第01讲-集合(讲义版)
集合的概念ppt课件
再如，实数集，有限小数和无限循环小数都具有q╱p（p， q∈Z，p≠0）的形式，这些数组成有理数集，我们将它表示为 Q={X∈R｜X=q╱p，p，q∈Z，p≠0}. 其中，X=q╱p（p，q∈Z，p≠0）就是所有有理数具有的共同 特征。
例如，
不等式X-7<3的解是X<10，因为满足X<10的实数有无数个， 所以X-7<3的解集无法用列举法表示。但是我们可以利用解集中 元素的共同特征，即：X是实数，且X<10，把解集表示为 {X∈R｜X<10}.
又如，整数集Z可以分为奇数集和偶数集。对于每一个X∈Z，如 果它能表示为X=2k+1（k∈Z）的形式，那么X除以2的余数为1， 它是一个奇数；
（1）小于10的所有自然数组成的集合
解：设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A={0，1，2，3， 4，5，6，7，8，9}.
注，由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因 此一个集合可以有不同的列举方法，故以上例题的集合还可以写成 A={9，8，7，6，5，4，3，2，1，0}.
集合E={X∈Z｜X=2k+1，k∈Z}也可表示为E={X｜ X=2k+1，k∈Z}.
练习
1.判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由： （1）A，B是平面α内的定点，在平面α内与A，B等距离的点； （2）高中学生中的游泳能手. 2.用符号“∈”或“∉”填空： 0＿N； -3＿N； 0.5＿Z； √2＿Z； 1╱3＿Q； π＿R.
01第一章 集合与计数原理【讲义】
第一讲 集合与计数原理一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ∉。
例如，通常用N ，Z ，Q ，B ，Q +分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用∅来表示。
集合分有限集和无限集两种。
集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。
例如{有理数}，}0{>x x 分别表示有理数集和正实数集。
定义2 子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，则A 叫做B 的子集，记为B A ⊆，例如Z N ⊆。
规定空集是任何集合的子集，如果A 是B 的子集，B 也是A 的子集，则称A 与B 相等。
如果A 是B 的子集，而且B 中存在元素不属于A ，则A 叫B 的真子集。
定义3 交集，}.{B x A x x B A ∈∈=且 定义4 并集，}.{B x A x x B A ∈∈=或定义5 补集，若},{,1A x I x x A C I A ∉∈=⊆且则称为A 在I 中的补集。
定义6 差集，},{\B x A x x B A ∉∈=且。
定义7 集合},,{b a R x b x a x <∈<<记作开区间),(b a ，集合},,{b a R x b x a x <∈≤≤记作闭区间],[b a ，R 记作).,(+∞-∞定理1 集合的性质：对任意集合A ，B ，C ，有：（1）);()()(C A B A C B A = （2）)()()(C A B A C B A =； （3）);(111B A C B C A C = （4）).(111B A C B C A C =定理2 加法原理：做一件事有n 类办法，第一类办法中有1m 种不同的方法，第二类办法中有2m 种不同的方法，…，第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事一共有n m m m N +++= 21种不同的方法。
第01讲-集合(讲义版)
第01讲集合一、知识梳理1.元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.2.集合间的基本关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B 子集集合A中任意一个元素均为集合B中的元素A⊆B 真子集集合A中任意一个元素均为集合B中的元素，且集合B中至少有一个元素不是集合A中的元素BA⊂≠空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪B A∩B 若全集为U，则集合A 的补集为∁U A图形表示集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A} 4.集合的运算性质(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.(3)A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U，∁U(∁U A)＝A.[方法技巧]1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个.2.子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁U A⊇∁U B.4.∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B).二、经典例题考点一 集合的基本概念【例1-1】（2020·海南省海南中学高三月考）若S 是由“我和我的祖国”中的所有字组成的集合，则S 的非空真子集个数是（ ） A ．62B ．32C ．64D ．30规律方法 1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义.2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性. 考点二 集合间的基本关系【例2-1】（2020·天津市滨海新区塘沽第一中学高三二模）已知集合|03x A x Z x ⎧⎫=∈≤⎨⎬+⎩⎭，则集合A 真子集的个数为（ ） A ．3B ．4C ．7D ．8规律方法 1.若B ⊆A ，应分B ＝∅和B ≠∅两种情况讨论.2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图，化抽象为直观进行求解. 考点三 集合的运算【例3-1】（2020·全国高三一模（文））已知集合{}|15A x x =-≤≤，{}2|23B x x x =->，则A B =（ ）A ．5}|3{x x <≤B ．{|15}x x -≤≤C ．{|1x x <-或3}x >D ．R【例3-2】（2020·安徽省六安一中高一月考）已知集合{}2230A x x x =-->，(){}lg 11B x x =+≤，则()R A B =（ ）A ．{}13x x -≤< B ．{}19x x -≤≤ C ．{}13x x -<≤D ．{}19x x -<<规律方法 1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算.2.注意数形结合思想的应用.(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解.(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.(3)集合的新定义问题：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口.[思维升华]1.集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到.3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现.[易错防范]1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简.2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解.3.解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系.4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.。
必修一_第一章_集合(集合讲义_做的很细_适合初学者)
集合之欧侯瑞魂创作1.1 集合的含义与暗示21.11 集合的含义21.2 子集、全集、补集91.3 交集、并集13第一章集合空集一、知识梳理1．集合的含义：一些元素组成的构成一个集合(set).注意：（1）集合是数学中原始的、不界说的概念, 只作描述.（2）集合是一个“整体.（3）构成集合的对象必需是“确定的”且“分歧”的2．集合中的元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素（element）.简称元.集合一般用年夜写拉丁字母暗示, 如集合A,元素一般用小写拉丁字母暗示.如a,b,c……等.思考:构成集合的元素是不是只能是数或点？【答】3．集合中元素的特性：（1）确定性.设A 是一个给定的集合, x是某一元素, 则x是A的元素, 或者不是A的元素, 两种情况必有一种且只有一种成立.（2）互异性.对一个给定的集合, 它的任何两个元素都是分歧的.（3）无序性.集合与其中元素的排列次第无关.4．经常使用数集及其记法：一般地, 自然数集记作____________正整数集记作__________或___________整数集记作________有理数记作_______实数集记作________5．元素与集合的关系：如果a是集合A的元素, 就记作__________ 读作“___________________”；如果a不是集合A的元素, 就记作______或______读作“_______________”；6．集合的分类：按它的元素个数几多来分：（i） _________________叫做有限集；（ii）________________________叫做无限集；（iii）_______________叫做空集, 记为_____________二、例题讲解1、运用集合中元素的特性来解决问题例1．下列研究的对象能否构成集合（1）世界上最高的山峰（2）高一数学课本中的难题（3）中国国旗的颜色（4）book中的字母（5）立方即是自己的实数（6）不等式2x-8<13的正整数解【解】点评:判断一组对象能否组成集合关键是能否找到一个明确的标准, 依照这个确定的标准, 它要么是这个集合的元素, 要么不是这个集合的元素, 即元素确定性.例2：集合M中的元素为1, x, x2-x, 求x的范围？分析：根据集合中的元素互异性可知：集合里的元素各不相同, 联列不等式组.点评: 元素的特性（特别是互异性）是解决问题的切入点.例3：三个元素的集合也可暗示为0, a2, a+b, 求a2005+ b2006的值．分析：三个元素的集合也可暗示另外一种形式, 说明这两个集合相同, 而该题目从特殊元素0入手, 可以省去繁琐的讨论．点评:从特殊元素入手, 灵活运用集合的三个特征．2、运用元素与集合的关系来解决一些问题例4：集合A中的元素由∈Z,b∈Z)组成, 判断下列元素与集合A的关系？（1）0 （2（3分析：先把x写成, 再观察a, b是否为整数.点评:要判断某个元素是否是某个集合的元素, 就是看这个元素是否满足该集合的特性或具体表达形式.例5：不包括-1, 0, 1的实数集A满足条件a∈A, A, 如果2∈A,求A中的元素？分析：该题的集合所满足的特征是由笼统的语句给出的, 把2这个具体的元素代入求出A的另一个元素, 但该题要循环代入, 求出其余的元素, 同学们可能想不到.三、巩固练习1．下列研究的对象能否构成集合①某校个子较高的同学；②倒数即是自己的实数③所有的无理数④讲台上的一盒白粉笔⑤中国的直辖市⑥中国的年夜城市2．下列写法正确的是___________________②当n∈N时, 由所有(-1)n的数值组成的集合为无限集④-1∈Z ⑤由book中的字母组成的集合与元素k, o, b组成的集合是同一个集合把正确的序号填在横线上31_______N -3_________N 0__________N1_______Z-3_________Q 0__________Z0_______N*________R_______Qcos300_______Z4． 由实数的个数是_________________个一、知识梳理1. 集合的经常使用暗示方法： （1）列举法将集合的元素一一列举出来, 并____________________暗示集合的方法叫列举法. 注意：①元素与元素之间必需用“, ”隔开； ②集合的元素必需是明确的； ③各元素的呈现无顺序；集合的暗示 描述法列举法④集合里的元素不能重复；⑤集合里的元素可以暗示任何事物.（2）描述法将集合的所有元素都具有性质（）暗示出来, 写成_________的形式,称之为描述法.注意：①写清楚该集合中元素满足性质；②不能呈现未被说明的字母；③多层描述时, 应当准确使用“或”, “且”；④所有描述的内容都要写在集合的括号内；⑤用于描述的语句力求简明, 准确.思考:还有其它暗示集合的方法吗？【答】文字描述法：是一种特殊的描述法,如：{正整数}, {三角形}图示法（Venn图）：用平面上封闭曲线的内部代集合.2. 集合相等如果两个集合A, B所含的元素完全相同,___________________________________ 则称这两个集合相等, 记为：_____________二、例题讲解1、用集合的两种经常使用方法具体地暗示合例1．用列举法暗示下列集合：（1）中国国旗的颜色的集合；（2）单词mathematics中的字母的集合；（3）自然数中不年夜于10的质数的集合；（4集合；（5集合.（6）{(x,y)|3x+2y=16, x∈N, y∈N }分析：先求出集合的元素, 再用列举法暗示.点评:（1）用列举法暗示集合的步伐为：①求出集合中的元素②把这些元素写在花括号内（2）用列举法暗示集合的优点是元素一目了然；缺点是不容易看出元素所具有的属性.例2．用描述法暗示下列集合：（1（2x的集合；（3）方程x2+x+1=0所有实数解的集合；（4）抛物线y=-x2+3x-6（5分析：用描述法暗示来集合, 先要弄清楚元素所具有的形式, 从而写出其代表元素再确定元素所具有的属性即可.点评: 用描述法暗示集合时, 注意确定和简化集合的元素所具有的共同特性例3．已知试用列举法暗示集合A．分析：用列举法暗示的集合, 要认清集合的实质, 集合中的元素究竟满足哪些条件．点评:本题实际上是要求满足6被3-a整除的整数a的值,则集合A={-3, 0, 1, 2, 4, 5, 6, 9}.2、有关集合相等方面的问题例4．已知集合P={-1,a,b}, Q={-1,a2,b2}, 且Q=P, 求1+a2+b2的值．分析：含字母的两个集合相等, 其实不意味着顺次对应相等, 要分类讨论, 同时也要考虑集合中的元素的互异性和无序性.例5．已知集合有唯一元素, 用列举法暗示a的值构成的集合A.点拔：本题集合有唯一元素,分母, 转化为一元二次方程的判别式为0, 事实上当, 也能满足唯一元素, 但方程已不是一元二次方程, 而是一元一次方程, 也有唯一解, 所以本题要分三种情况讨论.三、巩固练习1.用列举法暗示下列集合： (1) {x|x 2+x+1=0}(2){x|x 为不年夜于15的正约数} (3) {x|x 为不年夜于10的正偶数} (4){(x,y)|0≤x ≤2, 0≤y<2, x, y ∈Z} 2. 用描述法暗示下列集合： (1) 奇数的集合； (2)正偶数的集合；(3)不等式2x-3>5的解集；(4)直角坐标平面内属于第四象限的点的 集合； .3. 下列集合暗示法正确的是 (1) {1, 2, 2}； (2) {Ф}；(3) {全体有理数}；(4){2, 4}；（5）不等式x 2-5>0的解集为{x 2-5>0}. 4、集合A={x|y=x2+1}, B={t|p=t 2+1}这三个集合的关系？5、已知试用列举法暗示集合A ．1.2 子集、全集、补集一、知识梳理1．子集的概念及记法：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素（ ）, 则称集合 A 为集合B 的子集（subset ）,记为___________或___________读作“________________”或“__________________”用符号语言可暗示为：__________________.注意：（1）A 是B 的子集的含义：任意x ∈A, 能推出x ∈B ；（2）不能理解为子集A 是B 中的“部份元素”所组成的集合. 2．子集的性质： ① 思考 【答】 _________ 3．真子集的概念及记法：相等 集 合 的 关 系包括 全集子集 真子集补集而且A≠B, 这时集合 A称为集合B的真子集（proper set）,记为_________或_________读作“____________________”或“__________________”4．真子集的性质：非空集合的真子集符号暗示为___________________②真子集具备传递性符号暗示为___________________5．全集的概念：如果集合U包括我们所要研究的各个集合,这时U可以看做一个全集（universal set）全集通常记作_____6．补集的概念：设____________, 由U中不属于A的所有元素组成的集合称为U的子集A的补集（complementary set）, 记为___________”7二、例题讲解1、写出一个集合的子集、真子集及其个数公式例1．写出集合{a, b}的所有子集及其真子集；写出集合{a, b, c}的所有子集及其真子集；分析：按子集的元素的几多分别写出所有子集, 这样才华到达不重复, 无遗漏,点评:写子集, 真子集要按一定顺序来写．①一个集合里有n个元素, 那么它有2n个子集；②一个集合里有n个元素, 那么它有2n-1个真子集；③一个集合里有n个元素, 那么它有2n-2个非空真子集．2、判断元素与集合之间、集合与集合之间的关系例2：以下各组是什么关系, 用适当的符号暗示出来．（1）a与{a} 0 与（2（3）S={-2, -1, 1, 2}, A={-1, 1},B={-2, 2}；（4）S=R, A={x|x≤0, x∈R}, B={x|x>0 , x∈R }；（5）S={x|x为地球人 }, A={x|x 为中国人}, B={x|x为外国人 }点评:①判断两个集合的包括关系, 主要是根据集合的子集, 真子集的概念, 看两个集合里的元素的关系, 是包括, 真包括, 相等．②元素与集合之间用_______________集合与集合之间用_______________3、运用子集的性质例3：设集合A={x|x2+4x=0, x∈R}, B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0, x∈R}, 若求实数a的取值范围．分析：首先要弄清集合A中含有哪些元素, 在由可知, 集合B按元素的几多分类讨论即可．点评:, 要提防这一点．4、补集的求法例4：A,U=R, 试求A②设全集U=R, A={x|x>1}, B={x|x+a<0},, 求实数a 的取值范围．【解】①x>2}② B={x|x+a<0}={x|x<-a} ,1}如图所示：-a≤ 1即a ≥-1点评:求集合的补集时通常借助于数轴, 比力形象, 直观．三、巩固练习1．判断下列暗示是否正确：∈{a, b}(4) {-1, 1} {-1, 0, 1} ≠ {-⊂2．指出下列各组中集合A与B之间的关系．(1) A={-1, 1}, B=Z；(2)A={1, 3, 5, 15}, B={x|x是15的正约数}；(3) A = N*, B=N(4) A ={x|x=1+a2,a∈N*}B={x|x=a2-4a+5,a∈N*}3．（1）已知则这样的集合M有几多个？（2）已知M={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9}, 集合P满足：则P, 则这样的集合P有几多个？4．以下各组是什么关系, 用适当的符号表来．{0} (2) {-1, 1}与{1, -1}(3) {(a,b)} 与{(b,a)}三、若U=Z, A={x|x=2k, k∈Z}, B={x|x=2k+1, k∈Z}, 则：6．设全集是数集U={2, 3, a2+2a-3}, 已知求实数a, b的值．7∈∈Z},∈Z}, 试判断A、B、C满足的关系8．已知集合A={x|x2-1=0 }, B={x|x2-2ax+b=0}求a, b的取值范围．1.3 交集、并集一、知识梳理1．交集的界说：一般地, ______________________________________________,称为A 与B 交集(intersection set), 记作____________读作“___________”. 交集的界说用符号语言暗示为：__________________________________交集的界说用图形语言暗示为：_________________________________注意：（1）交集（A ∩B ）实质上是A 与B 的公共元素所组成的集合.（2）当集合A 与B 没有公共元素时, 不能说A 与B 没有交集,而是A ∩2．交集的经常使用性质：（1） A ∩A = A ；交集 界说 集合的运算 运用 性质 并集 界说 集合的运算 运用 性质（2） A（3） A∩B = B∩A；（4）(A∩B)∩C =A∩(B∩C)；（5） A∩∩3．集合的交集与子集：思考:A∩B=A, 可能成立吗？【答】_______________________________________________结论：A∩4．区间的暗示法：设a, b是两个实数, 且a<b, 我们规定：[a, b] = _____________________（a, b）= _____________________[a , b）= _____________________（a , b] = ______________________（a, +∞）=______________________（-∞, b）=______________________（-∞, +∞）=____________________其中 [a, b], （a, b）分别叫闭区间、开区间；[a , b）, （a , b] 叫半开半闭区间；a, b叫做相应区间的端点.注意：（1）区间是数轴上某一线段或数轴上的点所对应的实数的取值集合又一种符号语言.（2）区间符号内的两个字母或数之间用“, ”号隔开.（3）∞读作无穷年夜, 它是一个符号, 不是一个数. 5．并集的界说：一般地, _________________________________________________, 称为集合A与集合B的并集(union set) 记作__________读作“___________”.交集的界说用符号语言暗示为：__________________________________交集的界说用图形语言暗示为：_________________________________注意：并集（A∪B）实质上是A与B的所有元素所组成的集合, 可是公共元素在同一个集合中要注意元素的互异性.6．并集的经常使用性质：（1） A∪A = A；（2） A；（3） A∪B = B∪A；（4）(A∪B)∪C =A∪(B∪C)；（5）∪∪B7．集合的并集与子集：思考:A∪B=A, 可能成立吗？A【答】________________________结论：A∪二、例题讲解1、求集合的交、并、补集例1．（1）设A={-1, 0, 1}, B={0, 1, 2, 3}, 求A∩B；（2）设A={x|x>0}, B={x|x≤1}, 求A∩B；（3）设A={x|x=3k, k∈Z}, B={y|y=3k+1 k∈Z },C={z|z=3k+2, k∈Z}, D={x|x=6k+1, k∈Z}, 求A∩B；A∩C；C∩B；D∩B；点评:不等式的集合求交集时, 运用数轴比力直观, 形象.例2：已知数集A={a2, a+1, -3}, 数集B={a-3,a-2, a2+1}, 若A∩B={-3}, 求a的值．点评:在集合的运算中, 求有关字母的值时, 要注意分类讨论及验证集合的特性．例3：（1）设集合A={y|y=x2-2x+3, x∈R}, B={y|y=-x2+2x+10, x∈R}, 求A∩B；（2）设集合A={(x,y)|y=x+1, x∈R}, B={(x,y)|y=-x2x∈R}, 求A∩B；分析：先求出两个集合的元素, 或者集合中元素的范围, 再进行交集运算．特别注意（1）、（2）两题的区别, 这是同学们容易忽视的处所．点评:求集合的交集时, 注意集合的实质, 是点集还时数集．是数集求元素的公共部份, 是点集的求方程组的解所组成的集合．变式训练:1、根据下面给出的A 、B, 求A∪B①A={-1, 0, 1}, B={0, 1, 2, 3}；②A={y|y=x2-2x}, B={x||x|≤3}；③A={梯形}, B={平行四边形}．2．已知全集U=R, A={x|-4≤x<2}, B=(-1, 3), P={x|x≤0, 或x求：①(A∪B)∩P③ (A∩B)．点评:求不等式暗示的数集的并集时, 运用数轴比力直观, 能简化思维过程3、已知集合A={y|y=x-1, x∈R}, B={(x,y)|y=x2-1, x∈R}, C={x|y=x+1, y≥3},分析：首先弄清楚A, B, C三个集合的元素究竟是什么？然后再求出集合的有关运算.点评:本题容易呈现的毛病是不考虑各集合的代表元, 而解方程组．突破方法是：进行集合运算时, 应分析集合内的元素是数, 还是点, 或其它．2、运用并集的性质解题例4：已知集合A={x|x2-1=0 }, B={x|x2-2ax+b=0}, A∪B=A, 求a, b的值或a,b所满足的条件．分析：由于A∪B=A, 可知：而A={1, -1}, 从而顺利地求出实数a, b满足的值或范围．点评:利用性质：A∪是解题的关键, 提防失落进空集这一陷阱之中．变式训练：1.若集合P={1, 2, 4, m}, Q={2, m2}, 满足P∪Q={1, 2, 4, m}, 求实数m的值组成的集合．2. 已知集合A={x|x2-4x+3=0}, B={x|x2-ax-1=0}, C={x|x2-mx+1=0}, 且A∪B=AA∩C=C, 求a, m的值或取范围.例5：若A={x|x2-ax+a2-19=0}, B={x|x2-5x+6=0}, C={x|x2+2x-8=0},（1）若A∪B=A∩B, 求a的值；（2∩B, A∩求a的值．总结：解决本题的关键是利用重要结论：A∪B=A∩3、运用交集的性质解题例6：已知集合A={2, 5}, B={x|x2+px+q=0, x∈R}（1）若B={5}, 求p, q的值．（2）若A∩B= B , 求实数p, q满足的条件．分析：（1）由B={5}, 知：方程x2+px+q=0有两个相等, 再用一元二次方程的根与系数的关系容易求p, q的值．（2）由A∩B= B可知：而A={2, 5}从而顺利地求出实数⊂p, q满足的条件．点评:利用性质：A∩是解题的关键, 提防失落进空集这一陷阱之中．变式训练：1.已知集合A={x|x2+x-6=0}, B={x|mx+1=0}, 若A∩B =B, 求实数m所构成的集合M．2.已知集合M={x|x≤-1}, N={x|x>a-2}, 若M∩N则a满足的条件是什么？4、借助Venn图解决集合的运算问题例7不年夜于20的质数}, M,N是U的两个子集,求M, N的值．分析：用Venn图暗示集合M, N, U, 将符合条件的元素依次填入即可．5、交集并集性质的应用例8、已知集合A={(x,y)|x2－y2－y=4}, B={(x,y)|x2－xy－2y2=0}, C={(x,y)|x－2y=0}, D{(x,y)|x+y=0}.(1)判断B、C、D间的关系；(2)求A∩B.6、交集、并集在实际生活中的应用例9、某学校高一(5)班有学生50人, 介入航模小且的有25人, 介入电脑小组的有32人, 求既介入航模小组, 又介入电脑小组的人数的最年夜值和最小值.思维分析：题目以应用为布景, 解题关键是将文字转化为集合语言, 用集合运算来解决扑朔迷离的现实问题.7、数形结合思想与交集并集的应用例10、已知集合A={x|－2<x<－1, 或x>0}, B={x|a≤x≤b}, 满足A∩B={x|0<x≤2}, A∪B={x|x>－2}, 求a、b的值.点评：此题应熟悉集合的交与并的含义, 掌握在数轴上暗示集合的交与并的方法.8、分类讨论思想与交集、并集的综合应用例11、已知集合A={x|x2－4x+3=0}, B={x|x2－ax+a－1=0}, C={x|x2－mx+1=0}, 且A∪B=A, A∩C=C, 求a,m的值或取值范围.分析：先求出集合A, 由A∪由A∩然后根据方程根的情况讨论.评注：本例考查A与B, A与C的关系和分类讨论的能力.三、巩固练习1.设A=(-1, 3], B=[2, 4）, 求A∪B；2.已知A={y|y=x2-1}, B={y|x2=-y+2}求A∪B；3.写出阴影部份所暗示的集合：4.集合U={1, 2, 3, 4, 5, 6}, B={1, 4}A={2, 3, 5}5. 设集合A={小于7的正偶数}, B={-2, 0, 2, 4}, 求A∩B；6. 设集合A={x|x≥0}, B={x|x≤0,x∈R}, 求A∩B；7. 设集合A={(x,y)|y=-4x+6, x∈R}, B={(x,y)|x=y2-1}求A∩B；8. 设集合A={x||x=2k+1, k∈Z}, B={y|y=2k-1, k∈Z},C={x|x=2k , k∈Z},求A∩B, B∩C．9、集合A={x|x<－3, 或x>3}, B={x|x<1, 或x>4}, 则A∩B=__________.10、集合A={a2, a+1, －3}, B={a－3, 2a－1, a2+1}, 若A∩B={－3},则a的值为___________.11、已知A={x|x2－px+15=0}, B={x|x2－ax－b=0}, 且A∪B={2,3,5}, A∩B={3}, 求p,a,b的值.12、集合{3, x, x2－2x}中, x应满足的条件是___________.13、设A={x|x2+4x=0}, B={x|x2+2(a+1)x+a2－1=0,a∈R}.(1)若A∩B=B, 求实数a的值.(2)若A∪B=B,求实数a的值.。
集合的概念ppt课件
例： 表示 以内所有素数构成的集合，则4 ___ ,3____ .
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概念深化
四、常用数集及其记法
非负整数集 (自然数集)
正整数集
整数集 有理数集 实数集
或
Natural number
Zahlen quotient Real number
N*或N＋ N Z Q R
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应用举例
五、集合的表示方法
×√ （2）较小的数.
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牛刀小试
2022年8月底，我们踏入了心仪的校园，找到了自己的班级.下列现象能 否构成一个集合，并说明理由？
（1）你所在班级中的全体学生； （2）你所在班级中比较高的同学； （3）你所在班级中身高超过178cm的同学； （4）学习成绩比较好的同学.
能 不能 能 不能
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遍性的特点
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布置作业
•作业1: 习题1.1第2，3，4题 •作业2: 《课时练习册》第一节内容 •作业3: 元素与集合的关系有多少种？如何表示？类似的，集合与集合之间的关系又 有多少种？如何表示？请同学们通过预习课本来解答.
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结束语
谢谢观看！
元素
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概念形成
一、概念 元素：一般地，我们把研究对象统称为元素.
集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）.
我们通常用大写拉丁字母
表示集合，用小
写拉丁字母
表示集合中的元素.
康托尔(Georg Cantor,1845～ 1918) 德国数学 家, 集合论创始 人, 他于1895年 谈到“集合”一词.
1.列举法： 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集 合的方法.
集合的概念完整版课件
集合的概念完整版课件一、教学内容本节课我们将探讨集合的概念，该部分内容位于教材第一章“集合与函数”的第一节。
详细内容包括集合的定义、集合的性质、集合的表示方法、集合间的基本运算以及集合论中的一些基本概念，如子集、交集、并集、补集等。
二、教学目标1. 理解集合的基本概念，掌握集合的表示方法。
2. 学会使用集合语言描述数学问题，培养学生的抽象思维能力。
3. 掌握集合间的基本运算，并能运用到实际问题中。
三、教学难点与重点教学难点：集合的性质、集合的表示方法、集合间的基本运算。
教学重点：集合的概念及其应用。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、集合概念课件。
2. 学具：课堂练习本、集合概念相关资料。
五、教学过程1. 实践情景引入通过生活中的实例，如水果篮、文具盒等，引导学生理解集合的概念。
2. 例题讲解（1）讲解集合的定义、性质及表示方法。
（2）通过具体例子，讲解集合间的基本运算。
3. 随堂练习（1）让学生列举生活中的集合实例，并用自己的语言描述。
（2）给出集合A、B，让学生进行交集、并集、补集的运算。
4. 讲解集合论中的一些基本概念如子集、真子集、幂集等。
6. 教师点评、解答学生疑问。
六、板书设计1. 集合的定义、性质、表示方法。
2. 集合间的基本运算：交集、并集、补集。
3. 集合论基本概念：子集、真子集、幂集。
七、作业设计1. 作业题目：（1）列举生活中的集合实例，并用集合语言描述。
（2）给定集合A、B，求A∩B、A∪B、A'、B'。
2. 答案：（1）例如：自然数集合、整数集合、有理数集合等。
（2）根据集合A、B的定义进行运算。
（3）正确。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对集合的概念及其运算掌握程度，以及教学中可能存在的问题。
2. 拓展延伸：（1）研究集合的更多性质，如集合的势、集合的包含关系等。
（2）探讨集合在计算机科学、离散数学等领域的应用。
（3）引导学生了解集合论的发展历程，激发学生的学习兴趣。
2021最新版新高一暑假预习讲义《专题01 集合的概念》(原卷版)
这些符号是我们学习高中数学的基础，它大大简化了数集的表示方法，应当熟练掌握．
2．判断一个元素是不是某个集合的元素，关键是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征．
重要考点三：用列举法表示集合
【典型例题】方程组
2
− +
==36的解构成的集合为（
）
A． = 3, = 0
B． 3,0
C． 3,0
D． 0,3
合 A 中所有元素之积为_______.
17．【广东省广州市真光中学 2019-2020 学年高一上学期第一次月考】已知 ∈ {1, }，则实数 的值为______. 18．【山东省新高考 2018-2019 学年高一上学期 10 月阶段性考试】设 , , 为非零实数,m=| |+ + + ，则 的所有值组成的集合为____ 19．【必修第一册 逆袭之路】用列举法表示下列集合： （1）小于 10 的所有自然数组成的集合； （2）方程 2 = 的所有实数根组成的集合.
组成的集合.
【名师点睛】
1．用描述法表示相应集合时，首先明确代表元素是点集还是数集，在此基础上，结合描述的定义给出集合 的表示．
2．用描述法表示集合时，其代表元素的范围务必明确，如果省略不写，则默认为 x∈R.
重要考点五：忽略集合中元素的互异性
【典型例题】若−1 ∈ 3, 2 − − 1, 2 − 1 ，则 a=（ ）
重要考点六：解决集合的新定义问题的基本方法
【典型例题】定义集合运算： ※ = ︳ = − , ∈ , ∈ ，设集合 = 1,2 ， = 2,3 ，则集
合 ※ 的所有元素个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【题型强化】1.已知：集合 = 0，2，3 ，定义集合运算 ※ = { | = + , ∈ , ∈ }，则
集合课件PPt
集合的传递性、吸收性、反对称性
传递性
如果A包含B，B包含C，则A包含C。
吸收性
如果A包含B，则A并B等于A。
反对称性
如果A包含B，B包含A，则A等于B。
集合运算的应用
用于解决数学问题中 的分类和合并问题。
用于逻辑推理和证明 中的概念和定理的表 述和证明。
用于处理集合之间的 关系和运算，如交、 并、补等。
集合的表示方法
列举法
将集合的元素一一列举出来，用 大括号{}括起来。例如：{1,2,3}表 示一个包含三个元素的集合。
描述法
通过描述集合中元素的共同特征 来表示集合。例如：{x|x是正方形 }表示所有正方形的集合。
集合的分类
01
02
03
有限集
包含有限个元素的集合。 例如：{1,2,3}是一个有限 集。
无限集
包含无限个元素的集合。 例如：自然数的集合N是 一个无限集。
空集
不包含任何元素的集合。 例如：{}是一个空集。
02 集合运算
交集、并集、补集
交集
由两个集合中共有的元素 组成的集合称为这两个集 合的交集。
并集
由两个或两个以上集合的 所有元素组成的集合称为 这些集合的并集。
补集
在集合A中，不属于A的元 素组成的集合称为A的补 集。
应用
关系在数据库、人工智能和自然语言处理等领域都有广泛的应用。
等价关系与划分
定义
等价关系是一种特殊的二元关系，它满足自反性、对称性和传递性。自反性指任何元素都 与自己有这种关系，对称性指如果a与b有这种关系，则b与a也有这种关系，传递性指如 果a与b有这种关系，b与c也有这种关系，则a与c也有这种关系。
证明数学定理
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第01讲集合一、考情分析1.通过实例了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；针对具体问题能在自然语言、图形语言的基础上，用符号语言刻画集合；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用.二、知识梳理1.元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.2.集合间的基本关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B 子集集合A中任意一个元素均为集合B中的元素A⊆B 真子集集合A中任意一个元素均为集合B中的元素，且集合B中至少有一个元素不是集合A中的元素BA⊂≠空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪B A∩B 若全集为U，则集合A 的补集为∁U A图形表示集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A}4.集合的运算性质(1)A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝B ∩A . (2)A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∪B ＝B ∪A . (3)A ∩(∁U A )＝∅，A ∪(∁U A )＝U ，∁U (∁U A )＝A . [方法技巧]1.若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有2n －1个.2.子集的传递性：A ⊆B ，B ⊆C ⇒A ⊆C .3.A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔∁U A ⊇∁U B .4.∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )，∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B ).三、 经典例题考点一 集合的基本概念【例1-1】（2020·全国高三一模（文））已知集合{}2220A x x ax a =++≤，若A 中只有一个元素，则实数a 的值为（ ） A ．0 B ．0或2- C ．0或2 D ．2【答案】C【解析】若A 中只有一个元素，则只有一个实数满足2220x ax a ++≤， 即抛物线222y x ax a =++与x 轴只有一个交点，∴2480a a =-=△，∴0a =或2. 故选：C【例1-2】（2020·海南省海南中学高三月考）若S 是由“我和我的祖国”中的所有字组成的集合，则S 的非空真子集个数是（ ） A ．62 B ．32C ．64D ．30【答案】D【解析】因为“我和我的祖国”中的所有字组成的集合S 一共有5个元素， 所以S 的非空真子集个数是52230-=个. 故选：D规律方法 1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义.2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.考点二 集合间的基本关系【例2-1】（2020·天津市滨海新区塘沽第一中学高三二模）已知集合|03x A x Z x ⎧⎫=∈≤⎨⎬+⎩⎭，则集合A 真子集的个数为（ ） A ．3 B ．4C ．7D ．8【答案】C【解析】由|03x A x Z x ⎧⎫=∈≤⎨⎬+⎩⎭，得{}|30{2,1,0}A x Z x =∈-<≤=-- 所以集合A 的真子集个数为3217-=个. 故选：C【例2-2】（2020·全国高三月考（文））已知集合{|6A x x =<且}*N x ∈，则A 的非空真子集的个数为( ) A ．30 B ．31 C ．62 D ．63【答案】A【解析】因为集合{|6A x x =<且}{}*N1,2,3,4,5x ∈=，所以A 的非空真子集的个数为52230-= . 故选：A【例2-3】（2020·北京牛栏山一中高三月考）已知集合A ={-2，3，1}，集合B ={3，m ²}.若B ⊆A ，则实数m 的取值集合为（ ）A ．{1}B ．C ．{1，-1}D ．【答案】C【解析】集合A ={-2，3，1}，集合B ={3，m ²}.若B ⊆A 则21m =或22m =-，解得1m =± 故选：C规律方法 1.若B ⊆A ，应分B ＝∅和B ≠∅两种情况讨论.2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图，化抽象为直观进行求解.考点三 集合的运算【例3-1】（2020·全国高三一模（文））已知集合{}|15A x x =-≤≤，{}2|23B x x x =->，则A B =（ ） A ．5}|3{x x <≤ B ．{|15}x x -≤≤ C ．{|1x x <-或3}x > D ．R【答案】A【解析】由题意|| 1 B x x =<-或3}x >，所以{|35}A B x x =<≤.故选：A【例3-2】（2020·安徽省六安一中高一月考）已知集合{}2230A x x x =-->，(){}lg 11B x x =+≤，则()RA B =（ ）A ．{}13x x -≤< B ．{}19x x -≤≤ C ．{}13x x -<≤ D ．{}19x x -<<【答案】C【解析】解不等式2230x x -->，得1x <-或3x >； 解不等式()lg 11x +≤，得0110x <+≤，解得19x -<≤.{}13A x x x ∴=-或，{}19B x x =-<≤，则{}13R A x x =-≤≤，因此，(){}13RA B x x ⋂=-<≤，故选：C.规律方法 1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算.2.注意数形结合思想的应用.(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn 图求解.(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.(3)集合的新定义问题：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口. [思维升华]1.集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到.3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn 图.这是数形结合思想的又一体现. [易错防范]1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简.2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解.3.解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系.4.Venn 图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.四、 课时作业1．（2020·全国高三月考（理））已知集合{}2|4M x x =，{2,1,0,1,2}N =--，则（ ）A ．M N ⋂=∅B ．N M ⊆C ．{1,0,1}M N ⋂=-D ．MN =R2．（2020·内蒙古自治区高三二模（文））已知集合1|2A x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭，{|10}B x x =-<<则AB =（ ）A ．{|0}x x <B ．1|2x xC ．1|12x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭D ．{|1}x x >-3．（2020·全国高三月考（文））若用列举法表示集合26(,)|3x y A x y x y +=⎧⎧⎫=⎨⎨⎬-=⎩⎭⎩，则下列表示正确的是（ ）A ．{3,0}x y ==B ．{(3,0)}C ．{3,0}D ．{0,3}4．（2020·四川省高三二模（文））已知集合|2A x y x ⎧==⎨⎬-⎩⎭，{2,1,0,1,2,3}B =--，则()A B =R （ ）A ．{2,1,0,1,2}--B ．{0,1,2,3}C ．{1,2,3}D ．{2,3}5．（2020·辽宁省高三开学考试（理））设集合{}2320M x x x =++>，集合1=42xN x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则MN =（ ） A ．{}2x x ≥-B ．{}1x x >-C ．{}2x x ≤-D ．R6．（2020·福建省高三月考（文））已知集合{|1}A x y x ==+，{|lg(1)}B y y x ==-，则A B =（ ）A ．[1,)-+∞B ．(1,)+∞C ．[0,)+∞D ．R7．（2020·宜宾市叙州区第二中学校高三月考（文））设函数2()lg(1)1f x x =-+的定义域为A ，2()()1g x x a =--的定义域为B ，A B ⊆，则a 的取值范围是________．8．（2020·江苏省泰州中学高三月考）已知集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>，则AB =______9．（2020·北京牛栏山一中高三月考）对于集合{}22,,M a a x y x Z y Z ==-∈∈，给出如下三个结论： ①如果{}21,B b b n n N ==+∈，那么B M ⊆； ②若{}2,C c c n n N ==∈，对于c C ∀∈，则有c M ∈； ③如果1a M ∈，2a M ∈，那么12a a M ∈. ④如果1a M ∈，2a M ∈，那么12a a M +∈ 其中，正确结论的序号是__________.10．（2020·北京人大附中昌平学校高三二模）集合{}(,),0A x y x y a a =+=>，{}(,)1B x y xy x y =+=+，若A B 是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为________①a 的值可以为2； ②a； ③a的值可以为2+11．（2020·全国高三一模（理））已知集合|⎧⎪==⎨⎪⎩A x y ，集合{|12}=-+B x x a . （1）求集合A ；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围.12．（2020·全国高三其他（文））已知集合(){}2|log 33A x x =+≤，{}|213B x m x m =-<≤+. （1）若3m =，则A B ；（2）若AB B =，求实数m 的取值范围.。