3.3.2简单的线性规划问题导学案(1)
人教版高中数学必修⑤3.3.2简单的线性规划问题教学设计
课题：必修⑤3.3.2简单的线性规划问题三维目标：1、知识与技能（1）使学生进一步了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；；（2）了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决相关问题及一些简单的实际问题。
2、过程与方法（1）通过引导学生合作探究，将实际生活问题转化为数学中的线性规划问题来解决，提高数学建模能力。
同时，可借助计算机的直观演示可使教学更富趣味性和生动性；（2）将实际问题中错综复杂的条件列出目标函数和约束条件对学生而言既是重点又是难点，在此，教师要根据学生的认知、理解情况，引导学生自己动手建立数学模型，自我不断体验、感受、总结；同时，要给学生正确的示范，利用精确的图形并结合推理计算求解3、情态与价值观（1）培养学生数形结合、等价转化、等与不等辩证的数学思想；(2) 通过对不等式知识的进一步学习，不断培养自主学习、合作交流、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，提高参与意识和合作精神；（3）通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。
体验在学习中获得成功的成就感，为远大的志向而不懈奋斗。
教学重点：（1）把实际问题转化成线性规划问题，即建立数学模型；（2）用图解法解决简单的线性规划问题。
教学难点：准确求得线性规划问题的最优解（尤其是整数解的求解思想）教具：多媒体、实物投影仪教学方法：合作探究、分层推进教学法教学过程：一、双基回眸科学导入：★前面，我们学习了二元一次不等式（组）及其表示的区域……并且体会到在实际问题中的应用前景，感受到其重要性。
下面，首先我1.二元一次不等式.：我们把含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式.2.二元一次不等式组.：我们把由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组.3．二元一次不等式组的解集：满足二元一次不等式组的 x 和y的取值构成有序数对(,)x y，所有这样的有序数对(,)x y构成的集合称为二元一次不等式组的解集.1．二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）而不等式0By+CAx表示区域时则包括边界,把边界+≥画成实线.2．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法：由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(yx,)，把它的坐标（yx,)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）★在生活、生产中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排的等问题，如某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？根据我们上节课所学知识，大家不难列出相应的量的约束条件，但我们列出（或画出）后，应该要解决生产中的必需的问题，这就是我们今天要探究的问题……二、创设情境合作探究：【引领学生合作探究，通过上述问题的进一步所求总结线性规划问题】上面的问题应该到达下面的位置：解：设甲、乙两种产品分别生产x 、y 件，由已知条件可的二元一次不等式组：28,416,412,00x y x y x y +≤⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩ （Ⅰ）将上述不等式组表示成平面上的区域，如图中阴影部分的整点。
《3.3.2简单的线性规划问题》学案
课题名称：简单的线性规划问题(学案)教师寄语：咬定目标不放松，立根只在破岩中学习目标：1.了解线性规划的意义以及约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等相关的基本概念；2. 在巩固二元一次不等式（组）所表示的平面区域的基础上，能从实际优化问题中抽象出约束条件和目标函数，并依据目标函数的几何含义直观地运用图解法求出最优解；3. 掌握对一些实际优化问题建立线性规划数学模型并运用图解法进行求解的基本方法和步骤。
学习重点：根据实际优化问题准确建立目标函数，并依据目标函数的几何含义直观地运用图解法求出最优解；学习难点: 用数学语言表述运用图解法求解线性规划问题的过程．自主学习.学与思1.线性规划的实际应用主要解决两类问题：（1）在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成的任务；（2）给定一项任务，如何合理安排和规划，能以的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.2.线性规划的有关概念：①约束条件：由变量x、y组成的；线性约束条件：由变量x、y的不等式(或方程)组成的不等式组．②目标函数：欲达到最大值或最小值的关于x、y的；线性目标函数：欲达到最大值或最小值的关于x、y的.③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的或的问题，统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x，y）叫；由所有可行解组成的集合叫做；使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的．3.用图解法解决线性规划问题的一般步骤：（1）审题，分析数据，选取变量；（2）列出线性约束条件，线性目标函数；（3）画出可行域；（4）在可行域内求目标函数的最优解（实际问题需要求整数解时，应适当调整，以确定最优解）．探究学习.讲与练【探究发现】探究1.在同一坐标系上作出下列直线:2x+y=0;2x+y=1;2x+y=-3;2x+y=4;2x+y=7。
结论：补充：（1）方程与函数的关系；（2）直线斜率大小与直线陡平的关系；斜率相同则平行；；（3）截距问题。
2019-2020年高中数学必修五教案：3-3-2简单的线性规划问题
2019-2020年高中数学必修五教案： 3-3-2 简单的线性规划问题简单的线性规划问题一、教学背景1.本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A 版必修5第三章《不等式》中3.3.2《简单的线性规划问题》的第一课时。
主要内容是线性规划的相关概念和简单的线性规划问题的解法。
2.本节课的教学对象是河北省秦皇岛市抚宁区第一中学高一文班学生。
二、教学目标 （一）知识与技能1. 了解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念。
2. 会用图解法解决简单线性规划问题，即求目标函数的最大值或最小值。
（二）过程与方法在线性规划问题的探究过程中，引导学生通过观察、分析、操作、归纳、概括的基本环节，达到知识的建构。
增强学生的观察、联想、细心作图的能力，把握化归思想和数形结合两大数学思想。
注重培养学生积极主动、勇于探索的学习方式，整节课着重创造师生互动、生生互动的良好学习环境，学生在老师的引导下亲身经历动手实践、动脑思考等方法探究线性规划的简单问题获取直接结题经验。
（三）情感态度与价值观学习中渗透函数、数形结合、化归等重要数学思想，培养学生“数形结合”的应用数学的意识，激发学生的学习兴趣。
结合本节教学内容，让学生成为课堂活动的主导,体验探究学习、合作学习的乐趣，并从中获得成功的体验，增强学生学习数学知识的自信心。
培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
三、教学重点和难点教学重点：图解法解线性规划问题。
教学难点：准确求得线性规划问题的最优解。
四、教学过程 （一）复习回顾在同一坐标系上作出下列直线:xy 2-=；12+-=x y ；32--=x y ；42+-=x y ；72+-=x y 。
投影展示学生的画图作业，引导学生观察5条直线的特征：平行。
得出结论：形如)0(2¹+-=t t x y 的直线与x y 2-=平行。
直线b kx y +=中的b 叫做纵截距：直线与y 轴交点的纵坐标。
高中数学 第三章 3.3.2简单的线性规划问题(一)导学案新人教A版必修5(2)
3．3.2 简单的线性规划问题(一)课时目标1．了解线性规划的意义．2．会求一些简单的线性规划问题．名称 意义 约束条件 由变量x ，y 组成的不等式或方程 线性约束条件 由x ，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数 欲求最大值或最小值所涉及的变量x ，y 的函数解析式 线性目标函数 关于x ，y 的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x ，y ) 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题一、选择题1．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －y ＋1≥0，则x ＋y 的最大值为( )A ．9 B.157 C ．1 D.715答案 A解析 画出可行域如图：当直线y ＝－x ＋z 过点A 时，z 最大． 由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x －y ＋1＝0得A (4,5)，∴z max ＝4＋5＝9. 2．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，则x 2＋y 2的最大值为( )A.10 B ．8 C ．16 D ．10答案 D解析 画出不等式组对应的可行域如下图所示： 易得A (1,1)，|OA |＝2，B (2,2)， |OB |＝22，C (1,3)，|OC |＝10.∴(x 2＋y 2)max ＝|OC |2＝(10)2＝10.3．在坐标平面上有两个区域M 和N ，其中区域M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0y ≤x y ≤2－x，区域N ＝{(x ，y )|t ≤x ≤t ＋1,0≤t ≤1}，区域M 和N 公共部分的面积用函数f (t )表示，则f (t )的表达式为( )A ．－t 2＋t ＋12B ．－2t 2＋2tC ．1－12t 2 D.12(t －2)2答案 A 解析作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0y ≤xy ≤2－x所表示的平面区域．由t ≤x ≤t ＋1,0≤t ≤1，得f (t )＝S △OEF －S △AOD －S △BFC＝1－12t 2－12(1－t )2＝－t 2＋t ＋12.4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为( )A ．3，－11B ．－3，－11C ．11，－3D ．11,3 答案 A解析 作出可行域如图阴影部分所示，由图可知z ＝3x －4y 经过点A 时z 有最小值，经过点B 时z 有最大值．易求A (3,5)，B (5,3)．∴z 最大＝3×5－4×3＝3，z 最小＝3×3－4×5＝－11.5设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0y ≥x，所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，则|AB |的最小值为( )A.285 B ．4 C.125 D ．2 答案 B解析 如图所示．由约束条件作出可行域，得D (1,1)，E (1,2)，C (3,3)．要求|AB |min ，可通过求D 、E 、C 三点到直线3x －4y －9＝0距离最小值的2倍来求．经分析，D (1,1)到直线3x －4y －9＝0的距离d ＝|3×1－4×1－9|5＝2最小，∴|AB |min＝4.二、填空题6．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3.则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为________．答案 7解析 作出可行域如图所示．由图可知，z ＝2x ＋3y 经过点A (2,1)时，z 有最小值，z 的最小值为7.7．已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．(答案用区间表示)答案 (3,8)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧－1<x ＋y <4，2<x －y <3得平面区域如图阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x＋y＝－1，x－y＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x＝1，y＝－2.由⎩⎪⎨⎪⎧x＋y＝4，x－y＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x＝3，y＝1.∴2×3－3×1<z＝2x－3y<2×1－3×(－2)，即3<z<8，故z＝2x－3y的取值范围是(3,8)．8．已知实数x，y满足⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y－5≤0，x≥1，y≥0，x＋2y－3≥0，则yx的最大值为________．答案 2解析画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y－5≤0，x≥1，y≥0，x＋2y－3≥0对应的平面区域Ω，yx＝y－0x－0表示平面区域Ω上的点P(x，y)与原点的连线的斜率．A(1,2)，B(3,0)，∴0≤yx≤2.三、解答题9．线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋3y≥12x＋y≤103x＋y≥12下，求z＝2x－y的最大值和最小值．解如图作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥12x ＋y ≤103x ＋y ≥12下的可行域，包含边界：其中三条直线中x ＋3y ＝12与3x ＋y ＝12交于点A (3,3)，x ＋y ＝10与x ＋3y ＝12交于点B (9,1)， x ＋y ＝10与3x ＋y ＝12交于点C (1,9)，作一组与直线2x －y ＝0平行的直线l ：2x －y ＝z ，即y ＝2x －z ，然后平行移动直线l ，直线l 在y 轴上的截距为－z ，当l 经过点B 时，－z 取最小值，此时z 最大，即z max ＝2×9－1＝17；当l 经过点C 时，－z 取最大值，此时z 最小，即z min ＝2×1－9＝－7.∴z max ＝17，z min ＝－7.10．已知⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5≥03x －y －5≤0x －2y ＋5≥0，求x 2＋y 2的最小值和最大值．解 作出不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5≥03x －y －5≤0x －2y ＋5≥0的可行域如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5＝02x ＋y －5＝0，得A (1,3)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋5＝03x －y －5＝0，得B (3,4)， 由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －5＝02x ＋y －5＝0，得C (2,1)，设z ＝x 2＋y 2，则它表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形知，原点到点B 的距离最大，注意到OC ⊥AC ，∴原点到点C 的距离最小．故z max ＝|OB |2＝25，z min ＝|OC |2＝5. 能力提升11．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋x ＋y －1≤x ≤4，求x 2＋y 2－2的取值范围．解 作出可行域如图，由x 2＋y 2＝(x －0)2＋(y －0)2，可以看作区域内的点与原点的距离的平方，最小值为原点到直线x ＋y －6＝0的距离的平方，即|OP |2，最大值为|OA |2，其中A (4,10)，|OP |＝|0＋0－6|12＋12＝62＝32， |OA |＝42＋102＝116，∴(x 2＋y 2－2)min ＝(32)2－2＝18－2＝16， (x 2＋y 2－2)max ＝(116)2－2＝116－2＝114，∴16≤x 2＋y 2－2≤114.即x 2＋y 2－2的取值范围为16≤x 2＋y 2－2≤114. 12．已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0x －2y ＋4≥03x －y －3≤0，试求z ＝y ＋1x ＋1的最大值和最小值． 解 由于z ＝y ＋1x ＋1＝y －－x －－， 所以z 的几何意义是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率，因此y ＋1x ＋1的最值就是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率的最值，结合图可知，直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小，即 z max ＝k MB ＝3，此时x ＝0，y ＝2； z min ＝k MC ＝12，此时x ＝1，y ＝0.∴z 的最大值为3，最小值为12.1．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解．2．在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题．。
3.3.2简单线性规划(1_2)--上课用
y-x=0
5
4、 根据0=2x+y平移到 区域的最后一个点时有 最大（小）值
3、根据b的正负值判断向上向下 平移时Z的增减性， 1 O
1 A(2,-1)
5
x
y+1=0
B(-1,-1)
-1
x+y-1=0
x - y 0 1 、 画出x y - 1 0区域 y y 1 0
使 式中，的x、y满足约束条件：
3 z z y x , 为直线3x 5 y z 0 5 5 5 的纵截距
5 x 3 y 15 y x 1 x 5 y 3
5x+3y=15 y y=x+1
5
B(3/2,5/2)
1
X-5y=3 x
O
-1
1
5
A(-2,-1)
B.z=5x+3y D.z=3x+5y
答案:A
第31页
高考题练习：
x y≥2, 1.(2009 浙江)若实数x, y满足不等式组 2 x y≤4, x y≥0, 则2x 3y的最小值是 ________ .
答案:4
第32页
解析:作出可行域如下图. 作直线l:2x+3y=0,平移l,当l过点A(2,0)时,2x+3y有最小值4.
D.5
z=5×1+0=5.
答案:D
第34页
则z x 2y的最大值为
A.4 答案:B B.3 C.2
y≤1, 3.(2010 全国Ⅰ若变量 ) x、y满足约束条件 x y≥0, x y 2≤0,
3.3.2简单的线性规划问题(1).ppt1
y
o
x
1.课题导入
在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、 生产安排等问题。 1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题：
某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每 生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙 产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂 获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该 厂所有可能的日生产安排是什么？ 按甲、乙两种产品分别生产x、y件，由 已知条件可得二元一次不等式组
5 x＋3 y 1 5 1 y x＋ x－5 y 3
1.解：作出平面区域
y
A
o x C
y x x＋y 1 y － 1
z＝2x＋y
B
作出直线y=－2x＋z的 图像，可知z要求最大值， 即直线经过C点时。 求得C点坐标为（2，－1）， 则Zmax=2x＋y＝3
把z＝2x＋3y变形为
由上图可以看出，当实现直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M z 14 （4，2）时，截距的值最大 ，最大值为 ， 3 3
这时 2x+3y=14. 所以，每天生产甲产品 4 件，乙产品 2 件时， 工厂可获得最大利润14万元。
二、基本概念
Hale Waihona Puke 一组关于变量x、y的一次不等式，称为线性约束 条件。 把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数，因 为它是关于变量x、y的一次解析式，又称线性目标函数。 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值 y 问题，统称为线性规划问题。 4 可行域 最优解 满足线性约束的解
3
（x，y）叫做可行解。 由所有可行解组成 可行解 的集合叫做可行域。
高中数学《简单的线性规划问题》导学案
第三章不等式3.3.2简单的线性规划问题一、学习目标1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.掌握线性规划问题的图解法,并能应用它解决一些简单的实际问题.3.能从实际情境中抽象出简单的线性规划问题.【重点、难点】经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力和意识。
二、学习过程【创设情景】意大利足球队营养师布拉加经常遇到这样一类营养调配问题:甲、乙、丙三种食物的维生素A、B的含量及成本如下表:甲乙丙维生素A(单位/千克) 400 600 400维生素B(单位/千克) 800 200 400成本(元/千克) 7 6 5布拉加想购这三种食物共10千克,使之所含维生素A不少于4400单位,维生素B不少于4800单位.【导入新课】1:(1)假设布拉加购买了甲种食物x千克,乙种食物y千克,则按照布拉加对维生素A、B的含量要求,x,y应该满足的条件是即形如这样的由变量x,y组成的不等式(组)或等式叫作,由变量x,y组成的一次不等式(组)或等式叫作.(2)设布拉加购买三种食物的成本为z,则z= ,像z这样的关于x、y的函数叫作,关于x、y的一次函数叫作,目的是求z的最大值或最小值.(3)满足线性约束条件的解(x,y)叫作;由所有可行解组成的集合叫作;使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫作线性规划问题的.2:用图解法解决线性规划问题的一般步骤:(1)画出;(2)令z=0作出直线l0:ax+by=0;(3)作一组与直线l0的直线系或平移直线l0;(4)找到;(5)解方程组;(6)写出答案,并检验.3:图解法可概括为“画、移、求、答”(1)画:画出可行域和直线ax+by=0(目标函数是z=ax+by);(2)移: 移动直线ax+by=0,确定使z=ax+by取得最大值或最小值的点;(3)求:求出使z取得最大值或最小值的点的(解方程组)及z的最大值或最小值;(4)答:给出正确答案,并检验.4:在求线性目标函数的最值时,我们可以归纳出如下结论:(1)线性目标函数的最值一般在处取得.(2)线性目标函数的最值也可能在可行域的边界上取得,即满足条件的最优解有.【典例分析】线性目标函数的最值问题已知变量x、y满足下列条件:试求:z=4x-y的最大值.【解析】作出满足条件的可行域,如图所示.由每条直线的方程可以求出点A(1,1)、B(2,4)、C(3,5)、D(5,5)、E(5,3).目标函数z=4x-y可化为y=4x-z,欲求z的最大值,只需求直线y=4x-z在y轴上的截距的最小值.由图知,当直线y=4x-z过点E时,直线在y轴上的截距最小,z取得最大值17.【变式拓展】线性目标函数最值整数点问题已知x,y满足不等式组求使x+y取最大值时的整数x,y.三、学习总结经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力和意识四、随堂检测(2014年·广东卷)若变量x,y满足约束条件的最大值和最小值分别为m和n,则m-n=( ).A.5B.6C.7D.8。
学案4：3.3.2 简单的线性规划问题
3.3.2 简单的线性规划问题学习目标：1．了解线性规划的意义．2．了解线性规划问题中一些术语的含义．3．会解决一些简单的线性规划问题．学习重难点：1．求目标函数的最值．(重点、难点)2．目标函数的最值与其对应直线截距的关系(易错点).学习过程：自学导引1．解决线性规划问题的一般方法解决线性规划问题的一般方法是图解法，其步骤如下：(1)确定线性约束条件，注意把题中的条件准确翻译为不等式组；(2)确定线性目标函数；(3)画出可行域，注意作图准确；(4)利用线性目标函数(直线)求出最优解；(5)实际问题需要整数解时，应调整检验确定的最优解(调整时，注意抓住“整数解”这一关键点)．说明：求线性目标函数在约束条件下的最值问题的求解步骤是：①作图——画出约束条件(不等式组)所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l.②平移——将直线l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置．③求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．2．线性规划的应用线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何利用它们完成更多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务，常见的问题有：(1)物资调运问题：(2)产品安排问题；(3)下料问题．例题探究：题型一 求线性目标函数的最值例1：已知关于x ，y 的二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ≤4，x －y≤1，x ＋2≥0.(1)求函数u ＝3x －y 的最大值和最小值；(2)求函数z ＝x ＋2y 的最大值和最小值．规律方法：图解法是解决线性规划问题的有效方法．其关键在于平移目标函数对应的直线ax ＋by ＝0，看它经过哪个点(或哪些点)时最先接触可行域和最后离开可行域，则这样的点即为最优解，再注意到它的几何意义，从而确定是取得最大值还是最小值．变式1：已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 5x ＋3y ≤15，y ≤x ＋1，x －5y ≤3.求z ＝3x ＋5y 的最大值和最小值．题型二 非线性目标函数的最值问题例2：已知⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，求：(1)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值；(2)z ＝2y ＋1x ＋1的取值范围．规律方法：非线性目标函数的最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，诸如两点间的距离(或平方)．点到直线的距离，过已知两点的直线斜率等．常见代数式的几何意义主要有：(1) (x －a )2＋(y －b )2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离；x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离．(2)y －b x －a表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率；y x 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率．这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键．变式2：如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，2y －1≥0上，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，求|PQ |的最小值．题型三 线性规划的实际应用例3：某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C .另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C .如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？题后反思：用图解法解线性规划应用题的具体步骤为：(1)设元，并列出相应的约束条件和目标函数；(2)作图：准确作图，平移找点；(3)求解：代入求解，准确计算；(4)检验：根据结果，检验反馈．变式3：某公司计划2012年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大．最大收益是多少万元？方法技巧：数形结合思想在线性规划中的应用数形结合的主要解题策略是：数形问题的解决；或：形数问题的解决．数与形结合的基本思路是：根据数的结构特征构造出与之相适应的几何图形，并利用直观特征去解决数的问题；或者将要解决的形的问题转化为数量关系去解决．课堂检测：1.已知－1≤x＋y≤4且2≤x－y≤3，且z＝2x－3y的取值范围是________(答案用区间表示)．2.目标函数z=3x-y,将其看成直线方程时,z的意义是()A．该直线的截距B．该直线纵截距C．该直线的纵截距的相反数D．该直线横截距3.若点(x,y)在曲线y=-|x|与y=-2所围成的封闭区域内(包括边界),则2x-y的最大值为() A．-6B．4C．6D．8参考答案例题探究：例1：解： (1)作出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ≤4，x －y≤1，x ＋2≥0.表示的平面区域，如图所示．由u ＝3x －y ，得y ＝3x －u ，得到斜率为3，在y 轴上的截距为－u ，随u 变化的一组平行线， 由图可知，当直线经过可行域上的C 点时，截距－u 最大，即u 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝4，x ＋2＝0，得C (－2,3)， ∴u min ＝3×(－2)－3＝－9. 当直线经过可行域上的B 点时，截距－u 最小，即u 最大，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝4，x －y ＝1，得B (2,1)， ∴u max ＝3×2－1＝5.∴u ＝3x －y 的最大值是5，最小值是－9.(2)作出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ≤4，x －y≤1，x ＋2≥0.表示的平面区域，如图所示．由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋12z ，得到斜率为－12，在y 轴上的截距为12z ，随z 变化的一组平行线．由上图可知，当直线经过可行域上的A 点时，截距12z 最小，即z 最小， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋2＝0，得A (－2，－3)， ∴z min ＝－2＋2×(－3)＝－8.当直线与直线x ＋2y ＝4重合时，截距12z 最大，即z 最大， ∴z max ＝x ＋2y ＝4，∴z ＝x ＋2y 的最大值是4，最小值是－8.变式1：解： 由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 5x ＋3y ≤15，y ≤x ＋1，x －5y ≤3.作出可行域，如图所示．∵目标函数为z ＝3x ＋5y ，∴作直线l ：3x ＋5y ＝t (t ∈R )．平移直线l ，在可行域内以经过点A ⎝⎛⎭⎫32，52的直线l 1所对应的t 最大．类似地，在可行域内，以经过点B (－2，－1)的直线l 2所对应的t 最小．∴z max ＝3×32＋5×52＝17，z min ＝3×(－2)＋5×(－1)＝－11. 例2：解：(1)作出可行域如图所示，A (1,3)，B (3,1)，C (7,9)．z ＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到点M (0,5)的距离的平方，过M 作AC 的垂线，易知垂足在AC 上，故MN ＝|0－5＋2|1＋(－1)2＝32＝322. ∴MN 2＝⎝⎛⎭⎫3222＝92， ∴z 的最小值为92. (2)z ＝2·y －⎝⎛⎭⎫－12x －(－1)表示可行域内点(x ，y )与定点Q ⎝⎛⎭⎫－1，－12连线斜率的2倍，∵k QA ＝74，k QB ＝38， ∴z 的取值范围是⎣⎡⎦⎤34，72.变式2：解：画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，2y －1≥0所表示的平面区域，x 2＋(y ＋2)2＝1所表示的曲线为以(0，－2)为圆心，1为半径的一个圆．如图所示，只有当点P 在点A ⎝⎛⎭⎫0，12，点Q 在点B (0，－1)时，|PQ |取最小值32.例3：解：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费用为z 元，则依题意得：z ＝2.5x ＋4y ，且x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54.即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.让目标函数表示的直线2.5x ＋4y ＝z 在可行域上平移．由此可知z ＝2.5x ＋4y 在B (4,3)处取得最小值．因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．变式3：解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤300，500x ＋200y ≤90 000，x ≥0，y ≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤300，5x ＋2y ≤900，x ≥0，y ≥0. 目标函数为z ＝3 000x ＋2 000y .作出可行域如图所示：作直线l ：3 000x ＋2 000y ＝0，即3x ＋2y ＝0.平移直线l ，由图可知当l 过点M 时，目标函数z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝300，5x ＋2y ＝900.得M (100,200)． ∴z max ＝3 000×100＋2 000×200＝700 000(元)．答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．课堂检测：1.【解析】作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋y ≤42≤x －y ≤3表示的可行域，如图中阴影部分所示．在可行域内平移直线2x －3y ＝0，当直线经过x －y ＝2与x ＋y ＝4的交点A (3,1)时，目标函数有最小值，z min ＝2×3－3×1＝3；当直线经过x＋y＝－1与x－y＝3的交点B(1，－2)时，目标函数有最大值，z max＝2×1＋3×2＝8.所以z∈[3,8]．【答案】[3,8]2.【解析】由z=3x-y得y=3x-z,在该方程中-z表示直线的纵截距,因此z表示该直线的纵截距的相反数.故选C.【答案】C3.【解析】如图点(x,y)在阴影部分区域内,设2x-y=z,则y=2x-z.当直线y=2x-z过点A(2,-2)时-z最小,此时z最大.z最大=2×2-(-2)=6.故选C.【答案】C。
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3.3.2简单的线性规划问题导学案（1）
班级 姓名
【学习目标】
1、了解线性规划的意义及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最
优解等概念；
2、能根据条件，建立线性目标函数；
3、了解线性规划问题的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大（小）值。
【学习过程】
一、自主学习
(1)目标函数:
(2)线性目标函数:
(3)线性规划问题:
(4)可行解:
(5)可行域:
(6) 最优解:
二、合作探究
在约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≥+0
0221y x y x y x 下所表示的平面区域内， 探索：目标函数2P x y =+的最值？
（1）约束条件所表示的平面区域称为
（2）猜想在可行域内哪个点的坐标00(,)x y 能使P 取到最大(小)值？
（3）目标函数2P x y =+可变形为y= ，p 的几何意义：
（4）直线2y x p =-+与直线2y x =-的位置关系
（5）直线2y x p
=-+平移到什么位置时，在y 轴上的截距P 最大？ （6）直线2y x p
=-+平移到什么位置时，在y 轴上的截距P 最小？ 三、交流展示
1、已知变量,x y 满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x ，求2t x y =-的最值。
规律总结：用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤？
四、达标检测
A 组：1.下列目标函数中，Z 表示在y 轴上截距的是（ ）
A.y
x z -= B.y x z -=2 C.y x z += D.y x z 2+= 2.不等式组 x –y+5≥0 x + y ≥0 x ≤3表示的平面区域的面积等于（ ）
A 、32
B 、1214
C 、1154
D 、632
3.若⎪⎩
⎪⎨⎧≤+≥≥100y x y x ，则y
x z -=的最大值为（ ） A.－1 B.1 C.2 D.－2
4.已知x ，y 满足约束条件5003x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪⎩
≥≥≤，则24z x y
=+的最小值为（ ） A ．5 B ．6- C ．10 D ．10-
5．若⎪⎩
⎪⎨⎧≥≤+≤--0101x y x y x ，则目标函数y
x z +=10的最优解为（ ） A ．（0，1），（1，0） B.（0，1），（0，－1）
C.（0，－1），（0，0）
D.（0，－1），（1，0）
6. 若222x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩
≤≤≥，则目标函数2z x y =+的取值范围是（ ）
A ．[26]，
B ．[25]，
C ．[36]，
D ．[35]，
7.若A(x, y)是不等式组 –1＜x ＜2 –1＜y ＜2)表示的平面区域内的点，则2x –y 的取值范围是（ ）
A 、（–4, 4）
B 、（–4, –3）
C 、（–4, 5）
D 、（–3, 5）
B 组：1.在不等式组 x ＞0 y ＞0 x+y –3＜0表示的区域内，整数点的坐标是 。
2．若y x ,都是非负整数,则满足5≤+y x 的点共有________个。