74简单的线性规划学案
《简单的线性规划(一)》教案
课题：7.4 简单的线性规划(一)教材分析：本节课是在学生学习了直线与直线方程的关系，初步了解了二元一次方程的几何意义的基础上，引领学生进一步研究二元一次不等式的几何意义，为后面学习用图解法求二元函数最值问题创造条件．使学生体会数与形的转化过程，逐步加强学生应用几何图形解决代数问题的意识．基于以上分析，在教学中应充分利用多媒体课件向学生展示代数条件与几何图形的对应关系，加强学生对问题的了解，培养学生学习数学的兴趣．教学目标：1．使学生了解二元一次不等式表示平面区域；2. 掌握根据二元一次不等式（组）正确做出平面区域的方法，培养学生作图的能力．3．让学生通过观察、联想，体验数学的作用，培养学生学习数学的兴趣，培养学生勤于思考、勇于探索和团结协作的精神。
教学重点：二元一次不等式表示平面区域．教学难点：1．二元一次不等式表示平面区域；2．根据二元一次不等式（组）正确做出平面区域．教法分析：师生互动，探究、研讨、辨析、总结鉴于高二学生已具有较好的数学基础知识和较强的分析问题、解决问题的能力，本节课以学生为中心，以问题为载体，采用启发、引导、探索相结合的教学方法．首先设置“问题”情境，激发学生解决问题的欲望；其次提供观察、探索、交流的机会，引导学生独立思考，有效地调动学生思维，使学生在开放的活动中获取知识．恰当的利用多媒体课件辅助教学，直观生动地呈现学生思维的形成过程，从而提高教学效率．在教学过程中，注重学生的探索经历和发现新知的体验，使其形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略．：二元一次不等式表示平面区域的作图步骤：⑴作出直线；⑵取特殊点；⑶代入表示的平面区域．不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．小结：1．二元一次不等式表示平面区域；2．二元一次不等式（组）表示平面区域的作图方法．作业：1．阅读教材Ｐ63－Ｐ65；2．习题7.4 1．《简单的线性规划（一）》教案说明“简单的线性规划”是高中《数学》第二册（上）第七章第四节的内容，这是《新大纲》中增加的一个新内容，反映了《新大纲》对数学知识应用的重视．线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，它能解决科学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题．本大节内容实质上是在学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简单应用，它虽然只是规划论中极小的一部分，但这部分内容，也能体现数学的工具性、应用性，同时渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法——数学建模法．通过这部分内容的学习，使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，激发学生学习数学的兴趣，应用数学的意识，提高认识问题、分析问题和解决实际问题的能力．《大纲》和教科书在这部分内容之前安排了简易逻辑、平面向量等教学内容，把过去教材中位于这部分内容之后的充要条件移入第一章“集合与简易逻辑”中，客观上使这部分内容有了新的思维角度和处理方法的可能．数学思想是对于数学知识的理性的、本质的、高度抽象和概括的认识，带有普遍的指导意义，蕴涵于运用数学方法分析、处理和解决数学问题的过程之中．数学方法是研究或解决数学问题并使之达到目的的手段、方式、途径或程序．数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深对于具体数学知识的理解和掌握．本节内容重视与之密切相关的数形结合思想和坐标方法的教学．在教学中注意把同一数学对象在数量关系和空间形式这两方面结合起来思考，由形思数，由数思形，互相联想，达到相互转化并使问题得以解决．对于某些数学问题，通过引进坐标系，把问题的条件和结论用点的坐标表示为某些数量关系式，然后用代数方法进行解决．在讨论二元一次不等式表示平面区域时候，应用集合观点来描述直线和被直线划分所得的平面区域，并用集合的语言来表达这些点的集合，比较准确和简明．本节内容是本小节的重点．教科书首先借助于一个具体例子，提出一个有关二元一次不等式表示平面区域的问题和猜想，然后证明这一猜想，并不加证明地给出一般的二元一次不等式表示平面区域的结论，说明怎样确定不等式表示直线0Ax By C ++=的哪儿一侧区域，举例说明怎样用二元一次不等式（组）表示平面区域．依据教材的内容，教学中有两个问题有待解决．一个是如何理解二元一次不等式与平面区域的对应关系，另一个是在第一个问题解决之后如何准确作出二元一次不等式所对应的平面区域．如果直接告诉学生一般的二元一次不等式表示平面区域的结论和作出区域的方法，学生可能也能解决一些用二元一次不等式平面区域的题目，但是很难真正理解数形结合的思想方法，并自觉地将这种思想方法应用于其他的数学知识．普通高中《数学课程标准》指出：在高中数学教学中，教师应鼓励学生积极参与教学活动，包括思维的参与和行为的参与．课堂上，既要有教师的讲授和指导，也要有学生的自主探索与合作交流．教师要创设适当的问题情境，鼓励学生发现数学的规律和问题解决的途径，使他们经历知识形成的过程．创设情境必须紧紧围绕意义建构这一目的．本节课开篇借助北京奥运会开幕式上的一幕作为引入，创设了一个导情引思的情境．平面直角坐标系的建立，将形（点）与数（坐标）联系在一起，为奥运场馆、大脚印与坐标平面内的点的对应关系，为区域内的点与坐标代入代数式的结果的对应，做了很好的铺垫．学生已经学过了直线上的点的坐标都满足二元一次方程，而且以二元一次方程的解为坐标的点都在直线上．在学生得出直线方程后，如何使教材的认知结构（不等关系）和学生的认知（相等关系）构建和谐统一？在教学设计上，我采用以问题为中心，在老师的引导下，通过学生独立思考、讨论、交流等形式，对数学问题进行探究、求解、延伸和发展，通过发现问题、提出问题、解决问题来揭示二元一次不等式与平面区域的关系．对猜想的证明，要从两方面来进行．在直线3460x y -+=左上方区域内的点的坐标都满足3460x y -+<，而且在直线3460x y -+=右下方区域内的点的坐标都满足3460x y -+>．学生在证明的时候，往往会只证明其中的一方面，而忽略对另一方面的证明．只有两方面都得到证明，才能用特殊点来确定平面区域．在实际教学中，处理一些问题时，注意不纠缠于一些细枝末节问题的讨论，重在让学生应用基本的思想方法去解决问题．这样，学生是应用数学思想在思考问题，解决问题，避免了复杂的记忆和一般的讨论．正是基于这样的考虑，教材在给出猜想的证明后，直接给出了一般的二元一次不等式表示平面区域的结论．通过对引入的问题的回顾与反思，其实作出二元一次不等式表示的平面区域的方法步骤，已经很明确了．我们将教材中的例１加以变化后作为练习给出，目的是巩固作平面区域的步骤，区分边界的虚实．本节课的教学设计始终以问题为中心，将学生吸引到教师设置的问题之中，启发学生探讨、辨析，主动地参与探索学习．使学生经历了一个完整的问题提出、解决、发展的过程．通过这节课的教学，不仅仅使学生会用二元一次不等式表示平面区域，更让学生亲眼目睹数学过程形象而生动的特点，亲身体会数学活动的乐趣，培养学生利用已知数学知识解决未知问题的创新意识，理解知识的来龙去脉，领会知识的产生、发展、形成过程，真正体现知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观的新课程理念．。
7.4 简单的线性规划教案
7.4 简单的线性规划教学目标（1）使学生了解并会用二元一次不等式表示平面区域以及用二元一次不等式组表示平面区域；（2）了解线性规化的意义以及线性约束条件、线性目标函数、线性规化问题、可行解、可行域以及最优解等基本概念；（3）了解线性规化问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；（4）培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力；（5）结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新．教学建议一、知识结构教科书首先通过一个具体问题，介绍了二元一次不等式表示平面区域．再通过一个具体实例，介绍了线性规化问题及有关的几个基本概念及一种基本解法－图解法，并利用几道例题说明线性规化在实际中的应用．二、重点、难点分析本小节的重点是二元一次不等式（组）表示平面的区域．对学生来说，二元一次不等式（组）表示平面的区域是一个比较陌生、抽象的概念，按高二学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，因此学习二元一次不等式（组）表示平面的区域分为两个大的层次：（1）二元一次不等式表示平面区域．首先通过建立新旧知识的联系，自然地给出概念．明确二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域不包含边界直线（画成虚线）．其次再扩大到所表示的平面区域是包含边界直线且要把边界直线画成实线．（2）二元一次不等式组表示平面区域．在理解二元一次不等式表示平面区域含义的基础上，画不等式组所表示的平面区域，找出各个不等式所表示的平面区域的公共部分．这是学生对代数问题等价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题的基础．难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答．对许多学生来说，从抽象到的化归并不比从具体到抽象遇到的问题少，学生解数学应用题的最常见困难是不会将实际问题提炼成数学问题，即不会建模．所以把实际问题转化为线性规划问题作为本节的难点，并紧紧围绕如何引导学生根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，然后利用图解法求出最优解作为突破这个难点的关键．对学生而言解决应用问题的障碍主要有三类：①不能正确理解题意，弄清各元素之间的关系；②不能分清问题的主次关系，因而抓不住问题的本质，无法建立数学模型；③孤立地考虑单个的问题情景，不能多方联想，形成正迁移．针对这些障碍以及题目本身文字过长等因素，将本课设计为计算机辅助教学，从而将实际问题鲜活直观地展现在学生面前，以利于理解；分析完题后，能够抓住问题的本质特征，从而将实际问题抽象概括为线性规划问题．另外，利用计算机可以较快地帮助学生掌握寻找整点最优解的方法．三、教法建议（1）对学生来说，二元一次不等式（组）表示平面的区域是一个比较陌生的概念，不象二元一次方程表示直线那样已早有所知，为使学生对这一概念的引进不感到突然，应建立新旧知识的联系，以便自然地给出概念（2）建议将本节新课讲授分为五步（思考、尝试、猜想、证明、归纳）来进行，目的是为了分散难点，层层递进，突出重点，只要学生对旧知识掌握较好，完全有可能由学生主动去探求新知，得出结论．（3）要举几个典型例题，特别是似是而非的例子，对理解二元一次不等式（组）表示的平面区域的含义是十分必要的．（4）建议通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，这对培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力是大有益处的．（5）对作业、思考题、研究性题的建议：①作业主要训练学生规范的解题步骤和作图能力；②思考题主要供学有余力的学生课后完成；③研究性题综合性较大，主要用于拓宽学生的思维．（6）若实际问题要求的最优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解（近似解），应作适当的调整，其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点，不要在用图解法所得到的近似解附近寻找．如果可行域中的整点数目很少，采用逐个试验法也可．（7）在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小．线性规划教学设计方案（一）教学目标使学生了解并会作二元一次不等式和不等式组表示的区域．重点难点了解二元一次不等式表示平面区域．教学过程【引入新课】我们知道一元一次不等式和一元二次不等式的解集都表示直线上的点集，那么在平面坐标系中，二元一次不等式的解集的意义是什么呢？【二元一次不等式表示的平面区域】1．先分析一个具体的例子我们知道，在平面直角坐标系中，以二元一次方程的解为坐标的点的集合是经过点（0，1）和（1，0）的一条直线l（如图）那么，以二元一次不等式（即含有两个未知数，且未知数的最高次数都是1的不等式）的解为坐标的点的集合是什么图形呢？在平面直角坐标系中，所有点被直线l分三类：①在l上；②在l的右上方的平面区域；③在l的左下方的平面区域（如图）取集合A的点（1，1）、（1，2）、（2，2）等，我们发现这些点都在l的右上方的平面区域，而点（0，0）、（－1，－1）等等不属于A，它们满足不等式，这些点却在l的左下方的平面区域．由此我们猜想，对直线l右上方的任意点成立；对直线l左下方的任意点成立，下面我们证明这个事实．在直线上任取一点，过点P作垂直于y轴的直线，在此直线上点P右侧的任意一点，都有∴于是所以因为点，是L上的任意点，所以，对于直线右上方的任意点，都成立同理，对于直线左下方的任意点，都成立所以，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式的解为坐标的点的集点．是直线右上方的平面区域（如图）类似地，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式的解为坐标的点的集合是直线左下方的平面区域．2．二元一次不等式和表示平面域．（1）结论：二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域．把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线，若画不等式就表示的面区域时，此区域包括边界直线，则把边界直线画成实线．（2）判断方法：由于对在直线同一侧的所有点，把它的坐标代入，所得的实数的符号都相同，故只需在这条直线的某一侧取一个特殊点，以的正负情况便可判断表示这一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当时，常把原点作为此特殊点．【应用举例】例1 画出不等式表示的平面区域解；先画直线（画线虚线）取原点（0，0），代入，∴∴原点在不等式表示的平面区域内，不等式表示的平面区域如图阴影部分．例2 画出不等式组表示的平面区域分析：在不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．解：不等式表示直线上及右上方的平面区域，表示直线上及右上方的平面区域，上及左上方的平面区域，所以原不等式表示的平面区域如图中的阴影部分．课堂练习作出下列二元一次不等式或不等式组表示的平面区域．（1）（2）（3）（4）（5）总结提炼1．二元一次不等式表示的平面区域．2．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法．3．二元一次不等式组表示的平面区域．布置作业1．不等式表示的区域在的（）．A．右上方 B．右下方 C．左上方 D．左下方2．不等式表示的平面区域是（）．3．不等式组表示的平面区域是（）．4．直线右上方的平面区域可用不等式表示．5．不等式组表示的平面区域内的整点坐标是．6．画出表示的区域．答案：1．B 2．D 3．B 4． 5．（－1，－1）6．线性规划教学设计方案（二）教学目标巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域，能用此来求目标函数的最值．重点难点理解二元一次不等式表示平面区域是教学重点．如何扰实际问题转化为线性规划问题，并给出解答是教学难点．教学步骤【新课引入】我们知道，二元一次不等式和二元一次不等式组都表示平面区域，在这里开始，教学又翻开了新的一页，在今后的学习中，我们可以逐步看到它的运用．【线性规划】先讨论下面的问题设，式中变量x、y满足下列条件①求z的最大值和最小值．我们先画出不等式组①表示的平面区域，如图中内部且包括边界．点（0，0）不在这个三角形区域内，当时，，点（0，0）在直线上．作一组和平等的直线可知，当l在的右上方时，直线l上的点满足．即，而且l往右平移时，t随之增大，在经过不等式组①表示的三角形区域内的点且平行于l的直线中，以经过点A（5，2）的直线l，所对应的t最大，以经过点的直线，所对应的t最小，所以在上述问题中，不等式组①是一组对变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又称线性约束条件．是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫做目标函数，由于又是x、y的解析式，所以又叫线性目标函数，上述问题就是求线性目标函数在线性约束条件①下的最大值和最小值问题．线性约束条件除了用一次不等式表示外，有时也有一次方程表示．一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题，满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域，其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解．【应用举例】例1 解下列线性规划问题：求的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件解：先作出可行域，见图中表示的区域，且求得．作出直线，再将直线平移，当的平行线过B点时，可使达到最小值，当的平行线过C点时，可使达到最大值．通过这个例子讲清楚线性规划的步骤，即：第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；第二步：在可行域内找出最优解所对应的点；第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值．例2 解线性规划问题：求的最大值，使式中的x、y满足约束条件．解：作出可行域，见图，五边形OABCD表示的平面区域．作出直线将它平移至点B，显然，点B的坐标是可行域中的最优解，它使达到最大值，解方程组得点B的坐标为（9，2）．∴这个例题可在教师的指导下，由学生解出．在此例中，若目标函数设为，约束条件不变，则z的最大值在点C（3，6）处取得．事实上，可行域内最优解对应的点在何处，与目标函数所确定的直线的斜率有关．就这个例子而言，当的斜率为负数时，即时，若（直线的斜率）时，线段BC上所有点都是使z取得最大值（如本例）；当时，点C处使z取得最大值（比如：时），若，可请同学思考．随堂练习1．求的最小值，使式中的满足约束条件2．求的最大值，使式中满足约束条件答案：1．时，．2．时，．总结提炼1．线性规划的概念．2．线性规划的问题解法．布置作业1．求的最大值，使式中的满足条件2．求的最小值，使满足下列条件答案：1．2．在可行域内整点中，点（5，2）使z最小，扩展资料线性规划的解课本题中出现的线性规划都有唯一的最优解，其实线性规划的解有许多不同的情况，除了有唯一的最优解的情况外，还有（1）无可行解，从而无最优解．这就是约束条件不等式组无解的情况．（2）有无穷多个最优解例2我们用图解法求解．由于目标函数等高线和可行域的边界线平行，沿着目标函数值增加方向平行移动目标函数的等高线，最终停留在直线上，所以线段AB上的所有点都是最优解．线性规划如果有最优解，只会是有唯一最优解或者有无穷多个最优解这两种情况，不会出现其他情况，这就是下面的命题．命题1 如果线性规划有两个不同的最优解，那么对任意，是最优解．这个命题的证明可以在任何一本线性规划的书中找到，这里就不再证明了．事实上证明是平凡的，只要注意到在线段上，利用线性性质，读者就可以自己证明．（3）有可行解，无最优解．例3我们用图解法求解．从图中可以看出随着目标函数等高线的移动，目标函数值会越来越大，没有上界．有的书上称之为无界解．无界解的情况只会出现在可行域是开区域的时候．如果可行域是闭区域，就一定是有界的，于是有命题2 如果统性规划可行域是闭区域，那么一定有最优解．只要注意到线性函数是连续函数，上面的命题就是“有界闭区域上连续函数可以达到最大值或最小值”这一定理的一个推理．从上面的例子中我们可以看出，如果有最优解，那么就有可行域的顶点是最优解．所以也可以通过比较可行域顶点的目标函数值来求线性规划的最优解．例如，中的顶点的目标函数值是；的目标函数值是3；的目标函数值是于是通过比较可以知道是最优解．线性规划的单纯形算法，就是一种从顶点到顶点并使得目标函数值不断改进的迭代算法，由于可行域的顶点只有有限多个，所以经过有限次送代就可以求出线性规划的最优解．单纯形算法可以求解一般的（变量多于两个）线性规划问题．许多实际问题中变量和约束的个数都很多，有些规模比较大的问题中变量和约束的个数甚至可以上万，这样的问题当然是无法用手工计算的，需要用计算机和专门的软件求解．对于规模不是太大（如几十个变量）的线性规划，现在常用的数学软件如Mathematica，Matlab都可以解．下面介绍如何用Matematica解线性规划．用Mathematica解线性规划用的是ConstrainedMax或者函数，这两个函数的格式如下：［目标函数，］［目标函数，］由于软件是用C语言编写的，所以它的函数带有C语言的风格．｛｝表示表格，和函数中都有两个表格，第一个表格是约束条件的表，第二个表格是变量表，表格中的项用逗号分隔．要指出的是由于一般的线性规划中的变量都是非负变量，这两个函数的变量也要求有非负约束，但是非负约束可以不在约束条件表格中列出．例如求解线性规划只要输入In［2］：＝计算机就会给出计算结果最优值2，最优解：斜体的和自动加上的表示输入，表示输出，中的2表示行号．用求例l中的规划问题，在许多实际问题中都要求线性规划的最优整数解，课本中也出现了这样的例子和习题．但是笔者以为求最优整数解不应该成为教学的重点．因为求整数解的问题属于整数规划的范畴，而整数规划和线性规划是运筹学中两个不同的分支．教材的作者显然是知道这一点的，所以在教材的处理上回避了如何去求整数解这个问题．作者这样做一方面告诉大家求整数解不应该成为教学的重点，另一方面也给学生留下了一个自由发展的空间．事实上对于课本上出现的这样非常简单的问题只要在非整数优解的附近找出整数可行解，通过比较它们目标函数值的大小就可以求出最优整数解，学生完全可以自己想办法解决．在科普杂志《科学的美国人》（Scientific American）1981年第6期上有一篇介绍线性规划的文章，文章用了下面的一个例子（本文中的数量单位有改动）：某啤酒厂生产两种啤酒，其中淡色啤酒A桶，啤酒B桶．粮食、啤酒花和麦芽是三种有约束的资源，每天分别可以提供480斤、160两和11 90斤．假设生产一桶淡色啤酒需要粮食5斤、啤酒花4两、麦芽20斤；生产一桶啤酒需要粮食15斤、啤酒花4两、麦芽35斤．售出后每桶淡色啤酒可获利13元，每桶啤酒可获利23元．问A，B等于多少时工厂的利润最大．这个例子的线性规划模型是和课本中的例子相比较这个例子有两个优点，一是它的数据更接近实际数据，有真实感，同时由于数字较大求出的最优解不是整数的问题被相对淡化了；另一方面例子中三种约束的单位不同，这在实际问题中经常出现，例子可以告诉学生列规划时并不需要统一各种约束条件的单位．笔者建议在教学中可以使用类似的例子．选自《中学数学月刊》2002第八期选节探究活动利润的线性规划［问题］某企业1997年的利润为5万元，1998年的利润为7万元，1999年的利润为81元，请你根据以上信息拟定两个不同的利润增长直线方程，从而预2001年企业的利润，请问你帮该企业预测的利润是多少万？［分析］首先应考虑在平面直角坐标系中如何描述题中信息：“1997年的利润为5万元，1998年的利润为7万元，1999年的利润为8万元”，在确定这三点坐标后，如何运用这三点坐标，是仅用其中的两点，还是三点信息的综合运用，运用时要注意有其合理性、思考的方向可以考虑将通过特殊点的直线、平行某个线段的直线、与某些点距离最小的直线作为预测直线等等．建立平面直角坐标系，设1997年的利润为5万元对应的点为（0，5），1998年的利润为 7万元及1999年的利润为 8万元分别对应点（1，7）和（2，8），那么①若将过两点的直线作为预测直线，其方程为：，这样预测2001年的利润为13万元．②若将过两点的直线作为预测直线，其方程为：，这样预测2001年的利润为11万元．③若将过两点的直线作为预测直线，其方程为：，这样预测2001年的利润为10万元．④若将过及线段的中点的直线作为预测直线，其方程为：，这样预测2001年的利润为11．667万元．⑤若将过及的重心（注：为3年的年平均利润）的直线作为预测直线，其方程为：，这样预测2001年的利润为11．667万元．⑥若将过及的重心的直线作为预测直线，其方程为：，这样预测2001年的利润为10．667万元．⑦若将过且以线段的斜率为斜率的直线作为预测直线，则预测直线的方程为：，这样预测2001年的利润为9万元．⑧若将过且以线段的斜率为斜率的直线作为预测直线，则预测直线的方程为：，这样预测2001年的利润为11.5万元.⑨若将过点且以线段的斜率为斜率的直线，作为预测直线，则预测直线的方程为；，这样预测2001年的利润为12万元．⑩若将过且以线段的斜率与线段的斜率的平均数为斜率的直线作为预测直线，则预测直线的方程为：，这样预测2001年的利润为12万元．如此这样，还有其他方案，在此不—一列举．［思考］（1）第⑤种方案与第④种方案的结果完全一致，这是为什么？（2）第⑦种方案中，的现实意义是什么？（3）根据以上的基本解题思路，请你思考新的方案．如方案⑥中，过的重心，找出以为斜率的直线中与两点的距离的平方和最小的直线作为预测直线．（4）根据以上结论及你自己的答案估计一下利润的范围，你预测的利润频率出现最多的是哪一个值？你认为将你预测的结论作怎样的处理，使之得到的利润预测更为有效？如果不要求用线性预测，你能得出什么结果？习题精选一、填空题1．点到直线的距离等于4，且在不等式表示的平面区域内，则点的坐标为＿＿。
简单的线性规划教学设计
《简单的线性规划》教学设计一、内容和内容解析线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型.简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出。
涉及更多个变量的线性规划问题不能用初等方法解决。
本节课为该单元的第3课时，主要内容是线性规划的相关概念和简单的线性规划问题的解法.重点是如何根据实际问题准确建立目标函数，并依据目标函数的几何含义运用数形结合方法求出最优解。
与其它部分知识的联系，表现在：二、目标和目标解析本课时的目标是：1•了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等相关概念.了解线性规划模型的特征：一组决策变量5・刃表示一个方案；约束条件是一次不等式组；目标函数是线性的，求目标函数的最大值或最小值.熟悉线性约束条件（不等式组）的几何表征是平面区域（可行域）•体会可行域与可行解、可行域与最优解、可行解与最优解的关系.2•掌握实际优化问题建立线性规划模型并运用数形结合方法进行求解的基本思想和步骤.会从实际优化问题中抽象、识别出线性规划模型•能理解目标函数的几何表征（一族平行直线）•能依据目标函数的几何意义，运用数形结合方法求出最优解和线性目标函数的最大（小）值，其基本步骤为建、画、移、求、答.3•培养学生数形结合的能力.对模型中z的最小值的求解，通过对式子疋二h +弘的变形，变为2z z2V = —— x-l-————3利用数形结合思想，把？看作斜率为3的平行直线系在y轴上的截距.平移直线■' 1 '1，使其与y轴的交点最高，观察图象直线经过M（4, 2）,得出最优解x = 4，y = 2.三、教学问题诊断分析线性规划问题的难点表现在三个方面：一是将实际问题抽象为线性规划模型；二是线性约束条件和线性目标函数的几何表征；三是线性规划最优解的探求.其中第一个难点通过第1课时已基本克服；第二个难点线性约束条件的几何意义也在第2课时基本解决，本节将继续巩固；第三个难点的解决必须在二元一次不等式（组）表示平面区域的基础上，继续利用数形结合的思想方法把目标函数直观化、可视化，以图解的形式解决之.将决策变量x，y以有序实数对（x，y）的形式反映，沟通问题与平面直角坐标系的联系，一个有序实数对就是一个决策方案.借助线性目标函数的几何意义准确理解线性目标函数在y轴上的截距与z的最值之间的关系；以数学语言表述运用数形结合得到求解线性规划问题的过程。
《简单的线性规划》教学设计
《简单的线性规划》教学设计一、教学指导思想与理论依据线性规划是利用数学为工具，来研究在一定的人、财、物、时、空等资源条件下，如何安排，达到用最少的资源取得最大的效益。
目前所学的线性规划只是规划论中的极小一部分，但这部分内容，也能体现数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法—数学建模法。
本节课是在讲了二元一次不等式组表示平面区域的基础上,简单线性规划第一节课.重点是介绍线性规划的有关概念和利用图解法求解.难点是图解法求最优解的探索过程.结合我校实际情况,制定出本节课从创设数学游戏情景出发,引导学生逐一分析 ,将数学游戏问题抽象概括为数学问题,以此引出线性规划问题,并实现问题解决得高效学习.整个过程,学生自主探究,交流合作共同完成.二、教学背景分析1、教学内容分析本课时是本节内容的第二课时,是本节的核心内容.第一课时即二元一次不等式表示平面区域为本课时的学习做好了知识上的准备.第三课时线性规划的应用更是以本课时内容为基础展开的.普通高中《数学课程标准》指出：在高中数学教学中，教师应鼓励学生积极参与教学活动，包括思维的参与和行为的参与．课堂上，根据我校学生实际情况，创设适当的问题情境，鼓励学生自主探究，发现数学的规律，交流合作找出问题解决的途径，使他们经历知识形成的过程．同时注意渗透数学的基本思想和方法．并通过对“线性规划”的历史及应用的介绍，使学生感受数学的文化价值．2、学生情况分析学生在已经学习了函数、映射、不等式、直线方程的基础上，利用相关知识展开的。
本节课是对二元一次不等式的深化和再认识,再理解,也是对函数和映射的深化和再认识.通过这一部分的学习，学生已经会画不等式组，需要进一步了解二元一次不等式组在解决实际问题中的应用。
如果直接向学生介绍目标函数的几何意义，考虑到他们接受能力，用数学游戏来渗透，设置一系列问题,激发学生探索欲望。
简单的线性规划教案
简单的线性规划教案教案标题：简单的线性规划教案教学目标：1. 了解线性规划的基本概念和特点。
2. 理解线性规划问题的求解过程。
3. 能够利用线性规划方法解决简单的实际问题。
所需材料：1. 铅笔、纸张、计算器。
2. 多个线性规划问题的案例。
教学步骤：引入阶段：1. 引导学生思考：什么是线性规划？线性规划有哪些应用场景？2. 提出教学目标，并解释线性规划的定义和特点。
探究阶段：3. 解释线性约束条件和目标函数的概念。
4. 利用一个简单的例子说明线性规划问题的形式和表示方法。
5. 引导学生分析并列出问题的线性约束条件和目标函数。
实践阶段：6. 将学生分成小组，每个小组选择一个实际问题，并将其转化为线性规划问题。
7. 指导学生列出问题的线性约束条件和目标函数。
8. 引导学生运用计算器或手动计算，求解其线性规划问题。
9. 学生分享并讨论解决过程和结果。
巩固阶段：10. 提供更多复杂的线性规划问题案例，让学生独立尝试解答，并讨论解决策略和结果。
11. 简要总结线性规划的基本原理和步骤。
拓展阶段：12. 引导学生思考更高级的线性规划问题，如带有整数约束或非线性目标函数的问题。
13. 推荐相关参考书籍和网上学习资源供学生深入学习。
评估方式：1. 在实践阶段，观察学生的合作和参与情况。
2. 收集学生独立解答的线性规划问题的答案，并进行评估。
教学反思：根据学生的反馈和评估结果，适时调整教学步骤和内容，确保学生能够理解和应用线性规划的基本原理。
第七章第四节 简单的线性规划一 教案
第七章第四节简单的线性规划一课题：7.4简单的线性规划（一）教学目的：1．了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；2．了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题王新敞3．培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力王新敞教学重点：用图解法解决简单的线性规划问题.教学难点：准确求得线性规划问题的最优解王新敞授课类型：新授课王新敞课时安排：1课时王新敞教具：多媒体、实物投影仪王新敞教学过程：一、复习引入：1．二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）王新敞由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标（x,y)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）王新敞2．先分别作出x=1，x-4y+3=0，3x+5y-25=0三条直线，再找出不等式组所表示的平面区域（即三直线所围成的封闭区域）.再作直线l:2x+y=0 王新敞然后，作一组与直线的平行的直线：l:2x+y=t,t∈R（或平行移动直线0l），从而观察t值的变化：]12,3[2∈+=yxt王新敞二、讲解新课：1.请同学们来看这样一个问题:设t=2x+y，式中变量x、y满足下列条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334xyxyx王新敞求t的最大值和最小值王新敞分析：从变量x、y所满足的条件来看，变量x、y所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域ABC.作一组与直线的平行的直线：l:2x+y=t,t∈R（或平行移动直线0l），从而观察t值的变化：]12,3[2∈+=yxt王新敞从图上可看出，点（0，0）不在以上公共区域内，当x=0，y=0时，t=2x+y=0.点（0，0）在直线l：2x+y=0上.作一组与直线l平行的直线（或平行移动直线l)l:2x+y=t,t∈R.可知，当l在0l的右上方时，直线l上的点（x,y)满足2x+y＞0,即t＞0.而且，直线l往右平移时，t随之增大（引导学生一起观察此规律）.在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，以经过点B（5，2）的直线2l所对应的t最大，以经过点A（1，1）的直线1l所对应的t最小.所以：m axt=2×5+2=12,mint=2×1+3=32.目标函数, 线性目标函数线性规划问题,可行解，可行域, 最优解:诸如上述问题中，不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.t=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数.由于t=2x+y又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数王新敞另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.例如：我们刚才研究的就是求线性目标函数z =2x +y 在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题王新敞那么，满足线性约束条件的解（x ,y )叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解王新敞三、讲解范例：例1 已知x 、y 满足不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0025023002y x y x y x ，试求z =300x +900y 的最大值时的整点的坐标，及相应的z的最大值王新敞分析：先画出平面区域，然后在平面区域内寻找使z =300x +900y 取最大值时的整点王新敞解：如图所示平面区域AOBC ，点A （0，125），点B （150，0），点C 的坐标由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+3200335025023002y x y x y x 得C （3200,3350）， 令t =300x +900y ，即y =-90031tx +,欲求z =300x +900y 的最大值，即转化为求截距900t 的最大值，从而可求t 的最大值，因直线y =-90031t x +与直线y =-31x 平行，故作与y =-31x 的平行线，当过点A （0，125）时，对应的直线的截距最大，所以此时整点A 使z 取最大值，z m ax =300×0+900×125=112500 王新敞例2求z =600x +300y 的最大值，使式中的x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0,025023003y x y x y x 的整数值.分析：画出约束条件表示的平面区域即可行域再解. 解：可行域如图所示：四边形AOBC ，易求点A （0，126），B （100，0）由方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+5191536925223003y x y x y x 得点C 的坐标为（6953,9151) 因题设条件要求整点（x ,y )使z =600x +300y 取最大值，将点（69，91），（70，90）代入z =600x +300y ，可知当⎩⎨⎧==9070y x 时，z 取最大值为z m ax =600×70+300×900=69000例3 已知x 、y 满足不等式⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+≥+0,01222y x y x y x ,求z =3x +y 的最小值王新敞分析：可先找出可行域，平行移动直线l 0:3x +y =0，找出可行解，进而求出目标函数的最小值王新敞解：不等式x +2y ≥2，表示直线x +2y =2上及右上方的点的集合；不等式2x +y ≥1表示直线2x +y =1上及右上方的点的集合. 可行域如图所示：作直线0l :3x +y =0，作一组与直线0l 平行的直线l :3x +y =t ,(t ∈R ) 王新敞∵x 、y 是上面不等式组表示的区域内的点的坐标. 由图可知：当直线l :3x +y =t 通过P （0，1）时，t 取到最小值1，即z m in =1.评述：简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； （3）在可行域内求目标函数的最优解王新敞四、课堂练习：1．请同学们结合课本P 64练习1来掌握图解法解决简单的线性规划问题.⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤.1,1,y y x x y （1）求z =2x +y 的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件解：不等式组表示的平面区域如图所示： 当x =0,y =0时，z =2x +y =0 点（0，0）在直线0l :2x +y =0上. 作一组与直线0l 平行的直线l :2x +y =t ,t ∈R .可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l 的直线中，以经过点A （2，-1）的直线所对应的t 最大.所以z m ax =2×2-1=3.（2）求z =3x +5y 的最大值和最小值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤+.35,1,1535y x x y y x 解：不等式组所表示的平面区域如图所示：从图示可知，直线3x +5y =t 在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点（-2，-1）的直线所对应的t 最小，以经过点（817,89）的直线所对应的t 最大. 所以z m in =3×(-2)+５×(-1)=-11.z m ax =3×89+5×817=14 王新敞五、小结 ：用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）;2.设t =0，画出直线0l 王新敞3.观察、分析，平移直线0l ，从而找到最优解王新敞4.最后求得目标函数的最大值及最小值王新敞六、课后作业：1.某工厂用两种不同原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本为1500元，运费400元，可得产品100千克，如果每月原料的总成本不超过6000元，运费不超过2000元，那么此工厂每月最多可生产多少千克产品？王新敞分析：将已知数据列成下表解：设此工厂每月甲、乙两种原料各x 吨、y 吨，生产z 千克产品，则：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥200040050060001500100000y x y x y x z =90x +100y 王新敞作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域：由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧=+=+72071220451232y x y x y x 得 王新敞令90x +100y =t ，作直线:90x +100y =0即9x +10y =0的平行线90x +100y =t ，当90x +100y =t 过点M （720,712）时，直线90x +100y =t 中的截距最大.由此得出t 的值也最大，最大值z m ax =90×720100712⨯+=440. 答：工厂每月生产440千克产品.2.某工厂家具车间造A 、B 型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张A 、B 型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A 、B 型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A 、B 型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A 、B 型桌子各多少张，才能获得利润最大？王新敞解：设每天生产A 型桌子x 张，B 型桌子y 张王新敞则⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0,09382y x y x y x 目标函数为：z =2x +3y 作出可行域：把直线l ：2x +3y =0向右上方平移至l '的位置时，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，此时z =2x +3y 取最大值王新敞解方程⎩⎨⎧=+=+9382y x y x 得M 的坐标为（2，3）.答：每天应生产A 型桌子2张，B 型桌子3张才能获得最大利润王新敞七、板书设计（略）王新敞八、课后记：王新敞。
7.4.1 简单的线性规划
简单的线性规划（1）一．课题：二．教学目标：1.了解二元一次不等式表示平面区域，会用(0,0)，(1,0)或(0,1)检验不等式0Ax By c ++>（0<）表示的平面区域；2.会画出二元一次不等式（组）表示的平面区域.三．教学重、难点：怎样用二元一次不等式（组）表示平面区域；怎样确定不等式0Ax By c ++> （0<）表示直线0Ax By c ++=的哪一侧区域.四．教学过程：（一）引入：点集{(,)|10}x y x y +-=是以二元一次方程10x y +-=的解为坐标的集合，它是一条直线，经过(1,0)和(0,1)，那么点集{(,)|10}x y x y +->在平面直角坐标系中表示什么图形呢？（二）新课讲解：1．尝试、猜想、证明在平面直角坐标系中，所有的点被直线10x y +-=分成三类： 一类是在直线10x y +-=上；二类是在直线10x y +-=的右上方的平面区域内； 三类是在直线10x y +-=的左下方的平面区域内.对于任意一个点(,)x y ，把它的坐标代入1x y +-，可得到一个实数，或等于0，或大于0，或小于0，此时，可引导学生尝试在什么情况下，点(,)x y 在直线上、在直线右上方、在直线左下方？猜想结论：对直线10x y +-=右上方的点(,)x y ，10x y +->；对直线10x y +-=左下方的点(,)x y ，10x y +-<．证明结论：如图，在直线10x y +-=上任取一点00(,)P x y ， 过P 作平行于x 轴的直线0y y =，在此直线上点P 右侧的任 意一点(,)x y ，都有0x x >，0y y =，所以，00x y x y +>+，00110x y x y +->+-=， 因为点00(,)P x y 为直线10x y +-=上任意一点， 所以，对于直线10x y +-=右上方任意点(,)x y ，都有10x y +->， 同理对于直线10x y +-=左下方任意点(,)x y ，都有10x y +-<， 所以，结论得证.2．得出结论一般地，二元一次不等式0Ax By C ++>在平面直角坐标系中表示0Ax By C ++=某一侧所有点组成的平面区域。
示范教案一(74简单的线性规划)第一课时
课题：7.4简单的线性规划（一）教学目的：1 •使学生了解二元一次不等式表示平面区域；2•了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；3•了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题-4 •培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力-5.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新-教学重点：二元一次不等式表示平面区域.教学难点：把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答.授课类型：新授课-课时安排：1课时-教具：多媒体、实物投影仪-一、复习引入：通过前几节的学习，我们知道，在平面直角坐标系中，以二元一次方程x y 1 0的解为坐标的点的集合｛（x,y）| x y 1 0｝是经过点（0, 1）和（1, 0）的一条直线I，那么，以二元一次不等式（即含有两个未知数，且未知数最高次数都是1的不等式）的解为坐标的点的集合｛（x,y）I x y 1 0｝是什么图形呢？二、讲解新课：在平面直角坐标系中，所有的点被直线x y 1 0分成三类：(1)在直线x y 1 0 上;(2)在直线x y 1 0的左下方的平面区域内;(3)在直线x y 1 0的右上方的平面区域内即：对于任意一个点（x, y），把它的坐标代入x y 1,可得到一个实数,或等于0，或大于0,或小于0.若x+y-1=0，则点（x,y）在直线I上.我们猜想：对直线I右上方的点（x, y）, x y 1 0成立;对直线I左下方的点（x,y）, x y 1v 0成立.我们的猜想是否正确呢？下面我们来讨论一下不妨，在直线x y 1=0上任取一点P（x0, y0），过点P作平行于x轴的直线y=y。
,在此直线上点P右侧的任意一点（x, y），都有x > X。
, y = y o,所以，x+y> X o + y°, x y 1 > X o + y o-i=o,即x y 1> 0.再过点P作平行于y轴的直线x=x o,在此直线上点P上侧的任意一点（x, y）,都有x=x°,y> y°.所以，x+y > X o+y°, x y 1> x°+ y o-1=O,即x y 1 > 0.因为点P （x0, y0）是直线x y 1 =0上的任意点，所以对于直线x y 1=0右上方的任意点（x,y）, x y 1 > 0都成立.同理，对于直线x y 1 =0左下方的任意点（x, y）, x y 1 v 0 都成立.如图所示：所以，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x y 1 > 0的解为坐标的点的集合｛（x, y ）|x y 1 > 0｝是在直线x y 1 =0右上方的平面区域-如图所示：那么，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x y 1 v 0的解为坐标的点的集合｛（x, y）| x y 1 v 0｝是在直线x y 1 =0 左下方的平面区域.总之，二元一次不等式Ax+By+C> 0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组x ty-1=0成的平面区域•（虚线表示区域不包括边界直线）由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点（x, y），把它的坐标（x, y）代入Ax+By+C,所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x o, y o），从Ax o+B^+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域• （特殊地，当C M 0时，常把原点作为此特殊点）- 三、讲解范例：例1画出不等式2 x +y-6 v 0表示的平面区域.解：先画直线2x+y-6=0 （画成虚线）•取原点（0, 0）,代入2x+y-6, T 2X 0+0-6=-6 v 0,原点在2 x +y-6 v 0表示的平面区域内，不等式2 x +y-6 v 0表示的区域如图：x y 5 0例2画出不等式组x y 0表示的平面区域分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分- 解：不等式x-y+5>0表示直线x-y+5=0上及右下方的点的集合，x +y> 0表示直线x+y=0上及右上方的点的集合，x< 3表示直线x=3上及左方的点的集合.不等式组表示平面区域即为x+y=05 5B(-2'2)x-y+5=0A(3,8)x=3图示的三角形区域：四、课堂练习：1.画出不等式—X+2y—4v 0表示的平面区域.解：先画直线—x +2y—4=0（画成虚线），取原点（0, 0），代入—x + 2y—4,因为0 + 2 X 0 — 4 v 0，所以，原点在—x +2y —4v 0表示的平面区域内，不等式一x + 2y—4v 0表示的区域如图所示.x y 02•画出不等式组y 3x 5表示的平面区域C(3,-3)选题意图：考查不等式组表示的平面区域的画法右下方的点的集合，y w 3表示在直线y=3上及其下方的点的集合，x < 5表示X y 6 o 直线x =5左方的点的集合，所以不等式组X y o 表示的平面区域如图y 3X 5所示说明：不等式组表示的区域应注意其边界线的虚实-3•已知直线I 的方程为Ax+By+C =0, M i (x i ，y i )、M 2(x 2,y 2)为直线|异侧的任意 两点，M i 、M 3(x 3,y 3)为直线I 同侧的任意两点，求证：(1) Ax 什By i +C 与 Ax 2+By 2+C 异号； (2) Ax i +By i +C 与 Ax 3+By 3+C 同号.证明：⑴因M i 、M 2在I 异侧，故I 必交线段M i M 2于点M o .设M o 分M i M 2所成的比为入，则分点M o 的坐标为x ix 2y i y 2A(」2) + B ( * 2)+ C = o ,ii从而得 Ax i + By i + C + 入(AX 2+ By 2 + C )= o.解出入，得Ax i By i C Ax 2 By 2 CT M o 为M i M 2的内分点，故 入>o.• • Ax i + By i + C 与 A X 2+ By 2+ C 异号.(2) •/ M 3、M i 在I 同侧，而 M i 、M 2在I 异侧，故 M 3、M 2在I 异侧，利用 (i)得 AX 3+ By 3 + C 与 AX 2+ By 2 + C 异号，又・ Ax i + By i + C 与 Ax 2 + By 2+ C 异号， • Ax i + By i + C 与 Axs + By ?+ C 同号- 五、 小结 ：“二元一次不等式表示平面区域” ：(i ) Ax +By +C >o 表示直线Ax +By +C =o 的某一侧的平面区域不包括边界的直线；(2) Ax +By +C 》o 所表示的平面区域包括边界直线 Ax +By +C =o - 六、 课后作业：- 七、 板书设计(略)- 八、 课后记：-X ix o =iX 2 竺代入I 的方程得。
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7．4 简单的线性规划第二课时学案
一、知识点：
1、二元一次方程表示平面区域：
2、目标函数、可行域、可行解、最优解、线性规划问题：
3、解线性规划问题的基本步骤：
二、应用：
例1：(1)已知,x y满足不等式组
22
21
0,0
x y
x y
x y
+≥
⎧
⎪
+≥
⎨
⎪≥≥
⎩
，求3
z x y
=+的最小值.
(2) 已知,x y满足不等式组
270 43120
230
x y
x y
x y
-+≥
⎧
⎪
--≤
⎨
⎪+-≥
⎩
,求
①43
z x y
=-的最大值与最小值;
②22
z x y
=+的最大值与最小值;
③y
z
x
=的取值范围.
(3) 已知,x y 满足不等式组2040250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩
,
求①23z x y =-的最值;
②22222z x y x y =++-+的最小值; ③12
y z x +=+的最大值; ④24z x y =+-的最大值.
例2:给出平面区域如图所示,若使目标函数()0z ax y a =+>
取到最大值的最优解有无穷多个,则a 的值为( ). A.
14 B. 35 C. 4 D.53
变式: 给出平面区域如图所示,若使目标函数()0z ax y a =+>
取到最大值的最优解只在C 处,则a 的范围为 .
例3：已知()2,f x ax c =-且()()411,125f f -≤≤--≤≤，求()3f 的取值范围.
7．4 简单的线性规划第三课时学案
一、知识点：
1、目标函数、可行域、可行解、最优解、线性规划问题：
2、实际问题：
3、整点问题：
二、应用：
例1：某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1t需耗A种矿石10t、B种矿石5t、煤4t；生产乙种产品1t需耗A种矿石4t、B 种矿石4t、煤9t.每1t甲种产品的利润是600元, 每1t乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300t、B种矿石不超过200t、煤不超过363t.问甲、乙两种产品应各生产多少，能使利润总额达到最大？
例2：要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？
例3：某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的2
倍，且对每个项目的投资不能
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低于5万元.对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润,对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润,问该公司如何规划投资,能使这两个项目上共获得最大利润?。