数值计算方法的意义内容
数值计算的基本概念
数值计算的基本概念数值计算是一种通过计算机程序进行数值操作和计算的过程。
它是数值分析领域的一个重要分支，用于解决科学和工程领域中的各种实际问题。
1.数值表示：计算机只能处理二进制数字，即0和1，所以需要一种方法将实际的数值转化为计算机可以理解的二进制形式。
数值表示包括整数表示和浮点数表示。
整数表示是将整数转换为二进制形式，而浮点数表示是将实数转换为二进制形式，并用一个符号位、指数位和尾数位来表示。
2.数值误差：数值计算中会出现一些误差，这些误差可以分为截断误差和舍入误差。
截断误差是由于计算中将无限的数值截断为有限位数而引入的误差，而舍入误差是由于计算中进行舍入而引入的误差。
数值误差会随着计算的进行而积累，可能导致最终结果的不准确性。
3.数值稳定性：数值计算中的算法可能会受到输入数据的微小变化而产生很大的输出差异。
数值稳定性指的是算法对于输入数据的微小变化具有较好的鲁棒性，即输出结果相对稳定，不会产生过大的误差。
4.数值精度：数值计算的精度指的是计算结果与实际值之间的差距。
数值精度可以通过数值计算的方法和所使用的计算机精度来确定。
计算机有限的存储空间和位数限制了数值计算的精度，因此需要权衡计算精度和计算速度之间的关系。
5.数值方法：数值计算中用于求解数值问题的具体算法和技术称为数值方法。
数值方法包括数值逼近、数值插值、数值积分、数值微分、线性代数问题的数值解法等。
数值方法的选择取决于具体的问题和计算要求。
在实际应用中，数值计算广泛应用于众多领域，如物理学、化学、工程学、金融学等。
通过数值计算，可以对复杂的数学模型和方程进行求解，预测和模拟实际情况，提供决策支持和优化设计。
然而，数值计算也存在着一些挑战和限制。
首先，数值计算可能会产生舍入误差和截断误差，从而引入不确定性和误差。
其次，数值计算需要计算机指令的执行，这需要时间和计算资源。
因此，对于大规模的数值计算问题，可能需要分布式计算或并行计算。
此外，数值计算也需要对问题进行合理的建模和参数设定，才能得到准确和可靠的结果。
数值计算方法简介
2、常用的数值计算方法
2.1.2 有限差分法的具体操作
（1）用差分代替微分方程中的微分，将连续变化 的变量离散化，从而得到差分方程组的数学形式； （2）求解差分方程组。 在第一步中，我们通过所谓的网格分割法，将函 数定义域分成大量相邻而不重合的子区域。通常采用 的是规则的分割方式。这样可以便于计算机自动实现 和减少计算的复杂性。 在第二步中，数值求解的关键就是要应用适当的 计算方法，求得特定问题在所有这些节点上的离散近 似值。
2、常用的数值计算方法
2.1 有限差分法（FDM）
有限差分法是指用泰勒技术展开式将变量的导数 写成变量，在不同的时间或空间点值的差分形式的方 法。它是以变量离散取值后对应的函数值来近似微分 方程中独立变量的连续取值。有限差分法在土木工程 ，材料成型等领域应用比较的普遍，它与有限元等方 法一起成为计算机模拟技术的主要数值分析方法。
3、常用的数值分析软件
3.1.2 ANSYS软件的优缺点
（1）优点
l）ANSYS是完全的WWS程序，从而使应用更加方便； 2）产品系列由一整套可扩展的、灵活集成的各模块组 成，因而能满足各行各业的工程需要； 3）它不仅可以进行线性分析，还可以进行各类非线性 分析； 4）它是一个综合的多物理场耦合分析软件，用户不但 可用其进行诸如结构、热、流体流动、电磁等的单独研 究，还可以进行这些分析的相互影响研究。
3、常用的数值分析软件
ABAQUS优缺点
与ANSYS相比，他是基于点线面体的思想建立有限元 模型，ABAQUS是基于装配思想建立有限元模型，在线性 分析方面，二者基本差不多，而ABAQUS在非线性方面的 分析能力比较强，另外ABAQUS操作界面比较友好不是其 他CAE软件可以比拟的，同时接口python语言，比较强 大。
数值计算方法主要知识点
数值计算方法主要知识点数值计算方法是数学中的一门基础课程，主要研究数值计算的理论、方法和算法。
它是现代科学和工程技术领域中不可或缺的重要工具，广泛应用于数值模拟、优化计算、数据处理等诸多领域。
下面是数值计算方法的主要知识点（第一部分）。
1.近似数与误差：数值计算的基本问题是将无法精确计算的数值通过近似计算来求得。
近似数即为真实数的近似值，其与真实值之间的差称为误差。
误差可以分为绝对误差和相对误差。
绝对误差为真实值与近似值之差的绝对值，相对误差为绝对误差与真实值的比值。
通过控制误差可以评估数值计算结果的准确性。
2.插值与多项式：插值是指通过已知离散点构造一个函数，并在给定点处对其进行近似计算。
插值函数通常采用多项式拟合，即通过已知点构造一个多项式函数，并利用此函数进行近似计算。
主要的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值和埃尔米特插值等。
3.数值微分与数值积分：数值微分主要研究如何通过数值方法去近似计算函数的导数。
常用的数值微分方法有差商、中心差商和插值微分等。
数值积分则是研究如何通过数值方法去近似计算函数的定积分。
常用的数值积分方法有矩形法、梯形法和辛普森法等。
4.非线性方程的数值解法：非线性方程的数值解法是指通过数值方法求解形如f(x)=0的方程。
常用的非线性方程数值解法有二分法、牛顿法和二次插值法等。
这些方法基于一些基本原理和定理，通过迭代的方式逐步逼近方程的根即可求得方程的近似解。
5.线性方程组的数值解法：线性方程组的数值解法是指通过数值方法求解形如Ax=b的线性方程组。
其中，A是一个已知的系数矩阵，b是一个已知的常数向量，x是未知的解向量。
常用的线性方程组数值解法有高斯消元法、追赶法和LU分解法等。
这些方法通过一系列的变换和迭代来求解线性方程组的解。
6.插值型和积分型数值方法：数值计算方法可以分为插值型和积分型两类。
插值型数值方法是通过插值的方式进行近似计算，如插值法和数值微分。
而积分型数值方法是通过数值积分的方式进行近似计算，如数值积分和微分方程的数值解法。
数值计算方法丁丽娟课后答案
数值计算方法丁丽娟课后答案数值计算方法是一门重要的数学课程，它在工程、科学和计算机等领域都有着广泛的应用。
通过数值计算方法，我们可以利用计算机对复杂的数学问题进行求解，从而得到更加精确和有效的结果。
在学习数值计算方法的过程中，我们通常会遇到各种各样的问题和难题，因此课后答案的编写对于学生来说具有重要的意义。
本文将针对数值计算方法丁丽娟课后答案进行详细的讲解和分析。
首先，我们需要明确数值计算方法的基本概念和原理。
数值计算方法是一种利用数值计算工具（如计算机）对数学问题进行求解的方法。
它主要包括插值法、数值积分、数值微分、常微分方程数值解等内容。
在实际应用中，我们经常会遇到函数的插值、数值积分和微分、以及常微分方程的数值解等问题。
因此，我们需要掌握这些方法的基本原理和计算步骤。
其次，我们需要学习数值计算方法的具体算法和计算步骤。
对于函数的插值问题，我们可以利用拉格朗日插值法、牛顿插值法等方法来进行求解。
而对于数值积分和微分问题，我们可以利用复化梯形公式、辛普森公式等方法来进行求解。
此外，对于常微分方程数值解问题，我们可以利用欧拉法、改进的欧拉法、四阶龙格-库塔法等方法来进行求解。
因此，我们需要深入学习和掌握这些具体的算法和计算步骤。
另外，我们还需要了解数值计算方法的误差分析和收敛性问题。
在实际计算中，由于计算机的精度限制和算法本身的近似性，我们往往会面临误差问题。
因此，我们需要学习如何对数值计算结果进行误差分析，并且了解不同算法的收敛性条件。
只有通过对误差分析和收敛性问题的深入研究，我们才能够更加准确和有效地进行数值计算。
最后，我们需要通过大量的练习和实例来加深对数值计算方法的理解和掌握。
通过课后答案的编写，我们可以更好地巩固课堂上所学的知识，发现自己在理解和运用上的不足之处，并及时进行纠正。
同时，通过与答案对比和讨论，我们还可以更好地理解和掌握数值计算方法的具体算法和计算步骤，从而提高自己的解题能力和应用能力。
数值计算方法与算法
数值计算方法与算法数值计算方法是指用数学模型和算法来解决数值计算问题的一类方法。
它主要涉及数值逼近、数值积分、数值微分、方程数值解、数值线性代数等内容。
随着计算机的快速发展，数值计算方法在科学研究、工程设计和生产实践中得到了广泛应用。
1.数值计算方法以数值模拟为基础，通过将连续问题离散化为离散问题，通过计算机程序的数值计算来进行近似解析解。
数值计算方法的关键是建立适当的数学模型和合理的离散化方法。
2.数值计算方法是一种近似解的方法，它通过增加计算精度和精心设计的算法来提高结果的精度。
数值计算方法中常用的方法包括有限差分法、有限元法、数值积分法等。
3.数值计算方法的核心是算法。
算法是为了解决具体数值问题而设计的一组操作过程。
合理的算法可以提高计算效率和精度。
在数值计算方法中，常用的算法有迭代法、插值法、逆插值法、线性方程组求解法等。
4.数值计算方法的优缺点：优点是可以处理复杂的数学问题，可以得到数值解；缺点是结果的精度有限，有时会受到计算机运算精度的限制。
1.数值逼近：数值逼近方法用于确定给定函数的近似值。
它将函数的连续性问题转化为有限阶多项式或有限阶插值函数的问题，通过计算机程序来计算得到逼近解。
2.数值积分：数值积分方法用于计算给定函数在一定区间上的定积分值。
它将定积分问题转化为有限阶多项式或插值函数的计算问题，通过计算机程序来计算得到积分近似值。
3.数值微分：数值微分方法用于计算给定函数在其中一点处的导数值。
它将导数计算问题转化为有限差分或插值函数的计算问题，通过计算机程序来计算得到导数近似值。
4.方程数值解：方程数值解方法用于求解给定方程的数值解。
它将方程求解问题转化为迭代计算或数值优化问题，通过计算机程序来计算得到方程的数值解。
5.数值线性代数：数值线性代数方法用于解决线性方程组和特征值问题等。
它将线性方程组的求解问题转化为矩阵运算和迭代计算问题，通过计算机程序来计算得到线性方程组的数值解。
数值计算方法的意义内容
数值计算方法的意义内容数值计算方法是现代科学和工程领域中的一种重要方法，它利用数学和计算机科学的理论和技术，对各类数值问题进行求解和分析。
数值计算方法包括数值逼近、数值积分、数值代数方程求解、数值微分、数值微分方程求解等。
这些方法的研究和应用具有重要的意义，以下将从如下几个方面加以说明。
首先，数值计算方法的发展为科学和工程领域提供了一种高效和精确的分析工具。
科学和工程问题往往包含大量的数据和复杂的数学模型，通过数值计算方法可以准确地对这些问题进行求解。
例如，在物理学研究中，计算机模拟与数值计算方法的结合使得科学家们能够模拟复杂的物理过程，并预测其行为。
在工程领域，数值计算方法可以帮助工程师们对结构和流体力学等问题进行分析和优化设计，提高工程的安全性和可靠性。
其次，数值计算方法的研究和应用也对科学和工程领域的发展起到了促进作用。
随着计算机技术的发展，数值计算方法的应用范围和精度得到了极大的提高。
同时，数值计算方法本身也得到了快速的发展和改进，从经典的数值方法到高阶和自适应方法的出现，大大提高了计算的效率和准确度。
这些方法的研究和应用不仅带来了科学和工程计算领域的更多新的领域和问题，也为科学和工程领域提供了更多的解决问题的思路和方法，推动了科学和工程领域的进步。
第三，数值计算方法的研究和应用对于解决现实生活中的实际问题具有重要的意义。
计算机已经成为了我们日常生活和工作的重要工具，数值计算方法的研究和应用使得我们能够更好地利用计算机来解决实际问题。
例如，在天气预报中，数值计算方法可以通过收集大量的观测数据和数学模型，对天气系统进行模拟和预测，帮助人们做出更加准确的天气预报和相关决策。
在金融领域，数值计算方法可以对金融市场进行建模和分析，辅助投资者进行投资决策。
数值计算方法的研究和应用不仅提高了我们对现实世界的认识和理解，也为我们提供了更多的工具和方法来应对现实生活中的各种问题和挑战。
最后，数值计算方法的研究对于推动计算机科学的发展也具有重要意义。
数值计算方法简介
数值计算方法简介数值计算方法是一种用计算机处理数学问题的方法，它已经成为现代科学和工程中不可或缺的一部分。
目前，数值计算方法已经应用到了各个领域，比如工程学、物理学、经济学等等。
下面我们来简单介绍一些数值计算方法的基本概念和方法。
一.数值方法的分类数值计算方法可以分为以下两类：直接方法和迭代方法。
直接方法就是通过一定的公式或计算过程，直接求得问题的解。
而迭代方法则是通过不断地逼近解来求解问题。
迭代方法的精度一般会随着迭代次数的增加而增加，但同时也会增加计算的时间和计算的次数。
二.方程求解方法方程求解是数值计算方法中重要的一部分，它可以通过一定的计算方法来求解各种类型的方程，比如线性方程、非线性方程、微分方程等等。
其中，最常用的方程求解方法包括牛顿迭代法、二分法、割线法等等。
以求解非线性方程为例，牛顿迭代法是一种常用的方法。
假设要求解方程$f(x)=0$，我们可以首先给出一些初值$x_0$，然后通过不断使用牛顿迭代公式$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$，来逼近方程的解。
三.插值和拟合插值和拟合是数值计算中另一个重要的内容，其主要任务是通过已知的数据点来确定一个函数，从而使其在其他点上的值也可以被预测或计算。
其中，插值一般用于在已知数据点之间构建函数，而拟合则是用于对数据点进行近似。
最常用的插值方法包括拉格朗日插值和牛顿插值，其中拉格朗日插值函数为$L_n(x)=\sum_{i=0}^n y_i \frac{\prod_{j=0,j\neq i}^n (x-x_j)}{\prod_{j=0,j\neq i}^n (x_i-x_j)}$，其中$y_i$为已知数据点$(x_i,y_i)$的纵坐标值。
拟合方法中，最常用的是最小二乘法。
最小二乘法即是通过已知数据点，找到一条尽可能接近这些点的函数，也就是使这些点到函数的距离最小。
具体的做法是通过求解一个最小二乘问题，找到一个函数$f(x)$，使得$\sum_{i=1}^n (y_i-f(x_i))^2$最小。
数值计算方法的义内容
3. 避免大数吃小数
例7：用单精度计算 精确解为
算法1：利用求根公式
的根。
在计则：1 = 0.0000000001 1010，取单精度时就成为： 109+1=0.10000000 1010+0.00000000 1010=0.10000000 1010
·算法2：先解出 再利用
注：求和时从小到大相加，可使和的误差减小。
输出 x1, x2
结束
二、算法的优劣
计算量小
例：用行列式解法求解线性方程组: n阶方程组，要计算n + 1个n阶行列式的值， 总共需要做n! (n - 1) (n + 1) 次乘法运算。
n=20 需要运 算多少次？
存贮量少 逻辑结构简单
n=100?
§ 3 数值计算中的误差
一、 误差的背景介绍
1. 来源与分类
现算法代的研科究和学应用研正是究本的课程三的主大题 ！支柱
计算数学
理论研科究学实验科学计算
21世纪信息社会的两个主要特征： “计算机无处不在” “数学无处不在”
21世纪信息社会对科技人才的要求： - - 会“用数学”解决实际问题 - - 会用计算机进行科学计算
建立数学模型
选取计算方法
编写上机程序
数值计算方法
内容和方法
§ 1 数值计算方法的意义、内容与方法
20 世纪最伟大的科学技术发明---计算机 计算机是对人脑的模拟，它强化了人的思维智能； 计算机的发展和应用，已不仅仅是一种科学技术 现象，而且成了一种政治、军事、经济和社会现象；
软件的核心就是算法。 算法犹如乐谱， 软件犹如CD盘片， 而硬件如同CD唱机。
数值代数：方程求根、线性方程组求解、 特征值的求解；
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x* x x*
即x落在 [x* , x内* 。 ]在应用上，常常采用下列
写法来刻划x*的精度。
x x*
2．相对误差和相对误差限 定义2：设x是准确值，x*是近似值，称
e x x* xx
（1.6）
为近似值x的相对误差，相应地，若正数 ，r
满足
x x* x
r
1．要使用数值稳定的算法
例4：求 In
1 xn dx 0 x5
（n = 0, 1, 2, …, 8）的值。
解：由于
In 5In1
1 xn 5xn1dn 0 x5
1 xn1dx 1
0
n
初值
I 0
1 1 dx ln 6 ln 5 ln(1.2) 0 x5
递推公式
I
0
ln( 1.2)
x = 8.12345
1 0.3333 3
四舍五入后……
1 3.1416 0.0000074
2
1 3
0.333
0.000033
3 x 8.1235 0.000044
在数值计算方法中，主要研究截断误差和舍入误差 （包括初始数据的误差）对计算结果的影响！
二、绝对误差、相对误差和有效数字 1．绝对误差与绝对误差限
例7：用单精度计算 x2 (109 1)x 109 0 的根。 精确解为 x1 109 , x2 1
算法1：利用求根公式 x b b2 4ac
2a
在计则：1 = 0.0000000001 1010，取单精度时就成为： 109+1=0.100000001010+0.00000000 1010=0.10000000 1010
其下落距系是：
m d 2s mg dt 2
（1.1）
其中 g 为重力加速度。
➢ 通过测量得到模型中参数的值 —— 观测误差
➢ 求近似解 —— 方法误差 (截断误差）
➢机器字长有限 —— 舍入误差
用计算机、计算器和笔算，都只能用有限位小数 来代替无穷小数的小数来代替位数较多 的有限小数，如：
= 3.1415926…
建立数学模型
选取计算方法
编写上机程序
计算得出结果
科学计算解题过程
一、计算数学的产生和早期发展
计算数学是数学的一个古老的分支，虽然数学不仅仅 是计算，但推动数学产生和发展的最直接原因还是 计算问题。
二、二十世纪计算数学的发展
数值代数 最优化计算 数值逼近 计算几何
概率统计计算
蒙特卡罗方法 微分方程的数值解法 微分方程的反演问题
数值计算方法
内容和方法
§1 数值计算方法的意义、内容与方法
20 世纪最伟大的科学技术发明---计算机 计算机是对人脑的模拟，它强化了人的思维智能； 计算机的发展和应用，已不仅仅是一种科学技术 现象，而且成了一种政治、军事、经济和社会现象；
软件的核心就是算法。 算法犹如乐谱， 软件犹如CD盘片， 而硬件如同CD唱机。
开始
输入
a11, a12 , a21, a22 ,b1,b2
D=a11a22-a12a21
Yes D=0
No
x1 (b1a22 b2a12 ) / D x2 (b2a11 b1a21) / D
输出无解信息
输出 x1, x2 结束
二、算法的优劣
➢ 计算量小 例：用行列式解法求解线性方程组:
a12 x2 a22 x2
b1 b2
用行列式解法：首先判别
D a11a22 a21a12
（1）如果 D 0，则令计算机计算
x1 b1a22 b2a12 D , x2 b2a11 b1a21 D
输出计算的结果x1，x2。
（2）如果D= 0，则或是无解，或有无穷多组解。
令 D a11a22 a21a12
1
In n 5In1,
(n 1, 2, , 8)
（1.8）
按 (1.8) 式就可以逐步算出
I1 1 5I0 0.09
I2
1 2
5I1
0.05
I3
1 3
5I2
0.083
I4
1 4
5I3
0.165
I5
1 5
5I4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1.025
I6
1 6
5I5
4.952
注意此公式精确成 立 What happened ?!
不稳定的算法 ！
这就是误差传播所引起的危害 ! 由递推公式（1.8）计算结果的影响，随着n的增大 愈来愈严重。这就造成I4的计算结果严重失真。
改变公式：
将公式
In
5I n1
1 n
11 I k1 5K 5 I K
不妨设I9 I10，于是由
变为
(K n, n 1, ,1)
I9
1 50
1 5
I10
通过求解过程，可以总结出算法步骤如下：
S1 输入 a11, a12, a21, a22,b1,b2 S2 计算 D a11a22 a21a12 S3 如果 D 0
则输出原方程无解或有无穷多组解的信息;
否则 D 0
x1
a22b1
a12b2 D
S4 输出计算的结果 x1, x2
x2
a11b2
a21b1 D
x1 b
b2 4ac 109 , 2a
x2 b
b2 4ac 0 2a
算法2：先解出 再利用
x1
b
sign(b) 2a
b2 4ac 109
c
c 109
x1 x2 a x2 a x1 109 1
注：求和时从小到大相加，可使和的误差减小。
例8：按从小到大、以及从大到小的顺序分别计算 1 + 2 + 3 + … + 40 + 109
10只小鸡
代数方法 ：
设有x只小鸡，y只小兔 ，
x y 17
(i)
(I) 2x 4 y 48 (ii)
(-2)*(i) +(ii) , 得 高斯消
去法
x y 17 (II) (4 2) y 48 -17 2
y 48 17 2 7 只小兔 42
例：求解二元一次联立方程组
aa1211xx11
类似地
ln x ln y ln x y
sin( x ) sin x 2 cos x sin
2 2
2. 绝对值太小的数不宜作除数
例6：
2.7182 2718.2 0.001
如分母变为0.0011，也即分母只有0.0001的变化时
2.7182 2471.1 0.0011
3. 避免大数吃小数
定义1：设x是准确值，x*为x的一个近似值，称
e(x) x x *
（1.5）
是近似值x的绝对误差,简称为误差。
例 2:若用以厘米为最小刻度的尺去量桌子的长， 大约为1.45米，求1.45米的绝对误差。
1.45米的 绝对误差=？
不知道！
但实际问题往往可以估计出 e(不x)超过某个正数，即， x x，* 则 称 为绝对误差限，有了绝对误差限
可求得I9 0.017，按公式（1.9）可逐次求得
（1.9）
I8 0.019 I6 0.024 I4 0.034 I2 0.058 I0 0.182
I7 0.021 I8 0.028 I3 0.043 I1 0.088
稳定的算法 ！
在我们今后的讨论中，误差将不可回避， 算法的稳定性会是一个非常重要的话题。
则称 为rx的相对误差限。
3．有效数字
定义3：如果
x x* 1 10n 2
（1.7）
则说x*近似表示x准确到小数后第n位，并从这第n位起
直到最左边的非零数字之间的一切数字都称为有效数字，
并把有效数字的位数称为有效位数。
由上述定义 3.1416 1 104
2 3.14 0.0015926
www.sy www.hzdiy
现算法代的研科究和学应用研正是究本课的程的三主题大！支柱
理科 论学 研实 究验
科 计算数学 学 计 算
21世纪信息社会的两个主要特征： “计算机无处不在” “数学无处不在”
21世纪信息社会对科技人才的要 求： --会“用数学”解决实际问题 --会用计算机进行科学计算
描述算法可以有不同的方式。例如，可以用日常语言 和数学语言加以用框图直观地显示算法的全貌。
例1：一群小兔一群鸡，两群合到一群里，要数腿共48， 要数脑袋整17，多少小兔多少鸡？
算术方法 ： 若没有小兔，则鸡应是17只 总腿数 ：2＊17＝34 一只小兔增加 2条腿，
应该有
48 17 2 7 只小兔 2
n阶方程组，要计算n + 1个n阶行列式的值，
总共需要做n! (n - 1) (n + 1) 次乘法运算。
n=20 需要运 算多少次？
➢ 存贮量少
n=100?
➢ 逻辑结构简单
§3 数值计算中的误差
一、 误差的背景介绍
1. 来源与分类
➢ 从实际问题中抽象出数学模型 —— 模型误差
例1:质量为m的物体，在重力作用下，自由下落，
3.14159 1 105
2
有效数位为3位
3.1416 0.0000074
3.1415 0.0000926
有效数位为5位 有效数位为4位
误差的传播与积累
例3：蝴蝶效应 —— 纽约的一只蝴蝶翅膀一拍，风和日丽的北 京就刮起台风来了？！
NY
BJ
以上是一个病态问题
§4 数值计算中应该注意的一些原则
4. 先化简再计算，减少步骤，避免误差积累。
一般来说，计算机处理下列运算的速度为