(教师版)九年级下册《二次函数》的应用培优提高
九年级数学下册《二次函数》能力提升1 (含答案)
第二章 二次函数能力提高一、选择题1.观察函数2y x =的图象，则下列判断中正确的是（ ）A.若,a b 互为相反数，财x a =与x b =的函数值相等。
B.对于同一个自变量x ，有两个函数值与其对应。
C.对任意实数x ，都有y >0。
D.对任意实数y ，都有两个x 与其对应。
2.已知h 关于t 的函数关系式为21(2h gt g =为常数，t 为时间），则函数图象为（ ）3.某工厂从国外进口了一套机器设备，现价值为50万元，但该套设备每年的折旧率为x ，那么两年之后这台机器的价值为y 万元，则y 与x 之间的函数关系式可以写为（ ）A.250(1)y x =-B.50(1)y x =-C.250y x =-D.230(1)y X =+4.如图，当ab >0时，抛物线2y ax =与直线y ax b =+的图象在同一坐标系内大致是（ ）二、填空题5. 把二次函数22y x =+的图象向下平移4个单位，得到的函数图象对应的解析式为 。
6.与二次函数2122y x =+的图象关于x 轴对称的图象对应的二次函数解析式为 。
7.抛物经①23y x =，②223y x =，③243y x =-中的开口从大到小顺序是 。
8.已知二次函数2(0)y ax c ac =+≠，当取1212,()x x x x ≠时，函数值相等，则当x 取12x x +时，函数值为 。
三、解答题9. 如图，某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8m ，两侧距地面4m 高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6m 。
求校门高（精确到0.1m ，水泥建筑物厚度忽略不计）。
10.已知抛物线2y x k =+与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且△ABC 为直角三角形，求抛物线2y x k =+的顶点坐标。
11.在同一平面直角坐标系内画出下列二次函数的图象①2112y x =-+ ②2122y x =-- 观察你所画的图象，并回答下列问题 （1） 两条抛物线的开口方向，顶点坐标和对称轴（2） 抛物线2112y x =-+通过怎样的平移可以得到抛物线2122y x =--，反之，抛物线2122y x =--通过怎样的平移可得到抛物线2112y x =-+？ （3） 请你根据你所画的抛物线，说出2y ax k =+的开口方向，对称轴和顶点坐标。
九年级培优专题(三)二次函数整合提升
知识网络
热点一：二次函数的图象与性质
二次函数的图象是抛物线，其性质主要体现在开口方向、 对称轴、顶点坐标、增减性、最值、对称性等方面，熟练掌握 这些性质是学好本章的前提和基础．
再者注意 y＝a(x－h)2＋k 的图象与函数 y＝ax2 的图象的关
系，它们形状、开口方向均相同，只是位置不同，可以通过平 移得到．平移的规律是：“h 左加右减，k 上加下减”．二次函 数的一般形式 y＝ax2＋bx＋c 可以转化为顶点式 y＝a(x－h)2＋k 加以分析．
解得 bБайду номын сангаас2，c＝－3，
则抛物线解析式为＝x2＋2x－3.
(－3,0)，
由题意， 点 A(－3,0)， ∴AC＝ 9＋9＝3 2，AD＝ 4＋16＝2 5， 2， CD＝ 1＋1＝
(2)结合图形，抛物线 y＝x2＋2x－3，与 x 轴的交点为(1,0)，
由 AC2＋CD2＝AD2，所以△ACD 为直角三角形．
∴三点纵坐标的大小关系为 y3>y2>y1. 答案：D
【跟踪训练】 1．二次函数 y＝x2＋2x－5 有( D ) A．最大值－5 C．最大值－6 B．最小值－5 D．最小值－6
2．抛物线 y＝(x＋2)2－3 可以由抛物线 y＝x2 平移得到，则 下列平移过程正确的是( B ) A．先向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位 B．先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位
将其代入 y＝(x－1) 中，得
2
3－ C 2
5 3－ 5 ， 2 (因点 C 在点 A 左
侧)．抛物线与 y 轴的交点 D 的坐标为(0,1)．
热点二：二次函数与一元二次方程的关系
北师大版2020九年级数学下册第二章二次函数单元综合培优提升训练题1(附答案详解)
北师大版2020九年级数学下册第二章二次函数单元综合培优提升训练题1（附答案详解）1．抛物线2(1)y x =-与y 轴的交点坐标为（）A ．(1,0)B ．(-1,0)C ．(0,-1)D ．(0,1)2．如图是二次函数2y ax bx c =++图像的一部分，其对称轴为x=-l ，且过点(-3,0）.下列说法：①abc<0；②2a -b=O ；③4a+2b+c<0；④若（-5，y 1），25(,)2y 是抛物线上两点，则y 1>y 2，其中说法正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个3．如下图，已知经过原点的抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的对称轴是直线x=-1，下列结论中①ab >0，②a +b +c ＞0，③当-2＜x ＜0时，y ＜0．正确的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．若二次函数y ＝x 2 +bx +5，配方后为y ＝（x -3）2+k ，则b 与k 的值分别为（ ） A ．-6，-4 B ．-6，4 C ．6，4 D ．6，-45．如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，P 是BC 边上不同于B ，C 的一动点，过点P 作PQ ⊥AB ，垂足为Q ，连接AP .若AC ＝3，BC ＝4，则△AQP 的面积的最大值是( )A ．254B ．258C ．7532D ．75166．在一定条件下，若物体运动的路程s(米)与时间t(秒)的关系式为s=5t 2+2t ，则当t=4时，该物体所经过的路程为( )7．二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点（-1,0），对称轴为直线x=2。
有下列结论：①4a+b=0;②16a+4b+c<0;③8a+7b+2c>0;④当x>-1时，y 的值随x 的增大而增大。
其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (其中a >0，b >0，c <0)，关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x 轴的交点有一个在y 轴的右侧．以上正确的说法的个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9．将抛物线y ＝2x 2向右平移1个单位，再向上平移5个单位，则平移后的抛物线的解析式为（ ）A ．y ＝2（x ＋1）2＋5B ．y ＝2（x ＋1）2－5C ．y ＝2（x －1）2＋5D ．y ＝2（x －1）2－510．将抛物线y ＝x 2向左平移3个单位，得到新抛物线的函数关系式是( )A ．y ＝x 2＋3B ．y ＝x 2－3C ．y ＝(x ＋3)2D ．y ＝(x －3)2 11．抛物线y=5(x+3)2-2的顶点坐标是（ ）A ．（-3，-2）B ．（3，-2）C ．（3,2）D ．（-3,2）12．将抛物线y=2x 2平移后得到抛物线y=2x 2+1，则平移方式为（ ）A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向上平移1个单位D ．向下平移1个单位13．抛物线y=x 2﹣2x+1的顶点坐标是______．14．将y =x 2﹣2x +5化成y =a （x ﹣h ）2+k 的形式，则y =__________．15．已知实数s ，t 满足21s t +=，则代数式2251s t s -++-的最大值等于________． 16．抛物线y ＝2x 2﹣bx +3的对称轴是直线x ＝1，则b 的值为_____．17．将二次函数y=x 2﹣2x ﹣5化为y=a （x ﹣h ）2+k 的形式为y=______________． 18．二次函数210y ax bx a =+≠-（）的图象经过点（1，1），则代数式1a b --的值为______．19．平时我们在跳绳时，绳子甩到最高处的形状可近似看作抛物线，如图，建立平面直角坐标系，抛物线的函数表达式为y ＝－16x 2＋13x ＋32(单位：m)，绳子甩到最高处时刚好通过站在x ＝2点处跳绳的学生小明的头顶，则小明的身高为______m.20．抛物线22(3)5y x =--+的顶点坐标是______21．已知二次函数22(3)1y x =-+．当__________时，y 随x 的增大而减小．22．二次函数y=-2x 2+4x+7的顶点坐标__________．23．一男生在校运动会比赛中推铅球，铅球的行进高度()y m 与水平距离()x m 之间的函数关系式为21251233y x x =-++，则铅球被推出的水平距离为________m ． 24．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，据此规律，请回答：（1）设每件商品降价x 元，则商场此商品可多售出 件，此商品每件盈利 元，此商品每天可销售 件．（2）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？25．直线y=-3x+3与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点A 关于直线x=-1的对称点为点C ．（1）求点C 的坐标；（2）若抛物线23y mx nx m =+-（m≠0）经过A 、B 、C 三点，求抛物线的表达式；（3）若抛物线23y ax bx =++（a≠0）经过A ，B 两点，且顶点在第二象限.抛物线与线段AC 有两个公共点，求a 的取值范围.26． 已知函数y ＝(m 2－m )x 2＋(m －1)x ＋2－2m .(1)若这个函数是二次函数，求m 的取值范围．(2)若这个函数是一次函数，求m 的值．(3)这个函数可能是正比例函数吗？为什么？27．如图，已知点A （0，2），B （2，2），C （－1，－2），抛物线F ：2222y x mx m =-+-与直线x =－2交于点P .（1）当抛物线F 经过点C 时，求它的表达式；（2）抛物线F 上有两点M ()11,x y 、N ()22,x y ，若－2≤12x x <，1y ＜2y ，求m 的取值范围；（3）设点P 的纵坐标为P y ，求P y 的最小值，此时抛物线F 上有两点M ()11,x y 、N ()22,x y ，若12x x <≤－2，比较1y 与2y 的大小；（4）当抛物线F 与线段AB 有公共点时，直接写出m 的取值范围．28．已知抛物线的顶点为(-1,-3)，与y 轴的交点为(0,-5)求抛物线的解析式.29．已知：抛物线C 1：y =x 2－2a x +2a+2 顶点P 在另一个函数图象C 2上，（1）求证：抛物线C 1必过定点A （1，3）；并用含的a 式子表示顶点P 的坐标；（2）当抛物线C 1的顶点P 达到最高位置时，求抛物线C 1解析式；并判断是否存在实数m 、n ，当m≤x≤n 时恰有3m≤y≤3n，若存在，求出求m 、n 的值；若不存在，说明理由；（3）抛物线C 1和图象C 2分别与y 轴交于B 、C 点，当△ABC 为等腰三角形，求a 的值． 30．已知二次函数y =x 2+mx +m ﹣5（m 是常数）．（1）求证：不论m 为何值，该函数的图象与x 轴一定有两公共点；（2）若该二次函数的图象过点（0，﹣3），则将函数图象沿x 轴怎样平移能使抛物线过原点？31．某商场销售一种成本为每件30元的商品，销售过程中发现，每月销售量y （件）与销售单价x（元）之间的关系可近似看作一次函数y＝－10x＋600，商场销售该商品每月获得利润为w（元）．（1）求w与x之间的函数关系式；（2）如果商场销售该商品每月想要获得2000元的利润，那么每月成本至少多少元？（3）为了保护环境，政府部门要求用更加环保的新产品替代该商品，商场销售新产品，每月的销量与销售价格之间的关系与原产品的销售情况相同，新产品的成本每件32元，若新产品每月的销售量不低于200件时，政府部门给予每件4元的补贴，试求定价多少元时，每月销售新产品的利润最大？求出最大的利润。
2023年中考数学复习《二次函数综合压轴题》培优提升专题训练(含解析)
2023年春九年级数学中考复习《二次函数综合压轴题》培优提升专题训练（附答案）1．已知：抛物线y＝x2+x+m交x轴于A，B两点，交y轴于点C，其中点B在点A的右侧，且AB＝7．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，点D在第一象限内抛物线上，连接CD，AD，AD交y轴于点E．设点D 的横坐标为d，△CDE的面积为S，求S与d之间的函数关系式（不要求写出自变量d的取值范围）；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DH⊥CE于点H，点P在DH上，连接CP，若∠OCP＝2∠DAB，且HE：CP＝3：5，求点D的坐标及相应S的值．2．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B，C，D的坐标分别（1，0），（3，0），（3，4），以A为顶点的抛物线y＝ax2+bx+c过点C．动点P从点A出发，以每秒个单位的速度沿线段AD向点D匀速运动，过点P作PE⊥x轴，交对角线AC于点N．设点P运动的时间为t（秒）．（1）求抛物线的解析式；（2）若PN分△ACD的面积为1：2的两部分，求t的值；（3）若动点P从A出发的同时，点Q从C出发，以每秒1个单位的速度沿线段CD向点D匀速运动，点H为线段PE上一点．若以C，Q，N，H为顶点的四边形为菱形，求t的值．3．如图1，过原点的抛物线与x轴交于另一点A，抛物线顶点C的坐标为，其对称轴交x轴于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点D为抛物线上位于第一象限内且在对称轴右侧的一个动点，求使△ACD 面积最大时点D的坐标；（3）在对称轴上是否存在点P，使得点A关于直线OP的对称点A'满足以点O、A、C、A'为顶点的四边形为菱形．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．综合与探究如图，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l，顶点为D．（1）求抛物线的解析式及点D坐标；（2）在直线l上是否存在一点M，使点M到点B的距离与到点C的距离之和最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在x轴上取一动点P（m，0），﹣3＜m＜﹣1，过点P作x轴的垂线，分别交抛物线，AD，AC于点E，F，G．①判断线段FP与FG的数量关系，并说明理由②连接EA，ED，CD，当m为何值时，四边形AEDC的面积最大？最大值为多少？5．如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）与双曲线y＝相交于点A、B，已知点A坐标（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）．（1）求实数a、b、k的值；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点P使得△POB为等腰三角形？若存在请求出所有的P点的坐标，若不存在请说明理由．（3）在坐标系内有一个点M，恰使得MA＝MB＝MO，现要求在y轴上找出点Q使得△BQM的周长最小，请求出M的坐标和△BQM周长的最小值．6．如图，已知，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，过点A的直线y＝kx+k与该抛物线交于点C，点P是该抛物线上不与A，B重合的动点，过点P作PD⊥x轴于D，交直线AC于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）若k＝﹣1，当PE＝2DE时，求点P坐标；（3）当（2）中直线PD为x＝1时，是否存在实数k，使△ADE与△PCE相似？若存在请求出k的值；若不存在，请说明你的理由．7．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为（0，﹣1），该抛物线与BE交于另一点F，连接BC．（1）求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）若点H（1，y）在BC上，连接FH，求△FHB的面积；（3）一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿平行于y轴方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒（t＞0），在点M的运动过程中，当t为何值时，∠OMB＝90°？8．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是第一象限抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交BC于点H．当点P 运动到何处时满足PC＝CH？求出此时点P的坐标；（3）若m≤x≤m+1时，二次函数y＝ax2+bx+3的最大值为m，求m的值．9．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣4，0），（2，0），点C在y轴上，其坐标为（0，﹣3），抛物线经过点A，B，C．P为第三象限内抛物线上一动点．（1）求该抛物线的解析式．（2）连接AC，过点P作PD⊥AC，PE∥y轴交AC于点E，当△PDE的周长最大时，求P点的坐标和△PDE周长的最大值．（3）若点M为x轴上一动点，点F为平面直角坐标系内一点．当点M，B，C，F构成菱形时，请直接写出点F的坐标．10．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，CA＝4，将∠ABC对折，使点C 的对应点H恰好落在直线AB上，折痕交AC于点O，以点O为坐标原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系．（1）求过A，B，O三点的抛物线解析式；（2）若在线段AB上有一动点P，过点P作x轴的垂线，交抛物线于M，连接MB，MA，求△MAB的面积的最大值；（3）若点E在抛物线上，点F在对称轴上，且以O，A，E，F为顶点的四边形为平行四边形，求点E的坐标．11．如图，矩形AOBC放置在平面直角坐标系xOy中，边OA在y轴的正半轴上，边OB在x轴的正半轴上，抛物线的顶点为F，对称轴交AC于点E，且抛物线经过点A（0，2），点C，点D（3，0）．∠AOB的平分线是OE，交抛物线对称轴左侧于点H，连接HF．（1）求该抛物线的解析式；（2）在x轴上有动点M，线段BC上有动点N，求四边形EAMN的周长的最小值；（3）该抛物线上是否存在点P，使得四边形EHFP为平行四边形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．12．如图抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式，并指出抛物线的顶点坐标．（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△P AC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△P AC的周长；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得S△P AM＝S△P AC，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．13．已知：抛物线y＝ax2﹣3（a﹣1）x+2a﹣6（a＞0）．（1）求证：抛物线与x轴有两个交点．（2）设抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2（其中x1＞x2）．若t是关于a的函数、且t＝ax2﹣x1，求这个函数的表达式；（3）若a＝1，将抛物线向上平移一个单位后与x轴交于点A、B．平移后如图所示，过A作直线AC，分别交y的正半轴于点P和抛物线于点C，且OP＝1．M是线段AC上一动点，求2MB+MC的最小值．14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣2的图象分别交x、y轴于点A、B，抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B，点P为第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）如图1所示，过点P作PM∥y轴，分别交直线AB、x轴于点C、D，若以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，求点P的坐标；（3）如图2所示，过点P作PQ⊥AB于点Q，连接PB，当△PBQ中有某个角的度数等于∠OAB度数的2倍时，请直接写出点P的横坐标．15．如图，已知直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+3经过B、C两点并与x轴的另一个交点为A，且OC＝3OA．（1）求抛物线的解析式；（2）点R为直线BC上方对称轴右侧抛物线上一点，当△RBC的面积为时，求R点的坐标；（3）在（2）的条件下，连接CR，作RH⊥x轴于H，连接CH、AC，点P为线段CR上一点，点Q为线段CH上一点，满足QH＝CP，过点P作PE∥AC交x轴于点E，连接EQ，当∠PEQ＝45°时，求CP的长．16．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣4分别与x轴，y轴交于点A和点C，抛物线y ＝ax2﹣3x+c经过A，C两点，并且与x轴交于另一点B．点D为第四象限抛物线上一动点（不与点A，C重合），过点D作DF⊥x轴，垂足为F，交直线AC于点E，连接BE．设点D的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）当∠ECD＝∠EDC时，求出此时m的值；（3）点D在运动的过程中，△EBF的周长是否存在最小值？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．17．如图，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0），B（4，0）．（1）求抛物线的表达式；（2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形P AOC的周长最小？若存在，求出四边形P AOC的周长最小值；若不存在，请说明理由；（3）如图②，点Q是OB上的一动点，连接BC，在线段BC上是否存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM是直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．18．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点A（﹣3，0），与y轴交于点B（0，4），在第一象限内有一点P（m，n），且满足4m+3n＝12．（1）求二次函数解析式．（2）若以点P为圆心的圆与直线AB、x轴相切，求点P的坐标．（3）若点A关于y轴的对称点为点A′，点C在对称轴上，且2∠CBA+∠P A′O＝90◦．求点C的坐标．19．如图，在直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式．（2）在抛物线上是否存在点D，使得△ABD的面积等于△ABC的面积的倍？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点E是以点C为圆心且1为半径的圆上的动点，点F是AE的中点，请直接写出线段OF的最大值和最小值．20．如图，抛物线y＝ax2+6x﹣5交x轴于A，B两点，交y轴于C点，点B的坐标为（5，0），直线y＝x﹣5经过点B，C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，求△BCP面积S的最大值并求出此时点P 的坐标；（3）过点A的直线交直线BC于点M，连接AC当直线AM与直线BC的一个夹角等于∠ACB的3倍时，请直接写出点M的坐标．21．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的解析式，并直接写出当x满足什么值时y＜0？（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2，点A的坐标为（1，0）．（1）求该抛物线的表达式及顶点坐标；（2）点P为抛物线上一点（不与点A重合），连接PC．当∠PCB＝∠ACB时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿平行于y轴的方向向下平移，平移后的抛物线的顶点为点D，点P的对应点为点Q，当OD⊥DQ时，求抛物线平移的距离．23．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（2，﹣3）和点B（5，0），顶点为C．（1）求这条抛物线的表达式和顶点C的坐标；（2）点A关于抛物线对称轴的对应点为点D，联结OD、BD，求∠ODB的正切值；（3）将抛物线y＝x2+bx+c向上平移t（t＞0）个单位，使顶点C落在点E处，点B落在点F处，如果BE＝BF，求t的值．24．如图，直线y＝﹣x+1与x轴，y轴分别交于A，B两点，抛物线y＝ax2+bx+c过点B，并且顶点D的坐标为（﹣2，﹣1）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若抛物线与直线AB的另一个交点为F，点C是线段BF的中点，过点C作BF的垂线交抛物线于点P，Q，求线段PQ的长度；（3）在（2）的条件下，点M是直线AB上一点，点N是线段PQ的中点，若PQ＝2MN，直接写出点M的坐标．25．如图，直线y＝﹣x+m与抛物线y＝ax2+bx都经过点A（6，0），点B，过B作BH垂直x轴于H，OA＝3OH．直线OC与抛物线AB段交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）当点C的纵坐标是时，求直线OC与直线AB的交点D的坐标；（3）在（2）的条件下将△OBH沿BA方向平移到△MPN，顶点P始终在线段AB上，求△MPN与△OAC公共部分面积的最大值．26．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝ax2+（a+）x+c（a≠0）经过点A （﹣3，﹣2），与y轴交于点B（0，﹣2），抛物线的顶点为点C，对称轴与x轴交于点D．（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；（2）点E是x轴正半轴上的一点，如果∠AED＝∠BCD，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，点P是位于y轴左侧抛物线上的一点，如果△P AE是以AE为直角边的直角三角形，求点P的坐标．27．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、C（3，0），点B为抛物线顶点，直线BD为抛物线的对称轴，点D在x轴上，连接AB、BC，∠ABC＝90°，AB与y轴交于点E，连接CE．（1）求顶点B的坐标并求出这条抛物线的解析式；（2）点P为第一象限抛物线上一个动点，设△PEC的面积为S，点P的横坐标为m，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；（3）如图2，连接OB，抛物线上是否存在点Q，使直线QC与直线BC所夹锐角等于∠OBD，若存在请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．28．如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别相交于点B、C，经过B、C两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P，且对称轴为直线x＝2．点G是抛物线y ＝ax2+bx+c位于直线y＝﹣x+3下方的任意一点，连接PB、GB、GC、AC．（1）求该抛物线的解析式；（2）求△GBC面积的最大值；（3）连接AC，在x轴上是否存在一点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．（1）由y＝x2+x+m，令y＝0，则（x+2）（x﹣m）＝0，∴AO＝2，BO＝m，∴A（﹣2，0），B（m，0），∵AB＝7，∴m﹣（﹣2）＝7，m＝5，∴y＝；（2）过点D作DK⊥x轴于点K，设∠DAB＝α，则D（d，﹣），∴＝．∴EO＝AO•tanα＝5﹣d，CE＝5﹣（5﹣d）＝d，∴；（3）过点E作CE的垂线，过C作∠OCP的平分线交DE于点J，交CE的垂线于点F，过点F作ED的平行线交HD于点N．∴∠ECF＝∠HDE＝α，HE＝3k，CP＝5k，CE＝HD＝d，∵CE＝HD，∠CEF＝∠CHD＝90°，∴△CEF≌△DHE（ASA），∵EF∥DN，NF∥DE，∴四边形EDNF为平行四边形，∴EF＝HE＝DN＝3k，CF＝DE＝FN，∴△CFN为等腰直角三角形，∴∠PCN＝∠FNC＝45°，∴∠PCN＝∠PNC＝45°﹣α，∴PC＝PN＝5k，∴PD＝2k，∴CH＝d﹣3k，PH＝d﹣2k，∴（d﹣3k）2+（d﹣2k）2＝（5k）2，∴（d﹣6k）（d+k）＝0，∴d＝6k，∴在Rt△DHE中，tan，由（2）知，∴．∴d＝4，∴D（4，3），∴＝＝8．2．解：（1）∵四边形ABCD为矩形，且B（1，0），C（3，0），D（3，4），∴A（1，4），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，将C（3，0）代入y＝a（x﹣1）2+4，得0＝4a+4，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；（2）∵PE⊥x轴，DC⊥x轴，∴PE∥DC，∴△APN∽△ADC，∵PN分△ACD的面积为1：2的两部分，∴＝或，当＝时，＝＝，∵AD＝2，∴AP＝，∴t的值为×2＝；当＝时，＝＝，∵AD＝2，∴AP＝，∴t的值为×2＝，综上所述，t的值为或；（3）如图2﹣1，当CN为菱形的对角线时，点P，N的横坐标均为，设直线AC的解析式为y＝kx+b，将A（1，4），C（3，0）代入y＝kx+b，得，解得，∴直线AC的表达式为y＝﹣2x+6，将点N的横坐标代入y＝﹣2x+6，得，即EN＝4﹣t，由菱形CQNH可得，CQ＝NH＝t＝CH，可得EH＝（4﹣t）﹣t＝4﹣2t，∵，∴，在Rt△CHE中，∵CE2+EH2＝CH2，∴，解得，t1＝，t2＝4（舍）；如图2﹣2，当CN为菱形的边时，由菱形CQHN可得，CQ＝CN＝t，在Rt△CNE中，∵NE2+CE2＝CN2，∴（4﹣t）2+（2﹣t）2＝t2，解得，t1＝20﹣8，t2＝20+8（舍）；综上所述，t的值为或．3．解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k，（a≠0）∵顶点，∴，又∵图象过原点，∴，解出：，∴，即；（2）令y＝0，即，解得：x1＝0，x2＝4，∴A（4，0），设直线AC的解析式为y＝kx+b，将点A（4，0），代入，得，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+4，过点D作DF∥y轴交AC于点F，设，则，∴，∴＝，∴当m＝3时，S△ACD有最大值，当m＝3时，，∴；（3）∵∠CBO＝∠CBA＝90°，OB＝AB＝2，，∴，∴OA＝OC＝AC＝4，∴△AOC为等边三角形，①如图3﹣1，当点P在C时，OA＝AC＝CA'＝OA'，∴四边形ACA'O是菱形，∴；②作点C关于x轴的对称点C'，当点A'与点C'重合时，OC＝AC＝AA'＝OA'，∴四边形OCAA'是菱形，∴点P是∠AOA'的角平分线与对称轴的交点，记为P2，∴，∵∠OBP2＝90°，OB＝2，∴OP2＝2BP2，设BP2＝x，∴OP2＝2x，又∵，∴（2x）2＝22+x2，解得或，∴；综上所述，点P的坐标为或．4．解：（1）由抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，得，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；由y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，得，点D坐标为（﹣1，4）；（2）在直线l上存在一点M，到点B的距离与到点C的距离之和最小，根据抛物线对称性MA＝MB，∴MB+MC＝MA+MC，∴使MB+MC的值最小的点M应为直线AC与对称轴l：x＝﹣1的交点，当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），设直线AC解析式为直线y＝kx+b，把A（﹣3，0）、C（0，3）分别代入y＝kx+b，得，，解得，，∴直线AC解析式为y＝x+3，把x＝﹣1代入y＝x+3得，y＝2，∴M（﹣1，2），即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）；（3）①PF＝2FG，理由如下，设直线AD解析式为y＝k'x+b'，把A（﹣3，0）、D（﹣1，4）分别代入直线y＝k'x+b'，得，，解得，∴直线AD解析式为y＝2x+6，则点F的坐标为（m，2m+6），同理G的坐标为（m，m+3），则FG＝（2m+6）﹣（m+3）＝m+3，FP＝2m+6＝2（m+3），∴FP＝2FG；②根据题意得点E的坐标为（m，﹣m2﹣2m+3），设直线l与x轴交于点N，EF＝（﹣m2﹣2m+3）﹣（2m+6）＝﹣m2﹣4m﹣3＝﹣（m+2）2+1∴S△AED＝S△AEF+S△EFD＝＝，∴当m为﹣2时，S△AED的最大值为1，如图，过点D作DH∥x轴，交y轴于点H，在△DHC中，∠DHC＝180°﹣∠AOB＝90°，，在Rt△AOC中，，在Rt△ADN中，，∵，∴DC2+AC2＝AD2，∴∠ACD＝90°，∴，∴，∴当m为﹣2时，四边形AEDC的面积最大，最大值为4．5．解：（1）将A（1，4）代入y＝，得，k＝4，∴双曲线解析式为y＝，设B（m，）（m＜0），连接AB，交x轴于点C，设直线AB的解析式为y＝kx+b，将点A（1，4），B（m，）代入，得，解得，，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+，当y＝0时，x＝m+1，∴C（m+1，0），OC＝﹣m﹣1，∴S△AOB＝OC•（y A﹣y B）＝（﹣m﹣1）（4﹣），∵△AOB的面积为3，∴（﹣m﹣1）（4﹣）＝3，整理，得2m2+3m﹣2＝0，解得，m1＝（舍去），m2＝﹣2，∴B（﹣2，﹣2），将A（1，4），B（﹣2，﹣2）代入y＝ax2+bx，得，，解得，，∴抛物线的解析式为y＝x2+3x，∴a＝1，b＝3，k＝4；（2）在抛物线y＝x2+3x中，对称轴为x＝﹣，设P（﹣，y），∵O（0，0），B（﹣2，﹣2），∴PO2＝+y2，OB2＝8，PB2＝+（y+2）2，∵△POB为等腰三角形，∴①PO2＝OB2时，+y2＝8，解得，y＝±，∴P1（﹣，﹣），P2（﹣，）；②PB2＝OB2时，+（y+2）2＝8，解得，y＝﹣2±，∴P3（﹣，﹣2﹣），P4（﹣，﹣2+）；③PB2＝OP2时，+（y+2）2＝+y2，解得，y＝﹣，∴P5（﹣，﹣）；综上所述，点P的坐标为P1（﹣，﹣），P2（﹣，），P3（﹣，﹣2﹣），P4（﹣，﹣2+），P5（﹣，﹣）；（3）设M（x，y），∵A（1，4），B（﹣2，﹣2），O（0，0），∴MO2＝x2+y2，MA2＝（x﹣1）2+（y﹣4）2，MB2＝（x+2）2+（y+2）2，又∵MO＝MA＝MB，∴，解得，，∴M（﹣，），作B关于y轴的对称点B'（2，﹣2），连接B'M交y轴于Q，则此时MQ+BQ的值最小，理由是两点之间，线段最短，又∵MB的长度为定值，∴此时△BQM的周长最小，C△BQM＝MB+MQ+BQ＝MB+MB'＝＝，∴M的坐标为（﹣，），△BQM周长的最小值为．6．解：（1）将点A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝x2+bx+c，得，，解得，，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣3x﹣4；（2）当k＝﹣1时，直线AC的解析式为y＝﹣x﹣1，设P（x，x2﹣3x﹣4），则E（x，﹣x﹣1），D（x，0），则PE＝|x2﹣3x﹣4﹣（﹣x﹣1）|＝|x2﹣2x﹣3|，DE＝|x+1|，∵PE＝2ED，∴|x2﹣2x﹣3|＝2|x+1|，当x2﹣2x﹣3＝2（x+1）时，解得，x1＝﹣1（舍去），x2＝5，∴P（5，6）；当x2﹣2x﹣3＝﹣2（x+1）时，解得，x1＝﹣1（舍去），x2＝1，∴P（1，﹣6）；综上所述，点P的坐标为（5，6）或（1，﹣6）；（3）存在，理由如下；∵∠AED＝∠PEC，∴要使△ADE与△PCE相似，必有∠EPC＝∠ADE＝90°或∠ECP＝∠ADE＝90°，①当∠EPC＝∠ADE＝90°时，如图1，CP∥x轴，∵P（1，﹣6），根据对称性可得C（2，﹣6），将C（2，﹣6），代入直线AC解析式中，得2k+k＝﹣6，解得，k＝﹣2；②当∠ECP＝∠ADE＝90°时，如图2，过C点作CF⊥PD于点F，则有∠FCP＝∠PEC＝∠AED，则△PCF∽△AED，∴＝，在直线y＝kx+k上，当x＝1时，y＝2k，∴E（1，2k），∴DE＝﹣2k，由，得或，∴C（k+4，k2+5k），∴F（1，k2+5k），∴CF＝k+3，FP＝k2+5k+6，∴＝，解得，k1＝k2＝﹣1，k3＝﹣3（此时C与P重合，舍去），综上，当k＝﹣2或﹣1时，△ADE与△PCE相似．7．（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，∴，∴，∴抛物线解析式为；（2）如图1，过点A作AH∥y轴交BC于H，交BE于G，由（1），C（0，﹣2），将B（3，0），C（0，﹣2）代入y＝kx+b，得，，解得，，∴直线BC的解析式为，∵H（1，y）在直线BC上，∴，∴，将点B（3，0），E（0，﹣1）代入y＝kx+b，得，，解得，，∴直线BE的解析式为y＝x﹣1，∴G（1，﹣），∴GH＝，∵直线BE：y＝x﹣1与抛物线y＝﹣x2+x﹣2相交于F，B，∴F（，﹣），∴S△FHB＝GH×（x B﹣x F）＝××（3﹣）＝；（3）如图2，由（1）y＝﹣x2+x﹣2＝﹣（x﹣2）2+，∴顶点D（2，），∵动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿平行于y轴方向向上运动，∴设M（2，m），m＞，∴OM2＝m2+4，BM2＝m2+1，OB2＝9，∵∠OMB＝90°，∴OM2+BM2＝OB2，∴m2+4+m2+1＝9，∴m1＝，m2＝﹣（舍），∴M（2，），∴MD＝﹣，∴，∴当时，∠OMB＝90°．8．解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，得，解得，，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）设直线BC的解析式为y＝kx+3，将点B（3，0）代入y＝kx+3，得，k＝﹣1，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），过点C作CM⊥PH于点M，则CM＝x，PH＝﹣x2+3x，当CP＝CH时，PM＝MH，∠MCH＝∠MCP，∵OB＝OC，∴∠OBC＝45°，∵CM∥OB，∴∠MCH＝∠OBC＝45°，∴∠PCH＝90°，∴MC＝PH＝（﹣x2+3x），即x＝（﹣x2+3x），解得，x1＝0（舍去），x2＝1，∴P（1，4）；（3）在y＝﹣x2+2x+3中，对称轴为x＝1，若m+1≤1，即m≤0时，当x＝m+1时，函数有最大值m，∴﹣（m+1）2+2（m+1）+3＝m，解得，m1＝（舍去），m2＝；若m＜1＜m+1，即0＜m＜1时，当x＝1时，函数有最大值为m＝4（舍）；若m＞1，当x＝m时，函数有最大值为m，∴﹣m2+2m+3＝m，解得，m1＝（舍去），m2＝，综上所述，m的值为或．9．解：（1）∵抛物线经过点A，B，它们的坐标分别为（﹣4，0）、（2，0），∴设其解析式为y＝a（x+4）（x﹣2），将点C（0，﹣3）代入y＝a（x+4）（x﹣2），解得，，∴抛物线的解析式为；（2）∵OA＝4，OC＝3，∠AOC＝90°，∴AC＝＝5，∵PD⊥AC，∠PDE＝∠AOC＝90°，又∵PE∥y轴，∴∠PED＝∠ACO，∴△PDE∽△AOC，∴PD：AO＝DE：OC＝PE：AC，即PD：4＝DE：3＝PE：5，∴，∴△PDE的周长＝，则要使△PDE周长最大，PE取最大值即可，设直线AC的解析式为y＝kx﹣3，将点A（﹣4，0）代入y＝kx﹣3，得，k＝﹣，∴直线AC的解析式为，设点，则，∴当a＝﹣2时，取得最PE大值，最大值为，则，∴P（﹣2，﹣3），△PDE周长的最大值为；（3）如右图，①当BM为对角线时，显然，点F在y轴上，根据对称性得到点F的坐标为（0，3）；②当BM为边时，∵，则有以下几种情况：（I）BC为边时，BM＝BC＝，点M在x轴负半轴上时，点M是点B向左平移个单位长度得到的，∴M（2﹣，0），∴点C（0，﹣3）向左平移个单位长度得到点F；点M在x轴正半轴上时，点M是点B向平右移个单位长度得到的，∴M（2+，0），∴点C（0，﹣3）向右平移个单位长度得到点F；（II）BC为对角线时，设OM＝x，在直角三角形OMC中，由勾股定理可得OM2+OC2＝MC2，即x2+32＝（x+2）2，解得，x＝，∴菱形的边长为2+＝，∴CF＝，∴F（，﹣3），综上所述，点F的坐标为（0，3）或或或．10．解：（1）在Rt△ABC中，AB＝＝＝5，由翻折知，△BCO≌△BHO，∴BH＝BC＝3，∴AH＝AB﹣BH＝2，∵∠HAO＝∠CAB，∠OHA＝∠BCA＝90°，∴△AHO∽△ACB，∴＝，即＝，∴AO＝，∴A（，0），B（﹣，3），∵抛物线经过原点O，∴可设抛物线的解析式为y＝ax2+bx，将点A（，0），B（﹣，3）代入，得，解得，，∴过A，B，O三点的抛物线解析式为y＝x2﹣x；（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，将点A（，0），B（﹣，3）代入，得，解得∴直线AB的解析式为y＝﹣x+，∴可设P（x，﹣x+），则M（x，x2﹣x），∴PM＝﹣x+﹣（x2﹣x）＝﹣x2+x+，∴S△MAB＝PM（x A﹣x B）＝（﹣x2+x+）×4＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣）2+4，∴当x＝时，△MAB的面积取最大值4；（3）在y＝x2﹣x中，对称轴为x＝，①如图3﹣1，当OA为平行四边形的一边时，OA平行且等于EF，∵OA＝，∴EF＝，∵x F＝，∴x E＝±＝或﹣，当x E＝或﹣，时y E＝，∴点E的坐标为（，）或（﹣，）；②如图3﹣2，当OA为平行四边形的对角线时，OA与EF互相平分，则点E在抛物线顶点处，∵当x＝时，y＝﹣，∴点E的坐标为（，﹣），综上所述，点E的坐标为（，）或（﹣，）或（，﹣）．11．解：（1）∵AE∥x轴，OE平分∠AOB，∴∠AEO＝∠EOB＝∠AOE，∴AO＝AE，∵A（0，2），∴E（2，2），∴点C（4，2），设二次函数解析式为y＝ax2+bx+2，∵C（4，2）和D（3，0）在该函数图象上，∴，得，∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣x+2；（2）作点A关于x轴的对称点A1，作点E关于直线BC的对称点E1，连接A1E1，交x 轴于点M，交线段BC于点N．根据对称与最短路径原理，此时，四边形AMNE周长最小．易知A1（0，﹣2），E1（6，2）．设直线A1E1的解析式为y＝kx+b，，得，∴直线A1E1的解析式为．当y＝0时，x＝3，∴点M的坐标为（3，0）．∴由勾股定理得AM＝，ME1＝，∴四边形EAMN周长的最小值为AM+MN+NE+AE＝AM+ME1+AE＝；（3）不存在．理由：过点F作EH的平行线，交抛物线于点P．易得直线OE的解析式为y＝x，∵抛物线的解析式为y＝x2﹣x+2＝，∴抛物线的顶点F的坐标为（2，﹣），设直线FP的解析式为y＝x+b，将点F代入，得，∴直线FP的解析式为．，解得或，∴点P的坐标为（，），FP＝×（﹣2）＝，，解得，或，∵点H是直线y＝x与抛物线左侧的交点，∴点H的坐标为（，），∴OH＝×＝，易得，OE＝2，EH＝OE﹣OH＝2﹣＝，∵EH≠FP，∴点P不符合要求，∴不存在点P，使得四边形EHFP为平行四边形．12．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），∴，得，∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴该抛物线的顶点坐标为（1，4），即该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，顶点坐标为（1，4）；（2）点A关于对称轴的对称点是点B，连接CB与对称轴的交点为P，此时点P即为所求，设过点B（3，0），点C（0，3）的直线解析式为y＝kx+m，，得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，∴点P的坐标为（1，2），∵点A（﹣1，0），点C（0，3），点B（3，0），∴AC＝，BC＝3，∴△P AC的周长是：AC+CP+P A＝AC+CB＝，即点P的坐标为（1，2），△P AC的周长是；（3）存在点M（不与C点重合），使得S△P AM＝S△P AC，∵S△P AM＝S△P AC，∴当以P A为底边时，只要两个三角形等高即可，即点M和点C到P A的距离相等，当点M在点C的上方时，则CM∥P A时，点M和点C到P A的距离相等，设过点A（﹣1，0），点P（1，2）的直线l1解析式为：y＝kx+m，，得，∴直线AP的解析式为y＝x+1，∴直线CM的解析式为y＝x+3，由得，，，∴点M的坐标为（1，4）；当点M在点C的下方时，则点M所在的直线l2与AP平行，且直线l2与直线AP之间的距离与直线l1与直线AP 之间的距离相等，∴直线l2的的解析式为y＝x﹣1，由得，，，∴M的坐标为（，）或（，）；由上可得，点M的坐标为（1，4），（，）或（，）．13．（1）证明：△＝b2﹣4ac＝[﹣3（a﹣1）]2﹣4a（2a﹣6）＝a2+6a+9＝（a+3）2，∵a＞0，∴（a+3）2＞0，∴抛物线与x轴有两个交点；（2）解：令y＝0，则ax2﹣3（a﹣1）x+2a﹣6＝0，∴或，∵a＞0，∴且x1＞x2，∴x1＝2，，∴，∴t＝a﹣5；（3）解：当a＝1时，则y＝x2﹣4，向上平移一个单位得y＝x2﹣3，令y＝0，则x2﹣3＝0，得，∴，，∵OP＝1，∴直线，联立：，解得，，，即，，∴AO＝，在Rt△AOP中，AP＝＝2，过C作CN⊥y轴，过M作MG⊥CN于G，过C作CH⊥x轴于H，∵CN∥x轴，∴∠GCM＝∠P AO，又∵∠AOP＝∠CGM＝90°，∴△AOP∽△CGM，∴＝＝，∴，∵B到CN最小距离为CH，∴MB+GM的最小值为CH的长度，∴2MB+MC的最小值为．14．解：（1）令x＝0，得y＝x﹣2＝﹣2，则B（0，﹣2），令y＝0，得0＝x﹣2，解得x＝4，则A（4，0），把A（4，0），B（0，﹣2）代入y＝x2+bx+c（a≠0）中，得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣2；（2）∵PM∥y轴，∴∠ADC＝90°，∵∠ACD＝∠BCP，∴以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，存在两种情况：①当∠CBP＝90°时，如图1，过P作PN⊥y轴于N，设P（x，x2﹣x﹣2），则C（x，x﹣2），∵∠ABO+∠PBN＝∠ABO+∠OAB＝90°，∴∠PBN＝∠OAB，∵∠AOB＝∠BNP＝90°，∴△AOB∽△BNP，∴，即＝，解得：x1＝0（舍），x2＝，∴P（，﹣5）；②当∠CPB＝90°时，如图2，则B和P是对称点，当y＝﹣2时，x2﹣x﹣2＝﹣2，∴x1＝0（舍），x2＝，∴P（，﹣2）；综上，点P的坐标是（，﹣5）或（，﹣2）；（3）∵OA＝4，OB＝2，∠AOB＝90°，∴∠BOA≠45°，∴∠BQP≠2∠BOA，∴分两种情况：①当∠PBQ＝2∠OAB时，如图3，取AB的中点E，连接OE，过P作PG⊥x轴于G，交直线AB于H，∴OE＝AE，∴∠OAB＝∠AOE，∴∠OEB＝2∠OAB＝∠PBQ，∵OB∥PG，∴∠OBE＝∠PHB，∴△BOE∽△HPB，∴，由勾股定理得：AB＝＝2，∴BE＝，∵GH∥OB，∴，即，∴BH＝x，设P（x，x2﹣x﹣2），则H（x，x﹣2），∴PH＝x﹣2﹣（x2﹣x﹣2）＝﹣x2+4x，∴，解得：x1＝0，x2＝3，∴点P的横坐标是3；②当∠BPQ＝2∠OAB时，如图4，取AB的中点E，连接OE，过P作PG⊥x轴于G，交直线AB于H，过O作OF⊥AB于F，连接AP，则∠BPQ＝∠OEF，设点P（t，t2﹣t﹣2），则H（t，t﹣2），∴PH＝t﹣2﹣（t2﹣t﹣2）＝﹣t2+4t，∵OB＝2，OA＝4，∴AB＝2，∴OE＝BE＝AE＝，OF＝＝＝，∴EF＝＝＝，S△ABP＝＝，∴2PQ＝4（﹣t2+4t），PQ＝，∵∠OFE＝∠PQB＝90°，∴△PBQ∽△EOF，∴，即，∴BQ＝，∵BQ2+PQ2＝PB2，∴＝，化简得，44t2﹣388t+803＝0，即：（2t﹣11）（22t﹣73）＝0，解得：t1＝5.5（舍），t2＝；综上，存在点P，使得△PBQ中有某个角的度数等于∠OAB度数的2倍时，其P点的横坐标为3或．15．解：（1）在直线y＝﹣x+3中，当x＝0时，y＝3；当y＝0时，x＝4，∴C（0，3），B（4，0），∴OC＝3，∵OC＝3OA，∴OA＝1，∴A（﹣1，0），把A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+3，得，，解得，a＝﹣，b＝，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+3；（2）如图1，连接RO，RC，RB，设R（t，﹣t2+t+3），则S△RBC＝S△OCR+S△OBR﹣S△OBC＝×3t+×4（﹣t2+t+3）﹣×3×4＝﹣t2+6t，∵S△RBC＝，∴﹣t2+6t＝，解得，t1＝1，t2＝3，∵点R为直线BC上方对称轴右侧，∴R（3，3）；（3）如图2﹣1，在RH上截取RM＝OA，连接CM、AM，AM交PE于G，作QF⊥OB 于H，∵CR＝CO，∠CRM＝∠COA，∴△CRM≌△COA（SAS），∴CM＝CA，∠RCM＝∠OCA，∴∠ACM＝∠OCR＝90°，∴∠CAM＝∠CMA＝45°，∵AC∥PE，∴∠CAM＝∠AGE＝45°，∴∠PEQ＝45°，∴∠AGE＝∠PEQ，∴AM∥QE，∴∠MAH＝∠QEF，∵∠QFE＝MHA＝90°，∴△QEF∽△MAH，∴＝，∴EF＝2QF，设CP＝m，∴QH＝CP＝m，∵OC＝OH，∴∠OHC＝45°，∴QF＝FH＝m，∴EF＝2m，∴EH＝3m，∵四边形ACPE为平行四边形，∴AE＝CP＝m，∵EH＝AH﹣AE＝4﹣m，∴3m＝4﹣m，∴m＝1，∴CP＝1；如图2﹣2，在RH上截取RM＝OA，连接CM、AM，AM交PE于G，交QE于N，作QF ⊥OB于H，∵CR＝CO，∠CRM＝∠COA，∴△CRM≌△COA（SAS），∴CM＝CA，∠RCM＝∠OCA，∴∠ACM＝∠OCR＝90°，∴∠CAM＝∠CMA＝45°，∵AC∥PE，∴∠CAM＝∠AGE＝45°，∴∠PEQ＝45°，∴∠AGE＝∠PEQ＝45°，∴∠ENG＝∠ENA＝90°，∵∠EQF+∠QEF＝90°，∠EAN+∠QEF＝90°，∴∠EQF＝∠MAB，∵∠QFE＝∠AHM＝90°，∴△QEF∽△AMH，∴＝，∴QF＝2EF，设CP＝m，∴QH＝CP＝m，∵OC＝OH，∴∠OHC＝45°，∴QF＝FH＝m，∴EF＝m，∴EH＝m，∵四边形ACPE为平行四边形，∴AE＝CP＝m，∵EH＝AH﹣AE＝4﹣m，∴4﹣m＝m，∴m＝，∴CP＝，综上所述，CP的长度为1或．16．解：（1）在y＝x﹣4中，当x＝0时，y＝﹣4；当y＝0时，x＝4．∴A（4，0），C（0，﹣4）把A（4，0），C（0，﹣4）代入y＝ax2﹣3x+c中，得，解得，∴抛物线的解析式是y＝x2﹣3x﹣4．（2）如图1，过点E作EH⊥y轴，垂足为H．∵OA＝OC＝4，∴∠OAC＝∠ACO＝45°，∴∠HEC＝∠HCE＝45°．∵点D（m，m2﹣3m﹣4），E（m，m﹣4），∴EH＝HC＝m，ED＝（m﹣4）﹣（m2﹣3m﹣4）＝﹣m2+4m．∴，∴当∠ECD＝∠EDC时，EC＝ED．∴，解得m＝0（舍去）或；（3）存在．∴点D为第四象限抛物线上一动点（不与点A，C重合），∴0＜m＜4，在抛物线y＝x2﹣3x﹣4中，当y＝0时，x2﹣3x﹣4＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，∴点B坐标为（﹣1，0）．∵∠F AE＝∠FEA＝45°，∴EF＝AF．设△BFE的周长为n，则n＝BF+FE+BE＝BF+AF+BE＝AB+BE，∵AB的值不变，∴当BE最小，即BE⊥AC时，△BFE的周长最小．∵当BE⊥AC时，∠EBA＝∠BAE＝45°，∴BE＝AE，∴BF＝AF＝2.5．∴m＝4﹣2.5＝1.5时，△BEF的周长最小．17．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）、B（4，0），∴，解得，∴该抛物线的解析式：y＝x+3；（2）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0），B（4，0），∴A、B关于对称轴对称，。
2020-2021初中数学二次函数的应用培优提升训练题2(附答案详解)
2020-2021初中数学二次函数的应用培优提升训练题2（附答案详解） 一、单选题 1．小明研究二次函数2221y x mx m =-+-+（m 为常数）性质时有如下结论：①该二次函数图象的顶点始终在平行于x 轴的直线上；②该二次函数图象的顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形；③当12x -<<时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围为2m ≥；④点()11,A x y 与点()22,B x y 在函数图象上，若12x x <，122x x m +>，则12y y >.其中正确结论的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．如图，二次函数y 1=x 2-mx 的图象与反比例函数22y x=的图象交于（a ，1）点，则y 1>y 2时，x 的取值范围是（ ） A ．x >2 B ．0<x <2 C ．x >2或x <0 D ．x <03．如图，分别过点P i （i ，0）（i ＝1、2、…、n ）作x 轴的垂线，交212y x =的图象于点A i ，交直线12y x =-于点B i ．则111A B +121A B +1n nA B +的值为（ ） A ．21n n + B ．2 C ．2(1)n n + D ．2n 1+ 4．方程227(13)20x k x k k -++--=（k 是实数）有两个实根α、β，且01α<<，12β<<，那么k 的取值范围是（ ）A ．34k <<B ．21k -<<-C ．34k <<或21k -<<-D ．无解 5．如图，在四边形ABCD 中,AB ∥CD ，∠A=90°，AB=1，AD=3，DC=5.点S 沿A→B→C 运动到C 点停止，以S 为圆心，SD 为半径作弧交射线DC 于T 点，设S 点运动的路径长为x ，等腰△DST 的面积为y ，则y 与x 的函数图象应为( )A ．B ．C ．D ．6．如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，90BCD ∠=，10AB AD cm ==，8BC cm =，点P 从点A 出发，以每秒3cm 的速度沿折线A B C D ---方向运动，点Q 从点D 出发，以每秒2cm 的速度沿线段DC 方向向点C 运动、已知动点P ，Q 同时出发，当点Q 运动到点C 时，点P ，Q 停止运动，设运动时间为t 秒，在这个运动过程中，若BPQ ∆的面积为220cm ，则满足条件的t 的值有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．如图，在矩形ABCD 中，8,4,AB AD E ==为CD 的中点，连接AE BE 、，点M 从点A 出发沿AE 方向向点E 匀速运动，同时点N 从点E 出发沿EB 方向向点B 匀速运动，点M N 、运动速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t ，连接MN ，设EMN ∆的面积为S ，则S 关于t 的函数图像为( )A ．B ．C ．D ． 8．如图，正方形ABCD 的边长为2m ，点P ，点Q 同时从点A 出发，速度均2cm/s ，点P 沿A D C --向点C 运动，点Q 沿A B C --向点C 运动，则△APQ 的面积()2cm S 与运动时间()s t 之间函数关系的大致图象是（ ） A ．B ．C ．D ．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()()y x 1x 3=+-与x 轴相交于A 、B 两点.若在抛物线上有且只有三个不同的点1C 、2C 、3C ，使得1ΔABC 、2ΔABC 、3ΔABC 的面积都等于m ，则m 的值是（ ）A ．6B ．8C ．12D ．16 二、填空题 10．已知函数()2(x 1)1,x 32y (x 5)1,(x 3)--≤⎧⎪=-->⎨⎪⎩，若使y k =成立的x 值恰好有2个，则k 的值为______．11．如图，抛物线y=-x 2+2x+3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点，点P 为第一象限抛物线上一点，且∠DAP=45°，则点P 的坐标为______．12．如图，在第一象限内作射线OC ，与x 轴的夹角为30，在射线OC 上取点A ，过点A 作AH x ⊥轴于点H ．在抛物线2(0)y x x =>上取点P ，在y 轴上取点Q ，使得以P ，O ，Q 为顶点，且以点Q 为直角顶点的三角形与AOH 全等，则符合条件的点A 的坐标是________．13．如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数表达式为y ＝－18x 2＋12x ＋32，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为_____米．14．如图，将抛物线y=−x 2+2x+8的图象x 轴上方的部分沿x 轴折到x 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象(实线部分)；点P(a ，ka-1)在该函数上，若这样的点P 恰好有3个，则k 的值为_____.15．已知抛物线242y x x c =++，且当11x -<<时，抛物线与x 轴有且只有一个公共点，则c 的取值范围是________.16．边长为2的正方形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D 是边OA 的中点，连接CD ，点E 在第一象限，且DE ⊥DC ，DE ＝DC ．以直线AB 为对称轴的抛物线过C ，E 两点．点M 为直线AB 上一动点，点N 为抛物线上一动点，当以点M ，N ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形时点N 的坐标为___________．17．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22y x ax b =-+的顶点在x 轴上，P ()1,x m ，Q ()2,x m （12x x <）是此抛物线上的两点.若存在实数c ，使得13x c ≤-，且23x c ≥+成立，则m 的取值范围是__________．18．如图，已知抛物线y=49-(x-1)(x-7)与x 轴交于两点，对称轴与抛物线交于点C ，与x 轴交于点D ，⊙C 的半径为2，G 为⊙C 上的一动点，P 为AG 的中点，则DP 的最大值为_________.三、解答题19．如图，抛物线y=ax 2-4n+4经过点P （2,4），与x 轴交于A 、B 两点，过点P 作直线l ∥x 轴，点C 为第二象限内直线l 上方，抛物线上一个动点，其横坐标为m 。
初三中考二次函数培优
初三数学培优卷：二次函数考点分析培优★★★二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点．★★二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）一般式：y=ax 2+bx+c ，三个点顶点式：y=a （x －h ）2+k ，顶点坐标对称轴 顶点坐标（－，）． 顶点坐标（h ，k ）★★★a b c 作用分析│a │的大小决定了开口的宽窄，│a │越大，开口越小，│a │越小，开口越大，a ，b 的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0时，对称轴x=0，即对称轴为y 轴，当a ，b 同号时，对称轴x=－<0，即对称轴在y 轴左侧，当a ，b•异号时，对称轴x=－>0，即对称轴在yc•的符号决定了抛物线与y 轴交点的位置，c=0时，抛物线经过原点，c>0时，与y 轴交于正半轴；c<0时，与y•轴交于负半轴，以上a ，b ，c 的符号与图像的位置是共同作用的，也可以互相推出．交点式：y=a(x- x 1)(x- x 2)，（有交点的情况）与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2对称轴为221x x h +=2b a 244ac b a-2b a 2b a１.把二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是2)1(2-+=x y 则原二次函数的解析式为２.二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状开品与抛物线y= - 2x 2相同，这个函数解析式为________。
３.如果函数1)3(232++-=+-kx x k y k k是二次函数,则k 的值是______★６.抛物线5)43()1(22+--++=x m m x m y 以Y 轴为对称轴则。
M ＝７.二次函数52-+=a ax y 的图象顶点在Y 轴负半轴上。
且函数值有最小值，则m 的取值范围是9.抛物线2)13(-=x y 当x 时，Y 随X 的增大而增大★11.已知二次函数2)3(2--=x y ，当X 取1x 和2x 时函数值相等，当X 取1x +2x 时函数值为18.如果抛物线y=x 2-6x+c-2的顶点到x 轴的距离是3,那么c 的值等于（ ）（A ）8 （B ）14（C ）8或14 （D ）-8或-1419.二次函数y=x 2-(12-k)x+12,当x>1时，y 随着x 的增大而增大，当x<1时，y 随着x 的增大而减小，则k 的值应取（ ）（A ）12 （B ）11 （C ）10 （D ）920.若0<b ，则二次函数12-+=bx x y 的图象的顶点在 （ A ）（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限21.不论x 为何值,函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的值恒大于0的条件是( )A.a>0,△>0B.a>0, △<0C.a<0, △<0D.a<0, △<0★22.已知二次函数)1(3)1(2-++-=a a x x a y 的图象过原点则a 的值为24. 二次函数y=2(x+3)(x-1)的x 轴的交点的个数有__个，交点坐标为_______25.已知二次函数222--=x ax y 的图象与X 轴有两个交点，则a 的取值范围是26.二次函数y=(x-1)(x+2)的顶点为___,对称轴为 _。
初三《二次函数的应用》培优专题练习含答案
于都中学初三《二次函数的应用》培优专题练习 ____________ ____________ ____________1、有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正确水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过6.76米米时，就会影响过往船只的顺利航行。
2、如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A ，B 两点，桥拱最高点C 到AB 的距离为9m ，AB =36m ，D ，E 为桥拱底部的两点，且DE ∥AB ，点E 到直线AB 的距离为7m ，则DE 的长为_________m . [答案]483、如图，AB 是自动喷灌设备的水管，点A 在地面，点B 高出地面1.5米．在B 处有一自动旋转的喷水头，在每一瞬间，喷出的水流呈抛物线状，喷头B 与水流最高点C 的连线与水平线成45°角，水流的最高点C 与喷头B 高出2米，在如图的坐标系中，水流的落地点D 到点A 的距离是_________米．解析式为22113y -(2) 3.5-2222x x x =-+=++，水流落点D 到A 点的距离为：米72+ 4、某体育用品商店购进一批滑板，每件进价为100元，售价为130元，每星期可卖出80件.商家决定降价促销，根据市场调查，每降价5元，每星期可多卖出20件. 降价后，应将售价定为________元，才能使所获销售利润最大，为____________元。
5、科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况〔如下表〕：温度x /℃ …… －4 －2 0 2 4 4.5 ……植物每天高度增长量y /mm …… 41 49 49 41 25 19.75 ……由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量y 是温度x 的函数，且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种．〔1〕请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外两种函数的理由；〔2〕温度为多少时，这种植物每天高度的增长量最大？〔3〕如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm ，那么实验室的温度x 应该在哪个X 围内选择？请直接写出结果．解：〔1〕y 关于x 的函数关系式是4922+--=x x y ．不选另外两个函数的理由：注意到点〔0，49〕不可能在任何反比例函数图象上，所以y 不是x 的反比例函数；点〔－4，41〕，〔－2，49〕，〔2，41〕不在同一直线上，所以y 不是x 的一次函数．〔2〕由〔1〕，得4922+--=x x y ，∴()5012++-=x y ， 即当温度为－1℃时，这种植物每天高度增长量最大．〔3〕46<<-x ．6、某企业投资100万元引进一条产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利33万。
培优12.二次函数的应用
培优《二次函数的应用》 一、知识要点1.二次函数的应用主要体现在：（1）与一次函数或反比例函数的综合应用；（2）与方程、不等式知识的综合应用；（2）与三角函数、几何知识的综合应用；（4）与其他学科知识的综合应用；（5）生产、生活实际应用题2.解决实际问题的具体步骤：（1）建立数学模型，即把实际问题中的有关变量关系用函数关系式表达；（2）应用函数的性质解决实际问题. 二、典型例题例 1. 某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m )的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成．若设花园的宽为()x m ，花园的面积为2()y m ． (1)求y 与x 之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；（2）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？例 2. 某瓜果基地市场部为指导某地某种蔬菜的生产和销售，在对历年市场行情和生产情况进行了调查的基础上，对今年这种蔬菜上市后的市场售价和生产成本进行了预测，提供了两个方面的信息．如图10(1)(2)两图．注：两图中的每个实心黑点所对应的纵坐标分别指相应月份的售价和成本，生产成本6 月份最低；图10(1)的图象是线段，图10(2)的图象是抛物线段． (1)在3月份出售这种蔬菜，每千克的收益是多少元？(2)哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？说明理由．例3.已知抛物线线2y ax bx c=++与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB<OC）是方程210160x x-+=的两个根，且抛物线的对称轴是直线2x=-．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求此抛物线的表达式；（3）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC 于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．三、能力测试1.周长为8m最大透光面积是222.38.34.2564.DmCmBmA2.已知某商品涨价x成（1成即10%）后，销量将减少x65成，若要获得最大的营业额，则需涨价A. 1成B. 2成C. 3成D. 4成3.一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，滑下的距离S（米）与时间t（秒）间的关系式为210S t t=+，若滑到坡底的时间为2秒，则此人下滑的高度为（）Ａ．24米Ｂ．12米Ｃ．Ｄ．6米4.二次函数2y ax bx c=++图象上部分点的对应值如下表：则使y的取值范围为．5.某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套，经过一段时间的经营发现：当每套机械设备的月租金为270元时，恰好全部租出。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
九年级下册《二次函数》的应用培优提高2013.12.7【基础知识回顾】一、二次函数与一元二次方程：二次函数y= ax2+bx+c的同象与x轴的交点的横坐标对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根，它们都由根的判别式决定抛物线x轴有个交点＜＝b2-4ac>0＝＞一元二次方程有实数根抛物线x轴有个交点＜＝b2-4ac=0＝＞一元二次方程有实数根抛物线x轴有个交点＜＝b2-4ac<0＝＞一元二次方程有实数根【教师提醒：若抛物线与x轴有两交点为A（x1,0）B(x2,0)则抛物线对称轴式x= 两交点间距离AB 】二、二次函数解析式的确定：1、设顶点式，即：设当知道抛物线的顶点坐标或对称轴方程与函数最值时，除代入这一点外，再知道一个点的坐标即可求函数解析式2、设一般式，即：设知道一般的三个点坐标或自变量与函数的三组对应数值可设为一般式，从而列三元一次方程组求的函数解析式【教师提醒：求二次函数解析式，根据具体同象特征灵活设不同的关系或除上述常用方法以外，还有：如抛物线顶点在原点可设以y轴为对称轴，可设顶点在x轴上，可设抛物线过原点等】三、二次函数的应用1、实际问题中解决最值问题：步骤：1、分析数量关系建立模型2、设自变量建立函数关系3、确定自变量的取值范围4、根据顶点坐标公式或配法结合自变量的取值范围求出函数最值2、与一次函数或直线形图形结合的综合性问题一般步骤：1、求一些特殊点的坐标2、将点的坐标代入函数关系式求出函数的解析式3、结合图像根据自变量取值讨论点的存在性或图形的形状等问题【教师提醒：1、在有关二次函数最值的应用问题中一定要注意自变量的取值范围2、有关二次函数综合性问题中一般作为中考压轴题出现，解决此类问题时要将题目分解开来，讨论过程中要尽量将问题】【重点考点例析】考点一：二次函数的最值例1．已知：M，N两点关于y轴对称，且点M在双曲线12yx=上，点N在直线y=x+3上，设点M的坐标为（a，b），则二次函数y=-abx2+（a+b）x（）A．有最大值，最大值为92-B．有最大值，最大值为92C ．有最小值，最小值为92D ．有最小值，最小值为92- 思路分析：先用待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数图象上点的坐标特征求出其最值即可．解：∵M ，N 两点关于y 轴对称，点M 的坐标为（a ，b ），∴N 点的坐标为（-a ，b ）， 又∵点M 在反比例函数12y x=的图象上，点N 在一次函数y=x+3的图象上， ∴123b a b a ⎧=⎪⎨⎪=-+⎩，整理得123 ab a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，故二次函数y=-abx 2+（a+b ）x 为y=12-x 2+3x ， ∴二次项系数为12-＜0，故函数有最大值，最大值为y=239124()2-=⨯-， 故选：B ．对应训练1．（2012•兰州）已知二次函数y=a （x+1）2-b （a≠0）有最小值1，则a ，b 的大小关系为（ ）A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a=bD ．不能确定解：∵二次函数y=a （x+1）2-b （a≠0）有最小值，∴抛物线开口方向向上，即a ＞0； 又最小值为1，即-b=1，∴b=-1，∴a ＞b ．故选A ．考点二：确定二次函数关系式例2 （2012•珠海）如图，二次函数y=（x-2）2+m 的图象与y 轴交于点C ，点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b 的图象经过该二次函数图象上点A （1，0）及点B ．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x-2）2+m 的x思路分析：（1）将点A （1，0）代入y=（x-2）2+m 求出m 的值，根据点的对称性，将y=3代入二次函数解析式求出B 的横坐标，再根据待定系数法求出一次函数解析式；（2）根据图象和A 、B 的交点坐标可直接求出kx+b≥（x-2）2+m 的x 的取值范围． 解：（1）将点A （1，0）代入y=（x-2）2+m 得，（1-2）2+m=0，1+m=0，m=-1，则二次函数解析式为y=（x-2）2-1．当x=0时，y=4-1=3，故C 点坐标为（0，3），由于C 和B 关于对称轴对称，在设B 点坐标为（x ，3），令y=3，有（x-2）2-1=3，解得x=4或x=0．则B 点坐标为（4，3）． 设一次函数解析式为y=kx+b ，将A （1，0）、B （4，3）代入y=kx+b 得，0 43k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得11k b =⎧⎨=-⎩，则一次函数解析式为y=x-1；（2）∵A、B坐标为（1，0），（4，3），∴当kx+b≥（x-2）2+m时，1≤x≤4．对应训练2．（2012•佳木斯）如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）写出顶点坐标及对称轴；（3）若抛物线上有一点B，且S△OAB=3，求点B的坐标．分析：（1）直接把（0，0），（2，0）代入y=x2+bx+c中，列方程组求b、c的值即可；（2）将二次函数解析式写成顶点式，可求顶点坐标及对称轴；（3）设点B的坐标为（a，b），根据三角形的面积公式求b的值，再将纵坐标b代入抛物线解析式求a的值，确定B点坐标．解：（1）把（0，0），（2，0）代入y=x2+bx+c得420cb=⎧⎨+=⎩，解得2bc=-⎧⎨=⎩，所以解析式为y=x2-2x。
（2）∵y=x2-2x=（x-1）2-1，∴顶点为（1，-1），对称轴为：直线x=1 。
（3）设点B的坐标为（a，b），则12×2|b|=3，解得b=3或b=-3，∵顶点纵坐标为-1，-3＜-1 （或x2-2x=-3中，x无解）∴b=3，∴x2-2x=3，解得x1=3，x2=-1。
所以点B的坐标为（3，3）或（-1，3）。
考点三：二次函数与x轴的交点问题例3 （2012•天津）若关于x的一元二次方程（x-2）（x-3）=m有实数根x1、x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②m＞14-；③二次函数y=（x-x1）（x-x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3思路分析：将已知的一元二次方程整理为一般形式，根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可对选项②进行判断；再利用根与系数的关系求出两根之积为6-m，这只有在m=0时才能成立，故选项①错误；将选项③中的二次函数解析式整理后，利用根与系数关系得出的两根之和与两根之积代入，整理得到确定出二次函数解析式，令y=0，得到关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出二次函数图象与x轴的交点坐标，即可对选项③进行判断．解：一元二次方程（x-2）（x-3）=m化为一般形式得：x2-5x+6-m=0，∵方程有两个不相等的实数根x1、x2，∴b2-4ac=（-5）2-4（6-m）=4m+1＞0，解得：m＞14-，故选项②正确；∵一元二次方程实数根分别为x1、x2，∴x1+x2=5，x1x2=6-m，而选项①中x1=2，x2=3，只有在m=0时才能成立，故选项①错误；二次函数y=（x-x1）（x-x2）+m=x2-（x1+x2）x+x1x2+m=x2-5x+（6-m）+m=x2-5x+6=（x-2）（x-3），令y=0，可得（x-2）（x-3）=0，解得：x=2或3，∴抛物线与x轴的交点为（2，0）或（3，0），故选项③正确．综上所述，正确的结论有2个：②③．故选C．对应训练3．（2012•株洲）如图，已知抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x=-1，则该抛物线与x轴的另一交点坐标是（）A．（-3，0）B．（-2，0）C．x=-3 D．x=-2解：抛物线与x轴的另一个交点为B（b，0），∵抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x=-1，∴12b=-1，解得b=-3，∴B（-3，0）．故选A．考点四：二次函数的实际应用例4 （2012•绍兴）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y=-112（x-4）2+3，由此可知铅球推出的距离是m．思路分析：根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x的值即可．解：令函数式y=-112（x-4）2+3中，y=0，0=-112（x-4）2+3，解得x1=10，x2=-2（舍去），即铅球推出的距离是10m．故答案为：10．例 5 （2012•重庆）企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理．某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行．1至6月，该企业向污水厂输送的污水量y1（吨）与月份x（1≤x≤6，且x取整数）之间满足的函数关系如下表：7至12月，该企业自身处理的污水量y2（吨）与月份x（7≤x≤12，且x取整数）之间满足二次函数关系式为y2=ax2+c(a≠0)．其图象如图所示．1至6月，污水厂处理每吨污水的费用：z1（元）与月份x之间满足函数关系式：z1=12x，该企业自身处理每吨污水的费用：z2（元）与月份x之间满足函数关系式：z2=34x-112x2；7至12月，污水厂处理每吨污水的费用均为2元，该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元．（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y 1，y 2与x 之间的函数关系式；（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W （元）最多，并求出这个最多费用；（3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a-30）%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助．若该企业每月的污水处理费用为18000元，请计算出a 的整数值．（参考数据： ， ）思路分析：（1）利用表格中数据可以得出xy=定值，则y 1与x 之间的函数关系为反比例函数关系求出即可，再利用函数图象得出：图象过（7，10049），（12，10144）点，求出解析式即可；（2）利用当1≤x≤6时，以及当7≤x≤12时，分别求出处理污水的费用，即可得出答案；（3）利用今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a 一30）%，得出等式12000（1+a%）×1.5×[1+（a-30）%]×（1-50%）=18000，进而求出即可．解：（1）根据表格中数据可以得出xy=定值，则y 1与x 之间的函数关系为反比例函数关系： y 1=k x ，将（1，12000）代入得：k=1×12000=12000，故y 1=2000x（1≤x≤6，且x 取整数）； 根据图象可以得出：图象过（7，10049），（12，10144）点，代入y 2=ax 2+c(a≠0)得：1004949 10144144 a c a c =+⎧⎨=+⎩，解得： 1 10000a c =⎧⎨=⎩，故y 2=x 2+10000（7≤x≤12，且x 取整数）； （2）当1≤x≤6，且x 取整数时：W=y 1•z 1+（12000-y 1）•z 2=1200012x x +（12000-12000x ）•（34x-112x 2）， =-1000x 2+10000x-3000，∵a=-1000＜0，x=2b a-=5，1≤x≤6，∴当x=5时，W 最大=22000（元）， 当7≤x≤12时，且x 取整数时， W=2×（12000-y 2）+1.5y 2=2×（12000-x 2-10000）+1.5（x 2+10000），=-12x 2+1900， ∵a=-12＜0，x=2b a-=0，当7≤x≤12，W 随x 增大而减小，∴当x=7时，W 最大=18975.5（元），∵22000＞18975.5，∴去年5月用于污水处理的费用最多，最多费用是22000元；（3）由题意得：12000（1+a%）×1.5×[1+（a-30）%]×（1-50%）=18000，设t=a%，整理得：10t2+17t-13=0，解得：，∴t1≈0.57，t2≈-2.27（舍去），∴a≈57，答：a的值是57．对应训练4．（2012•襄阳）某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x-1.5x2，该型号飞机着陆后滑行m才能停下来．解：∵-1.5＜0，∴函数有最大值．∴s最大值=260600 4( 1.5)-=⨯-，即飞机着陆后滑行600米才能停止．故答案为：600．5．（2012•益阳）已知：如图，抛物线y=a（x-1）2+c与x轴交于点A（0）和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P'（1，3）处．（1）求原抛物线的解析式；（2）学校举行班徽设计比赛，九年级5班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P'作x轴的平行线交抛物线于C、D两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽（CD）的比非常接近黄金分割比12（约等于0.618）．请你计算这个“W”≈2.236，≈2.449，结果可保留根号）考点：二次函数的应用．分析：（1）利用P与P′（1，3）关于x轴对称，得出P点坐标，利用待定系数法求出二次函数的解析式即可；（2）根据已知得出C，D两点坐标，进而得出“W”图案的高与宽（CD）的比．解：（1）∵P与P′（1，3）关于x轴对称，∴P点坐标为（1，-3）；∵抛物线y=a（x-1）2+c过点A（，0），顶点是P（1，-3），∴22(11)0(11) 3a ca c⎧+=⎪⎨-+=-⎪⎩；解得13ac=⎧⎨=-⎩；则抛物线的解析式为y=（x-1）2-3，即y=x2-2x-2．（2）∵CD平行x轴，P′（1，3）在CD上，∴C、D两点纵坐标为3；由（x-1）2-3=3，解得：x1，x2，∴C、D两点的坐标分别为（，3），（，3）∴。