江苏省高二下学期期末数学试卷
江苏省淮安市2022-2023学年高二下学期期末数学试题(原卷版)
淮安市2022~2023学年度第二学期高二年级期末调研测试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}12M x x =+<，{}1N x a x =<<，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）A. (],3−∞−B. (),3−∞−C. [)3,1−D. ()3,1−2. 已知直线l 的方向向量()1,1,2e −− ，平面α的法向量1,,12n λ=−，若l α⊥，则λ=（ ）A. 52−B. 12−C.12D.523. 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中至少有1名女生的概率是（ ） A.15B.25C.35D.454. 若0x >，0y >，称a =是x ，y 的几何平均数，211b x y=+是x ，y 的调和平均数，则“3a >”是“3b >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有2个阳爻且2个阳爻不相邻的概率是（ ）A.172B.532C.516D.236. 已知四棱锥P ABCD −的底面为正方形，PA ⊥平面ABCD ，1==PA AB ，点E 是BC 的中点，则点E 到直线PD 的距离是（ ）A.B.C.D.7. 某中学举行夏季运动会，共有3类比赛9个项目：集体赛2项，田赛3项，径赛4项．要求参赛者每人至多报3项，且集体赛至少报1项，则每人有（ ）种报名方式 A. 49B. 64C. 66D. 738. 设A ，B 是一个随机试验中两个事件，且()13P B =，()56P B A =，()12P B A =，则（ ）A. ()13P A =B. ()16P AB =C. ()34P A B +=D. ()14P A B =二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 若0a b c <<<，则下列不等式中正确的有（ ） A. 0a b +>B.c c a b> C.b b ca a c+>+ D. 11a b b a+<+ 10. 如图是某小卖部5天卖出热茶的杯数（单位：杯）与当天气温（单位：℃）的散点图，若去掉()7,35B 后，下列说法正确的有（ ）A. 决定系数2R 变大B. 变量x 与y 的相关性变弱C. 相关系数r 的绝对值变大D. 当气温为11℃时，卖出热茶的杯数估计为35杯11. 有甲、乙、丙等5名同学聚会，下列说法正确的有（ ） A. 5名同学每两人握手1次，共握手20次 B. 5名同学相互赠送祝福卡片，共需要卡片20张 C. 5名同学围成一圈做游戏，有120种排法D. 5名同学站成一排拍照，甲、乙相邻，且丙不站正中间，有40种排法12. 在正四棱锥P ABCD −中，AB =，PA =，点Q 满足PQ PA x AB y AD =++，其中[]0,1x ∈，[]0,1y ∈，则下列结论正确的有（ ）的A. PQB. 当1x =时，三棱锥P ADQ −的体积为定值C. 当x y =时，PB 与PQ 所成角可能为π6D. 当1x y +=时，AB 与平面PAQ三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 随机变量()25,X N σ∼，()138P X <=，则()37P X ≤<=______． 14. 在三棱柱111ABC A B C 中，点M 在线段1CB 上，且12CM MB =，若以{}1,,AB AC AA为基底表示AM ，则AM =______．15. 已知1x ≠−，且0x ≠，则()()()()2391111x x x x ++++++++ 的展开式中2x 项的系数是______．（用数字作答）16. 已知随机变量ξ的概率分布列如下表所示，当()34E ξ=时，()21D ξ+=______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知()2nx y −展开式中仅有第4项的二项式系数最大．（1）求展开式的第2项；（2）求展开式的奇数项系数之和．18. 某乡政府为提高当地农民收入，指导农民种植药材，取得较好的效果．以下是某农户近5年种植药材的平均收入的统计数据： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 年份代码x1 2 3 4 5 平均收入y （千元） 5961646873的（1）根据表中数据，现有y a bx =+与2y c dx =+两种模型可以拟合y 与x 之间的关系，请分别求出两种模型的回归方程；（结果保留一位小数）（2）统计学中常通过比较残差的平方和来比较两个模型的拟合效果，请根据残差平方和说明上述两个方程哪一个拟合效果更好，并据此预测2023年该农户种植药材的平均收入．参考数据及公式：()()1217n iii t t y y =−−=∑，()21374nii t t =−=∑，其中2i i t x=．()()()121nii i nii xx y yb xx==−−=−∑∑ ，a y bx =− ．19. 淮安西游乐园推出的西游主题毛绒公仔，具有造型逼真可爱、触感柔软等特点，深受学生喜爱．某调查机构在参观西游乐园的游客中随机抽取了200名学生，对是否有购买西游主题毛绒公仔的意愿进行调查，得到以下的22×列联表： 有购买意愿 没有购买意愿 合计 男 40 女 60 合计50（1）完成上述22×列联表，根据以上数据，判断是否有99%的把握认为购买西游主题毛绒公仔与学生的性别有关？（2）某文创商店为了宣传推广西游主题毛绒公仔产品，设计了一个游戏：在三个外观大小都一样袋子中，分别放大小相同的1个红球和3个蓝球，2个红球和2个蓝球，以及3个红球和1个蓝球．游客可以从三个袋子中任选一个，再从中任取2个球，若取出2个红球，则可以获赠一套西游主题毛绒公仔．现有3名同学参加该游戏，ξ表示3名同学中获赠一套毛绒公仔的人数，求随机变量ξ的概率分布及数学期望．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d −=++++，其中n a b c d =+++．的()2P K k ≥00500.010 0.001 k3.8416.63510.82820. 如图，正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，点P 是对角线1BD 上异于B ，1D 的点，记1BPBD λ=．（1）当APC ∠为锐角时，求实数λ的取值范围； （2）当二面角P AC B −−的大小为4π时，求点1B 到平面PAC 的距离．21. 已知函数()22,24,22x mx x f x m x x x −+≤= −+> −，m ∈R ． （1）当2x ≤时，求()0f x >的解集；（2）若()f x 的最大值为3，求的值．22. 投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏．晋代在广泛开展投壶活动中，对投壶的壶也有所改进，即在壶口两旁增添两耳，因此在投壶的花式上就多了许多名目，如“贯耳（投入壶耳）”等．现有甲、乙两人进行投壶游戏，规定投入壶口一次得1分，投入壶耳一次得2分，其余情况不得分．已知甲投入壶口的概率为13，投入壶耳的概率为16；乙投入壶口的概率为23，投入壶耳的概率为13．假设甲乙两人每次投壶是否投中相互独立．（1）求甲投壶3次得分为3分的概率； （2）求乙投壶多少次，得分为8分概率最大．.的。
江苏省苏州市2023-2024学年高二下学期6月期末考试 数学含答案
苏州市2023~2024学年第二学期学业质量阳光指标调研卷高二数学（答案在最后）2024.6注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本卷共4页，包含单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第1l 题）、填空题（第12题～第14题）、解答题（第15题～第19题）．本卷满分150分，答题时间为120分钟，答题结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数2()1f x x =-+在[1,1.1]上的平均变化率为（）A.0.21 B.2.1C.－0.21D.-2.12.设全集{}3,1,0,1,3U =--，集合{}1,0,1A =-，{}3,B y y x x A ==∈，则U A B =I ð（）A.{3,0,3}- B.{1,0,1}- C.{1,1}- D.{0}3.对于满足4n ≥的任意正整数n ，45n ⨯⨯⋅⋅⋅⨯=（）A.3A nB.4A nC.4A n n - D.3A n n-4.已知a ,b ∈R ,则“0a b >>”是“11a b +>+”的什么条件A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.已知幂函数()221()1m f x m m x -+=+-在(0,)+∞上单调递减，则实数m 的值为（）A .2-或1B.1-或2C.1D.2-6.在一个口袋中装有大小和质地均相同的5个白球和3个黄球，第一次从中随机摸出一个球，观察其颜色后放回，同时在袋中加入两个与所取球完全相同的球，第二次再从中随机摸出一个球，则此次摸出的是黄球的概率为（）A.316B.38C.45D.127.设34a =，3log 2b =，11sin 44c =+，则（）A.a b c>> B.c b a>> C.a c b>> D.b a c>>8.已知5名同学排成一排合影留念，若甲不站在两端，乙不站在正中间，则不同的排法共有（）A.48种B.60种C.66种D.72种二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法中正确的有（）A.若随机变量x ，y 满足经验回归方程ˆ0.0249.76yx =-+，则x ，y 的取值呈现正相关B.若随机变量~(3,)X N σ，且(6)0.15P X >=，则(0)0.15P X <=C.若事件,A B 相互独立，则(|)()P A B P A =D.若5件产品中有2件次品，采取无放回的方式随机抽取3件，则抽取的3件产品中次品数为1的概率是3510.拐点（Inflection Point ）又称反曲点，是一条连续曲线由凸转凹或由凹转凸的点，直观地说，是使切线穿越曲线的点（即连续曲线的凹弧与凸弧的分界点）．拐点在统计学、物理学、经济学等领域都有重要应用．设函数()f x 对于区间(,)a b 内任一点都可导，且函数()()g x f x '=对于区间(,)a b 内任一点都可导，若0(,)x a b ∃∈，使得()00g x '=，且在0x x =的两侧()g x '的符号相反，则称点()()00,x f x 为曲线()y f x =的拐点．以下函数具有唯一拐点的有（）A.32()f x x x =+ B.311()3f x x x=+，0x >C.2()x f x a x =-（0a >，且1a ≠）D.()ln sin f x x x=+11.已知定义域为R 的连续函数()f x 满足e ()e ()()x x y f x y f x f y +-=+-，2(1)e f -=-，则（）A.(0)0f = B.e ()x f x 为奇函数C.()f x 在(,0)-∞上单调递减D.()f x 在(0,)+∞上的最大值为1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.98被6除所得的余数为______．13.已知随机变量x ，y 的五组观测数据如下表：x12345y1.1e - 1.6e a6.5e 9e 由表中数据通过模型e mx n y +=得到经验回归方程为 2.6 3.8ˆe x y-=，则实数a 的值为______．14.已知函数32()(,,)f x x ax bx c a b c =+++∈R ，若关于x 的不等式()0f x <的解集为{|3x x t <+且}x t ≠，则()f x 的极小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知(13)nx -（其中x ∈R *n ∈N ）的展开式中第2项的二项式系数与第3项的二项式系数之和为36．（1）求n ；（2）记2012(13)nnn x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，求31223(1)3333n n n a a a a -+-+⋅⋅⋅+-的值．16.已知某射击运动员每次射击命中10环的概率为45，每次射击的结果相互独立，共进行4次射击．（1）求恰有3次命中10环的概率；（2）求至多有3次命中10环的概率；（3）设命中10环的次数为X ，求随机变量X 的数学期望()E X 和方差()D X ．17.已知函数12()(R)22x x tf x t +-=∈--为奇函数．（1）设函数1()2g x f x t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，求122023202420242024g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值；（2）若关于x 的方程()()4320xxf f a a ++-⋅-=有实数根，求实数a 的取值范围．18.某学校组织100名学生去高校参加社会实践．为了了解学生性别与颜色喜好的关系，准备了足量的红、蓝颜色的两种帽子，它们除颜色外完全相同．每位学生根据个人喜好领取1顶帽子，学校统计学生所领帽子的颜色，得到了如下22⨯列联表．红色蓝色合计男202545女401555合计6040100（1）是否有99%的把握认为“喜好红色或蓝色与性别有关”；（2）在进入高校某实验室前，需要将帽子临时存放，为此学校准备了标号为1号到7号的7个箱子，现从中随机选取4个箱子，①求所选的4个箱子的标号数之和为奇数的概率；②记所选的箱子中有X 对相邻序号（如：所选箱子的标号为1，2，3，5，则1，2和2，3为2对相邻序号，所以2X =），求随机变量X 的分布列和数学期望()E X ．附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．α0.10.050.01ax 2.7063.8416.63519.已知函数()()1ln f x x x =+．（1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若关于x 的不等式()(1)f x m x >-在(1,)+∞上恒成立，求实数m 的最大值；（3）若关于x 的方程2()(1)10()f x ax a x a ++++=∈R 有两个实根1x ，()212x x x ≠，求证：121123a a x x -<+<+．苏州市2023~2024学年第二学期学业质量阳光指标调研卷高二数学2024.6注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本卷共4页，包含单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第1l 题）、填空题（第12题～第14题）、解答题（第15题～第19题）．本卷满分150分，答题时间为120分钟，答题结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数2()1f x x =-+在[1,1.1]上的平均变化率为（）A.0.21 B.2.1C.－0.21D.-2.1【答案】D 【解析】【分析】根据平均变化率的公式计算即可.【详解】函数2()1f x x =-+在[1,1.1]上的平均变化率()()1.110.2102.11.110.1f f ---===--.故选:D2.设全集{}3,1,0,1,3U =--，集合{}1,0,1A =-，{}3,B y y x x A ==∈，则U A B =I ð（）A.{3,0,3}-B.{1,0,1}- C.{1,1}- D.{0}【答案】C 【解析】【分析】先求出集合B ，再根据补集和交集的定义即可得解.【详解】{}{}3,3,0,3B y y x x A ==∈=-，则{}1,1U B =-ð，所以{1,1}U A B =- ð.故选：C.3.对于满足4n ≥的任意正整数n ，45n ⨯⨯⋅⋅⋅⨯=（）A.3A n B.4A nC.4A n n - D.3A n n-【答案】D 【解析】【分析】根据排列数公式即可判断.【详解】易得45A n-3n n ⨯⨯⋅⋅⋅⨯=，故选：D.4.已知a ,b ∈R ,则“0a b >>”是“11a b +>+”的什么条件A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】分别从充分性和必要性入手进行分析即可.【详解】充分性：0a b >>⇒11a b +>+，充分性成立；必要性：当2,1a b =-=-时，11a b +>+成立，但0a b <<，故必要性不成立；所以“0a b >>”是“11a b +>+”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断，考查推理能力，属于常考题.5.已知幂函数()221()1m f x m m x -+=+-在(0,)+∞上单调递减，则实数m 的值为（）A.2-或1B.1-或2C.1D.2-【答案】C 【解析】【分析】根据幂函数的定义和性质求解即可.【详解】因为幂函数()221()1m f x m m x-+=+-在(0,)+∞上单调递减，所以211210m m m ⎧+-=⎨-+<⎩，解得1m =.故选：C .6.在一个口袋中装有大小和质地均相同的5个白球和3个黄球，第一次从中随机摸出一个球，观察其颜色后放回，同时在袋中加入两个与所取球完全相同的球，第二次再从中随机摸出一个球，则此次摸出的是黄球的概率为（）A.316B.38C.45D.12【答案】B 【解析】【分析】借助全概率公式计算即可得.【详解】设事件A 为第一次从中随机摸出一个球的颜色为白色，事件B 为第二次再从中随机摸出一个球是黄球，则()()()()()+P B P A P B A P A P B A=⋅⋅53313338108216168=⨯+⨯=+=.故选：B .7.设34a =，3log 2b =，11sin 44c =+，则（）A.a b c >>B.c b a>> C.a c b>> D.b a c>>【答案】A 【解析】【分析】根据指数函数与对数函数的单调性即可比较,a b ，构造函数()sin x x x f -=，利用导数判断函数的单调性，即可比较11,sin 44的大小，进而可比较,b c 的大小，即可得解.【详解】因为31111444223333333log 3log 27log 25log 5log 4log 24a ===>=>=，所以a b >，令()sin x x x f -=，则()1cos 0f x x '=-≥，所以()f x 在R 上为增函数，所以()1004f f ⎛⎫>=⎪⎝⎭，即11sin 044->，所以11sin 44>，则3311111log 2log sin 24444b =>==+>+，即bc >，综上所述，a b c >>.故选：A.8.已知5名同学排成一排合影留念，若甲不站在两端，乙不站在正中间，则不同的排法共有（）A.48种B.60种C.66种D.72种【答案】B 【解析】【分析】分甲站在正中间与甲不站在正中间讨论即可得.【详解】若甲站在正中间，则共有1414A A 种排法，若甲不站在正中间，先排甲有12C 种，再排乙有13C 种，最后三人任意排有33A 种，则共有113233C C A 种排法，综上，共有1411314233A A C C A 24+3660+==种不同排法.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法中正确的有（）A.若随机变量x ，y 满足经验回归方程ˆ0.0249.76yx =-+，则x ，y 的取值呈现正相关B.若随机变量~(3,)X N σ，且(6)0.15P X >=，则(0)0.15P X <=C.若事件,A B 相互独立，则(|)()P A B P A =D.若5件产品中有2件次品，采取无放回的方式随机抽取3件，则抽取的3件产品中次品数为1的概率是35【答案】BCD 【解析】【分析】根据回归方程即可判断A ；根据正态分布的对称性即可判断B ；根据相互独立事件的概率公式及条件概率公式即可判断C ；根据古典概型的概率公式即可判断D.【详解】对于A ，因为随机变量x ，y 满足经验回归方程ˆ0.0249.76yx =-+，所以x ，y 的取值呈现负相关，故A 错误；对于B ，因为随机变量~(3,)X N σ，且(6)0.15P X >=，所以()()060.15P X P x <=>=，故B 正确；对于C ，若事件,A B 相互独立，则()()()P AB P A P B =，所以()()()()|==P AB P A B P A P B ，故C 正确；对于D ，由题意抽取的3件产品中次品数为1的概率122335C C 3C 5P ==，故D 正确.故选：BCD .10.拐点（Inflection Point ）又称反曲点，是一条连续曲线由凸转凹或由凹转凸的点，直观地说，是使切线穿越曲线的点（即连续曲线的凹弧与凸弧的分界点）．拐点在统计学、物理学、经济学等领域都有重要应用．设函数()f x 对于区间(,)a b 内任一点都可导，且函数()()g x f x '=对于区间(,)a b 内任一点都可导，若0(,)x a b ∃∈，使得()00g x '=，且在0x x =的两侧()g x '的符号相反，则称点()()00,x f x 为曲线()y f x =的拐点．以下函数具有唯一拐点的有（）A.32()f x x x =+ B.311()3f x x x=+，0x >C.2()x f x a x =-（0a >，且1a ≠） D.()ln sin f x x x=+【答案】AC 【解析】【分析】拐点即二阶导数的变号零点，求出二阶导数以后逐一分析即可，其中D 需要找到两个拐点即可排除D.【详解】对于A ：()()232g x f x x x ==+'，()62g x x '=+，令()0g x '=得13x =-，当13x >-时，()0g x '>，当13x <-时，()0g x '<，12327f⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以12,327⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 的拐点，故A 正确；对于B ：()()221g x f x x x ==-'，()322g x x x+'=，0x >，令()0g x '=，方程无解，所以()f x 无拐点，故B 错误；对于C ：()()ln 2xg x f x a a x ='=-，()2ln 2xg x a a ='-，令()0g x '=得22log ln ax a=，当1a >且22log ln ax a >时，()0g x '>，当1a >且当22log ln a x a <时，()0g x '<，当01a <<且22log ln a x a >时，()0g x '<，当01a <<且22log ln a x a<时，()0g x '>，2222222log log ln ln ln a a f a a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以2222222log ,log ln ln ln a a a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 唯一拐点，故C 正确；对于D ：()()1cos g x f x x x ==+'，()21sin g x x x -'=-，因为()3ππ0,02g g ⎛⎫⎝'⎪⎭'，所以()0g x '=在3ππ,2⎛⎫⎪⎝⎭至少有一个零点1x 且为变号零点，又因为()π0,π02g g ⎛⎫->-< ⎪''⎝⎭，所以()0g x '=在ππ,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭至少有一个零点2x 且为变号零点所以()f x 有拐点但不唯一，故D 错误.故选：AC11.已知定义域为R 的连续函数()f x 满足e ()e ()()x x y f x y f x f y +-=+-，2(1)e f -=-，则（）A.(0)0f = B.e ()x f x 为奇函数C.()f x 在(,0)-∞上单调递减D.()f x 在(0,)+∞上的最大值为1【答案】ABD 【解析】【分析】令0x y ==，即可判断A ；由e ()e ()()x x y f x y f x f y +-=+-，得e ()e ()e ()x y x yf x y f x f y ---=+-，令()e ()xg x f x =，则()()()g x y g x g y -=+-，令0x y ==，即可判断B ；关于x 求导得，()()g x y g x -'='，从而可求出()g x d 的解析式，进而可求出()f x 的解析式，再利用导数即可判断CD .【详解】对于A ，令0x y ==，则()()()000f f f =+，所以()00f =，故A 正确；对于B ，由e ()e ()()x x y f x y f x f y +-=+-，得e ()e ()e ()x y x y f x y f x f y ---=+-，令()e ()xg x f x =，则()()()g x y g x g y -=+-，令0x y ==，则()()()000g g g =+，所以()00g =，令y x =，则()()()00g g x g x =+-=，所以()g x 为奇函数，即e ()x f x 为奇函数，故B 正确；由()()()g x y g x g y -=+-，关于x 求导得，()()g x y g x -'='，令()()Δ,y x h x g x -=='，则()()()()()Δ0Δ0ΔΔlimlim0ΔΔx x h x x h x g x x g x h x xx→→+-+-==''='，所以()h x C =（C 为常数），即()g x C '=，所以()g x Cx t =+（,C t 为常数），因为()()()1200,1e ee g g -=-=⨯-=-，所以()e g x x =，所以()e ex xf x =，则()()e 1exx f x ='-，当1x <时，()0f x '>，当1x >时，()0f x '<，所以()f x 在(),1∞-上单调递增，在()1,∞+上单调递减，所以()()max 11f x f ==，故C 错误；D 正确.故选：ABD .【点睛】关键点点睛：由e ()e ()()x x y f x y f x f y +-=+-，得出e ()e ()e ()x y x y f x y f x f y ---=+-，是解决本题的关键.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.98被6除所得的余数为______．【答案】2【解析】【分析】把98用二项式定理展开，把问题转化为92被6的余数.【详解】()990918272889999999862C 6C 62C 62C 62C 2=+=+⨯+⨯+⨯+ ，展开式的前9项都能被6整除，只有最后一项不能被6整除，所以问题转化为92被6的余数，而92512=，被6除的余数为2，所以98被6除的余数为2.故答案为：213.已知随机变量x ，y 的五组观测数据如下表：x12345y1.1e - 1.6e a6.5e 9e 由表中数据通过模型e mx n y +=得到经验回归方程为 2.6 3.8ˆe x y-=，则实数a 的值为______．【答案】4e 【解析】【分析】令ln z y =，则 2.6 3.8zx =- ，求出,x z ，再根据线性回归方程必过样本中心点即可得解.【详解】令ln z y =，则 1.1 1.6 6.5912345ln e ln e ln ln e ln e 16ln 3,555a ax z -+++++++++===，因为 2.6 3.8ˆe x y-=，所以 2.6 3.8z x =- ，所以16ln 2.63 3.85a+⨯-=，解得4e a =.故答案为：4e .14.已知函数32()(,,)f x x ax bx c a b c =+++∈R ，若关于x 的不等式()0f x <的解集为{|3x x t <+且}x t ≠，则()f x 的极小值为______．【答案】4-【解析】【分析】结合三次函数的性质可得函数解析式，借助导数可得其单调性即可得其极小值.【详解】由题意可得()()232()3f x x ax bx c x t x t =+++=---，即()()()()()()22332f x x t x t x t x t x t =-+---=---'，当()(),2,x t t ∞∞∈-⋃++时，()0f x '>，当(),2x t t ∈+时，()0f x '<，故()f x 在(),t ∞-、()2,t ∞++上单调递增，在(),2t t +上单调递减，共有()f x 的极小值为()()()222232124f t t t t t +=+--+-=-⨯=-.故答案为：4-.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知(13)nx -（其中x ∈R *n ∈N ）的展开式中第2项的二项式系数与第3项的二项式系数之和为36．（1）求n ；（2）记2012(13)n nn x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，求31223(1)3333n n n a a a a -+-+⋅⋅⋅+-的值．【答案】（1）8（2）255【解析】【分析】（1）根据第2项的二项式系数与第3项的二项式系数之和为36得12C C 36n n +=，即可求n ；（2）先令0x =，则01a =，再令13x =-，则83812023823333a a a a a =-+-++ 即可求解.【小问1详解】由题意，二项式(13)n x -的通项公式为1C (3)rrr n T x +=-，根据第2项的二项式系数与第3项的二项式系数之和为36得12C C 36n n +=，即2720n n +-=，*Nn ∈解得8n =.【小问2详解】由（1）可知8280128(13)x a a x a x a x -=++++ ，令0x =，则01a =，令13x =-，则83812023823333a a a a a =-+-++ ，则38122382553333a a a a -+-++= .16.已知某射击运动员每次射击命中10环的概率为45，每次射击的结果相互独立，共进行4次射击．（1）求恰有3次命中10环的概率；（2）求至多有3次命中10环的概率；（3）设命中10环的次数为X ，求随机变量X 的数学期望()E X 和方差()D X ．【答案】（1）256625（2）369625（3）165EX =；1625DX =【解析】【分析】（1）直接根据二项分布的概率公式计算即可；（2）用对立事件法求概率；（3）直接代入二项分布的期望和方差公式即可.【小问1详解】设运动员每次射击命中10环为随机变量ξ，则由题意可知44,5B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则恰有3次命中10环的概率即()3134412563C 55625P ξ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；【小问2详解】至多有3次命中10环的概率即()()44443693141C 5625P P ξξ⎛⎫≤=-==-= ⎪⎝⎭；【小问3详解】416455EX np ==⨯=，()4116145525DX np p =-=⨯⨯=.17.已知函数12()(R)22x x tf x t +-=∈--为奇函数．（1）设函数1()2g x f x t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，求122023202420242024g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值；（2）若关于x 的方程()()4320xxf f a a ++-⋅-=有实数根，求实数a 的取值范围．【答案】（1）2023（2）2a ≥【解析】【分析】（1）由函数()f x 为奇函数可得()00f =，即可求出a ，再求出()()1g x g x +-的值即可得解；（2）先判断函数()f x 的单调性，根据函数()f x 为奇函数可得()()()4322x x x f f a a f a a +=--⋅-⋅+=，则问题转化为关于x 的方程432x x a a ⋅+=+，分离参数，再结合基本不等式即可得解.【小问1详解】函数的定义域为R ，因为函数12()(R)22x x tf x t +-=∈--为奇函数，所以()00f =，即1022t-=--，所以1t =，经检验，符合题意，所以121()22x x f x +-=--，则1()12g x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为()f x 为奇函数，所以()()0f x f x -+=，则()()1112222g x g x f x f x ⎛⎫⎛⎫+-=-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以122023202420242024g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1202322022202312024202420242024202420242g g g g g g ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦=2023220232⨯==；【小问2详解】121121211()22221221x x x x xf x +-+-==-⋅=-+--++，因为21x y =+是R 上的增函数，且恒大于零，所以()f x 在R 上单调递减，由()()4320xxf f a a ++-⋅-=，得()()()4322xxxf f a a f a a +=--⋅-⋅+=，所以432x x a a ⋅+=+，即()()2212214434212212121x x xx x x xa +-+++===++-+++，因为关于x 的方程()()4320xxf f a a ++-⋅-=有实数根，所以关于x 的方程421221xx a =++-+有实数根，而42122221x x ++-≥=+，当且仅当42121xx +=+，即0x =时取等号，所以2a ≥.18.某学校组织100名学生去高校参加社会实践．为了了解学生性别与颜色喜好的关系，准备了足量的红、蓝颜色的两种帽子，它们除颜色外完全相同．每位学生根据个人喜好领取1顶帽子，学校统计学生所领帽子的颜色，得到了如下22⨯列联表．红色蓝色合计男202545女401555合计6040100（1）是否有99%的把握认为“喜好红色或蓝色与性别有关”；（2）在进入高校某实验室前，需要将帽子临时存放，为此学校准备了标号为1号到7号的7个箱子，现从中随机选取4个箱子，①求所选的4个箱子的标号数之和为奇数的概率；②记所选的箱子中有X 对相邻序号（如：所选箱子的标号为1，2，3，5，则1，2和2，3为2对相邻序号，所以2X =），求随机变量X 的分布列和数学期望()E X ．附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．α0.10.050.01ax 2.7063.8416.635【答案】（1）有99%的把握认为“喜好红色或蓝色与性别有关”.（2）分布列见解析，12()7E X =【解析】【分析】（1）根据独立性检验计算判断结论；（2）根据古典概型计算概率；根据题意求离散型随机变量的可能取值及相应概率，列出分布列，根据数学期望公式计算出结果；【小问1详解】零假设0H :喜好红色或蓝色与性别无关，因为22100(20152540)24508.249 6.63560404555297⨯-⨯χ==≈>⨯⨯⨯，所以，根据独立性检验，没有充分证据推断0H 成立，因此有99%的把握认为“喜好红色或蓝色与性别有关”.【小问2详解】①根据题意可知箱子的标号有4个奇数3个偶数，标号为1号到7号的7个箱子，现从中随机选取4个箱子，设事件A 记为所选的4个箱子的标号数之和为奇数，则3113343447C C C C 16()C 35P A +==；②标号为1号到7号的7个箱子，现从中随机选取4个箱子，则选取4个箱子的所有情况有1234,1235,1236,1237,1245,1246,1247,1256,1257,1267,1345,1346,1347,1356,1357,1367,1456,1457,1467,1567,2345,2346,2347,2356,2357,2367,2456,2457,2467,2567,3456,3457,3467,3567,4567⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭记所选的箱子中有X 对相邻序号，可得0,1,2,3,X =则44471(0),C C 35P X ===47,C 1212(1)35P X ===47,C 1818(2)35P X ===47,C 44(3)35P X ===所以随机变量X 的分布列为X0123P13512351835435因此数学期望11218412()0123353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.19.已知函数()()1ln f x x x =+．（1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若关于x 的不等式()(1)f x m x >-在(1,)+∞上恒成立，求实数m 的最大值；（3）若关于x 的方程2()(1)10()f x ax a x a ++++=∈R 有两个实根1x ，()212x x x ≠，求证：121123a a x x -<+<+．【答案】（1）22y x =-（2）2（3）证明见解析【解析】【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得；（2）由题意可得()()1ln 10x x m x +-->在(1,)+∞上恒成立，则可构造函数()()()1ln 1g x x x m x =+--，求导后分2m ≤及m>2讨论其单调性，在m>2时结合零点的存在性定理研究，即可得m 的具体范围，即可得其最大值；（3）借助因式分解可将原问题转化为ln 10x ax ++=有两个实根，借助导数研究其单调性可得两根范围，借助换元法，令111t x =，221t x =，可得11221ln 11ln 1a t t a t t -⎧+=⎪⎪⎨-⎪+=⎪⎩，两式作差可得112221ln t t t t a t t ⋅=-，从而将证明12112a x x -<+转化为证明21211221ln 02t t t t t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭+>⋅，借助换元法令121t n t =>，即证21ln 02n n n -+>，构造相应函数，借助导数即可证明；再借助（2）中所得，结合两实根的范围，可得()()1111222221ln 1121ln 11t at t t t a t t t ⎧-=+>⎪+⎪⎨-⎪=+<⎪+⎩，即可得()()()()1112221313a t t t a t t t ⎧+>-⎪⎨-+>--⎪⎩，两式作差即可得证12113a x x +<+.【小问1详解】()11ln ln 1x f x x x x x ='+=+++，()11ln1121f =++='，又()()111ln10f =+=，则有()021y x -=-，即曲线()y f x =在1x =处的切线方程为22y x =-；【小问2详解】由题意可得()()1ln 10x x m x +-->在(1,)+∞上恒成立，令()()()1ln 1g x x x m x =+--，则()1ln 1g x x m x=++-'，令()()1ln 1x g x x m x α==++-'，则()22111x x x x xα'-=-=，则当(1,)x ∈+∞时，()0x α'>，故()g x '在(1,)+∞上单调递增，则当(1,)x ∈+∞时，()()11ln1121g x g m m >=++-='-'，当2m ≤时，()20g x m >'-≥，故()g x 在(1,)+∞上单调递增，有()()()12ln1110g x g m >=--=，符合要求，当m>2时，由()120g m ='-<，()11e ln e 110e emm m m g m =++-=+>'，则存在()01,emx ∈，使()00g x '=，即当()01,x x ∈时，()0g x '<，当()0,x x ∞∈+，()0g x '>，故()g x 在()01,x 上单调递减，在()0,x ∞+上单调递增，则()()010g x g <=，不符合要求，故舍去，综上所述，2m ≤，故实数m 的最大值为2；【小问3详解】()()()()()()()2111ln 111ln 10f x ax a x x x ax x x x ax ++++=++++=+++=，由0x >，即有ln 10x ax ++=有两个实根1x ，()212x x x ≠，令()ln 1x x ax μ=++，()1x a xμ'=+，当0a ≥时，()10x a xμ'=+>恒成立，()0x μ=不可能有两个实根，故舍去；当0a <，则10,x a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0x μ'>，当1,x a ∞⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭时，()0x μ'<，故()x μ在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递减，则有()11ln 11ln 0a a a μ⎛⎫⎛⎫-=--+=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()1,0a ∈-，又()1ln1110a a μ=++=+>，不妨令12x x <，则有12101x x a<<<-<，有1122ln 1ln 1x ax x ax +=-⎧⎨+=-⎩，令111t x =，221t x =，即有11221ln 11ln 1a t t a t t -⎧+=⎪⎪⎨-⎪+=⎪⎩，则有121211ln1ln 1a at t t t --+--=-，即()211212ln ln a t t t t t t --=，即112221lnt t t t a t t ⋅=-，则要证12112a x x -<+，只需证112212212ln tt t t t t t t ⋅-<+-，即证21211221ln 02t t t t t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭+>⋅，令121t n t =>，即证21ln 02n n n -+>，令()21ln 2x h x x x-=+，1x >，则()()()2222222421112420442x x x x x h x x x x x-----+-=+=-'=<恒成立，故()h x 在()1,∞+上单调递减，故()()111ln102h x h -<=+=，即有21ln 02n n n-+>在1n >时恒成立，故12112a x x -<+得证；由（2）可知，当2m =时，()(1)f x m x >-在()1,∞+上恒成立，即()21ln 01x x x -->+在()1,x ∞∈+上恒成立，则当()0,1x ∈时，()121211ln ln 0111x x x x x x⎛⎫- ⎪-⎝⎭-=-->++，即()21ln 01x x x --<+，由12101x x a<<<-<，则11t >、201t <<，故()11121ln 01t t t -->+，()22221ln 01t t t --<+，则()11121ln 1t t t ->+，()22221ln 1t t t -<+，又11221ln 11ln 1a t t a t t -⎧+=⎪⎪⎨-⎪+=⎪⎩，即()()1111222221ln 1121ln 11t a t t t t a t t t ⎧-=+>⎪+⎪⎨-⎪=+<⎪+⎩，即()()()()1112221313a t t t a t t t ⎧+>-⎪⎨+<-⎪⎩，即()()()()1112221313a t t t a t t t ⎧+>-⎪⎨-+>--⎪⎩，则有()()()()1211221133a t a t t t t t +-+>---，整理得()()221212123a t t t t t t ->---，即123a t t >+-，即123t t a +<+，即12113a x x +<+；综上，121123a a x x -<+<+得证.【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助换元法，令111t x =，221t x =，从而将证明121123a a x x -<+<+转换为证明1223a t t a -<+<+.。
2022-2023学年江苏省泰州市高二下学期期末考数学试卷含详解
2022～2023学年度第二学期期末考试高二数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知向量()1,2,3m =与()2,,6n x =r垂直，则实数x 的值为（）A.10- B.4- C.4D.102.书架上有3本不同的数学书，4本不同的物理书，图书管理员从中任取2本，则不同的取法种数为（）A.7B.12C.21D.423.口袋中有2个黑球，2个红球和1个白球，这些球除颜色外完全相同.任取两球，用随机变量X 表示取到的黑球数，则()2P X =的值为（）A.15B.110C.310D.354.某中学通过问卷调查的形式统计了该校1000名学生完成作业所需的时间，发现这些学生每天完成作业所需的时间（单位：小时）近似地服从正态分布11,16N ⎛⎫⎪⎝⎭.则这1000名学生中每天完成作业所需的时间不少于1.5小时的人数大约为（）附：随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.683P μσξμσ-<<+≈，()220.954P μσξμσ-<<+≈.A.23B.46C.158D.3175.在()()()()1234x x x x ++++的展开式中，含3x 的项的系数为（）A.6B.10C.24D.356.已知x ，y 的取值如下表所示，从散点图分析可知y 与x 线性相关，如果线性回归方程为0.95 2.5y x =+$，则下列说法不正确的是（）x1234y2.3 4.3 4.44.8mA.m 的值为6.2B.回归直线必过点（2，4.4）C.样本点（4，m ）处的残差为0.1D.将此图表中的点（2，4.4）去掉后，样本相关系数r 不变7.已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为2，底面ABC 是边长为2的正三角形，1160A AB A AC ∠=∠=︒，若1B C和1BC 相交于点M .则AM =（）A.B.2C.D.8.在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名，由马尔可夫不等式知，若ξ是只取非负值的随机变量，则对0a ∀>，都有()()E P a aξξ≥≤.某市去年的人均年收入为10万元，记“从该市任意选取3名市民，则恰有1名市民去年的年收入超过100万元”为事件A ，其概率为()P A .则()P A 的最大值为（）A.271000B.2431000 C.427D.49二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.随机变量X 服从以下概率分布：X 1-123P13ab16若()1E X =，则下列说法正确的有（）A.16a =B.16b =C.()313E X -= D.()73D X =10.关于二项式522x⎛⎝的展开式，下列说法正确的有（）A.含5x 的项的系数为80-B.二项式系数和为32C.常数项为10D.只有第3项的二项式系数最大11.下列说法正确的有（）A.若随机变量X ～0－1分布，则方差()14D X ≤B.正态密度曲线在曲线下方和x 轴上方范围内的区域面积为1C.若两个变量的相关性越强，则其相关系数越接近于1D.若()12P A =，()13P B =，()16P AB =，则事件A 与B 相互独立12.如图，正方形ABCD 的边长为2，AE 和CF 都与平面ABCD 垂直，24AE CF ==，点P 在棱DE 上，则下列说法正确的有（）A.四面体BDEF 外接球的表面积为68π3B.四面体BDEF 外接球的球心到直线AE 2C.当点P 为DE 的中点时，点P 到平面BEF 的距离为62D.直线EF 与平面PAB 所成角的正弦值的最大值为63三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.计算：01233456C C C C +++=______.（用数字作答）14.设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且()13P A =，()12P B =，则()|P A B 的一个可能的值为______.15.在棱长为6的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD 中，3BC BM = ，3AD AN =uuur uuu r ，则直线AM 与CN 夹角的余弦值为______.16.一质点从平面直角坐标系原点出发，每次只能向右或向上运动1个单位长度，且每次运动相互独立，质点向上运动的概率为13.质点运动5次后，所在位置对应的坐标为（3，2）的概率为______，质点运动2023次后，最有可能运动到的位置对应的坐标为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.设()92390123921x a a x a x a x a x -=++++⋅⋅⋅+.（1）求12a a +的值；（2）求39122392222a a a a +++⋅⋅⋅+的值.18.某市举办大型车展，为了解该市人民对此次大型车展的关注情况，在该市随机地抽取男性和女性各100人进行调查统计，得到如下22⨯列联表：关注不关注合计男性5050100女性3070100合计80120200（1）能否有99%的把握认为男性和女性对此次大型车展的关注程度有明显差差异？（2）有3位市民去参观此次大型车展，假设每人去新能源汽车展区的概率均为13，且相互独立.设这3位市民参观新能源汽车展区的人数为ξ，求ξ的概率分布和数学期望.附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++()20P x χ≥0.0500.0100.0010x 3.8416.63510.82819.某校举行劳动技术比赛，该校高二（1）班的班主任从本班的5名男选手和4名女选手中随机地选出男、女选手各2名参加本次劳动技术比赛中的团体赛，并排好团体赛选手的出场顺序.在下列情形中各有多少种不同的安排方法？（1）男选手甲必须参加，且第4位出场；（2）男选手甲和女选手乙都参加，且出场的顺序不相邻；（3）男选手甲和女选手乙至少有一人参加.20.设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和m （2m ≥，*N m ∈）个红球，这些球除颜色外完全相同，现先从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任意取出2个球，已知从乙袋中取出的是两个红球的概率为514.（1）求m 的值；（2）在从乙袋中取出的两球是一个红球和一个白球的条件下，求从甲袋中取出的是两个红球的概率.21.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，11AA =，D 为AC 的中点.请从条件①、②、③中选择合适的两个作为已知，并解答下面的问题：（1）求二面角11A BDB --所成角的正弦值；（2）点P 是矩形11AA B B （包含边界）内任一点，且CP =CP 与平面1B BD 所成角的正弦值的取值范围.条件①：平面1A BC的面积为2；条件②：11C D A B ⊥；条件③：1B 点到平面1A BC 的距离为63.22.某软件科技公司近8年的年利润y 与投入的年研发经费x （单位：千万元）如下表所示.x 34566789y1y 2y 3y 4y 5y 6y 7y 8y （1）根据散点图可以认为x 与y 之间存在线性相关关系，且相关系数8384r =，请用最小二乘法求出线性回归方程y bx a =+$$$（ a，b 用分数表示）；（2）某配件加工厂加工的单个零件尺寸与标准件尺寸的误差60,1N c ε⎛⎫⎪+⎝⎭:，其中c 为单个零件的加工成本（单位：元），且10.9542P ε⎛⎫<= ⎪⎝⎭.引进该公司最新研发的某工业软件后，加工的单个零件尺寸与标准件尺寸的误差110,22N c ε⎛⎫ ⎪+⎝⎭:.若保持零件加工质量不变（即误差的概率分布不变），则单个零件加工的成本下降了多少元？附：（1）参考数据：8213452ii y==∑，()821252i i y y=-=∑.（2）参考公式：()()ni i x xy yr --=∑，()()()121nii i nii xx y ybxx==--=-∑∑ ，a y bx =-$$.（3）若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.683P μσξμσ-<<+≈，()220.954P μσξμσ-<<+≈.2022～2023学年度第二学期期末考试高二数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知向量()1,2,3m =与()2,,6n x =r垂直，则实数x 的值为（）A.10-B.4- C.4D.10【答案】A【分析】由向量垂直，数量积等于0,直接应用空间向量的数量积坐标运算公式即可.【详解】 向量()1,2,3m = 与()2,,6n x =r 垂直，122362200,m n x x ∴⋅=⨯++⨯=+=解得10,x =-故选：A.2.书架上有3本不同的数学书，4本不同的物理书，图书管理员从中任取2本，则不同的取法种数为（）A.7B.12C.21D.42【答案】C【分析】根据分类加法原理以及组合数的概念，可得答案.【详解】由题可知不同的取法的种数为2776C 2121⨯==⨯.故选：C.3.口袋中有2个黑球，2个红球和1个白球，这些球除颜色外完全相同.任取两球，用随机变量X 表示取到的黑球数，则()2P X =的值为（）A.15B.110C.310D.35【答案】B【分析】根据题意，由超几何分布的概率计算公式，代入计算即可得到结果.【详解】由题意可得，()2225C 12C 10P X ===.故选：B4.某中学通过问卷调查的形式统计了该校1000名学生完成作业所需的时间，发现这些学生每天完成作业所需的时间（单位：小时）近似地服从正态分布11,16N ⎛⎫⎪⎝⎭.则这1000名学生中每天完成作业所需的时间不少于1.5小时的人数大约为（）附：随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.683P μσξμσ-<<+≈，()220.954P μσξμσ-<<+≈.A.23B.46C.158D.317【答案】A【分析】求出11,0.254μσ===，可得()11 1.50.9542P ξ<<≈⨯，则()111.50.9540.02322P ξ≥≈-⨯=，进而可得答案.【详解】因为学生每天完成作业所需的时间（单位：小时）近似地服从正态分布11,16N ⎛⎫⎪⎝⎭，所以11,0.254μσ===，因为()220.954P μσξμσ-<<+≈，则()0.95 1.50.954P ξ<<≈，所以()11 1.50.9542P ξ<<≈⨯，则()111.50.9540.02322P ξ≥≈-⨯=，所以这1000名学生中每天完成作业所需的时间不少于1.5小时的人数大约为：0.023100023⨯=（人），故选：A.5.在()()()()1234x x x x ++++的展开式中，含3x 的项的系数为（）A.6B.10C.24D.35【答案】B【分析】分四个因式中有一个因式选常数相乘时，则剩余三个因式都选x 相乘求解.【详解】解：当1x +选1相乘时，2,3,4x x x +++都选x 相乘，此时3x 的项的系数为1；当2x +选2相乘时，1,3,4x x x +++都选x 相乘，此时3x 的项的系数为2；当3x +选3相乘时，2,1,4x x x +++都选x 相乘，此时3x 的项的系数为3；当4x +选4相乘时，2,3,1x x x +++都选x 相乘，此时3x 的项的系数为4；综上：3x 的项的系数为1+2+3+4=10.故选：B6.已知x ，y 的取值如下表所示，从散点图分析可知y 与x 线性相关，如果线性回归方程为0.95 2.5y x =+$，则下列说法不正确的是（）x1234y2.3 4.3 4.44.8mA.m 的值为6.2B.回归直线必过点（2，4.4）C.样本点（4，m ）处的残差为0.1D.将此图表中的点（2，4.4）去掉后，样本相关系数r 不变【答案】C【分析】根据平均数的定义及样本中心在经验回归直线方程上，利用残差的定义及样本相关系数的公式即可求解.【详解】由题意可知，()1012342,5x =⨯++++=()()112.3 4.3 4.4 4.815.8,55y m m =⨯++++=⨯+所以样本中心为15.82,5m +⎛⎫⎪⎝⎭，将点15.82,5m +⎛⎫ ⎪⎝⎭代入0.95 2.5y x =+$，可得15.80.952 2.55m +=⨯+，解得 6.2m =，故A 正确；由 6.2m =，得样本中心为()2,4.4，所以回归直线必过点（2，4.4），故B 正确；当4x =时，0.954 2.5 2.375y =⨯+=$，由 6.2m =，得样本点()4,6.2处的残差为6.2 2.375 3.825-=，故C 错误；因为样本中心为()2,4.4，所以33220, 4.4 4.40,x x y y -=-=-=-=由相关系数公式知，()()5iix x y y r --=∑2，4.4）去掉后，样本相关系数r 不变，故D 正确；故选：C.7.已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为2，底面ABC 是边长为2的正三角形，1160A AB A AC ∠=∠=︒，若1B C和1BC 相交于点M.则AM =（）A.B.2C.D.【答案】D【分析】以{}1,,AB AC AA 为基底表示AM，利用平方的方法求得AM .【详解】依题意可知M 是1BC 的中点，所以()11111222AM AC AB AC AB =+=+()111111122222AC AA AB AC AA AB =++=++，所以A M =====故选：D8.在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名，由马尔可夫不等式知，若ξ是只取非负值的随机变量，则对0a ∀>，都有()()E P a aξξ≥≤.某市去年的人均年收入为10万元，记“从该市任意选取3名市民，则恰有1名市民去年的年收入超过100万元”为事件A ，其概率为()P A .则()P A 的最大值为（）A.271000B.2431000 C.427D.49【答案】B【分析】记该市去年人均收入为X 万元，从该市任意选取3名市民，年收入超过100万元的人数为Y ,设从该市任选1名市民，年收入超过100万元的概率为p ，根据马尔可夫不等式可得1010p ≤≤，再根据二项分布求得()()23231363P A p p p p p =-=-+，令32()363f p p p p =-+，求导判断单调性即可求得最大值.【详解】记该市去年人均收入为X 万元，从该市任意选取3名市民，年收入超过100万元的人数为Y .设从该市任选1名市民，年收入超过100万元的概率为p ，则根据马尔可夫不等式可得()()10110010010010E X p P X =≥≤==，1010p ∴≤≤，因为~(3,)Y B p ，所以()()()()2213231C 131363P A P Y p p p p p p p ===-=-=-+，令32()363f p p p p =-+，则2()91233(31)(1)f p p p p p '=-+=--，10,310,1010p p p ≤≤∴-<-< ，即()0f p '>，()f p ∴在10,10⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增.2max111243()311010101000f p f ⎛⎫⎛⎫∴==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即max243()1000P A =.故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.随机变量X 服从以下概率分布：X 1-123P13ab16若()1E X =，则下列说法正确的有（）A.16a =B.16b =C.()313E X -=D.()73D X =【答案】AD【分析】根据离散型随机变量的性质，以及均值的计算公式，建立方程组，可得参数的值，根据均值的性质以及方差的计算公式，可得答案.【详解】由题意，11136a b +++=，则12a b +=；()112132E X a b =-+++=，则526a b +=.由方程组12526a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得1613a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.()()31312E X E X -=-=，()()()2211437136323D XE X E X =-=+++-=.故选：AD.10.关于二项式522x⎛⎝的展开式，下列说法正确的有（）A.含5x 的项的系数为80-B.二项式系数和为32C.常数项为10D.只有第3项的二项式系数最大【答案】BC【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后逐个分析判断即可.【详解】二项式522x⎛⎝的展开式的通项公式为()()5105252155C 2C 21rr rr rr r r T xx---+⎛==⋅⋅- ⎝，对于A ，令51052r -=，得2r =，所以含5x 的项的系数为()2235C 2180⋅⋅-=，所以A 错误，对于B ，二项式系数和为5232=，所以B 正确，对于C ，令51002r -=，得4r =，所以常数项为()445C 2110⋅⋅-=，所以C 正确，对于D ，因为二项式522x⎛⎝的展开式共有6项，所以第3项和第4项的二项式系数最大，即2355C C 10==，所以D 错误，故选：BC11.下列说法正确的有（）A.若随机变量X ～0－1分布，则方差()14D X ≤B.正态密度曲线在曲线下方和x 轴上方范围内的区域面积为1C.若两个变量的相关性越强，则其相关系数越接近于1D.若()12P A =，()13P B =，()16P AB =，则事件A 与B 相互独立【答案】ABD【分析】对于A ，根据两点分布的方差公式，再利用基本不等式即可；对于B ，由正态密度曲线在曲线下方和x 轴上方范围内的区域面积为概率，即可判定；对于C ，当两个变量为负相关时，相关性越强，相关系数越接近于1,-可判定错误；对于D,根据相互独立事件的定义，结合概率计算，即可判定正确.【详解】对于A ，因为随机变量X ～0－1分布，所以()211(1)24p p D X p p +-⎛⎫=-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1,p p =-即12p =时，等号成立，所以A 正确；对于B ，因为正态密度曲线在曲线下方和x 轴上方范围内的区域面积就是概率，全区域概率为1，所以面积为1，故B 正确；对于C ,当两个变量为负相关时，相关性越强，其相关系数越接近于1-，故C 错误；对于D,()12P A = ，()13P B =，()16P AB =，()()(),P AB P A P B ∴=则事件A 与B 相互独立，故D 正确.故选：ABD.12.如图，正方形ABCD 的边长为2，AE 和CF 都与平面ABCD 垂直，24AE CF ==，点P 在棱DE 上，则下列说法正确的有（）A.四面体BDEF 外接球的表面积为68π3B.四面体BDEF 外接球的球心到直线AEC.当点P 为DE 的中点时，点P 到平面BEF 的距离为2D.直线EF 与平面PAB 所成角的正弦值的最大值为63【答案】ACD【分析】建立空间直角坐标系，列方程确定四面体BDEF 外接球球心O 的坐标和半径，再求球的表面积判断A ，利用向量方法求球心到直线AE 的距离判断B ，求平面BEF 的法向量，利用向量方法求点P 到平面BEF 的距离判断C ，求平面PAB 的法向量，结合向量夹角公式求直线EF 与平面PAB 所成角的正弦值的最大值判断D.【详解】因为AE 与平面ABCD 垂直，,AB AD ⊂平面ABCD ，所以,AE AB AE AD ⊥⊥，因为四边形ABCD 为正方形，所以AB AD ⊥，以点A 为原点，,,AB AD AE为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则()()()()2,0,0,0,2,0,0,0,4,2,2,2B D E F ，设四面体BDEF 外接球的球心O 的坐标为(),,x y z ，则,,OB OD OB OE OB OF ===，所以()()()()()()()()22222222222222222222242222x y z x y z x y z x y z x y z x y z ⎧-++=+-+⎪⎪-++=++-⎨⎪-++=-+-+-⎪⎩，化简可得232x y x z y z =⎧⎪=-⎨⎪+=⎩，所以115,,333x y z ===，所以球心O 的坐标为115,,333⎛⎫⎪⎝⎭，所以球O的半径513R OB ===，所以四面体BDEF 外接球的表面积21768π4π4π33S R ==⨯=，A 正确；直线AE 的方向向量()0,0,4AE =，又115,,333AO ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以向量AO 在向量AE 上的投影向量的模的大小为115004533343AO AE AE⨯+⨯+⨯⋅== ，所以点O 到直线AE23=，B 错误；设平面BEF 的法向量为()1,,n a b c =，则1100n BF n FE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，又()0,2,2BF = ，()2,2,2FE =-- ，所以2202220b c a b c +=⎧⎨--+=⎩，取2a =,则1,1c b ==-，所以()12,1,1n =-为平面BEF 的一个法向量，若点P 为DE 的中点，则点P 的坐标为()0,1,2，所以()0,1,2PD =-，所以点P 到平面BEF的距离为112PD n n ⋅== ，C 正确；设DP DE λ=，01λ≤≤，则()()()0,2,00.2,40.22,4AP AD DP λλλ=+=+-=- ，又()2,0,0AB =，()2,2,2EF =- ，设平面PAB 的法向量为()2,,n p q r =，则2200n AP n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以()224020q r p λλ⎧-+=⎨=⎩，取2q λ=，则0,1p q λ==-，所以()20,2,1n λλ=-为平面PAB 的一个法向量，设直线EF 与平面PAB 所成角为θ，所以2sin cos ,EF n θ==，所以sin θ==设31t λ+=，[]1,4t ∈，则13t λ-=，22219t t λ-+=，所以222319942115215162051652193t t t t t t t t t λλλ+===-+--+-+⎛⎫+-⋅-⋅+ ⎪⎝⎭，由基本不等式可得当[]1,4t ∈时，44t t +≥=，当且仅当2t =，即13λ=时等号成立，所以231999452154164516t t λλλ+=≤=-+⨯-⎛⎫+- ⎪⎝⎭，当且仅当13λ=时等号成立，所以15106sin 153θ=≤=，当且仅当13λ=时等号成立，所以当点P 为棱DE 的靠近点D 的三分点时，直线EF 与平面PAB 所成角的正弦值的最大，最大值为63，D 正确；故选：ACD .【点睛】知识点点睛：本题考查的知识点有四面体的外接球，球的表面积，点到直线的距离，点到平面的距离，直线与平面的夹角，考查直观想象，数学运算方面的核心素养.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.计算：01233456C C C C +++=______.（用数字作答）【答案】35【分析】利用组合数公式计算即可.【详解】0123345654654C C C C 141410203521321⨯⨯⨯+++=+++=+++=⨯⨯⨯.故答案为：3514.设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且()13P A =，()12P B =，则()|P A B 的一个可能的值为______.【答案】13（答案不唯一，在20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦内均可）【分析】先求出()P AB 的范围，然后利用条件概率公式求解即可.【详解】因为A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且()13P A =，()12P B =，当事件A ，B 为互斥事件时，()0P AB =，当事件B 包含事件A 时，()13P AB =，即()103P AB ≤≤，所以()()()1230|132P AB P A B P B ≤=≤=，所以()|P A B 的一个可能的值为13（答案不唯一，在20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦内均可）.故答案为：13（答案不唯一，在20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦内均可）15.在棱长为6的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD 中，3BC BM = ，3AD AN =uuur uuu r ，则直线AM 与CN 夹角的余弦值为______.【答案】914【分析】根据题意，连接DM ，取DM 上的三等分点E ，使得13ME MD =，连接CE ，NE ，即可得到直线AM与CN 夹角为ENC ∠，再结合余弦定理，即可得到结果.【详解】由题意，连接DM ，取DM 上的三等分点E ，使得13ME MD =，连接CE ，NE ，因为3AD AN =uuu r uuu r，则//NE AM ，所以直线AM 与CN 夹角为ENC ∠，因为四面体ABCD 的棱长为6，则123BM BC ==,6AB =，且60ABM ∠=︒，在ABM 中，由余弦定理可得，2222cos 60AMAB BM AB BM =+-⋅⋅︒22162262282=+-⨯⨯⨯=，则AM NC ==//NE AM ，则DAM DNE ∽，且23NE AM=，所以NE =，因为()11213333CE CM ME CM MD CM CD CM CM CD =+=+=+-=+，所以22222141212cos 60339933CE CM CD CM CD CM CD ⎛⎫=+=++⨯⨯⋅⋅︒⎪⎝⎭414114816364699929=⨯+⨯+⨯⨯⨯=，在NEC中，由余弦定理可得，(22222148939cos 42142NC NE CE ENC NC NE +-+-⎝⎭∠===⋅⨯.故答案为：914.16.一质点从平面直角坐标系原点出发，每次只能向右或向上运动1个单位长度，且每次运动相互独立，质点向上运动的概率为13.质点运动5次后，所在位置对应的坐标为（3，2）的概率为______，质点运动2023次后，最有可能运动到的位置对应的坐标为______.【答案】①.80243②.()1349,674【分析】根据二项分布的概率公式，以及组合数的对称性质，可得答案.【详解】由运动5次后，所在位置对应坐标为()3,2，则运动中有3次向右，2次向上，由题意可得：其概率23251180C 133243P ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；设质点运动2023次，所在位置对应的坐标为(),2023n n -，则其概率2023202320232023111C12C 333nn n n n P -⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=-= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令112023202311202320232C 2C 2C 2C n nn nn n n n--++⎧<⎨<⎩，()()()()()()112023!2023!221!20231!!2023!2023!2023!221!20231!!2023!n nn nn n n n n n n n -+⎧<⎪--+-⎪⎨⎪<⎪+---⎩，解得4049404533n >>，故当1349n =时，P '取得最大值，此时质点所在位置对应的坐标为()1349,674.故答案为：80243；()1349,674.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.设()92390123921x a a x a x a x a x -=++++⋅⋅⋅+.（1）求12a a +的值；（2）求39122392222a a a a +++⋅⋅⋅+的值.【答案】（1）126-（2）1【分析】（1）利用二项式定理即可求解；（2）利用赋值法即可求解.【小问1详解】依题意得，()8819C 2118a =⨯⨯-=，()77229C 21144a =⨯⨯-=-，∴1218144126a a +=-=-【小问2详解】令0x =，得01a =-，令12x =，得3912023902222a a a a a ++++⋅⋅⋅+=，∵01a =-，∴391223912222a a a a +++⋅⋅⋅+=.18.某市举办大型车展，为了解该市人民对此次大型车展的关注情况，在该市随机地抽取男性和女性各100人进行调查统计，得到如下22⨯列联表：关注不关注合计男性5050100女性3070100合计80120200（1）能否有99%的把握认为男性和女性对此次大型车展的关注程度有明显差差异？（2）有3位市民去参观此次大型车展，假设每人去新能源汽车展区的概率均为13，且相互独立.设这3位市民参观新能源汽车展区的人数为ξ，求ξ的概率分布和数学期望.附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++()20P x χ≥0.0500.0100.0010x 3.8416.63510.828【答案】（1）有（2）分布列见解析，数学期望为1【分析】（1）根据表中的数据利用公式()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++求解2χ，再根据临界值表进行判断即可，（2）由题意知ξ的可能取值为：0，1，2，3，而13,3B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，所以利用二项分布的概率公式求出各自对应的概率，从而可求得ξ的概率分布和数学期望.【小问1详解】提出假设0H ：男性和女性对此次大型车展的关注程度没有明显差异.由列联表中的数据可得：()2220050705030258.333100*********χ⨯-⨯==≈⨯⨯⨯，因为当0H 成立时，()26.6350.010P χ≥≈，这里的28.000 6.635χ≈>，所以我们有99%的把握认为男性和女性对此次大型车展的关注程度有明显差异.【小问2详解】由题意知ξ的可能取值为：0，1，2，3.因为13,3B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()3312C 33k kk P k ξ-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中k =0，1，2，3，故ξ的概率分布表为：ξ0123P8274929127所以()842101231279927E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=，所以随机变量ξ的数学期望为1.19.某校举行劳动技术比赛，该校高二（1）班的班主任从本班的5名男选手和4名女选手中随机地选出男、女选手各2名参加本次劳动技术比赛中的团体赛，并排好团体赛选手的出场顺序.在下列情形中各有多少种不同的安排方法？（1）男选手甲必须参加，且第4位出场；（2）男选手甲和女选手乙都参加，且出场的顺序不相邻；（3）男选手甲和女选手乙至少有一人参加.【答案】（1）144（2）144（3）1008【分析】根据先选后排的原则，结合排列数、组合数运算求解.【小问1详解】完成该件事情可分两步进行：第一步，选出选手，有1244C C 种方法；第二步，排好出场顺序，有33A 种方法，所以，共有123443C C A 144=种不同的安排方法.【小问2详解】完成该件事情可分两步进行：第一步，选出选手，有1143C C 种方法；第二步，排好出场顺序，有2223A A 种方法，所以，共有11224323C C A A 144=种不同的安排方法.【小问3详解】完成该件事情可分两步进行：第一步，选出选手，“有男选手甲且无女选手乙”的选法种数为1243C C ；“无男选手甲且有女选手乙”的选法种数为2143C C ；“有男选手甲且有女选手乙”的选法种数为1143C C ；第二步，排好出场顺序，有44A 种排法，所以，共有()12211144343434C C +C C +C C A =1008种不同的安排方法.20.设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和m （2m ≥，*N m ∈）个红球，这些球除颜色外完全相同，现先从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任意取出2个球，已知从乙袋中取出的是两个红球的概率为514.（1）求m 的值；（2）在从乙袋中取出的两球是一个红球和一个白球的条件下，求从甲袋中取出的是两个红球的概率.【答案】（1）2（2）419【分析】（1）根据从乙袋中取出的是两个红球的概率列方程，化简求得m 的值.（2）先求得“从乙袋中取出1个红球和1个白球”的概率、求得“从甲袋中取出2个红球”且“从乙袋中取出1个红球和1个白球”的概率，根据条件概率计算公式求得正确答案.【小问1详解】记事件1A ：从甲袋中取出2个红球，事件2A ：从甲袋中取出2个白球，事件3A ：从甲袋中取出1个红球和1个白球，事件B ：从乙袋中取出2个红球，事件C ：从乙袋中取出1个红球和1个白球.因为()()()222112232334142222221737373C C C C C C C 5|C C C C C C 14m m m i i i m m m P B P A P B A ++=+++==⋅+⋅+⋅=∑，所以297220m m --=，所以2m =（负舍），故m 的值为2.【小问2详解】()()()21111112133323423442222221757575C C C C C C C C C 19C |C C C C C C 35i i i P C P A P A ===⋅++⋅=∑，()21144112275C C C 4C C 35P A C =⋅=，()()()114435|191935P AC P A C P C ===.所以在从乙袋中取出1个红球和1个白球的条件下，从甲袋中取出两个红球的概率为419.21.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，11AA =，D 为AC 的中点.请从条件①、②、③中选择合适的两个作为已知，并解答下面的问题：（1）求二面角11A BD B --所成角的正弦值；（2）点P 是矩形11AA B B（包含边界）内任一点，且CP =CP 与平面1B BD 所成角的正弦值的取值范围.条件①：平面1A BC的面积为2；条件②：11C D A B ⊥；条件③：1B 点到平面1A BC 的距离为63.【答案】（1）147（2）,55⎢⎣⎦【分析】首先以{}1,,CA CB CC为一组正交基底，建立空间直角坐标系C xyz -.(1)若选①②，通过条件①②，,CA CB 的长度，进一步利用平面法向量的求法，求出平面1B BD 和平面1A BD 的法向量，利用公式计算即可；若选①③，通过条件①③，,CA CB 的长度，进一步利用平面法向量的求法，求出平面1B BD 和平面1A BD 的法向量，利用公式计算即可；若选②③，通过条件②③，,CA CB 的长度，进一步利用平面法向量的求法，求出平面1B BD 和平面1A BD 的法向量，利用公式计算即可；(2)解法一：根据条件确定点P 的轨迹，设出点P 的坐标后，利用条件可建立坐标横坐标和纵坐标之间的关系式，近一步利用向量求出线面的正弦值，利用函数关系可求出范围；解法二：利用1,,BP BA BB三个向量共面，建立三个向量之间的线性关系，转化为坐标后，可表示出点P 的坐标，利用条件可建立坐标横坐标和纵坐标之间的关系式，近一步利用向量求出线面的正弦值，利用函数关系可求出范围.【小问1详解】因为直三棱柱111ABC A B C -，所以1C C ⊥平面ABC ，又CA ，CB ⊂平面ABC ，所以1CC CA ⊥，1CC CB ⊥，又CA CB ⊥.以{}1,,CA CB CC为一组正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -.设CA a =，CB b =（0a >，0b >），则(),0,0A a ，()1,0,1A a ，,0,02a D ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,,0B b ，()10,,1B b ，()10,0,1C.(1)选①②因为直三棱柱111ABC A B C -中，平面11A ACC ⊥平面,ABC 且平面11A ACC ⋂平面,ABC AC =又90ACB ∠=︒，BC ∴⊥平面11A ACC ,又1AC ⊂ 平面11A ACC ，1BC A C ∴⊥.则又由①得平面1A BC的面积为1622=，由②得()211,,1,0,11022a a A B C D a b ⎛⎫⋅=--⋅-=-+= ⎪⎝⎭uuu r uuu r ，解得a =b =.所以)1BA =uuu r，2,2BD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭uu u r ，()10,0,1BB =，设平面1B BD 的一个法向量为()111,,x n y z =，则100BD n BB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，1112020x z =⎨⎪=⎩，取11y =，则()2,1,0n = ，设平面1A BD 的一个法向量为()222,,m x y z =，则100BD m BA m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,22222020x z =⎪-+=，取21y =，则(2,1,m =u r ，设二面角11A BD B --所成角的平面角为θ，所以35cos cos ,7m n m n m nθ⋅====⋅，因为[]0,θπ∈，所以sin 7θ=，所以二面角11A BD B --所成角的正弦值为147.选①③因为直三棱柱111ABC A B C -中，平面11A ACC ⊥平面,ABC 且平面11A ACC ⋂平面,ABC AC =又90ACB ∠=︒，BC ∴⊥平面11A ACC ,又1AC ⊂ 平面11A ACC ，1BC A C ∴⊥.又由①得平面1A BC的面积为1622=，由①③得1111B A BC A BB C V V --=，即166132332ba ⨯⨯=⨯⨯，解得a =b =，所以)1BA =uuu r，2BD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭uu u r ，()10,0,1BB =设平面1B BD 的一个法向量为()111,,x n y z =，则100BD n BB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，111020x z =⎨⎪=⎩，取11y =，则()2,1,0n = ，设平面1A BD 的一个法向量为()222,,m x y z =，则100BD m BA m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,22222020x z =⎪⎨-+=，取21y =，则(2,1,m =u r 设二面角11A BD B --所成角的平面角为θ，所以35cos cos ,7m n m n m nθ⋅====⋅因为[]0,θπ∈，所以sin 7θ=，所以二面角11A BD B --所成角的正弦值为7.选②③，由②得()211,,1,0,11022a a A B C D a b ⎛⎫⋅=--⋅-=-+= ⎪⎝⎭uuu r uuu r ，由②③得1111B A BC A BB C V V --=，即1132332ba ⨯⨯=⨯⨯，解得a =b =，所以)1BA =uuu r，22BD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭uu u r ，()10,0,1BB =设平面1B BD 的一个法向量为()111,,x n y z =，则100BD n BB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，1112020x z =⎨⎪=⎩，取11y =，则()2,1,0n = ，设平面1A BD 的一个法向量为()222,,m x y z =，则100BD m BA m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,222222020x z =⎪-+=，取21y =，则(2,1,m =u r 设二面角11A BD B --所成角的平面角为θ，所以35cos cos ,7m n m n m nθ⋅====⋅，因为[]0,θπ∈，所以sin 7θ=，所以二面角11A BD B --所成角的正弦值为147.【小问2详解】解法一：取AB 中点Q ，连接PQ ，CQ ，因为CQ ⊥平面11A ABB ，PQ ⊂平面11A ABB ，所以CQ PQ ⊥，因为1CQ =，CP =1PQ =，所以点P 的轨迹是以Q 为圆心，半径为1的半圆，设点(),,P x y z '''，所以2x ⎡'∈⎣，因为2CP =，1PQ =，所以22222222122x y z x y ⎧++=⎪⎪⎛⎛⎨-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭'⎭'''⎩'⎝，所以2x y ''+=，设CP 与平面1B BD 所成角为α，由(),,CP x y z '''=uu r 及平面1B BD 的一个法向量为()2,1,0n = 知22sin cos ,2510x y x CP n α++=='''=⋅ ，因为2x ⎡'∈⎣，所以525sin 55α∈⎣⎦，所以CP 与平面1B BD 所成角的正弦值的取值范围为525,55⎢⎣⎦.解法二：设)())12,2,00,0,12,2,BP BA BB λμλμλλμ=+=+=uu r uu r uuu r，由()2,0B 得)222,P λλμ，因为2CP =，所以22440λλμ-+=，即22440λλμ-=≥，所以01λ≤≤.设CP 与平面1B BD 所成角为α，)222,CP λλμ=uu r，又由（1）知，平面1B BD 的一个法向量为()2,1,0n =，所以，1sin cos ,5CP n λα+== 01λ≤≤，所以525sin 55α∈⎥⎣⎦.所以CP 与平面1B BD 所成角的正弦值的取值范围为525,55⎢⎣⎦.故答案为：(1)147；(2)525,55⎢⎣⎦.22.某软件科技公司近8年的年利润y 与投入的年研发经费x （单位：千万元）如下表所示.x 34566789y1y 2y 3y 4y 5y 6y 7y 8y （1）根据散点图可以认为x 与y 之间存在线性相关关系，且相关系数8384r =，请用最小二乘法求出线性回归方程y bx a =+$$$（ a，b 用分数表示）；（2）某配件加工厂加工的单个零件尺寸与标准件尺寸的误差60,1N c ε⎛⎫⎪+⎝⎭:，其中c 为单个零件的加工成本（单位：元），且10.9542P ε⎛⎫<= ⎪⎝⎭.引进该公司最新研发的某工业软件后，加工的单个零件尺寸与标准件尺寸的误差110,22N c ε⎛⎫ ⎪+⎝⎭:.若保持零件加工质量不变（即误差的概率分布不变），则单个零件加工的成本下降了多少元？附：（1）参考数据：8213452ii y==∑，()821252i i y y=-=∑.（2）参考公式：()()niix x y y r --=∑，()()()121nii i nii xx y ybxx==--=-∑∑ ，a y bx =-$$.（3）若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.683P μσξμσ-<<+≈，()220.954P μσξμσ-<<+≈.【答案】（1）83312814y x =+$（2）8元【分析】（1）由8213452i i y ==∑，()821252i i y y=-=∑可求出y ，然后求出()821i i x x =-∑，然后利用相关系数8384r =求出可求出b，再由a y bx =-$$求出 a，从而可求出线性回归方程；（2）未引进新的工业软件前，由60,1N c ε⎛⎫ ⎪+⎝⎭:，得0μ=，σ=，再由10.9542P ε⎛⎫<= ⎪⎝⎭可得12=，从而可求出c ，同理引进新的工业软件后，可求出其对应的c ，从而可进行判断.【小问1详解】由()821252i i y y=-=∑，得88221128252i i i i y y y y ==-⋅+=∑∑，。
高中数学：2022-2023学年江苏省苏州市高二(下)期末数学试卷(含参考答案)
2022-2023学年江苏省苏州市高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知M，N是全集U的非空子集，且N⊆∁U M，则（）A．N⊆M B．M⊆∁U N C．∁U M＝∁U N D．M⊆N2．（5分）已知a，b∈R，则“log2a＞log2b”是“a＞b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）曲线y＝e﹣x+1在点（0，2）处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为（）A．13B．23C．1D．24．（5分）为全面贯彻党的教育方针，落实立德树人的根本任务，着力造就拔尖创新人才，某校为数学兴趣小组购买了一些数学特色专著：《数学的意义》《现代世界中的数学》《数学问题》，其数量分别为x，y，z（单位：本）．现了解到：①x＞y＞z＞0；②4z＞x+y，则这些数学专著至少有（）A．9本B．10本C．11本D．12本5．（5分）已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）从x到x+Δx的平均变化率为f(x+Δx)−f(x)Δx=√x+Δx+√x−1x2+x⋅Δx，则f（x）的单调增区间是（）A．（0，+∞）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（2，+∞）6．（5分）云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长．已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模y（单位：千万元）与年份代码x的关系可以用模型y＝ae bx（其中e ＝2.71828⋯）拟合，设z＝lny，得到数据统计如下表：已知回归方程z=0.52x+1.44，则m的值约为（）A．1.96B．2C．6.9D．7.47．（5分）已知A，B为某随机试验的两个事件，A为事件A的对立事件．若P(A)=23，P(B)=58，P(AB)=12，则P(B|A)=（）A．38B．58C．14D．348．（5分）已知实数a，b，c满足a＝1.110，5b＝3a+4a，c＝e a﹣a，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省镇江市扬中市第二高级中学2022-2023学年高二下学期期末检测数学试题
江苏省镇江市扬中市第二高级中学2022-2023学年高二下学期期末检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．数列{}n a 为等比数列，公比q>1，其前n 项和为Sn ，若a 5a ﹣1=15，2416a a ×=，则下列说法正确的是（ ）A ．Sn +1=2Sn +1B ．an =2nC ．数列{log 3(Sn +1)}是等比数列D ．对任意的正整数k (k 为常数)，数列{log 2(Sn +k ﹣Sn )}是公差为1的等差数列（Ⅰ）证明：DM ⊥平面SAB ； （Ⅱ）求二面角A SB C --的大小；（Ⅲ）线段SC 上是否存在一点E ，使得直线//SA 平面BDE . 若存在，确定E 点的位置；若不存在，说明理由.20．网上购物就是通过互联网检索商品信息，并通过电子订购单发出购物请求，厂商通过邮购的方式发货或通过快递公司送货上门，货到后通过银行转账微信或支付宝支､付等方式在线汇款，根据2019年中国消费者信息研究，超过40%的消费者更加频繁地使用网上购物，使得网上购物和送货上门的需求量激增，越来越多的消费者也首次通过第三方APP 品牌官方网站和微信社群等平台进行购物，某天猫专营店统计了､2020年8月5日至9日这5天到该专营店购物的人数i y 和时间第i x 天间的数据，列表如下：是否存在定点M.使得2Ð=Ð？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请QFM QMF说明理由.则有PO¢^平面ABCD，PAO¢Ð为侧棱由于0a >，而点,0b a æö-ç÷èø是直线y ax b =+与x 轴的交点，因为 然虚线不符合题意，实线中直线y ax b =+与函数()f x 相切时，在当直线y ax b =+与函数()f x 相切且切点为函数()f x 与x 轴的交点()ln 10x x x +==，所有函数()f x 与x 轴的交点为1,0e æöç÷èø，故-min1b a e ö=-÷ø.由题意得()()()()()()0,0,0,2,0,0,2,1,0,0,2,0,0,0,2,1,0,1D A B C S M 所以()1,0,1DM =uuuu v ,()2,0,2SA uu v =-,()0,1,0AB =uuu v .所以0DM SA ×=uuuu v uu v ,0DM AB ×=uuuu v uuu v ,所以DM SA ^,DM AB ^,所以DM ^平面SAB .（Ⅱ）设平面SBC 的法向量为()1,,n x y z =ur ，因为()()0,2,2,2,1,0SC BC =-=-uuu v uuu v .所以1100SC n BC n ì×=ïí×=ïîur uuu v ur uuu v ，即22020y z x y -=ìí-+=î，令1x =，则2,2y z ==.于是()11,2,2n =uu r . 因为DM ⊥平面SAB ，所以DM uuuu v 为平面SAB 的法向量，又=(1,0,1)DM uuuu v .所以2422,43,t t t t +=-ìí-=+î解得1t =-. 即(1,0)M -.综上，满足条件的点M 存在，其坐标()1,0-.【点睛】方法点睛：（1）解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．。
江苏省2022-2022年高二下学期期末考试数学试题
第二学期普通高中教学质量监控高二数学试题卷本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共4页，选择题部分1至3页，非选择题部分3至4页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
第Ⅰ卷选择题部分（共60分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 双曲线的焦点坐标是A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意求出，则，可得焦点坐标详解：由双曲线，可得，故双曲线的焦点坐标是选C.点睛：本题考查双曲线的焦点坐标的求法，属基础题.2. 下列命题错误的是A. 若直线平行于平面，则平面内存在直线与平行B. 若直线平行于平面，则平面内存在直线与异面C. 若直线平行于平面，则平面内存在直线与垂直D. 若直线平行于平面，则平面内存在直线与相交【答案】D【解析】分析：利用空间中线线、线面间的位置关系求解．详解：A. 若直线平行于平面，则平面内存在直线与平行，正确；B. 若直线平行于平面，则平面内存在直线与异面，正确；C. 若直线平行于平面，则平面内存在直线与垂直，正确，可能异面垂直；D. 若直线平行于平面，则平面内存在直线与相交，错误，平行于平面，与平面没有公共点.故选D.点睛：本题主要考查命题的真假判断，涉及线面平行的判定和性质，属于基础题．3. “”是“方程所表示的曲线是椭圆”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】分析：根据椭圆的方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．详解：若方程表示的曲线为椭圆，则，且，反之，“”不能得到方程所表示的曲线是椭圆”，如故“”是“方程所表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件.选B.点睛：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属基础题.．4. 如图，在正方体中，分别是,的中点，则四面体在平面上的正投影是A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据正投影的概念判断即可.详解：根据正投影的概念判断选C.选C.点睛：本题考查正投影的概念，需基础题.5. 若二次函数图象的顶点在第四象限且开口向上，则导函数的图象可能是A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：先根据二次函数的判断出的符号，再求导，根据一次函数的性质判断所经过的象限即可．详解：∵函数的图象开口向上且顶点在第四象限，∴函数的图象经过一，三，四象限，∴选项A符合，故选：A．点睛：本题考查了导数的运算和一次函数，二次函数的图象和性质，属于基础题．6. 已知函数，若，则A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：求出函数的导数，由可求得.详解：函数的导数，由可得选D.点睛：本题考查函数的导函数的概念及应用，属基础题.7. 由0,1,2,3组成无重复数字的四位数，其中0与2不相邻的四位数有A. 6 个B. 8个C. 10个D. 12个【答案】B然后求数字0，2相邻的情况：，先把0，2捆绑成一个数字参与排列，再减去0在千位的情况，由此能求出其中数字0，2相邻的四位数的个数．最后，求得0与2不相邻的四位数详解：由数字0，1，2，3组成没有重复数字的四位数有：．其中数字0，2相邻的四位数有：则0与2不相邻的四位数有。
江苏省宿迁市2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题(解析版)
高二年级调研测试数学本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上．如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案．不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 计算012456C C C ++=（ ）A. 20B. 21C. 35D. 36【答案】B 【解析】【分析】利用组合数计算公式计算可得结果.【详解】由组合数计算公式可得01245665C C C 152112×++=++=×. 故选：B2. 已知样本数据121x +，221x +，…，21n x +的平均数为5，则131x +，231x +，…，31n x +的平均数为（ ） A. 6 B. 7C. 15D. 16【答案】B 【解析】【分析】根据平均数的性质即可得12,,,n x x x …的平均数为2，则可得到新的一组数据的平均数. 【详解】由题意，样本数据121x +，221x +，…，21n x +的平均数为5，设12,,,n x x x …的平均数为x ， 即215+=x ，解得2x =，根据平均数性质知131x +，231x +，…，31n x +的平均数为317x +=. 故选：B3. 下表是大合唱比赛24个班级的得分情况，则80百分位数是（ ） 得分 7 8 9 10 11 13 14 频数 4246242A. 13.5B. 10.5C. 12D. 13【答案】D 【解析】【分析】根据百分位数的定义求解即可.【详解】因为00248019.2×=，24个班级的得分按照从小到大排序， 可得80百分位数是第20个数为13. 故选：D4. 已知a ，b 为两条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若a b ∥，b α⊂，则//a α B. 若//a α，b α⊂，则//a b C. //αγ，//βγ，则//αβ D. 若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ【答案】C 【解析】【分析】由线线、线面、面面的位置关系即可求得本题. 【详解】若//a b ，b α⊂，则//a α或a α⊂，则A 错； 若//a α，b α⊂，则//a b 或a 与b 异面，则B 错；//αγ，//βγ，由平行的传递性可知，//αβ，则C 对；若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ或相交.，D 错， 故选：C.5. 已知,,A B C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，下列条件中能确定,,,M A B C 四点共面的是（ ）的.A. OM OA OB OC =++B. 3OM OA OB BC =−−C. 1123OM OA OB OC =++D. 32OM OA OB BC =−−【答案】D 【解析】【分析】根据空间向量基本定理对选项逐个进行验证即可得出结论.【详解】由空间向量基本定理可知，若,,,M A B C 四点共面，则需满足存在实数,,x y z 使得OM xOA yOB zOC =++，且1x y z ++=， 显然选项A ，C 不成立；对于选项B ，由3OM OA OB BC =−−可得()33OM OA OB OC OB OA OC =−−−=− ，不合题意，即B 错误；对于D ，化简32OM OA OB BC =−−可得()323OM OA OB OC OB OA OB OC =−−−=−− ，满足()()3111+−+−=，可得D 正确； 故选：D6. 已知随机事件A ，B ，3()10P A =，1()2P B =，1(|)3P B A =，则(|)P A B =（ ） A.15B.16 C.320D.110【答案】A 【解析】【分析】根据题意，由乘法公式代入计算可得()P AB ，再由条件概率公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为3()10P A =，1()2P B =，1(|)3P B A =， 则()()131(|)31010P B A P A P AB ×=×==， 则()()1110(|)152P AB P A BP B ===. 故选：A7. 已知9290129(21)x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，则682424682222a a a a +++的值为（ ）A. 255B. 256C. 511D. 512【答案】A 【解析】【分析】利用二项式定理写出展开式的通项，令0x =求出0=1a ，分别令12x =、12x =−，再两式相加可得8202825622a a a +++=，再减去0a 即可. 【详解】令0x =，得0=1a ， 令12x =，得93891202389251222222a a a a a a ++++++== ， 令12x =−，得38912023********a a a a a a −+−++−= ， 两式相加得82028251222a a a+++=， 得8202825622a a a +++= ， 则682424682552222a a a a +++=. 故选：A.8. 某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，其中甲车间的产量占总产量的20%，乙车间占35%，丙车间占45%．已知这3个车间的次品率依次为5%，4%，2%，若从该厂生产的这种产品中取出1件为次 ） A.331000B.1033C.1433D.311【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由全概率公式可得抽取到次品的概率，再由条件概率公式代入计算，即可求解. 【详解】记事件A 表示甲车间生产的产品， 记事件B 表示乙车间生产的产品， 记事件C 表示丙车间生产的产品， 记事件D 表示抽取到次品，则()()()0.2,0.35,0.45P A P B P C ===, ()()()0.05,0.04,0.02P D A P D B P D C ===，取到次品的概率为()()()()()()()P D P A P D A P B P D B P C P D C =++0.20.050.350.040.450.020.033=×+×+×=，若取到的是次品，此次品由乙车间生产的概率为：()()()()()()0.350.040.014140.0330.03333P B P D B P BD P B D P D P D ×=====.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 下列选项中叙述正确有（ ）A. 在施肥量不过量的情况下，施肥量与粮食产量之间具有正相关关系B. 在公式1xy=中，变量y 与x 之间不具有相关关系C. 相关系数10.6r =时变量间的相关程度弱于20.8r =−时变量间的相关程度D. 某小区所有家庭年收入x （万元）与年支出y （万元）具有相关关系，其线性回归方程为ˆˆ0.8ybx =+．若20x =，16y =，则ˆ0.76b =． 【答案】ACD 【解析】【分析】AB 的正误，根据相关系数的性质可判断C 的正误，根据回归方程的性质可判断D 的正误.【详解】对于A ，在施肥量不过量的情况下，施肥量越大，粮食产量越高， 故两者之间具有正相关关系，故A 正确.对于B ，变量y 与x 之间函数关系，不是相关关系，故B 错误. 对于C ，因为210.80.6r r =>=，故相关系数10.6r =时变量间的相关程度弱于20.8r =−时变量间的相关程度，故C 正确.对于D ，因为回归直线过(),x y ，故ˆ16200.8b=×+，故ˆ0.76b =，故D 正确. 故选：ACD.10. 已知点(2,3,3)A −−，(2,5,1)B ，(1,4,0)C ，平面α经过线段AB 的中点D ，且与直线AB 垂直，下列选项中叙述正确的有（ ） A. 线段AB 的长为36的是B. 点(1,2,1)P −在平面α内C. 线段AB 的中点D 的坐标为(0,4,1)−D. 直线CD 与平面α【答案】BCD 【解析】【分析】由空间两点间的距离公式即可得到线段AB 的长，判断A ；由AB ⊥平面α，垂足为点D ，PD AB ⊥，即可判断B ；由中点坐标公式可得点D 的坐标，判断C ；设直线CD 与平面α所成的角为β，sin cos ,AB CD AB CD AB CDβ⋅==，通过坐标运算可得，判断D.【详解】因为点(2,3,3)A −−，(2,5,1)B ， 所以6AB =,故A 错误；设D 点的坐标为(),,x y z ，因为D 为线段AB 的中点，所以2235310,4,1222x y z −++−+======−， 则D 的坐标为(0,4,1)−，故C 正确；因为点(1,2,1)P −，则()1,2,0PD =− ，又()4,2,4AB =，则()()1,2,04,2,40PD AB ⋅=−⋅=，所以PD AB ⊥，即PD AB ⊥， 又AB ⊥平面α，垂足为点D ，即D ∈平面α，所以PD ⊂平面α，故B 正确；由(1,4,0)C ，(0,4,1)D −，得()1,0,1CD =−−，设直线CD 与平面α所成的角为β，则sin cos ,ABβ= ，故D 正确.故选：BCD.11. 甲袋中有2个红球、3个黄球，乙袋中有3个红球、2个黄球，同时从甲、乙两袋中取出2个球交换，分别记交换后甲、乙两个袋子中红球个数的数学期望为()E X 、()E Y ，方差为()D X 、()D Y ，则下列结论正确的是（ ）A. ()()5E X E Y +=B. ()()E X E Y <C. ()()D X D Y <D. ()()D X D Y =【答案】ABD 【解析】【分析】依题意可知不管如何交换红球个数始终只有5个，易知5X Y +=，利用期望值和方差性质可得A ，D 正确，C 错误；易知随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，写出对应的概率并得出分布列，可得() 2.4E X =，()()5 2.6E Y E X =−=，可得B 正确.【详解】根据题意，记甲、乙两个袋子中红球个数分别为,X Y ， 不管如何交换红球个数始终只有5个，易知5X Y +=，对于A ，由期望值性质可得()()()55E X E Y E Y =−=−，即()()5E X E Y +=，所以A 正确； 对于B ，易知随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3,4； 当从甲袋中取出2个红球，乙袋中取出2个黄球后交换，可得()()22222255C C 105C C 100P X P Y ====×=， 当从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出2个黄球后交换，或者从甲袋中2个红球，乙袋中取出1个红球，1个黄球后交换，可得()()1111223232222555C C C C C 12314C C C 10025P X P Y ====+×==；当从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出1个红球，1个黄球；或者从甲袋中取出2个红球，乙袋中取出取出2个红球；或者从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出取出2个黄球后交换，可得()()1111222223233322222222555555C C C C C C C C 422123C C C C C C 10050P X P Y ====×+×+×==； 当从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出1个红球，1个黄球；或者从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出取出2个红球后交换，可得()()21111232323322225555C C C C C C 36932C C C C 10025P X P Y ====×+×==；当从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出2个红球后交换，可得()()22332255C C 941C C 100P X P Y ====×=，随机变量X 的分布列为所以期望值()132******** 2.4100255025100E X =×+×+×+×+×=， 可得()()5 2.6E Y E X =−=，即()()E X E Y <，可得B 正确； 对于C ，D ，由方差性质可得()()()()()251D Y D X D X D X =−=−=，即可得()()D X D Y =，所以C 错误，D 正确. 故选：ABD【点睛】关键点点睛：根据题意可得随机变量满足5X Y +=，利用期望值和方差性质可判断出AD 选项，再求出随机变量X 的分布列可得结论.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知随机变量X 服从正态分布()295,N σ，若(80)0.3P X <=，则(95110)P X ≤<=______． 【答案】0.2##15【解析】【分析】根据正态分布的对称性结合已知条件求解即可. 【详解】因为随机变量X 服从正态分布()295,N σ，(80)0.3P X <=， 所以(95110)(8095)0.5(80)0.2P X P X P X ≤<=<<=−<=, 故答案为：0.213. 如图，用四种不同颜色给图中的,,,,A B C D E 五个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色．则不同的涂色方法共有______种．【答案】72 【解析】【分析】由图形可知点E 比较特殊，所以按照分类分步计数原理从点E 开始涂色计算可得结果.【详解】根据题意按照,,,,A B C D E 的顺序分5步进行涂色，第一步，点E 的涂色有14C 种，第二步，点A 的颜色与E 不同，其涂色有13C 种， 第三步，点B 的颜色与,A E 都不同，其涂色有12C 种，第四步，对点C 涂色，当,A C 同色时，点C 有1种选择；当,A C 不同色时，点C 有1种选择； 第五步，对点D 涂色，当,A C 同色时，点D 有2种选择；当,A C 不同色时，点D 有1种选择；根据分类分步计数原理可得，不同的涂色方法共有()111432C C C 121172×+×=种. 故答案为：7214. 如图，已知三棱锥−P ABC 的底面是边长为2的等边三角形，60APB ∠=°，D 为AB 中点，PA CD ⊥，则三棱锥−P ABC 的外接球表面积为______．【答案】20π3##20π3【解析】【分析】设PAB 外接圆的圆心为E ，三棱锥−P ABC 的外接球的球心为O ，连接OE ， ABC 的外接圆的圆心为G ，连接OG ，OB ，可证四边形OGDE 为矩形，利用解直角三角形可求外接球半径，故可求其表面积.【详解】因为ABC 为等边三角形，D 为AB 中点，故CD AB ⊥， 而PA CD ⊥，PA AB A = ，,PA AB ⊂平面PAB ，所以CD ⊥平面PAB . 设PAB 外接圆的圆心为E ，三棱锥−P ABC 的外接球的球心为O ，连接,OE BE ， 设ABC 的外接圆的圆心为G ，连接OG ，OB ， 则OE ⊥平面PAB ，OG CD ⊥故//OE CD ，故,,,O G D E 共面，而DE ⊂平面PAB ， 故CD DE ⊥，故四边形OGDE 为矩形.又12sinABBEAPB=×∠13OE DG CD===，故外接球半径为OB=，故外接球的表面积为1520π4π93×=，故答案为：20π3四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚．15.在()*23,Nnx n n≥∈的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列．（1）证明展开式中不存在常数项；（2）求展开式中所有的有理项．【答案】（1）证明见解析；（2）7128x，4672x，280x，214x.【解析】【分析】（1）根据题意可求得7n=，利用二项展开式的通项可得展开式中不存在常数项；（2）由二项展开式的通项令x的指数为整数即可解得合适的k值，求出所有的有理项.【小问1详解】易知第2，3，4项的二项式系数依次为123C,C,Cn n n，可得132C+C2Cn n n=，即()()()121262n n n n nn−−−+=×，整理得()()270n n−−=，解得7n=或2n=（舍）；所以二项式为72x，假设第1k+项为常数项，其中Nk∈，即可得()1777277C 22C kk k kkk k x x −−−−=为常数项，所以1702k k −−=， 解得14N 3k =∉，不合题意； 即假设不成立，所以展开式中不存在常数项； 【小问2详解】由（1）可知，二项展开式的通项()1777277C22C kk k kk k k x x−−−−=可得， 其中的有理项需满足17Z 2k k −−∈，即37Z 2k −∈，且7k ≤；当30,77Z 2k k =−=∈，此时有理项为707772C 128x x =； 当32,74Z 2k k =−=∈，此时有理项为524472C 672x x =； 当34,71Z 2k k =−=∈，此时有理项为3472C 280x x =； 当36,72Z 2k k =−=−∈，此时有理项为16272142C x x−=； 综上可知，展开式中所有的有理项为7128x ，4672x ，280x ，214x . 16. 某校天文社团将2名男生和4名女生分成两组，每组3人，分配到A ，B 两个班级招募新社员． （1）求到A 班招募新社员的3名学生中有2名女生的概率；（2）设到A ，B 两班招募新社员的男生人数分别为a ，b ，记X a b =−，求X 的分布列和方差． 【答案】（1）35（2）85【解析】【分析】（1）由古典概型的概率求解122436C C 3C 5P ==； （2）由题意，X 的可能取值为2,0,2−，算出对应概率()2P X =−，()0P X =，()2P X =，即可列出X 的分布列，再求出()E X ，进而由公式求出方差．【小问1详解】到A 班招募新社员的3名学生中有2名女生的概率为122436C C 3C 5P ==. 【小问2详解】由题意，X 的可能取值为2,0,2−，则()032436C C 12C 5P X =−==，()122436C C 30C 5P X ===，()212436C C 12C 5P X ===， 所以X 的分布列为则()1312020555E X =−×+×+×=， 所以()()()()22213182000205555D X =−−×+−×+−×=. 17. 如图，正三棱柱111ABC A B C 中，D 为AB 的中点．（1）求证：1BC ∥平面1ACD ； （2）当1AA AB的值为多少时，1AB ⊥平面1ACD ?请给出证明． 【答案】（1）证明见答案. （2 【解析】【分析】（1）连接1AC ,交1AC 于点O ，连接DO ，能证出1//BC DO ，则能证出1BC ∥平面1ACD.（2）先把1AB ⊥平面1ACD 当做条件，得出11AB A D ⊥，得出1AA AB的值，过程要正面分析. 【小问1详解】连接1AC ,交1AC 于点O ，连接DO ， 因为O 是1AC 的中点，D 为AB 的中点， 所以DO 是1ABC 的中位线，即1//BC DO ,1BC ⊄平面1ACD ，DO ⊂平面1ACD ， 所以1BC ∥平面1ACD . 【小问2详解】1AA AB =时，1AB ⊥平面1ACD ，证明如下：因为1AA AB =，11tan A AB ∴∠，111tan AA DA B AD ∠= 1111A AB DA B ∴∠=∠，1112DA B AA D π∠+∠= ，1112A AB AA D π∴∠+∠=，即11AB A D ⊥.因为三棱柱111ABC A B C 为正三棱柱，ABC ∴ 为正三角形，且1AA ⊥平面ABC ，1,CD AB CD AA ∴⊥⊥，1AB AA A ∩=，AB ⊂平面11ABB A ，1AA ⊂平面11ABB A ，CD 平面11ABB A ，因为1AB ⊂平面11ABB A ，所以1AB CD ⊥，1A D CD D = ，1,A D CD ⊂平面1ACD ， 1AB ∴⊥平面1ACD .1AA AB∴18. 会员足够多的某知名户外健身俱乐部，为研究不高于40岁和高于40岁两类会员对服务质量的满意度．现随机抽取100名会员进行服务满意度调查，结果如下：年龄段满意度合计满意不满意 不高于40岁 50 20 70 高于40岁 25 5 30 合计7525100（1）问：能否认为，会员不高于40岁和高于40岁年龄结构对服务满意度有关；（2）用随机抽取的100名会员中的满意度频率代表俱乐部所有会员的满意度概率．从所有会员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务满意的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．参考公式：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ−=++++（其中n a b c d =+++）．参考数据：()20P x χ≥ 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010x2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828【答案】（1）不能认为会员不高于40岁和高于40岁年龄结构对服务满意度有关. （2）分布列见解析；94. 【解析】【分析】（1）首先根据列联表中的数据结合公式计算2χ值，然后对照表格得到结论；（2）由表格可知，对服务满意的人的概率为34，且33,4X B∼，根据二项分布公式即可求解． 【小问1详解】 由列联表可知：2217100(5052520)100.587255 2.072730630χ××−×<××==≈， 所以不能认为会员不高于40岁和高于40岁年龄结构对服务满意度有关. 【小问2详解】由表格可知，对服务满意人的概率为34，且33,4X B∼， 则0,1,2,3X =，可得：()303110C 464P X ===，()2133191C 4464P X === ， ()22331272C 4464P X ===，()3333273C 464P X === ， 故X 的分布列如图：可得()39344EX =×=. 19. 如图，在三棱台ABC DEF −中，2AB BC AC ===，1AD DF FC ===，N 为DF 的中点，二面角D AC B −−的大小为θ．（1）求证：AC BN ⊥； （2）若π2θ=，求三棱台ABC DEF −的体积； （3）若A 到平面BCFE cos θ的值． 【答案】（1）证明见解析； （2）78（3）3cos 5θ=−的【解析】【分析】（1）利用三棱柱性质，根据线面垂直的判定定理可得AC ⊥平面BMN ，可证明结论； （2）由二面角定义并利用棱台的体积公式代入计算可得结果；（3）建立空间坐标系，求出平面BCFE 的法向量，利用点到平面距离的向量求法即可得出cos θ的值. 【小问1详解】取AC 的中点为M ，连接,NM BM ；如下图所示：易知平面//ABC 平面DEF ，且平面ABC ∩平面DACF AC =，平面DEF ∩平面DACF DF =； 所以//AC DF ，又因为1AD FC ==， 可得四边形DACF 为等腰梯形，且,M N 分别为,AC DF 的中点，所以MN AC ⊥， 因为2AB BC AC ===，所以BM AC ⊥， 易知BM MN M = ，且,BM MN ⊂平面BMN ， 所以AC ⊥平面BMN ，又BN ⊂平面BMN ，所以AC BN ⊥； 【小问2详解】由二面角定义可得，二面角D AC B −−的平面角即为BMN ∠， 当π2θ=时，即π2BMN ∠=，因此可得MN ⊥平面ABC ，可知MN 即为三棱台的高，由1,2ADDF FC AC ====可得MN =；易知三棱台的上、下底面面积分别为DEFABC S S =因此三棱台ABC DEF −的体积为1738V =【小问3详解】由（1）知，BM AC ⊥，MN AC ⊥，二面角D AC B −−的平面角即为()0,πBMN θ∠=∈； 以M 为坐标原点，分别以,MA MB 所在直线为,x y 轴，过点M 作垂直于平面ABC 的垂线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：可得()()()()1,0,0,1,0,0,,,0,0,0A C B N M θθ −，易知11,0,022NF MC==−，可得12F θθ − ；则()1,cos 2CBCF θθ =设平面BCFE 的一个法向量为(),,n x y z =，所以01cos sin 02n CB x n CF x y z θθ ⋅==⋅=++=， 令1y =，则1cos sin x z θθ−=，可得1cos sin n θθ−=； 显然()2,0,0AC =− ，由A 到平面BCFE，可得AC n n ⋅==，可得21cos 4sin θθ− =；整理得25cos 2cos 30θθ−−=，解得3cos 5θ=−或cos 1θ=； 又()0,πθ∈，可得3cos 5θ=−.【点睛】方法点睛：求解点到平面距离常用方法：（1）等体积法：通过转换顶点，利用体积相等可得点到面的距离；（2）向量法：求出平面的法向量，并利用点到平面距离的向量求法公式计算可得结果；。
江苏省盐城市2022-2023学年高二下学期6月期末数学试题
2022/2023学年度第二学期高二年级期终考试数学试题（总分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，计40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题卡的指定位置填涂答案选项．）1．如果随机变量13,3X B∼，那么()E X 等于（ ） A ．23B ．1C ．2D ．3 2．为了解双减政策的执行情况，某地教育主管部门安排甲、乙、丙三个人到两所学校进行调研，每个学校至少安排一人，则不同的安排方法有（ ）A ．6种B ．8种C ．9种D ．12种3．把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙2个人，每个人分得2张，事件“甲分得红牌和蓝牌”与“乙分得红牌和黑牌”是（ ）A ．对立事件B ．不可能事件C ．互斥但不对立事件D ．以上均不对4．若41x + 的二项展开式中常数项为（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．65．若抛物线24y x =上的一点M 到坐标原点O ，则点M 到该抛物线焦点的距离为（ ） A ．23B ．1C ．2D ．3 6．某班经典阅读小组有5名成员，暑假期间他们每个人阅读的书本数分别如下：3，5，4，2，1，则这组数据的上四分位数为（ ）A ．2B ．3C ．3.5D ．47．在坐标平面内，与点()A 1,2距离为3，且与点()B 3,2距离为1的直线共有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条8．如图所示，在矩形ABCD 中，24AB BC ==，动点M 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，则BM BD ⋅ 的最大值是（ ）A ．4−B ．1−C ．1D ．12二、多选题：（本大题共4小题，每小题5分，计20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请在答题卡的指定位置填涂答案选项。
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江苏省高二下学期期末数学试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、填空题 (共14题；共14分)
1. （1分）某校有学生4500人，其中高三学生1500人．为了解学生的身体素质情况，采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个300人的样本，则样本中高三学生的人数为________
2. （1分） (2015高三上·连云期末) 若随机安排甲乙丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲与丙都不在第一天的概率为________．
3. （1分） (2015高二下·临漳期中) 设复数z= ，则 =________．
4. （1分） (2017高二下·海淀期中) 已知平面向量 =（x1 ， y1）， =（x2 ， y2），那么•
=x1x2+y1y2；空间向量 =（x1 ， y1 ， z1）， =（x2 ， y2 ． z2），那么• =x1x2+y1y2+z1z2 ．由此推广到n维向量： =（a1 ， a2 ，…，an）， =（b1 ， b2 ，…，bn），那么• =________．
5. （1分） (2016高一下·大同期末) 如图，要在山坡上A、B两处测量与地面垂直的铁塔CD的高，由A、B 两处测得塔顶C的仰角分别为60°和45°，AB长为40m，斜坡与水平面成30°角，则铁塔CD的高为________ m．
6. （1分） (2017高一下·扬州期末) 已知α，β，γ是三个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
①如果m⊥α，m⊂β，那么α⊥β；
②如果m⊥n，m⊥α，那么n∥α；
③如果α⊥β，m∥α，那么m⊥β；
④如果α∥β，α∩γ=m，β∩γ=n，那么m∥n．
其中正确的命题有________．（写出所有正确命题的序号）
7. （1分）已知△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，AC= ，则△ABC的面积为________．
8. （1分）(2017·襄阳模拟) 已知函数的图象经过点，且相邻两条对称轴的距离为，则函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间为________．
9. （1分） (2016高一下·天津期末) 在△ABC中，a=6，B=30°，C=120°，则△ABC的面积是________．
10. （1分）(2017·石家庄模拟) 已知△ABC中，AC=4，BC=2 ，∠BAC=60°，AD⊥BC于D，则的值为________．
11. （1分）(2017·静安模拟) 已知f（x）=ax﹣b（（a＞0且且a≠1，b∈R），g（x）=x+1，若对任意实数x 均有f（x）•g（x）≤0，则的最小值为________．
12. （1分） (2016高一上·景德镇期中) 在等差数列{an}中，a2=5，a6=21，记数列的前n项和为Sn ，若对n∈N+恒成立，则正整数m的最小值为________．
13. （1分）已知函数f（x）=sinx﹣acosx图象的一条对称轴为x= π，记函数f（x）的两个极值点分别为x1 ， x2 ，则|x1+x2|的最小值为________
14. （1分）若不等式|a﹣2|≤|x+ |对一切非零实数x恒成立，则实数a的最大值是________．
二、简答题 (共6题；共50分)
15. （5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinA+bsinB﹣csinC=bsinA．
（Ⅰ）求∠C的度数；
（Ⅱ）若c=2，求AB边上的高CD的最大值．
16. （10分） (2016高一下·盐城期中) 如图，四边形ABCD、ADEF为正方形，G，H是DF，FC的中点．
（1）求证：GH∥平面CDE；
（2）求证：BC⊥平面CDE．
17. （5分） (2017高二下·张家口期末) 设函数f（x）＝|x－1|＋|2x－1|．
（Ⅰ）若对 x＞0，不等式f（x）≥tx恒成立，求实数t的最大值M；
（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，正实数a，b满足a2＋b2＝2M．证明：a＋b≥2ab．
18. （10分） (2018高一下·黑龙江期末) 设的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求角；
（2）若，，求的面积．
19. （10分） (2015高一下·仁怀开学考) 已知函数．
（1）证明f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（2）是否存在实数a使得f（x）的定义域、值域都是，若存在求出a的值，若不存在说明理由．
20. （10分） (2017高一下·衡水期末) 已知数列{an}是首项为正数的等差数列，a1•a2=3，a2•a3=15．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=（an+1）•2 ，求数列{bn}的前n项和Tn ．
参考答案一、填空题 (共14题；共14分)
答案：1-1、
考点：
解析：
答案：2-1、
考点：
解析：
答案：3-1、
考点：
解析：
答案：4-1、考点：
解析：
答案：5-1、考点：
解析：
答案：6-1、考点：
解析：
答案：7-1、考点：
解析：
答案：8-1、考点：
解析：
答案：9-1、考点：
解析：
答案：10-1、
考点：
解析：
答案：11-1、考点：
解析：
答案：12-1、考点：
解析：
答案：13-1、
考点：
解析：
答案：14-1、
考点：
解析：
二、简答题 (共6题；共50分)
答案：15-1、考点：
解析：
答案：16-1、
答案：16-2、考点：
解析：
答案：17-1、考点：
解析：
答案：18-1、
答案：18-2、考点：
解析：
答案：19-1、
答案：19-2、考点：
解析：
答案：20-1、
答案：20-2、考点：
解析：。