数列求和222222 Microsoft Word 文档

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数列求和Microsoft Word 文档 (2)

第二讲数列求和(一)一、知识要点若干个数排成一列称为数列。

数列中的每一个数称为一项。

其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。

从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。

在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。

通项公式：第n项=首项+(项数-1)×公差项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1二、精讲精练例题1、有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项? 【思路导航】容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52.要求项数，可直接带入项数公式进行计算。

项数=(52-4)÷6+1=9，即这个数列共有9项。

边学边练：等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项?例题2、有一等差数列：3.7，11.15，……，这个等差数列的第100项是多少?【思路导航】这个等差数列的首项是3.公差是4，项数是100。

要求第100项，可根据“末项=首项+公差×(项数-1)”进行计算。

第100项=3+4×(100-1)=399.边学边练：一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少?例题3、有这样一个数列：1.2.3.4，…，99，100。

请求出这个数列所有项的和。

【思路导航】如果我们把1.2.3.4，…，99，100与列100，99，…，3.2.1相加，则得到(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(99+2)+(100+1)，其中每个小括号内的两个数的和都是101.一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2.就是所求数列的和。

1+2+3+…+99+100=(1+100)×100÷2=5050上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：等差数列总和=(首项+末项)×项数÷2这个公式也叫做等差数列求和公式。

(完整word版)数列求和常见的7种方法(word文档良心出品)

数列求和的基本方法和技巧一、总论：数列求和7种方法：利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和反序相加法求和分组相加法求和裂项消去法求和分段求和法（合并法求和）利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。

数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n5、 213)]1(21[+==∑=n n k S nk n [例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 nn x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）＝x x x n --1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(21++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n xn }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 nn n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………① 14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………② （设制错位） ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减）1122212+---=n n n∴ 1224-+-=n n n S三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5] 求证：n n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++证明：设nn n n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………………………….. ①把①式右边倒转过来得113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=- （反序）又由mn n m n C C -=可得nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..…….. ②①+②得 nn n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=- （反序相加） ∴ nn n S 2)1(⋅+=[例6] 求οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得οοοοο1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..② （反序）又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x ο①+②得（反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222οοοοοο++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.5题1 已知函数（1）证明：；（2）求的值.解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，两式相加得：所以.练习、求值：四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例7] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n （分组）当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn + （分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S nn -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- [例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴ ∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n ＝k k k nk n k nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和）＝2)2()1(2++n n n五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）)()1(n f n f a n -+= （2）οοοοοn n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n （5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n(6) nnn n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则（7）)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=（8）n a ==[例9] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.解：设n n n n a n -+=++=111（裂项）则 11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n （裂项求和）＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n [例10] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和. 解： ∵ 211211nn n n n a n =++⋅⋅⋅++++=∴ )111(82122+-=+⋅=n n n n b n （裂项）∴ 数列{b n }的前n 项和)]111()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n （裂项求和）＝)111(8+-n ＝18+n n[例11] 求证：οοοοοοοο1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++ 解：设οοοοοο89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S ∵οοοοοn n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （裂项） ∴οοοοοο89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S （裂项求和）＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1sin 1οοοοοοοοο-+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1οοο-＝οο1cot 1sin 1⋅＝οο1sin 1cos 2 ∴ 原等式成立答案：六、分段求和法（合并法求和）针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.解：设S n ＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°∵ )180cos(cos οοοn n --= （找特殊性质项）∴S n ＝（cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···+（cos89°+ cos91°）+ cos90° （合并求和）＝ 0[例13] 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.解：设S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++由n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1可得,2,3,1654-=-=-=a a a,2,3,1,2,3,1121110987-=-=-====a a a a a a……2,3,1,2,3,1665646362616-=-=-====++++++k k k k k k a a a a a a∵ 0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a （找特殊性质项） ∴ S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++ （合并求和）＝)()()(66261612876321++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++k k k a a a a a a a a a a2002200120001999199819941993)(a a a a a a a +++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+＝2002200120001999a a a a +++ ＝46362616+++++++k k k k a a a a ＝5[例14] 在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值.解：设1032313log log log a a a S n +⋅⋅⋅++=由等比数列的性质 q p n m a a a a q p n m =⇒+=+ （找特殊性质项）和对数的运算性质 N M N M a a a ⋅=+log log log 得)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++⋅⋅⋅++++= （合并求和）＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅＝9log 9log 9log 333+⋅⋅⋅++ ＝10七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.[例15] 求32111111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和. 解：由于)110(91999991111111-=⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅k k k 43421321个个（找通项及特征） ∴ 32111111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++ ＝)110(91)110(91)110(91)110(91321-+⋅⋅⋅+-+-+-n （分组求和）＝)1111(91)10101010(9113214434421个n n +⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅+++ ＝9110)110(1091nn ---⋅＝)91010(8111n n --+ [例16] 已知数列{a n }：∑∞=+-+++=11))(1(,)3)(1(8n n n n a a n n n a 求的值. 解：∵ ])4)(2(1)3)(1(1)[1(8))(1(1++-+++=-++n n n n n a a n n n （找通项及特征）＝])4)(3(1)4)(2(1[8+++++⋅n n n n （设制分组）＝)4131(8)4121(4+-+++-+⋅n n n n （裂项）∴ ∑∑∑∞=∞=∞=++-+++-+=-+1111)4131(8)4121(4))(1(n n n n n n n n n a a n （分组、裂项求和）＝418)4131(4⋅++⋅＝313提高练习：1．已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,),1n n S a n a +=+==L ，⑴设数列),2,1(21ΛΛ=-=+n a a b n n n ，求证：数列{}n b 是等比数列； ⑵设数列),2,1(,2ΛΛ==n a c n nn ，求证：数列{}n c 是等差数列；2．设二次方程n a x 2-n a +1x +1=0(n ∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．(1)试用n a 表示a 1n +；3．数列{}n a 中，2,841==a a 且满足n n n a a a -=++122 *N n ∈⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵设||||||21n n a a a S +++=Λ，求n S ；。

(完整word版)数列求和的各种方法

教学目标1熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式.2 •掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.3•能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题. 教学内容知识梳理1求数列的前n 项和的方法 (1) 公式法①等差数列的前n 项和公式n n 1 ,=na i + d .2②等比数列的前n 项和公式 (I )当 q = 1 时，S n = na i ;(2) 分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解. (3) 裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项. (4) 倒序相加法这是推导等差数列前 n 项和时所用的方法，将一个数列倒过来排序，如果原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和.(5) 错位相减法这是推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，主要用于求｛a n • b n ｝的前n 项和，其中｛a n ｝和｛b n ｝分别是等差数列和等比数列.⑹并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如 a n = (— 1)n f (n)类型，可采用两项合并求解.例如，S n = 1002— 992+ 982 — 972+…+ 22 — 12= (100 + 99) + (98 + 97)+…+ (2 + 1) = 5 050.数列求和的方法n a i a n Si=—2(n )当q 丰1时,a i 1 q n 1 qa 1 — a n q 1 - q③常见的数列的前 n 项和：1+n=垃 1) , 1+3+5+••…+(2r — 1)= n 22122232+n 2n(n 罟,13 23 33+n 32n(n 1)等22. 常见的裂项公式 1 (1)-n n=1 _1 ______ 1 ；⑶ 2n 1 2n 12(2n—1 2n +1⑷ =2 -nn1n2 2nn1 n1n21 1 1 1⑹设等差数列｛an ｝的公差为d ,则站=歳-齐).数列求和题型考点一公式法求和一 11. (2016新课标全国I)已知｛a n ｝是公差为3的等差数列，数列｛b n ｝满足b 1= 1 , b 2 = 3 , a n b n + 1 + b n +1 = nb n . (1) 求｛a n ｝的通项公式； (2) 求｛b n ｝的前n 项和.2. (2013新课标全国I, 17)已知等差数列｛a n ｝的公差不为零，a 1= 25,且a 1, an , a 13成等比数列 (1) 求｛a n ｝的通项公式； (2) 求 a 1+ a 4+ a 7+ …+ a 3n — 2.变式训练 1.(2015四川，16)设数列｛a n ｝(n = 1, 2, 3,…)的前n 项和S n满足S n = 2a n — a 1，且a 1, a 2+1, a 3成等差数列.(1)求数列｛ a n ｝的通项公式；1⑵设数列 a 的前n 项和为T n ，求T n .2. （2014 福建，17）在等比数列｛a n ｝中，a 2= 3, a 5= 81. （1）求 a n ；⑵设b n = log 3a n ,求数列｛b n ｝的前n 项和S n .1⑵-n n k11 1 k (n n + k )；(5) n + . n + kn).考点二错位相减法1.（山东）已知数a的前n项和S n=3n2+8n, b n是等差数列，且a n b n b n（I）求数列b n的通项公式；（I）令C n(a n1）n 1求数列c n的前n项和T n.(b n2)n2.（2015 天津，18）已知数列｛a n｝满足a n+ 2= qa n（q 为实数，且q丰1,）n I N*, a1= 1,a2 = 2,且a2+ a3, a3+ a4,a4 + a5成等差数列.（1）求q的值和｛a n｝的通项公式；⑵设b n=lpg d, n I N*,求数列｛b n｝的前n项和.a2n-1变式训练1. （2014 江西，17）已知首项都是1 的两个数列｛a n｝, ｛b n｝（b n M0 n IN*）满足a n b n+ 1-a n + 1b n+ 2b n+ 1b n= 0.（1）令C n=严，求数列｛C n｝的通项公式；b n⑵若b n= 3旷1，求数列｛a n｝的前n项和S n.2. (2014四川，19)设等差数列｛a n｝的公差为d，点(a n, b n)在函数f(x)= 2x的图象上(n I N*).(1) 若a i = - 2,点(a8, 4b7)在函数f(x )的图象上，求数列｛a n｝的前n项和S n；1 a n(2) 若a1= 1,函数f(x)的图象在点(a2, b2)处的切线在x轴上的截距为2-应，求数列恳的前n项和T n.3. (2015湖北，18)设等差数列｛a n｝的公差为d，前n项和为S n,等比数列｛b n｝的公比为q，已知b1= a1, b2 =2, q = d, S10 = 100.(1) 求数列｛a n｝, ｛b n｝的通项公式；(2) 当d>1时，记C n= b n求数列｛C n｝的前n项和T n.4. (2015 •东，18)设数列｛a n｝的前n项和为S.已知2S n= 3n+ 3.(1) 求｛a n｝的通项公式；(2) 若数列｛ b n｝满足a n b n= log3a n，求｛ b n｝的前n项和T n.* 11 15. (2015 浙江，17)已知数列｛a n｝和｛ b n｝满足a1= 2, 3= 1, a n+1 = 2a n( n I N), 3 + qb2 +§b3+…+：b n= b n+1 —1(nI N*).(1)求a n与b n ；⑵记数列｛ a n b n｝的前n项和为T n，求T n.6. (2015 湖南，19)设数列｛a n｝的前n 项和为S n,已知a i= 1, a2= 2,且a n+2= 3S n—S n+1 + 3, n I N .(1)证明：a n+ 2= 3a n ；⑵求S n.考点三分组求和法1. (2015 福建，17)在等差数列｛a n｝中，a2= 4, a4+ a7= 15.(1) 求数列｛ a n｝的通项公式；(2) 设b n= 2an 2+ n,求b1 + b2 + b3+…+ b10 的值.n2+ n *2. (2014湖南，16)已知数列｛a n｝的前n项和S n= — , n I N .(1)求数列｛ a n｝的通项公式；⑵设b n= 2an+ (—1)n a n,求数列｛b n｝的前2n项和.变式训练1. (2014北京，15)已知｛a n｝是等差数列，满足a i = 3, a4= 12,数列｛b n｝满足b i = 4, b4= 20,且｛b n —a n｝为等比数列.(1)求数列｛a n｝和｛b n｝的通项公式；⑵求数列｛ b n｝的前n项和.考点四裂项相消法1. (2015新课标全国I, 17)S n为数列｛a n｝的前n项和.已知a n>0, a¥+ 2a n= 4S n+ 3.(1) 求｛a n｝的通项公式；1(2) 设b n= ，求数列｛b n｝的前n项和.a n a n+12. (2011新课标全国，17)等比数列｛a n｝的各项均为正数，且2a i+ 3a2= 1, a3= 9a2a6.(1) 求数列｛ a n｝的通项公式；1 »(2) 设b n= log3a1+ log3a2+・・・ + log3a n，求数列匚的前n项和.3. (2015安徽，18)已知数列｛a n｝是递增的等比数列，且• + a4= 9, a2a3= 8.(1)求数列｛a n｝的通项公式；⑵设S n为数列｛a n｝的前n项和，b n = 1，求数列｛ b n｝的前n项和T n.S n Si + 1变式训练1. (2013 江西，16)正项数列｛a n｝满足：a^—(2n- 1)a n—2n= 0.(1)求数列｛ a n｝的通项公式a n；1⑵令b n= 5 +〔)an，求数列｛b n｝的前n项和T n.2. (2013 大纲全国，17)等差数列｛a n｝中，a7= 4, a i9= 2a9. (1)求｛a n｝的通项公式；1⑵设b n= ，求数列｛b n｝的前n项和S n.na n13. 在数列｛a n｝中，a1 = 1，当n>2时，其前n项和S n满足&= a n S n-勺.(1) 求3的表达式；S n(2) 设b n = 2^1求｛b n｝的前n项和T n.考点五倒序相加法1 1 12 2 014 已知函数f(x)=丙(X I R). (1)证明：f(x)+ f(1-x) =1；(2)若S= f(2015)+ f(2015)+…+ 口歳)，贝y S=变式训练4X 1 2 2 0141. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 设f(x)=4^2，若S=f(2015)+f(2015)+ …+ f(2"0i5)，则S= ---------------------------------------------------------考点六并项求和1. ___________________________________________________________________________ (2012新课标，16)数列｛a n｝满足a n+1+ (—1)% = 2n —1,则｛a n｝的前60项和为___________________________2. (2014山东，19)在等差数列｛a n｝中，已知公差d= 2, a2是a i与a4的等比中项(1) 求数列｛ a n｝的通项公式；(2) 设b n= a n n 1，记T n=—b l+ b2 - b3+ b4—…+ ( —1)n b n，求T n.~2变式训练1. (2014山东理，19)已知等差数列｛a n｝的公差为2,前n项和为S n,且S1, S2, S4成等比数列(1) 求数列｛ a n｝的通项公式；—4n(2) 令b n= (—1)n—1，求数列｛b n｝的前n项和T n.a n a n+1考点七数列｛|a n|｝的前n项和问题11. ______________________________________________________________ （2011 北京,11）在等比数列｛a n｝中，若a i = 2，a4=—4，则公比q = __________________________________ ；a i|+ |a2|+ ••• + |a n| = ______变式训练1. （2013浙江，19）在公差为d的等差数列｛a n｝中，已知a1= 10,且a1, 2a2+ 2, 5a3成等比数列.（1）求d, a n；12. (2013湖南，15)设S n为数列｛a n｝的前n项和，S n= (—1)n a n—尹n I N*，则:(1) a3= _________ ；(2) S1 + S2 + …+ S100 = ________ .⑵若 d v0,求a |+ |a2| + |a3|+ …+ |a n|.考点八周期数列1.已知数列2 008,2 009,1，—2 008 , —2 009 ,…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前 2 014项之和S2 014等于（）A. 2 008B. 2 010C. 1 D . 0变式训练n n1.（2012福建）数列｛a n｝的通项公式a n= ncosg，其前n项和为S n,则S2 012等于（）A.1 006B.2 012C.503D.0考点九数列与不等式的应用1. （2014新课标全国I, 17）已知数列｛a n｝满足a1= 1, a n+1= 3a n+ 1.1（1）证明a n + 2是等比数列，并求｛a n｝的通项公式；1 1 1 3（2）证明一 + —+ …+—<;.a1 a2 a n 21 *2. (2015 浙江，20)已知数列｛a n｝满足a1 = 2且a n+1 = a n —a n(n I N ).a n *(1)证明：1 W W 2( I N );a n+ 1⑵设数列｛ a2｝的前n项和为S n,证明:1 S n 1--------- —----------2 (n + 2) n 2 (n + 1)(n IN*).23.(2013江西，理)正项数列｛a n｝的前项和｛a n｝满足：S n2 2(n n 1)S n (n n) 0(1)求数列｛a n｝的通项公式a n；n 1(2)令b n门，数列｛bn｝的前n项和为T n。

数列求和Word版含答案

数列求和【课前回顾】1．公式法(1)等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d2. 推导方法：倒序相加法．(2)等比数列{a n }的前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ，q ≠1.推导方法：乘公比，错位相减法． (3)一些常见的数列的前n 项和： ①1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2； ②2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)； ③1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2. 2．几种数列求和的常用方法(1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和．(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n 项和即可用错位相减法求解．(4)倒序相加法：如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解．【课前快练】1．在数列{a n }中，a n ＝1n (n ＋1)，若{a n }的前n 项和为2 0172 018，则项数n 为( )A ．2 014B ．2 015C ．2 016D ．2 017解析：选D 因为a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，所以S n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1＝2 0172 018，所以n ＝2 017.2．数列{1＋2n -1}的前n 项和为( ) A ．1＋2nB ．2＋2nC ．n ＋2n －1D ．n ＋2＋2n解析：选C 由题意得a n ＝1＋2n －1，所以S n ＝n ＋1－2n1－2＝n ＋2n －1.3．数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n -1·n ，则S 17＝________. 解析：S 17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9.答案：9考点一公式法、分组转化法求和方法(一) 公式法求和几类可以使用公式法求和的数列(1)等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列，它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解．(2)奇数项和偶数项分别构成等差数列或等比数列的，可以分项数为奇数和偶数时，分别使用等差数列或等比数列的求和公式．(3)等差数列各项加上绝对值，等差数列乘(－1)n 等．1．(2017·北京高考)已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5.(1)求{a n }的通项公式；(2)求和：b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1. 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d .因为⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 2＋a 4＝10，所以2a 1＋4d ＝10，解得d ＝2，所以a n ＝2n －1. (2)设等比数列{b n }的公比为q .因为b 1＝1，b 2b 4＝a 5，所以b 1q ·b 1q 3＝9. 解得q 2＝3.所以b 2n －1＝b 1q 2n －2＝3n －1. 从而b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝3n －12.方法(二) 分组转化法求和 1．分组转化求和的通法数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求数列的前n 项和的数列求和．2．分组转化法求和的常见类型2．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n ，那么S 100的值为( ) A ．2 500 B ．2 600 C ．2 700D ．2 800解析：选B 当n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝0，所以a n ＝1，当n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝2，所以a n ＝n ，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n 为奇数，n ，n 为偶数，于是S 100＝50＋(2＋100)×502＝2 600.3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和．解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－(n －1)2＋(n －1)2＝n .a 1＝1也满足a n ＝n ，故数列{a n }的通项公式为a n ＝n . (2)由(1)知a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1)n n . 记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )．记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则A ＝2(1－22n )1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n . 故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2.考点二错位相减法求和1．掌握解题“3步骤”2．注意解题“3关键”(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q ＝1和q ≠1两种情况求解．3．谨防解题“2失误”(1)两式相减时最后一项因为没有对应项而忘记变号．(2)对相减后的和式的结构认识模糊，错把中间的n －1项和当作n 项和．【典型例题】(2017·山东高考)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n .已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n项和T n .[思维路径](1)可利用已知条件a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3列出关于首项a 1和公比q 的两个方程，解方程可得a 1，q ，从而求得通项公式．(2)由S 2n ＋1＝b n b n ＋1，利用求和公式及性质，推出数列{b n }的通项公式，结合(1)进而求出⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的通项公式，观察其特点用错位相减法求和即可．解：(1)设{a n }的公比为q ，由题意知a 1(1＋q )＝6，a 21q ＝a 1q 2.又a n ＞0，解得a 1＝2，q ＝2，所以a n ＝2n . (2)由题意知，S 2n ＋1＝(2n ＋1)(b 1＋b 2n ＋1)2＝(2n ＋1)b n ＋1，又S 2n ＋1＝b n b n ＋1，b n ＋1≠0，所以b n ＝2n ＋1.令c n ＝b na n，则c n ＝2n ＋12n ，因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝32＋522＋723＋…＋2n －12n －1＋2n ＋12n ，又12T n ＝322＋523＋724＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1，两式相减得12T n ＝32＋⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12n －1－2n ＋12n ＋1 ＝32＋1－⎝⎛⎭⎫12n －1－2n ＋12n ＋1 ＝52－2n ＋52n ＋1，所以T n ＝5－2n ＋52n. 【针对训练】已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1. (1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝(a n ＋1)n ＋1(b n ＋2)n，求数列{c n }的前n 项和T n .解：(1)由题意知，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5，当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，满足上式，所以a n ＝6n ＋5. 设数列{b n }的公差为d .由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，即⎩⎪⎨⎪⎧11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ，可解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝4，d ＝3.所以b n ＝3n ＋1.(2)由(1)知c n ＝(6n ＋6)n ＋1(3n ＋3)n ＝3(n ＋1)·2n ＋1，又T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，得T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]， 2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋2]，两式作差，得－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n ＋1－(n ＋1)×2n ＋2] ＝3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋4(1－2n )1－2－(n ＋1)×2n ＋2 ＝－3n ·2n ＋2，所以T n ＝3n ·2n ＋2.考点三裂项相消法求和1．裂项相消法求和的实质和解题关键裂项相消法求和的实质是将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，其解题的关键就是准确裂项和消项．(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． (2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．2．常见数列的裂项方法角度(一) 形如a n ＝1n (n ＋k )型1．(2017·全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则∑k ＝1n1S k＝________.解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝3，4a 1＋6d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1，所以S n ＝n (n ＋1)2，1S n ＝2n (n ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，因此∑k ＝1n1S k ＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝2n n ＋1.答案：2nn ＋1角度(二) 形如a n ＝1n ＋k ＋n型2．(2018·江南十校联考)已知函数f (x )＝x α的图象过点(4,2)，令a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )，n ∈N *.记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 018＝( )A. 2 017－1B. 2 018－1C. 2 019－1D. 2 019＋1解析：选C 由f (4)＝2可得4α＝2，解得α＝12，则f (x )＝x 12.∴a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，S 2 018＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 018＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋( 2 018－2 017)＋( 2 019－ 2 018)＝ 2 019－1. 角度(三) 形如a n ＝n ＋1n 2(n ＋2)2型3．正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)令b n ＝n ＋1(n ＋2)2a 2n，数列{b n }的前n 项和为T n .证明：对于任意的n ∈N *，都有T n<564. 解：(1)由S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0，得[S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0.由于{a n }是正项数列，所以S n >0，S n ＝n 2＋n . 于是a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n . 综上，数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)证明：由于a n ＝2n ，故b n ＝n ＋1(n ＋2)2a 2n＝n ＋14n 2(n ＋2)2＝116⎣⎡⎦⎤1n 2－1(n ＋2)2. T n ＝116⎣⎡1－132＋122－142＋132－152＋…＋1(n －1)2－1(n ＋1)2＋⎦⎤1n 2－1(n ＋2)2＝116⎣⎡⎦⎤1＋122－1(n ＋1)2－1(n ＋2)2<116⎝⎛⎭⎫1＋122＝564.【针对训练】(2018·天一大联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，首项a 1＝1，且S 2 0182 018－S 2 0172 017＝1. (1)求S n ； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n S n ＋1的前n 项和T n .解：(1)设数列{a n }的公差为d ，因为S n n ＝na 1＋n (n －1)2dn ＝a 1＋(n －1)d2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为一个等差数列，所以S 2 0182 018－S 2 0172 017＝d2＝1，所以d ＝2，故S nn ＝n ，所以S n ＝n 2. (2)因为1S n S n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，所以T n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 【课后演练】1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 5＝25，则S 7＝( ) A ．41 B ．48 C ．49D ．56解析：选C 设S n ＝An 2＋Bn ，由题知⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝9A ＋3B ＝9，S 5＝25A ＋5B ＝25，解得A ＝1，B ＝0，∴S 7＝49.2．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －3⎝⎛⎭⎫15n，则其前20项和为( ) A ．380－35⎝⎛⎭⎫1－1519 B ．400－25⎝⎛⎭⎫1－1520 C ．420－34⎝⎛⎭⎫1－1520 D ．440－45⎝⎛⎭⎫1－1520 解析：选C 令数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 20＝a 1＋a 2＋…＋a 20＝2(1＋2＋…＋20)－3⎝⎛⎭⎫15＋152＋…＋1520＝2×20×(20＋1)2－3×15⎝⎛⎭⎫1－15201－15＝420－34⎝⎛⎭⎫1－1520.3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ，n 为正奇数，a n ＋1，n 为正偶数，则其前6项之和是( )A ．16B ．20C ．33D ．120解析：选C 由已知得a 2＝2a 1＝2，a 3＝a 2＋1＝3，a 4＝2a 3＝6，a 5＝a 4＋1＝7，a 6＝2a 5＝14，所以S 6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33.4． 5个数依次组成等比数列，且公比为－2，则其中奇数项和与偶数项和的比值为( ) A ．－2120 B ．－2 C ．－2110D ．－215解析：选C 由题意可设这5个数分别为a ，－2a,4a ，－8a,16a ，故奇数项和与偶数项和的比值为a ＋4a ＋16a －2a －8a＝－2110，故选C.5．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.158或5B.3116或5C.3116D.158解析：选C 设{a n }的公比为q ，显然q ≠1，由题意得9(1－q 3)1－q ＝1－q 61－q，所以1＋q 3＝9，得q ＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公比为12的等比数列，前5项和为1－⎝⎛⎭⎫1251－12＝3116.6．化简S n ＝n ＋(n －1)×2＋(n －2)×22＋…＋2×2n －2＋2n －1的结果是( )A ．2n ＋1＋n －2 B ．2n ＋1－n ＋2 C ．2n －n －2D ．2n ＋1－n －2解析：选D 因为S n ＝n ＋(n －1)×2＋(n －2)×22＋…＋2×2n －2＋2n －1，① 2S n ＝n ×2＋(n －1)×22＋(n －2)×23＋…＋2×2n －1＋2n ，②所以①－②得，－S n ＝n －(2＋22＋23＋…＋2n )＝n ＋2－2n ＋1，所以S n ＝2n ＋1－n －2. 7．已知数列：112，214，318，…，⎝⎛⎭⎫n ＋12n ，…，则其前n 项和关于n 的表达式为________．解析：设所求的前n 项和为S n ，则S n ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋⎝⎛⎭⎫12＋14＋…＋12n ＝n (n ＋1)2＋12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝n (n ＋1)2－12n ＋1. 答案：n (n ＋1)2－12n ＋1 8．在数列{a n }中，若a 1＝2，且对任意正整数m ，k ，总有a m ＋k ＝a m ＋a k ，则{a n }的前n 项和S n ＝________.解析：依题意得a n ＋1＝a n ＋a 1，即有a n ＋1－a n ＝a 1＝2，所以数列{a n }是以2为首项、2为公差的等差数列，a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，S n ＝n (2＋2n )2＝n (n ＋1)．答案：n (n ＋1)9．已知正项数列{a n }满足a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n .若a 1＝2，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.解析：∵a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n ，∴(a n ＋1－3a n )(a n ＋1＋2a n )＝0， ∵a n >0，∴a n ＋1＝3a n ，又a 1＝2，∴数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列， ∴S n ＝2(1－3n )1－3＝3n －1.答案：3n －110．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则S 2 018＝________. 解析：∵数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n ，① ∴n ＝1时，a 2＝2，n ≥2时，a n ·a n －1＝2n －1，② 由①÷②得a n ＋1a n －1＝2，∴数列{a n }的奇数项、偶数项分别成等比数列， ∴S 2 018＝1－21 0091－2＋2(1－21 009)1－2＝3·21 009－3.答案：3·21 009－311．已知数列{a n }中，a n ＝－4n ＋5，等比数列{b n }的公比q 满足q ＝a n －a n －1(n ≥2)且b 1＝a 2，则|b 1|＋|b 2|＋|b 3|＋…＋|b n |＝( )A ．1－4nB ．4n －1 C.1－4n3D.4n －13解析：选B 由已知得b 1＝a 2＝－3，q ＝－4， ∴b n ＝(－3)×(－4)n －1，。

(完整word版)高中数学_数列求和及数列通项公式的基本方法和技巧

数列求和的基本方法和技巧关键词：数列求和通项分式法错位相减法反序相加法分组法分组法合并法数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础•在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧•下面，就几个历届高考数学来谈谈数列求和的基本方法和技巧、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法 1、等差数列求和公式： S nn(a1 an)na !n(n 1)d2 2［例］求和 1 + X 2 + X 4+ X 6+…x 2n+4(x 工 0)解： ••• X M0•••该数列是首项为1,公比为X 2的等比数列而且有n+3项当x 2= 1即X =±1时和为n+3评注:(1)利用等比数列求和公式•当公比是用字母表示时，应对其是否为 1进行讨论，如本题若为“等比”的形式而并未指明其为等比数列，还应对 X 是否为0进行讨论.(2)要弄清数列共有多少项，末项不一定是第n 项.2n 1对应高考考题：设数列 1，( 1+2 )，•••，( 1+2+2 2 )， ..... 的前顶和为 S n，则S n的值。

2、等比数列求和公式：S nn^ 印(1 q n )1 q3、S nnkk 1 1n(n 1) 25、S nnk3k 11 2［才(n 1)］22a 1 a n q 1 q(q 1)n214、S nk—n(n 1)(2 n 1)k 16当黑忖1即篡詳主1对？和為自然数方幕和公式:(q 1)二、错位相减法求和错位相减法求和在高考中占有相当重要的位置，近几年来的高考题其中的数列方面都出了这方面的内容。

需要我们的学生认真掌握好这种方法。

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列｛a n • b n｝的前n项和，其中｛ a n ｝、｛ b n ｝分别是等差数列和等比数列•求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q ；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法［例］求和：S n 1 3x 5x2 7x3(2n 1)x n 1(X 1)解：由题可知，｛(2n 1)x n1｝的通项是等差数列｛2n —1｝的通项与等比数列｛x n1｝的通项之积设xS n 1x 3x2 5x3 7x4(2n 1)x n.................... ②(设制错位)①一②得(1 x)S n 1 2x 2x22x32x42x n1(2n1)x n(错位相减)再利用等比数列的求和公式得：(1 x)Snn 11 x1 2x - (2n 1)x n1 xS (2n S n1)xn 11 ；2n 1)x n (1 x)2(1 x)注意、1要考虑当公比x为值1时为特殊情况2错位相减时要注意末项此类题的特点是所求数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘。

数列求和所有方法类型全归纳含解析答案精品文档可编辑

数列求和一、直接求和法（或公式法）掌握一些常见的数列的前n 项和：，1+3+5+……+(2n-1)= ，等. 例1 求2222222212345699100-+-+-+--+．解：原式22222222(21)(43)(65)(10099)3711199=-+-+-++-=++++．由等差数列求和公式，得原式50(3199)50502⨯+==．变式练习：已知3log 1log 23-=x ，求............32+++++n x x x x 的前n 项和.二、倒序相加法此方法源于等差数列前n 项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和.例2 求222222222222123101102938101++++++++的和．．三、裂项相消法常见的拆项公式有：，，等.123+++……+n=(1)2n n +2n 2222123+++……+n =(1)(21)6n n n ++3333123+++……+n =2(1)2n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦1()n n k =+111()k n n k -+=1k1(21)(21)n n =-+111()22121n n --+例3 已知222112(1)(21)6n n n n +++=++，求 22222222235721()11212312n n n *+++++∈++++++N 的和．小结：如果数列{}n a 的通项公式很容易表示成另一个数列{}n b 的相邻两项的差，即1n n n a b b +=-，则有11n n S b b +=-.这种方法就称为裂项相消求和法.变式练习：求数列，，，…，，…的前n 项和S.311⨯421⨯531⨯)2(1+n n四、错位相减法源于等比数列前n 项和公式的推导，对于形如{}n n a b 的数列，其中{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，均可用此法. 例4 求2335(21)n x x x n x ++++-的和．小结：错位相减法的步骤是：①在等式两边同时乘以等比数列{}n b 的公比；②将两个等式相减；③利用等比数列的前n 项和公式求和.变式练习：求数列a,2a 2,3a 3,4a 4,…,na n , …(a 为常数)的前n 项和。

第五篇数列(必修5)第4节数列求和word版含解析_最新修正版

第4节数列求和应用能力提升 M' 71.申升 £ -I【选题明细表】基础巩固(时间:30分钟)1.Sn £+2+W +...知等于(2" + '-n-2(B)1 ? 3n解析:由Sn ^+2^ +2"1+…0 ,①2 J + 12”门一兀十2(C) 2宀(D)n(2n-1)｝的前 2 018 项和 S 2 018 等于(B )009=2 018.故选 B.3.等差数列｛a n ｝的通项公式为a n =2n+1,其前n 项和为S n ,则数列｛«■｝的前10项的和为（C ）(A)120(B)70 (C)75(D)100解析：由 a n =2n+1,得 a 1=3,d=2.所以 S n =3n+ 2 X 2=n 2+2n. 因为F =n+2,所以数列｛皿是以3为首项,1为公差的等差数列.4.已知函数y=log a （x-1）+3（a>0,a 工1）的图象所过定点的横、纵坐标分别是等差数列｛a n ｝的第二项与第三项，若bn /N" 1,数列｛b n ｝的前n 项和为T n ,则T 10等于（B ）解析：对数函数y=log a x 的图象过定点（1,0）,所以函数y=log a （x-1）+3(A)-2 016 (B)2 018 (C)-2 015 (D)2 015 :S 2018=-1+3-5+7--(2 X 2017-1)+(2 X 2018-1)=(-1+3)+(-5+7)+ …+[-(2 X 2017-1)+(2 X 2 018-1)]=2 X 12.数列｛(-1) 所以（的前10项和为10X 3+2 X 1=75.g(A)订 10 12(B)(C)1 (D)订1的图象过定点(2,3),则a 2=2,a 3=3,故a n =n,所以b n =也"i1 [WT 10=1-2+2J +…+io -n =1-TT =T ,故选 B.1=+侃 + 1)2 -1 的值为(C )1(C)牡 2(和 + 1+斥 + 2) (D) 2- W + 1+1 + 21解析：因为+ 1 )2 - 1 =/ + 伍 + 2)1=(i i 11II■ rI所以+tn+ 1)2-1111111: — I I=2(1- 3+2-"+3-56.在2016年至2019年期间，甲每年6月1日都到银行存入m 元的一年定期储蓄,若年利率为q 保持不变,且每年到期的存款本息自动转为新的一年定期，到2020年6月1日甲去银行不再存款，而是将所有存款的本息全部取出，则取回的金额是(D )(A)m(1+q)4元(B)m(1+q)5元nM(l+ 叨匚(1 +钏(C)d元(D)d解析:2019年存款的本息和为m(1+q),2018年存款的本息和为m(1+q)2,2017年存款的本息和为m(1+q)3,2016年存款的本息和为1+ 1,所以n + 1(A) 2(n + 2)3(B) 4-201 +2]n+ 11 + 1?)=41 1严+ 1+和 +2).m(1+q)4,四年存款的本息和为 m(1+q)+m(1+q)2+m(1+q)3+m(1+q)4二+ 01(1 +0” - 1］加［(1 +叨5-(1 +q)|.故选D.17.已知函数f(x)=x a 的图象过点(4,2),令a n =®+i)+n>i),n € N 1记数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,则S 018 解析：由f （4）=2可得4a=2,1 1解得 a=N 则 f(x)= /.1 ]所以an 二f （N + 1） + f 何二曲+ 1 +皿=缶+ 1-枫S 2018=a 1+a 2+a 3+ •…+a 2018= (b 闿-%厲)+( %'仃-%闿)+( ■'吗-)+ …+（炉THL 何帀）+（入丽那V 西帀）二%可丽X . 答案:善而-18. 有穷数列1,1+2,1+2+4,…,1+2+4+…+2n-1所有项的和为解析：由题意知所求数列的通项为1 -2 =2n-1,故由分组求和法及等比数答案:2 n+1-2-n能力提升（时间：15分钟）9. 已知数列｛a n ｝的前n 项和为S,a i =1,当n 》2时,a n +2S -i 二n,则&⑷的值为（D ） (A)2 015 (B)2 013 (C)1 008 (D)1 009解析：因为 a n +2S n-1 = n(n > 2),所以 a n+1+2S=n+1(n > 1),两式相减得列的求和公式可得和为 2(1 -巧"2 -n=2n+1-2-n.a n+汁a n =1(n > 2).又 a i =1,所以 S oi7=a i +(a 2+a 3)+ …+(a 2 016+a 2 017 )=1+1 008X 1=1 009,故选 D.2510. 已知等差数列｛a n ｝的前n 项和S n 满足S 3=6,S 5=2 ,则数列｛巧｝的前n项和为（B ）n + 4 rt + 2■I=(C)2- L (D)2-2""解析：设等差数列｛a n ｝的公差为d, 贝J S=na i + 2 d,25因为 S=6,S 5=2 ,1 n + 2所以 a n 』n+1,2”* + ：设数列u"｝的前n 项和为T n ,5 n + 1 M + 2I271 r 门4 1n + 4T n =2-2"i 故选 B.所以两式相减得 2 + 2,所以 tt +2 tt + 4 (B)2-2 小4则 T n 二科+2*¥+.2Tn ^^2\2^+^ +2fl + 1 fl + 2n + 1+2"+ 211. (2018 •江西赣南联考)在数列｛a n ｝中，已知a 1=1,a n+1+(-1) n a n = cos(n+1) n ,记S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，则& 017 =解析：由 a 1=1,a n+汁(-1) na n =cos(n+1) n ,得 a 2=a i +cos 2 n =1+1=2, a 3二a+cos 3 n =-2-1=-3, a 4=a 3+cos 4 n =-3+1=-2, a 5=-a 4+cos 5 n =2-1=1,由上可知，数列｛a n ｝是以4为周期的周期数列，且a 1+a 2+a 3+a 4=-2, 所以 & 017 =504(a 1+a 2+a 3+a 4)+a 1=504X (-2)+1=-1 007. 答案:-1 0071 X112. 设函数 f(x)= 2+log ^^,定义 S=f(E+f( n )+ …+f( 且 nA2,则 S n =解析：因为f(x)+f(1-x)1 -工=2+log21 -玄+2+log 2 X =1+log 21=1,1 n - 12所以 2S n =[f(勺+f( n ) : +[f( n )+f(n- i所以S n = 2113.已知数列｛a n ｝的前n 项和是S n ,且S n +a n =1(n € N *).n - 1乳),其中n € N ；1)+f( n ):二n-（1）求数列｛a n ｝的通项公式；i⑵设 b n =lo 3(1-S n+1)(n € N),令 T n 』M + E 勾 + …+血十1,求 T n .解:⑴当n=1时,a i =S l ,1 2 由 S+2a 1=1,得 a 1 =,1 1当 n 》2 时,S n =1-2 a n ,S n-1 =1-2a n-1 ,1 1贝y S-S n-1 =2(a n-1 -a n ),即 a n = (a n-1 -a n ),以 a n =3a n-i (n 》2).故数列｛a n ｝是以汗为首项戸为公比的等比数列.21 1故 anT - (d)n-1=2 - P)n(n € N).1⑵因为 1-S n =2a n =0) n.所以 b n =lo <1-S n+i )=lo lp )n+1=n+1,1 11 1因为叽 h” + 1=5 + 1)5 + + ]-n + 2,1 1 1所以T n 二占宀+切屿+…+外九+ 114.（2018 •广西玉林一模）已知数列｛a n ｝中,a i =1,a n+i =" + B （n €N ）.1=(久 M )+( 0-厚)+ …+(1 1 n + l -n+ 11712)=2』+ 2=m + 2).* 1(1)求证:(％迈)为等比数列，并求｛a n ｝的通项公式a n ；n⑵ 数列｛b n ｝满足b n =(3n-1) •a n ,求数列｛b n ｝的前n 项和T n .%解：(1)因为a i =1,a n+i 冈+丐1 。

《数列求通项、和》word版

数列求通项、和及综合应用一、求通项根据条件求数列的通项公式： (1)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2； (2)a 1＝1，a n ＋1＝(n ＋1)a n ；(3))12(,011-+==+n a a a n n (n ∈N*)；二、求和题型一：公式法求和例1.设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( ) A.n 24＋7n 4 B.n 23＋5n 3 C.n 22＋3n 4 D ．n 2＋n题型二：分组转化求和例2.已知数列{na }的前n 项是3＋2－1,6＋22－1,9＋32－1,12＋42－1，…，写出数列{n a }的通项并求其前n 项和n S变式：已知数列{n a }是等比数列，{n b }是等差数列，且1b ＝0，数列{n c }满足n c ＝n a ＋n b ，它的前4项依次是1，a,2a,2，求数列{n c }的前n 项和．题型三：错位相减法求和例3.已知数列{n a }满足123121,,,,----n n a a a a a a a ，…是首项为1，公比为a 的等比数列． (1)求n a ；(2)如果a ＝2，n b ＝(2n －1) n a ，求数列{n b }的前n 项和Sn .变式：设数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n ＝2－2S n ；数列{a n }为等差数列且a 5＝14，a 7＝20. (1)求数列{b n }的通项公式；(2)若c n ＝a n ·b n (n ∈N *)，T n 为数列{c n }的前n 项和，求证：T n ＜72.题型四：裂项相消求和例4.已知正项数列{a n }的前n 项和S n ，方程 x 2＋4x －4S n ＝0有一根为a n －1. (1)求数列{a n }的通项a n ；(2)令T n ＝1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n，求T n .变式：数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数为 .题型五：倒序相加法求和例5. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是函数f (x )＝12＋log 2x 1－x 的图象上的任意两点，且O ＝12(O＋O )，已知点M 的横坐标为12.(1)求证：点M 的纵坐标为定值；(2)若S n ＝∑i ＝1n －1f (i n)，其中n ∈N *且n ≥2，求S n ；(3)已知a n＝⎩⎪⎨⎪⎧23 (n ＝1)1(S n＋1)(S n ＋1＋1)， (n ≥2)，其中n ∈N *，T n 为数列{a n }的前n 项和，若T n <λ(S n ＋1＋1)对于一切n ∈N *都成立，试求λ的取值范围．题型六：并向法求和例6.数列{()n n⋅-1 }的前2 010项的和2010S为()A ．－2 010B ．－1 005C ．2 010D ．1 005当堂检测：1．等差数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋1，数列b n ＝1a n a n －1，其前n 项和为S n ，则S n 等于( )A.2n 2n ＋1 B.n 2n ＋1 C.n2n －1D ．以上都不对 3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝( )A ．66B ．65C ．61D ．564.设a n ＝－n 2＋17n ＋18，则数列{a n }从首项到第几项的和最大( )A ．17B ．18C ．17或18D ．195．数列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋22＋…＋2n －1，…的前n 项和S n >1 020，那么n 的最小值是( )A ．7B ．8C ．9D ．10 6．若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋3n (n ∈N *)，则a 12＋a 23＋…＋a nn ＋1＝______.7．有限数列{a n }中，S n 为{a n }的前n 项和，若把S 1＋S 2＋…＋S nn称为数列{a n }的“优化和”，现有一个共2 009项的数列；a 1，a 2，a 3，…，a 2 009，若其“优化和”为2 010，则有2 010项的数列：1，a 1，a 2，a 3，…，a 2 009的优化和为______． 8．设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项；(2)设b n ＝n a n，求数列{b n }的前n 项和S n .9.数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋a n －1＋2n －1＝0(n ∈N *且n ≥2)． (1)求a 2、a 3的值；(2)证明：数列{a n ＋n }是等比数列，并求{a n }的通项公式； (3)求数列{a n }的前n 项和S n .。

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数列求和的基本方法和技巧数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n5、 213)]1(21[+==∑=n n k S nk n [例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）＝xx x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21 练习设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.练习：求11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和.练习：1113.1___1212312s n=++++=++++++二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例2] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积设n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② （设制错位）①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ 练习．已知数列)0()12(,,5,3,112≠--a a n a a n ，求前n 项和。

练习：求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和.三、倒序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例3] 求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..②（反序）又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得（反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.5练习1：求222222222222123101102938101++++++++ 的和． :练习2：已知(),1x f x x =+求111(1)(2)(2008)()()()(1)__200820072f f f f f f f ++++++++=四、裂项法求和裂项相消法：将数列的通项分成二项的差的形式，相加消去中间项，剩下有限项再求和的方法。

通项分解（裂项）如：（1）)()1(n f n f a n -+= （2）n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n（5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n(6) nn n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则常用技巧有： ①)11(1)(1k n n k k n n +-=+； ②)(11n k n k n k n -+=++③)121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n ； ④!)!1(!n n n n -+=⋅⑤])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n[例4] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.解：设n n n n a n -+=++=111则 11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n[例5] 求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++ 解：设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S∵n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ ∴89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S ＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1sin 1-+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1 -＝1cot 1sin 1⋅＝ 1sin 1cos 2 ∴ 原等式成立练习：在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n n n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.练习;.求和)12)(12()2(534312222+-++⋅+⋅=n n n S n五、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例6] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n a a a S n n)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn +当1≠a 时，2)13(1111n n aa S n -+--=＝2)13(11n n a a a n-+---练习：求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.练习：求数列11111246248162n n ++ ，，，，，的前n 项和n S ．练习：(2)21n n =-+-n n 数列{a }满足：a ，求前n 项和___=n S六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .[例7] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.解：设S n ＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°∵ )180cos(cos n n --=∴S n ＝（cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+··· +（cos89°+ cos91°）+ cos90°＝ 0练习：在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值.练习：S n =1-3+5-7+9-…+(-1)1-n (2n-1)=______练习：求22222212979899100-++-+-七、分组数列求和[例8]求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n 项和n Skk k k k k k k k k a k 23252)]23()12[()]1()12[()12(2)12(2-=-+-=-+-+++++-=2)1(236)12)(1(25)21(23)21(2522221+-++⋅=+++-+++=+++=n n n n n n n a a a S n n)25)(1(61-+=n n n练习：求数列1,3+5,7+9+11,13+15+17+19，…前n 项和n S八、其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等[例9]已知数列{}n n n n S n a a 求],)1([2,---=。

思路分析：n n n a )1(22---=，通过分组，对n 分奇偶讨论求和。

解：nn n a )1(22-+-=，若∑=-+++++-===mk km n m S S m n 212)1(2)2321(2,2 则)1(2)12()2321(2+-=+-=++++-=n n m m m S n若)12(22)12(])1(2[22)12(,1222212-++-=--++-=-==-=-m m m m m m a S S S m n m m m m n 则22)1()1(224222---=-+++-=-+-=n n n n m m⎩⎨⎧---+-=∴)(2)()1(2为正奇数为正偶数n n n n n n S n [例10]已知数列{}n a 的通项65()2()n n n n a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求其前n 项和n S ．解：奇数项组成以11a =为首项，公差为12的等差数列，偶数项组成以24a =为首项，公比为4的等比数列；当n 为奇数时，奇数项有12n +项，偶数项有12n -项， ∴1121(165)4(14)(1)(32)4(21)221423n n n n n n n S --++--+--=+=+-，当n 为偶数时，奇数项和偶数项分别有2n项，∴2(165)4(14)(32)4(21)221423n n n n n n n S +----=+=+-，所以，1(1)(32)4(21)()23(32)4(21)()23n n nn n n S n n n -⎧+--+⎪⎪=⎨--⎪+⎪⎩为奇数为偶数．高考在线1．在等差数列{}n a 中，11a =，前n 项和n S 满足条件242,1,2,1n n S n n S n +==+ ，（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记(0)n a n n b a p p =>，求数列{}n b 的前n 项和n T 。