：y = /oc-5,将点A坐标代入上式得：3 =必一5,解得：k = 2,故直线A8的表达式为：y = 2x-5：( i \(3)设点.(4,s)、点P m,——nr +4/H —5 ,①当AM是平行四边形的一条边时,点A向左平移2个单位、向下平移4个单位得到M,同样点P；"?,-：〃,+4机一5)向左平移2个单位、向下平移4个单位得到0(4,s),即：团一2 = 4, —nr +4m-5-4 = s , 2解得：m = 6 ♦ s = —3,故点P、.的坐标分别为(6,1)、(4,-3)：②当AM是平行四边形的对角线时,由中点定理得：4+2 = 〃z+4, 3-1 = --//r +4w-5 + 5,2解得：〞1 = 2, 5 = 1 >故点尸、.的坐标分别为(2/)、(4,1)；故点尸、.的坐标分别为(6,1), (4,一3)或(2,1)、(分-3), (2,1)或(4,1).【点睛】此题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数、平行四边形性质、图象的面积计算等,其中(3),要主要分类求解,防止遗漏.5.如图,某足球运发动站在点0处练习射门,将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出 (点A在y轴上),足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y= at2 + 5t+c,足球飞行0.8s时,离地面的高度为3.5m.⑴足球飞行的时间是多少时,足球离地而最高？最大高度是多少？⑵假设足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x = 10t,己知球门的高度为2.44m,如果该运发动正对球门射门时,离球门的水平距离为28m,他能否将球直接射入球门？8【答案】(1)足球飞行的时间是一s时,足球离地而最高,最大高度是4.5m： (2)能.5【解析】(2)把 x=28 代入 x=10t 得 t=2.8,251・•・当 t=2.8 时,y=-a2・8?+5乂2・8令2・25 V2/4, •L . 乙^ 他能将球直接射入球门. 考点：二次函数的应用.6.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax?+2x+c 与x 轴交于A ( - 1, 0) B (3, 0)两 点,与y 轴交于点C,点D 是该抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式和直线AC 的解析式；(2)请在y 轴上找一点M,使△BDM 的周长最小,求出点M 的坐标；(3)试探究：在抛物线上是否存在点P,使以点A, P, C 为顶点,AC 为直角边的三角形 是直角三角形？假设存在,请求出符合条件的点P 的坐标：假设不存在,请说明理由.试题分析：(1)由题意得：函数y=atz+5t+c 的图象经过(0, 0.5) (0.8, 35),于是得0. 5二.到 n,求得抛物线的解析式为:3. 5=0.8 4+5X0. 8+c 、 y=-衰2+514,当t=|时,y 破大=4.5；1(2)把x=28代入x=10t 得t=2.8,当t=2.8时,y=- 竿2.82+5、2.8哈2・25V2.44,于是得 16 2到他能将球直接射入球门.解：(1)由题意得：函数y=a&5t+c 的图象经过(0, 0.5) (0.8, 3.5),"0. 5二c• «, 、3. 5=0. 8 &2+5 X 0. g+c '3=解得：_ 251612・•・抛物线的解析式为：y=・•,y【答案】(1)抛物线解析式为y=-x2+2x+3；直线AC 的解析式为丫=3x+3； (2)点M 的 坐标为(0, 3)：7 20 1013〔3〕符合条件的点P 的坐标为〔或,2〕或〔“,-"〕, 3 93 9【解析】分析：〔1〕设交点式y=a 〔x+1〕 〔x-3〕,展开得到-2a=2,然后求出a 即可得到抛物线解 析式：再确定C 〔0, 3 〕,然后利用待定系数法求直线AC 的解析式：〔2〕利用二次函数的性质确定D 的坐标为〔1, 4〕,作B 点关于y 轴的对称点W,连接DB 咬y 轴于M,如图1,那么B ,〔-3, 0〕,利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD 的值最小,那么此时△ BDM 的周长最小,然后求出直线DB ,的解析式即可得到点M 的坐标：〔3〕过点C 作AC 的垂线交抛物线于另一点P,如图2,利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC 的解析式为y=-lx +b,把C 点坐标代入求出b 得到直线PC 的解析式为再解方程组, 1得此时P 点坐标；当过点A 作AC 的垂线交抛物y=--x + 3 I 3线于另一点P 时,利用同样的方法可求出此时P 点坐标. 详解：〔1〕设抛物线解析式为y=a 〔x+1〕〔x-3〕, KP y=ax 2 - 2ax - 3a,,2a=2,解得 a=- 1,・•・抛物线解析式为y= - X 2+2X +3： 当 x=0 时,y= - x 2+2x+3=3,那么 C (0, 3), 设直线AC 的解析式为y=px+q.q = 0把 A ( - 1, 0) , C (0, 3)代入得〈q = 3直线AC 的解析式为y=3x+3；〔2〕 •/ y= - X 2+2X +3= - 〔x- 1〕 2+4, •1•顶点D 的坐标为〔1, 4〕,作B 点关于y 轴的对称点B",连接DB ,交y 轴于M,如图1,那么夕〔-3, 0〕,MB=MB',/. MB+MD=MB /+MD=DB /,此时 MB+MD 的值最小, 而BD 的值不变,・•,此时△ BDM 的周长最小,y=-x 2 +2x + 31 y=- -x+3, 3易得直线DB ,的解析式为y=x+3, 当 x=0 时,y=x+3=3> ・ ・•点M 的坐标为〔0, 3〕；〔3〕存在.过点C 作AC 的垂线交抛物线于另一点P,如图2,把C 〔0, 3 〕代入得b=3,・ ,・直线PC 的解析式为y=- -x+3,过点A 作AC 的垂线交抛物线于另一点P,直线PC 的解析式可设为y=-点+b, 把A ( -1, 0)代入得1+b=0,解得b=- L 3 3・ •・直线PC 的解析式为y=- ：x- 1点睛：此题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数 的性质；会利用待定系数法求函数解析式,理解两直线垂直时一次项系数的关系,通过解 方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质,会运用两点之间线段最短解决最短 路径问题：会运用分类讨论的思想解决数学问题.直线PC 的解析式可设为y=- —x+b,3解方程组?y=-x 2+2x + 31 ,解得?y=——x + 33x = 0)=3或,7x =一3 7 20 ,那么此时P 点坐标为〔一,—〕：2.39y =解方程组?y=-x 2+2x + 31 1 y=——x ——33x = -ly = 010x =—3 13那么此时P 点坐标为〔—, 3综上所述,符合条件的点p 的坐标为〔N, 310 T-?>•直线AC 的解析式为y=3x+3.7.如图,直线A8与抛物线C ：),=⑪2+21+.相交于人(—1,0)和点8(2,3)两点.⑴求抛物线.的函数表达式；⑵假设点M 是位于直线A3上方抛物线上的一动点,以M4、/W8为相邻两边作平行四边形 M4N8,当平行四边形M4N8的而积最大时,求此时四边形M4N8的而积S 及点M 的 坐标： ⑶在抛物线C 的对称轴上是否存在定点尸,使抛物线.上任意一点夕到点尸的距离等于到 直线y ="的距离,假设存在,求出定点厂的坐标：假设不存在,请说明理由.41 27 【答案】〔1〕 y =—厂 + 2x + 3 ：〔2〕当 〃 =—,S ZMANB = 2S △ ABM =—,此时2 415 \ :⑶存在.当/A — 时,无论％取任何实数,均有= 理由见解析. \ 4 )【解析】【分析】 (1)利用待定系数法,将A, B 的坐标代入y=ax2+2x+c 即可求得二次函数的解析式； (2)过点M 作MH_Lx 轴于H,交直线AB 于K,求出直线AB 的解析式,设点M (a,- a?+2a+3),那么K (a, a+1),利用函数思想求出MK 的最大值,再求出△ AMB 面积的最大 值,可推出此时平行四边形MANB 的面积S 及点M 的坐标：17(3)如图2,分别过点B, C 作直线y=—的垂线,垂足为N. H,设抛物线对称轴上存在 4点F,使抛物线C 上任意一点P 到点F 的距离等于到直线y=—的距离,其中F (1, a), 4 连接BF, CF,那么可根据BF=BN, CF=CN 两组等量关系列出关于a 的方程组,解方程组即 可.【详解】(1)由题意把点(-1, 0)、(2, 3)代入 y=ax2+2x+c, .- 2 + c = 0得, ,4a + 4 + c = 3 解得 a=-l, c=3,,此抛物线c 函数表达式为：y=*2+2x+3：〔2〕如图1,过点M 作MHLx 轴于H,交直线AB 于K,MH4 〕>>将点〔・1, 0〕、〔2, 3〕代入y=kx+b中, 一k+b=0得,2y 解得,k=l, b=l,/.Y AB=X+1,设点M (a, -a2+2a+3),那么K (a, a+1), 贝lj MK=-a2+2a+3- (a+1)=-(a- - ) 2+—, 2 41 9根据二次函数的性质可知,当合二彳时,MK有最大长度丁, 2 4S A AMB以大=S A AMK+S A BMK=—MK*AH+ —MK> (x B-x H)2 2=—MK e (XB-XA)21 9=x — x32 4_27-—,8以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB,当平行四边形MANB的面积最大时,27 27 1 15s 餐大=2S A AMB 4U=2X —=—,M (-, —).(3)存在点F,•/ y=-x2+2x+3=-(x-1) 2+4,「・对称轴为直线x=l.当y=0 时,xi=-l, X2=3,,抛物线与点x轴正半轴交于点C (3, 0),17如图2,分别过点B, C作直线y:一的垂线,垂足为N, H, 4抛物线对称轴上存在点F,使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y=—的距4离,设 F (1, a ),连接BF, CF,IT1 17 5 17那么BF=BN二一-3二一,CF=CH=—, 4 4 4(5、(2-1)2+3—3)2 =由题意可列:(3 — 1)2+/=阴【点睛】此题考查了待定系数法求解析式,还考查了用函数思想求极值等,解题关键是能够判断出当平行四边形MANB的面积最大时,aABM的面积最大,且此时线段MK的长度也最大.8.如图,己知二次函数%=a' + "过(-2, 4) , ( - 4. 4)两点.〔1〕求二次函数力的解析式：〔2〕将为沿x轴翻折,再向右平移2个单位,得到抛物线及,直线y=m 〔m>0〕交及于M、N 两点,求线段MN的长度〔用含m的代数式表示〕：〔3〕在〔2〕的条件下,力、及交于A、B两点,如果直线y=m与力、刃的图象形成的封闭曲线交于C、D两点〔C在左侧〕,直线y=-m与力、刃的图象形成的封闭曲线交于E、F两点〔E在左侧〕,求证：四边形CEFD是平行四边形.1yi =_/2_3%【答案】〔1〕2【解析】〔2〕 5 +范〔3〕证实见解析.试题分析：〔1〕根据待定系数法即可解决问题.〔2〕先求出抛物线yz的顶点坐标,再求出其解析式,利用方程组以及根与系数关系即可求出MN.〔3〕用类似〔2〕的方法,分别求出CD、EF即可解决问题.试题解析：⑴・•・二次函数月=°/ + "过〔-2, 4〕 , 〔-4, 4〕两点,4a - 2b = 416a -4b = 4解得:1a=~2=_1 2_ -「.二次函数力的解析式为一寸3X2-3% -# + 3)2 +9,二顶点坐标〔-3, >〕 , ,「将力沿x釉翻折,再向右平移2个单位,得到抛物线〞,9.・・抛物线y2的顶点坐标〔-1, -、〕,•,・抛物线均为1 9y=#+i)2_] 消去y整理得到/ + 2x_8_2m = 0,设打,也是它的两个根,那么"21A〔q+ x2〕-似/2=、阳而千J5：〔3〕由y = my =一/2-3欠,消去y整理得到x +6%+2m = 0,设两个根为打,0那么y =-m1 9______ y =—〔x --CD」"I一亚15〔修+ OF - 4町2«36 -所,由2 2,消去丫得到x2 + 2x-8 + 2m = 0,设两个根为勺,％2,那么EF」X1 - "zlK,dl + 工2〕2 - 4XI%2=«36 - 8m, ... EF=CD, EFII CD,四边形CEFD 是平行四考点：二次函数综合题.9 .抛物避= a/ + M + c,假设a, b, c满足b=a+c,那么称抛物线,=.壮+必+ c为“恒定〞抛物线. 〔1〕求证："恒定"抛物线'=°/ +丘+,必过*轴上的一个定点人；〔2〕"恒定〃抛物线y = -于的顶点为P,与X轴另一个交点为B,是否存在以Q为顶点,与X轴另一个交点为C的“恒定〞抛物线,使得以PA, CQ为边的四边形是平行四边形？假设存在,求出抛物线解析式：假设不存在,请说明理由.【答案】〔1〕证实见试题解析：〔2〕 y = \/^2 + 4v-^x + 3-V3 那么=- v取2 + y3.【解析】试题分析：〔1〕由"恒定〞抛物线的定义,即可得出抛物线恒过定点〔-1, 0〕:〔2〕求出抛物线F = W"一小的顶点坐标和B的坐标,由题意得出PAII CQ, PA=CQ：存在两种情况：①作QMXAC于M,那么QM=0P=\3,证实RtA QM〔^ RtA POA. MC=OA=1,得出点Q的坐标,设抛物线的解析式为,=矶" + 2〕2-\/3,把点A坐标代入求出a的值即可：②顶点Q在y轴上,此时点C与点B重合：证实△0QS4 0PA,得出OQ=OP=\B,得出点Q坐标,设抛物线的解析式为' =以2+«3,把点C坐标代入求出a的值即可.试题解析：〔1〕由“恒定〃抛物线,二仙2 +%+ 4得：b=a+c,即a-b+c=0,二•抛物线y = ax2 + bx + c t当x=-l时,y=0, 恒定〞抛物线,=必+八+〔；必过乂轴上的一个定点 A 〔 - 1, 0〕：〔2〕存在：理由如下：：“恒定"抛物线卜"*丫一道,当尸0时,\8/-、6=0,解得：x=±l, V A ( - 1, 0) , /. B (1, 0):.・x=O 时,y=一\'3,顶点P 的坐标为(0, 一\3),以PA, CQ为边的平行四边形,PA、CQ是对边,「.PAII CQ, PA=CQ, .,.存在两种情况：①如图1所示：作QM_LAC 于M,那么QM=0P=y3, Z QMC=90°=Z POA,在RtA QMC 和RtA POA 中,: CQ=PA, QM=OP,J RtA QMC合RtA POA (HL) , /. MC=OA=1, OM=2, 丁点 A 和点C 是抛物线上的对称点,AM=MC=1, .,.点Q的坐标为(-2, 一\3),设以Q为顶点,与x轴另一个交点为C的“恒定〞抛物线的解析式为y = a(% + 2)2-«3,把点A(-l, 0)代入得：aS% .•.抛物线的解析式为：丫 = \乃(% + 2)273,即,=\访2 + 4、%+3日②如图2所示：顶点Q在y轴上,此时点C与点B重合,.•.点C坐标为(1, 0),CQII PA, /. Z OQC=Z OPA,在^ OQC 和4 OPA 中,: Z OQC=Z OPA, Z COQ=Z AOP,CQ=PA,OQC2△ OPA (AAS) ,「・0Q=0P=、3,「•点Q 坐标为(0, \§),设以Q为顶点,与X轴另一个交点为C的“恒定〞抛物线的解析式为y = a%2 + g3,把点C(l, 0)代入得：a=-W, .•.抛物线的解析式为：?=一臼2 + 口；综上所述：存在以Q为顶点,与x轴另一个交点为C的“恒定〞抛物线,使得以PA, CQ为边的四边形是平行四边形,抛物线的解析式为：«3/ + 4\,做+3\3,或y =-%即 + 0考点：1.二次函数综合题：2.压轴题：3.新定义：4.存在型：5.分类讨论.3 910 .二次函数y=—-x2+bx+c的图象经过A (0, 3) , B ( - 4,--)两点.(1)求b, c的值.3(2)二次函数y= -「xZ+bx+c的图象与x轴是否有公共点,求公共点的坐标：假设没有,请16说明情况.【答案】⑴j 8 : 〔2〕公共点的坐标是〔-2, 0〕或〔8, 0〕. c = 3【解析】【分析】〔1〕把点A、B的坐标分别代入函数解析式求得b、c的值；〔2〕利用根的判别式进行判断该函数图象是否与x轴有交点,由题意得到方程-3 o—X2+-X+3=0,通过解该方程求得x的值即为抛物线与x轴交点横坐标.16 89 3【详解】(1)把 A (0, 3) , B ( - 4,--)分别代入y=- - x2+bx+c,2 16c = 3得4 39------ x l6-4〃 + c =——16 26 = ?解得彳8 ；[c = 33 9〔2〕由〔1〕可得,该抛物线解析式为：y=- -x2+-x+3, 1 o 83 225-4x ( - -- ) x3= >0»16 6483所以二次函数y=- - x2+bx+c的图象与x轴有公共点, 163 9.「- -x2+-x+3=0 的解为：x产・2, X2=8,16 8公共点的坐标是〔-2, 0〕或〔8, 0〕.【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点,二次函数图象上点的坐标特征.注意抛物线解析式与一元二次方程间的转化关系.。
中考数学压轴题之二次函数(中考题型整理,突破提升)附详细答案
一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3），顶点为G．（1）求抛物线和直线AC的解析式；（2）如图，设E（m，0）为x轴上一动点，若△CGE和△CGO的面积满足S△CGE＝S△CGO，求点E的坐标；（3）如图，设点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，运动时间为ts，点M为射线AC上一动点，过点M作MN∥x轴交抛物线对称轴右侧部分于点N．试探究点P在运动过程中，是否存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；直线AC解析式为：y＝3x+3；（2）点E 坐标为（1，0）或（﹣7，0）；（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为或或．【解析】【分析】（1）用待定系数法即能求出抛物线和直线AC解析式．（2）△CGE与△CGO虽然有公共底边CG，但高不好求，故把△CGE构造在比较好求的三角形内计算．延长GC交x轴于点F，则△FGE与△FCE的差即为△CGE．（3）设M的坐标（e，3e+3），分别以M、N、P为直角顶点作分类讨论，利用等腰直角三角形的特殊线段长度关系，用e表示相关线段并列方程求解，再根据e与AP的关系求t 的值．【详解】（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3），, 解得：，∴抛物线解析式为：y=-x2+2x+3，设直线AC解析式为y=kx+3，∴-k+3=0，得：k=3，∴直线AC解析式为：y=3x+3.（2）延长GC交x轴于点F，过G作GH⊥x轴于点H，∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴G（1，4），GH=4，∴S△CGO=OC•x G=×3×1=，∴S△CGE=S△CGO=×=2，①若点E在x轴正半轴上，设直线CG：y=k1x+3，∴k1+3=4 得：k1=1，∴直线CG解析式：y=x+3，∴F（-3，0），∵E（m，0），∴EF=m-（-3）=m+3，∴S△CGE=S△FGE-S△FCE=EF•GH-EF•OC=EF•（GH-OC）=（m+3）•（4-3）=，∴=2，解得：m=1，∴E的坐标为（1，0）.②若点E在x轴负半轴上，则点E到直线CG的距离与点（1，0）到直线CG距离相等，即点E到F的距离等于点（1，0）到F的距离，∴EF=-3-m=1-（-3）=4，解得：m=-7 即E（-7，0），综上所述，点E坐标为（1，0）或（-7，0）.（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，设M（e，3e+3），则y N=y M=3e+3，①若∠MPN=90°，PM=PN，如图2，过点M作MQ⊥x轴于点Q，过点N作NR⊥x轴于点R，∵MN∥x轴，∴MQ=NR=3e+3，∴Rt△MQP≌Rt△NRP（HL），∴PQ=PR，∠MPQ=∠NPR=45°，∴MQ=PQ=PR=NR=3e+3，∴x N=x M+3e+3+3e+3=7e+6，即N（7e+6，3e+3），∵N在抛物线上，∴-（7e+6）2+2（7e+6）+3=3e+3，解得：e1=-1（舍去），e2=−，∵AP=t，OP=t-1，OP+OQ=PQ，∴t-1-e=3e+3，∴t=4e+4=，②若∠PMN=90°，PM=MN，如图3，∴MN=PM=3e+3，∴x N=x M+3e+3=4e+3，即N（4e+3，3e+3），∴-（4e+3）2+2（4e+3）+3=3e+3，解得：e1=-1（舍去），e2=−，∴t=AP=e-（-1）=−+1＝，③若∠PNM=90°，PN=MN，如图4，∴MN=PN=3e+3，N （4e+3，3e+3）， 解得：e=−，∴t=AP=OA+OP=1+4e+3=，综上所述，存在以P ，M ，N 为顶点的三角形为等腰直角三角形，t 的值为或或．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标系中三角形面积计算，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，考查了分类讨论和方程思想．第（3）题根据等腰直角三角形的性质找到相关线段长的关系是解题关键，灵活运用因式分解法解一元二次方程能简便运算．2．（2017南宁，第26题，10分）如图，已知抛物线2239y ax ax a =--与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中C （0，3），∠BAC 的平分线AE 交y 轴于点D ，交BC 于点E ，过点D 的直线l 与射线AC ，AB 分别交于点M ，N ．（1）直接写出a 的值、点A 的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P 为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD 为等腰三角形，求出点P 的坐标； （3）证明：当直线l 绕点D 旋转时，11AM AN+均为定值，并求出该定值．【答案】（1）a =13-，A 30），抛物线的对称轴为x 32）点P 的坐标为3034）；（3）32． 【解析】试题分析：（1）由点C 的坐标为（0，3），可知﹣9a =3，故此可求得a 的值，然后令y =0得到关于x 的方程，解关于x 的方程可得到点A 和点B 的坐标，最后利用抛物线的对称性可确定出抛物线的对称轴；（2）利用特殊锐角三角函数值可求得∠CAO =60°，依据AE 为∠BAC 的角平分线可求得∠DAO =30°，然后利用特殊锐角三角函数值可求得OD =1，则可得到点D 的坐标．设点P 的，a ）．依据两点的距离公式可求得AD 、AP 、DP 的长，然后分为AD =PA 、AD =DP 、AP =DP 三种情况列方程求解即可；（3）设直线MN 的解析式为y =kx +1，接下来求得点M 和点N 的横坐标，于是可得到AN 的长，然后利用特殊锐角三角函数值可求得AM 的长，最后将AM 和AN 的长代入化简即可．试题解析：（1）∵C （0，3），∴﹣9a =3，解得：a =13-．令y =0得：290ax a --=，∵a ≠0，∴290x --=，解得：x =x =∴点A 0），B （0），∴抛物线的对称轴为x（2）∵OA OC =3，∴tan ∠CAO ∴∠CAO =60°．∵AE 为∠BAC 的平分线，∴∠DAO =30°，∴DO =1，∴点D 的坐标为（0，1）．设点P a ）．依据两点间的距离公式可知：AD 2=4，AP 2=12+a 2，DP 2=3+（a ﹣1）2． 当AD =PA 时，4=12+a 2，方程无解．当AD =DP 时，4=3+（a ﹣1）2，解得a =0或a =2（舍去），∴点P 0）．当AP =DP 时，12+a 2=3+（a ﹣1）2，解得a =﹣4，∴点P ，﹣4）．综上所述，点P 04）．（3）设直线AC 的解析式为y =mx +3，将点A 的坐标代入得：30+=，解得：m ∴直线AC 的解析式为3y =+． 设直线MN 的解析式为y =kx +1．把y =0代入y =kx +1得：kx +1=0，解得：x =1k -，∴点N 的坐标为（1k-，0），∴AN =1k-．将3y =+与y =kx +1联立解得：x，∴点M ．过点M 作MG ⊥x 轴，垂足为G ．则AG∵∠MAG =60°，∠AGM =90°，∴AM =2AG =4233k +-=2323k k --，∴11AM AN +=323231k k k k -+-- =33232k k --=3(31)2(31)k k -- =32． 点睛：本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，分类讨论是解答问题（2）的关键，求得点M 的坐标和点N 的坐标是解答问题（3）的关键．3．如图，某足球运动员站在点O 处练习射门，将足球从离地面0.5m 的A 处正对球门踢出(点A 在y 轴上)，足球的飞行高度y(单位：m )与飞行时间t(单位：s )之间满足函数关系y ＝at 2＋5t ＋c ，已知足球飞行0.8s 时，离地面的高度为3.5m . (1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m )与飞行时间t(单位：s )之间具有函数关系x ＝10t ，已知球门的高度为2.44m ，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m ，他能否将球直接射入球门？【答案】（1）足球飞行的时间是85s 时，足球离地面最高，最大高度是4.5m ；（2）能. 【解析】试题分析：（1）由题意得：函数y=at 2+5t+c 的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），于是得到，求得抛物线的解析式为：y=﹣t 2+5t+，当t=时，y 最大=4.5；（2）把x=28代入x=10t 得t=2.8，当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，于是得到他能将球直接射入球门．解：（1）由题意得：函数y=at 2+5t+c 的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5）， ∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，∴当t=时，y最大=4.5；（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，∴当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，∴他能将球直接射入球门．考点：二次函数的应用．4．如图，抛物线y＝ax2＋bx（a≠0）过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．（1）求抛物线的表达式；（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，是否存在这样的点P，使得△ABP的面积为△ABC面积的2倍？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴正半轴上运动，当以点C，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．【答案】（1）y＝－x2＋4x；（2）C（3，3），面积为3；（3）P的坐标为（5，－5）；（4）52或5．【解析】试题分析：（1）利用待定系数法进行求解即可；（2）先求出抛物线的对称轴，利用对称性即可写出点C的坐标，利用三角形面积公式即可求面积；（3）利用三角形的面积以及点P所处象限的特点即可求；（4）分情况进行讨论，确定点M、N，然后三角形的面积公式即可求.试题解析：（1）将A（4，0），B（1，3）代入到y＝ax2＋bx中，得16403a ba b+=⎧⎨+=⎩，解得14ab=-⎧⎨=⎩，∴抛物线的表达式为y＝－x2＋4x．（2）∵抛物线的表达式为y＝－x2＋4x，∴抛物线的对称轴为直线x＝2．又C，B关于对称轴对称，∴C（3，3）．∴BC＝2，∴S△ABC＝12×2×3＝3．（3）存在点P．作PQ⊥BH于点Q，设P（m，－m2＋4m）．∵S△ABP＝2S△ABC，S△ABC＝3，∴S△ABP＝6．∵S△ABP＋S△BPQ＝S△ABH＋S梯形AHQP∴6＋12×（m－1）×（3＋m2－4m）＝12×3×3＋12×（3＋m－1）（m2－4m）整理得m2－5m＝0，解得m1＝0（舍），m2＝5，∴点P的坐标为（5，－5）．（4）52或5．提示：①当以M为直角顶点，则S△CMN＝52；②当以N为直角顶点，S△CMN＝5；③当以C为直角顶点时，此种情况不存在．【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查待定系数法求解析式，三角形面积、直角三角形的判定等，能正确地根据题意确定图形，分情况进行讨论是解题的关键.5．在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y=﹣12x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，52），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求线段CD 的长；（3）将抛物线平移，使其顶点C 移到原点O 的位置，这时点P 落在点E 的位置，如果点M 在y 轴上，且以O 、D 、E 、M 为顶点的四边形面积为8，求点M 的坐标．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣12x 2+2x+52；（2）线段CD 的长为2；（3）M 点的坐标为（0，72）或（0，﹣72）． 【解析】【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）利用配方法得到y=﹣12（x ﹣2）2+92，则根据二次函数的性质得到C 点坐标和抛物线的对称轴为直线x=2，如图，设CD=t ，则D （2，92﹣t ），根据旋转性质得∠PDC=90°，DP=DC=t ，则P （2+t ，92﹣t ），然后把P （2+t ，92﹣t ）代入y=﹣12x 2+2x+52得到关于t 的方程，从而解方程可得到CD 的长；（3）P 点坐标为（4，92），D 点坐标为（2，52），利用抛物线的平移规律确定E 点坐标为（2，﹣2），设M （0，m ），当m ＞0时，利用梯形面积公式得到12•（m+52+2）•2=8当m ＜0时，利用梯形面积公式得到12•（﹣m+52+2）•2=8，然后分别解方程求出m 即可得到对应的M 点坐标．【详解】（1）把A （﹣1，0）和点B （0，52）代入y=﹣12x 2+bx+c 得 10252b c c ⎧--+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得252b c =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴抛物线解析式为y=﹣12x 2+2x+52； （2）∵y=﹣12（x ﹣2）2+92，∴C（2，92），抛物线的对称轴为直线x=2，如图，设CD=t，则D（2，92﹣t），∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处，∴∠PDC=90°，DP=DC=t，∴P（2+t，92﹣t），把P（2+t，92﹣t）代入y=﹣12x2+2x+52得﹣12（2+t）2+2（2+t）+52=92﹣t，整理得t2﹣2t=0，解得t1=0（舍去），t2=2，∴线段CD的长为2；（3）P点坐标为（4，92），D点坐标为（2，52），∵抛物线平移，使其顶点C（2，92）移到原点O的位置，∴抛物线向左平移2个单位，向下平移92个单位，而P点（4，92）向左平移2个单位，向下平移92个单位得到点E，∴E点坐标为（2，﹣2），设M（0，m），当m＞0时，12•（m+52+2）•2=8，解得m=72，此时M点坐标为（0，72）；当m＜0时，12•（﹣m+52+2）•2=8，解得m=﹣72，此时M点坐标为（0，﹣72）；综上所述，M点的坐标为（0，72）或（0，﹣72）．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、抛物线上点的坐标、旋转的性质、抛物线的平移等知识，综合性较强，正确添加辅助线、运用数形结合思想熟练相关知识是解题的关键.6．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=14x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．（1）求抛物线的解析式；（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为y=14x2﹣x+1．（2）点P的坐标为（2813，﹣1）．（3）定点F的坐标为（2，1）．【解析】分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a（x-2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；（3）由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，即可得出（1-12-12y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0，由m的任意性可得出关于x0、y0的方程组，解之即可求出顶点F的坐标．详解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0），设抛物线的解析式为y=a（x-2）2．∵该抛物线经过点（4，1），∴1=4a，解得：a=14，∴抛物线的解析式为y=14（x-2）2=14x2-x+1．（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，得：214114y x y x x ⎧⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩＝＝，解得：11114x y ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝，2241x y ⎧⎨⎩＝＝， ∴点A 的坐标为（1，14），点B 的坐标为（4，1）． 作点B 关于直线l 的对称点B′，连接AB′交直线l 于点P ，此时PA+PB 取得最小值（如图1所示）．∵点B （4，1），直线l 为y=-1， ∴点B′的坐标为（4，-3）．设直线AB′的解析式为y=kx+b （k≠0）， 将A （1，14）、B′（4，-3）代入y=kx+b ，得： 1443k b k b ⎧+⎪⎨⎪+-⎩＝＝，解得：131243k b ⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝， ∴直线AB′的解析式为y=-1312x+43， 当y=-1时，有-1312x+43=-1， 解得：x=2813， ∴点P 的坐标为（2813，-1）． （3）∵点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等， ∴（m-x 0）2+（n-y 0）2=（n+1）2， ∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0n+y 02=2n+1． ∵M （m ，n ）为抛物线上一动点，∴n=14m2-m+1，∴m2-2x0m+x02-2y0（14m2-m+1）+y02=2（14m2-m+1）+1，整理得：（1-12-12y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0．∵m为任意值，∴00220001110222220230yx yx y y⎧--⎪⎪-+⎨⎪+--⎪⎩＝＝＝，∴021xy⎧⎨⎩＝＝，∴定点F的坐标为（2，1）．点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P的位置；（3）根据点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于x0、y0的方程组．7．如图，已知抛物线2y ax bx c=++的顶点为()4,3A，与y轴相交于点()0,5B-，对称轴为直线l，点M是线段AB的中点.（1）求抛物线的表达式；（2）写出点M的坐标并求直线AB的表达式；（3）设动点P，Q分别在抛物线和对称轴l上，当以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求P，Q两点的坐标.【答案】（1）21452=-+-y x x；（2）()2,1-M，25y x=-；（3）点P、Q的坐标分别为()6,1或()2,1、()4,3-或()4,1．【解析】【分析】（1）函数表达式为：()243y a x ==+，将点B 坐标代入上式，即可求解； （2）()4,3A 、()0,5B -，则点()2,1-M ，设直线AB 的表达式为：5y kx =-，将点A 坐标代入上式，即可求解；（3）分当AM 是平行四边形的一条边、AM 是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可. 【详解】解：（1）函数表达式为：()243y a x ==+， 将点B 坐标代入上式并解得：12a =-， 故抛物线的表达式为：21452=-+-y x x ； （2）()4,3A 、()0,5B -，则点()2,1-M ， 设直线AB 的表达式为：5y kx =-，将点A 坐标代入上式得：345k =-，解得：2k =， 故直线AB 的表达式为：25y x =-； （3）设点()4,Q s 、点21,452P m m m ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭， ①当AM 是平行四边形的一条边时，点A 向左平移2个单位、向下平移4个单位得到M ，同样点21,452P m m m ⎛⎫-+-⎪⎝⎭向左平移2个单位、向下平移4个单位得到()4,Q s ， 即：24m -=，214542m m s -+--=， 解得：6m =，3s =-，故点P 、Q 的坐标分别为()6,1、()4,3-； ②当AM 是平行四边形的对角线时， 由中点定理得：424m +=+，2131452m m s -=-+-+， 解得：2m =，1s =，故点P 、Q 的坐标分别为()2,1、()4,1；故点P 、Q 的坐标分别为()6,1，()4,3-或()2,1、()4,3-，()2,1或()4,1． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图象的面积计算等，其中（3），要主要分类求解，避免遗漏.8．抛物线与x轴交于A，B两点（OA＜OB），与y轴交于点C．（1）求点A，B，C的坐标；（2）点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点E也从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设点P的运动时间为t秒（0＜t＜2）．①过点E作x轴的平行线，与BC相交于点D（如图所示），当t为何值时，的值最小，求出这个最小值并写出此时点E，P的坐标；②在满足①的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点F，使△EFP为直角三角形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A（2，0），B（4，0），C（0，2）；（2）①t=1时，有最小值1，此时OP=2，OE=1，∴E（0，1），P（2，0）；②F（3，2），（3，7）．【解析】试题分析：（1）在抛物线的解析式中，令y=0，令x=0，解方程即可得到结果；（2）①由题意得：OP=2t，OE=t，通过△CDE∽△CBO得到，即，求得有最小值1，即可求得结果；②存在，求得抛物线的对称方程为x=3，设F（3，m），当△EFP为直角三角形时，①当∠EPF=90°时，②当∠EFP=90°时，③当∠PEF=90°时，根据勾股定理列方程即可求得结果．试题解析：（1）在抛物线的解析式中，令y=0，即，解得：，，∵OA＜OB，∴A（2，0），B（4，0），在抛物线的解析式中，令x=0，得y=2，∴C（0，2）；（2）①由题意得：OP=2t，OE=t，∵DE∥OB，∴△CDE∽△CBO，∴，即，∴DE=4﹣2t，∴===，∵0＜t＜2，始终为正数，且t=1时，有最大值1，∴t=1时，有最小值1，即t=1时，有最小值1，此时OP=2，OE=1，∴E（0，1），P（2，0）；②存在，∵抛物线的对称轴方程为x=3，设F（3，m），∴，=，=，当△EFP为直角三角形时，①当∠EPF=90°时，，即，解得：m=2，②当∠EFP=90°时，，即，解得；m=0或m=1，不合题意舍去，∴当∠EFP=90°时，这种情况不存在，③当∠PEF=90°时，，即，解得：m=7，综上所述，F（3，2），（3，7）．考点：1．二次函数综合题；2．动点型；3．最值问题；4．二次函数的最值；5．分类讨论；6．压轴题．9．如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；（3）直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值．【答案】（1）这个二次函数的表达式是y=x2﹣4x+3；（2）S△BCP最大=278；（3）当△BMN是等腰三角形时，m22，1，2．【解析】分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PE的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；（3）根据等腰三角形的定义，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．详解：（1）将A （1，0），B （3，0）代入函数解析式，得309330a b a b ++⎧⎨++⎩＝＝， 解得14a b ⎧⎨-⎩＝＝，这个二次函数的表达式是y=x 2-4x+3； （2）当x=0时，y=3，即点C （0，3），设BC 的表达式为y=kx+b ，将点B （3，0）点C （0，3）代入函数解析式，得30k b b +⎧⎨⎩＝＝， 解这个方程组，得13k b -⎧⎨⎩＝＝ 直线BC 的解析是为y=-x+3， 过点P 作PE ∥y 轴，交直线BC 于点E （t ，-t+3）， PE=-t+3-（t 2-4t+3）=-t 2+3t ， ∴S △BCP =S △BPE +S CPE =12（-t 2+3t ）×3=-32（t-32）2+278，∵-32＜0，∴当t=32时，S △BCP 最大=278. （3）M （m ，-m+3），N （m ，m 2-4m+3） MN=m 2-3m ，2|m-3|，当MN=BM 时，①m 22（m-3），解得2， ②m 22m-3），解得2 当BN=MN 时，∠NBM=∠BMN=45°， m 2-4m+3=0，解得m=1或m=3（舍） 当BM=BN 时，∠BMN=∠BNM=45°，-（m 2-4m+3）=-m+3，解得m=2或m=3（舍）， 当△BMN 是等腰三角形时，m 的值为2，-2，1，2．点睛：本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用等腰三角形的定义得出关于m 的方程，要分类讨论，以防遗漏．10．如图，△ABC 的顶点坐标分别为A （﹣6，0），B （4，0），C （0，8），把△ABC 沿直线BC 翻折，点A 的对应点为D ，抛物线y=ax 2﹣10ax+c 经过点C ，顶点M 在直线BC 上．（1）证明四边形ABCD 是菱形，并求点D 的坐标； （2）求抛物线的对称轴和函数表达式；（3）在抛物线上是否存在点P ，使得△PBD 与△PCD 的面积相等？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）详见解析（2）22y x 4x 85=-+ （3）详见解析 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理，翻折的性质可得AB=BD=CD=AC ，根据菱形的判定和性质可得点D 的坐标．（2）根据对称轴公式可得抛物线的对称轴，设M 的坐标为（5，n ），直线BC 的解析式为y=kx+b ，根据待定系数法可求M 的坐标，再根据待定系数法求出抛物线的函数表达式． （3）分点P 在CD 的上面下方和点P 在CD 的上方两种情况，根据等底等高的三角形面积相等可求点P 的坐标： 设P 22x,x 4x 85⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,当点P 在CD 的上面下方，根据菱形的性质，知点P 是AD 与抛物线22y x 4x 85=-+的交点，由A,D 的坐标可由待定系数法求出AD 的函数表达式:1y x 32=+,二者联立可得P 1（529,48）； 当点P 在CD 的上面上方，易知点P 是∠D 的外角平分线与抛物线22y x 4x 85=-+的交点，此时，∠D 的外角平分线与直线AD 垂直，由相似可知∠D 的外角平分线PD 的斜率等于－2，可设其为y 2x m =-+，将D （10，8）代入可得PD 的函数表达式:y 2x 28=-+,与抛物线22y x 4x 85=-+联立可得P 2（﹣5，38）． 【详解】（1）证明：∵A （﹣6，0），B （4，0），C （0，8）， ∴AB=6+4=10，AC 10==．∴AB=AC ．由翻折可得，AB=BD ，AC=CD ．∴AB=BD=CD=AC ．∴四边形ABCD 是菱形． ∴CD ∥AB ．∵C （0，8），∴点D 的坐标是（10，8）．（2）∵y=ax 2﹣10ax+c ，∴对称轴为直线10ax 52a-=-=． 设M 的坐标为（5，n ），直线BC 的解析式为y=kx+b ，∴4k b 0b 8+=⎧⎨=⎩，解得k 2b 8=-⎧⎨=⎩．∴直线BC 的解析式为y=﹣2x+8．∵点M 在直线y=﹣2x+8上，∴n=﹣2×5+8=﹣2． ∴M （5，，－2）.又∵抛物线y=ax 2﹣10ax+c 经过点C 和M ，∴25a 50a c 2c 8-+=-⎧⎨=⎩，解得2a 5c 8⎧=⎪⎨⎪=⎩．∴抛物线的函数表达式为22y x 4x 85=-+． （3）存在．点P 的坐标为P 1（529,48），P 2（﹣5，38）。
2019年中考数学二次函数综合压轴题及答案
2019年中考数学二次函数综合压轴题及答案二次函数是中考数学的必考点，每年的中考数学试题中，二次函数都占了不少的比例，考题或以综合题的形式出现，或以选择题的形式出现，或以填空题的形式出现，不论以哪种形式出现，都旨在考查学生对二次函数的理解，以及应用二次函数解决实际问题的能力，下面我们一起来看中考网为大家带来的"2019年中考数学二次函数综合压轴题及答案"，希望通过本题的练习，能加强考生对二次函数性质的理解。
2019年中考数学二次函数综合压轴题及答案：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5。
点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动。
伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E。
点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止。
设点P、Q运动的时间是t秒（t>0）。
（1）当t=2时，AP=________，点Q到AC的距离是________（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形?若能，求t的值；若不能，请说明理由；（4）当DE经过点C时，请直接写出t的值。
分析：(1)先求PC，再求AP，然后求AQ，再由三角形相似求Q到AC的距离;(2)作QF⊥AC于点F，先求BC，再用t表示QF，然后得出S的函数解析式;(3)当DE∥QB时，得四边形QBED是直角梯形，由△APQ∽△ABC，由线段的对应比例关系求得t，由PQ∥BC，四边形QBED是直角梯形，△AQP∽△ABC，由线段的对应比例关系求t;(4)①第一种情况点P由C向A运动，DE经过点C、连接QC，作QG⊥BC于点G，由PC2=QC2解得t;②第二种情况，点P由A向C运动，DE经过点C，由图列出相互关系，求解t. 解答：二次函数的性质是考生必须掌握的考点，在中学数学学习中占有重要的地位，本文为考生提供的2019年中考数学二次函数综合压轴题及答案除了考查学生利用二次函数的相关知识处，同时还考查了学生对相似三角形的判定定理、线段比的知识，做题时考生要注意巧妙利用辅助线的帮助解答，难度较大。
2019年中考二次函数压轴题整理
2019年中考二次函数压轴题整理1.给定三个点A(-1.a)。
B(3.b)。
C(c。
3)，求经过这三个点的抛物线的解析式，以及线段BC上一点M关于抛物线的对称点N到y轴的距离MN的表达式。
进一步地，连接NB、NC，判断是否存在一个点M，使得△BNC的面积最大。
若存在，求出该点的横坐标m，否则说明理由。
2.给定点A、B、C，其中B(4.b)在抛物线y=ax^2+bx+c上，求该抛物线的解析式。
进一步地，探究△ABC的外接圆的圆心位置，求出圆心的坐标。
若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标。
3.给定抛物线y=x+mx+n和点A(3.a)、B(b。
-3)，点P是线段AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t。
求出直线AB和抛物线的解析式。
进一步地，当点P在第四象限时，连接AM、BM，求出线段PM最长时△ABM的面积。
然后判断是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形。
若存在，直接给出点P的横坐标；否则说明理由。
4.在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A(a。
1)，B(2.b)，O(0.0)，将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O。
给定抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式。
进一步地，设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，判断是否存在点P，使得四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍。
若存在，求出点P的坐标；否则说明理由。
最后，确定四边形PB′A′B的形状，并给出两条性质。
5.给定抛物线y=x-2x+c的顶点A在直线l：y=x-5上。
求出抛物线顶点A的坐标。
进一步地，设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），判断△ABD的形状。
然后在直线l上判断是否存在一点P，使得以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形。
若存在，求出点P的坐标；否则说明理由。
江西专版中考数学专题6二次函数综合探究题精讲本
(3)①由点 Q 为 y1＝(x－1)2－1 上一动点可设点 Q(m，m2－2m)， ∵QN＝QP，∴Q 为 NP 的中点，∵P(－2，0)，∴N(2m＋2， 2m2－4m)，当 Q 与 M1 重合时，则 m＝1，N(4，－2)； ②设 N(x，y)，则 x＝2m＋2，y＝2(m－1)2－2，∴m＝x2 －1， ∴将 m＝x2 －1 代入 y 得：y是二次函数的图象，点 N 所在曲线 的图象如图所示．
(4)若点 M(x1，y1)，N(x2，y2)在抛物线 Cn 上且 x1＜x2，若对于 x1＋x2＞7，都有 y1＜y2，求 n 的值．
解：(1)∵抛物线经过定点 B(1，0)，点 E1(3，0)，E2(5，0)，
∴抛物线 C1 的对称轴 l1：x＝1＋2 3 ＝2，C2 的对称轴 l2：x＝
1＋5 2
＝3，∵En(2n＋1，0)，∴Cn 的对称轴为 ln：x＝1＋22n＋1
＝n＋1；
(2)由(1)得，抛物线 Cn－1 的对称轴为直线 x＝n，∴当 x≥n 时，
函数值随着自变量 x 的增大而增大，∵抛物线 Cn 的对称轴为
直线 x＝n＋1，∴当 x≤n＋1 时，函数值随着自变量的增大而
减小，∴n≤x≤n＋1 时，满足题意；
典例精析
类 型 一 与图形规律有关的二次函数问题
例 1.(2021·江西模拟)抛物线 C1，C2，C3，…，Cn，均过点 A(0， 3)，B(1，0)，及对应的系列点 E1(3，0)，E2(5，0)，E3(7，0)，…， En(2n＋1，0). (1)抛物线 C1 的对称轴 l1：__________；C2 的对称轴 l2：
(3)如图②，若 Q 是抛物线 y1 上的一个动点，过点 P(－2，0) 引射线 PQ，在射线上取点 N，使 QN＝QP. ①当点 Q 与 M1 重合时，则对应的点 N 坐标为___________； ②请在图中描出随着点 Q 运动中对应的点 N，再用平滑的曲 线连接起来，猜想曲线是什么函数的图象，并求点 N 所在曲 线的函数的解析式．
2019中考数学二次函数压轴题(含答案)
中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题面积类1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．解答：解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则：a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：，解得；故直线BC的解析式：y=﹣x+3．已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）；∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）．（3）如图；∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN•OB，∴S△BNC=（﹣m2+3m）•3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）；∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为．2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M 点的坐标．解答：解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：0=16a﹣×4﹣2，即：a=；∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；∴OA=1，OC=2，OB=4，即：OC2=OA•OB，又：OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径；所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）．（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2；设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b=x2﹣x﹣2，即：x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0；∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4；∴直线l：y=x﹣4．所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：，解得：即M（2，﹣3）．过M点作MN⊥x轴于N，S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4．平行四边形类3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，﹣3），点P 是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．（1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把A（3，0）B（0，﹣3）分别代入y=x2+mx+n 与y=kx+b，得到关于m、n的两个方程组，解方程组即可；（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到PM的长，即PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，然后根据二次函数的最值得到当t=﹣=时，PM最长为=，再利用三角形的面积公式利用S△ABM=S△BPM+S△APM计算即可；（3）由PM∥OB，根据平行四边形的判定得到当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能；当P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3；当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值．解答：解：（1）把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=x2+mx+n，得解得，所以抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3．设直线AB的解析式是y=kx+b，把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=kx+b，得，解得，所以直线AB的解析式是y=x﹣3；（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），因为p在第四象限，所以PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，当t=﹣=时，二次函数的最大值，即PM最长值为=，则S△ABM=S△BPM+S△APM==．（3）存在，理由如下：∵PM∥OB，∴当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，①当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能有PM=3．②当P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3，解得t1=，t2=（舍去），所以P点的横坐标是；③当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，解得t1=（舍去），t2=，所以P 点的横坐标是．所以P点的横坐标是或．4．如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O．（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B 的两条性质．解：（1）△A′B′O是由△ABO绕原点O逆时针旋转90°得到的，又A（0，1），B（2，0），O（0，0），∴A′（﹣1，0），B′（0，2）．方法一：设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c（a≠0），∵抛物线经过点A′、B′、B，∴，解得：，∴满足条件的抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2．方法二：∵A′（﹣1，0），B′（0，2），B（2，0），设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2）将B′（0，2）代入得出：2=a（0+1）（0﹣2），解得：a=﹣1，故满足条件的抛物线的解析式为y=﹣（x+1）（x﹣2）=﹣x2+x+2；（2）∵P为第一象限内抛物线上的一动点，设P（x，y），则x＞0，y＞0，P点坐标满足y=﹣x2+x+2．连接PB，PO，PB′，∴S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，=×1×2+×2×x+×2×y，=x+（﹣x2+x+2）+1，=﹣x2+2x+3．∵A′O=1，B′O=2，∴△A′B′O面积为：×1×2=1，假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，则4=﹣x2+2x+3，即x2﹣2x+1=0，解得：x1=x2=1，此时y=﹣12+1+2=2，即P（1，2）．∴存在点P（1，2），使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．（3）四边形PB′A′B为等腰梯形，答案不唯一，下面性质中的任意2个均可．①等腰梯形同一底上的两个内角相等；②等腰梯形对角线相等；③等腰梯形上底与下底平行；④等腰梯形两腰相等．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）或用符号表示：①∠B′A′B=∠PBA′或∠A′B′P=∠BPB′；②P A′=B′B；③B′P∥A′B；④B′A′=PB．5．如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上．（1）求抛物线顶点A的坐标；（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵顶点A的横坐标为x=﹣=1，且顶点A在y=x﹣5上，∴当x=1时，y=1﹣5=﹣4，∴A（1，﹣4）．（2）△ABD是直角三角形．将A（1，﹣4）代入y=x2﹣2x+c，可得，1﹣2+c=﹣4，∴c=﹣3，∴y=x2﹣2x﹣3，∴B（0，﹣3）当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，x1=﹣1，x2=3∴C（﹣1，0），D（3，0），BD2=OB2+OD2=18，AB2=（4﹣3）2+12=2，AD2=（3﹣1）2+42=20，BD2+AB2=AD2，∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形．（3）存在．由题意知：直线y=x﹣5交y轴于点E（0，﹣5），交x轴于点F（5，0）∴OE=OF=5，又∵OB=OD=3∴△OEF与△OBD都是等腰直角三角形∴BD∥l，即P A∥BD则构成平行四边形只能是P ADB或P ABD，如图，过点P作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线交过P且平行于x轴的直线于点G．设P（x1，x1﹣5），则G（1，x1﹣5）则PG=|1﹣x1|，AG=|5﹣x1﹣4|=|1﹣x1|P A=BD=3由勾股定理得：（1﹣x1）2+（1﹣x1）2=18，x12﹣2x1﹣8=0，x1=﹣2或4∴P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1），存在点P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1）使以点A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形．周长类6．如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），抛物线y=x2+bx+c经过点B，且顶点在直线x=上．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；（3）在（2）的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标；（4）在（2）、（3）的条件下，若点M是线段OB上的一个动点（点M与点O、B不重合），过点M作∥BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S 和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）∵抛物线y=经过点B（0，4）∴c=4，∵顶点在直线x=上，∴﹣=﹣=，∴b=﹣；∴所求函数关系式为；（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，∴AB=，∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD=DA=AB=5，∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），当x=5时，y=，当x=2时，y=，∴点C和点D都在所求抛物线上；（3）设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点，设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，则，解得：，∴，当x=时，y=，∴P（），（4）∵MN∥BD，∴△OMN∽△OBD，∴即得ON=，设对称轴交x于点F，则（PF+OM）•OF=（+t）×，∵，S△PNF=×NF•PF=×（﹣t）×=，S=（﹣），=﹣（0＜t＜4），a=﹣＜0∴抛物线开口向下，S存在最大值．由S△PMN=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，S取最大值是，此时，点M的坐标为（0，）．等腰三角形类7．如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°，∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°，又∵OA=OB=4，∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=4×=2，∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）；（2）∵抛物线过原点O和点A、B，∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，将A（4，0），B（﹣2．﹣2）代入，得，解得，∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x（3）存在，如图，抛物线的对称轴是直线x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y），①若OB=OP，则22+|y|2=42，解得y=±2，当y=2时，在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD==，∴∠POD=60°，∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，即P、O、B三点在同一直线上，∴y=2不符合题意，舍去，∴点P的坐标为（2，﹣2）②若OB=PB，则42+|y+2|2=42，解得y=﹣2，故点P的坐标为（2，﹣2），③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+2|2，解得y=﹣2，故点P的坐标为（2，﹣2），综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣2），8．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（﹣1，0），如图所示：抛物线y=ax2+ax﹣2经过点B．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D，∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°，∴∠BCD=∠CAO，（1分）又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，∴△BCD≌△CAO，（2分）∴BD=OC=1，CD=OA=2，（3分）∴点B的坐标为（﹣3，1）；（4分）（2）抛物线y=ax2+ax﹣2经过点B（﹣3，1），则得到1=9a﹣3a﹣2，（5分）解得a=，所以抛物线的解析式为y=x2+x﹣2；（7分）（3）假设存在点P，使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形：①若以点C为直角顶点；则延长BC至点P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形△ACP1，（8分）过点P1作P1M⊥x轴，∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°，∴△MP1C≌△DBC．（10分）∴CM=CD=2，P1M=BD=1，可求得点P1（1，﹣1）；（11分）②若以点A为直角顶点；则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形△ACP2，（12分）过点P2作P2N⊥y轴，同理可证△AP2N≌△CAO，（13分）∴NP2=OA=2，AN=OC=1，可求得点P2（2，1），（14分）经检验，点P1（1，﹣1）与点P2（2，1）都在抛物线y=x2+x﹣2上．（16分）9．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（1，0），如图所示，抛物线y=ax2﹣ax﹣2经过点B．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D，∵∠BCD+∠ACO=90°，∠AC0+∠OAC=90°，∴∠BCD=∠CAO，又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，∴△BDC≌△COA，∴BD=OC=1，CD=OA=2，∴点B的坐标为（3，1）；（2）∵抛物线y=ax2﹣ax﹣2过点B（3，1），∴1=9a﹣3a﹣2，解得：a=，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2；（3）假设存在点P，使得△ACP是等腰直角三角形，①若以AC为直角边，点C为直角顶点，则延长BC至点P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1M⊥x轴，如图（1），∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°，∴△MP1C≌△DBC，∴CM=CD=2，P1M=BD=1，∴P1（﹣1，﹣1），经检验点P1在抛物线y=x2﹣x﹣2上；②若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，如图（2），同理可证△AP2N≌△CAO，∴NP2=OA=2，AN=OC=1，∴P2（﹣2，1），经检验P2（﹣2，1）也在抛物线y=x2﹣x﹣2上；③若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP3⊥CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，过点P3作P3H⊥y轴，如图（3），同理可证△AP3H≌△CAO，∴HP3=OA=2，AH=OC=1，∴P3（2，3），经检验P3（2，3）不在抛物线y=x2﹣x﹣2上；故符合条件的点有P1（﹣1，﹣1），P2（﹣2，1）两点．。
2019年中考数学二轮复习 二次函数探究题(压轴题) 综合练习 (有答案)
2019年中考数学二轮复习二次函数探究题（压轴题）综合练习1. 如图，经过点C(0，－4)的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于A(－2，0)，B 两点．(1)若该抛物线关于直线x＝2对称，求抛物线的函数表达式；(2)在(1)的条件下，连接AC，E是抛物线上一动点，过点E作AC的平行线交x轴于点F.是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线经过原点O(0，0)，与x轴交于点A(3，0)，与直线l交于点B(2，－2)．(1)求抛物线的解析式；(2)点C是x轴正半轴上一动点，过点C作y轴的平行线交直线l于点E，交抛物线于点F，当EF＝OE时，请求出点C的坐标；(3)点D为抛物线的顶点，连接OD，在抛物线上是否存在点P，使得∠BOD＝∠AOP？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．3. 已知抛物线C 1：y ＝－14x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点(2，0)，对称轴为直线x ＝－3. (1)求b 、c 的值；(2)若抛物线C 1与抛物线C 2关于y 轴对称，求抛物线C 2的函数表达式；(3)若抛物线C 1与x 轴的交点分别为A ，B 两点(A 在B 左侧)，抛物线C 2与x 轴交于A ′，B ′两点(A ′在B ′左侧)，且抛物线C 2与y 轴交于点M ，则在抛物线C 1及C 2上是否存在点N ，使得以点A ′，A ，M ，N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出N 点坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，以D 为顶点的抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，直线BC 的表达式为y ＝－x ＋3.(1)求抛物线的表达式；(2)在直线BC 上有一点P ，使PO ＋P A 的值最小，求点P 的坐标；(3)在x 轴上是否存在一点Q ，使得以A 、C 、Q 为顶点的三角形与△BCD 相似，若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．5. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线L 1：y ＝ax 2－2x ＋3经过A (－3，0)、B 两点，与y 轴交于点C .(1)求B 、C 两点的坐标；(2)抛物线L 2与抛物线L 1关于坐标原点对称，求抛物线L 2的表达式；(3)在抛物线L 2上是否存在一点P ，使△ABP 与△ABC 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，抛物线顶点P(1，4)，与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于点A，B.(1)求抛物线的解析式；(2)Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标；(3)若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E，是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于A、B两点(A在B的左侧)，且OA＝3，OB＝1，与y轴交于C(0，3)，抛物线的顶点坐标为D(－1，4)．(1)求A、B两点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)过点D作直线DE∥y轴，交x轴于点E，点P是抛物线上B、D两点间的一个动点(点P不与B、D两点重合)，P A、PB与直线DE分别交于点F、G，当点P运动时，EF＋EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．8．已知二次函数y＝ax2＋bx－3a(a>0)经过点A(－1，0)、C(0，3)，与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D.(1)求此二次函数解析式；(2)连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；(3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)过点A(3，－3)和点B(33，0)．过点A作直线AC∥x轴，交y轴于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D.连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标；(3)抛物线上是否存在点Q ，使得S △AOC ＝13S △AOQ ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，已知点A (－1，0)，B (3，0)，C (0，1)在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上．(1)求抛物线解析式；(2)在直线BC 上方的抛物线上求一点P ，使△PBC 面积为1；(3)在x 轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q ，使∠BQC ＝∠BAC ？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，说明理由．11．如图，抛物线y ＝12x 2＋bx －2与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且已知点A (－1，0)．(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；(2)判断△ABC 的形状，并证明你的结论；(3)点M 是x 轴上的一个动点，当△DCM 的周长最小时，求点M 的坐标．12.如图，抛物线y ＝x 2＋bx －3与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，且OA ＝OC .(1)求抛物线的解析式；(2)过点C作CE∥x轴，交抛物线于点E，设抛物线的顶点为点D，试判断△CDE的形状，并说明理由；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△MCD的面积等于△CDE的面积？若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线C1：y＝x2＋bx＋c经过原点，与x轴的另一个交点为(2，0)，将抛物线C1向右平移m(m＞0)个单位得到抛物线C2，C2交x轴于A，B两点(点A在点B的左边)，交y轴于点C.(1)求抛物线C1的解析式及顶点坐标；(2)以AC为斜边向上作等腰直角△ACD，当点D落在抛物线C2的对称轴上时，求抛物线C2的解析式；(3)若抛物线C2的对称轴上存在点P，使△P AC为等边三角形，请直接写出m的值．14．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A(1，0)，C(0，3)．(1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标；(3)设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P 的坐标．15. 已知m、n是方程x2－6x＋5＝0的两个实数根，且m<n，抛物线y＝－x2＋bx＋c 的图象经过点A(m，0)，B(0，n)．(1)求该抛物线的表达式；(2)如图，设(1)中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C、D 的坐标和△BCD的面积；(3)P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于点H，若直线BC把△PCH 分成面积之比为2∶3的两部分，请求出P点的坐标．16．如图，抛物线y＝x2－2x－3经过点A（2，－3），与x轴负半轴交于点B，与y 轴交于点C，且OC＝3OB.(1)求点B，C的坐标；(2)若点D在y轴上，且∠BDO＝∠BAC，求点D的坐标；(3)若点M为抛物线上一点，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A、B、M、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由．17．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴交于点A(－1，0)、B(8，0)，与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)点P是线段BC上一动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，交x轴于点N，过点M作MH⊥BC于点H，求△PMH周长的最大值；(3)在(2)的条件下，是否存在点P，使得以点P、C、M为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．18. 已知抛物线y＝－1m(x＋2)(x－m)(m＞0)与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧．(1)若抛物线过点G(2，2)，求抛物线顶点坐标及对称轴；(2)在第四象限内，抛物线上是否存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求抛物线表达式；若不存在，请说明理由．19．如图，二次函数y ＝43x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A (3，0)、B (－1，0)，与y 轴交于点C .若点P 、Q 同时从A 点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB 、AC 运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．(1)求该二次函数的解析式及点C 的坐标；(2)当P 、Q 运动t 秒时，将△APQ 沿PQ 翻折，点A 恰好落在抛物线上D 点处，判断四边形APDQ 的形状，并说明理由；(3)当点P 运动到B 点时，点Q 停止运动，这时，在x 轴上是否存在点E ，使得以A 、E 、Q 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E 点坐标，若不存在，请说明理由．20. 已知抛物线C 1：y ＝ax 2－bx －1经过(1，－2)和(3，2)两点．(1)求抛物线C 1的表达式；(2)将抛物线C 1沿直线y ＝－1翻折，再将翻折后的抛物线向上平移2个单位，再向右平移m 个单位，得到抛物线C 2.若C 2的顶点B 在抛物线C 1上，求m 的值；(3)在(2)的条件下，设抛物线C 1的顶点为A ，E 为抛物线C 1上的一点，F 为抛物线C 2上的一点，则是否存在以A 、B 、E 、F 为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出矩形的面积；若不存在，请说明理由．21. 已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (1，0)、B (3，0)两点，与y 轴交于C 点，点D 为抛物线的顶点．(1)求抛物线的表达式及C 点坐标；(2)若点P 是抛物线对称轴上一点，求P A ＋PC 的最小值；(3)过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，连接CD 、CE ，则在抛物线上是否存在点F ，使得S △ABF ＝S △CDE ？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．22. 如图，抛物线C 1：y ＝ax 2＋bx ＋4与x 轴交于A (－3，0)，B 两点，与y 轴交于点C ，点M (－32，5)是抛物线C 1上一点． (1)求抛物线C 1的表达式；(2)若抛物线C 2与抛物线C 1关于y 轴对称，点A 、B 、M 关于y 轴的对称点分别为点A ′、B ′、M ′.过点M ′作M ′E ⊥x 轴于点E ，交直线A ′C 于点D ，在x 轴上是否存在点P ，使得以A ′、D 、P 为顶点的三角形与△AB ′C 相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1. 解：(1)设y ＝a (x －2)2＋k ，将点C (0，－4)，A (－2，0)分别代入，得⎩⎪⎨⎪⎧－4＝a （0－2）2＋k 0＝a （－2－2）2＋k， 解得⎩⎨⎧a ＝13k ＝－163， 故所求抛物线的函数表达式为y ＝13(x －2)2－163，即y ＝13x 2－43x －4； (2)存在．如解图，过点E 作EM ⊥x 轴于点M ，∵EF 是平行四边形AC 边的对边，∴EF ＝AC ，EF ∥AC ，∴∠OAC ＝∠MFE ，∠AOC ＝∠FME ＝90°，∴Rt △OAC ≌Rt △MFE ，∴OC ＝ME ＝4，∴即点E 的纵坐标为4或－4.i)13x 2－43x －4＝－4，解得x 1＝0(即点C ，舍去)，x 2＝4， 即E (4，－4)，ii)13x 2－43x －4＝4，解得x 1＝2＋7，x 2＝2－27， 即E (2＋27，4)或E (2－27，4)．综上所述，满足条件的点E 的坐标为(4，－4)，(2＋27，4)或(2－27，4)．2. 解：(1)由题意可设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ，将A (3，0)，B (2，－2)代入y ＝ax 2＋bx 中，得⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＝04a ＋2b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－3， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2－3x ；(2)方法一：设直线l 的解析式为y ＝kx ，将B (2，－2)代入y ＝kx 中，得－2＝2k ，解得k ＝－1，∴直线l 的解析式为y ＝－x ，设点C 的坐标为(n ，0)，则点E 的坐标为(n ，－n )，点F 的坐标为(n ，n 2－3n )．①当点C 在点A 的左侧时，如解图①所示，EF ＝－n －(n 2－3n )＝－n 2＋2n ，OE ＝n 2＋（－n ）2＝2n ，∵EF ＝OE ，∴－n 2＋2n ＝2n ，解得n 1＝0(C ，E ，F 三点均与原点重合，舍去)，n 2＝2－2，∴点C 的坐标为(2－2，0)；②当点C 在点A 的右侧时，如解图②所示，EF ＝n 2－3n －(－n )＝n 2－2n ，OE ＝n 2＋（－n ）2＝2n ，∵EF ＝OE ，∴n 2－2n ＝2n ，解得n 1＝0(C ，E ，F 均与原点重合，舍去)，n 2＝2＋2，∴点C 的坐标为(2＋2，0)；方法二：设直线l的解析式为y＝kx，将点B(2，－2)代入y＝kx中，得－2＝2k，解得k＝－1，∴直线l的解析式为y＝－x，∴∠AOB＝45°，∵CF∥y轴，∴△OCE为等腰直角三角形，∴OE＝2CE，∵EF＝OE，∴EF＝2CE.设点C的坐标为(m，0)，则点E的坐标为(m，－m)，点F的坐标为(m，m2－3m)，当点C在点A左侧时，如解图①所示，EF＝－m－(m2－3m)＝－m2＋2m，CE＝m，由EF＝2CE得－m2＋2m＝2m，解得m1＝0(C，E，F点均与原点重合，舍去)，m2＝2－2，∴C点的坐标为(2－2，0)；图①当点C在A点右侧时，如解图②所示，EF＝m2－3m－(－m)＝m2－2m，CE＝m，由EF＝2 CE得m2－2m＝2m，解得m3＝0(C，E，F三点均与原点重合，舍去)，m4＝2＋2，∴C点的坐标为(2＋2，0)．综上所述，当EF ＝OE 时，点C 的坐标为(2－2，0)或(2＋2，0)；图②(3)存在点P 使得∠BOD ＝∠AOP ，点P 的坐标为(145，－1425)或(165，1625)． 3. 解：(1)∵抛物线C 1：y ＝－14x 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝－3， ∴x ＝－b 2×（－14）＝－3，解得b ＝－32， 又∵y ＝－14x 2＋bx ＋c 过点(2，0)， ∴0＝－14×22＋(－32)×2＋c ，解得c ＝4， ∴b ＝－32，c ＝4； (2)由(1)得抛物线C 1：y ＝－14x 2－32x ＋4， ∵抛物线C 1与抛物线C 2关于y 轴对称，∴抛物线C 1与抛物线C 2上对应点的横坐标相反，纵坐标相等，∴将－x 代入y ＝－14x 2－32x ＋4中， 得y ＝－14(－x )2－32(－x )＋4＝－14x 2＋32x ＋4， ∴抛物线C 2的表达式为y ＝－14x 2＋32x ＋4； (3)令－14x 2＋32x ＋4＝0，解得x 1＝－2，x 2＝8，∵A ′点在B ′点左侧，∴A ′(－2，0)，B ′(8，0)，∵以点A 、A ′、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，点A (－8，0)，∴①当AA ′为边时，有MN ＝AA ′，且MN ∥AA ′，∵AA ′＝－2－(－8)＝6，且当x ＝0时，y ＝4，即点M 坐标为(0，4)，∴令－14x 2－32x ＋4＝4， 解得x 1＝－6，x 2＝0(舍)，∴N 1(－6，4)，且MN 1＝AA ′＝6，∴N 1符合题意．同理，令－14x 2＋32x ＋4＝4，解得x 1＝6，x 2＝0(舍)， ∴N 2(6，4)，则MN 2＝AA ′＝6，∴N 2符合题意；②当AA ′为对角线时，令AA ′中点为G ，∵A (－8，0)，A ′(－2，0)，M (0，4)，∴G (－5，0)，令N 3(m ，n )，则 0＋m 2＝－5，得m ＝－10，4＋n 2＝0，得n ＝－4， 将m ＝－10代入y ＝－14x 2－32x ＋4中得y ＝－6≠－4， 将m ＝－10代入y ＝－14x 2＋32x ＋4中得y ＝－36≠－4， ∴N 3不存在．综上所述，符合条件的N 点有(－6，4)、(6，4)．4. 解：(1)∵直线y ＝－x ＋3与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，当x ＝0时，y ＝3，当y ＝0时，x ＝3，∴B 点坐标是(3，0)，C 点坐标是(0，3)，∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过B ，C 两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3－9＋3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3b ＝2， ∴抛物线的解析式为：y ＝－x 2＋2x ＋3；(2)如解图，作点O 关于直线BC 的对称点O ′，连接O ′C ，O ′B ，O ′A ，O ′O ， ∵点B ，C 两点的坐标分别是(3，0)和(0，3)，∴四边形COBO ′为正方形，∴O ′的坐标为(3，3)，∵抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3交x 轴于A ，B 两点，∴当y ＝0时，－x 2＋2x ＋3＝0，解得：x 1＝－1，x 2＝3，∴A 点坐标是(－1，0)，设直线AO ′的解析式为y ＝kx ＋b ，∵A (－1，0)，O ′(3，3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝03k ＋b ＝3，解得⎩⎨⎧k ＝34b ＝34， ∴直线AO ′的解析式为：y ＝34x ＋34， 直线AO ′与直线BC 的交点就是使PO ＋P A 的值最小的点P 的位置，∴联立直线AO ′与直线BC 的解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝34x ＋34y ＝－x ＋3，解得⎩⎨⎧x ＝97y ＝127， ∴点P 的坐标是(97，127)； (3)存在．抛物线的解析式可化为y ＝－(x －1)2＋4，∴点D 的坐标是(1，4)，∵B (3，0)，C (0，3)，∴BC＝32，CD＝2，BD＝25，∴BC2＋CD2＝BD2，即∠DCB＝90°，∵点Q在x轴上，∴∠CAQ≠90°，①当∠CQA＝90°时，Q点与原点重合，此时AQ＝1，CQ＝3，AC＝10，∵AQDC＝CQBC＝ACDB＝22，∴△ACQ∽△DBC，此时Q(0，0);②当∠ACQ＝90°时，△ACQ∽△DCB∽△AOC，∴OACA＝ACAQ，110＝10AQ，∴AQ＝10，∵A(－1，0)，∴Q(9，0)；综上所述，在x轴上存在点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似，点Q的坐标是(9，0)或(0，0)．5.解：(1)点A的坐标为(－3，0)，将其代入抛物线L1：y＝ax2－2x＋3，可解得a＝－1，∴抛物线的对称轴为直线x＝－b2a＝－1，∵点B关于直线x＝－1对称的点为A(－3，0)，∴点B的坐标为(1，0)，当x＝0时，y＝3，∴点C的坐标为(0，3)；(2)∵抛物线L2与抛物线L1关于原点对称，抛物线L1的表达式为y＝－x2－2x＋3，∴抛物线L2的表达式为y＝x2－2x－3；(3)存在．∵A(－3，0)、B(1，0)、C(0，3)，∴S△ABC＝6，∵S△ABP＝S△ABC＝6，∴12|AB|·|y P|＝6，∴12×4×|y P|＝6，∴|y P|＝3.当点P的纵坐标为3时，x2－2x－3＝3，解得x＝1±7；当点P的纵坐标为－3时，x2－2x－3＝－3，解得x＝0或x＝2.∴满足条件的点P坐标为(1＋7，3)、(1－7，3)、(0，－3)、(2，－3)．6.解：(1)设抛物线解析式为：y＝a(x－1)2＋4(a≠0)．∵抛物线过点C(0，3)，∴a＋4＝3，∴a＝－1.∴y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3；(2)由(1)得，抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3，令y＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴A(－1，0)，B(3，0)，∵C(0，3)，∴直线BC的解析式为y＝－x＋3，∵S△BCP＝S△BCQ，∴点P、Q到BC的距离相等．①当点P 、Q 位于BC 的同侧时，如解图①，过点P 作PQ ∥BC 交抛物线于Q ， 又∵P (1，4)，∴直线PQ 的解析式为y ＝－x ＋5，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋5，y ＝－x 2＋2x ＋3. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1y 1＝4(舍去)，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2y 2＝3， ∴Q 1(2，3)．图①②当点P 、Q 位于BC 的异侧时，设抛物线的对称轴交BC 于点G ，交x 轴于点H ，∴G (1，2)，∵此时点P 、H 到BC 的距离相等，∴H (1，0)，∴PG ＝GH ＝2，如解图①，过点H 作Q 2Q 3∥BC 交抛物线于点Q 2，Q 3.直线Q 2Q 3的解析式为y ＝－x ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋1，y ＝－x 2＋2x ＋3.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3＋172y 1＝－1－172，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3－172y 2＝－1＋172， ∴Q 2(3－172，－1＋172)，Q 3(3＋172，－1－172)． 综上所述，满足条件的点Q 的坐标为(2，3)或(3－172，－1＋172)或(3＋172，－1－172)；图②(3)存在满足条件的M ，N .如解图②，过点M 作MF ∥y 轴，过点N 作NF ∥x 轴交MF 于点F ，过点N 作NH ∥y 轴交BC 于点H .则△MNF 与△NEH 都是等腰直角三角形．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线MN 的解析式为y ＝－x ＋b .∵⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋b ，y ＝－x 2＋2x ＋3， ∴x 2－3x ＋(b －3)＝0.∴NF 2＝|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝21－4b .∵△MNF 为等腰直角三角形，∴MN 2＝2NF 2＝42－8b .∵直线MN 与y 轴交点(0，b )到点C (0，3)的距离为|b －3|，∴NH 2＝(b －3)2，∵NE＝22NH ，∴NE 2＝12(b －3)2. 如果四边形MNED 为正方形，∴NE 2＝MN 2，∴42－8b ＝12(b 2－6b ＋9)． ∴b 2＋10b －75＝0，∴b 1＝－15，b 2＝5.∵正方形边长为MN ＝42－8b ，∴MN ＝92或2，∴正方形MNED 的边长为92或 2.7. 解：(1)由题意得，点A 的坐标为(－3，0)，点B 的坐标为(1，0)；(2)设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋3)(x －1)，将点C (0，3)代入得3＝a ×3×(－1)，∴a ＝－1，∴抛物线的解析式为y ＝－(x ＋3)(x －1)＝－x 2－2x ＋3；(3)EF ＋EG 为定值，EF ＋EG ＝8.如解图，过点P 作PQ ∥y 轴，交x 轴于点Q ，设P (t ，－t 2－2t ＋3)，则PQ ＝－t 2－2t ＋3，AQ ＝3＋t ，QB ＝1－t ，∵DE ∥y 轴，∴PQ ∥DE ，∴△AEF ∽△AQP ，∴AE AQ ＝EF PQ，点E 的横坐标与点D 的横坐标相同， ∵A (－3，0)，E (－1，0)，B (1，0)，∴AE ＝BE ＝2，∴EF ＝AE ·PQ AQ ＝2×（－t 2－2t ＋3）3＋t ＝2×（1－t ）（t ＋3）3＋t＝2(1－t )， 又∵PQ ∥EG ，∴△BEG ∽△BQP ，∴BE BQ ＝EG PQ， ∴EG ＝BE ·PQ BQ ＝2×（－t 2－2t ＋3）1－t ＝2×（1－t ）（t ＋3）1－t＝2(t ＋3)， ∴EF ＋EG ＝2(1－t )＋2(t ＋3)＝8.8. 解：(1)∵二次函数y ＝ax 2＋bx －3a 的图象经过点A (－1，0)、C (0，3)，∴根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b －3a ＝0－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝2， ∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3；(2)证明：由y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4得，点D 的坐标为(1，4)，点B 的坐标为(3，0)， 如解图，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点C 作CF ⊥DE 于点F ，∵D (1，4)，B (3，0)，C (0，3)，∴OC ＝OB ＝3，DE ＝4，BE ＝2，CF ＝DF ＝1，∴CD 2＝CF 2＋DF 2＝2，BC 2＝OC 2＋OB 2＝18，BD 2＝DE 2＋BE 2＝20，∴CD 2＋BC 2＝BD 2，∴△BCD 是直角三角形；(3)存在．抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3对称轴为直线x ＝1.i)如解图，若以CD 为底边，则P 1D ＝P 1C ，设点P 1的坐标为(x ，y )，根据勾股定理可得P 1C 2＝x 2＋(3－y )2，P 1D 2＝(x －1)2＋(4－y )2， ∴x 2＋(3－y )2＝(x －1)2＋(4－y )2，即y ＝4－x .又∵P 1(x ，y )在抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3上，∴4－x ＝－x 2＋2x ＋3，即x 2－3x ＋1＝0，解得x 1＝3＋52，x 2＝3－52<1(舍去)， ∴x ＝3＋52， ∴y ＝4－x ＝5－52， 即点P 1的坐标为(3＋52，5－52)． ii)如解图，若以CD 为一腰，∵点P 2在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线的对称性知，点P 2与点C 关于直线x ＝1对称，此时点P 2的坐标为(2，3)．∴符合条件的点P 的坐标为(3＋52，5－52)或(2，3)． 9. 解：(1)将A (3，－3)，B (33，0)代入y ＝ax 2＋bx (a ≠0)，得⎩⎨⎧－3＝3a ＋3b 0＝27a ＋33b ，解得⎩⎨⎧a ＝12b ＝－323， ∴抛物线的解析式为：y ＝12x 2－332x ； (2)设P 点的坐标为P (m ，12m 2－332m )， 则D (m ，－3) ∴PD ＝|12m 2－332m ＋3|，AD ＝|m －3|， ∵∠ACO ＝∠ADP ＝90°，∴①当△ACO ∽△ADP 时，有AC OC ＝AD PD， 即33＝|m －3||12m 2－332m ＋3|， ∴3|m －3|＝|12m 2－332m ＋3|， ∴3(m －3)＝12m 2－332m ＋3或－3(m －3)＝12m 2－332m ＋3， 整理得m 2－53m ＋12＝0或m 2－3m ＝0，解方程m 2－53m ＋12＝0，解得m 1＝43，m 2＝3(点P 与A 点重合，△APD 不存在，舍去)；解方程m 2－3m ＝0，解得m 1＝0，m 2＝3(点P 与A 点重合，△APD 不存在，舍去)； 此时P 点的坐标为P (0，0)或P (43，6)；②当△ACO ∽△PDA 时，有AC OC ＝PD AD， 即33＝|12m 2－332m ＋3||m －3|， ∴3|12m 2－332m ＋3|＝|m －3|，∴3(12m 2－332m ＋3)＝m －3或－3(12m 2－332m ＋3)＝m －3， 整理得3m 2－11m ＋83＝0或3m 2－7m ＋43＝0，解方程3m 2－11m ＋83＝0，解得m 1＝833，m 2＝3(点P 与A 点重合，△APD 不存在，舍去)； 解方程3m 2－7m ＋43＝0，解得m 1＝433，m 2＝3(点P 与A 点重合，△APD 不存在，舍去)；此时P 点的坐标为P (833，－43)或P (433，－103)． 综上所述，以点A 、D 、P 为顶点的三角形与△AOC 相似时，点P 的坐标为(0，0)或(43，6)或(833，－43)或(433，－103)； (3)存在．如解图，过Q 点作QM ∥x 轴与直线AO 交于点M ，易求直线AO 的解析式为y ＝－3x ，设点Q 的坐标为Q (n ，12n 2－332n )， 则M (－36n 2＋32n ，12n 2－332n )， ∴QM ＝|36n 2－12n |， ∴S △AOQ ＝12QM ·OC ＝32×|36n 2－12n |， ∵S △AOC ＝12AC ·OC ＝323，S △AOC ＝13S △AOQ ，∴323＝13×32×|36n 2－12n |， 整理得，n 2－3n ＋18＝0(无解)或n 2－3n －18＝0， 解得n 1＝33，n 2＝－23，∴在抛物线上存在点Q ，使得S △AOC ＝13S △AOQ ，其点Q 的坐标为(33，0)或(－23，15)． 10. 解：(1)抛物线的解析式为y ＝－13x 2＋23x ＋1； (2)由B (3，0)，C (0，1)可得直线BC 解析式为y ＝－13x ＋1，如解图①，过点P 作直线PD ⊥x 轴交直线BC 于点D .连接PC ，PB ，图①设P (x ，－13x 2＋23x ＋1)，易得D (x ，－13x ＋1)， ∴PD ＝－13x 2＋x ， ∴S △PBC ＝S △PDC ＋S △PDB ＝12PD (x B －x C )＝－12x 2＋32x ， 又∵S △PBC ＝1，∴－12x 2＋32x ＝1，∴x 2－3x ＋2＝0， 解得x 2＝1，x 2＝2，∴P 1(1，43)，P 2(2，1)； (3)存在，理由如下：如解图，∵A (－1，0)，C (0，1)，∴OC ＝OA ＝1，∴∠BAC ＝45°，∵∠BAC ＝∠BQC ，∴∠BQC ＝45°，∴点Q 为△ABC 外接圆与抛物线对称轴在x 轴下方的交点．设△ABC 外接圆心为M ，∵线段AC 的垂直平分线为直线y ＝－x ，线段AB 的垂直平分线为直线x ＝1， ∴点M 为直线y ＝－x 与直线x ＝1的交点，即M (1，－1)．∴∠BMC ＝2∠BQC ＝90°，又∵MQ ＝MB ＝5，∴y Q ＝－(1＋5)＝－1－5，∵点Q 在直线x ＝1上，∴x Q ＝1，∴Q (1，－1－5)．图②11. 解：(1)∵A (－1，0)在抛物线上，∴0＝12×(－1)2－b －2， 解得b ＝－32， ∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－32x －2， ∵y ＝12x 2－32x －2＝12(x －32)2－258， ∴D 点坐标为(32，－258)； (2)△ABC 为直角三角形，证明如下：∵在y ＝12x 2－32x －2中，令y ＝0，可得0＝12x 2－32x －2，解得x ＝－1或x ＝4，∴B (4，0)，令x ＝0，可得y ＝－2，∴C (0，－2)，∴OA ＝1，OB ＝4，OC ＝2，由勾股定理可得，AC 2＝OA 2＋OC 2＝1＋4＝5，BC 2＝OB 2＋OC 2＝16＋4＝20， 又∵AB 2＝52＝25，∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴△ABC 为直角三角形；(3)如解图，作点C 关于x 轴的对称点E ，连接DE 交x 轴于点M ，∵C (0，－2)，∴E (0，2)，设直线DE 的解析式为y ＝kx ＋b ′，把D 、E 坐标代入可得，⎩⎪⎨⎪⎧2＝b ′－258＝32k ＋b ′， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－4112b ′＝2， ∴直线DE 的解析式为y ＝－4112x ＋2，令y ＝0，可得x ＝2441， ∴当△DCM 的周长最小时，点M 的坐标为(2441，0)．12. 解：(1)∵A (－1，0)，OB ＝OC ＝3OA ， ∴B (3，0)，C (0，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝09a ＋3b ＋c ＝0c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－2c ＝－3，∴y ＝x 2－2x －3；(2)存在．由题意知，抛物线对称轴为直线x ＝1，记直线BC 与直线x ＝1的交点为M ，∴点M 即为所求．理由：如解图，连接AM ，∵点A 与点B 关于直线x ＝1对称，∴AM ＝MB ，∴CM ＋AM ＝CM ＋MB ＝BC ，∴△ACM 的周长＝AC ＋BC ，在直线x ＝1上任取一点M ′，连接CM ′、BM ′、AM ′. ∵AM ′＝M ′B ，∴CM ′＋AM ′＝CM ′＋M ′B ≥BC ，∴AC ＋CM ′＋AM ′≥AC ＋BC ，∴△ACM 的周长最小．设直线x ＝1与x 轴交于点D ，则MD ∥OC ， ∴DM OC ＝DB OB ，即DM 3＝23， ∴DM ＝2，∴M (1，－2)；(3)存在．设点N 坐标为(n ，n 2－2n －3)，∵S △ABC ＝2S △OCN ，∴12×4×3＝2×12×3×|n |， ∴|n |＝2，∴n ＝±2.当n ＝2时，n 2－2n －3＝－3，∴N (2，－3)，当n ＝－2时，n 2－2n －3＝5，∴N (－2，5)．综上所述，符合条件的点N 有(2，－3)或(－2，5)．13. 解：(1)∵抛物线C 1：y ＝x 2＋bx ＋c 经过原点(0，0)，与x 轴的另一个交点为(2，0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝04＋2b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0b ＝－2， ∴抛物线C 1的解析式为 y ＝x 2－2x ，则y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，∴该抛物线的顶点坐标为(1，－1)；(2)∵将抛物线C 1向右平移m (m ＞0)个单位得到抛物线C 2， ∴抛物线C 2的解析式为y ＝(x －1－m )2－1， ∵抛物线C 2交x 轴于A 、B 两点(点A 在点B 的左边)，与y 轴交于点C ，∴A(m，0)、B(m＋2，0)、C(0，m2＋2m)，设抛物线C2的对称轴与x轴的交点为点E，如解图①，过点C作CH⊥DE于点H，∵△ACD是以AC为斜边的等腰直角三角形，∴∠CDA＝90°，CD＝AD，又∵∠CHD＝∠DEA＝90°，∴∠CDH＋∠ADE＝∠ADE＋∠DAE，∠HCD＋∠HDC＝∠HDC＋∠ADE，∴∠CDH＝∠DAE, ∠HCD＝∠EDA，∴△CHD≌△DEA，∴HD＝AE＝1, DE＝CH＝m＋1，∴EH＝HD＋DE＝m＋2，由OC＝HE得m2＋2m＝m＋2，解得m1＝1，m2＝－2(舍去)，∴抛物线C2的解析式为y＝(x－1－1)2－1＝x2－4x＋3；图①图②(3)m＝3 3.【解法提示】如解图②，连接BC、BP，由抛物线的对称性可知AP＝BP，∵△P AC是等边三角形，∴AP＝BP＝CP，∠APC＝60°，∴C 、A 、B 三点在以点P 为圆心，P A 长为半径的圆上，∴∠CBO ＝12∠CP A ＝30°， ∴BC ＝2OC ，由勾股定理得OB ＝BC 2－OC 2＝3OC ， ∴3(m 2＋2m )＝m ＋2，解得m 1＝33，m 2＝－2(舍去)． ∴m ＝33. 14. 解：(1)由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝－1a ＋b ＋c ＝0c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－2c ＝3，∴抛物线解析式为y ＝－x 2－2x ＋3，∵对称轴为x ＝－1，抛物线经过A (1，0)，∴B (－3，0)，∴把B (－3，0)、C (0，3)分别代入y ＝mx ＋n ，得⎩⎪⎨⎪⎧－3m ＋n ＝0n ＝3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝3， ∴直线BC 的解析式为y ＝x ＋3；(2)设直线BC 与对称轴x ＝－1的交点为M ，如解图，连接AM ，∵MA ＝MB ，∴MA ＋MC ＝MB ＋MC ＝BC ，∴使MA ＋MC 最小的点M 应为直线BC 与对称轴x ＝－1代入直线y ＝x ＋3，得y ＝2， ∴M (－1，2)，(3)设P (－1，t )，∵B (－3，0)，C (0，3)，∴BC 2＝18，PB 2＝(－1＋3)2＋t 2＝4＋t 2，PC 2＝(－1)2＋(t －3)2＝t 2－6t ＋10，①若B 为直角顶点，则BC 2＋PB 2＝PC 2，即18＋4＋t 2＝t 2－6t ＋10，解得t ＝－2；②若C 为直角顶点，则BC 2＋PC 2＝PB 2，即18＋t 2－6t ＋10＝4＋t 2，解得t ＝4；③若点P 为直角顶点，则PB 2＋PC 2＝BC 2，即4＋t 2＋t 2－6t ＋10＝18，解得t 1＝3＋172，t 2＝3－172， 综上所述，满足条件的点P 共有四个，分别为为P 1(－1，－2)，P 2(－1，4)，P 3(－1，3＋172)，P 4(－1，3－172)． 15. 解：(1)解方程x 2－6x ＋5＝0，即(x －1)(x －5)＝0，解得x 1＝5，x 2＝1，由m ＜n ，有m ＝1，n ＝5，∴点A 、B 的坐标分别为A (1，0)，B (0，5)．将A (1，0)、B (0，5)的坐标分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋b ＋c ＝0c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4c ＝5， ∴抛物线的表达式为y ＝－x 2－4x ＋5；(2)由(1)得y ＝－x 2－4x ＋5，令y ＝0，得－x 2－4x ＋5＝0，解得x 1＝－5，x 2＝1，∴C 点的坐标为(－5，0)．∵y ＝－x 2－4x ＋5＝－(x ＋2)2＋9，∴顶点D 的坐标为(－2，9)，图①如解图①，过点D 作x 轴的垂线交x 轴于点M ，连接BM .∴M (－2，0)，则S △DMC ＝12×9×(5－2)＝272， S △BDM ＝12×2×9＝9， S △BCM ＝12×(5－2)×5＝152，∴S △BCD ＝S △DMC ＋S △BDM －S △BCM ＝272＋9－152＝15； (3)如解图②，设P 点的坐标为(a ，0)，图②∵B (0，5)，C (－5，0)，∴BC 所在的直线为y ＝x ＋5.∴PH 与直线BC 的交点为E (a ，a ＋5)，PH 与抛物线y ＝－x 2－4x ＋5的交点为H (a ，－a 2－4a ＋5)．①当EH ＝32EP 时， 即(－a 2－4a ＋5)－(a ＋5)＝32(a ＋5)， 解得a ＝－32或a ＝－5(舍去)； ②当EH ＝23EP 时，即(－a 2－4a ＋5)－(a ＋5)＝23(a ＋5)， 解得a ＝－23或a ＝－5(舍去)， 综上所述，P 点的坐标为(－32，0)或(－23，0)． 16. 解：(1)令x ＝0得y ＝－3，∴C (0，－3)，∴OC ＝3，∵OC ＝3OB ，∴OB ＝1，∴B (－1，0)，把A (2，－3)，B (－1，0)分别代入y ＝ax 2＋bx －3得：⎩⎪⎨⎪⎧a －b －3＝04a ＋2b －3＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－2， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3；(2)如解图①，过点B 作BE ⊥ AC ，交AC 延长线于点E .图①∵C (0，－3)，A (2，－3)，∴AC ∥x 轴，∴BE ＝3，又∵OB ＝1，∴AE ＝3，∴AE ＝BE ，∴∠BAE ＝45°，∵∠BDO ＝∠BAC ＝45°，∴OB ＝OD ，∴D 点的坐标为(0，1)或(0，－1)，(3)存在．如解图②.图②当AB ∥MN 时，由AB ＝MN ＝32，可知点M 与对称轴的距离为3，由y ＝x 2－2x －3可得对称轴为直线x ＝1，∴点M 的横坐标为4或－2，把x ＝4和－2分别代入y ＝x 2－2x －3可得点M 坐标， 把x ＝－2代入y ＝x 2－2x －3得y ＝4＋4－3＝5，∴M 1(－2，5)．把x ＝4代入y ＝x 2－2x －3得y ＝16－8－3＝5，∴M 2(4，5)，当MN 与AB 互相平分时，四边形AMBN 是平行四边形，由AC ＝BN ＝2，可知点M 与点C 重合，∴点M 3坐标为(0，－3)，∴M 的坐标为(－2，5)或(0，－3)或(4，5)．17. 解：(1)将点A (－1，0)，B (8，0)分别代入y ＝ax 2＋bx ＋4中，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋4＝064a ＋8b ＋4＝0， 解得⎩⎨⎧a ＝－12b ＝72，∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋72x ＋4； (2)对于y ＝－12x 2＋72x ＋4， 令x ＝0，则y ＝4，∴点C 的坐标为(0，4)，设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋t ，将点B (8，0)，C (0，4)分别代入得，⎩⎪⎨⎪⎧8k ＋t ＝0t ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12t ＝4， ∴直线BC 的解析式为y ＝－12x ＋4， 设点P 的坐标为(m ，－12m ＋4)，则点M 的坐标为(m ，－12m 2＋72m ＋4)， ∴PM ＝－12m 2＋72m ＋4－(－12m ＋4)＝－12m 2＋4m ＝－12(m －4)2＋8， ∵－12<0， ∴当m ＝4时，PM 有最大值 ，其最大值为8，∵MH ⊥BC ，MN ⊥AB ，∴∠MHP ＝∠PNB ＝90°，∵∠MPH ＝∠BPN ，∴∠HMP ＝∠ABC ，∵∠MHP ＝∠BOC ＝90°，∴△MPH ∽△BCO ，∵OC ＝4，OB ＝8，∴BC ＝42＋82＝45，∴△OBC 的周长为4＋8＋45＝12＋45，设△PMH 的周长为L ，则L 12＋45＝845，解得L ＝2455＋8， ∴△PMH 周长的最大值为2455＋8； (3)存在，①当∠MCP ＝90°时，易得△MPC ∽△BCO ，图①如解图①，过点M 作MG ⊥OC 于点G ，∴∠GCM ＋∠BCO ＝∠OBC ＋∠BCO ＝90°，∴∠GCM ＝∠OBC ，∵∠CGM ＝∠BOC ＝90°，∴△CMG ∽△BCO ， ∴MG CG ＝OC OB ＝12， ∴MG ＝12CG ， 由(2)知，点P 的坐标为(m ，－12m ＋4)，点M 的坐标为(m ，－12m 2＋72m ＋4)， ∴m ＝12CG ＝12(OG －OC )＝12(－12m 2＋72m ＋4－4)， 整理得m 2－3m ＝0，解得m ＝0(舍去)或m ＝3， ∴点P 的坐标为(3，52)；图②②当∠PMC ＝90°时，如解图②，易得△CPM ∽△BCO ，∵∠MNO ＋∠CMP ＝180°，∴CM ∥OB ，∴MN ＝OC ＝4，∴－12m 2＋72m ＋4＝4， 解得m ＝0(舍去)或m ＝7，∴点P 的坐标为(7，12)， 综上所述，存在满足条件的点P ，点P 的坐标为(3，52)或(7，12)． 18. 解：(1)∵抛物线过点G (2，2)，∴2＝－1m(2＋2)(2－m )， 解得m ＝4.把m ＝4代入y ＝－1m (x ＋2)(x －m )(m ＞0)，得y ＝－14(x ＋2)(x －4)＝－14x 2＋12x ＋2， ∴抛物线的表达式为y ＝－14x 2＋12x ＋2， 即y ＝－14(x －1)2＋94，则抛物线顶点坐标为(1，94)，对称轴为直线x ＝1； (2) 存在．分两种情况讨论：i)当△ACB ∽△ABM 时，AC AB ＝AB AM，即AB 2＝AC ·AM . ∵A (－2，0)，C (0，2)，即OA ＝OC ＝2，∴∠CAB ＝45°，∴∠BAM ＝45°.如解图，过点M 作MN ⊥x 轴于点N ，则AN ＝MN ，∴OA ＋ON ＝2＋ON ＝MN ，∴令M (x ，－x －2)(x ＞0)，又∵点M 在抛物线上，∴－x －2＝－1m(x ＋2)(x －m )， ∵x ＞0，∴x ＋2＞0，又∵m ＞0，∴x ＝2m ，即M (2m ，－2m －2)．∴AM ＝（2m ＋2）2＋（－2m －2）2＝22(m ＋1)，又∵AB 2＝AC ·AM ，AC ＝22，AB ＝m ＋2，∴(m ＋2)2＝22×22(m ＋1)，解得m ＝2±2 2.∵m ＞0，∴m ＝2＋22，将m ＝2＋2 2 代入抛物线中，得y ＝－12＋22(x ＋2)(x －2－22) ＝2－224(x 2－22x －4－42) ＝1－22x 2＋(2－2)x ＋2. ii)当△ACB ∽△MBA 时，则AB MA ＝CB BA ， ∴AB 2＝CB ·MA ，又∵∠CBA ＝∠BAM ，∠ANM ＝∠BOC ＝90°，∴△ANM ∽△BOC ，∴NM AN ＝OC BO， ∵OB ＝m ，令ON ＝x ，∴NM 2＋x ＝2m， ∴NM ＝2m(x ＋2)， ∴令M (x ，－2m(x ＋2))(x ＞0)， 又∵点M 在抛物线上，∴－2m (x ＋2)＝－1m(x ＋2)(x －m )， ∵x ＞0，∴x ＋2＞0，∵m ＞0，∴x ＝m ＋2，∴M (m ＋2，－2m(m ＋4))， 又∵AB 2＝CB ·MA ，CB ＝m 2＋4，AN ＝m ＋4，MN ＝2m(m ＋4)， ∴(m ＋2)2＝m 2＋4·（m ＋4）2＋4（m ＋4）2m 2. 此时方程无解，故此种情况不成立．综上所述，当抛物线表达式为y ＝1－22x 2＋(2－2)x ＋2时，在第四象限内，抛物线上存在点M ，使得以点A 、B 、M 为顶点的三角形与△ACB 相似．19. 解：(1)∵二次函数y ＝43x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A (3，0)、B (－1，0)两点， ∴⎩⎨⎧0＝43×9＋3b ＋c0＝43×1－b ＋c， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－83c ＝－4， ∴二次函数的解析式为y ＝43x 2－83x －4， ∴C (0，－4)；(2)四边形APDQ 为菱形，理由如下：如解图①所示，图①∵AP ＝AQ ＝t ，AP ＝DP ，AQ ＝DQ ，∴AP ＝AQ ＝DQ ＝DP ，∴四边形APDQ 为菱形；(3)存在．如解图②，过点Q 作QM ⊥OA 于点M ，此时QM ∥OC ，图②∵A (3，0)，B (－1，0)，C (0，－4)，∴AB ＝4，OA ＝3，OC ＝4，∴AC ＝32＋42＝5，∵当点P 运动到B 点时，点Q 停止运动，AB ＝4，∴AQ ＝4.∵QM ∥OC ，∴△AMQ ∽△AOC ，∴QM OC ＝AM AO ＝AQ AC ， ∴QM 4＝AM 3＝45， ∴QM ＝165，AM ＝125， 设E (x ，0)，∵Q (35，－165)， 则AE 2＝(3－x )2，AQ 2＝AB 2＝16，EQ 2＝(35－x )2＋(165)2， ①当AE 2＝AQ 2，即(3－x )2＝16时，解得x 1＝－1，x 2＝7，②当AE 2＝EQ 2，即(3－x )2＝(35－x )2＋(165)2， 解得x 3＝－13， ③当AQ 2＝EQ 2，即(35－x )2＋(165)2＝16时，解得x 3＝－95，x 4＝3(舍)， 综上所述，存在满足条件的点E ，点E 的坐标为(－13，0)或(－95，0)或(－1，0)或(7，0)． 20. 解：(1)∵抛物线C 1：y ＝ax 2－bx －1经过(1，－2)和(3，2)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b －1＝－29a －3b －1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝2， ∴抛物线C 1的表达式为y ＝x 2－2x －1；(2)∵抛物线C 1的表达式为y ＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2，∴顶点坐标为(1，－2)．∵点(1，－2)关于直线y ＝－1对称点的坐标为(1，0)，∴点B 的坐标为(1＋m ，2)．∵B 在抛物线C 1上，∴(1＋m －1)2－2＝2.解得m 1＝2，m 2＝－2(舍去)，∴m 的值为2；(3)存在以A 、B 、E 、F 为顶点的四边形是矩形．由题可知：A (1，－2)、B (3，2)，抛物线C 2的表达式为y ＝－(x －3)2＋2，则线段AB 的中点C 的坐标为(1＋32，－2＋22)，即C (2，0)． 当x ＝1时，y ＝－(1－3)2＋2＝－2，∴点A (1，－2)在抛物线C 2上，∴抛物线C 1与抛物线C 2关于点C 成中心对称．当AB 为四边形的一边时，分别过点A 、B 作AB 的垂线，与抛物线C 1、C 2分别交于点M 、N ，则点M 、N 分别位于AB 的两侧，故此时不存在以A 、B 、E 、F 为顶点的矩形； 当AB 为四边形的对角线时，如解图，在抛物线C 1上任取一点E (A 、B 除外)，连接EC 并延长交抛物线C2于点F，连接AE、AF、BF、BE，则EC＝F C.∵EC＝FC，AC＝BC，∴四边形EAFB是平行四边形．要使四边形EAFB为矩形，则需满足∠AEB＝90°，设E(a，a2－2a－1)，∵A(1，－2)，B(3，2)，∴EA2＝(a－1)2＋(a2－2a＋1)2，EB2＝(a－3)2＋(a2－2a－3)2，AB2＝(1－3)2＋(－2－2)2＝20，在Rt△AEB中，AB2＝EA2＋EB2，即(a－1)2＋(a2－2a＋1)2＋(a－3)2＋(a2－2a－3)2＝20，解得a1＝0，a2＝1(舍)，a3＝3(舍)，∴点E的坐标为(0，－1)，∴存在以A、B、E、F为顶点的四边形是矩形．∵E(0，－1)，A(1，－2)，B(3，2)，∴AE＝2，BE＝32，∴S矩形EAFB＝AE·BE＝6.21.解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)、B(3，0)两点，∴抛物线的表达式为y＝(x－1)(x－3)，即抛物线的表达式为y＝x2－4x＋3；令x＝0，得y＝3，∴C(0，3)；(2)抛物线的对称轴为直线x ＝－b 2a ＝－－42＝2，抛物线与y 轴交于C (0，3)， ∵点A 和点B 关于对称轴对称，∴要使得P A ＋PC 取得最小值，只需PB ＋PC 最小即可，当点P 、B 、C 三点共线时，PB ＋PC 最小，最小值为BC 长，∵B (3，0)，C (0，3)，∴BC ＝32，∴P A ＋PC 的最小值为32；(3)存在．∵点D 为抛物线的顶点，DE ⊥x 轴于E 点，∴D (2，－1)，E (2，0)，∴DE ＝1，OE ＝2，∴S △CDE ＝12DE ·OE ＝1， ∵AB ＝2，S △ABF ＝S △CDE ＝1，∴AB 边上的高h ＝1，∴点F 的纵坐标为1或－1，当y ＝1时，x 2－4x ＋3＝1，解得x ＝2±2，∴F 1(2＋2，1)，F 2(2－2，1)；当y ＝－1时，x 2－4x ＋3＝－1，解得x ＝2，∴F 3(2，－1)，∴抛物线上存在点F 1(2＋2，1)，F 2(2－2，1)和F 3(2，－1)，使得S △ABF ＝S △CDE .22. 解：(1)把A (－3，0)，M (－32，5)代入y ＝ax 2＋bx ＋4，得⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋4＝094a －32b ＋4＝5，解得⎩⎨⎧a ＝－43b ＝－83，∴抛物线C 1的表达式为y ＝－43x 2－83x ＋4； (2)令y ＝0，则－43x 2－83x ＋4＝0， 解得x 1＝－3，x 2＝1，∴B (1，0)，令x ＝0，则y ＝4，∴C (0，4)．由题意，知M ′(32，5)，B ′(－1，0)，A ′(3，0)，∠CAA ′＝∠CA ′A ， ∴AB ′＝2，A ′E ＝32，OA ′＝3，OC ＝4， 如解图，连接AC 、A ′C ，A ′C 交M ′E 于点D ，∵M ′E ⊥x 轴，∴M ′E ∥y 轴，∴A ′E OA ′＝DE OC，解得DE ＝2， 由勾股定理得AC ＝OA 2＋OC 2＝5，DA ′＝DE 2＋A ′E 2＝52.设P (m ，0)，∵ ∠DA ′P ＝∠CAB ′，当m ＜3时，此时点P 在点A ′的左边，若DA ′P A ′＝AC AB ′， 则有△DA ′P ∽△CAB ′，∴523－m ＝52，解得m ＝2， ∴P (2，0)．若DA ′P A ′＝AB ′AC ， 则有△DA ′P ∽△B ′AC ，∴523－m ＝25，解得m ＝－134， ∴P (－134，0)． 当m ＞3时，此时点P 在点A ′的右边，∵∠CB ′O ≠∠DA ′E ，∴∠AB ′C ≠∠DA ′P ，∴此情况下，△DA ′P 与△B ′AC 不相似．综上所述，存在满足条件的点P ，其坐标为(2，0)或(－134，0)．。
2019年中考数学二次函数压轴题汇编(含解析)
解得：k＝±2 ；
②点M、N的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）、点P（1，4），
则直线PM表达式中的k1值为： ，直线PN表达式中的k2值为： ，
为：k1k2＝ ＝ ＝﹣1，
故PM⊥PN，
即：△PMN恒为直角三角形；
③取MN的中点H，则点H是△PMN外接圆圆心，
设点H坐标为（x，y），
解得：t3＝﹣2（舍去），t4＝6；
③当7＜t≤8时，AQ＝t﹣4，EF＝﹣t+4﹣（﹣ t2+ t+4）＝ t2﹣ t，
∴t﹣4＝ t2﹣ t，
解得：t5＝5﹣ （舍去），t6＝5+ （舍去）．
综上所述：当以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形时，t的值为4或6．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用正方形的性质，找出关于m的方程；（3）分0＜t≤4，4＜t≤7，7＜t≤8三种情况，利用平行四边形的性质找出关于t的一元二次方程．
则x＝ ＝1﹣ k，
y＝ （y1+y2）＝ （6﹣k2），
整理得：y＝﹣2x2+4x+1，
即：该抛物线的表达式为：y＝﹣2x2+4x+1．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、圆的基本知识等，其中，用韦达定理处理复杂数据，是本题解题的关键．
（2019年湖南娄底26题）
26．如图，抛物线y=x2+mx+（m﹣1）与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2，与y轴交于点C（0，c），且满足x12+x22+x1x2=7．