中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第五章图形的相似与解直角三角形第二节锐角三角函数及解直角三角形的应

第二节 锐角三角函数及解直角三角形的应用
1．(2016襄阳中考)如图，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin A 的值为( B ) A .12 B .55
C .1010
D .255 2．(2016遵义十一中二模)如图，若锐角△ABC 内接于⊙O，点D 在⊙O 外(与点C 在AB 同侧)，则下列三个结论：①sin ∠C ＞sin ∠D ；②cos ∠C ＞cos ∠D ；③tan ∠C ＞tan ∠D 中，正确的结论为( D )
A ．①②
B ．②③
C ．①②③
D ．①③
(第2题图)
(第3题图)
3．(2015苏州中考)如图，在一笔直的海岸线l 上有A 、B 两个观测站，AB ＝2 km ，从A 测得船C 在北偏东45°的方向，从B 测得船C 在北偏东22.5°的方向，则船C 离海岸线l 的距离(即CD 的长)为( B )
A ．4 km
B ．(2＋2)km
C ．22km
D ．(4－2)km
4．(2015泰安中考)如图，轮船从B 处以每小时60海里的速度沿南偏东20°方向匀速航行，在B 处观测灯塔A 位于南偏东50°方向上，轮船航行40分钟到达C 处，在C 处观测灯塔A 位于北偏东10°方向上，则C 处与灯塔A 的距离是( D )
A ．20海里
B ．40海里
C .2033海里
D .4033
海里 5．(2015武威中考)已知α、β均为锐角，且满足|sin α－12
|＋（tan β－1）2＝0，则α＋β＝__75°__．
6．如图，在河两岸分别有A ，B 两村，现测得三点A ，B ，D 在一条直线上，A ，C ，E 在一条直线上，若BC∥DE，DE ＝90 m ，BC ＝70 m ，BD ＝20 m ，那么A ，B 两村间的距离为__70__m .
7．(2016汇川升学一模)在一个斜坡上前进13 m ，水平高度升高了5 m ，则该斜坡坡度i ＝__5∶12__．
8．(2016包头中考)如图，已知四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，∠ADC ＝90°，AB ＝6，CD ＝4，BC 的延长线与AD 的延长线交于点E.
(1)若∠A＝60°，求BC 的长；
(2)若sin A ＝45，求AD 的长． (注意：本题中的计算过程和结果均保留根号) 解：(1)∵∠A＝60°，∠ABE ＝90°，AB ＝6，tan A ＝BE AB
，∴∠E ＝30°，BE ＝tan 60°·6＝63，又∵∠CDE ＝90°，CD ＝4，sin E ＝CD CE ，∠E ＝30°，∴CE ＝41
2
＝8，∴BC ＝BE －CE ＝63－8；(2)∵∠ABE＝90°，AB ＝6，sin A ＝45＝BE AE
，∴设BE ＝4x ，则AE ＝5x ，得AB ＝3x ，∴3x ＝6，得x ＝2，∴BE ＝8，AE ＝10，∴tan E ＝AB BE ＝68＝
CD
DE ＝4DE ，解得DE ＝163，∴AD ＝AE －DE ＝10－163＝143，即AD 的长是143. 9．(2016汇川升学二模)一艘观光游船从港口A 以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C 处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到达事故船C 处所需的大约时间．(参考数据：sin 53°≈0.8，cos 53°≈0.6)
解：如图，过点C 作CD⊥AB 交AB 延长线于点D.在Rt △ACD 中，∵∠ADC ＝90°，∠CAD ＝30°，AC ＝80海
里，∴CD ＝12AC ＝40海里．在Rt △CBD 中，∵∠CDB ＝90°，∠CBD ＝90°－37°＝53°，∴BC ＝CD sin ∠CBD ≈400.8
≈50(海里)，∴海警船到达事故船C 处所需的时间大约为：50÷40＝54
(h )． 10．(2016淄博中考)如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A ，B ，P ，Q 四点均在正方形网格的格点上，线段AB ，PQ 相交于点M ，则图中∠QMB 的正切值是( D )
A .12
B ．1
C . 3
D ．2
11．(2016遵义六中二模)如图，要在宽为22 m 的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD 长2 m ，且与灯柱BC 成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO 与灯臂CD 垂直，当灯罩的轴线DO 通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时路灯的灯柱BC 高度应该设计为( D ) A ．(11－22)m
B ．(113－22)m
C ．(11－23)m
D ．(113－4)m
12．(2016汇川升学一模)如图，小明所在教学楼的每层高度为3.5 m ，为了测量旗杆MN 的高度，他在教学楼一楼的窗台A 处测得旗杆顶部M 的仰角为45°，他在二楼窗台B 处测得M 的仰角为31°，已知每层楼的窗台离该层的地面高度均为 1 m ，求旗杆MN 的高度．(结果保留两位小数，参考数据：sin 31°≈0.52，cos 31°≈0.86，tan 31°≈0.60)
解：过点M 作MH⊥AB 于点H ，由题意，得∠AM H ＝∠MAH＝45°，∠BMH ＝31°，AB ＝3.5，设MH ＝x ，则AH ＝x ，BH ＝x tan 31°＝0.60x ，∴AB ＝AH －BH ＝x －0.60x ＝0.4x ＝3.5，解得x ＝8.75，则旗杆高度MN ＝x ＋1＝
9.75(m )．
答：旗杆MN的高度约为9.75 m.
13．(2016汇川升学五模)小华为了测量楼房AB的高度，他从楼底的B处沿着斜坡向上行走20 m，到达坡顶D处．已知斜坡的坡角为15°.(以下计算结果精确到0.1 m)
(1)求小华此时与地面的垂直距离CD的值；
(2)小华的身高ED是1.6 m，他站在坡顶看楼顶A处的仰角为45°，求楼房AB的高度．(sin15°≈0.259，cos15°≈0.966)
解：(1)在Rt△BCD中，∠CBD＝15°，BD＝20，∴CD＝BD·sin15°，∴C D＝5.2 m．答：小华与地面的垂直距离CD的值是 5.2 m；(2)在Rt△AFE中，∵∠AEF＝45°，∴AF＝EF＝BC，由(1)知，BC＝BD·cos15°≈19.3(m)，∴AB＝AF＋DE＋CD＝19.3＋1.6＋5.2＝26.1(m)．答：楼房AB的高度是26.1 m.
14．(2016资阳中考)如图，“中国海监50”正在南海海域A处巡逻，岛礁B上的中国海军发现点A在点B的正西方向上，岛礁C上的中国海军发现点A在点C的南偏东30°方向上，已知点C在点B的北偏西60°方向上，且B、C两地相距120海里．
(1)求出此时点A到岛礁C的距离；
(2)若“中国海监50”从A处沿AC方向向岛礁C驶去，当到达点A′时，测得点B在A′的南偏东75°的方向上，求此时“中国海监50”的航行距离．(注：结果保留根号)
解：(1)如图所示：延长BA，过点C作CD⊥BA延长线于点D，由题意可得∠CBD＝30°，BC＝120海里，则
DC＝60海里，故cos30°＝DC
AC ＝
60
AC
＝
3
2
，解得AC＝40 3.答：点A到岛礁C的距离为403海里；(2)如图所示，
过点A′作A′N⊥BC于点N，可得∠1＝30°，∠BA′A＝45°，A′N＝A′E，则∠2＝15°，即A′B平分
∠CBA，设AA′＝x，则A′E＝
3
2
x，故CA′＝2A′N＝2×
3
2
x＝3x，∵3x＋x＝403，∴解得x＝60－20 3.
则此时“中国海监50”的航行距离为60－203海里．。